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关于数列极限

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简介数列极限

前言

提到极限，人们会感到神秘莫测，这使我想起了《聊斋》里一文《贾凤雉》

一段故事。贾奉雉，是甘肃平凉人。他才名冠绝一时，但是科举考试却总是不

中。有一天，他遇见一位秀才，自称姓郎，风度很潇洒，两人成了朋友。不久

他在郎生帮助下考中了举人，但此时他却随郎生飘然离家出去，进了深山，到

了一处别有一番天地的洞府。在洞府消闲一段时间，郎生为他指明了回家的路，

贾奉雉疾奔了一里多路，已经到了家门口。只见房屋不是原来的老样子了；村

里的老人小孩，竟然没有一个认识的。贾奉雉问一个老翁道：“贾奉雉家在哪

儿？”老翁指着贾宅说：“这就是，相传这位贾公当时听说自己考中了举人就逃

走了；走的时侯，他的儿子才七八岁；屈指一算已经一百多年了。”贾奉雉听说

恍然犬悟，说：“老翁有所不知，贾奉雉就是我呀。”老翁大惊，急忙走去告诉

贾家的人。此时贾奉雉的长孙早死了；他的次孙贾祥也已经到了五十多岁了，

贾凤雉的妻子沉睡了100多年刚刚苏醒。贾凤雉感到的一会功夫却是经历100

年时间，原来，贾凤雉进的深山是另一个世界---仙界。神话中的仙界，是浩瀚

无限的时空；而人间千年，却是浩瀚时空的一瞬间，真是“天上方七日，世上

已千年”。

我们生活在有限的天地里，碰到的大多是有限的事物，用有限的、不变的数

来记载生活中的数量关系。然而，在数学领域，却还有类似仙境的、变量的、

无限的世界：

假如你站在道路上不动，对面一辆车向你开来，车与你的距离是1米，21米，

31米，41米，51米，„„，n1米，„„，永远没个完。此时你不必惊慌，因为按

这个规律，车子永远不会撞到你。这里车子与你的距离无限趋近0，但永远大于

0，0是当n趋向无穷大时，车子与你的距离的极限。

在我国，早在先秦时代，从《庄子²天下篇》中，就出现了“一尺之锤，日

取其半，万世不竭”的极限思想。从17世纪到19世纪末期，数学从常量数学

进入变量数学时期。在变量数学时期，辩证法进入了数学，极限开始出现在数

学领域。在高等数学中，极限知识是学习导数、微分和积分的基础。换句话说，

极限知识是初等数学走向高等数学、有限数学走向无限数学、数学形式逻辑思

维思维走向数学辩证思维的关键点。在《数学分析》中，极限含数列极限和函

数极限。但这里我主要介绍数列极限中的和小学数学相关的内容，不是系统学

习数列极限知识。目的是以帮助我们认识小学数学中和极限相关的知识的实质，

使我们能从更高的角度俯瞰小学数学。

本专题共谈三个小问题：

1.数列极限的概念；2.数列极限的四则运算；3.数列极限和小学数学及教学。

一、数列极限的概念

（一）.数列极限的描述性定义

我们看数列：

10，21，32，43，54，65，76，„„，nn1，„„

这个数列的项，随着项数（序号n）的逐步增大，越来越接近常数1，当自

变量n无限增大时，对应的第n项的值无限接近1，nn1与1的差别无限小，要小到什么程度就能小到什么程度，nn1与1要多么近就有多么近。此时我们就

把这个常数1叫做该数列nn1的极限。

定义1：设xn为一个数列，a为一个常数，如果当n无限增大时，xn的对应

值无限接近于常数a，则称数列xn有极限，极限值为a.记limnxn=a.

这里“limn”是对“极限”一词的符号表示，读作“离米特”音；“n”

读作“n趋向无穷大”，表示n无限大地变化下去。

练习（一）

猜想下面各数列的极限：

（1）1，21，31，41，51，„„，n1，„„

（2）1＋12，1＋23，1＋34，„„，1＋nn1，„„

答：（1）0；（2）2.

思考：在数列

1，21，31，41，51，„„，n1，„„

中，它的极限是0，但第n项它永远不会等于0，这就蕴含了辩证关系。数

列极限是量变到质变的产物，对它的认识是思维的飞跃。

练习（二）

已知数列

12，23，34，45，„„，nn1,„„

（1）猜想极限；

（2）用直角坐标表示xn趋向极限情况；

（3）随着n的无限增大，xn与极限值差的绝对值如何变化？

解：（1）该数列极限是1.

（2）如图，纵坐标为xn，我们看纵轴，表示xn的点距离表示1的点越来越

近，看出xn无限趋近极限1的情况：

（3）xn与1的差的绝对值1xn越来越趋近0.

思考：xn从正数方向趋近极限1，与极限1的差的绝对值就是与极限1的差。

1xn刻画了xn向极限1逼近的状况。

练习（三） 已知数列：－12，－23，－34，－45，„„，－nn1,„„

（1）猜想极限；

（2）用直角坐标表示xn趋向极限情况；

（3）随着n的无限增大，xn与极限值差的绝对值如何变化？

解：（1）－1；

（2）如图，看出xn无限趋近极限－1的情况：

（3）xn与－1的差的绝对值)1(xn越来越趋近0.

思考：xn从负数方向逼近极限－1，xn与极限－1的差是负数，取绝对值则成为非负数，这才表示距离啊。)1(xn刻画了xn向极限－1逼近的状况。

练习（四）

已知数列：－1，21，－31，41，„„，（－1）n³n1，„„

（1）猜想极限；

（2）用直角坐标表示xn趋向极限情况；

（3）随着n的无限增大，xn与极限值差的绝对值如何变化？

（4）n＞10000时，xn表示哪些项？

（5）今给定一个正整数N=10000，当n＞N时，xn与极限值差的绝对值会小于100001吗？

解：（1）0；

（2）如图，看出xn无限趋近极限0的情况：

（3）xn与0的差的绝对值0xn越来越趋近0.

（4）n＞10000时，xn表示10000以后的任何一项。

（5）当n=N时，0xn=100001；当n＞N时，0xn＜100001。即第10000项

以后的所有项与0的差的绝对值都小于100001。

思考：xn从正负两个方向逼近极限0，xn与极限0的差有正有负，要分两个

情况分析向极限逼近程度，这很麻烦；而我们用0xn，则避开了正与负的讨论，

就统一用一个尺度来刻画xn向极限0逼近情况了。

显然，若数列xn极限为a，我们可用axn的值来刻画n趋向无穷大时，xn从各个方向趋近极限a的情况。

练习（五）

数列

12，23，34，45，„„，nn1,„„

的极限是1.

（1）想叫1xn＜10003，xn应该是第几项以后的项？n应大于多少？

（2）想叫1xn＜100007，xn应该是第几项以后的项？n应大于多少？

（3）对给定的任意小的一个固定的正数m,想使1xn＜m, xn应该是第几项以后

的项？n应大于多少？

解：（1）想叫1xn＜10003，则应11nn＜10003，解这个不等式：

11nnn＜10003 111n＜10003

n1＜10003

n1＜10003

1000＜3n,

n＞31000.

n＞33331。

故xn应该是第334项及以后的项，第334项及以后所有的数与极限1的差的绝对值都小于10003。

（2）想叫1xn＜100007，则应11nn＜100007，解这个不等式： 11nnn＜100007

n1＜100007

n1＜100007

10000＜7n,

n＞710000.

n＞142874。

故xn应该是第1429项及以后的项，第1429项及以后所有的数与极限1的差的绝对值都小于100007。

（3）想叫1xn＜m，则应11nn＜m，解这个不等式：

11nnn＜m

n1＜m

n1＜m

1＜mn,

n＞m1. 取不大于m1的最大整数N，故xn为第N项以后的项时，总有1xn＜m。

（三）数列极限的精确定义

这是数列极限的定义1描述性定义。在描述性定义中，尽管直观且通俗易

懂,但有些词句，如“无限增大”、“无限接近”等都是比较笼统的，不够准确的，

不能精确地描述极限的过程；它仅是形象表述,是所谓的自然语言，不符合数学

的严密性,把它作为定义难以进行严格的数学推理。经过19世纪几位出色的数学

家的创造性工作，严谨的极限概念表述诞生了。基于法国数学家柯西提出的思

想，德国数学家威尔斯特拉斯给出极限的精确定义。下面我们在前面五个练习

的基础上，学习数列极限的精确的定义。

由前面的讨论我们已经知道，数列

12，23，34，45，„„，nn1,„„

的极限是1.

由于该数列极限为1，故随着n的无限增大，第n项xn 会无限趋近1，1xn会无限小下去，要多么小就有多么小。

就是说，若数列以1为极限，则对给定的任何一个十分小的正数m，我们总

能找到一个正整数N，使得第N项后面的所有的项xn，都能保证1xn＜m。也就

是说，当n＞N时，1xn＜m。

同样，若数列xn极限是a，那么n趋向无穷大时，axn会随着无限小，数

列第n项xn会无限趋近极限a，axn会小于任意小的正数。即对任意给定的一

个正数，总能找到一个正整数N，使第N项后面所有的项xn与a的差的绝对值

都小于，即当n＞N时，恒有

axn＜。

因此我们有数列极限的如下定义：

定义2：设有数列xn和常数a，如果对于任意给定的正数，总存在正整数

N，当n＞N时，恒有

axn＜

则称数列xn以a为极限，记为limn xn=a.

说明：

（1）这里不是固定的常数，而是任意小的正数。为何要求是任意小的正

数? 事实任意小的意思是让无限小下去，这样当axn＜时，才保证axn

随n的无限大而无限小，才说明xn无限靠近a.这就保证了a为极限。

（2）n越大，xn越靠近极限a，axn就越靠近0，axn＜中，越小，

则就要要求n越大，即要求N越大。这里N的值取决于大小，在无限小的一

瞬间，一旦给定静止的值，则N的值也就确定了。

（3）语句“总存在正整数N”中，这里N有何用处？其实N是用来说明n 的取值界限的。比如，想叫01n ＜10001，则先找到N=1000，n＞1000就可，“n

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关于数列极限定义教学的思考

关于数列极限定义教学的思考

龙源期刊网

关于数列极限定义教学的思考

作者：周 密

来源：《教师·理论研究》2009年第12期

摘要:本文阐述了在教学实践中如何引入对数列极限形象直观描述的教学方法,丰富高等数学教学中的教学手段,以帮助学生深刻理解数列极限的精确定义。

关键词:数列极限;邻域;口袋;阀门

就大学本科理工类高等数学课程而言,数列极限定义中的“ε-N”语言是教学中的一个难点。如果缺失了严格的极限概念,会使微积分概念的表述和推理证明遇到困难,不便于学生今后的学习。但要求初学者在第一次课堂教学中就很好地领会“ε-N”语言的含义是相当不容易的。本文结合具体教学实践,对数列极限定义的教学心得作如下归纳介绍。

一、“破俗立新”式的导入

学生在学习高等数学前对数列极限定义的认识都是建立在高中教材里对数列极限“通俗直观”定义的基础上的。数列极限xn=A的“通俗定义”:当n无限增大时,xn无限趋于常数A。这个基于直观的极限概念看起来好像很清楚,也便于理解,为什么需要另外建立严格的、精确的极限概念呢?我们可以从两个方面加以分析,破除学生的“旧俗”观念。

1.基本直观作出的判断实际上是一种“有限归纳”

有限归纳很难判断无穷的变化过程,因为无论计算数列的多少项都不知道在这以后会发生什么情形,正如克莱因所说,“因为发现苹果是红的,就断定所有的苹果都是红的,这就是有限归纳推理,在数学上是不可靠的”[1] 。我们可以用下面的例子验证。

例1令xn=(n为正整数),计算前100项得到x1=9550,x2=4356,x3=2069,x4=1170,x5=743,…x96=

0.5642,x97=0.04379,x98=0.3186,x99=0.02061,x100=0.09999。如果仅仅观察前100项,可能误以为这个数列的极限等于零,但是实际上数列极限等于1。

高等数学：数列极限

高等数学：数列极限

黄山职业技术学院教案

第 3 次课

授课课题 1.2 数列极限 授课时数 2

课 型 理论课 教学方法 启发、讲授

教学目的 1.理解数列极限的概念，能初步根据数列极限的定义确定一些简单数列

的极限.

2.观察运动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、量变与

质变的辩证关系，提高的数学概括能力、抽象思维能力和审美能力

3.掌握数列极限的性质

重 点 数列极限的概念以及简单数列的极限的求解

难 点 从变化趋势的角度理解数列极限的概念

授课班级 16三计算机 16三数字媒体

授课日期 2月22 日 2月22 日 月 日 月 日 月 日 月 日

教学过程

一． 新课导入

1.提出问题

思考一个初一的数学题：.0.9和1之间用哪个符号“=”、“<”、“>”连接？

2.引言

极限这个概念在我们生活中经常出现，有人专门研究人的寿命极限，人的运动极限（包括人的速度极限，人的跳高极限，人的耐力极限等等），而我们今天研究数学中的极限。我们知道，在17世纪有个伟大的数学成果，也就是牛顿和莱布尼茨建立了微积分，解决了当时很多的科学问题。但是随后却爆发了数学史上的第二次数学危机，例如阿斯里基追龟问题。直到100多年后，柯西详细而系统的发展了极限理论，才消除了此次危机。其实，我们中国古代就有了极限思想的萌芽。

3.观察

（1）战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》引用过一句话：

“一尺之棰 日取其半 万世不竭” （2）三国时的刘徽提出的“割圆求周” 的方法：

他把圆周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分„ 这样继续分割下去，所得多边形的周长就无限接近于圆的周长。

即：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”

二． 新课讲授

1.数列的概念

（1） 定义：

如果按照某一法则 使得对任何一个正整数n 有一个确定的数nx  则得到一列有次序的数12,,,,nxxx 这一列有次序的数就叫做数列 记为{xn} 其中第n项xn 叫做数列的一般项。

数列求极限 (2)

数列求极限 (2)

培养孩子终生学习力 1

教师姓名 学生姓名 年 级 高三 上课日期 2016/6/4

学 科 数学 课题名称 专题--------求极限 计划时长 2h

教学目标 数列求极限

教学重难点 教学重点：数列求极限

教学难点：数列求极限

教学过程

一、知识点梳理

几个重要的极限

1、01limnn

2、CCnlim

3、CADCnBAnnlim)0(AC，

4、)0212122221121limAAAACnBnACnBnAn（其中

5、)1(0lim0)1qnqnqnq，即：的极限是（无穷等比数列

6、qanSSn11nlimn，则项和记为等比数列前

二、知识点巩固

例1：若1limanann，则常数a .

例2：计算limn2123nn＝ ．

练习：若数列na为等差数列，且12341,21aaaa，则122limnnaaan .

例3：已知无穷等比数列{}na中，122318,9,aaaa其前n项和为,limnnnSS_____

培养孩子终生学习力 2

例4：已知na为无穷等比数列，且41)(lim21nnaaa，则1a的取值范围是____________

练习1：若数列na满足311a，且对任意正整数nm,有nmnmaaa，则)(lim21nnaaa（

）

A．21 B．32 C．23 D．2

练习2：设无穷等比数列na(*)nN的公比12q,11a，则2462lim()nnaaaa ．

练习3：设无穷等比数列}{na的公比为q．若1242)(limaaaann，则q________．

关于数列极限

关于数列极限

简介数列极限

前言

提到极限，人们会感到神秘莫测，这使我想起了《聊斋》里一文《贾凤雉》

一段故事。贾奉雉，是甘肃平凉人。他才名冠绝一时，但是科举考试却总是不

中。有一天，他遇见一位秀才，自称姓郎，风度很潇洒，两人成了朋友。不久

他在郎生帮助下考中了举人，但此时他却随郎生飘然离家出去，进了深山，到

了一处别有一番天地的洞府。在洞府消闲一段时间，郎生为他指明了回家的路，

贾奉雉疾奔了一里多路，已经到了家门口。只见房屋不是原来的老样子了；村

里的老人小孩，竟然没有一个认识的。贾奉雉问一个老翁道：“贾奉雉家在哪

儿？”老翁指着贾宅说：“这就是，相传这位贾公当时听说自己考中了举人就逃

走了；走的时侯，他的儿子才七八岁；屈指一算已经一百多年了。”贾奉雉听说

恍然犬悟，说：“老翁有所不知，贾奉雉就是我呀。”老翁大惊，急忙走去告诉

贾家的人。此时贾奉雉的长孙早死了；他的次孙贾祥也已经到了五十多岁了，

贾凤雉的妻子沉睡了100多年刚刚苏醒。贾凤雉感到的一会功夫却是经历100

年时间，原来，贾凤雉进的深山是另一个世界---仙界。神话中的仙界，是浩瀚

无限的时空；而人间千年，却是浩瀚时空的一瞬间，真是“天上方七日，世上

已千年”。

我们生活在有限的天地里，碰到的大多是有限的事物，用有限的、不变的数

来记载生活中的数量关系。然而，在数学领域，却还有类似仙境的、变量的、

无限的世界：

假如你站在道路上不动，对面一辆车向你开来，车与你的距离是1米，21米，

31米，41米，51米，„„，n1米，„„，永远没个完。此时你不必惊慌，因为按

这个规律，车子永远不会撞到你。这里车子与你的距离无限趋近0，但永远大于

0，0是当n趋向无穷大时，车子与你的距离的极限。

在我国，早在先秦时代，从《庄子²天下篇》中，就出现了“一尺之锤，日

取其半，万世不竭”的极限思想。从17世纪到19世纪末期，数学从常量数学

进入变量数学时期。在变量数学时期，辩证法进入了数学，极限开始出现在数

学领域。在高等数学中，极限知识是学习导数、微分和积分的基础。换句话说，