3.15圆幂定理与托勒密定理

圆幂的定义假设平面上有一圆O，其半径为R，有一点P在圆O外，则OP^2-R^2即为P点到圆O的幂；若P点在圆内，则圆幂为R^2-OP^2；综上所述，圆幂为|OP^2-R^2|。

圆幂恒大于或等于零。

圆幂的由来过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D。

则PA·PB=PC·PD。

若圆半径为r，则PC·PD=(PO-r)·(PO+r)=PO^2-r^2=|PO^2-r^2| （要加绝对值，原因见下）为定值。

这个值称为点P到圆O的幂。

（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值）若点P在圆内，类似可得定值为r^2-PO^2=|PO^2-r^2|故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差，而过这一点引任意直线交圆于A、B，那么PA·PB等于圆幂的绝对值。

圆幂定理定理内容过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有。

[1]圆幂定理的所有情况考虑经过P点与圆心O的直线，设PO交⊙O与M、N，R为圆的半径，则有圆幂定理的证明图Ⅰ：相交弦定理。

如图，AB、CD为圆O的两条任意弦。

相交于点P，连接AB、BD，由于∠B与∠D同为弧AC所对的圆周角，因此由圆周角定理知：∠B=∠D，同理∠A=∠C，所以。

所以有：，即：图Ⅱ：割线定理。

如图，连接AD、BC。

可知∠B=∠D，又因为∠P为公共角，所以有，同上证得图Ⅲ：切割线定理。

如图，连接AC、AD。

∠PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角，因此有∠PAC=∠D，又因为∠P为公共角，所以有易证图Ⅳ：PA、PC均为切线，则∠PAO=∠PCO=直角，在直角三角形中：OC=OA=R，PO为公共边，因此所以PA=PC，所以综上可知，是普遍成立的。

证明完毕。

托勒密定理及应用托勒密定理，也被称为定理于托勒密或托勒密定律，是一个在三角形中严格的几何定理。

该定理与中学三角学和圆的几何性质密切相关，在数学教学中有广泛的应用。

托勒密定理是提出了一种关于四边形的特殊情况，并解释了四边形特殊情况的几何性质。

托勒密定理表述为：在任意一个四边形中，如果四个顶点连成的对角线相交于一点，那么这个四边形的两组对边的乘积之和等于另外一组对边的乘积之和。

具体表达式为：AB×CD + BC×AD = AC×BD。

托勒密定理的应用非常广泛，以下介绍了一些常见的应用：1. 判断四边形是否为一个圆的内接四边形：通过托勒密定理，如果一个四边形的对角线乘积之和等于一组对边的乘积之和，那么这个四边形可以被证明是一个圆的内接四边形。

2. 求解边长或角度的问题：在一些特定的几何问题中，根据给定的条件，可以利用托勒密定理来解决边长或角度的问题。

例如，已知一个四边形的边长和某个角度，可以通过托勒密定理推导出其他边长或角度的值。

3. 延长线或外接圆的构造：通过托勒密定理，可以利用已知的边长和角度来构造延长线或外接圆。

这在一些复杂的几何问题中非常有用。

4. 平面几何中的证明问题：托勒密定理可以用于平面几何中的证明问题。

通过应用托勒密定理，可以推导出一些几何命题的证明过程。

5. 解决三角函数问题：托勒密定理可以用于解决一些三角函数相关的问题。

通过托勒密定理，可以建立各种三角函数之间的关系式，从而解决一些复杂的三角函数问题。

总结来说，托勒密定理在数学教学和实际应用中都有广泛的应用。

通过应用托勒密定理，我们可以解决各种几何问题，推导证明命题，以及解决一些与三角函数相关的问题。

托勒密定理的重要性不仅体现在它本身的几何性质，还在于它在数学教学中的应用广泛，能够帮助学生掌握几何和三角学的基本概念和技巧，为他们建立数学思维提供了一个很好的平台。

圆的托勒密定理怎么证明托勒密定理，这名字听上去是不是有点儿高深莫测，仿佛只要你一听就得戴上眼镜，严肃地看着黑板。

但它可没那么复杂，反倒有点儿像是那种老朋友，咱们慢慢聊聊，看看它的背后故事。

想象一下，一个圆，里面有四个点，像是朋友们围坐在一起，聊着天，特别热闹。

这个时候，托勒密定理就闪亮登场，告诉我们，只要这四个点在同一个圆上，它们之间的连线关系就特别有意思。

你瞧啊，托勒密定理说的是，两个对角线的乘积等于另外两个对角线的乘积。

哎，听起来好像在说数学魔法，实际上就像是说，如果你有了这些朋友，这些连线就像是你们的感情纽带，越紧密，越有趣。

想象一下，把四个点连起来，就形成了两个三角形。

这个时候，两个三角形就好比是你和朋友们在玩游戏，玩得不可开交。

四个点的坐标，像极了你们生活中的四个重要时刻，连接起来，便是回忆的画面。

来，咱们用一个小故事来帮大家理解。

假设你们四个好朋友，分别叫A、B、C、D。

一天，你们一起去公园散步，A跟C走在一边，B跟D走在另一边。

突然间，A和C决定要赛跑，B和D则在旁边加油。

这个时候，A和C的距离和B和D的距离，就像是托勒密定理里的对角线一样，你们的友情也在这场比赛中得到了验证。

四个人的相互关系，仿佛在圆的边缘上，划出了一道优美的弧线，大家心里都明白，这就是友情的力量。

再说到证明的过程，可能会有人说：“哎，数学就是个难题，听着就头疼。

”证明托勒密定理并不是一件可怕的事，反倒像是在解开一个谜团。

可以试着把四个点连成一张网，然后找出那些能组成三角形的角度。

你会发现，角度之间的关系和弦长之间的比例，就像你们在一起时的默契，越是密切，结果越是惊人。

说到这里，不妨聊聊生活中的例子。

想象你跟朋友一起聚餐，四个人围坐一桌，桌子就像是那个圆。

每个人的盘子、碗碟就像是四个点，边吃边聊，开心得不得了。

这时候，你们的对话就像是对角线，不同的意见交织在一起，形成了一种和谐的气氛。

虽然每个人都有自己的看法，但只要互相理解，最后就能达成共识，这不就和托勒密定理的精神不谋而合吗？好了，聊了这么多，大家有没有觉得托勒密定理其实挺有趣的？在生活中，处处都有这样的“定理”。

圆中常见数学模型中考数学圆常见模型：辅助圆（隐形圆）、圆幂定理、米勒定理、托勒密定理、瓜豆原理、阿波罗尼斯圆问题（一）.辅助圆（隐圆）1.当线段一端点固定，长度固定时：另一端点运动轨迹是圆Eg：如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF 沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是.2.三点共圆：Eg1：如图，若AB＝OA＝OB＝OC，则∠ACB的大小是（）A．40°B．30° C．20° D．35°Eg2：如图在四边形ABCD中,AB=BC=BD,∠ABC=80°,则∠ADC的度数为.3.四点共圆问题：Eg：如图，ΔABC中，AB=4，AC=2，以BC为边在ΔABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为4.三角形中：一定边且其对角一定，则其对应顶点轨迹为圆3，0）、（0，5），点D在第一象限，Eg：在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为（3，0）、（3且∠ADB＝60°，则线段CD长的最小值为_________．D CBAQOPEDPC（二）.圆幂定理：1.相交弦定理：在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，则PA PB PC PD⋅=⋅推论：在⊙O中，直径AB CD⊥，则2CE AE BE=⋅Eg1：如图，已知点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交外接圆O于E，求证：（1）IE=EC；（2）2IE ED EA=．Eg2：如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q．若QP=QO，则QAQC的值为（）（A）132-；（B）32；（C）23+；（D）23+2.切割线定理：在⊙O中，PA是切线，PB是割线，则2PA PC PB=⋅Eg1：如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，如果PB=2，PC=4，则PA的长为Eg2：如图，⊙O为△ABC的外接圆，过C作⊙O的切线，交AB的延长线于P,∠APC的平分线和AC,BC分别相交于D,EPODCBAO EDCBADEC BPAO(1) 证明：△CDE 是等腰三角形 (2) 证明：PD CE PE AD ⋅=⋅3. 割线定理：在⊙O 中，PB 、PE 是割线，则PC PB PD PE ⋅=⋅Eg1：如图，P 是圆O 外的一点，点B 、D 在圆上，PB 、PD 分别交圆O 于点A 、C ，如果AP =4，AB =2，PC =CD ，那么PD =________．Eg2：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点E ，交BC 于点D ，连接BE 、AD 交于点P ．求证：（1）D 是BC 的中点； （2）△BEC ∽△ADC ； （3）AB •CE=2DP •AD ．（三）.米勒定理：如图，点C 在运动的过程中，∠ACB 的大小在不断发生变化。

托勒密定理定理图定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。

从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．定理的提出一般几何教科书中的“定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。

证明一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。

）在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ACD因为△ABE∽△ACD所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)而∠BAC=∠DAE，，∠ACB=∠ADE所以△ABC∽△AED相似.BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因为BE+ED≥BD（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）所以命题得证复数证明用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、C D、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。

首先注意到：(a? b)(c? d) + (a? d)(b? c) = (a? c)(b?d) ，两边取，运用得。

等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。

四点不限于同一。

平面上，托勒密不等式是三角不等式的形式。

二、设ABCD是。

在BC上，∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。

在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD；因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。

证明托勒密(ptolemy)定理【最新版】目录1.托勒密定理的定义与概述2.托勒密定理的证明方法概述3.纯几何法证明托勒密定理4.托勒密定理的应用5.总结正文托勒密定理是数学中的一个重要定理，该定理描述了圆内接四边形对角线的乘积与两对对边乘积之间的关系。

具体来说，定理指出：圆内接四边形两条对角线的乘积等于两对对边乘积之和。

本文将介绍托勒密定理的证明方法，并简要讨论其应用。

一、托勒密定理的定义与概述托勒密定理最早由古希腊数学家托勒密提出，他在《几何原本》一书中详细阐述了该定理。

托勒密定理在数学中有着广泛的应用，尤其是在几何学、代数学以及数论等领域。

二、托勒密定理的证明方法概述托勒密定理的证明方法有很多，如三角法、复数法、纯几何法等。

下面我们将详细介绍纯几何法的证明过程。

三、纯几何法证明托勒密定理纯几何法是利用几何图形的性质来证明托勒密定理。

具体证明过程如下：1.在圆内接四边形 ABCD 中，作 AE 垂直于 BC，交 BC 于点 E。

2.根据垂直平分线定理，得到 AE 是 BC 的垂直平分线，即 AE=EC。

3.同理，作 AF 垂直于 CD，交 CD 于点 F，得到 AF=FD。

4.由于 AE=EC，AF=FD，所以四边形 AEFC 是矩形。

5.根据矩形的性质，得到 AC=EF，BD=AE。

6.因此，AC×BD=EF×AE，即 AC×BD=AB×CD。

四、托勒密定理的应用托勒密定理在数学中有广泛的应用，下面举一个简单的例子：已知一个圆内接四边形 ABCD，其中 AB=3，BC=4，CD=5，AD=6。

求 AC 的长度。

根据托勒密定理，有 AC×BD=AB×CD，代入已知数值，得到 AC×6=3×5，解得 AC=2.5。

五、总结托勒密定理是数学中的一个基本定理，它描述了圆内接四边形对角线的乘积与两对对边乘积之间的关系。

通过纯几何法的证明，我们可以更好地理解该定理的含义。

圆和相似综合题有关定理1、圆幂定理（在证明比例式、求线段长度时将发挥重要作用。

）2、托勒密定理：圆内接四边形两组对边乘积之和，等于两条对角线的乘积。

已知：四边形ABCD 内接于圆，如图，求证：AB·CD + BC·AD = AC·BD证明：在∠BAD 内作∠BAE=∠CAD ，交BD 于E 。

因∠ABE=∠ACD ，所以△ABE ∽△ACD ，从而AB BE ACCD =得 AB·CD = AC·BE ①； … 易证△ADE ∽△ACB ，从而BC AC DE AD = 得BC·AD = AC·DE ②； ①+② 得AB·CD + BC·AD = AC （BE+DE ）= AC·BD定理 图形已知 结论 证法 相交*弦定理⊙O 中，AB 、CD 为弦，交于点P 。

PA·PB ＝PC·PD 连结AC 、BD ， 证：△APC ∽△DPB 切 、割线定理 ⊙O 中，PT 切⊙O 于点T ，割线PB 交⊙O 于点A 。

PT 2＝PA·PB连结TA 、TB ， 证：△PTB ∽△PAT }割线定理PB 、PD 为⊙O 的两条割线，交⊙O 于A 、C 两点。

PA·PB ＝PC·PD ~ 过P 作PT 切⊙O 于T ，用两次切割线定理 C E3、弦切角定理：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角称为弦切角。

弦切角等于弦与切线所夹弧所对的圆周角。

}弦切角定理的证明：已知：AP切⊙O于P，PQ是弦，则∠APQ是弦切角，∠APQ夹的弧是弧PQ，弧PQ所对的圆周角记为∠PCQ证明：∠APQ=∠PCQ （弦切角的位置分以下三种情况）】1°圆心O在∠APQ外部过P作直径BP，联结BC则BP⊥AP，∠APB=90°，且∠BCP是直径BP所对的圆周角，∠BCP=90°#则有∠APB=∠BCP，即∠APQ+∠BPQ=∠BCQ+∠PCQ由于∠BPQ，∠BCQ都是弧BQ所对的圆周角，所以∠BPQ=∠BCQ所以∠APQ=∠PCQ2°圆心O在∠APQ的一边，PQ上此时PQ是直径，则PQ⊥AP，∠APQ=90°而且∠PCQ是直径PQ所对的圆周角，∠PCQ=90°所以∠APQ=∠PCQ3°圆心O在∠APQ内部过P作直径BP，联结BC则BP⊥AP，∠APB=90°，且∠BCP是直径BP所对的圆周角，∠BCP=90°则有∠APB=∠BCP由于∠BPQ，∠BCQ都是弧BQ所对的圆周角，所以∠BPQ=∠BCQ所以∠APB+∠BPQ=∠BCP+∠BCQ即∠APQ=∠PCQ。

【初中数学】圆幂定理圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论的统一与归纳，所以目前书上已经把这个定理删除了，也作为补充知识点介绍。

根据两条与圆有相交关系的线的位置不同，有以下定理：（1）相交弦定理（2）切割线定理（3）割线定理从上述定理可以看出，两条线的位置从内到外，都有着相似的结论。

经过总结和归纳，便得出了圆幂定理。

圆幂定理是几何学中的一条定理，它描述了一个点与一个圆之间的关系。

具体来说，圆幂定理说明了如果有一条直线通过了一个P点，与一个圆相交于点A和点B，那么这个点P到点A、点B的长度的乘积等于点P到圆心O的距离的平方减去圆的平方的绝对值，即可以表示为：PA·PB=|PO²-r²|（r表示圆的半径）.如何证明这个定理呢？就需要分三种情况讨论，点P与圆的位置关系。

我们非常清楚，点与圆的位置关系只有三种：圆外、圆上、圆内。

1、点P在圆外如图，点P在⊙O外部，过点P的直线与⊙O相交于A、B两点，连接OP交⊙O于点C，⊙O的半径为r.证明：如图，延长PO交⊙O与点D.由割线定理可得：PA·PB=PC·PD∵ PC=PO+OC，PD=PO+OD，OC=OD=r∴ PC=PO+r，PD=PO+r∴ PA·PB=（PO+r）（PO-r）∴ PA·PB=PO²-r²=|PO²-r²|2、点P在圆内如图，点P在⊙O内部，过点P的直线与⊙O相交于A、B两点，连接OP交⊙O于点C，⊙O的半径为r.证明：延长PO交⊙O于C、D两点根据相交弦定理，得：PA·PB=PC·PD∵ PC=OC-PO，PD=PO+OD，OD=OC=r∴ PC=r-PO，PD=PO+r∴ PA·PC=（r-OP）（PO+r）∴ PA·PC=r²-PO²=|PO²-r²|3、当点P在圆上通过以上两种情况的证明可得，PA·PB=|PO²-r²|，那么当P点在圆上时，P、A 两点重合，故PA=0，OP=r，所以PA·PB=0，PO²-r²=0，所以也成立。

托勒密定理定理图定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。

从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．定理的提出一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。

证明一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。

）在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ACD因为△ABE∽△ACD所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)而∠BAC=∠DAE，，∠ACB=∠ADE所以△ABC∽△AED相似.BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因为BE+ED≥BD（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）所以命题得证复数证明用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。

首先注意到复数恒等式：(a − b)(c− d) + (a− d)(b− c) = (a− c)(b− d) ，两边取模，运用三角不等式得。

等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。

四点不限于同一平面。

平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。

二、设ABCD是圆内接四边形。

在弦BC上，圆周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。

在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD；因为∠ABK + ∠CBK =∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。

圆幂定理及其应用之一编者注：本专题本来我打算放到后面写，但是昨天和今天通过考试及学生提问，我发现很多学生对圆幂的概念不清，产生了极大的错误，所以先写一篇概念，以正视听。

“yuan”幂“yang”幂老婆看到这篇文章的标题，第一反应是“杨幂定理”！不过读起来确实有点像，虽然圆幂定理在数学中是很著名的定理，不过在当今中国应该还是没有杨幂的名气大。

言归正传，作为第一篇，本篇主要写关于圆幂的三个概念：点对圆的幂、两圆根轴、三圆根心。

众所周知，如图，半径为r的圆O内相交于E两弦AB、CD，有相交弦定理：AE*BE＝CE*DE=r^2-OE^2,同样对半径为r的圆O外点E，ET为圆切线，EAB、ECD为割线，则有切割线定理[1]：ET^2＝EA*EB＝EC*ED=OE^2- r^2。

为了把他们统一起来，我们引入点E对半径为r的圆O的幂[2] 为：由定义知:E在圆内时，p(E)<>E在圆上时，p(E)=0；E在圆外时，p(E)>0，即为过E的圆的切线长的平方。

从而圆幂的范围为：若过E的任意直线交圆O于A、B两点，则容易证明：圆幂定理：用向量（或者有向线段）的乘积表示圆幂的目的就是为了将切割线定理和相交弦定理中的正负号统一起来。

这里需要特别强调的是：刚开始接触圆幂概念的人会觉得很奇怪，为什么要引入一个负值呢，明明两个线段的乘积为正的，为什么要画蛇添足，引入有向线段的乘积来表示圆幂呢？所以很多竞赛教材都将圆幂定义成这恰恰是画蛇添足！还有些教材觉得加不加绝对值无所谓，都是合理的。

事实上，定义中绝对不能加绝对值！！至于原因，请允许我先买个关子，一会儿讲到根轴的时候再说明。

在解析几何中，点E（a,b）对圆O：的幂，不难用定义得到这样定义圆幂其实更简单明了，就是将点的坐标带入圆的解析式中即可。

对一个圆而言，每个点都有一个圆幂。

下面自然的问题是对两个圆呢？最简单的问题是：对两个圆的幂相等的点轨迹是什么？当然很多人知道这就是所谓的两圆的根轴，是一条与两圆连心线垂直的直线，若两圆相交，根轴即为两圆公共弦。

圆（圆幂定理、根轴，托勒密定理、帕斯卡定理、牛顿定理
Ⅰ、Ⅱ）
一、圆幂定理、根轴
1. 圆幂定理：
圆幂定理为以下三个定理的统称，即
相交弦定理（Ⅰ:AP·PB=CP·PD）
割线定理（Ⅱ：PA·PB=PC·PD）
切割线定理（Ⅲ：PA2=PC·PD）
2. 根轴：
到两圆幂相等的点的集合为一条垂直于两圆圆心连线的直线
且：若两圆相交则根轴为公共弦所在直线
若两圆相切则根轴为公切线
同心圆无根轴
二、几条重要的定理
1. 托勒密定理
凸四边形 ABCD 中有
AC · BD ≥ AB · CD + AD · BC
等号当且仅当四边形 ABCD 是圆内接四边形时成立
2. 帕斯卡定理
圆内接六边形三组对边所在直线交点共线
3. 牛顿定理Ⅰ
圆外切四边形的对角线交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重
合
4. 牛顿定理Ⅱ
圆外切四边形两条对角线中点和该圆圆心，三点共线
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托勒密定理及圆的其它定理托勒密定理定理图定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。

从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．定理提出定理的内容。

摘出并完善后的托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

定理表述：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。

从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．定理内容指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

证明一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。

）在任意凸四边形ABCD中(如右图)，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,连接DE.则△ABE∽△ACD所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD,所以△ABC∽△AED.BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因为BE+ED≥BD（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）复数证明用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。

首先注意到复数恒等式： (a−b)(c−d) + (a−d)(b−c) = (a−c)(b −d) ，两边取模，运用三角不等式得。

平面几何（3）----托勒密定理及应用托勒密定理：圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两对角线的乘积推论1（三弦定理） 如果A 是圆上任意一点，AB ，AC ，AD 是该圆上顺次的三条弦，则sin sin sin AC BAD AB CAD AD CAB ⋅∠=⋅∠+⋅∠推论2（四角定理） 四边形ABCD 内接于O ，则sin sin sin sin sin sin ADC BAD ABD BDC ADB DBC ∠⋅∠=∠⋅∠+∠⋅∠直线上的托勒密定理（或欧拉定理） 若A ，B ，C ，D 为一直线上依次排序的四点，则AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅=⋅四边形中的托勒密定理：设ABCD 为任意凸四边形，则,AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅≥⋅当且仅当A ，B ，C ，D 四点共圆时取等号托勒密定理的逆定理： 在凸四边形ABCD 中，若AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅=⋅，则A ，B ，C ，D 四点共圆例1：在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 的大小成等比数列，且22b a ac -=，则角B 的弧度数等于多少？例2：凸四边形ABCD 中，60,90o o ABC BAD BCD ∠=∠=∠=，AB=2，CD=1，对角线AC ，BD 交于点O ，如图，求sin AOB ∠例3：如图，在锐角ABC 的BC 边上有两点E ，F ，满足,BAE CAF ∠=∠作FM AB ⊥于M ，FN AC ⊥于N ，延长AE 交ABC 的外接圆于点D ，证明：四边形AMDN 与ABC 的面积相等.例4：如图，在ABC 中，60o A ∠=，,AB AC >点O 是外心，两条高BE ，CF 交于H 点，点M ，N 分别在线段BH ，HF 上，且满足BM=CN ，求MH NH OH+的值例5：若有四个圆都与第五个圆内切，第一个与第二个圆的外公切线长用12l 表示，其他前四个圆中的两两的外公切线也用同样的方法来标记，且前四个圆以顺时针的顺序排列，试证明依次以12233441,,,l l l l 为边长，以1324,l l 为对角线所构成的凸四边的四个顶点共圆.例6：经过XOY ∠的平分线上的一点A ，任作一直线与OX 及OY 分别相交于P,Q ，求证：11OP OQ+为定值例7：圆内接六边形ABCDEF 的对角线共点的充要条件是1AB CD EF BC DE FA ⋅⋅=。

圆幂定理三大结论和证明圆幂定理听上去是不是有点高深莫测的样子？但其实一了解，你就会觉得它其实也没那么神秘，甚至有点像一道生活中的小谜题。

要说这定理三大结论，大家可千万别瞧不起它。

它告诉我们一些关于复数和幂运算的奥秘，听起来是不是有点像魔法？没错，圆幂定理就是一种带着“魔法”的数学工具，可以帮我们解开一些复杂的问题。

说实话，它的魅力就在于，这些结论，虽然高大上，但掌握了它，你会发现其实就那么回事。

第一个结论嘛，说的是啥呢？大致上就是你可以把一个复数的幂，转化成一个在圆上的“点”来处理。

就是说，假如你要计算一个复数的幂，完全可以不直接上手做那些枯燥的乘法，而是借助一个简单的图形—圆，去找出那个最终的答案。

想象一下，如果你把复数看作一个在平面上的点，你就会发现，当你给这个点加上幂运算，它就会在圆上转圈，然后停在一个特定的地方。

至于停在哪儿嘛，完全取决于你给它的“角度”是多少，嗯，就是那个复数的幅角。

哎呀，你现在是不是有点眼前一亮？其实就这么简单，这个结论告诉我们：运算其实是“圆”上的一种“旅行”，这旅行的路线就是围绕着一个圆心，走圆的轨迹，直到某个地方才停下来。

第二个结论要说的是，复数的幂次方，其实和我们想的有点不同。

它不是像我们平时算整数的幂那样，只需要反复乘。

而是，复数的幂，或者说，复数的“旋转”有点特殊。

换句话说，复数在进行幂运算时，不单是放大或缩小它的模长，还要改变它的“旋转角度”。

这就有点像什么呢？你原本在平面上画了一个小圆，接下来你不断地旋转这个圆，每次旋转一个固定的角度。

更有趣的是，这个角度的变化竟然是按一定规律变化的。

这就意味着，如果你不断加幂，它的旋转会越来越快，直到它“碰上”某个点，最终再返回到原来的位置。

所以啊，复数的幂次运算，实际上在描述一个非常有节奏感的旋转过程，简直像是在舞蹈一样。

最后一个结论，让我来告诉你一个“穿越时空”的秘密。

复数的幂并不是独一无二的，它还有“多个版本”。

板块1. 圆幂定理例1.如图，AB为圆O的直径，P A为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若P A＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝________；AB＝________.例2 如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点，且与直径CT交于点D，CD=2，AD=3，BD=6，求PB的值．例3自圆O外一点P引圆的一条切线P A，切点为A，M为P A的中点，过点M引圆的割线交圆于B，C两点，且∠BMP＝100°，∠BPC＝40°.求∠MPB的大小．例4 如图，在平行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于点E，且与CD相切，若AB=4，BE=5，求DE的长例5如图所示，已知P A与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.(1)求证：∠P＝∠EDF；(2)求证：CE·EB＝EF·EP；(3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求P A的长．例6 如图，△ABC内接于⊙O，AB是∠O的直径，PA是过A点⊙O的切线，弦CD交AB 于E，CD的延长线交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，，AE：BE=2：3，求AB的长．A BCDEFO O F EDCBAP练习：1．如图，PT 是⊙O 的切线，T 为切点，PB 是⊙O 的割线，交⊙O 于A 、B 两点，交弦CD 于点M ，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，则PT 的长为 ． 2．如图，PAB 、PCD 为⊙O 的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC ：BD= ． 3．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上的一点，CD 是⊙O 的切线，D 为切点，过点B 作⊙O 的切线交CD 于点F ，若AB=CD=2，则CE= ．4. 如图，AB 是O ⊙的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，P 是BA 延长线上 的点，连结PC 交O ⊙ 于F ，如果713PF FC ==，，且::2:4:1PA AE EB =，那么CD 的长是 ．5. 如图，BC 是半圆O ⊙的直径，EF BC ⊥于点F ，5BF FC=．已知点A 在CE的延长线上，AB 与半圆交于D ，且82AB AE ==，，则AD 的长为__________． 6．如图，⊙O 的弦AB 平分半径OC ，交OC 于P 点，已知PA 、PB 的长分别为 方程024122=+-x x 的两根，则此圆的直径为( )A ．28B ．26C ．24D ．22 7．如图，BC 是半圆的直径，O 为圆心，P 是BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AD ⊥BC 于点D ．(1)若∠B=30°，问AB 与AP 是否相等?请说明理由； (2)求证：PD ·PO=PC ·PB ； (3)若BD ：DC=4：l ，且BC ＝10，求PC 的长．8．如图，△ABC 中，∠C=90°，O 为AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 相交于点E ，与AC 相切于点D ，已知AD=2，AE=1，那么BC= ．9．如图，已知A 、B 、C 、D 在同一个圆上，BC=CD ，AC 与BD 交于E ，若AC=8，CD=4，且线段BE 、ED 为正整数，则BD= ．10．如图，P 是半圆O 的直径BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AH ⊥BC 于H ，若PA=1，PB+PC=a (a >2)，则PH=( )A ．a 2 B ．a 1 C ．2a D ．3a11．如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，弦EF 经过BC 的中点D ，且EF ∥AB ，若AB=2，则DE 的长为( )A ．21 B ．215- C ．23D ．1 12．如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，PEC 是一条割线，D 是AB 与PC 的交点，若PE=2，CD=1，求DE 的长．板块2.托勒密定理托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．即：；内接于圆，则有：设四边形BD AC BC AD CD AB ABCD ⋅=⋅+⋅；内接于圆时，等式成立并且当且仅当四边形中，有：定理：在四边形ABCD BDAC BC AD CD AB ABCD ⋅≥⋅+⋅例1． 如图，在△ABC 中，∠A 的平分 线交外接∠圆于D ，连结BD ，求证：AD ·BC=BD(AB ＋AC)．例2． 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2=b(b ＋c)，求证：∠A=2∠B ．例3 在△ABC 中，已知∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶4，例4 若a 、b 、x 、y 是实数，且122=+b a ，122=+y x ．求证：1≤+by ax ．PACDBQ PBC DAQ Q CD D P C D C B A P ∠=∠∠∠求证：，＝，使上取一点之间，在弦、在两点，、圆于。

托勒密定理的证明及应用
托勒密定理：圆的内接四边形中，两条对角线的积等于两组对边乘积之和！
证明过程如下，先作辅助线如下：
具体过程如下：
下面，我们看看使用托勒密定理证明两个重要其他定理：勾股定理和余弦定理
（1）利用托勒密定理证明勾股定理如下：
具体过程为：
（2）利用托勒密定理证明余弦定理
具体过程如下：
是不是感觉很强大呢？
下面我们再来看看使用托勒密定理的其他应用，用题目说话吧：题目一：
添加辅助线如下：
具体证明过程如下：
题目二：
本题直接使用托勒密定理，甚是简洁！
题目三：
附辅助线如下：。

圆幂定理‘-概述说明以及解释1.引言1.1 概述部分：圆幂定理作为几何学中重要的定理之一，其内容涉及到圆和直线之间的关系。

通过圆幂定理，我们可以推导出在圆内或圆外的点与圆的关系，从而解决相关的几何问题。

该定理的基本概念和证明方法将在后续章节进行详细介绍。

圆幂定理在数学研究和实际问题解决中具有重要的应用价值，我们将在文章的后续部分探讨其具体应用案例。

通过本文的学习，读者将对圆幂定理有更深入的理解，从而提升数学知识和解题能力。

1.2 文章结构：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。

在引言部分，首先概述了圆幂定理的基本概念和意义，接着介绍了文章的结构和目的，为读者提供了全文的概览。

在正文部分，将详细阐述圆幂定理的基本概念，包括定义、原理和相关定理等内容；然后介绍圆幂定理的证明方法，探讨其推导过程和逻辑；最后探讨圆幂定理在几何学和其他领域中的应用，展示其在实际问题中的作用和意义。

在结论部分，将对全文进行总结，回顾圆幂定理的重要性和实际应用，同时展望未来对该定理的进一步研究和应用方向。

整个结构清晰，逻辑严谨，希望能为读者提供全面深入的了解和思考。

1.3 目的圆幂定理是几何学中的重要定理之一，它可以帮助我们理解圆的性质和与其他几何图形之间的关系。

本文的目的在于深入探讨圆幂定理的基本概念、证明方法以及应用，以便读者能够更全面地了解这一定理的内容和意义。

通过学习圆幂定理，我们可以更好地解决与圆相关的几何问题，拓展我们的数学思维，提高我们的解题能力。

同时，深入理解圆幂定理还可以为我们之后学习更高级的几何知识打下良好的基础。

除此之外，通过探讨圆幂定理的重要性和应用，我们也可以更好地体会到数学在现实生活中的应用，激发我们对数学的兴趣和热情。

希望本文能够为读者带来启发，并引起他们对数学的思考和探索欲望。

2.正文2.1 圆幂定理的基本概念圆幂定理是几何学中的一项重要定理，它描述了圆与直线之间的关系。

在介绍圆幂定理之前，我们需要了解一些基本概念。

【圆】的七⼤定理，书本上没有，但考试会考！【圆】七⼤定理汇总⼀、垂径定理垂径定理通俗的表达是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。

数学表达为：如右图，直径DC垂直于弦AB，则AE=EB，劣弧AD等于劣弧BD，等弧CAD=优弧CBD。

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

⼀条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件，就可以推出其他三条结论，称为“知⼆推三”。

1.平分弦所对的优弧；2.平分弦所对的劣弧；3.平分弦（不是直径）；4.垂直于弦；5.经过圆⼼⼆、韦达定理韦达定理为解析⼏何中的⼀个定理，说明了⼀元n次⽅程中根和系数之间的关系。

以⼀元⼆次⽅程两根之间的关系为例，⽅程aX²+bX+c=0中，两根X1、X2满⾜X1+X2=-b/a和X1×X2=c/a两个关系。

三、托勒密定理在数学中，托勒密定理是欧⼏⾥得⼏何学中的⼀个关于四边形的定理。

托勒密定理指出凸四边形两组对边乘积之和不⼩于两条对⾓线的乘积，等号当且仅当四边形为圆内接四边形，或退化为直线取得（这时也称为欧拉定理）。

狭义的托勒密定理也可以叙述为：圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对⾓线的乘积。

它的逆定理也是成⽴的：若⼀个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对⾓线的乘积，则这个凸四边形内接于⼀圆。

四、射影定理射影定理是指在直⾓三⾓形中，斜边上的⾼是两条直⾓边在斜边射影的⽐例中项，直⾓边是这条直⾓边在斜边的射影和斜边的⽐例中项，直⾓三⾓形射影定理，⼜称“欧⼏⾥德定理”。

定理内容是：直⾓三⾓形中，斜边上的⾼是两直⾓边在斜边上射影的⽐例中项，每⼀条直⾓边是这条直⾓边在斜边上的射影和斜边的⽐例中项。

五、相交弦定理相交弦定理，是指圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

概念定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

（经过圆内⼀点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）六、切割线定理圆幂定理的⼀种，具体如下：从圆外⼀点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的⽐例中项。

第1 页托勒密定理、婆氏定理——圆中基本模型专题（二）【教学重难点】1．圆中托勒密定理；对角互补模型：旋转视角、托勒密视角2．婆罗摩笈多定理3．例题探究【模块一圆中托勒密定理】古希腊最伟大的天文学家，数学家、天文学家伊巴谷伊巴谷（约公元前（约公元前190年－公元前125年），最早提出了，圆内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，后称圆内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，后称托勒密定理托勒密定理．古罗马著名的天文学家、光学家光学家克罗狄斯·托勒密（约克罗狄斯·托勒密（约90年－168年），从伊巴谷的书中将其摘出并完善．托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质，故从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式．1．基本图形与结论：如图1，当A 、B 、C 、D 四点共圆，则AC ×BD =AB ×DC +AD ×BC ．2．简单证明：在线段BD 上取一点E ，连AE ，使∠AEB =∠ADC ，易得△AEB ∽△ADC ，AC CD AC BE AB CD AB BE =Þ´=´①旋转一拖二得△ABC ∽△AED ，AC BC AC DE BC AD AD DE =Þ´=´②由①＋②得：AC ×（BE ＋DE ）=AC ×BD =AB ×DC ＋AD ×BC ．3．模型识别：具体情境中出现四点共圆，且四点构成的四边形边长、对角线长信息较多，可以尝试用托勒密定理进行计算．※4．广义托勒密定理：对于对于任意凸四边形任意凸四边形ABCD ，则有AC ×BD ≤AB ×DC +AD ×BC ．证明从略···【模块二对角互补模型→旋转视角】1．基本图形与模型识别：如图2，对角互补且一组邻边相等．．．．．．．．．．．的四边形，可通过旋转变换将四边形转化为等腰三角形（等腰思旋转）．2．四类常见对角互补模型：①模型一：等边60°对120°型条件：如图3，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =60°，∠BCD =120°结论：（1）CA 平分∠BCD ；（2）BC +CD =AC ．证明：证明：证明：证明：如图，如图，将将△ACD 绕点A 逆时针旋转60°至△AMB ，使AD ，AB 重合，则△ACD ≌△AMB ，∴∠ADC =∠ABM ，AC =AM ，CD =BM ，∠ACD =∠M ，∵∠BAD =60°，∠BCD =120°，∴∠ABC +∠ADC =180°，第 2 页 ∴∠ABC +∠ABM =180°，∴M ，B ，C 三点共线，三点共线，∵∠MAC =∠BAD =60°，∴△MAC 为等边三角形，为等边三角形，∴MC =AC ，∠M =∠ACD ，∴MB +BC =AC ，∠ACB =∠ACD ，∴CA 平分∠DCB ，CB +CD =AC ．②模型二：等腰直角对直角型②模型二：等腰直角对直角型条件：如图4，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =∠BCD =90°．结论：（1）CA 平分∠DCB ；（2）CB +CD =2AC ．证明：略···③模型三：等腰顶角120°对60°型条件：如图5，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =120°，∠BCD =60°．结论：（1）CA 平分∠BCD ；（2）CB +CD =3AC ．证明：略···证明：略···※④模型四：同侧双直角型※④模型四：同侧双直角型条件：如图6，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =90°，∠BCD =90°．结论：CB －CD =2AC ．证明：略···证明：略···【模块三 对角互补模型→托密视角】1．等腰△三角函数计算：如图7，2cos 2cos BC AB m a a =×=×2．托勒密定理应用：①如图8，对角互补型：，对角互补型：2cos 2cos ma mb c m a b c a a +=××Þ+=×结论：结论：当α=60°时，a ＋b =c当α=45°时，a ＋b =2c当α=30°时，a ＋b =3c※利用角平分线性质也可直接得2cos a b c a +=×②如图9，同侧等角型：，同侧等角型：2cos 2cos a m mb mc c b a a a ××+=Þ-=×结论：结论：当α=45°时，c －b =2a······【模块四婆罗摩笈多定理】婆罗摩笈多（约公元598－约660年）是一位印度数学家和天文学家，他出身于古印度的婆罗门种姓，婆罗门掌管着解释和预言天象的权力，掌握着天文学知识，以及测量和计算天体运行的工具——数学．婆罗摩笈多著有两部关于数学和天文学的书籍，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数及加减法运算仅晚于中国九章算术，而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的．婆罗摩笈多还提出了著名的婆罗摩笈多定理，简称“婆氏定理”．若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．1．简单证明：已知：如图，四边形ABCD内接于圆O，对角线AC⊥BD于点M，ME⊥BC于点E，延长EM交CD 于点F，求证：F是AD中点．证明：∵AC⊥BD，ME⊥BC∴∠CBD=∠CME∵∠CBD=∠CAD，∠CME=∠AMF∴∠CAD=∠AMF∴AF=MF∵∠AMD=90°，同时∠MAD+∠MDA=90°∴∠FMD=∠FDM∴MF=DF，∴AF=DF即F是AD中点．2．婆罗摩笈多逆定理请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，试证明婆罗摩笈多逆定理：（1）如图1，四边形ABCD内接于圆O，对角线AC⊥BD于点M，F为AD中点，连接FM并延长交BC 于点E，求证：ME⊥BC．（2）如图2，△ABC内接于圆O，∠B=30°，∠ACB=45°，AB=2，点D在圆O上，∠BCD=60°，连接AD 交BC于点P，作ON⊥CD于点N，连接并延长NP交AB于点M，求证PM⊥BA，并求PN的长．第3 页第 4 页 3．共顶等腰直模型（婆罗摩笈多模型）已知：如图，两个等腰直角三角形Rt △ABO 和Rt △CDO ，顶点重合，连接AC ，BD ． 结论：结论：①如果F 是AC 中点，那么一定有EF ⊥BD ；②如果EF ⊥BD ，那么一定有F 是AC 中点中点；；③S △BOD =S△AOC ； ④2FO =BD ．证明：（1）法一：（外）弦图构造法，如图1 （2）法二：导角构造→全等构造法，如图2【例1】如图3所示所示,,试证明：上述共顶等腰直模型中①②结论试证明：上述共顶等腰直模型中①②结论．．【例2】如图，向△ABC 的外侧作正方形 ABDE 、ACFG ：（1）过A 作 AH ⊥BC 于H ，AH 与EG 交于M ，求证：①EM = M G MG ，②BC = 2A M AM ． （2）若M 为EG 的中点，求证：AH ⊥BC ．【模块四真题探究】【例3】（改编）如图1，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；的形状，并说明理由；（2）试探究线段P A，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于AB的什么位置时，四边形APBC的面积最大? 求出最大面积．求出最大面积．【例4】（2013·成都中考改编）成都中考改编）如图如图2，A，B，C为⊙O上相邻的三个n等分点，AB BC=，点E在BC上，EF为⊙O的直径，将⊙O沿EF折叠，使点A与A'重合，点B与B'重合，连接EB'，EC，EA'．设EB'=b，EC=c，EA'=p．现探究b，c，p三者的数量关系：发现当n=3时，p=b+c；请继续探究b，c，p三者的数量关系：当n=4时，p=__________；当n=8时，p=__________；当n=12时，p=__________．（参考数据：62sin15=cos75=4-°°，62cos15=sin75=4+°°）第5 页本讲反思：第6 页。