新课标高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题(含答案)

数学选修 2-2 第一章单元测试题一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f ( x) 的定义域为开区间 ( a，b) ，导函数f′(x) 在( a，b) 内的图像如图所示，则函数 f ( x)在开区间( a，b)内有极小值点()A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个1 12．在区间[ 2，2] 上，函数 f ( x)＝x2＋px＋q 与g( x)＝2x＋x2在1同一点处取得相同的最小值，那么f(x)在[2，2]上的最大值是()C．8D．423．点P在曲线y＝x3－x＋3上移动，设点P处的切线的倾斜角为α，则α 的取值范围是( )ππ3A．[0 ，2 ] B．[0 ，2 ] ∪[ 4π，π)3 π 3C．[ 4π，π ) D．[ 2，4π]14．已知函数f ( x) ＝2x4－2x3＋3m，x∈R，若f ( x) ＋9≥0恒成立，则实数 m的取值范围是()3 3A．m≥2 B．m＞23 3C．m≤2 D．m＜2x2 25．函数f ( x) ＝cos x－2cos 2的一个单调增区间是 ()f x 0＋3 －f x 06．设f ( x) 在x＝x0 处可导，且lim Δx＝1，Δx→0则 f ′(x0)等于( )A．1 B．0C．3x＋97．经过原点且与曲线y＝x＋5相切的切线方程为()A．x＋y＝0B．x＋25y＝0C．x＋y＝ 0 或x＋25y＝0D．以上皆非8．函数f ( x) ＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b＜0 时，f ( x) 是()A．增函数B．减函数C．常数D．既不是增函数也不是减函数13 29．若a>2，则方程3x －ax ＋1＝0 在(0,2) 上恰好有 ()A．0 个根B．1 个根C．2 个根D．3 个根1 10．一点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后距离为s＝4t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( )A．1 s 末B．0 sC．4 s 末D．0,1,4 s 末x2，x∈[0，1]，2f(x) d x 等于 () 11．设f ( x) ＝则2－x，x∈ 1，2] ，0D．不存在sin x sin x1 sin x2 12．若函数 f(x) ＝x，且 0<x1<x2 <1，设 a＝x1 ，b＝x2 ，则 a，b 的大小关系是 ( )A．a>b B．a<bC．a＝b D．a、b的大小不能确定二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上 )1 3 213．若 f(x) ＝3x －f ′(1)x ＋x＋5，则 f ′(1) ＝ ________.π π14．已知函数 f(x) 满足 f(x) ＝f( π－x) ，且当 x∈ －2，2 时，f(x) ＝x＋sin x，设a＝f(1) ，b＝f(2) ，c＝f(3) ，则a、b、c 的大小关系是 ________．15．已知函数f(x) 为一次函数，其图像经过点(2,4) ，且1f(x) d x＝3，则函数f(x) 的解析式为________．16．(2010 ·江苏卷) 函数2y＝x(x＞0)的图像在点 2(a k，a k) 处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k∈N*. 若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．三、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 70 分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤 )17．(10 分) 如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．18．(12 分) 已知函数 f(x) ＝x4－4x3＋ax2－1 在区间 [0,1] 上单调递增，在区间 [1,2) 上单调递减．(1)求 a 的值；(2)若点 A(x0，f(x0)) 在函数 f(x) 的图像上，求证：点 A关于直线x＝1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上．19．(12 分) 设 x＝－ 2 与 x＝4 是函数 f(x) ＝x3＋ax2＋bx 的两个极值点．(1)求常数 a，b；(2)试判断 x＝－ 2，x＝ 4 是函数 f(x) 的极大值还是极小值，并说明理由．20．(12 分) 已知 f(x) ＝ax3－6ax2＋b，x∈[ －1,2] 的最大值为 3，最小值为－ 29，求 a，b 的值．21．(12 分)(2010 ·重庆卷 ) 已知函数 f(x) ＝ax3＋x2＋ bx( 其中常数a，b∈R) ，g( x) ＝f ( x) ＋f′(x) 是奇函数．(1)求 f ( x)的表达式；(2)讨论 g( x)的单调性，并求 g( x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．1－x22．(12 分) 已知函数f ( x) ＝ln( ax＋1) ＋1＋x，x≥0，其中a>0.(1)若 f ( x)在 x＝1处取得极值，求 a 的值；(2)求 f ( x)的单调区间；(3)若 f ( x)的最小值为1，求 a 的取值范围．参考答案1.答案 A解析设极值点依次为 x1，x2，x3且 a＜x1＜x2＜x3＜b，则 f ( x) 在( a，x1) ，( x2，x3) 上递增，在 ( x1，x2) ，( x3，b) 上递减，因此，x1、x3是极大值点，只有x2是极小值点．2.答案 D3.答案 B4.答案 A1解析因为函数 f ( x)＝2x4－2x3＋3m，所以 f ′(x)＝2x3－6x2.令 f ′(x)＝0，得 x＝0或 x＝3，经检验知 x＝3是函数的一个最27小值点，所以函数的最小值为 f (3)＝3m－2.不等式 f ( x)＋9≥0恒成27 3立，即 f ( x)≥－9恒成立，所以3m－2≥－9，解得 m≥2.5.答案 A解析 f ( x)＝cos2x－cos x－1，∴f′(x)＝－2sin x·cos x＋sin x＝sin x·(1－2cos x)．令 f ′(x)>0，结合选项，选A.6. 答案 D7. 答案 D8. 答案 A9. 答案 B解析 1 3 2设 f ( x ) ＝3x －ax ＋1，则2f ′(x )＝x －2ax ＝x ( x －2a ) ，当 x ∈(0,2) 时， f ′(x )<0，f ( x ) 在(0,2) 上为减函数，又 f (0) f (2) ＝8 111 3－4a ＋1 ＝ 3 －4a <0，f ( x ) ＝0 在(0,2) 上恰好有一个根，故选 B.10. 答案 D11. 答案 C解析 数形结合，如图．2f(x) d x ＝ 1x 2d x ＋ 2(2 －x) d x0 11 3 11 22＝ 3x＋ 2x －2x11 1＝ 3＋(4 －2－2＋2)5＝ 6，故选 C .12. 答案Af ′(x) ＝x cos x －sin x解析 x 2， 令 g(x) ＝x cos x －sin x ，则g ′(x) ＝－ x sin x ＋cos x －cos x ＝－ x sin x.∵0<x<1，∴ g ′(x)<0 ，即函数 g(x) 在 (0,1) 上是减函数，得 g(x)<g(0) ＝0，故 f ′(x)<0 ，函数 f(x) 在(0,1) 上是减函数，得 a>b ，故选A .213. 答案 32 2解析 f ′(x) ＝ x －2f ′(1)x ＋ 1，令 x＝1，得 f ′(1) ＝3.14. 答案 c<a<b解析f(2) ＝ f( π－2) ， f(3) ＝ f( π－ 3) ，因为 f ′(x) ＝ 1＋π ππcos x≥0，故f(x)在－2，2上是增函数，∵2 >π－2>1>π－3>0，∴f( π－2)>f(1)>f( π－3) ，即 c<a<b.2815.答案 f(x) ＝3x＋3解析设函数 f(x) ＝ax＋b(a ≠0) ，因为函数 f(x) 的图像过点(2,4) ，所以有 b＝4－2a.∴1 f(x) d x＝ 1 (ax ＋4－2a) d x0 01 2 1 1＝[ ax ＋(4 －2a)x] | 0＝a＋4－2a＝1.2 22 8 2 8∴a＝3. ∴b＝3. ∴f(x) ＝3x＋3.16. 答案21解析2 2∵y′＝2x，∴过点( a k，a k)处的切线方程为y－a k＝2a k( x1－a k)，又该切线与 x 轴的交点为( a k＋1,0)，所以 a k＋1＝2a k，即数列{ a k}1是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝2，∴ a3＝4，a5＝1，∴ a1＋a3 ＋a5＝21.17. 解析抛物线 y ＝x －x 2 与 x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与 x 轴所围图形面积 S ＝ 12) d x ＝x 2 x 3 11 (x －x 2 －3 0＝2－1 13＝6.y ＝x －x 2，又 由此可得抛物线 y ＝x －x 2 与 y ＝kx 两交点的横y ＝kx ，S－ 2 x 3 －坐标 x 3＝ ， 4＝ － ，所以 ＝ 1-k (x － x 2 kx) d x ＝1 k x － 1k －0 x 1 k 2 02313＝6(1 －k) .3又 S ＝ ，所以 (1 －k) 3＝1，∴ k ＝1－ 4.622118. 解析 (1) 由函数 f(x) ＝x4－4x3＋ax2－1 在区间 [0,1] 单调递增，在区间 [1,2) 单调递减，∴x ＝1 时，取得极大值，∴ f ′(1) ＝ 0.又 f ′(x) ＝ 4x3－12x2＋2ax ，∴4－12＋2a ＝ 0? a ＝ 4.(2) 点 A(x0，f(x0)) 关于直线 x ＝1 的对称点 B 的坐标为 (2 －x0， f(x0)) ，f(2 －x0) ＝(2 －x0)4 －4(2 －x0)3 ＋4(2 －x0)2 －1＝ (2 －x0)2[(2 －x0) －2]2 －1＝ x 40－4x30＋ ax20－ 1＝f(x0) ，∴A 关于直线 x ＝1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上．19.解析 f ′(x) ＝3x2＋2ax＋b.(1) 由极值点的必要条件可知：12－4a＋b＝0，f ′( － 2) ＝f ′(4) ＝ 0，即48＋8a＋b＝0，解得 a＝－ 3，b＝－ 24.或f ′(x) ＝ 3x2＋2ax＋b＝3(x ＋2)(x －4)＝3x2－6x－24，也可得 a＝－ 3，b＝－ 24.(2) 由 f ′(x) ＝ 3(x ＋2)(x －4) ．当 x＜－ 2 时， f ′(x) ＞ 0，当－ 2＜x＜4 时， f ′(x) ＜ 0. ∴x＝－ 2 是极大值点，而当x＞4 时， f ′(x) ＞ 0，∴x＝4 是极小值点．20.解析 a≠0( 否则 f(x) ＝b 与题设矛盾 ) ，由f ′(x) ＝ 3ax2－12ax＝0 及 x∈[ － 1,2] ，得 x＝0. (1) 当 a＞0 时，列表：x ( －1,0) 0 (0,2)f ′(x) ＋0 －f(x) 增极大值 b 减由上表知， f(x) 在[ － 1,0] 上是增函数，f(x) 在[0,2] 上是减函数．则当 x＝0 时， f(x) 有最大值，从而b＝3.又f( －1) ＝－ 7a＋3，f(2) ＝－ 16a＋3，∵a＞0，∴ f( －1) ＞f(2) ．从而 f(2) ＝－ 16a＋3＝－ 29，得a＝2.(2)当 a＜0 时，用类似的方法可判断当 x＝0 时 f(x) 有最小值．当x＝2 时， f(x) 有最大值．从而 f(0) ＝b＝－ 29, f(2)＝－16a－29＝3，得a＝－ 2.综上， a＝ 2，b＝3 或 a＝－ 2，b＝－ 29.21.解析 (1) 由题意得f′(x) ＝ 3ax2＋2x＋b. 因此g( x) ＝f ( x) ＋f′(x)＝ax3＋(3 a＋1) x2＋( b＋2) x＋b.因为函数 g( x)是奇函数，所以g(－x)＝－ g( x)，即对任意实数x，有 a(－ x)3＋(3 a＋1)(－x)2＋( b ＋2)( －x) ＋b＝－ [ ax3＋(3 a＋1) x2＋( b＋2) x＋b] ，从而 3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－1，b＝0，因此f ( x) 的解析式为f ( x) ＝－x3＋x2. 331(2)由(1) 知g( x) ＝－1x3＋2x，所以g′(x) ＝－x2＋2. 3令g′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2，则当x<－2或x> 2时，g′(x)<0，从而 g( x)在区间(－∞，－2]，[ 2，＋∞)上是减函数；当－ 2<x< 2时，g′(x)>0 ，从而g( x) 在[ － 2， 2] 上是增函数．由前面讨论知， g( x)在区间[1,2] 上的最大值与最小值只能在x＝1，2，2 时取得，而g(1)5＝3，g( 2) ＝4 23，g(2)4＝3. 因此g( x)在区间 [1,2] 上的最大值为g( 2) ＝4 2，最小值为3g(2)4＝3.22. 分析解答本题，应先正确求出函数 f ( x)的导数f ′(x)，再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解，并注意在定义域范围内求解．a 2 ax2＋a－2解析 (1) f′(x) ＝ax＋1－1＋x 2＝ax＋1 1＋x 2，∵f ( x)在 x＝1处取得极值，2∴f ′(1)＝0，即 a·1＋a－2＝0，解得 a＝1.(2) f′(x) ＝ax2＋a－22，ax＋1 1＋x∵x≥0， a>0，∴ ax＋1>0.①当 a≥2时，在区间[0，＋∞)上， f ′(x)>0，∴f( x)的单调增区间为[0，＋∞)．②当 0<a<2 时，由 f ′(x)>0，解得 x> 2－a a.由 f ′(x)<0，解得 x< 2－a a.∴f ( x)的单调减区间为(0, 2－a 2－a a ) ，单调增区间为 ( a，＋∞ ) ．(3) 当a≥2时，由 (2) ①知，f ( x) 的最小值为f (0) ＝1；当 0<a<2，由 (2) ②知，f ( x) 在x＝2－aa 处取得最小值，且2－af ( a )< f (0) ＝1.综上可知，若 f ( x)的最小值为1，则 a 的取值范围是[2，＋∞)．。

（数学选修2-2） 第一章 导数及其应用一、选择题1．若()sin cos f x x α=-；则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+D ．2sin α2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限；则函数'()f x 的图象是（ ）3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数；则实数a 的取值范围是（ ）A ．),3[]3,(+∞--∞B ．]3,3[-C ．),3()3,(+∞--∞D ．)3,3(-4．对于R 上可导的任意函数()f x ；若满足'(1)()0x f x -≥；则必有（ ）A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C.(0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +>5．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直；则l 的方程为（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ；导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示； 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）abxy)(x f y ?=OA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题1．若函数2f xx x c 在2x =处有极大值；则常数c 的值为_________；2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。

3．设函数())(0)f x ϕϕπ=+<<；若()()f x f x '+为奇函数；则ϕ=__________ 4．设321()252f x x x x =--+；当]2,1[-∈x 时；()f x m <恒成立；则实数m 的 取值范围为 。

数学选修2-2第一章导数及其应用1．一质点的运动方程是253s t =-，则在一段时间[11]t +∆，内相应的平均速度为（ ） Ａ．3()6t ∆+ Ｂ．3()6t -∆+ Ｃ．3()6t ∆- Ｄ．3()6t -∆-2．下列说法正确的是（ ）Ａ．函数的极大值就是最大值 Ｂ．函数的极小值就是函数的最小值 Ｃ．函数的最值一定是极值 Ｄ．闭区间上的连续函数一定存在最值3．抛物线214y x =在点(21)Q ，处的切线方程（ ） Ａ．10x y -++= Ｂ．30x y +-= Ｃ．10x y -+= Ｄ．10x y +-=4．设21()(1)f x x =-，则(0)f '等于（ ） Ａ．2-Ｂ．1- Ｃ．1 Ｄ．25．0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件 (D ）非充分非必要条件6．曲线y=x 3+x-2 在点P 0处的切线平行于直线y=4x ，则点P 0的坐标是（ ） A ．(0,1) B.(1,0) C.(-1,-4)或（1,0） D.(-1,-4)7．函数y=2x 3-3x 2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A .5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -168．已知201()212x x f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩，，，， ≤≤ ≤则20()f x dx =⎰（ ）Ａ．56 Ｂ．76 Ｃ．43 Ｄ．53 9．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是（ ）10．设313y x ax c =-+在()-+，∞∞上单调递增，则（ ） Ａ．0a <且0c = Ｂ．0a >且c 是任意实数 Ｃ．0a <且c 是任意实数 Ｄ．0a <且0c ≠11．从边长为10cm 16cm ⨯的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为（ ） Ａ．312cmＢ．372cmＣ．3144cmＤ．3160cm12．如图，由曲线32y x x =-与2y x =所围图形的面积为（ ） Ａ．512Ｂ．3712Ｃ．94 Ｄ．8313．若对于任意x ，有3()4(1)1f x x f '==-，，则此函数解析式为 ． 14.函数32x x y -=的单调增区间为 ，单调减区间为__________________； 15.函数()323922y x x x x =---<<有极大值 ，极小值 ；16.若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于 ；17、已知3)2(3123++++=x b bx x y 是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是 18.设321()252f x x x x =--+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为 ； 19．计算下列定积分。

【高二】选修2 2第一章导数及其应用测试题及答案【高二】选修2-2第一章导数及其应用测试题及答案（数学选修2-2）第一章导数及其应用一、1.如果是，则等于（）a．b．c．d．2.如果函数图像的顶点位于第四象限，则函数图像为（）3．已知函数在上是单调函数,则实数的值范围为（）a．b．c、 d。

4．对于上可导的任意函数，若满足，则必有（）a、 b。

c.d.5.如果曲线的一条切线与直线垂直，则方程为（）a．b．c．d．6.函数的定义域是一个开区间，包含导数函数的图像如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）a、一个b．个c、一个d．个2、头衔1．若函数在处有极大值，则常数的值为_________；2.函数的单调递增区间为。

3．设函数，若为奇函数，则=__________4.假设此时常数成立，则实数为取值范围为。

5.对于正整数，将切线与曲线处轴的交点的纵坐标设置为数列的前项和的公式是三、回答问题1．求函数的导数。

2.找到函数的值范围。

3．已知函数在与时都取得极值（1）函数的值与单调区间(2)若对，不等式恒成立，求的取值范围。

4.已知是否有实数满足以下两个条件：（1）它是上的减函数和上的增函数；（2）的最小值是，如果存在，找到它，如果不存在，解释原因（数学选修2-2）第一章导数及其应用参考答案一、ww1.a2．a对称轴，直线过第一、三、四象限3.B成立于横城，4．c当时，，函数在上是增函数；当时，，在上是减函数，故当时取得最小值，即有不得不5．a与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为，而，所以在处导数为，此点的切线为6.A最小值点应先减小后增大，即二、题1.在以下情况下取最小值：2．对于任何实数都成立3．要使为奇函数，需且仅需，即：。

再一次，所以只能如此。

4．时，5．，令，求出切线与轴交点的纵坐标为，所以，则数列的前项和三、回答问题1．解：。

2．解：函数的定义域为，在那个时候，也就是函数的增加间隔，在那个时候，所以值域为。

新课改高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题（时间120分钟，分值150分）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上)1．设xx y sin 12-=，则='y （ ）．A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2---B ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2-+-C ．x x x x sin )1(sin 22-+-D ．xx x x sin )1(sin 22---2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）．A ．54 B ．52 C ．51 D ．53 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3)(32lim3--→x x f x x 的值为（ ）．A ．4-B ．0C ．8D ．不存在 4．曲线3x y =在点)8,2(处的切线方程为（ ）．A ．126-=x yB ．1612-=x yC ．108+=x yD ．322-=x y5．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1=x ，2=x 时取得极值，则21x x ⋅的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．不确定 6．在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22131)(23，当)1,0(∈x 取得极大值，当)2,1(∈x 取得极小值，则12--a b 的取值范围是（ ）． A ．)1,41( B ．)1,21( C ．)41,21(- D ．)21,21(-27．函数)cos (sin 21)(x x e x f x +=在区间]2,0[π的值域为（ ）． A ．]21,21[2πe B ．)21,21(2πe C ．],1[2πe D ．),1(2πe8．积分=-⎰-aadx x a 22（ ）． A ．241a π B ．221a πC ．2a πD ．22a π9．由双曲线12222=-by a x ，直线b y b y -==,围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为（ ）A ．238ab π B ．b a 238π C ．b a 234π D ．234ab π 10．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）． A ．18B ．338C ．316 D ．1611．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（ ）． Ａ．3V Ｂ．32V Ｃ．34V D ．32V 12．某人要剪一个如图所示的实心纸花瓣，纸花瓣的边界 由六段全等的正弦曲线弧)0(sin π≤≤=x x y 组成，其中 曲线的六个交点正好是一个正六边形的六个顶点，则这个 纸花瓣的面积为（ ）． A ．2336π+ B ．223312π+ C ．26π+ D ．22336π+第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每小题4分，共16分。

新课标高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题(含答案)案场各岗位服务流程销售大厅服务岗：1、销售大厅服务岗岗位职责：1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品;2)保持销售区域台面整洁;3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等;4)收集客户意见、建议及现场问题点；2、销售大厅服务岗工作及服务流程阶段工作及服务流程班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。

班中工作程序服务流程行为规范迎接指引递阅资料上饮品（糕点）添加茶水工作1）眼神关注客人，当客人距3米距离侯客迎询问客户送客户要求注意事项时，应主动跨出自己的位置迎宾，然后15度鞠躬微笑问候：“您好！欢迎光临！”2）在客人前方1-2米距离领位，指引请客人向休息区，在客人入座后问客人对座位是否满意：“您好！请问坐这儿可以吗？”得到同意后为客人拉椅入座“好的，请入座！”3）若客人无置业顾问陪同，可询问：请问您有专属的置业顾问吗？，为客人取阅项目资料，并礼貌的告知请客人稍等，置业顾问会很快过来介绍，同时请置业顾问关注该客人；4）问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好，这里是XX销售中心，这边请”5）问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好6）关注客人物品，如物品较多，则主动询问是否需要帮助（如拾到物品须两名人员在场方能打开，提示客人注意贵重物品）；7）在满座位的情况下，须先向客人致歉，在请其到沙盘区进行观摩稍作等待；阶段工作及服务流程班中工作程序工作要求注意事项饮料（糕点服务）1）在所有饮料（糕点）服务中必须使用托盘；2）所有饮料服务均已“对不起，打扰一下，请问您需要什么饮品”为起始；3）服务方向：从客人的右面服务；4）当客人的饮料杯中只剩三分之一时，必须询问客人是否需要再添一杯，在二次服务中特别注意瓶口绝对不可以与客人使用的杯子接触；5）在客人再次需要饮料时必须更换杯子；下班程序1）检查使用的工具及销售案场物资情况，异常情况及时记录并报告上级领导；2）填写物资领用申请表并整理客户意见；3）参加班后总结会；4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班；1.3.3.3吧台服务岗1.3.3.3.1吧台服务岗岗位职责1）为来访的客人提供全程的休息及饮品服务；2）保持吧台区域的整洁；3)饮品使用的器皿必须消毒；4）及时补充吧台物资；5）收集客户意见、建议及问题点；1.3.3.3.2吧台服务岗工作及流程阶段工作及服务流程班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。

目录：数学选修2-2第一章 导数及其应用 [基础训练A 组] 第一章 导数及其应用 [综合训练B 组] 第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 第二章 推理与证明 [基础训练A 组] 第二章 推理与证明 [综合训练B 组]第二章 推理与证明 [提高训练C 组] 第三章 复数 [基础训练A 组] 第三章 复数 [综合训练B 组]第三章 复数 [提高训练C 组]（数学选修2-2）第一章 导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3yx x 的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

新课标⾼⼆数学选修2-2第⼀章导数及其应⽤测试题（含答案）新课改⾼⼆数学选修2-2第⼀章导数及其应⽤测试题第Ⅰ卷（选择题，共40分）⼀、选择题(本⼤题共10⼩题，每⼩题4分，共40分)1．设xx y sin 12-=，则='y （）．A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2---B ．xx x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．xx x x sin )1(sin 22---2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （）．A ．54 B ．52 C ．51 D ．53 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3)(32lim3--→x x f x x 的值为（）．A ．4-B ．0C ．8D ．不存在 4．曲线3x y =在点)8,2(处的切线⽅程为（）．A ．126-=x yB ．1612-=x yC ．108+=x yD ．322-=x y 5.满⾜()()f x f x '=的函数是A . f (x )＝1－x B. f (x )＝x C . f (x )＝0D . f (x )＝16.曲线34y x x =-在点（－1，－3）处的切线⽅程是A . 74y x =+ B. 72y x =+ C. 4y x =- D. 2y x =-7.若关于x 的函数2m n y mx -=的导数为4y x '=,则m n +的值为 A. -4 B. 1- C. D . 48.设ln y x x =-，则此函数在区间(0,1)内为A ．单调递增， B.有增有减 C.单调递减， D.不确定 9．函数3()31f x x x =-+在闭区间[-3，0]上的最⼤值、最⼩值分别是A . 1，－1 B. 3，-17 C. 1，－17 D. 9，－1910.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所⽰，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极⼩值点 A 1个B 2个C 3个D 4个第Ⅱ卷（⾮选择题，共60分）⼆、填空题（每⼩题5分，共15分。

第一章本章达标测评一、单选题1．一个物体的运动方程为s(t)= 1-t+t ²，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在4秒末的瞬时速度是 ( ) A ．5米／秒 B.6米／秒 C ．7米／秒 D ．8米／秒 2．下列求导运算正确的是 ( ) A ．B ．C ．(χ²cos χ)’=-2χsin χD ．3．已知函数f(χ)=2In 3χ+8χ+1，则值为 ( )A.10 B ．-10 C.-20 D ．20 4．若，则实数a 等于 ( )A.-1B.1 C ． D ． 5．已知函数,χ∈R ，若f(χ)+9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．B ． C.D ．6．已知函数为偶函数，若曲线y=f(χ)的一条切线的斜率为，则切点的横坐标等于 ( )χχ=)'n 11(1)'e (+=x e x x 211)'1(x x x -=+xf x f oim∆-∆-→∆)1()21(l χ⎰=+2π02)cos (sin dx x a x 3-3mx x x f 332421)(+-=23≥m 23>m 23≤m 23<m x ae x e x f -+=)(23A ．In 2B ．21n 2C ．2D ． 7．已知函数是函数的导函数，则的图象大致是 ( )8．若曲线y=In （χ+a ）的一条切线为y=e χ+b ，其中a ，b 为正实数，则的取值范围是 ( )A ．B ． C. D ．[2，e)9．若函数χ在(1，+∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是( )A.(1,+∞)B.[1,+∞)C.(-∞ ,1)D.(-∞,1] 10.若a>2，则方程在(0，2)上恰好有 ( )A ．0个根B ．1个根C ．2个根D ．3个根2xf x x x f ',cos 241)(+=)(x f )('x f 2++b ea ),22(+∞+ee [)+∞,e [)+∞,2na x x f 1221)(-=012331=+-ax x11.若函数，且0<χ₁<χ₂<1，设，，则a,b 的大小关系是( )A ．a>bB ．a<bC ．a=bD ．a 、b 的大小不能确定12．设函数f ’(χ)是函数f(χ)(χ∈ R)的导函数，若f(χ)-f( -χ)= 2χ³，且当x>0时，f ’(χ)>3χ²，则不等式f(χ)-f(χ-1)>3χ²-3χ+1的解集为 ( )A ．(-∞,2)B ．C ．D ．（2，+∞）二．填空题13．若曲线y=a χ²-1n(x+1)在点(1，b)处的切线平行于x 轴，则a=____． 14.定义1：若函数f(χ)在区间D 上可导，即f ’(χ)存在，且导函数f ’(χ)在区间D 上也可导，则称函数f(χ)在区间D 上存在二阶导数，记作f ’(χ)，即f ’(χ)=[f ’(χ)]’．定义2：若函数f(χ)在区间D 上的二阶导数恒为正，即f ’(χ)>0恒成立，则称函数f(χ)在区间D 上为凹函数． 已知函数f(χ)=χ³-+1在区间D 上为凹函数，则χ的取值范围是_________ ．15.要数一个圆锥形漏斗，其母线的长为20 cm ，要使体积最大，则高为____． 16.函数y=χ²(χ>0)的图象在点（，a ）处的切线与χ轴的交点的横坐标为，其中k ∈N*，若a ₁=16，则a ₁+a ₃+a ₅，的值是_______三．解答题x x x f sin )(=11sin xx a =22sin x x b =),21(+∞)21,(-∞223x k a2k1+k a17．已知函数．(1)求函数在区间[1，e]上的最大值、最小值；(2)求证：在区间[1，+∞）上，函数的图象在函数的图象的下方.18.设函数=(1)讨论函数的单调性；(2)若函数在区间（-1，1）内单调递增，求k 的取值范围．19.已知函数=χIn χ，g （χ）=（-χ²+a χ-3）(a 为实数)． (1)当a=5时，求函数y=g （χ）的图象在χ=1处的切线方程；(2)若关于x 的方程g(χ)=在上有两个不相等的实数根，求实数anxx x f 1221)(+=)(x f )(x f 332)(x x g =)(x f )0(≠k kx xe )(x f )(x f )(x f xe )(2xf x e ⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1的取值范围．20.设=xIn χ-a χ²+（2a-1）χ，a ∈R ． (1)令g （χ）=，讨论g(χ)的单调性；(2)已知在χ=1处取得极大值，求实数a 的取值范围.21.经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经成为整个电商行业的大型集体促销盛宴，为庆祝“双十一”网购狂欢节，某厂商决定对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P （万件）与促销费用菇（万元）满足（其中0<χ≤a ，a 为正常数）．已知生产该批产品P 万件还需投入成本( 10+2P)万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元／件，假定厂)(x f )('x f )(x f 123+-=x p )204(p+家的生产能力完全能满足市场的销售需求．(1)将该产品的利润，y （万元）表示为关于促销费用χ（万元）的函数; (2)促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？22.已知函数=χ³+（1-a ）χ²-a(a+2)x+b ，a ，b ∈R. (1)若函数在区间（-1，1）上不单调，求a 的取值范围； (2)令，若对任意χ₁∈[-1,1]，存在χ₂∈[0，2]，使得f ’(χ₁) +2aχ₁=g(χ₂)成立，求a 的取值范围．第一章本章达标测评 一、选择题1．C 由题知s ’(t)= - 1+2t ’s ’(4)=7，故选C ．2．DA 项，;)(x f )(x f 31619)(-=x x g 2)1(1)'11(nx x nx -=B 项，C 项，D 正确，故选D ． 3．C，,故选C ．4.B ,=0-（-1）+a=2，a=1，故选B ．5.A,f ’(χ)=2χ³-6χ²，令，f ’(χ)=0，得χ=0或χ=3． 易知χ=3是函数的最小值点，所以函数f(χ)的最小值为f( 3)= 3m-．因为不等式f(χ)+9≥0恒成立，即f(χ)≥-9恒成立，所以3m-≥-9，解得m ≥，故选A ．6．A 因为f(χ)是偶函数，所以f(χ)=f(-x ），即 ，解得a=1．所以f(χ)=，所以f ’(χ)=，设切点的横坐标为χₒ，则.设t=，则，解得t=2，即，所以χₒ=In 2，故选A ．x xe x e x xe +=)'(x x x x x x sin 2cos 2)'cos 2(-=836)('+=x x f 20)1('22)1()21(0lim 2)1()21(0lim-=-∆--∆-→∆-=∆-∆-→∆f x f x f x x f x f x ⎰=+202)cos (sin πdx x a x 2020sin 2020)cos (cos sin ππππ⎰⎰+-=+xa x xds a xdx 22722723)(x ae x ae x e --+-+x e x e -+x e x e --230)0('0=--=x e x e x f )0(0>t x e 231==t t 20=x e7．A 由于f(χ)=，f ’(χ)= ,f ’(-χ)=-f ’(χ),故f ’(χ)为奇函数，其图象关于原点对称， 排除B 和D ，又当时，排除C ．故选A ．8.C 由题意得，设切点为（χₒ，y ₒ），则有解得b=ae-2，b>0,,，当且仅当a=1时，等号成立，故选C ．9．D 由题意知f ’(χ)=。

x 2 + 1 1 高二数学选修 2-2 导数及其应用测试题一、 选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上)1 - x2 1. 设 y = sin x，则 y ' = （）．- 2x sin x - (1 - x 2 ) cos xA ．sin 2x - 2x sin x + (1 - x 2 )-2x sin x + (1 - x 2 ) cos xB ．sin 2 x - 2x sin x - (1 - x 2 )C.D ．sin xsin x2．设 f (x ) = ln ，则 f '(2) = （ ）．4 2 13 A.B ．C ．D ．55552x - 3 f (x ) 3．已知 f (3) = 2, f '(3) = -2 ，则limx →3x - 3的值为（ ）．A. - 4B. 0C ． 8D ．不存在4. 曲线 y = x 3 在点(2,8) 处的切线方程为（ ）．A ． y = 6x - 12 C ． y = 8x + 10B ． y = 12x - 16 D ． y = 2x - 325. 已知函数 f (x ) = ax 3 + bx 2+ cx + d 的图象与 x 轴有三个不同交点(0,0),(x ,0)， (x ,0) ，且 f (x ) 在 x = 1， x = 2 时取得极值，则 x 1 ⋅ x 2 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．不确定6. 在 R 上的可导函数 f (x ) =1 x 3 + 1 ax 2+ 2bx + c ，当 x ∈ (0,1) 取得极大值，当 x ∈ (1,2) 3 2b - 2取得极小值，则的取值范围是（ ）．a - 1A. ( 1 4,1)B. ( 1 2,1)C. (- 1 , 1 )2 4D. (- 1 , 1 )2 27.函数 f (x ) = 1 e x(sin x + cos x ) 在区间 2 [0, ]的值域为（ ）．2A ．[ 1, 2 1e 2 ]2B ． ( 1 , 1 2 2e 2 )C ．[1, e 2 ]D ． (1, e 2)23 4V a42 n8.积分⎰-a a 2-x2dx=（）．A.1a24x 2 y 2B.1a22C.a2D.2a29.由双曲线-a 2b 2积为（）= 1，直线y =b, y =-b 围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体A.8ab23B.8a2b3C.4a2b3D.4ab2310.由抛物线y 2= 2x 与直线y =x - 4 所围成的图形的面积是（）．38 16A．18 B．C．D ．163 311.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（）．Ａ．3V Ｂ．32V Ｃ．D．23V12.某人要剪一个如图所示的实心纸花瓣，纸花瓣的边界由六段全等的正弦曲线弧y = sin x(0 ≤x ≤) 组成，其中曲线的六个交点正好是一个正六边形的六个顶点，则这个纸花瓣的面积为（）．A．6 + 3 32B．12 +3 3 22C．6+2D．6 +3 3 22第Ⅱ卷（非选择题，共90 分）二、填空题（每小题4 分，共16 分。

目录：数学选修2-2第一章 导数及其应用 [基础训练A 组] 第一章 导数及其应用 [综合训练B 组] 第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 第二章 推理与证明 [基础训练A 组] 第二章 推理与证明 [综合训练B 组]第二章 推理与证明 [提高训练C 组] 第三章 复数 [基础训练A 组] 第三章 复数 [综合训练B 组]第三章 复数 [提高训练C 组]（数学选修2-2）第一章 导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3yx x 的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

第一章导数及其应用综合检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2010·全国Ⅱ文，7)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( ) A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1[答案] A[解析] y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1，将(0，b)代入切线方程得b＝1.2．一物体的运动方程为s＝2t sin t＋t，则它的速度方程为( )A．v＝2sin t＋2t cos t＋1B．v＝2sin t＋2t cos tC．v＝2sin tD．v＝2sin t＋2cos t＋1[答案] A[解析] 因为变速运动在t0的瞬时速度就是路程函数y＝s(t)在t0的导数，S′＝2sin t＋2t cos t＋1，故选A.3．曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率是( )A．4B．5C．6D．7[答案] D[解析] 由导数的几何意义知，曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率就是函数y＝x2＋3x在x ＝2时的导数，y′|x＝2＝7，故选D.4．函数y＝x|x(x－3)|＋1( )A．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝1B．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1C．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝f(3)＝1D．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1，f(－1)＝－3[答案] B[解析] y ＝x |x (x －3)|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x 2＋1 (x <0或x >3)－x 3＋3x 2＋1 (0≤x ≤3) ∴y ′＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－6x (x <0或x >3)－3x 2＋6x (0≤x ≤3)x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0,2) 2 (2,3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋＋－＋f (x )无极值极大值5极小值1极大极小故应选B.5．(2009·安徽理，9)已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝xC ．y ＝3x －2D ．y ＝－2x ＋3 [答案] A[解析] 本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式． ∵f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8， ∴f (2－x )＝2f (x )－x 2－4x ＋4， ∴f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2，切线方程为y －1＝2(x －1)，∴y ＝2x －1. 6．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 [答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3， ∵f (x )在x ＝－3时取得极值， ∴x ＝－3是方程3x 2＋2ax ＋3＝0的根， ∴a ＝5，故选D.7．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数．当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是( )A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)[答案] D[解析] 令F(x)＝f(x)·g(x)，易知F(x)为奇函数，又当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，即F′(x)>0，知F(x)在(－∞，0)内单调递增，又F(x)为奇函数，所以F(x)在(0，＋∞)内也单调递增，且由奇函数知f(0)＝0，∴F(0)＝0.又由g(－3)＝0，知g(3)＝0∴F(－3)＝0，进而F(3)＝0于是F(x)＝f(x)g(x)的大致图象如图所示∴F(x)＝f(x)·g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)，故应选D.8．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( )A．①②B．③④C．①③D．①④[答案] B[解析] ③不正确；导函数过原点，但三次函数在x＝0不存在极值；④不正确；三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负．故应选B.9．(2010·湖南理，5)⎠⎛241xd x 等于( )A ．－2ln2B ．2ln2C ．－ln2D ．ln2 [答案] D[解析] 因为(ln x )′＝1x，所以 ⎠⎛241xdx ＝ln x |42＝ln4－ln2＝ln2.10．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．以上皆不正确 [答案] D[解析] f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7，由题意得x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0恒成立，∴Δ＝4(4m －1)2－4(15m 2－2m －7) ＝64m 2－32m ＋4－60m 2＋8m ＋28 ＝4(m 2－6m ＋8)≤0， ∴2≤m ≤4，故选D.11．已知f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，那么b ＋c ( ) A ．有最大值152B ．有最大值－152C ．有最小值152D ．有最小值－152[答案] B[解析] 由题意f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c 在[－1,2]上，f ′(x )≤0恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)≤0f ′(2)≤0即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c －3≥04b ＋c ＋12≤0令b ＋c ＝z ，b ＝－c ＋z ，如图 过A ⎝⎛⎭⎪⎫－6，－32得z 最大， 最大值为b ＋c ＝－6－32＝－152.故应选B.12．设f (x )、g (x )是定义域为R 的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (x ) [答案] C [解析] 令F (x )＝f (x )g (x )则F ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )<0f (x )、g (x )是定义域为R 恒大于零的实数∴F (x )在R 上为递减函数， 当x ∈(a ，b )时，f (x )g (x )>f (b )g (b )∴f (x )g (b )>f (b )g (x )．故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13.⎠⎛－2－1d x(11＋5x )3＝________.[答案]772[解析] 取F (x )＝－110(5x ＋11)2，从而F ′(x )＝1(11＋5x )3则⎠⎛－2－1d x(11＋5x )3＝F (－1)－F (－2) ＝－110×62＋110×12＝110－1360＝772.14．若函数f (x )＝ax 2－1x的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．[答案] a ≥0[解析] f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －1x ′＝a ＋1x2，由题意得，a ＋1x2≥0，对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥－1x2，x ∈(0，＋∞)恒成立，∴a ≥0.15．(2009·陕西理，16)设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．[答案] －2[解析] 本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质．k ＝y ′|x ＝1＝n ＋1，∴切线l ：y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，x ＝n n ＋1，∴a n ＝lg nn ＋1， ∴原式＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99100＝lg 12×23×…×99100＝lg 1100＝－2.16．如图阴影部分是由曲线y ＝1x，y 2＝x 与直线x ＝2，y ＝0围成，则其面积为________．[答案] 23＋ln2[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1x，得交点A (1,1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1x得交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12.故所求面积S ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛121xd x＝23x 32| 10＋ln x | 21＝23＋ln2. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(2010·江西理，19)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上 的最大值为12，求a 的值．[解析] 函数f (x )的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x＋a ，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.18．(本题满分12分)求曲线y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 所围成图形的面积．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 得x 1＝0，x 2＝2.由图可知，所求图形的面积为S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＋|⎠⎛02(2x 2－4x )d x |＝⎠⎛02(2x －x 2)d x －⎠⎛02(2x 2－4x )d x .因为⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3′＝2x －x 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－2x 2′＝2x 2－4x ，所以S ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪20－⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－2x 2⎪⎪⎪2＝4.19．(本题满分12分)设函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ≠0)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值点．[分析] 考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，以及分类讨论思想． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－3a .因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝0，f (2)＝8.即⎩⎪⎨⎪⎧3(4－a )＝0，8－6a ＋b ＝8.解得a ＝4，b ＝24.(2)f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)．当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )没有极值点． 当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝±a .当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点． 20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.[解析] (1)依题意知函数的定义域为{x |x >0}， ∵f ′(x )＝x ＋1x，故f ′(x )>0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． (2)设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，∴g ′(x )＝2x 2－x －1x，∵当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x>0，∴g (x )在(1，＋∞)上为增函数， ∴g (x )>g (1)＝16>0，∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.21．(本题满分12分)设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对于任意实数x, f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值；(2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．[分析] 本题主要考查导数的应用及转化思想，以及求参数的范围问题． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)．因为x ∈(－∞，＋∞)．f ′(x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立． 所以Δ＝81－12(6－m )≤0，得m ≤－34，即m 的最大值为－34.(2)因为当x <1时，f ′(x )>0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时f ′(x )>0. 所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ，当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a .故当f (2)>0或f (1)<0时，方程f (x )＝0仅有一个实根，解得a <2或a >52.22．(本题满分14分)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋1(a ∈R )．(1)若函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23上递增，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上递减，求a 的值； (2)当x ∈[0,1]时，设函数y ＝f (x )图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若给定常数a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，求θ的取值范围；(3)在(1)的条件下，是否存在实数m ，使得函数g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1(m ∈R )的图象与函数y ＝f (x )的图象恰有三个交点．若存在，请求出实数m 的值；若不存在，试说明理由．[解析] (1)依题意f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，由f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，得－3⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ·23＝0，即a ＝1.(2)当x ∈[0,1]时，tan θ＝f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋a23.由a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，得a 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. ①当a 3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，即a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3时，f ′(x )max ＝a 23，f (x )min ＝f ′(0)＝0.此时0≤tan θ≤a 23. ②当a3∈(1，＋∞)，即a ∈(3，＋∞)时，f ′(x )max ＝f ′(1)＝2a －3，f ′(x )min ＝f ′(0)＝0，此时，0≤tan θ≤2a －3.又∵θ∈[0，π)，∴当32<a ≤3时，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，arctan a 23， 当a >3时，θ∈[0，arctan(2a －3)]．(3)函数y ＝f (x )与g (x )＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1(m ∈R )的图象恰有3个交点，等价于方程－x 3＋x 2＋1＝x 4－5x 3＋(2－m )x 2＋1恰有3个不等实根，∴x 4－4x 3＋(1－m )x 2＝0，显然x ＝0是其中一个根(二重根)，方程x 2－4x ＋(1－m )＝0有两个非零不等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16－4(1－m )>01－m ≠0∴m >－3且m ≠1故当m >－3且m ≠1时，函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象恰有3个交点．。

3V 34新课程标准数学选修 2—2 第一章课后习题解答第一章 导数及其应用 3．1 变化率与导数练习（P6）在第 3 h 和 5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为-1和 3. 它说明在第 3 h 附近，原 油温度大约以 1 ℃／h 的速度下降；在第 5 h 时，原油温度大约以 3 ℃／h 的速率上升. 练习（P8）函数h (t ) 在t = t 3 附近单调递增，在t = t 4 附近单调递增. 并且，函数h (t ) 在t 4 附近比在t 3 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”1 的思想.练习（P9）函数r (V ) = (0 ≤ V ≤ 5) 的图象为根据图象，估算出r '(0.6) ≈ 0.3 ， r '(1.2) ≈ 0.2 .说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题 1.1 A 组（P10）1、在t 处，虽然W (t ) = W (t ) ，然而W 1 (t 0 ) -W 1 (t 0 - ∆t ) ≥ W 2 (t 0 ) -W 2 (t 0 - ∆t ) .0 1 0 2 0-∆t -∆t所以，企业甲比企业乙治理的效率高.说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.2、 ∆h = h (1+ ∆t ) - h (1) = -4.9∆t - 3.3 ，所以， h '(1) = -3.3 .∆t ∆t这说明运动员在t = 1s 附近以 3.3 m ／s 的速度下降.3、物体在第 5 s 的瞬时速度就是函数 s (t ) 在t = 5 时的导数.∆s = s (5 + ∆t ) - s (5) = ∆t +10 ，所以， s '(5) = 10 . ∆t ∆tt 因 此 ， 物 体 在 第 5 s 时 的 瞬 时 速 度 为 10 m ／ s ， 它 在 第 5 s 的 动 能 E = 1⨯ 3⨯102 = 150 J. k24、设车轮转动的角度为，时间为t ，则= kt 2 (t > 0) . 由题意可知，当t = 0.8 时，= 2. 所以k =25，于是= 25 2. 88车轮转动开始后第 3.2 s 时的瞬时角速度就是函数(t ) 在t = 3.2 时的导数. ∆=(3.2 + ∆t ) -(3.2) = 25∆t + 20，所以'(3.2) = 20.∆t∆t8因此，车轮在开始转动后第 3.2 s 时的瞬时角速度为20s -1 .说明：第 2,3,4 题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.5、由图可知，函数 f (x ) 在 x = -5 处切线的斜率大于零，所以函数在 x = -5 附近单调递增. 同理可得，函数 f (x ) 在 x = -4 ， -2 ，0，2 附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减.说明：“以直代曲”思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数 f '(x )的图象如图（1）所示；第二个函数的导数 f '(x ) 恒大于零，并且随着 x 的增加， f '(x )的值也在增加；对于第三个函数，当 x 小于零时， f '(x ) 小于零，当 x 大于零时，f '(x ) 大于零，并且随着 x 的增加， f '(x ) 的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系.习题 3.1 B 组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻 画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.1 2 x -11 33 4V 23 2、说明：由给出的v (t ) 的信息获得 s (t ) 的相关信息，并据此画出 s (t ) 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数 f (x ) 的图象在点(1, -5) 处的切线斜率为-1，所以此点 附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 1.2 导数的计算练习（P18）1、 f '(x ) = 2x - 7 ，所以， f '(2) = -3 ， f '(6) = 5 .2、（1） y ' = 1x l n 2；（2） y ' = 2e x ；（3） y ' = 10x 4 - 6x ；（4） y ' = -3sin x - 4 cos x ；（5） y ' = - 1 sin x；（6） y ' =.3 3习题 1.2 A 组（P18）1、 ∆S = S (r + ∆r ) - S (r ) = 2r + ∆r ，所以， S '(r ) = lim(2r + ∆r ) = 2r .∆r ∆r∆r →02、h '(t ) = -9.8t + 6.5 .3、r '(V ) =.2 x =0 4、（1） y ' = 3x 2 +1x l n 2； （2） y ' = nx n -1e x + x n e x ；（3） y ' 3x 2 sin x - x 3 cos x + cos x sin 2x； （4） y = 99(x +1)98；（5） y ' = -2e -x ；（6） y ' = 2 s in(2x + 5) + 4x cos(2x + 5) .5、 f '(x ) = -8 + 2 2x . 由 f '(x 0 ) = 4 有 4 = -8 + 2 2x 0 ，解得 x 0 = 3 .6、（1） y ' = ln x +1； （2） y = x -1.7 、 y = - x +1.8、（1）氨气的散发速度 A '(t ) = 500 ⨯ln 0.834 ⨯ 0.834t .（2） A '(7) = -25.5 ，它表示氨气在第 7 天左右时，以 25.5 克／天的速率减少. 习题 1.2 B 组（P19） 1、（1）（2） 当h 越来越小时， y =sin(x + h ) - sin x就越来越逼近函数 y = cos x .h（3） y = sin x 的导数为 y = cos x .2、当 y = 0 时， x = 0 . 所以函数图象与 x 轴交于点 P (0, 0) .y ' = -e x ，所以 y ' = -1 .所以，曲线在点 P 处的切线的方程为 y = -x .2、d '(t ) = -4 sin t . 所以，上午 6:00 时潮水的速度为-0.42 m ／h ；上午 9:00 时潮水 的速度为-0.63 m ／h ；中午 12:00 时潮水的速度为-0.83 m ／h ；下午 6:00 时潮水的速度为-1.24 m ／h.1.3 导数在研究函数中的应用练习（P26）1、（1）因为 f (x ) = x 2 - 2x + 4 ，所以 f '(x ) = 2x - 2 .当 f '(x ) > 0 ，即 x > 1 时，函数 f (x ) = x 2 - 2x + 4 单调递增；= '当 f '(x ) < 0 ，即 x < 1时，函数 f (x ) = x 2 - 2x + 4 单调递减.（2）因为 f (x ) = e x - x ，所以 f '(x ) = e x -1.当 f '(x ) > 0 ，即 x > 0 时，函数 f (x ) = e x - x 单调递增； 当 f '(x ) < 0 ，即 x < 0 时，函数 f (x ) = e x - x 单调递减. （3）因为 f (x ) = 3x - x 3 ，所以 f '(x ) = 3 - 3x 2 .当 f '(x ) > 0 ，即-1 < x < 1时，函数 f (x ) = 3x - x 3 单调递增； 当 f '(x ) < 0 ，即 x < -1或 x > 1 时，函数 f (x ) = 3x - x 3 单调递减. （4）因为 f (x ) = x 3 - x 2 - x ，所以 f '(x ) = 3x 2 - 2x -1.当 f '(x ) > 0 ，即 x < - 1或 x > 1 时，函数 f (x ) = x 3 - x 2 - x 单调递增；3 当 f '(x ) < 0 ，即- 1< x < 1 时，函数 f (x ) = x 3 - x 2 - x 单调递减.32、注：图象形状不唯一.3、因为 f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) ，所以 f '(x ) = 2ax + b .（1）当a > 0 时，f '(x ) > 0 ，即 x > - b2a f '(x ) < 0 ，即 x < - b2a（2）当a < 0 时，f '(x ) > 0 ，即 x < - b 2a f '(x ) < 0 ，即 x > - b2a时，函数 f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 单调递增；时，函数 f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 单调递减.时，函数 f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 单调递增；时，函数 f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 单调递减.4、证明：因为 f (x ) = 2x 3 - 6x 2 + 7 ，所以 f '(x ) = 6x 2 -12x .当 x ∈(0, 2) 时， f '(x ) = 6x 2 -12x < 0 ，因此函数 f (x ) = 2x 3 - 6x 2 + 7 在(0, 2) 内是减函数.练习（P29）1、 x 2 , x 4 是函数 y = f (x ) 的极值点，1 1 其中 x = x2 是函数 y = f (x ) 的极大值点， x = x 4 是函数 y = f (x ) 的极小值点.2、（1）因为 f (x ) = 6x 2 - x - 2 ，所以 f '(x ) = 12x -1 .令 f '(x ) = 12x -1 = 0 ，得 x =1.12调递减.当 x >1时， f '(x ) > 0 ， f (x ) 单调递增；当 x < 112 12时， f '(x ) < 0 ， f (x ) 单 所 以 ， 当x = 1时 ， 12f (x ) 有 极 小 值 ， 并 且 极 小 值 为f ( ) = 6 ⨯( )2 - 1 - 2 = - 49. 12 12 12 24（2）因为 f (x ) = x 3 - 27x ，所以 f '(x ) = 3x 2 - 27 .令 f '(x ) = 3x 2 - 27 = 0 ，得 x = ±3 . 下面分两种情况讨论：①当 f '(x ) > 0 ，即 x < -3 或 x > 3 时；②当 f '(x ) < 0 ，即-3 < x < 3 时.当 x 变化时， f '(x ) ， f (x ) 变化情况如下表：因此，当 x = -3 时， f (x ) 有极大值，并且极大值为 54； 当 x = 3 时， f (x ) 有极小值，并且极小值为-54 . （3）因为 f (x ) = 6 +12x - x 3 ，所以 f '(x ) = 12 - 3x 2 .令 f '(x ) = 12 - 3x 2 = 0 ，得 x= ±2 . 下面分两种情况讨论：①当 f '(x ) > 0 ，即-2 < x < 2 时；②当 f '(x ) < 0 ，即 x < -2 或 x > 2 时.当 x 变化时， f '(x ) ， f (x ) 变化情况如下表：=-因此，当x =-2 时，f (x) 有极小值，并且极小值为-10 ；当x = 2 时，f (x) 有极大值，并且极大值为22（4）因为 f (x) = 3x -x3，所以 f '(x) = 3 - 3x2.令 f '(x) = 3 - 3x2= 0 ，得 x =±1 .下面分两种情况讨论：①当f '(x) > 0 ，即-1 <x < 1时；②当f '(x) < 0 ，即x <-1或x > 1 时. 当x 变化时，f '(x) ，f (x) 变化情况如下表：因此，当x =-1 时，f (x) 有极小值，并且极小值为-2 ；当x = 1 时，f (x) 有极大值，并且极大值为2练习（P31）（1）在[0, 2] 上， 当 x =1 49f ( ) .12 24 1 时，12f (x) = 6x2-x - 2 有极小值，并且极小值为又由于 f (0) =-2 ， f (2) = 20 .因此，函数 f (x) = 6x2-x - 2 在[0, 2] 上的最大值是 20、最小值是-49.24（2）在[-4, 4] 上，当 x =-3 时， f (x) =x3- 27x 有极大值，并且极大值为 f (-3) = 54 ；当x = 3 时， f (x) =x3- 27x 有极小值，并且极小值为 f (3) =-54 ；又由于 f (-4) = 44 ， f (4) =-44 .(0, ) ，所以 f (x )因此，函数 f (x ) = x 3 - 27x 在[-4, 4] 上的最大值是 54、最小值是-54 .（ 3） 在[- 1, 3] 上， 当 x = 2 时， 3f (x ) = 6 +12x - x 3 有极大值， 并且极大值为f (2) = 22 .又由于 f (- 1) = 55， f (3) = 15 .3 27因此，函数 f (x ) = 6 +12x - x 3 在[- 1 , 3] 上的最大值是 22、最小值是 55.3 27（4）在[2, 3] 上，函数 f (x ) = 3x - x 3 无极值.因为 f (2) = -2 ， f (3) = -18 .因此，函数 f (x ) = 3x - x 3 在[2, 3] 上的最大值是-2 、最小值是-18 . 习题 1.3 A 组（P31）1、（1）因为 f (x ) = -2x +1，所以 f '(x ) = -2 < 0 .因此，函数 f (x ) = -2x +1是单调递减函数.（2）因为 f (x ) = x + cos x ， x ∈ ' = 1- sin x > 0 ， x ∈ 2(0, ) . 2 因此，函数 f (x ) = x + cos x 在 (0, ) 上是单调递增函数. 2（3）因为 f (x ) = -2x - 4 ，所以 f '(x ) = -2 < 0 .因此，函数 f (x ) = 2x - 4 是单调递减函数.（4）因为 f (x ) = 2x 3 + 4x ，所以 f '(x ) = 6x 2 + 4 > 0 .因此，函数 f (x ) = 2x 3 + 4x 是单调递增函数.2、（1）因为 f (x ) = x 2 + 2x - 4 ，所以 f '(x ) = 2x + 2 .当 f '(x ) > 0 ，即 x > -1 时，函数 f (x ) = x 2 + 2x - 4 单调递增.当 f '(x ) < 0 ，即 x < -1时，函数 f (x ) = x 2 + 2x - 4 单调递减.（2）因为 f (x ) = 2x 2 - 3x + 3 ，所以 f '(x ) = 4x - 3 .当 f '(x ) > 0 ，即 x > 3时，函数 f (x ) = 2x 2 - 3x + 3 单调递增.4当 f '(x ) < 0 ，即 x < 3时，函数 f (x ) = 2x 2 - 3x + 3 单调递减.4（3）因为 f (x ) = 3x + x 3 ，所以 f '(x ) = 3 + 3x 2 > 0 .因此，函数 f (x ) = 3x + x 3 是单调递增函数.（4）因为 f (x ) = x 3 + x 2 - x ，所以 f '(x ) = 3x 2 + 2x -1.当 f '(x ) > 0 ，即 x < -1或 x > 1时，函数 f (x ) = x 3 + x 2 - x 单调递增.3 当 f '(x ) < 0 ，即-1 < x < 1时，函数 f (x ) = x 3 + x 2 - x 单调递减.33、（1）图略. （2）加速度等于 0.4、（1）在 x = x 2 处，导函数 y = f '(x ) 有极大值；（2） 在 x = x 1 和 x = x 4 处，导函数 y = f '(x ) 有极小值；（3） 在 x = x 3 处，函数 y =（4） 在 x = x 5 处，函数 y = f (x ) 有极大值；f (x ) 有极小值.5、（1）因为 f (x ) = 6x 2 + x + 2 ，所以 f '(x ) = 12x +1.令 f '(x ) = 12x +1 = 0 ，得 x = - 1.12当 x > - 112 当 x < - 112时， f '(x ) > 0 ， f (x ) 单调递增；时， f '(x ) < 0 ， f (x ) 单调递减.所 以 ，x = - 1 时 ， 12f (x ) 有 极 小 值 ， 并 且 极 小 值 为 f (- 1 ) = 6 ⨯(- 1 )2 - 1 - 2 = - 49 .12 12 12 24（2）因为 f (x ) = x 3 -12x ，所以 f '(x ) = 3x 2 -12 .令 f '(x ) = 3x 2 -12 = 0 ，得 x = ±2 . 下面分两种情况讨论：①当 f '(x ) > 0 ，即 x < -2 或 x > 2 时；②当 f '(x ) < 0 ，即-2 < x < 2 时.当 x 变化时， f '(x ) ， f (x ) 变化情况如下表：因此，当 x =-2 时， f (x) 有极大值，并且极大值为 16；当x = 2 时， f (x) 有极小值，并且极小值为-16 .（3）因为 f (x) = 6 -12x +x3，所以 f '(x) =-12 + 3x2.令 f '(x) =-12 + 3x2= 0 ，得 x =±2 .下面分两种情况讨论：①当f '(x) > 0 ，即x <-2 或x > 2 时；②当f '(x) < 0 ，即-2 <x < 2 时. 当x 变化时，f '(x) ，f (x) 变化情况如下表：因此，当 x =-2 时， f (x) 有极大值，并且极大值为 22；当x = 2 时， f (x) 有极小值，并且极小值为-10 .（4）因为 f (x) = 48x -x3，所以 f '(x) = 48 - 3x2.令 f '(x) = 48 - 3x2= 0 ，得 x =±4 .下面分两种情况讨论：①当f '(x) > 0 ，即x <-2 或x > 2 时；②当f '(x) < 0 ，即-2 <x < 2 时. 当x 变化时，f '(x) ，f (x) 变化情况如下表：因此，当x =-4 时，f (x) 有极小值，并且极小值为-128 ；当x = 4 时，f (x) 有极大值，并且极大值为128.6、（1）在[-1,1] 上，当 x =-112时，函数f (x) = 6x2+x + 2 有极小值，并且极小值为47.24由于f (-1) = 7 ，f (1) = 9 ，所以，函数f (x) = 6x2+x + 2 在[-1,1] 上的最大值和最小值分别为9，47.24（2）在[-3, 3] 上，当 x =-2 时，函数 f (x) =x3-12x 有极大值，并且极大值为 16； 当x = 2 时，函数 f (x) =x3-12x 有极小值，并且极小值为-16 .由于f (-3) = 9 ，f (3) =-9 ，所以，函数 f (x) =x3-12x 在[-3, 3] 上的最大值和最小值分别为 16， -16 .（3）在[-1,1] 上，函数f (x) = 6 -12x +x3在[-1,1] 上无极值.3 3由于f (-1) =269，f (1) =-5 ，3 27所以，函数f (x) = 6 -12x +x3在[-1,1] 上的最大值和最小值分别为269，-5 .3 27（4）当x = 4 时，f (x) 有极大值，并且极大值为128..由于f (-3) =-117 ，f (5) = 115 ，所以，函数 f (x) = 48x -x3在[-3, 5] 上的最大值和最小值分别为 128， -117 . 习题3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设 f (x) = sin x -x ，x ∈(0,) .因为 f '(x) = cos x -1 < 0 ， x ∈(0,)所以f (x) = sin x -x 在(0,) 内单调递减因此 f (x) = sin x -x <f (0) = 0 ， x ∈(0,) ， 即 sin x <x ， x ∈(0,) . 图略（2）证明：设 f (x) =x -x2， x ∈(0,1) .因为 f '(x) = 1- 2x ， x ∈(0,1)又1 1所以，当 x ∈1(0, )2时，f '(x) = 1- 2x > 0 ，f (x) 单调递增，f (x) =x -x2> f (0) = 0 ；当 x ∈1时，f '(x) = 1- 2x < 0 ，f (x) 单调递减，( ,1)2f (x) =x -x2> f (1) = 0 ；f ( ) => 0 . 因此， x -x22 4>0 ，x ∈(0,1) . （3）证明：设 f (x) =e x-1-x ， x ≠ 0 .因为 f '(x) =e x-1， x ≠ 0所以，当x > 0 时，f '(x) =e x-1 > 0 ，f (x) 单调递增，f (x) =e x-1-x > f (0) = 0 ；当x < 0 时，f '(x) =e x-1 < 0 ，f (x) 单调递减，f (x) =e x-1-x >f (0) = 0 ；综上，e x-1 >x ，x ≠ 0 . 图略（4）证明：设 f (x) = ln x -x ，x > 0 .因为 f '(x) =1-1 ，x ≠ 0 x所以，当0 <x < 1时，f '(x) =1-1 > 0 ，f (x) 单调递增，xf (x) = ln x -x < f (1) =-1 < 0 ；当x > 1 时，f '(x) =1-1 < 0 ，f (x) 单调递减，xf (x) = ln x -x < f (1) =-1 < 0 ；当x =1 时，显然ln1 <1. 因此，ln x <x .由（3）可知， e x>x +1 >x ， x > 0 .. 综上，ln x <x <e x，x > 0 图略2、（1）函数f (x) =ax3+bx2+cx +d 的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象图略( ) 上能大致估计它的单调区间.（2）因为 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ，所以 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c . 下面分类讨论：当a ≠ 0 时，分a > 0 和a < 0 两种情形： ①当a > 0 ，且b 2 - 3ac > 0 时，设方程 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c = 0 的两根分别为 x , x ，且 x < x ，1212当 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c > 0 ，即 x < x 或 x > x 时，函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 单12调递增；当 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c < 0 ，即 x < x < x 时，函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 单调递减.12当a > 0 ，且b 2 - 3ac ≤ 0 时，此时 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c ≥ 0 ，函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 单调递增.②当a < 0 ，且b 2 - 3ac > 0 时，设方程 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c = 0 的两根分别为 x , x ，且 x < x ，1212当 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c > 0 ，即 x < x < x 时，函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 单调递12增；当 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c < 0 ，即 x < x 或 x > x 时，函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 单12调递减.当a < 0 ，且b 2 - 3ac ≤ 0 时，此时 f '(x ) = 3ax 2 + 2bx + c ≤ 0 ，函数 f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d 单调递减 1.4 生活中的优化问题举例习题 1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为 x ， l - x ，则这两个正方形的边长分别为 x ， l - x，4 4两个正方形的面积和为 S = f (x ) = x 2 + (l - x )2 = 1 (2x 2- 2lx + l 2 ) ， 0 < x < l .4 4 16 令 f '(x ) = 0 ，即4x - 2l = 0 ， x = l.2当 x ∈ l (0, ) 2时， f '(x ) < 0 ；当 x ∈ l( , l ) 2 时， f '(x ) > 0 .因此， x = l是函数 f (x ) 的极小值点，也是最小值点.2V3 2 V321 ni 所以，当两段铁丝的长度分别是 l时，两个正方形的面积和最小.22、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长为 x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面为正方形，且边长为a - 2x ，高为 x .（1）无盖方盒的容积V (x ) = (a - 2x )2 x ， 0 < x < a.2（2）因为V (x ) = 4x 3 - 4ax 2 + a 2 x ，所以V '(x ) = 12x 2 - 8ax + a 2 .令V '(x ) = 0 ，得 x = a （舍去），或 x = a.（第 2 题）当 x ∈ a (0, ) 6 2 时，V '(x ) > 0 ；当 x ∈ 6 a a( , ) 6 2 时，V '(x ) < 0 . 因此， x = a是函数V (x ) 的极大值点，也是最大值点.6 所以，当 x = a时，无盖方盒的容积最大.63、如图，设圆柱的高为h ，底半径为 R ，则表面积 S = 2Rh + 2R 2由V = R 2h ，得h =V .R 2因此， S (R ) = 2R2V V R 2 + 2R 2 = 2V + 2R 2 ， R > 0 . R令 S '(R ) = - + 4R = 0 ，解得 R = .R当 R ∈(0, 3 V) 时， S '(R ) < 0 ；2当 R ∈( 3 V2, +∞) 时， S '(R ) > 0 .（第 3 题）因 此 ， R =是 函 数 S (R ) 的 极 小 值 点 ， 也 是 最 小 值 点 . 此 时 ，h = V R 2 = 23 V= 2R .2所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.n 4、证明：由于 f (x ) = ∑(x - a )2，所以 f '(x ) = 2 ∑(x - a ) .n i =1 n i =1i8a 4 + 令 f (x ) = 0 ，得 x = n ∑ = n ∑ n ∑ )x ' 1 na i =11 n可以得到， x a i是函数 f (x ) 的极小值点，也是最小值点.i =11 n这个结果说明，用 n 个数据的平均值 a i 表示这个物体的长度是合理i =1的，这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为 x m ，则半圆的半径为 x 2m ，半圆的面积为x 2 8m 2 ，矩形的面积为a -x 2 8 m 2 ，矩形的另一边长为( a x - x ) m8因此铁丝的长为l (x ) =x + x + 2a - x = (1+ + 2a， 0 < x < 2 x 4 4 x令l '(x ) = 1+ - 4 2a = 0 ，得 x = x2（负值舍去）.当 x ∈(0, ) 时， l '(x ) < 0 ；当 x ∈( 8a ,8a ) 时， l '(x ) > 0 .因此， x = 4 +是函数l (x ) 的极小值点，也是最小值点.所以，当底宽为m 时，所用材料最省.6、利润 L 等于收入 R 减去成本C ，而收入 R 等于产量乘单价. 由此可得出利润 L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.收入 R = q ⋅ p = q (25 - 1 q ) = 25q - 1q 2 ，8 8 利润 L = R - C = (25q - 1 q 2 ) - (100 + 4q ) = - 1q 2 + 21q -100 ， 0 < q < 200 .8 8求导得 L ' = - 1q + 214 令 L ' = 0 ，即- 1q + 21 = 0 ， q = 84 .4当 q ∈(0,84) 时， L ' > 0 ；当 q ∈(84, 200) 时， L ' < 0 ；8a8a 4 + 8a4 + 8a4 +i ，n ∆ ( ) ⋅ + ⋅ ] 因此， q = 84 是函数 L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为 84 时，利润 L 最大,习题 1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的定价为 x 元，那么宾馆利润 L (x ) = (50 - x -180)(x - 20) = - 110 10令 L '(x ) = - 1x + 70 = 0 ，解得 x = 350 .5x 2 + 70x -1360 ，180 < x < 680 .当 x ∈(180, 350) 时， L '(x ) > 0 ；当 x ∈(350, 680) 时， L '(x ) > 0 .因此， x = 350 是函数 L (x ) 的极大值点，也是最大值点.所以，当每个房间每天的定价为 350 元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为 x 元／件时，利润 L (x ) = (x - a )(c + c b - x ⨯ 4) = c (x - a )(5 - 4 x ) ， a < x < 5b.b b 4令 L '(x ) = - 8c x + 4ac + 5bc = 0 ，解得 x = 4a + 5b.b b 8 当 x ∈(a , 4a + 5b ) 时， L '(x ) > 0 ；当 x ∈( 4a + 5b , 5b) 时， L '(x ) < 0 .8 8 4 当 x = 4a + 5b 是函数 L (x ) 的极大值点，也是最大值点.8所以，销售价为 4a + 5b元／件时，可获得最大利润.81.5 定积分的概念练习（P42） 8 . 3说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想.练习（P45）1、∆s ≈ ∆s ' = v ( i )∆t = [-( i )2 + 2]⋅ 1 = -( i )2 ⋅ 1 + ⋅ 2， i = 1, 2, , n .i i n n n n n n于是 s = ∑ ∆s ≈ ∑ ∆s ' = ∑ i v ( ) ti =1 i ii =1 i =1n= ∑ i =1[- i 2 1 2n n n = - 1 2 1n -1 2 1 n 2 1( n ) ⋅ n- - ( ) ⋅ - ( ) n n n ⋅ + 2 n = - 1[1+ 22 + + n 2 ] + 2n 3nn n= ∑ i =1i =1i =1⎰ ∑a= - 1 ⋅ n (n +1)(2n +1) + 2 n 3 6 = - 1 (1+ 1 )(1+ 1) + 23 n 2n 取极值，得s = lim ∑ 1 i n[ v ( )] lim [- 1 (1+ 1 )(1+ 1 ) + 2] = 5n →∞ i =1 nn n →∞ i =1 3 n 2n 3 说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想. 2、 22 km.3说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤. 练习（P48）2x 3dx = 4 .说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.从几何上看，表示由曲线 y = x 3 与直线 x = 0 ， x = 2 ， y = 0 所围成的曲边梯形的面积 S = 4 . 习题 1.5 A 组（P50）2100i -1 1 1、（1） ⎰1 (x -1)dx ≈ ∑[(1+ 100 ) -1]⨯ 100 = 0.495 ； 2500i -1 1 （2） ⎰1 (x -1)dx ≈ ∑[(1+ 500) -1]⨯ 500 = 0.499 ； 21000i -1 1 （3） ⎰1 (x -1)dx ≈ ∑[(1+ 1000) -1]⨯ 1000 = 0.4995 . 说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法. 2、距离的不足近似值为：18⨯1+12 ⨯1+ 7 ⨯1+ 3⨯1+ 0 ⨯1 = 40 （m ）； 距离的过剩近似值为： 27 ⨯1+18⨯1+12 ⨯1+ 7 ⨯1+ 3⨯1 = 67 （m ）. 3、证明：令 f (x ) = 1 . 用分点 a = x 0 < x 1 < < x i -1 < x i < < x n = b将区间[a , b ] 等分成 n 个小区间， 在每个小区间[x i -1 , x i ] 上任取一点i(i = 1, 2, , n )作和式∑ f (i )∆x = ∑ b - an = b - a ， i =1bi =1nb - a 从而 1dx = lim n →∞i =1= b - a ，nnn n⎰1- x 2 1 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-1-1说明：进一步熟悉定积分的概念. 4、根据定积分的几何意义， ⎰01- x 2 dx 表示由直线 x = 0 ， x = 1 ， y = 0 以及曲线y = 所围成的曲边梯形的面积， 即四分之一单位圆的面积， 因此 1- x 2 d x = . 0 4 5、（1） ⎰0 x 3dx = - 1 . -1 4由于在区间[-1, 0] 上 x 3≤ 0 ，所以定积分 0x 3dx 表示由直线 x = 0 ， x = -1 ， y = 0-1和曲线 y = x 3 所围成的曲边梯形的面积的相反数.（2）根据定积分的性质，得⎰1x 3dx = ⎰0x 3dx + ⎰1x 3dx = - 1 + 1= 0 .-1 -1 0 4 4由于在区间[-1, 0] 上 x 3 ≤ 0 ，在区间[0,1] 上 x 3≥ 0 ，所以定积分 1x 3dx 等于位于 x-1轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积.（3）根据定积分的性质，得⎰2 x 3dx = ⎰0 x 3dx + ⎰2 x 3dx = - 1 + 4 = 15-1 -1 0 4 4由于在区间[-1, 0] 上 x 3 ≤ 0 ，在区间[0, 2] 上 x 3 ≥ 0 ，所以定积分 2x 3dx 等于位于 x-1轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积.说明：在（3）中，由于 x 3 在区间[-1, 0] 上是非正的，在区间[0, 2] 上是非负的，如果直接利用定义把区间[-1, 2] 分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又 有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质 3 可以将定积分 2x 3dx-1化为 0 x 3dx + 2x 3dx ，这样， x 3 在区间[-1, 0] 和区间[0, 2] 上的符号都是不变的，再-1利用定积分的定义，容易求出⎰0x 3dx ， ⎰2x 3dx ，进而得到定积分⎰2x 3dx 的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义.习题 1.5 B 组（P50）1、该物体在t = 0 到t = 6 （单位：s ）之间走过的路程大约为 145 m.说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1） v = 9.81t .8 i 1 1 8⨯ 9（2）过剩近似值： ∑9.81⨯ ⨯ = 9.81⨯ ⨯ = 88.29 （m ）； i =12 2 4 2 1⎰4 4∑ i l ∑ ∑ ∑ n8i -1 1 1 8⨯ 7不足近似值： ∑9.81⨯i =1⨯ = 9.81⨯ ⨯ 2 2 4 2 = 68.67 （m ）（3） ⎰09.81tdt ； 3、（1）分割⎰09.81t d t = 78.48 （m ）.在区间[0, l ] 上等间隔地插入n -1个分点，将它分成n 个小区间：l l 2l(n - 2)l [0, ] ，[ , ]，……，[ , l ] ， n n n n 记第i 个区间为[(i -1)l iln , n ] （ i = 1, 2, n ），其长度为 ∆x = il - (i -1)l = l .n n n 把细棒在小段 ll 2l(n - 2)l[0, ] ，[ , ]，……，[ , l ] 上质量分别记作： n n n n∆m 1 , ∆m 2 , , ∆m n ，则细棒的质量m = ∑∆m i .i =1 （2） 近似代替当n 很大，即∆x 很小时，在小区间[(i -1)l , il] 上，可以认为线密度(x ) = x 2 n n的值变化很小， 近似地等于一个常数， 不妨认为它近似地等于任意一点 ∈[(i -1)l il处的函数值 () = 2. 于是， 细棒在小段 [(i -1)l il上质量 i , ] i i , ] n n n n∆m ≈ ()∆x = 2 l （ i = 1, 2, n ）.i i i n（3） 求和得细棒的质量n nnm = ∆m ≈ ()∆x = 2. i ii n（4） 取极限i =1i =1nl2i =1l 2细棒的质量 m = limn →∞i =1n，所以m = ⎰0 x dx ..1.6 微积分基本定理练习（P55）（1）50；（2） 50 ；（3）4 2 - 5； （4）24； 33 3（5） 3 - ln 2 ； （6） 1 ；（7）0；（8） -2 .2 23 6 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 习题 1.6 A 组（P55）1、（1） 40 ； （2） - 1- 3ln 2 ；（3） 9+ ln 3 - ln 2 ；3 （4） - 17 ；（5） 6232 82+1； （6） e 2- e - 2 ln 2 .说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.2、 3sin xdx = [-cos x ]3= 2 . ⎰0 它表示位于 x 轴上方的两个曲边梯形的面积与 x 轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为：位于 x 轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与 x 轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和. 习 题 1.6 B 组 （P55）1 e2 11 11、（1）原式＝[ e 2x ]1 = - ；（2）原式＝[ sin 2x ]4 = - ；2 0 2 22x 3 62 4 （3）原式＝[ ln 2]1 = ln 2.2、（1） sin mxdx = [- cos mx ]= - 1[cos m - cos(-m )] = 0 ； ⎰-m - msin mx 1（2） cos mxdx = | = [sin m - sin(-m )] = 0 ；⎰-m - m（3） sin 2 mxdx = 1- cos 2mx dx = [ x - sin 2mx ]= ；⎰- ⎰- 2 2 4m - （4） cos 2mxdx = 1+ cos 2mx dx = [ x + sin 2mx ] = .⎰- ⎰- 2 2 4m -3、 （ 1） s (t ) = t g (1- e -kt )dt = g+ g e - kt ]t = g t + g e - kt - g = 49t + 245e -0.2t - 245 . ⎰0 k [ k t k2 0 k k 2 k 2（2）由题意得 49t + 245e -0.2t - 245 = 5000 .这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计t 的取值范围.根据指数函数的性质，当t > 0 时， 0 < e -0.2t < 1 ，从而 5000 < 49t < 5245 ，因此， 5000 < t < 5245 .49 49因此245e-0.2⨯500049≈ 3.36 ⨯10-7 ， 245e-0.2⨯524549≈ 1.24 ⨯10-7 ，所以，1.24 ⨯10-7 < 245e -0.2t < 3.36 ⨯10-7 .从而，在解方程49t + 245e -0.2t - 245 = 5000 时， 245e -0.2t 可以忽略不计.240 ⎰ ⎰= ⎰ 0a a 1]a 3因此，. 49t - 245 ≈ 5000 ，解之得 t ≈5245（s ）.49说明：B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握. 1.7 定积分的简单应用练习（P58）（1） 32； （2）1.3说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程.练习（P59）52 51、 s = (2t + 3)dt = [t + 3t ] = 22 （m ）.⎰3 2、W = ⎰0 (3x + 4)dx = [ 2 3x 2 + 4x ]4 = 40 （J ）. 习题 1.7 A 组（P60）1、（1）2； （2） 9.2 2、W = ⎰b k q dr = [-q b = k q - k q.a r r a b3、令v (t ) = 0 ，即40 -10t = 0 . 解得t = 4 . 即第 4s 时物体达到最大高度.42 4最大高度为 h = (40 -10t )dt = [40t - 5t ] = 80 （m ）.⎰4、设t s 后两物体相遇，则 0t(3t 2+1)dt = t10tdt + 5 ， 0解之得t = 5 . 即 A , B 两物体 5s 后相遇.此时，物体 A 离出发地的距离为 5(3t 2 +1)dt = [t 3 + t ]5 = 130 （m ）.⎰5、由 F = kl ，得10 = 0.01k . 解之得k = 1000 .所做的功为 0.1W1000ldl = 500l 2 |0.1= 5 （J ）. 06、（1）令v (t ) = 5 - t + 551+ t= 0 ，解之得t = 10 . 因此，火车经过 10s 后完全停止.（2） s = (5 - t + 55 )dt = [5t - 1 t 2 + 55 ln(1+ t )]10 = 55 ln11（m ）. ⎰1+ t2习题 1.7 B 组（P60）1、（1） ⎰- aa 2 - x 2 dx 表示圆 x 2 + y 2 = a 2 与 x 轴所围成的上半圆的面积，因此⎰- adx =a 22（2） ⎰[ - x ]dx 表示圆(x -1)2 + y 2 = 1与直线（ 第 1（ 2）2 a 2- x 21- (x -1)210k3 x 2 33x33x= 2bh . （第 2 题） 0⎩ ⎰ ⎰ y = x 所围成的图形（如图所示）的面积，1⨯12 1 1因此， ⎰0 [ - x ]dx =- ⨯1⨯1 = - . 4 2 4 22、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的方程为 y = ax 2 ，则h = a ⨯ (b )2 ，所以a = 4h. 2 b 2从而抛物线的方程为y = 4h x 2. b 2b4h4h b 于是，抛物线拱的面积 S = 2 2(h - 0b 2 x 2 )dx = 2[hx - 3b 2 x 3 ]2 3⎧ y = x 2 + 23、如图所示.解方程组⎨ y = 3x得曲线 y = x 2 + 2 与曲线 y = 3x 交点的横坐标 x = 1 ， x = 2 .12于是，所求的面积为 1[(x 2 + 2) - 3x ]dx + 2[3x - (x 2 + 2)]dx = 1 .0 14、证明：W = R +h G Mm dr = [-G Mm ]R +h = GMmh .⎰Rr2rRR (R + h )第一章 复习参考题 A 组（P65）1、（1）3；（2） y = -4 .2、（1） y ' =2 s in x cos x + 2x； （2） y ' = 3(x - 2)2 (3x +1)(5x - 3) ；cos 2x（3） y ' =2x ln x ln 2 + 2x x；（4） y 2x - 2x 2(2x +1)4.3、 F ' = -2GMm .r34、（1） f '(t ) < 0 . 因为红茶的温度在下降.（2） f '(3) = -4 表明在 3℃附近时，红茶温度约以 4℃／min 的速度下降. 图略.5、因为 f (x ) = ，所以 f '(x ) =2 .当 f '(x ) =2> 0 ，即 x > 0 时， f (x ) 单调递增； 1- (x -1)2 ⎰ ' =33x=当 f '(x ) =2< 0 ，即 x < 0 时， f (x ) 单调递减.6、因为 f (x ) = x 2 + px + q ，所以 f '(x ) = 2x + p .当 f '(x ) = 2x + p = 0 ，即 x = - p= 1 时， f (x ) 有最小值.2由- p= 1，得 p = -2 . 又因为 f (1) = 1- 2 + q = 4 ，所以q = 5 .27、因为 f (x ) = x (x - c )2 = x 3 - 2cx 2 + c 2 x ，所以 f '(x ) = 3x 2 - 4cx + c 2 = (3x - c )(x - c ) .当 f '(x ) = 0 ，即 x = c，或 x = c 时，函数 f (x ) = x (x - c )2 可能有极值.3由题意当 x = 2 时，函数 f (x ) = x (x - c )2 有极大值，所以c > 0 . 由于所以，当x = c 时，函数 f (x ) = x (x - c )2 有极大值. 此时， c = 2 ， c = 6 . 3 3 8、设当点 A 的坐标为(a , 0) 时， ∆AOB 的面积最小.因为直线 AB 过点 A (a , 0) ， P (1,1) ，所以直线 AB 的方程为 y - 0 = x - a，即 y =x - 0 1- a1 (x - a ) . 1- a 当 x = 0 时， y = a ，即点 B 的坐标是(0, a) .a -1因此， ∆AOB 的面积 S ∆AOB = S (a ) = a -11 aa 22 a a -1 2(a -1) .令 S '(a ) = ' = 1 ⋅a 2 - 2a =0 ，即 S (a ) 2 (a -1)2 0 .当a = 0 ，或a = 2 时， S '(a ) = 0 ， a = 0 不合题意舍去.x (-∞, c )3c 3( c , c ) 3c(c , +∞)f '(x ) ＋－＋f (x )单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增由于所以，当a = 2 ，即直线 AB 的倾斜角为135︒ 时， ∆AOB 的面积最小，最小面积为 2. 9、 D .10、设底面一边的长为 x m ，另一边的长为(x + 0.5) m. 因为钢条长为 14.8m. 所以，长方体容器的高为14.8 - 4x - 4(x + 0.5) = 12.8 - 8x = 3.2 - 2x .4 4设容器的容积为V ，则V = V (x ) = x (x + 0.5)(3.2 - 2x ) = -2x 3 + 2.2x 2 +1.6x ， 0 < x < 1.6 .令V '(x ) = 0 ，即-6x 2 + 4.4x +1.6 = 0 .所以， x = - 4 15（舍去），或 x = 1 .当 x ∈(0,1) 时，V '(x ) > 0 ；当 x ∈(1,1.6) 时，V '(x ) < 0 .因此， x = 1 是函数V (x ) 在(0,1.6) 的极大值点，也是最大值点. 所以，当长方体容器的高为 1 m 时，容器最大，最大容器为 1.8 m 3. 11、设旅游团人数为100 + x 时，旅行社费用为 y = f (x ) = (100 + x )(1000 - 5x ) = -5x 2 + 500 +100000 (0 ≤ x ≤ 80) .令 f '(x ) = 0 ，即-10x + 500 = 0 ， x = 50 .又 f (0) = 100000 ， f (80) = 108000 ， f (50) = 112500 .所以， x = 50 是函数 f (x ) 的最大值点.所以，当旅游团人数为 150 时，可使旅行社收费最多. 12、设打印纸的长为 x cm 时，可使其打印面积最大.因为打印纸的面积为 623.7，长为 x ，所以宽为 623.7，x打印面积 S (x ) = (x - 2 ⨯ 2.54)( 623.7- 2 ⨯ 3.17)x= 655.9072 - 6.34x - 3168.396， 5.08 < x < 98.38 .x2 令 S '(x ) = 0 ，即6.34 - 3168.396 = 0 ， x ≈ 22.36 （负值舍去）， 623.7≈ 27.89 .x 2 22.365 2dx = 2 (cos x - sin x )dx = [sin x + cos x ]2 = 0 ； （5）原式＝ 2 dx = [ ]2 = x = 22.36 是函数 S (x ) 在(5.08, 98.38) 内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点.所以，打印纸的长、宽分别约为 27.89cm ，22.36cm 时，可使其打印面积最大. 13、设每年养q 头猪时，总利润为 y 元.则 y = R (q ) - 20000 -100q = - 1q 2 + 300q - 20000 (0 < q ≤ 400, q ∈ N ) .2令 y ' = 0 ，即-q + 300 = 0 ， q = 300 .当q = 300 时， y = 25000 ；当q = 400 时， y = 20000 .q = 300 是函数 y ( p ) 在(0, 400] 内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点.所以，每年养 300 头猪时，可使总利润最大，最大总利润为 25000 元. 14、（1） 2 - 2 ；（2） 2e - 2 ； （3）1；cos 2 x - sin 2 x⎰0cos x + sin x⎰01- cos x x - sin x - 2⎰0 2 2 0 4 15、略. 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.16、2 - 2 .17、由 F = kl ，得0.049 = 0.01k . 解之得k = 4.9 .0.3l 2 0.3所做的功为 W = ⎰0.1 4.9ldl = 4.9 ⨯ 2|0.1 = 0.196 （J ）第一章 复习参考题 B 组（P66）1、（1） b '(t ) = 104 - 2 ⨯103t . 所以，细菌在t = 5 与t = 10 时的瞬时速度分别为 0 和-104 .（2）当0 ≤ t < 5 时， b '(t ) > 0 ，所以细菌在增加；当5 < t < 5 + 5 时， b '(t ) < 0 ，所以细菌在减少.2、设扇形的半径为r ，中心角为弧度时，扇形的面积为 S .因为 S = 1r 2 ， l - 2r =r ，所以= l- 2 .2 rS = 1r 2 = 1 ( l - 2)r 2 = 1 (lr - 2r 2 ) ， 0 < r < l .2 2 r 2 23 2 （4）原式＝ .令 S ' = 0 ，即l - 4r = 0 ， r = l，此时为 2 弧度.4r = l 是函数 S (r ) 在 4 l(0, ) 内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.2所以，扇形的半径为 l、中心角为 2 弧度时，扇形的面积最大.43、设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么r 2 + h 2 = R 2 . 因此，V =1r 2h = 1(R 2 - h 2 )h = 1R 2h -1h 3 ， 0 < h < R .3 3 33令V ' = 1R 2 -h 2 = 0 ，解得h = 33 R .3容易知道， h =3 R 是函数V (h ) 的极大值点，也是最大值点.3所以，当h =3 R 时，容积最大.3把h =3 R 代入r 2 + h 2 = R 2 ，得r =36 R .3由 R = 2r ，得= 2 6 .3所以，圆心角为=2 6 时，容积最大.34、由于80 = k ⨯102 ，所以k = 4.5设船速为 x km ／h 时，总费用为 y ，则 y = 4 x 2 ⨯ 20 + 20⨯ 4805 x x令 y ' = 0 ，即16 - 9600= 0 ， x ≈ 24 .x2 = 16x + 9600， x > 0x容易知道， x = 24 是函数 y 的极小值点，也是最小值点.当 x = 24 时， (16 ⨯ 24 + 9600) ÷ ( 20) ≈ 941（元／时）24 24所以，船速约为 24km ／h 时，总费用最少，此时每小时费用约为 941 元.5、 设汽车以 x km ／ h 行驶时， 行车的总费用y = 390x(3 +x 2 360 ) + 130 ⨯14 ， x。