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由图可知，若/Cr ) = 2 sin (2jr+j ) +a —1在区间0，~|~ ］上有两个零点；，:r 2， 则0<—a <l ，且：n +:r 2=4X 2=4.7T\0 JL 610. B 【解析】对于①，由正弦定理得sin A :asminB 573 对于②，设三边分别为3&，5々，7々(々>0)，最大角为〜由佘弦定理知cos 0= >1，所以该三角形无解，①错；(3k)2 + (5k)2-(7 k)22X(3k)X(5k)，所以0=120°，②对；对于③，当时，由余弦定理cos 22+X 2— 3222+32~x 2Ax2X 2X 3>0，解得W <Cr <3，所以W <J ：< /H ，③对；故选B .>0,解得当0<x<3时，cosa :11. D 【解析】由题设得…=4"—3，/.S 2〃+I —S 〃<卷可化为石^+石^ + “18/7+1^15'令T"= 则TV H4T 7+1 + 4"+5H 卜8"+1，4^+5 4/?+9 一丁"8//+1 8??+58rz +9918^7+5 18n +94/?+1 ^8/7+2 1?>n+24/z+l:0,1 , 1 _14 +9—45,湖南省2016届高三•十三校联考第一次考试理科数学参考答案所以：T | +:2 ~Cl^：•••当/7=1时，7；取得最大值)_C 【解析】画出y =2 sin (2：r +j ) —1在［0，f ］的图象如图所示. K2 4-14由/Cr ):由解得川>专，.••正整数⑺的最小值为5.12. A 【解析】对任意*r , 6(0,2)，存在乃6［1，2］，使/⑹彡咖)，即/Or )在(0,2)上的最小值不小于g (x ) 在［1，2］上的最小值. 13x 2~4.r+3(x -VU -3)所以当:r 6(0，l )时，/Gr )<0，/Cr )单调递减；当：r .e (l ，2)时，/Gr )>0，/Cr )单调递增. 所以/Or )在(0,2)上的最小值为/(l ) = -y , g(x) = U-bY +i~b 2，:［1，2］① 当b<l 时，办)-=片(1) = 5—2/7，由一+>5 — 26得/;>专，与/，<1矛盾；②当l<b<2时，〆x)min=g(W=4—//，由一+>4—炉得或/命¥>2,与 1<6<2矛盾；③当b^2时《(工)-=片(2) = 8—4/7，由一+>8—4/7得/7>¥，满足/7>2.综上，/;的取值范围是［专，十⑺)，故选A二、填空题13.f14.y57r+7t15. 1 680【解析】第一步：将三个白球排成一排，此时只有一种情况；第二步：将三个红球插入已排好的白球中，可分三类插入，第1类，将3个红球一起插入时，有C!种，第2 类，将3个红球拆为2个和1个插入时，有A|种，第3类，3个红球分开插入，有C!种；第三步:将三个黄球插入已排好的6个球中，同样分为三类插入，第1类，将3个黄球一起插入有a种，第2 类，将3个黄球拆为2个和1个插入时，有AI种，第3类，3个黄球分开插入有C?种；由分步计数原理与分类计数原理可知，共有lX(G+A|+a)X(C｝+A?+CO = l 680种.16.—11【解析】记f(x') — 2=f\ (x) yg(x) — 2=g］ (x),则方程/(x)=^Cr)在区间［―8,3］上的根与方程/, (x)=^, Or)在区间［―8,3］上的根相同•令1+2=/，则x=l — 2,当工6［—8,3］时，/6［—6,5］，方程/i(x')=g］Cr)，即 /, (/-2)=g, (/ —2)，又幻(/-2)=y,在同一坐标系下画出函数：y=/i (/ —2)，/6［—6,5］的图象与^(/―2)=+，/e［—6,5］的图象，结合图象可知，它们的图象共有五个不同的交点，设这些交点的横坐标自左向右依次为/|山，/3，/4，/5，则有 /i-t-/5=0,/2+/4=0,/3 = —1,(:n +2) + Cr2+2) + (:r3+2) + Cr4 +2) + (:r5+2) =/i +/2 +/3 + /4 +/5 =一 1，Xi+X2 +^3 +^4 +^5 = 一 11.因此方程/Cr)=gCr)在区间［―8,3］上的所有实根之和等于一11.三、解答题17•【解析】(1)由题意知a|=ai• a J79即(“,+4c/)2 =a,(a, +16c/)=>a, d=2d2，•••括0,•=2J，数列｛似｝的公比c/=’=^^ = 3，n Cl\ CL \•••ci、=ci\• 3"1①又办"=a\+(,b…—\)d=^L-^:a\，②由①②得…• 3"—=^^ •…，丫⑴=2d判，:.b…=2 - 3"—1 -1. ............................................................................................................................ 6分(2)7；=C),b, +02+〜+C;;6"=C!,(2 •3° —l)+a(2 • 3】一1) +…+C;;(2 • 3"-1—1)=-|(C! - 3+C卜32+…+C;; • 3") — (a+G +…+C:;)=-|［(l+3)M-l］-(2^-l)=y - 4^-2^+y. ..................................................................................... 12分湖南省2016届高三.十三校联考第一次考试(理科数学)C—218.【解析】（1）第三组的频率为0. 06X5 = 0. 3;第四组的频率为0. 04X5 = 0. 2;第五组的频率为0. 02X5 = 0. 1.............................................................................................................................................................................. 3^ （2）①设“学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试”为事件A，第三组应有3人进入面试，则：尸（.4） = C|-a8 27 Cio 145，②第四组应有2人进入面试，则随机变量$可能的取值为0,1,2..a - cr且 P(6=/)=-CIE（0=OXf + lX^+2X^ = f. .............................................................................................................19.【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点.依题意得 A（2#，0,0），B（0,0,0），C（7^，一（2/2,272,0）,B,（0,2/2, 0）,0.（72,72,75）（1）易得茄=（—在，一y^，A），：^=（—2#，0,0），At：-A7f^ 412分4所以异面直线A（?与AiB,所成角的余弦值为72 （2）易知：^=（0,2#，0），：^^=（—#，一#，/^）. 设平面AA丨C,的法向量m = Cr，3，，之），mAi (^ = 0J—一y^y+V^2=0,•X^T = 0，\242y=0.不妨令工=/^，可得m = （V^，0,V^）.同样地，设平面A, K, C:,的法向量/i = （:r，：y，2 ），n• A i (广= 0，n• A] iT] =0 9[~2/2x=0.不妨令:y=7^，可得《= (0,7^，y^)，于是 cos<m,/?) = y.3^5所以二面角A-A,C,-/i,的正弦值为:⑶由N为棱B,Ci的中点，得N（夸，警，夸）•设M（“，6,0），则 _=邊1 缚-b馬、•M K J• A\iT\=o,由 _丄平面.• AiCi =0,（2）设AB 的方程为3; = —+x +/，代入椭圆方程得，x 2—/:r +/2 —3=0,其中Z \ = 3（4l 2）. 由厶>0得，一2</<2，r(U • (-272)=0,- (-#)+(字-小(~/2)+^| -75 = 0."29_/2 4 •故M （夸，夸，。
一、单选题二、多选题1.从某校高三年级随机抽取一个班，对该班名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示： 若某高校专业对视力的要求在以上，则该班学生中能报A 专业的人数为A．B．C．D．2.已知是公差为的等差数列，前项和为，若，则的值是（ ）A．B．C．D．3.定义在上的奇函数的图象连续不断，其导函数为，对任意正实数恒有，若，则不等式的解集是（ ）A．B．C．D．4.已知向量，则与的夹角为（ ）A．B．C．D．5. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象特征．则函数的图象大致为（ ）A．B．C．D．6. 已知向量，则（ ）A．B．C．D．7. 国内首个百万千瓦级海上风电场－三峡阳江沙扒海上风电项目宣布实现全容量并网发电，为粤港澳大湾区建设提供清洁能源动力．风速预测是风电出力大小评估的重要工作，通常采用威布尔分布模型，有学者根据某地气象数据得到该地的威布尔分布模型：，其中k 为形状参数，x 为风速．已知风速为1m/s 时，F ≈0.221，则风速为4m/s 时，（参考数据：，）（ ）A ．0.920B ．0.964C ．0.975D ．0.9828. 函数的定义域为（ ）A．B．C．D ．R湖南省衡阳市第八中学2024届高三上学期第一次模拟测试数学试题湖南省衡阳市第八中学2024届高三上学期第一次模拟测试数学试题三、填空题9.已知函数，则下列结论正确的是（ ）A ．函数在上单调递减B ．函数的值域是C ．若方程有5个解，则的取值范围为D ．若函数有3个不同的零点，则的取值范围为10. 已知，且，则下列不等式成立的是（ ）A．B．C．D．11. 针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生有可能（ ）附：A．B．C．D．12. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面交于点O ，M是棱上的动点，则（）A．三棱锥体积的最大值为B ．存在点M，使平面C ．点M 到平面的距离与点M到平面的距离之和为定值D ．存在点M ，使直线与所成的角为13. 观察下列数表：24681012141618202224262830…设数100为该数表中的第行，第列，则______.14. 若过轴上任意点可作曲线两条切线，则的取值范围__________．15.设有两组数据：与，它们之间存在关系式：（，其中非零常数），若这两组数据的方差分别为和，则和之间的关系是________．四、解答题16.（Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；（Ⅱ）设A，B，C为的三个内角，若，且C为锐角，求17. 设等差数列的公差为，前n项和为，已知，．(1)求数列的通项公式；(2)若，为互不相等的正整数，且等差数列满足，，求数列的前项和．18. 在中，内角的对边分别是，已知为锐角，且.(1)求的大小；(2)设函数，其图像上相邻两条对称轴间的距离为.将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，求函数在区间上的值域.19. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.20. 已知是函数(a∈R)的导函数．(1)讨论的单调性；(2)若f(x)有两个极值点，且，求a的取值范围．21. 罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的．它的表达如下：如果函数满足在闭区间连续，在开区间内可导，且，那么在区间内至少存在一点，使得．(1)运用罗尔定理证明：若函数在区间连续，在区间上可导，则存在，使得．(2)已知函数，若对于区间内任意两个不相等的实数，都有成立，求实数的取值范围．(3)证明：当时，有．。
衡阳八中2018届高三年级实验班第一次模拟考试试卷理科数学（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第一次模拟考试试卷，分两卷。
其中共23题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B 铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm 签字笔书写。
考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★第I 卷 选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.）A2.已知i 是虚数单位，（1+2i ）z 1=﹣1+3i z 1、z 2在复平面上对应的点分别为A 、B ，则|AB|=（）A ．31B ．33 CD3.值是4.已知定义在[0，+∞）上的函数f （x ）满足f （x ）=3f （x+2），当x ∈[0，2）时，f （x ）=﹣x 2+2x ．设f （x ）在[2n ﹣2，2n ）上的最大值为a n （n ∈N *），且{a n }的前n 项和为S n ，则S n的取值范围是（）A．[1B．[1C．2） D．2]5.（）A6.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10a5+a6=（）A B．12C．6 D7.如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（）A．B．C．D．8.若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=﹣f（x），且当x∈[﹣1，0则函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．59.执行右边的程序框图，若p=0.8，则输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．610.已知函数f（x）f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3（x1+x2））A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1] C．（﹣∞，1）D．[﹣1，1）11.已知F1、F2（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF1是锐角三角形，则该椭圆离心率e的取值范围是（）A．e 1 B．0＜e 1 C1＜e＜1 D1＜e12.x1，x2∈[0，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1恒成立，则a的取值范围是（）A BC D第II 卷 非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）______． 14.平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线C 2：x 2=2py（p ＞0）交于点O ，A ，B ，若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为 ．15.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三个内角A 、B、C 所对的边分别为a 、b 、c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为a 2sinC=4sinA ，（a+c ）2=12+b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为 ．16.A ﹣BCD 的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，球心O 在此三棱锥内部，且R ：BC=2：3，E为线段BD 上一点，且DE=2EB ，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 .三.解答题（共8题，共70分）17.（本题满分12分）△ABC的内角为A，B，C的对边分别为a，b，c（1（2ABC的面积最大时，△ABC的周长；18.（本题满分12分）交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了80辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这80辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（1某同学家里有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记X为该品牌车在第四年续保时的费用，列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故车盈利8000元：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值.19.（本题满分12分）2的正三角形．（1）证明：（220.（本题满分12分）如图，过抛物线（1）求椭圆1C和抛物线2C的方程；（2.21.（本题满分12分）.(Ⅰ)当a=0时，求f(x)的极值；使得m的取值范围.选做题：考生从22、23题中任选一题作答，共10分。
长郡中学2025届高三第一次调研考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}320,20A xx x Bxx x =−==−−<∣∣，则A B ∩=（ ）A.{}0,1B.{}1,0−C.{}0,1,2D.{}1,0,1−2.已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则m ∥α的一个充分条件是（ ） A.m ∥,n n ∥α B.m ∥,βα∥βC.,,m n n m αα⊥⊥⊄D.,m n A n ∩=∥,m αα⊄3.20252x 的展开式中的常数项是（ ）A.第673项B.第674项C.第675项D.第676项4.铜鼓是流行于中国古代南方一些少数民族地区的礼乐器物，已有数千年历史，是作为祭祀器具和打击乐器使用的.如图，用青铜打造的实心铜鼓可看作由两个具有公共底面的相同圆台构成，上下底面的半径均为25cm ，公共底面的半径为15cm ，铜鼓总高度为30cm.已知青铜的密度约为38g /cm ，现有青铜材料1000kg ，则最多可以打造这样的实心铜鼓的个数为（ ）（注：π 3.14≈）A.1B.2C.3D.45.已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()1f x x f x <−′（()f x ′为()f x 的导函数），且()10f =，则（ ）A.()22f <B.()22f >C.()33f <D.()33f >6.已知过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 且倾斜角为π4的直线交C 于,A B 两点，M 是AB 的中点，点P 是C 上一点，若点M 的纵坐标为1，直线:3230l x y ++=，则P 到C 的准线的距离与P 到l 的距离之和的最小值为（ ）7.已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ=+><，对于任意的ππ,1212x f x f x ∈+=−R ，()π02f x f x+−=都恒成立，且函数()f x 在π,010 − 上单调递增，则ω的值为（ ）A.3B.9C.3或8.如图，已知长方体ABCD A B C D ′−′′′中，2,AB BC AA O ==′=为正方形ABCD 的中心点，将长方体ABCD A B C D ′−′′′绕直线OD ′进行旋转.若平面α满足直线OD ′与α所成的角为53 ，直线l α⊥，则旋转的过程中，直线AB 与l 夹角的正弦值的最小值为（ ）（参考数据：43sin53,cos5355≈≈）二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某机械制造装备设计研究所为推进对机床设备的优化，成立,A B 两个小组在原产品的基础上进行不同方向的研发，A 组偏向于智能自动化方向，B 组偏向于节能增效方向，一年后用简单随机抽样的方法各抽取6台进行性能指标测试（满分：100分），测得A 组性能得分为：91,81,82,96,89,73,B 组性能得分为：73,70,96,79,94,88，则（ ）A.A 组性能得分的平均数比B 组性能得分的平均数高B.A 组性能得分的中位数比B 组性能得分的中位数小C.A 组性能得分的极差比B 组性能得分的极差大D.B 组性能得分的第75百分位数比A 组性能得分的平均数大10.嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中,AC BD 分别为两个截面椭圆的长轴，且,,,A C B D 都位于圆柱的同一个轴截面上，AD 是圆柱截面圆的一条直径，设上､下两个截面椭圆的离心率分别为12,e e ，则能够保证CD 12,e e 的值可以是（ ）A.12e e =121,2e e ==C.12e e =D.12e e = 11.对于任意实数,x y ，定义运算“⊕”x y x y x y ⊕=−++，则满足条件a b b c ⊕=⊕的实数,,a b c 的值可能为（ ）A.0.30.50.5log 0.3,0.4,log 0.4a b c =−== B.0.30.50.50.4,log 0.4,log 0.3a b c ===− C.0.10.1100.09,,ln e 9abc ==D.0.10.110,ln ,0.09e 9ab c == 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在复平面内，复数z 对应的点为()1,1，则21zz−=+__________. 13.写出一个同时满足下列条件①②③的数列{}n a 的通项公式n a =__________. ①m na a m n−−是常数，*,m n ∈N 且m n ≠；②652a a =；③{}n a 的前n 项和存在最小值.14.清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁･查理･卡特兰的名字命名）.有如下问题：在n n ×的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数122C C nn n n −−.如图，现有34×的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角A 走到右上角B 共有__________种不同的走法；若要求从左下角A 走到右上角B 的过程中只能在直线AC 的右下方，但可以到达直线AC ，则有__________种不同的走法.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知M 为圆229x y +=上一个动点，MN 垂直x 轴，垂足为,N O 为坐标原点，OMN 的重心为G . （1）求点G 的轨迹方程；（2）记第（1）问中的轨迹为曲线C ，直线l 与曲线C 相交于A B ､两点，点()0,1Q ，若点)H 恰好是ABQ 的垂心，求直线l 的方程. 16.（本小题满分15分）如图，四边形ABCD 为圆台12O O 的轴截面，2AC BD =，圆台的母线与底面所成的角为45 ，母线长为E 是 BD的中点.（1）已知圆2O 内存在点G ，使得DE ⊥平面BEG ，作出点G 的轨迹（写出解题过程）；（2）点K 是圆2O 上的一点（不同于,A C ），2CK AC =，求平面ABK 与平面CDK 所成角的正弦值. 17.（本小题满分15分）素质教育是当今教育改革的主旋律，音乐教育是素质教育的重要组成部分，对于陶冶学生的情操､增强学生的表现力和自信心､提高学生的综合素质等有重要意义.为推进音乐素养教育，培养学生的综合能力，某校开设了一年的音乐素养选修课，包括一个声乐班和一个器乐班，已知声乐班的学生有24名，器乐班的学生有28名，课程结束后两个班分别举行音乐素养过关测试，且每人是否通过测试是相互独立的. （1）声乐班的学生全部进行测试.若声乐班每名学生通过测试的概率都为(01)p p <<，设声乐班的学生中恰有3名通过测试的概率为()f p ，求()f p 的极大值点0p .（2）器乐班采用分层随机抽样的方法进行测试.若器乐班的学生中有4人学习钢琴，有8人学习小提琴，有16人学习电子琴，按学习的乐器利用分层随机抽样的方法从器乐班的学生中抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取3人进行测试，设抽到学习电子琴的学生人数为ζ，求ζ的分布列及数学期望. 18.（本小题满分17分）已知数列{}n a 为等比数列，{}n b 为等差数列，且1185482,8,a b a a a b ====. （1）求{}{},n n a b 的通项公式；（2）数列1ππ12242(1)n n b −+−⋅的前n 项和为n S ，集合*422,n n n S b A nt n n a ++ ⋅ =≥∈ ⋅N 共有5个元素，求实数t 的取值范围；（3）若数列{}n c 中，()212log 1,2114nnn a c c n b ==≥−，求证：1121231232n c c c c c c c c c c +⋅+⋅⋅++⋅⋅<19.（本小题满分17分）设有n 维向量1122,n n a b a b ab a b=，称1122,n n a b a b a b a b =+++ 为向量a 和b 的内积， 当,0a b = ，称向量a 和b 正交.设n S 为全体由1−和1构成的n 元数组对应的向量的集合. （1）若1234a=，写出一个向量b ，使得,0a b =； （2）令[]{},,nBxy x y S =∈∣.若m B ∈，证明：m n +为偶数； （3）若()4,4n f =是从4S 中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足,0a b =，猜测()4f 的值，并给出一个实例.长郡中学2025届高三第一次调研考试数学参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案ACDCDDAAADADBD6.D 【解析】由题得C 的焦点为,02p F，设倾斜角为π4的直线AB 的方程为2p y x =−，与C 的方程22y px =（联立得2220y py p −−=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1222,1y y p p +===，故C 的方程为212,,02y x F=.由抛物线定义可知点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，联立抛物线2:2C y x =与直线:3230l xy ++=，化简得291090x x ++=，由Δ1004992240=−××=−<得C 与l 相离.,,Q S R 分别是过点P 向准线､直线:3230l x y ++=以及 过点F 向直线:3230l x y ++=引垂线的垂足，连接,FP FS ， 所以点P 到C 的准线的距离与点P 到直线l 的距离之和PQ PS PF PS FS FR +=+≥≥， 等号成立当且仅当点P 为线段FR 与抛物线的交点， 所以P 到C 的准线的距离与P 到l 的距离之和的最小值为点1,02F到直线:3230l x y ++=. 故选：D.7.A 【解析】设函数()f x 的最小正周期为T ，因为函数()f x 在π,010−上单调递增， 所以π0102T −−≤，得2ππ5T ω=≥，因此010ω<≤. 由ππ1212f x f x+=−知()f x 的图象关于直线π12x =对称， 则11πππ,122k k ωϕ⋅+=+∈Z ①. 由()π02f x f x +−= 知()f x 的图象关于点π,04对称，则22ππ,4k k ωϕ⋅+=∈Z ②. ②-①得()2112πππ,,62k k k k ω⋅−−∈Z ，令21kk k =−，则63,k k ω=−∈Z ， 结合010ω<≤可得3ω=或9.当3ω=时，代入（1）得11ππ,4k k ϕ=+∈Z ，又π2ϕ<，所以π4ϕ=， 此时()π2sin 34f x x=+，因为πππ32044x −<+<， 故()f x 在π,010−上单调递增，符合题意；当9ω=时，代入（1）得11π,k k ϕ∈Z ，又π2ϕ<，所以π4ϕ=−， 此时()π2sin 94f x x=−，因为23πππ92044x −<−<−， 故()f x 在π,010−上不是单调递增的，所以9ω=不符合题意，应舍去. 综上，ω的值为3. 故选：A.8.A 【解析】在长方体ABCD A B C D ′−′′′中，AB ∥C D ′′， 则直线AB 与l 的夹角等于直线C D ′′与l 的夹角.长方体ABCD A B C D ′−′′′中，2,AB BC AA O ==′=为正方形ABCD 的中心点，则2OD OC ==′′，又2C D ′′=， 所以OC D ′′ 是等边三角形，故直线OD ′与C D ′′的夹角为60 .则C D ′′绕直线OD ′旋转的轨迹为圆锥，如图所示，60C D O ∠=′′ .因为直线OD ′与α所成的角为53,l α⊥ ，所以直线OD ′与l 的夹角为37 . 在平面C D O ′′中，作,D E D F ′′，使得37OD EOD F ∠∠′==′ .结合图形可知，当l 与直线D E ′平行时，C D ′′与l 的夹角最小，为603723C D E ∠−′′== ， 易知603797C D F ∠+′′== .设直线C D ′′与l 的夹角为ϕ，则2390ϕ≤≤ ，故当23ϕ= 时sin ϕ最小，而()sin23sin 6037sin60cos37cos60sin37=−=−sin60sin53cos60cos53=−≈故直线AB 与l . 故选：A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.AD 10.AD11.BD 【解析】由a b b c ⊕=⊕，可得a b a b b c b c −++=−++，即a b b c c a −−−=−，若,a b c b ≤≤，可得a b b c c a −−−=−，符合题意，若,a b c b ≤>，可得2a b b c b a c −−−=−−，不符合题意， 若,a b c b >≤，可得a b b c a c −−−=−，不符合题意， 若,a b c b >>，可得2a b b c c a b −−−=+−，不符合题意， 综上所述0,0a b b c −≤−≥，可得,b a b c ≥≥， 故只需判断四个选项中的b 是否为最大值即可.对于A,B ，由题知0.50.50.510log 0.3log log 103−=<=，而0.3000.40.41<<=， 0.50.5log 0.4log 0.51>=，所以0.30.50.5log 0.30.4log 0.4−<<.（点拨：函数0.5log y x =为减函数，0.4x y =为减函数）， 对于A ，a b c <<；对于B ，c a b <<，故A 错误，B 正确.对于C ，D 0.10.10.10.090.9e (10.1)e ,0.1e ==− （将0.9转化为10.1−，方便构造函数）构造函数()()[)1e ,0,1xf x x x =−∈， 则()e xf x x ′=−，因为[)0,1x ∈，所以()()0,f x f x ′≤单调递减，因为()01f =，所以()0.11f <， 即0.10.9e 1<，所以0.10.10.09e <. （若找选项中的最大值，下面只需判断0.10.1e与10ln 9的大小即可） ()10.10.10.10.10.1100.190.190.1ln ln ln ln 10.1e 9e 10e 10e −−=−=+=+−， 构造函数()()[)ln 1,0,1e x xh x x x =+−∈，则()()211(1)e e 1e 1x x x x x h x x x −−−=−=−−′， 因为[)0,1x ∈，所以()e 10xx −>，令()2(1)e xx x ω=−−，则()()21e xx x ω=−−−′， 当[)0,1x ∈时，()()0,x x ωω′<单调递减，因为()00ω=，所以()0x ω≤，即()()0,h x h x ′≤单调递减，又()00h =，所以()0.10h <， 即()0.10.1ln 10.10e +−<，所以0.10.110ln e 9<. 综上，0.10.1100.09lne 9<<.对于C ，a b c <<；对于D ，c a b <<，故C 错误，D 正确. （提醒：本题要比较0.09与10ln 9的大小关系的话可以利用作差法判断， 即()11090.09ln 0.10.9ln 10.90.9ln0.9910− −=×−=−×+， 构造函数()()(]1ln ,0,1g x x x x x =−+∈， 则()()()221112112x x x x g x x x x x′+−+−++=−+==，因为(]0,1x ∈，所以()()0,g x g x ′≥单调递增，因为()10g =，所以()0.90g <， 即100.09ln09−<，所以100.09ln 9<） 故选：BD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.13i 55− 【解析】由于复数z 对应的点为()1,1，所以1i z =+， 故()()()()1i 2i 21i 13i 13i 12i 2i 2i 555z z −−−−−====−+++−， 故答案为：13i 55− 13.4n −（答案不唯一）14.35；14四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.【解析】（1）设()()00,,,G x y M x y ，则()0,0N x ，因G 为OMN 的重心，故有：00233x x y y = =，解得003,32x x y y ==，代入22009x y +=，化简得2214x y +=， 又000x y ≠，故0xy ≠，所以G 的轨迹方程为()22104x y xy +=≠. （2）因H 为ABQ 的垂心，故有,AB HQ AH BQ ⊥⊥，又HQ k ==l k =，故设直线l 的方程为()1y m m +≠， 与2214x y +=联立消去y 得：2213440x m ++−=， 由2Δ208160m =−>得213m <，设()()1122,,,A x y B xy ，则212124413m x x x x −+=， 由AH BQ⊥2211y x −=−，所以()211210x x m m −+++−=，所以)()21212410x x m x x m m +−++−=， 所以()()()22444241130m m m m m −−−+−=，化简得2511160m m +−=，解得1m =（舍去）或165m =−（满足Δ0>），故直线l 的方程为165y =−.16.【解析】（1）E 是 BD的中点，DE BE ∴⊥. 要满足DE ⊥平面BEG ，需满足DE BG ⊥，又DE ⊂ 平面,BDE ∴平面BEG ⊥平面BDE如图，过B 作下底面的垂线交下底面于点G ，过G 作BE 的平行线，交圆2O 于2,G G ，则线段12G G 即点G 的轨迹.（2）易知可以2O 为坐标原点，221,O C O O 所在直线分别为y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系2O xyz −，45,2AC BD = ，21122,1,1O A O B O O ∴===，取K 的位置如图所示，连接2O K ，22,60CK AC CO K ∠=∴= ，即230xO K ∠= ，则)()()()(),0,2,0,0,1,1,0,2,0,0,1,1K A B C D −−，则)))),2,1,1,0,1AK BK CK DK −−− . 设平面ABK 的法向量为()111,,n x y z =， 则00n AK n BK ⋅= ⋅=，即111113020y y z +=+−=，令1x =)111,1,1,1z y n ==−∴=− . 设平面CDK 的法向量为()222,,m x y z =， 则00m CK m DK ⋅= ⋅=，即222200y z −=−=，令2x =，则)223,3,z y m ==∴= . 设平面ABK 与平面CDK 所成的角为θ，则cos =sin θ∴17.【解析】（1）24名学生中恰有3名通过测试的概率()332124C (1)f p p p =⋅−， 则()()322132032202424C 3(1)21(1)C 3()8,01jf p p p p p p p p p =−−−=⋅⋅′−−<< ， 令()0f p ′=，得18p =， 所以当108p <<时，()()0,f p f p ′>单调递增； 当118p <<时，()()0,f p f p ′<单调递减， 故()f p 的极大值点018p =. （2）利用分层随机抽样的方法从28名学生中抽取7名， 则7名学生中学习钢琴的有1名，学习小提琴的有2名，学习电子琴的有4名，所以ζ的所有可能取值为0,1,2,3，()()3213343377C C C 1120,1C 35C 35P P ζζ======， ()()1233443377C C C 1842,3C 35C 35P P ζζ======， 则随机变量ζ的分布列为()112184120123353535357E ζ=×+×+×+×=. 18.【解析】（1）设数列{}n a 公比的为q ，数列{}n b 公差的为d 则由318518,82,2n n n a a q q a a q −==∴=∴==，4816a b ==，即()827162,2122n b d d b n n =+=∴=∴=+−=. （2）设1ππ12242(1)n n n d b −+ =−⋅则22224414243441424312848n n n n n n n n d d d d b b b b n −−−−−−+++=+−−=− ()()412344342414n n n n n S d d d d d d d d −−−∴=++++++++()12848802n n −+= ()6416n n +()()()()4222641622328222n n n n n n n n n S b n a ++++⋅+++⋅∴==⋅ 令()()()32822nn n f n ++=， 则()()()()()()113240332824122n n n n n n f n f n +++++++−=− ()22144113288822n n n n n n +−−+−−+=， 可得()()()()()1234f f f f f n <>>>> ，故当2n =时，()f n 最大.且()()()147160,5,6254f f f ===， 147254t ∴<≤，即t 的取值范围为14725,4. （3）由()()()121,2111n n n c c n n n n ===≥−+−，则当2n ≥时， ()()()122311324113451n n n c c c n n n n =××××=⋅⋅−+×××××+ ()()()21111221!1!!1!n n n n n n +−==− +++当1n =时，11c =也满足上式()()*12112!1!n c c c n n n ∴=−∈ + N 112123123n c c c c c c c c c c ∴+⋅+⋅⋅++⋅⋅()1111221222!2!3!!1!n n =−+−++−=−< + 故原不等式成立.19.【解析】（1）由定义，只需满足12342340b b b b +++=，不妨取1110b= −（答案不唯一）. （2）对于,1,2,,m B i n ∈=， 存在{}{}1122,1,1,,1,1,ii n n x y x y x x y y x y ∈−=∈− ……使得[],x y m = . 当i i x y =时，1i i x y =；当i i x y ≠时，1i i x y =−.令11,,0,ni i i i i ii x y k x y λλ== == ≠ ∑. 所以所以22m n k n n k +−+为偶数.（3）当4n =时，可猜测互相正交的4维向量最多有4个，即()44f =.不妨取123411111111,,,11111111a a a a −− −− ==== −−则有[][][][][][]121314232434,0,,0,,0,,0,,0,,0a a a a a a a a a a a a ======. 若存在5a ，使[]15,0a a = ，则51111a − = − 或1111 − − 或1111 − −. 当51111a − = −时，[]45,4a a =− ； 当51111a − = −时，[]25,4a a =− ； 当51111a = − −时，[]35,4a a =− ， 故找不到第5个向量与已知的4个向量互相正交.。
衡阳八中2018届高三年级实验班第一次模拟考试试卷理科数学（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第一次模拟考试试卷，分两卷。
其中共23题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。
开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B 铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm 签字笔书写。
考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★第I 卷 选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.）A2.已知i 是虚数单位，（1+2i ）z 1=﹣1+3i z 1、z 2在复平面上对应的点分别为A 、B ，则|AB|=（）A ．31B ．33 CD3.值是4.已知定义在[0，+∞）上的函数f （x ）满足f （x ）=3f （x+2），当x ∈[0，2）时，f （x ）=﹣x 2+2x ．设f （x ）在[2n ﹣2，2n ）上的最大值为a n （n ∈N *），且{a n }的前n 项和为S n ，则S n的取值范围是（）A．[1B．[1C．2） D．2]5.（）A6.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10a5+a6=（）A B．12C．6 D7.如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（）A．B．C．D．8.若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=﹣f（x），且当x∈[﹣1，0则函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．59.执行右边的程序框图，若p=0.8，则输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．610.已知函数f（x）f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x3（x1+x2））A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1] C．（﹣∞，1）D．[﹣1，1）11.已知F1、F2（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF1是锐角三角形，则该椭圆离心率e的取值范围是（）A．e 1 B．0＜e 1 C1＜e＜1 D1＜e12.x1，x2∈[0，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1恒成立，则a的取值范围是（）A BC D第II 卷 非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）______． 14.平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线C 2：x 2=2py（p ＞0）交于点O ，A ，B ，若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为 ．15.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三个内角A 、B、C 所对的边分别为a 、b 、c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为a 2sinC=4sinA ，（a+c ）2=12+b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为 ．16.A ﹣BCD 的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，球心O 在此三棱锥内部，且R ：BC=2：3，E为线段BD 上一点，且DE=2EB ，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 .三.解答题（共8题，共70分）17.（本题满分12分）△ABC的内角为A，B，C的对边分别为a，b，c（1（2ABC的面积最大时，△ABC的周长；18.（本题满分12分）交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了80辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这80辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（1某同学家里有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记X为该品牌车在第四年续保时的费用，列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故车盈利8000元：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值.19.（本题满分12分）2的正三角形．（1）证明：（220.（本题满分12分）如图，过抛物线（1）求椭圆1C和抛物线2C的方程；（2.21.（本题满分12分）.(Ⅰ)当a=0时，求f(x)的极值；使得m的取值范围.选做题：考生从22、23题中任选一题作答，共10分。
2016年湖南省衡阳八中、长郡中学、岳阳十一中等十三校高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（，）B．（，﹣）C．（0，1） D．（0，﹣1）2．已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3 B．6 C．8 D．103．不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3 p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p34．如图是某算法的程序框图，则程序运行后输入的结果是（）A．2 B．3 C．4 D．55．若向量，，满足∥，且•=0，则（+）•=（）A．0 B．2 C．3 D．46．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C．D．7．（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A．10 B．20 C．30 D．608．已知抛物线方程为y2=4x，直线l的方程为x﹣y+4=0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为（）A．B．C． D．9．若函数f（x）=2sin（2x+）+a﹣1（a∈R）在区间[0，]上有两个零点x1，x2（x1≠x2），则x1+x2﹣a的取值范围是（）A．（﹣1，+1）B．[，+1）C．（﹣1，+1）D．[，+1）10．在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，则该三角形有且仅有两解；②若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为钝角；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．311．在等差数列{a n}中，a2=5，a6=21，记数列{}的前n项和为S n，若S2n+1﹣S n≤，∀n∈N*恒成立，则正整数m的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．612．已知函数f（x）=lnx﹣x+﹣1，g（x）=x2﹣2bx+4，若对任意的x1∈（0，2）存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），则实数b的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.13．计算：cos2xdx=．14．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是．15．桌面上有形状大小相同的白球、红球、黄球各3个，相同颜色的球不加以区分，将此9个球排成一排共有种不同的排法．（用数字作答）16．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=，且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣8，3]上的所有实根之和为．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n}为等差数列，公差d≠0，同{a n}中的部分项组成的数列为等比数列，其中b1=1，b2=5，b3=17．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）记T n=b1+b2+b3+…+b n，求T n．18．某高校在2014年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．（1）分别求第3，4，5组的频率；（2）若该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，（ⅰ）已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率；（ⅱ）学校决定在这已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受考官L的面试，设第4组中有ξ名学生被考官L面试，求ξ的分布列和数学期望．19．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1=2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H=．（1）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值；（3）设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM 的长．20．椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为，点P（1，）及点A，B在椭圆E上，且+=m（m∈R）．（1）求椭圆E的方程及直线AB的斜率；（2）当△PAB的面积取得最大时，求△PAB的重心坐标．21．已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R．（1）若函数F（x）=f[sin（1﹣x）]+g（x）在区间（0，1）上为增函数，求a的取值范围；（2）设a n=sin，求证：＜ln2．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC是内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AB=6，BC=4，求AE．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线c的极坐标方程（2）若直线l的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=1，求直线l被曲线c截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知正实数a、b满足：a2+b2=2．（1）求的最小值m；（2）设函数f（x）=|x﹣t|+|x+|（t≠0），对于（1）中求得的m，是否存在实数x，使得f （x）=成立，说明理由．2016年湖南省衡阳八中、长郡中学、岳阳十一中等十三校高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A．（，）B．（，﹣）C．（0，1） D．（0，﹣1）【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则在复平面内，复数对应的点的坐标可求．【解答】解：由=，则在复平面内，复数对应的点的坐标为：（0，﹣1）．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3 B．6 C．8 D．10【考点】元素与集合关系的判断．【专题】集合．【分析】由题意，根据集合B中的元素属性对x，y进行赋值得出B中所有元素，即可得出B中所含有的元素个数，得出正确选项【解答】解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，x=4时，y=1，2，3，x=3时，y=1，2，x=2时，y=1综上知，B中的元素个数为10个故选D【点评】本题考查元素与集合的关系的判断，解题的关键是理解题意，领会集合B中元素的属性，用分类列举的方法得出集合B中的元素的个数．3．不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3 p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3【考点】命题的真假判断与应用；二元一次不等式的几何意义．【专题】不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．【解答】解：作出图形如下：由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，p1：区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；p2：在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内，∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确；p3：由图知，区域D有部分在直线x+2y=3的上方，因此p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3错误；p4：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；综上所述，p1、p2正确；故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．4．如图是某算法的程序框图，则程序运行后输入的结果是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】根据程序框图进行模拟运行即可．【解答】解：第一次循环，sin＞sin0，即1＞0成立，a=1，T=1，k=2，k＜6成立，第二次循环，sinπ＞sin，即0＞1不成立，a=0，T=1，k=3，k＜6成立，第三次循环，sin＞sinπ，即﹣1＞0不成立，a=0，T=1，k=4，k＜6成立，第四次循环，sin2π＞sin，即0＞﹣1成立，a=1，T=1+1=2，k=5，k＜6成立，第五次循环，sin＞sin2π，即1＞0成立，a=1，T=2+1=3，k=6，k＜6不成立，输出T=3，故选：B【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．5．若向量，，满足∥，且•=0，则（+）•=（）A．0 B．2 C．3 D．4【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】根据共线向量定理可得=λ，再根据向量数量积运算求解即可【解答】解：∵向量，，满足∥，且•=0，∴=λ，∴（+）•=（λ+1）•=0，故选：A【点评】本题考查了平面向量的数量积的运算问题，是基础题．6．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定y0的取值范围．【解答】解：由题意，=（﹣x0，﹣y0）•（﹣﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．【点评】本题考查向量的数量积公式，考查双曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础．7．（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A．10 B．20 C．30 D．60【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题；二项式定理．【分析】利用展开式的通项，即可得出结论．【解答】解：（x2+x+y）5的展开式的通项为T r+1=，令r=2，则（x2+x）3的通项为=，令6﹣k=5，则k=1，∴（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为=30．故选：C．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，确定通项是关键．8．已知抛物线方程为y2=4x，直线l的方程为x﹣y+4=0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为（）A．B．C． D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】如图点P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1，过焦点F作直线x﹣y+4=0的垂线，此时d1+d2最小，根据抛物线方程求得F，进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值．【解答】解：如图点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，从而P到y轴的距离等于点P到焦点F的距离减1．过焦点F作直线x﹣y+4=0的垂线，此时d1+d2=|PF|+d2﹣1最小，∵F（1，0），则|PF|+d2==，则d1+d2的最小值为．故选D．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质，两点距离公式的应用．解此列题设和先画出图象，进而利用数形结合的思想解决问题．9．若函数f（x）=2sin（2x+）+a﹣1（a∈R）在区间[0，]上有两个零点x1，x2（x1≠x2），则x1+x2﹣a的取值范围是（）A．（﹣1，+1）B．[，+1）C．（﹣1，+1）D．[，+1）【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据函数零点的定义、函数的图象的对称轴方程求得x1+x2=．再根据y=2sin （2x+）的图象和直线y=1﹣a在区间[0，]上有两个交点，正弦函数的定义域和值域求得a的范围，可得x1+x2﹣a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=2sin（2x+）+a﹣1的周期为π，令2x+=，求得x=，可得函数在y轴右侧的第一条对称轴方程为x=．由于函数的两个两个零点为x1，x2，∴x1+x2=2×=．由函数f（x）=2sin（2x+）+a﹣1（a∈R）在区间[0，]上有两个零点x1，x2（x1≠x2），可得y=2sin（2x+）的图象和直线y=1﹣a在区间[0，]上有两个交点．由x∈区间[0，]，可得2x+∈[，]，2sin（2x+）∈[﹣1，2]，∴1≤1﹣a＜2，求得﹣1＜a≤0，故0≤﹣a＜1，∴≤x1+x2﹣a＜+1，故选：B．【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，函数零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．10．在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，则该三角形有且仅有两解；②若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为钝角；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是．其中正确命题的个数是（）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；定义法；三角函数的求值．【分析】①根据正弦定理判断得出sinA=＞1不成立；②设边长，根据余弦定理得出最大角cosα==﹣＜0，③设出角度，根据大边对大角，只需判断最大角为锐角即可．【解答】解：在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，由正弦定理可知，，所以sinA=＞1，故错误；②若三角形的三边的比是3：5：7，根据题意设三角形三边长为3x，5x，7x，最大角为α，由余弦定理得：cosα==﹣，则最大角为120°，故正确；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，设所对角分别为A，B，C，则最大角为B或C所对的角，∴cosB=＞0，得是＜x，cosC=＞0，得x＜．则x的取值范围是，故正确；故选：C．【点评】考查了正弦定理和余弦定理的应用，根据题意，正确设出边或角．11．在等差数列{a n}中，a2=5，a6=21，记数列{}的前n项和为S n，若S2n+1﹣S n≤，∀n∈N*恒成立，则正整数m的最小值为（）【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的通项公式求出数列{}的通项公式，证明数列{S2n+1﹣S n}（n∈N*）是递减数列，可其最大值，进而可得m的取值范围，结合m为正整数可得．【解答】解：∵在等差数列{a n}中a2=5，a6=21，∴公差d==4∴a n=5+4（n﹣2）=4n﹣3，∴=，∵（S2n+1﹣S n）﹣（S2n+3﹣S n+1）=（）﹣（）===（）+（）＞0，∴数列{S2n+1﹣S n}（n∈N*）是递减数列，∴数列{S2n+1﹣S n}（n∈N*）的最大项为S3﹣S1==∴只需≤，变形可得m≥，又∵m是正整数，∴m的最小值为5．故选：C．【点评】本题考查数列与不等式的结合，证数列{S2n+1﹣S n}（n∈N*）是递减数列并求数列{S2n+1﹣S n}（n∈N*）的最大值是解决问题的关键，属中档题．12．已知函数f（x）=lnx﹣x+﹣1，g（x）=x2﹣2bx+4，若对任意的x1∈（0，2）存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），则实数b的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】利用导数研究函数f（x）的最值问题，根据题意对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可．【解答】解：∵函数f（x）=lnx﹣x﹣1，（x＞0）∴f′（x）=﹣+==，若f′（x）＞0，1＜x＜3，f（x）为增函数；若f′（x）＜0，x＞3或0＜x＜1，f（x）为减函数；f（x）在x∈（0，2）上有极值，f（x）在x=1处取极小值也是最小值f（x）min=f（1）=﹣+﹣1=﹣；∵g（x）=x2﹣2bx+4=（x﹣b）2+4﹣b2，对称轴x=b，x∈[1，2]，当b＜1时，g（x）在x=1处取最小值g（x）min=g（1）=1﹣2b=4=5﹣2b；当1＜b＜2时，g（x）在x=b处取最小值g（x）min=g（b）=4﹣b2；当b＞2时，g（x）在[1，2]上是减函数，g（x）min=g（2）=4﹣4b+4=8﹣4b；∵对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），∴只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可，当b＜1时，≥5﹣2b，解得b≥，故b无解；当b＞2时，≥8﹣4b，解得b≥，综上：b≥，故选：A【点评】本题考查不等式恒成立问题，利用导数求闭区间上函数的最值，根据不等式恒成立转化为最值恒成立是解决本题的关键．综合性较强，运算较大，有一定的难度．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.13．计算：cos2xdx=．【考点】定积分．【专题】导数的概念及应用．【分析】先根据倍角公式，化简，再根据定积分计算可得．【解答】解：cos2xdx=dx=（x+sin2x）|=，故答案为：【点评】本题主要考查了定积分的计算，属于基础题．14．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是（1+）π．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据三视图判断几何体是圆锥，判断圆锥的底面直径及高，求母线长，把数据代入圆锥的表面积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是圆锥，其中圆锥的底面直径为2，高为2，∴母线长为，∴圆锥的表面积S=π×12+=π+π，故答案为：（1+）π．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，解题的关键是根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量．15．桌面上有形状大小相同的白球、红球、黄球各3个，相同颜色的球不加以区分，将此9个球排成一排共有1680种不同的排法．（用数字作答）【考点】计数原理的应用．【专题】应用题；排列组合．【分析】可以考虑将此9个球同色加以区分的排成一排，然后再加以区分，除以相同颜色的球的排列数即可．【解答】解：可以考虑将此9个球同色加以区分的排成一排，然后再加以区分，除以相同颜色的球的排列数即可．所以满足题意的排列种数共有=1680种．故答案为：1680．【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．16．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=，且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣8，3]上的所有实根之和为﹣12．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用函数的周期性和对称性，结合图象可得方程的根．【解答】解：由f（x+2）=f（x），知f（x）是周期为2的周期函数．分别作出函数y=f（x）与y=g（x）的图象，如图所示．这两个函数的图象关于点P（﹣2，2）中心对称，故它们的交点也关于点P（﹣2，2）中心对称，从而方程f（x）=g（x）在区间[﹣8，3]上的所有6个实根也是两两成对地关于点P（﹣2，2）中心对称，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣8，3]上的所有实根之和为3×（﹣4）=﹣12．故答案为：﹣12．【点评】本题主要考查根的存在性及根的个数判断，函数的周期性以及对称性的综合应用，综合性比较强．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n}为等差数列，公差d≠0，同{a n}中的部分项组成的数列为等比数列，其中b1=1，b2=5，b3=17．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）记T n=b1+b2+b3+…+b n，求T n．【考点】数列的求和；二项式定理的应用．【专题】计算题．【分析】（1）由题意可得，，利用等差数列的通项公式代入可得，a1=2d，从而可求数列{a n}的公比q==，分别利用等差数列与等比数列的通项公式表示，从而可求b n（2）由（1）可得T n=b1+b2+b3+…+b n，=+…+（2•3n﹣1﹣1），结合等比数列的求和公式及组合数的性质可求和【解答】解：（1）由题意可得，即∵d≠0整理可得，a1=2d等比数列{a n}的公比q===3∴又=∴∵a1=2d≠0∴（2）∵T n=b1+b2+b3+…+b n，=+…+（2•3n﹣1﹣1）=﹣（）=[（1+3）n﹣1]﹣（2n﹣1）=【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的综合应用，等比数列的求和公式及组合数的性质等知识的综合应用18．某高校在2014年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．（1）分别求第3，4，5组的频率；（2）若该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，（ⅰ）已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率；（ⅱ）学校决定在这已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受考官L的面试，设第4组中有ξ名学生被考官L面试，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】概率与统计．【分析】（1）由频率分布直方图能求出第3，4，5组的频率．（2）（i）设“学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试”为事件A，第三组应有3人进入面试，由此能求出学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率．（ii）第四组应有2人进行面试，则随机变量ξ可能的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）第三组的频率为0.06×5=0.3，第四组的频率为0.04×5=0.2，第五组的频率为0.02×5=0.1．（2）（i）设“学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试”为事件A，第三组应有3人进入面试，则：P（A）==．（ii）第四组应有2人进行面试，则随机变量ξ可能的取值为0，1，2，且P（ξ=i）=，（i=0，1，2），则随机变量ξ的分布列为：Eξ=+=名．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量ξ的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．19．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1=2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H=．（1）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值；（3）设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM 的长．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的性质．【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．【分析】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．（Ⅰ）求出中的有关向量，然后求出异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（Ⅱ）利用求出平面AA1C1的法向量，通过求出平面A1B1C1的法向量，然后利用求二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值；（Ⅲ）设N为棱B1C1的中点，设M（a，b，0），利用MN⊥平面A1B1C1，结合求出a，b，然后求线段BM的长．方法二：（I）说明∠C1A1B1是异面直线AC与A1B1所成的角，通过解三角形C1A1B1，利用余弦定理，．求出异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为．（II）连接AC1，过点A作AR⊥A1C1于点R，连接B1R，说明∠ARB1为二面角A﹣A1C1﹣B1的平面角．连接AB1，在△ARB1中，通过，求出二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值为．（III）首先说明MN⊥A1B1．取HB1中点D，连接ND，由于N是棱B1C1中点，推出ND⊥A1B1．证明A1B1⊥平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E，延长EM交AB于点F，连接NE．连接BM，在Rt△BFM中，求出．【解答】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．依题意得（I）解：易得，于是，所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为．（II）解：易知．设平面AA1C1的法向量=（x，y，z），则即不妨令，可得，同样地，设平面A1B1C1的法向量=（x，y，z），则即不妨令，可得．于是，从而．所以二面角A﹣A1C1﹣B的正弦值为．（III）解：由N为棱B1C1的中点，得．设M（a，b，0），则由MN⊥平面A1B1C1，得即解得故．因此，所以线段BM的长为．方法二：（I）解：由于AC∥A1C1，故∠C1A1B1是异面直线AC与A1B1所成的角．因为C1H⊥平面AA1B1B，又H为正方形AA1B1B的中心，，可得A1C1=B1C1=3．因此．所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为．（II）解：连接AC1，易知AC1=B1C1，又由于AA1=B1A1，A1C1=A1C1，所以△AC1A1≌△B1C1A1，过点A作AR⊥A1C1于点R，连接B1R，于是B1R⊥A1C1，故∠ARB1为二面角A﹣A1C1﹣B1的平面角．在Rt△A1RB1中，．连接AB1，在△ARB1中，=，从而．所以二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值为．（III）解：因为MN⊥平面A1B1C1，所以MN⊥A1B1．取HB1中点D，连接ND，由于N是棱B1C1中点，所以ND∥C1H且．又C1H⊥平面AA1B1B，所以ND⊥平面AA1B1B，故ND⊥A1B1．又MN∩ND=N，所以A1B1⊥平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E，则ME⊥A1B1，故ME∥AA1．由，得，延长EM交AB于点F，可得．连接NE．在Rt△ENM中，ND⊥ME，故ND2=DE•DM．所以．可得．连接BM，在Rt△BFM中，．【点评】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．20．椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为，点P（1，）及点A，B在椭圆E上，且+=m（m∈R）．（1）求椭圆E 的方程及直线AB 的斜率；（2）当△PAB 的面积取得最大时，求△PAB 的重心坐标．【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由离心率公式和点P 满足椭圆方程，以及a ，b ，c 的关系，解得a 2=4，b 2=3，由此能求出椭圆E 的方程及直线AB 的斜率；（2）设AB 的方程为y=﹣x+t ，代入椭圆方程得：x 2﹣tx+t 2﹣3=0，求得△=3（4﹣t 2），运用韦达定理和弦长公式求得|AB|，运用点到直线的距离公式可得点P 到直线AB 的距离为d ，求得S △PAB ． 由此能求出△PAB 的最大值和重心坐标．【解答】解：（1）由e==，a 2﹣b 2=c 2，P 在椭圆上，可得+=1，解得a 2=4，b 2=3，椭圆方程为+=1； 设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），由+=m ，得（x 1+x 2﹣2，y 1+y 2﹣3）=m （1，），即，又+y 12=1， +y 22=1，两式相减得k AB ==﹣•=﹣•=﹣；（2）设AB 的方程为y=﹣x+t ，代入椭圆方程得：x 2﹣tx+t 2﹣3=0，x 1+x 2=t ，x 1x 2=t 2﹣3，△=3（4﹣t 2），|AB|=•=•，点P到直线AB的距离为d=，S△PAB=d|AB|=|2﹣t|•=（﹣2＜t＜2）．令f（t）=3（2﹣t）3（2+t），则f’（t）=﹣12（2﹣t）2（t+1），由f’（t）=0得t=﹣1或2（舍），当﹣2＜t＜﹣1时，f’（t）＞0，当﹣1＜t＜2时f’（t）＜0，所以当t=﹣1时，f（t）有最大值81，即△PAB的面积的最大值是；根据韦达定理得x1+x2=t=﹣1，而x1+x2=2+m，所以2+m=﹣1，得m=﹣3，于是x1+x2+1=3+m=0，y1+y2+=3++=0，因此△PAB的重心坐标为（0，0）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线斜率的计算，注意运用点差法，考查当△PAB的面积取得最大值时，原点O是△PAB的重心．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．21．已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R．（1）若函数F（x）=f[sin（1﹣x）]+g（x）在区间（0，1）上为增函数，求a的取值范围；（2）设a n=sin，求证：＜ln2．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】（1）因为函数F（x）=f[sin（1﹣x）]+g（x）在区间（0，1）上为增函数，可以对其进行转化，可以转化为F′（x）＞0在（0，1）上恒成立，利用常数分离法进行求解；（2）这个证明题可以利用一个恒等式，sinx＜x，然后对sin从第三项开始进行放缩，然后进行证明．【解答】（1）解：∵函数F（x）=f[sin（1﹣x）]+g（x）=asin（1﹣x）+lnx，∴F′（x）=acos（1﹣x）×（﹣1）+，只要F′（x）在区间（0，1）上大于等于0，∴F′（x）=acos（1﹣x）×（﹣1）+≥0，∴a≤，求的最小值即可，求h（x）=xcos（1﹣x）的最大值即可，0＜1﹣x＜1，∵h′（x）=cos（1﹣x）+xsin（1﹣x）＞0，∴h（x）在（0，1）增函数，h（x）＜h（1）=1，∴的最小值为1，∴a≤1；（2）证明：∵0＜＜1，∵sinx＜x在x∈（0，1）上恒成立，∴sin=sin+sin+…+sin≤++…+＜+++++…+=﹣＜＜ln2，∴sin＜ln2．【点评】第一问利用导数可以很容易解决，第二问利用了常数分离法进行证明，第三问需要进行放缩证明，主要利用sinx＜x进行证明，此题难度比较大，计算量比较大．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC是内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AB=6，BC=4，求AE．【考点】圆內接多边形的性质与判定；与圆有关的比例线段．【专题】证明题；综合题．【分析】（1）在两个三角形中，证明两个三角形全等，找出三角形全等的条件，根据同弧所对的圆周角相等，根据所给的边长相等，由边角边确定两个三角形是全等三角形．（2）根据角的等量代换得到一个三角形中两个角相等，得到等腰三角形，得到BE=4，可以证明△ABE与△DEC相似，得到对应边成比例，设出要求的边长，得到关于边长的方程，解方程即可．【解答】（1）证明：在△ABE和△ACD中，∵AB=AC，∠ABE=∠ACD又∠BAE=∠EDC∵BD∥MN∴∠EDC=∠DCN∵直线是圆的切线，∴∠DCN=∠CAD∴∠BAE=∠CAD∴△ABE≌△ACD（2）解：∵∠EBC=∠BCM∠BCM=∠BDC∴∠EBC=∠BDC=∠BACBC=CD=4又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB∴BC=BE=4设AE=x，易证△ABE∽△DEC∴∴DE=又AE•EC=BE•ED EC=6﹣x∴4×∴x=即要求的AE的长是【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查圆内接多边形的性质与判定，考查用方程思想解决几何中要求的线段的长，本题是一个应用知识点比较多的题目．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线c的极坐标方程（2）若直线l的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=1，求直线l被曲线c截得的弦长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）曲线c的参数方程消去参数α，得到普通方程，然后求出曲线c的极坐标方程．（2）求出l的直角坐标方程为x+y﹣1=0，利用圆心到直线的距离，半径半弦长关系求解即可．【解答】解：（1）∵曲线c的参数方程为（α为参数），∴曲线c的普通方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5，将代入并化简得：ρ=4cosθ+2sinθ．…即曲线c的极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ，（2）∵l的直角坐标方程为x+y﹣1=0，∴圆心c到直线l的距离为d==∴弦长为2=2．…【点评】本题考查参数方程与极坐标方程的互化，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．[选修4-5：不等式选讲]24．已知正实数a、b满足：a2+b2=2．（1）求的最小值m；（2）设函数f（x）=|x﹣t|+|x+|（t≠0），对于（1）中求得的m，是否存在实数x，使得f （x）=成立，说明理由．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）利用基本不等式的性质即可得出；（2）利用绝对值形式的三角不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）∵2=a2+b2≥2ab，即，∴．又∴≥2，当且仅当a=b时取等号．∴m=2．（2）函数f（x）=|x﹣t|+|x+|≥≥2=1，∴满足条件的实数x不存在．【点评】本题考查了基本不等式的性质、绝对值形式的三角不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．。
2016年普通高等学校全国统一招生考试-衡阳八中（第一模拟）理科数学（试题卷）注意事项：1.本卷共24题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应查看试卷是否完整，是否有缺页漏页，重影模糊等有碍答题的现象，如有请先监考老师通报。
考生禁止提前交卷。
第I卷选择题（共60分）一.选择题（共12题，每题5分，共60分。
每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
）1．数列1，﹣3，5，﹣7，9，…的一个通项公式为（）A．a n=2n﹣1 B ．C ．D ．2．阅读如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．45 B．35 C．21 D．153．设集合S={1，2，…，2016}，若X是S的子集，把X中所有元素之和称为X 的“容量”，（规定空集容量为0），若X的容量为奇（偶）数，则称X为S的奇（偶）子集，记S的奇子集个数为m，偶子集个数为n，则m，n之间的关系为（）A．m=n B．m＞n C．m＜n D．无法确定4．已知四个数1，x1，x2，2成等差数列，四个数1，y1，y2，2成等比数列，则点P1（x1，y2），P2（x2，y2）与直线y=x的位置关系是（）A．P1（x1，y1），P2（x2，y2）在直线y=x的下方B．P1（x1，y1）在直线y=x的下方，P2（x2，y2）在直线y=x的上方C．P1（x1，y1）在直线y=x的上方，P2（x2，y2）在直线y=x的下方D．P1（x1，y1），P2（x2，y2）都在直线y=x的上方5．设F1和F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是（）A．1 B ． C．2 D ．6．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为棱长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sinα的值是（）A ． B ． C ． D ．7．下列4个不等式：（1）故dx ＜；（2）sinxdx ＜cosxdx；（3）e﹣x dx ＜e dx；（4）sinxdx ＜xdx．能够成立的个数是（）A．1个 B．2个C．3个D．4个8．复数z为纯虚数，若（3﹣i）z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为（）A．﹣3 B．3 C ．﹣ D ．9．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（）A．90种 B．180种C．270种 D．540种10．如图，在△OAB中，点P在边AB上，且AP：PB=3：2．则=（）A ．B ．C ．D ．11．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3 B．20cm3 C．30cm3 D．40cm312．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1第II卷非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分。
一、单选题二、多选题1.已知等差数列各项均为正数，，，则数列的通项公式为A．B．C．D ．2. 若函数有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0，1)B ．(0，1)∪(1，)C ．(1，)D ．[，＋∞)3. 已知正方体的棱长为3，E ，F ，G 分别为棱，，上的点，其中，，，平面经过点E ，F ，G ，则截此正方体所得的截面为（ ）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形4. 函数的部分图象大致为（ ）A．B．C．D．5. 双曲线，，方向向量为的直线过点且与双曲线交于两点，,，，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．6. 已知为函数的导函数，当是斜率为的直线的倾斜角时，若不等式恒成立，则（ ）A．B．C．D．7.已知集合，则A．B．C．D．8. 若函数是区间上的减函数，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．9. 已知甲、乙两个水果店在“十一黄金周”七天的水果销售量统计如图所示，则下列说法正确的是（）A ．甲组数据的极差大于乙组数据的极差B ．若甲，乙两组数据的平均数分别为，则C ．若甲，乙两组数据的方差分别为，则D ．甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数湖南省衡阳市第八中学2024届高三上学期第一次模拟测试数学试题 (2)湖南省衡阳市第八中学2024届高三上学期第一次模拟测试数学试题 (2)三、填空题四、解答题10. 已知函数的定义域为为奇函数，则（ ）A．函数的图象关于对称B．函数是周期函数C．D．11.已知函数的图象向右平移个单位长度得的图象，则下列关于函数和的说法正确的是（ ）A ．函数与有相同的周期B．函数的图象与函数的图象的对称中心一定不同C ．若函数的图象在上至少可取到两次最大值1，则D ．若函数的图象与直线在上恰有两个交点，则12. 已知函数是其中一个对称中心，且的最大值是2，则（ ）A ．的最小正周期为B．将图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称C．在区间上单调递减D．在区间上有且仅有5个极大值点13.函数的最大值为________．14. 已知，，则的值为 ．15. 的展开式中的系数为_____.16. 已知椭圆：过点，离心率为，直线：与椭圆交于两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)是否存在实数，使得（其中为坐标原点）成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.17.①公比为2，且是与的等差中项；②且为递增数列，在①②中任选一个，补充在下列横线上并解答.已知等比数列中，为数列的前项和，若___________.(1)求数列的通项公式；(2)若，记数列的前项和，求证：.18. 全民健身是全体人民增强体魄､健康生活的基础和保障，为了研究杭州市民健身的情况，某调研小组在我市随机抽取了100名市民进行调研，得到如下数据：每周健身次数1次2次3次4次5次6次及6次以上男4653428女7587617附：，0.100.050.010.0050.0012.7063.841 6.6357.87910.828(1)如果认为每周健身4次及以上的用户为“喜欢健身”；请完成列联表，根据小概率值的独立性检验，判断“喜欢健身”与“性别”是否有关？(2)假设杭州市民小红第一次去健身房健身的概率为，去健身房健身的概率为，从第二次起，若前一次去健身房，则此次不去的概率为；若前一次去健身房，则此次仍不去的概率为.记第次去健身房健身的概率为，则第10次去哪一个健身房健身的概率更大？19. 已知是等差数列，，，且.(1)求的通项公式；(2)求的前项和．20. 已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若，，求实数a的取值范围．21. 某研究机构随机抽取了新近上映的某部影片的200名观众，对他们是否喜欢这部影片进行了调查，得到如下数据（单位：人）：男性女性合计喜欢153045不喜欢8570155合计100100200根据上述信息，解决下列问题：(1)根据小概率值的独立性检验，分析观众喜欢该影片与观众的性别是否有关；(2)现从被调查的200名观众中，随机依次抽取2人作为幸运观众（注：第一次先从200名观众中随机抽取1名，第二次再从剩下的199名观众中随机抽取1名）．求在第一次抽到的是喜欢该影片的观众的条件下，第二次抽到的是不喜欢该影片的观众的概率．附：，其中．0.150.100.050.0100.0012.072 2.7063.841 6.63510.828。
一、单选题二、多选题1. 若，则（ ）A ．1B．C．D．2. 已知集合A ={x |x 2−4x −5=0}，B ={x |x 2=1}，则A ∩(B )=（ ）A ．R B．C．D．3. 已知平面，直线，直线不在平面上，下列说法正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则4. 已知函数是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是A ．0B．C ．1D．5. 定义行列式运算：.若将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是A．B．C．D．6. 已知函数是上的奇函数，则（ ）A．B．C．D．7.函数的最小周期是（ ）A．B．C ．D．8. 已知复数，其中为虚数单位，则A．B．C．D ．29. 已知，则（ ）A．B．C．D．10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）A ．若，则B．若，则C．若与的夹角为，则D．若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）湖南省衡阳市第八中学2024届高三上学期第一次模拟测试数学试题(2)湖南省衡阳市第八中学2024届高三上学期第一次模拟测试数学试题(2)三、填空题四、解答题A．B．函数的最小正周期为C．函数的图象的对称轴方程为D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到12. 已知函数，下列结论正确的是（ ）A ．若，则有2个零点B ．若，则有3个零点C ．存在负数，使得只有1个零点D ．存在负数，使得有3个零点13. 已知，若存在使得，则k 的最大值为________．14.函数的部分图象如图所示，则的值是______．15. 2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行.某支深受大家喜爱的足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，A 运动员能够胜任中锋､边锋及前腰三个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.3，当该运动员担当中锋､边锋及前腰时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.2.当A 球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为__________.16. 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若存在两条直线、都是曲线的切线，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围.17. 已知函数．（1）求的单调区间；（2）试求的零点个数，并证明你的结论．18.已知函数，其中.(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)讨论函数的极值点的个数；(3)若对任意的，关于的方程仅有一个实数根，求实数的取值范围.19.如图，在梯形中，，平面平面，四边形是菱形，.（1）求证：；（2）求二面角的平面角的正切值.20. 已知正实数满足．求证：(1)；(2)．21. 在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，，是的中点.(1)求证：平面；(2)点在线段上（异于点，），与平面所成角为，求的值.。
长郡中学2024届高三模拟考试（一）数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知双曲线22124x y -=，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A.y x =± B.2y x =± C.2y = D.2y x = 2.为了了解学生们的身体状况，某学校决定采用分层抽样的方法，从高一､高二､高三三个年级共抽取100人进行各项指标测试.已知高三年级有500人，高二年级有700人，高一年级有800人，则高三年级抽取的人数为（ ）A.30B.25C.20D.153.若()3sin π4cos 0αα--=，则1cos2α-=（ ） A.725 B.1825 C.2725 D.32254.古印度数学家婆什迦罗在《莉拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日4德拉玛（古印度货币单位），其后日增5德拉玛.朋友啊，请马上告诉我，半个月中，他总共布施多少德拉玛？在这个问题中，这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为（ ）A.413B.427C.308D.133 5.621(1)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中含3x 项的系数为（ ） A.20 B.-20 C.30 D.-306.“会圆术”是我国古代计算圆弧长度的方法，它是我国古代科技史上的杰作，如图所示AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB 上，CD AB ⊥，则AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2CD s AB OA=+.利用上述公式解决如下问题：现有一自动伞在空中受人的体重影响，自然缓慢下降，伞面与人体恰好可以抽象成伞面的曲线在以人体为圆心的圆上的一段圆弧，若伞打开后绳长为6米，该圆弧所对的圆心角为60，则伞的弧长大约为（ ）)3 1.7≈A.5.3米B.6.3米C.8.3米D.11.3米7.函数()()32,f x ax ax bx a b =-+∈R 有3个零点的充分不必要条件是（ ） A.0a ≠，且4a b > B.0a >，且4a b <C.0a <，且4,0a b b >≠D.0a <，且4,0a b b <≠8.已知实数,a b 分别满足()e 1.02,ln 10.02a b =+=，且151c =，则（ ） A.a b c << B.b a c <<C.b c a <<D.c a b <<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知i 为虚数单位，复数()32i 3i z =+，下列说法正确的是（ ） A.105z = B.复数z 在复平面内对应的点位于第四象限 C.3i 05z -< D.15z +为纯虚数 10.已知函数()()tan (0,0π)f x A x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，则（ ）A.π6A ωϕ⋅⋅= B.()f x 的图象过点11π236⎛ ⎝⎭C.函数()y f x =的图象关于直线5π3x =对称 D.若函数()()y f x f x λ=+在区间5ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，则实数λ的取值范围是[]1,1- 11.小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有110~的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次抽取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共前进n 步的概率为n p ，则下列说法正确的是（ ） A.214p =B.()1211322n n n p p p n --=+ C.()11122n n p p n -=- D.小华一共前进3步的概率最大三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合(){}{}2N log 1,2,1,1,2,3,4A x y x B =∈=-=--∣，则A B ⋂的真子集的个数为__________. 13.已知O 为坐标原点，()()()121,0,1,0,0,3F F Q -，向量()1,2m =-，动点P 满足PQ ∥m ，写出一个a ，使得有且只有一个点P 同时满足122(01)PF PF a a -=<<，则a =__________.14.如图是一个球形围墙灯，该灯的底座可以近似看作正四棱台.球形灯与底座刚好相切，切点为正四棱台上底面中心，且球形灯内切于底座四棱台的外接球.若正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为2，侧棱长为3，则球形灯半径r 与正四棱台外接球半径R 的比值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2,,AB E H =分别是棱1111,A B A D 的中点，1AE CD ⊥.（1）求正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积；（2）求平面AEH 与平面11CB D 所成锐二面角的余弦值.16.（本小题满分15分）机器人一般是指自动控制机器（Robot ）的俗称，自动控制机器包括一切模拟人类行为或思想与模拟其他生物的机械，用以取代或协助人类工作.机器人一般由执行机构､驱动装置检测装置､控制系统和复杂机械等组成.某大学机器人研究小组研发了A 型､B 型两款火场救人的机器人，为检验其效能做下列试验：如图，一正方形复杂房间有三个同样形状､大小的出口123､､，其中只有一个是打开的，另外两个是关闭的，房间的中心O 为机器人的出发点，A 型､B 型两个机器人别从出发点出发沿路线123､､任选一条寻找打开的出口，找到后沿打开的出口离开房间；如果找到的出口是关闭的，则按原路线返回到出发点，继续重新寻找. A 型机器人是没有记忆的，它在出发点选择各个出口是等可能的，B 型机器人是有记忆的，它在出发点选择各个出口的尝试不多于一次，且每次选哪个出口是等可能的. 以X 表示A 型机器人为了离开房间尝试的次数，以Y 表示B 型机器人为了离开房间尝试的次数.（1）试求离散型随机变量Y 的分布列和期望；（2）求X Y <的概率.17.（本小题满分15分）对于数列{}n a ，如果存在正整数T ，使得对任意()*n n ∈N ，都有n T n a a +=，那么数列{}n a 就叫做周期数列，T 叫做这个数列的周期.若周期数列{}{},n n b c 满足：存在正整数k ，对每一个()*,i i k i ∈N ，都有i i b c =，我们称数列{}n b 和{}n c 为“同根数列”.（1）判断数列121,1sin π3,2,3n n n n n a n b n b b n --=⎧⎪===⎨⎪-≥⎩､是否为周期数列.如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；（2）若{}n a 和{}n b 是“同根数列”，且周期的最小值分别是2m +和()*4m m +∈N，求k 的最大值.18.（本小题满分17分）已知抛物线2:2C y x =的焦点为F ，其准线l 与x 轴交于点P ，过点P 的直线与C 交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧）.（1）若点A 是线段PB 的中点，求点A 的坐标；（2）若直线AF 与C 交于点D ，记BDP 内切的半径为r ，求r 的取值范围.19.（本小题满分17分）黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一.它与函数()1(0,1,1s x x f x x s s e -=>>-为常数）密切相关，请解决下列问题： （1）当12s <时，讨论()f x 的单调性；（2）当2s >时，①证明：()f x 有唯一极值点；②记()f x 的唯一极值点为()g s ，讨论()g s 的单调性，并证明你的结论.。
一、单选题二、多选题1.设函数的导函数为，且满足，，则时，（ ）A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值2. 已知，那么下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．3. 若非零向量，满足，，则与的夹角为（ ）A．B．C．D．4. 已知集合，，则=A．B．C．D．5.的展开式中含x 的项的系数为（ ）A ．35B ．5C．D．6. 已知是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集是（ ）A．B．C．D．7. 已知 D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA的中点，则A．B．C．D．8. 草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力.草莓味甘、性凉，有润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱.根据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为个等级，其等级（）与其对应等级的市场销售单价单位：元千克近似满足函数关系式.若花同样的钱买到的级草莓比级草莓多倍，且级草莓的市场销售单价为元千克，则级草莓的市场销售单价最接近（ ）（参考数据：，）A ．元千克B ．元千克C ．元千克D ．元千克9. 设、为复数，且，下列命题中正确的是（ ）A ．若，则B ．若为纯虚数，则为实数C ．若，则的实部与的虚部互为相反数D ．若，则、在复平面内对应的点不可能在同一象限10. 已知正方体的展开图如图所示，则下列说法正确的有（ ）湖南省衡阳市第八中学2024届高三上学期第一次模拟测试数学试题(1)湖南省衡阳市第八中学2024届高三上学期第一次模拟测试数学试题(1)三、填空题四、解答题A．B ．平面C ．平面D．11. 已知，则（ ）A．B．C．D．12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）A ．函数的图象关于轴对称，且在 上不单调B．导函数的图象关于原点对称，且在上单调递增C ．函数在上单调递增D ．对于任意都有，且13. 芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm 规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块，8块，且乙生产该芯片的次品率为，现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲厂生产该芯片的次品率为__________14.抛物线绕其顶点逆时针旋转之后，得到抛物线，其准线方程为，则抛物线的焦点坐标为______．15.非负实数满足，则的最小值为___________.16. 正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为．已知某系统由一个电源和并联的，，三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立．(1)已知电源电压（单位：）服从正态分布，且的累积分布函数为，求；(2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为.（ⅰ）设，证明：；（ⅱ）若第天元件发生故障，求第天系统正常运行的概率．附：若随机变量服从正态分布，则，，．17. 在中，角的对边分别为，已知，，．(1)求角的大小；(2)求的值．18.已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到左焦点的最小值为.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与轴交于点，过点的直线与交于、两点，点为直线上任意一点，设直线与直线交于点，记，，的斜率分别为，，，则是否存在实数，使得恒成立？若是，请求出的值；若不是，请说明理由.19.在①，②，③这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出的面积；若问题中的三角形不存在，请说明理由.问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，，______？20. 已知函数.(1)当时，求的极值；(2)讨论函数的单调性.21. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．(1)求A；(2)若D为边AC上一点，且，，，求CD的长．。
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湖南省2017届高三·十三校联考第一次考试理科数学试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】集合，,所以，故选D.2. 记复数的共轭复数为，若（为虚数单位），则复数的模（）A. B. 1 C. D. 2【答案】A【解析】由，得，，故选A.3. 在等差数列中，，则数列的前11项和（）A. 24B. 48C. 66D. 132【答案】C【解析】试题分析：设等差数列公差为，则，所以有，整理得，，，故选C．考点：等差数列的定义与性质．4. 已知表示不超过实数的最大整数，为取整函数，是函数的零点，则等于（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】，故，故选B. 5. 甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为和，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为.假设甲、乙两人射击互不影响，则值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设：“甲射击一次，击中目标”为事件，“乙射击一次，击中目标”为事件，则“甲射击一次，未击中目标”为事件，“乙射击一次，击中目标”为事件，则，依题意得：，解得，故选C.6. 如下图，是一个算法流程图，当输入的时，那么运行算法流程图输出的结果是（）A. 10B. 20C. 25D. 35【答案】D【解析】当输入的时，；；；；；否，输出，故选D.7. 二项式展开式中，项的系数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】二项式展开式的通项为，令，系数为，故选C.8. 设为抛物线的焦点，过且倾斜角为60°的直线交曲线于两点（点在第一象限，点在第四象限），为坐标原点，过作的准线的垂线，垂足为，则与的比为（）A. B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】抛物线的焦点，准线为，设，则，由则，即有 .故选C.9. 已知函数的定义域为，且，又函数的导函数的图象如图所示，若两个正数满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由导函数图象，可知函数在上为单调增函数，正数满足，又因为表示的是可行域中的点与的连线的斜率。
湖南衡阳八中高三上学期数学第一次抽考试卷（带解析）复习数学的重点在于把握知识点，以下是衡阳八中高三上学期数学第一次月考试卷，请大伙儿认真练习。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合，则CA、B、C、D、(2)设向量=(2,4)与向量=(x,6)共线，则实数x=BA、2B、3C、4D、6(3)若为实数,且,则A、B、C、D、(4)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是CA、抽签法B、系统抽样法C、分层抽样法D、随机数法(5)已知抛物线的准线通过点(-1，0)，则抛物线焦点坐标为BA、B、C、D、(6)是的AA、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件(7)设是等差数列的前项和,若,则A、B、C、D、(8)下列函数中，最小正周期为的奇函数是BA、y=sin(2x+)B、y=cos(2x+)C、y=sin2x+cos2xD、y=sinx+cosx(9)执行如图所示的程序框图,输出的S值为A、1B、3C、7D、15(10)设，则CA、B、C、D、(11)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为DA、B、C、D、(12)设函数,则使得成立的的取值范畴是A、B、C、D、二.填空题：本大题共4小题，每小题5分(13)已知x、y为正实数，且=2，则x+y的最小值是。
(14)函数在其极值点处的切线方程是__________.(15)若满足，则目标函数的最大值为4 .(16)在区间上随机地选择一个数p，则方程有两个负根的概率为______ __.2/3三.解答题：本大题共70分，解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤(17)(本小题满分12分)在锐角ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且a=2csinA.(1)确定角C的大小;(2)若c=，且ABC的面积为，求a+b的值.解(1)由a=2csinA及正弦定理得，sinA=2sinCsinA.sinA0，sinC=ABC是锐角三角形，C=.(2)C=，ABC面积为，absin=，即ab=6.∵c=，由余弦定理得a2+b2-2abcos=7，即a2+b2-ab=7.由变形得(a+b)2=3ab+7.将代入得(a+b)2=25，故a+b=5.如图，圆锥的顶点为，底面圆为，底面的一条直径为，为半圆弧的中点，为劣弧的中点，已知，(1)求三棱锥的体积;1/3(2)求异面直线和所成角的余弦值。
