锁定新高考新课标文科数学一轮总复习练习6.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划(含答案详析)

2019年高考数学一轮总复习第六章不等式、推理与证明6.3 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题课时跟踪检测理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年高考数学一轮总复习第六章不等式、推理与证明6.3 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题课时跟踪检测理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019年高考数学一轮总复习第六章不等式、推理与证明6.3 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题课时跟踪检测理的全部内容。

6.3 二元一次不等式(组）及简单的线性规划问题［课时跟踪检测][基础达标]1．不等式(x－2y＋1）(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域（用阴影部分表示）应是( )解析：(x－2y＋1)（x＋y－3)≤0⇔｛x－2y＋1≥0，，x＋y－3≤0或错误!画出图形可知选C。

答案：C2．(2017年山东卷）已知x，y满足约束条件错误!则z＝x＋2y的最大值是（）A．0 B．2C．5 D．6解析：由错误!画出可行域及直线x＋2y＝0，如图所示，平移x＋2y＝0,当其经过直线y＝－3x－5与x＝－3的交点(－3,4）时,z ＝x＋2y取最大值,z max＝－3＋2×4＝5。

故选C。

答案：C3．（2017年浙江卷)若x，y满足约束条件错误!则z＝x＋2y的取值范围是（）A．[0，6］B．［0,4]C．[6，＋∞）D．［4,＋∞）解析：作出不等式组表示的可行域如图(阴影部分）所示，将z＝x＋2y变形为y＝－错误!＋错误!，由图可知y＝－错误!＋错误!过点(2,1)时z取到最小值为4，故z∈[4,＋∞)．答案:D4．设动点P(x,y）在区域Ω：错误!上，过点P任作直线l，设直线l与区域Ω的公共部分为线段AB，则以AB为直径的圆的面积的最大值为（）A．π B．2πC．3π D．4π解析:作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知,以OA为直径的圆的面积的最大值S＝π×错误!2＝4π。

A 组基础达标（时间： 30 分钟满分：50分）若时间有限，建议选讲1，6 ，8一、选择题（每题 5 分，共 20 分）1.（ 2013 ·石家庄模拟）已知点（x，y）在△ABC所包围的暗影地区内（包括边界），若 B 3，5a 的取值范围是使得 z＝ax －y 获得最大值的最优解，则实数2为（ A）A.1B. [0 ，＋∞）－，＋∞211C.－∞，－D. －，022分析：∵直线 AB 的斜率为－1∴要使 B 3，5，直线 BC 的斜率不存在，是目标221函数获得最大值的最优解，则需a≥－，应选 A.2x ＋ 2y ≥ 2 ，2.（ 2012 ·山东高考）设变量x，y 知足拘束条件2x ＋ y ≤ 4 ，则目标函数 z＝4x － y ≥－1 ，3x －y 的取值范围是（ A ）3B.3C. [－1，6]D. －6，3A. －，6－，－12 22分析：画出不等式所表示的地区如图，由z＝3x － y 得 y＝3x －z，平移直线 y＝3x ，由图像可知当直线经过点E（ 2 ，0）时，直线 y ＝3x －z 的截距最小，此时z 最大为 z＝3x －y＝6 ，当直线经过 C 点时，直线截距最大，此时z 最小，由4x － y＝－ 1，1x＝，332x ＋ y＝ 4，解得2此时 z＝ 3x －y＝－ 3＝－，∴ z3x＝－y 的取值范y＝ 3，223围是－，6，选 A.2x－ y ≥－1 ，3. （ 2013 ·淮南模拟）若实数x，y 知足不等式组x＋ y ≥ 1 ，则该不等式组表3x － y ≤ 3 ，示的平面地区的面积是（C）5A.3B.C.2D.222x－ y ≥－1 ，分析：不等式组x ＋ y ≥ 1 ，表示的平面地区以下图（暗影部分），易知△ABC 3x － y ≤31为直角三角形，且 A（0，1），B（2，3 ）， C（1，0 ），则面积为 S＝×2 2 ×2 2＝2.x＋2y － 5 ≤ 0 ，4. （ 2013 ·湖南十校联考）设变量x，y 知足拘束条件x－y － 2 ≤ 0 ，则目标函x≥0，数 z＝2x＋ 3y ＋1 的最大值为（ B）A. 11B. 10C. 9D. 8.5分析：由拘束条件可画出可行域，平移参照直线2x ＋ 3y ＋1 ＝0 可知，在可行域的极点（ 3 ， 1）处，目标函数z＝2x ＋ 3y ＋1 获得最大值， z max＝ 2 × 3 ＋ 3 × 1 ＋1＝10 。

第3节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题选题明细表知识点、方法题号二元一次不等式(组)表示的平面区域1,4,9含参数的线性规划3,5,6,7,10,12目标函数的最值2,8,13,14,15线性规划的实际应用11基础对点练(时间:30分钟)1.不等式组所表示的平面区域是( D )解析:画出直线x=2,在平面上取直线的右侧部分(包含直线本身);再画出直线x-y=0,取直线的右侧部分(包含直线本身),两部分重叠的区域就是不等式组表示的平面区域.故选D.2.(2016·某某卷)若变量x,y满足则x2+y2的最大值是( C )(A)4 (B)9(C)10 (D)12解析: 作出不等式组表示的可行域如图所示,由x2+y2表示可行域内的点(x,y)到原点的距离平方可知,点A(3,-1)满足条件,即x2+y2的最大值为32+(-1)2=10.故选C.3.(2016·某某模拟)已知函数f(x)=log a x(a>1)的图象经过区域则a的取值X 围是( C )(A)(1,] (B)(,+∞)(C)[,+∞) (D)(2,+∞)解析: 作出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示.联系函数f(x)=log a x(a>1)的图象,能够看出,当图象经过区域的边界点A(3,3)时,a可以取到最小值,而显然只要a大于,函数f(x)=log a x(a>1)的图象必然经过区域内的点.则a的取值X围是[,+∞).故选C.4.(2015·某某校级三模)若A为不等式组表示的平面区域,则a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为( D )(A)9(B)3(C)(D)解析: 如图,不等式组表示的平面区域是△AOB,动直线x+y=a(即y=-x+a)在y轴上的截距从-2变化到1.知△ACD是斜边为3的等腰直角三角形,△OEC是直角边为1的等腰直角三角形,所以区域的面积S=S△ACD-S△OEC=×3×-×1×1=.5.(2014·某某卷)x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( D )(A)或-1 (B)2或(C)2或1 (D)2或-1解析:线性约束条件对应的可行域如图所示:目标函数z=y-ax化为y=ax+z,当a>0时,要使其取得最大值的最优解不唯一,需动直线y=ax+z与2x-y+2=0平行或重合,此时a=2;同理当a<0时,需动直线y=ax+z与x+y-2=0平行或重合,此时a=-1,故选D.6.(2016·某某章丘期末)若实数x,y满足不等式组且x+y的最大值为9,则实数m等于( C )(A)-2 (B)-1(C)1 (D)2解析: x-my+1=0恒过点(-1,0),旋转直线x-my+1=0可知可行域只可能是△ABC,且x+y的最大值只在点C处取得,联立方程组得C(,)(若m=,则与2x-y-3=0平行,不可能),(x+y)max=+=9,解得m=1.故选C.7.(2016·某某某某名校联考)已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a等于( A )(A)(B)(C)1 (D)2解析: 根据约束条件画出可行域,如图,由图可知当直线z=2x+y经过点B时,z最小,由解得所以z min=2×1-2a=1,解得a=.故选A.8.导学号 18702285已知x,y满足则的取值X围是( C )(A)[0,] (B)[2,] (C)[1,] (D)[0,]解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.因为==1+,表示区域内的点与(4,2)连线的斜率.斜率最小值为0,点(-3,-4)与M(4,2)连线斜率最大为=.所以的取值X围为[1,].故选C.9.若点P(m,3)到直线4x-3y+1=0的距离为4,且点P在不等式2x+y<3表示的平面区域内,则m=.解析:由题意可得解得m=-3.答案:-310.(2016·某某模拟)若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件则实数m的取值X围是.解析: 由题意,由可求得交点坐标为(1,2),要使直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件则点(1,2)在可行域内,如图所示,可得m≤1.答案:(-∞,1]11.导学号 18702284某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电、劳力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如下表所示:产品限额资源甲产品(每吨)乙产品(每吨)资源限额(每天)煤(t) 9 4 360电(kW·h) 4 5 200劳力(个) 3 10 300利润(万元) 6 12问:每天生产甲、乙两种产品各多少吨,获得利润总额最大?解:设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨,获得利润z万元.依题意可得约束条件利润目标函数z=6x+12y.如图,作出可行域,作直线l:6x+12y=0,把直线l向右上方平移至l1位置,直线经过可行域上的点M时z=6x+12y取最大值.解方程组得M(20,24).所以生产甲种产品20 t,乙种产品24 t,才能使此工厂获得最大利润.能力提升练(时间:15分钟)12.(2016·某某八校联考)已知变量x,y满足约束条件若z=x-2y的最大值与最小值分别为a,b,且方程x2-kx+1=0在区间(b,a)上有两个不同实数解,则实数k的取值X围是( C )(A)(-6,-2) (B)(-3,2)(C)(-,-2)(D)(-,-3)解析: 作出可行域,如图所示,则目标函数z=x-2y在点(1,0)处取得最大值1,在点(-1,1)处取得最小值-3,所以a=1,b=-3,从而可知方程x2-kx+1=0在区间(-3,1)上有两个不同实数解.令f(x)=x2-kx+1,则⇒-<k<-2,故选C.13.导学号 18702286如果实数a,b满足条件:则的最大值是.解析: 根据约束条件画出可行域,如图,表示可行域内的点与原点(0,0)连线的斜率,设z的几何意义表示可行域内点P与原点O(0,0)连线的斜率,易知当直线OP过点B(,)时,取最大值,最大值为3,直线OP过点A(1,1)时,取最小值,最小值为1,所以∈[1,3].所以===2-因为∈[1,3].所以的最大值为.答案:14.(2014·某某卷)当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值X 围是.解析:可行域如图所示,则A(1,0),B(2,1),C(1,),设z=ax+y,即得1≤a≤.答案:[1,]15.导学号 18702287变量x,y满足(1)假设z1=4x-3y,求z1的最大值;(2)设z2=,求z2的最小值;(3)设z3=x2+y2,求z3的取值X围.解: 作出可行域如图中阴影部分,联立易得A(1,),B(1,1),C(5,2).(1)z1=4x-3y⇔y=x-,易知平移y=x至过点C时,z1最大,且最大值为4×5-3×2=14.(2)z2=表示可行域内的点与原点连线的斜率大小,显然直线OC斜率最小.故z2的最小值为.(3)z3=x2+y2表示可行域内的点到原点距离的平方,而2=OB2<OA2<OC2=29.故z3∈[2,29].好题天天练1.(2015·某某卷)设实数x,y满足则xy的最大值为( A )(A)(B)(C)12 (D)16解题关键:判断xy取得最大值的点,并分类讨论确定最大值.解析: 先画出可行域,再将xy转化为矩形面积S,求S的最大值.表示的可行域如图中阴影部分所示.令S=xy,不妨设在点M(x0,y0)处S取得最大值,且由图象知点M(x0,y0)只可能在线段AD,AB,BC上.①当M(x0,y0)在线段AD上时,x0∈[-2,0],此时S=xy≤0;②当M(x0,y0)在线段AB上时,x0∈[0,2],S=xy=x·=x(7-)=-+7x=-(x-7)2+,当x0=2时,wordS max=-(2-7)2+=-+=12;③当M(x0,y 0)在线段BC上时,x 0∈[2,4],S=xy=x·(10-2x)=-2x2+10x=-2(x-)2+,当x0=时,S max =.综上所述,xy的最大值为.2.导学号 18702288设实数x,y满足则z=-的取值X围是.解析: 由于表示可行域内的点(x,y)与原点(0,0)的连线的斜率,如图,求出可行域的顶点坐标A(3,1),B(1,2),C(4,2),则k OA=,k OB=2,k OC=,可见∈[,2],令=t,则z=t-在[,2]上单调递增,所以z∈[-,].答案:[-,]11 / 11。

高考数学一轮同步训练（文科）-.二元一次不等式(组）与简单的线性规划问题————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：２0１3高考数学一轮强化训练 6．3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题文新人教A版1.已知(3,１）和（－４,６)在直线3x-2y+a=0的两侧,则a的取值范围是( )A.a＜1或ａ>24B.a=7或ａ=24C.-7<a<2４ﻩＤ.－24<a<7答案:C2.已知实数ｘ，y满足121yy xx y m≥,⎧⎪≤-,⎨⎪+≤,⎩如果目标函数ｚ＝ｘ-y的最小值为-１，则实数m等于( )Ａ.7 B.5 C.４ﻩD.3答案:B解析：将直线ｙ＝x+1与y＝2ｘ-1联立解得A(2,3),据题意即为最优解，又点A必在直线ｘ+ｙ=m上，代入求得m=5.3．已知实数ｘ、y满足223y xy xx≤,⎧⎪≥-,⎨⎪≤,⎩则目标函数z=ｘ－2y的最小值是 . 答案:-９解析:如图作出可行域为阴影部分,由23y xx=,⎧⎨=⎩得36xy=,⎧⎨=,⎩即A(3，６),经过分析可知直线z=x-２y经过A点时目标函数z=x-2y取最小值为-9.4.不等式组2020220x yx yx y-+≥,⎧⎪++≥,⎨⎪--≤⎩所确定的平面区域记为D.点(x,ｙ)是区域D上的点,若圆Ｏ:222x y r+=上的所有点都在区域D上,则圆O的面积的最大值是 . 答案：45π解析:画出不等式组2020220x yx yx y-+≥,⎧⎪++≥,⎨⎪--≤⎩所表示的平面区域(略),其中直线离原点最近的距离为255,故r的最大值为255,所以圆O的面积的最大值是45π.题组一二元一次不等式(组)表示的平面区域1．在平面直角坐标系中,若不等式组101010x yxax y+-≥,⎧⎪-≤,⎨⎪-+≥⎩（a为常数)所表示的平面区域的面积等于2,则a的值为( ）Ａ.-5ﻩB．１ C.２Ｄ.3答案:D解析:不等式组101010x yxax y+-≥,⎧⎪-≤,⎨⎪-+≥⎩所围成的区域如图所示.则A(１,0),B(0,１),Ｃ(1,１＋a),且ａ＞-1,∵2ABCS=,∴1(1)2a+⨯１＝２,解得a=3．2.满足条件202305350y xx yx y-≤,⎧⎪++>,⎨⎪+-<⎩的可行域中整点的个数为 ( )Ａ.3ﻩB.4ﻩC.5 D.6答案:B解析:画出可行域,作出网格知有4个整点，分别是（0,0),(0,－1）,(1,-１),(２,－2).3.如下图,能表示平面中阴影区域的不等式组是.答案:220236x yyx y-+≥,⎧⎪≥,⎨⎪+≤⎩题组二求目标函数的最值4.若x y,∈R,且1230xx yy x≥,⎧⎪-+≥,⎨⎪≥,⎩则ｚ=x+２y的最小值等于( )Ａ.2ﻩB.3ﻩC.5ﻩD.9答案:Ｂ解析:由z=ｘ+２y得1122y x z=-+,当直线经过直线x=1和ｙ=ｘ的交点A(1,1)时,截距z 取得最小值,故z=１＋2=３.５．设变量x，y满足约束条件220xx yx y≥,⎧⎪-≥,⎨⎪--≤,⎩则z=3x-2ｙ的最大值为( )A．0 B.２C.4 D.６答案：Ｃ解析:作出可行域,图中阴影部分为约束条件限定区域,当z=3x-2ｙ过点（０,-2）时,z=3x-2y取最大值,且为4．6．已知关于x、y的二元一次不等式组24120x yx yx+≤,⎧⎪-≤,⎨⎪+≥.⎩求函数u＝3x-y的最大值和最小值．解:作出二元一次不等式组24120x yx yx+≤,⎧⎪-≤,⎨⎪+≥⎩表示的平面区域，如图所示.由u＝３x-ｙ,得y=3x-ｕ,表示斜率为３，在y轴上的截距为-u,随u变化的一组平行线, 由图可知,当直线y＝3x-u经过可行域上的C点时，截距-u最大,即u最小,解方程组2420x yx+=,⎧⎨+=,⎩得C(－2,3），∴min 3(2)39u=⨯--=-.当直线y=3x-ｕ经过可行域上的B点时,截距-ｕ最小,即ｕ最大,解方程组241x yx y+=,⎧⎨-=,⎩得Ｂ(2,1）,∴max 3215u=⨯-=.∴ｕ=3x-y的最大值是5,最小值是-9. ﻫ题组三线性规划的简单应用７．在”家电下乡”活动中,某厂要将1０0台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用40０元,可装洗衣机20台;每辆乙型货车运输费用300元,可装洗衣机１0台.若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )A.2 00０元ﻩＢ．2 ２00元Ｃ.２４００元 D.2 ８０0元答案：Ｂ解析:设需使用甲型货车x 辆，乙型货车ｙ辆，运输费用z 元,根据题意,得线性约束条件20101000408x y x y +≥,⎧⎪≤≤,⎨⎪≤≤.⎩求线性目标函数z=400ｘ+3００y 的最小值.解得当 42x y =,⎧⎨=⎩时min 2z ,= ２０0． 8.某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品,由乙车间加工出B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品,每千克A 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克Ｂ产品,每千克B 产品获利５０元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过48０小时，甲、乙两车间每天总活力最大的生产计划为（ ）A ．甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱B.甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料5５箱C ．甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料５0箱D.甲车间加工原料４0箱,乙车间加工原料3０箱答案:B解析:设甲车间加工原料x 箱,乙车间加工原料ｙ箱,根据题意,得约束条件7010648000x y x y x y x y N +≤,⎧⎪+≤,⎪⎨≥,≥,⎪⎪∈,⎩、 画出可行域．目标函数z=2８0x+２00y,即75200z y x =-+,作直线75y x =-并平移,得直线经过点A(15，5５）时z 取最大值.所以当x=15，y=５5时,ｚ取最大值.9．某班计划用少于10０元的钱购买单价分别为2元和１元的大小彩色气球装点联欢晚会的会场，根据需要,大球数不少于10个,小球数不少于２０个,请你给出几种不同的购买方案？解:设可购买大球x 个，小球y 个.依题意有 21001020x y x y x N y N *+<,⎧⎪≥,⎪⎪≥,⎨⎪∈,⎪∈*,⎪⎩其整数解为 1020x y =,⎧⎨=,⎩ 2030x y =,⎧⎨=,⎩ 3030x y =,⎧⎨=,⎩ 3529x y =,⎧⎨=,⎩ …都符合题目要求（满足2x+y-1０0<0即可). ﻫ题组四 线性规划问题的综合应用10.若2422m n +<,则点(m ，n)必在( )A.直线x ＋ｙ=１的左下方B.直线x+y=1的右上方C.直线ｘ+２ｙ＝1的左下方D.直线x+2ｙ=1的右上方答案:C解析:∵22242222m n m n m n ++=+≥,∴22222m n +<,即m+2n<1,∴点(m,n)必在直线x+2y=１的左下方．11.若线性目标函数z=x+ｙ在线性约束条件 3020x y x y y a +-≤,⎧⎪-≤,⎨⎪≤⎩下取得最大值时的最优解只有一个,则实数a 的取值范围是 .答案:2a ≤解析:作出可行域如图:由图可知直线y=-x 与y=-x+３平行,若最大值只有一个,则直线y ＝a 不能在直线y=2x 与y=-x ＋３的交点（1,２)的上方,故2a ≤.12.某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,６个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含８个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,４２个单位的蛋白质和５4个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和４元，那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?解:方法一:设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位,所花的费用为z元,则依题意得ｚ＝２.5x+4ｙ，且x,y 满足00 12864 6642 61054 x yx yx yx y≥,≥,⎧⎪+≥,⎪⎨+≥,⎪⎪+≥,⎩即00321673527x yx yx yx y≥,≥,⎧⎪+≥,⎪⎨+≥,⎪⎪+≥.⎩z在可行域的四个顶点A（９,0),B(4,3）,Ｃ(2，6),D（0，8)处的值分别是2AZ=.59⨯+40⨯=22.５,2BZ=．544322⨯+⨯=,2CZ=.524525⨯+⨯=,2DZ=．504832⨯+⨯=.比较之BZ,最小,因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求.方法二:设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为ｘ个单位和y个单位,所花的费用为z元, 则依题意得ｚ=2.5x+４y,且x，y满足0012864664261054x yx yx yx y≥,≥,⎧⎪+≥,⎪⎨+≥,⎪⎪+=,⎩即00321673527x yx yx yx y≥,≥,⎧⎪+≥,⎪⎨+≥,⎪⎪+≥.⎩让目标函数表示的直线2.５x＋4y=z在可行域上平移,由此可知z=2.５x+4ｙ在Ｂ（４,３)处取得最小值.因此,应该为该儿童预订4个单位的午餐和３个单位的晚餐,就可满足要求.ﻩ。

丰富丰富纷纷 课堂达标 ( 三十二 ) 二元一次不等式 ( 组) 与简单的线性规划问题[A 基础牢固练 ]1．以下不等式必然成立的是( )21A ． lg x ＋4 >lgx ( x >0)1B ． sin x ＋ sin x ≥2( x ≠ k π ，k ∈Z) C ． x 2＋1≥2| x |( x ∈ R)1D. x 2＋ 1>1( x ∈ R)[剖析]21 1 2＋ 1 x ( x >0) ，当 x >0 时， x ＋≥2· x · ＝ x ，因此 lgx≥lg424应选项 A 不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当 x ≠ k π ， k ∈ Z 时， sin x 的正负不定，应选项B 不正确；由基本不等式可知，选项 C 正确；1当 x ＝0 时，有 x 2＋1＝ 1，应选项 D 不正确．[答案]C1 22． ( 高考湖南卷 ) 若实数 a ， b 满足 a ＋ b ＝ ab ，则 ab 的最小值为 ( )A. 2 B ． 2 C ．2 2D ． 41 212 2[剖析] 由 a ＋b ＝ ab 知 a >0，b >0，因此 ab ＝ a ＋ b ≥2ab ，即 ab ≥2 2，当且仅1 2a ＝b，即 a ＝44ab 的最小值为 2 2.当2，b ＝ 22时取“＝”，因此1＋ 2＝，a bab[答案]C3．(2017 ·山东 ) 若 a >b >0，且 ab ＝ 1，则以下不等式成立的是( )1 bb1A ． a ＋ < a <log 2( a ＋b )B. a <log 2( a ＋ b )< a ＋b 22b1b1 bC ． a ＋ b <log 2( a ＋b )< 2aD ． log 2( a ＋ b )< a ＋ b <2a丰富丰富纷纷b[剖析] 因为 a >b >0，且 ab ＝ 1，因此 a >1,0< b <1，∴ 2a <1，log 2( a ＋ b )>log 22 ab ＝ 1,2 a 11 1＋ b >a ＋ b >a ＋b ? a ＋ b >log 2( a ＋b ) ，因此选 B.[答案]B4．(2018 ·湖北七市 ( 州 ) 协作体联考 ) 已知直线ax ＋ by －6＝ 0( >0， >0) 被圆 x 2＋y 2－ab2x － 4y ＝ 0 截得的弦长为 25，则 ab 的最大值是 ()9 A ． 9B. 25 C ． 4D. 2[剖析]将圆的一般方程化为标准方程为( x － 1) 2＋ ( y － 2) 2＝ 5，圆心坐标为 (1,2) ，半9径 r ＝ 5，故直线过圆心，即a ＋2b ＝ 6，∴ a ＋ 2b ＝6≥2 a ·2b ，可得 ab ≤2，当且仅当 a＝2 b ＝ 3 时等号成立，即ab 的最大值是9，应选 B.2[答案]B1 925．正数 a ， b 满足 a ＋ b ＝ 1，若不等式 a ＋ b ≥－ x ＋ 4x ＋ 18＝m 对任意实数x 恒成立， 则实数 m 的取值范围是 ()A ． [3 ，＋∞ )B ． ( －∞， 3]C ． ( －∞， 6]D ． [6 ，＋∞)1 9[剖析]因为 a >0， b >0，a ＋ b ＝ 1，19b 9a2因此 a ＋ b ＝ ( a ＋ b ) a ＋ b ＝ 10＋a ＋ b ≥10＋ 2 9＝ 16，由题意，得 16≥－ x ＋ 4 x ＋ 18－m ，即 2－ 4 x －2≥－m 对任意实数x 恒成立，而x 2－ 4 x －2＝ ( x － 2) 2－ 6，因此2－4 －2xxx的最小值为－ 6，因此－ 6≥－，即 ≥6.mm[答案]D1 11 96．(2018 ·吉林九校第二次联考 ) 若正数 a ， b 满足 a ＋ b ＝ 1，则 a － 1 ＋b － 1 的最小值是()A ． 1B ． 621 1a1[剖析]∵正数 a ，b 满足 a ＋ b ＝ 1，∴ b ＝ a － 1>0，解得 a >1. 同理可得 b >1，因此 a －1＋9 ＝ 1 ＋9 ＝ 1＋ 9( a －1) ≥21a －＝ 6，当且仅当 1＝9( a －b － 1 a － 1 aa － 1a － 1a － 1a － 1－141) ，即 a ＝ 3时等号成立，因此最小值为 6. 应选 B.[答案]B7．(2018 ·山东省实验中学一模试卷 ) 已知 x ＞ 0，y ＞ 0， x ＋2y ＋ 2xy ＝ 8，则 x ＋ 2y 的最小值是 ______．[ 解 ] 察看基本不等式x ＋ 2y ＝ 8－ x ·(2 y ) ≥8－ x ＋ 2y2( 当且仅当 x ＝ 2y 时取等号 )2整理得 ( x ＋ 2y ) 2＋4( x ＋ 2y ) －32≥0即 ( x ＋2y － 4)( x ＋ 2y ＋8) ≥0，又 x ＋ 2y ＞ 0，因此 x ＋ 2y ≥4( 当且仅当 x ＝ 2y 时取等号 )则 x ＋2y 的最小值是 4.[答案]4148．(2018 ·盐城三模 ) 若 a ， b 均为非负实数，且 a ＋ b ＝ 1，则 a ＋2b ＋ 2a ＋ b 的最小值为______．[剖析]由题意可知： 3 ＋ 3 b ＝ 3，故： 1 ＋ 4aa ＋ 2b 2a ＋ b1 1 4＝ ×[( a ＋ 2b ) ＋(2 a ＋ b )] a ＋ 2 ＋2 ＋b 3 ba1 2a ＋ b a ＋ 2b ＝ 3 5＋ a ＋ 2b ＋ 2a ＋ b12a ＋ ba ＋ 2b1≥ × 5＋ 2 a ＋ 2 ×2 a ＋ b ＝ ×9＝ 3.3 3b当且仅当 a ＝ 1， ＝ 0 时等号成立．b[答案]39． ( 高考重庆卷 ) 设 ， >0， ＋ ＝5，则a ＋ 1＋ ＋ 3的最大值为 ______．a b a bb[剖析 ] 令 t ＝ a ＋ 1＋ b ＋3 ，则 t 2＝ a ＋ 1＋ b ＋ 3＋ 2a ＋b ＋ ＝9＋2 a ＋b ＋≤9＋ a ＋1＋ ＋ 3＝ 13＋ a ＋ ＝ 13＋ 5＝ 18，当且仅当 a＋1＝ ＋3 时取bbb等号，此时a ＝ 7， ＝ 3. 因此 t max ＝ 18＝ 3 2.2 b 2[答案]3 2x y x y(1) 求 u ＝ lg x ＋ lg y 的最大值；1 1(2) 求x ＋ y 的最小值．[ 解 ] (1) ∵ x >0， y >0， ∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥2 10xy .∵ 2x ＋ 5y ＝ 20，∴ 2 10xy ≤20， xy ≤10，当且仅当 2x ＝ 5y 时，等号成立．因此有2x ＋ 5y ＝20， x ＝ 5， 解得y ＝ 2，2x ＝ 5y ，此时 xy 有最大值 10.∴ u ＝ lg x ＋ lg x ＝ lg( xy ) ≤lg 10 ＝ 1.∴当 x＝ 5， ＝2 时， ＝lgx ＋ lg y 有最大值 1.y u1 11 12x ＋ 5y 1 5y 2x15y 2x(2) ∵ x >0， y >0，∴ x ＋ y ＝ x ＋ y · 20 ＝ 20 7＋ x ＋ y ≥20 7＋2 x ·y＝7＋2 10 5y 2x20 ，当且仅当 x ＝ y 时，等号成立．2 x ＋5 ＝ 20，10 10－ 20yx ＝ 3 ，由 5y 2x解得＝ ，20－ 40 10xyy ＝ 31 17＋ 2 10∴ x ＋y 的最小值为20.[B 能力提升练 ]3x － y －6≤0，． (2018 ·河北五校联考 ) 设 x ， y 满足拘束条件 x － y ＋2≥0，若目标函数 z ＝1x ≥0， y ≥0，＋ ( a >0， >0) 的最大值为3 2)12，则 ＋ 的最小值为 (axbyba b25 8 A. 6B. 311D ． 4C.3[剖析]不等式组在直角坐标系中所表示的平面地域如图中的阴影部分所示． 由 z ＝ axa za＋by 得 y ＝－ b x ＋ b ，当 z 变化时，它表示经过可行域的一组平行直线，其斜率为－b ，在 yzA (4,6) 时，在 y 轴上的截距最大，从而z 也最大，轴上的截距为 b ，由图可知当直线经过点322＋3 3 2 1 4a 9b因此4a＋ 6b＝ 12 ，即 2a＋ 3b＝ 6，因此a＋b＝a6b·a＋b＝6 6＋6＋b＋a ≥4，当且仅当3＝ 1 时等号成立．＝，a 2 b[答案] D2．已知各项均为正数的等比数列 { a } 满足a＝a＋ 2a，若存在两项 a ， a 使得 a a ＝n 7 6 5 mn m n1 44a，则＋的最小值为 ()1 m n3 5A. B.2 39 25C. 4D. 6[剖析] 由各项均为正数的等比数列{ a n} 满足a7＝a6＋ 2a5，可得a1q6＝a1q5＋2a1q4，所以 q2－ q－2＝0，解得 q＝2或 q＝－1(舍去)．m＋n －2因为a m a n＝4a1，因此 q＝16，因此1＋ 4＝1 ( ＋ ) 1 4＋nm n 6 m n m＝1 n 4m 15＋ 2n 4m 3 65＋＋n≥6·＝ .m m n 2n 4 m当且仅当＝时，等号成立，m n又 m＋n＝6，解得 m＝2，n＝4，吻合题意．故1＋4的最小值等于3. m n 2[答案] A3．(2018 ·潍坊模拟 ) 已知a，b为正实数，直线x＋ y＋ a＝0与圆( x－ b) 2＋ ( y－ 1) 2＝ 2相切，则a2＋1的取值范围是 ______．b[ 剖析 ]∵ x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切，| b＋ 1＋a|5a 2－ b 2 b ＋ 2－ b ＋ ＋ 4∴ ＋1＝ b ＋ 1 ＝＋ 1bb4＝ ( b ＋1) ＋ b ＋ 1－4≥2 4－ 4＝ 0.a 2又∵ a ， b 为正实数，∴ b ＋ 1 的取值范围是 (0 ，＋∞ ) ． [答案] (0 ，＋∞)4．(2018 ·南昌二模 ) 网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为 商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从 2017 年 1 月起睁开网络销售 与实体店体验安装结合的销售模式． 依照几个月运营发现，产品的月销量 x 万件与投入实体店体验安装的花销 t万元之间满足x ＝ 3－2函数关系式．已知网店每个月固定的各种花销t ＋1支出为 3 万元，产品每 1 万件进货价格为32 万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装花销的一半”之和，则该公司最大月利润是 ______ 万元．[剖析] 利润等于收入减成本，因此y ＝ 48＋t · x －32 － t －3＝16 x － t－ 32x x2x －1 1＝ 16x ＋x －－ 3＝ 16( x － 3) ＋x － 3＋ 48－2.52<3，因此原式 x －3<0，因为 x ＝ 3－t ＋1可化简为 y ＝－－ x ＋ 1＋ 45.5 ，3－ x11而 16(3 － x ) ＋3－ x ≥2 － x 3－x ＝8，1 ＋45.5 ≤－ 8＋ 45.5 ＝ 37.5 ，等号成立的条件是 16(3 － x ) ＝ 那么－－ x ＋3－ x13－ x ? x ＝ 2.5 ，因此该公司的最大利润是37.5 ，故填： 37.5.[ 答案 ]37.55．(2018 ·常州期末调研 ) 某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建筑一间室内面积为 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形地域，分别种900 m 植三种植物，相邻矩形地域之间间隔1 m ，三块矩形地域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形地域分别与相邻的左右内墙保留 3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为 x(单位：m)，三块栽种植物的矩形地域的总面积为2S(单位：m)．(1)求 S 关于 x 的函数关系式；(2)求 S 的最大值．[ 解 ] (1) 由题设，得S＝( x－ 8) 900－ 2 x7 200＝－ 2x－＋916，x∈(8,450)．x(2) 因为 8<x<450，因此 2x＋7 200≥22x×7 200＝ 240，当且仅当x＝ 60 时等号成x x立，从而 S≤676.故当矩形温室的室内长为60 m时，三块栽种植物的矩形地域的总面积最大，最大为 6762m.[C 尖子生专练 ]某食品厂如期购买面粉，已知该厂每天需用面粉 6 吨，每吨面粉的价格为 1 800 元，面粉的保留等其他花销平均每吨每天 3 元，购买面粉每次需支付运费900 元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总花销最少？(2) 某供应面粉的公司规定：当一次购买面粉很多于210 吨时，其价格可享受9 折优惠，问该厂可否考虑利用此优惠条件？请说明原由．[ 解 ] (1) 设该厂应每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x吨，由题意可知，面粉的保管等其他花销为3[6 x＋ 6( x－1) ＋ 6( x－2) ＋＋ 6×1] ＝ 9x( x＋ 1) ，设平均每天所支付的总花销为y1元，则 y1＝[9xx＋＋ 900] ＋1 800 ×6x＝900＋9 ＋10 809 ≥2900·9＋ 10 809x x x x＝10 989 ，900当且仅当 9x＝x，即x＝ 10 时取等号．即该厂应每隔10 天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总花销最少．(2)因为很多于 210 吨，每天用面粉 6 吨，因此最少每隔 35 天购买一次面粉．设该厂利用此优惠条件后，每隔x( x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总花销为y2元，1则 y2＝x[9 x( x＋1)＋900]＋6×1 800×0.90 900＝x＋ 9x＋ 9 729( x≥35) ．100令 f ( x)＝ x＋x( x≥35)， x2>x1≥35，则f ( x 1 － 2 ＝ x ＋100 － x ＋100) f ( x ) 1x1 2 x2x －x1 －x x＝ 2 1 2 . ∵x2>x1≥35，x1x2∴x2－x1>0，x1x2>0,100－x1x2<0，故 f ( x1)－ f ( x2)<0，f ( x1)< f ( x2)，100即 f ( x)＝ x＋x，当 x≥35时为增函数．则当 x＝35时，f ( x)有最小值，此时y2<10 989.因此该厂应接受此优惠条件．。

第六章§3：二元一次不等式（组）与简单的线性规划(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间50钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数f(x)＝x 2－5x ＋4，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )－f (y )≥01≤x ≤4表示的平面区域为2．设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4x －y ≥－1x －2y ≤2，则z ＝x ＋yA ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值 3．设x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0y ≥0x ＋y －1≥0，则实数对(x ，y)表示的区域在直线y ＝4的下侧部分的面积是A ．4B ．8C ．92D ．94．已知平面区域D 由以A(1,3)、B(5,2)、C(3,1)为顶点的三角形内部和边界组成．若在区域D 上有无穷多个点(x ，y)可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m 等于 A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．4 5．设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0x －y ＋8≥02x ＋y －14≤0，所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x (a>0，且a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是 A ．[1,3]B ．[2，10]C ．[2,9]D ．[10，9]二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值是______． 7．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤2y ≤2x ＋y ≥2，则目标函数z ＝yx ＋1的最大值是________．8．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x ＋y ＋2≥0，2x －y －2≤0所确定的平面区域记为D ，若圆O ：x 2＋y 2＝r 2上的所有点都在区域D 内，则圆O 的面积的最大值是______．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分）已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值．10．（本小题满分18分）某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大？最大收益是多少？参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分. 1．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )－f (y )≥01≤x ≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0x ＋y －5≥01≤x ≤4，或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0x ＋y －5≤01≤x ≤4，故其对应平面区域应为图C. 答案：C2．解析：由图象可知z ＝x ＋y 在点A 处取最小值z min ＝2，无最大值．答案：B 3．解析：如图所示，三角形为等腰直角三角形，且腰长为3，面积为92.答案：C4．解析：由目标函数z ＝x ＋my 得y ＝－1m x ＋zm.当m>0时，－1m <0，1m >0，可得－1m ＝k AC ＝3－11－3＝－1，∴m ＝1时有无穷多个点(x ，y)可使z ＝x ＋my 取得最小值．当m<0时，－1m >0，1m <0，则z ＝x ＋my 在点A 处取得最小值不合题意．∴m ＝1时符合题意．故选C 项．答案：C 5．解析：画出可行域如图由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋8＝0x ＋2y －19＝0， 得交点A(1,9)，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －14＝0x ＋2y －19＝0，得交点B(3,8)，当y ＝a x 的图象过点A(1,9)时，a ＝9， 当y ＝a x 的图象过点B(3,8)时，a ＝2. ∴2≤a ≤9.故选C 项． 答案：C二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0x ＋y ≤1，表示的可行域如图所示，则y ＝x －z 表示的直线过点A(1,0)时，z ＝x －y 取最大值，且z max ＝1.答案：1 7．解析：根据约束条件作出可行域如图所示．目标函数z ＝yx ＋1＝y －0x ＋1可以看做定点(－1,0)与可行域内的点(x ，y)连线斜率的最大值．可知当目标函数线过点A(0,2)时有最大值，即z max ＝2－00＋1＝2. 答案：28．解析：画出可行域如图：⊙O 的所有点都在△ABC 内，圆心O 到直线BC 的距离 d ＝|－2|5＝25为⊙O 半径的最大值，∴圆O 面积的最大值为S max ＝π(25)2＝45π.答案：45π 三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分）解：由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)，所以z 的几何意义是点(x ，y)与点M(－1，－1)连线的斜率，因此y ＋1x ＋1的最值就是点(x ，y)与点M(－1，－1)连线的斜率的最值．结合图可知：直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即z max ＝k MB ＝3，此时x ＝0，y ＝2；z min ＝k MC ＝12，此时x ＝1，y ＝0.10.（本小题满分18分）解：设搭载产品A x 件，产品B y 件，预计总收益z ＝80x ＋60y. 则⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋30y ≤30010x ＋5y ≤110x ∈N ，y ∈N，作出可行域，如图：作出直线l 0：4x ＋3y ＝0并平移，由图象得，当直线经过M 点时z 能取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝302x ＋y ＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9y ＝4，即M(9,4)．所以z max ＝80×9＋60×4＝960(万元)． 所以搭载产品A 9件，产品B 4件，可使得总预计收益最大，为960万元．。

高三一轮复习6。

3 二元一次不等式（组)与简单的线性（检测教师版）时间:50分钟总分:70分班级: 姓名：一、选择题（共6小题,每题5分，共30分）1．已知点A(－2,0)，点M(x,y）为平面区域错误!上的一个动点，则|AM｜的最小值是（）A．5 B．3 C．2错误!D。

错误!【答案】D【解析】不等式组错误!表示的平面区域如图，结合图象可知｜AM|的最小值为点A到直线2x＋y－2＝0的距离,即|AM|min＝错误!＝错误!。

2．如果实数x，y满足不等式组错误!目标函数z＝kx－y的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】不等式组表示的可行域如图，A（1，2)，B(1,－1)，C（3，0）∵目标函数z＝kx－y的最小值为0，∴目标函数z ＝kx－y的最小值可能在A或B时取得；∴①若在A 上取得,则k－2＝0,则k＝2，此时，z＝2x－y在C点有最大值，z＝2×3－0＝6，成立；②若在B上取得，则k＋1＝0，则k＝－1，此时，z ＝－x－y,在B点取得的应是最大值，故不成立，∴k ＝2，故答案为B。

3．若整数x，y满足错误!则z＝2x＋y的最大值是（) A．1 B.错误!C．2 D．3【答案】B【解析】根据限制条件画出可行域，如图所示，画出直线l0:2x＋y＝0，经平移知，在点A错误!处z取得最大值,∴z max＝错误!。

故选B。

4．已知点P(x,y)的坐标满足条件错误!那么x2＋y2的取值范围是（）A．[1，4] B．［1,5］C.错误!D.错误!【答案】D【解析】作出不等式组错误!所表示的平面区域，显然,原点O到直线2x＋y－2＝0的最短距离为错误!＝错误!,此时可得(x2＋y2）min＝错误!；点(1,2)到原点O的距离最大,为12＋22＝错误!,此时可得（x2＋y2)max＝5。

故选D.5．设x，y满足条件｜x｜＋|y－1|≤2，若目标函数z ＝错误!＋错误!（其中b〉a>0)的最大值为5，则8a＋b 的最小值为（)A．3 B．1 C．5 D．6【答案】C【解析】先画出|x｜＋|y|＝2，再将其图象向上平移1个单位,则图中阴影部分即为可行域．∵参照线y＝－错误!x且－错误!<－1,∴当其过点A（2，1)时，z取最大值, 即错误!＋错误!＝5.∴8a＋b＝错误!（8a＋b）错误!＝错误!错误!≥错误!错误!＝5，并且仅当a＝错误!,b＝1时取等号，故C正确．6．已知函数f(x）的定义域为［－2，＋∞),f(4）＝1,f′（x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如图所示．若两正数a，b满足f（2a＋b）<1，则错误!的取值范围是( )A。

第2节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考试要求 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.1.二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.3.线性规划的有关概念名称意义线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件目标函数关于x，y的解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线； (2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证. 2.判定二元一次不等式表示的区域(1)若B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方. (2)若B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C ＞0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方.( )(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.( )(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( )(4)在目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距.( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×解析 (1)不等式x －y ＋1>0表示的平面区域在直线x －y ＋1＝0的下方. (4)直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距是z b .2.不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )答案 B解析 x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及其右下方部分，x －y ＋2＜0表示直线x －y ＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B. 3.下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A.(0，0) B.(－1，1) C.(－1，3)D.(2，－3)答案 C解析 把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合，故选C.4.已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y ＋1的最大值、最小值分别是( ) A.3，－3 B.2，－4 C.4，－2D.4，－4答案 C解析 不等式组所表示的平面区域如图所示.其中A (－1，－1)，B (2，－1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，画直线l 0：y ＝－2x ，平移l 0过B 时，z max ＝4，平移l 0过点A 时， z min ＝－2. 5.投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米.现某单位可使用资金 1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为________.(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数，x 和y 的单位是百吨)答案 ⎩⎨⎧2x ＋3y ≤14，2x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0解析 用表格列出各数据.所以不难看出，x ≥0，y ≥0，200x ＋300y ≤1 400，200x ＋100y ≤900. 即x ≥0，y ≥0，2x ＋3y ≤14，2x ＋y ≤9，6.(易错题)已知x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值为________. 答案 －1解析 先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直线z ＝ax ＋y 和直线AB 重合时，z 取得最大值的点(x ，y )有无数个，∴－a ＝k AB ＝1，∴a ＝－1.考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域1.已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A.(－24，7) B.(－7，24)C.(－∞，－7)∪(24，＋∞)D.(－∞，－24)∪(7，＋∞) 答案 B解析 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0，即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.2.若不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ B.(0，1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，43D.(0，1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞答案 D解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域(如图中阴影部分表示).由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l ：x ＋y ＝a 在l 1，l 2之间(包含l 2，不包含l 1)或l 3上方(包含l 3)，故0<a ≤1或a ≥43.3.不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －y －1≥0，y ≥0所表示的平面区域的面积为________.答案 14解析 画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，通过上图，可以发现不等式组表示的平面区域以点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，B (1，0)和C (2，0)为顶点的三角形区域(含边界)，因此S △ABC ＝12×(2－1)×12＝14. 感悟提升 平面区域的形状问题主要有两种题型：(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状； (2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论. 考点二 求目标函数的最值 角度1 求线性目标函数的最值例1 (2021·浙江卷)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋1≥0，x －y ≤0，2x ＋3y －1≤0，则z ＝x －12y 的最小值是( ) A.－2 B.－32C.－12D.110答案 B解析 作出可行域如图中阴影部分所示.由z ＝x －12y ，得y ＝2x －2z .作出直线y ＝2x 并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A 时z 取得最小值. 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，所以A (－1，1)，z min ＝－1－12＝－32. 角度2 求非线性目标函数的最值例2 (1)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥1，则z ＝y x ＋2的取值范围是________.(2)(2022·绵阳诊断)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ≤0，x ＋y ＋2≥0，x －2y ＋2≥0，则z ＝x 2＋y 2－2x ＋2y ＋3的最小值为________. 答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，76 (2)3解析(1)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥1表示的平面区域如图中阴影部分所示，这是一个三角形区域(包含边界)，三角形的三个顶点的坐标分别为B (1，2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，72，D (2，3)，yx ＋2的几何意义是可行域内任一点(x ，y )与点P (－2，0)连线的斜率，连接PB ，PC ，由于直线PB 的斜率为23，直线PC 的斜率为76，由图可知z ＝yx ＋2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，76.(2)不等式组对应的平面区域为图中阴影部分.由z ＝x 2＋y 2－2x ＋2y ＋3＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋1，知z 表示可行域内的点到定点(1，－1)的距离的平方加1，结合图形得到z min ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫|1＋1|12＋（－1）22＋1＝3.角度3 求参数值或取值范围例3 已知x ，y 满足⎩⎨⎧x ≥2，x ＋y ≤4，2x －y －m ≤0.若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为10，则实数m 的值为________. 答案 5解析 作出可行域，如图中阴影部分所示.作出直线3x ＋y ＝0，并平移可知，当直线过点A 时，z 取得最大值为10，当直线过点B 时，z 取得最小值.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，2x －y －m ＝0，得⎩⎨⎧x ＝4＋m 3，y ＝8－m3，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋m 3，8－m 3，所以3×4＋m 3＋8－m3＝10， 解得m ＝5.感悟提升 线性规划两类问题的解决方法(1)求目标函数的最值：画出可行域后，要根据目标函数的几何意义求解，常见的目标函数有： ①截距型：例如z ＝ax ＋by ；②距离型：形如z ＝（x －a ）2＋（y －b ）2；③斜率型：形如z ＝y －bx －a.(2)求参数的值或范围：参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中.求解步骤为：①注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里，寻求最优解.训练1 (1)(2022·成都调研)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋y ≤4，2x －3y ≤0，x ≥1，且不等式x ＋y －a ≥0恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A.(－∞，3) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，53 C.(－∞，3]D.(－∞，1](2)(2022·南昌模拟)已知变量x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋4≤0，x ≥2，x ＋y －6≥0，则k ＝y ＋1x －3的取值范围是________.答案 (1)B (2)(－∞，－5]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析(1)作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤4，2x －3y ≤0，x ≥1所表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，设目标函数z ＝x ＋y ，化为直线y ＝－x ＋z ，当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，此时在y 轴上的截距最小，此时目标函数z 取得最小值，又由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝0，x ＝1，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，23，可得z ＝x ＋y 的最小值为z min ＝1＋23＝53，又由不等式x ＋y －a ≥0恒成立，即不等式a ≤x ＋y 恒成立，所以a ≤53， 即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，53.(2)由题意作出可行域如图阴影部分所示，由于k ＝y ＋1x －3＝y －（－1）x －3表示动点M (x ，y )与定点B (3，－1)连线的斜率，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y －6＝0可得点A (2，4)， 则k AB ＝4＋12－3＝－5，且直线x －2y ＋4＝0的斜率为12，数形结合可得，k ＞12或k ≤－5. 考点三 实际生活中的线性规划问题例4 电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：甲 乙 连续剧播放时长/分钟 70 60 广告播放时长/分钟 5 5 收视人次/万6025已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域. (2)电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ 解 (1)由已知，x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0且x ∈N ，y ≥0且y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0且x ∈N ，y ≥0且y ∈N ，该不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分中的整点：(2)设总收视人次为z 万 ，则目标函数为z ＝60x ＋25y .将它变形为y ＝－125x ＋z25，这是斜率为－125随z 变化的一组平行直线.z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大.又因为x ，y 满足约束条件，所以由图②可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6，3).所以电视台每周播出甲连续剧6次，乙连续剧3次时才能使总收视人次最多. 感悟提升 1.解线性规划应用题的步骤.(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案.2.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件，写出目标函数，转化成线性规划问题.训练2 某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( ) A.31 200元 B.36 000元 C.36 800元D.38 400元答案 C解析 设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z 元，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ，y ∈N .目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y . 画出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点N 时，取得最小值， 由⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＝7，36x ＋60y ＝900，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝12， 故N (5，12)，故z min ＝1 600×5＋2 400×12＝36 800(元).1.设M 为不等式组⎩⎨⎧x ＋y －1<0，x －y ＋1>0所表示的平面区域，则位于M 内的点是( )A.(0，2)B.(－2，0)C.(0，－2)D.(2，0)答案 C解析 不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知，只有点(0，－2)满足题意.2.(2020·浙江卷)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≥0， 则z ＝x ＋2y 的取值范围是( ) A.(－∞，4] B.[4，＋∞) C.[5，＋∞)D.(－∞，＋∞)答案 B解析 画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线x ＋2y ＝0，平移该直线，易知当直线经过点A (2，1)时，z 取得最小值，z min ＝2＋2×1＝4，再数形结合可得z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞).3.设点(x ，y )满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋3≥0，x －5y －1≤0，3x ＋y －3≤0，且x ∈Z ，y ∈Z ，则这样的点共有()A.12个B.11个C.10个D.9个答案 A解析画出⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≥0，x －5y －1≤0，3x ＋y －3≤0所表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，由图可知，满足x ∈Z ，y ∈Z 的(x ，y )为(－4，－1)，(－3，0)，(－2，1)，(－2，0)，(－1，0)，(－1，1)，(－1，2)，(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，共12个，故选A.4.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≥2，y ≥3x －6，约束条件表示的平面区域为M ，则平面区域M 表示的几何图形的周长为( ) A.6 3 B.32＋10 C.2D.9答案 B解析画出变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≥2，y ≥3x －6的平面区域，如图所示：不等式组表示的区域为△ABC ，A (1，1)，B (3，3)，C (2，0).点P (x ，y )表示的平面区域为M ，则区域M 表示的几何图形的周长是2＋22＋1＋9＝32＋10.5.(2022·哈师大附中模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，则z ＝2－2x ＋y的最大值为( ) A.132 B.14C.12D.2答案 C解析 由实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1作出可行域如图，则z ＝2－2x ＋y的最大值就是u ＝－2x ＋y 的最大值时取得.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，y ＝1，解得A (1，1)，化目标函数u ＝－2x ＋y 为y ＝2x ＋u ，由图可知，当直线y ＝2x ＋u 过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 有最大值2－2＋1＝12.6.若x ，y 满足|x |≤1－y ，且y ≥－1，则3x ＋y 的最大值为( ) A.－7 B.1C.5D.7答案 C解析由|x |≤1－y ，且y ≥－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≤0，y ≥－1.作出可行域如图阴影部分所示.设z ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋z . 作直线l 0：y ＝－3x ，并进行平移.显然当l 0过点A (2，－1)时，z 取最大值，z max ＝3×2－1＝5.7.(2022·南充诊断)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2≥y ，x ≤2，y －1≥0.若z ＝x ＋my (m ＞0)的最大值为10，则m ＝( ) A.1 B.2C.3D.4答案 B解析 在平面直角坐标系中，作出可行域，如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋2＝y ，解得A (2，4)，z ＝x ＋my (m ＞0)可化为y ＝－1m x ＋z m ，由图可知，当直线y ＝－1m x ＋zm 过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 取得最大值10，即2＋4m ＝10，解得m＝2，故选B.8.(2021·全国大联考)设不等式组⎩⎨⎧x －y ≤0，2x －y ＋2≥0，x ≥1表示的平面区域为M ，则()A.M 的面积为92B.M 内的点到x 轴的距离有最大值C.点A (x ，y )在M 内时，yx ＋2<2D.若点P (x 0，y 0)∈M ，则x 0＋y 0≠2 答案 C解析 作出可行域，如图中阴影部分所示，由图可知，可行域为开放区域，所以选项A 、B 错误；由图可知点(1，1)在可行域内，而此时x ＋y ＝1＋1＝2，故选项D 错误；y x ＋2表示区域M 内的点(x ，y )与N (－2，0)连线的斜率，由图知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋2min ＝k NB ＝13，∴y x ＋2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，2，故选项C 正确，故选C.9.(2021·晋中模拟)设x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≥0，2x －y ≤1，x －2y ≥－2，则x －y 的最小值是______，最大值是______. 答案 －43 23解析 如图所示，不等式组满足的平面区域为阴影部分所示区域，设z ＝x －y ，当y ＝x －z 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23时，z ＝x －y 取得最小值－43；当y ＝x －z 经过点B ⎝⎛⎭⎪⎫13，－13时，z ＝x －y 取得最大值23.10.(2021·平顶山模拟)已知O 为坐标原点，A (－1，－2)，P 为平面区域M ：⎩⎨⎧x ＋2y －2≤0，2x ＋y －2≤0，x ≥0，y ≥0内任意一点，则OA →·OP →的最小值为________.答案 －2解析 由题意可得，平面区域M (如图)是由点O (0，0)，D (0，1)，B (1，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23围成的四边形区域(包括边界)，由数量积的坐标运算得OA →·OP →＝－x －2y ，设z ＝－x －2y ，当直线z ＝－x －2y 平移到与DC 重合时，目标函数z ＝－x －2y 有最小值(此时点P 为线段DC 上任意一点)，且最小值为－2.故OA →·OP→的最小值为－2.11.(2022·昆明诊断)已知x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋3y ≤15，2x ＋y ≤12，x ∈N ，y ∈N ，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________. 答案 19解析 根据条件画出可行域如图中阴影部分所表示的整点，由图可知z ＝3x ＋2y 在点M 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝12，x ＋3y ＝15得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫215，185，但M 点的坐标不是整数，经过平移可知经过点(5，2)满足要求，且代入得z ＝19，故最大值为19.12.在等差数列{a n }中，已知首项a 1＞0，公差d ＞0，a 1＋a 2≤60，a 2＋a 3≤100，则5a 1＋a 5的最大值为________，取到最大值时d ＝________，a 1＝________. 答案 200 20 20解析 由题意得点(a 1，d )满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1＞0，d ＞0，2a 1＋d ≤60，2a 1＋3d ≤100，画出可行域，设z ＝5a 1＋a 5＝6a 1＋4d ，即d ＝－32a 1＋z 4，当直线d ＝－32a 1＋z 4经过B 点时，在y 轴上的截距最大，z 取得最大值， 即a 1＝d ＝20时，5a 1＋a 5取最大值200.13.若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A.12B.1C.32D.2答案 B解析 在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x 的图象及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示.由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1.14.某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A ，B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时.A ，B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为( )A.320千元B.360千元C.400千元D.440千元答案 B解析 设生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，利润为z 千元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ∈N ，2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960，z ＝2x ＋y ，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示的整点，作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线z ＝2x ＋y 经过直线2x ＋3y ＝480与直线6x ＋y ＝960的交点(150，60)(满足x ∈N ，y ∈N )时，z 取得最大值，为360.故该企业每月利润的最大值为360千元.15.(2022·西安模拟)已知实数x ，y 满足(x ＋y －2)(x －2y ＋3)≥0，则x 2＋y 2的最小值为________.答案 95解析 由(x ＋y －2)(x －2y ＋3)≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋3≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y ＋3≤0，不等式组表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示.x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，表示平面区域内取一点到原点的距离的平方， 因为原点到x ＋y －2＝0的距离为d ＝|0＋0－2|2＝2，原点到x －2y ＋3＝0的距离为d ＝|0－2×0＋3|5＝35＝355<2， 所以，x 2＋y 2的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫3552＝95. 16.已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，且z ＝x ＋y 的最大值为6，则(x ＋5)2＋y 2的最小值为________.答案 5解析如图，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k 对应的平面区域，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，平移直线y ＝－x ，由图可知当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－x ＋z 在y 轴上的截距最大，此时z 最大，为6，即x ＋y ＝6.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，x －y ＝0得A (3，3)，∵直线y ＝k 过点A ，∴k ＝3. (x ＋5)2＋y 2的几何意义是可行域内的点(x ，y )与D (－5，0)的距离的平方，由可行域可知，[(x ＋5)2＋y 2]min 等于D (－5，0)到直线x ＋2y ＝0的距离的平方. 则(x ＋5)2＋y 2的最小值为＝5.。

高三数学一轮复习课时训练·解析（新人教A版）：6.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题1、会用尺规作角的平分线. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等2、角的平分线的性质: 反过来，到一个角的两边距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．证明: ∵QD⊥OA，QE⊥OB，∴∠QDO和∠QEO都是直角，在Rt△QDO和Rt△QEO中QO＝QO（公共边）QD=QE （已知）∴Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）∴∠QOD＝∠QOE ∴点Q在∠AOB的平分线上已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB 的平分线上．到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的平分线上．用几何语言表示为：角平分线上的点到角两边的距离相等. ∵QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上∴QD＝QE 如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等. ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, A B C P M N D E F ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. ∴PD＝PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等证明：过点P作PD ⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F 如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M G H M ∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，FM⊥BC ∴FG＝FM 又∵点F在∠CBD的平分线上，FH ⊥AD，FM⊥BC ∴FM＝FH ∴FG＝FH ∴点F在∠DAE的平分线上如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。

第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题简单的线性规划(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组． (2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．知识点一 二元一次不等式(组)表示的平面 区域易误提醒 画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式为ax ＋by ＋c >0(a >0)．必备方法 确定二元一次不等式表示平面区域的方法：二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x 0，y 0)作为测试点进行判定，满足不等式的则平面区域在测试点所在直线的同一侧，反之在直线的另一侧．[自测练习]1．不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0，表示的平面区域是( )解析：x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及右下方部分，x －y ＋2<0表示直线x －y ＋2＝0左上方部分．故不等式组表示的平面区域为选项B 所示部分． 答案：B2．不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43D.34解析：平面区域如图所示．解⎩⎨⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1)，易得B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎪⎫0，43， |BC |＝4－43＝83.∴S △ABC ＝12×83×1＝43.答案：C知识点二 线性规划中的基本概念易误提醒 线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函取得最值的点不一定只有一个，也可能有无多个，也可能没有．[自测练习]3．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函z ＝2x ＋3y 的取值范围为( )A ．[7,23]B ．[8,23]C ．[7,8]D ．[7,25]解析：画出不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，表示的平面区域如图中阴影部分所示，由目标函z ＝2x ＋3y 得y ＝－23x ＋z3，平移直线y ＝－23x 知在点B 处目标函取到最小值，解方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝3，2x －y ＝3，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1，所以B (2,1)，z min ＝2×2＋3×1＝7，在点A 处目标函取到最大值，解方程组⎩⎨⎧x －y ＝－1，2x －y ＝3，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝5，所以A (4,5)，z max ＝2×4＋3×5＝23，故选A.答案：A4．已知点P (x ，y )满足⎩⎨⎧x ≥1，y ≤1，x －y －1≤0，目标函z ＝x ＋ay (a <0)的最大值和最小值之和为0，则a 的值为( )A ．－32B ．－2C ．－1D ．－12解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，A (1,0)，B (2,1)，C (1,1)，当z ＝x ＋ay 过点A ，B ，C 时，z 的值分别为1,2＋a,1＋a .∵a <0，∴z min ＝1＋a .①当2＋a >1，即a >－1时，z max ＝2＋a ，∴2＋a ＋1＋a ＝0，a ＝－32(舍去)；②当2＋a ≤1，即a ≤－1时，z max ＝1，∴1＋1＋a ＝0，a ＝－2，符合条件，故选B.答案：B考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域|1．(2016·济南模拟)不等式组⎩⎨⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域的面积为( )A ．4B ．1C ．5D ．无穷大解析：不等式组⎩⎨⎧2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC 的面积即为所求．求出点A ，B ，C 的坐标分别为(1,2)，(2,2)，(3,0)，则△ABC 的面积为S ＝12×(2－1)×2＝1.答案：B2．(2015·高考重庆卷)若不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0，表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( )A ．－3B ．1 C.43D ．3解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则m >－1.由⎩⎨⎧ x ＋y －2＝0，x －y ＋2m ＝0解得⎩⎨⎧x ＝1－m ，y ＝1＋m ，即A (1－m,1＋m )．由⎩⎨⎧x ＋2y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23－43m ，y ＝23＋23m ，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23－43m ，23＋23m .因为S △ABC ＝S △ADC －S △BDC ＝12(2＋2m )⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1＋m －⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋23m ＝13(m ＋1)2＝43，所以m ＝1或m ＝－3(舍去)，故选B.答案：B3．设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧ x ≥1，y ≥1，2x ＋y ≤10，B ＝{(x ，y )|3x －y －11＝0}，则A ∩B 中元素的个为( )A ．0B ．1C ．2D ．无解析：由题意作出集合A 表示的平面区域如图中阴影部分所示，在同一直角坐标系中作出集合B 表示的直线，观察图形可知，两集合的交集为一条线段，故A ∩B 中的元素有无个．答案：D确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．(2)特殊点定域，即在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．常选(1,0)或(0,1)点．考点二 线性目标函的最值及应用|线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代和几何的双重形式，多与函、平面向量、列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使学问题的解答变得更加新颖别致．归纳起常见的命题探究角度有： 1．求线性目标函的最值． 2．求非线性目标函的最值． 3．求线性规划中的参． 4．线性规划的实际应用． 探究一 求线性目标函的最值1．(2015·高考全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z＝x ＋y 的最大值为________．解析：在平面直角坐标系中画出可行域如图中阴影部分所示，易得在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12处，z 取得最大值，且z max ＝32.答案：32探究二 求非线性目标函的最值2．(2015·高考全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则y x的最大值为________．解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，在点A (1,3)处，yx 取得最大值3.答案：3探究三 求线性规划中的参值或范围3．(2015·高考山东卷)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3解析：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函z ＝ax ＋y 的最大值为4，即目标函对应直线与可行域有公共点时，在y 轴上的截距的最大值为4，作出过点D (0,4)的直线，由图可知，目标函在点B (2,0)处取得最大值，故有a ×2＋0＝4，解得a ＝2.答案：B4．已知实x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，若目标函z ＝y －ax (a ∈R )取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：如图所示，当a ≤0时，直线y ＝ax ＋z 知在点(1,3)不可能取得最大值，则当a >0时，目标函z ＝y －ax 要在(1,3)处取得最大值时有唯一最优解应满足a >1，故选A.答案：A探究四 线性规划的实际应用5．(2015·高考陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 C ．17万元D ．18万元解析：根据题意，设每天生产甲x 吨，乙y 吨，则⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，目标函为z ＝3x ＋4y ，作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，易知当直线经过点A (2,3)时，z 取得最大值且z max ＝3×2＋4×3＝18，故该企业每天可获得最大利润为18万元，选D.答案：D1．求目标函的最值的三个步骤：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，解目标函的意义． 2．常见的目标函有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函的最值常将函z ＝ax ＋by 转为直线的斜截式：y ＝－ab x ＋z b，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a.20.转思想在非线性目标函最值问题中的应用【典例】变量x ，y 满足⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝y2x －1，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．[思维点拨] 点(x ，y )在不等式组表示的平面区域内，y 2x －1＝12·y －0⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12表示点(x ，y )和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0连线的斜率；x 2＋y 2表示点(x ，y )和原点距离的平方；x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2表示点(x ，y )和点(－3,2)的距离的平方．[解](1)由约束条件⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图所示．由⎩⎨⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，225.由⎩⎨⎧ x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎨⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)．∵z ＝y 2x －1＝y －0x －12×12∴z 的值即是可行域中的点与⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0连线的斜率，观察图形可知z min ＝2－05－12×12＝29. (2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29.∴2≤z ≤29.(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝ －3－5 2＋ 2－2 2＝8.∴16≤z ≤64.[方法点评] (1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用转思想与形结合的思想方法，给目标函赋予一定的几何意义．(3)本题错误率较高．出错原因是，很多学生无从入手，缺乏形结合的应用意识，不知道从其几何意义入手解题．[跟踪练习] (2016·湖州质检)已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x －1≥0，则tan ∠AOB 的最大值等于( )A.94B.47C.34D.12解析：如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，观察图形可知当A 为(1,2)，B 为(2,1)时，tan ∠AOB 取得最大值，此时由于tan α＝k BO ＝12，tan β＝k AO ＝2，故tan ∠AOB ＝tan (β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝2－121＋2×12＝34，故选C.答案：CA 组 考点能力演练1．(2016·唐山期末)设变量x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，则目标函z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A ．7B ．8C ．22D ．23解析：变量x ，y 满足的区域如图阴影部分所示：目标函z ＝2x ＋3y 在点(2,1)处取得最小值7，故选A. 答案：A2．在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组⎩⎨⎧y ≤1，x ＋y －2≥0，x －y －1≤0，所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为( )A ．2 B.13 C.12D ．1解析：作出可行域如图所示，当点P 位于⎩⎨⎧x ＋y ＝2，y ＝1，的交点(1,1)时，(k OP )max ＝1，故选D.答案：D3．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1 C.12D.14解析：不等式⎩⎨⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0，所表示的可行域如图所示，设a ＝x ＋y ，b ＝x －y ，则此两目标函的范围分别为a ＝x ＋y ∈[0,1]，b ＝x －y ∈[－1,1]，又a ＋b ＝2x ∈[0,2]，a－b ＝2y ∈[0,2]，∴点坐标(x ＋y ，x －y )，即点(a ，b )满足约束条件⎩⎨⎧0≤a ≤1，－1≤b ≤1，0≤a ＋b ≤2，0≤a －b ≤2，作出该不等式组所表示的可行域如图所示，由图示可得该可行域为一等腰直角三角形，其面积S ＝12×2×1＝1，故选B.答案：B4．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为4，则ab 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．(0,4]C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，z ＝ax ＋by (a >0，b >0)过点A (1,1)时取最大值，∴a ＋b ＝4，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝4，∵a >0，b >0，∴ab ∈(0,4]，故选B.答案：B5．已知实x ，y 满足：⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，5 B ．[0,5] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，5 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，5 解析：画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：2x －2y －1＝0，平移l 可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，5.答案：D6．(2015·石家庄二检)已知动点P (x ，y )在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形的边长为2，若使目标函z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k 的值为________．解析：由目标函z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线kx ＋y ＝0的倾斜角为120°，于是有－k ＝tan 120°＝－3，所以k ＝ 3.答案： 37．已知实x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8的最小值为________．解析：目标函w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8＝(x －2)2＋(y －2)2，其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方．由实x ，y 所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，点(2,2)到直线x ＋y －1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又|2＋2－1|2＝322，所以w min ＝92.答案：928．(2016·汉中二模)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是______万元．解析：设生产甲产品x 吨，生产乙产品y 吨，由题意知⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，利润z ＝5x ＋3y ，作出可行域如图中阴影部分所示，求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知当x ＝3，y ＝4，即生产甲产品3吨，乙产品4吨时可获得最大利润27万元．答案：279．已知实x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，求z ＝2x ＋y －1x －1的取值范围．解：由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函z ＝2x ＋y －1x －1＝2＋y ＋1x －1的取值范围可转为点(x ，y )与(1，－1)所在直线的斜率加上2的取值范围，由图形知，A 点坐标为(2，1)，则点(1，－1)与(2，1)所在直线的斜率为22＋2，点(0,0)与(1，－1)所在直线的斜率为－1，所以z 的取值范围为(－∞，1]∪[22＋4，＋∞)．10．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1.所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围为(－4,2)．B 组 高考题型专练1．(2015·高考天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函z ＝x ＋6y 的最大值为( )A ．3B ．4C ．18D ．40解析：作出约束条件对应的平面区域如图所示 ，当目标函经过点(0,3)时，z 取得最大值18.答案：C2．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3解析：先画出可行域，然后根据图形结合选项求解．当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．由⎩⎨⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝－5得交点A (－3，－2)，则目标函z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项． 当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)．由⎩⎨⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝3得交点B (1,2)，则目标函z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值．z min ＝1＋3×2＝7，满足题意．答案：B3．(2015·高考广东卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z＝3x ＋2y 的最小值为( )A ．4 B.235 C ．6D.315解析：作出如图中阴影部分所示的可行域，当直线y ＝－32x ＋z2经过点A 时z 取得最小值．由⎩⎨⎧x ＝1，4x ＋5y ＝8，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝45，此时，z min ＝3×1＋2×45＝235.答案：B4．(2014·高考安徽卷)不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S △ABC ＝12×2×(2＋2)＝4.答案：45．(2015·高考北京卷)如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P(x，y)为D中任意一点，则z＝2x＋3y的最大值为________．解析：由题意，目标函z＝2x＋3y的可行域为△ABC边界及其内部(如图所示)，令z＝0，即2x＋3y＝0，平移直线2x＋3y＝0至目标函的可行域内，可知当2x＋3y＝z过点A(2,1)时，z取得最大值，即z max＝2×2＋3×1＝7.答案：7。

2021年高考数学一轮总复习 6.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题练习一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0.即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.答案 B2．已知实数对(x ，y )满足⎩⎨⎧x ≤2，y ≥1，x －y ≥0，则2x ＋y 取最小值时的最优解是( )A ．6B ．3C ．(2,2)D ．(1,1)解析 约束条件表示的可行域如图中阴影三角形，令z ＝2x ＋y ，y ＝－2x ＋z ，作初始直线l 0：y ＝－2x ，作与l 0平行的直线l ，则直线经过点(1,1)时，(2x ＋y )min ＝3.答案 D3．(xx·广东卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析 画出约束条件所确定的可行域(如图阴影部分的区域)．作直线l 0：y ＝－2x ，平移直线l 0，由图形可知，当l 0经过可行域内的点A (2，－1)时，z 取最大值，即m ＝2×2＋(－1)＝3；当l 0经过可行域内的点B (－1，－1)时，z 取最小值，即n ＝2×(－1)＋(－1)＝－3，故m －n ＝3－(－3)＝6.故选B.答案 B4．(xx·浙江温州十校联考)当变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋3y ≤4，x ≥m时，z ＝x －3y 的最大值为8，则实数m 的值是( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1解析 画出可行域，如图所示，目标函数z ＝x －3y 变形为y ＝x 3－z3，当直线过点C 时，z 取到最大值，又C (m ，m )，所以8＝m －3m ，解得m ＝－4. 答案 A5．已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的3倍，则a ＝( )A ．0 B.13 C.23D ．1解析 依题意可知a <1.作出可行域如图所示，z ＝2x ＋y 在A 点和B 点处分别取得最小值和最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝x ，得A (a ，a )，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝x ，得B (1，1)．∴z max ＝3，z min ＝3a .∴a ＝13.答案 B6．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1所确定的平面区域内的动点，Q 是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP →＋OQ →|的最小值为( )A.55B.23C.22D ．1解析 在直线2x ＋y ＝0上取一点Q ′，使得Q ′O →＝OQ →，则|OP →＋OQ →|＝|OP →＋Q ′O →|＝|Q ′P →|≥|P ′P →|≥|BA →|，其中P ′，B 分别为点P ，A 在直线2x ＋y ＝0上的投影，如图：因为|AB →|＝|0＋1|12＋22＝55，因此|OP →＋OQ →|min ＝55，故选A. 答案 A 二、填空题7．在平面直角坐标系xOy 中，若点P (m ，1)到直线4x －3y －1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y ≥3表示的平面区域内，则m ＝________.解析 由题意得|4m －3－1|5＝4及2m ＋1≥3，解得m ＝6.答案 68．(xx·北京卷)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x －y －1≤0，x ＋y －1≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．解析 如图，作出不等式组表示的平面区域(阴影部分所示)，目标函数z ＝3x ＋y 可化为y ＝－3x ＋z ，作出直线l 0：y ＝－3x 并平移．因为k AB ＝－1>－3，所以当直线过点A 时，z 取最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，y ＝1，解得A (0,1)，所以z 的最小值为z ＝3×0＋1＝1.答案 19．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x －m <0，y ＋m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是________． 解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x －m <0，y ＋m >0表示的平面区域如图中的阴影部分所示：要使平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，必须使点A 位于直线x －2y －2＝0的右下侧，即m －2(－m )－2>0，∴m >23.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 三、解答题10．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x ，y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？解 (1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及右下方的点的集合．x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及左方的点的集合．所以，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，3，y ∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组知⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤y ≤x ＋5，－2≤x ≤3，且x ∈Z .当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点； 当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点； 当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点； 当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点； 当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点； 当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点；所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．11．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥－1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值．(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解 (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围为(－4,2)．培 优 演 练1．(xx·新课标全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( ) A ．－5 B ．3 C ．－5或3D ．5或－3解析 当a ＝0时显然不满足题意．当a >0时，画出可行域(如图(1)所示的阴影部分)，又z ＝x ＋ay ，所以y ＝－1a x ＋1az ，因此当直线y ＝－1a x ＋1az 经过可行域中的A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，a ＋12时，z 取最小值，于是a －12＋a ·a ＋12＝7，解得a ＝3(a ＝－5舍去)； 当a <0时，画出可行域(如图(2)所示的阴影部分)，又z ＝x ＋ay ，所以y ＝－1a x ＋1a z ，显然直线y ＝－1a x ＋1az 的截距没有最大值，即z 没有最小值，不合题意．综上，a 的值为3，故选B.答案 B2．(xx·西宁联考)已知0<a <1，若log a (2x －y ＋1)<log a (3y －x ＋2)，且λ<x ＋y ，则λ的最大值为________．解析 λ<x ＋y ，只需λ<x ＋y 的最小值， ⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，3y －x ＋2>0，3x －4y －1>0，作出可行域如图所示，当(x ，y )无限逼近(－1，－1)时，x ＋y 无限逼近－2，且大于－2.从而λ≤－2，即λ有最大值－2.答案 －23．(xx·湖北黄冈月考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x －1，x ≤3，x ＋5y ≥4，则x 2y的最小值是________． 解析 可行域如图所示，令x 2y ＝k ，所以y ＝x 2k .当k <0时抛物线的开口向下，不合条件．当k >0时，有两种情况：当k 取最小值即抛物线过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.所以x 2y 的最小值是92；当抛物线y ＝x 2k 与直线x －y －1＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫32<x <3相切时，联立方程组消掉y 得到x 2－kx ＋k ＝0，∴Δ＝k 2－4k ＝0，∴k ＝4，此时x 2y 的最小值是4.综上可知x 2y的最小值是4.答案 44．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －3y ≤－4，3x ＋5y ≤30.(1)求目标函数z ＝2x ＋y 的最大值和最小值；(2)若目标函数z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，求a 的值； (3)求z ＝y ＋5x ＋5的取值范围．解 作可行域如图所示．(1)作直线l ：2x ＋y ＝0，并平移此直线，当平移直线过可行域内的A 点时，z 取最小值；当平移直线过可行域内的B 点时，z 取得最大值．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －3y ＝－4，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53. 解⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝－4，3x ＋5y ＝30，得B (5,3)．∴z max ＝2×5＋3＝13，z min ＝2×1＋53＝113.(2)一般情况下，当z 取得最大值时，直线所经过的点都是唯一的，但若直线平行于边界直线，即直线z ＝ax ＋y 平行于直线3x ＋5y ＝30时，线段BC 上的任意一点均使z 取得最大值，此时满足条件的点即最优解有无数个．又k BC ＝－35，∴－a ＝－35.∴a ＝35.(3)z ＝y ＋5x ＋5＝y －－5x －－5，可看作区域内的点(x ，y )与点D (－5，－5)连线的斜率， 由图可知，k BD ≤z ≤k CD . ∵k BD ＝3－－55－－5＝45，k CD ＝275－－51－－5＝2615， ∴z ＝y ＋5x ＋5的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，2615.m30099 7593 疓J33840 8430 萰36965 9065 遥 32500 7EF4 维24910 614E 慎 t 36881 9011 逑32331 7E4B 繋31885 7C8D 粍27866 6CDA 泚。

[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．(2017届沈阳四校联考)下列各点中，与点(1,2)位于直线x ＋y －1＝0的同一侧的是( )A ．(0,0)B ．(－1,1)C ．(－1,3)D ．(2，－3)解析：点(1,2)使x ＋y －1>0，点(－1,3)使x ＋y －1>0，所以此两点位于x ＋y －1＝0的同一侧，故选C.答案：C2．(2017届浙江宁波调研)二元一次不等式组 ⎩⎨⎧(x －y ＋3)(x ＋y )≥0，0≤x ≤4表示的平面区域是( ) A ．矩形 B ．三角形 C ．直角梯形D ．等腰梯形解析：由(x －y ＋3)(x ＋y )≥0，得⎩⎨⎧x －y ＋3≥0，x ＋y ≥0或⎩⎨⎧x －y ＋3≤0，x ＋y ≤0，且0≤x ≤4，表示的区域如图阴影部分所示，故所求平面区域为等腰梯形，故选D.答案：D3．(2018届辽宁五校协作体模拟)若实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧y ≥2|x |－1，y ≤x ＋1，则z＝x ＋y 的最大值为( )A ．－1B ．－12C ．5D ．－5解析：不等式组⎩⎨⎧y ≥2|x |－1，y ≤x ＋1表示的平面区域如图中阴影部分所示．画出直线x ＋y ＝0，平移该直线，当直线过点A (2,3)时，z 取得最大值，z 的最大值为5.故选C.答案：C4．(2017年北京卷)若x ，y 满足⎩⎨⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x ＋2y 的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．9解析：作出约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示(三角形ABC 及其内部)，三个顶点分别为A (1,1)，B (3，－1)，C (3,3)，平移直线x ＋2y ＝0，易知当直线过点C (3,3)时，x ＋2y 取得最大值，即(x ＋2y )max ＝3＋2×3＝9.答案：D5．(2017年浙江卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z 2，∴z 2是直线y ＝－12x ＋z2在y 轴上的截距，根据图形知，当直线y ＝－12x ＋z 2过A 点时，z2取得最小值．由⎩⎨⎧x －2y ＝0，x ＋y －3＝0，得x ＝2，y ＝1，即A (2,1)，此时，z ＝4，∴z ≥4，故选D.答案：D6．设不等式组⎩⎨⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D ，若指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A ．(1,3]B ．[2,3]C ．(1,2]D ．[3，＋∞)解析：作出不等式组表示的平面区域D ，如图中阴影部分所示．由⎩⎨⎧x ＋y －11＝0，3x －y ＋3＝0，得交点A (2,9)． 对y ＝a x 的图象，当0<a <1时，没有点在区域D 上．当a >1，y ＝a x 恰好经过A 点时，由a 2＝9，得a ＝3.要满足题意，需满足a 2≤9，解得1<a ≤3.答案：A7．(2017届山东济宁三模)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y －x ≤3，x ＋y ≤5，y ≥m ，若z ＝x ＋4y的最大值与最小值的差为5，则m 等于( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3解析：画出不等式组表示的区域如图中阴影部分，当动直线z ＝x ＋4y 经过点A ，B 时分别取最小值5m －3和最大值17，所以17－(5m －3)＝20－5m ＝5，解得m ＝3，故选A.答案：A8．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：设旅行社租用A 型客车x 辆，B 型客车y 辆，租金为z 元，则线性约束条件为⎩⎨⎧x ＋y ≤21，y －x ≤7，36x ＋60y ≥900，x ，y ∈N .目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y .画出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点N (5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．答案：C9．(2017届山东滨州二模)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0，则z＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －y 的最小值为______． 解析：作出变量x ，y满足的约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0所对应的可行域如图中阴影部分，设t ＝2x －y ，可先求出t ＝2x －y 的最大值，因为直线t ＝2x －y 经过点C (1,0)时t ＝2x －y 有最大值2，从而z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －y 的最小值为14.答案：1410．(2017届沧州七校联考)不等式组⎩⎨⎧x －2≤0，y ＋2≥0，x －y ＋1≥0表示的区域为D ，z ＝x＋y 是定义在D 上的目标函数，则区域D 的面积为________，z 的最大值为________．解析：区域D 为三个顶点分别为(－3，－2)，(2，－2)，(2,3)的三角形，所以面积为252.因为目标函数的最值在顶点处取得，把它们分别代入z ＝x ＋y ，得x ＝2，y ＝3时有z max ＝5.答案：252 511．(2017届江西七校联考)过平面区域⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，y ＋2≥0，x ＋y ＋2≤0内一点P 作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，记∠APB ＝α，当α最小时，此时点P 坐标为________．解析：由题意知⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，y ＋2≥0，x ＋y ＋2≤0确定的平面区域如图阴影部分所示，当P 离圆O 最远时，α最小，此时点P 坐标为(－4，－2)． 答案：(－4，－2)12．某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A ，B 两种规格金属板，每张面积分别为2 m 2与3 m 2.用A 种规格金属板可造甲种产品3个、乙种产品5个；用B 种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A ，B 两种规格金属板各取多少张才能完成计划，并使总用料面积最省？解：设A ，B 两种金属板各取x 张，y 张，总用料面积为z ，则约束条件为⎩⎨⎧3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，x ，y ∈N ，目标函数z ＝2x ＋3y .作出不等式组的可行域，如图所示．将z ＝2x ＋3y 化成y ＝－23x ＋z 3，得到斜率为－23，在y 轴上截距为z3，且随z 变化的一组平行直线．当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上点M 时，截距最小，z 取得最小值．解方程组⎩⎨⎧5x ＋6y ＝55，3x ＋6y ＝45，得点M 的坐标为(5,5)．此时z min ＝2×5＋3×5＝25.所以两种金属板各取5张时，总用料面积最省．13．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x ＋y －6≤0，x ＋y ≥2，y ≤2，求x 2＋y 2的最小值．解：由不等式组作出可行域，如图，目标函数x 2＋y 2可视为可行域中的点与原点距离的平方，故其最小值应为原点到直线x ＋y ＝2的距离平方，由点到直线的距离公式可知，原点到直线x ＋y ＝2的距离为d ＝22＝2，所以所求最小值为2.14．(2017届荆、荆、襄、宜四地七校联考)某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为2 000元，设备乙每天的租赁费为3 000元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为多少元？解：设租赁甲、乙两种设备各x 天和y 天， 租赁费为z ＝2 000x ＋3 000y ，因为5x ＋6y ≥50,10x ＋20y ≥140，x ，y ∈N ，所以z ＝2 000x ＋3 000y ＝250(5x ＋6y )＋75(10x ＋20y )≥250×50＋75×140＝23 000元．[能 力 提 升]1．(2017届江西师大附中、鹰潭一中高三联考)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，若目标函数z ＝y －ax 取得最大值时的唯一最优解是P (1,3)，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：作出可行域如图中阴影部分．要使得目标函数z ＝y －ax 取得最大值时的唯一最优解是P (1,3)，则只需直线l ：y ＝ax ＋z 的斜率大于直线x －y ＋2＝0的斜率即可，所以a >1.答案：C2．设变量x ，y满足约束条件⎩⎨⎧2x －y －2≤0，x －2y ＋2≥0，x ＋y －1≥0，则S ＝y ＋1x ＋1的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．[1,2]解析：作出可行域为含边界的三角形区域，如图所示，顶点分别是A (1,0)，B (0,1)，C (2,2)．S ＝y ＋1x ＋1表示可行域内的点与定点P (－1，－1)连线的斜率，则S min ＝k P A ＝12，S max ＝k PB ＝2，故选C.答案：C3．(2018届辽宁五校协作体模拟)已知函数f (x )＝e x (－2x 2＋ax ＋b )(a ，b ∈R )在区间(－1,1)上单调递增，则a 2＋8b ＋16的最小值是( )A ．8B ．16C ．4 2D ．8 2解析：函数f (x )＝e x (－2x 2＋ax ＋b )(a ，b ∈R )的导函数f ′(x )＝e x (－2x 2－4x ＋ax ＋a ＋b )，令g (x )＝－2x 2－4x ＋ax ＋a ＋b ，因为函数f (x )＝e x (－2x 2＋ax ＋b )(a ，b ∈R )在区间(－1,1)上单调递增，则g (x )≥0在区间(－1，1)上恒成立，所以⎩⎨⎧ g (1)≥0，g (－1)≥0，即⎩⎨⎧2a ＋b －6≥0，b ＋2≥0，作出其可行域，如图中阴影部分所示，设z ＝a 2＋8b ＋16，则b ＝－18a 2－2＋z 8，由图可知当曲线b ＝－18a 2－2＋z8过点(4，－2)时，z 取得最小值，最小值为16.故选B.答案：B4．(2017届河南部分重点中学第一次联考)若不等式组⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0所表示的平面区域存在点(x 0，y 0)，使x 0＋ay 0＋2≤0成立，则实数a 的取值范围是________．解析：作出不等式组对应的可行域，若a ＝0，则不等式等价于x ≤－2，此时不满足条件；若a >0，直线x ＋ay ＝－2的斜率k ＝－1a <0，若平面区域内存在点(x 0，y 0)使x 0＋ay 0＋2≤0成立，即区域内存在点在直线x ＋ay ＝－2的下方，此时不满足条件；若a<0，直线x＋ay＝－2的斜率k＝－1a>0，若平面区域内存在点(x0，y0)使x0＋ay0＋2≤0成立，即区域内存在点在直线x＋ay＝－2的上方，所以直线x＋ay＝－2的斜率k＝－1a≤k AB＝1，解得a≤－1.答案：(－∞，－1]。