柱坐标系与球坐标系简介(第一课时) PPT

坐标系柱坐标系与球坐标系简介pptxx年xx月xx日contents •引言•坐标系柱坐标系•坐标系球坐标系•柱坐标系与球坐标系的比较•如何选择合适的坐标系•坐标系在科学领域的应用及发展目录01引言描述物体位置和运动的基本工具为定量描述提供基础应用于不同领域如物理、地理、工程等坐标系在科学领域的重要性坐标系基本概念及分类直角坐标系极坐标系Array基于距离和角度基于三个互相垂直的坐标轴圆柱坐标系球坐标系基于距离、角度和高度基于距离、角度和极角本次报告的主要内容比较两种坐标系的优缺点和适用范围举例说明在物理学和工程学中的应用柱坐标系与球坐标系的定义、性质和应用02坐标系柱坐标系1柱坐标系基本概念23是三维坐标系的一种，利用长度、角度和高度来描述点的位置。

柱坐标系以长度为r、角度为θ、高度为z三个参数来表示点的位置。

圆柱坐标系以球半径R、角度θ和 φ来表示点的位置，其中θ表示经度，φ表示纬度。

球面坐标系通过将直角坐标系的x、y坐标值分别替换为r和θ角度值，将z 坐标值保持不变即可实现转换。

直角坐标系转换为柱坐标系需要将r、θ和z三个参数转换为x、y、z三个方向的坐标值，其中x=r*cos(θ)，y=r*sin(θ)，z=z。

柱坐标系转换为直角坐标系柱坐标系与直角坐标系转换1柱坐标系应用举例23在地球物理学中，柱坐标系常被用于描述地球表面和内部的结构和特征。

在电磁学中，柱坐标系常被用于描述圆柱形导体中的电场和磁场分布。

在流体力学中，柱坐标系常被用于描述管道内的流体流动和传热等物理现象。

03坐标系球坐标系球坐标系是三维坐标系的一种，由一个原点、一个在原点正上方的北极点以及一条从原点出发，指向北极点的极轴构成。

球坐标系基本概念定义径向距离、角度和高度。

三个基本元素在球坐标系中，点的位置由径向距离、角度和高度三个参数确定。

坐标表示直角坐标系转换为球坐标系通过将直角坐标系的三个轴分别投影到球坐标系的三个元素上，可以得到球坐标系表示的点。

1.5 柱坐标系和球坐标系1.5.1 柱坐标系 1.5.2 球坐标系1.了解柱坐标系、球坐标系的意义，能用柱坐标系、球坐标系刻画简单问题中的点的位置.(重点)2.知道柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式.(难点)[基础·初探]1.柱坐标系 (1)柱坐标设空间中一点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，M 点在xOy 坐标面上的投影点为M 0，M 0点在xOy 平面上的极坐标为(ρ，θ)，如图1-5-1所示，则三个有序数ρ，θ，z 构成的数组(ρ，θ，z )称为空间中点M 的柱坐标.在柱坐标中，限定ρ≥0,0≤θ<2π，z 为任意实数.图1-5-1(2)空间直角坐标与柱坐标的变换公式空间点M (x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θz ＝z.2.球坐标系 (1)球坐标设空间中一点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，点M 在xOy 坐标面上的投影点为M 0，连接OM 和OM 0.图1-5-2如图1-5-2所示，设z 轴的正向与向量OM →的夹角为φ，x 轴的正向与OM 0→的夹角为θ，M 点到原点O 的距离为r ，则由三个数r ，θ，φ构成的有序数组(r ，θ，φ)称为空间中点M 的球坐标.若设投影点M 0在xOy 平面上的极坐标为(ρ，θ)，则极坐标θ就是上述的第二个球坐标θ.在球坐标中限定r ≥0,0≤θ<2π，0≤φ≤π.(2)空间直角坐标与球坐标的变换公式空间点M (x ，y ，z )与球坐标(r ，θ，φ)之间的变换公式为⎩⎨⎧x ＝r sin φcos θy ＝r sin φsin θz ＝r cos φ.[思考·探究]1.要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？ 【提示】 空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离.2.在柱坐标系中，方程ρ＝1表示空间中的什么曲面？在球坐标系中，方程r ＝1分别表示空间中的什么曲面？【提示】 柱坐标系中，ρ＝1表示以z 轴为中心，以1为半径的圆柱面；球坐标系中，方程r ＝1表示球心在原点的单位球面.[自主·测评]1.在空间直角坐标系中，点P 的柱坐标为(2，π4，3)，P 在xOy 平面上的射影为Q ，则Q 点的坐标为( )A.(2,0,3)B.(2，π4，0) C.(2，π4，3)D.(2，π4，0)【解析】 由点的空间柱坐标的意义可知，选B. 【答案】 B2.已知点A 的柱坐标为(1,0,1)，则点A 的直角坐标为( ) A.(1,1,0) B.(1,0,1) C.(0,1,1)D.(1,1,1)【解析】 x ＝ρ·cos θ＝1cos θ＝1，y ＝ρsin θ＝0，z ＝1. 【答案】 B3.设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是( ) A.(2，π3，3)B.(2，2π3，3)C.(2，4π3，3) D.(2，5π3，3)【解析】∵ρ＝(－1)2＋(－3)2＝2，tan θ＝－3－1＝3，∴θ＝π3或4 3π.又∵M的直角坐标中x＝－1，y＝－3，∴排除θ＝π3，∴θ＝4 3π.∴M的柱坐标为(2，4π3，3).【答案】 C4.设点M的直角坐标为(－1，－1,0)，则它的球坐标为()【导学号：62790006】A.(2，π4，0) B.(2，5π4，π2)C.(2，5π4，0) D.(2,0，π4)【解析】由坐标变换公式，得r＝x2＋y2＋z2＝2，cos φ＝zr＝0，∴φ＝π2.∵tan θ＝yx＝1，∴θ＝5 4π.【答案】 B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑： 疑问3： 解惑： 类型一 点的柱坐标与直角坐标互化设点M 的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标系中的坐标.【精彩点拨】 已知直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z .求出ρ，θ即可.【尝试解答】 设M 的柱坐标为(ρ，θ，z )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧1＝ρcos θ，1＝ρsin θ，z ＝1，解之得，ρ＝2，θ＝π4.因此，点M 的柱坐标为(2，π4，1).由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M 的柱坐标为(ρ，θ，z )代入变换公式⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z .求ρ；也可以利用ρ2＝x 2＋y 2，求ρ.利用tan θ＝yx ，求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值.[再练一题]1.根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标： (1)(2，5π6，3)；(2)(2，π4，5). 【解】 设点的直角坐标为(x ，y ，z ). (1)∵(ρ，θ，z )＝(2，5π6，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos 5π6＝－3，y ＝ρsin θ＝2sin 5π6＝1，z ＝3，因此所求点的直角坐标为(－3，1,3). (2)∵(ρ，θ，z )＝(2，π4，5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1，z ＝5.故所求点的直角坐标为(1,1,5). 类型二 将点的球坐标化为直角坐标已知点M 的球坐标为(2，34π，34π)，求它的直角坐标. 【精彩点拨】球坐标――――――――――――――――→x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ直角坐标【尝试解答】 设点的直角坐标为(x ，y ，z ). ∵(r ，θ，φ)＝(2，34π，34π)，∴x ＝2sin 34πcos 34π＝2×22×(－22)＝－1，y ＝2sin 34πsin 34π＝2×22×22＝1， z ＝2cos 34π＝2×(－22)＝－ 2. 因此点M 的直角坐标为(－1,1，－2).1.根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的球坐标(r ，θ，φ)中角φ，θ的边与数轴Oz ，Ox 的关系，注意各自的限定范围，即0≤θ<2π，0≤φ≤π.2.化点的球坐标(r ，θ，φ)为直角坐标(x ，y ，z )，需要运用公式⎩⎨⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ.转化为三角函数的求值与运算.[再练一题]2.若“例2”中点M 的球坐标改为M (3，5π3，5π6)，试求点M 的直角坐标. 【解】 设M 的直角坐标为(x ，y ，z ). ∵(r ，θ，φ)＝(3，5π3，5π6)， x ＝r sin φcos θ＝3sin 5π6cos 5π3＝34， y ＝r sin φsin θ＝3sin 5π6sin 5π3＝－334， z ＝r cos φ＝3cos5π6＝－332. ∴点M 的直角坐标为(34，－334，－332). 类型三 空间点的直角坐标化为球坐标已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面正方形ABCD 的边长为1，棱AA 1的长为2，如图1-5-3所示，建立空间直角坐标系Axyz ，Ax 为极轴，求点C 1的直角坐标和球坐标.图1-5-3【精彩点拨】 先确定C 1的直角坐标，再根据空间直角坐标系与球坐标系的联系，计算球坐标.【尝试解答】 点C 1的直角坐标为(1,1，2).设C 1的球坐标为(r ，θ，φ)，其中r ≥0,0≤θ<2π，0≤φ≤π， 由x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r ·cos φ， ∴r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋(2)2＋12＝2.由z ＝r cos φ，∴cos φ＝22，φ＝π4. 又tan θ＝y x ＝1，∴θ＝π4， 从而点C 1的球坐标为(2，π4，π4).1.由直角坐标化为球坐标时，我们可以选设点M 的球坐标为(r ，θ，φ)，再利用变换公式⎩⎨⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ.求出r ，θ，φ.2.利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝y x ，cos φ＝zr .特别注意由直角坐标求球坐标时，应首先看明白点所在的象限，准确取值，才能无误.[再练一题]3.若本例中条件不变，求点C 的柱坐标和球坐标. 【解】 易知C 的直角坐标为(1,1,0).设点C 的柱坐标为(ρ，θ，0)，球坐标为(r ，φ，θ)，其中0≤φ≤π，0≤θ<2π. (1)由于ρ＝x 2＋y 2＝12＋12＝ 2.又tan θ＝yx ＝1， ∴θ＝π4.因此点C 的柱坐标为(2，π4，0). (2)由r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋0＝ 2.∴cos φ＝z r ＝0，∴φ＝π2. 故点C 的球坐标为(2，π2，π4).[真题链接赏析](教材P21练习T2)设点M的柱坐标为(2，π6，7)，求它的直角坐标.在柱坐标系中，点M的柱坐标为(2，23π，5)，则|OM|＝________.【命题意图】本题主要考查柱坐标系的意义，以及点的位置刻画.【解析】设点M的直角坐标为(x，y，z).由(ρ，θ，z)＝(2，23π，5)知x＝ρcos θ＝2cos 23π＝－1，y＝2sin23π＝ 3.因此|OM|＝x2＋y2＋z2＝(－1)2＋(3)2＋(5)2＝3.【答案】 3我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。

球坐标系和柱坐标系球坐标系和柱坐标系是空间解析几何中常用的坐标系，它们可以用来描述三维空间中的点的位置和方向。

本文将介绍球坐标系和柱坐标系的定义、坐标变换以及其在不同领域的应用。

一、球坐标系球坐标系是一种三维坐标系，用来描述三维空间中的点的位置。

它由径向距离r、极角θ和方位角φ来确定一个点的坐标。

径向距离r表示点到坐标原点的距离，极角θ表示点与正z轴的夹角，方位角φ表示点在x-y平面上投影与正x轴的夹角。

在球坐标系中，一个点的坐标可以表示为(r,θ,φ)。

坐标变换公式如下：```x = r * sinθ * cosφy = r * sinθ * sinφz = r * cosθ```球坐标系常见于物理学、天文学和计算机图形学等领域的问题求解。

物理学中常用球坐标系描述粒子在空间中的位置和动量，能够简化很多问题的求解过程。

在天文学中，球坐标系可以用来描述星体的位置和运动轨迹。

二、柱坐标系柱坐标系是另一种常见的三维坐标系，适用于平面内与柱面有关的问题。

柱坐标系由极径ρ、极角θ和高度z来确定一个点的坐标。

极径ρ表示点到z轴的距离，极角θ表示点在x-y平面上的投影与正x轴的夹角，高度z表示点在z轴上的坐标。

柱坐标系中，一个点的坐标可以表示为(ρ,θ,z)。

坐标变换公式如下：```x = ρ * cosθy = ρ * sinθz = z```柱坐标系常见于物理学、工程学和流体力学等领域的问题求解。

在工程学中，柱坐标系常用于描述圆柱形结构的变形和应力分布，能够更直观地理解和解决与柱面相关的工程问题。

在流体力学中，柱坐标系可以用来描述圆柱形容器中的流体流动规律。

综上所述，球坐标系和柱坐标系是在三维空间中描述点的位置和方向的常用坐标系。

它们各自具有独特的特点和应用场景，在不同领域的问题求解中发挥着重要作用。

熟练掌握球坐标系和柱坐标系的定义和坐标变换公式，对于解决相关问题具有重要意义。