最新-2018年高考数学一轮复习 4-4课时作业 精品

力的测量 教学目标： 1、知道力的单位是牛顿 2、会正确使用弹簧称，培养学生的实验操作能力。

重点：力的单位，力的测量 难点：会用弹簧称测力 教具：演示弹簧称，钩码 教学过程： （一）、引入新课： 一．复习：1什么是力？力产生的效果有哪些？2在弹簧下挂一物体，物体对弹簧有拉力，施力物体和受力物体各是什么？说明这个力产生什么效果。

二．引入：同学们看图，回答这两个图说明了什么？ 说明了力有大有小，我们这就要对力的大小进行测量。

（二）、新课教学： 一．力的单位 1．力的单位是：牛顿（简称：牛）用符号：N表示。

2．多大的力是1N？你拿起2个鸡蛋的力大约是1N，拿起一块砖用的力大约是20N，运动员举起杠铃时需要用1000至3000N。

二．力的测量 1．测量工具：测量力的工具叫测力计，常用的测力计是弹簧称。

2．弹簧称的原理 演示并讲解：我们知道，弹簧受到拉力就要伸长，拉力越大，弹簧伸长得越长。

弹簧称就是根据这个原理制成的。

3．观察弹簧称 （1）弹簧称上的刻度值是用什么作单位的？ （学生观察并回答：弹簧称上刻度数值是用牛顿作单位的。

） （2）弹簧称上最大刻度是多少？ （学生回答：最大刻度是5N） 说明：弹簧称上的这个最大刻度就是量程，弹簧称受到的拉力不能它的量程，否则弹簧称会损坏。

（3）弹簧称的最小刻度值是多少？ （学生回答：0.2N） 说明：不同弹簧称的的最小刻度不一定相同，应据刻度值和格去算 （4）零刻度的调整 4．学生实验 （1）用手拉弹簧称的钩，大家自感受1N和5N的力有多大。

（2）每人一个钩码，用弹簧称拉着它在空中静止不动，测量向下拉力 （3）使钩码匀速上升，拉力多大 （4）用一根头发拴在弹簧称钩上，测量将头发拉断时的拉力多大。

三．总结 1．力测量工具，常用的工具， 2．使用弹簧称时应注意什么。

四．练习 1、有一个物体，在地球上用天平称得是1Kg，把它挂在弹簧测力计上称应是 N。

课时分层作业四函数及其表示一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列所给图象是函数图象的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.①中当x>0时,每一个x的值对应两个不同的y值,因此不是函数图象,②中当x=x0时,y的值有两个,因此不是函数图象,③④中每一个x的值对应唯一的y值,因此是函数图象.2.(2018·滨州模拟)函数y=的定义域为( )A.(1,+∞)B.[1,+∞)C.(1,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪[3,+∞)【解析】选C.由ln(x-1)≠0,得x-1>0且x-1≠1.由此解得x>1且x≠2,即函数y=的定义域是(1,2)∪(2,+∞).3.给出下列命题:①函数是其定义域到值域的映射;②f(x)=+是一个函数;③函数y=2x(x∈N)的图象是一条直线;④f(x)=lgx2与g(x)=2lgx是同一函数.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选A.由函数的定义知①正确.因为满足f(x)=+的x不存在,所以②不正确.又因为y=2x(x∈N)的图象是位于直线y=2x上的一群孤立的点,所以③不正确.又因为f(x)与g(x)的定义域不同,所以④也不正确.4.(2018·某某模拟)已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于( )A.-3B.-1C.1D.3【解析】选A.当a>0时,由f(a)+f(1)=0得2a+2=0,可见不存在实数a满足条件,当a<0时,由f(a)+f(1)=0得a+1+2=0,解得a=-3,满足条件.【一题多解】本题还可以采用如下解法:方法一:选A.由指数函数的性质可知:2x>0,又因为f(1)=2,所以a<0,所以f(a)=a+1,即a+1+2=0,解得:a=-3. 方法二:选A.验证法,把a=-3代入f(a)=a+1=-2,又因为f(1)=2,所以f(a)+f(1)=0,满足条件,从而选A.【变式备选】已知函数f(x)=且f(0)=2,f(-1)=3,则f(f(-3))= ( )A.-2B.2C.3D.-3【解析】选B.f(0)=a0+b=1+b=2,解得b=1;f(-1)=a-1+b=a-1+1=3,解得a=.故f(-3)=+1=9,f(f(-3))=f(9)=log39=2.【方法技巧】求函数值的四种常考类型及解法(1)f(g(x))型:遵循先内后外的原则.(2)分段函数型:根据自变量值所在区间对应求值,不确定时要分类讨论.(3)已知函数性质型:对具有奇偶性、周期性、对称性的函数求值,要用好其函数性质,将待求值调节到已知区间上求解.(4)抽象函数型:对于抽象函数求函数值,要用好抽象的函数关系,适当赋值,从而求得待求函数值.5.已知函数f(x)满足f(x)+2f(3-x)=x2,则f(x)的解析式为 ( )A.f(x)=x2-12x+18B.f(x)=x2-4x+6C.f(x)=6x+9D.f(x)=2x+3【解析】选B.由f(x)+2f(3-x)=x2可得f(3-x)+2f(x)=(3-x)2,由以上两式解得f(x)=x2-4x+6.6.现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体,下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时间t变化的函数关系的是( )【解析】选C.从球的形状可知,水的高度开始时增加的速度越来越慢,当超过半球时,增加的速度又越来越快.7.已知[x]表示不超过实数x的最大整数(x∈R),如:[-1.3]=-2,[0.8]=0,[3.4]=3.定义{x}=x-[x],则++…+= ( )A.2017B.C.1008D.2016【解析】选B.=,=,…,=,=0,所以原式=++…+=.【题目溯源】本考题源于教材人教A版必修1P25习题B组T3,“函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数,例如,[-3.5]=-4,[2.1]=2.当x∈(-2.5,3]时,写出函数f(x)的解析式,并作出函数的图象”的变式.【变式备选】设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,有( )A.[-x]=-[x]B.=[x]C.[2x]=2[x]D.[x]+=[2x]【解析】选D.选项A,取x=1.5,则[-x]=[-1.5]=-2,-[x]=-[1.5]=-1,显然[-x]≠-[x].选项B,取x=1.5,则=[2]=2≠[1.5]=1.选项C,取x=1.5,则[2x]=[3]=3,2[x]=2[1.5]=2,显然[2x]≠2[x].二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018·某某模拟)函数y=ln+的定义域为______________.【解析】由⇒⇒0<x≤1.所以该函数的定义域为(0,1].答案:(0,1]9.已知函数f(x)=则f(f(-3))=________,f(x)的最小值是________.【解析】f(f(-3))=f(1)=0,当x≥1时,f(x)≥2-3,当且仅当x=时,等号成立;当x<1时,f(x)≥0,当且仅当x=0时,等号成立,所以f(x)的最小值为2-3.答案:0 2-310.已知函数f(x)的定义域是[-1,1],则f(log2x)的定义域为______________.【解析】因为函数f(x)的定义域是[-1,1],所以-1≤log2x≤1,所以≤x≤2.故f(log2x)的定义域为.答案:1.(5分)下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是( )A.f(x)=|x|B.f(x)=x-|x|C.f(x)=x+1D.f(x)=-x【解析】选C.对于选项A,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x);对于选项B,f(x)=x-|x|=当x≥0时,f(2x)=0=2f(x),当x<0时,f(2x)=4x=2·2x=2f(x),恒有f(2x)=2f(x);对于选项D,f(2x)=-2x=2(-x)=2f(x);对于选项C,f(2x)=2x+1=2f(x)-1.2.(5分)(2018·某某模拟)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,则函数解析式为y=x2+1,值域为{1,3}的同族函数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.由x2+1=1得x=0,由x2+1=3得x=±,所以函数的定义域可以是{0,},{0,-},{0,,-},故值域为{1,3}的同族函数共有3个.3.(5分)若函数f(x)=(a>0且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值X围是__________. 导学号12560407【解析】当x≤2,故-x+6≥4,要使得函数f(x)的值域为[4,+∞),只需f1(x)=3+log a x(x>2)的值域包含于[4,+∞),故a>1,所以f1(x)>3+log a2,所以3+log a2≥4,解得1<a≤2,所以实数a的取值X围是(1,2].答案:(1,2]4.(12分)已知f(x)=x2-1,g(x)=(1)求f(g(2))与g(f(2)).(2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式.【解析】(1)g(2)=1,f(g(2))=f(1)=0;f(2)=3,g(f(2))=g(3)=2.(2)当x>0时,f(g(x))=f(x-1)=(x-1)2-1=x2-2x;当x<0时,f(g(x))=f(2-x)=(2-x)2-1=x2-4x+3.所以f(g(x))=同理可得g(f(x))=5.(13分)某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过4吨时,每吨为1.80元,当用水超过4吨时,超过部分每吨为3.00元.某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x、3x(吨).(1)求y关于x的函数.(2)若甲、乙两用户该月共交水费26.40元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.【解析】(1)当甲的用水量不超过4吨时,即5x≤4,乙的用水量也不超过4吨,y=(5x+3x)×1.8=14.4x;当甲的用水量超过4吨,乙的用水量不超过4吨,即3x≤4且5x>4时,y=4×1.8+3(5x-4)+3x×1.8=20.4x-4.8;当乙的用水量超过4吨时,即3x>4,y=24x-9.6,所以y=.(2)由于y=f(x)在各段区间上均为单调递增,当x∈时,y≤f<26.4;当x∈时,y≤f<26.4;当x∈时,令24x-9.6=26.4,解得x=1.5.所以甲户用水量为5x=7.5吨,付费S1=4×1.80+3.5×3.00=17.70(元); 乙户用水量为3x=4.5吨,付费S2=4×1.80+0.5×3.00=8.70(元).。

课时作业(四) [第4讲 函数及其表示][时间：35分钟 分值：80分]基础热身1．下列各组函数中表示相同函数的是( ) A ．y ＝5x 5与y ＝x 2B ．y ＝lne x 与y ＝e ln xC ．y ＝x －x ＋x －1与y ＝x ＋3D ．y ＝x 0与y ＝1x2．[2018·江西卷] 若f (x )＝1log 12x ＋，则f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞) 3．下列函数中值域为(0，＋∞)的是( )A ．y ＝512－xB ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xC ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1 D ．y ＝1－2x 4．[2018·辽宁北镇高中月考] 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－x，11＋x 2x ，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( )A.12B.413 C ．－95 D.2541 能力提升5．函数f (x )＝33x ＋5ax 2＋4ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 6．已知f (x )＝x 21＋x 2，那么f (1)＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝( ) A ．3 B.72 C ．4 D.927．[2018·辽宁卷] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x， x ≤1，1－log 2x ， x ＞1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞) D．[0，＋∞)8．[2018·郑州一中模拟] 定义在实数集上的函数f (x )，如果存在函数g (x )＝Ax ＋B (A ，B 为常数)，使得f (x )≥g (x )对于一切实数x 都成立，那么称g (x )为函数f (x )的一个承托函数．给出如下命题：①对给定的函数f (x )，其承托函数可能不存在，也可能有无数个； ②定义域和值域都是R 的函数f (x )不存在承托函数；③g (x )＝2x 为函数f (x )＝e x的一个承托函数；④g (x )＝12x 为函数f (x )＝x 2的一个承托函数．其中，正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．39．已知函数f (x ＋3)的定义域是[－4,5]，则f (2x －3)的定义域是________．10．已知函数f (x )＝x 2，g (x )为一次函数，且一次项系数大于零，若f [g (x )]＝4x 2－20x ＋25，则函数g (x )＝________.11．[2018·荆州中学质检] 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3x ＋x ，3x －6－x ，满足f (n )＝－89，则f (n ＋4)＝________.12．(13分)已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的值域．难点突破13．(12分)解答下列问题：(1)若f (x ＋1)＝2x 2＋1，求f (x )；(2)若2f (x )－f (－x )＝x ＋1，求f (x )； (3)若函数f (x )＝xax ＋b，f (2)＝1，且方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )．课时作业(四)【基础热身】1．D [解析] 对于A ，两函数的对应法则不同； 对于B ，两函数的定义域不同； 对于C ，两函数的定义域不同；对于D ，两函数的定义域都为{x |x ∈R ，x ≠0}，对应法则都可化为y ＝1(x ≠0)．2．A 【解析】 根据题意得log 12(2x ＋1)>0，即0<2x ＋1<1，解得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.故选A.3．B [解析] 对于A ：y >0且y ≠1；对于B ：y >0； 对于C ：y ≥0； 对于D ：0≤y ≤1.4．B [解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－2＝－32， ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝413.故选B.【能力提升】 5．D [解析] ax 2＋4ax ＋3≠0恒成立，则①a ＝0时适合；②a ≠0时，须Δ＜0，即Δ＝(4a )2－4 ×a ×3<0，解得0＜a ＜34，故0≤a <34.6．B [解析] 由f (x )＝x 21＋x 2可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝11＋x 2，所以f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1，又∵f (1)＝12， f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1， f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1， ∴f (1)＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝72.7．D 【解析】 当x ≤1时，f (x )≤2化为21－x≤2，解得0≤x ≤1；当x >1时，f (x )＝1－log 2x <1<2恒成立，故x 的取值范围是[0，＋∞)，故选D. 8．C [解析] ①正确，②错误；③正确；④错误． 9.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，112 [解析] ∵－4≤x ≤5，∴－1≤x ＋3≤8，∴f (x )的定义域为[－1,8]．又由－1≤2x －3≤8得1≤x ≤112，∴f (2x －3)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，112.10．2x －5 [解析] 由g (x )为一次函数，设g (x )＝ax ＋b (a >0)．因为f [g (x )]＝4x 2－20x ＋25，所以(ax ＋b )2＝4x 2－20x ＋25，即a 2x 2＋2abx ＋b 2＝4x 2－20x ＋25，解得a ＝2，b ＝－5， 故g (x )＝2x －5.11．－2 [解析] 由于x >6时函数的值域为(－∞，－log 37)，－89不在(－∞，－log 37)内，所以n ≤6，由3n －6－1＝－89，解得n ＝4，所以f (n ＋4)＝f (8)＝－2.12．[解答] ∵f (x )＝2＋log 3x ，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(2＋log 3x )2＋(2＋log 3x 2)＝log 23x ＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3， ∵函数f (x )的定义域为[1,9]，∴要使函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤9，1≤x ≤9， ∴1≤x ≤3，∴0≤log 3x ≤1. 令u ＝log 3x ，则0≤u ≤1，又函数y ＝(u ＋3)2－3，在[－3，＋∞]上是增函数，∴当u ＝1时，函数y ＝(u ＋3)2－3有最大值13. 当u ＝0时，函数有最小值6， ∴函数值域为[6,13]． 【难点突破】13．[解答] (1)令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，所以f (t )＝2(t －1)2＋1＝2t 2－4t ＋3.所以f (x )＝2x 2－4x ＋3.(2)因为2f (x )－f (－x )＝x ＋1， 用－x 去替换等式中的x ， 得2f (－x )－f (x )＝－x ＋1，即有⎩⎪⎨⎪⎧2f x －f －x ＝x ＋1，2f －x －f x ＝－x ＋1，解方程组消去f (－x )，得f (x )＝x3＋1.(3)由f (2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2.由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ＋b －1＝0，解此方程得：x ＝0或x ＝1－b a .又因为方程有唯一解，所以1－ba＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，所以所求解析式为f (x )＝2x x ＋2.。

课时分层训练(六十七) 坐标系1．在极坐标系中，求点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离．点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，3分直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1化为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ＝1，得32y －12x ＝1， 即直线的方程为x －3y ＋2＝0，6分故点(3，1)到直线x －3y ＋2＝0的距离d ＝|3－3×1＋2|12＋ －32＝1.10分 2．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22. 【导学号：31222438】(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，2分 圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0，4分直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.6分(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，8分故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.10分3．(2017·邯郸调研)在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，圆C 的圆心的极坐标是C ⎝⎛⎭⎪⎫1，π4，圆的半径为1. 【导学号：31222439】(1)求圆C 的极坐标方程； (2)求直线l 被圆C 所截得的弦长．(1)设O 为极点，OD 为圆C 的直径，A (ρ，θ)为圆C 上的一个动点，则∠AOD ＝π4－θ或∠AOD ＝θ－π4，2分OA ＝OD cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ或OA ＝OD cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4， ∴圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4.4分(2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，得22ρ(sin θ＋cos θ)＝1，6分∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0， 又圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，22，满足直线l 的方程， ∴直线l 过圆C 的圆心，8分故直线被圆所截得的弦长为直径2.10分4．(2017·南京调研)在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，半径r ＝3.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若点Q 在圆C 上运动，点P 在OQ 的延长线上，且OQ →＝2QP →，求动点P 的轨迹方程． (1)设M (ρ，θ)是圆C 上任意一点． 在△OCM 中，∠COM ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π3，由余弦定理得 |CM |2＝|OM |2＋|OC |2－2|OM |·|OC |cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，化简得ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3.4分(2)设点Q (ρ1，θ1)，P (ρ，θ)， 由OQ →＝2QP →，得OQ →＝23OP →，∴ρ1＝23ρ，θ1＝θ，8分代入圆C 的方程，得23ρ＝6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3， 即ρ＝9cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3.10分5．(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0，2分联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎪⎫32，32.4分 (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α).8分 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.10分6．从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM ·OP ＝12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，求|RP |的最小值．(1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，M 的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.2分 ∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ，即为所求的轨迹方程.4分 (2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程， 得x 2＋y 2＝3x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322.8分 知点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0为圆心，半径为32的圆．直线l 的直角坐标方程是x ＝4. 结合图形易得|RP |的最小值为1.10分。

天天练40 选修4系列一、选择题1．不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是( ) A ．[－5,7] B ．[－4,6]C ．(－∞，－5]∪[7，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[6，＋∞)2．若直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t ，y ＝a －t (t 为参数)被圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)所截得的弦长为22，则a 的值为( )A ．1或5B ．－1或5C ．1或－5D ．－1或－5 二、填空题 3．(2016·北京卷，11)在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.4．若关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋2a |≤1在R 上的解集为∅，则a 的取值范围为________．三、解答题 5．(2016·江苏卷，21)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．6．(2016·课标全国Ⅲ，23)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程； (2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．7．(2016·课标全国Ⅱ，23)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．8．(2017·江西赣州一模，24)设a 、b 为正实数，且1a ＋1b ＝2 2. (1)求a 2＋b 2的最小值；(2)若(a －b )2≥4(ab )3，求ab 的值．9．(2016·课标全国Ⅲ，24)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．10．(2016·课标全国Ⅱ，24)已知函数f (x )＝x －12＋x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集．(1)求M ；(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.1．D 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－3，5－x －x －3≥10或⎩⎪⎨⎪⎧－3<x <5，5－x ＋x ＋3≥10或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥5，x －5＋x ＋3≥10，从而原不等式的解集为{x |x ≥6或x ≤－4}． 2．A 直线的方程为x ＋y －(a ＋1)＝0，圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4，即r ＝2，半弦长为2，∴圆心(2,2)到直线的距离为d ＝|2＋2－a －1|2＝2，即|3－a |＝2，则a ＝5或a ＝1. 3．2解析：直线与圆的直角坐标方程分别为x －3y －1＝0和x 2＋y 2＝2x ，则该圆的圆心坐标为(1,0)，半径r ＝1，圆心(1,0)到直线的距离d ＝|1－3×0－1|1＋3＝0，所以AB 为该圆的直径，所以|AB |＝2.4．(－∞，－1)∪(0，＋∞)解析：根据绝对值的意义可得|x －1|＋|x ＋2a |的最小值为|1＋2a |，结合所给的条件可得|1＋2a |>1，由此求得实数a 的取值范围为(－∞，－1)∪(0，＋∞)．5．解：椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1.将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y24＝1，得⎝⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0， 解得t 1＝0，t 2＝－167.所以AB ＝|t 1－t 2|＝167.6．解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2，当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.7．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )． 设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.8．解：(1)由22＝1a ＋1b ≥21ab得ab ≥12，当a ＝b ＝22时取等号．故a 2＋b 2≥2ab ≥1，当a ＝b ＝22时取等号． 所以a 2＋b 2的最小值是1.(2)由(a －b )2≥4(ab )3得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1b 2≥4ab .即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b 2－4ab ≥4ab ，从而ab ＋1ab ≤2. 又ab ＋1ab ≥2，所以ab ＋1ab ＝2， 又a ，b 为正实数，所以ab ＝1. 9．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解． 当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞)．10．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1；当－12<x <12时，f (x )<2；当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1. 所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)<0.因此|a ＋b |<|1＋ab |.2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．02．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣86．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，207．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x ＜﹣1}9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=1010．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为•15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE 的面积最大．2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（下）第一次模拟数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】并集及其运算．【分析】根据M及M与N的并集，求出x的值，确定出N即可．【解答】解：∵集合M={0，1，2}，N={x}，且M∪N={0，1，2，3}，∴x=3，故选：A．2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球B．圆柱C．圆台D．圆锥【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体为圆锥．【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆锥．故选D．3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意，要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，利用区间长度的比求．【解答】解：要使此数大于3，只要在区间（3，5]上取即可，由几何概型的个数得到此数大于3的概率为为；故选B．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的答案．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入x=1，y=1﹣1+3=3，输出y的值为3．故选：B．5．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣8【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量平行的坐标公式建立方程进行求解即可．【解答】解：∵∥，∴4﹣2x=0，得x=2，故选：B6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（）A．15，5，25 B．15，15，15 C．10，5，30 D．15，10，20【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系即可等到结论．【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数分别为600，400，800．∴从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别，高二：，高三：45﹣15﹣10=20．故选：D7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直D．异面且垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，即可得出结论．【解答】解：∵正方体的对面平行，∴直线BD与A1C1异面，连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，∴直线BD与A1C1垂直，∴直线BD与A1C1异面且垂直，故选：D．8．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1}D．{x|x＞2或x ＜﹣1}【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据一元二次不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集．【解答】解：不等式（x+1）（x﹣2）≤0对应方程的两个实数根为﹣1和2，所以该不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．故选：A．9．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是（）A．（x+2）2+（y+1）2=5 B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=10 C．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 D．（x+2）2+（y+1）2=10【考点】圆的标准方程．【分析】求出圆心坐标和半径，因为圆的直径为线段PQ，所以圆心为P，Q的中点，应用中点坐标公式求出，半径为线段PQ长度的一半，求出线段PQ的长度，除2即可得到半径，再代入圆的标准方程即可．【解答】解：∵圆的直径为线段PQ，∴圆心坐标为（2，1）半径r===∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：C．10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A．km B．km C．1.5km D．2km【考点】解三角形的实际应用．【分析】直接利用与余弦定理求出AB的数值．【解答】解：根据余弦定理AB2=a2+b2﹣2abcosC，∴AB===（km）．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．计算：log21+log24=2．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：log21+log24=0+log222=2．故答案为：2．12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=±3．【考点】等比数列．【分析】由等比数列的性质得x2=9，由此能求出实数x．【解答】解：∵1，x，9成等比数列，∴x2=9，解得x=±3．故答案为：±3．13．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是5．【考点】简单线性规划．【分析】利用目标函数的几何意义求最大值即可．【解答】解：由已知，目标函数变形为y=﹣x+z，当此直线经过图中点（3，2）时，在y轴的截距最大，使得z最大，所以z的最大值为3+2=5；故答案为：5．14．已知a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，则a的值为4•【考点】函数的零点．【分析】根据函数零点的定义，得f（a）=0，从而求出a的值．【解答】解：a是函数f（x）=2﹣log2x的零点，∴f（a）=2﹣log2a=0，∴log2a=2，解得a=4．故答案为：4．15．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为45°．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由题意，AE⊥平面EFBC，∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，即可得出结论．【解答】解：由题意，AE⊥平面EFBC，∴∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角，∵AE=EF，∴∠AFE=45°．故答案为45°．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）由，＜θ＜π结合同角平方关系可求cosθ，利用同角基本关系可求（2）结合（1）可知tanθ的值，故考虑把所求的式子化为含“切”的形式，从而在所求的式子的分子、分母同时除以cos2θ，然后把已知tanθ的值代入可求．【解答】解：（1）∵sin2θ+cos2θ=1，∴cos2θ=．又＜θ＜π，∴cosθ=∴．（2）=．17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清．（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中各小长方形的面积之和等于1，求出a的值，频率分布直方图中最高的小长方体的底面边长的中点即是众数；（2）求出本公司职员平均费用不少于8元的频率就能求出公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元．【解答】解：（1）据题意得：（0.05+0.10+a+0.10+0.05+0.05）×2=1，解得a=0.15，众数为：；（2）该公司职员早餐日平均费用不少于8元的有：×2=200，18．已知等比数列{a n}的公比q=2，且a2，a3+1，a4成等差数列．（1）求a1及a n；（2）设b n=a n+n，求数列{b n}的前5项和S5．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）运用等比数列的通项公式和等差数列的中项的性质，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=2n﹣1+n，再由数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）由已知得a2=2a1，a3+1=4a1+1，a4=8a1，又a2，a3+1，a4成等差数列，可得：2（a3+1）=a2+a4，所以2（4a1+1）=2a1+8a1，解得a1=1，故a n=a1q n﹣1=2n﹣1；（2）因为b n=2n﹣1+n，所以S5=b1+b2+b3+b4+b5=（1+2+...+16）+（1+2+ (5)=+=31+15=46．19．已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．【考点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解即可．（2）利用二次函数的对称轴以及开口方向，通过二次函数的性质求解函数的最值即可．【解答】解：（1）∵；（2）∵f（x）=x2﹣2x+6=（x﹣1）2+5，x∈[﹣2，2]，开口向上，对称轴为：x=1，∴x=1时，f（x）的最小值为5，x=﹣2时，f（x）的最大值为14．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：为定值；（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE 的面积最大．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）把圆C的方程化为标准方程，写出圆心和半径；（2）设出直线l的方程，与圆C的方程组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系求出的值；（3）解法一：设出直线m的方程，由圆心C到直线m的距离，写出△CDE的面积，利用基本不等式求出最大值，从而求出对应直线方程；解法二：利用几何法得出CD⊥CE时△CDE的面积最大，再利用点到直线的距离求出对应直线m的方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4，则圆心C的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2；（2）设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0，则有：；所以为定值；（3）解法一：设直线m的方程为y=kx+b，则圆心C到直线m的距离，所以，≤，当且仅当，即时，△CDE的面积最大，从而，解之得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．解法二：由（1）知|CD|=|CE|=R=2，所以≤2，当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时；设直线m的方程为y=x+b，则圆心C到直线m的距离，由，得，由，得b=3或b=﹣1，故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0．2017年5月5日。

课时作业(十八)一、选择题1．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )A.13n ＋2B.13n ＋13n ＋1C.13n ＋1＋13n ＋2D.13n ＋13n ＋1＋13n ＋2答案 D2．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，则a 、b 、c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c答案 A解析 ∵等式对一切n ∈N *均成立， ∴n ＝1,2,3时等式成立，即⎩⎪⎨⎪⎧1＝a －b ＋c ，1＋2×3＝32a －b ＋c ，1＋2×3＋3×32＝33a －b ＋c ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧3a －3b ＋c ＝1，18a －9b ＋c ＝7，81a －27b ＋c ＝34，解得a ＝12，b ＝c ＝14.3．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )A.1n －n ＋ B.12nn ＋C.1n －n ＋D.1n ＋n ＋答案 C解析 由a 1＝13，S n ＝n (2n －1)a n ，得S 2＝2(2×2－1)a n ，即a 1＋a 2＝6a 2， ∴a 2＝115＝13×5，S 3＝3(2×3－1)a 3，即13＋115＋a 3＝15a 3. ∴a 3＝135＝15×7，a 4＝17×9.故选C.二、填空题4．n 为正奇数时，求证：x n ＋y n被x ＋y 整除，当第二步假设n ＝2k －1命题为真时，进而需证n ＝________，命题为真．答案 2k ＋1 三、解答题5．用数学归纳法证明：当n 是不小于5的自然数时，总有2n >n 2成立． 解析 ①当n ＝5时，25>52，结论成立；②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥5)时，结论成立，即2k >k 2. 那么当n ＝k ＋1时，左边＝2k ＋1＝2·2k >2·k 2＝(k ＋1)2＋(k 2－2k －1)＝(k ＋1)2＋(k －1－2)(k －1＋2)>(k ＋1)2＝右边．也就是说，当n ＝k ＋1时，结论也成立．∴由①②可知，不等式2n >n 2对满足n ∈N *，n ≥5时的n 恒成立．6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有：(S n －1)2＝a n S n . (1)求S 1，S 2，S 3；(2)猜想S n 的表达式并证明． 解析 (1)由(S 1－1)2＝S 21得：S 1＝12；由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2得：S 2＝23；由(S 3－1)2＝(S 3－S 2)S 3得：S 3＝34.(2)猜想：S n ＝nn ＋1.证明：①当n ＝1时，显然成立； ②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，S k ＝kk ＋1成立．则当n ＝k ＋1时，由(S k ＋1－1)2＝a k ＋1S k ＋1得：S k ＋1＝12－S k ＝12－kk ＋1＝k ＋1k ＋2， 从而n ＝k ＋1时，猜想也成立． 综合①②得结论成立．7．在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论； (2)证明：1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n <512. 解析 (1)由条件得 2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1.由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25. 猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2. 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立． ②假设当n ＝k 时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2.那么当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)， b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2.所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②，可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立． (2)1a 1＋b 1＝16<512. n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)>2(n ＋1)·n .故1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n<16＋12(12×3＋13×4＋…＋1nn ＋)＝16＋12(12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1) ＝16＋12(12－1n ＋1)<16＋14＝512. 8．已知数列{a n }的各项都是正数，且满足：a 0＝1，a n ＋1＝12a n ·(4－a n )，(n ∈N)．证明：a n <a n ＋1<2，(n ∈N)．证明 解法一 用数学归纳法证明： (1)当n ＝0时，a 0＝1，a 1＝12a 0(4－a 0)＝32，所以a 0<a 1<2，命题正确．(2)假设n ＝k 时命题成立，即a k －1<a k <2. 则当n ＝k ＋1时，a k －a k ＋1＝12a k －1(4－a k －1)－12a k (4－a k ) ＝2(a k －1－a k )－12(a k －1－a k )(a k －1＋a k )＝12(a k －1－a k )(4－a k －1－a k )． 而a k －1－a k <0,4－a k －1－a k >0，所以a k －a k ＋1<0. 又a k ＋1＝12a k (4－a k )＝12[4－(a k －2)2]<2.所以n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)可知，对一切n ∈N 时有a n <a n ＋1<2. 解法二 用数学归纳法证明：(1)当n ＝0时，a 0＝1，a 1＝12a 0(4－a 0)＝32，所以0<a 0<a 1<2；(2)假设n ＝k 时有a k －1<a k <2成立，令f (x )＝12x (4－x )，f (x )在[0,2]上单调递增，所以由假设有：f (a k －1)<f (a k )<f (2)， 即12a k －1(4－a k －1)<12a k (4－a k )<12×2×(4－2)， 也即当n ＝k ＋1时，a k <a k ＋1<2成立． 所以对一切n ∈N ，有a k <a k ＋1<2.9．(09·安徽)首项为正数的数列{a n }满足a n ＋1＝14(a 2n ＋3)，n ∈N *.(Ⅰ)证明：若a 1为奇数，则对一切n ≥2，a n 都是奇数； (Ⅱ)若对一切n ∈N *都有a n ＋1>a n ，求a 1的取值范围．解析 (Ⅰ)已知a 1是奇数，假设a k ＝2m －1是奇数，其中m 为正整数， 则由递推关系得a k ＋1＝a 2k ＋34＝m (m －1)＋1是奇数．根据数学归纳法可知，对任何n ∈N *，a n 是奇数．(Ⅱ)解法一 由a n ＋1－a n ＝14(a n －1)(a n －3)知，当且仅当a n <1或a n >3时，a n ＋1>a n .另一方面，若0<a k <1，则0<a k ＋1<1＋34＝1；若a k >3，则a k ＋1>32＋34＝3.根据数学归纳法可知∀n ∈N *,0<a 1<1⇔0<a n <1；∀n ∈N *，a 1>3⇔a n >3. 综上所述，对一切n ∈N *都有a n ＋1>a n 的充要条件是0<a 1<1或a 1>3.解法二 由a 2＝a 21＋34>a 1，得a 21－4a 1＋3>0，于是0<a 1<1或a 1>3. a n ＋1－a n ＝a 2n ＋34－a 2n －1＋34＝a n ＋a n －1a n －a n －14，因为a 1>0，a n ＋1＝a 2n ＋34，所以所有的a n 均大于0，因此a n ＋1－a n 与a n －a n －1同号．根据数学归纳法可知，∀n ∈N *，a n ＋1－a n 与a 2－a 1同号． 因此，对于一切n ∈N *都有a n ＋1>a n 的充要条件是0<a 1<1或a 1>3.10．(2011·济南统考)已知等差数列{a n }的公差d 大于0，且a 2，a 5是方程x 2－12x ＋27＝0，的两根，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＝1－12b n .(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项的和为S n ，试比较1b n与S n ＋1的大小，并说明理由．思路分析 (1)求得a 2、a 5的值即可得a n 的表达式，再利用T n －T n －1＝b n 求出{b n }的通项公式；(2)首先求出S n ＋1与1b n的表达式，先进行猜想，再进行证明．解析 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝12，a 2a 5＝27.又∵{a n }的公差大于0，∴a 5>a 2. ∴a 2＝3，a 5＝9. ∴d ＝a 5－a 23＝9－33＝2，a 1＝1.∵T n ＝1－12b n ，b 1＝23，当n ≥2时，T n －1＝1－12b n －1，∴b n ＝T n －T n －1＝1－12b n －(1－12b n －1)，化简，得b n ＝13b n －1，∴{b n }是首项为23，公比为13的等比数列，即b n ＝23·(13)n －1＝23n .∴a n ＝2n －1，b n ＝23n .(2)∵S n ＝1＋n －2n ＝n 2，∴S n ＋1＝(n ＋1)2，1b n ＝3n2，以下比较1b n与S n ＋1的大小：当n ＝1时，1b 1＝32，S 2＝4，∴1b 1<S 2.当n ＝2时，1b 2＝92，S 3＝9，∴1b 2<S 3.当n ＝3时，1b 3＝272，S 4＝16，则1b 3<S 4.当n ＝4时，1b 4＝812，S 5＝25，得1b 4>S 5.猜想：n ≥4时，1b n>S n ＋1.下面用数学归纳法证明： ①当n ＝4时，已证．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥4)时，1b k>S k ＋1，即3k2>(k ＋1)2， 那么，n ＝k ＋1时， 1b k ＋1＝3k ＋12＝3·3k2>3(k ＋1)2＝3k 2＋6k ＋3＝(k 2＋4k ＋4)＋2k 2＋2k －1>[(k ＋1)＋1]2＝S (k ＋1)＋1， ∴n ＝k ＋1时，1b n>S n ＋1也成立．由①②可知n ∈N *，n ≥4时，1b n>S n ＋1成立．综上所述，当n ＝1,2,3时，1b n<S n ＋1，当n ≥4时，1b n>S n ＋1.。

．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(\\(＝＋θ，＝θ))(θ为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为ρ＝.()将曲线的参数方程化为极坐标方程；()求直线与曲线的交点的极坐标(ρ≥≤θ<π)．解()将曲线：(\\(＝＋θ，＝θ))(θ为参数)消去参数θ后，化为普通方程为(－)＋＝，即为＋－＝.将(\\(＝ρθ，＝ρθ))代入＋－＝，得ρ＝ρθ，化简得ρ＝θ.()直线的极坐标方程化为ρθ－ρθ＝，则它的直角坐标方程为－－＝，又曲线的普通方程为＋－＝.联立解得(\\(＝，＝－()))或(\\(＝，＝()，))则交点的极坐标为，.．在平面直角坐标系中，已知圆的参数方程为(\\(＝＋α，＝＋α))(α为参数)．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为ρ＝(∈)．()求直线的直角坐标方程与圆的普通方程；()若圆上到直线的距离为的点有个，求的值．解()由(\\(＝＋α，＝＋α))(α为参数)，得(－)＋(－)＝，而ρ＝⇔ρθ＋ρθ＝，即＋＝.所以直线的直角坐标方程为＋＝，圆的普通方程为(－)＋(－)＝.()由于圆的半径为，根据题意，若圆上到直线的距离为的点有个，则圆心()到直线的距离为，可得＝，解得＝＋或＝－.．以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线的参数方程为(\\(＝＋α，＝＋α))(为参数，<α<π)，曲线的极坐标方程为ρθ＝θ.()求曲线的直角坐标方程；()设点的直角坐标为()，直线与曲线相交于，两点，并且·＝，求α的值．解()将方程ρθ＝θ两边同乘以ρ，得ρθ＝ρθ，由＝ρθ，＝ρθ，得＝.经检验，极点的直角坐标()也满足此式．所以曲线的直角坐标方程为＝.()将(\\(＝＋α，＝＋α))代入＝，得α·＋(α－α)－＝，因为()在直线上，所以＝＝，所以α＝，α＝或α＝，即α＝或α＝－.．在直角坐标系中，圆的参数方程(\\(＝＋φ，＝φ))(φ为参数)．以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．()求圆的极坐标方程；()直线的极坐标方程是ρ(θ＋θ)＝，射线：θ＝与圆的交点为，，与直线的交点为，求线段的长．解()圆的普通方程是(－)＋＝，又＝ρθ，＝ρθ，所以圆的极坐标方程是ρ＝θ.()解法一：设(ρ，θ)为点的极坐标，则有(\\(ρ＝θ，,θ＝(π)，))解得(\\(ρ＝，,θ＝(π).))设(ρ，θ)为点的极坐标，则有错误!解得错误!由于θ＝θ，所以＝ρ－ρ＝，所以线段的长为.解法二：直线的直角坐标方程为＋－＝，①射线的方程为＝(≥)，②⊙的普通方程为(－)＋＝，③联立①②解得，联立②③解得，∴＝＝.．已知直线：(\\(＝＋()，＝(())))(为参数)，曲线：(\\(＝θ，＝θ))(θ为参数)．()设与相交于，两点，求；()若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值．解()的普通方程为＝(－)，的普通方程为＋＝.联立方程(\\(＝()－，＋＝，))解得与的交点为()，，则＝.()的参数方程为(\\(＝()θ，＝(())θ))(θ为参数)，故点的坐标是，从而点到直线的距离是＝。

2018届高考（文科）数学一轮复习课时作业4函数及其表示一、选择题1．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ＝x －2B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x100解析：∵y ＝x －1与y ＝x －2＝|x －1|的对应法则不同，故不是同一函数；y ＝x －1(x ≥1)与y ＝x －1x －1(x >1)的定义域不同，∴它们不是同一函数；又y ＝4lg x (x >0)与y ＝2lg x 2(x ≠0)的定义域不同，因此它们也不是同一函数，而y ＝lg x －2(x >0)与y ＝lg x100＝lg x－2(x >0)有相同的定义域、值域与对应法则，故它们是同一函数．答案：D2． “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到达终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……，用s 1、s 2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是( )解析：根据故事的描述，B 图与事实较吻合． 答案：B3．（2018年江西高考文3）若121()log (21)f x x =+，则()f x 的定义域为( )A.1(,0)2-B.1(,)2-+∞ C.1(,0)(0,)2-⋃+∞ D.1(,2)2-解析： ()()121log 210,210,211,,00,2x x x x ⎛⎫+≠∴+>+≠∴∈-⋃+∞ ⎪⎝⎭答案：C4．已知 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln 1x，x >01x ，x <0，则 f (x )>－1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，e)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：当x >0时，ln 1x>－1，∴0<x <e.当x <0时，1x>－1，∴x <－1.综上，x ∈(－∞，－1)∪(0，e)． 答案：A5．(2018年大连一中高三第一次考试)已知 f (x )是定义在R 上的函数， f (1)＝10，且对于任意x ∈R 都有 f (x ＋20)≥ f (x )＋20， f (x ＋1)≤ f (x )＋1，若g (x )＝ f (x )＋1－x ，则g (10)＝( )A ．20B ．10C ．1D ．0解析：g (x )＝ f (x )＋1－x 知 f (x )＝g (x )＋x －1，从而有g (x ＋20)＋(x ＋20)－1≥g (x )＋x －1＋20⇒g (x ＋20)≥g (x )．g (x ＋1)＋(x ＋1)－1≤g (x )＋x －1＋1⇒g (x ＋1)≤g (x )．则有g (x )≤g (x ＋20)≤g (x ＋19)≤g (x ＋18)≤…≤g (x ＋1)，得g (x )＝g (x ＋1)，即g (x )是周期为1的函数，g (1)＝ f (1)＋1－1＝10，g (10)＝10，故选B.答案：BA ．(0,1]B ．(0,1)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0]解析：依题意0<4x－2x ＋1＋1≤1，即0<(2x－1)2≤1，∴－1≤2x－1≤1且2x－1≠0.即0≤2x≤2且2x ≠1.∴x ≤1且x ≠0，可排除C 、D ，对于B 当x ∈(0,1)时， f (x )∈(0，＋∞)，故选A.答案：A二、填空题7．已知(x ，y )的映射f 作用下的象是(x ＋y ，xy )． (1)(－2,3)在f 作用下的象为________．(2)若在f 作用下的象是(2，－3)，则它的原象为________． 解析：(1)－2＋3＝1，－2×3＝－6 因此(－2,3)在f 作用下的象为(1，－6)．(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，xy ＝－3.解这个方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－1，y 2＝3.∴(2，－3)在f 作用下的原象是(3，－1)和(－1,3)． 答案：(1)(1，－6) (2)(3，－1)或(－1,3)8．(2018年江苏高考)已知函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥01，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．解析：当x <－1时有1>1，∴无解．当－1≤x <0时，有(1－x 2)2＋1>1，∴x ≠±1， ∴－1<x <0.当0≤x ≤1时，有(1－x 2)2＋1>(2x )2＋1， ∴0≤x <2－1.当x >1时有1>(2x )2＋1， ∴无解．综上：－1<x <2－1. 故填：(－1，2－1)． 答案：(－1，2－1)9．(2018年浙江省金华十校模拟)若 f (x )满足 f (x ＋y )＝ f (x )＋f (y )，则可写出满足条件的一个函数解析式 f (x )＝2x .类比可以得到：若定义在R 上的函数g (x )，满足(1)g (x 1＋x 2)＝g (x 1)·g (x 2)；(2)g (1)＝3；(3)∀x 1<x 2，g (x 1)<g (x 2)，则可以写出满足以上性质的一个函数解析式为________．解析：∵g (x )＝3x满足(1)3x 1＋x 2＝3x 1·3x 2，(2)31＝3，(3)∀x 1<x 2,3x 1<3x 2，∴g (x )＝3x满足以上三个条件．答案：g (x )＝3x三、解答题10．求下列关于x 的函数的定义域和值域： (1)y ＝1－x －x ； (2)y ＝log 2(－x 2＋2x )； (3)解：(1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≥0∴0≤x ≤1，函数的定义域为[0,1]．∵函数y ＝1－x －x 为减函数， ∴函数的值域为[－1,1]．(2)要使函数有意义，则－x 2＋2x >0，∴0<x <2. ∴函数的定义域为(0,2)．又∵当x ∈(0,2)时，－x 2＋2x ∈(0,1]， ∴log 2(－x 2＋2x )∈(－∞，0]． 即函数的值域为(－∞，0]． (3)函数定义域为{0,1,2,3,4,5}， 函数值域为{2,3,4,5,6,7}．11．已知函数 f (x )＝2x －1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x ，－1x，求f [g (x )]和g [f (x )]的解析式．解：当x ≥0时，g (x )＝x 2， f [g (x )]＝2x 2－1， 当x <0时，g (x )＝－1， f [g (x )]＝－2－1＝－3，∴f [g (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－1 ，－3x ，x∵当2x －1≥0，即x ≥12时，g [f (x )]＝(2x －1)2，当2x －1<0，即x <12时，g [f (x )]＝－1，∴g [f (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －12，－1，x ≥12，x <12.12．已知二次函数 f (x )＝ax 2＋bx (a 、b 是常数，且a ≠0)满足条件： f (2)＝0，且方程 f (x )＝x 有两个相等实根．(1)求 f (x )的解析式；(2)是否存在实数m 、n (m <n )，使 f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[2m,2n ]？如存在，求出m 、n 的值；如不存在，说明理由．解：(1)方程 f (x )＝x ，即ax 2＋bx ＝x ， 亦即ax 2＋(b －1)x ＝0，由方程有两个相等实根，得Δ＝(b －1)2－4a ×0＝0， ∴b ＝1.①由f (2)＝0，得4a ＋2b ＝0② 由①、②得，a ＝－12，b ＝1，故 f (x )＝－12x 2＋x .(2)假设存在实数m 、n 满足条件，由(1)知， f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12，则2n ≤12，即n ≤14.∵ f (x )＝－12(x －1)2＋12的对称轴为x ＝1，∴当n ≤14时， f (x )在[m ，n ]上为增函数．于是有⎩⎪⎨⎪⎧f m ＝2m ，f n ＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝0，n ＝－2或n ＝0.又m <n ≤14，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝0..故存在实数m ＝－2，n ＝0，使 f (x )的定义域为[m ，n ]，值域为[2m,2n ]．。

题组层级快练 4.3.2三角恒等变换的应用一、单项选择题1．设sin αcos β＝1，则cos(α＋β)的值为()A ．0B ．1C ．±1D ．－12．若θ∈π4，π2，sin2θ＝378，则sin θ等于()A.35B.45C.74D.343．计算：1－cos 210°cos80°1－cos20°等于()A.22B.12C.32D ．－224．若＝14，则cos ()A ．－78B ．－14 C.14 D.785．设αtan α＝1＋sin βcos β，则()A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π26．(2020·河北邯郸一中模拟)计算tan （π4＋α）·cos2α2cos 2（π4－α）的值为()A ．－2B ．2C ．－1D ．17．若cos2αsin （α＋π4）＝12，则sin2α的值为()A ．－78 B.78C ．－47 D.478．(2021·福建省百校临考冲刺)若α∈(0，π)，且3sin α＋2cos α＝2，则tan α2＝()A.32B.34C.233D.433二、多项选择题9．已知α为三角形内角，且满足cos2α＝sin α，则α的值可以是()A ．30°B ．135°C ．60°D ．150°三、填空题10·cos15°＋sin15°cos15°－sin15°＝________．11．(2018·课标全国Ⅱ，理)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________．12．已知sin α＝cos2α，α∈(π2，π)，则tan α＝________．13．在△ABC 中，tanA ＋tanB ＋3＝3tanA ·tanB ，且sinA ·cosA ＝34，则此三角形为________．14．化简：1－tan 2（π4－α）1＋tan 2（π4－α）＝________．15．化简：sin （3α－π）sin α＋cos （3α－π）cos α＝________.16．(2021·山东淄博一模)已知tan(π4＋θ)＝3，则sin2θ－2cos 2θ＝________．17．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝________．18．(2019·江苏)已知tan α＝－23，则sin(2α＋π4)的值是________．19．已知0<α<π2<β<π，＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值；(2)求cos4.3.2三角恒等变换的应用参考答案1．答案A 解析∵sin αcos β＝1，α|＝1，β|＝1，α＝0，β＝0.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝0.2．答案D解析因为θ∈π4，π2，所以2θ∈π2，π，cos2θ≤0，所以cos2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又因为cos2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，sin θ＝34.故选D.3．答案A 4．答案A 5．答案B 解析由sin αcos α＝1＋sin βcos β，得sin αcos β－cos αsin β＝cos α，即sin(α－β)＝cos α，即sin(α－β)＝又因为α所以－π2<α－β<π2，所以α－β＝π2－α，即2α－β＝π2，故选B.6．答案D解析tan （π4α）·cos2α2cos 2（π4－α）＝sin （π4＋α）·cos2α2sin 2（π4＋α）cos （π4＋α）＝cos2α2sin （π4＋α）cos （π4＋α）＝cos2αsin2（π4＋α）＝cos2αsin （π2＋2α）＝cos2αcos2α＝1，故选D.7．答案B解析cos2αsin （α＋π4）＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4＝2(cos α－sin α)＝12，即cos α－sin α＝24，等式两边分别平方得cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α＝1－sin2α＝18，解得sin2α＝78.8．答案A 解析方法一：由已知得cos α＝1－32sin α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2－32sin＝1，整理得74sin 2α－3sin α＝0，解得sin α＝0或sin α＝437.因为α∈(0，π)，所以sin α＝437，故cos α＝1－32×437＝17.所以tan α2＝sin α1＋cos α＝4371＋17＝32.故选A.方法二：因为sin α＝2sin α2cos α2，cos α＝1－2sin 2α2，所以3sin α＋2cos α＝2可以化为23sin α2cos α2＋－2sin2，化简可得23sin α2cos α2＝4sin 2α2.①因为α∈(0，π)，所以α2∈sin α2≠0.所以①式可化为3cos α2＝2sin α2，即tan α2＝32.故选A.9．答案AD 10．答案－43解析原式＝3sin10°－cos10°cos10°sin10°·1＋tan15°1－tan15°＝2sin （10°－30°）12sin20°·tan45°＋tan15°1－tan45°·tan15°＝－4·tan(45°＋15°)＝－4 3.11．答案－12解析∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，∴sin 2α＋cos 2β＋2sin αcos β＝1，①cos 2α＋sin 2β＋2cos αsin β＝0，②①②两式相加可得sin 2α＋cos 2α＋sin 2β＋cos 2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，∴sin(α＋β)＝－12.12．答案－33解析∵sin α＝cos2α＝1－2sin 2α，∴2sin 2α＋sin α－1＝0，∴(2sin α－1)(sin α＋1)＝0，∵α∈(π2，π)，∴2sin α－1＝0，∴sin α＝12，cos α＝－32，∴tan α＝－33.13．答案等边三角形解析∵tanA ＋tanB ＋3＝3tanAtanB ，∴tan(A ＋B)＝－3，得A ＋B ＝120°.又由sinAcosA ＝34，得sin2A ＝32.∴A ＝60°(A ＝30°舍去)，∴△ABC 为等边三角形．14．答案sin2α15．答案－4cos2α解析原式＝－sin3αsin α＋－cos3αcos α＝－sin3αcos α＋cos3αsin αsin αcos α＝－sin4αsin αcos α＝－4sin αcos α·cos2αsin αcos α＝－4cos2α.16．答案－45解析方法一：sin2θ－2cos 2θ＝sin2θ－cos2θ－1，sin2θ＝－cos 2（θ＋π4）＝－1－tan 2（θ＋π4）1＋tan 2（θ＋π4）＝45，cos2θ＝sin 2（θ＋π4）＝2tan （θ＋π41＋tan 2（θ＋π4）＝35，∴原式＝45－35－1＝－45.方法二：tan(π4＋θ)＝3，1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12，sin2θ－2cos 2θ＝2sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ－2tan 2θ＋1＝－45.17．答案13解析∵(cos αcos β－sin αsin β)(cos αcos β＋sin αsin β)＝13，∴cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β＝13.∴cos 2α(1－sin 2β)－(1－cos 2α)sin 2β＝13.∴cos 2α－sin 2β＝13.18．答案210解析方法一：tan αtan α＋11－tan α＝tan α（1－tan α）tan α＋1＝－23，解得tan α＝2或tan α＝－13，当tan α＝2时，sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45，cos2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝－35，此时sin2α＋cos2α＝15，同理当tan α＝－13时，sin2α＝－35，cos2α＝45，此时sin2α＋cos2α＝15，所以＝22(sin2α＋cos2α)＝210.方法二：tan αcos α＝－23，则sin αcos(α＋π4)＝－23cos α又22＝sin[(α＋π4)－α]＝α－α＝53sin α，则α＝3210，则α＝α＋α＝13sin α＝13×3210＝210.19．答案(1)－79(2)82－315解析(1)方法一：因为cos π4cos β＋sin π4sin β＝22cos β＋22sin β＝13，所以cos β＋sin β＝23，所以1＋sin2β＝29，所以sin2β＝－79.方法二：sin2β＝＝2cos 1＝－79.(2)因为0<α<π2<β<π，所以π4<β－π4<34π，π2<α＋β<3π2.所以，cos(α＋β)<0，因为＝13，sin(α＋β)＝45，所以＝223，cos(α＋β)＝－35.所以cos （α＋β＝cos(α＋sin (α＋β)＝－35×13＋45×223＝82－315.。

题组层级快练4.4三角函数的图像和性质一、单项选择题1．函数y ＝3sin2x ＋cos2x 的最小正周期为()A.π2B.2π3C ．πD ．2π2．函数y ＝tan(π4－x)的定义域是()A ．{xx ≠π4}B ．{xx ≠－π4}C ．{xx ≠k π＋π4，k ∈Z }D ．{xx ≠k π＋3π4，k ∈Z }3．下列函数中，既是奇函数，又是周期函数的是()A ．y ＝sin|x|B ．y ＝cos2xC ．y ＝D ．y ＝x 34．(2018·课标全国Ⅲ)函数f(x)＝tanx1＋tan 2x 的最小正周期为()A.π4B.π2C ．πD ．2π5．(2021·南昌大学附中)设f(x)＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，则f(x)是偶函数的充要条件是()A ．f(0)＝1B ．f(0)＝0C ．f ′(0)＝1D ．f ′(0)＝06．函数f(x)＝sin 在区间0，π2上的最小值为()A ．－1B ．－22C.22D ．07．已知f(x)＝sin 2x ＋sinxcosx ，则f(x)的最小正周期和一个单调递增区间分别为()A ．π，[0，π]B ．2π，[－π4，3π4]C ．π，[－π8，3π8]D ．2π，[－π4，π4]8．(2021·安徽皖江名校高三联考)已知函数f(x)＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)为偶函数，且在0，π4上是增函数，则φ的一个可能值为()A.π3B.2π3C.4π3D.5π39．(2020·辽宁大连一模)若方程2sin(2x ＋π6)＝m 在区间[0，π2]上有两个不相等实根，则m 的取值范围是()A ．(1，3)B ．[0，2]C ．[1，2)D ．[1，3]二、多项选择题10．(2017·课标全国Ⅲ，改编)设函数f(x)＝cos(x ＋π3)，则下列结论正确的是()A ．f(x)的一个周期为－2πB ．y ＝f(x)的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f(x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f(x)在(π2，π)上单调递减11．已知函数f(x)＝sinx ＋cosx ，g(x)＝22sinx ·cosx ，则下列结论中正确的是()A －π4，B ．两函数的图象均关于直线x ＝－π4成轴对称C －π4，D ．两函数的最大值相同三、填空题与解答题12．函数y ＝cos ________．13．(2020·保定市一模)设函数f(x)＝2sinxsin(x ＋π3＋φ)是奇函数，其中φ∈(0，π)，则φ＝________．14．已知函数f(x)＝sinx ＋acosx 的图象的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g(x)＝asinx ＋cosx 的初相是________．15．已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin 2x(x ∈R )，则f(x)的最小正周期为________；当x ∈0，π4时，f(x)的最小值为________．16．已知函数f(x)＝3cos 2ωx ＋sin ωxcos ωx －32(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)>22，求x 的取值集合．17．(2017·北京)已知函数f(x)＝3cos(2x －π3)－2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求证：当x ∈[－π4，π4]时，f(x)≥－12.18．(2021·衡水中学调研)已知函数y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，则ω的取值范围是()A ．[－32，0)B ．[－3，0)C ．(0，32]D ．(0，3]19．(2018·北京，理)设函数f(x)＝cos(ωx －π6)(ω>0)．若f(x)≤f(π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．4.4三角函数的图像和性质参考答案1．答案C 2．答案D解析y ＝tan(π4－x)＝－tan(x －π4)，由x －π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠k π＋3π4，k ∈Z .故选D.3．答案C 4．答案C解析f(x)＝tanx 1＋tan 2x ＝sinx cosx 1＋sin 2x cos 2x＝sinxcosx cos 2x ＋sin 2x＝sinxcosx ＝12sin2x ，所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.故选C.5．答案D解析若f(x)＝sin(ωx ＋φ)是偶函数，则有φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴f(x)＝±cos ωx.而f ′(x)＝∓ωsin ωx ，∴f ′(0)＝0，故选D.6．答案B 7．答案C解析由f(x)＝12(1－cos2x)＋12sin2x ＝2sin （2x －π4）＋12，得该函数的最小正周期是π.当2k π－π2≤2x－π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z 时，函数f(x)是增函数，即函数f(x)的单调递增区间是[k π－π8，k π＋3π8]，其中k ∈Z .由k ＝0得函数f(x)的一个单调递增区间是[－π8，3π8]，结合各选项知，选C.8．答案C解析根据题意，f(x)＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝＋φ若f(x)为偶函数，则有φ＋π6＝k π＋π2，即φ＝k π＋π3，k ∈Z ，所以可以排除B 、D ，对于A ，当φ＝π3时，f(x)＝2cos2x ，在0，π4上是减函数，不符合题意，对于C ，当φ＝4π3时，f(x)＝2cos2x ，在0，π4上是增函数，符合题意．故选C.9．答案C解析因为x ∈[0，π2]，所以2x ＋π6∈[π6，7π6]．当2x ＋π6∈[π6，π2]时，函数f(x)＝2sin(2x ＋π6)单调递增，此时，m ∈[1，2]；当2x ＋π6∈(π2，7π6]时，函数f(x)＝2sin(2x ＋π6)单调递减，此时，m ∈[－1，2)，因此要有两个不相等实根，即m 与函数f(x)＝2sin 在π6，7π6上有两个交点，结合图象可知，m 的取值范围是[1，2)．故选C.10．答案ABC解析由三角函数的周期公式可得T ＝2π1＝2π，所以周期是－2π也正确，所以A 正确；由于三角函数在对称轴上取得最值，所以把对称轴x ＝8π3代入函数，得f(x)＝cos(8π3＋π3)＝cos3π＝－1，所以B 正确；f(x ＋π)＝cos(x ＋π＋π3)＝－cos(x ＋π3)＝0，解得其中一个解是x ＝π6，所以C 正确；函数f(x)在区间(π2，π)有增有减，D 不正确．11．答案CD解析f(x)＝sinx ＋cosx ＝2sing(x)＝2sin2x ，因为＝2sin －π4＋＝2sin0＝0，所以f(x)－π4，因为＝2sin 2＝2sin ＝－2≠0，所以g(x)－π4，A 错误．由于f(x)－π4，g(x)关于x ＝－π4成轴对称，故B 错误．若－π4<x<π4，则0<x ＋π4<π2，此时函数f(x)为增函数，若－π4<x<π4，则－π2<2x<π2，此时函数g(x)为增函数，－π4，C 正确．两函数的最大值相同，都为2，故D 正确．12．答案k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )13．答案π6解析因为f(x)＝2sinxsin ＋π3＋y ＝sinx 也是奇函数，所以函数y ＝sin ＋π3＋函数，所以π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，则φ＝k π＋π6(k ∈Z )，又φ∈(0，π)，所以φ＝π6.14．答案2π3解析f ′(x)＝cosx －asinx ，∵x ＝5π3为函数f(x)＝sinx ＋acosx 的一条对称轴，∴f ′(5π3)＝cos 5π3－asin 5π3＝0，解得a ＝－33.∴g(x)＝－33sinx ＋cosx ＝233(－12sinx ＋32cosx)＝233sin(x ＋2π3)．15．答案π216．答案(1)π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z|－π24＋k π<x<5π24＋k π，k ∈解析(1)f(x)＝3cos 2ωx ＋sin ωxcos ωx －32＝32(1＋cos2ωx)＋12sin2ωx －32＝32cos2ωx ＋12sin2ωx ＝因为最小正周期为2π2ω＝π，所以ω＝1，所以f(x)＝由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f(x)的单调递减区间为[π12＋k π，7π12＋k π]，k ∈Z .(2)f(x)>22，即>22，由正弦函数的性质得π4＋2k π<2x ＋π3<3π4＋2k π，k ∈Z ，解得－π24＋kπ<x<5π24＋k π，k ∈Z ，则x －π24＋k π<x<5π24＋k π，k ∈17．答案(1)π(2)证明见解析解析(1)f(x)＝32cos2x ＋32sin2x －sin2x ＝12sin2x ＋32cos2x ＝sin(2x ＋π3)．所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6.所以sin(2x ＋π3)≥sin(－π6)＝－12.所以当x ∈[－π4，π4]时，f(x)≥－12.18．答案C解析方法一：由于y ＝sinx 在[－π2，π2]上是增函数，为保证y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，所以ω>0且π3·ω≤π2，则0<ω≤32.故选C.方法二(特值法)：取ω＝－1，则y ＝sin(－x)＝－sinx ，不合题意，故A 、B 不对．取ω＝2，则y ＝sin2x ，不合题意，故D 不对，所以选C.19．答案23解析由于对任意的实数都有f(x)≤f(π4)成立，故当x ＝π4时，函数f(x)有最大值，故f(π4)＝1，即πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z )，又ω>0，∴ωmin ＝23.。

1。

函数f (x ）＝错误!.(1)若a ＝5，求函数f (x ）的定义域A ；（2）设a ，b ∈(－1,1）,证明:错误!〈错误!.解 (1）由|x ＋1｜＋｜x ＋2｜－5≥0，得2x ＋8≤0，x ≤－2或－4≥0，－2〈x 〈－1或2x ≥2，x ≥－1， 解得A ＝{x |x ≤－4或x ≥1｝．(2）证明：∵错误!〈错误!⇔2|a ＋b |<|4＋ab ｜.而4（a ＋b ）2－(4＋ab ）2＝4（a 2＋2ab ＋b 2）－（16＋8ab ＋a 2b 2）＝4a 2＋4b 2－a 2b 2－16＝a 2(4－b 2）＋4(b 2－4)＝(b 2－4）(4－a 2）,∵a ,b ∈(－1,1)，∴(b 2－4）(4－a 2)〈0，∴4(a ＋b )2〈(4＋ab )2，∴｜a ＋b |2<错误!. 2。

已知定义在R 上的函数f （x )＝|x －m |＋|x |，m ∈N ＊，存在实数x 使f （x ）<2成立．(1)求实数m 的值；(2）若α,β〉1,f (α)＋f （β)＝2,求证：4α＋错误!≥错误!。

解 (1)因为｜x －m ｜＋|x ｜≥|(x －m ）－x ｜＝｜m ｜.要使不等式｜x－m|＋｜x|〈2有解，则|m|〈2，解得－2<m〈2.因为m∈N＊，所以m＝1.(2)证明：因为α,β〉1,所以f(α）＋f(β)＝2α－1＋2β－1＝2，即α＋β＝2。

所以错误!＋错误!＝错误!错误!(α＋β）＝错误!错误!5＋错误!＋错误!错误!≥错误!错误!＝错误!。

（当且仅当错误!＝错误!，即α＝错误!，β＝错误!时,等号成立)又因为α，β〉1，所以错误!＋错误!〉错误!恒成立．故错误!＋错误!≥错误!.3.已知a>0，b〉0，记A＝错误!＋错误!，B＝a＋b.（1)求错误!A－B的最大值；（2）若ab＝4，是否存在a，b，使得A＋B＝6？并说明理由．解(1）2A－B＝2a－a＋错误!－b＝－错误!2－错误!2＋1≤1，等号在a＝b＝错误!时取得，即错误!A－B的最大值为1.(2)A＋B＝a＋b＋a＋错误!≥2错误!＋2错误!,因为ab＝4,所以A＋B≥4＋2错误!>6，所以不存在这样的a，b，使得A＋B＝6。

课时作业(七)一、选择题1．函数y ＝x 2－1(x ≤0)的反函数是( ) A ．y ＝x ＋1(x ≥－1) B ．y ＝－x ＋1(x ≥－1) C ．y ＝x ＋1(x ≥0) D ．y ＝－x ＋1(x ≥0)答案 B解析 ∵x ≤0，∴x ＝－y ＋1，且y ≥－1，∴f －1(x )＝－x ＋1(x ≥－1)，故选B. 2．(18·北京卷)“函数f (x )(x ∈R )存在反函数”是“函数f (x )在R 上为增函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 存在反函数的条件是一一对应，f (x )是R 上的增函数，则必是一一对应，而一一对应的函数未必是增函数，如f (x )＝1x.故选B.3．(2018·全国卷Ⅱ，文)函数y ＝1＋ln(x －1)(x ＞1)的反函数是( ) A ．y ＝e x ＋1－1(x ＞0) B ．y ＝e x －1＋1(x ＞0) C ．y ＝ex ＋1－1(x ∈R )D ．y ＝ex －1＋1(x ∈R )答案 D解析 由y ＝1＋ln (x －1)(x ＞1)，得e y －1＝x －1，即x ＝ey －1＋1，故所求反函数为y ＝ex －1＋1(x ∈R )．4．点(p ，q )在函数y ＝f (x )的图象上，则下列各点中必在其反函数图象上的是( ) A ．(p ，f －1(p )) B ．(f －1(q )，q ) C ．(f －1(p )，p ) D ．(q ，f －1(q ))答案 D5．(18·上海春季高考)函数y ＝1＋1－x 2(－1≤x ≤0)的反函数的图象是( )答案 C解析由－1≤x≤0得y＝1＋1－x2∈[1,2]，因此函数y＝1＋1－x2(－1≤x≤0)的反函数的定义域是[1,2]，值域是[－1,0]，结合所给选项可知选C.(注：也可先求出该函数的反函数，然后结合选项确定答案．)6．(2018·江西卷，文)若函数y＝ax1＋x的图象关于直线y＝x对称，则a为( ) A．1 B．－1C．±1 D．任意实数答案 B解析若函数y＝f(x)＝ax1＋x的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝f－1(x)，易求得f－1(x)＝xa－x，故a＝－1.7．函数y＝e x－e－x2的反函数( )A．是奇函数，它在(0，＋∞)上是减函数B．是偶函数，它在(0，＋∞)上是减函数C．是奇函数，它在(0，＋∞)上是增函数D．是偶函数，它在(0，＋∞)上是增函数答案 C解析函数与其反函数有相同的单调性和奇偶性，因此只须考查函数y＝e x－e－x2的奇偶性与单调性，易知此函数是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，∴应选C.8．已知方程f(x)＝3－x仅有一解x1，方程f－1(x)＝3－x仅有一解x2，则x1＋x2的值为( )A．2 B．3C．4 D．5答案 B解析 f (x )与y ＝3－x 的交点为(x 1,3－x 1)．则f －1(x )与y ＝3－x 的交点为(3－x 1，x 1)． 而由条件知f －1(x )与y ＝3－x 交点为(x 2,3－x 2)，因此x 2＝3－x 1，故x 1＋x 2＝3. 二、填空题9．(18·全国卷Ⅰ改编)已知函数f (x )的反函数为g (x )＝1＋2lg x (x >0)，求f (1)＋g (1)＝________.答案 2解析 令1＋2lg x ＝1，得x ＝1，∴f (1)＝1. 又g (1)＝1＋2lg1＝1，∴f (1)＋g (1)＝2.10．设函数y ＝4＋log 2(x －1)(x ≥3)，则其反函数的定义域为________． 答案 [5，＋∞)解析 ∵x ≥3，∴x －1≥2，∴log 2(x －1)≥1，∴y ＝4＋log 2(x －1)≥5.11．(18·上海)若函数f (x )的反函数为f －1(x )＝x 2(x >0)，则f (4)＝________. 答案 2解析 设x 2＝4，由x >0得x ＝2，由f (x )与f －1(x )的关系知f (4)＝2. 三、解答题12．给定实数a ≠0且a ≠1，设函数y ＝x －1ax －1(x ∈R 且x ≠1a)，求证： (1)这个函数的图象自身关于直线y ＝x 对称；(2)经过这个函数图象上任意两个不同点的直线都不平行于x 轴．思路点拨 (1)只要证明函数f (x )＝f －1(x )即可；对于(2)设x 1≠x 2，只要证明y 1≠y 2就说明经过任意两点的直线都不平行于x 轴．解析 (1)由y ＝x －1ax －1，得(ax －1)y ＝x －1， 解得x ＝y －1ay －1，y ≠1a. 所以函数y ＝x －1ax －1(x ≠1a )的反函数为y ＝x －1ax －1(x ≠1a)． 故函数的图象关于直线y ＝x 对称．(2)设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)是函数图象上任意两个不同点，则x 1≠x 2，于是y 1－y 2＝x 1－1ax 1－1－x 2－1ax 2－1x 2－x 1－a ax 1－ax 2－.因为x1≠x2，a≠1，(ax1－1)(ax2－1)≠0，所以y1≠y2.因此经过图象上任意两点所在直线不平行于x轴．13．(2018·上海春季高考)已知函数f(x)＝log a(8－2x)(a>0，且a≠1)．(1)若函数f(x)＝反函数是其本身，求a的值；(2)当a>1时，求函数y＝f(x)＋f(－x)的最大值．解析(1)函数f(x)的反函数f－1(x)＝log2(8－a x)，由题意可得log a(8－2x)＝log2(8－a x)，∴a＝2.(2)由题意可知8－2x>0，解得x<3则y＝f(x)＋f(－x)的定义域为(－3,3)．f(x)＋f(－x)＝log a(8－2x)＋log a(8－2－x)＝log a[65－8(2x＋2－x)]∵2x＋2－x≥2，当x＝0时，等号成立．∴0<65－8(2x＋2－x)≤49.当a>1时，函数y＝f(x)＋f(－x)在x＝0处取得最大值log a49.。