专题08旋转中的最值问题

旋转中的最值问题
1.已知，线段AB=6，线段AC=4，将线段AC 绕A 旋转，则线段BC 的最大值为 10 最小值为 2 。

2. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 到原点的最大距离是。

+2
找AC 中点D,O 、B 、D 三点共线时，OB 最长 3.如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=，动点P CP 绕C 顺时针旋转90°得到线段CD ，连DA 、DB 、PB 。

求BD 的最大值最小值。

最大：根号10+
最小：根号10
4.如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，BC=6，AC=12，点D ，
将线段AD 绕点A 旋转，D 点对应点为'D ，连接'BD ，点F CF ，线段CF 的最大值为多少？
5.如图，PA=2，PB=4，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、AB 的
两侧，当∠APB 变化时，求PD 的最大值。

6.如图，在Rt △POQ 中，OP=OQ=4，M 是PQ M 处，以M 别交于点A 、B 。

（1）求证：MA=MB ； （2）连接AB ，探究：在旋转三角尺的过程中，求△AOB。

几何变换之美----一类旋转图形中的动点最值问题一、教材分析：几何中的最值问题变幻无穷,教学中如何引导学生在复杂条件变化中发现解决问题的路径,核心问题是训练学生在题目中寻找不变的已知元素,从这些已知的不变元素,结合“两点间线段最短”、“垂线段最短”等知识源,运用旋转的方式实现问题的转化与解决，体会到数学问题解答中的“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”数学之美。

一、学习目标：1、通过观察操作，利用旋转的基本性质，分析图形找出定点到旋转过程中的动点的最值的计算方法。

2、体会运用旋转的方法把最值问题转化成“两点之间的距离或垂线段最短”等问题的转化思想三、教学重难点在变化的图形中把变量的最值计算转化成找出不变量的进行计算的转化或化归方法的提炼四、教学过程：（一）复习引入：（1）两点之间的距离；（两点之间，线段最短）（2）点到直线的距离；（点到直线的所有连线中，垂线段最短）（3）旋转的性质：①旋转不改变__形状和大小；②经过旋转图形上的 _所有点都绕中心沿相同方向转动了相同的角；③任意一对对应点与旋转中心的连线 _长度相等__；（二）应用一、通过观察旋转图形中的动点运动轨迹，找出到定点的最值距离例1、如图，若AB=5，BC=6，∠C=45°，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的任意一点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，则线段EP1长度的最小值为，EP1最大值为。

CC1解题分析：（如图）（1）先在AC 上找出动点P 所在位置，即当BP ⊥AC 时，P 点到B 点距离最小; (2）P 点的运动路线是在以B 点为圆心,BP 为半径的⊙B 的圆周上运动； (3）通过观察可以发现当P 点运动AB 上，与AB 交于P 1时，EP 1的长度最小； 当P 点运动到AB 的延长线上交于P 2时，EP 的长度值最大。

解题策略：（1）观察发现，应用“垂线段最短”找出P 点位置 （2）分析总结运动变化过程中的不变元素及内在联系， （3）画图转化，根据点P 的运动轨迹找出P 到E 的最值.变式练习1：如图，在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90º，BC＝6，AC ＝12，D 为AC 上一点，AD ＝8，将AD 绕点A 旋转到AD ’,连接BD ’，F 为BD ’的中点，则CF 长度的最大值为 。

第二章数列与不等式专题08 数列中的最值问题【压轴综述】纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n项和与第n项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合．探求数列中的最值问题，是数列不等式的综合应用问题的命题形式之一.本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.1.常见思路一：构建函数模型，利用函数的图象和性质解决最值问题；2.常见思路二：构建函数模型，应用导数研究函数的最值；3.常见思路三：构建不等式求解，确定范围，实现求最值；4.常见思路四：应用基本不等式，确定最值．【压轴典例】例1.（河南省开封市2019届高三第三次模拟（理)）已知等比数列满足：，，则取最小值时，数列的通项公式为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设等比数列的公比为当时，，则当时，，两式相减得：即解得又当且仅当时，等号成立.取最小值1时，故选A.例2.（安徽省黄山市2019届高三第二次检测）已知数列和的前项和分别为和，且，，，若对任意的 ，恒成立，则的最小值为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 因为，所以，相减得，因为，所以，又，所以, 因为，所以,因此，,从而,即的最小值为，选B.例3.（2016高考上海文）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________.【答案】max 4k =【解析】当1n =时，12a =或13a =；当2n …时，若2n S =，则12n S -=，于是0n a =，若3n S =，则13n S -=，于是0n a =.从而存在N k *∈，当n k …时，0k a =.其中数列{}n a ：2,1,1,0,0,0,-⋅⋅⋅满足条件，所以max 4k =. 例4.（广西柳州市2019届高三1月模拟）已知点在函数的图象上（）.数列的前项和为，设，数列的前项和为.则的最小值为____【答案】【解析】点在函数图象上，,是首项为，公比的等比数列，，则，是首项为，公差为2的等差数列，当，即时，最小，即最小值为.例5.（广东省华南师范大学附属中学、广东实验中学、广雅中学、深圳中学2019届高三上期末）等差数列的前n 项和为，，，对一切恒成立，则的取值范围为__ __.【答案】【解析】，，所以，，，，由得，由函数的单调性及知，当或时，最小值为30，故.例6.（2018·江苏高考真题）已知集合*{|21,}A x x n n N ==-∈，*{|2,}nB x x n N ==∈．将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为________． 【答案】27【解析】设=2kn a ，则12[(211)+(221)+(221)][222]k k n S -=⨯-⨯-+⋅-++++()11221212212(12)222212k k kk k ---++⨯--=+=+--由112n n S a +>得2211211522212(21),(2)20(2)140,22,6k k k k k k k -+---+->+-->≥≥所以只需研究5622n a <<是否有满足条件的解，此时25[(211)+(221)+(21)][222]n S m =⨯-⨯-+-++++25122m +=+-，+121n a m =+，m 为等差数列项数，且16m >. 由25122212(21),2450022,527m m m m m n m ++->+-+>∴≥=+≥，得满足条件的n 最小值为27.例7.（2019·天津高考模拟（文））已知数列{}n a 是正项等比数列，1342310,2a a a a a +=-=,数列{}n b 满足条件123(2)n b n a a a a =.(Ⅰ) 求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； (Ⅱ) 设11n n nc a b =-,记数列{}n c 的前n 项和n S . ①求n S ；②求正整数k ，使得对任意n *∈N ，均有k n S S ≥.【答案】（1）2nn a =，()1;n b n n =+（2）①11;12nn S n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭②4k =.【解析】（1）设数列{}n a 是正项等比数列的公比为0q >，因为1310a a +=，4232a a a -=所以有1113211110222a a q a a q a q a qq +==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，所以2;nn a = (1232nb n a a aa =2312322222n n b b n n +++⋅⋅⋅+⇒⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⇒=(1)2222(1);n b n n n b n n +⇒=⇒=+（2）①因为 11n n nc a b =-， 所以，123n n S c c c c =+++⋅⋅⋅+，123123()()n n n S a a a a b b b b ⇒=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+，11[1()]111122[],1122334(1)12n n S n n -⇒=-+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯+-111111111()(1),2223341n n S n n ⇒=---+-+-+⋅⋅⋅+-+11111()1().2112n n n S n n ⇒=--+=-++②令11111111(1)(2)2()()22122(1)(2)n n n n n n n n S S n n n n ++++++--=--+=++⋅++， 由于12n +比(1)(2)n n ++变化的快，所以10n n S S +->，得4n <， 即1234,,,S S S S ,递增而456,,,,n S S S S ⋅⋅⋅递减，4S ∴是最大， 即当4k =时，对任意*n N ∈，均有k n S S ≥.例8.（2019·江苏高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M－数列”； （2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }θ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．【答案】（1）见解析；（2）①b n =n ()*n ∈N ；②5.【解析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n N ∈.②由①知，b k =k ，*k N ∈.因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=． 令()0f 'x =，得x =e .列表如下：因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤， 经检验知1k qk -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．【压轴训练】1．（2019·安徽高考模拟（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且8109S S S <<，则满足0n S >的正整数n 的最大值为（ ） A ．16 B ．17C ．18D ．19【答案】C 【解析】由8109S S S <<得，90a >，100a <，9100a a +>，所以公差大于零.又()117179171702a a S a +==>，()1191910191902a a S a +==<，()()1181891018902a a S a a +==+>，故选C.2．（2019·北京师大附中高考模拟（文））已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m 、a n ，使得a m a n =16a 12，则1m +9n的最小值为（ ） A ．32B ．83C ．114D ．不存在【答案】C 【解析】设正项等比数列{a n }的公比为q ，且q ＞0，由a 7=a 6+2a 5得：a 6q=a 6+62a q， 化简得，q 2-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去），因为a m a n =16a 12，所以()()1111m n a qa q --=16a 12，则qm+n-2=16，解得m+n=6，所以191191918(m n)10106663n m m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝… . 当且仅当9n m m n =时取等号，此时96n m m n m n ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得3292m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 因为mn 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1983m n +>， 验证可得，当m=2、n=4时，19m n+取最小值为114，故选：C ．3.（2019·北京高三期末（理））已知为等差数列，为其前项和.若，，则公差___；的最大值等于___. 【答案】 12【解析】由a 2＝4，a 3+a 5＝0得得，则S n ＝6n（﹣2）＝﹣n 2+7n ＝﹣（n ）2，则当n ＝3或4时，S n 取得最大值，最大值为S 3＝﹣9+21＝12， 故答案为：﹣2，124.（2019·山东枣庄八中高三月考（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a +=，则使不等式2221286n a a a +++＜成立的n 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】根据题意，数列{}n a 满足12n n S a +=， 当1n =时，1121a a =+，得11a =，当2n ≥时，()112n n n n n a a S S a ---=-=，即12n n a a -=，所以12nn a a -= 又∵11a =满足上式，即{}n a 是以2为公比，1为首项的等比数列则12n n a -=， 则214n n a -=，则数列{}2na 是以1为首项，4为公比的等比数列，则()()22212114141143n nn S a a a -=+++==--，若2221286n a a a +++<，则有()141863n-<， 变形可得：4259n <，又由*n N ∈，则4n ≤，即n 的最大值为4； 故选：B ．5.（2019·江苏高考模拟）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9362S S S =+，则631S S +取得最小值时，9S 的值为_______．【解析】由9362S S S =+，得：q≠1，所以936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---=+---，化简得：936112(1)q q q -=-+-，即963220q q q --+=，即63(1)(2)0q q --=，得32q =，化简得631S S +＝6131(1)11(1)a q qq a q --+--＝11311a q q a -+≥-， 当11311a q q a -=-，即1a =时，631S S +取得最小值，所以919(1)1a q S q -==-9(1)1q q --＝3故答案为：6.（2019·广东高考模拟）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4=10，S 8=36，当n∈N *时，nn 3a S +的最大值为______． 【答案】71 【解析】由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4810,36S S ==，设首项为1a ，公差为d ，则11434102878362a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩，解得11a d ==，所以，所以(1)2n n n S +=， 则2322(3)(4)1271272nn a n n n n S n n n n+===++++++，当12n n +取最小值时，3n n a S +取最大值，结合函数()12(0)f x x x x =+>的单调性，可得当3n =或4n =时，317n n max a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭． 故答案为：71． 7.（2019·天津高考模拟（文））已知首项与公比相等的等比数列{}n a 中，若m ，n *∈N ，满足224m n a a a =，则21m n+的最小值为__________． 【答案】1 【解析】设等比数列{}n a 公比为q ，则首项1a q =由224m n a a a =得：()()22113111m n a q a q a q --⋅=则：28m nqq += 28m n ∴+=()2112114142224888n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅++=⋅+++=⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴*,m n N ∈ 40,0n mm n∴>>则44n m m n +≥=（当且仅当4n m m n =，即2n m =时取等号） ()min 2114418m n ⎛⎫∴+=⨯+= ⎪⎝⎭ 本题正确结果：18.（2019·江苏金陵中学高考模拟）设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14760a a a ++=，25851a a a ++=，若对任意n N *∈，都有n S ≤k S 成立，则正整数k 的值为_______．【答案】10 【解析】因为数列{}n a 为等差数列，设公差为d ，14760a a a ++=，25851a a a ++=，两式相减， 得：3d ＝－9，所以，d ＝－3， 由等差中项得14743=60a a a a ++=，即14=320a a d +=，解得：1a ＝29，所以，(1)29(3)2n n n S n -=+⨯-＝236122n n -+　，当n ＝616时，n S 取得最大值，但n 是正整数，所以，当n ＝10时，n S 取得最大值， 对任意n N *∈，都有n S ≤k S 成立，显然k ＝10. 故答案为：109.（2019·江苏扬州中学高考模拟）数列{}n a 是等差数列，11a =,公差[]1,2d ∈,且4101615a a a λ++=，则实数λ的最大值为______. 【答案】12- 【解析】41016111153(9)1515a a a a d a d a d λλ++=∴+++++=,15()219f d dλ==-+，因为[]1,2d ∈，所以令19,[10,19]t d t =+∈，因此15()2f t t λ==-，当[10,19]t ∈，函数()f t λ=是减函数，故当10t =时，实数λ有最大值，最大值为1(10)2f =-.10.（2019·福建高考模拟（理））在数列{}n a 中，1253a a +=，()()11280n n n a na n N *+--+=∈，若()12n n n n b a a a n N *++=⋅⋅∈，则{}n b 的前n 项和取得最大值时n 的值为__________．【答案】10 【解析】解法一：因为()11280n n n a na +--+=① 所以()211280n n na n a ++-++=②，①-②，得122n n n na na na ++=+即122n n n a a a ++=+，所以数列{}n a 为等差数列． 在①中，取1n =，得1280a -+=即128a =，又1253a a +=，则225a =， 所以313n a n =-．因此12100a a a >>>>，1112130a a a >>>>所以1280b b b >>>>，99101180b a a a =⋅⋅=-<，10101112100b a a a =⋅⋅=>，1112130b b b >>>>所以12389T T T T T <<， 9101112T T T T >>又1089108T T b b T =++>，所以10n =时，n T 取得最大值． 解法二：由()11280n n n a na +--+=，得()12811n n a a n n n n +-=---， 令1n n a c n +=，则11111282811n n c c n n n n -⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则11281n c c n ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 即1211281281n c c a n n ⎛⎫⎛⎫=+-=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 代入得()()1222812828n n a nc na n n a +==+-=+-，取1n =，得1280a -+=，解得128a =，又1253a a +=，则225a =，故1283n a n +=-所以313n a n =-，于是()()()12313283253n n n n b a a a n n n ++=⋅⋅=---． 由0n b ≥，得()()()3132832530n n n ---≥，解得8n ≤或10n =， 又因为98b =-，1010b =， 所以10n =时，n T 取得最大值．11.（2019·全国高考真题（文））记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5． （1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 【答案】（1）210n a n =-+； （2）110()n n N *≤≤∈. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据题意有111989(4)224a d a d a d ⨯⎧+=-+⎪⎨⎪+=⎩， 解答182a d =⎧⎨=-⎩，所以8(1)(2)210n a n n =+-⨯-=-+，所以等差数列{}n a 的通项公式为210n a n =-+； （2）由条件95S a =-，得559a a =-，即50a =，因为10a >，所以0d <，并且有5140a a d =+=，所以有14a d =-， 由n n S a ≥得11(1)(1)2n n na d a n d -+≥+-，整理得2(9)(210)n n d n d -≥-， 因为0d <，所以有29210n n n -≤-，即211100n n -+≤， 解得110n ≤≤，所以n 的取值范围是：110()n n N *≤≤∈12.（2017·上海高考真题）根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），其中，，第个月底的共享单车的保有量是前个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量； （2）已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 【答案】（1）935；（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）计算和的前项和的差即可得出答案； （2）令得出，再计算第个月底的保有量和容纳量即可得出结论.试题分析： （1）（2），即第42个月底，保有量达到最大，∴此时保有量超过了容纳量.13．（2018·河南高三期中（文））已知非零数列{}n a 满足*13()n n a a n +=∈N ，且1a ，2a 的等差中项为6．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若32log n n b a =，求12233411111n n b b b b b b b b +++++…取值范围． 【答案】(1) 3nn a = (2) 11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】（1）由()*13n n a a n N +=∈，得{}na 为等比数列且公比3q =.设首项为1a ，12,a a 的等差中项为6，即1212a a q +=，解得13a =，故3nn a =.(2)由32log 2na nb n ==得到：()11111122141n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭， ∴1223341111111111111114223141n n b b b b b b b b n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-=- ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 因为11141n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭可以看成关于n 的单调递增函数，所以n=1时，最小为18，且1111414n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭， ∴1223341111111,84n n b b b b b b b b +⎡⎫++++∈⎪⎢⎣⎭. 14.（2019·湖南高考模拟（文））已知数列{}n a 的首项13a =，37a =，且对任意的n *∈N ，都有1220n n n a a a ++-+=，数列{}n b 满足12n nb a -=，n *∈N .（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求使122018n b b b +++>成立的最小正整数n 的值.【答案】（Ⅰ）21n a n =+，21nn b =+;（Ⅱ）10【解析】（Ⅰ）令1n =得，12320a a a -+=，解得25a =. 又由1220n n n a a a ++-+=知211n n n n a a a a +++-=- 212a a ==-=，故数列{}n a 是首项13a =，公差2d =的等差数列，于是21n a n =+，1221n nn b a -==+. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，21nn b =+.于是11n n T b b b =+++ ()122222n =++++ ()12122212n n n n +-=+=+--.令()122n f n n +=+-，易知()f n 是关于n 的单调递增函数，又()1092921031f =+-=，()111021022056f =+-=，故使112018n b b b +++>成立的最小正整数n 的值是10.15.（2019·山东日照一中高三期中（理））已知数列{a n }中，1123123n a a a a na =+++⋯+=，（n∈N *）（Ⅰ）证明当n≥2时，数列{na n }是等比数列，并求数列{a n }的通项a n ； （Ⅱ）求数列{n 2a n }的前n 项和T n ； （Ⅲ）对任意n∈N *，使得恒成立，求实数λ的最小值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） (Ⅲ)【解析】（Ⅰ）[证明]：由a 1+2a 2+3a 3+…+na n =，得a 1+2a 2+3a 3+…+（n ﹣1）a n ﹣1=（n≥2），①﹣②：，即（n≥2），∴当n≥2时，数列{na n }是等比数列，又a 1=1，a 1+2a 2+3a 3+…+na n =，得a 2=1，则2a 2=2，∴，∴（n≥2），∴；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，∴T n =1+2×2×30+2×3×31+2×4×32+…+2n×3n ﹣2，则，两式作差得：，得：；（Ⅲ）解：由≤（n+6）λ，得≤（n+6）λ，即对任意n∈N *恒成立．当n=2或n=3时n+有最小值为5，有最大值为，故有λ≥，∴实数λ的最小值为．16.（2019·山东高考模拟（文））已知数列的各项均为正数，，且对任意，为和1的等比中项，数列满足.（1）求证：数列为等比数列，并求通项公式；（2）若，的前项和为，求使不小于360的的最小值. 【答案】（1）证明见解析，；（2）18.【解析】（1）由题意得：，即数列成等比数列，首项为，公比为，又为正项数列（2）由（1）得：，即或（舍去）所以不小于的的最小值为。

相对运动思想解多动点最值问题相对运动思想：把原来的动点看做参，这样动变成了静，静变成了动。

注意相对运动的轨迹。

使用条件是：1.运动的点多余静态的点（注意这里说的不是所有点是和问题有关的点）2.动点是多个，但必须是严格联动，也就是动点围成的图形不会放缩，不会变形，所以题目往往是以一个图形的整体运动作为条件。

典型问题【例1】（2012•济南13题）如图，90MON∠=︒，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中2AB=，1BC=，运动过程中，点D到点O的最大距离为()A1B C D．5 2分析：显然点D的轨迹比较复杂，直接去求OD的最值不容易，能从其他方面入手吗？下面给出3种方法：方法1：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 解：如图，取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，OD OE DE +，∴当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，此时，2AB =，1BC =，112OE AE AB ∴===，DE ==，OD ∴1．故选：A ． 法2：（初三解法）我们还应深入思考点E 的轨迹，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，AB 为定长＝2，则OE ＝1，O 为定点，则E 点的轨迹在图中为四分之一圆弧，则问题转化为圆外有一点D ，已知其到圆上一点E 的距离确定，圆的半径也已确定，要求点D 与圆心O 距离的最大值．显然当O 、E 、D 三点共线时，OD 取到最大．法3：（运动相对性，定边对定角——隐圆）本题中，我们深入挖掘题目的本质，不难发现，AB 为定值2，而△OAB 中，AB 的对角∠O 始终为定值90°，根据上一讲“定弦定角必有圆”，可以构造△OAB 的外接圆⊙E ，E 为AB 中点，我们把AB 固定，则点D 固定，此时点O 就变为动点，问题转化为求⊙E 上一动点O 到圆外一定点D 距离的最大值．显然当动点与圆心，及圆外定点在同一直线上时，距离最大【变式1】（2009•潍坊）已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A 、B 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连接OC ，则OC 的长的最大值是 ．【解答】解：取AB 中点D ，连OD ，DC ，有OC OD DC +，当O 、D 、C 共线时，OC 有最大值，最大值是OD CD +．ABC ∆为等边三角形，AB BC AC a ∴===，根据三角形的性质可知：12OD a =，2CD a =．OC ∴．【点评】直角三角形斜边中点到三顶点距离相等，即等于斜边的一半．【例2】如图，正方形ABCD 的边长为3，E 、F 是对角线BD 上的两个动点，且EF =，连接AE 、AF ，则AE AF +的最小值为( )A ．B ．C ．92D ．225解：如图作//AH BD ，使得AH EF =，连接CH 交BD 于F ，则AE AF +的值最小．AH EF =，//AH EF ， ∴四边形EFHA 是平行四边形，EA FH ∴=， FA FC =，AE AF FH CF CH ∴+=+=， 四边形ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥，//AH DB ，AC AH ∴⊥，90CAH ∴∠=︒，在Rt CAH ∆中，CH ==AE AF ∴+的最小值， 故选：A ．【变式1】2019年成都中考24题如图，在边长为1的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒. 将△ABD 沿射线BD 的方向平移得到△A'B'D' ，分别连接A'C ，B 'C ，则A'C + B'C 的最小值为【例23（2018天津第3问）在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点(0,0)O ，点(5,0)A ，点(0,3)B ．以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ．记K 为矩形AOBC 对角线的交点，S 为KDE ∆的面积，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．【解答】方法1：如图③中，当点D 在线段BK 上时，D E K ∆的面积最小，最小值113(522DE DK ==⨯⨯-=当点D 在BA 的延长线上时，△D E K ''的面积最大，最大面积113(522D E KD =⨯''⨯'=⨯⨯+=．303S +．旋转出隐圆如右图，以A 为圆心，AO 为半径作圆，过点K 作直径D 1D 2，当点D 与点D 1 重合时，S △KDE当点D 与点D 2 重合时，S △ KDE， 故S 303S +.反思：旋转的本质是图形上的每一个点绕旋转中心在同心圆上作同步运动，故而旋转出隐圆.本题的难点是最后一问，这里首先作出点D 所在的轨迹圆⊙A ，而DE 始终为⊙A 的切线且DE ＝3，要使△KDE 的面积取最值，只要使DE 边上的高取最值即可；如上图所示，过⊙A 上的任意点D 作切线DE ，作KG ⊥DE 于点G ，交⊙A 于点R ，再过点K 作直径D 1D 2，则KG ≥KR ≥KD 1，当且仅当点D 与D 1重合时，KG 取最小值，此时△KDE 的面积最小；另外，KG ≤KD ≤KD 2，当且仅当点D 与D 2重合时，KG 取最大值，此时△KDE 的面积最大方法2：相对运动最后一问：正常动是四个动点有点唬人，其实相关的动点就俩，E 和D ，E ，D 都是绕A 圆周运动，所以要看相关点，静态点相关的就是K下面是相对运动：让K 运动，K 绕点A 圆周运动。

初中数学旋转最值解题技巧
一、旋转最值解题技巧概述在初中数学中，旋转最值是一个比较常
见的问题。

它涉及到了几何图形的变换和求解极值等知识点。

对于这
类问题，我们需要掌握一些解题技巧。

二、旋转最值解题技巧详细介
绍1. 理清思路：首先要理清思路，明确所求的是什么，并且确定使用
哪种方法来求解。

2. 画图分析：通过画图可以更加直观地看出几何图
形的特征和性质，从而有助于我们找到规律和推导结论。

3. 利用对称
性质：利用几何图形的对称性质进行计算可以简化运算过程并提高效率。

4. 使用三角函数公式：在某些情况下，可以使用三角函数公式来
计算旋转后坐标点的位置以及距离等相关参数。

5. 求导法求极值：如
果需要求取某个量在旋转后取得最大或者最小值时，可以采用求导法
来进行计算。

具体步骤为将原方程表示成关于一个变量（如x）的函数，在该区间内寻找其单调递增或递减区间，并判断端点处是否存在极值
即可。

6. 规范化处理数据：有时候为了便于计算和比较大小等操作，
需要将数据规范化处理成相同单位或者相同数量级之后再进行运算。

7. 注意精度误差：由于浮点数精度限制等因素可能会引起误差累积，在
实际应用中要注意避免这种情况发生，并尽可能保证结果正确性与稳
定性。

三、总结以上就是初中数学旋转最值解题技巧的详细介绍。

通
过掌握这些技能，在实际应用中能够更加熟练地处理各种复杂问题，
并获得更好的成果。

旋转中的最值问题班级姓名座号【例1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，D为BC边上一个动点（不包含点B和点C），连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，点D的对应点为点E，连接CE，若AC＝4，在点D移动的过程中，则CE的最小值为．【变式训练】1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝7，点D是BC边上一动点，以AD为一边等边△ADE，则线段CE长度的最小值是．2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝34，BC的中点为D，将△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，连接DG．在旋转过程中，求DG的最大值和最小值．【例2】思考：（1）如图①，若点D为等边三角形△ABC的边AC上一点，以BD为边作等边△BDE（在BD下方），连接CE．若CD＝1，CE＝3，则AC＝．（2）如图②，点D为等边△ABC的AC边上一动点，以BD为边作等边△BDE（在BD 下方），点M是BC的中点，连接ME．若BC＝5，则ME长的最小值是．问题解决：（3）如图③，等边△ABC中，BC＝5，点D是BC边上的高AM所在直线上的点，以BD 为边作等边△BDE（在BD下方），连接ME，则ME的长是否存在最小值？不存在请说明理由；若存在，说明理由并求出这个最小值．【变式训练】1、如图1，△ABC，△EDC是两个等腰直角三角形，其中∠ABC＝∠EDC＝90°，AB＝5，DE＝3，连接AE，取AE中点F，连接BF，DF．（1）如图1，当B，C，D三个点共线时，请直接写出BF与DF的数量关系与位置关系；（2）如图2，将△EDC绕点C逆时针旋转，取AC与EC的中点G，H，当点G，H，F 三点不共线时，连接GF，HF，BG，DH，求证：△BGF≌△FHD；（3）在（2）的条件下，连接BD，在△EDC绕点C旋转的过程中，求△BFD面积的最小值，并说明理由．2、如图，△ABC为等边三角形，AB＝12，将边AB绕点A顺时针旋转θ，得到线段AD，连接CD，CD与AB交于点G，∠BAD的平分线交CD于点E，F为CD上一点，且DF＝2CF．（1）当∠EAB＝30°时，求∠AEC的度数；（2）M为边AC上一点，当CM＝4时，求线段BM的长；（3）在（2）的条件下，边AB绕点A旋转过程中，求线段BF长度的最小值．。

九年级数学——旋转中的最值问题
1、如图，已知PA=2，PB=4，以AB为边作正方形ABCD，连PD，
且P、D在直线AB的两侧，当∠APB变化时，求PD的最大值。

2、如图△ABC中，AB=5，AC=3，以BC为边作等腰Rt△BCD，且∠BDC=90°，当BC的长度发生变化时，求出线段AD的取值范围。

3、在△PAB
中，，PB=1，以AB为边作正方形ABCD，
则PD的最小值是，PC的最大值是。

4、如图，点M是正方形ABCD对角线上的一点，当AM+BM+CM 的最小值为时，求正方形的边长。

5、Rt△ACB中，∠ACB=90°，，BC=4，P在△ACB的内部，且∠APC=120°，求的最小值。

6、如图，已知线段AB=4，C为AB的中点，CM=1，CM在
平面内绕C点逆时针旋转角（），以BM为边作
等腰直角三角形，使得PM=BM，∠PMB=90°，求AP的最
小值。

A B。

专题08 动点类题目旋转问题探究题型一：旋转问题中三点共线问题例1．（2019•绍兴）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD=30，DM=10.（1）在旋转过程中，①当A、D、M三点在同一直线上时，求AM的长.②当A、D、M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长.（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连接D1D2，如图2，此时∠AD2C=135°，CD2=60，求BD2的长.题型二：旋转与全等及直角三角形存在性问题例2．（2019•金华）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=点D，E分别在边AB，BC 上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF.（1）如图1，若AD=BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O,求证：BD=2DO.（2）已知点G为AF的中点.①如图2，若AD=BD，CE=2，求DG的长.②若AD=6BD,是否存在点E,使得△DEG是直角三角形？若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由.图1 图2 图3题型三：旋转问题中线段比值是否变化问题例3．（2019•德州）（1）如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD=60°，请直接写出HD:GC:EB的值；（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD:GC:EB；（3）把图2的菱形都换成矩形，如图3，且AD:AB=AH:AE=1:2，此时HD:GC:EB的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果；若无变化，说明理由.图1 图2 图3例4．（2019•台州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是BA延长线上的一点，连接PC 交AD于点F，AP=FD.（1）求AFAP的值；（2）如图1，连接EC，在线段EC上取一点M，使EM=EB，连接MF，求证：MF=PF；（3）如图2，过点E作EN⊥CD于点N，在线段EN上取一点Q，使AQ=AP，连接BQ、BN，将△AQB绕点A旋转，使点Q旋转后的对应点Q’落在边AD上. 请判断旋转后B的对应点B’是否落在线段BN上，请说明理由.例5．（2019•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝﹣x+b的图象与函数y＝kx（x＜0）的图象相交于点A（﹣1，6），并与x轴交于点C．点D是线段AC上一点，△ODC与△OAC的面积比为2：3．（1）k＝，b＝；（2）求点D的坐标；（3）若将△ODC绕点O逆时针旋转，得到△OD'C'，其中点D'落在x轴负半轴上，判断点C'是否落在函数y＝kx（x＜0）的图象上，并说明理由．例6．（2019•自贡）（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.∠线段DB和DG之间的数量关系是；∠写出线段BE，BF和DB之间的数量关系.（2）当四边形ABCD为菱形，∠ADC=60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.∠如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；∠如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE=1，AB=2，直接写出线段GM的长度.图1 图2 图3例7．（2019•潍坊）如图1，菱形ABCD的顶点A、D在直线上，∠BAD=60°，以点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转α（0°<α<30°），得到菱形AB’C’D’. B’C’交对角线AC于点M，C’D’交直线l于点N，连接MN.（1）当MN∥B’D’时，求α的大小.（2）如图2，对角线B’D’交AC于点H，交直线l于点G，延长C’B’交AB于点E，连接EH. 当△HEB’的周长为2时，求菱形ABCD的周长.专题08 动点类题目旋转问题探究（解析）题型一：旋转问题中三点共线问题例1．（2019•绍兴）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC 在地面上，支架ABC 是底边为BC 的等腰直角三角形，摆动臂AD 可绕点A 旋转，摆动臂DM 可绕点D 旋转，AD =30，DM =10.（1）在旋转过程中，①当A 、D 、M 三点在同一直线上时，求AM 的长.②当A 、D 、M 三点为同一直角三角形的顶点时，求AM 的长.（2）若摆动臂AD 顺时针旋转90°，点D 的位置由△ABC 外的点D 1转到其内的点D 2处，连接D 1D 2，如图2，此时∠AD 2C =135°，CD 2=60，求BD 2的长.【分析】（1）①根据点D 及M 的运动轨迹为圆，根据位置关系判断出点A 、D 、M 三点在同一直线上时有两种情况，点D 在A 与M 之间或点M 在A 与D 之间；②由题意知D 、M 均可能为直角顶点，分类讨论求解；（2）由题意知△AD 1D 2是等腰直角三角形，连接CD 1，△ABD 2≌△ACD 1，由∠D 1D 2C =90°，利用勾股定理求得CD 1的值，即为BD 2的值.【答案】见解析.【解析】解：（1）①点D 在A 与M 之间时，AM =AD +DM =30+10=40.点M 在A 与D 之间时，AM =AD －DM =30－10=20.②当∠ADM =90°时，由勾股定理得AM= 当∠AMD =90°时，由勾股定理得AM=（2）∵摆动臂AD 顺时针旋转90°，点D 的位置由△ABC 外的点D 1转到其内的点D 2处，DD M∴AD 1=AD 2，∠D 1AD 2=90°，∴∠AD 1D 2=∠AD 2D 1=45°，D 1D 2=∵∠AD 2C =135°，∴∠D 1D 2C =90°，连接D 1C ，如下图所示，∵∠BAD 2+∠D 2AC =∠CAD 1+∠D 2AC =90°，∴∠BAD 2=∠CAD 1∵AB =AC ，AD 2=AD 1，∴△ABD 2≌△ACD 1∴BD 2= CD 1在Rt △D 1D 2C 中，由勾股定理得：D 1C =.题型二：旋转与全等及直角三角形存在性问题例2．（2019•金华）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =点D ，E 分别在边AB ，BC 上，将线段ED 绕点E 按逆时针方向旋转90°得到EF .（1）如图1，若AD=BD ，点E 与点C 重合，AF 与DC 相交于点O ,求证：BD=2DO .（2）已知点G 为AF 的中点.①如图2，若AD=BD ，CE =2，求DG 的长.②若AD =6BD ,是否存在点E ,使得△DEG 是直角三角形？若存在，求CE 的长；若不存在，试说明理由.图1 图2 图3【分析】（1）由旋转性质及题意证明△ADO ≌△FCO ，得到结论；（2）①过点D ,F 作DN ⊥BC , FM ⊥BC ，得到△DNE ≌△EMF ，再由DG 是△ABF 的中位线，得到结果；②分当∠DEG =90°及∠EDG =90°讨论，作出图形，构造全等三角形、相似三角形求解.【答案】见解析.【解析】解：（1）由旋转性质得：CD =CF ，∠DCF =90°，∵△ABC 是等腰直角三角形，AD =BD .即∠ADO =90°，CD =BD =AD ,∴∠DCF =∠ADC .在△ADO 和△FCO 中，∴△ADO ≌△FCO ，∴DO =CO ，∴BD =CD =2OD .（2）①如下图所示,过点D ,F 作DN ⊥BC 于点N ,FM ⊥BC 于点M ,连结BF .∴∠DNE =∠EMF =90°.又∵∠NDE =∠MEF ,DE =EF ,∴△DNE ≌△EMF ,∴DN =EM .∵BD=,∠ABC =45°,ADO FCO AOD FOC AD FC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，∠∠，，∴DN =EM =7,∴BM=BC －ME －EC=5,∴MF=NE= NC －EC=5.∴BF =∵点D ,G 分别是AB,AF 的中点,∴DG =12BF =2.②过点D 作DH ⊥BC 于点H .∵AD =6BD ，AB =BD=.当∠DEG =90°时，有如下图两种情况，设CE=t .∵∠DEF=90°，∠DEG=90°，∴点A 、F 、E 在一条直线上.∴BH=DH =2, BE =14－t ，HE=BE －BH=12－t.由△DHE ∽△ECA ， 得：EC AC DH EH =，即t14212t =-，解得t =6±即CE 的长为6+或6-.当DG ∥BC 时，如下图所示，过点F作FK⊥BC于点K,延长DG交AC于点N，延长AC并截取MN=NA.连结FM.则NC=DH=2,MC=10.设GN=t,则FM=2t,BK=14－2t.∵△DHE≌△EKF，∴KE=DH=2,KF=HE=14－2t,∵MC=FK,∴14－2t=10,得t=2.∵GN=EC=2, GN∥EC，∴四边形GECN是平行四边形. ∠ACB=90°，∴四边形GECN是矩形，∠EGN=90°.∴当EC=2时，有∠DGE=90°.当∠EDG=90°时，如下图所示，过点G，F分别作AC的垂线，交射线AC于点N,M，过点E作EK⊥FM于点K，过点D作GN的垂线，交NG的延长线于点P. 则PN=HC=BC-HB=12,设GN=t，则FM=2t，∴PG=PN-GN=12-t.由△DHE≌△EKF可得：FK=2，∴CE=KM=2t-2，∴HE=HC-CE=12-(2t-2)=14-2t，∴EK=HE=14-2t,AM=AC+CM=AC+EK=14+14-2t=28-2t，∴MN =12AM =14-t ，NC =MN -CM =t ， ∴PD =t -2， 由△GPD ∽△DHE 可得：12-t 22142t t -=-， 解得t（不符题意，舍去）或10∴CE=2t -2=18-综上所述，CE的长为：6+或6-或2或18-题型三：旋转问题中线段比值是否变化问题例3．（2019•德州）（1）如图1，菱形AEGH 的顶点E 、H 在菱形ABCD 的边上，且∠BAD =60°，请直接写出HD :GC :EB 的值；（2）将图1中的菱形AEGH 绕点A 旋转一定角度，如图2，求HD :GC :EB ；（3）把图2的菱形都换成矩形，如图3，且AD :AB =AH :AE =1:2，此时HD :GC :EB 的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果；若无变化，说明理由.图1 图2 图3【答案】见解析.【解析】解：（1）HD :GC :EB =1：1；（2）如图，连接AC ，BD 交于点O ，连接AG ，由题意知：AD =AB ，AH =AE ，∠DAB =∠HAE =60°，A∴△DAH ≌△BAE ，∴DH =BE ,又∠DAB =60°，ABCD 是菱形，∴∠DAC =30°，AC ⊥BD ，BD =2OD ，AC =2OA ，在Rt △AOD 中，OD :OA∴BD :AC=3, 由△ABD 是等边三角形，得：AD =BD ，即AD :AC同理，得AH :AG=3, ∴AD :AC =AH :AG ，又∠DAC =∠HAG ，∠DAH +∠HAC =∠CAG +∠HAC ，即∠DAH =∠CAG ，∴△DAH ∽△CAG ，∴DH :GC∴HD :GC :EB=1: :1.(3)有变化，HD :GC :EB=1:如上图所示，由题意知：∠1+∠HAB =∠2+∠HAB =90°，∴∠1=∠2，由AH :AE =AD :AB =1:2，得：AH :AD =AE :AB ，A BC∴HD:EB=1:2，连接AG，AC，由∠2+∠HAC=∠3+∠HAC，得：∠2=∠3，AG，AC,∴AD:AC=AH:AG,∴△ADH∽△ACG，∴HD:GC∴HD:GC:EB=1: :2.题型四：旋转问题中落点规律性问题例4．（2019•台州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是BA延长线上的一点，连接PC 交AD于点F，AP=FD.（1）求AFAP的值；（2）如图1，连接EC，在线段EC上取一点M，使EM=EB，连接MF，求证：MF=PF；（3）如图2，过点E作EN⊥CD于点N，在线段EN上取一点Q，使AQ=AP，连接BQ、BN，将△AQB绕点A旋转，使点Q旋转后的对应点Q’落在边AD上. 请判断旋转后B的对应点B’是否落在线段BN上，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，边长为2，∴CD∥AB，∴∠P=∠FCD，∴AFAP =tan ∠P =tan ∠FCD =DFCD ，设AF =x ，则DF =AP =2－x ， ∴222x xx -=-，解得：x=3-x=3+， ∴AF AP.（2）∵E 是正方形ABCD 边AB 的中点，AB =2，∴BE =1，在Rt △BCE 中，由勾股定理得：CE由（1）知：PE =P A +AE1-∴CE =PE ，∴∠P =∠PCE ，又∠P =∠DCF ，∴∠PCE =∠DCF ，过点F 作FH ⊥CE 于H ，如下图所示，在△CFH 和△CFD 中，°==90D FHC CF CF⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠∠FCH=∠FCD∴△CFH ≌△CFD ，∴CH =CD =2，FH =FD1=AP ，∴EH =EC －CH－2，DA E∴HM =EM －EH =3AF∴△APF ≌△HFM ，∴PF =FM .（3）在AD 上截取AQ ’=AQ ，在BN 上截取AB ’=AB ，连接AB ’，B ’Q ’，过点B ’作B ’G ⊥AD 于G ，交EN 于K ，如下图所示，∵tan ∠NBE =2，AB =AB ’=2，∴BB’=5∴B ’N =BN －BB由△NB ’K ∽△NBE ，得：B ’K =15，KN =25,B ’G =65,DG =25， ∴Q ’G=135- 在Rt △B ’GQ ’中，由勾股定理得：B ’Q 2=B ’G 2+ GQ ’2,而)21-≠， ∴B ’Q ≠BQ ，即B ’不在BN 上.题型五：旋转问题中函数及落点问题例5．（2019•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝﹣x +b 的图象与函数y ＝k x（x ＜0）的图象相交于点D AE NA（﹣1，6），并与x轴交于点C．点D是线段AC上一点，△ODC与△OAC的面积比为2：3．（1）k＝，b＝；（2）求点D的坐标；（3）若将△ODC绕点O逆时针旋转，得到△OD'C'，其中点D'落在x轴负半轴上，判断点C'是否落在函数y＝kx（x＜0）的图象上，并说明理由．【答案】（1）﹣6，5；（2）（3）见解析.【解析】解：（1）将A（﹣1，6）代入y＝﹣x+b，得，6＝1+b，∴b＝5，将A（﹣1，6）代入y＝kx，得k＝﹣6，故答案为：﹣6，5；（2）如下图所示，过点D作DM⊥x轴，垂足为M，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，∵△ODC与△OAC的面积比为2：3∴23 DMAN，又∵点A的坐标为（﹣1，6），∴AN＝6，∴DM＝4，即点D的纵坐标为4，把y＝4代入y＝﹣x+5中，得x＝1，∴D（1，4）；（3）由题意可知，OD'＝OD，如下图所示，过点C'作C'G⊥x轴，垂足为G，∵S△ODC＝S△OD'C'，∴OC•DM＝OD'•C'G，即5×4'G，∴C'G，在Rt△OC'G中，由勾股定理得：OG∴C'），≠﹣6，∴点C'不在函数y＝﹣6x的图象上．题型六：几何图形旋转中的类比探究例6．（2019•自贡）（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.∠线段DB和DG之间的数量关系是；∠写出线段BE，BF和DB之间的数量关系.（2）当四边形ABCD为菱形，∠ADC=60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.∠如图2，点E 在线段AB 上时，请探究线段BE 、BF 和BD 之间的数量关系，写出结论并给出证明；∠如图3，点E 在线段AB 的延长线上时，DE 交射线BC 于点M ，若BE =1，AB =2，直接写出线段GM 的长度.图1 图2 图3【答案】（1）①DB =DG②BE BF +=（2）见解析.【解析】解：（1）由旋转知：∠GDB =90°，∵四边形ABCD 是正方形，BD 为对角线，∴∠DBG =45°，∴∠DGB =45°，∴DG =DB ，②在△DBE 和△DGF 中，BDE FDG BD DG DBE G =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△DBE ≌△DGF ，∴BE =GF ，由①知，BD =DG ，∠BDG =90°，即△BDG 是等腰直角三角形，∴BGBD ，即BE BF +=.（2）∠BD BF BE 3=+理由如下：在菱形ABCD 中，∠ABD =∠CBD =21∠ABC =30°， 由旋转可得，∠EDF =∠BDG =120°，∴∠EDF -∠BDF =∠BDG -∠BDF ，即∠FDG =∠BDE .在△DBG 中，∠G =180°-∠BDG -∠DBG =30°，∴∠DBG =∠G =30°，∴BD =DG .在△BDE 和△GDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠DGF DBE DGBD BDEGDF∴△BDE ≌△△GDF （ASA ），∴BE =GF ，∴BE +BF =BF +GF =BG .过点D 作DM ⊥BG 于点M ，如下图所示，∵BD =DG ，∴BG =2BM .在Rt △BMD 中，∠DBM =30°，∴BD =2DM ，设DM =a ，则BD =2a ，BM =a 3.∴BG =a 32， ∴3232==a aBD BG∴BF +BE =3BD .∠GM 的长度为319. 理由： ∵GF =BE =1，FC =2CD =4，CM =23BC =43, ∴GM =GF +FC +CM =1+4+43=193. 题型六：几何图形旋转中的计算题目例7．（2019•潍坊）如图1，菱形ABCD 的顶点A 、D 在直线上，∠BAD =60°，以点A 为旋转中心将菱形ABCD 顺时针旋转α（0°<α<30°），得到菱形AB ’C ’D ’. B ’C ’交对角线AC 于点M ，C ’D ’交直线l 于点N ，连接MN .（1）当MN ∥B ’D ’时，求α的大小.（2）如图2，对角线B ’D ’交AC 于点H ，交直线l 于点G ，延长C ’B ’交AB 于点E ，连接EH . 当△HEB ’的周长为2时，求菱形ABCD 的周长.【答案】见解析.【解析】解：（1）∠四边形AB ′C ′D ′是菱形，∠AB ′＝B ′C ′＝C ′D ′＝AD ′，∠∠B ′AD ′＝∠B ′C ′D ′＝60°，∠∠AB ′D ′，∠B ′C ′D ′是等边三角形，∠MN ∠B ′C ′，∠∠C ′MN ＝∠C ′B ′D ′＝60°，∠CNM ＝∠C ′D ′B ′＝60°，∠∠C ′MN 是等边三角形，∠C ′M ＝C ′N ，∠MB ′＝ND ′，∠∠AB ′M ＝∠AD ′N ＝120°，AB ′＝AD ′，∠∠AB′M∠∠AD′N（SAS），∠∠B′AM＝∠D′AN，∠∠CAD＝12∠BAD＝30°，∠DAD′＝15°，∠α＝15°．（2）∠∠C′B′D′＝60°，∠∠EB′G＝120°，∠∠EAG＝60°，∠∠EAG+∠EB′G＝180°，∠四边形EAGB′四点共圆，∠∠AEB′＝∠AGD′，∠∠EAB′＝∠GAD′，AB′＝AD′，∠∠AEB′∠∠AGD′（AAS），∠EB′＝GD′，AE＝AG，∠AH＝AH，∠HAE＝∠HAG，∠∠AHE∠∠AHG（SAS），∠EH＝GH，∠∠EHB′的周长为2，∠EH+EB′+HB′＝B′H+HG+GD′＝B′D′＝2，∠AB′＝AB＝2，∠菱形ABCD的周长为8．。

利用旋转法解几何最值问题应用举例一、利用旋转转化为点到直线的距离垂线段最短求最值例1、在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一个动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连结OC，则OC的最小值为 ．解析：如图，将△ABO绕点A逆时针旋转60°得△AACM，并延长MC交x轴于点N．则点C在直线MN上运动，当OC⊥MN时，OC最小，∴OC＝AM＝2，则OC的最小值为2．例2、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝12，AB＝10，点E在AD上，且AE＝4，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为．解析：将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，连接HG，过点H作HM⊥AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A∠+B＝180°，∴∠A＝120°，∵将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，∴EF＝EG＝4，AE＝EH，∠AEH＝∠FEG＝120°，∴∠DEH＝60°，∠AEF＝∠HEG，且EF＝EG，AE＝EH，∴△AEF≌△HEG（SAS）∴∠A＝∠EHG＝120°＝∠AEH，∴AD∥HG，∴点G的轨迹是过点H且平行于AD的直线，∴当DG⊥HG时，线段GD长度有最小值，∵∠HEM＝60°，EH＝4，HM⊥AD，∴EM ＝2，MH ＝EM＝2，∴线段GD长度的最小值为2，例3、如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．解析：由题意可知，点F 是主动点，点G 是从动点，点F 在线段上运动，点G 也一定在直线轨迹上运动将△EFB 绕点E 旋转60°，使EF 与EG 重合，得到△EFB ≌△EHG ，从而可知△EBH 为等边三角形，点G 在垂直于HE 的直线HN 上，作CM ⊥HN ，则CM 即为CG 的最小值，作EP ⊥CM ，可知四边形HEPM 为矩形，则CM ＝MP +CP ＝HE +EC ＝1+＝，故答案为．二、利用旋转转化为三点共线求最值例4、如图，PA ＝2，PB ＝4，将线段PA 绕P 点旋转一周，以AB 为边作正方形ABCD ，则PD 的最大值为 ．解析：将△PAD 绕点A 顺时针旋转90°得到△P 'AB ，PD 的最大值即为P 'B 的最大值，∴PA ＝PA '，∠PAP '＝90°∴PP '＝PA ＝2 ∵△P 'PB 中，P 'B ＜PP '+PB ，PP ′＝PA ＝2，PB ＝4，且P 、D 两点落在直线AB 的两侧，∴当P '、P 、B 三点共线时，P 'B 取得最大值，此时P 'B ＝PP '+PB ＝2+4，即P 'B 的最大值为2+4． 例5、如图，在四边形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，若AC ＝AD ，且∠ACD ＝60°，则对角线BD 的长的最大值为 ．解析：将AB 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AK ，连接BK 、DK ．则AK ＝AB ＝BK ＝6，∠KAB ＝60°，∴∠DAC ＝∠KAB ，∴∠DAK ＝∠CAB ，在△DAK和△CAB 中，，∴△DAK≌△CAB（SAS）∴DK＝BC＝4，∵DK+KB≥BD，DK＝4，KB＝AB＝6∴当D、K、B共线时，BD的值最大，最大值为DK+KB＝10．例6、如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点将线段EF 绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为（ ）A．3B．2C．4D．2+2解析：如图，取AB的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延长线于H．∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BD，∵AE＝ED，AN＝NB，∴AE＝AN，∵∠A＝60°，∴△AEN是等边三角形，∴∠AEN＝∠FEG＝60°，∴∠AEF＝∠NEG，∵EA＝EN，EF＝EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG＝∠A＝60°，∵∠ANE＝60°，∴∠GNB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴点G的运动轨迹是射线NG，易知B，E关于射线NG对称，∴GB＝GE，∴GB+GC＝GE+GC≥EC，在△Rt DEH中，∵∠H＝90°，DE＝2，∠EDH＝60°，∴DH＝DE＝1，EH ＝，在△Rt ECH中，EC＝＝2，∴GB+GC≥2，∴GB+GC的最小值为2．故选：B．例7、如图，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，则线段AN的最大值为．解析：如图，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP ＝2，BP＝AN，∴PA＝2，∵AB ＝6，∴线段AN 长的最大值＝线段BP 长的最大值，∴当P 在线段BA 的延长线时，线段BP 取得最大值最大值＝AB +AP ＝6+2．三、利用旋转转化为四点共线求最值例8、如图，△ABC 中，∠ABC ＝30°，AB ＝4，BC ＝5，P 是△ABC 内部的任意一点，连接PA ，PB ，PC ，则PA +PB +PC 的最小值为 ．解析：如图，将△ABP 绕着点B 逆时针旋转60°，得到△DBE ，连接EP ，CD ，∴△ABP ≌△DBE ∴∠ABP ＝∠DBE ，BD ＝AB ＝4，∠PBE ＝60°，BE ＝PE ，AP ＝DE ，∴△BPE 是等边三角形∴EP ＝BP ∴AP +BP +PC ＝PC +EP +DE ,∴当点D ，点E ，点P ，点C 共线时，PA +PB +PC 有最小值CD∵∠ABC ＝30°＝∠ABP ∠+PBC ,∴∠DBE ∠+PBC ＝30°,∴∠DBC ＝90°,∴CD ＝＝， 例9、如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝6，P 为矩形内一点，连接PA ，PB ，PC ，则PA +PB +PC 的最小值是（ ）A ．4+3B ．2C ．2+6D ．4解：由旋转的性质可知：△PFC 是等边三角形，∴PC ＝PF ，∵PB ＝EF ，∴PA +PB +PC ＝PA +PF +EF ，∴当A 、P 、F 、E 共线时，PA +PB +PC 的值最小，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝90°，∴tan ∠ACB ＝＝， ∴∠ACB ＝30°，AC ＝2AB ＝4，∵∠BCE ＝60°，∴∠ACE ＝90°，∴AE ＝＝2，故选：B．四、利用旋转转化为圆外一定点与圆上的动点的关系求最值例10、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长的最大值为．CA解析：如图，以BC为边作等边三角形BCE，过点E作EF⊥BC于点F，连接DE， ∵AB＝BD，∠ABC＝∠DBE，BC＝BE，∴△ABC≌△DBE，∴DE＝AC，∵在等边三角形BCE中，EF⊥BC，∴BF ＝BC ＝2，∴EF ＝BF＝×2＝2，以BC为直径作⊙F ，则点D在⊙F上，连接DF ，∴DF ＝BC＝×4＝2，∴AC ＝DE≤DF+EF ＝2+2，即AC的最大值为2+2．练习1、已知x 轴上一点A （1，0），B 为y 轴上的一动点，连接AB ，以AB 为边作等边△ABC 如图所示，已知点C 随着点B 的运动形成的图形是一条直线，连接OC ，则AC +OC 的最小值是 ．解析：将△ABO 绕点A 逆时针旋转60°得△ACD ，并作直线CD ，延长AD 交y 轴于点A '．∵等边△ABC 、等边△AOD ，∴AB ＝AC ，AO ＝AD ，∠BAC ＝∠OAD ＝60°∴∠BAC ﹣∠OAC ＝∠OAD ﹣∠OAC ，∴∠BAO ＝∠CAD在△BAO 和△CAD 中，∴△BAO ≌△CAD （SAS ），∴∠AOB ＝∠ADC ∵∠AOB ＝90° ∴∠ADC ＝90°，∴CD ⊥AD ，∴点C 随着点B 的运动形成的图形是直线CD∵∠AOA '＝90°，∠OAD ＝∴∠60°AA 'O ＝30∴°OA ＝AA ' ∴AD ＝OA ＝AA '∴点D 是AA '的中点，∵CD ⊥AD ，∴CD 是AA '的中垂线 ∴AC ＝A 'C ，∴AC +OC ＝A 'C +OC又∵点C 在直线CD 上运动，所以点O 、C 、A '三点共线时，A 'C +OC 的值最小，最小值为OA '的长．在R △AOA '中，∠AOA '＝90°，∠OAD ＝60°，OA ＝1，O A '＝OA ＝，∴AC +OC 的最小值为．2、已知：AD ＝2，BD ＝4，以AB 为一边作等边三角形ABC ．使C 、D 两点落在直线AB 的两侧．当∠ADB 变化时，则CD 的最大值 ．解析：把△ADC 绕点A 顺时针旋转60°得到△AEB ，则AE ＝AD ，BE ＝DC ，∠EAD ＝60°，∴△ADE 为等边三角形，∴DE ＝DA ＝2，∠ADE ＝60°，当E 点在直线BD 上时，BE 最大，最大值为2+4＝6，∴CD 的最大值为6．3、如图，在等腰直角△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是△ABC 所在平面上一点，且满足DB ＝6，DA ＝10，则CD 的最小值为E解析：将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE ．则CD ＝BE ，△ADE 是等腰直角三角形，ED ＝10．∵AE 、AD 、BD 都是定值，∴当E 、B 、D 三点共线时，BE 最小，即CD 最小．此时BE 最小值为DE ﹣BD ＝10﹣5．故选：A ． 4、如图，平行四边形ABCD 中，∠B ＝60°，BC ＝6，AB ＝5，点E 在AD 上，且AE ＝2，点F 是AB 上一点，连接EF ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转120°得到EG ，连接GD ，则线段GD 长度的最小值为 ．解析：将线段AE 绕点E 逆时针旋转120°得到EH ，连接HG ，过点H 作HM ⊥AD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ∠+B ＝180°，∴∠A ＝120°，∵将线段AE 绕点E 逆时针旋转120°得到EH ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转120°得到EG ，∴EF ＝EG ，AE ＝EH ，∠AEH ＝∠FEG ＝120°，∴∠DEH ＝60°，∠AEF ＝∠HEG ，且EF ＝EG ，AE ＝EH ，∴△AEF ≌△HEG （SAS ）∴∠A ＝∠EHG ＝120°＝∠AEH ，∴AD ∥HG ，∴点G 的轨迹是过点H 且平行于AD 的直线，∴当DG ⊥HG 时，线段GD 长度有最小值，∵∠HEM ＝60°，EH ＝2，HM ⊥AD ，∴EM ＝1，MH ＝，∴线段GD 长度的最小值为，5、如图，长方形 ABCD 中，AB=3，BC=4，E 为 BC 上一点，且 BE ＝2，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF ，将 EF 绕着点 E 顺时针旋转 45˚到 EG 的位置，连接 FG 和 CG ，则 CG 的最小值为 ．F解析：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动,将△EFB绕点E旋转45°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，从而可知△EBH为等腰直角三角形，点G在垂直于HE的直线HG上，作CM⊥HG，则CM即为CG的最小值，作EN⊥CM，可知四边形HENM为矩形，则CM＝MN+CN＝HEEC＝126、如图，菱形ABCD的边长是6，∠A＝60°，E是AD的中点，F是AB边上一个动点，EG＝EF且∠GEF ＝60°，则GB+GC的最小值是AA解析：取AB的中点H，连接HG、HE、HG、BE、CE，则△AEF≌△HEG，∴∠GHE＝∠A＝60°，∴HG∥AD，可知△BHG≌△EHG，∴BG=GE，∴CE的长就是GB +GC的最小值；在△Rt EBC中，EB＝3，BC＝6，∴EC＝3，∴GB+GC的最小值3.7、如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝6，AB＝5，点E在AD上，且AE＝2，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为 ．解：将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，连接HG，过点H作HM⊥AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A∠+B＝180°，∴∠A＝120°，∵将线段AE绕点E逆时针旋转120°得到EH，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，∴EF＝EG＝4，AE＝EH，∠AEH＝∠FEG＝120°，∴∠DEH＝60°，∠AEF＝∠HEG，且EF＝EG，AE＝EH，∴△AEF≌△HEG（SAS）∴∠A＝∠EHG＝120°＝∠AEH，∴AD∥HG，∴点G的轨迹是过点H且平行于AD的直线，∴当DG ⊥HG时，线段GD长度有最小值，∵∠HEM＝60°，EH＝2，HM⊥AD，∴EM＝1，MH＝，∴线段GD长度的最小值为，8、如图，AB＝8，点M为线段AB外一个动点，且AM＝4，MB＝MN，∠BMN＝90°，则线段AN的最大值为．解析：如图，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝4，BP＝AN，∴PA＝4，∵AB＝8，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝8+4．9、如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＜AC，点P是△ABC内一点，AB＝6，BC＝8，则PA+PB+PC的最小值是 ．解析：如图，将△PBF绕点B逆时针旋转60°得到△BFE，作EH⊥CB交CB的延长线于H．∵∠ABC＝60°，∠PBF＝60°，∵∠ABP＝∠EBF，∴∠EBF∠+BC＝60°，∴∠EBC＝120°，∵PB＝BF，∠PBF＝60°，∴△PBF是等边三角形，∴PB＝PF，∵PA＝EF，∴PA+PB+PC＝CP+PF+EF，根据两点之间线段最短可知，当E，F，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值＝EC的长，在△Rt EBH中，∵∠EBH＝60°，EB＝6，∴BH＝BE•cos60°＝3，EH＝EB•sin60°＝3，∴CH＝BH+CB＝3+8＝11，∴EC＝＝＝2．10、如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，在菱形ABCD内部有一点P，当PA+PB+PC值最小时PB的长为．解析：将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，连接PE、DE，则当B、P、E、D四点共线时，PA+PB+PC值最小，最小值为BD．∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，∴△APC≌△DEC，∴CP＝CE，∠PCE＝60°， ∴△PCE是等边三角形，∴PE＝CE＝CP，∠EPC＝∠CEP＝60°．∵菱形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝∠ABC＝30°，∴∠PCB＝∠EPC﹣∠CBP＝30°，∴∠PCB＝∠CBP＝30°，∴BP＝CP，同理，DE＝CE，∴BP＝PE＝ED．连接AC，交BD于点O，则AC⊥BD．在Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠OBC＝30°，BC＝4，∴BO＝BC•cos∠OBC＝4×＝2，∴BD＝2BO＝4，∴BP＝BD＝．即当PA+PB+PC值最小时PB的长为．11、如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC＝2，AC＝AD，∠ACD＝60°，则对角线BD长的最大值为（ ）A．5 B．2 C．2 D．1解析：如图，在AB的左侧作等边三角形△ABK，连接DK．则AK＝AB＝BK＝3，∠KAB＝60°，∴∠DAC＝∠KAB，∴∠DAK＝∠CAB，在△DAK和△CAB中，，∴△DAK≌△CAB（SAS），∴DK＝BC＝2，∵DK+KB≥BD，DK＝2，KB＝AB＝3，∴当D、K、B共线时，BD的值最大，最大值为DK+KB＝5．故选：A．12、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4，若对角线BD⊥CD于点D，则对角线AC的最大值为．解：如图，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得△DBM，∵∠ABD＝∠CBM＝60°，∴∠ABC＝∠DBM，∵AB＝DB，BC＝BM，∴△ABC≌△DBM， ∴AC＝MD，∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，∵BC＝4＝定值，∠BDC＝90°，∴点D在以BC为直径的⊙O上运动，由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值＝2+2，∴AC的最大值为2+2．13、如图在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝90°．若AB＝4cm，AD＝3cm，则对角线AC的最大值为 cm．解析：如图，在直线AB的右侧作等腰直角三角形△ABE，使得，EB＝EA，∠AEB＝90°．∵AB＝4cm，∴AE＝BE＝2，∵∠ABE＝∠DBC＝45°，∴∠ABD＝∠EBC，∵＝＝，∴△ABD∽△EBC，∴＝，∵AD＝3cm，∴EC＝cm，∵AC≤AE+EC，∴AC≤．∴AC的最大值为cm.14、如图，已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC＝AD．若∠ABC＝30°，∠ACD ＝45°，AC＝2，则B、D之间距离的最大值为．解：如图，在△ACD的外部作等边三角形△ACO，以O为圆心OA为半径作⊙O．∵∠ABC＝∠AOC＝30°，∴点B在⊙O上运动，作OE⊥DA交DA的延长线于E． 在Rt△AOE中，OA＝AC＝2，∠EAO＝30°，∴OE＝OA＝1，AE＝，在Rt△ODE中，DE＝AE+AD＝2+，∴DO＝＝＝+， 当B、O、D共线时，BD的值最大，最大值为OB+OD＝2++．。

旋转中的最值问题方法一、三角形旋转中的最值问题。

题目1：在等腰直角三角形ABC中，∠ ACB = 90^∘，AC = BC=√(2)，将ABC绕点C逆时针旋转角α(0^∘<α<90^∘)得到A'B'C，连接A'B。

求A'B的最小值。

解析：1. 因为ABC绕点C旋转得到A'B'C，所以CA = CA'=√(2)。

2. 在A'CB中，根据余弦定理：A'B^2=A'C^2+BC^2- 2A'C· BC·cos(∠ A'CB)。

3. 由于∠ A'CB=∠ ACB+α = 90^∘+α，A'C = AC=√(2)，BC=√(2)。

4. 则A'B^2=2 + 2-2×√(2)×√(2)cos(90^∘+α)=4 + 4sinα。

5. 因为0^∘<α<90^∘，当sinα = 0（即α = 0^∘）时，A'B^2取得最小值4，所以A'B的最小值为2。

题目2：已知等边三角形ABC的边长为2，点D是边BC的中点，将ABD绕点A逆时针旋转得到ACE。

求线段DE的最大值。

解析：1. 因为ABD绕点A逆时针旋转得到ACE，所以AD = AE，∠ DAE=∠ BAC = 60^∘，所以ADE是等边三角形。

2. 点D是边BC的中点，在等边三角形ABC中，AD⊥ BC，根据勾股定理可得AD=√(3)。

3. 因为ADE是等边三角形，所以DE = AD=√(3)，DE的最大值就是√(3)。

题目3：在ABC中，AB = 3，AC = 4，∠ BAC = 60^∘，将ABC绕点A旋转，得到AB'C'。

求BC'的最大值。

解析：1. 由余弦定理可得BC=√(AB^2)+AC^{2-2AB· AC·cos∠ BAC}- 把AB = 3，AC = 4，∠ BAC = 60^∘代入可得：BC=√(9 + 16-2×3×4×frac{1){2}}=√(13)。

初中旋转变换中的最值问题
初中数学中的旋转变换是一个相对较难的概念，但它有助于增强学生对三维空间的理解。

在最值问题的讨论中，常常涉及到的知识点有平面几何、二次函数和三角函数等。

一个典型的例子是，给定一个三角形，通过旋转三角形的一个边，使其成为一个圆周。

然后，需要求出这个圆周上离旋转轴最远和最近的点。

这个问题需要学生利用旋转变换的知识，结合三角函数和二次函数的最值求法，来找到距离旋转轴最远和最近的点。

另一个问题是，给定一个平面上的点集，将其绕一个固定点旋转一定的角度。

然后，需要求出旋转后，点集到固定点的距离的最大值和最小值。

这个问题需要学生利用旋转变换的知识，结合二次函数的最值求法，来找到距离最大和最小的点。

解决这类问题的关键是理解旋转变换的概念，以及如何将其转化为数学模型。

同时，也需要熟悉二次函数和三角函数的最值求法。

在解题过程中，要注意灵活运用各种数学工具和方法，以找到最值问题的解决方案。

初三旋转中的最值问题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：初三旋转中的最值问题是中学数学中的一个重要知识点，通常涉及到函数的最值求解和图形的旋转等内容。

在初三阶段，学生常常会遇到类似于“求解函数f(x)=x^2在区间[a,b]上的最大值”或“求解旋转体的体积最大值”等问题。

本文将重点介绍初三阶段学生在旋转中的最值问题中常见的几种情形，并给出详细的解题方法和实例。

一、函数的最值问题在数学中，函数f(x)在区间[a,b]上的最值通常包括最大值和最小值两种情况。

最大值是函数在该区间上取得的最大函数值，而最小值是函数在该区间上取得的最小函数值。

初三阶段学生通常会被要求求解给定函数在给定区间上的最值，其中最常见的情形是二次函数在闭区间上的最值问题。

以函数f(x)=x^2为例，求解其在区间[-1,1]上的最大值。

我们需要求出函数f(x)=x^2在该区间端点和驻点处的函数值，即f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=1。

然后，对函数f(x)=x^2求导得到f'(x)=2x，再令f'(x)=0解得驻点x=0。

比较端点和驻点处的函数值，即f(-1)=1,f(0)=0,f(1)=1，得知函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上的最大值为1。

对于初三阶段的学生来说，很多函数的最值问题可以通过几何意义进行解释。

函数f(x)=x^2表示一个抛物线，函数在单调递增区间上取得最小值，而在单调递减区间上取得最大值。

初三阶段学生可以通过画出函数图像或利用函数基本性质进行推断，帮助他们更好地理解函数的最值问题。

二、图形的旋转中的最值问题在初三阶段，学生通常会遇到圆的旋转体体积最值问题。

圆的旋转体是指将一个形状为圆的二维图形绕某一条轴旋转一周所形成的立体图形。

求解圆的旋转体体积最值问题就是要找出使得旋转体体积最大或最小的情形。

以一个直径为2r的圆的旋转体体积为例，求解其体积最大值。

我们知道圆的周长为2πr，将其围绕直径旋转一周即可得到一个球体的体积。

旋转综合之线段最值问题初三中考复习在即，在数学中考中，几何变换往往是中考中最令人头痛的题型，其辅助线的添加非常灵活，和其他几何知识的综合性也非常强。

在几何变换中，旋转是最为常见、也是最为重要的变换，本周我们集中讲解旋转综合中常见的模型、题型，这部分是本期内容的第五讲：旋转综合之利用旋转求线段最值，希望各位同学能从中收益。

利用旋转求线段最值的解题方法1. 使目标线段与定长线段放在三角形中，根据三角形三边关系，当三点共线时，取得最值；如图所示，当点 B 位于 B 1 时， AB 取得最小值| OA - OB | ；当点 B 位于 B 2 时， AB 取得最大值OA + OB ．2. 把线段或线段和差放到同一条直线上，根据两点之间，线段最短来求最值．如图所示，定线段 OA = a ， Rt △BOC 中直角边 OB = b ，锐角∠B = θ ，点 P 是斜边 BC 上的一个动点，Rt △BOC 在绕点O 旋转的过程中， AP 的最值如下：①如图，当OP ⊥ BC ，且O , A , P 三点共线时， AP 取得最小值| OB ⋅ sin θ - OA |；②如图，当 B , P 重合，且O , A , P 三点共线时， AP 取得最大值| OB + OA |例1 如图，在△ABC 中，∠C = 90︒，AC = 4 ，BC = 2 ，点A , C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是.答案 2 2 + 2 ．解析作AC 的中点M ，连接OM , BM ．由OB… OM +BM ，可得当O ,M ,B 三点共线且点M 在线段OB 上时，OB 取得最大值．此时OB =OM +BM = 2 + 2 2.例 2 已知，△A OB和△COD 是等腰三角形，其中BA=B O=2，CD =CO = 3 ，∠ABO=∠DCO．连接AD , BC，点M, N分别为OA, BC的中点．若固定△AOB，将△C O D绕点O 旋转，求MN 的最大值．解 取OB 的中点 E ，连接 EM , EN ．则ME= 1 AB = 1,NE = 1 CO = 3.2 2 2当 M , E , N 三点共线，且点 E 在线段 MN 上时， MN 取最大值，最大值为 ME + NE = 5．2例 3 在Rt △ABC 中， ∠ACB = 90︒ ， tan ∠BAC = 1．若2BC = 6 ，点 D 在边 AC 的三等分点处，将线段 AD 绕点 A 旋转，点 E 始终为 BD 中点，求线段CE 长度的最大值．解 在Rt △ABC 中，AC =BCtan ∠BAC= 12, AB = 6 5.①如图，当 AD = 1AC 时，取 AB 的中点 F ，连接 EF 和CF ．3则CF =1AB = 3 5, EF =1AD = 2.2 2所以当且仅当C , E , F 三点共线且F 在线段CE 上时CE 最大，此时CE =CF +EF = 2 + 3 5.②如图，当时，同理可得CE 的最大值为4 + 3AD =2AC3．综合可得，当点D 在靠近点C 的三等分点时，线段CE 的长度取得最大值为4 + 3 ．旋转变换是中考中非常重要的题型，本节课我们重点讲解了旋转中求线段最值问题，到此为止，本周我们共讲解了有关旋转的五种常见考题，希望各位同学多加体会、总结，平时遇到类似题目注意应用和练习。

初中数学几何模型与最值问题专题8瓜豆原理中动点轨迹不确定型最值问题【专题说明】动点轨迹非圆或直线时，基本上将此线段转化为一个三角形中，（1）利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求最值。

（2）在转化较难进行时，可借助直角三角形斜边上的中线及中位线或构建全等图形进一步转化求最值。

【知识精讲】所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是．【例题】如图，在反比例函数的图像上有一个动点A，连接AO并延长交图像的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图像上运动，若tan∠CAB=2，则k的值为（）A．2B．4C．6D．8【模型】一、借助直角三角形斜边上的中线1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（）A．6B．C．D．【模型】二、借助三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边1、如图，已知等边三角形ABC边长为A、B分别在平面直角坐标系的x轴负半轴、轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连接OC，则线段OC长的最小值是（）A-1B．3C．3D．2、如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=4，BC=2.运动过程中点D到点O的最大距离是______．3、如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，6AB =，以线段AB 为边向外作等边ABD △，点E 是线段AB 的中点，连结CE 并延长交线段AD 于点F .(1)求证：四边形BCFD 为平行四边形；(2)求平行四边形BCFD 的面积；(3)如图，分别作射线CM ，CN ，如图中ABD △的两个顶点A ，B 分别在射线CN ，CM 上滑动，在这个变化的过程中，求出线段CD 的最大长度.4、如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到'',A B C M ∆是BC 的中点，N 是''A B 的中点，连接MN ，若4,60BC ABC =∠=︒，则线段MN 的最大值为（）A ．4B ．8C ．D ．6【模型】三、借助构建全等图形1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点P是AC上的动点，连接B P，以B P为边作等边△B P Q，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是______．2、如图，边长为12的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连结MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连结HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）A．6B．3C．2D．1．5【模型】四、借助中位线1、如图，在等腰直角∆ABC中，斜边AB的长度为8，以AC为直径作圆，点P为半圆上的动点，连接B P，取B P的中点M，则CM的最小值为（）A．B．C-D．2、如图，抛物线2119y x =-与x 轴交于A B ，两点，D 是以点()0,4C 为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接,OE BD ，则线段OE 的最小值是（）A ．2B ．322C ．52D ．3专题8瓜豆原理中动点轨迹不确定型最值问题答案【专题说明】动点轨迹非圆或直线时，基本上将此线段转化为一个三角形中，（1）利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求最值。

“旋转”中的最值问题作者：***来源：《初中生世界·九年级》2020年第06期一、旋轉中线段的最值例1如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC边上一点，BD=12DC=2，以点D为顶点作正方形DEFG，且DE=BC，连接AE、AG。

若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为。

【解析】由△ABC是等边三角形，点D为BC边上一点，BD=1/2DC=2，我们可以知道等边三角形ABC的边长是6，所以正方形DEFG的边长也为6。

将正方形DEFG绕点D旋转一周，则点E在以点D为圆心，6为半径的圆上旋转一周，显然，当正方形DEFG绕点D旋转到点E、A、D在同一条直线上（如图2，此时AD+AE=DE）时，AE取最小值，此时△ADG 是直角三角形。

要求AG的长，已经有了DG的长，则必须求出AD的长。

过点A作AM⊥BC 于M，由已知得DC=4，得BC=BD+DC=6，由等边三角形的性质得AB=AC=BC=6，BM=1/2BC=1/2×6=3，所以DM=BM-BD=1。

在Rt△ABM中，由勾股定理得出AM=33，进而Rt△ADM中，由勾股定理得AD=27，在Rt△ADG中，由勾股定理即可得AG=8。

故答案为8。

【点评】本题考查了旋转的性质。

正方形DEFG绕点D旋转一周，讨论AE的最小值，首先要能发现线段AE中端点A是定点，端点E是动点，而动点E是在以点D为圆心，6为半径的圆上运动一周。

发现了端点E的运动路径，则问题不难解决，运用相关的知识（正方形的性质、等边三角形的性质、勾股定理以及线段最小值问题等）即可解决。

由旋转发现圆，是解决问题的关键突破口。

二、旋转中角的最值例2如图3，正方形ABCD和Rt△AEF，AB=5，AE=AF=4，连接BF、DE。

若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE=。

【解析】我们先明确条件：正方形ABCD是确定的，△AEF是等腰直角三角形，它是绕直角顶点A旋转的。

旋转最值问题(最大值问题)旋转最值问题（最大值问题）简介旋转最值问题（也叫最大值问题）是计算机科学中的一个经典问题。

给定一个旋转过的有序数组，我们需要找到其中的最大值。

原理假设我们有一个旋转过的有序数组，例如[4, 5, 6, 7, 8, 1, 2, 3]。

我们可以看到，最大值在7和8之间，但是它的右侧的元素却比它小。

这是因为数组在某个点上被旋转，导致原本有序的数组变成了两个有序的子数组。

为了解决这个问题，我们可以使用二分查找的方法。

我们选择数组的中间元素，比较它和数组的第一个元素，以此来确定哪一侧是有序的。

然后，我们再将问题拆分成子问题，继续在有序的那一侧进行二分查找，直到找到最大值。

伪代码以下是一个解决旋转最值问题的简单伪代码示例：function findMaxValue(arr):left = 0right = arr.length - 1while left < right:mid = (left + right) / 2if arr[mid] > arr[right]:left = mid + 1else:right = midreturn arr[left]示例让我们用一个例子来说明这个算法的工作原理。

假设我们有一个旋转过的有序数组[4, 5, 6, 7, 8, 1, 2, 3]。

按照上述伪代码，我们可以执行以下步骤：1. 初始化左右指针：left = 0，right = 7。

2. 进入循环，计算中间索引为mid = (0 + 7) / 2 = 3。

3. 比较arr[mid]和arr[right]：arr[3] = 7，arr[7] = 3，arr[mid] > arr[right]为真。

4. 更新左指针：left = mid + 1 = 4。

5. 因为left < right仍为真，继续循环。

计算新的中间索引为mid = (4 + 7) / 2 = 5。

6. 比较arr[mid]和arr[right]：arr[5] = 1，arr[7] = 3，arr[mid] > arr[right]为假。

中考数学难点旋转最值三点共线问题旋转最值三点共线问题是中考数学中的难点之一。

解决这个问题需要掌握旋转、最值和共线等概念，以及相应的解题方法。

本文将为大家详细介绍这个难点问题的解题思路和步骤，帮助大家更好地应对中考数学考试。

1. 问题描述假设平面上有三个点A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)，我们需要找到一个旋转中心O，使得当点A绕O旋转时，点B和C始终保持共线。

我们需要求解旋转中心O的坐标。

2. 解题思路为了求解旋转中心O的坐标，我们可以从两个方面入手，分别是旋转角度和旋转中心的坐标。

首先，我们可以假设旋转中心O的坐标为(x, y)，然后通过计算旋转角度来确定旋转中心的位置。

接下来，我们根据最值和共线的概念，构建方程组，进而求解旋转中心的坐标。

3. 计算旋转角度为了构建方程组，我们需要先确定旋转角度。

根据题目要求，点B和C始终保持共线，说明它们的斜率相等。

我们可以求解点B和C的斜率，然后通过斜率之间的关系来确定旋转角度。

斜率的计算公式为：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)设斜率k1 = (y2 - y1) / (x2 - x1)，斜率k2 = (y3 - y1) / (x3 - x1)由于点B和C始终共线，则k1 = k2，即 (y2 - y1) / (x2 - x1) = (y3 -y1) / (x3 - x1)化简上述方程，得到：(y2 - y1) * (x3 - x1) = (y3 - y1) * (x2 - x1)4. 求解旋转中心坐标通过4.计算旋转角度中的方程，我们得到了一个等式，然后我们将旋转中心的坐标代入该等式，从而求解旋转中心坐标。

具体步骤如下：将旋转中心坐标(x, y)代入方程，得到：(y2 - y1) * (x3 - x1) = (y3 - y1) * (x2 - x1)展开并整理得到：(x2 - x1) * y + (y2 - y1) * x = (x2 * y1 - x1 * y2) + (x1 * y3 - x3 * y1)由上述方程可知，旋转中心的坐标可以通过求解线性方程组来获得。

旋转中的最大值或最小值1.（2008•徐州）着图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°操作：将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q．探究一：在旋转过程中，（1）看图2，当CEEA=1时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明；（2）看图3，当CEEA=2时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并说明理由；（3）根据对（1）、（2）的探究结果，试写出当CEEA=m时，EP与EQ满足的数量关系式为，其中m的取值范围是．（直接写出结论，不必证明）探究二：若CEEA=2且AC=30cm，连接PQ，设△EPQ的面积为S（cm2），在旋转过程中：（1）S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．（2）随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化，求出相应S的值或取值范围．2.已知：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=6，BC=8，AD=14．E为AB上一点，BE=2，点F在BC边上运动，以FE为一边作菱形FEHG，使点H落在AD边上，点G落在梯形ABCD内或其边上．若BF=x，△FCG的面积为y．（1）当x= 时，四边形FEHG为正方形；（2）求y与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）（3）在备用图中分别画出△FCG的面积取得最大值和最小值时相应的图形（不要求尺规作图，不要求写画法），并求△FCG面积的最大值和最小值；（计算过程可简要书写）（4）△FOG的面积由最大值变到最小值时，点G运动的路线长为．3.如图，在平面直角坐标系中，点A（8，2），B点在第一象限，BO=BA=5，若M、N是OB和OA中点，（1）直线MN的解析式为（2）△ABN面积=（3）将图（1）中的△4MO绕点O旋转一周，在旋转过程中，△AB4面积是否存在最大值、最小值？若不存在，请说明理由；若存在请在备用图中画出相应位置的图形，并直接写出最大值、最小值；（4）将图（1）中的△NMO绕点O旋转，当点N在第二象限时，如图（2），设N（x，y），△ABN的面积为S，求S与x之间的函数关系式．(第4题)4.如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（4，4），C（0，4），点F、D分别在x轴、y轴上，正方形DEFO$\\ ODEF$的边长为a（a＜2），连接AC、AE、CF．（1）求图中△AEC的面积，请直接写出计算结果；（2）将图中正方形ODEF绕点O旋转一周，在旋转的过程中，S△AEC是否存在最大值、最小值？如果不存在，请说明理由；如果存在，在备用图中画出相应位置的图形，并直接写出最大值、最小值；（3）将图1中正方形ODEF绕点O旋转，当点E在第二象限时，设E（x，y），△AEC的面积为S，求S关于x的函数关系式．5. （2006•徐州）将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形ABCD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果两张矩形纸片的长都是8，宽都是2．那么菱形ABCD的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由．6. 阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转66°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是．（结果可以不化简）7.如图1，矩形CEFG的一边落在矩形ABCD的一边上，并且矩形CEFG～CDAB，其相似比为k，连接BG、DE．（1）试探究BG、DE的位置关系，并说明理由；（2）将矩形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）旋转任意角度α，得到图形2、图形3，请你通过观察、分析、判断（1）中得到的结论是否能成立，并选取图2证明你的判断；（3）在（2）中，矩形CEFG绕着点C旋转过程中，连接BD、BF、DF，且k=14，AB=8，BC=4，△BDF的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．8. （2008•大庆）如图①，四边形AEFG和ABCD都是正方形，它们的边长分别为a，b（b ≥2a），且点F在AD上（以下问题的结果均可用a，b的代数式表示）．（1）求S△DBF；（2）把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的S△DBF；（3）把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，S△DBF是否存在最大值、最小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由．9.已知：如图①，正方形ABCD的边长是a，正方形AEFG的边长是b，且点F在AD上，连接DB，BF，（以下问题的结果可用a，b表示）．（1）观察计算：△DBF的面积S=（2）图形变式：将图①中的正方形AEFG绕点A顺时针方向旋转45°得到图②，其他条件不变，请你求出图②中△DBF的面积S；（3）探究发现：当a＞2b时，若把图①中的正方形AEFG绕点A旋转任意角度，在旋转过程中，△DBF的面积S是否能达到最大值、最小值？如果能达到，请画出图形，并求出最大值、最小值；如果达不到，请说明理由．（图③可用来画图）．10.如图1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点（不与A、C重合），PE⊥BC 于点E，PF⊥CD于点F．（1）试说明：BP=DP；（2）如图2，若正方形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请画图用反例加以说明；（3）试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与正方形PECF的两个顶点连接，使得到的两条线段在正方形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论；（4）旋转的过程中AP和DF的长度是否相等？若不等，直接写出AP：DF= ；（5）若正方形ABCD的边长是4，正方形PECF的边长是1．把正方形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中，△PBD的面积是否存在最大值、最小值？如果存在，试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由．。

专题08 双曲线中的参数范围及最值问题一、单选题1．若点O 和点F 分别为双曲线2212x y -=的中心和左焦点，点P 为该双曲线上的任意一点，则OP FP ⋅的最小值为（ ） A．2B．2C ．12D ．32-【解析】由题意，点()0,0O，点()F ，设点(),P x y ，则2212x y -=，2212x y =-，(),2,x ⎡∈-∞+∞⎣，所以()(),,OP x y FP x y ==，所以(2222331222OP FP x x y x x x ⎛-=- ⎝⋅=+=++⎭， 所以当x =OP FP ⋅取最小值233222⎛-= ⎝⎭.故选：B. 2．过双曲线()222103x y a a-=>的右焦点F 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，使得||6AB =，若这样的直线有且只有两条，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]()0,13,⋃+∞ B ．()()0,13,+∞C ．()0,1D ．()3,+∞【解析】若A ，B 在同一支上，当min ||AB 时AB 为双曲线的通经，即有2min 26||b AB a a==； 若A ，B 不在同一支上，则min ||2AB a =．因为6a 与2a 不可能同时等于6，所以2666a a >⎧⎪⎨<⎪⎩或2666a a<⎧⎪⎨>⎪⎩，解得3a >或01a <<，故选：B3．已知0(M x ，0)y 是双曲线2222:1x y C a b-=上的一点，半焦距为c ，若||MO c （其中O 为坐标原点），则20y 的取值范围是（ ）A ．420,b c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．420,a c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．42,b c ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．42,a c ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】||MO c 2220a b +222200x y a b ++，又2200221x y a b -=，所以222002(1)y x a b=+，所以 22222002(1)y a y a b b ++≤+，可得4422220b b y a b c =+，故选：A 4．设双曲线)(2222:1,0x y C a b a b-=>的焦距为2，若以点)()(,P m n m a <为圆心的圆P 过C 的右顶点且与C 的两条渐近线相切，则OP 长的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫⎪ ⎭⎝B ．)(0,1C ．1,12⎛⎫⎪ ⎭⎝D ．11,42⎛⎫⎪ ⎭⎝【解析】由题可得渐近线方程为by x a=±，1c =， 由于圆P 与两条渐近线都相切，则P 在x 轴或y 轴上，又圆P 过C 的右顶点，则P 在x 轴正半轴上，即)()(,00P m m a <<，圆心)(,0P m bm =，又圆半径为a m -，则由题可得a m bm -=，即1am b =+， 又221a b +=，则()()2222211211111a b b m b b b b --====-+++++， ()0,1b ∈，()20,1m ∴∈，()0,1m ∴∈，则OP 长的取值范围是)(0,1.故选：B.5．设双曲线2222:1(0,0)x y C ab a b -=>>A ，B 是双曲线C 上关于原点对称的两个点，M 是双曲线C 上异于A ，B 的动点，直线,MA MB 斜率分别12,k k ，若11,23k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2k 的取值范围为（ ） A ．[24,4]--B ．31,816⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[4,24]D ．13,168⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】设00(,)M x y 11(,)A x y ，则11(,)B x y --，那么2200221x y a b -=，2211221x y a b-=两式相减得：22220101220x x y y a b ---=，整理得：222010101222010101()()()()y y y y y y b x x x x x x a --+==--+ 即2122b k k a = ，又因为双曲线2222:1(0,0)x y C ab a b -=>>所以c e a ==，所以2218b a =，故1218k k =，其中11,23k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以21113,8168k k ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故选：D.6．已知M 、N 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>上关于原点对称的两点，P 是C 上异于M 、N 的动点，设直线PM 、PN 的斜率分别为1k 、2k ．若直线12y x =与曲线C 没有公共点，当双曲线C 的离心率取得最大值时，且123k ≤≤，则2k 的取值范围是（ ） A ．11,128⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,812⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】因为直线12y x =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>没有公共点，所以双曲线C 的渐近线的斜率12b k a =≤， 而双曲线C的离心率c e a ==当双曲线C 的离心率取最大值时，b a 取得最大值12，即12b a =，即2a b =，则双曲线C 的方程为222214x y b b-=，设()11,M x y 、()11,N x y --、()00,P x y ，则2211222200221414x y b b x y b b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式相减得：()()()()10101010224x x x x y y y y b b +-+-=，即1010101014y y y y x x x x -+⋅=-+，即1214k k ⋅=， 又123k ≤≤，211,128k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选：A.7．已知P 是双曲线22:14y x E m-=上任意一点，M ，N 是双曲线上关于坐标原点对称的两点，且直线PM ，PN 的斜率分别为()1212,0k k k k ≠，若122k k +的最小值为1，则实数m 的值为（ ） A ．16B ．32C ．1或16D ．2或8【解析】双曲线22:14y x E m -=中0m >，设()11,M x y ，()11,N x y --，()22,P x y ，则221114y x m-=，222214y x m -=，所以相减得2222121204y y x x m---=，∴221222124y y x x m -=-， 因此2221212112222121214y y y y y y k k x x x x x x m -+-=⋅==-+-．从而1221k k +≥=，所以32m =（当且仅当122k k =时取等号）．故选：B ．8．已知点()15,0F -，()25,0F ．设点P 满足126PF PF -=，且12MF =，21NF =，则PM PN -的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【解析】因为12610PF PF -=<，所以点P 在以1F ，2F 为焦点，实轴长为6，焦距为10的双曲线的右支上，则双曲线的方程为221916x y -=．由题意知M 在圆()221:54F x y ++=上，N 在圆()222:51F x y -+=上，如图所示，12PM PF ≤+，21PN PF ≥-，则()()12122139PM PN PF PF PF PF -≤+--=-+=．当M 是1PF 延长线与圆1F 的交点，N 是2PF 与圆2F 的交点时取等号．故选：C ．二、多选题9．如果双曲线2222-1(0b 0)x y a a b=＞，＞的一条渐近线上的点(M -关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点F P ，为双曲线上的动点，已知(3,1)A ，则PA PF +的值可能为（ ）A ．32B ．2C ．72D ．4【解析】由(M -在双曲线的渐近线上知，ba=(c,0)F ，由M 与F 关于b y x a ==1=-，故2c =，1a =，b =2213y x -=，设双曲线左焦点为1(2,0)F -，若P 在左支上，由双曲线定义知，112222PA PF PA PF AF +=++≥+=若P 在右支上，由双曲线定义知，112222PA PF PA PF AF +=+-≥-==则根据选项的数值大小关系知，CD 满足条件； 故选：CD10．已知动点P 在左、右焦点分别为1F 、2F 的双曲线C 22:13y x -=上，下列结论正确的是（ ）A ．双曲线C 的离心率为2B ．当P 在双曲线左支时，122PF PF 的最大值为14C ．点P 到两渐近线距离之积为定值D ．双曲线C的渐近线方程为y x = 【解析】在双曲线C 22:13y x -=中，实半轴长1a =，虚半轴长b =2c =.对于AD ，双曲线的离心率2ce a==，渐近线方程为y =，故A 正确，D 错误； 对于B ，当P 在双曲线的左支上时，12111,22PF c a PF a PF PF ≥-==+=+，故()11122221111111484424PF PF PF PF PF PF PFPF PF ===≤=+++++，当且仅当114PF PF =时，即12=PF 时等号成立，故122PF PF 的最大值为18，故B 错误； 对于C ，设00(,)P x y ，则220013y x -=，即220033x y -=，0y +=0y -=，故00(,)P x y22003344x y -==为定值，故C 正确. 故选：AC.11．已知双曲线()22*1x y n n n-=∈N ，不与x 轴垂直的直线l 与双曲线右支交于点B ，C ，（B在x 轴上方，C 在x 轴下方），与双曲线渐近线交于点A ，D （A 在x 轴上方），O 为坐标原点，下列选项中正确的为（ ） A ．AC BD =恒成立B ．若13BOC AOD S S =△△，则AB BC CD ==C ．AOD △面积的最小值为1D ．对每一个确定的n ，若AB BC CD ==，则AOD △的面积为定值【解析】设:l y kx b =+，代入22x y n -=得()222120k x bkx b n ----=，① 显然1k ≠±，()()22224410b k k b n ∆=+-+>，即()2210b n k +->，设()11,B x y ，()22,C x y ，则1x ，2x 是方程①的两个根，有12221kb x x k +=-，()21221b n x x k -+=-，设()33,A x y ，()44,D x y ，由y kx b y x =+⎧⎨=⎩得31bx k =-， 由y kx b y x =+⎧⎨=-⎩，得41b x k -=+；所以34221kbx x k +=-，所以AD 和BC 的中点重合， 所以AB CD =，所以AC BD =恒成立．故A 正确．因为AD 和BC 的中点重合为P ，所以AB CD =，又13BOC AOD S S =△△，所以13BC AD =，所以AB BC CD ==，故B 正确．设直线l 方程为x ty m =+，(1,0)(0,1),1t m ∈->，由x ty m y x =+⎧⎨=⎩得31m y t =-，由x ty m y x =+⎧⎨=-⎩得41my t -=+，OA =OD =90AOD ∠=︒，2221||||121AODm S OA OD m t==>>-△，故C 错误. 因为AB BC CD ==，所以13BC AD =，得1234x x -=-，即()229108nb k =->，所以0n >，21k >，又OA =，OD =，90AOD ∠=︒，所以2219218AODb nS OA OD k ===-△是定值．故D 正确． 故选：ABD.12．已知1l ，2l 是双曲线T ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线，直线l 经过T 的右焦点F ，且1//l l ，l 交T 于点M ，交2l 于点Q ，交y 轴于点N ，则下列说法正确的是（ ） A ．FOQ △与OQN △的面积相等B ．若T 的焦距为4，则点M 到两条渐近线的距离之积的最大值为14C ．若FM MQ =，则T 的渐近线方程为y x =±D ．若12,23FM FQ ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则T 的离心率[]2,3e ∈ 【解析】,A 由题可知，(c,0)F ，不妨记1l ：b y x a =，2l ：by x a=-．由1//l l 可得l 的方程为()b y x c a =-，与2l 的方程联立可解得2Q c x =，2Q bc y a =-，即点,22c bc Q a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．对于()b y x c a =-，令0x =，可得bc y a =-，即点0,bc N a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以21224FOQ bc bcS c a a=⨯⨯=△，21224OQNc bc bc S a a=⨯⨯=△，所以FOQ OQN S S =△△，所以选项A 正确； ,B 设点M 的坐标为00,x y ，则2200221x y a b-=，即22222200b x a y a b -=，所以M 到两条渐近线的222222002222b x a y a b a b a b-==++，因为T 的焦距为4，所以2c =，所以2222224a b a b a b =+，因为2242a b ab =+≥，所以2ab ≤，224a b ≤，所以22222214a b a b a b =≤+，所以点M 到两条渐近线的距离之积的最大值为1，所以选项B 错误；,C 由FM MQ =得M 为QF 的中点，则03224cc c x +==，0224bc bc a y a=-=-，即点3,44c bc M a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入双曲线T 的方程得22223441c bc a a b⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，即222c a =，又222c a b =+，所以22a b =，所以a b =，所以双曲线T 的渐近线方程为y x =±，所以选项C 正确；,D 由()b y x c a =-与22221x y a b-=，得222M c a x c +=，所以MF QF =22211221,232F M F Q c a c x x c c x x e c +--⎡⎤==-∈⎢⎥-⎣⎦-，得[]22,3e ∈，所以e ∈，所以选项D 错误． 故选：AC ． 三、填空题13．已知()00,M x y 是双曲线2222:1x y C a b-=上的一点，半焦距为c ，若MO c ≤（其中O 为坐标原点），则20y 的取值范围是___________.【解析】因为MO c ≤，所以MO ≤222200x y a b +≤+，又2200221x y a b -=，可得2222002a y x a b=+， 所以，22222222222000022a y c y x y a y a a b b b +=++=+≤+，所以，42020b y c≤≤.14．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线方程为y =，若动点P 在C的右支上，1F ，2F 分别为C 的左，右焦点，2OP OF ⋅的最小值是2a （其中O 为坐标原点），则212||||PF PF 的最小值为___________ 【解析】设(),P x y ，且x a ≥，()2,0F c ，则(),OP x y =,()2,0OF c =，因此2OP OF cx ⋅=，当x a =时，2OP OF ⋅取得最小值，且最小值为2ac a =，即2c =，所以2222ba c c ab ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得1a =，b =2PF t =（1t ≥），则12PF t =+，所以()221224448PF t t PF tt +==++≥=，（当4t t =即2t =时取等号），即212||||PF PF 的最小值为8.15．过点()1,1P 作直线l 与双曲线222y x λ-=交于A ，B 两点，若点P 恰为线段AB 的中点，则实数λ的取值范围是______.【解析】因为双曲线方程为222y x λ-=，则0λ≠，设()11,A x y ,()22,B x y ，因为点P 恰为线段AB 的中点，则12122,2x x y y +=+=，则2211222222y x y x λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,两式相减并化简可得1212121222y y x x x x y y -+=⨯=-+ ，即直线l 的斜率为2，，所以直线l 的方程为21y x =- ， 22212y x y x λ=-⎧⎪⎨-=⎪⎩,化简可得224210x x λ-++=， 因为直线l 与双曲线有两个不同的交点，所以()1642210λ∆=-⨯⨯+>， 解得12λ<且0λ≠，所以λ的取值范围为()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭16．已知双曲线的方程为221916x y -=，点12,F F 是其左右焦点，A 是圆22(5)1x y +-=上的一点，点M 在双曲线的右支上，则1||||MF MA +的最小值是__________. 【解析】如图∵双曲线的方程为221916x y -=，右焦点坐标为()25,0F ，连接22,AF MF .由双曲线的定义，得1226MF MF a -==.∴12266MF MA MF MA AF +=++≥+. 因为点A 是圆()2251x y +-=上的点，此时圆心为(0)，5，半径为1，∴2211AF CF ≥-=，∴1265MF MA AF +≥+≥，当点M ，A 在线段2CF 上时上式取等号，即1MF MA +的最小值为5. 四、解答题17．已知双曲线2212y x -=，斜率为k (0)k ≠的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B两点.（1）若直线l 过(0,1)P ，且3PB AP =，求直线l 的斜率k .（2）若线段AB 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为92，求k 的取值范围.【解析】（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，因为3BP AP =，所以3PB AP →→=，即2211(,1)3(,1)x y x y -=--，所以2121343x x y y =-⎧⎨=-⎩，所以2211221112(43)(3)12y x y x ⎧-=⎪⎪⎨-⎪--=⎪⎩，所以11x =-，10y =，即(10)A -，， 所以1011AP k k -===. （2）设直线l 的方程为y kx m =+（0k ≠）．由2212y kx my x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得222(2)220k x kmx m ----=．则12222km x x k +=-，212222m x x k --=-， 因为直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点，于是22k -≠0，且222(2)4(2)(2)0km k m ∆=-+-+>．，整理得2220m k +->．设线段AB 的中点坐标00(,)x y ，则120222x x km x k +==-，00222my kx m k =+=-． 所以AB 的垂直平分线方程为2221()22m km y x k k k -=----． 此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为23(,0)2km k -，23(0,)2mk -． 由题可得221339||||2222km m k k ⋅=--．整理得222(2)||k m k -=，0k ≠． 所以可得222(2)20||k k k -+->，整理得22(2)(||2)0k k k --->，0k ≠．解得0||k <<或||2k >． 所以k 的取值范围是,2)(,0)(0,(22)(2,)-∞--+∞． 18．在平面直角坐标系xOy 内，已知双曲线Γ：2221y x b-=(0b >)，（1）若Γ的一条渐近线方程为2y x =，求Γ的方程；（2）设1F 、2F 是Γ的两个焦点，P 为Γ上一点，且12PF PF ⊥，△12PF F 的面积为9，求b 的值；（3）若直线:21l y x =+与Γ交于A 、B 两点，且坐标原点O 始终在以AB 为直径的圆内，求b 的取值范围.【解析】（1）由双曲线Γ：2221y x b-=(0b >)可得其渐近线方程为y bx ±=，而Γ的一条渐近线方程为2y x =，故2b =即Γ的方程为：2214y x -=.（2）不妨设P 在第一象限，1F 、2F 分别为左右焦点，则122PF PF -=，()1F ，)2F而22221212=44PF PF F F b +=+，所以21224PF PF b =，所以2122PF PF b =，故12PF F △的面积为2b ，所以29b =，因为0b >，故3b =.（3）设()()1122,,,A x y B x y ，因为坐标原点O 始终在以AB 为直径的圆内， 故AOB ∠为钝角，所以0OA OB ⋅<即12120x x y y +<， 故()()121221210x x x x +++<即()12125210x x x x +++<.由222221y x b x y b =+⎧⎨-=⎩可得()2224410b x x b ----=，所以212122241,44b x x x x b b ++==---，又2040b ∆>⎧⎨-≠⎩，故()()221644102b b b ⎧+-+>⎪⎨≠±⎪⎩，故b >2b ≠.又22214521044b b b ⎛⎫+⋅-+⋅+< ⎪--⎝⎭可化简为2255840b b --++-<，该不等式对任意的b >2b ≠恒成立.故b >2b ≠.19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知等轴双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左顶点A，过右焦点F 且垂直于x 轴的直线与E 交于B ，C 两点，若ABC 1．（1）求双曲线E 的方程；（2）若直线:1l y kx =-与双曲线E 的左，右两支分别交于M ，N 两点，与双曲线E 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，求MNPQ的取值范围． 【解析】（1）因为双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>为等轴双曲线，所以a b =，设双曲线的焦距为2c ，0c >，故2222c a b a =+=，即c =． 因为BC 过右焦点F ，且垂直于x 轴，将B x c =代入22221x y a b-=，可得B y a =，故2BC a =．将ABC 1，所以112BC AF ⨯⨯=，即()1212a a c ⨯⨯+=，所以21a =，1a =，故双曲线E 的方程为221x y -=．（2）依题意，直线:1l y kx =-与双曲线E 的左，右两支分别交于M ，N 两点，联立方程组221,1,x y y kx ⎧-=⎨=-⎩消去y 可得，()221220k x kx -+-=，所以()()()222210,24120,20,1M Nk k k x x k ⎧⎪-≠⎪⎪∆=--⨯->⎨⎪-⎪=<⎪-⎩解得11k -<<，且222,12.1M N M N k x x k x x k -⎧+=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩ 所以M N MN x =-== 联立方程组,1,y x y kx =⎧⎨=-⎩得11P x k =-，同理11Q x k =+，所以11P Q PQ x k =-=+．所以MN PQ =11k -<<，所以(MN PQ ∈． 20．已知双曲线2222:1x y C a b-=的离心率为32（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若以(0)k k ≠为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为8116，求实数k 的取值范围． 【解析】(1)焦点(),0c ±到渐近线0bx ay ±=b ==,又32c a =,∴22222954c a a b a ==+=+,∴24a =,∴双曲线C 的标准方程为22145x y -=. (2)设直线l 的方程为()0y kx m k =+≠,()11,M x y ,()22,N x y , 则由22145x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去y ,可得()2225484200k x kmx m ----=,根据题意可知2540k -≠,且()()()22284544200km k m ∆=----->,即22540m k +->①,设线段MN 的中点坐标为()00,x y ,则12024254x x km x k +==-,002554my kx m k =+=-, ∴线段MN 的垂直平分线方程为225145454m km y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭,此直线与x 轴,y 轴的交点坐标分别为29,054km k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭,290,54m k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭,∴22199812545416km m k k ⋅⋅=--,化简可得()222548k m k -=②,将②代入①得()222545408k k k-+->,即()()22454850k k k --->,解得0k <<52k >,∴实数k 的取值范围是5555,,00,,2222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 21．已知椭圆1C 的方程为2214xy +=，双曲线2C 的左、右焦点分别是1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点． (1)求双曲线2C 的方程；(2)若直线:=l y kx 2C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2OA OB >(其中O 为原点)，求k 的取值范围．【解析】(1)设双曲线2C 的方程为()222210,0x ya b a b-=>>，则2234a c ＝，＝，再由222a b c ＋＝，得21.b＝故2C 的方程为2213xy -=(2)将y kx ＝代入2213x y -=，得22(13)90k x -=－－由直线l 与双曲线2C 交于不同的两点，得()()()22221306236133610k k k k ⎧-≠⎪⎨=-+-=->⎪⎩22113k k ∴≠<且①，设1122()()A x y B x y，，，，则1212229,1313x x x x k k =---＋＝ (12121212(x x y y x x kx kx ∴＋＝＋()2212122371()231k k x x x x k +++=-＝＋又2OA OB >，得12122x x y y ＋＞，2237231k k +∴>-，即2239031k k -+>-，解得2133k <<②，由①②得13＜k 2＜1，故k的取值范围31,,13⎛⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22．己知等轴双曲线N 的顶点分别是椭圆22:162x y C +=的左、右焦点1F 、2F .（1）求等轴双曲线N 的方程；（2）Q 为该双曲线N 上异于顶点的任意一点，直线1QF 和2QF 与椭圆C 的交点分别为E ，F 和G ，H ，求4EF GH +的最小值.【解析】（1）由椭圆22:162x y C +=可得2c =，所以等轴双曲线N 的顶点为(20)，设等轴双曲线N 为22221x ya b-=，所以2a b ==，所以等轴双曲线N 的方程为22144x y -=；（2）设11(,)E x y ，22(,)F x y ，33(,)G x y ,44(,)H x y ,设直线1QF 的方程为2x my =-，直线2QF 的方程为2x ny =+， 由222162x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(3)420m y my +--=，所以0∆>显然成立，所以12122242,33m y y y y m m +==-++， 同理可得34342242,33n y y y y nn +=-=-++， 所以EFGH ==，联立直线1QF 和2QF ：22x my x ny =-⎧⎨=+⎩，解得224m n x m ny m n +⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，所以224(,)m n Q m n m n +--， 因为Q 在双曲线上，所以222(22)1614()4()m n m n m n +-=--，解得1mn =， 所以222222221111146(4)6(4)13333m n m m EF GH m n m m +++++=+⨯=+⨯++++ 222222222222*********(4)(4)()313431311m m m m m m m m m m m m ++++++=+⨯=⨯+⨯+++++++，22221334)313m m m m ++=++⨯≥+=++.当且仅当22221334313m m m m ++=⨯++，即25m =。