柱坐标系与球坐标系简介 课件

§3 柱坐标系和球坐标系1.柱坐标系(1)定义：在平面极坐标系的基础上，通过极点O ，再增加一条与极坐标系所在平面垂直的z 轴，这样就建立了柱坐标系.设M (x ，y ，z )为空间一点，并设点M 在xOy 平面上的投影点P 的极坐标为(r ，θ)，则这样的三个数r ，θ，z 构成的有序数组(r ，θ，z )就叫作点M 的柱坐标，这里规定r ，θ，z 的变化范围为0≤r ＜＋∞，0≤θ＜2π，－∞＜z ＜＋∞.特别地，r ＝常数，表示的是以z 轴为轴的圆柱面；θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面；z ＝常数，表示的是与xOy 平面平行的平面.(2)空间点M 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z .2.球坐标系(1)定义：设M (x ，y ，z )为空间一点，点M 可用这样三个有次序的数r ，φ，θ来确定，其中r 为原点O 到点M 间的距离，φ为有向线段OM→与z 轴正方向所夹的角，θ为从z 轴正半轴看，x 轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段OP →的角，这里P 为点M 在xOy 平面上的投影.这样的三个数r ，φ，θ构成的有序数组(r ，φ，θ)叫作点M 的球坐标，这里r ，φ，θ的变化范围为0≤r ＜＋∞，0≤φ≤π，0≤θ＜2π.特别地， r ＝常数，表示的是以原点为球心的球面；φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z 轴为轴的圆锥面； θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面.(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎨⎧x ＝r ·sin φ·cos θ，y ＝r ·sin φ·sin θ，z ＝r cos φ.【思维导图】【知能要点】 1.柱坐标系. 2.球坐标系.3.空间点的坐标的确定.题型一 柱坐标系柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的.空间任一点P 的位置可以用有序数组(ρ，θ，z )表示，(ρ，θ)是点P 在Oxy 平面上的射影Q 的极坐标，z 是P 在空间直角坐标系中的竖坐标. 【例1】 柱坐标满足方程ρ＝2的点所构成的图形是什么？解 在平面极坐标系中，ρ＝2表示以极点为圆心，2为半径的圆.因此，在柱坐标系中，设Oz 轴所在的直线为l ，则方程ρ＝2表示以l 为轴，且垂直于轴的截面是半径为2的圆柱面.【反思感悟】 柱坐标满足ρ＝2的点可以和平面直角坐标系中满足x ＝1的点构成一条直线，空间直角坐标系中满足y ＝2的点构成的图形是一个平面结合考虑.1.将下列各点的柱坐标化为直角坐标. P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，1，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23π，－3 解直接代入互化公式⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θz ＝z，可得P 的直角坐标为(3，1，1)，Q 点的直角坐标为(－2，23，－3).题型二 球坐标系球坐标系又称空间极坐标系，用空间任意一点P 到O 的距离r 以及两个角θ，φ来刻画点P 的位置.【例2】 经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻离地面2 384千米的位置，地球半径为6 371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P 的坐标.解 在赤道平面上，我们选取地球球心为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立平面极坐标系，在此基础上，取以O 为端点且经过北极的射线Oz (垂直于赤道平面)为另一条极轴，如图所示建立一个球坐标系.由已知航天器位于经度为80°，可知θ＝80°，由航天器位于纬度75°，可知，φ＝90°－75°＝15°，由航天器离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，可知r ＝2 384＋6 371＝8 755千米.所以点P 的球坐标为(8 755，15°，80°).【反思感悟】 写空间任一点的球半径，就是求该点到点O 的距离和方位角、高低角.两个角可以和地球的经纬度相结合，要搞清它们的联系和区别.2.在赤道平面上，我们选取地球球心O 为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立坐标系.有A ，B 两个城市，它们的球坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫R ，π4，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫R ，π4，2π3，飞机应该走怎样的航线最快，所走的路程有多远？解 由题意可知面AOO 1，面BOO 1都垂直于两圆平面， ∴∠AO 1B 是两平面AOO 1和BOO 1的夹角， 又∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫R ，π4，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫R ，π4，2π3，∴∠AO 1B ＝2π3－π6＝π2， ∠AOO 1＝∠BOO 1＝π4， ∠AO 1O ＝∠BO 1O ，∴小圆O1的半径r＝22R，∴AB＝R，∴∠AOB＝π3，则经过A、B两地的球面距离为π3R.故飞机经过A、B两地的大圆，航线最短，其路程为π3R.题型三空间点的坐标1.空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和竖坐标三度来确定的，即(x，y，z).2.空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的竖坐标组成的，即(ρ，θ，z).3.(1)空间点的球坐标是点和原点的连线与x轴正方向所成的角θ，与z轴的正方向所成的角φ，以及点到原点的距离r组成的，即(r，φ，θ).(2)注意球坐标的顺序为：①到原点的距离r；②与z轴正方向所成的角φ；③与x轴正方向所成的角θ.【例3】已知长方体ABCD—A1B1C1D1的边长为AB＝14，AD＝6，AA1＝10，以这个长方体的顶点A为坐标原点，以射线AB、AD、AA1分别为Ox、Oy、Oz 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C1的空间直角坐标，球坐标，柱坐标.分析如图所示，此题是考查空间直角坐标，球坐标，柱坐标的概念，我们要能借此区分三个坐标，找到它们的相同和不同来.C1点的(x，y，z)，分别对应着CD、BC、CC1，C1点的(ρ，θ，z)分别对应着CA、∠DCA、CC1，C1点的(r，φ，θ)分别对应着AC1、∠A1AC1、∠BAC.解C1点的空间直角坐标为(14，6，10)，C1点的柱坐标为(258，arctan 37，10)，C 1点的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫283，arccos 58383，arctan37. 【反思感悟】 注意空间任一点的直角坐标、球坐标和柱坐标的联系和区别，它们都能刻画点的位置，可以进行互化.3.结晶体的基本单位称为晶胞，图(1)是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为12的小正方体堆积成的正方体)，图形中的点代表钠原子，其他点代表氯原子，如图(2)所示，建立空间直角坐标系O -xyz 后，试写出全部钠原子所在位置的球坐标，柱坐标.解 把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标.下层的原子全部在xOy 平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0，0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π2，π4，它们的柱坐标分别为(0，0，0)，(1，0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，0； 上层的钠原子所在的平面平行于xOy 平面，与z 轴交点的竖坐标为1，所以，这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(1，0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫3，arctan 2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫62，arctan 22，π4，它们的柱坐标分别为(0，0，1)，(1，0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，1. 中层的原子所在的平面平行于xOy 平面，与z 轴交点的竖坐标为12，所以，这四个钠原子所在位置的球坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫62，arccos 66，arctan 12，⎝ ⎛⎭⎪⎫62，arccos 66，arctan 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，π2，它们的柱坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫52，arctan 12，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫52，arctan 2，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，π2，121.一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育中心O 的距离为500 m ，每相邻两排的间距为1 m ，每层看台的高度为0.7 m ，现在需要确定第九区第四排正中的位置A ，请建立适当的坐标系，求出点A 的坐标.解 以圆形体育场中心O 为极点，选取以O 为端点且过正东入口的射线Ox 为极轴，在地平面上建立极坐标系.则点A 与体育场中轴线Oz 的距离为503 m ，极轴Ox 按逆时针方向旋转17π16，就是OA 在地平面上的射影，A 距地面的高度为2.8 m ，因此我们可以用柱坐标来表示点A 的准确位置.所以点A 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫503，17π16，2.8. 2.一只蚂蚁在一个母线与轴线夹角为π3的圆锥面上从顶点出发盘旋着向上爬行，已知它上升的速度为v >0，盘旋的角速度为ω>0，求t 时刻蚂蚁所在的位置的球坐标.解 取圆锥的顶点O 为坐标原点，建立球坐标系，设t 时刻蚂蚁在点M (r ，φ，θ)处，由题意得θ＝ωt ，z ＝v t ，φ＝π3， 由于z r ＝cos φ＝cos π3＝12， 于是r ＝2z ＝2v t ，所以t 时刻蚂蚁在球坐标系中的位置为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2v t ，π3，ωt ， t ∈[0，＋∞).3.摊开世界地图，问初次降临地球的外星人：台湾在哪里？阿根廷的Formosa(福尔摩沙)省又位于何处(如图所示)？外星人必然一头雾水，如果你再给他一组数据：.想一想，它们的位置有什么关联？解两地经度差180°，纬度相反.故它们位于地球同一直径的两个端点上.1.空间点的坐标的确定(1)空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和竖坐标三度来确定的，即(x，y，z).(2)空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的竖坐标组成的，即(ρ，θ，z).(3)空间点的球坐标是点在Oxy平面上的射影和原点的连线与x轴正方向所成的角θ，点和原点的连线与z轴的正方向所成的角φ，以及点到原点的距离r组成的，即(r，φ，θ).注意球坐标的顺序为：①到原点的距离r；②与z轴正方向所成的角φ；③与x轴正方向所成的角θ.2.球坐标的应用在球坐标系中，它的三度实际上也是我们所熟悉的，它与前面所学的球的一些基本知识是有着密切联系的.我们得熟悉这部分内容.(1)经线与经度：地球球面上从北极到南极的半个大圆叫做经线，规定以经过英国格林尼治天文台原址的经线为0°经线.一个地方的经度是指经过当地经线的所在半平面和0°经线所在半平面之间的夹角的度数，以0°经线为基准，向东度量的为东经，向西度量的为西经.如东经30°，西经60°等.(2)纬线与纬度：与地轴(通过北极和南极的直线)垂直的平面截地球球面所得的圆叫做纬线(纬线圈)，其中的大圆叫做赤道.一个地方的纬度是指当地与球心的连线和地球赤道平面之间所成的角的度数，赤道为0°纬线；以赤道为基准，向北度量为北纬，向南度量为南纬.如北纬25°，南纬23.5°.与球坐标比较，点P (r ，φ，θ)中的r 是到球心的距离，φ与纬度是互余的；θ与经度是相关的，若建立适当的坐标系，θ就是经度. 【规律方法总结】1.根据图形的特征，可以选择不同的坐标系来确定点的位置.2.点的直角坐标、柱坐标、球坐标可以相互转化.3.利用柱坐标系、球坐标系解决空间点的位置时，对于含角度的比较方便.一、选择题1.已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5，点B 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π6，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为( ) A.P 点(5，1，1)，B 点⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62B.P 点(1，1，5)，B 点⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62 C.P 点⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62，B 点(1，1，5) D.P 点(1，1，5)，B 点⎝ ⎛⎭⎪⎫62，364，324 解析 设P 点的直角坐标为(x ，y ，z )，x ＝2·cos π4＝2·22＝1，y ＝2·sin π4＝1，z ＝5. 设B 点的直角坐标为(x ，y ，z )， x ＝6·sin π3·cos π6＝6·32·32＝364， y ＝6·sin π3·sin π6＝6·32·12＝324，z ＝6·cos π3＝6·12＝62.所以，点P 的直角坐标为(1，1，5)，点B 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62. 答案 B2.设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3，3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3，3 解析 ∵ρ＝（－1）2＋（－3）2＝2，θ＝43π，z ＝3.∴M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43π，3.答案 C3.设点M 的直角坐标为(－1，－1，2)，则它的球坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，π4 解析 由变换公式r ＝x 2＋y 2＋z 2＝2，cos φ＝z r ＝22，∴φ＝π4.∵tan θ＝y x ＝1，∴θ＝54π. ∴M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，54π.答案 B4.点M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8，π3，56π则它的直角坐标为( )A.(－6，23，4)B.(6，23，4)C.(－6，－23，4)D.(－6，23，－4)解析 由x ＝8sin π3cos 5π6＝－6，y ＝8sin π3sin 5π6＝23，z ＝8cos π3＝4， 得点M 的直角坐标为(－6，23，4).答案 A5.点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8，π4，2，则点P 到原点的距离为( ) A.17 B.217 C.417D.817解析 x ＝8cos π4＝42，y ＝8sin π4＝42， ∴柱坐标化为直角坐标为(42，42，2)， |OP |＝32＋32＋4＝68＝217.答案 B 二、填空题6.在球坐标系中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π4和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，3π4的距离为________.解析 把A 、B 两点的球坐标化为直角坐标为A ()1，1，2， B ()－1，1，－2. |AB |＝（1＋1）2＋（1－1）2＋（2＋2）2＝12＝2 3.答案 2 37.在空间的柱坐标系中，方程ρ＝2表示________. 解析 在极坐标系中，ρ＝2表示圆心在极点半径为2的圆.在柱坐标系中方程ρ＝2表示以z 轴为中轴线的，半径为2的圆柱面. 答案 以z 轴为中轴线的，半径为2的圆柱面8.已知点M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π4，34π，点N 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－π4，34π，则M 、N 两点间的距离为________.解析 x ＝4sin π4cos 3π4＝4·22·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－2， y ＝4sin π4sin 3π4＝4·22·22＝2，z ＝4cos π4＝4·22＝22，∴点M 的直角坐标为(－2，2，22).同理点N 的直角坐标为(2，－2，22)，∴|MN |＝16＋16＝4 2.答案 4 29.在球坐标系中，方程r ＝1表示______________________，方程φ＝π4表示空间的________________________.解析 r ＝1表示球心在原点半径为1的球面，φ＝π4表示顶点在原点，母线与z 轴夹角为π4的圆锥面.答案 球心在原点，半径为1的球面 顶点在原点，轴截面夹角为π2的圆锥面三、解答题10.如图所示，在长方体OABC -D ′A ′B ′C ′中，|OA |＝3，|OC |＝5，|OD ′|＝3，A ′C ′与B ′D ′相交于点P ，分别写出点C 、B ′、P 的柱坐标.解 C 点的ρ、θ分别为|OC |及∠COA .B ′点的ρ为|OB |＝|OA |2＋|AB |2＝32＋52＝34；θ＝∠BOA ，而tan ∠BOA ＝|AB ||OA |＝53，所以∠BOA ＝arctan 53.P 点的ρ、θ分别为OE 、∠AOE ，|OE |＝12|OB |＝342，∠AOE ＝∠AOB .∴各点的柱坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π2，0，B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫34，arctan 53，3，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫342，arctan 53，3.11.用两平行面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，π4，θA 、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，34π，θB ，求出这两个截面间的距离. 解 在△OO 1A 中，由球坐标知∠AOO 1＝π4，|OA |＝8，∴|OO 1|＝8cos ∠AOO 1＝8×22＝42，同理在△OO 2B 中，|OB |＝8，∠O 2OB ＝π4，∴OO 2＝42，∴O 1O 2＝82， ∴两个截面间的距离为8 2.12.在柱坐标系中，求满足⎩⎨⎧ρ＝1，0≤θ<2π，0≤z ≤2的动点M (ρ，θ，z )围成的几何体的体积.解 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1，0≤θ<2π，0≤z ≤2的动点M (ρ，θ，z )的轨迹是以直线Oz 为轴，轴截面为正方形的圆柱，如图所示，圆柱的底面半径r＝1，h ＝2，∴V ＝Sh ＝πr 2h ＝2π(体积单位).习题1－3 (第22页)1.解 点A 的柱坐标为(3，0，3)，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π4，0； 点B 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，2，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，π2； 点C 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，0，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π2，π4. 图略2.解 点A 的直角坐标为(－22，22，2)；点B 的直角坐标为(3，33，－5). 图略.3.解 点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，3；点N 的直角坐标为(6，23，4).。