最新高考数学二轮复习-专题三-第2讲-数列求和及其综合应用-学案讲义

酷酷酷水水水飒飒还是个帅哥但是 第2讲 数列求和及综合应用

高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透.

真 题 感 悟

1.(2017·全国Ⅲ卷)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求数列an2n＋1的前n项和.

解 (1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，①

故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，②

①－②得(2n－1)an＝2，所以an＝22n－1，

又n＝1时，a1＝2适合上式，

从而{an}的通项公式为an＝22n－1.

(2)记an2n＋1的前n项和为Sn，

由(1)知an2n＋1＝2（2n－1）（2n＋1）＝12n－1－12n＋1，

则Sn＝1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1

＝1－12n＋1＝2n2n＋1.

2.(2017·山东卷)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2){bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn，已知S2n＋1＝bnbn＋1，求数列bnan的前n项和Tn.

解 (1)设{an}的公比为q，

由题意知a1（1＋q）＝6，a21q＝a1q2， 酷酷酷水水水飒飒还是个帅哥但是 又an>0，

解得a1＝2，q＝2，所以an＝2n.

(2)由题意知：S2n＋1＝（2n＋1）（b1＋b2n＋1）2＝(2n＋1)bn＋1，

又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，

所以bn＝2n＋1.

令cn＝bnan，则cn＝2n＋12n，

因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn

第 1 页 共 4 页 2014届高考二轮复习热点专题第二讲： 数列

一、知识梳理

1． an与Sn的关系Sn＝a1＋a2＋…＋an，an＝ S1， n＝1，Sn－Sn－1， n≥2.

2． 等差数列和等比数列

等差数列 等比数列

定义 an－an－1＝常数(n≥2) anan－1＝常数(n≥2)

通项公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1(q≠0)

判定方法 (1)定义法

(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n≥1)⇔{an}为等差数列

(3)通项公式法：an＝pn＋q(p、q为常数)⇔{an}为等差数列

(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{an}为等差数列

(5){an}为等比数列，an>0⇔{logaan}为等差数列 (1)定义法

(2)中项公式法：a2n＋1＝an·an＋2

(n≥1)(an≠0)⇔{an}为等比数列

(3)通项公式法：an＝c·qn(c、q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列

(4){an}为等差数列⇔{aan}为等比数列(a>0且a≠1)

性质 (1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq

(2)an＝am＋(n－m)d

(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列 (1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq

(2)an＝amqn－m

(3)等比数列依次每n项和(Sn≠0)仍成等比数列

前n项和 Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d (1)q≠1，Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q

(2)q＝1，Sn＝na1

考点分析

考点一 与等差数列有关的问题 例1 (2012·浙江)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误．．的是( )

A．若d<0，则数列{Sn}有最大项 B．若数列{Sn}有最大项，则d<0

第四节 数列求和与数列的综合应用

1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．

2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．

3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题．

知识点一 数列求和的几种常用方法

1．分组求和法

一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．

2．裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．

3．错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．

4．倒序相加法

如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．

5．并项求和法

在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．

形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．

1．判断正误

(1)如果已知等差数列的通项公式，则在求其前n项和时使用公式Sn＝na1＋an2较为合理．( )

(2)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝a1－an＋11－q.( )

(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．( )

(4)如果数列{an}是周期为k的周期数列，那么Skm＝mSk(m，k为大于1的正整数)．( )

答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√

2．数列{an}的通项公式是an＝1n＋n＋1，前n项和为9，则n＝________.

解析：∵an＝1n＋n＋1＝n＋1－n.

∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n＋1－n)＝n＋1－1.∴n＋1－1＝9，即n＋1＝10，∴n＝99.

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1 / 2 专题：求数列的通项公式——累加法和累乘法

学习目标

1. 掌握并能熟练应用数列通项公式的常用方法：累加法和累乘法；

2.

通过对例题的求解引导学生从中归纳相应的方法，明确不同的方法适用不同的前提、形式，使学生形成解决数列通项公式的通法；

3.

感受知识的产生过程，通过方法的归纳，形成事物及知识间联系与区别的哲学观点，体会数学累加思想和累乘思想。

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自学探究：回顾等差、等比数列的通项公式推导过程，完成下列任务。

例：已知数},{na其中,,111naaann①求它的通项na。

变题1：把①式改为;11nnaa

变题2：把①式改为;21nnnaa

小结1：通过求解上述几个题，你得到什么结论？

变题3：把①式改为;11nnanna

变题4：把①式改为;21nnaa

小结2：通过求解上述2个题，你得到什么结论？

挑战高考题：

1.(2015.某某.17）已知数列na满足nnnaaa2,211，)Nn（。

（1）求na

2.（2008.某某.5）在数列na中，)11ln(,211naaann，则na（ ）.

A.nln2 B.nln1-n2）（ C.nnln2 D.nnln1

你能否自己设计利用累加法或累乘法求解数列通项公式的题？

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