(完整word版)七年级实数讲义

《实数》讲义一、实数的概念实数，这个在数学世界中极为基础且重要的概念，是我们理解数量关系和解决数学问题的关键。

简单来说，实数就是包括有理数和无理数的数集。

有理数，我们都很熟悉，像整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）都属于有理数。

而无理数呢，则是那些无限不循环小数，比如大家熟知的圆周率π，还有根号 2 等等。

实数可以直观地理解为在数轴上能找到对应点的数。

也就是说，数轴上的每一个点都代表着一个实数，反之，每一个实数也都能在数轴上找到对应的点。

二、有理数有理数是实数的重要组成部分。

整数，像－3、0、5 这样的数，它们没有小数部分，清晰明了。

分数呢，比如 1/2、3/4 ，可以表示为两个整数的比值。

有理数具有一些很重要的性质。

比如，两个有理数相加、相减、相乘或相除（除数不为 0），结果仍然是有理数。

而且，有理数是可以用有限小数或无限循环小数来表示的。

我们在日常生活中，很多常见的数量关系都可以用有理数来描述。

比如购物时的价格、物品的数量等等。

三、无理数无理数虽然不像有理数那样“规矩”，但在数学中同样不可或缺。

像根号 2 ，它的值约为 141421356……，这个小数无限且不循环。

圆周率π，约为31415926……，也是一个无限不循环小数。

无理数的发现，让人们对数学的认识更加深入和丰富。

虽然它们的数值看起来没有规律，但通过数学方法和计算，我们可以对它们进行近似和研究。

四、实数的运算实数的运算包括加法、减法、乘法、除法和乘方等。

加法和减法：实数的加法和减法遵循相同的规则，即将对应位上的数字相加或相减，并考虑进位和借位。

乘法：两个实数相乘，先将它们按照整数乘法的规则相乘，然后确定积的符号（同号得正，异号得负），最后根据小数位数确定积的小数点位置。

除法：将除数变为倒数，然后与被除数相乘。

乘方：一个实数的 n 次幂，就是将这个实数乘以自身 n 次。

在进行实数运算时，要特别注意运算顺序，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减。

实数 第01课 平方根1.乘方:“n a ”.乘方的结果叫做幂，a 叫做底数，n 叫做指数，读作a 的n 次方或a 的n 次幂.2.平方:“2a ”，读作a 的平方或a 的二次方.3.平方的性质:任何数的平方都是非负数；算术平方根概念：一般地，如果一个正数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的算术平方根，也就是说，如果x 2=a ，（x>0）那么x 叫做a 的算术平方根.则a x = 算术平方根性质：(1)当a ≥0时a ≥0（由定义得出）即非负数的算术平方根是非负数⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a （由定义得出）(2)个数性质：正数和0的算术平方根据都只有一个(3)还原性质：当0≥a 时，a a =2)(，即非负数算术平方根的平方等于该非负数 完全平方数：能够完全开方开的尽的数。

如1,4,9,16，...平方根概念：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根，也就是说，如果x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根.则a x ±=开平方：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方.即求a ±的运算叫开平方. 表示方法：一个正数a 的平方根表示为a ±；若x 2=a (a >0)则x=a ±。

平方根的性质：(1)个数性质：正数有两个平方根，它们互为相反数,0只有一个平方根就是0本身.负数没有平方根 (2)还原性质：（由定义得出）当a ≥0时(a ±)2=a 即：非负数的平方根的平方等于该数 （三）a a a ±-,,的含义：a ：当a ≥0时，表示a 的算术平方根a -：当a ≥0时，表示a 的算术平方根的相反数a ±：当a ≥0时，表示a 的平方根平方根的求法： 逆运算法，查表法，计算器，式子计算查表法的理论根据： 如果正数的小数点向右或向左移动2位，那么它的算术平方根的小数点就相应地向右、向左移动一位. 查表外数小数点移动法则：（1）被开方数的小数点要两位两位地移动，移动到使被查数成为有一位或两位整数的数 （2）被开方数的小数点每移动两位，查得的算术平方根的小数点要向相反方向移动一位。

环 球 雅 思 教 育 学 科 教 师 讲 义年 级 ： 上 课 次 数 ：学 员 姓 名 ： 辅 导 科 目 ： 学 科 教 师 ： 课 题课 型 □ 预习课 □ 同步课 □ 复习课 □ 习题课 授课日期及时段教 学 内 容【基础知识网络总结与新课讲解】6.2 实 数知识点一 无理数的概念定义：无限不循环小数叫做无理数，如π=3.1415926…，2 1.414213=，－1.010010001…，都是无理数。

注意：①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足；②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数；③凡是整数的开不尽的方根都是无理数，如2、3等。

例1 332278,3, 3.141,,,,2,0.1010010001,1.414,0.020202,7378π-----有理数{ } 无理数{ }想一想：有理数与无理数的区别？注意：判断一个数是否为无理数，不能只从形式上看，带根号的不一定是无理数，只有开方开不尽的数是无理数。

练习：下列说法正确的是（ ）A.分数是无理数B.无限小数是无理数C.不能写成分数形式的数是无理数D.不能再数轴上表示的数是无理数知识点二 实数1. 实数：有理数和无理数统称为实数 实数的分类：① 按定义分类： ② 按大小分类例2.判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。

①无限小数都是无理数；②无理数都是无限小数；③带根号的数都是无理数；④有理数都是实数，实数不都是有理数；⑤实数都是无理数，无理数都是实数；⑥实数的绝对值都是非负实数；⑦有理数都可以表示成分数的形式。

2. 实数的几个有关概念：①相反数：a与－a互为相反数，0的相反数是0。

a+b=0⇔a、b互为相反数。

②倒数：若0a≠，则1a称为a的倒数，0没有倒数。

1ab a=⇔、b互为倒数。

③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

《实数》讲义一、实数的概念在数学的世界里，实数是我们经常接触和运用的一个重要概念。

那什么是实数呢？简单来说，实数就是有理数和无理数的统称。

有理数包括整数和分数。

整数像－3、－2、－1、0、1、2、3 等等，分数则是可以表示为两个整数之比的数，比如 1/2、3/4 等。

而无理数则是那些不能表示为两个整数之比的数，最常见的就是圆周率π和开方开不尽的数，如√2 等。

二、实数的分类为了更好地理解和研究实数，我们对其进行分类。

1、按定义分类有理数：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。

无理数：无限不循环小数。

2、按正负分类正实数：包括正有理数（正整数和正分数）和正无理数。

零：既不是正数也不是负数。

负实数：包括负有理数（负整数和负分数）和负无理数。

实数具有许多重要的性质，这些性质是我们进行数学运算和解决问题的基础。

1、有序性任意两个实数 a 和 b，要么 a ＜ b，要么 a ＝ b，要么 a ＞ b，这三种关系必有一种成立。

2、稠密性在任意两个不同的实数之间，都存在着无穷多个实数。

3、四则运算封闭性两个实数进行加、减、乘、除（除数不为 0）运算，其结果仍然是实数。

四、实数的数轴表示实数与数轴上的点是一一对应的关系。

也就是说，数轴上的每一个点都对应着一个唯一的实数，反过来，每一个实数也都可以在数轴上找到对应的点。

我们以 0 为原点，向右为正方向，单位长度为 1。

比如，数字 2 就在原点右边 2 个单位长度的位置，－3 就在原点左边 3 个单位长度的位置。

通过数轴，我们可以直观地比较实数的大小。

数轴上右边的点所表示的实数总是大于左边的点所表示的实数。

1、加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

一个数与 0 相加，仍得这个数。

例如：3 ＋ 5 ＝ 8，－3 ＋（－5) ＝－8，3 ＋（－5) ＝－2。

2、减法减去一个数，等于加上这个数的相反数。

1月17日复华七年级数学实数12、1 实数得概念一、引入 数得范围至此扩大到了有理数,复习有理数得定义与分类:定义:整数与分数统称为有理数。

分类: 有理数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数如果把整数瞧作分母为1得分数,那么有理数就就是用两个整数之比表示得分数:)0,(≠q q p qp都是整数，且 质疑:数得扩充就是不就是到此为止了呢？有理数就是不就是够用了？还有没有不就是有理数得数呢？ 问题2:正方形ABCD 得边长怎样表示？分析:设正方形ABCD 得边长为x,那么x 2=2,即x 就是这样一个数,它得平方等于2。

这个数表示面积为2得正方形得边长,就是现实世界中真实存在得线段长度。

由于这个数与2有关,我们现在用2(读作“根号2”)来表示。

追问:面积为3得正方形,它得边长又如何表示？若面积为5呢？ 问题3:2就是有理数吗？ 因为:有理数=分数)0,(≠q q p qp都是整数，且= 而2肯定不能表示为分数(详见P36),,所以2只能就是“无限不循环小数”。

问题4:无限不循环小数还有吗？就是分数吗？ Π就是有理数码？ 二、归纳1.无理数(1)无限不循环小数叫做无理数。

(2)无理数包括正无理数与负无理数。

(3)只有符号不同得两个无理数,它们互为相反数。

2.实数(1)有理数与无理数统称为实数。

(2)实数可以这样分类:正有理数有理数 零 ——有限小数或无限循环小数实数 负有理数{{正无理数无理数 ——无限不循环小数负无理数三、练习1.将下列各数填入适当得括号内: 0、-3、2、6、3、14159、722、32.0 、5、π、0、3737737773…、 有理数:﹛ ﹜;无理数:﹛ ﹜; 正实数:﹛ ﹜;负实数:﹛ ﹜; 非负数:﹛ ﹜;整 数:﹛ ﹜、 提问:常见得无理数得形式有哪几种？(三种形式) 2.请构造几个大小在3与4之间得无理数。

3.就是非题(1) 无限小数都就是无理数; 无理数都就是无限小数; (2)正实数包括正有理数与正无理数; (3)实数可以分为正实数与负实数两类; (4)带根号得数都就是无理数; (5)不含根号得数不一定就是有理数; (6)实数不就是有理数就就是无理数;(7)无限小数不能化为分数;4.用“就是”、“不就是”、“统称”、“包括”、“叫做”填空,并体会这些词得含义: (1)2 分数。

实数知识点一（平方根和立方根） 【知识梳理】1．一般的，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，a 叫做被开方数． 规定：0的算术平方根是0．2．一般的，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．这就是说，如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根，a 的平方根记为a ±．3．求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方．4．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．5．一般的，如果_一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。

这就是说，如果a x =3，那么x 叫做a 的立方根，a 的立方根记为3a ．6．求一个数a 的立方根的运算，叫做开立方．7．正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0． 8．一般的，=-3a 3a -．【例题精讲】题型1：平方根、算术平方根、立方根的概念 例1：25111的平方根是______；0.0001算术平方根是______：0的平方根是______． 125的立方根是______；81-的立方根是______．例2：判断正误（1）3是9的算术平方根．（ ） （2）3是9的一个平方根．（ ） （3）9的平方根是－3．（ ） （4）（－4）2没有平方根．（ ） （5）－42的平方根是2和－2．（ ） （6）6427的立方根是43±．（ ） （7）有理数一定有立方根．（ ）例3：下列说法中正确的是（ ）A 、的平方根是±3 B 、1的立方根是±1 C 、=±1 D 、是5的平方根的相反数题型2：计算例1： 计算：（1）=121______；（2）=-256______；（3）=±212______；（4）=43______；（5）=-2)3(______；（6）=-412______． （7）=3064.0______； （8）=3216______；（9）=-33)2(______；（10）=364611______ 例2：求下列各式的值：（1）325 （2）3681+ （3）25.004.0- （4）121436.0⋅（5）327102-- （6）3235411+⨯ （7）3231)3(27---+-例3：求下列各数中的x 值⑴225x = ⑵2810x -= ⑶2449x = ⑷225360x -=⑸3512x = ⑹3641250x -= ⑺()31216x -=-题型3：实际应用例1：要切一块面积为16cm 2的正方形钢板，它的边长是多少？例2：要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？例3：已知5x ＋19的立方根是4，求2x ＋7的平方根．【课堂练习】一、选择题1. ）．Ａ.2 Ｂ．±2 Ｃ．-2 Ｄ．4． 2.下列说法正确的是（ ）A 、64-的立方根是4±；B 、64-的平方根是8-；C 、8的立方根是2±；D 、27-的立方根是3-。

1、 七年级数学讲义一：实 数姓名【知识梳理】实数的分类无理数数轴上的点与实数一一对应右边的点表示的数比左边的大数轴上两点之间的距离b a AB -=实数的运算 分数指数幂已知下列实数： ,1020.5,23,0,1.2,25,,722,14.3,32⨯-•π25， 1010010001.1（每两个1之间依次多一个0）.（1）按要求填空：无理数有______________________________,有理数有______________________________，整数有________________________________.分数有______________________________,（2）请在数轴上用点A 、点B 分别表示5-,3的大致位置.（3）求出点A 、点B 之间的距离.（结果保留3个有效数字）例题2 平方根.立方根,n 次方根的概念填空：（1）64的平方根是______； （2）64-的立方根是______；（3）64=______； （4）32的五次方根是______；（5）1的四次方根是______； （6）0的立方根是_______；（7）已知42=x ，则=x _______； （8）4的平方根是_____.练习： 1．________的平方根有两个，________的平方根只有一个，并且________没有平方根．2．的算术平方根是________．3．9的算术平方根是________，81的算术平方根是________．4．36的平方根是________，若362=x ，则x ＝________．5．22的平方根是________，3)4(--的平方根是________，3)4(--的算术平方根是________．6． 81的平方根是________，算术平方根是________，算术平方根的相反数是_______，7．当a ________时，1-a 有意义．8、 求下列各式的值．（138-= （2）327= （3）30.125-=（4）33(0.001)--= （53512= （6）32764--= （7）0.0196= （8）0.0225= （90.0169=9．23a -与5a -是同一个数的平方根，求这个数例题3 概念辨析：下列等式是否正确改错。