北京市中学生数学竞赛初二年级竞赛试题

初二数学竞赛试题7套整理版(含答案)初二数学竞赛试题7套整理版（含答案）第一套试题1. 某数与它的四分之一之和的和是28，求这个数是多少？解：设这个数为x，根据题意可得方程 x + (1/4)x + x = 28，化简得9/4x = 28，解得 x = 44.2. 有一个矩形，长是宽的3倍，如果长再加上宽再加上1的和等于50，求矩形的长和宽各是多少？解：设矩形的宽为x，则长为3x，根据题意可得方程 3x + x + 1 = 50，化简得 4x + 1 = 50，解得 x = 12，所以长为3 * 12 = 36，宽为12.3. 某个数的三次方减去它自身等于608，求这个数是多少？解：设这个数为x，根据题意可得方程 x^3 - x = 608，化简得 x^3 - x - 608 = 0，因此需求解该方程的解x.4. 甲数和乙数之和是300，甲数比乙数大30，求甲数和乙数各是多少？解：设甲数为x，乙数为y，根据题意可得方程 x + y = 300，x - y = 30，联立这两个方程可以解得甲数x和乙数y.5. 家长购买某品牌的饮料，每瓶售价为5元，如果购买10瓶，优惠50%，那么需要支付的价格是多少？解：购买10瓶优惠50%，相当于购买5瓶的价格，所以需要支付 5 * 10 * (1 - 50%) = 25元.第二套试题1. 学校图书馆购买300本新书，若图书馆中已有书籍500本，现将这些书按每排放10本的方式摆放，共需要多少排？解：新书300本加上原有书籍500本，共计800本书，每排放10本，所以需要 800 / 10 = 80排.2. 小明每天早上跑步30分钟，下午骑自行车25分钟，晚上游泳40分钟，求他一天中运动的总时长是多少分钟？解：小明一天早上跑步30分钟，下午骑自行车25分钟，晚上游泳40分钟，总时长为 30 + 25 + 40 = 95分钟.3. 甲、乙两人开始一起钓鱼，甲每分钟能钓2条鱼，乙每分钟能钓1条鱼，如果他们一起钓了45分钟，那么他们一共钓到了多少条鱼？解：甲每分钟能钓2条鱼，乙每分钟能钓1条鱼，他们一起钓了45分钟，所以甲和乙一共钓到了 2 * 45 + 1 * 45 = 135 条鱼.4. 某商品原价100元，现在打8折，过了一段时间后再降价，降到原价的85%，现在这个商品的售价是多少？解：原价100元，打8折后为 100 * (1 - 80%) = 80元，再降到原价的85%为 80 * 85% = 68元.5. 某人的年收入为12000元，每月生活费占月收入的1/5，那么这个人每月的生活费用是多少元？解：年收入12000元，月收入为 12000 / 12 = 1000元，生活费占收入的1/5，所以生活费用为 1000 * 1/5 = 200元.第三套试题1. 甲、乙两个人合作修一个房子，甲一个人修需要8天，乙一个人修需要12天，问他们一起修需要多少天？解：甲一个人修需要8天，乙一个人修需要12天，他们一起修需要的时间为 1/(1/8 + 1/12) = 4.8天.2. 甲购买一本书花费了原价的3/4，折后价格为60元，问这本书的原价是多少？解：折后价格为60元，花费原价的3/4，所以原价为 60 / (3/4) = 80元.3. 甲、乙两人比赛，甲第一轮跑步用时1分钟，第二轮用时50秒，第三轮用时40秒；乙第一轮跑步用时55秒，第二轮用时45秒，第三轮用时35秒，问谁的平均速度更快？解：甲第一轮跑步用时1分钟，第二轮用时50秒，第三轮用时40秒，平均速度为 (60 + 50 + 40) / 3 = 50 秒/轮；乙第一轮跑步用时55秒，第二轮用时45秒，第三轮用时35秒，平均速度为 (55 + 45 + 35) / 3 = 45 秒/轮；所以甲的平均速度更快.4. 一只小狗每小时能跑5公里，一只小猫每小时能跑8公里，如果它们从同一地点同时出发并分别向东和西跑，4小时后它们相距了多少公里？解：小狗每小时能跑5公里，4小时后跑了5 * 4 = 20公里，小猫每小时能跑8公里，4小时后跑了8 * 4 = 32公里，所以它们相距了 32 -20 = 12 公里.5. 三个连续的偶数相加的和是60，求这三个数分别是多少？解：设第一个偶数为x，那么第二个偶数为x + 2，第三个偶数为x+ 4，根据题意可得方程 x + (x + 2) + (x + 4) = 60，求解该方程可得x及其对应的三个连续偶数.第四套试题1. 一个数的2倍加上5等于13，求这个数是多少？解：设这个数为x，根据题意可得方程 2x + 5 = 13，解得 x = 4.2. 甲乙两数相差22，乙数的2倍与甲数的3倍之和等于70，求甲、乙两数各是多少？解：设甲数为x，乙数为y，根据题意可得方程 y - x = 22，2y + 3x= 70，联立这两个方程可以解得甲数x和乙数y.3. 一辆汽车以每小时80千米的速度行驶，行驶了1小时20分钟后停下来休息，求这段时间内汽车行驶的路程？解：汽车以每小时80千米的速度行驶，1小时20分钟共1.33 小时，所以汽车行驶的路程为 80 * 1.33 = 106.4 千米.4. 甲、乙两个人一起做一件工作，甲单独完成需要4小时，乙单独完成需要6小时，他们一起完成这件工作需要多少小时？解：甲单独完成需要4小时，乙单独完成需要6小时，他们一起完成需要的时间为 1/(1/4 + 1/6) = 2.4小时.5. 一个数加上它的四分之一之和的和是28，求这个数是多少？解：设这个数为x，根据题意可得方程 x + (1/4)x + x = 28，化简得9/4x = 28，解得 x = 44.第五套试题1. 一条宽10米的路，两边分别种植了向阳向每排7棵树或9棵树，每棵树之间距离相等，而且与路两边相邻树之间距离也相等，问道路中间最宽的地方有多宽？解：分别种植7棵树和9棵树，每棵树之间距离相等，所以道路中间最宽的地方为两排树之间的距离.2. 一个数与4的乘积减去2等于18，求这个数是多少？解：设这个数为x，根据题意可得方程 4x - 2 = 18，解得 x = 5.3. 甲、乙、丙三人合作种田，甲一个人种地需要10天，乙一个人种地需要12天，丙一个人种地需要15天，问他们三个人一起种地需要多少天？解：甲一个人种地需要10天，乙一个人种地需要12天，丙一个人种地需要15天，他们一起种地需要的时间为 1/(1/10 + 1/12 + 1/15) =4.8天.4. 某人共有100元，买了一本书花掉了原价的3/5，剩下的钱还能买另一本原价为80元的书吗？解：100元买了一本书花掉了原价的3/5，剩下的钱为 100 * (1 - 3/5) = 40元，剩下的钱不足以购买另一本80元的书.5. 一团面粉重800克，其中水分为15%，求这团面粉中水分的重量是多少克？解：面粉重800克，其中水分为15%，所以水分的重量为800 * 15% = 120克.第六套试题1. 一个数与它的五分之一之和的和是40，求这个数是多少？解：设这个数为x，根据题意可得方程 x + (1/5)x + x = 40，化简得7/5x = 40，解得 x = 28.57.2. 甲、乙两个人分别完成一项工作需要的时间比为2：5，如果他们一起完成这项工作需要3小时，求乙单独完成这项工作需要多少时间？解：甲、乙两个人分别完成一项工作需要的时间比为2：5，设甲单独完成需要的时间为x，乙单独完成需要的时间为y，根据题意可得方程 2x + 5x = 3，解得 y = 7.5.3. 有两个相交的圆，圆心之间的距离为8，两圆的半径分别为5和3，求两圆相交的弦的长度是多少？解：两个圆的半径分别为5和3，圆心之间的距离为8，利用勾股定理可以求得两圆相交的弦的长度.4. 甲乙两个人一起做一件工作，甲单独完成需要10小时，乙单独完成需要15小时，他们一起完成这件工作需要多少小时？解：甲单独完成需要10小时，乙单独完成需要15小时，他们一起完成需要的时间为 1/(1/10 + 1/15) = 6小时.5. 甲给乙20元，乙给丙30元，丙给甲10元，这三个人一共交易了多少元？解：甲给乙20元，乙给丙30元，丙给甲10元，所以一共交易了20 + 30 + 10 = 60元.第七套试题1. 某数比它的2/3小12，求这个数是多少？解：设这个数为x，根据题意可得方程 x - (2/3)x = 12，化简得 1/3x = 12，解得 x = 36.2. 甲、乙两个人一起修一条路，甲单独修需要8小时，乙单独修需要12小时，也有可能甲的速度是乙的倍数，问他们一起修需要多少小时？解：甲单独修需要8小时，乙单独修需要12小时，他们一起修需要的时间为 1/(1/8 + 1/12) = 4.8小时.3. 某品牌的衣服原价为200元，现在打折8折，过了一段时间后再降价，降到原价的85%，现在这件衣服的售价是多少？解：原价200元，打8折后为 200 * (1 - 80%) = 160元，再降到原价的85%为 160 * 85% = 136元.4. 甲、乙两个人一起做工，甲一个小时能做1/3的工作量，乙一个小时能做1/4的工作量，问他们一起做一份工作需要多少时间？解：甲一个小时能做1/3的工作量，乙一个小时能做1/4的工作量，他们一起做一份工作需要的时间为 1/(1/3 + 1/4) = 12/7小时.5. 某人的年收入为12000元，每月花销占收入的1/4，那么这个人每月的花销是多少元？解：年收入12000元，。

北京八年级数学竞赛试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 22. 如果一个角的补角是它的3倍，那么这个角的度数是多少？A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°3. 某数列的前三项为1, 1, 2，从第四项开始，每一项都是前三项的和。

这个数列的第10项是多少？A. 144B. 89C. 72D. 554. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 85. 一个圆的半径为5，它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π6. 一个数的相反数是-8，这个数是多少？A. 8B. -8C. 0D. 167. 一个长方体的长、宽、高分别是2, 3, 4，它的体积是多少？A. 24B. 26C. 28D. 308. 一个数的平方是36，这个数是多少？A. 6B. ±6C. 36D. ±369. 一个等差数列的首项是2，公差是3，它的第6项是多少？A. 17B. 19C. 21D. 2310. 一个分数的分子和分母的和是21，分子是分母的1/3，这个分数是多少？A. 1/6B. 2/15C. 3/18D. 4/17二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的绝对值是5，这个数可以是________。

12. 如果一个数的平方根是4，那么这个数是________。

13. 一个圆的直径是14，它的周长是________。

14. 一个数的立方根是2，这个数是________。

15. 一个等差数列的第5项是15，公差是2，首项是________。

三、解答题（每题10分，共50分）16. 证明勾股定理：在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

17. 解一元二次方程：x² - 5x + 6 = 0。

18. 一个长方体的长、宽、高分别是a, b, c，求它的表面积。

初⼆数学竞赛题（含答案）初中数学竞赛初⼆第1试试题⼀、选择题(每⼩题7分共56分)1、某商店售出两只不同的计算器，每只均以90元成交，其中⼀只盈利20%，另⼀只亏本20%，则在这次买卖中，该店的盈亏情况是( )A 、不盈不亏B 、盈利2.5元C 、亏本7.5元D 、亏本15元2、设20012000,20001999,19991998===c b a ，则下列不等关系中正确的是( ) A 、c b a << B 、b c a << C 、a c b << D 、a b c <<3、已知,511ba b a +=+则b a a b +的值是( ) A 、5 B 、7 C 、3 D 、31 4、已知xB x A x x x +-=--1322，其中A 、B 为常数，那么A ＋B 的值为( ) A 、－2 B 、2C 、－4D 、45、已知△ABC 的三个内⾓为A 、B 、C ，令B A A C C B +=+=+=γβα,，则γβα,,中锐⾓的个数⾄多为( )A 、1B 、2C 、3D 、06、下列说法：(1)奇正整数总可表⽰成为14+n 或34+n 的形式，其中n 是正整数；(2)任意⼀个正整数总可表⽰为n 3或13+n 或23+n 的形式，其中；(3)⼀个奇正整数的平⽅总可以表⽰为18+n 的形式，其中n 是正整数；(4)任意⼀个完全平⽅数总可以表⽰为n 3或13+n 的形式A 、0B 、2C 、3D 、47、本题中有两⼩题，请你选⼀题作答：(1)在19991002,1001,1000 这1000个⼆次根式中，与2000是同类⼆次根式的个数共有……………………( )A 、3B 、4C 、5D 、6(2)已知三⾓形的每条边长是整数，且⼩于等于4，这样的互不全等的三⾓形有( )A 、10个B 、12个C 、13个D 、14个8、钟⾯上有⼗⼆个数1,2，3，…,12。

2018年北京市中学⽣数学竞赛初⼆年级竞赛试题试卷编号：21262018年北京市中学⽣数学竞赛初⼆年级竞赛试题⼀、选择题共5⼩题。

在每⼩题列出的四个选项中，选出符合题⽬要求的⼀项。

1.已知√x +1√x=3,则x x 2+2018x +1的值是( )(A)2020(B)12020(C)2025(D)120252.在⾮等腰三⾓形中,⼀个内⾓等于另两个内⾓的差,且⼀个内⾓是另⼀个内⾓的2倍.⼰知该三⾓形的最⼩边长等于l cm,则这个三⾓形的⾯积是( )(A)1cm 2(B)√32cm 2(C)√52cm 2(D)2cm 23.n 是偶数,若从1开始,前n 个正整数的和的尾数是数字8,则后继的n 个正整数的和的尾数是数字( )(A)6(B)4(C)2(D)04.如图,P (xP ,y P )为反⽐例函数y =2x在平⾯直⾓坐标系xOy 的第⼀象限图象上⼀点,过点P 作x 轴、y 轴的平⾏线分别交y =10x 在第⼀象限的图象于点A 和B ,则△AOB 的⾯积等于( )(A)26(B)24(C)22(D)205.将数字和为11的⾃然数按由⼩到⼤的顺序排成⼀个数串,第m 个数是2018,则m 是( )(A)134(B)143(C)341(D)413⼆、填空题共5⼩题。

6.295的约数中⼤于1000000的共有＿＿＿＿＿个.7.若x ,y 都是⾃然数,关于x ,y 的⽅程[2.018x ]+[5.13y ]=24的解(x ,y )共有＿＿＿＿＿个.(其中[x ]表⽰不⼤于x 的最⼤整数)8.D为锐⾓△ABC内⼀点,满⾜AD=DC,∠ADC=2∠DBC,AB=12,BC=10,如图,则△BDC的⾯积等于＿＿＿＿＿.9.已知x1,x2,···,x n中每⼀个x i(i=1,2,···,n)的数值只能取?2,0,l中的⼀个,且满⾜x1+x2+···+x n=?17,x21+x22+···+x2n=37.则(x31+x32+···+x3n)2的值为＿＿＿＿＿.10.在1～n这n个正整数中,正约数个数最多的那些数叫做这n个正整数中的“旺数”,⽐如,正整数1～20中,正约数个数最多的数是l2,18,20,所以12,18,20都是正整数1～20中的“旺数”.在正整数1～100中的所有“旺数”的最⼩公倍数是＿＿＿＿＿.三、解答题共3⼩题。

初二初赛试题一、选择题(每小题6分，满分36分．)1．已知α是等边三角形的一个内角，β是顶角为30°的等腰三角形的一个底角，γ是等腰直角三角形的一个底角．则( )．(A)α<β<γ (B)γ<α<β (C)β<α<γ (D)α<γ<β2．(-2)4的平方根是( )．(A)-4 (B)±4 (C)2 (D)±23．下面有四个命题：①两个三角形有两边及一角对应相等，则这两个三角形全等；②两个三角形有两角及一边对应相等，则这两个三角形全等；③两个三角形的三条边分别对应相等，则这两个三角形全等；④两个三角形的三个角分别对应相等，则这两个三角形全等．其中真命题是( )．(A)②，③ (B)①，③ (C)③，④ (D)②，④-4．若P是两位的正整数，则可能成立的等式是( )，(A)x2+px+2001＝(x-29)(x-69)(B)x2+px+2001＝(x-23)(x-87)(C)x2+px+2001＝(x+23)(x+87)(D)x2+px+2001＝(x+29)(x+69)5．下面列举的平行四边形的判定条件中，不正确的一个是 ( )。

(A)两组对边分别相等(B)两组对角分别相等(C)一组对边平行，一组对角相等(D)一组对边平行，另一组对边相等6．在1 500年以前，我国古代伟大数学家祖冲之计算出圆周率π的七位小数值是3.1415926<π<3.1415927，并取113355为密率，722为约率，则，113355、π、722之间的正确关系是( )． (A) 722< 113355<π (B) 113355<π<722(C)π<113355<722 (D) 722<π<113355二、填空题(每小题8分，满分64分．)1．p 是负整数，且2001+P 是一个完全平方数，则P 的最大值为 2.如图，四边形ABCD 是正方形，△CDE 是正三角形，则∠AEB 的度数为3，若a 、b 都是正整数，且143a+500b ＝2001,则a+b 的值是 4．若有理数x ，y ，z 满足x +1-y +2-z =21(x+y+z)，则(x-yz)3的值为 5.如图，将边长为12厘米的正方形ABCD 折叠，使得A 点落在边CD 上的E 点，然后压平得折痕FG ，若GF 的长为13厘米，则线段CE 的长为 . 6． 化简后=+++++++722-17562-15422-13302-11202-9122-762-522-37.将1～2001这2001个自然数依次写成一行，组成一个新的自然数，新的自然数除以9的余数为 8．已知实数x ，y 满足方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=++6y x 232y xy x 22则|x+y+1|的值是参考答案1.B2.B3.A4.D5.D6.C1.-652.30°3. 94.-1255.76. 27. 68.3+22001年北京市初二年级数学竞赛复赛一、填空题(满分40分，每小题8分) 1．已知有理数x 满足方程200111x x 20011=--，则29x 2001x 43+-= 2．如图所示，正方形ABCD 的面积是64 cm 2，正方形CEFG 的面积是36 cm 2，DF 与BG相交于点O ，则△DBO 的面积等于 cm 2．3．已知a 2+b 2=6ab 且a>b>0，则ba ba -+= 4．化简表达式43333 |17160a 131a |17160a 131a 6 `⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+--+-+,所得的结果等于 ． 5．在边长为1cm 的正△ABC 中，P 0为BC 边上一点，作P 0 P 1⊥CA 于点 P 1，作P 1P 2⊥AB 于点P 2，作P 2P 3⊥BC于点P 3．如果点P 3恰与点P 0重合，则△P 1P 2P 3的面积是 cm 2．二、(15分)证明恒等式：a 4+b 4+(a+b)4=2(a 2+ab+b 2)2．三、(15分)在六张纸片的正面分别写上整数l 、2、3、4、5、6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上1～6这六个整数，然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值，得出六个数．请你证明：所得的六个数中至少有两个是相同的 四、(15分)如图所示，在等腰△ABC 中，延长边AB 到点D ，延长边CA 到点E ，连结DE ，恰有AD=BC=CE=DE ．求证：∠BAC=100°五、(15分)l 与0交替排列，组成下面形成的一串数101，10101，1010101，101010101……请你回答，在这串数中有多少个质数?并请证明你的论断．2002年北京市初二数学竞赛初赛一、选择题(满分36分) 1．计算8008160061400413003120021-+-+( )A ．60061 B ．70073- c 80085 D ．90097-2．2002年8月，将在北京召开国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a ，较短直角边为b ，则a 3+b 4的值等于( )．A ．35B ．43C ．89D ．973．若20022002………200215(n 个2002)被15整除，则n 的最小值等于( )． A ．2 15．5 C ．4 D ．54．两个边长为3，4，5的直角三角形纸片，可以拼成n 种不同的凸四边形，则n 的值等于( )． A ．6 B ．5 C4 D ．35．已知三角形三个内角的度数都是质数，则这三个内角中必定有一个内角等于( )． A ．2度 15．3度 C ．5度D ．7度6．a 4+4分解因式的结果是( )．A ．(a 2+2a －2)(a 2—2a+2)B ．(a 2+2a--2)(a 2－2a －2)C ．(a 2+2a+2)(a 2—2a －2)D ．(a 2+2a+2)(a 2—2a+2) 二、填空题(满分64分，每小题8分) 1．计算：(1＋3 )2002—2(1+3)200l－2(1+3)20002．如图所示，AC=10，BC=l7，CD⊥AB 于点D ，CD=8，求△ABC 的面积．3．实数a ，b 满足ab≠O，且使得ba b a b b a a +++=+++111，求a+b 的值． 4．在梯形ABCD 中，下底BC=10 cm ，腰CD=5．5 cm ，如果∠ABC=50°，∠ADC=100°，求上底AD 的长．5．已知实数x ，y,z 满足1=+++++y x z x z y z y x ，求．yx z x z y z y x +++++222的值．6．如图所示，P 是边长为8的正方形ABCD 形外一点，PB=PC ，△PBD 的面积等于48，求△PBC 的面积．7．正数m ，n 满足m+4mn －2m －4n +4n=3，求2002282++-+n m n m 的值．8．一个正整数除以5，7，9及11的余数依次是1，2，3，4．求满足上述条件的最小的正整数．2002年北京市初二数学竞赛初赛 一、选择题1．C 2．B 3．B 4．C 5．A 6．D 二、填空题1．0 2．84 3．-2 4．4．5 5．0 6．32 7．4011-8．1731 2002年北京市中学生数学竞赛复赛一、填空题(满分40分，每小题8分)1．已知x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=O ，则(x-y-z)2002= ．2．如图所示，A 在线段BG 上，四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形，面积分别为7 cm 2和11 cm 2，则三角形CDE 的面积等于 cm 2． 3．化简： 3232-++== ．4．如图所示，四边形ABCD 是正方形，E 为BF 上一点，四边形AEFC 恰是一个菱形，则∠EAB= ．5．有6个学生，每人拥有的书中没有相同的，但每两个人都恰好有一本相同的书，每本书也恰好两个学生拥有，则这6个学生共有不同的书 本． 二、(满分15分)已知abc≠0，证明：四个数,)(,)(,)(,)(3333abcc b a abc b a c abc a c b abc c b a ------++中至少有一个不小于6．三、(满分15分)如图所示，△ABC 是正三角形，△A 1B 1 C 1的三条边A 1B 1、B l C 1、C 1 A 1交△ABC 各边分别于C 2、C 3，A 2、A 3，B 2、B 3．已知A 2C 3=C 2B 3=B 2 A 3，且C 2C 32+B 2B 32=A 2A 32。

2016年北京市中学生数学竞赛（初二）试题【题1】如图所示,用16张不同的直角三角形纸片拼成一个海螺的图形，直角的位置、长为1的线段都已经标出，则与这海螺图形周长最接近的整数值是（）A .19B .20C .21D .22【题2】命题甲：△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 边的中点，则∠ABC +∠CAD =90°，命题乙：直角△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，则∠ABC +∠CAD =90°，那么这两个命题中（）A .甲真，乙假B .甲假，乙真C .甲真，乙真【题3】如图，反比例函数ky x=()0x >的图像过面积等于4的长方形OABC 的对角线OB 的中点，P 为ky x=()0x >的图像上任意一点，则OP 的最小值是（）A .1B C D .2【题4】已知20165555555a = 个，则a 除以84所得余数是（）A .0B .21C .42D .63【题5】一张三角形纸片的长为1的边仅与一个边长为1的正12边形纸片的一条边重合，平放在桌面上，则所得到的凸多边形的边数一定不是（）A .11B .12C .13D .14【题6】2=的值为_______．【题7】正数a ，b ，c 使得等式()()()()()()222111111a a b b c c a a b b c c -+-+-=-+-+-成立，试确定222195619862016a b c ++的值为________．【题8】某单位发年终奖100万元，其中一等奖每人1.5万元，二等奖每人1万元，三等奖每人0.5万元，如果三等奖与一等奖人数之差不少于93人，但小于96人，求该单位获奖的总人数为____________．yOC【题9】△ABC 中，∠BAC =45°，∠ABC =60°，高线AD 与BE 相交于H ，若AB =1，求四边形CDHE 的面积_________．【题10】如果正整数x ，y 满足等式22842016x x y ++=，求32x y +的值__________．【题11】已知正整数a ，b ，c ，d 满足ab cd =，求证：2016201620162016a b c d +++是合数．【题12】△ABC 是正三角形，在BC 上取点1A ，2A ，在CA 上取点1B ，2B ，在AB 上取点1C ，2C ，使得凸六边形121212A A B B C C 的边长都相等，如图所示，求证：直线12A B ，12B C ，12C A 相交于．A 1A 2B 1B 2C 2C 1CBA【题13】一个自然数n若能表示为若干个正整数的和，且这些正整数的倒数和也恰等于1，则称n为“金猴数”，比如248822+++=且111112488+++=，22就是一个“金猴数”（1）证明：11与28是两个“金猴数”；（2）证明：如果n是“金猴数”，则22n+、29n+也是“金猴数”；（3）请你判定：2016也是“金猴数”．。

2022年北京市中学生数学竞赛（初二）一、选择题（每小题5分，共25分）13=．则220181x x x ++的值为（ ） A ．2022 B ．12020 C ．2025 D ．12025 2．在非等腰三角形中，一个内角等于另两个内角之差，且一个内角为另一个内角的2倍．若该三角形的最小边长为1，则此三角形的面积为（ ）A ．1B D ．2 3．如图1，设()P P P x y ，为反比例函数2y x=在平面直角坐标系xOy 的第一象限图像上一点，过点P 作x 轴、y 轴的平行线，分别与10y x =在第一象限的图像交于点A 、B ．则AOB ∆的面积为（ ）A ．26B ．24C ．22D ．20图1 图24．已知n 为偶数．若从1开始，前n 个正整数之和的尾数为8，则后继的n 个正整数之和的尾数为（ ）A ．6B ．4C ．2D ．05．将数字和为11的自然数按由小到大的顺序排成一个数串，第m 个数为2022．则m 为（ ）A ．134B ．143C ．341D ．413二、填空题（每小题7分，共35分）1．在952的约数中，大于1 000 000的共有 个．2．若x 、y 均为自然数，则关于x 、y 的方程[][]2.018 5.1324x y +=的解()x y 、共有 个（[]x 表示不超过实数x 的最大整数）．3．已知D 为锐角ABC ∆内一点，满足AD DC =，2ADC DBC ∠=∠，=12AB ，=10BC ．如图2，则BDC ∆的面积为 ．4．已知1x ，2x ，…，n x 中()12i x i n =⋅⋅⋅， ，，的数值只能取201-， ， 中的一个，且满足 1217n x x x ++⋅⋅⋅+=-，2221237n x x x ++⋅⋅⋅+=．则()233312n x x x ++⋅⋅⋅+的值为 ． 5．在1至n 这n 个正整数中，将正约数个数最多的那些数称为这n 个正整数中的“旺数” ．例如，正整数1至20中，正约数个数最多的数为12、18、20，于是，12、18、20均为正整数1至20中的旺数．则在正整数1至100中的所有旺数的最小公倍数为 ．三、（10分）设正整数a 、b 、c 、d 满足2222a ab b c cd d -+=-+．证明：a b c d +++为合数．四、（15分）如图，三个斜边彼此不等的等腰Rt ADC ∆、等腰Rt DPE ∆、等腰Rt BEC ∆，其中，AD CD =,DP EP =,BE CE =,90ADC DPE BEC ∠=∠=∠=．证明：P 为线段AB 的中点．五、（15分）证明：在十进制表示中，数29的某个正整数幂的末三位数字为001．。

1990年北京市初二数学竞赛初赛试题一、选择题（每小题7分，共56分） 1. a 是任意实数，则a a --的值为A. 必大于零B. 必小于零C. 必不大于零D. 必不小于零【解析】 若0a ≥，则0a a a a --=-=；若0a <，则2a a a a a --=--=-≥0，选D ．2. a 表示一个两位数，b 表示一个四位数，把a 放在b 的左边组成一个六位数，那么这个六位数应表示成A. abB. 10000a b +C. 10010000a b +D. 100a b +【解析】a 作为前两位，b 作为后四位，应该写成0000a b +的形式，即为10000a b +，选B ．3. 如图，在ABC △中，42A ∠=︒，B ∠和C ∠的三等分线分别交于D E ，，则BDC ∠的度数是A. 67︒B. 84︒C. 88︒D. 110︒ 【解析】 由“飞镖模型”可知：()13BDC A ABD ACD A ABC ACB ∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠ ()121806033A A A =∠+︒-∠=∠+︒ 24260883=⨯︒+︒=︒，选C ．4. 如图，在ABC △中，P 是AC 上一点，取BP 的中点Q ，过CQ 并延长与AB 交于D ，则ABP △的面积ABP S △与ACD △的面积ACD S △的大小关系是A. ABP ACD S S <△△B. ABP ACD S S =△△C. ABP ACD S S >△△D. 不能确定 【解析】 连接AQ ，记BDQ ADQ BCQ S a S b S c ===△△△，，，则由题意可知 APQ S a b =+△，CPQ S c =△，由“燕尾定理”得a b c bc a++=， ∴1c a b ca b++=>，∴c a >， ∴ABP ACD S S <△△，选A ．5. 设0a b c d >>>>，且X =，YZ =，则X Y Z 、、的大小关系为A. X Z Y <<B. Y Z X <<C. X Y Z <<D. Z Y X << 【解析】22X ab cd ==++22Y ac bd ==++22Zad bc ==++，则()()220X Y ab cd ac bd a d b c -=+--=-->， ()()220Y Z ac bd ad bc a b c d -=+--=-->， ∴2220X Y Z >>>，∴0X Y Z >>>，选D ．6. 在四个实数中，如果任意三个之和都不比另一个小，则下列说法中必定错误的是EDCB AQP DCBAc a+b cb aQP D CBAA. 非零的数不可能只有一个B. 四个数可以都是正数C. 负数有两个D. 如果有零就没有负数【解析】 由题意得a b c d ++≥，a b d c ++≥，a c d b ++≥，b c d a ++≥，则0a b c d +++≥，若这四个数中有两个负数，设为c d ，，则a b c d ++≥， 此时b c d a ++<，不合题意，选C ．7. x y 、只能取A. 2553029464x y ==，B. 3761526855x y ==，C. 1512332477x y ==，D. 2832628614x y ==，【解析】 首先，奇数的平方被8除余1，那么两个奇数的平方和被8除余2，而偶数的平方一定能被4整除，则可以排除B 和C ．其次，一个完全平方数的尾数只可能是0，1，4，5，6，9，而D 中22x y +的尾数为2，也不可能．所以选A ．8. 已知实数a b 、分别满足424230a a--=和4230b b +-=，则代数式4444a b a +的值等于A. 175B. 55C. 13D. 7【解析】 根据题意，222b a -、是关于x 的一元二次方程230x x +-=的两个根，且222b a-≠，∴2221b a-+=-，2223b a -=-，()24422422442224422227a b b b b b a a a a a 2⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=+=+-=-+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，选D ．二、填空题（前6个题，每题6分，第7个题8分，共44分）1. =_____________．【解析】 原式()()211111119901990119901==--⨯+．2. 设实数x y 、满足2242420x y x y ++-+=，则22y x +_____________． 【解析】 左边配方得()()221210x y ++-=，∴112x y =-=，，∴221y x +--3. 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和21cm 两部分，则这个等腰三角形的底边的长为______________．【解析】 设腰长为2x ，底边长为y ，由题意得21221x x x y +=⎧⎨+=⎩或22112x x x y +=⎧⎨+=⎩，解得417x y =⎧⎨=⎩或75x y =⎧⎨=⎩， 检验发现第一组解无法构成三角形，不合题意舍去， 所以，等腰三角形的底边长为5cm ．4._____________．【解析】2，2=10=5+5，而(22=24255<=，<5. 某厂二月份产量比一月份产量提高12.5%，三月份产量比二月份产量提高20%，那么三月份的产量比一月份产量提高的百分数为______________． 【解析】 设一月份的产量为x ，由题意可得二月份的产量为()112.5%x +，三月份的产量为()()27112.5%120%20x x ++=， 则三月份得产量比一月份产量提高了2735%20x x x ⎛⎫-÷= ⎪⎝⎭．6. 如图，AB BC CD ==，AD AE =，DE BE =，则C ∠的度数为_________． 【解析】 设BDE EBD x ∠=∠=，则2AED ADE x ∠=∠=， 在ADE △中，1804A x ∠=︒-， ∴1804C A x ∠=∠=︒-，又1801803CDB ADB x ∠=︒-∠=︒-， 则1803CBD CDB x ∠=∠=︒-，在BCD △中，180C CBD CDB ∠+∠+∠=︒， ∴180418031803180x x x ︒-+︒-+︒-=︒， ∴36x =︒，则180436C x ∠=︒-=︒．7. 如图1，我们规定在边长为1的正方形方格纸上，从格点O 到与它相邻的格点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 的直线运动形成的线段分别记为数码0，1，2，3，4，5，6，7．如以点O 为始点，数码2代表线段OC ，数码7代表线段OH 等等．在图2中画出了从P 点出发，依次按数码001223355的轨线图形.请你在图3的边长为1的正方形方格纸上，从点M 出发，依次按数码006756442312画出相应的轨线图形，___________．图3图2图1【解析】 依题意画轨线图形如图所示：的正方形有5个，边长为2的正方形有3的正方形有4个，边EDCBA长为1个，共有534113+++=个．。

2021年北京市中学生数学竞赛初二试题（含答案）2021年北京市中学生数学竞赛初二试题一、选择题（每小题5分，共25分）1．在1～100这100个自然数中，质数所占的百分比是（）．（A）25% （B）24% （C）23% （D）22%2．一个三角形的三边长都是整数，它的周长等于10，则这个三角形是（）．（A）直角三角形（B）钝角三角形（C）恰有两边相等的三角形（D）恰有一个内角为60°的三角形3．已知n为正整数，S=1+2+…+n．则S的个位数字不能取到的数字是（）．（A）0，1，2，3 （B）3，4，5，6 （C）3，5，6，8 （D）2，4，7，94．如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．S△AOB=4，S△COD=9．则S四边形ABCD的最小值是（）．（A）22 （B）25 （C）28 （D）32（1） (2) (3) 5．如果│a-b│=1，│b+c│=1，│a+c│=2，则│a+b+2c│等于（）．（A）3 （B）2 （C）1 （D）0 二、填空题（每小题7分，共35分）1．如图2，大圆的两条直线AC、BC垂直相交于点O，分别以边AB、BC、CD、DA为直径向大圆外侧作四个半圆，图中四个“月形”阴影的总面积是2cm2．?则大圆的半径等于_______cm．2．2 005被两位的自然数去除，可能得到的最大余数是_______． 3．已知a2+bc=14，b2-2bc=-6．则3a2+4b2-5bc=_________．4．如图3，在凸六边形ABCDEF中，AD、BE、CF三线共点于O，?每相邻三个顶点所组成的三角形的面积都等于1，则S六边形ABCDEF=_______．5．有6个被12除所得余数都相同的自然数，它们的连乘积为971 425．则这6?个自然数之和的最小值是________．三、（15分）已知非零实数a、b、c满足a+b+c=0.求证：（1）a3+b3+c3=3abc；- 1 -（2）（a?bb?cc?acab++）（++）=9.acba?bb?cc?a四、（15分）如图，在△ABC中，∠BAC=∠BCA=44°，M为△ABC形内一点，?使得∠MCA=30°，∠MAC=16°，求∠BMC的度数．- 2 -五、（10分）某学生在黑板上写出了17个自然数，?每个自然数的个位数码只能是0，1，2，3，4这5个数字中的一个．证明：从这17个数中可以选出5个数，?它们的和能被5整除．- 3 -参考答案一、1．A在1～100这100个自然数中，有质数2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97共25个，所以，其中质数所占的百分比是25%． 2．C将10分拆成三个正整数之和，有10=1+1+8=1+2+7=1+3+6=1+4+5=2+2+6=2+3+5=2+4+4=3+3+4共八种情况．由“三角形两边之和大于第三边”可知，只有（2，4，4），（3，3，4）两组可构成三角形．由于等腰三角形两个底角都是锐角，于是，以2、4、4为边的等边三角形中，最小边2对的顶角也是锐角．以3、3、4为边的等腰三角形中，由32+32>42，?知顶角也是锐角．所以，以2、4、4为边的等腰三角形以及以3、3、4为边的等腰三角形都是锐角三角形，排除选项（A）、（B）?．?又由于等腰三角形中恰有一个内角为60°时变为等边三角形，与边为（2，4，4）、（3，3，4）的条件矛盾，排除选项（D）．由（2，4，4）、（3，3，4）为边的三角形是恰有两边相等的三角形． 3．D．由S=n(n?1)，又n、n+1是两个连续的自然数，知n（n+1）的个位数字只能取0，22，6．?所以，S的个位数字只能是0，1，3，5，6，8这六个数字．因此，S的个位数字不能取到的是2，4，7，9． 4．B如图1，设S△AOD=x，S△BOC=y，则S四边形ABCD=4+9+x+y≥13+2xy．由x4?，有xy=36．所以， 9yS四边形ABCD≥13+2xy=13+12=25．故S四边形ABCD的最小值是25．此时，AB∥DC，即四边形ABCD是梯形．5．A．由│a-b│=1，知a-b=1或a-b=-1；由│b+c│=1，知b+c=1或b+c=-1；由│a+c│=2，知a+c=2或a+c=-2．- 4 -这样，可以得到23=8个三元一次方程组：（1）a-b=1，b+c=1，a+c=2；（2）a-b=1，b+c=1，a+c=-2；（3）a-b=1，b+c=-1，a+c=2；（4）a-b=1，b+c=-1，a+c=-2；（5）a-b=-1，b+c=1，a+c=2；（6）a-b=-1，b+c=1，a+c=-2；（7）a-b=-1，b+c=-1，a+c=2；（8）a-b=-1，b+c=-1，a+c=-2．对于（2）～（7），将前两个方程相加得到的a+c的值与后一个方程不同，所以，不会出现这六种情况．对于（1），有a=2-c，b=1-c，所以， a+b+2c=3．对于（8），有a=-2-c，b=-1-c，所以， a+b+2c=-3．故│a+b+2c│=3．二、1．1．由勾股定理知AD2+CD2=AC2．所以，上面半个大圆的面积等于以AD、CD为直径的两个半圆的面积．同理，下面半个大圆的面积等于以AB、BC为直径的两个半圆的面积．?因此，正方形ABCD的面积等于四个“月形”的总面积．容易计算，大圆的半径OD是1cm． 2．85．由2 005依次被99，98，97，…去除，观察所得余数的值变化得 2005=99×20+25=98×20+45=97×20+65=96×20+85=95×21+10 =94×21+31=93×21+52=92×21+73=91×22+3=90×22+25=89×22+47 =88×22+69=87×23+4=86×23+27 =85×23+50．以下的余数不会大于84，故可能得到的最大余数是85． 3．18．3a2+4b2-5bc=3（a2+bc）+4（b2-2bc）=3×14+4×（-6）=18． 4．6．如图5，连结BD、CE．因为S△BCD=S△ECD=1，所以，BE∥CD．因为S△BAF=S△EAF，所以，BE∥AF．因此，BE∥AF∥CD．同理，CF∥DE∥BA，AD∥FE∥BC．- 5 -感谢您的阅读，祝您生活愉快。

一、 （ 分 25 分，每小 只有一个正确答案，答 得5 分）1.当 m1，代数式21 5m m 9 mm 3的 是（）6 m 2 9 m 2 m 3 m 3A. －1B.1C.1D.1222.一个正八 形中最 的 角 等于a ，最短的 角 等b ， 个正八 形的面 （）A. a 2 b 2B. a 2b 2C.a bD. ab3. 111 1 16 11 26 26 1 1 的 是（ ）.6 11 16 2121 31 31 36A.1B.1C.1D.1183633664.若 n 是正整数， 1×2×3×⋯× n=n! ，比如 1！=1，4！=1×2×3×4=24，等等，若 M=1! ×2！×3！×4！×5！×6！×7！×8！×9！， M 的 数中是完全平方数的共有（ ）A.504 个B.672 个C.864 个D.936 个5.将 2009 表示成两个整数的平方差的形式， 不同的表示方法有（）A.16 种B.14 种C.12 种D.10 种二、填空 （ 分 35 分，每小 7 分）1.45.12 13.9 2 45.1 13.9 的 等于.31.22.平行四 形 ABCD 中，AD= a ，CD=b ， 点 B 分 作 AD 上的高h a 和 CD 上的高 h b ，已知 h a a ， h b b ， 角AC=20 厘米，平行四 形 ABCD的面 平方厘米 .3. 0 a 1 1 2 3 28 29，并且 a a a a a 18 ，已知30 30 30 30 30则 10a 等于.（其中x 表示不超过 x 的最大整数）4.已知△ ABC 中，∠A，∠B，∠C 的外角度数之比为α∶β∶γ（α，β，γ均为正数），则∠ A ∶∠ B∶∠ C 等于（.用含α，β，γ的式子之比表示）5.当1x 2 时，经化简x 2 x 1x 2 x 1 等于.三、（满分 10 分）已知 a b c 0 ，a2b2c21.（1）求ab bc ca的值（2）求a4b4c4的值四、（满分 15 分）如图所示，六边形ABCDEF 中， AB=BC=CD=DE=EF=FA ，并且∠ A+ ∠C+∠E=∠B＋∠ D＋∠ F，求证∠ A＝∠ D，∠ B=∠E，∠ C=∠ F.五、（满分 15 分）BCA DF E（1）证明：由 2009 个 1 和任意个 0 组成的自然数不是完全平方数；（2）试说明，存在最左边 2009 位都是 1 的形如1111的自然数2009个1（其中 * 代表阿拉伯数码）是完全平方数.。