华师版数学九年级下册解码专训：实际问题与一元二次方程(2)

华师版数学九年级下册解码专训 二次函数2ax y =的图象和性质一、明确学习目标1、会用描点法画出二次函数2ax y =的图象，掌握二次函数2ax y =性质。

2、经历探索二次函数2ax y =的图象与性质的过程，能运用二次函数2ax y =的图象及性质解决简单的实际问题，掌握数形结合的数学思想方法。

3、通过数学学习活动，体会数学与实际生活的联系，感受数学的实际意义，激发学习兴趣。

二、自主预习预习填表画图，并初步完成自主预习区。

三、合作探究活动1 探究2ax y =)0(≠a 的图象 1、用描点法画2x y =的图象。

（1）用描点法画图象通常有哪些步骤？ （2）列表时，应注意什么问题？x… 3- 2- 1- 0 1 2 3 … 2x y =……（3）描点时应以哪些数值作为点的坐标？ （4）连线时应注意什么？2、思考与归纳让学生观察师生所画的图象，给出抛物线的概念。

并说明：二次函数2x y =的图象是一条抛物线，实际上，二次函数的图象都是抛物线。

思考：（1）思考表格中的数据是否反映了一种规律？（2）观察图象，这条抛物线有什么特征？请把你的发现说出来。

教师引导：任取一个x 的值，计算出相应y 的值，验证一下这个点关于y轴的对称点是否也在这条抛物线上，从而给出抛物线的对称轴、顶点等概念。

学生观察、探究、交流、总结。

活动2 在同一坐标系中画出函数221x y =，22x y =的图象与2x y =的图象相比，有什么共同点和不同点，学生讨论后回答，教师点拨。

猜想：二次函数的开口方向是由什么决定的？开口大小的程度又是由谁决定的？活动3 探究：在同一坐标系中画出函数2x y -=，221x y -=和22x y -=的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点。

活动 4 进一步探究，抛物线2x y =与2x y -=有什么关系？由此猜想2ax y =与2ax y -=的关系。

活动5 小组讨论例1 填空：①函数2)2(x y -=的图象是_________，顶点坐标是_______，对称轴是__________，开口方向__________。

华师版数学九年级下册解码专训21.2.6二次函数表达式的确定教学目标【知识与技能】使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式的方法;使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式的方法.【过程与方法】体会数学在生活中的作用,培养学生的动手操作能力.【情感、态度与价值观】让学生体验二次函数的关系式的应用,提高学生对数学重要性的意识.重点难点【重点】已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标,分别求二次函数y=ax2+bx+c的关系式.【难点】已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式.根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式.教学过程一、问题引入1.一次函数的表达式是什么?如何求出它的表达式?(一次函数的表达式y=kx+b,只需知道一次函数图象上两个点的坐标,利用待定系数法求出系数k、b.)2.已知二次函数图象上的几个点的坐标,可以求出这个二次函数的表达式?本节课我们来研究用待定系数法求二次函数的表达式.(板书)二、新课教授问题1.如果一个二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,能求出这个二次函数的表达式吗?如果能,求出这个二次函数的表达式.解:设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.由已知函数图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,得到关于a、b、c的三元一次方程组解这个方程组,得:a=2,b=-3,c=5.所求二次函数的表达式是y=2x2-3x+5.归纳1:求二次函数y=ax2+bx+c的表达式,关键是求出a、b、c的值.由已知条件(如二次函数图象上的三个点的坐标)可以列出关于a、b、c的三元一次方程组,求出三个待定系数a、b、c就可以写出二次函数的表达式.问题2.已知一个二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标是(8,9),求这个二次函数的关系式.分析:二次函数y=ax2+bx+c通过配方可得y=a(x-h)2+k的形式称为顶点式,(h,k)为抛物线的顶点坐标,因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8,9),因此,可以设函数关系式为:y=a(x-8)2+9,由于二次函数的图象过点(0,1),将(0,1)代入所设函数关系式,即可求出a的值.归纳2:如果知道抛物线的顶点坐标(h,k),可设函数关系式为y=a(x-h)2+k,只需要再找一个条件求出a的值即可.三、典型例题【例1】有一个二次函数,当x=0时,y=-1;当x=-2时,y=0;当x=时,y=0.求这个二次函数的表达式.解:设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,根据题意,得解方程组,得.答:所求二次函数的表达式为y=x2+x-1.【例2】已知抛物线的对称轴是直线x=2,且经过(3,1)和(0,-5)两点,求二次函数的关系式.解法一:设所求二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,因为二次函数的图象过点(0,-5),可求得c=-5.又由于二次函数的图象过点(3,1),且对称轴是直线x=2,可以得解这个方程组,得所以所求的二次函数的关系式为y=-2x2+8x-5.解法二:设所求二次函数的关系式为y=a(x-h)2+k,由于二次函数的图象经过(3,1)和(0,-5)两点,可以得到:解这个方程组,得所以,所求二次函数的关系式为y=-2(x-2)2+3,即y=-2x2+8x-5.【例3】抛物线y=x2-4x+8与直线y=x+1交于B、C两点.(1)在同一平面直角坐标系中画出直线与抛物线;(2)记抛物线的顶点为A,求△ABC的面积.解:(1)如图,画出直线y=x+1与抛物线y=x2-4x+8.。

26.1.2根据实际问列二次函数关系式题农安县合隆中学徐亚惠一．选择题（共8小题）1．如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是边BC和CD上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E、F怎样动，始终保持AE⊥EF．设BE=x，DF=y，则y是x的函数，函数关系式是（）A．y=x+1 B．y=x﹣1 C．y=x2﹣x+1 D．y=x2﹣x﹣12．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD 的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）A．y=B．y=C．y=D．y=3．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A．y=﹣2x2B．y=2x2C．y=﹣x2D．y=x24．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（）A．y=2a（x﹣1） B．y=2a（1﹣x） C．y=a（1﹣x2）D．y=a（1﹣x）25．某工厂一种产品的年产量是20件，如果每一年都比上一年的产品增加x倍，两年后产品y与x的函数关系是（）A．y=20（1﹣x）2B．y=20+2x C．y=20（1+x）2 D．y=20+20x2+20x6．某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（）A．y=x2+a B．y=a（x﹣1）2C．y=a（1﹣x）2D．y=a（1+x）27．长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（）A．y=x2 B．y=（12﹣x2）C．y=（12﹣x）•x D．y=2（12﹣x）8．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，则y关于x的函数关系式为（）A．y=60（1﹣x）2B．y=60（1﹣x2）C．y=60﹣x2D．y=60（1+x）2二．填空题（共6小题）9．如图，在一幅长50cm，宽30cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为ycm2，金色纸边的宽为xcm，则y与x的关系式是_________．10．用一根长50厘米的铁丝，把它弯成一个矩形框，设矩形框的一边长为x厘米，面积为y平方厘米，写出y关于x的函数解析式：_________．11．某企业今年第一月新产品的研发资金为100万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长的都是x，则该厂今年第三月新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=_________．12．一个矩形的周长为16，设其一边的长为x，面积为S，则S关于x的函数解析式是_________．13．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=_________．14．如图，李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园ABCD，用篱笆围成的另外三边总长为24m，设BC的长为x m，矩形的面积为y m2，则y与x之间的函数表达式为_________．三．解答题（共8小题）15．某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长率都是x，写出利润y与增长的百分率x之间的函数解析式，它是二次函数吗？如果是请写出二次项系数、一次项系数和常数项．16．在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是2：1．已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米．（1）求y与x之间的关系式．（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽．17．已知某商场一月份的利润是100万元，三月份的利润达到y万元，这两个月的利润月平均增长率为x，求y与x的函数关系式．18．某公园门票每张是80元，据统计每天进园人数为200人，经市场调查发现，如果门票每降低1元出售，则每天进园人数就增多6人，试写出门票价格为x（x≤80）元时，该公园每天的门票收入y（元），y 是x的二次函数吗？19．已知在△ABC中，∠B=30°，AB+BC=12，设AB=x，△ABC的面积是S，求面积S关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC、BC的长为方程x2﹣14x+a=0的两根，且AC﹣BC=2，D为AB的中点．（1）求a的值．（2）动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→D→C的路线向点C运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度，沿B→C的路线向点C运动，且点Q每运动1秒，就停止2秒，然后再运动1秒…若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t秒．①在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围；②是否存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．21．用总长为L米的篱笆围成长方形场地，已知长方形的面积为60m2，一边长度x米，求L与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围．22．某商品每件成本40元，以单价55元试销，每天可售出100件．根据市场预测，定价每减少1元，销售量可增加10件．求每天销售该商品获利金额y（元）与定价x（元）之间的函数关系．26.1.2根据实际问列二次函数关系式题参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是边BC和CD上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E、F怎样动，始终保持AE⊥EF．设BE=x，DF=y，则y是x的函数，函数关系式是（）A．y=x+1 B．y=x﹣1 C．y=x2﹣x+1 D．y=x2﹣x﹣1考点：根据实际问题列二次函数关系式．专题：动点型．分析：易证△ABE∽△ECF，根据相似三角形对应边的比相等即可求解．解答：解：∵∠BAE和∠EFC都是∠AEB的余角．∴∠BAE=∠FEC．∴△ABE∽△ECF那么AB：EC=BE：CF，∵AB=1，BE=x，EC=1﹣x，CF=1﹣y．∴AB•CF=EC•BE，即1×（1﹣y）=（1﹣x）x．化简得：y=x2﹣x+1．故选C．点评：本题结合了正方形和相似三角形的性质考查了二次函数关系式．根据条件得出形似三角形，用未知数表示出相关线段是解题的关键．2．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）A．y=B．y=C．y=D．y=考点：根据实际问题列二次函数关系式．专题：压轴题．分析：四边形ABCD图形不规则，根据已知条件，将△ABC绕A点逆时针旋转90°到△ADE的位置，求四边形ABCD的面积问题转化为求梯形ACDE的面积问题；根据全等三角形线段之间的关系，结合勾股定理，把梯形上底DE，下底AC，高DF分别用含x的式子表示，可表示四边形ABCD的面积．解答：解：作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE∴∠BAC=∠DAE又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°∴△ABC≌△ADE（AAS）∴BC=DE，AC=AE，设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，CF=AC﹣AF=AC﹣DE=3a，在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，解得：a=，∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE=×（DE+AC）×DF=×（a+4a）×4a=10a2=x2．故选：C．点评：本题运用了旋转法，将求不规则四边形面积问题转化为求梯形的面积，充分运用了全等三角形，勾股定理在解题中的作用．3．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A．y=﹣2x2B．y=2x2C．y=﹣x2D．y=x2考点：根据实际问题列二次函数关系式．专题：压轴题．分析：由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y=ax2，利用待定系数法求解．解答：解：设此函数解析式为：y=ax2，a≠0；那么（2，﹣2）应在此函数解析式上．则﹣2=4a即得a=﹣，那么y=﹣x2．故选：C．点评：根据题意得到函数解析式的表示方法是解决本题的关键，关键在于找到在此函数解析式上的点．4．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为（）A．y=2a（x﹣1）B．y=2a（1﹣x）C．y=a（1﹣x2）D．y=a（1﹣x）2考点：根据实际问题列二次函数关系式．分析：原价为a，第一次降价后的价格是a×（1﹣x），第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，为a×（1﹣x）×（1﹣x）=a（1﹣x）2．解答：解：由题意第二次降价后的价格是a（1﹣x）2．则函数解析式是y=a（1﹣x）2．故选D．点评：本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．5．某工厂一种产品的年产量是20件，如果每一年都比上一年的产品增加x倍，两年后产品y与x的函数关系是（）A．y=20（1﹣x）2B．y=20+2x C．y=20（1+x）2D．y=20+20x2+20x考点：根据实际问题列二次函数关系式．分析：根据已知表示出一年后产品数量，进而得出两年后产品y与x的函数关系．解答：解：∵某工厂一种产品的年产量是20件，每一年都比上一年的产品增加x倍，∴一年后产品是：20（1+x），∴两年后产品y与x的函数关系是：y=20（1+x）2．故选：C．点评：此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，得出变化规律是解题关键．6．某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（）A．y=x2+a B．y=a（x﹣1）2C．y=a（1﹣x）2D．y=a（1+x）2考点：根据实际问题列二次函数关系式．分析：本题是增长率的问题，基数是a元，增长次数2次，结果为y，根据增长率的公式表示函数关系式．解答：解：依题意，得y=a（1+x）2．故选D．点评：在表示增长率问题时，要明确基数，增长次数，最后的结果．7．长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（）A．y=x2B．y=（12﹣x2）C．y=（12﹣x）•x D．y=2（12﹣x）考点：根据实际问题列二次函数关系式．专题：几何图形问题．分析：先得到长方形的另一边长，那么面积=一边长×另一边长．解答：解：∵长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x＞0），∴长方形的另一边长为12﹣x，∴y=（12﹣x）•x．故选C．点评：考查列二次函数关系式；得到长方形的另一边长是解决本题的易错点．8．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，则y关于x的函数关系式为（）A．y=60（1﹣x）2B．y=60（1﹣x2） C．y=60﹣x2D．y=60（1+x）2考点：根据实际问题列二次函数关系式．分析：原价为60，一年后的价格是60×（1﹣x），二年后的价格是为：60×（1﹣x）×（1﹣x）=60（1﹣x）2，则函数解析式求得．解答：解：二年后的价格是为：60×（1﹣x）×（1﹣x）=60（1﹣x）2，则函数解析式是：y=60（1﹣x）2．故选A．点评：本题需注意二年后的价位是在一年后的价位的基础上降价的．二．填空题（共6小题）9．如图，在一幅长50cm，宽30cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为ycm2，金色纸边的宽为xcm，则y与x的关系式是y=4x2+160x+1500．考点：根据实际问题列二次函数关系式．分析：由于整个挂画为长方形，用x分别表示新的长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式．解答：解：由题意可得：y=（50+2x）（30+2x）=4x2+160x+1500．故答案为：y=4x2+160x+1500．点评：此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键，此题主要利用了长方形的面积公式解题．10．用一根长50厘米的铁丝，把它弯成一个矩形框，设矩形框的一边长为x厘米，面积为y平方厘米，写出y关于x的函数解析式：y=﹣x2+25x．考点：根据实际问题列二次函数关系式．分析：易得矩形另一边长为周长的一半减去已知边长，那么矩形的面积等于相邻两边长的积．解答：解：由题意得：矩形的另一边长=50÷2﹣x=25﹣x，则y=x（25﹣x）=﹣x2+25x．故答案为y=﹣x2+25x．点评：本题考查列二次函数关系式；掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的关系是解决本题的突破点．11．某企业今年第一月新产品的研发资金为100万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长的都是x，则该厂今年第三月新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=100（1+x）2．考点：根据实际问题列二次函数关系式．分析：由一月份新产品的研发资金为100元，根据题意可以得到2月份研发资金为100（1+x），而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表示出来，由此即可确定函数关系式．解答：解：∵一月份新产品的研发资金为100元，2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，∴2月份研发资金为100（1+x），∴三月份的研发资金为y=100（1+x）×（1+x）=100（1+x）2．故答案为：100（1+x）2．点评：此题主要考查了根据实际问题二次函数列解析式，此题是平均增长率的问题，可以用公式a（1±x）2=b来解题．12．一个矩形的周长为16，设其一边的长为x，面积为S，则S关于x的函数解析式是8x﹣x2．考点：根据实际问题列二次函数关系式．分析：首先求得矩形的另一边长，则面积=两边长的乘积，得出函数解析式．解答：解：∵矩形的周长为16，其一边的长为x，∴另一边长为8﹣x，∴S=x（8﹣x）=8x﹣x2．故答案为：S=8x﹣x2．点评：此题考查列二次函数关系式；得到矩形的另一边长是解决本题的突破点．13．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=a（1+x）2．考点：根据实际问题列二次函数关系式．专题：计算题．分析：由一月份新产品的研发资金为a元，根据题意可以得到2月份研发资金为a×（1+x），而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表示出来，由此即可确定函数关系式．解答：解：∵一月份新产品的研发资金为a元，2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，∴2月份研发资金为a×（1+x），∴三月份的研发资金为y=a×（1+x）×（1+x）=a（1+x）2．故填空答案：a（1+x）2．点评：此题主要考查了根据实际问题二次函数列解析式，此题是平均增长率的问题，可以用公式a（1±x）2=b来解题．14．如图，李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园ABCD，用篱笆围成的另外三边总长为24m，设BC的长为x m，矩形的面积为y m2，则y与x之间的函数表达式为．考点：根据实际问题列二次函数关系式．分析：根据题意可得y=（24﹣x）x，继而可得出y与x之间的函数关系式．解答：解：由题意得：y=（24﹣x）x=﹣x2+12x，故答案为：y=﹣x2+12x．点评：此题考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，属于基础题，解答本题关键是根据三边总长应恰好为24米，列出等式．三．解答题（共8小题）15．某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长率都是x，写出利润y与增长的百分率x之间的函数解析式，它是二次函数吗？如果是请写出二次项系数、一次项系数和常数项．考点：根据实际问题列二次函数关系式．分析：根据增长率的问题，基数是a元，增长次数2次，结果为y，根据增长率的公式表示函数关系式．解答：解：依题意，得y=a（1+x）2=ax2+2ax+a，是二次函数，二次项系数为：a、一次项系数为2a和常数项为a．点评：此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，在表示增长率问题时，要明确基数，增长次数，最后的结果．16．在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是2：1．已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米．（1）求y与x之间的关系式．（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽．考点：根据实际问题列二次函数关系式；解一元二次方程-因式分解法．专题：几何图形问题；压轴题．分析：（1）依题意可得总费用=镜面玻璃费用+边框的费用+加工费用，可得y=6x×30+45+2x2×120化简即可．（2）根据共花了195元，即玻璃的费用+边框的费用+加工费=195元，即可列出方程求解．解答：解：（1）y=（2x+2x+x+x）×30+45+2x2×120=240x2+180x+45；（2）由题意可列方程为240x2+180x+45=195，整理得8x2+6x﹣5=0，即（2x﹣1）（4x+5）=0，解得x1=0.5，x2=﹣1.25（舍去）∴x=0.5，∴2x=1，答：镜子的长和宽分别是1m和0.5m．点评：本题是一道一元二次方程的应用题，解这类题关键是理解题意，建立恰当的关系式予以求解．17．已知某商场一月份的利润是100万元，三月份的利润达到y万元，这两个月的利润月平均增长率为x，求y与x的函数关系式．考点：根据实际问题列二次函数关系式．分析：本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），利润的平均月增长率为x，那么根据题意即可得出y=100（1+x）2．解答：解：∵一月份的利润是100万元，利润月平均增长率为x，∴二月份的利润是100（1+x），∴三月份的利润是100（1+x）2，因此y=100（1+x）2．点评：本题考查一元二次方程的应用，解决此类三次变化问题，可利用公式a（1+x）2=c，其中a 是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率．18．某公园门票每张是80元，据统计每天进园人数为200人，经市场调查发现，如果门票每降低1元出售，则每天进园人数就增多6人，试写出门票价格为x（x≤80）元时，该公园每天的门票收入y（元），y 是x的二次函数吗？考点：根据实际问题列二次函数关系式．分析：根据已知得出门票价格为x（x≤80）元时，进而表示出进园人数得出即可．解答：解：根据题意可得：y=x[200+6（80﹣x）]=﹣6x2+680x．点评：本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，表示出每天进园人数是解题关键．19．已知在△ABC中，∠B=30°，AB+BC=12，设AB=x，△ABC的面积是S，求面积S关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．考点：根据实际问题列二次函数关系式．分析：作△ABC的高AD，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AD=AB，再根据三角形的面积公式得出△ABC的面积=BC•AD，将相关数值代入即可．解答：解：如图，作△ABC的高AD．在△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=30°，∴AD=AB=x，∴S=△ABC的面积=BC•AD=（12﹣x）•x=﹣x2+3x，∴面积S关于x的函数解析式为S=﹣x2+3x（x＞0）．点评：本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积，求出△ABC的高AD是解题的关键．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC、BC的长为方程x2﹣14x+a=0的两根，且AC﹣BC=2，D为AB的中点．（1）求a的值．（2）动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→D→C的路线向点C运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度，沿B→C的路线向点C运动，且点Q每运动1秒，就停止2秒，然后再运动1秒…若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t秒．①在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围；②是否存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．考点：根据实际问题列二次函数关系式；解一元一次方程；根与系数的关系；三角形的面积；直角三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．专题：计算题；压轴题；动点型．分析：（1）根据根与系数的关系求出AC+BC=14，求出AC和BC，即可求出答案；（2）根据勾股定理求出AB，sinB，过C作CE⊥AB于E，关键三角形的面积公式求出CE，I当0＜t≤1时，S=S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ=AC•BC﹣AP•CE﹣BQ•BPsinB，求出即可；II同理可求：当1＜t≤2.5时，S=S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ=×8×6﹣×2t×﹣×3×（10﹣2t）×=﹣t+12；III当2.5＜t≤3时，S=﹣t+12，IIII当3＜t＜4时，S=CQ•CPsin∠BCD=CQ•CPsin∠B=×（6﹣3t）×（10﹣2t）×=t2﹣t+24；②在整个运动过程中，只可能∠PQC=90°，当P在AD上时，若∠PQC=90°，cosB==，代入即可求出t；当P在DC上时，若∠PQC=90°，sinA=sin∠CPQ，=，得到，=或=，求出t，根据t的范围1＜t＜4，判断即可．解答：解：（1）∵AC、BC的长为方程x2﹣14x+a=0的两根，∴AC+BC=14，又∵AC﹣BC=2，∴AC=8，BC=6，∴a=8×6=48，答：a的值是48．（2）∵∠ACB=90°，∴AB==10．又∵D为AB的中点，∴CD=AB=5，∵sinB==，过C作CE⊥AB于E，根据三角形的面积公式得：AC•BC=AB•CE，6×8=10CE，解得：CE=，过P作PK⊥BQ于K，∵sinB=，∴PK=PB•sinB，∴S△PBQ=BQ×PK=BQ•BPsinB，（I）当0＜t≤1时，S=S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ=AC•BC﹣AP•CE﹣BQ•BPsinB，=×8×6﹣×2t×﹣×3t×（10﹣2t）×，=t2﹣t+24，（II）同理可求：当1＜t≤2.5时，S=S△ABC﹣S△ACP﹣S△PBQ=AC•BC﹣AP•CE﹣BQ•BPsinB，=×8×6﹣×2t×﹣×3×（10﹣2t）×，=﹣t+12；（III）当2.5＜t≤3时，S=CQ•PCsin∠BCD=×3×（10﹣2t）×=﹣t+12；（IIII）当3＜t＜4时，∵△PHC∽△BCA，∴，∴=，∴PH=8﹣1.6t，∴S=CQ•PH=CQ•PH=×（12﹣3t）×（8﹣1.6t）=t2﹣t+48．答：S与t之间的函数关系式是：S=t2﹣t+24（0＜t≤1）或S=﹣t+12（1＜t≤2.5），或S=﹣t+12（2.5＜t≤3），或S=t2﹣t+48．（3＜t＜4）．②解：在整个运动过程中，只可能∠PQC=90°，当P在AD上时，若∠PQC=90°，cosB==，∴=，∴t=2.5，当P在DC上时，若∠PQC=90°，sinA=sin∠CPQ，=，=，或=，t=，或t=2.5，∵1＜t＜4，∴t=，t=2.5，符合题意，∴当t=2.5秒或秒时，△PCQ为直角三角形．答：存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形，符合条件的t的值是2.5秒，秒．点评：本题主要考查对锐角三角函数的定义，根据实际问题列二次函数的解析式，勾股定理，三角形的面积，直角三角形的性质，解一元一次方程，根与系数的关系等知识点的理解和掌握，把实际问题转化成数学问题是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．21．用总长为L米的篱笆围成长方形场地，已知长方形的面积为60m2，一边长度x米，求L与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围．考点：根据实际问题列二次函数关系式．分析：首先表示出矩形的另一边长，进而利用矩形面积公式求出即可．解答：解：∵用总长为L米的篱笆围成长方形场地，一边长度x米，∴另一边长为：（﹣x）m，故x（﹣x）=60，则L=+2x，（0＜x＜）．点评：此题主要考查了根据实际问题列函数关系式，表示出另一边长是解题关键．22．某商品每件成本40元，以单价55元试销，每天可售出100件．根据市场预测，定价每减少1元，销售量可增加10件．求每天销售该商品获利金额y（元）与定价x（元）之间的函数关系．考点：根据实际问题列二次函数关系式．分析：首先根据题意得出当定价为x元时，每件降价（55﹣x）元，此时销售量为[100+10（55﹣x）]件，根据利润=销售量×（单价﹣成本），列出函数关系式即可．解答：解：由题意得，商品每件定价x元时，每件降价（55﹣x）元，销售量为[100+10（55﹣x）]件，则y=[100+10（55﹣x）]（x﹣40）=﹣10x2+1050x﹣26000，即每天销售该商品获利金额y（元）与定价x（元）之间的函数关系式为y=﹣10x2+1050x﹣26000．点评：本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确表示销售量是解题的关键．初中数学试卷桑水出品。

学科：数学
专题：实际问题与二次函数
重难点易错点解析
题面：某炮弹从炮口射出后飞行的高度h(m)与飞行的时间t(s)之间的函数关系式为
h=v0×1
2
t5t2，其中v0是发射的初速度，当v0=300m/s时，炮弹飞行的最大高度为_____
m，该炮弹在空中运行了 s落到地面上．
金题精讲
题一：
题面：一只排球从P点打过球网MN，已知该排球飞行距离x(米)与其距地面高度y(米)之间
的关系式为y＝-
1
12
x2+
2
3
x+
3
2
(如图)．已知球网MN距原点5米，运动员(用线段AB表示)
准备跳起扣球．已知该运动员扣球的最大高度为9
4
米，设他扣球的起跳点A的横坐标为k，
因球的高度高于他扣球的最大高度而导致扣球失败，则k的取值范围是 .
满分冲刺
题面：某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计)，这些薄板的形状均为正方形，边长 (单位：cm)在5～50之间．每张薄板的成本价(单位：元)与它的面积(单位：cm2)成正比例，每张薄板的出厂价(单位：元)由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，
是固定不变的．浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．
薄板的边长(cm) 20 30
出厂价(元/张) 50 70
(1)求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；
(2)已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得的利润为26元(利润=出厂价成本价)，
①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．。

数学九年级下册解码专训实际问题与一元二次方程(2)学习目标：（1）、掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．（2）、利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题．学习重点：据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．学习难点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．（一）导学求思1、列方程解应用题步骤2、填空：1）．直角三角形的面积公式是 一般三角形的面积公式是2）．正方形的面积公式是长方形的面积公式又是3）．梯形的面积公式是 4）．菱形的面积公式是5）．平行四边形的面积公式是 6）．圆的面积公式是（二）、探究交流封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个矩形,如果要使四,上、下、左、右边衬等宽,应如何设计四周21xcm，据四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一可得方程。

（此题的过程展示右上）分析: （法二）这本书的上下左右边衬的宽度相等，可设四周边衬的宽度为xcm，据四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一可知正中央矩形的面积是封面面积的四分之三，从而得方程。

解：（三）（探究3）如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm， 正中央是一个219:7,依题知正中央的矩形两边之比也为9:7，设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm，则上、下边衬为，左、右边衬为因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三，从而得方程。

或直接根据四周的彩色边衬所点面积是封面面积的四分之一得方程。

（此题展示于右上）分析:（法二）依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7， 由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm， 则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（）cm，宽为（）cm．因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三．从而得方程。

解码专训一：根与系数的关系的四种应用类型名师点金：利用一元二次方程的根与系数的关系可以不解方程，仅通过系数就反映出方程两根的特征．在实数范围内运用一元二次方程的根与系数的关系时，必须注意Δ≥0这个前提，而应用判别式Δ的前提是二次项系数不为0.因此，解题时要注意分析题目中有没有隐含条件Δ≥0和a≠0.利用根与系数的关系求代数式的值1．设方程4x2－7x－3＝0的两根为x1，x2，不解方程求下列各式的值．(1)(x1－3)(x2－3)；(2)x2x1＋1＋x1x2＋1；(3)x1－x2.利用根与系数的关系构造一元二次方程2．构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x2＋2x－3＝0各根的负倒数．利用根与系数的关系求字母的值或取值范围3．已知关于x的一元二次方程2x2－mx－2m＋1＝0的两根的平方和是29 4，求m的值．巧用根与系数的关系确定字母系数的存在性4．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解码专训二：一元二次方程中的常见热门考点名师点金：一元二次方程题的类型非常丰富，常见的有一元二次方程的根、一元二次方程的解法、一元二次方程根的情况、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的应用等，只要我们掌握了不同类型题的解法特点，就可以使问题变得简单，明了．一元二次方程的根1．(2015·兰州)若一元二次方程ax 2－bx －2 015＝0有一根为x ＝－1，则a ＋b ＝________．2．若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为－1，且a ＝4－c ＋c －4－2，求（a ＋b ）2 0162 015c 的值．一元二次方程的解法3．用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后所得的方程为( )A ．(x ＋1)2＝0B ．(x －1)2＝0C ．(x ＋1)2＝2D ．(x －1)2＝24．一元二次方程x2－2x－3＝0的解是()A．x1＝－1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝－3C．x1＝－1，x2＝－3 D．x1＝1，x2＝35．选择适当的方法解下列方程：(1)(x－1)2＋2x(x－1)＝0；(2)x2－6x－6＝0；(3)6 000(1－x)2＝4 860；(4)(10＋x)(50－x)＝800；(5)(中考·山西)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.一元二次方程根的判别式6．(2015·河北)若关于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根，则a的取值范围是()A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥17．在等腰三角形ABC中，三边长分别为a，b，c.其中a＝5，若关于x的方程x2＋(b＋2)x＋(6－b)＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．8．(2015·南充)已知关于x的一元二次方程(x－1)(x－4)＝p2，p为实数．(1)求证：方程有两个不相等的实数根．(2)p为何值时，方程有整数解．(直接写出三个，不需说明理由)．一元二次方程根与系数的关系9．已知α，β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α＋1β＝－1，则m的值是()A．3 B．1C．3或－1 D．－3或110．关于x的方程ax2－(3a＋1)x＋2(a＋1)＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x1＋x2－x1x2＝1－a，求a的值．11．设x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2＋4a－2＝0的两个实数根，当a为何值时，x12＋x22有最小值？最小值是多少？一元二次方程的应用12．(2015·乌鲁木齐)某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？13．小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？(求出剪成的两段铁丝的长度)(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗？请说明理由．新定义问题14．(中考·厦门)若x1，x2是关于x的方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根，且|x1|＋|x2|＝2|k|(k是整数)，则称方程x2＋bx＋c＝0为“偶系二次方程”．如方程x2－6x－27＝0，x2－2x－8＝0，x2＋3x－274＝0，x2＋6x－27＝0，x2＋4x＋4＝0都是“偶系二次方程”．判断方程x2＋x－12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由．答案解码专训一1．解：根据一元二次方程根与系数的关系，有x 1＋x 2＝74，x 1x 2＝－34.(1)(x 1－3)(x 2－3)＝x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋9＝－34－3×74＋9＝3.(2)x 2x 1＋1＋x 1x 2＋1＝x 2（x 2＋1）＋x 1（x 1＋1）（x 2＋1）（x 1＋1）＝ x 12＋x 22＋x 1＋x 2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2＋（x 1＋x 2）x 1x 2＋（x 1＋x 2）＋1＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫742－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋74－34＋74＋1＝10132. (3)∵(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫742－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝9716， ∴x 1－x 2＝±9716＝±1497.2．解：设方程5x 2＋2x －3＝0的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－25，x 1x 2＝－35.设所求方程为y 2＋py ＋q ＝0，其两根为y 1，y 2，令y 1＝－1x 1，y 2＝－1x 2. ∴p ＝－(y 1＋y 2)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1－1x 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝23，q ＝y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＝1x 1x 2＝－53. ∴所求的方程为y 2＋23y －53＝0，即3y 2＋2y －5＝0.3．解：设方程两根为x 1，x 2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m 2，x 1x 2＝－2m ＋12.∵x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝294，即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22－2×－2m ＋12＝294， ∴m 2＋8m －33＝0.解得m 1＝－11，m 2＝3.当m ＝－11时，方程为2x 2＋11x ＋23＝0，Δ＝112－4×2×23<0，方程无实数根，∴m ＝－11不合题意，舍去；当m ＝3时，方程为2x 2－3x －5＝0，Δ＝(－3)2－4×2×(－5)>0，方程有两个不相等的实数根，符合题意．∴m 的值为3.4．解：不存在．理由如下：∵一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0有两个实数根，∴k ≠0，且Δ＝(－4k)2－4×4k(k ＋1)＝－16k ≥0，∴k ＜0.∵x 1，x 2是方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝k ＋14k .∴(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝2(x 1＋x 2)2－9x 1x 2＝－k ＋94k .又∵(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32，∴－k ＋94k ＝－32，∴k ＝95.又∵k<0，∴不存在实数k ，使(2x 1－x 2)(x 1－2x 2)＝－32成立．方法总结：对于存在性问题，先根据方程根的情况，利用根的判别式确定出未知字母的取值范围，再利用根与系数的关系求出已知式子中字母的值，验证字母的值是否在其取值范围内．解码专训二1．2 015 点拨：把x ＝－1代入方程中得到a ＋b －2 015＝0，即a ＋b ＝2 015.2．解：∵a ＝4－c ＋c －4－2，∴c －4≥0且4－c ≥0，即c ＝4，则a ＝－2.又∵－1是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，∴a －b ＋c ＝0，∴b ＝a ＋c ＝－2＋4＝2.∴原式＝（－2＋2）2 0162 015×4＝0. 3．D 4.A5．解：(1)(x －1)2＋2x(x －1)＝0，(x －1)(x －1＋2x) ＝0，(x －1)(3x －1) ＝0，∴x 1＝1，x 2＝13.(2)x 2－6x －6＝0，∵a ＝1，b ＝－6，c ＝－6，∴b 2－4ac ＝(－6)2－4×1×(－6)＝60.∴x ＝6±602＝3±15，∴x 1＝3＋15，x 2＝3－15.(3)6 000(1－x)2＝4 860，(1－x)2＝ 0.81，1－x ＝ ±0.9，∴x 1＝1.9，x 2＝0.1.(4)(10＋x)(50－x)＝800，x 2－40x ＋300＝ 0，∴x 1＝10，x 2＝30.(5)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7，4x 2－4x ＋1 ＝3x 2＋2x －7，x 2－6x ＋8 ＝0，∴x 1＝2，x 2＝4.6．B7．解：∵关于x 的方程x 2＋(b ＋2)x ＋(6－b)＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(b ＋2)2－4(6－b)＝0，∴b 1＝2，b 2＝－10(舍去)．当a 为腰时，△ABC 的周长为5＋5＋2＝12.当b 为腰时，2＋2＜5，不能构成三角形．∴△ABC 的周长为12.8．(1)证明：原方程可化为x 2－5x ＋4－p 2＝0.Δ＝(－5)2－4(4－p 2)＝9＋4p 2.∵p 为实数，则p 2≥0，∴9＋4p 2＞0.即Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)解：当p 为0，2，－2时，方程有整数解．(答案不唯一)点拨：(1)先将一元二次方程化为一般形式，由题意得，一元二次方程根的判别式b 2－4ac ＝(－5)2－4×1×(4－p 2)＝9＋4p 2，易得，9＋4p 2＞0，从而得证．(2)一元二次方程的解为x ＝5±9＋4p 22，若方程有整数解，则9＋4p 2必须是完全平方数，故当p ＝0、2、－2时，9＋4p 2分别对应9、25、25，此时方程的解分别为整数．9．A10．解：由题意，得x 1＋x 2＝3a ＋1a ，x 1x 2＝2（a ＋1）a ，∴3a ＋1a －2（a ＋1）a＝1－a ，∴a 2－1＝0，即a ＝±1.又∵方程有两个不相等的实数根，∴a ≠0，且Δ＝[－(3a ＋1)]2－4a·2(a ＋1)＞0，即a ≠0，且(a －1)2＞0，∴a ≠0，且a ≠1，∴a ＝－1.11．解：∵方程有两个实数根，∴Δ＝(2a)2－4(a 2＋4a －2)≥0，∴a ≤12.又∵x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝a 2＋4a －2，∴x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝2(a －2)2－4.∵a ≤12，∴当a ＝12时，x 12＋x 22的值最小．此时x 12＋x 22＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－22－4＝12，即最小值为12. 点拨：本题中考虑Δ≥0从而确定a 的取值范围这一过程易被忽略．12．解：设每件商品降价x 元，则售价为每件(60－x)元，每星期的销量为(300＋20x)件．根据题意，得(60－x －40)(300＋20x)＝6 080.解得x 1＝1，x 2＝4.又要顾客得实惠，故取x ＝4，即销售单价为56元．答：应将销售单价定为56元．13．解：(1)设剪成的较短的一段长为x cm ，则较长的一段长为(40－x) cm ，由题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫40－x 42＝58，解得x 1＝12，x 2＝28.当x ＝12时，较长的一段长为40－12＝28(cm )，当x ＝28时，较长的一段长为40－28＝12(cm )＜28cm (舍去)．∴较短的一段长为12 cm ，较长的一段长为28 cm .(2)小峰的说法正确．理由如下：设剪成的较短的一段长为m cm ，则较长的一段长就为(40－m) cm ，由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫m 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫40－m 42＝48，变形为m 2－40m ＋416＝0.∵Δ＝(－40)2－4×416＝－64＜0，∴原方程无实数解，∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.14．解：不是．理由如下：解方程x2＋x－12＝0，得x1＝－4，x2＝3.|x1|＋|x2|＝4＋3＝2×|3.5|.∵3.5不是整数，∴方程x2＋x－12＝0不是“偶系二次方程”．。

学科：数学专题：一元二次方程的解法重难点易错点解析题一：题面：当=k 时，方程05)3()4(22=+-+-x k x k 不是关于x 的一元二次方程．金题精讲题一：题面：方程0322=--x x 的根是 ．满分冲刺题一：题面：解方程：(1)(1)2(3)8x x x +-++=．题二：题面：如图，为了美化街道，刘大爷准备利用自家墙外的空地种植两种不同的花卉，墙的最大可用长度是12.5m ，墙外可用宽度为3.25m ．现有长为21m 的篱笆，计划靠着院墙围成一个中间有一道隔栏的矩形花圃．（1）若要围成总面积为36m 2的花圃，边AB 的长应是多少米？（2）花圃的面积能否达到36.75m 2？若能，求出边AB 的长；若不能，请说明理由．课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：2±详解：方程05)3()4(22=+-+-x k x k 不是关于x 的一元二次方程，则二次项系数.042=-k 故.2±=k金题精讲题一：答案：.3,121=-=x x详解：.4)1(,412,032222=-=+-=--x x x x x 所以.3,121=-=x x满分冲刺题一：答案：13x x ==-或．详解：原方程可化为2230x x +-=，即(3)(1)0x x +-=，解得13x x ==-或．题二：答案： （1）3；（2）花圃的面积能达到36.75m 2，此时，AB 的长为3.5m ．详解：（1）设AB 的长为x 米，则长为（21-3x ）米，根据题意得：x （21-3x ）=36，解得：x =3或x =4，∵墙外可用宽度为3.25m ，∴x 只能取3．（2）花圃的面积为（21-3x ）x =-3（x -3.5）2+36.75，∴当AB 长为3.5m ，有最大面积，为36.75平方米．故花圃的面积能达到36.75m2，此时，AB的长为3.5m．。

期中期末串讲--一元二次方程(二)课后练习
主讲教师：黄老师
题一：已知关于x的一元二次方程x2－2x+a=0只有正整数根，试求非负整数a的值．
题二：已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k－1=0有实数根，k为正整数．
(1)求k的值；
(2)当此方程有两个非零的整数根时，求出这两个整数根．
题三：若两个不同的关于x的方程x2+x+a=0与x2+ax+1=0有一个共同的实数根，求a的值及这两个方程的公共实数根．
题四：已知方程x2+(k+3)x+3=0和x2+x+1－k=0有且只有一个相同的实数根，求k的值和这个相同的实数根．
题五：已知k是整数，且方程x2+kx－k+1=0有两个不相等的正整数根，求k的值．
题六：已知关于x的方程(k2－1)x2－6(3k－1)x+72=0的解都是正整数，求整数k的值．。

华师版数学九年级下册解码专训21.2.3 一元二次方程的根的判别式各位老师：你们好！我是来自甘肃省兰州市兰化第一中学的数学教师宋庆萍，今天我说课的内容是：人教社九年义务教育四年制初中《代数》第三册第十二章第三节“一元二次方程的根的判别式”。

下面将从三个方面来汇报我是如何分析教材和设计教学学教程的。

一、教材分析方面：1、本节教材的地位及作用：“一元二次方程的根的判别式”一节，是在学生已经学过一元二次方程的解法，并对b2-4ac的作用有所了解的基础上，来进一步研究它的作用的一个重要理论内容，它是前面知识的深化与总结。

它在整个中学数学中占有重要的地位，既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次函数，二次曲线等奠定基础，并且可以解决许多其它问题。

通过这一节的学习，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力，并向学生渗透转化和分类的数学思想，渗透数学的简洁美。

2、教学内容的确定：本节课的主要内容是：一元二次方程根的判别式的意义，定理、逆定理及其应用，对定理的引出我改变了教材中直接推证的方法，而是通过设置悬念让学生解三种不同的方程的亲身感受来发现定理，这样使学生感到自然、易于授受，对教材中的例题则有所增加，例题的设置由浅入深，这样安排符合学生的认知规律，同时，使学习内容充实，不单调。

3、教学目的；依据教学大纲和对教材的分析，以及结合学生已有的知识基础，本节课的教学目的是：（1）使学生理解一元二次方程的根的判别式概念；（2）能运用根的判别式在不解方程的前提下，判别方程根的情况，和进行有关的推理证明；（3）会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围；（4）培养学生的探索精神和逻辑思维能力以及推理论证能力；（5）向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美。

4、教学重点、难点及关键：重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用；难点：根的判别式定理及逆定理的运用。

华师大版九年级数学下册专项训练之《一元二次方程》一、选择题1、若一元二次方程式4x 2+12x ﹣1147=0的两根为a 、b ，且a ＞b ，则3a+b 之值为何？（ ）A ．22B ．28C ．34D ．402、用配方法解一元二次方程x ²﹣6x ﹣4=0，下列变形正确的是( ) A ．(x ﹣6)²=﹣4+36 B ．(x ﹣6)²=4+36 C ．(x ﹣3)²=﹣4+9 D ．(x ﹣3)²=4+93、一元二次方程x 2＋px －2＝0的一个根为2，则p 的值为（）A ．1B ．2C ．－1D ．－24、一元二次方程x 2﹣x ﹣2=0的解是（）A ．x 1=﹣1，x 2=﹣2B ．x 1=1，x 2=﹣2C ．x 1=1，x 2=2D ．x 1=﹣1，x 2=25、已知关于x 的一元二次方程x 2+ax+b=0有一个非零根﹣b ，则a ﹣b 的值为（）A ．1B ．-1、C ．0D ．-26、方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，且满足x 1＋x 2＝x 1x 2，则m 的值是( )A ．－2或3B ．3C ．－2D ．－3或27、已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长是（ ）A ．5B ．7C ．5或7D ．108、对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号max {a ，b}表示a ，b 中较大的数，如max {2，4}＝4.按这个规定，方程max {x ，－x}＝的解为( )A ．1－B ．2－C ．1－或1＋D ．1＋或－19、今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60m ，若将短边增大到与长边相等（长边不变），使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600m 2．设扩大后的正方形绿地边长为x m ，下面所列方程正确的是（）A ．x （x-60）=1600B ．x （x+60）=1600C ．60（x+60）=1600D ．60（x-60）=1600二、填空题10、如右图，某小区规划在一个长30m 、宽20m 的长方形ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m 2，那么通道的宽应设计成多少m ？设通道的宽为xm ，由题意列得方程 。

华师版数学九年级下册解码专训专训1二次函数与几何的应用名师点金：二次函数与几何的应用非常广泛，解决这类问题的关键是要学会数形结合，一方面，抓住几何图形的特征，灵活运用点的坐标与线段长度之间的相互转化，从而解决与二次函数有关的问题；另一方面，已知二次函数表达式可求出特殊点的坐标，进而求出线段长度，从而解决有关几何问题．二次函数与三角形的综合1．如图，在直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A(1，0)，B(0，2)，抛物线y＝12x2＋bx－2过点C.求抛物线对应的函数表达式．(第1题)二次函数与平行四边形的综合2．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2 cm，点A，C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A，B，且12a＋5c＝0.(1)求抛物线对应的函数表达式．(2)如果点P由点A开始沿AB边以2 cm/s的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以1 cm/s的速度向点C移动．一点到达终点后另一点停止移动．①移动开始后第t s时，设S＝PQ2(cm2)，试写出S与t之间的函数表达式，并写出t的取值范围．②当S取得最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P，B，Q，R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．(第2题)二次函数与矩形、菱形、正方形的综合3．二次函数y＝23x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A n在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B n在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3，…，C n在二次函数位于第二象限的图象上．四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，(第3题)四边形A2B3A3C3，…，四边形A n－1B n A n C n都是菱形，∠A0B1A1＝∠A1B2A2＝∠A2B3A3＝…＝∠A n－1B n A n＝60°，则菱形A n－1B n A n C n的周长为________．4．(中考·孝感)如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.(1)图①中，若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE＝EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等(不要求证明)．(2)如图②，若点E在线段BC上滑动(不与点B，C重合)．①AE＝EF是否总成立？请给出证明．②在如图②所示的平面直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y＝－x2＋x＋1上，求此时点F的坐标．(第4题)专训2探究二次函数中存在性问题名师点金：存在性问题是近年来中考的热点，这类问题的知识覆盖面广，综合性强，题型构思精巧，解题方法灵活，求解时常常要猜想或者假设问题的某种关系或结论存在，再经过分析、归纳、演算、推理找出最后的答案．常见的类型有：探索与特殊几何图形有关的存在性问题，探索与周长有关的存在性问题，探索与面积有关的存在性问题．探索与相似有关的存在性问题。

华师版数学九年级下册解码专训21.3.1 二次函数与一元二次方程间的关系教学目标【知识与技能】掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【过程与方法】经历探究二次函数与一元二次方程关系的过程,体会函数、方程之间的. 【情感、态度与价值观】进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神.重点难点【重点】用函数图象求一元二次方程的近似解.【难点】用数形结合的思想解方程.教学过程一、创设情境,导入新知师:任意一次函数的图象与x轴有几个交点?生甲:一个.生乙:不对,当直线与x轴平行时,没有交点.生丙:还有一种情况,当直线与x轴重合时,有无数个交点.师:同学们考虑得很周到!当一次函数的图象与x轴有1个交点时,你能求出它与x轴交点的坐标吗?比如一次函数y=2x-3,它的图象与x轴交点的坐标是多少?学生计算后回答.二、共同探究,获取新知师:你猜想一下,二次函数的图象与x轴可能会有几个交点?我们可以借助什么来研究?学生思考.生:借助二次函数的图象.师:对.教师多媒体课件出示:二次函数y=x2+3x+2的图象如图所示,根据图象回答问题:1.它与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?2.当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少?3.由此你能求出方程x2+3x+2=0的根吗?4.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标有什么关系?师:请同学们先画出函数图象,然后思考下面几个问题.学生作图,教师巡视指导.教师出示图象:学生观察图象后回答.生:这个函数的图象与x轴有公共点,公共点的横坐标分别是-2和-1.这时函数值都为0,所以方程x2+3x+2=0的根为-2和-1.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标是一样的.师:同学们回答得很好!你能归纳出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其他情况吗?交点的个数与方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系呢?学生思考,交流讨论.生:函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数与方程ax2+bx+c=0根的个数一样,所以也有三种情况:令Δ=b2-4ac,当Δ>0时,函数图象与x轴有两个交点,方程有两个根;当Δ=0时,函数图象与x轴有一个交点,方程有两个相等的根;当Δ<0时,函数图象与x轴没有交点,方程无解.师:同学们回答得很好!所以我们有了求一元二次方程根的另一种方法,画出二次函数的图象,然后怎么确定方程的解呢?生:二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的解.三、例题讲解【例】用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解(精确到0.1).解:画出函数y=x2+2x-1的图象,如图.。

学科：数学专题：含参一元二次方程的解法重难点易错点解析题一：题面：方程(x +m )2=n 2的根是 .金题精讲题一：题面：关于x 的一元二次方程x 2-3mx +2m 2-mn -n 2=0(m ＞0，n ＞0)的解是 ．满分冲刺题一：题面：解关于x 的方程：()()0(0)mx x c c x m -+-==/题二：题面：解关于x 的方程：(m -1)x 2+2mx +m +3=0．题三：题面：如果方程20x px q ++=的两个根是12,x x ，那么1212,.,x x p x x q +=-=请根据以上结论，解决下列问题：已知a 、b 、c 满足0,16a b c abc ++==，求正数c 的最小值.课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：x =±n -m详解：∵(x +m ) 2=n 2，∴x +m =±n ，∴x =±n -m .金题精讲题一：答案：x 1=2m +n ，x 2=m -n详解：∵b 2-4ac =222(3)41(2)m m mn n --⨯⨯--=2229844m m mn n -++=(m +2n )2， 又m ＞0，n ＞0∴()322m m n x ±+==， ∴x 1=2m +n ，x 2=m -n ．满分冲刺题一：答案：121,x c x m== 详解：(1)原方程整理为()(1)0,0x c mx x c --=-=即 或,01=-mx ;1,,021m x c x m ==∴=/ 题二：答案： 当m =1时，x = -2；当m ≠1时，①△＞0时，即4m 2-4（m -1）（m +3）＞0，m ＜32且m ≠1时，x②△=0时，即m =32时， x 1=x 2= -3； ③△＜0时，即m ＞32时，方程无解详解：当m -1=0，即m =1时，方程为一元一次方程，解得：x = -2；当m -1≠0，即m ≠1时，方程为一元二次方程，①△＞0时，即4m 2-4(m -1)(m +3)＞0，解得：m ＜32，此时x ②△=0时，即m =32时，此时x 1=x 2= -3；③△＜0时，即m ＞32时，方程无解． 题三：答案：正数c 的最小值为4。