定积分应用拾零
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2000年6月 十堰职业技术学院学报 June,2000第13卷第2期 Journal of Sh iyan T echnical Institute V o l .13N o.2定积分应用拾零α肖海华(十堰职业技术学院计算机工程系,湖北十堰 442000) [摘 要] 本文用定积分的元素法,归纳出含有内切圆的多边形的面积与周长间、含内切球的几何体的体积与表面积间的微积分关系,并给出计算旋转体体积的一般公式。
[关键词] 元素法;周长;面积;体积;旋转体[中图分类号] O 17212 [文献标识码] A [文章编号] 100824738(2000)022******* 在定积分的应用中,经常采用所谓的元素法,应用这个方法可以解决几何学、物理学中的一些问题,这在一般的高等数学教科书中均有介绍。
本文通过用定积分的元素法求平面图形的面积、空间立体的体积,归纳出含有内切圆的多边形的面积与周长间、有内切球的几何体的体积与表面积间具有微积分关系,并给出直角坐标系下计算旋转体体积的一般公式。
1 有内切圆的多边形的面积与周长间的关系我们知道,半径为r 的圆的面积A (r )与圆的周长L (r )间有如下关系: L (r )=d drA (r ) A (r )=∫r0L (x )dx(1)一般地我们有定理1:若多边形有半径为r 的内切圆,则该多边形的面积A (r )与周长L (r )满足(1)。
对于有半径为r 的内切圆的任意n 边形,设其周长为L (r ),则L (r )=k r ,其中k =∑ni=1(tan Αi1+tan Αi2),改变边心距x ,作出若干个同心相似的n 边形,将其分割成若干个多边形环带,相应于区间[x ,x +∃x ]的多边形环带(如图1所示),其宽为∃x ,内周长为L (x ),其面积∃A ≈dA =L (x )∃x =kx ・∃x ,而α[收稿日期] 2000202203[作者简介] 肖海华(1965—),男,十堰职业技术学院计算机工程系高级讲师。
∃A =12[L (x +∃x )・(x +∃x )-L (x )・x]图1 有内切圆的多边形 =K 2[(x +∃x )2-x 2]li m∃x →0∃A -dA∃x=0于是该n 边形的面积A (r )=∫rkxdx =k 2r 2,定理1得证。
例1:因为任意三角形均有内切圆,其周长L (r )=2r (co tA 2+co tB 2+co tC 2),由定理1得其面积A (r )=r 2(co t A 2+co tB2+co t C2),(A 、B 、C 为三角形的内角)。
2 有内切球的几何体的体积与表面积间的关系2.1 球的体积与表面积关于球面面积,文献[1]中有如下表述:“把以球面为边界的球的体积的增量与它的半径的增量之比,当半径的增量趋于零时的极限作为球面积:S =li m∃R →0∃V∃R”,即半径为R 的球的体积V (R )与球的表面积S (R )间有如下微积分关系:V (R )=∫R0S (x )dx , S (R )=ddRV (R )(2)事实上,改变球的半径x ,将半径为R 的球分割成若干个厚为∃x 的球壳,相应于区间[x ,x +∃x ]的球壳的内表面面积为4Πx 2,其体积∃V 近似于dV =4Πx 2dx .于是,球的体积V =∫R4Πx 2dx =43ΠR 3,上述关系(2)成立。
2.2 正多面体的体积与表面积下面以正四面体为例,说明任一含有内切球的正多面体的体积与表面积间也具有这种微积分关系。
设有一棱长为a 的正四面体,由几何学知其内切球半径R =612a ,其表面积为S (R )=243R 2。
改变面心距x ,将其分割成若干个同心正四面体壳,相应于区间[x ,x +∃x ]的正四面体壳内表面面积S (x )=243x 2,其体积∃V ≈dV =243x 2∃x∃V =43・63(x +∃x )2・(x +∃x )-43・63x 2・x∃V -dV =243(∃x )2(x +13∃x )li m ∃x →0∃V -dV∃x=0 十堰职业技术学院学报 2000年第2期 第13卷第2期 于是正四面体的体积V(R)=∫R0243x2dx=83R3,正四面体的体积V(R)与表面积S(R)间满足(2)。
类似的其余正多面体也满足(2)。
根据正多面体的内切球半径R与棱长a之间的关系[1]我们有下表:多面体面内切球半径R表面积S(R)体积V(R)正四面体正三角形612a243R283R3正六面体正方形a224R28R3正八面体正三角形66a123R243R3正十二面体正五边形10+(25+115)20a30(3-5)5-25R210(3-5)5-25R3正二十面体正三角形3(3+5)12a303(7-35)R2103(7-35)R3 2.3 含内切球的任意多面体的体积与表面积图2 含内切球多面体的剖分图设有一含半径为R的内切球的多面体,其表面积为S(R)。
改变面心距x(0≤x≤R),作出若干个相似多面体,将其分割成若干个多面体壳,相应于区间[x,x+∃x]的多面体壳,其厚为∃x,内侧面积为S(x),外侧面积为S(x+∃x)。
S(x+∃x)S(x)=(x+∃xx)2其体积∃V≈dV=S(x)・∃x,∃V=13[(x+∃x)・S(x+∃x)-x・S(x)]=S(x)3x2[(x+∃x)3-x3]li m∃x→0∃V-dV∃x=0因此该多面体的体积V(R)=∫R0S(x)dx,即(2)成立。
一般情况下我们有:定理2:若多面体含有半径为R的内切球,则其体积V(R)与表面积S(R)满足(2)。
即 V(R)=∫R0S(x)dx, S(R)=d dR V(R)。
事实上,含有内切球的其它几何体也满足这种关系。
例如,高h等于底面直径2R的圆柱体的表面积S(R)=6ΠR2,体积V(R)=2ΠR3,满足定理2。
定积分应用拾零应用定理2可以方便地解决一些问题,可以求一类特殊曲面的表面积,在微积分教材中,一般需要用重积分,应用上述结论只需求曲面所围体积V (R ),再求导数即得到曲面表面积,可以收到事半功倍的效果。
例2 求x 2+y 2=a 2及x 2+z 2=a 2两个柱面所围成立体的体积和表面积。
图3 直交圆柱体解 利用立体关于坐标面的对称性,只要算出它在第一卦限部分(图3)的体积,然后再乘以8就行了。
过点(x ,0,0)作垂直于x 轴的截面,得一正方形,其边长为a 2-x 2,所以体积V =8∫a0A (x )dx=8∫a(a 2-x 2)dx=163a 3这两个圆柱面相交所成立体含有半径为a 的内切球,由定理2知,其表面积S =dVda=16a 23 旋转体的体积关于旋转体的体积,在高等数学教材中一般都只讨论了平面图形绕x 轴或y 轴旋转所成旋转体的体积。
下面我们给出在直角坐标系下,计算曲边梯形绕任一给定直线旋转所成旋转体的体积的一般公式。
定理3:设函数y =f (x )在区间[a ,b ]上有连续导数,L :y -y 0=k (x -x 0)为过点O ′(x 0,y 0)的直线,如图4所示,曲边梯形ABB ′A ′绕L 旋转一周所成的旋转体体积为:V =Π(1+k 2)32∫ba (k (x -x 0)-f (x )+y 0)2・ kf ′(x )+1 dx (3)证明:任取[x ,x +dx ]Α[a ,b ],则点M (x ,f (x ))到直线L 的距离r = M H =k (x-x 0)-f (x )+y 01+k 2直线M H 的方程为:X +kY -kf (x )-x =0。
记l = O ′H = x 0+ky 0-kf (x )-x1+k 2dl =kf ′(x )+1 1+k 2dx故所求旋转体的体积为:V =Π∫(B ′)(A ′)r 2dl =Π∫ba (k (x-x 0)-f (x )+y 0)21+k 2・ kf ′(x )+1 1+k 2dx 十堰职业技术学院学报 2000年第2期 第13卷第2期 =Π(1+k2)32∫b a(k(x-x0)-f(x)+y0)2・图4 曲边多边形kf′(x)+1 dx.定理3证毕。
1.若直线L过原点,其方程为y=kx,则V=Π(1+k2)32∫b a(kx-f(x))2 kf’(x)+1 dx.(4)2.(4)中若k=0,此时曲边梯形绕x轴旋转,V=Π∫b a f2(x)dx与高等数学教材中结论一致。
例3 求抛物线y=x2与直线y=kx(k>0)所围成的图形绕该直线旋转所成旋转体的体积。
解 抛物线y=x2与直线y=kx交于(0,0)和(k,k2), f(x)=x2,f′(x)=2x由(4)得所求旋转体的体积为:V=Π(1+k2)32∫b a(kx-x2)2 2kx+1 dx=Πk5301+k2[参 考 文 献][1]А.Г.齐普金.数学手册[M].李万年译.北京:知识出版社,1983.[2]陈传璋等.数学分析:上册[M].北京:人民教育出版社,1979.347-348.Som e appl ica tion s of def i n ite i n tegra lX I AO H ai2hua(D ep t.of Computer Eng.,Sh iyan T echnical Institute,Sh iyan H ubei442000) Abstract:T h is paper,app lying the elem ent analysis of definite integral,has induced an algo rithm of infinitesi m al to value the rati o betw een the peri m eter of a po lygon and the area of the po lygon w ith an inscribed circle,the rati o betw een the surface of a geom etric body and the vo lum e of the geom etric body w ith an inscribed sphere.T he paper has also offered a fo r m ula of the vo lum e of a ro tato r. Key words:elem ent analysis;peri m eter;area;vo lum e;ro tato r定积分应用拾零。
