中考数学复习：旋转之求线段最值

中考数学复习：旋转之求线段最值用旋转思想解决线段最值问题的本质用三角形三边关系解决问题如图，线段OA，OB为定长，则A，B，O三点共线时，AB取得最值：当点B位于处B1时，AB取得最小值OA－OB；当点B位于B2处时，AB取得最大值OA＋O B．最小值常见的题型有：1．如图，Rt△ABC大小固定，其中∠ABC＝90°，点A，B分别在互相垂直的直线m，n 上滑动．m取AB中点D，连接OD，C D．当O，C，D三点共线时，OC取得最大值OD＋C D．Arraym2．如图，等边△ABC大小固定，点A，B分别在互相垂直的直线m，n上滑动．m取AB中点D，连接OD，C D．当O，C，D三点共线时，OC取得最大值OD＋C D．m3．如图，Rt△ABC大小固定，其中∠ABC＝90°，点A，B分别在互相垂直的直线m，n 上滑动．取AB中点D，连接OD，C D．当O，C，D三点共线时，OC取得最小值|CD –OD|．m例题讲解例1．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝12．若BC＝6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕A点旋转，E始终为BD的中点，求线段CE长度的最大值．解：在Rt△ABC中，AC＝tan BCBAC＝12，AB＝①如图1，当AD＝13AC时，取AB的中点F，连接EF和CF，则CF＝12AB＝，EF＝12AD＝2．所以当且仅当C，E，F三点共线且点F在线段CE上时，CE最大，此时CE＝CF＋EF＝2＋图1②如图2，当AD＝23AC时，同理可得CE的最大值为4＋．综上可得，当点D在靠近点C的三等分点处时，线段CE的长度的最大值为4＋图2例2 以平面上一点O 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB 和△COD ，其中∠ABO ＝30°．如图，若BO＝N 在线段OD 上，且NO ＝2，P 是线段AB 上的一个动点，在将△AOB 绕点O 旋转的过程中，线段PN 长度的最小值为________，最大值为________．BCDPNO A－2；2． 过点O 作OE ⊥AB 于点E ，则OE ＝12OB．故当点P 在点E 处时，OP；当点P 在点B 处时，OP长度取最大值A O NPDBCE①当△AOB 绕点O 旋转到O ，E ，D 三点共线，且点E 在线段OD 上时，PN 取最小值，即OE －ON－2；D②当△AOB 绕点O 旋转到O ，B ，D 三点共线，且点B 在线段DO的延长线上时，PN 取最大值，OB ＋ON ＝2．所以线段PN 长度的最小值为－2，最大值为2．D进阶训练1． 已知△AOB 和△COD 是等腰三角形，其中BA ＝BO ＝2，CD ＝CO ＝3，∠ABO ＝∠DCO ．连结AD ，BC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点．若固定△AOB ，将△COD 绕点O 旋转，求MN 的最大值．NMABCDO【答案】52． 【提示】如图，取OB 的中点E ，连结EM ，EN ，则EM ，EN 为定值，当点E 在线段MN 上时，MN 取最大值．EODCBAM N2． 已知：在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AC ＝AB ＝4，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．若等腰Rt △ADE 绕点A 旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，记直线BD 1与CE 1的交点为P ． （1）设BC 的中点为M ，求线段PM 的长； （2）求点P 到AB 所在直线的距离的最大值．E 1D 1A BC DEP【答案】（1）2）1【提示】（1）易证△E 1AC ≌△D 1AB ，所以∠E 1CA ＝∠D 1BA ，从而可得∠BPC ＝∠BAC ＝90°，所以PM ＝12BC＝MPEDC BA D 1E 1（2）由题意知，点D1，E1在以A为圆心、AD为半径的圆上，而点P在直线BD1上，所以当直线BD1与⊙A相切时，点P到AB的距离最大．此时四边形AD1PE1是正方形，即PD1＝AD1＝2．如图，作PG⊥AB于点G，解Rt△PGB即可．B3．已知：正方形ABCD的边长为1，P为正方形内的一个动点，若点M在AB延长线上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD的延长线于点N，连结CM，是否存在满足条件的点P，使得PC＝12？请说明理由．ACDPN【答案】不存在满足条件的点P，使得PC＝12．【提示】因为△PBC∽△PAM，可得∠ABP＋∠PAM＝∠ABP＋∠PBC＝90°，所以AP⊥BN．以AB为直径，作半圆O，连结OC，OP，则OP＋PC≥OC，从而PC件的点P，使得PC＝12．ONPD CA。

C DEB A图② 中考数学专题复习——四边形中的折叠、剪切、旋转与动点最值问题一、折叠、剪切类问题1、折叠后求度数（1）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为（ ）A ．600B ．750C ．900D ．950（2）如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D′、C′的位置，若∠EFB ＝65°，则∠AED′等于（ ）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°（3）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图①所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图②所示的正五边形ABCDE ，其中∠BAC ＝____________度.2、折叠后求长度（1）将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（ ）． A 、B 、2C 、3D 、（2）如图，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且，则CE 的长是（ ） （A ）（B ）（C ） （D ）图①ABCDEF（3）如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ） A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm（4）如图，将矩形纸ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，若EH ＝3厘米，EF ＝4厘米，则边AD 的长是___________厘米.（5）如图，是一张矩形纸片ABCD ，AD =10cm ，若将纸片沿DE 折叠，使DC 落在DA 上，点C 的对应点为点F ，若BE =6cm ，则CD =（6）如图（1），把一个长为、宽为的长方形（）沿虚线剪开，拼接成图（2），成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（ ） A ． B ． C ．D ．3、折叠后求面积（1）如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 的面积为（ ）N M FEDCBAmnnn （2（1A ．4B ．6C ．8D ．10（2）如图，正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．10（3）如图a ，ABCD 是一矩形纸片，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，E 是AD 上一点，且AE ＝6cm 。

旋转正方形常见题型例析一、常规旋转，梳理研究方法问题1如图1,已知正方形ABCD与正方形DEFG如图位置摆放，线段AE与CG有何关系?并说明理由・问题2如图2,正方形ABCD不动，将正方形DEFG绕点D按逆时针方向旋转任意角度，线段4E与CG有何关系?并说明理由.解析这两个问题屮，AE与CG的关系都是：AE = CG且AE丄CG.问题1中，要证AE = CG ,只需要证明MDE三ACDG.H为四边形ABCD和DEFG 是正方形，所以AD = DC, DE = DG, ZADE = ZCDG =90° ,所以\ADE = \CDG.延长GC交AE 于点H ,要证AE丄CG ,只要证明ZCHE =90°即可.由\ADE三\CDG得到，ZAED = ZDGC ・在4DCG 和A/7CE 中，易证ZCHE = ZCDG = 90°（基本图形“8” 字模型）.问题2的方法与问题［完全类似，可仿照完成.规律点拨正方形旋转的过程中，正方形的位置虽然不断发生变化，但正方形的边相等和角为90°的条件始终不变，因此构造成的三角形始终全等，从而对应的线段和对应角始终相等.在探究线段位置关系的过程屮，利用基本图形求角的度数也是常用的方法，解题屮要学会从复杂的图形中找出基本图形，并灵活利用基本图形解决问题.二、变式旋转，玩出新的高度1•抓住定量，玩转线段关系玩法1如图3,已知正方形ABCD，点E是线段AC上一动点，以DE为边在DE的右侧作正方形DEFG ,线段CE, AC与CG有什么关系?请证明.玩法2如图4,已知正方形ABCD，点E是线段AC延长线上一动点，UDE为边在DE的右侧作正方形DEFG ,线段CE, AC与CG有什么关系?请证明.玩法3如图5,已知正方形ABCD，点E是线段CA延长线上一动点，以DE为边在DE的右侧作正方形DEFG ,线段CE.AC与CG有什么关系?请证明.玩法4上述图•图5中，AE与CG有何位置关系?为什么？解析玩法1中3条线段的关系是：AC = CE + CG;玩法2中3条线段的关系是: CG二AC + CE ;玩法3中3条线段的关系是CE = CG + AC .分析发现，只要证\ADE = \CDG即可.因为四边形ABCD和DEFG是正方形，所以AD = DC, DE = DG,易证ZADE = ZCDG ,所以\ADE = \CDG ,所以AE = CG .玩法1中因为AC = AE + CE ,所以AC = CG + CE;玩法2 中，因为AE = AC + CE ,所以CG = AC + CE;玩法3 屮，因为CE 二AE+AC,所以CE二CG + AC.玩法4,可以用求角度法•图3、图4都易证ZACD = 45°.由全等得到ZDCG = ZDAE = 45。

道客中考数学压轴最值旋转45度问题数学问题一直是学生们最头疼的难题之一，而中考中的数学压轴题更是让许多学生望而生畏。

其中，旋转45度问题被认为是一道经典且难度较高的题目之一。

那么，我们来详细分析一下这道题目，以便更好地应对考试。

旋转45度问题是一道几何题目，通常给出一个形状，要求将其旋转45度以后，求出旋转后的面积、周长等数值。

首先，我们需要了解什么是旋转45度。

当一个图形绕着一个点旋转45度时，每一点相对于这个点的距离和原来的距离相等，只是方向变了。

旋转45度后，我们可以通过一些几何知识进行求解。

我们考虑旋转后的面积。

设原图形的面积为S，而旋转后的面积为S'。

我们可以通过对原图形进行平移、旋转操作，使得问题变得更加简化。

具体实施如下：1.将原图形的重心C移到坐标原点O处。

（平移操作）2.将原图形旋转45度，使得旋转后的图形的边与坐标轴平行。

（旋转操作）这样，我们就可以得到旋转后的图形G'。

设原图形的点集为A，旋转后的图形的点集为A'，则可以通过变换求出旋转后的面积S'。

设旋转前的某个点P(x,y)，则旋转后的对应点P'的坐标为：x' = (x - y) / √2y' = (x + y) / √2由此可以得出旋转后的面积S'的表达式为：S' = ∑[A'的(i) * A'(i+1)] / 2其中，A'(i)和A'(i+1)表示旋转后的图形的相邻两点。

通过以上的计算过程，我们就可以得到旋转后的面积S'的具体数值。

接下来，我们来考虑旋转后的周长。

周长实际上是图形上各条边的长度之和。

对于一个多边形，我们可以将每条边的两个端点都进行坐标变换，然后计算变换后的边的长度。

具体计算过程如下：1.将原图形的重心C移到坐标原点O处。

（平移操作）2.将原图形旋转45度，使得旋转后的图形的边与坐标轴平行。

（旋转操作）3.对旋转后的图形的每条边进行计算。

旋转问题（中考高分必备）考查三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四边形的性质与判定等。

旋转性质----对应线段、对应角的大小不变，对应线段的夹角等于旋转角。

注意旋转过程中三角形与整个图形的特殊位置。

一、直线的旋转1、(2009年浙江省嘉兴市)如图，已知A、B是线段MN上的两点，4=MN，1=MA，1>MB．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点，构成△ABC，设xAB=．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；（3）探究：△ABC的最大面积？2、（2009年河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, ∠B =60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.(1)①当α=________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；②当α=________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________；(2)当α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．解：（1）①当四边形EDBC是等腰梯形时，∠EDB=∠B=60°，而∠A=30°，根据三角形的外角性质，得α=∠EDB-∠A=30，此时，AD=1；②当四边形EDBC是直角梯形时，∠ODA=90°，而∠A=30°，根据三角形的内角和定理，得α=90°-∠A=60，此时，AD=1.5．（2）当∠α=90°时，四边形EDBC是菱形．∵∠α=∠ACB=90°，∴BC‖ED，∵CE‖AB，∴四边形EDBC是平行四边形．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，∴∠A=30度，∴AB=4，AC=2 ，∴AO= = ．在Rt△AOD中，∠A=30°，∴AD=2，∴BD=2，∴BD=BC．（第1题）又∵四边形EDBC 是平行四边形， ∴四边形EDBC 是菱形．3、（2009年北京市）在ABCD Y 中，过点C 作CE ⊥CD 交AD 于点E ,将线段EC 绕点E 逆时针旋转90o 得到线段EF (如图1)（1）在图1中画图探究：①当P 为射线CD 上任意一点（P 1不与C 重合）时，连结EP 1绕点E 逆时针旋转90o 得到线段EC 1.判断直线FC 1与直线CD 的位置关系，并加以证明；②当P 2为线段DC 的延长线上任意一点时，连结EP 2,将线段EP 2绕点E 逆时针旋转90o 得到线段EC 2.判断直线C 1C 2与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若AD =6,tanB =43,AE =1,在①的条件下，设CP 1=x ，S 11P FC V =y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. 提示：（1）运用三角形全等，（2）按CP=CE=4将x 取值分为两段分类讨论；发现并利用好EC 、EF 相等且垂直。

中考线段最值问题----瓜豆原理【问题引入】如下图1所示，Q为OP的中点，P为线段AB上的一个动点，Q为OP的中点，当P点在线段AB上运动时，Q点的运动轨迹是什么？【问题分析】如下图2，当P点为于A点时，此时Q点位于OA的中点Q1；当P点位于B点时，此时Q点位于OB的中点Q2；我们发现，△OQ1Q2△△OAB，随着Q点位置的不同，△OQ1Q2与△OAB 一直相似，其本质为动态相似！【模型建立】此类题中，题目或许先描述的是动点P，但最终问题问的是另一个动点Q，P和Q之间存在着某种联系，从P点出发探讨Q点运动轨迹即为本文要探讨的瓜豆原理。

1、两个概念：主动点：主动运动的点称为主动点，如上图1中的P点；从动点：由于主动点运动而“被迫”运动的点称为从动点，如上图1中的Q点；2、瓜豆原理成立的两个必要条件△主动点、从动点与定点连线的夹角为定值；△主动点、从动点到定点的距离之比是定值.举例如下：如下图3:，动点P在直线BC上运动，A为定点，Q为另一动点，且满足条件：①∠PAQ是定值；②AP：AQ是定值，则动点Q的轨迹与动点P的轨迹一致，即：P在直线BC上动，则Q在另一直线MN上动，且△BAC∽△MAN(动态相似)。

3、核心结论①从动点的运动轨迹与主动点运动轨迹一致，即如果主动点在直线上运动，则从动点也必然在直线上运动；如果主动点在圆上运动，则从动点也必然在圆上运动，故非常形象的称之为“瓜豆原理”。

②主动点的起点、终点、定点组成的三角形与从动点的起点、终点、定点组成的三角形相似(或全等)，如上图中△AMN∽△ABC。

③主动点运动轨迹与从动点的运动轨迹的夹角(锐角)等于主、从动点与定点连线的夹角。

如上图中∠PAQ=α。

【类型总结】---核心处理方法：Step1：找出主动点的起点和终点；Step2：找出题中所有的定点；Step3：验证两个必要条件，即：①主、从动点与定点连线的夹角为定值；②主、从动点到定点的距离之比是定值。

牛吃草最值问题：1.如图，AB 是⊙O 的直径，AB=8，点M 在⊙O 上，∠MAB=20°，N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点．若MN=1，则△PMN 周长的最小值为．2.如图,点P 是∠AOB 内一定点，点M 、N 分别在边OA 、OB 上运动，若∠AOB =45°，OP =32，则△PMN 周长的最小值为.3.如图,∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合,点P 是OA 上一动点,点N(6,0)是OB 上的一定点,点M 是ON 中点,∠AOB=30∘，要使PM+PN 最小，则点P 的坐标为.4.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90º，∠CAB=30º， BC=1，将△ABC 绕点B 顺时针转动, 并把各边缩小为原来的一半，得到△DBE ，点A ，B ，E 在一直线上．P 为边DB 上的动点，则AP+CP 的最小值为 ．5.点A 、B 均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立坐标系如图所示．若P 是x 轴上使得PA PB -的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA+QB 的值最小的点，则OP OQ ⋅＝ ．N M O P B A Ay6.如图，当四边形PABN 的周长最小时，a =．7.矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB =4，D 为边OB 的中点. 若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF =2，当四边形CDEF 的周长最小时，则点F 的坐标为8.如图，在Rt △ABO 中，∠OBA ＝90°，A （4，4），点C 在边AB 上，且＝，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为三角形条件及隐圆最值问题1.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连接A′C. 则A′C 长度的最小值是.N (a +2,0)P (a ,0)B (4,-1)A (1,-3)O y x F D C B A x y O E F D C B A x y O E2如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠点D落在矩形ABCD内部的点D处，则CD′的最小值是3.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D重合），连结AP，过点B作直线AP的垂线，垂足为H，连结DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．4.如图，AB为直径，C为⊙O上一点，其中AB=4，∠AOC=120°，P为⊙O上的动点，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为5.如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD：AB＝：1，将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，连接AF交BC于点G，且BG＝2，在AD边上有一点H，使得BH+EH的值最小，此时BH:CF＝6.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为_____．7.如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF 绕O点旋转时，CD的最小值为________8.如图，点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是______9.AB是半圆O的直径，AB=10，弦AC长为8，点D是弧BC上一个动点，连接AD，作CP⊥AD，垂足为P，连接BP，则BP的最小值是_____10.直线y＝x＋4 分别与x 轴、y 轴相交与点M、N，边长为2 的正方形OABC 一个顶点O 在坐标系的原点，直线AN 与MC 相交与点P，若正方形绕着点O 旋转一周，则点P 到点(0，2)长度的最小值是__________11.如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是x−3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，2）为圆心，2为半径的圆上一动点，连结PA、12.如图，已知直线y=34PB．则△PAB面积的最小值是_____．13.如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD 的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD=3，AB=5，PM=x，则x的最大值是14.如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是15.如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段P A的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是16.如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕着点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE ＝17.如图，在直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为18.在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是19.如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△P AB的周长最小时，S△P AB＝20..如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是路径问题：1.如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC 的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是2.如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，OB＝2，P为上任意一点，过点P作PE⊥OB于点E，设M为△OPE的内心，当点P从点A运动到点B时，则内心M所经过的路径长为3.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是4.等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，则点P经过的路径长为．5.如图，边长为2 的正方形ABCD 的两条对角线交于点O，把BA 与CD 分别绕点B 和点C 逆时针旋转相同的角度，此时正方形ABCD 随之变成四边形A′BCD′．设A′C，BD′交于点O′，若旋转了60°，则点O 运动到点O′所经过的路径长为6.已知等边三角形ABC 的边长为4，点D 是边BC 的中点，点E 在线段BA 上由点B 向点A 运动，连接DE，以DE 为边在DE 右侧作等边三角形DEF．设△DEF 的中心为O，则点 E 由点 B 向点 A 运动的过程中，点O 运动的路径长为胡不归型问题：当 k≠1 且 k 为正数时，若点 P 在某条直线上运动时，此时所求的最短路径问题称之为“胡不归”问题．那么对于当“PA + k·PB”的值最小时，点 P 的位置如何确定呢?过点 P 作 PQ⊥BN，垂足为 Q，如图3则 k·PB = PB·sin∠MBN = PQ．因此，本题求“PA + k·PB”的最小值转化为求“PA +PQ”的最小值，即 A，P，Q 三点共线时最小．1.如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°,M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+1BM的最小值为．22.在△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是阿氏圆模型问题：已知平面上两点 A，B，则所有满足 PA + k·PB(k≠1，且 k 为正数)，若点 P 的轨迹是一个圆，当点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”（阿波罗尼斯圆）问题．如图所示，⊙O 的半径为 r，点 A，B 都在圆外，P 为⊙O 上的动点，已知 r = k·OB，连接 PA，PB，则当“PA + k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定?在线段 OB 上截取 OC 使 OC = k·r，则可说明△BPO∽△PCO，即 k·PB = PC．因此，求“PA + k·PB”的最小值转化为求“PA + PC”的最小值，即 A，P，C 三点共线时最小1.已知A(-4，-4)、B(0, 4)、C(0, -6)、 D(0, -1)，AB与x轴交于点E，以点E为圆心，ED长为半径作圆，点M为⊙E上AM的最小值．一动点，求CM+122.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，则AP+1BP的最小值为．2旋转最值及路径问题：1.如图，点O在线段AB上，OA=1，OB=3，以O为圆心，OA长为半径作⊙O，点M在⊙O上运动，连接MB，以MB为腰作等腰Rt△MBC，使∠MBC=90°，M，B，C三点为逆时针顺序，连接AC，则AC长的取值范围为___________．2.如图，线段AB为⊙O的直径，AB=4，点C为OB的中点，点P在⊙O上运动，连接CP，以CP为一边向上作等边△CPD，连接OD，则OD的最大值为___________．3.如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下做等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为__________4.如图，在Rt△ABC中，AB=BC=2，点P为AB边上一动点，连接CP，以CP为边向下作等腰RT△CPD，连接BD，则BD的最小值为____________．5..如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为直线y=2上一动点，连接AB，以AB为底边向下做等腰Rt△ABC，∠ACB=90°，连接OC，则OC的最小值为__________6.如图，已知点A（3，0），C（0，-4），⊙C的半径为√5，点P为⊙C上一动点，连接AP，若M为AP的中点，连接OM，则OM的最大值为．7．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AC=2，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为⊙C上一动点，连结AP，并绕点A顺时针旋转90°得到AP′，连结CP′，则CP′的取值范围是．8.如图，Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠C=90°．点P是AB边上一动点，D是AC延长线上一点，且AC=CD，连接PD，过点D作．则当点P从点A运动到B点时，点E运动的路径长为DE⊥PD，连接PE，且tan∠DPE=252的一个定点，AC⊥x 轴于点M，交直线y=-x 于点N．若点P 是线段ON 上9.如图，点A 是第一象限内横坐标为3的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长是旋转构图法（补形）问题：常见旋转模型：1.如图，在△ABC 中，AB=AC=32，∠BAC=120°，点D ，E 都在BC 上，∠DAE=60°，若BD=2CE ，则DE 的长为_____．2.在四边形ABCD 中，AD=4，CD ＝3，∠ABC=∠ACB ＝∠ADC=45°，则BD 的长为；3.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，将AB 边绕点A 逆时针旋转90°得到线段AD ，将AC 边绕点C 顺时针旋转90°得到线段CE ，AE 与BD 交于点F ．若DF=2，EF=22，则BC 边的长为____________．A D CB E FDE CB A4.如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，∠ABC=150°，则线段AP+BP+PD的最小值为5.如图，在△ABC中,∠ABC＝30°，AB＝4 ,BC＝5 , P是△ABC内部的任意一点，连接PA , PB , PC，则PA + PB + PC 的最小值为．。

中考数学中的最值问题求法考点一：利用对称求最值问题1.基本知识点：①两点之间线段最短；②点到直线的距离最短。

2.求最值问题的类型ABCD的边长为6，点E在BC上，CE＝2．点M是对角线BD上的一个动点，则EM+CM的最小值是（）A．62B．35C．213D．413【分析】要求ME+MC的最小值，ME、MC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化ME，MC的值，从而找出其最小值求解．【解答】解：如图，连接AE交BD于M点，∵A、C关于BD对称，∴AE就是ME+MC的最小值，∵正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE＝BC﹣CE＝6﹣2＝4，∵AB＝，∴AE＝＝2，∴ME+MC的最小值是2．故选：C．2．（2022•资阳）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB ＝4，则AE+OE的最小值是（）A．42B．25+2C．213D．210【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点A'，再连接A'O，运用两点之间线段最短得到A'O为所求最小值，再运用勾股定理求线段A'O的长度即可．【解答】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点A'，连接A'O，其与BC的交点即为点E，再作OF⊥AB交AB于点F，∵A与A'关于BC对称，∴AE＝A'E，AE+OE＝A'E+OE，当且仅当A'，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时AE+OE＝A'E+OE＝A'O，∵正方形ABCD，点O为对角线的交点，∴，∵A与A'关于BC对称，∴AB＝BA'＝4，∴F A'＝FB+BA'＝2+4＝6，在Rt△OF A'中，，故选：D．3．（2022•菏泽）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，M是对角线BD上的一个动点，CF＝BF，则MA+MF的最小值为（）A．1B．2C．3D．2【分析】当MA+MF的值最小时，A、M、F三点共线，即求AF的长度，根据题意判断△ABC为等边三角形，且F点为BC的中点，根据直角三角形的性质，求出AF的长度即可．【解答】解：当A、M、F三点共线时，即当M点位于M′时，MA+MF的值最小，由菱形的性质可知，AB＝BC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∵F点为BC的中点，AB＝2，∴AF⊥BC，CF＝FB＝1，∴在Rt△ABF中，AF＝＝．故选：C．4．（2022•广安）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F 分别为边AD、DC的中点，则PE+PF的最小值是（）A．2B．3C．1.5D．5【分析】如图，取AB的中点T，连接PT，FT．首先证明四边形ADFT是平行四边形，推出AD＝FT＝2，再证明PE+PF＝PT+PF，由PF+PT≥FT＝2，可得结论．【解答】解：如图，取AB的中点T，连接PT，FT．∵四边形ABCD是菱形，∴CD∥AB，CD＝AB，∵DF＝CF，AT＝TB，∴DF＝AT，DF∥AT，∴四边形ADFT是平行四边形，∴AD＝FT＝2，∵四边形ABCD是菱形，AE＝DE，AT＝TB，∴E，T关于AC对称，∴PE＝PT，∴PE+PF＝PT+PF，∵PF+PT≥FT＝2，∴PE+PF≥2，∴PE+PF的最小值为2．故选：A．5．（2022•赤峰）如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上．∠ABC＝120°，点A （﹣3，0），点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是（）3 A．3B．5C．22D．32【分析】根据题意得，E点关于x轴的对称点是BC的中点E'，连接DE'交AC与点P，此时PD+PE有最小值，求出此时的最小值即可．【解答】解：根据题意得，E点关于x轴的对称点是BC的中点E'，连接DE'交AC与点P，此时PD+PE有最小值为DE'，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，点A（﹣3，0），∴OA＝OC＝3，∠DBC＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴DE'＝OC＝3，即PD+PE的最小值是3，故选：A ．6．（2022•安顺）已知正方形ABCD 的边长为4，E 为CD 上一点，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ，过点D 作DG ⊥AF ，交AF 于点H ，交BF 于点G ，N 为EF 的中点，M为BD 上一动点，分别连接MC ，MN ．若91=∆∆FCEDCG S S ，则MC +MN 的最小值为 ．【分析】由正方形的性质，可得A 点与C 点关于BD 对称，则有MN +CM ＝MN +AM ≥AN ，所以当A 、M 、N 三点共线时，MN +CM 的值最小为AN ，先证明△DCG ∽△FCE ，再由＝，可知＝，分别求出DE ＝1，CE ＝3，CF ＝12，即可求出AN ．【解答】解：如图，连接AM ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴A 点与C 点关于BD 对称， ∴CM ＝AM ，∴MN +CM ＝MN +AM ≥AN ，∴当A 、M 、N 三点共线时，MN +CM 的值最小， ∵AD ∥CF ， ∴∠DAE ＝∠F ，∵∠DAE +∠DEH ＝90°， ∵DG ⊥AF ，∴∠CDG +∠DEH ＝90°， ∴∠DAE ＝∠CDG ， ∴∠CDG ＝∠F ， ∴△DCG ∽△FCE ， ∵＝，∴＝，∵正方形边长为4，∴CF＝12，∵AD∥CF，∴＝＝，∴DE＝1，CE＝3，在Rt△CEF中，EF2＝CE2+CF2，∴EF＝＝3，∵N是EF的中点，∴EN＝，在Rt△ADE中，EA2＝AD2+DE2，∴AE＝＝，∴AN＝，∴MN+MC的最小值为，故答案为：，7．（2022•内江）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是．【分析】延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，则四边形EFGC是平行四边形，得CE ＝FG，则AF+CE＝AF+FG，可知当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，利用勾股定理求出AG的长即可．【解答】解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，∵EF∥CG，EF＝CG，∴四边形EFGC是平行四边形，∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，由勾股定理得，AG＝＝＝10，∴AF+CE的最小值为10，故答案为：10．8．（2022•贺州）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E，F分别是AD，AB的中点，∠ADC的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则△PEF的周长最小值为．【分析】如图，在DC上截取DT，使得DT＝DE，连接FT，过点T作TH⊥AB于点H．利用勾股定理求出FT＝，EF＝5，证明PE+PF＝PF+PT≥FT，可得结论．【解答】解：如图，在DC上截取DT，使得DT＝DE，连接FT，过点T作TH⊥AB于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADT＝90°，∵∠AHT＝90°，∴四边形AHTD是矩形，∵AE＝DE＝AD＝3．AF＝FB＝AB＝4，∴AH＝DT＝3，HF＝AF﹣AH＝4﹣3＝1，HT＝AD＝6，∴FT＝＝＝，∵DG平分∠ADC，DE＝DT，∴E、T关于DG对称，∴PE＝PT，∴PE+PF＝PF+PT≥FT＝，∵EF＝＝＝5，∴△EFP的周长的最小值为5+，故答案为：5+．9．（2022•娄底）菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为．【分析】连接AQ，作AH⊥BC于H，利用SAS证明△ABQ≌△CBQ，得AQ＝CQ，当点A、Q、P共线，AQ+PQ的最小值为AH的长，再求出AH的长即可．【解答】解：连接AQ，作AH⊥BC于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB，∠ABQ＝∠CBQ，∵BQ＝BQ，∴△ABQ≌△CBQ（SAS），∴AQ＝CQ，∴当点A、Q、P共线，AQ+PQ的最小值为AH的长，∵AB＝2，∠ABC＝45°，∴AH＝，∴CQ+PQ的最小值为，故答案为：．10．（2022•眉山）如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连接PE，PB，若AB＝4，BC＝43，则PE+PB的最小值为．【分析】作点B关于AC的对称点B'，交AC于点F，连接B′E交AC于点P，则PE+PB 的最小值为B′E的长度；然后求出B′B和BE的长度，再利用勾股定理即可求出答案．【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B'，交AC于点F，连接B′E交AC于点P，则PE+PB的最小值为B′E的长度，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝4，∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝4，∴tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°，由对称的性质可知，B'B＝2BF，B'B⊥AC，∴BF＝BC＝2，∠CBF＝60°，∴B′B＝2BF＝4，∵BE＝BF，∠CBF＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴BE＝BF＝B'F，∴△BEB'是直角三角形，∴B′E＝＝＝6，∴PE+PB的最小值为6，故答案为：6．11．（2022•滨州）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10．若点E是边AD上的一个动点，过点E作EF⊥AC且分别交对角线AC、直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，AF+FE+EC的最小值为．【分析】如图，过点E作EH⊥BC于点H．利用相似三角形的性质求出FH，EF，设BF＝x，则DE＝10﹣x﹣＝﹣x，因为EF是定值，所以AF+CE的值最小时，AF+EF+CE 的值最小，由AF+CE＝+，可知欲求AF+CE的最小值相当于在x轴上找一点P（x，0），使得P到A（0，5），B（，5）的距离和最小，如图1中，作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于点P，连接AP，此时P A+PB的值最小，最小值为线段A′B的长，由此即可解决问题．【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BAD＝∠BHE＝90°，∴四边形ABHE是矩形，∴EH＝AB＝5，∵BC＝AD＝10，∴AC＝＝＝5，∵EF⊥AC，∴∠COF＝90°，∴∠EFH+∠ACB＝90°，∵∠BAC+∠ACB＝90°，∴∠EFH＝∠BAC，∴△EHF∽△CBA，∴＝＝，∴＝＝，∴FH＝，EF＝，设BF＝x，则DE＝10﹣x﹣＝﹣x，∵EF是定值，∴AF+CE的值最小时，AF+EF+CE的值最小，∵AF+CE＝+，∴欲求AF+CE的最小值相当于在x轴上找一点P（x，0），使得P到A（0，5），B（，5）的距离和最小，如图1中，作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′交xz轴于点P，连接AP，此时P A+PB的值最小，最小值为线段A′B的长，∵A′（0，﹣5），B（，5），∴A′B＝＝，∴AF+CE的最小值为，∴AF+EF+CE的最小值为+．解法二：过点C作CC′∥EF，使得CC′＝EF，连接C′F．∵EF＝CC′，EF∥CC′，∴四边形EFC′C是平行四边形，∴EC＝FC′，∵EF⊥AC，∴AC⊥CC′，∴∠ACC＝90°，∵AC′＝＝＝，∴AF+EC＝AF+FC′≥AC′＝，∴AF+EF+CE的最小值为+．故答案为：+．12．（2022•自贡）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，则GE+CF的最小值为．【分析】解法一：利用已知可以得出GC，EF长度不变，求出GE+CF最小时即可得出四边形CGEF周长的最小值，利用轴对称得出E，F位置，即可求出．解法二：设AE＝x，则BF＝3﹣x，根据勾股定理可得：EG+CF＝+，由勾股定理构建另一矩形EFGH，根据线段的性质：两点之间线段最短可得结论．【解答】解：解法一：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH＝1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF＝1，此时GE+CF的值最小，∵CH＝EF＝1，CH∥EF，∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH＝CF，∴G'H＝EG'+EH＝EG+CF，∵AB＝4，BC＝AD＝2，G为边AD的中点，∴DG'＝AD+AG'＝2+1＝3，DH＝4﹣1＝3，由勾股定理得：HG'＝＝3，即GE+CF的最小值为3．解法二：∵AG＝AD＝1，设AE＝x，则BF＝AB﹣EF﹣AE＝4﹣x﹣1＝3﹣x，由勾股定理得：EG+CF＝+，如图，矩形EFGH中，EH＝3，GH＝2，GQ＝1，P为FG上一动点，设PG＝x，则FP＝3﹣x，∴EP+PQ＝+，当E，P，Q三点共线时，EP+PQ最小，最小值是3，即EG+CF的最小值是3．故答案为：3．13．（2022•泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（）A．2B．2C．22D．4【分析】连接AE，那么，AE＝CG，所以这三个d的和就是AE+EF+FC，所以大于等于AC，故当AEFC四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案．【解答】解：如图，连接AE ，∵四边形DEFG 是正方形，∴∠EDG ＝90°，EF ＝DE ＝DG ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠ADC ＝90°，∴∠ADE ＝∠CDG ，∴△ADE ≌△CDG （SAS ），∴AE ＝CG ，∴d 1+d 2+d 3＝EF +CF +AE ，∴点A ，E ，F ，C 在同一条线上时，EF +CF +AE 最小，即d 1+d 2+d 3最小，连接AC ，∴d 1+d 2+d 3最小值为AC ，在Rt △ABC 中，AC ＝AB ＝2，∴d 1+d 2+d 3最小＝AC ＝2， 故选：C ．14．（2022•安徽）已知点O 是边长为6的等边△ABC 的中心，点P 在△ABC 外，△ABC ，△P AB ，△PBC ，△PCA 的面积分别记为S 0，S 1，S 2，S 3．若S 1+S 2+S 3＝2S 0，则线段OP 长的最小值是（ ）A ．233B ．235C ．33D ．237【分析】如图，不妨假设点P 在AB 的左侧，证明△P AB 的面积是定值，过点P 作AB 的平行线PM ，连接CO 延长CO 交AB 于点R ，交PM 于点T ．因为△P AB 的面积是定值，推出点P 的运动轨迹是直线PM ，求出OT 的值，可得结论．【解答】解：如图，不妨假设点P 在AB 的左侧，∵S △P AB +S △ABC ＝S △PBC +S △P AC ，∴S 1+S 0＝S 2+S 3，∵S 1+S 2+S 3＝2S 0，∴S 1+S 1+S 0＝2，∴S1＝S0，∵△ABC是等边三角形，边长为6，∴S0＝×62＝9，∴S1＝，过点P作AB的平行线PM，连接CO延长CO交AB于点R，交PM于点T．∵△P AB的面积是定值，∴点P的运动轨迹是直线PM，∵O是△ABC的中心，∴CT⊥AB，CT⊥PM，∴•AB•RT＝，CR＝3，OR＝，∴RT＝，∴OT＝OR+TR＝，∵OP≥OT，∴OP的最小值为，当点P在②区域时，同法可得OP的最小值为，如图，当点P在①③⑤区域时，OP的最小值为，当点P在②④⑥区域时，最小值为，∵＜，故选：B．考点二：利用确定圆心的位置求最短路径通过确定圆心的位置，利用定点到圆心的距离加或减半径解题。

回归教材重难点07 几何最值问题几何最值问题是初中几何章节的重点内容，考查的范围比较广，把几何图形性质与平移、翻折等图形变换结合起来。

在中考数学中，主要是以压轴题形式出现。

通过熟练的几何模型的应用，提升数学学科素养，提高逻辑思维推断能力。

本考点是中考五星高频考点，在全国各地的中考试卷中均有出现，题目难度较大，甚至有些地方将其作为选填题的压轴题。

1.将军饮马模型；2.瓜豆模型；3.隐圆模型1．（2021·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝23AD＝2点P为边AB上一点．以DP为折痕将△DAP翻折，点A的对应点为点A'．连结AA'，AA' 交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连结AQ，MQ，则AQ＋MQ的最小值是________【答案】42【分析】如图，作点A关于BC的对称点T，取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．想办法求出RM，RT，求出MT的最小值，再根据QA＋QM＝QM＋QT≥MT，可得结论．【详解】解：如图，作点A关于BC的对称点T，取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．△四边形ABCD 是矩形，△△RAT ＝90°，△AR ＝DR 2AT ＝2AB ＝3△RT 2222(2)(43)52AR AT ++△A ，A′关于DP 对称，△AA′△DP ，△△AMD ＝90°， △AR ＝RD ，△RM ＝12AD 2△MT ≥RT −RM ，△MT 2， △MT 的最小值为2△QA ＋QM ＝QT ＋QM ≥MT ，△QA ＋Q M 2，△QA ＋QM 的最小值为2．故答案为：2【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是求出MT 的最小值，属于中考常考题型．2．（2021·四川成都·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，4,8AB AD ==，点E ，F 分别在边,AD BC 上，且3AE =，按以下步骤操作：第一步，沿直线EF 翻折，点A 的对应点'A 恰好落在对角线AC 上，点B 的对应点为'B ，则线段BF 的长为_______；第二步，分别在,'EF A B 上取点M ，N ，沿直线MN 继续翻折，使点F 与点E 重合，则线段MN 的长为_______．【答案】 1 5【分析】第一步：设EF 与AA’交于点O ，连接AF ，易证明△AOE △ADC ，利用对应边成比例可得到OA =2OE ，由勾股定理可求出OE 35从而求得OA 及OC ；由AD △BC ，易得△AOE △△COF ，由对应边成比例可得AE 、FC 的关系式，设BF =x ，则FC =8-x ，由关系式可求得x 的值；第二步：连接NE ，NF ，根据折叠的性质，得到NF =NE ，设B’N =m ，分别在Rt △NB F '和Rt △ EA N '中，利用勾股定理及NF =NE 建立方程，可求得m ，最后得出结果．【详解】如图所示，连接AF ，设EF 与AA’交于点O ，由折叠的性质得到AA’△EF ， 3A E AE '==△四边形ABCD 是矩形△△ADC =90°，CD =AB =4 ，AD △BC△△AOE =△ADC ，△OAE =△DAC △△AOE △ADC ，△12OE CD OA AD == ，△OA =2OE ， 在直角△AOE 中，由勾股定理得：2249OE OE += ，△OE 35，△OA 65， 在Rt △ADC 中，由勾股定理得到：AC 224845+=，△OC =6514545 令BF =x ，则FC =8-x ，△AD △BC ，△△AOE △△COF ，△37OA AE OC FC == ，即7AE =3FC △3(8-x )=7×3解得：1x =,△BF 的长为1． 连接NE ，NF ，如图，根据折叠性质得：BF =B’F =1，MN △EF ，NF =NE ，设B’N =m ，则22222213(4)NF m NE m =+==+- ，解得：m =3，则NF 10，△EF 222425+=△MF 5△MN 5故答案为：15【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、三角形相似的判定与性质，矩形的性质等知识，熟练运用这些知识是解决本题的关键，本题还涉及到方程的运用．3．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点F 是正方形内一点，连接,CF DF ，且ADF =DCF ∠∠，点E 是AD 边上一动点，连接,EB EF ，则EB EF +长度的最小值为___________．【答案】3133【分析】根据正方形的性质得到△ADC ＝90°，推出△DFC ＝90°，点F 在以DC 为直径的半圆上移动，，如图，设CD 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线AD 对称的正方形APGD ，则点B 的对应点是P ，连接PO 交AD 于E ，交半圆O 于F ，则线段FP 的长即为BE ＋FE 的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：△四边形ABCD 是正方形，△△ADC ＝90°，△△ADF ＋△CDF ＝90°，△ADF =DCF ∠∠，△△DCF ＋△CDF ＝90°，△△DFC ＝90°，△点F 在以DC 为直径的半圆上移动，如图，设CD 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线AD 对称的正方形APGD ，则点B 的对应点是P ， 连接PO 交AD 于E ，交半圆O 于F ，则线段FP 的长即为BE ＋FE 的长度最小值，OF ＝3，△△G ＝90°，PG ＝DG ＝AB ＝6，△OG ＝9，△OP 222269313PG OG +=＋△FP ＝3133， △BE ＋FE 的长度最小值为3133，故答案为：3133．【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，正方形的性质，勾股定理以及圆的基本性质．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．4．（2021·山东聊城·中考真题）如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，B ，D 两点坐标分别为B （﹣4，6），D （0，4），线段EF 在边OA 上移动，保持EF ＝3，当四边形BDEF 的周长最小时，点E 的坐标为__________．【答案】()0.4,0-【分析】先得出D 点关于x 轴的对称点坐标为H （0，-4），再通过转化，将求四边形BDEF 的周长的最小值转化为求FG +BF 的最小值，再利用两点之间线段最短得到当F 、G 、B 三点共线时FG +BF 的值最小，用待定系数法求出直线BG 的解析式后，令y =0，即可求出点F 的坐标，最后得到点E 的坐标．【详解】解：如图所示，△D （0，4），△D 点关于x 轴的对称点坐标为H （0，-4），△ED =EH ，将点H 向左平移3个单位，得到点G （-3，-4），△EF =HG ，EF △HG ，△四边形EFGH 是平行四边形，△EH =FG ，△FG =ED ，△B （-4，6），△BD ()()224064=25--+-又△EF ＝3，△四边形BDEF 的周长=BD +DE +EF +BF =25FG +3+BF ,要使四边形BDEF 的周长最小，则应使FG +BF 的值最小，而当F 、G 、B 三点共线时FG +BF 的值最小， 设直线BG 的解析式为：()0y kx b k =+≠△B （-4，6），G （-3，-4），△4634k b k b -+=⎧⎨-+=-⎩，△1034k b =-⎧⎨=-⎩，△1034y x =--， 当y =0时， 3.4x =-，△()3.4,0F -，△()0.4,0E -，故答案为：()0.4,0-．【点睛】本题综合考查了轴对称的性质、最短路径问题、平移的性质、用待定系数法求一次函数的解析式等知识，解决问题的关键是“转化”，即将不同的线段之间通过转化建立相等关系，将求四边形的周长的最小值问题转化为三点共线和最短的问题等，本题蕴含了数形结合与转化的思想方法等．5．（2021·广东·中考真题）在ABC 中，90,2,3ABC AB BC ∠=︒==．点D 为平面上一个动点，45ADB ∠=︒，则线段CD 长度的最小值为_____． 52-【分析】由已知45ADB ∠=︒，2AB =，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，点D 在以O 为圆心OB 为半径的圆上，线段CD 长度的最小值为CO OD -．【详解】如图： 以12AB 为半径作圆，过圆心O 作,ON AB OM BC ⊥⊥， 以O 为圆心OB 为半径作圆，则点D 在圆O 上，45ADB ∠=︒90AOB ∠=︒∴2AB =，1AN BN ==，22112AO ∴=+112ON OM AB ===,3BC =，221(31)5OC ∴=+-=52CO OD ∴-=CD 长度的最小值为52-52-【点睛】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．6．（2021·河南周口·三模）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点E ，F 分别在BC ，AB 上移动，AF ＝BE ，AE 和DF 交于点P ，点M 为边AB 上一动点，点N 为平面上一动点，CN ＝1，则NM +MP 的最小值是 ___．【答案】133【分析】首先证明△APD =90°，推出点P 在以AD 为直径的圆上运动，设圆心为T ，作点T 关于AB 的对称点R ，以R 为圆心，AR 为半径作△R ，则点P 关于AB 的对称点L ，在△R 上，连接CR ，R L ，ML ．根据RL +ML +MN +NC ≥CR ，MP =ML ，求出CR ，可得结论．【详解】解：如图，△四边形ABCD 是正方形，△△B =△DAF =90°，AD =AB ，在△AB E 和△DAF 中，AB DA B DAF BE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABE △△DAF （SAS ），△△BAE =△ADF ，△△BAE +△DAP =90°，△△ADP +△DAE =90°，△△APD =90°，△点P 在以AD 为直径的圆上运动，设圆心为T ，作点T 关于AB 的对称点R ，以R 为圆心，AR 为半径作△R ，则点P 关于AB 的对称点L ，在△R 上，连接CR ，RL ，ML ．△CN =1，△点N 在以C 为圆心，半径为1的△C 上运动，在Rt △CD R 中，CR 22DR CD +2264+13△RL +ML +MN +NC ≥CR ，MP =ML ，△PM +MN 132-1，△PM +MN 133，△PM +MN 的最小值为133．【点睛】本题考查轴对称最短问题，正方形的性质，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会把问题转化为两点之间线段最短，属于中考填空题中的压轴题．7．（2021·河南郑州·一模）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，P 是AB 边上一动点（不与点A ，B 重合），连接PD ，过点B 作BM △PD 交DP 的延长线于点M ，连接AM ，过点A 作AN △AM 交PD 于点N ，连接BN ，CN ，则△BNC 面积的最小值为________．【答案】1242-【分析】点N 在正方形内部，所以S △AND +S △BNC ＝12S 正方形ABCD ＝14482⨯⨯=，由BM △PD 可得点M 在以BD 中点为圆心，12BD 长为半径的圆上，先证明△AMB 与△ADN 全等，然后求△ABM 最大面积即可求出△BNC 的最小面积．【详解】解：△四边形ABCD 为正方形， △AD ＝AB ，△BAD ＝△BAN +△NAD ＝90°，△△MAB +△BAN ＝△MAN ＝90°，△△MAB ＝△NAD ，△△BMP +△BPM +△MBP ＝△P AD +△PDA +△APD ＝180°，△MPB ＝△APD ，△BMP ＝△DAP ＝90°，△△MBP ＝△ADP ， 在△AMB 和△AND 中，MAB NAD MBA NDA AB AD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝＝，△△AMB △△AND （ASA ）．△S △AMB ＝S △AND ， △S △AND +S △BNC ＝12S 正方形ABCD ＝14482⨯⨯=，△当S △AMB 面积最大时，S △BNC 面积最小， △△BMD ＝90°，△点M 在以BD 中点为圆心，12BD 长为半径的圆上，当△ABM面积最大时，OM △AB ，如图，△点O 为BD 中点，OM △AD ，△OK ＝12AD ＝2，△BD 2＝42△OM ＝12BD ＝22△MK ＝OM ﹣OK ＝222，△S △AMB ＝12AB •MK ＝424， △S △BNC ＝8﹣S △AMB ＝8﹣（424）＝1242-故答案为：1242-【点睛】本题考查正方形的性质、三角形面积计算、全等三角形的判定、圆周角定理等知识点，将求△BNC 的最小面积转化为求△ABM 最大面积并找出M 点运动轨迹是解题关键．8．（2021·河南·三模）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝8，点E ，F 分别为边AB ，AD 上的动点，且EF ＝6，点G ，M 分别为边BC ，CD 的中点，连接BM ，DG 交于点O ．将△EF A 沿EF 折叠得到△EF A '，点H 是边EF 上一动点，连接A 'H ，HO ，OA '．当A 'H +HO 的值最小时，OA '的长为 __________________．16216- 【分析】连接AH 、AO ，由折叠的性质，点A 与点A '关于直线EF 对称，则可得当A 、H 、O 三点共线时，A 'H +HO 的值最小，连接OC 、AH ，过点O 作NO △BC 于点N ，可知四边形AF A 'E 是正方形，△ACB ＝45°，设CN ＝x ，则ON ＝CN ＝x ，BN ＝8﹣x ，可证明△BON △△BMC ，可求出CN ＝83，CO ＝823，在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝2A 'O ＝AC ﹣AA '﹣OC 162． 【详解】解：连接AH 、AO ，如图，由折叠的性质，点A 与点A '关于直线EF 对称，AH A H '∴= A H HO AH HO AO '∴+=+≥A H O ∴、、三点共线时，A H HO '+的值最小，连接OC 、AH ，过点O 作NO △BC 于点N ，如图2，∴四边形AFA E '是正方形，6AA EF '∴==，A O C 、、三点共线，45ACB ∴∠=︒M 是DC 中点，4MC ∴=设CN ＝x ，则ON ＝CN ＝x ，BN ＝8﹣x ，BNO BCM ∠=∠，BON BMC ∴~，ON MC BN BC ∴=即488x x =-，83x ∴=，83CN ∴= 822CO CN ∴==在Rt ABC 中，由勾股定理得，2282AC AB BC =+=8216282616A O AC AA OC ''∴=--== 16216-． 【点睛】本题考查相似的判定与性质、折叠的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．9．（2021·四川绵阳·一模）等边△ABC 的边长为6，P 是AB 上一点，AP ＝2，把AP 绕点A 旋转一周，P 点的对应点为P ′，连接BP ′，BP ′的中点为Q ，连接CQ ．则CQ 长度的最小值是_____．【答案】331【分析】取AB中点D，连接DQ，CD，AP'，利用等边三角形求出CD＝33根据三角形中位线定理得到DQ＝1，利用三角形三边关系得出结果．【详解】解：如图，取AB中点D，连接DQ，CD，AP'，△AP＝2，把AP绕点A旋转一周，△AP'＝2，△等边△ABC的边长为6，点D是AB中点，△BD＝AD＝3，CD△AB，△CD22226333BC BD--△点Q是BP'是中点，△BQ＝QP'，又△AD＝BD，△DQ＝12AP'＝1，在△CDQ中，CQ≥DC﹣DQ，△CQ的最小值为31，故答案为331．【点睛】本题考查最短路径、中位线、等边三角形等知识，解决问题的关键是已知中点的常见思路：等腰三角形中构造三线合一，一般三角形中构造中位线．10．（2021·福建·厦门五缘实验学校二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数ykx=（k＞0）的图象与半径为5的△O交于M、N两点，△MON的面积为3.5，若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是______．【答案】2【详解】设点M（a，b），N（c，d），先求出a2+b2＝c2+d2＝25，再求出ac()227k c a-=，同理：bd()227k b d-=，即可得出ac﹣bc＝0，最后用两点间的距离公式即可得出结论．【解答】解：如图，设点M（a，b），N（c，d），△ab＝k，cd＝k，△点M，N在△O上，△a2+b2＝c2+d2＝25，作出点N关于x轴的对称点N'（c，﹣d），△MN'即为PM+PN的最小值△S△OMN12=k12+（b+d）（a﹣c）12-k＝3.5，△ad﹣bc＝7，△kc kaa c-=7，△ac()227k c a-=，同理：bd()227k b d-=，△ac﹣bc()()2222777k c a k b d k--=-=[（c2+d2）﹣（a2+b2）]＝0，△M（a，b），N'（c，﹣d），△MN'2＝（a﹣c）2+（b+d）2＝a2+b2+c2+d2﹣2ac+2bd＝a2+b2+c2+d2﹣2（ac﹣bd）＝50，△MN'＝2故答案为：2【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质、圆的性质、两点间的距离公式，判断出ac-bd=0是解本题的关键．11．（2021·广东·雷州市第八中学一模）如图，把矩形ABCD沿EF对折，使B与D重合，折痕EF交BD于G，连AG，若tan△AGE7BF＝8，P为DG上一个动点，则PF+PC的最小值为_____．【答案】10【分析】如图，连接BE，CE，PE，取BE的中点O，连接OA，OG．首先证明△EGD△△FGB（ASA），推出BF=DE=8，EG=FG，再证明PF=PE，推出PF+PC=PE+PC≥EC，想办法求出EC即可解决问题．【详解】解：如图，连接BE，CE，PE，取BE的中点O，连接OA，OG．由题意，EF 垂直平分线段BD ，△EB =ED ，BG =GD ，△四边形ABCD 是矩形，△AD △BC ，△△EDG =△FBG ，△△EGD =△FGB ，△△EGD △△FGB （ASA ），△BF =DE =8，EG =FG ，△DB △EF ，△PE =PF ，△PF +PC =PE +PC ≥EC ，△△BAE =△BGE =90°，OB =OE ，△OA =OB =OE =OG ，△A ，B ，G ，E 四点共圆，△△ABE =△AGE ，△tan△ABE =tan△AGE 7AE AB ， 设AE 7，AB =3k ，△AB 2+AE 2=BE 2，BE =DE =8，△7k ）2+（3k ）2=82，△k =2，△AB =CD =6，△△EDC =90°，△EC 222268CD DE ++，△PF +PC ≥10，△PF +PC 的最小值为10．故答案为：10．【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，解直角三角形，四点共圆等知识，本题综合性比较强． 12．（2022·上海·一模）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC 22BC =ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到DEC ，连接AD ，BE ，直线AD ，BE 相交于点F ，连接CF ，在旋转过程中，线段CF 的最大值为__________．10【分析】取AB 的中点H ，连接CH 、FH ，设EC ，DF 交于点G ，在△ABC 中，由勾股定理得到AB 10由旋转可知：△DCE △△ACB ，从而△DCA =△BCE ，△ADC =△BEC ，由△DGC =△EGF ，可得△AFB =90º，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得FH=CH=12AB10△FCH中，当F、C、H在一条直线上时，CF10【详解】取AB的中点H，连接CH、FH，设EC，DF交于点G，在△ABC中，△ACB=90º，△AC2，BC2△AB2210AC BC+由旋转可知：△DCE△△ACB，△△DCE=△ACB，DC=AC，CE=CB，△△DCA=△BCE，△△ADC=12(180º-△ACD) ，△BEC=12(180º-△BCE)，△△ADC=△BEC，△△DGC=△EGF，△△DCG=△EFG=90º，△△AFB=90º，△H是AB的中点，△FH=12AB，△△ACB=90º，△CH=12AB，△FH=CH=12AB10在△FCH中，FH+CH>CF，当F、C、H在一条直线上时，CF 101010=△线段CF10.10【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握全等的性质.13．（2022·重庆·一模）如图，已知ABC ，外心为O ，18BC =，60BAC ∠=︒，分别以AB ，AC 为腰向形外作等腰直角三角形ABD △与ACE ，连接BE ，CD 交于点P ，则OP 的最小值是______．【答案】933-【分析】由ABD △与ACE 是等腰直角三角形，得到90BAD CAE ∠=∠=︒，DAC BAE ∠=∠，根据全等三角形的性质得到ADC ABE ∠=∠，求得在以BC 为直径的圆上，由ABC 的外心为O ，60BAC ∠=︒，得到120BOC ∠=︒，如图，当PO BC ⊥时，OP 的值最小，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：ABD 与ACE 是等腰直角三角形，90BAD CAE ∴∠=∠=︒，DAC BAE ∴∠=∠，在DAC △与BAE 中，AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DAC ∴△()BAE SAS ，ADC ABE ∴∠=∠，90PDB PBD ∴∠+∠=︒， 90DPB ∴∠=︒，P ∴在以BC 为直径的圆上，ABC 的外心为O ，60BAC ∠=︒，120BOC ∴∠=︒，如图，当PO BC ⊥时，OP 的值最小，18BC =，9BH CH ∴==，12OH OB =，223BH OB OH OH ∴- 33OH ∴=9PH =，933OP ∴=-OP 的最小值是933-，故答案为：933-【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．。

专题瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题【专题说明】动点轨迹问题是中考的重要压轴点.受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚,该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎,致使该压轴点成为学生在中考中失分的一个黑洞.掌握该压轴点的基本图形,构建问题解决的一般思路,是中考专题复习的一个重要途径.本文就动点轨迹问题的基本图形作一详述.动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型.【知识精讲】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

（1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值（2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线。

②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。

③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线。

如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？P QAB C【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．N C B AQP M【引例】如图，△APQ 是等腰直角三角形，∠P AQ =90°且AP =AQ ，当点P 在直线BC 上运动时，求Q 点轨迹？CB AQ P【分析】当AP 与AQ 夹角固定且AP :AQ 为定值的话，P 、Q 轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q 点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q 点轨迹线段．Q 2Q 1ABC【模型总结】必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠P AQ 是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP :AQ 是定值）．结论：P 、Q 两点轨迹所在直线的夹角等于∠P AQ （当∠P AQ ≤90°时，∠P AQ 等于MN 与BC 夹角） M N ααP QAB CP 、Q 两点轨迹长度之比等于AP :AQ （由△ABC ∽△AMN ，可得AP :AQ =BC :MN ） M NααAB C【精典例题】1、如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE =1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．GA B CDE F2、如图，等腰Rt △ABC 中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC 边上的动点，OQ ⊥OP 交BC 于点Q ，M 为PQ 的中点，当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长为（ ）A ．24πB ．22πC ．1D ．23、如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且∆∆=PAB PCD S S ，则PC PD +的最小值为_____．4、如图，在平面内，线段AB =6，P 为线段AB 上的动点，三角形纸片CDE 的边CD 所在的直线与线段AB 垂直相交于点P ，且满足PC =P A ．若点P 沿AB 方向从点A 运动到点B ，则点E 运动的路径长为______．5、如图，等边三角形ABC 的边长为4，点D 是直线AB 上一点．将线段CD 绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE ，连结BE ．（1）若点D 在AB 边上（不与A ，B 重合）请依题意补全图并证明AD=BE ；（2）连接AE ，当AE 的长最小时，求CD 的长．【精典例题】1、如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE =1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边向右侧作等边△EFG ，连接CG ，则CG 的最小值为 ．GA B C DE F【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG 最小值，可以将F 点看成是由点B 向点A 运动，由此作出G 点轨迹：考虑到F 点轨迹是线段，故G 点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G 点在1G 位置，最终G 点在2G 位置（2G 不一定在CD 边），12G G 即为G 点运动轨迹．G 2G 1E DCB ACG 最小值即当CG ⊥12G G 的时候取到，作CH ⊥12G G 于点H ，CH 即为所求的最小值．根据模型可知：12G G 与AB 夹角为60°，故12G G ⊥1EG ．过点E 作EF ⊥CH 于点F ，则HF =1G E =1，CF =1322CE =， 所以CH =52，因此CG 的最小值为52． F HG 2G 1E DCB A 2、如图，等腰Rt △ABC 中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC 边上的动点，OQ ⊥OP 交BC 于点Q ，M 为PQ 的中点，当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长为（ ）A ．24B ．22C ．1D ．2【答案】C【详解】连接OC ，作PE ⊥AB 于E ，MH ⊥AB 于H ，QF ⊥AB 于F ，如图，∵△ACB 为到等腰直角三角形，∴AC=BC=222，∠A=∠B=45°，∵O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB ，OC 平分∠ACB ，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ ，在Rt △AOP 和△COQ 中A OCQ AO COAOP COQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴Rt △AOP ≌△COQ ，∴AP=CQ ，易得△APE 和△BFQ 都为等腰直角三角形，∴PE=22AP=22CQ ，QF=22BQ ， ∴PE+QF=22（CQ+BQ ）=22BC=222， ∵M 点为PQ 的中点，∴MH 为梯形PEFQ 的中位线，∴MH=12（PE+QF ）=12， 即点M 到AB 的距离为12， 而CO=1，∴点M 的运动路线为△ABC 的中位线，∴当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长=12AB=1， 故选C ．3、如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且∆∆=PAB PCD S S ，则PC PD +的最小值为_____．【答案】213【详解】ABCD 为矩形，AB DC ∴=又=PAB PCD S S∴点P 到AB 的距离与到CD 的距离相等，即点P 线段AD 垂直平分线MN 上， 连接AC ，交MN 与点P ，此时PC PD +的值最小，且PC PD AC +==22224652213AB BC +=+==故答案为：2134、如图，在平面内，线段AB =6，P 为线段AB 上的动点，三角形纸片CDE 的边CD 所在的直线与线段AB 垂直相交于点P ，且满足PC =P A ．若点P 沿AB 方向从点A 运动到点B ，则点E 运动的路径长为______．【答案】62 【详解】解：如图，由题意可知点C 运动的路径为线段AC ′，点E 运动的路径为EE ′，由平移的性质可知AC ′=EE ′，在Rt △ABC ′中，易知AB =BC ′=6，∠ABC ′=90°，∴EE ′=AC 2266+2故答案为：625、如图，等边三角形ABC 的边长为4，点D 是直线AB 上一点．将线段CD 绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE ，连结BE ．（1）若点D 在AB 边上（不与A ，B 重合）请依题意补全图并证明AD=BE ；（2）连接AE ，当AE 的长最小时，求CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）27【详解】解：（1）补全图形如图1所示，AD=BE，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，由旋转的性质得：∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．（2）如图2，过点A作AF⊥EB交EB延长线于点F．∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE=∠A=60°，∴点E的运动轨迹是直线BE，根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，此时CD=CE=CF，∵∠ACB=∠CBE=60°，∴AC∥EF，∵AF⊥BE，∴AF⊥AC，在Rt △ACF 中， ∴CF=22AC AF +=()22423+=27，∴CD=CF=27.专题 瓜豆原理中动点轨迹圆或圆弧型最值问题【专题说明】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。

1.旋转—线段1.在ABC 中，AB AC =，060BAC αα∠=︒︒（＜＜），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD ． （1）如图1，直接写出ABD ∠的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，150BCE ∠=︒，60ABE ∠=︒，判断ABE 的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE ，若45DEC∠=︒，求α的值．解析：（1） 60ABD ABC ∠=∠-︒ 又18019022ABC αα︒-∠==︒- 1190603022ABD αα∴∠=︒--︒=︒- （2）ABE 是等边三角形证明：连接AD 、CD∵60DBC∠=︒，DB BC = ∴BCD 是等边三角形，60BDC ∠=︒，BD DC =又∵AB AC =，AD AD =，∴ABD ACD ≌∴ADB ADC ∠=∠，∴150ADB ∠=︒∵60ABE DBC ∠=∠=︒，∴ABD EBC ∠=∠又∵BD BC =，150ADB ECB ∠=∠=︒∴ABD EBC ≌，∴AB EB = ∴ABE 是等边三角形（3）解：∵BDC 是等边三角形，∴60BCD ∠=︒ ∴90DCE BCE BCD ∠=∠-∠=︒又∵45DEC ∠=︒，∴EC DC BC ==, ∴1801801501522BCE EBC CEB ︒-∠︒-︒∠=∠===︒, ∵ 302EBC ABD a ∠=∠=︒-, ∴30α=︒.2.在ABC 中，BA BC =，BAC α∠=，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ．（1）若60α=︒且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ,请补全图形，并写出CDB ∠的度数；（2）在图2中，点P 不与点B ，M 重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ QD =，请直接写出α的范围．解析：（1）补全图形，见图1；30CDB ∠=︒（2）猜想：90CDB α∠=︒-证明：如图2 ，连结AD ，PC∵BA BC =，M 是AC 的中点，∴BM AC ⊥∵点D ，P 在直线BM 上，∴PA PC =，DA DC = 又∵DP 为公共边，∴ADP CDP ≌∴DAP DCP ∠=∠，ADP CDP ∠=∠又∵PA PQ =，∴PQ PC =∴DCP PQC ∠=∠，DAP PQC ∠=∠∵180PQC DQP ∠+∠=︒，∴180DAP DQP ∠+∠=︒∴在四边形APQD 中，180ADQ APQ ∠+∠=︒∴2APQ α∠=，∴1802ADQ α∠=︒- ∴9012CDB ADQ α∠=∠=︒-（3）4560α︒︒＜＜提示：由（2）知90CDB α∠=︒-，且PQ QD =QPD CDB ∴∠=∠∴21802PQC QPD CDB CDB PAD PCQ α∠=∠+∠=∠=︒-=∠=∠∵点P 不与点B ，M 重合，∴MAD PAD BAD ∠∠∠＜＜∴18022ααα︒-＜＜，∴4560α︒︒＜＜3.如图1，边长为4的正方形ABCD 中，点E 在AB 边上（不与点A ，B 重合），点F 在BC 边上（不与点B ，C 重合）． 第一次操作：将线段EF 绕点F 顺时针旋转，当点E 落在正方形上时，记为点G ；第二次操作：将线段FG 绕点G 顺时针旋转，当点F 落在正方形上时，记为点H ；依此操作下去…（1）图2中的EFD 是经过两次操作后得到的，其形状为____________，求此时线段EF 的长；（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH ．①请判断四边形EFGH 的形状为____________，此时AE 与BF 的数量关系是_________；②以①中的结论为前提，设AE 的长为x ，四边形EFGH 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式及y 的取值范围．（3）若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？如果是，请直接写出其边长；如果不是，请说明理由．解析：（1）由旋转可得：EF FD DE == DEF ∴为等边三角形∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD BCAB ===，90A B C ∠=∠=∠=︒ ∵ED FD =，∴ADE CDF ≌ ∴AE CF =，BE BF =∴三角形BEF 是等腰直角三角形设BE 的长为x ，则DE EF==，4AE x =- 在Rt ADE 中，222DE AD AE =+∴ 2224)4()x =+-解得14x =-+，24x =--（舍去）∴EF ==-+（2）①四边形EFGH 的形状为正方形，此时AE BF = ．理由如下：依题意画出图形，如答图1所示：由旋转性质可知，EF FG GH HE === ，∴ 四边形EFGH 的形状为正方形．12902390∠+∠=︒∠+∠=︒， ，13∴∠=∠ ．34902390∠+∠=︒∠+∠=︒， ，24∴∠=∠ ．在AEH 与BFE 中，1324EH EF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩AEH BFE ASA ∴≌（）AE BF ∴= ．②利用①中结论，易证AEH BFE CGF DHG 、、、均为全等三角形，BF CG DH AE x ∴==== ，4AH BE CF DG x ====- ．在Rt BEF 中，222EF BE BF =+∴2224281(60)4y x x x x x =-+=-+（＜＜） ∵222816(228)y x x x =-+=-+∴当2x =时，y 取得最小值8；当0x =时，16y =∴y 的取值范围是816y ≤＜（3）经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是8，它可能为正多边形，边长为4-．如答图2所示，粗线部分是由线段EF 经过7次操作所形成的正八边形．设边长EF FG x == ，则BF CG x == ，422BC BF FG CG x x x =++=++=，解得：4x =-．4.已知，四边形ABCD 是正方形，点P 在直线BC 上，点G 在直线AD 上（P 、G 不与正方形顶点重合，且在CD 的同侧），PD PG =，DFPG ⊥于点H ，交直线AB 于点F ，将线段PG 绕点P 逆时针旋转90︒得到线段PE ，连结EF ．（1）如图1，当点P 与点G 分别在线段BC 与线段AD 上时．①求证：2DG PC =；②求证：四边形PEFD 是菱形；（2）如图2，当点P 与点G 分别在线段BC 与线段AD 的延长线上时，猜想四边形PEFD 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．解析：（1）①作PM AD ⊥于点M∵PD PG =，∴MG MD =又∵MD PC =，∴2DG PC =②∵PG FD ⊥于H ，∴90DGHADF ∠+∠=︒ 又∵90ADF AFD ∠+∠=︒∴DGP AFD ∠=∠∵四边形ABCD 是正方形，PMAD ⊥于点M ∴90A PMD ∠=∠=︒，PMAD = ∴PMG DAF ≌，∴DF PG =∵PG PE =，∴DFPE = ∵DF PG ⊥，PE PG ⊥，∴DF PE∴四边形PEFD 是平行四边形又∵PE PD =，∴PEFD 是菱形（2）四边形PEFD 是菱形证明：∵四边形ABCD 是正方形，DHPG ⊥于H ∴90ADC DHG ∠=∠=︒∴90CDG DHG ∠=∠=︒∴90CDP PDG ∠+∠=︒，90GDHG ∠+∠=︒ ∵PD PG =，∴PDG G ∠=∠∴CDP GDH ∠=∠∴CDP ADF ∠=∠又∵AD DC =，90FAD PCD ∠=∠=︒∴PCD FAD ≌，∴DF PD =∵PD PG PE ==，∴DF PE =又∵FD PG ⊥，PE PG ⊥，∴DF PE ∴四边形PEFD 是平行四边形又∵DFPD =，∴平行四边形PEFD 是菱形5.如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且DE 平分ADF ∠．（1）求证：AE CF DF +=；（本小问不予评分，自行查看解析） （2）当FE 平分BFD ∠时（如图2），将线段DF 绕点F 逆时针旋转45︒，旋转后的线段分别交AD 、ED 于点P 、Q ，若正方形ABCD 的边长为4，求PEQ 的面积．解析：（1）证明：将ADE 绕点D 顺时针旋转90︒到CDG则AE CG =，ADE CDG ∠=∠，AED G ∠=∠∵AB DC ，∴AED EDC ∠=∠ ∴G EDC ∠=∠∵ADE EDF ∠=∠，∴CDG EDF ∠=∠∴FDG FDC CDG FDC EDFEDC ∠=∠+∠=∠+∠=∠ ∴G FDG ∠=∠，∴DFFG = ∵CFCG FG +=，∴AE CF DF +=（2）过E 作EG DF ⊥于G 则ADE GDE ≌，BEF GEF ≌∴2AE GE BE ===，∴DE =∵AD BC ，∴180ADF BFD ∠+∠=︒ ∵DE 平分ADF ∠，FE 平分BFD ∠∴180ADFBFD ∠+∠=︒ ∴90EDFDFE ∠+∠=︒，∴90DEF ∠=︒∴EDF ADE ∽，∴EF =5DF =∴3CF=，1BF = 过Q 作QH DF ⊥于H ，设QH x =45,DFP FH QH x ∠=︒∴== 又21,tan tan 42AE ADE EDH ADE EDH AD ∠=∠∴∠====∠ 2DH x ∴=∴25x x +=，∴ 53x = ，∴ 553DQ =， 523QF =∴3EQ DE DQ =-=，∴15EQ DQ = 过E 作EIBF 交PF 于I ，则EI 是梯形ABFP 的中位线 设EI t =，11,55EQ DP EQ DQ EI DQ =∴== 5DP t ∴=，45AP t =-∴ 4511()2t t =-+， 57t = ，∴ 257DP =过P 作PK DE ⊥于K ，则 25sin7PK PD ADE =⋅∠==∴ 112522342PEQ EQ PK S ⋅=⨯==6.在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，点D 是AB 的中点，DE BC ⊥，垂足为点E ，连接CD ．（1）如图1，DE 与BC 的数量关系是___________；（2）如图2，若P 是线段CB 上一动点（点P 不与点B 、C 重合），连接DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60︒，得到线段DF ，连接BF ，请猜想DE 、BF 、BP 三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P 是线段CB 延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE 、BF 、BP 三者之间的数量关系_____________．解析：（1）9030ACB A ∠=︒∠=︒， ，60B ∴∠=︒ ，点D 是AB 的中点，DB DC ∴= ，DCB ∴ 为等边三角形，DE BC ⊥ ，2DE BC ∴=；故答案为2DEBC =（或BC =）（2）BF BP += （或()2BF BP DE +=）证明：∵在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒∴60ABC ∠=︒∵D 是AB 的中点，∴12CD AB BD == ∴DCB 是等边三角形，∴60CDB PDF ∠=∠=︒∴CDP BDP BDFBDP ∠+∠=∠+∠ 即CDP BDF ∠=∠又∵DP DF =，∴CDP BDF ≌ ∴CP BF =∵BC BP CP =+，∴BC BP BF =+，∵sin60DE BC CD ===︒∴BP BF += （3）如图，与（2）一样可证明DCP DBF ≌ ，CP BF ∴= ，而CP BC BP =+ ，BF BP BC ∴-= ，BF BP ∴-=（或)2BF BP DE -=）7.在ABC 中，4AC BC ==，90ACB ∠=︒，D 是AC 的中点，E 为射线DC 上任意一点，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90︒得到线段DF ，连接FC ，过点F 作FG FC ⊥，交直线AB 于点G ． （1）如图1，当点E 在线段DC 上时，判断FG 与FC 的数量关系并加以证明；（2）如图2，当点E 在线段DC 的延长线上时，其它条件不变，你在（1）中得到的结论是否成立，请说明理由；（3）当点E 从DC 的中点M 移动到C 点时，直接写出线段FG 的中点N 所经过的路径长．解析：（1）FG FC =证明：连接EF ，延长DF 交AB 于H∵90EDF ACB ∠=∠=︒，∴DH BC∵D 是AC 的中点，∴H 为AB 的中点，12DC AC = ∴DH 是ABC 的中位线，∴12DH BC = ∵AC BC =，∴DC DH =∵DE DF =，∴CE FH =∵90EDF∠=︒，FG FC ⊥ ∴90ECFDFC ∠+∠=︒，90HFG DFC ∠+∠=︒ ∴ECFHFG ∠=∠ ∵DEF 和ADH 都是等腰直角三角形∴45DEFAHD ∠=∠=︒，∴135CEF FHG ∠=∠=︒ ∴CEF FHG ≌，∴FG FC =（2）成立证明：连接EF ，设DF 交AB 于H同理可证CE FH =，45CEF FHG ∠=∠=︒90ECF FCB ∠=︒+∠，90HFG DFC ∠=︒+∠∵DF BC ，∴DFC FCB ∠=∠∴ECF HFG ∠=∠，∴CEF FHG ≌∴FG FC =（3）线段FG 的中点N 所经过的路径长为 2提示：延长DF 交AB 于H ，取DH 中点P ，连接PC 、PN 、CN则2CD DP =，2CFFN = ∴CDP CFN ∽，∴DCP FCN ∠=∠∴DCF PCN ∠=∠∵2CD DP =，2CFFN =∴2CP CD =，2CN = ∴CP CD CN CF= ，∴CDF CPN ∽ ∴90CPNCDF ∠=∠=︒ ∴90FPN DPC ∠=︒-∠，是定值∴线段FG 的中点N 所经过的路径是一条线段当点E 与点M 重合时，F 是DH 的中点连接MF 、CG ，则MF 是DCH 的中位线由（1）知，CMF FHG ≌ ∴1122HG MF CH BH === 当点E 与点C 重合时，点G 与点B 重合，此时N 为BH 的中点∴点N 所经过的路径长即为图中NG 的长∵4AC BC ==，∴2CD =，1DF =，FG FC ==∴2NG=8.已知90ACD ∠=︒，AC DC =，MN 是过点A 的直线，DB MN ⊥于点B ．（1）如图1，求：BD AB +=；（2）当MN 绕点A 旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，猜想BD 、AB 、CB 满足的关系式，并给予证明；（3）在MN 在绕点A 旋转过程中，当30BCD ∠=︒，BD =时，则CD =_________，CB =_________．解析：（1）证明：如图1，过点C 作CE CB ⊥，交MN 于点E∵90ACB ACE ∠+∠=︒，90ACB BCD ∠+∠=︒∴ACE BCD ∠=∠∵四边形ACDB 内角和为360︒∴180D CAB ∠+∠=︒∵180EAC CAB ∠+∠=︒，∴EACD ∠=∠ 又AC DC =，∴ACE DCB ≌ ∴AE DB =，CECB = ∴ECB 为等腰直角三角形∴BE =又BE AE AB =+，∴BE BD AB =+∴BD AB +=（2）图2中，AB BD -=；图3中，BD AB -=证明：如图2，过点C 作CECB ⊥，交MN 于点E ∵90ACB ACE ∠-∠=︒，90ACB BCD ∠-∠=︒∴ACE BCD ∠=∠∵90ACD ABD ∠=∠=︒，∴EACD ∠=∠ 又AC DC =，∴ACE DCB ≌ ∴AE DB =，CECB = ∴ECB 为等腰直角三角形 ∴2BE CB =又BE AB AE =-，∴BE AB BD =-∴AB BD -=如图3，过点C 作CECB ⊥，交MN 于点E ∵90ACEACB ∠=︒+∠，90BCD ACB ∠=︒+∠ ∴ACE BCD ∠=∠∵90ABD ACD ∠=∠=︒，∴EACD ∠=∠ 又AC DC =，∴ACE DCB ≌ ∴AE DB =，CECB = ∴ECB 为等腰直角三角形∴BE =又BE AE AB =-，∴BE BD AB =-∴BD AB -=（3）2CD =，1CB =-1+提示：过点C 作CE CB ⊥，交MN 于点E ，连接AD , ACD 和ECB 都是等腰直角三角形∴45CAD CEB ∠=∠=︒∵ACE DCB ≌，∴30ACE BCD ∠=∠=︒当C 、D 两点在直线MN 异侧时则15EAC ∠=︒，∴30BAD ∠=︒∵BD =AE BD ==，AD =AB =∴2CD =∵AB BD -=-=∴1CB =-当C 、D 两点在直线MN 同侧时45ABC ADC ∠=∠=︒，∴30BAD BCD ∠=∠=︒∵BD =AE BD ==，AD =AB =∴2CD =∵BD AB +==∴1CB =+9.在ABCD 中，过点C 作CE CD ⊥交AD 于点E ，将线段EC 绕点E 逆时针旋转90︒得到线段EF （如图1）．（1）在图1中画图探究：①当1P 为射线CD 上任意一点（1P 不与C 点重合）时，连结1EP ，将线段1EP 绕点E 逆时针旋转90︒得到线段1EG ，判断直线1FG 与直线CD 的位置关系并加以证明；②当2P 为线段DC 的延长线上任意一点时，连结2EP ，将线段2EP 绕点E 逆时针旋转90︒得到线段2EG ，判断直线12G G 与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论．（2）若6AD =，43tanB =，1AE =，在①的条件下，设1CP x =，11PFG S y =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．解析：（1）①直线1FG 与直线CD 的位置关系为互相垂直．证明：如图，设直线1FG 与直线CD 的交点为H ．∵线段EC 、1EP 分别绕点E 逆时针旋转90︒依次得到线段EF 、1EG ．∴1190PEG CEF ∠=∠=︒，11EG EP =，EF EC =． ∵1190G EFPEF ∠=︒-∠，1190PEC PEF ∠=︒-∠． ∴11G EFPEC ∠=∠，∴11G EF PEC ≌． ∴1190G FEPCE ∠=∠=︒，∴90EFH ∠=︒，∴90FHC ∠=︒． ∴1FG CD ⊥．②按题目要求所画图形见图1，直线12G G 与直线CD 的位置关系为互相垂直．（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴B ADC ∠=∠．∵6AD =，1AE =，43tanB =．∴5DE =，43tan EDC tanB ∠==． 可得4CE= 由（1）可得四边形FECH 为正方形∴4CHCE ==①如图2，当1P 点在线段CH 的延长线上时11G EF PEC ≌（已证） 11FG CP x ∴==四边形ABCD 为平行四边形B D ∴∠=∠1,6,AE AD ==5ED ∴= 又4tan 3B ∠= 4EC ∴=四边形EFHC 中90,90,90CEF EOD FDH ∠=︒∠=︒∠=︒且EF EC =∴四边形EFHC 为正方形4CH EC ∴==114PH CP CH x ∴=-=-． ∴1112111()222142P FG FG P S x x H x x ⋅==-=- 即22412y x x x =-（＞） ②如图3，当1P 点在线段CH 上（不与C 、H 两点重合）时∵11FG CP x ==，14PH x =-． ∴11211(11·4222)12P FG S FG PH x x x x ==-=-+ 即224120y x x x =-+（＜＜） ③当1P 点与H 点重合时，即4x =时，11PFG 不存在．综上所述，y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围是212(4)2x x yx ->= 或224120y x x x =-+（＜＜）．10.在ABC 中，AB AC =，D 为BC 中点，CE 为AB 边的高，点M 在AB 边上，点N 在线段CE 上，且DM DN ⊥．（1）如图l ，当45B ∠=︒时，线段AM 与CN 的数量关系为___________；（2）如图2，当30B ∠=︒时，求证：132ME AB -=； （3）如图3，在（2）的条件下，将射线DM 绕点D 顺时针旋转30︒，交AC 边于点F ，连接MF 、MN ，若:BM CN =MN =MF 的长．解析：（1）AM CN =提示：连接AD ，∵AB AC = ，45B ∠=︒ ，∴90BAC ∠=︒ ，45C ∠=︒ ，∵D 为BC 边上的中点，∴AD BD DC == ，且AD BC ⊥ ，∴45DAB B C ∠=∠=︒=∠∵MD DN ⊥ ，∴90MDA AND ∠+∠=︒ ，且90AND NDC∠+∠=︒ ， ∴MDA NDC ∠=∠ ，在ADM 与CDN 中，DAB C AD CDMDA NDC ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩CB∴ADM CDN ≌（2）连接AD∵AB AC = ，D 为BC 中点，30B ∠=︒∴AD BC ⊥ ，30C B ∠=∠=︒ ，60BAD CAD ∠=∠=︒∵CE 为AB 边的高，∴60DCN∠=︒ ∵DMDN ⊥ ，∴ADM CDN ∠=∠ ∴ADM CDN ∽∴tan303AM AD CN CD ==︒= ，∴3AM = ∵1122ME AM AE AC AB -===∴132ME AB -=（3）由:BM CN =CN =，则5BM k =由（2）知3AM=，∴AM k =∴6AB k AC == ，132AE AC k == ，4ME k = ，CE =，NE = 在Rt MEN 中，222ME NE MN +=∴2224)()k +=，解得2k = （舍去负值）∴12AB = ，10BM = ，6AE = ，2AM = ，CE =BC =，BD CD ==连接AD，6AD ===,由（2）知ADM CDN ∽∴3DM AD AD DN CD BD===，∴30MND B MDF ∠=︒=∠=∠∴12DM MN ==∵30MDF B ∠=∠=︒ ，∴150BMD BDM ∠+∠=︒ ，150CDF BDM ∠+∠=︒∴BMD CDF ∠=∠ ，∴BMD CDF ∽ ，∴BM MD CD DF= ∵BD CD = ，∴BM MD BD DF= ∴BMD DMF ∽ ，∴MF MD MD BM =10= ，∴14 2.85MF ==。

旋转综合之线段最值问题初三中考复习在即，在数学中考中，几何变换往往是中考中最令人头痛的题型，其辅助线的添加非常灵活，和其他几何知识的综合性也非常强。

在几何变换中，旋转是最为常见、也是最为重要的变换，本周我们集中讲解旋转综合中常见的模型、题型，这部分是本期内容的第五讲：旋转综合之利用旋转求线段最值，希望各位同学能从中收益。

利用旋转求线段最值的解题方法1. 使目标线段与定长线段放在三角形中，根据三角形三边关系，当三点共线时，取得最值；如图所示，当点 B 位于 B 1 时， AB 取得最小值| OA - OB | ；当点 B 位于 B 2 时， AB 取得最大值OA + OB ．2. 把线段或线段和差放到同一条直线上，根据两点之间，线段最短来求最值．如图所示，定线段 OA = a ， Rt △BOC 中直角边 OB = b ，锐角∠B = θ ，点 P 是斜边 BC 上的一个动点，Rt △BOC 在绕点O 旋转的过程中， AP 的最值如下：①如图，当OP ⊥ BC ，且O , A , P 三点共线时， AP 取得最小值| OB ⋅ sin θ - OA |；②如图，当 B , P 重合，且O , A , P 三点共线时， AP 取得最大值| OB + OA |例1 如图，在△ABC 中，∠C = 90︒，AC = 4 ，BC = 2 ，点A , C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是.答案 2 2 + 2 ．解析作AC 的中点M ，连接OM , BM ．由OB… OM +BM ，可得当O ,M ,B 三点共线且点M 在线段OB 上时，OB 取得最大值．此时OB =OM +BM = 2 + 2 2.例 2 已知，△A OB和△COD 是等腰三角形，其中BA=B O=2，CD =CO = 3 ，∠ABO=∠DCO．连接AD , BC，点M, N分别为OA, BC的中点．若固定△AOB，将△C O D绕点O 旋转，求MN 的最大值．解 取OB 的中点 E ，连接 EM , EN ．则ME= 1 AB = 1,NE = 1 CO = 3.2 2 2当 M , E , N 三点共线，且点 E 在线段 MN 上时， MN 取最大值，最大值为 ME + NE = 5．2例 3 在Rt △ABC 中， ∠ACB = 90︒ ， tan ∠BAC = 1．若2BC = 6 ，点 D 在边 AC 的三等分点处，将线段 AD 绕点 A 旋转，点 E 始终为 BD 中点，求线段CE 长度的最大值．解 在Rt △ABC 中，AC =BCtan ∠BAC= 12, AB = 6 5.①如图，当 AD = 1AC 时，取 AB 的中点 F ，连接 EF 和CF ．3则CF =1AB = 3 5, EF =1AD = 2.2 2所以当且仅当C , E , F 三点共线且F 在线段CE 上时CE 最大，此时CE =CF +EF = 2 + 3 5.②如图，当时，同理可得CE 的最大值为4 + 3AD =2AC3．综合可得，当点D 在靠近点C 的三等分点时，线段CE 的长度取得最大值为4 + 3 ．旋转变换是中考中非常重要的题型，本节课我们重点讲解了旋转中求线段最值问题，到此为止，本周我们共讲解了有关旋转的五种常见考题，希望各位同学多加体会、总结，平时遇到类似题目注意应用和练习。

专题7 旋转之求线段最值破解策略用旋转思想解决线段最值问题的本质用三角形三边关系解决问题如图，线段OA ， OB 为定长，则A ， B ， O 三点共线时，AB 取得最值： 当点B 位于处B 1时，AB 取得最小值OA －OB ；当点B 位于B 2处时，AB 取得最大值OA ＋O B ．最大值最小值B 1OB 2AB常见的题型有：1． 如图，Rt △ABC 大小固定，其中∠ABC ＝90°，点A ， B 分别在互相垂直的直线m ， n 上滑 动．n mO BAC取AB 中点D ， 连接OD ， C D ． 当O ， C ， D 三点共线时，OC 取得最大值OD ＋C D ．mn D OBAC2． 如图，等边△ABC 大小固定，点A ， B 分别在互相垂直的直线m ， n 上滑动．mn CO BA取AB 中点D ， 连接OD ， C D ． 当O ， C ， D 三点共线时，OC 取得最大值OD ＋C D ．n mD CO B A3． 如图，Rt △ABC 大小固定，其中∠ABC ＝90°，点A ， B 分别在互相垂直的直线m ， n 上滑动．n OB AC取AB 中点D ， 连接OD ， C D ． 当O ， C ， D 三点共线时，OC 取得最小值|CD –OD |．mn D OB AC例题讲解例1．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝12．若BC＝6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕A点旋转，E始终为BD的中点，求线段CE长度的最大值．解：在Rt△ABC中，AC＝tan BCBAC＝12，AB＝①如图1，当AD＝13AC时，取AB的中点F，连接EF和CF，则CF＝12AB＝，EF＝12AD＝2．所以当且仅当C，E，F三点共线且点F在线段CE上时，CE最大，此时CE＝CF＋EF＝2＋图1②如图2，当AD＝23AC时，同理可得CE的最大值为4＋．综上可得，当点D在靠近点C的三等分点处时，线段CE的长度的最大值为4＋图2例2 以平面上一点O 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB 和△COD ，其中∠ABO ＝30°．如图，若BO ＝33，点N 在线段OD 上，且NO ＝2，P 是线段AB 上的一个动点，在将△AOB 绕点O 旋转的过程中，线段PN 长度的最小值为________，最大值为________．BCDPNO A解：332－2；33＋2． 过点O 作OE ⊥AB 于点E ，则OE ＝12OB ＝332．故当点P 在点E 处时，OP 长度取最小值332；当点P 在点B 处时，OP 长度取最大值33．A O NPDBCE①当△AOB 绕点O 旋转到O ，E ，D 三点共线，且点E 在线段OD 上时，PN 取最小值，即OE －ON ＝332－2； E (P )CDO A BN②当△AOB 绕点O 旋转到O ，B ，D 三点共线，且点B 在线段DO 的延长线上时，PN 取最大值，OB ＋ON ＝332．所以线段PN 长度的最小值为33－2，最大值为332．B (P )ODC AN进阶训练1． 已知△AOB 和△COD 是等腰三角形，其中BA ＝BO ＝2，CD ＝CO ＝3，∠ABO ＝∠DCO ．连结AD ，BC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点．若固定△AOB ，将△COD 绕点O 旋转，求MN 的最大值．NMABCDO【答案】52． 【提示】如图，取OB 的中点E ，连结EM ，EN ，则EM ，EN 为定值，当点E 在线段MN 上时，MN 取最大值．EODCBAM N2． 已知：在R t △ABC 中，∠BAC ＝90°，AC ＝AB ＝4，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．若等腰Rt △ADE 绕点A 旋转，得到等腰Rt △AD 1E 1，记直线BD 1与CE 1的交点为P ． （1）设BC 的中点为M ，求线段PM 的长； （2）求点P 到AB 所在直线的距离的最大值．E 1D 1A BC DEP【答案】（1）22；（2）13【提示】（1）易证△E 1AC ≌△D 1AB ，所以∠E 1CA ＝∠D 1BA ，从而可得∠BPC ＝∠BAC ＝90°，所以PM ＝12BC ＝22． MPEDC BA D 1E 1（2）由题意知，点D 1，E 1在以A 为圆心、AD 为半径的圆上，而点P 在直线BD 1上，所以当直线BD 1与⊙A 相切时，点P 到AB 的距离最大．此时四边形AD 1PE 1是正方形，即PD 1＝AD 1＝2．如图，作PG ⊥AB 于点G ，解Rt △PGB 即可．G P EDC BA D 1E 13． 已知：正方形ABCD 的边长为1，P 为正方形内的一个动点，若点M 在AB 延长线上，且满足△PBC ∽△PAM ，延长BP 交AD 的延长线于点N ，连结CM ，是否存在满足条件的点P ，使得PC ＝12？请说明理由． A B CDPMN【答案】不存在满足条件的点P ，使得PC ＝12． 【提示】因为△PBC ∽△PAM ，可得∠ABP ＋∠PAM ＝∠ABP ＋∠PBC ＝90°，所以AP ⊥BN ．以AB 为直径，作半圆O ，连结OC ，OP ，则OP ＋PC ≥OC ，从而PC ≥512，所以不存在满足条件的点P ，使得PC ＝12．O N MPDCB A。

2020中考数学旋转求线段最值题型一.利用旋转转化为三点或四点共线求最值1.如图，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为．2.如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是 .3.如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，在菱形ABCD内部有一点P，当PA+PB+PC值最小时PB的长为．4.如图，PA＝2，PB＝4，将线段PA绕P点旋转一周，以AB为边作正方形ABCD，则PD的最大值为．5.如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，若AC＝AD，且∠ACD＝60°，则对角线BD的长的最大值为．6.如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点将线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 .7.如图，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，则线段AN的最大值为．二.利用旋转转化为点到直线的距离垂线段最短求最值1.在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一个动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连结OC，则OC的最小值为．2.如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝12，AB＝10，点E在AD上，且AE＝4，点F是AB上一点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转120°得到EG，连接GD，则线段GD长度的最小值为．3.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．4.如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点将线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 .5.图所示，已知点C随着点B的运动形成的图形是一条直线，连接OC，则AC+OC的最小值是．6.如图，长方形 ABCD 中，AB=3，BC=4，E 为 BC 上一点，且 BE＝2，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF，将 EF 绕着点 E 顺时针旋转45˚到 EG的位置，连接 FG 和 CG，则 CG 的最小值为．三.利用旋转转化为圆外一定点与圆上的动点的关系求最值1.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝4，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长的最大值为．2.已知：AD＝2，BD＝4，以AB为一边作等边三角形ABC．使C、D两点落在直线AB的两侧．当∠ADB变化时，则CD的最大值．3.如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点D是△ABC所在平面上一点，且满足DB＝6，DA＝10，则CD的最小值为5.如图在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝90°．若AB＝4cm，AD＝3cm，则对角线AC的最大值为cm．6.如图，已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC＝AD．若∠ABC＝30°，∠ACD＝45°，AC＝2，则B、D之间距离的最大值为．。

旋转正方形常见题型例析一、常规旋转，梳理研究方法问题1 如图1，已知正方形ABCD 与正方形DEFG 如图位置摆放，线段AE 与CG 有何关系?并说明理由.问题2 如图2，正方形ABCD 不动，将正方形DEFG 绕点D 按逆时针方向旋转任意角度，线段AE 与CG 有何关系?并说明理由.解析 这两个问题中，AE 与CG 的关系都是: AE CG =且AE CG ⊥. 问题1中，要证AE CG =，只需要证明ADE CDG ∆≅∆.因为四边形ABCD 和DEFG 是正方形，所以,,90AD DC DE DG ADE CDG ==∠=∠=︒，所以ADE CDG ∆≅∆.延长GC 交AE 于点H ，要证AE CG ⊥，只要证明90CHE ∠=︒即可.由ADE CDG ∆≅∆得到，AED DGC ∠=∠.在DCG ∆和HCE ∆中，易证90CHE CDG ∠=∠=︒ (基本图形“8”字模型).问题2的方法与问题1完全类似，可仿照完成.规律点拨 正方形旋转的过程中，正方形的位置虽然不断发生变化，但正方形的边相等和角为90°的条件始终不变，因此构造成的三角形始终全等，从而对应的线段和对应角始终相等.在探究线段位置关系的过程中，利用基本图形求角的度数也是常用的方法，解题中要学会从复杂的图形中找出基本图形，并灵活利用基本图形解决问题.二、变式旋转，玩出新的高度1.抓住定量，玩转线段关系玩法1 如图3，已知正方形ABCD ，点E 是线段AC 上一动点，以DE 为边在DE 的右侧作正方形DEFG ，线段,CE AC 与CG 有什么关系?请证明.玩法2 如图4，已知正方形ABCD ，点E 是线段AC 延长线上一动点，以DE 为边在DE 的右侧作正方形DEFG ，线段,CE AC 与CG 有什么关系?请证明.玩法3 如图5，已知正方形ABCD ，点E 是线段CA 延长线上一动点，以DE 为边在DE 的右侧作正方形DEFG ，线段,CE AC 与CG 有什么关系?请证明.玩法4 上述图3~图5中，AE 与CG 有何位置关系?为什么?解析 玩法1中3条线段的关系是: AC CE CG =+;玩法2中3条线段的关系是: CG AC CE =+;玩法3中3条线段的关系是CE CG AC =+.分析发现，只要证ADE CDG ∆≅∆即可.因为四边形ABCD 和DEFG 是正方形，所以,AD DC DE DG ==，易证ADE CDG ∠=∠，所以ADE CDG ∆≅∆，所以AE CG =.玩法1中因为AC AE CE =+，所以AC CG CE =+;玩法2中，因为AE AC CE =+，所以CG AC CE =+;玩法3中，因为CE AE AC =+，所以CE CG AC =+.玩法4，可以用求角度法.图3、图4都易证45ACD ∠=︒.由全等得到45DCG DAE ∠=∠=︒，从而454590ACG ∠=︒+︒=︒.图5中，易证135DCG DAE ∠=∠=︒，从而1354590ACG ∠=︒-︒=︒.也可以利用基本图形(“8”字模型)，由ADE CDG ∆≅∆得到DGC DEA ∠=∠.图4和图5中，由基本图形DGCE 易知90GCE GDE ∠=∠=︒.在图3中，易证CGF CEF ∠=∠,由基本图形ECGF ，易知90GCE GFE ∠=∠=︒.规律点拨 图3~图5貌似并非两个正方形简单旋转得到的，但是在解题过程中，我们仍然可以用旋转的思想去研究.类比两个正方形的常规旋转，联想解决常规旋转问题时的方法和固有规律，从而解决复杂图形的问题.同时，这3幅图之间可以进行横向类比.虽然图形的形状和位置发生了一点变化，但是正方形的边和角的关系始终不变，两个全等的三角形始终存在.解题中只要紧紧抓住这些定量，便很容易发现这3个问题的解法是一样的.2.揭示本质，玩转面积定值玩法1 如图6，正方形ABCD 不动，将正方形DEFG 绕点D 按逆时针方向旋转任意角度，连结AG 和CE ，判断ADG ∆与DCE ∆面积的大小关系，并说明理由.玩法2 如图7，正方形ABCD 不动，将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转α度，(090α︒≤≤︒)交CD 与点M ，交AD 于点N ，求四边形OMDN 的面积与正方形ABCD 面积的数量关系，并说明理由.解析 玩法1中，很容易发现ADG ∆和DCE ∆中，它们有一组边相等，很容易想到把这组边作为底，作出底边上的高来解决.如图6，分别作AD 边上的高GM ，作CD 边上的高EN ，只要证明GM EN =即可，也就是只要证明DGM DEN ∆≅∆.玩法2中，四边形OMDN 是个不规则四边形，很容易想到用“割补法”将其转化成规则图形.由正方形的性质，易证OCM ODN ∆≅∆，从而将ODN ∆补在OCM ∆处.于是四边形OMDN 转化成OCD ∆，从而得到四边形OMDN 的面积是正方形ABCD 面积的14. 规律点拨 研究两个正方形旋转过程中，三角形或者四边形面积的不变性问题，实际上是转化成研究线段之间的关系，采用了转化的思想.解题过程中要紧紧抓住面积的本质，灵活地将面积和线段进行适当的转化.3.化动为静，玩转最值问题玩法 1 如图8，正方形ABCD 不动，将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转α度(090α︒≤≤︒)，交CD 与点M ，交AD 于点N .在旋转的过程中，求MON ∆面积的最小值;并求出此时α的度数，以及此时MN 与AC 的关系.玩法2 如图9，将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转α度(0360α︒≤≤︒)，交CD 于点M ，交AD 于点N .若正方形ABCD 的边长为1，四边形OEFG 的边长是2，在正方形OEFG 旋转的过程中，求线段AF 的最小值和最大值.解析 玩法1中，易知OCM ODN ∆≅∆,从而得到OM ON =始终成立.又因为90MON ∠=︒，所以MON ∆是等腰直角三角形，所以当腰长OM 最小时，MON ∆的面积最小，即此时OM CD ⊥.画出符合条件的图形，如图9，易知此时旋转角为45°，此时MN 是ACD ∆的中位线，从而//MN AC 且12MN AC =. 玩法2中，连结,AF OF ，在正方形OEFG 旋转的过程中，点A 保持不动，AO 的长不变，而点F 始终绕着点O 旋转，但OF 的长不变，变化的是点F 的位置、AO 与FO 的夹角以及线段AF 的长度.方法一，用三角形三边关系进行分析.在AOF ∆中，由三角形三边关系可知AF AO FO <+，所以当AO 与FO 在同一条直线时，也就是当AO 与FO 的夹角为180°时(如图10) , AF 最大.同理，在AOF ∆中，由三角形三边关系可知AF AO FO >-，所以当AO 与FO 在同一条直线时，也就是当AO 与FO 的夹角为0°时(如图11) , AF 最小.方法二，用圆的知识来解释.点在以点O为圆心，OF长为半径的圆上，AF线段的最值问题就是点A到圆上的点的距离最值问题.如图12，连结AO并延长，与圆O的交点就是使AF最大的点F，连接AO，反向延长AO，与圆O的交点就是使AF最短的点F.规律点拨旋转正方形的过程中产生的面积最值问题，本质上是线段的最值问题.而求解线段的最值问题，最常用的是:(1)两点之间线段最短，(2)垂线段最短，(3)三角形的三边关系.玩法1中面积最值的本质是线段OM的最值，实际上是利用垂线段最短来解决问题.把旋转中的动图，经过分析转化成符合题意的静图，化动为静，简化问题.玩法2中，AF的最值问题是利用三角形三边关系来寻找临界状态，从而画出符合条件的图形，进而解决问题.。

探究动点背景下的线段最值问题【专题综述】图形运动问题是中考数学命题的热点题型，其中有一类动点背景下线段长度的最值问题，常常使学生感到比较为难.本文谈谈破解这类问题的方法. 动点背景下线段长度的最值问题一般有两种解法:1、代数解法.通过设未知量，建立函数关系或列方程列不等式等，用函数最值、二次方程判别式、解不等式来求解.2、几何方法.常通取特殊点，如线段中点、端点;与动点的特殊位置相关的特殊线段，如三角形的高、中线、圆的直径等;特殊图形，如直角三角形、等边三角形、矩形等，用几何公理、定理来求解. 一般而言，用几何方法抓住特殊情形处理，比代数方法更有独特魅力. 【方法解读】一、从动点所在特殊位置入手图形中动点的运动有一定的范围，其较为特殊的位置有:线段上动点的两端点、线段中点等;若点在线段外运动，则与某线段共线就是特殊位置.这些特殊位置正是产生最值的关键点.例1 如图1，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，33AB =，3AD =，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点(含端点，但点M 不与点B 重合)，点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为. 分析 DM ，MN 的长度随点M ，N 分别在线段BC ，AB 上运动而变化，点E ，F 分别为DM ，MN 的中点却保持不变.题设中EF 与不变量A ∠，AB ，AD 无直接数量关系，但连结DN ，则由三角形的中位线定理可知12EF DN =，如图1所示，从而可知DN 最大时，EF 最大.因为N 在线段AB 上，当点N 与其端点B 重合时DN 最大，如图2所示.此时，由勾股定理知6BD =，所以EF 长度的最大值为3.例2 如图3，在⊙O 中，直径6AB =，BC 是弦，30ABC ∠=︒，点P 是BC 上的一个动点，点Q 在⊙O 上，且OP PQ ⊥.求PQ 长的最大值.分析 点P 在BC 运动时，OP ，PQ 的位置和大小都变化，但OP PQ ⊥，圆的半径不变，连结OQ ，则OPQ ∆保持直角三角形不变.在Rt OPQ ∆中，22223PQ OQ OP OP =-=-,所以OP 最小时PQ 的长的最大.由垂径定理知，此时点P 正好是CB 的中点，如图4所示，Q 点与C 点重合.分析 连结OQ . ∵OP PQ ⊥，∴OPQ ∆为直角三角形. 又∵OP CB ⊥，132OB AB ==，30ABC ∠=︒， ∴32OP =由勾股定理，得223333()22PQ =-=即PQ 长的最大值332. 二、从动点产生的特殊线段入手在图形中，点的运动会引起相应线段位置和长度大小的变化，位置的变化会使线段成为具有某种特殊性质抓住这些线段变化的特殊性:如三角形的高、中线、圆的直径等，往往会找到最值的答案.例3 如图5，在直角ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，P 为AB 上(不与AB 重合)一动点，过点P 分别作PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥与F ，则EF 的最小值 .分析 因为点P 在AB 上运动时，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥与F ，90C ∠=︒，所以四边形CFDE 是矩形，且这些关系不变.连结PC ，则EF CP =，要求EF 的最小值，就是求CP 的最小值.显然当CD AB ⊥，即CD 是斜边AB 的高时，CD 最小.又由勾股定理，得5AB =，根据三角形面积不变，得AC BC CD AB ⨯=⨯，解得125CP =，所以EF 的最小值为125. 例4 如图6，在圆O 上有定点C 和动点P 位于直径AB 的异侧，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点G .已知:圆O 半径为52，4tan 3ABC ∠=，则CG 的最大值是(). (A)5 (B)154(C)253(D)203分析 点P 在AB 上运动时，PC 的位置和大小会随之变化，但CAB CPG ∠=∠，90ACB PCG ∠=∠=︒保持不变，故有ABCPGC ∆∆，∴BC AC CG PC =，即BC CG PC AC=，由3tan 4AC ABC PC ∠==，知43CG PC =，当PC 最大时，CQ 取到最大值易知，当PC 经过圆心，即PC 为圆O 的直径时，PC 最大(此时CG 是圆O 的切线). ∵圆O 半径为52， ∴PC 的最大值为5,∴315544CG =⨯=. ∴CG 的最大值154，故选B.三、抓住动点问题的特性，从构造特殊图形入手某些动点问题中，难以找到图形变化时与相关线段最值的特殊情形若要用几何解法，应联系整个问题所含条件添加辅助线，构造特殊图形，然后借助特殊图形的性质将问题进行有效转化.例5 如图7，ABC ∆中，45B ∠=︒，60BAC ∠=︒，22AB =. D 是BC 上的一个动点以AD 为直径画圆与AB ，AC 相交于E ，F 两点，求EF 的最小值.分析 点D 在BC 上运动，AD 的位置改变引起圆O 的位置和大小变化，而所求EF 的 值与不变量B ∠，BAC ∠以及AB 的关系不明显.连结OE ，OF ，构造含120︒角的特殊等腰三角形，如图8所示，过O 点作OH EF ⊥垂足为H ，由圆周角定理可知1602EOH EOF BAC ∠=∠=∠=︒.在Rt EOH ∆中，由垂径定理可知23EF EH OE ==.所以当OE 最小时，EF 的值最小，而12OE AD =，由垂线段的性质可知，当AD 为ABC ∆的边BC 上的高时，直径AD 最短，此时线段EF 最小.在Rt ADB ∆中，45ABC ∠=︒，22AB =∴2AD BD ==，即此时圆的直径为2. 在Rt EOH ∆中，33sin 122EH OE EOH =∠=⨯= ∴23EF EH ==， 即EF 的最小值为3.四、从图形运动中相对保持不动的点入手若图形中的动点不止一个，这种情形相对单一动点问题要复杂一般会引起变化的量增加或整个图形发生运动，难以找到原图中保存不变的量，这时可着眼于图中的相对不变量.相对不变量是指在整个图形运动变化中，保持某种特性不变的量与动点下线段最值所对应的仍是图中特殊相对不变量透过图形运动的整体，抓住特殊相对不变量才是解题的关键.例6 如图9，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3BC =，8AC =，点A ，C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上.当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动中OB 的最大值是多少?分析 当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，这样改变了ABC ∆的位置，点B 的位置也随之改变，OB 的长度随之发生变化.虽然BC 、AC 的长度不变，但些相对不变的量与OB 没有直接的关系. 仔细观察图9，AC 是Rt COA ∆的斜边，AC 长度不变，则点O 与其中点D 的连线段OD 的长度保持不变，这个隐含的相对不变的特殊量与OB 有关. 于是，连结DB ，则OB DB OD <+,所以，当O 、D 、B 三点共线时OB 值最大，即BO OD DB =+. 在Rt BCA ∆中，4CD =，3CB =，5DB =. 则OB 的最大值为549+=:.综上可知，解决动点背景下线段长度的最值问题时，一般可用几何方法从特殊情形出发考虑.1、在分析动点位置变化的同时，重点抓住图形中不变的量，不变的关系和性质，以不变应万变，动中求静.2、线段的最大值和最小值，常与下列知识相关:两点之间线段最短，垂线段最短，直径是圆中最大的弦，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边等等.所以要抓住特殊情形，联系与问题相关的结论进行有效转化.【强化训练】1.（2017四川省内江市）如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=430，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且P A+AB+BQ 最小，此时P A+BQ= ．2.（2017山东省东营市）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为83，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为．3．（2017山东省威海市）如图，△ABC为等边三角形，AB=2．若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为．4. （2017甘肃省天水市）如图所示，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，且BE=1，P是对角线AC上的一动点，连接PB、PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是．5．（2017贵州省贵阳市）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =2，AD =3，点E 是AB 的中点，点F 是AD 边上的一个动点，将△AEF 沿EF 所在直线翻折，得到△A ′EF ，则A ′C 的长的最小值是 ．6.（2016山东省枣庄市）如图，把△EFP 放置在菱形ABCD 中，使得顶点E ，F ，P 分别在线段AB ，AD ，AC 上，已知EP =FP =6，EF =63，∠BAD =60°，且AB ＞63． （1）求∠EPF 的大小；（2）若AP =10，求AE +AF 的值；（3）若△E FP 的三个顶点E 、F 、P 分别在线段AB 、AD 、AC 上运动，请直接写出AP 长的最大值和最小值．7．（2016山东省枣庄市）如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）的对称轴为直线x =﹣1，且抛物线经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴交于点B ．（1）若直线y =mx +n 经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x =﹣1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴x =﹣1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．8.（2017山东省烟台市）如图1，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，AB =4，矩形OBDC 的边CD =1，延长DC 交抛物线于点E ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P 是直线EO 上方抛物线上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交直线EO 于点G ，作PH ⊥EO ，垂足为H ．设PH 的长为l ，点P 的横坐标为m ，求l 与m 的函数关系式（不必写出m 的取值范围），并求出l 的最大值；（3）如果点N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M ，使得以M ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．9.（2016四川省眉山市）已知如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 、C 分别为坐标轴上上的三个点，且OA =1，OB =3，OC =4．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系xOy 中是否存在一点P ，使得以以点A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点M 为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM ﹣AM |的最大值时点M 的坐标，并直接写出|PM ﹣AM |的最大值．10. （2016广西梧州市）如图，抛物线24y ax bx =+-（a ≠0）与x 轴交于A （4，0）、B （﹣1，0）两点，过点A 的直线y =﹣x +4交抛物线于点C ． （1）求此抛物线的解析式；（2）在直线AC 上有一动点E ，当点E 在某个位置时，使△BDE 的周长最小，求此时E 点坐标； （3）当动点E 在直线AC 与抛物线围成的封闭线A →C →B →D →A 上运动时，是否存在使△BDE 为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E 点的坐标；若不存在，请说明理由．。