2023年6月福建省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷03(参考答案)

福建省普通高中学业水平合格性考试数学试卷（三）（考试时间：90分钟满分：100分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至6页. 考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答.在试题卷上作答，答案无效.3. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回.第Ⅰ卷 （选择题45分）一、选择题（本大题有15小题，每小题3分，共45分.每小题只有一个选项符合题目要求）1. 已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B AA. {}1,6B. {}1,7C. {}6,7D. {}1,6,7【答案】C 【解析】 【分析】 先求UA ，再求UBA ．【详解】由已知得{}1,6,7U C A =，所以U B C A ⋂={6,7}，故选C ．【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案．2. 某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A. 8号学生 B. 200号学生C. 616号学生D. 815号学生【答案】C 【解析】 【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n =+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样. 3. 等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 的公差为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】设数列{}n a 的公差为d ，则由题意可得12410a d +=，137a d +=，由此解得d 的值． 【详解】解：设数列{}n a 的公差为d ，则由1510a a +=，47a =，可得12410a d +=，137a d +=， 解得2d =. 故选：B ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式的应用，由已知条件求基本量． 4. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为（ ） A.56B.25 C.16D.13【答案】A 【解析】∵甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13， ∴甲不输的概率为P= 115236+=． 故选项为：A ．5. 幂函数y ＝f （x ）图象经过点(8,，则f （x ）的图象是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先根据幂函数y ＝f （x ）的图象经过点(8,22，求得幂函数解析式，然后根据函数的图象和性质判断. 【详解】设幂函数a y x =因为幂函数y ＝f （x ）的图象经过点(8,22， 所以822a =，即3322222a ==，所以332a =， 解得12a =所以幂函数12y x x ==[0,)+∞，在[0,)+∞上递增越来越慢，故选：D【点睛】本题主要考查幂函数的定义和图象与性质，属于基础题. 6. 经过点()8,2A -，斜率为12-的直线方程为（ ） A. 240x y +-= B. 2120x y --= C. 2140x y +-= D. 240x y ++=【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的点斜式方程，即可求得直线的方程. 【详解】由题意，直线过点()8,2A -，且斜率为12-，根据直线的点斜式方程，可得1(2)(8)2y x --=--，即240x y +-=. 故选：A.7. 设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()1x f x e -=-，则当0x <时，()f x =（ ） A. e 1x -- B. e 1x -+C. e 1x ---D. e 1x --+【答案】D 【解析】 【分析】设0x <，则0x ->，根据题意，可得()()f x f x =--，即可求解. 【详解】设0x <，则0x ->，因为函数()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()1xf x e -=-，可得()()(1)1xxf x f x e e =--=-+=-+.故选：D.8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，()1,2AB =-，()2,1AD =，则AD AC ⋅=（ ） A. 5 B. 4C. 3D. 2【答案】A 【解析】 【分析】先求出AC 的坐标，进而可得AD AC ⋅． 【详解】解：由()1,2AB =-，()2,1AD =得()()()2,11,23,1AB AC AD =+=+-=-， ()()2,13,15AD AC =∴=⋅⋅-．故选：A ． 9. 函数()31f x x x=-的图像关于（ ） A. x 轴对称 B. y 轴对称C. 直线y x =对称D. 坐标原点对称【答案】D 【解析】【分析】函数定义域关于原点对称，由()f x 可求()f x -，通过计算可得()()0f x f x +-=，即可得出结论. 【详解】函数定义域关于原点对称，()()31f x x f x x-=-+=-，所以()f x 奇函数.故选D.【点睛】本题考查了函数对称性，准确应用定义是关键,属于基础题型.10. 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ） A. 2π B. πC. 2D. 1【答案】A 【解析】试题分析：边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，得到的几何体的圆柱，则所得几何体的侧面积为1212ππ⨯⨯=，故选A ．考点：旋转体的概念及侧面积的计算．11. 设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若m n ⊥，//n α，则m α⊥B. 若//m β，βα⊥，则m α⊥C. 若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥D. 若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项可得结果. 【详解】对于A ，当m 为α内与n 垂直的直线时，不满足m α⊥，A 错误； 对于B ，设l αβ=，则当m 为α内与l 平行的直线时，//m β，但m α⊂，B 错误；对于C ，由m β⊥，n β⊥知：//m n ，又n α⊥，m α∴⊥，C 正确； 对于D ，设l αβ=，则当m 为β内与l 平行的直线时，//m α，D 错误.故选：C .【点睛】本题考查立体几何中线面关系、面面关系有关命题的辨析，考查学生对于平行与垂直相关定理的掌握情况，属于基础题.12. 直线34x y b +=与圆222210x y x y +--+=相切，则b =（ ）A. -2或12B. 2或-12C. -2或-12D. 2或12【答案】D 【解析】 ∵直线与圆心为（1,1）,半径为1的圆相切，∴＝1或12,故选D.考点：本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径，直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的应用.13. 在区间[]0,2上随机地取一个数x ,则事件“121-1log 2x ≤+≤（）1”发生的概率为( ) A.34B.23C.13D.14【答案】A 【解析】由121-1log 12x ≤+≤（）得，11122211113log 2log log ,2,022222x x x ≤+≤≤+≤≤≤（），所以，由几何概型概率的计算公式得，332204P -==-，故选A . 考点：1.几何概型；2.对数函数的性质.14. 为了得到函数sin 2y x =的图象，只要把函数sin y x =的图象上所有点（ ） A. 横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变 B. 横坐标伸长到原来的2倍， 纵坐标不变 C. 纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变 D. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换的规则，即可求解.【详解】根据三角函数的图象变换的规则，将函数sin y x =横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，即可得到函数sin 2y x =. 故选：A.15. 已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1na 的前5项和为 A .158或5 B.3116或5 C.3116D.158【答案】C 【解析】【详解】设等比数列{}n a 的公比为q, ∵9S 3=S 6,∴8(a 1+a 2+a 3)=a 4+a 5+a 6, ∴8=q 3,即q=2, ∴a n =2n-1,∴1n a =112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭, ∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1,公比为12的等比数列, 故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为51112112⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=3116. 故选C.第Ⅱ卷 （非选择题55分）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）16. 函数y =_____. 【答案】[1,7]-. 【解析】 【分析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域.【详解】由已知得2760x x +-≥, 即2670x x --≤ 解得17x -≤≤， 故函数的定义域为[1,7]-.【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．17. 在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=,则sin β=_____.【答案】13【解析】试题分析：因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，所以()1sin sin π2πsin 3k βαα=+-==.【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则2,k k Z αβππ+=+∈ ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2,k k Z αβπ+=∈，若α与β的终边关于原点对称，则π2π,k k αβ-=+∈Z .18. 设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据()(),1,2,,i i x y i n =⋅⋅⋅.用最小二乘法建立的回归方程为0.858.71y x =-. 则下列结论中正确的是________.①y 与x 具有正的线性相关关系； ②回归直线过样本点的中心(),x y ；③若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg ； ④若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg . 【答案】①②③ 【解析】【分析】根据回归方程分析，一次项系数为正，则正相关；回归直线必过样本中心点；回归方程对数据分析是粗略估计，不是一定.【详解】根据y 与x 的线性回归方程为ˆ0.8585.71yx =-，其中0.850>说明y 与x 具有正的线性相关关系，①正确；回归直线过样本点的中心(),x y ，②正确；由回归方程知，若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg ，那么若该大学某女生身高增加2cm ，则其体重约增加1.70kg ，故③正确；若该大学某女生身高为170cm ，则可预测其体重约为58.79kg ，不可断定其体重必为58.79kg ，④错误. 故答案为：①②③19. 如图，已知长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，3BC =，15AA =，则该长方体截去三棱锥111A AB D -后，剩余部分几何体的体积为_______.【答案】25 【解析】 【分析】先根据2AB =，3BC =，15AA =，求得长方体的体积，利用111111113A AB D A B D V S AA -=⋅⋅，求得三棱锥111A AB D -的体积，然后作差即可.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，3BC =，15AA =， 所以长方体的体积为1111123530ABCD A B C D V AB BC AA -=⨯⨯=⨯⨯=,三棱锥111A AB D -的体积为11111111112355332A AB D A B D V S AA -=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=， 所以剩余部分几何体的体积为30525V =-=， 故答案为：2520. 我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，6S =________．【答案】2【解析】将正六边形分割为6个等边三角形，则6136(11sin 60)2S =⨯⨯⨯⨯=． 【名师点睛】本题粗略看起来文字量大，其本质为计算单位圆内接正六边形的面积，将正六边形分割为6个等边三角形，确定6个等边三角形的面积即可，其中对文字信息的读取及提取有用信息方面至关重要，考生面对这方面题目时应多加耐心，仔细分析题目中所描述问题的本质，结合所学进行有目的的求解．三、解答题（本大题共5小题，共40分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21. 某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．.【答案】（1）43,55； （2）能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.【解析】【分析】（1）从题中所给的22⨯列联表中读出相关的数据，利用满意的人数除以总的人数，分别算出相应的频率，即估计得出的概率值；（2）利用公式求得观测值与临界值比较，得到能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.【详解】（1）由题中表格可知，50名男顾客对商场服务满意的有40人， 所以男顾客对商场服务满意率估计为1404505P ==, 50名女顾客对商场满意的有30人， 所以女顾客对商场服务满意率估计为2303505P ==, （2）由列联表可知22100(40203010)100 4.762 3.8417030505021K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， 所以能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.【点睛】该题考查的是有关概率与统计的知识，涉及到的知识点有利用频率来估计概率，利用列联表计算2K 的值，独立性检验，属于简单题目.22. 已知ABC 中，点()4,3A ，()2,1B -，点C 在直线l ：220x y 上. （1）若C 为l 与x 轴的交点，求ABC 的面积；（2）若ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，求点C 的坐标.【答案】（1）9；（2）37,24C ⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）由点C 在直线l 上求出点C ，再求出直线AB 的方程，求出点C 到直线AB 的距离，再利用面积公式求ABC 的面积即可；（2）求出AB 的中垂线方程，与直线l 的方程联立，即可解出点C 的坐标.【详解】解：（1）∵点C 在直线l 上，∴当0y =时，2x =-，∴()2,0C -.∵31422AB k =-=+， ∴直线AB 的方程为()221y x =--，即250x y --=，点C 到直线AB 的距离5d =， ∵()()22423+125AB =-+=， ∴11259225ABC S AB d =⨯⨯=⨯⨯=△； （2）AB 中点的坐标为()3,1，2AB k =，∴AB 的中垂线方程为()1132y x -=--，即250x y +-=， 联立250220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩， 得3274x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ∴点37,24C ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 23. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB BC =．求证：（1）11//A B 平面1DEC ；（2）1BE C E ⊥．【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）推导出DE //AB ，AB //A 1B 1，从而DE //A 1B 1，由此能证明A 1B 1//平面DEC 1．（2）推导出BE ⊥AA 1，BE ⊥AC ，从而BE ⊥平面ACC 1A 1，由此能证明BE ⊥C 1E ．【详解】（1）∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，∴DE //AB ，AB //A 1B 1，∴DE //A 1B 1，∵DE ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，∴A 1B 1//平面DEC 1．（2）∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，E 是AC 的中点，AB ＝BC ．∴BE ⊥AC ，∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC ，∴BE ⊥AA 1，又AA 1∩AC ＝A ，∴BE ⊥平面ACC 1A 1，∵C 1E ⊂平面ACC 1A 1，∴BE ⊥C 1E ．【点睛】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想与空间想象能力，是中档题．24. 在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =. （Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】(Ⅰ) 14-； (Ⅱ) 357+. 【解析】【分析】(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到,,a b c 的比例关系，然后利用余弦定理可得cos B 的值(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得sin 2,cos 2B B 的值，然后利用两角和的正弦公式可得sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【详解】(Ⅰ)在ABC 中，由正弦定理sin sin b c B C=得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =.又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =. 由余弦定理可得222cos 2a c b B ac +-=2224161992423a a a a a +-==-⋅⋅. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==227cos 2cos sin 8B B B =-=-.故71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.25. 已知函数24()3f x x x a =-++，()2g x x m =-.（1）求()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在[]1,1-上存在零点，求实数a 的取值范围；（3）当0a =时，若对任意的[]11,3x ∈，总存在[]21,4x ∈，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）在(),2-∞上单调递减，在()2,+∞上单调递增；（2）[]8,0-；（3）12m ≤≤.【解析】【分析】（1）利用配方法，结合二次函数的性质进行求解即可；（2）根据零点存在定理结合（1）进行求解即可；（3）根据任意、存在的定义，结合集合之间的关系、函数的值域进行求解即可.【详解】解：（1）∵2()(2)1f x x a =-+-，∴()f x 在(),2-∞上单调递减，在()2,+∞上单调递增， ∴()f x 的单调减区间为(),2-∞，单调增区间为()2,+∞. （2）由（1）得()f x 在区间[]1,1-上是减函数，∴函数在区间[]1,1-上存在零点等价于()10f ≤且()10f -≥， 即0a ≤且80a +≥，解得80a -≤≤，故所求实数a 的取值范围为[]8,0-.（3）若对任意的[]11,3x ∈，总存在[]21,4x ∈，使()()12f x g x =成立， 只需函数()y f x =的值域为函数()y g x =的值域的子集. 2()43f x x x =-+，当[]1,3x ∈时，由（1）可知：min max ()(2)1,()(1)(3)0f x f f x f f ==-===， 所以函数()f x 的值域为[]1,0-，当[]1,4x ∈时，函数()2g x x m =-是单调递增函数，因此min max ()(1)12,()(4)42g x g m g x g m ==-==-， 故函数()g x 的值域为[]12,42m m --，要使[][]1,012,42m m -⊆--，需121m -≤-，420m -≥，解得12m ≤≤；∴12m ≤≤.【点睛】关键点睛：弄清任意、存在的含义是解题的关键,由对任意的[]11,3x ∈，总存在[]21,4x ∈，使()()12f x g x =成立，转化为函数()y f x =的值域为函数()y g x =的值域的子集，这也是解题的关键.。

2023年6月福建高中学业水平合格性考试数学试卷真题（答案详解）一、选择题1.甲、乙两数的和是15，乙、丙两数的和是23，已知甲、丙两数的和是35，求甲、乙、丙三数的和。

题解：设甲、乙、丙三数分别为x、y、z，根据题意可得以下等式：x + y = 15 (1)y + z = 23 (2)x + z = 35 (3)将上述三个等式相加，得到：2x + 2y + 2z = 73x + y + z = 73 / 2 = 36.5所以甲、乙、丙三数的和为36.5。

2.若函数 f(x) = ax^2 + bx + c 的图象经过点 (1, 2)，并且在 x = 2 处的导数为 3，求 a、b、c 的值。

题解：由题意可得以下等式：a +b +c = 2 (1)4a + 2b + c = 3 (2)将等式 (1) 乘以 2，减去等式 (2) 的两倍，得到：2a - b = 1 (3)将等式 (1) 乘以 4，减去等式 (2) 的四倍，得到：4a - b = -1 (4)解方程组 (3) 和 (4) 可得 a = 1，b = -1，c = 2。

二、填空题1.若正方形 ABCD 的边长为 x，则其面积为 \\\_。

解：正方形的面积为边长的平方，所以面积为 x^2。

2.若对于任意实数 x，都有 f(x) = f(-x)，则函数 f(x) 的对称轴方程为 \\\_。

解：函数 f(x) 的对称轴方程为 x = 0。

三、解答题1.一辆卡车开出150km/h的速度行驶了2小时后，由于发现车上货物不牢靠，司机停车重新安装货物，停车时间为30分钟，然后以120km/h的速度继续行驶，此后到达目的地还需行驶1小时。

求该卡车从出发到达目的地一共行驶了多少公里。

解：卡车在前2小时行驶了2 * 150 = 300公里。

停车30分钟相当于0.5小时，所以在120km/h的速度下行驶了0.5 * 120 = 60公里。

最后1小时行驶了1 * 120 = 120公里。

姓名考生号（在此卷上答题无效）机密2021年6月21日启用前2021年福建省普通高中学业水平合格性考试模拟卷数学试题（考试时间：90分钟；满分：100分）参考公式：样本数据n x x x ,,,21 的标准差锥体体积公式Sh V 31=，])()()[(122221x x x x x x ns n -++-+-=其中S 为底面面积，h 为高其中x 为样本平均数球的表面积公式24R S π=，柱体体积公式Sh V =，其中S 为底面面积，h 为高球的体积公式334R V π=，台体体积公式h S S S S V )(31+'+'=，其中R 为球的半径其中S '，S 分别为上、下底面面积，h 为高第Ⅰ卷（选择题45分）一、选择题（本大题有15小题，每小题3分，共45分．每小题只有一个选项符合题意）1．若集合{}4,2,0=A ，{}2,1=B ，则=B A A．{}4,2,1,0B．{}4,2,1C．{}2D．φ2．右图是一个圆柱的侧面水平放置时的三视图，则该圆柱底面圆的半径长是A．3B．5.1C．2D．13．若三个数3，6，m 成等差数列，则实数=m A．2B．3C．9D．124．一组数据1，2，5，7，7，8的中位数是A．7B．6C．5D．25．如图，CD AB ,是圆O 的两条互相垂直的直径，在圆内随机撒一粒小黄豆，则它落在阴影部分的概率是A．43B．41C．31D．216．函数x y 2sin =的最小正周期是A．1B．2C．πD．π232正视图俯视图左视图(第2题)(第5题)7．函数)1lg(-=x y 的定义域为A．),0(∞+B．),1(∞+C．)1,(-∞D．),1()1,(∞+-∞ 8．不等式022≥+-y x 表示的平面区域是A．B．C．D．9．已知直线1l :12+-=x y ，2l :2-=kx y ，且21l l ⊥，则实数=k A．1-B．2-C．21D．110．化简MP MN PQ -+=A．M Q B．N Q C．Q P D．Q N 11．不等式22x x ≤的解集是A．{}0x x ≤B．{}2x x ≤C．{}02x x ≤≤D．{0x x ≤，或}2x ≥12．化简tan(2)πα-=A．tan α-B．tan αC．sin α-D．cos α13．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是A．1y x =-+B．1y x=-C．1y x =D．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭14．已知4log 3a =，0.5log 3b =，213c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是A．c a b <<B．c b a <<C．b a c <<D．b c a<<15．函数⎩⎨⎧≥<+=1211)(x x x x f x ，，，的图象大致为A．B．C．D．00x1O1Oy 11x1Ox1y Oy 11xy第Ⅱ卷（非选择题55分）（请考生在答题卡上作答）二、填空题（本大题有5小题，每小题3分，共15分）16．已知向量(31)(01)a b ==-，，，，则a b +=．17．执行右边的程序框图，当输入x 的值为2-时，则输出y 的值是．18．函数])123[)(2lg()(，∈-=x x x f 的最大值是．19．函数3()f x x x =-的零点个数为．20．设ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ，，，若6=a ，2=c ，41cos =A ，则=b ．三、解答题（本大题有5小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．（本小题满分6分)已知1312cos =α，α是第一象限角．（Ⅰ）求αsin 的值；（Ⅱ）求)4sin(απ-的值．22．（本小题满分8分)如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，BC AD //，2==DC AD ，4==BC PA ,且090=∠BCD ．（Ⅰ）求四棱锥ABCD P -的体积；（Ⅱ）若N 为PC 的中点，则DN 与平面PAB 的位置关系是．在下面三个中选取一个序号补充在上面问题的横线上，使得结论成立，并给予证明.①DN ⊂平面PAB ；②//DN 平面PAB ；③DN 与平面PAB 相交．(第17题)PABCDN23．（本小题满分8分)新冠病毒“德尔塔”（Delta ）变异毒株传染性比普通株高很多。

2023年6月福建省普通高中学业水平合格性考试地理试题（考试时间：70分钟；满分：100分）一、选择题：本题共 25小题，每小题 2分，共 50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

探索宇宙奥秘是人类不懈的追求。

图 1是太阳系模式图（部分）。

据此完成 1～3题。

1．图中位于地球公转轨道两侧的行星是（ ）A.a 和 cB.c 和 dC.b 和 dD.d 和 f2．若把地球和行星 c 的位置互换，则地球上 （ ）A.温度将大幅升高B.陆地将会消失C.将不会有大气D.将会冰天雪地3．与地球相比，行星 b 没有生命存在的主要原因是 （ ）①没有适宜生物呼吸的大气 ②没有固体表面③距日较近，表面温度偏高 ④没有昼夜更替现象A.①②B.②④C.③④D.①③图 2示意某地区人口分布与海拔的关系。

据此完成 4～5题。

4．该地区人口分布比例最高的海拔大约是（ ） A ．400米 B ．800米C ．1500米D ．2000米5．影响该地区人口分布的自然因素主要是（ ）A.地形B.河流C.土壤D.资源表 1为黄土高原某沟壑区不同坡度和不同深度的土壤含水量对比情况。

据此完成 6～7题。

50cm100cm 150cm 200cm 10°（缓坡） 17.516 11.5 10.5 35°（陡坡） 15.5 157.5 7.2 图1 图2 表1坡度 深度6．从表 1可知，该处土层深度 50cm以下，随着坡度的增加含水量（ ）A. 变大B.变小C.先增后减D.先减后增7．图 3示意该处不同坡向的土壤含水量随深度的变化情况。

结合表 1推测，该区植被生长状况最好的是 （ ）A.阳坡的缓坡B.阳坡的陡坡C.阴坡的陡坡D.阴坡的缓坡图 4为北半球某区域海平面等压线分布图（单位：百 帕）。

据此完成 8～9题。

8.图中 a 、b 、c 、d 四处的箭头能正确表示当地风向的是( )A.aB.bC.cD.d9．图中 a 、b 、c 、d 四处风力最大的是 （ ）A.aB.bC.cD.d 图 5是某地土壤剖面示意图。

2023年6月福建省普通高中学业水平合格性考试地理仿真模拟试卷03（答案在最后）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________考试时间：70分钟一、选择题（每题2分，共50分）某地质考察队在我国某岩层中发现了不同的古生物化石。

读不同古生物化石分布示意图及地壳物质循环示意图，完成下面小题。

1．依据当地岩层新老关系推断a-b-c之间的山地类型可能为（）A．背斜山B．向斜山C．断块山D．火山2．该地岩石类型属于右图中的（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】1．A 2．C【解析】1．三叶虫为古生代代表性生物，恐龙为中生代代表性生物，哺乳类动物为新生代代表性生物。

根据岩石新老关系，由a-b-c岩石是中间老，两翼新，故该地质构造是背斜，从地形来看，b处是山地，故该构造地貌是背斜山，A正确，B错误；该山地两侧无明显陡崖，故不是断块山，C错误；该岩石有生物化石，属于沉积岩，故不是火山，D错误。

故选A。

2．由该山地岩石有生物化石，判断其岩石类型属于沉积岩。

据右图，丁有三个箭头指向，乙有一个箭头指向，故乙是岩浆岩，丁是岩浆。

丙经过变质作用形成甲，故甲是变质岩，丙是沉积岩，A、B、D错误，C 正确。

故选C。

【点睛】背斜指的是岩层向上弯曲，主要的判断方法是内老外新，在一水平面上，中间是老岩层，而两边是新岩层。

下图示意我国西北地区某山地土壤构成的纵切剖面。

据此完成下面小题。

3．与山坡主要堆积物角砾相比，冲积扇地区的沙砾堆积物（）A．分选性更好B．磨圆度较差C．属于冰碛物D．重力作用形成4．山坡表面的沙、粉沙主要来源于（）A．山顶B．山坡C．冲积扇D．冲积平原5．此区域（）A．受夏季风影响较大B．地带性植被以落叶阔叶林为主C．山坡水分条件最佳D．春夏季河流常“一日一峰”【答案】3．A 4．C 5．D【解析】3．据图分析可知，冲积扇位于山坡的下方，堆积物以沙砾为主，由流水搬运、沉积而成，有一定的磨圆度，分选性较好；山坡堆积物以角砾为主，分选性较差，大小混杂，磨圆度较差，主要由重力作用形成，海拔较高处可能有冰川作用。

2024年6月福建省普通高中学业水平合格性考试数学模拟试题一、单选题1.已知A =x x 2-1≤0 ，B =x ∈Z x <0 ，则A ∩B =()A.1,2B.-1,0C.-1D.-1,02.复数z =3+4i ，其中i 为虚数单位，则z =()A.25B.3C.5D.53.设x ∈R ，则“x (x -4)<0”是“0<x <2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知tan α=32，则sin α+cos αsin α-cos α=()A.2B.3C.4D.55.已知幂函数f x 的图象过点4,12，则()A.f x =18xB.f x =x-12C.f x =x -72D.f x =132x 26.已知向量a =(2,1)，b =(-2,4)，则|a -b|=()A.2B.3C.4D.57.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137960197925271815952683829436730257，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为()A.14B.38C.512D.588.不等式x -1 2-x >0的解集是( ).A.x x <1B.x 1<x <2C.x x 1或x 2D.x x >29.△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若a =3，b =3，A =60°，则B =()A.30°B.60°C.60°或120°D.30°或150°10.若a =30.5,b =0.82,c =log 0.52，则a ,b ,c 的大小关系是()A.a >b >cB.a >c >bC.c >b >aD.b >c >a11.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A.34AB -14ACB.14AB -34ACC.34AB +14ACD.14AB +34AC12.若函数f x =m +1 x 2+m -1 x +7是定义在(-2n ,3n -3)上的偶函数，则f n +f m =()A.34B.25C.16D.913.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =2,BC =CC 1=1.则直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成角的余弦值是()A.32B.12C.33D.1314.已知函数f x =x 2+2kx -5在-2,4 上具有单调性，则实数k 的取值范围为( )．A.k ≤-4B.k ≥2C.k ≤-4或k ≥2D.k <-4或k >215.设定义在-2,2 上的函数f x =12|x |+cos x ，则不等式f 2x <f x -1 的解集是()A.-1,13B.13,1C.-1,3D.13,3二、多选题16.从一批产品中取出三件产品，设A =“三件产品全不是次品”，B =“三件产品全是次品”，C =“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是()A.A 与B 对立B.B 与C 互斥C.A 与C 互斥D.B 与C 对立17.今年第5号台风“杜苏芮”于7月28日9时55分在福建晋江登陆，为1949年以来登陆福建的第二强台风，登陆后强度迅速减弱并一路北上影响黄淮、华北，给华北、黄淮等地带来较大范围的特大暴雨．华中地区某市受此次台风影响，最高气温同比有所下降，测得七天的最高气温分别是28，26，25，27，29，27，25(单位：℃)，则()A.该组数据的极差为4 B.该组数据的众数为27C.该组数据的中位数为27D.该组数据的第70百分位数为2818.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A.若m ⊥α，m ⊥n ，则n ⎳αB.若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥nC.若α⎳β，m ⎳α，n ⎳β，则m ⎳nD.若α⎳β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⎳n19.已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)ω>0，0<φ<π2 的部分图象所示，点A 0,3 ，B π3,0 ，则下列说法中正确的是()A.直线x =π12是f (x )图象的一条对称轴B.f (x )的图象可由g (x )=2sin2x 的图象向左平移π3个单位长度得到C.f (x )的最小正周期为πD.f (x )在区间-π3,π12上单调递增三、填空题20.若f x =1a x+1-m(a>0，且a≠1)是奇函数，则m=.21.在△ABC中，已知AB=4，BC=5，AC=6，则cos A=22.已知一个样本由三个4，三个6和四个5组成，则这个样本的标准差s=23.若直线2mx+ny-4=0(m>0,n>0)过函数y=log a(x-1)+2(a>0，且a≠1)的定点T，则nm+4n的最小值为.四、解答题24.为了更好地培养国家需要的人才，某校拟开展一项名为“书香致远，阅读润心”的读书活动，为了更好地服务全校学生，需要对全校学生的周平均阅读时间进行调查，现从该校学生中随机抽取200名学生，将他们的周平均阅读时间(单位：小时)数据分成5组：2,4, 4,6,6,8,8,10,10,12，根据分组数据制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求a的值，并估计全校学生周平均阅读时间的平均数；(2)用分层抽样的方法从周平均阅读时间不小于8小时的学生中抽出6人，再随机选出2人作为该活动的形象大使，求这2人都来自8,10这组的概率．⋅n -3．25.已知向量m =(23,sin x),n =cos2x,2cos x，函数f(x)=m(1)在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，若f(A)=3，求A；(2)在(1)条件下，a=2,c=3b，求△ABC的面积．26.二次函数f x 满足f x+1-f x =2x-1，且f0 =2.(1)求f x 的解析式；(2)若x∈-1,2时，y=f x 的图象恒在y=-x+a图象的上方，试确定实数a的取值范围.。

一、单选题1.中，，，，是边上的一点（包括端点），则的取值范围是A．B．C．D．2. 点为的重心，设，则（ ）A．B．C．D．3. 化简（ ）A．B．C．D ．24. 已知点分别是双曲线的左、右焦点，过点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A．B．C．D．5. 已知复数满足（是虚数单位），则（ ）A．B．C ．3D ．56. 中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如下图所示的“曲池”，其高为3，底面，底面扇环所对的圆心角为，长度为长度的3倍，且线段，则该“曲池”的体积为（）A．B．C．D．7. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图是两个同心圆，且小圆的内接四边形是正方形，则该几何体的体积等于（）．A．B．C．D．8. 已知是双曲线的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于两点，过作一条渐近线的垂线，垂足福建省普通高中2022-2023学年高二6月学业水平合格性考试数学试题福建省普通高中2022-2023学年高二6月学业水平合格性考试数学试题二、多选题三、填空题为，若，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B．C．D．9.在平行六面体中，已知，，若，，，则（ ）A ．的最小值为B ．的最大值为C ．的最大值为D ．的最大值为10. 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，为圆柱上下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，则下列各选项正确的是（）A．球与圆柱的体积之比为B ．四面体的体积的取值范围为C．平面截得球的截面面积最小值为D ．若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为11. 甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ）附：若随机变量X 服从正态分布，则.A ．乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩B ．甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩C ．甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近D ．若，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.158712.已知时，，则（ ）A ．当时，B ．当时，C ．当时，D ．当时，13. 底面为矩形的直四棱柱中，，点在棱上且满足分别为棱的中点，是底面内一点，若直线与平面垂直，则点到平面的距离的大小是__________.14. 在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线翻折，取的中点，连接，若，则三棱锥的外接球的半径为__________.15. 写出一个同时满足下列条件①②③的数列的通项公式______.四、解答题①为递增数列；②为等比数列；③为等差数列.16.已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)求当n为何值时，数列的前n 项和取得最大值.17.如图，在四棱柱中，平面，底面是矩形，，，，为棱的中点.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求二面角的余弦值.18.在矩形中，，取边上一点，将沿着折起，如图所示形成四棱锥．（1）若为的中点，二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值；（2）若将沿着折起后使得，求线段的长．19.已知函数，.（1）若，求函数在处的切线方程；（2）对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.20.在中，内角所对的边分别为为边上一点，且满足.(1)若，求；(2)求的值.21.已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，若的周长为8.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为椭圆上的动点，过原点作直线与椭圆分别交于点、（点不在直线上），求面积的最大值.。

一、单选题二、多选题1. 在中，角所对的边分别为，，，则的最大值为A ．2B ．3C．D ．42. 设x ，y 为正数，则的最小值为（ ）A ．6B ．9C ．12D ．153. 若复数z 满足，则的最小值为（ ）A．B．C ．1D．4. 把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A．B．C．D．5. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若PQ 的中点到y 轴的距离为1，则等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．86. 已知双曲线C ：的左焦点为为左支上一点，与关于原点对称，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）A．B．C．D．7. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．8.已知，则（ ）A．B．C．D．9. 某商户收集并整理了其在2023年1月到8月线上和线下收入的数据，并绘制如图所示的折线图，则下列结论正确的是（）A ．该商户这8个月中，月收入最高的是7月B ．该商户这8个月的线上总收人低于线下总收入C ．该商户这8个月中，线上、线下收入相差最小的是7月D ．该商户这8个月中，月收入不少于17万元的频率是10. 《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，，则（ ）．福建省普通高中2022-2023学年高二6月学业水平合格性考试数学试题福建省普通高中2022-2023学年高二6月学业水平合格性考试数学试题三、填空题四、解答题A．B．C ．向量在向量上的投影向量为D ．向量在向量上的投影向量为11. 如图，四棱锥，平面平面ABCD ，侧面PAD 是边长为的正三角形，底面ABCD 为矩形，，点Q 是PD 的中点，则下列结论正确的有（）A ．平面PADB ．直线QC 与PB 是异面直线C ．三棱锥的体积为D ．四棱锥外接球的内接正四面体的表面积为12. 蜜蜂是自然界的建筑大师，在18世纪初，法国数学家马拉尔迪指出，蜂巢是由许许多多类似正六棱柱形状的蜂房（如图）构成，其中每个蜂房的底部都是由三个全等的菱形构成，每个菱形钝角的余弦值是，则（）A．平面B．C ．蜂房底部的三个菱形所在的平面两两垂直D ．该几何体的体积与以六边形为底面，以为高的正六棱柱的体积相等13. 已知函数为奇函数，则实数________．14.若双曲线的渐近线方程为，则其离心率为______.15.已知函数是偶函数，定义域为，且时，，则曲线在点处的切线方程为____________．16. 已知椭圆，其中是与无关的实数.(1)求实数的取值范围；(2)当时，如图所示，过点的直线与椭圆分别相交于点，过点且斜率为的直线与椭圆相交于点，试探究直线是否恒过定点？若是，求出这个定点坐标；若不是，请说明理由.17. 已知椭圆的短轴长为，左顶点到左焦点的距离为1.(1)求椭圆的标准方程；(2)如图所示，点A是椭圆的右顶点，过点的直线与椭圆交于不同的两点，且都在轴的上方，点的坐标为.证明：.18. 已知椭圆的一个焦点是．直线与直线关于直线对称，且其相交于椭圆的上顶点．(1)求的值；(2)设直线分别与椭圆交于两点，证明：直线过定点．19. 已知抛物线C：，过的直线与C相交于A，B两点，其中O为坐标原点.(1)证明：直线OA，OB的斜率之积为定值；(2)若线段AB的垂直平分线交y轴于M，且，求直线AB的方程.20. 杭州第19届亚运会又称“2022年杭州亚运会”，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．某高校部分学生十分关注杭州亚运会，若将累计关注杭州亚运会赛事消息50次及以上的学生称为“亚运会达人”，未达到50次的学生称为“非亚运会达人”．现从该校随机抽取100名学生，得到数据如表所示：亚运会达人非亚运会达人合计男生4056女生24合计(1)补全列联表，并判断能否有99%的把握认为是否为“亚运会达人”与性别有关？(2)现从样本的“亚运会达人”中按性别采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中随机抽取3人，记这3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．附：，．0.0500.0100.005k 3.841 6.6357.87921. 如图，在三棱锥中，，为的中点．点在棱上(1)证明：平面平面；(2)若，求点到平面的距离．。

数学参考答案及评分细则 第1页（共 20页）福建省2023届高中毕业班适应性练习卷数学参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4．只给整数分数。

选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。

每小题5分，满分40分。

1．D 2．B 3．C 4．A 5．D 6．D 7．A 8．B二、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。

每小题5分，满分20分。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．BC 10．ABD 11．ACD 12．BD三、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。

每小题5分，满分20分。

13．2y x =−，2y x =−+（只需填其中的一个即可）14．2 15．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 16，3a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭四、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换、三角形面积及平面向量等基础知识，考查直观想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等，考查数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养，体现基础性和综合性．满分10分．解法一：（1）因为π2sin 6b c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，在ABC △中，由正弦定理得， sin 2sin sin 6B C A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ................................................................................................................. 1分 又因为()()sin sin sin B A C A C =π−−=+，所以()sin 2sin sin 6A C C A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， ............................................................................................... 2分展开得1sin cos cos sin 2sin cos 22A C A C C A A ⎫+=+⎪⎪⎝⎭， ........................................................ 3分即sin cos sin 0A C C A −=，因为sin 0A ≠，故cos C C =，即tan C =. ........................................................................ 4分 又因为()0,C ∈π，所以6C π=. .......................................................................................................... 5分 （2）设ABC △的外接圆的圆心为O ，半径为R ，数学参考答案及评分细则 第2页（共 20页）因为2BA BD BA ⋅=，所以()0BA BD BA ⋅−=，即0BA AD ⋅=，所以DA BA ⊥. ...................................................................................................................................... 6分 故BD 是O 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC △中，1c =，122sin sin 6c R BCA ===π∠，所以2BD =. ................................................... 7分 在ABD △中，223AD BD AB =−=.设四边形ABCD 的面积为S ，BC x =，CD y =，则224x y +=， .............................................. 8分 1131222ABD CBD S S S AB AD BC CD xy =+=⋅+⋅=+△△ ..................................................................... 9分 2231312222x y ++⋅=+， 当且仅当2x y =时，等号成立.所以四边形ABCD 31. ........................................................................................ 10分 解法二：（1）同解法一； ................................................................................................................... 5分（2）设ABC △的外接圆的圆心为O ，半径为R ，BD 在BA 上的投影向量为BA λ,所以()2BA BD BA BA BA λλ⋅=⋅=.又22BA BD BA BA ⋅==，所以1λ=，所以BD 在BA 上的投影向量为BA .所以DA BA ⊥. ...................................................................................................................................... 6分 故BD 是O 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC △中，1c =，122sin sin 6c R BCA ===π∠，所以2BD =. ................................................... 7分 在ABD △中，223AD BD AB =−=.设四边形ABCD 的面积为S ，CBD θ∠=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则2cos CB θ=，2sin CD θ=， ......................................................................................................... 8分 113sin 222ABD CBD S S S AB AD CB CD θ=+=⋅+⋅=△△. .................................................................. 9分 当π22θ=时，S 最大，所以四边形ABCD 31. ................................................ 10分 解法三：（1）同解法一； ................................................................................................................... 5分数学参考答案及评分细则 第3页（共 20页）（2）设ABC △的外接圆的圆心为O ，半径为R ，因为2BA BD BA ⋅=，所以()0BA BD BA ⋅−=，即0BA AD ⋅=，所以DA BA ⊥. ...................................................................................................................................... 6分 故BD 是O 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC △中，1c =，122sin sin 6c R BCA ===π∠，所以2BD =. ................................................... 7分 在ABD △中，223AD BD AB =−=.设四边形ABCD 的面积为S ，点C 到BD 的距离为h ， 则113222ABD CBD S S S AB AD BD h h =+=⋅+⋅=+△△. ........................................................................ 9分 当1h R ==时，S 最大，所以四边形ABCD 面积最大值为312+. ............................................. 10分 解法四：（1）同解法一； ................................................................................................................... 5分（2）设ABC △的外接圆的圆心为O ，半径为R ，在ABC △中，1c =，122sin sin 6c R BCA ===π∠， ......................................................................... 6分 故ABC △外接圆O 的半径R =1.即1OA OB AB ===，所以π3AOB ∠=. 如图，以ABC △外接圆的圆心为原点，OB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则1322A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0B .因为C ，D 为单位圆上的点，设()cos ,sin C αα，()cos ,sin D ββ，其中()()0,2π0,2αβ∈∈π，. 所以()13,cos 1,sin 22BA BD ββ⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎝⎭，， ................................................................................... 7分 代入2BA BD BA ⋅=，即1BA BD ⋅=，可得113cos 122ββ−+=， ....................................... 8分 即1sin 62βπ⎛⎫−= ⎪⎝⎭. 由()0,2β∈π可知ππ11π666β⎛⎫−∈− ⎪⎝⎭，，所以解得ππ=66β−或π5π=66β−，即π3β=或πβ=.数学参考答案及评分细则 第4页（共 20页） 当π3β=时，A ,D 重合，舍去；当πβ=时，BD 是O 的直径. 设四边形ABCD 的面积为S ，则11sin sin 22ABD CBD S S S BD BD αα=+=+⋅=+△△， ....................................................... 9分 由()0,2πα∈知sin 1α，所以当3π2α=时，即C 的坐标为()0,1−时，S 最大， 所以四边形ABCD1. ........................................................................................ 10分 18．本小题主要考查指数与对数基本运算、递推数列、等差数列、等比数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力、逻辑推理能力和创新能力等，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性和创新性．满分12分．解法一：（1）由212122log n n n a a a −++=，得212122n n aa n a −++=，............................................................. 2分 则2123222n n a a n a ++++=，从而212121232121232222222n n n n n n n aa a a a a a n n a a −+++−+++++++=⋅=， ......................................... 3分 又21214222162n n a a n n a a +++==， .............................................................................................................. 4分所以21212+32124n n n n a a a a −++++=， ...................................................................................................... 5分即212+3212n n n a a a −++=，所以{}21n a −是等差数列. ............................................................................ 6分（2）设等差数列{}21n a −的公差为d .当1n =时，1322log a a a +=，即321log 8a +=，所以32a =，所以311d a a =−=， ..................................................................................................... 7分所以数列{}21n a −是首项为1，公差为1的等差数列，所以21n a n −=; ....................................................................................................................................... 8分又()21211212222n n n n a a n n a −+++++===; ....................................................................................................... 9分 ()()9123456789135792468S a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++++++++=++++++++()()3579123452222156806952023=++++++++=+=<，又1110910695227432023S S a =+=+=>；数学参考答案及评分细则 第5页（共 20页） 又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<， .................................................................................. 11分 所以n 的最小值为10. ........................................................................................................................ 12分 解法二：（1）由20n a >，且2122216n a n n a a ++=， 则()2122222log log 16n a n n a a ++=，............................................................................................................ 2分 得2222221log log 4n n n a a a +++=， .......................................................................................................... 4分因为212122log n n n a a a −++=，2123222log n n n a a a ++++=， 所以()()2121212321=4n n n n n a a a a a −+++++++， ........................................................................................ 5分 即21232+12n n n a a a −++=，所以{}21n a −是等差数列. .............................................................................. 6分（2）设等差数列{}21n a −的公差为d . 当1n =时，1322log a a a +=，即321log 8a +=， 所以32a =，所以311d a a =−=， ..................................................................................................... 7分所以数列{}21n a −是首项为1，公差为1的等差数列， 所以21n a n −=； .................................................................................................................................... 8分又212122log n n n a a a −++=，所以()21211212222n n n n a a n n a −+++++===； ................................................................................................ 9分 当k *∈N 时,21232k k S a a a a =++++()()135212462k k a a a a a a a a −=+++++++++ ()()357211232222k k +=+++++++++ ()()841123k k k −+=+，()()()2121228411124822323k k k k k k k k k k S S a +−−++⨯−=−=+−=+，数学参考答案及评分细则 第6页（共 20页）所以5925156248695202323S S ⨯−⨯⨯−==+=<， ()51025841562743202323S S ⨯−⨯==+=>， 又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<， .................................................................................. 11分 所以n 的最小值为10. ........................................................................................................................ 12分 解法三：（1）同解法一； ................................................................................................................... 6分 （2）设等差数列{}21n a −的公差为d .当1n =时，1322log a a a +=，即321log 8a +=，所以32a =，所以311d a a =−=， ..................................................................................................... 7分 所以数列{}21n a −是首项为1，公差为1的等差数列，所以21n a n −=； .................................................................................................................................... 8分 又()21211212222n n n n aa n n a −+++++===； .................................................................................................... 9分当k *∈N 时， 2112321k k S a a a a −−=++++()()1352124622k k a a a a a a a a −−=+++++++++()()357211232222k k −=+++++++++()()()118411114821423k k k k k k −−−++⎛⎫−=+=+ ⎪−⎝⎭， 所以()4925184156695202323S S ⨯−−⨯==+=<，25110910=695227432023S S a ⨯+=++=>. 又0n a >，则1n n S S +<，且9102023S S <<， .................................................................................. 11分 所以n 的最小值为10. ........................................................................................................................ 12分 19．本小题主要考查一元线性回归模型、条件概率与全概率公式等基础知识，考查数学建模能力、运算求解能力、逻辑推理能力、直观想象能力等，考查统计与概率思想、分类与整合思想等，考查数学抽象、数学建模和数学运算等核心素养，体现应用性和创新性．满分12分． 解：（1）由散点图判断ln(2012)x y c d −+=适宜作为该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于年份数x数学参考答案及评分细则 第7页（共 20页）的经验回归方程类型. .......................................................................................................................... 1分 令ln(2012)t x =−，先建立y 关于t 的线性回归方程.由于101102221101226.810 1.580.4ˆ427.710 1.510i ii ii t yt y ctt==−−⨯⨯===−⨯−∑∑， ........................................................................ 2分 ˆˆ80.44 1.574.4dy ct =−=−⨯=， ....................................................................................................... 3分 该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于t 的线性回归方程为7.444ˆyt +=， 因此y 关于年份数x 的回归方程为ln(2012)7ˆ44 4.x y −+=. ........................................................... 4分 所以当2023x =时，该机场飞往A 地航班放行准点率y 的预报值为ln(20232012)74.44ln1174.4ˆ4 2.4074.4844y−+=+≈⨯+==. 所以2023年该机场飞往A 地航班放行准点率y 的预报值为84%. ................................................ 5分 （2）设1A =“该航班飞往A 地”，2A =“该航班飞往B 地”，3A =“该航班飞往其他地区”，C =“该航班准点放行”， ..................................................................................................................... 6分则()10.2P A =，()20.2P A =，()30.6P A =，()10.84P C A =，()20.8P C A =，()30.75P C A =. ......................................................................... 7分（i ）由全概率公式得，()()()()()()()112233P C P A P C A P A P C A P A P C A =++ ................................................................ 8分0.840.20.80.20.750.60.778=⨯+⨯+⨯=，所以该航班准点放行的概率为0.778. ............................................................................................... 9分 （ii ）()()()()()()11110.20.840.778P A P C A P AC P A C P C P C ⨯===，()()()()()()22220.20.80.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===，()()()()()()33330.60.750.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===， .............................................................. 11分因为0.60.750.20.840.20.8⨯>⨯>⨯，所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大...................................................................... 12分20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间几何体的体积、平面与平面的夹角等基础知识；考查直观想象能力，逻辑推理能力，运算求解能力等；考查化归与转化思想，数数学参考答案及评分细则 第8页（共 20页）形结合思想，函数与方程思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性和综合性．满分12分．解法一：（1）如图1，取AB 中点O ，连接PO ，CO .因为2PA PB ==，2AB =，所以PO AB ⊥，1PO =，1BO =. 又因为ABCD 是菱形，60ABC ︒∠=，所以CO AB ⊥，3CO =. 因为2PC =，所以222PC PO CO =+，所以PO CO ⊥. 又因为AB ⊂平面ABCD ，CO ⊂平面ABCD ，ABCO O =，所以PO ⊥平面ABCD . ....................................................................................................................... 2分 因为AD BC ∥，BC PBC ⊂平面，AD PBC ⊄平面，所以AD PBC ∥平面，所以1133143343D PBC A PBC P ABC ABC V V V PO S −−−===⋅=⨯⨯⨯=△. ............... 3分因为3162M PBC D PBC V V −−==， ............................................................................................................. 4分 所以点M 到平面PBC 的距离是点D 到平面PBC 的距离的12，所以PM MD =. .................................................................................................................................... 5分（图1） （图2） （2）由（1）知，BO CO ⊥，PO BO ⊥，PO CO ⊥，如图2，以O 为坐标原点，OC ,OB ,OP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，....................................................................................................................................................... 6分则()0,1,0A −，()0,1,0B ，()3,0,0C，)3,2,0D−，()0,0,1P ，所以311,22M ⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭．则()3,1,0AC =，()3,1,0BC =−，()3,3,0BD =−，()0,1,1AP =，31,1,22CM ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭． 因为Q AP ∈,设()0,,AQ AP λλλ==，则()3,1,CQ AQ AC λλ=−=−−，数学参考答案及评分细则 第9页（共 20页）因为BD α∥，Q α∈，C α∈，M α∈，故存在实数,a b ，使得CQ aCM bBD =+，............... 7分 所以333,231,,2a b a b a λλ⎧−+=−⎪⎪⎪−−=−⎨⎪⎪=⎪⎩ 解得4,31,32.3a b λ⎧=⎪⎪⎪=−⎨⎪⎪=⎪⎩所以123,,33CQ ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭....................................................................................................................... 8分设平面BCQ 的法向量为1(,,)x y z =n ，则110,0,CQ BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即230,3330y z x x y ⎧−−+=⎪⎨⎪−=⎩．取1x =，得到平面BCQ 的一个法向量()11,3,23=n ． ............................................................ 10分 设平面BCQ 与平面ABCD 夹角是β，又因为()20,0,1=n 是平面ABCD 的一个法向量， ......................................................................... 11分 则1212123cos cos ,2β⋅=<>==n n n n n n ． 所以平面BCQ 与平面ABCD 夹角的余弦值是32． ..................................................................... 12分 解法二：（1）如图3，取AB 中点O ，连接PO ，CO ， 因为2PA PB ==，2AB =， 所以PO AB ⊥，1PO =，1BO =， 又因为ABCD 是菱形，60ABC ︒∠=, 所以CO AB ⊥，3CO =.因为2PC =，所以222PC PO CO =+，所以PO CO ⊥. 因为AB ⊂平面PAB ，PO ⊂平面PAB ，ABPO O =，所以CO ⊥平面PAB . .......................................................................................................................... 2分11133223323A PBC C ABP ABP V V CO S −−==⋅=⨯⨯⨯⨯=△. ............................................................... 3分 过M 作MN AD ∥交AP 于点N ，AD BC ∥，所以MN BC ∥，又BC PBC ⊂平面，MN PBC ⊄平面，（图3）数学参考答案及评分细则 第10页（共 20页）所以MN PBC ∥平面，所以1336M PBC N PBC C NBP NBP V V V CO S −−−===⋅=△，因为13C ABP ABP V CO S −=⋅△，13C NBP NBP V CO S −=⋅△所以2ABP NBP S S =△△， .......................................................................................................................... 4分 所以N 是PA 的中点，所以M 是PD 的中点，所以PM MD =. ..................................................... 5分 （2）在平面ABCD 内，过C 作EF BD ∥交AD 延长线于点E ，交AB 延长线于点F ， 因为ABCD 是菱形，所以AD DE =.如图4，在平面PAD 内，作PP AE '∥交EM 的延长线于点P '，设EP '交AP 于点Q . 所以，四边形EDP P '是平行四边形，,PP DE PP DE ''=∥， 所以QPP QAE '△∽△，所以12PQ PP AQ AE '==, 所以点Q 是线段PA 上靠近P 的三等分点......................................................................................... 7分 如图5，在平面PAB 内，作QT PO ∥，交AB 于T ，因为PO ⊥平面ABCD ，所以QT ⊥平面ABCD ，所以QT ⊥BC ， 因为1PO =，2233QT PO ==， ......................................................................................................... 8分 在平面ABCD 内，作TN BC ⊥，交BC 于点N ，连接QN ，过A 作AK TN ∥交BC 于K ， 在ABK △中，2AB =，60ABK ︒∠=，所以332AK AB ==,（图5） 所以22333TN AK ==， .................................................................................................................... 9分 因为QT ⊥BC ，TN BC ⊥，QT TN T =，所以BC ⊥平面QTN ，因为QN ⊂平面QTN ，所以BC QN ⊥．所以QNT ∠是二面角A BC Q −−的平面角． ................................................................................. 11分数学参考答案及评分细则 第11页（共 20页）在Rt QTN △中，tan QT QNT NT ∠==，所以cos QNT ∠= 所以平面BCQ 与平面ABCD..................................................................... 12分 解法三：（1）同解法一； ................................................................................................................................. 5分 （2）由（1）知，BO CO ⊥，PO BO ⊥，PO CO ⊥，如图2，以O 为坐标原点，OC ,OB ,OP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，....................................................................................................................................................... 6分则(0,1,0)A −，(0,1,0)B，C，2,0)D −，(0,0,1)P，所以11,)2M −．则(3,1,0)AC =，(3,1,0)BC =−，(3,3,0)BD =−，(0,1,1)AP =，1(1,)22CM =−−．设平面α的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0BD CM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 即30,1022y x y z −=⎨−+=⎪⎩． 取1y =，得到平面α的一个法向量)=n ． ......................................................................... 7分因为Q AP ∈,设()0,,AQ AP λλλ==，则()1,CQ AQ AC λλ=−=−−， 因为3150CQ λλ⋅=−+−+=n ，所以23λ=，所以12,33CQ ⎛⎫=−−⎪⎝⎭. ...................................... 8分 设平面BCQ 的法向量为1111(,,)x y z =n ，则110,0CQ BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 即1111120,330y z y ⎧−+=⎪−=．取11x =，得到平面BCQ 的一个法向量(1=n ． ........................................................... 10分 设平面BCQ与平面ABCD 夹角是β，又因为()20,0,1=n 是平面ABCD 的一个法向量， ......................................................................... 11分 则121212cos cos ,β⋅=<>=n n n n n n 所以平面BCQ 与平面ABCD 夹角的余弦值是2． ..................................................................... 12分21．本小题主要考查圆、椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算数学参考答案及评分细则 第12页（共 20页）求解能力，逻辑推理能力，直观想象能力和创新能力等；考查数形结合思想，函数与方程思想，化归与转化思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现基础性，综合性与创新性．满分12分．解法一：（1）由题意得，()11,0A −，()21,0A ．因为D 为BC 中点，所以1A D BC ⊥，即12A D A C ⊥， ................................................................... 1分 又1PE A D ∥，所以2PE A C ⊥， 又E 为2A C 的中点，所以2PA PC =，所以1211124PA PA PA PC A C A A +=+==>，所以点P 的轨迹Γ是以12,A A 为焦点的椭圆（左、右顶点除外）． ............................................... 2分 设Γ：22221x y a b+=（x a ≠±），其中0a b >>，222a b c −=．则24a =，2a =，1c =，223b a c =−=． ............................................................................. 3分 故Γ：22143x y +=（2x ≠±）． ......................................................................................................... 4分（2）结论③正确．下证：12QC C △的面积是定值． ...................................................................... 5分 由题意得，()12,0B −，()22,0B ，()10,1C −，()20,1C ，且直线2l 的斜率不为0， 可设直线2l ：1x my =−，()()1122,,,M x y N x y ，且12x ≠±，22x ≠±．由221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩得()2234690m y my +−−=， ................................................................................. 6分 所以12122269,3434m y y y y m m −+==++， ............................................................................................ 7分 所以()121223my y y y =−+. 直线1B M 的方程为：()1122y y x x =++，直线2B N 的方程为：()2222y y x x =−−， .................... 8分由()()11222,22,2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=−⎪−⎩数学参考答案及评分细则 第13页（共 20页）得()()21122222y x x x y x ++=−− ............................................................................................................................ 9分 ()()211213y my y my +=−1221213my y y my y y +=−()()12212132332y y y y y y−++=−+−121231229322y y y y −−=−−13=， 解得x 4=−． ..................................................................................................................................... 11分 故点Q 在直线4x =−，所以Q 到12C C 的距离4d =， 因此12QC C △的面积是定值，为121124422C C d ⋅=⨯⨯=． ........................................................ 12分 解法二：（1）同解法一． ................................................................................................................... 4分 （2）结论③正确．下证：12QC C △的面积是定值． ...................................................................... 5分 由题意得，()12,0B −，()22,0B ，()10,1C −，()20,1C ，且直线2l 的斜率不为0， 可设直线2l ：1x my =−，()()1122,,,M x y N x y ，且12x ≠±，22x ≠±．由221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩得()2234690m y my +−−=， ................................................................................. 6分 所以12122269,3434m y y y y m m −+==++， ............................................................................................ 7分 所以()121223my y y y =−+. 直线1B M 的方程为：()1122y y x x =++，直线2B N 的方程为：()2222y y x x =−−， .................... 8分由()()11222,22,2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=−⎪−⎩得()()()()2112211222222y x y x x y x y x ⎡⎤++−=⎢⎥+−−⎢⎥⎣⎦........................................................................................................ 9分()()()()2112211213213y my y my y my y my ⎡⎤++−=⎢⎥+−−⎢⎥⎣⎦1221212323my y y y y y ⎛⎫+−= ⎪+⎝⎭数学参考答案及评分细则 第14页（共 20页）()()121221212323243my y y y y y y y ++−+⎡⎤==−⎢⎥+⎣⎦. ........................................................................... 11分故点Q 在直线4x =−，所以Q 到12C C 的距离4d =， 因此12QC C △的面积是定值，为121124422C C d ⋅=⨯⨯=． ........................................................ 12分 解法三：（1）同解法一． ................................................................................................................... 4分 （2）结论③正确．下证：12QC C △的面积是定值． ...................................................................... 5分 由题意得，()12,0B −，()22,0B ，()10,1C −，()20,1C ，直线2l 的斜率不为0． （i ）当直线2l 垂直于x 轴时，2l ：1x =−，由221,431x y x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩得1,32x y =−⎧⎪⎨=−⎪⎩或1,3.2x y =−⎧⎪⎨=⎪⎩不妨设331,,1,22M N ⎛⎫⎛⎫−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则直线1B M 的方程为：()322y x =+，直线2B N 的方程为：()122y x =−， 由()()32,2122y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩得4,3,x y =−⎧⎨=−⎩所以(4,3)Q −−，故Q 到12C C 的距离4d =，此时△12QC C 的面积是121124422C C d ⋅=⨯⨯=． ............................ 6分 （ii ）当直线2l 不垂直于x 轴时，设直线l ：()1y k x =+，()()1122,,,M x y N x y ，且12x ≠±，22x ≠±． 由()221,431,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()()22224384120k x k x k +++−=， ................................................................. 7分 所以221212228412,4343k k x x x x k k −−+==++． ............................................................................................ 8分直线1MB 的方程为：()1122y y x x =++，直线2MB 的方程为：()2222y y x x =−−， ..................... 9分由()()11222,22,2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=−⎪−⎩数学参考答案及评分细则 第15页（共 20页）得()()()()2112211222222y x y x x y x y x ⎡⎤++−=⎢⎥+−−⎢⎥⎣⎦...................................................................................................... 10分()()()()()()()()21122112121221212k x x k x x k x x k x x ⎡⎤++++−=⎢⎥++−+−⎢⎥⎣⎦12121242634x x x x x x −+=++． 下证：121212426434x x x x x x −+=−++．即证()121212426434x x x x x x −+=−++， 即证()121241016x x x x =−+−， 即证22224128410164343k k k k ⎛⎫⎛⎫−−=−− ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即证()()()22244121081643k k k −=−−−+，上式显然成立， ................................................................................................................................. 11分 故点Q 在直线4x =−，所以Q 到12C C 的距离4d =， 此时12QC C △的面积是定值，为121124422C C d ⋅=⨯⨯=． 由（i ）（ii ）可知，12QC C △的面积为定值． ................................................................................. 12分 解法四：（1）同解法一． ................................................................................................................... 4分 （2）结论③正确．下证：12QC C △的面积是定值． ...................................................................... 5分 由题意得，()12,0B −，()22,0B ，()10,1C −，()20,1C ，且直线2l 的斜率不为0， 可设直线2l ：1x my =−，()()1122,,,M x y N x y ，且12x ≠±，22x ≠±．由221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩得()2234690m y my +−−=， ................................................................................. 6分 所以12122269,3434m y y y y m m −+==++． ............................................................................................ 7分 直线1B M 的方程为：()1122y y x x =++，直线2B N 的方程为：()2222y y x x =−−， .................... 8分数学参考答案及评分细则 第16页（共 20页）因为2222143x y +=，所以222y x −22234x y ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，故直线2B N 的方程为：()222324x y x y ⎛⎫+=−− ⎪⎝⎭．由()()11222,2232,4y y x x x y x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎛⎫+⎪=−− ⎪⎪⎝⎭⎩得()()1212422322y y x x x x −=−+++ ............................................................................................................... 9分 ()()12124311y y mx my =−++()1221212431y y m y y m y y ⎡⎤=−⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦()2224939634m m m ⎡⎤−⎢⎥=−⎢⎥−+++⎣⎦3=， 解得x 4=−． ..................................................................................................................................... 11分 故点Q 在直线4x =−，所以Q 到12C C 的距离4d =，因此12QC C △的面积是定值，为121124422C C d ⋅=⨯⨯=． ........................................................ 12分 22．本小题主要考查导数及其应用、函数的单调性、不等式等基础知识，考查逻辑推理能力、直观想象能力、运算求解能力和创新能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等，考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性和创新性．满分12分．解法一：（1）()()1e x f x x a '=++， ................................................................................................. 1分 故1x a >−−时，()0f x '>；1x a <−−时，()0f x '<. ................................................................... 2分 当10a −−>，即1a <−时，()f x 在()0,1a −−单调递减，在()1,a −−+∞单调递增； 当10a −−，即1a −≥时，()f x 在()0,+∞单调递增.综上，当1a <−时，()f x 在()0,1a −−单调递减，在()1,a −−+∞单调递增；当1a −≥时，()f x 在()0,+∞单调递增. ............................................................................................ 4分 （2）不存在01,,a x x ，且01x x ≠，使得曲线()y f x =在0x x =和1x x =处有相同的切线. ............ 5分 证明如下：假设存在满足条件的01,,a x x ，因为()f x 在()()00,x f x 处的切线方程为()()()000y f x f x x x '−=−数学参考答案及评分细则 第17页（共 20页）即()()020001e e x x y x a x a x ax =++⋅+−−， ....................................................................................... 6分同理()f x 在()()11,x f x 处的切线方程为()()1121111e e x x y x a x a x ax =++⋅+−−，且它们重合，所以()()()()011012200111e 1e ,e e ,x xx x x a x a a x ax a x ax ⎧++=++⎪⎨−−=−−⎪⎩................................................................... 7分 整理得()()()()2201110011x a a x ax x a a x ax ++−−=++−−，即()()20101120x x a x x a a +++++=，()()()20101111x x a x x a +++++=，所以()()01111x a x a ++++=， .......................................................................................................... 8分 由0101(1)e (1)e x x x a x a ++=++两边同乘以1e a +，得011101(1)e (1)e x a x a x a x a ++++++=++， .............................................................................................. 9分令001t x a =++，111t x a =++，则010101e e ,1,t t t t t t ⎧=⎨=⎩且01t t ≠，由011t t =得011t t =，代入0101e e t t t t =得11121e e t t t =，两边取对数得11112ln t t t =+. .......................... 10分令1()2ln g t t t t=+−，当0t >时，1()2ln g t t t t =+−，()222121()10t g t t t t +'=++=≥， 所以()g t 在(0,)+∞上单调递增，又()10g =，所以11t =，从而01t =，与01t t ≠矛盾； ......... 11分 当0t <时，()1()2ln g t t t t =−+−，()222121()10t g t t t t+'=++=≥， 所以()g t 在(,0)−∞上单调递增，又()10g −=，所以11t =−，从而01t =−，与01t t ≠矛盾； 综上，不存在01,t t ，使得010101e e ,1,t t t t t t ⎧=⎨=⎩且01t t ≠.故不存在01,,a x x 且01x x ≠，使得曲线()y f x =在0x x =和1x x =处有相同的切线. .................... 12分 解法二：（1）同解法一； .................................................................................................................... 4分。

2023-2024学年福建省普通高中高二学业水平合格性考试数学模拟试题参考公式：样本数据1x ，2x ，L ，n x 的标准差s =其中x 为样本平均数柱体体积公式VSh =，其中S 为底面面积，h 为高台体体积公式()13V S S h '=，其中S '，S 分别为上、下底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh=，其中S 为底面面积，h 为高球的表面积公式24S R π=，球的体积公式343V R π=，其中R 为球的半径第I 卷（选择题57分）一、单项选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则A B = （）A.{}1,2,3 B.{}1,2,3,4 C.{}2,3,4 D.{}2,3【正确答案】D【分析】根据给定的条件，利用交集的定义求解作答.【详解】集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则{}2,3A B ⋂=.故选：D2.已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，那么，下列各角与380︒角终边相同的是（）A.20︒B.30︒C.40︒D.50︒【正确答案】A【分析】利用终边相同的角的集合逐一对各个选项分析判断即可求出结果.【详解】因为与380︒角终边相同的角的集合为{}|380360,Z k k ββ=︒+⋅︒∈，当1k =-时，得到20β=︒，又Z k ∈，所以易知BCD 均不符合题意.故选：A .3.函数()()ln 2f x x =-的定义域是（）A.()0,2 B.()2,+∞ C.[2,)+∞ D.(,2)-∞【正确答案】B【分析】解20x ->，即可得出函数的定义域.【详解】解20x ->，可得2x >，所以，函数()()ln 2f x x =-的定义域是()2,+∞.故选：B.4.函数()27xf x x =+-的零点所在的区间是()A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,4【正确答案】C【分析】由函数可得f （2）•f （3）＜0，再利用函数的零点的判定定理可得函数f （x ）＝2x +x ﹣7的零点所在的区间．【详解】∵函数f （x ）＝2x +x ﹣7，∴f （2）＝﹣1＜0，f （3）＝4＞0，f （2）•f （3）＜0，根据函数的零点的判定定理可得，函数f （x ）＝2x +x ﹣7的零点所在的区间是（2，3），故选C ．本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．5.计算1ln 3ln 3+=（）A.1- B.0C.2D.3【正确答案】B【分析】利用对数的运算法则即可求出结果.【详解】因为11ln 3ln ln 3ln 3ln 3ln 303-+=+=-=，故选：B.6.已知0x >，则4x x+的最小值为（）A.2B.3C.4D.5【正确答案】C【分析】根据题意，利用基本不等式，即可求解.【详解】因为0x >，所以44x x +≥=，当且仅当4x x =时，即2x =时，等号成立，所以4x x+的最小值为2.故选：C.7.下列向量组中，可以用来表示该平面内的任意一个向量的是（）A.()1,2a =r，()0,0b = B.()1,2a =r，()1,2b =-- C.()1,2a =r，()5,10b = D.()1,2a =r，()1,2b =- 【正确答案】D【分析】根据平面向量基本定理可知，表示平面内的任意向量的两个向量不能共线，结合选项，即可判断.【详解】表示平面内的任意一个向量的两个向量不能共线，A.向量b是零向量，所以不能表示平面内的任意向量，故A 错误；B.a b =-，两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故B 错误；C.5b a =，两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故C 错误；D.不存在实数λ，使b a λ=，所以向量,a b 不共线，所以可以表示平面内的任意向量，故D 正确.故选：D8.ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，且a =60A = ，45C = ，则边c的值为（）A.1B.C.D.2【正确答案】B【分析】利用正弦定理可求得边c 的长.【详解】因为a =60A = ，45C = ，由正弦定理sin sin c aC A=，可得2sin 2sin 32a Cc A===.故选：B.9.甲、乙两人进行投篮比赛，他们每次投中的概率分别为0.5，0.6，且他们是否投中互不影响．若甲、乙各投篮一次，则两人都投中的概率为（）A.0.2 B.0.3C.0.4D.1.1【正确答案】B【分析】根据独立事件同时发生的概率公式，即可求解.【详解】设甲投中为事件A ，乙投中为事件B ，两事件相互独立，所以()()()0.50.60.3P AB P A P B ==⨯=.故选：B10.为了得到y =sin(x+13),x R ∈的图象，只需把曲线y=sinx 上所有的点A.向左平行移动3π个单位长度B.向左平行移动13个单位长度C.向右平行移动3π个单位长度 D.向右平行移动13个单位长度【正确答案】B【详解】需把曲线y=sinx 上所有的点向左平行移动13个单位长度,得到y =sin(x+13),x R ∈的图象.故选B.11.不等式()20x x ->的解集为（）A.{2x x <-或0}x >.B.{0x x <或2}x >.C.{}|02x x << D.{}|20x x -<<【正确答案】B【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求解.【详解】不等式()20x x ->，解得：2x >或0x <，所以不等式的解集为{0x x <或2}x >.故选：B12.设134a =，132b =，13log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c >>B.a c b >>C.c b a >>D.b c a>>【正确答案】A【分析】根据指数幂以及对数的运算性质，可得232a =，3log 2c =-，进而根据指数函数以及对数函数的性质，即可得出答案.【详解】因为1213334220a b ==>=>，133log 2log 20c ==-<，所以，a b c >>.故选：A.13.函数||2x y =的图象大致是（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】设()||2x f x =，根据解析式得出函数的奇偶性以及单调性，即可得出答案.【详解】设()||2x f x =，则()()||2x f x f x --==，所以()f x 为偶函数，所以A 、B 项错误.又当0x ≥时，()2xf x =为增函数，所以C 项错误，故D 项正确.故选：D.14.“a c b c >”是“a b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【正确答案】A【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法即可得出结果.【详解】若a c b c >，则()0a c b c a b c -=->，又因为0c ≥，所以0a b ->，即a b >，若a b >，因为0c ≥，当0c =时，a c b c >不成立，所以“a c b c >”是“a b >”的充分不必要条件.故选：A.15.某学校新建的天文观测台可看作一个球体，其半径为3m ．现要在观测台的表面涂一层防水漆，若每平方米需用0.5kg 涂料，则共需要涂料（单位：kg ）（）A.1.5πB.4.5πC.6πD.18π【正确答案】D【分析】先利用球的表面积公式求出表面积，再根据条件即可求出结果.【详解】因为3r =，所以球的表面积为24π36πS R ==，又每平方米需用0.5kg 涂料，所以共需36π0.518π⨯=kg 涂料.故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分．16.下列函数中，是偶函数的有（）A.21y x =+B.2log y x= C.2xy = D.cos y x=【正确答案】AD【分析】先求出函数的定义域，然后将x -代入，结合偶函数的性质，即可得出答案.【详解】对于A 项，设()21f x x =+，函数()f x 定义域为R ，且()()21f x x f x -=+=，所以函数21y x =+为偶函数，故A 正确；对于B 项，因为函数2log y x =的定义域为()0,∞+，不关于原点对称，所以函数2log y x =为非奇非偶函数，故B 错误；对于C 项，设()2xg x =，函数()g x 定义域为R ，但()22xx g x --=≠，所以函数2x y =不是偶函数，故C 错误；对于D 项，设()cos h x x =，函数()h x 定义域为R ，且()()()cos cos h x x x h x -=-==，所以函数cos y x =为偶函数，故D 正确.故选：AD.17.袋中有大小和质地均相同的5个球，其中2个红球，3个黑球．现从中随机摸取2个球，下列结论正确的有（）A.“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件B.“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件C.“至少有一个黑球”和“都是红球”是对立事件D.“至少有一个红球”和“都是红球”是互斥事件【正确答案】BC【分析】以黑球的个数为切入点，试验的样本空间为{}0,1,2Ω=.将事件用集合表示出来，即可得出答案.【详解】以黑球的个数为切入点，试验的样本空间为{}0,1,2Ω=.对于A 项，“恰有一个红球”可用{}1A =来表示，“都是红球”可用事件{}0B =来表示.所以，事件,A B 互斥，但,A B 不是对立事件，故A 项错误；对于B 项，“恰有一个黑球”可用{}1A =来表示，“都是黑球”可用事件{}2C =来表示.所以事件,A C 互斥，故B 项正确；对于C 项，“至少有一个黑球”可用事件{}1,2D =来表示，“都是红球”可用事件{}0B =来表示.所以，事件,B D 为互斥事件，也是对立事件，故C 项正确；对于D 项，“至少有一个红球”可用事件{}0,1E =来表示，“都是红球”可用事件{}0B =来表示.所以，事件{}0B E = ，即交事件为“都是红球”，故D 项错误.故选：BC .18.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB BC =，下列命题正确的有（）A.11A B CC ⊥B.11//A B B CC.平面1A BD ⊥平面11AAC CD.平面1//A BD 平面11CB D 【正确答案】CD【分析】根据长方体的性质推得11//AA CC ，即可判断A 项；根据长方体的性质推得四边形11DCB A 是平行四边形，得出11//A D B C ，即可判断B 项；根据长方体的性质以及线面垂直的判定定理，可得出BD ⊥平面11AAC C ，即可得出C 项；根据长方体的性质以及线面平行的判定定理，可得出1//A D 平面11CB D ，//BD 平面11CB D ，然后即可判定面面平行，得出D 项.【详解】对于A 项，由长方体的性质可知11//AA CC .又11,AA A B 不垂直，所以11,A B CC 不垂直，故A 错误；对于B 项，由长方体的性质可知11//A B CD ，11A B CD =，所以，四边形11DCB A 是平行四边形，所以，11//A D B C .因为11,A B A D 不平行，所以11,AB BC 不平行，故B 错误；对于C 项，因为AB BC =，根据长方体的性质可知ABCD 是正方形，所以，BD AC ⊥.根据长方体的性质可知，1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以，1CC BD ⊥.因为AC ⊂平面11AAC C ，1CC ⊂平面11AAC C ，1AC CC C = ，所以，BD ⊥平面11AAC C .因为BD ⊂平面1A BD ，所以平面1A BD ⊥平面11AAC C ，故C 项正确；对于D 项，由B 知，11//A D B C .因为1B C ⊂平面11CB D ，1A D ⊄平面11CB D ，所以1//A D 平面11CB D .根据长方体的性质可知，11//BB DD ，且11BB DD =，所以，四边形11DBB D 为平行四边形，所以11//B D BD .因为11B D ⊂平面11CB D ，BD ⊄平面11CB D ，所以//BD 平面11CB D .因为1A D ⊂平面1A BD ，BD ⊂平面1A BD ，1A D BD D ⋂=，所以平面1//A BD 平面11CB D ，故D 项正确.故选：CD.19.某简谐运动在一个周期内的图象如图所示，下列判断正确的有（）A.该简谐运动的振幅是3cmB.该简谐运动的初相是2π5C.该简谐运动往复运动一次需要2sD.该简谐运动100s 往复运动25次【正确答案】ABD【分析】结合简谐运动在一个周期内的图象可判断A ；设该函数解析式为()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>，由简谐运动在一个周期内的图象可得ω，把点()2.2,3-代入解析式可得π33sin 2.22ϕ⎛⎫-=⨯+⎪⎝⎭，可判断BCD.【详解】对于A ，由简谐运动在一个周期内的图象可得该简谐运动的振幅是3cm ，故A 正确；对于B ，设该函数解析式为()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>，由简谐运动在一个周期内的图象可得12π3.2 1.22ω=-=T ，可得112π3.2 1.222ω=-=⨯T ，所以π4,2ω==T ，所以()π3sin 2ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，因为把点()2.2,3-代入解析式可得π33sin 2.22ϕ⎛⎫-=⨯+ ⎪⎝⎭，所以()π1.1π2π2ϕ+=-+∈k k Z ，所以()1.6π2πϕ=-+∈k k Z ，若2π1.6π2π5ϕ=-+=k ，则1k =，故B 正确；对于C ，由B 可知4s T =，故C 错误；对于D ，该简谐运动100s 往复运动100425÷=次，故D 正确.故选：ABD .第II 卷（非选择题43分）（请考生在答题卡上作答）三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．20.已知i 为虚数单位，计算()i 1i -=________．【正确答案】1i +##i+1【分析】根据复数的乘法运算，计算即可得出答案.【详解】因为()2i 1i i i 1i -=-=+.故答案为.1i+21.已知函数221,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则((1))f f -=________．【正确答案】1【分析】根据分段函数的表达式由内向外计算即可.【详解】()1112f -=+=，()22log 21f ==，()()11∴-=f f .故1.22.已知向量()1,0a =，b = ，且a 与b的夹角为θ，则cos θ=________．【正确答案】12##0.5【分析】先求向量a 与b 的数量积及a 和b的模，再利用向量夹角公式即得．【详解】向量()1,0a =，(b = ，所以1101⋅=⨯+= a b ，1a = ，2b =，则1cos 1221θ⋅===⨯⋅ a b b a ，故12．23.已知定义在R 上的函数()f x 同时满足下列两个条件：①1x ∀，2R x ∈，()()()1212f x x f x f x +=；②1x ∀，2R x ∈，()()12120f x f x x x -<-．试给出函数()f x 的一个解析式：()f x =________．【正确答案】0.5x （答案不唯一）【分析】根据已知结合指数函数的性质，即可得出答案.【详解】根据指数函数的性质1212x x x x a a a +=，可知指数函数满足①；由②可知，函数为单调递减函数.所以可取()xf x a =()01a <<，即可满足.故答案为.0.5x四、解答题：本题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．24.已知α为第一象限角，且3cos 5α=．（1）求sin α的值；（2）求)t n(a π2α-的值．【正确答案】（1）45（2）247【分析】（1）根据条件，利用平方关系即可求出结果；（2）先利用（1）中结论求出4tan 3α=，再利用诱导公式和正切的二倍角公式即可求出结果.【小问1详解】因为α为第一象限角，且3cos 5α=，所以4sin 5α==.【小问2详解】由（1）知4tan 3α=，又282tan 243tan(π2)tan2161tan 719αααα-=-=-=-=--.25.如图，三棱锥A BCD -中，E ，F 分别是AC ，BC的中点．（1）求证：//EF 平面ABD ；（2）若AD BD ⊥，3AD =，4BD =，5AC =，BC =，30CBD ∠=︒，求三棱锥A BCD -的体积．【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）分别取,AD BD 的中点为,G H ，连结,,GE GH HF .可证明四边形GHFE 为平行四边形，//EF GH ，然后即可根据线面平行的判定定理得出证明；（2）在BCD △中，根据余弦定理求得4CD =.进而在ADC △中，根据勾股定理得出AD CD ⊥.结合已知条件，根据线面垂直的判定定理即可得出AD ⊥平面BCD .根据面积公式求出BCD △的面积，即可根据棱锥的体积公式得出答案.【小问1详解】如图，分别取,AD BD 的中点为,G H ，连结,,GE GH HF .因为,,,E F G H 分别为,,,AC BC AD BD 的中点，所以，//GE CD ，且12GE CD =，//HF CD ，12HF CD =，所以//GE HF ，且GE HF =.所以，四边形GHFE 为平行四边形，所以，//EF GH .因为GH Ì平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，所以，//EF 平面ABD .【小问2详解】由已知可得，在BCD △中，有4BD =，BC =，30CBD ∠=︒，根据余弦定理可知，2222cos CD BD BC BD BD CBD =+-⨯∠(223424162=+-⨯⨯=，所以，4CD =.在ADC △中，有22291625AD CD AC +=+==，所以，90ADC ∠=︒，AD CD ⊥.因为AD BD ⊥，CD ⊂平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，CD BD D =I ，所以，AD ⊥平面BCD .又1sin 2BCD S BD BC BCD =⨯⨯⨯∠ 11422=⨯⨯=所以，11333A BCD BCD V S AD -=⨯⨯=⨯= .26.某地有农村居民320户，城镇居民180户．为了获得该地居民的户月均用水量的信息，采用分层抽样的方法抽取得样本A ，并观测A 的指标值（单位：t ），计算得农村居民户样本的均值为8.3，方差为10.86，城镇居民户样本的均值为14.1，方差为34.62．（1）根据以上信息，能否求出A 的均值和方差？说明你的依据；（2）如果A 中农村居民户、城镇居民户的样本量都是25，求A 的均值和方差；（3）能否用（2）的结论估计该地居民的户月均用水量的均值和方差？若能，请说明理由；若不能，请给出一个可以用来估计该地居民的户月均用水量的均值和方差的样本．【正确答案】（1）能，理由见解析（2）均值为11.2，方差为31.15（3）不能，样本中农村户数为32，城镇居民户数为18【分析】（1）根据分层抽样求出从农村以及城镇居民抽取的户数，进而即可根据分层抽样的均值以及方差公式，求出结果；（2）根据分层抽样的均值以及方差公式，即可求出结果；（3）根据分层抽样，重新计算分配农村居民以及城镇居民的户数，即可.【小问1详解】能，理由如下：设农村居民均值为8.3x =，方差为210.86x s =，城镇居民均值为14.1y =，方差为234.62y s =.因为320161809=，则可知样本A 的户数为*25,,120k k N k ∈≤≤，其中农村居民的户数为16k ，城镇居民为9k .所以，样本A 的均值为16910.38825k x k y z k +==，方差()(){}22222116925x y s k s x z k s y z k ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()(){}2211610.868.310.388934.6214.110.38825k k k ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦27.16425627.16=≈.【小问2详解】样本A 的均值为1252511.250x y z +==，样本方差()(){}222221111252550x y s s x z s y z ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()(){}2212510.868.311.22534.6214.111.231.1550⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦.【小问3详解】不能，因为没有按分层抽样抽取样本，样本数据不能客观反映总体.根据分层抽样抽取人数为2550k =，所以2k =，所以，应从农村居民中抽取户数为1632k =，从城镇居民中抽取户数为918k =.。

2023年6月福建省普通高中学业水平合格性考试化学试题（考试时间：70分钟；满分：100分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页。

注意事项：1．答题前，考生将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“游生号、姓名”与考生本人将生号、姓名是否一致。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答。

在试题卷上作答答案无效。

3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。

相对原子质量：H 1C 12N 14O 16第Ⅰ卷（选择题50分）一、选择题：本题共25小题，每小题2分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．我国古代用“卓筒井”钻凿盐井技术获取食盐。

食盐的主要成分是（）A ．3NaHCO B ．23Na CO C ．NaClD ．NaOH2．成语是我国语言的瑰宝。

下列成语蕴含化学变化的是（）A ．蜡炬成灰B ．木已成舟C ．滴水成冰D ．聚沙成塔3．贮存氢氧化钠固体的容器应贴的标识是（）A ．B ．C ．D ．4．使用下列生活设备时，能量主要由化学能转化为热能的是（）A ．空调B ．燃气灶C ．电冰箱D ．洗衣机5．“碳达峰”“碳中和”是全球要努力实现的目标。

下列有利于降碳的措施是（）A ．填埋垃圾B ．燃煤脱硫C ．风能发电D ．砍伐森林6．下列化学用语中，书写正确的是（）A ．烧碱的化学式：KOHB ．硫离子的离子符号：2S-C ．聚乙烯的结构简式：[2CH CH2]=nD ．硫酸钾的电离方程式：2244K SO 2K SO +-+7．月球车可用23894Pu 作为热源材料。

下列关于23894Pu 说法正确的是（）A ．质子数94B ．电子数144C ．中子数238D ．质量数3328．人们常说的“五金”是指金、银、铜、铁、锡。

2024年6月福建省普通高中学业水平合格性考试数学试题（考试时间：90分钟；满分：100分）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

第I卷1至3页，第II卷4至6页。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的考生号、姓名与考生本人考生号、姓名是否一致。

2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

第II卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答。

在试题卷上作答，答案无效。

3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷（选择题57分）一、选择题：本题共19小题，每小题3分，共57分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合A={1，2，3，4}，B={0，1，2}，则A∩B=A．{1，2}B．{0，1}C．{3，4}D．{2，3}2．已知函数f(x)=lgx，则f(10)=A．1B．0C．10D．23．sin(2π+α)=A．cosαB．sinαC．－cosαD．－sinα4．已知函数y=f(x)在[－1，2]上的图像如图，则函数单调递增区间为A．[0，1]B．[－1，0]C．[1，2]D．[－1，2]5．圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积为A．π3B．π4C．πD．π26．某高中开设7门课，3门是田径，某学生从7门中选一门，选到田径的概率为A．13B．17C．47D．377．函数f(x)=√x−1的定义域为A．{x|x≥－1}B．{x|x≥1}C．{x|x≤－1}D．{x|x≤1}8．已知平面α、β，α//β是α与β无公共点的A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．既不充分也不必要条件D．充分必要条件，则cosα为9．已知α是第一象限角，sinα=45A．34B．35C．43D．4510．不等式(x－1)(x－2)<0的解集为A．{x|－2<x<－1}B．{x|1<x<2}C．{x|x≤－1}D．{x|x>2或x<1}11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，B1D1所成角的大小为A．45∘B．30∘C．90∘D．60∘12．已知向量a=(1，2)，b=(m，－1)，若a⊥b，则m的值为A．－12B．－2C．2D．12。

一、单选题：本题共19小题，每小题3分，共57分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知，则的值为( )A. 1B.C.D. 22.已知球体O 的半径为2，则球体O 的表面积为( )A.B.C.D.3.已知全集为U ，，则其图象为2023-2024学年福建省普通高中高二6月学业水平合格性考试数学试题( )A. B.C. D.4.已知，则的最小值为( )A. 1 B. 2C. 3D. 45.已知，则下列不等式正确的是( )A. B.C.D.6.已知，，则的值为( )A. 4B. 8C. 16D. 327.下列图象中，最有可能是的图象是( )A. B.C.D.8.厦门中学生小助团队的几名成员考试成绩分别为73 76 81 83 85 88 91 93 95，则这几人考试成绩的中位数是( )A. 76 B. 81C. 85D. 919.的值为( )A. B.C.D.10.已知，，且，则y 的值为( )A. 3B. C. 4D.11.已知角的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点，则值为( )A.B.C.D.12.“敬骅号”列车一排共有A 、B 、C 、D 、F 五个座位，其中A 和F 座是靠窗位，若小曾同学想要坐靠窗位，则购票时选到A 或F 座的概率为( )A. B.C.D.13.已知，则上的所有点全部向右移动个单位的函数解析式是( )A.B. C.D. 14.如图所示，，，M 为AB 的中点，则为( )A. B. C. D.15.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是( )A. B. C.D.16.“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件17.已知，，则的周期为( )A. B. C. D.18.已知四棱锥底面为正方形，平面ABCD，则( )A. B. C. 平面ABCD D. 平面SBC19.厦门市实行“阶梯水价”，具体收费标准如表所示不超过的部分3元超过不超过的部分6元超过的部分9元若小曾同学用水量为，则应交水费单位：元( )A. 48B. 60C. 72D. 80二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。

2023年普通高中学业水平考试数学模拟试卷带答案解析前言本试卷为2023年普通高中学业水平考试数学模拟试卷，共分为选择题和解答题两部分。

本试卷中，选择题占50分，解答题占50分。

考试时间为120分钟。

选择题1. 下列哪个不等式的解集是$x\in(0,\frac{\pi}{2})$？A. $\sin{x}<0$B. $\sin{x}<\frac{1}{2}$C. $\cos{x}>\frac{\sqrt{3}}{2}$D. $\tan{x}<1$答案：B解析：由于 $\sin{\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{2}$，且 $\sin{x}$ 在$x\in(0,\frac{\pi}{2})$ 内单调递增，因此选项 B 正确。

2. 某公司购进一批产品，销售利润率为 $p%$。

如果售价上涨$n%$，利润率降低 $m%$，则售价应上涨（精确到元）:答案：$\frac{100+p}{100-p}*\frac{100-m}{100+n}*C$解析：设进价为 $C$，售价为 $x$，则 $x=(1+p\%)C$。

涨价后，售价为 $(1+n\%)x=(1+p\%)(1+n\%)C$，利润率为$$\frac{(1+p\%)(1-m\%)}{(1+n\%)(1-p\%)}-1$$根据比例关系，有 $(1+n\%)x=\frac{100+p}{100-p}*(1+m\%)(1-p\%)C$。

因此涨价后的售价为 $\frac{100+p}{100-p}*\frac{100-m}{100+n}*C$解答题1. 已知 $\log_{5}{a}=\log_5{3}+\log_{10}{b}$，$\log_2{a}-\log_2{b}=2$，求 $a+b$ 的值。

解析：将 $\log_5{3}+\log_{10}{b}$ 合并，得$\log_5{a}=\log_5{3b}$，即 $a=3b$。

2023年6月福建省普通高中学业水平合格性考试
生物仿真模拟试卷03·参考答案
一、选择题（本大题有25小题，每小题2分，共50分．每小题只有一个选项符合题意）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D D B C D D B C C C
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
B D B
C B B
D A D C
21 22 23 24 25
B A A D D
二、非选择题（本大题有6小题，共50分）
26．（9分）【答案】(1) 磷脂双分子层基本支架蛋白质细胞膜外侧有糖蛋白(2)具有（一定的）流动性(3)b(4)糖蛋白(5)与有氧呼吸有关的酶胡萝卜素、叶绿素a
27．（8分）【答案】(1) 有氧呼吸①②(2)乳酸细胞质基质(3)氧气酒精(4)线粒体内膜H2O（水）
28．（8分）【答案】(1)①③④⑥⑦生物膜(2) ②④③(3)一定的流动性选择透过
(4)胰岛素②③⑥⑦
29．（10分）【答案】(1)细胞分裂前的间细胞核(2) CAT GUA(3)常隐基因突变(4)Bb 1/8 BB
30．（8分）【答案】(1) 把DNA和蛋白质等分开研究物质的分离和提纯
技术、细菌培养和分离技术(2)脱氧核糖4(3)脱氧核糖和磷酸氢内侧(4)3
31．（7分）【答案】(1) 甲地理体型大小(2)显著降低减轻生殖隔离支持。

2023-2024学年福建省福州市高二年下学期6月联考数学质量检测试题第I 卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知等差数列的前项和为，若，，则 {}n a n n S 39S =981S =12(S =)A ．288B ．144C ．96D ．252．已知数列满足，则“为递增数列”是“”的 {}n a 22()n a n n R λλ=+∈{}n a 0λ…()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．下列导数计算正确的是 ()A ．B ．211()x x'=31(log )3x xln '=C ．D ．()x x xe e '=(cos )1sin x x x+'=+4．在区间，上任取一个实数，则使函数存在两个极值点[5-10]m 32()361f x x mx mx =--+的概率为 ()A ．B ．C ．D ．21515111513155．的展开式中的系数为 61(1)(1)x x+-2x ()A ．B ．5C ．35D ．5-90-6．某公园有如图所示至共6个座位，现有2个男孩2个女孩要坐下休息，要求相同性A F别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列，则不同的坐法总数为 ()A ．24B ．36C ．72D ．817．已知，，()0.6827P X μσμσ-+=……(22)0.9545P X μσμσ-+=……．某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）(33)0.9973P X μσμσ-+=……Y 服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于(600,4)N 596克的个数约为 ()A ．286B ．293C ．252D ．2468．设函数，若，则的最小值为 ()()()f x x a ln x b =++()0f x …22a b +()A ．B ．C ．D ．1181412二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知展开式的二项式系数和为512，*()(23)()n f x x n N =-∈．下列选项正确的是 2012()(1)(1)(1)n n f x a a x a x a x =+-+-+⋯+-()A ．B ．121n a a a ++⋯+=1232318n a a a na +++⋯+=C ．D ．2144a =901||||||3n a a a ++⋯+=10．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分2.1x =20.01s =X 布，，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，，则 （若随机(1.8N 20.1)Y (N x 2)s ()变量服从正态分布，则Z 2(,)N μσ()0.8413)P Z μσ<+≈A ．B ．C ．D ．(2)0.2P X >>(2)0.5P X ><(2)0.5P Y >>(2)0.8P Y ><11．意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现数列1，1，2，3，5，8，13，数列⋯中的每一项称为斐波那契数，记作．已知．则 n F *12121,1,(,2)n n n F F F F F n N n --===+∈>()A ．12134F =B ．246891F F F F F +++=-C ．若斐波那契数除以4所得的余数按照原顺序构成数列，则n F {}n a 1001014a a +=D ．若．则1020F p =12310002F F F F p ++++=- 第II 卷（非选择题92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．曲线在处的切线方程为 ．1(2)x y x e -=+1x =13．的展开式中的系数为 ．（用数字作答）6(2)(2)xx y y+-42x y 14．某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重（单位：克）与脉搏率（单位：心W f 跳次数分钟）的对应数据，，2，，，根据生物学常识和散点图得出与/(i W )(1i f i =⋯8)f 近似满足，为参数）．令，，计算得，，W (k f cW c =k i i x lnW =i i y lnf =8x =5y =．由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为 ；为判断拟合效821214ii y==∑ˆˆ7.4ybx =+k 果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定ˆ(1,2,,8)yi =⋯821ˆ()0.28i i i y y =-≈∑系数 ．（参考公式：决定系数2R ≈221821ˆ()1)()nii i ii yyR yy ==-=--∑∑四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）现有编号为1、2、3、4、5的五个不同的箱子，有编号为1、2、3、4、5的五个不同的玩具骰子，现把五个骰子逐个随机放入五个箱子里．（1）若骰子全部放入箱子中，则有多少种不同的放法？（2）若骰子全部放入箱子中，且恰有一个箱子没放骰子，则有多少种不同的放法？（3）若没有一个箱子空着，但骰子的编号与箱子编号不全相同，有多少种不同的放法？16．（本小题满分15分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家把一批产品发给商家时，商家按规定拾取一定数量的产品做检验，以决定是否验收这批产品：（1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验，求至少有1件是合格产品的概率；（2）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，来进行检验，只有2件产品都合格时才接收这些产品，否则拒收．①求该商家检验出不合格产品件数的均值；②求该商家拒收这些产品的概率．17．（本小题满分15分）第19届亚运会将于2023年9月23日在我国杭州举行，这是继北京亚运会后，我国第二次举办这一亚洲最大的体育盛会．为迎接这一体育盛会，浙江某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好浙江故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了100人，统计他们的竞赛成绩，并将成绩分成4组：，，，，，，，（单位：分），[6070)[7080)[8090)[90100]得到如图的频率分布直方图．（1）试用样本估计总体的思想，估计这次竞赛中参赛大学生成绩的平均数及中位数；（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表）（2）现将竞赛成绩不低于90分的学生称为“亚运达人”，成绩低于90分的学生称为“非亚运达人”．这100名参赛大学生的情况统计如下．亚运达人非亚运达人总计男生153045女生55055判断是否有的把握认为能否获得“亚运达人”称号与性别有关．99.5%附：（其中．22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++)n a b c d =+++20()P K k …0.100.050.0250.0100.0050.0010k 2.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（本小题满分17分）已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．2()3f x alnx x b =+-()y f x =(1f )20x y +=（1）求实数，的值；a b （2）若曲线，求曲线过点的切线方程．3:412a C y xb =-+C (2,4)19．（本小题满分17分）已知双曲线，点在上，为常数，，按照如下方式依22:(0)C x y m m -=>1(5,4)P C k 01k <<次构造点，3，，过斜率为的直线与的左支交于点，令为关于(2n P n =) 1n P -k C 1n Q -n P 1n Q -轴的对称点，记的坐标为，．y n P (n x )n y （1）若，求，；12k =2x 2y （2）证明：数列是公比为的等比数列；{}n n x y -11kk+-（3）设为△的面积，证明：对任意的正整数，．n S 12n n n P P P ++n 1n n S S +=数学试题答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．解：设公差为，则：，解得，d 319133993681S a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩112a d =⎧⎨=⎩．故选：．121126612132144S a d ∴=+=+=B 2．解：当时，，满足为递增数列，故充分性不成立，1λ=-221122(48n a n n n =-=--{}n a 当时，，0λ…2212[2(1)(1)]420n n a a n n n n n λλλ--=+--+-=-+>故为递增数列，必要性成立，故“为递增数列”是“”的必要不充分条件．故选：{}n a {}n a 0λ…．C 3．解：，选项错误；，选项错误；211()x x '=-A 31(log )3x xln '=B ，选项错误；，选项错误．故选：．()(1)x x xe x e '=+C (cos )1sin x x x +'=-D B 4．解：，若函数存在两个极值点，2()366f x x mx m '=--32()361f x x mx mx =--+则有两个不相等的实根，所以△2()3660f x x mx m '=--=，223643(6)36720m m m m =-⨯⨯-=+>解得或，区间，的长度为15，2m <-0m >[5-10]所以由几何概型可得，使函数存在两个极值点的概率为32()361f x x mx mx =--+．故选：．2(5)100131515P ---+-==D 5．解：由展开式的通项为：得：6(1)x -16(1)r r rr T x +=-ð展开式中的系数为，故选：．61(1)(1)x x+-2x 223366(1)(1)5-+-=-ððA 6．解：第一步：排男生，第一个男生在第一行选一个位置有3个位置可选，第二个男生在第二行有2个位置可选，由于两名男生可以互换，故男生的排法有种，32212⨯⨯=第二步：排女生，若男生选，则女生有，，共3种选择，由于女生可以互换，AF BD CD CE 故女生的排法有种，236⨯=根据分步计数原理，共有种．故选：．12672⨯=C7．解：由题意得，，600μ=2σ==所以，(22)(596)(2)0.50.977252P Y P Y P Y μσασμσ-+=-=+=…………所以，所以被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为0.97725300293.175293⨯=≈293．故选：．B 8．解：当时，当时，x a <-0x a +<x a >-0x a +>当时，当时，1x b <-()0ln x b +<1x b >-()0ln x b +>所以要使，必须，即，()0f x …1a b -=-1b a -=所以，当且仅当，时等号成立．故选：．2222()()122a b a b a b -+++=…12a =-12b =C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．解：因为展开式的二项式系数和为，解得，*()(23)()n f x x n N =-∈2512n =9n =所以；令，得，所以（2）999()(23)[2(1)1][12(1)]f x x x x =-=--=-+-11x -=2x =f ，令，得，所以（1），0121n a a a a =+++⋯+=10x -=1x =f 01a ==-所以，选项错误；因为12112n a a a ++⋯+=+=A ，2012()(1)(1)(1)n n f x a a x a x a x =+-+-+⋯+-所以，，112()2(1)...(1)n n f x a a x na x -'=+-++-8()9(23)2f x x '=-⨯时，（2），选项正确；，选项错误；2x =f '892(43)18=⨯⨯-=B 27229(1)2144a C =⋅-⋅=-C 因为99()(23)[12(1)]f x x x =-=-+-229912(1)2(1)...2(1)x x x =-+---++-，2012(1)(1)(1)n n a a x a x a x =+-+-+⋯+-令，得，11x -=-0x =所以，299012(0)122...(2)3(1)n n f a a a a =---++-=-=-++⋯+-所以，选项正确．故选：19901012||||||...(1)(3)3n n n a a a a a a a +++⋯+=-+-++-=--=D ．BD 10．解：依题意，，，，，~(1.8X N 20.1)~(2.1Y N 20.1)对于，，由于，~(1.8X N 20.1)2 1.820.12μσ=+⨯=+则，错；(2)(2)()10.84130.1587P X P X P X μσμσ>=>+<>+=-=A ，对；对于，，由于，(2)( 1.8)0.5P X P X ><>=B ~(2.1Y N 20.1)2 2.10.1μσ=-=-则，对；(2)( 2.1)0.5P Y P Y >>>=C ，错．故选：．(2)()()0.84130.8P Y P Y P Y μσμσ>=>-=<+=>D BC 11．解：对于，斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，，A ⋯，错误；对于，，正确：12144F =A B 2468913821333411F F F F F +++=+++==-=-B 对于，由斐波那契数除以4所得的余数按照原顺序构成数列，C n F {}n a 因为，，，，，，11a =21a =32a =43a =51a =60a =根据数列的性质以及的定义可得，，，，，，{}n F {}n a 71a =81a =92a =103a =111a =．120a =同理可推得，当时，有，，，，，，*k N ∈651k a -=641k a -=632k a -=623k a -=611k a -=60k a =所以是以6为最小正周期的数列，又因为，，{}n a 1006164÷= 1016165÷= ，正确；100101314a a +=+=C 对于，由斐波那契数列性质．D *12121,1,(,2)n n n F F F F F n N n --===+∈>可知，错123100324310210110220()()()1F F F F F F F F F F F F p ++++=-+-++-=-=- D 误．故选：．BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．解：由题意得，且，111(2)(3)x x x y e x e x e ---'=++=+1|4x y ='=时，，所以曲线在处的切线方程为，1x =3y =1(2)x y x e -=+1x =34(1)y x -=-即．故．410x y --=410x y --=13．解：根据的展开式，，1，2，3，4，5，；6(2)x y -616(2)r r r r r T C x y -+=⋅-⋅⋅(0r =6)与2配对时：，系数为；与配对时，，系数为，2r =2262(2)120C ⋅-=x y3r =336(2)160C ⋅-=-故．故．12016040-=-40-14．解：，，经验回归方程为， 8x =5y =ˆˆ7.4y bx =+，，ˆ587.4b∴=+∴ˆ0.3b =-对，为参数）两边同时取对数得，，(k f cW c =k lnf lnc klnW =+令，，， i i x lnW =i i y lnf =ˆ0.3k b∴==-由公式可知，．故；0.98．2882222110.280.280.281110.9821485()8iii i R yy yy ==≈-=-=-=-⨯--∑∑0.3-四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）解：（1）玩具全部放入箱子中有种不同的放法．553125=（2）恰有一个箱子没放玩具有种不同的放法．2445541200C C A ⋅⋅=（3）没有一个箱子空着，相当于5个元素排列在5个位置上，有种，55A 而玩具的编号与箱子编号全相同只有1种，所以没有一个箱子空着，但玩具的编号与箱子编号不全相同，有种投放方法种．551119A -=16．（本小题满分15分）解：（1）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件，A 则；4()1()1020.9984P A P A =-=-⋅=（2）①设商家可能检验出不合格产品数为，则的可能的取值为0，1，2，ξξ，，，21722068(0)95C P C ξ===1131722051(1)190C C P C ξ===232203(2)190C P C ξ===；685133()0129519019010E ξ=⨯+⨯+⨯=②记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件，B 则商家拒收这批产品的概率，所以商家拒收这批产品的概率为．68271()19595P P B =-=-=279517．（本小题满分15分）解：（1）平均数，650.01510750.03010850.03510950.0201081x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=由，，100.15100.300.45⨯+⨯=100.15100.30100.350.80.5⨯+⨯+⨯=>所以中位数位于，，设中位数为，则有，解得，[8090)y 800.50.4590800.80.45y --=--81.43y ≈即平均数，中位数；81x =81.43y ≈（2）零假设：能否获得“亚运达人”称号与性别无关，0H 由表中数据，计算，22100(1550305)1009.0917.8794555208011K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以推断不成立，即有的把握认为能否获得“亚运达人”称号与性别有关．0H 99.5%18．（本小题满分17分）解：（1），，由曲线在点，（1）处的切2()3f x alnx x b =+-()2af x x x'=+()y f x =(1f )线方程为，20x y +=可得，即，又（1），解得，即有，；22a +=-4a =-f 132b =-=-1b =4a =-1b =（2）曲线即，，3:412a C y x b =-+3143y x =+2y x '=设曲线与过点的切线相切于点，(2,4)P 3001(,4)3A x x +则切线的斜率，所以切线方程为，20k x =320001(4)()3y x x x x -+=-即，因为点在切线上，所以，2300243y x x x =⋅-+(2,4)P 230024243x x =-+解得或，故所求的切线方程为或．00x =03x =4y =9140x y --=19．（本小题满分17分）解：（1）在上，，解得，1(5,4)P C 2516m ∴-=9m =过且斜率为的直线方程为，即，(5,4)P 12k =14(5)2y x -=-230x y -+=联立，解得或，故，，229230x y x y ⎧-=⎨-+=⎩54x y =⎧⎨=⎩30x y =⎧⎨=⎩1(3,0)Q -2(3,0)P 过斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，1n P -k C 1n Q -n P 1n Q -y 所以，；23x =20y =（2）证明：，关于轴的对称点是，，(n n P x )n y y 1(n n Q x --)n y ，，，都在同一条斜率为的直线上，；11(n n P x --1)n y -1n P -1n Q -k 1n n x x -≠-则，，都在双曲线上，11n n n n y y k x x ---=--1n P - 1n Q -，两式相减可得，，∴22221199n n n n x y x y --⎧-=⎪⎨-=⎪⎩1111()()()()n n n n n n n n x x x x y y y y -----+=-+而①，②，11()n n n n y y k x x ---=-+11()n n n n x x k y y ---=-+则②①可得，，-1111()()()n n n n n n n n x y x y k x y k x y -------=-+-则，11(1)()(1)()n n n n k x y k x y ----=+-，故数列是公比为的等比数列；∴1111n n n n x y k x y k---+=--{}n n x y -11k k +-（3）证明：要证：，只需先尝试，1n n S S +=123//n n n n P P P P +++即先证，123n n n n P P P P k k +++=记，，则，，而，11k t k +=-01k <<1t >11111()()1n n n n k x y x y t k--+-=-=-229n n x y -=，，∴19n n n x y t -+=∴111(9)2n n n y t t --=-+∴1212121111121212(1)2(1)2111(9)(9)(9)(1)9n n n n n n n n n n n P P n n n n n n n n n n n n x x y t y t t t t t t k y y y y t t t t t t t t t ++++++++-------++++-+----===+=+=------+---+，321131313221121321132(1)2(1)221111(9)(9)(9)(1)99n n n n n n n n n n P P n n n n n n n n n n n n y t y t t t t t t t k y y t t t t t t t t t t t++----++------------++----==+=+=-=---+--+---++，，，．∴123n n n n P P P P k k +++=123//n n n n P P P P +++∴1n n S S +∴=。