解决SASEG连接问题

SAS Enterprise Guide 5.1安装及配置SAS Enterprise Guide 5.1 的系统需求：∙基本需求∙操作系统SAS Enterprise Guide 5.1 支持的操作系统版本：1.Microsoft Windows XP Professional with Service Pack 32.Microsoft Windows XP Professional x64 Edition with Service Pack 23.Microsoft Vista with Service Pack 14.Microsoft Windows Server 2003 with Service Pack 25.Microsoft Windows Server 20086.Microsoft Windows Server 2008 R27.Microsoft Windows 7SAS 推荐的操作系统版本：1.Microsoft Vista with Service Pack 12.Microsoft Windows Server 20083.Microsoft Windows Server 2008 R24.Microsoft Windows 7SAS Enterprise Guide 5.1 拥有32位和64位两个版本。

如果在32位的Windows操作系统上，则仅支持32位版本的运行。

如果在64位的Windows操作系统上，则两种均支持。

注意：64位版本的SAS Enterprise Guide不能打开Microsoft Exchange或Microsoft Access数据。

如果需要该功能，请安装并使用32位版本的SAS Enterprise Guide。

∙操作系统用户安装用户需要管理员权限。

安装步骤1.安装文件：Y:\SCU_SAS_EG5.1\setup.exe2.选择语言：简体中文3.选择部署任务：安装SAS软件4.SAS主目录：C:\Program Files\SASHome5.选择部署类型：执行计划的部署，并选中“安装SAS软件”6.制定部署计划：定制部署计划：Y:\SCU_SAS_EG5.1\plan_files\plan.xml7.选择要安装的产品：选择 Clients8.根据自身需要选择SAS Enterprise Guide模式：32位或64位本机模式。

专题02特殊平行四边形中的四种最值问题类型一、将军饮马（轴对称）型最值问题A ．5B ．【答案】B 【分析】作点E 关于BD 的对称点为∵E 关于BD 的对称点为'E ，∴'PE PE =，'BE BE =，∵正方形ABCD 的边长为2，点A．0B．3【答案】C【分析】要使四边形APQE的周长最小，由于在BC边上确定点P、Q的位置，可在与BC交于一点即为Q点，过A点作后过G点作BC的平行线交DC的延长线于长度．【答案】210【分析】①连接PO并延长交BC②过点O作关于BC的对称点【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及轴对称识是解题的关键．【变式训练1】如图，正方形ABCD的周长为24，P为对角线AC上的一个动点，E是CD的中点，则PE PD+的最小值为（）C．6D．5A．B．【答案】A【详解】解：如图，连接BE，设BE与AC交于点P'，∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于AC 对称，∴P'D =P'B ，∴P'D +P'E =P'B +P'E =BE 最小.即P 在AC 与BE 的交点上时，PD +PE 最小，即为BE 的长度.∵正方形ABCD 的周长为24，∴直角△CBE 中，∠BCE =90°，BC =6，CE =12CD =3，∴BE ==故选A.【变式训练2】如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，动点P 满足S △PBC ＝14S 矩形ABCD ，则点P 到B ，C 两点距离之和PB +PC 的最小值为（）A B C D ．【答案】B 【详解】解：设△PBC 中BC 边上的高是h ．∵S △PBC ＝14S 矩形ABCD ．∴12BC •h ＝14AB •AD ，∴h ＝12AB ＝1，∴动点P 在与BC 平行且与BC 的距离是1的直线l 上，如图，作B 关于直线l 的对称点E ，连接CE ，则CE 的长就是所求的最短距离．在Rt △BCE 中，∵BC ＝3，BE ＝BA ＝2，∴CE =即PB ＋PC 故选：B ．【变式训练3】如图，在正方形ABCD 中，4AB =，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且3BM =，P 为对角线BD 上一点，则PM PN -的最大值为_____________．∴PN=PE，则PM-PN=PM-PE，∴当点P，E，M三点共线时，在正方形ABCD中，AB=4，∴AC=42，【答案】13【分析】连接CF、AF+=+，故当EF MN EF AF为AE的长，由12AB=类型二、翻折型最值问题【变式训练1】如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，E 在AB 上，1BE =，F 是线段BC 上的动点，将EBF △沿EF 所在的直线折叠得到'EB F △，连接'B D ，则'B D 的最小值是（）A ．6B ．4C ．2D ．1-【答案】D 【详解】解：如图，'B 的运动轨迹是以E 为圆心，以BE 的长为半径的圆．所以，当'B 点落在DE 上时，'B D 取得最小值．根据折叠的性质，△EBF ≌△EB’F ，∴E 'B ⊥'B F ，∴E 'B ＝EB ，∵1BE =∴E 'B ＝1，∵3AB =，4=AD ，∴AE =3-1=2，∴DE 224225+=D 'B ＝25．故选：D ．【变式训练2】如图，在正方形ABCD 中，AB =6，E 是CD 边上的中点，F 是线段BC 上的动点，将△ECF 沿EF 所在的直线折叠得到EC F '△，连接AC '，则的最小值是AC '_______．【答案】353-【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴6CD AB AD ===，∵E 是CD 边上的中点，∴132EC CD ==∵△ECF 沿EF 所在的直线折叠得到EC F '△，∴3EC EC '==，∴当点A ，C '，E 三点共线时，AC '最小，如图，在Rt ADE △中，由勾股定理得：22226335AE AD DE =+=+=353AE EC '-=，∴AC '的最小值为353．类型三、旋转型最值问题例1．如图，正方形ABCD 中，6AB =，E 是边BC 的中点，F 是正方形ABCD 内一动点，且3EF =，连接EF ，DE ，DF ，并将DEF 绕点D 逆时针旋转90︒得到DMN （点M ，N 分别为点E ，F 的对应点）．连接CN ，则线段CN 长度的最小值为_____________．【答案】353-【分析】过点M 作MP CD ⊥，垂足为P ，连接CM ，根据正方形的性质求出CE ，证明EDC DMP △≌△股定理求出CM ，根据CN MN CM +≥即可求出CN 【详解】解：过点M 作MP CD ⊥，垂足为P ，连接由旋转可得：DE DM =，3EF MN ==，90EDM ∠=在正方形ABCD 中，6AB =，E 为BC 中点，∴132CE BC ==，∵90EDM ∠=︒，∴90EDC CDM ∠+∠=︒，又90EDC DEC ∠+∠=︒，∴DEC CDM ∠=∠，例2．如图，长方形ABCD 中，6AB =，8BC =，E 为BC 上一点，且2BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，将EF 绕着点E 顺时针旋转30°到EG 的位置，连接FG 和CG ，则CG 的最小值为______．【答案】2+【详解】解：如图，将线段BE 绕点E 顺时针旋转30°得到线段ET ，连接GT ，过E 作EJ CG ⊥，垂足为J ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =6，∠B =∠BCD =90°，∵∠BET =∠FEG =30°，∴∠BEF =∠TEG ，在△EBF 和△TEG 中，EB ET BEF TEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBF ≌△ETG （SAS ），∴∠B =∠ETG =90°，∴点G 的在射线TG 上运动，∴当CG ⊥TG 时，CG 的值最小，∵∠EJG =∠ETG =∠JGT =90°，∴四边形ETGJ 是矩形，∴∠JET =90°,GJ =TE =BE =2，∵∠BET =30°，∴∠JEC =180°-∠JET -∠BET =60°，∵8BC =，∴6,3,EC BC BE EJ CJ =-===,∴CG =CJ +GJ =2+.∴CG 的最小值为2+.故答案为：2.【答案】()51a +【分析】连接BF ，过点F 作FG 的角平分线上运动，作点C 关于勾股定理求出DC DF CF '=+的最小值为 将ED 绕点E 顺时针旋转90︒到EF ，EF DE ∴⊥，EF DE =，90DEA FEG DEA ADE ∴∠+∠=∠+∠=︒，ADE FEG ∴∠=∠，又90DAE FGE ∠=∠=︒ ，(1)试猜想线段BG 和AE 的数量关系，并证明你得到的结论；(2)将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；(3)若2BC DE ==，在（2）的旋转过程中，①当AE 为最大值时，则AF =___________．ABC是等腰直角三角形，=，AD BC∴⊥，BD CD∴∠=∠=︒．90ADB ADC四边形DEFG是正方形，∴=．DE DG在Rt BAC 中，D 为斜边BC 中点，AD BD ∴=，AD BC ⊥，90ADG GDB ∴∠+∠=︒．四边形EFGD 为正方形，DE DG ∴=，且90GDE ∠=︒，90ADG ADE ∴∠+∠=︒，BDG ADE ∴∠=∠．在BDG 和ADE V 中，BD AD BDG ADE GD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)BDG ADE ∴△≌△，BG AE ∴=，BGD AED ∠=∠，GOK DOE ∠=∠ ，90OKG ODE ∴∠=∠=︒，EA BG ∴⊥．（3）①如图③，当旋转角为270︒时，BG AE =，此时AE 的值最大．2BC DE == ，中，如图②中，在BDG∴-≤≤+，2112BG∴的最小值为1，此时如图④中，AE在Rt AEF中，2=AF EF类型四、PA+KPB型最值问题3A ．27B ．23【答案】C 【分析】连接AC 与EF 相交于∵四边形ABCD 是菱形，∴OAE OCF ∠=∠，∵,AOE COF AE CF ∠=∠=，A．3B．22【答案】D【分析】连接AF，利用三角形中位线定理，可知四边形ABCD是菱形，∴==，AB BC23，H分别为AE，EF的中点，G∴是AEFGH△的中位线，【答案】51-【分析】连接BD交EF的中点，求出OB的长，得到>=-AH AM MH–51直线l平分正方形∴O是BD的中点，四边形ABCD是正方形，∴==，BD AB24【答案】26【分析】利用轴对称的性质作出如图的辅助线，在【详解】解：延长DC 作D A CD '''⊥，使A∴E F G H E '''、、、、在同一直线上时，四边形EFCH 作E K AB '⊥交AB 延长于点K ，则23EK BE CD A E AB CD '''=++=+=，E K BC '=+∴()()22232326EE '=+=．故答案为：26．【点睛】本题考查了正方形的性质，对称的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．在△ABH中，∠AHB=90°，∠ABH过点D作DE∥AC交BC延长线于点E，作点C。

专题22 四边形中的三角形全等问题1、如图1，已知正方形ABCD，E是线段BC上一点，N是线段BC延长线上一点，以AE为边在直线BC的上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证DG＝BE；（2）连接FC，求tan∠FCN的值；（3）如图2，将图1中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝3，BC＝8，E是线段BC上一动点（不含端点B，C），以AE为边在直线BC的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．当点E由B向C运动时，判断tan∠FCN的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解：（1）如图1，∵正方形ABCD和正方形AEFG中，∴∠BAD＝∠EAG＝90°，AB＝AD，AE＝AG，∴∠BAE＝∠GAD，∴△BAE≌△GAD（SAS），∴DG＝BE；（2）如图2，过点F作FM⊥BN于M，则∠B＝∠AEF＝∠FME＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝∠FEM+∠AEB＝90°，即∠BAE＝∠FEM，又AE＝EF，∴△BAE≌△MEF（ASA），∴FM＝BE，EM＝AB，又BE+EC＝AB，EM＝EC+CM，∴CM＝FM，在Rt△FCM中，tan∠FCN＝＝1；（3）如图2，过点F作FM⊥BN于M，则∠B＝∠AEF＝∠FME＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝∠FEM+∠AEB＝90°，即∠BAE＝∠FEM，同理可证∠GAD＝∠FEM，又AG＝EF，∴△DAG≌△MEF，△BAE∽△MEF，∴EM＝AD＝BC＝8，＝，设BE＝a，则EM＝EC+CM＝BC＝BE+EC，∴CM＝BE＝a，∴＝，∴FM＝，∴tan∠FCN＝＝＝，即tan∠FCN的值为定值．2、【操作发现】如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD 绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN＝MN．【实践探究】（1）在图①条件下，若CN＝3，CM＝4，则正方形ABCD的边长是．（2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．【拓展】（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝1，求DM的长．【实践探究】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，由旋转得：△ABE≌△ADM，∴BE＝DM，∠ABE＝∠D＝90°，AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，∴∠BAE+∠BAM＝∠DAM+∠BAM＝∠BAD＝90°，即∠EAM＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°，∴∠MAN＝∠EAN，在△AMN和△EAN中，，∴△AMN≌△EAN（SAS），∴MN＝EN．∵EN＝BE+BN＝DM+BN，∴MN＝BN+DM．在Rt△CMN中，MN＝＝＝5，则BN+DM＝5，设正方形ABCD的边长为x，则BN＝BC﹣CN＝x﹣3，DM＝CD﹣CM＝x﹣4，∴x﹣3+x﹣4＝5，解得：x＝6，即正方形ABCD的边长是6；故答案为：6；（2）EF2＝BE2+DF2，理由如下：如图②，将△AFD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABH，连结EH，∴∠ADF＝∠ABH，DF＝BH，∠DAF＝∠BAH，AH＝AF，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°＝∠BAH+∠BAE，∴∠HAE＝45°＝∠EAF，又∵AH＝AF，AE＝AE，∴△EAH≌△EAF（SAS），∴HE＝EF，∵BN＝DM，BN∥DM，∴四边形BMDN是平行四边形，∴DN∥BM，∴∠AND＝∠ABM，∵∠ADN+∠AND＝90°，∴∠ABH+∠ABM＝90°＝∠HBM，∴BE2+BH2＝HE2，∴EF2＝BE2+DF2；（3）如图③，延长AB至P，使BP＝BN＝1，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ 于E，连接EM，则四边形APQD是正方形，∴PQ＝DQ＝AP＝AB+BP＝4，设DM＝x，则MQ＝4﹣x，∵PQ∥BC，∴△ABN∽△APE，∴，∴PE＝BN＝，∴EQ＝PQ﹣PE＝4﹣＝，由（1）得：EM＝PE+DM＝+x，在Rt△QEM中，由勾股定理得：（）2+（4﹣x）2＝（+x）2，解得：x＝2，即DM的长是2．3、如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交BC边于点F．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）连接BD、CE，请探究：当∠BFD与∠A之间满足怎样的数量关系时，能使四边形BECD成为矩形？为什么？（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝CD，AB∥CD．∵BE＝AB，∴BE＝CD．∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF，在△BEF与△CDF中，，∴△BEF≌△CDF（ASA）；（2）解：∠BFD＝2∠A时，四边形BECD成为矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠DCB，∵AB＝BE，∴CD＝EB，∴四边形BECD是平行四边形，∴BF＝CF，EF＝DF，∵∠BFD＝2∠A，∴∠BFD＝2∠DCF，∴∠DCF＝∠FDC，∴DF＝CF，∴DE＝BC，∴四边形BECD是矩形．4、已知在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，以AD、AE为腰做等腰三角形ADE，且∠ADE＝∠ABC，连接CE，过E作EM∥BC交CA延长线于M，连接BM．（1）求证：△BAD≌△CAE；（2）若∠ABC＝30°，求∠MEC的度数；（3）求证：四边形MBDE是平行四边形．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC，∵以AD、AE为腰做等腰三角形ADE，∴AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE，∵∠ADE＝∠ABC，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS）；（2）解：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝30°，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE＝30°，∴∠ACB＝∠ACE＝30°，∴∠ECB＝∠ACB+∠ACE＝60°，∵EM∥BC，∴∠MEC+∠ECD＝180°，∴∠MEC＝180°﹣60°＝120°；（3）证明：∵△BAD≌△CAE，∴DB＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABD＝∠ACB，∴∠ACB＝∠ACE，∵EM∥BC，∴∠EMC＝∠ACB，∴∠ACE＝∠EMC，∴ME＝EC，∴DB＝ME，又∵EM∥BD，∴四边形MBDE是平行四边形．5、如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，BC＝BD，CE⊥BD，垂足为E．（1）求证：△ABD≌△ECB；（2）若AD＝4，CE＝3，求CD的长．证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBC，∵CE⊥BD，∠A＝90°，∴∠A＝∠BEC＝90°，在△ABD和△ECB中，，∴△ABD≌△ECB（AAS）；（2）∵△ABD≌△ECB，∴AB＝CE＝3，∵AD＝4，∴在Rt△ABD中，由勾股定理可得：BD＝5，∵△BD≌△ECB，∴D＝BE＝4，∴DE＝BD﹣BE＝1，∴在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD＝．6、已知：矩形ABCD中，点E、F为对角线AC上两点，AF＝CE．（1）如图1，求证：BE∥DF；（2）如图2，当AB＝BE＝AD时，连接DE、BF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAF＝∠BCE，在△AFD和△CEB中，，∴△AFD≌△CEB（SAS），∴∠AFD＝∠CEB，∴BE∥DF；（2）解：△ABF，△CDE，△ADF，△BCE；理由如下：由（1）得：△AFD≌△CEB，同理：△ABF≌△CDE（SAS），∴△AFD的面积＝△CEB的面积，△ABF的面积＝△CDE的面积，作BG⊥AC于G，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BC＝AD，∵AB＝BE＝AD，∴AB＝BE＝BC，∴BC＝2AB，AC＝＝AB，AG＝EG，∵△ABC的面积＝AC×BG＝AB×BC，∴BG＝＝＝AB，∴AG＝＝＝AB，∴AE＝2AG＝AB，∵AF＝CE，∴△ABF的面积＝△BCE的面积，CF＝AE＝AB，∴AF＝AC﹣CF＝AB﹣AB＝AB，∴△ABF的面积＝AF×BG＝×AB×AB＝AB2，∵矩形ABCD的面积＝AB×BC＝AB×2AB＝2AB2，∴△ABF的面积＝矩形ABCD面积的，∴△ABF的面积＝△CDE的面积＝△ADF的面积＝△BCE的面积＝矩形ABCD面积的．7、如图，在平行四边形ABCD中，点G在CD上，点H在AB上，且DG＝BH，点E．F在AC上，且AE＝CF．连接GF，FH，HE，EG．（1）求证：△CFG≌△AEH；（2）若AG＝GC，则四边形EHFG是什么特殊四边形？请说明理由．证明：（1）∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴∠GCF＝∠HAE，∵DG＝BH，∴GC＝AH，在△CFG与△AEH中，，∴△CFG≌△AEH（SAS）；（2）∵△CFG≌△AEH，∴GF＝EH，∠AEH＝∠GFC，∴∠FEH＝∠EFG，∴GF∥EH，∴四边形EGFH是平行四边形，∵AG＝GC，∴∠GAE＝∠GCF，在△GAE与△GCF中，∴△GAE≌△GCF（SAS），∴EG＝GF，∴平行四边形EGFH是菱形．8、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E是AD边上一点，过点B作BF∥EC，交AD的延长线于点F，连接BE，CF．（1）求证：△BDF≌△CDE．（2）若DE＝BC，求证：四边形BECF是正方形．（1）证明：∵AD是BC边上的中线，AB＝AC，∴BD＝CD，∵BF∥EC，∴∠DBF＝∠DCE，∵∠BDF＝∠CDE，∴△BDF≌△CDE（ASA）；（2）证明：∵△BDF≌△CDE，∴BF＝CE，DE＝DF，∵BF∥CE，∴四边形BECF是平行四边形，∵AB＝AC，AD是中线，∴四边形BECF是菱形，∵DE＝BC，DE＝DF＝EF，∴EF＝BC，∴四边形BECF是正方形．9、阅读材料：教育部基础教育司负责人解读“2020新中考”时强调要注重学生分析与解决问题的能力，要增强学生的创新精神和综合素质．王老师想尝试改变教学方法，将以往教会学生做题改为引导学生会学习．于是她在菱形的学习中，引导同学们解决菱形中的一个问题时，采用了以下过程（请解决王老师提出的问题）：先出示问题（1）：如图1，在等边三角形ABC中，D为BC上一点，E为AC上一点，如果BD＝CE，连接AD、BE，AD、BE相交于点P，求∠APE的度数．学习，王老师请同学们说说自己的收获．小明说发现一个结论：在这个等边三角形ABC中，只要满足BD＝CE，则∠APE的度数就是一个定值，不会发生改变．紧接着王老师出示了问题（2）：如图2，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E为BC上一点，F为CD上一点，BE＝CF，连接DE、BF，DE、BF相交于点P，如果DP＝4，BP＝3，求出菱形的边长．问题（3）：通过以上的学习请写出你得到的启示（一条即可）．解：问题（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠EBC，∵∠APE＝∠ABP+∠BAP，∴∠APE＝∠ABP+∠EBC＝∠ABC＝60°；问题（2）过点D作DG⊥BF交BF于点G，如图2所示：∵四边形ABCD是菱形，∴∠C＝∠A＝60°，BC＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴BC＝CD＝BD，由（1）可知∠DPG＝60°，在Rt△DPG中，sin60°＝，即＝，解得：DG＝2，cos60°＝，即＝，解得：PG＝2，∴BG＝BP+PG＝3+2＝5，在Rt△BDG中，由勾股定理得：BD2＝BG2+DG2＝52+（2）2＝37，∴BD＝，∴BC＝BD＝，∴菱形的边长为；问题（3）平时应该注意基本图形的积累，在学习过程中做个有心人．10、如图1，在正方形ABCD（正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB＝8，P为线段BC上一点，连接AP，过点B作BQ⊥AP，交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交AD于点N．（1）求证：BP＝CQ；（2）若BP＝PC，求AN的长；（3）如图2，延长QN交BA的延长线于点M，若BP＝x（0＜x＜8），△BMC'的面积为S，求S与x之间的函数关系式．解：（1）证明：∵∠ABC＝90°∴∠BAP+∠APB＝90°∵BQ⊥AP∴∠APB+∠QBC＝90°，∴∠QBC＝∠BAP，在△ABP于△BCQ中，，∴△ABP≌△BCQ（ASA），∴BP＝CQ，（2）由翻折可知，AB＝BC'，连接BN，在Rt△ABN和Rt△C'BN中，AB＝BC'，BN＝BN，∴Rt△ABN≌△Rt△C'BN（HL），∴AN＝NC'，∵BP＝PC，AB＝8，∴BP＝2＝CQ，CP＝DQ＝6，设AN＝NC'＝a，则DN＝8﹣a，∴在Rt△NDQ中，（8﹣a）2+62＝（a+2）2解得：a＝4.8，即AN＝4.8．（3）解：过Q点作QG⊥BM于G，由（1）知BP＝CQ＝BG＝x，BM＝MQ．设MQ＝BM＝y，则MG＝y﹣x，∴在Rt△MQG中，y2＝82+（y﹣x）2，∴．∴S△BMC′＝S△BMQ﹣S△BC'Q＝＝，＝．11、已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边做正方形ADEF，连接CF．（1）如图①，当点D在线段BC上时，直接写出线段CF、BC、CD之间的数量关系．（2）如图②，当点D在线段BC的延长线上时，其他件不变，则（1）中的三条线段之间的数量关系还成立吗？如成立，请予以证明，如不成立，请说明理由；（3）如图③，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC两侧，其他条件不变；若正方形ADEF的边长为4，对角线AE、DF相交于点O，连接OC，请直接写出OC的长度．解：（1）∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AB＝AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAF＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD＝CF，∵BD+CD＝BC，∴CF+CD＝BC；故答案为：CF+CD＝BC；（2）CF+CD＝BC不成立，存在CF﹣CD＝BC；理由：∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AB＝AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAF＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS）∴BD＝CF∴BC+CD＝CF，∴CF﹣CD＝BC；（3）∵∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AB＝AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∵∠BAD＝90°﹣∠BAF，∠CAF＝90°﹣∠BAF，∴∠BAD＝∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ACF＝∠ABD，∵∠ABC＝45°，∴∠ABD＝135°，∴∠ACF＝∠ABD＝135°，∴∠FCD＝135°﹣45°＝90°，∴△FCD是直角三角形．∵正方形ADEF的边长4且对角线AE、DF相交于点O．∴DF＝AD＝4，O为DF中点．∴Rt△CDF中，OC＝DF＝×＝．13、已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE．（1）如图1，连接BG、DE．求证：BG＝DE；（2）如图2，如果正方形CEFG绕点C旋转到某一位置恰好使得CG∥BD，BG＝BD．①求∠BDE的度数；②若正方形ABCD的边长是，请求出△BCG的面积．（1）证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°．∴∠BCD+∠DCG＝∠GCE+∠DCG，∴∠BCG＝∠DCE．在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS）．∴BG＝DE；（2）解：①连接BE，如图2所示：由（1）可知：BG＝DE，∵CG∥BD，∴∠DCG＝∠BDC＝45°，∴∠BCG＝∠BCD+∠DCG＝90°+45°＝135°，∵∠GCE＝90°，∴∠BCE＝360°﹣∠BCG﹣∠GCE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠BCG＝∠BCE，在△BCG和△BCE中，，∴△BCG≌△BCE（SAS），∴BG＝BE，∵BG＝BD＝DE，∴BD＝BE＝DE，∴△BDE为等边三角形，∴∠BDE＝60°；②延长EC交BD于点H，过点G作GN⊥BC于N，如图3所示：在△BCE和△DCE中，，∴△BCE≌△BCG（SSS），∴∠BEC＝∠DEC，∴EH⊥BD，BH＝BD，∵BC＝CD＝，∴BD＝BC＝2，∴BE＝2，BH＝1，∴CH＝1，在Rt△BHE中，由勾股定理得：EH＝＝＝，∴CE＝﹣1，∵∠BCG＝135°，∴∠GCN＝45°，∴△GCN是等腰直角三角形，∴GN＝CG＝（﹣1），∴S△BCG＝BC•GN＝××（﹣1）＝．15、利用“同角的余角相等”可以帮助我们得到相等的角，这个规律在全等三角形的判定中有着广泛的运用．（1）如图①，B，C，D三点共线，AB⊥BD于点B，DE⊥BD于点D，AC⊥CE，且AC＝CE．若AB+DE＝6，求BD的长．（2）如图②，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，直角顶点C的坐标为（1，0），点A 的坐标为（﹣2，1）．求直线AB与y轴的交点坐标．（3）如图③，∠ACB＝90°，OC平分∠AOB，若点B坐标为（b，0），点A坐标为（0，a）．则S四边形AOBC＝．（只需写出结果，用含a，b的式子表示）解：（1）∵AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，∴∠ABC＝∠CDE＝∠ACE＝90°，∴∠A+∠ACB＝90°，∠ECD+∠ACB＝180°﹣∠ACE＝90°，∴∠A＝∠ECD，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴AB＝CD，BC＝DE，∴BD＝CD+BC＝AB+DE＝6；（2）过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E，如图②所示：∵△ABC为等腰直角三角形∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝CB，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ECB+∠ACD＝180°﹣∠ACB＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，∵点C的坐标为（1，0），点A的坐标为（﹣2，1），∴CO＝1，AD＝1，DO＝2，∴OE＝OC+CE＝OC+AD＝2，BE＝CD＝CO+DO＝3，∴点B的坐标为（2，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A、B两点的坐标代入，得，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x+2，当x＝0时，解得y＝2，∴直线AB与y轴的交点坐标为（0，2）；（3）过点C作CD⊥y轴于D，CE⊥x轴于E，如图③所示：∵OC平分∠AOB，∴CD＝CE∴四边形OECD是正方形∴∠DCE＝90°，OD＝OE，∵∠ACB＝90°，∴∠DCA+∠ACE＝∠ECB+∠ACE＝90°，∴∠DCA＝∠ECB，在△DCA和△ECB中，，∴△DCA≌△ECB（ASA），∴DA＝EB，S△DCA＝S△ECB，∵点B坐标为（b，0），点A坐标为（0，a），∴OB＝b，OA＝a，∵OD＝OE，∴OA+DA＝OB﹣BE，即a+DA＝b﹣DA，∴DA＝，∴OD＝OA+DA＝a+＝，∴S四边形AOBC＝S四边形AOEC+S△ECB＝S四边形AOEC+S△DCA＝S正方形DOEC＝OD2＝（）2＝，故答案为：．16、如图1，将边长为2的正方形OABC如图放置在直角坐标系中．（1）如图2，若将正方形OABC绕点O顺时针旋转30°时，求点A的坐标；（2）如图3，若将正方形OABC绕点O顺时针旋转75°时，求点B的坐标．解：（1）过点A作AD⊥x轴于点D，如图2所示：则∠AOD＝30°，∵正方形OABC的边长为2，∴AO＝2，∴AD＝AO＝1，∴OD＝＝＝，∴点A的坐标为：（，﹣1）；（2）连接OB，过点B作BE⊥x轴于点E，如图3所示：则∠AOE＝75°，∵四边形OABC是正方形，∴∠AOB＝45°，OB＝AO＝2，在Rt△BOE中，∠BOE＝∠AOE﹣∠AOB＝30°，∴BE＝OB＝，OE＝BE＝，∴点B的坐标为（，﹣）．。

数据库连接失败的常见原因及解决办法数据库连接是许多应用程序和系统的核心组成部分，当连接失败时，将对应用程序的正常运行产生负面影响。

因此，了解数据库连接失败的常见原因以及相应的解决办法对于维护和优化系统具有重要意义。

本文将介绍一些常见的数据库连接失败原因，并提供相应的解决办法，以帮助读者更好地应对这些问题。

1. 网络问题数据库连接失败的最常见原因之一是网络问题。

网络故障、路由器问题以及防火墙配置错误都可能导致数据库连接失败。

在面对数据库连接失败时，首先需要确保网络连接正常。

解决办法：- 检查网络连接是否正常，包括网线是否插好，Wi-Fi是否正常运行。

- 检查路由器和防火墙的配置，确保数据库端口没有被阻止或限制。

2. 数据库服务器问题数据库服务器故障或配置错误也是数据库连接失败的常见原因之一。

数据库服务器可能会因为资源达到极限、配置错误、权限问题等原因导致连接失败。

解决办法：- 检查数据库服务器的资源使用情况，确保其没有达到极限。

- 检查数据库服务器的配置文件，确保数据库实例的监听端口与应用程序中配置的端口一致。

- 检查数据库服务器的用户权限，确保应用程序所使用的用户有足够的权限连接数据库。

3. 数据库连接字符串配置错误连接字符串是用于建立与数据库之间连接的关键部分。

连接字符串中的错误可能会导致数据库连接失败。

例如，连接字符串中可能未正确指定数据库服务器的地址、端口、数据库名等。

解决办法：- 检查连接字符串，确保其中的服务器地址、端口、数据库名等信息正确无误。

- 使用连接字符串测试工具（如ConnectionTester等）来验证连接字符串的有效性。

4. 数据库账户验证失败数据库账户验证失败也是导致数据库连接失败的常见原因之一。

验证失败可能是由于密码错误、账户被锁定或者账户权限不足等原因引起的。

解决办法：- 确保数据库账户的密码正确无误。

- 检查数据库账户是否被锁定或禁止访问。

- 检查数据库账户的权限，确保其具备连接所需的最低权限。

专题05 倍长中线问题【要点提炼】一、【倍长中线法】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）+倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。

二、【倍长中线法拓展;两次全等】通常，在倍长中线后的第一组全等只是一个基础，往往还需证明第二组全等，但是难点就在于如何去倍长中线，倍长中线后去连接什么线，这是问题的关键。

这时一般需要去试错，尤其是当有两个中点时，一般是倍长中线后大概率会有另一组的全等。

三、【倍长中线的常见类型】1.基本型如图1，在中，为边上的中线.延长至点E，使得.若连结，则;若连结，则;若连结则四边形是平行四边形.2.中点型如图2, C为AB的中点.若延长EC 至点F ，使得CF EC =，连结AF ，则BCE ACF ∆≅∆;若延长DC 至点G ，使得CG DC =，连结BG ，则ACD BCG ∆≅∆.总结：在线段AB 外，与中点C 连结的点有E 和D .事实上，EC 和DC 分别是ABE ∆和ABD ∆的中线，只不过是三角形不完整罢了，本质就是隐蔽的“基本型”3.中点+平行线型如图3, //AB CD ，点E 为线段AD 的中点.延长CE 交AB 于点F (或交BA 延长线于点F )，则EDC EAF ∆≅∆.小结 若按“中点型”来倍长，则需证明点F 在AB 上，为了避免证明三点共线，点F 就直接通过延长相交得到.因为有平行线，内错角相等，故根据“AAS ”或“ASA ”证明全等.这里“中点+平行线型”可以看做是“中点型”的改良版.【专题训练】一、解答题（共14小题）1.小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC 中，AB ＝7，AC ＝5，点D 为BC 的中点，求AD 的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：（1）小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是：（用字母表示）（2）AD的取值范围是小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．【答案】【第1空】SAS【第2空】1＜AD＜6【解答】解：（1）如图2中，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．在△BED和△CAD中，，∴△BED≌△CAD（SAS）．（2）∵△BED≌△CAD，∴BE＝AC＝5，∵AB＝7，∴2＜AE＜12，∴2＜2AD＜12，∴1＜AD＜6．故答案分别为SAS，1＜AD＜6．解决问题：如图3中，解：延长GE交CB的延长线于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥CM，∴∠AGE＝∠M，在△AEG和△BEM中，，∴△AEG≌△BEM，∴GE＝EM，AG＝BM＝2，∵EF⊥MG，∴FG＝FM，∵BF＝4，∴MF＝BF+BM＝2+4＝6，∴GF＝FM＝6．【知识点】四边形综合题2.自主学习，学以致用先阅读，再回答问题：如图1，已知△ABC中，AD为中线．延长AD至E，使DE＝AD．在△ABD 和△ECD中，AD＝DE，∠ADB＝∠EDC，BD＝CD，所以，△ABD≌△ECD（SAS），进一步可得到AB＝CE，AB∥CE等结论．在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题．解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，F为AD上一点，且BF＝AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE＝EF．【解答】证明：延长AD到G，使DF＝DG，连接CG，∵AD是中线，∴BD＝DC，在△BDF和△CDG中∴△BDF≌△CDG，∴BF＝CG，∠BFD＝∠G，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠AFE＝∠G，∵BF＝CG，BF＝AC，∴CG＝AC，∴∠G＝∠CAF，∴∠AFE＝∠CAF，∴AE＝EF．【知识点】全等三角形的判定与性质3.阅读并解答问题．如图，已知：AD为△ABC的中线，求证：AB+AC＞2AD．证明：延长AD至E使得DE＝AD，连接EC，则AE＝2AD ∵AD为△ABC的中线∴BD＝CD在△ABD和△CED中，∴△ABD≌△CED∴AB＝EC在△ACE中，根据三角形的三边关系有AC+EC AE而AB＝EC，AE＝2AD∴AB+AC＞2AD这种辅助线方法，我们称为“倍长中线法”，请利用这种方法解决以下问题：（1）如图，已知：CD为Rt△ABC的中线，∠ACB＝90°，求证：CD＝；（2）把（1）中的结论用简洁的语言描述出来．【答案】＞【解答】解：（1）证明：延长CD至E使DE＝CD，连接EB，AE．∵CD为Rt△ABC的中线，∴AD＝CD，∵CD＝DE，∠ADC＝∠EDB，∴△ADC≌△EDB，∴∠ACD＝∠DEB，AC＝BE，∴AC∥BE，∴四边形ACBE是平行四边形，又∵∠ACB＝90°，∴平行四边形ACBE是矩形，∴AB＝CE，CD＝DE＝AD＝BD，∴CD＝AB；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【知识点】直角三角形斜边上的中线、全等三角形的判定与性质4.我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知：（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝BC；②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为．猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝2，AB＝2．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△P AB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△P AB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）①如图2中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝AB′＝AC′，∵DB′＝DC′，∴AD⊥B′C′，∵∠BAC＝60°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴∠B′AC′＝120°，∴∠B′＝∠C′＝30°，∴AD＝AB′＝BC，故答案为．②如图3中，∵∠BAC＝90°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°，∵AB＝AB′，AC＝AC′，∴△BAC≌△B′AC′，∴BC＝B′C′，∵B′D＝DC′，∴AD＝B′C′＝BC＝4，故答案为4．（2）结论：AD＝BC．理由：如图1中，延长AD到M，使得AD＝DM，连接B′M，C′M∵B′D＝DC′，AD＝DM，∴四边形AC′MB′是平行四边形，∴AC′＝B′M＝AC，∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，∠B′AC′+∠AB′M＝180°，∴∠BAC＝∠MB′A，∵AB＝AB′，∴△BAC≌△AB′M，∴BC＝AM，∴AD＝BC．（3）存在．理由：如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接P A、PD、PC，作△PCD的中线PN．连接DF交PC于O．∵∠ADC＝150°，∴∠MDC＝30°，在Rt△DCM中，∵CD＝2，∠DCM＝90°，∠MDC＝30°，∴CM＝2，DM＝4，∠M＝60°，在Rt△BEM中，∵∠BEM＝90°，BM＝14，∠MBE＝30°，∴EM＝BM＝7，∴DE＝EM﹣DM＝3，∵AD＝6，∴AE＝DE，∵BE⊥AD，∴P A＝PD，PB＝PC，在Rt△CDF中，∵CD＝2，CF＝6，∴tan∠CDF＝，∴∠CDF＝60°∴∠ADF＝90°＝∠AEB，∴∠CBE＝∠CFD，∵∠CBE＝∠PCF，∴∠CFD＝∠PCF，∵∠CFD+∠CDF＝90°，∠PCF+∠CPF＝90°，∴∠CPF＝∠CDF＝60°＝∠CDF易证△FCP≌△CFD，∴CD＝PF，∵CD∥PF，∴四边形CDPF是矩形，∴∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠ADC﹣∠CDP＝60°，∴△ADP是等边三角形，∴∠ADP＝60°，∵∠BPF＝∠CPF＝60°，∴∠BPC＝120°，∴∠APD+∠BPC＝180°，∴△PDC是△P AB的“旋补三角形”，∵AB＝2．∴△P AB的“旋补中线”长＝AB＝．【知识点】四边形综合题5.我们定义：如果两个三角形的两组对应边相等，且它们的夹角互补，我们就把其中一个三角形叫做另一个三角形的“夹补三角形”，同时把第三边的中线叫做“夹补中线．例如：图1中，△ABC 与△ADE的对应边AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，AF是DE边的中线，则△ADE 就是△ABC的“夹补三角形”，AF叫做△ABC的“夹补中线”．特例感知：（1）如图2、图3中，△ABC与△ADE是一对“夹补三角形”，AF是△ABC的“夹补中线”；①当△ABC是一个等边三角形时，AF与BC的数量关系是：；②如图3当△ABC是直角三角形时，∠BAC＝90°，BC＝a时，则AF的长是；猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AF与BC的关系，并给予证明．拓展应用：（3）如图4，在四边形ABCD中，∠DCB＝90°，∠ADC＝150°，BC＝2AD＝6，CD＝，若△P AD是等边三角形，求证：△PCD是△PBA的“夹补三角形”，并求出它们的“夹补中线”的长．【解答】解：（1）∵△ABC与△ADE是一对“夹补三角形”，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，①∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°∴AD＝AE＝AB＝AC，∠DAE＝120°，∴∠ADE＝30°，∵AF是“夹补中线”，∴DF＝EF，∴AF⊥DE，在Rt△ADF中，AF＝AD＝AB＝BC，故答案为：AF＝BC；②当△ABC是直角三角形时，∠BAC＝90°，∵∠DAE＝90°＝∠BAC，易证，△ABC≌△ADE，∴DE＝BC，∵AF是“夹补中线”，∴DF＝EF，∴AF＝DE＝BC＝a，故答案为a；（2）解：猜想：AF＝BC，理由：如图1，延长DA到G，使AG＝AD，连EG∵△ABC与△ADE是一对“夹补三角形”，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，∴AG＝AB，∠EAG＝∠BAC，AE＝AC，∴△AEG≌△ACB，∴EG＝BC，∵AF是“夹补中线”，∴DF＝EF，∴AF＝EG，∴AF＝BC；（3）证明：如图4，∵△P AD是等边三角形，∴DP＝AD＝3，∠ADP＝∠APD＝60°，∵∠ADC＝150°，∴∠PDC＝90°，作PH⊥BC于H，∵∠BCD＝90°∴四边形PHCD是矩形，∴CH＝PD＝3，∴BH＝6﹣3＝3＝CH，∴PC＝PB，在Rt△PCD中，tan∠DPC＝＝，∴∠DPC＝30°∴∠CPH＝∠BPH＝60°，∠APB＝360°﹣∠APD﹣∠DPC﹣∠BPC＝150°，∴∠APB+∠CPD＝180°，∵DP＝AP，PC＝PB，∴△PCD是△PBA的“夹补三角形”，由（2）知，CD＝，∴△P AB的“夹补中线”＝＝．【知识点】四边形综合题6.如图1，在△ABC中，点D是BC的中点，延长AD到点G，使DG＝AD，连接CG，可以得到△ABD≌△GCD，这种作辅助线的方法我们通常叫做“倍长中线法”．如图2，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AB上一点，连接ED，小明由图1中作辅助线的方法想到：延长ED到点G，使DG＝ED，连接CG．（1）请直接写出线段BE和CG的关系：；（2）如图3，若∠A＝90°，过点D作DF⊥DE交AC于点F，连接EF，已知BE＝3，CF＝2，其它条件不变，求EF的长．【答案】BE=CG【解答】解：（1）∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，在△EBD和△GCD中，∵，∴△EBD≌△GCD（SAS），∴BE＝CG，故答案为：BE＝CG；（2）如图，连接GF，由（1）知△EBD≌△GCD，∴∠B＝∠GCD，BE＝CG＝3，又∵∠A＝90°，∴∠B+∠BCA＝90°，∴∠GCD+∠BCA＝90°，即∠GCF＝90°，∵CG＝3，CF＝2，∴FG＝＝，∵DF⊥DE，且DE＝DG，∴EF＝FG＝．【知识点】全等三角形的判定与性质7.[方法呈现]（1）如图①，△ABC中，AD为中线，已知AB＝3，AC＝5，求中线AD长的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连结CE，则易证△DEC≌△DAB，得到EC＝AB＝3，则可得AC﹣CE＜AE＜AC+CE，从而可得中线AD长的取值范围是．[探究应用]（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系，并写出完整的证明过程．（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．【答案】2＜AD＜8【解答】解：（1）由题意知AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣4＜AD＜5+3，∴2＜AD＜8，故答案为：2＜AD＜8；（2）如图②，延长AE，DC交于点F，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠F，在△ABE和△FCE中CE＝BE，∠BAF＝∠F，∠AEB＝∠FEC，∴△ABE≌△FEC（AAS），∴CF＝AB，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAF＝∠F AD，∴∠F AD＝∠F，∴AD＝DF，∵DC+CF＝DF，∴DC+AB＝AD．（3）如图③，延长AE，DF交于点G，同（2）可得：AF＝FG，△ABE≌△GEC，∴AB＝CG，∴AF+CF＝AB．【知识点】四边形综合题8.数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程．（1）求证：△ADC≌△EDB证明：∵延长AD到点E，使DE＝AD在△ADC和△EDB中AD＝ED（已作）∠ADC＝∠EDB（）CD＝BD（中点定义）∴△ADC≌△EDB（）（2）探究得出AD的取值范围是；【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE＝4，且∠ADE ＝90°，求AE的长．【答案】【第1空】对顶角相等【第2空】SAS【第3空】1＜AD＜7【解答】解：（1）证明：延长AD到点E，使DE＝AD，在△ADC和△EDB中，AD＝ED（已作），∠ADC＝∠EDB（对顶角相等），CD＝BD（中点定义），∴△ADC≌△EDB（SAS），故答案为：对顶角相等，SAS；（2）∵△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝6，8﹣6＜AE＜8+6，∴1＜AD＜7，故答案为：1＜AD＜7；（3）延长AD交EC的延长线于F，∵AB⊥BC，EF⊥BC，∴∠ABD＝∠FCD，在△ABD和△FCD中，，∴△ABD≌△FCD，∴CF＝AB＝2，AD＝DF，∵∠ADE＝90°，∴AE＝EF，∵EF＝CE+CF＝CE+AB＝4+2＝6，∴AE＝6．【知识点】三角形综合题9.我们定义：在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，我们称△AB'C'叫△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'的边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”．下面各图中，△AB'C'均是△ABC的“旋补三角形”，AD均是△ABC的“旋补中线”．（1）如图1，若△ABC为等边三角形，BC＝8，则AD的长等于；（2）如图2，若∠BAC＝90°，求证：AD＝BC；（3）如图3，若△ABC为任意三角形，（2）中结论还成立吗？如果成立，给予证明；如果不成立，说明理由．【解答】解：（1）如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝AB′＝AC′，∵DB′＝DC′，∴AD⊥B′C′，∵∠BAC＝60°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴∠B′AC′＝120°，∴∠B′＝∠C′＝30°，∴AD＝AB′＝BC＝4，（2）证明：如图2中，∵AB绕点A旋转得到AB'，AC绕点A旋转得到AC'，∴AB′＝AB，AC'＝AC，∵∠BAC＝90°，α+β＝180°，∠B′AC′＝360°﹣（α+β）﹣∠BAC，∴∠B′AC′＝360°﹣180°﹣90°＝90°，∴∠BAC＝∠B′AC′，∴△BAC≌△B′AC′（SAS）∴BC＝B′C′，∵AD是△AB'C'边B'C'上的中线，∠B′AC′＝90°．∴AD＝B′C′．∴AD＝BC．（3）结论AD＝BC成立．理由：如图3中，延长AD到A′，使得AD＝DA′，连接B′A′，C′A′．∴AD＝AA′，∵B′D＝DC′，AD＝DA′，∴四边形AB′A′C′是平行四边形，∴AC′＝B′A′＝AC，∵∠BAC+∠B′AC′＝360°﹣180°＝180°，∠B′AC′+∠AB′M＝180°，∴∠BAC＝∠AB′A′，∵AB＝AB′，∴△BAC≌△AB′A′（SAS）∴BC＝AA′，∴AD＝BC．【知识点】几何变换综合题10.阅读理解：小明热爱数学，在课外书上看到了一个有趣的定理﹣﹣“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在△ABC中，点D为BC的中点，根据“中线长定理”，可得：AB2+AC2＝2AD2+2BD2．小明尝试对它进行证明，部分过程如下：解：过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2，同理可得：AC2＝AE2+CE2，AD2＝AE2+DE2，为证明的方便，不妨设BD＝CD＝x，DE＝y，∴AB2+AC2＝AE2+BE2+AE2+CE2＝…（1）请你完成小明剩余的证明过程；理解运用：（2）①在△ABC中，点D为BC的中点，AB＝6，AC＝4，BC＝8，则AD＝；②如图3，⊙O的半径为6，点A在圆内，且OA＝2，点B和点C在⊙O上，且∠BAC＝90°，点E、F分别为AO、BC的中点，则EF的长为；拓展延伸：（3）小明解决上述问题后，联想到《能力训练》上的题目：如图4，已知⊙O的半径为5，以A （﹣3，4）为直角顶点的△ABC的另两个顶点B，C都在⊙O上，D为BC的中点，求AD长的最大值．请你利用上面的方法和结论，求出AD长的最大值．【解答】解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2，同理可得：AC2＝AE2+CE2，AD2＝AE2+DE2，为证明的方便，不妨设BD＝CD＝x，DE＝y，∴AB2+AC2＝2AE2+（x+y）2+（x﹣y）＝2AE2+2x2+2y2、＝2AE2+2BD2+2DE2＝2AD2+2BD2．（2）①∵AB2+AC2＝2AD2+2BD2，∴62+42＝2AD2+2×42，∴AD＝②如图3中，∵AF是△ABC的中线，EF是△AEO的中线，OF是△BOC的中线，∵2EF2+2AE2＝AF2+OF2，2AF2+2BF2＝AB2+AC2，OF2＝OB2﹣BF2，∴4EF2＝2OB2﹣4AE2＝2OB2﹣OA2，∴EF2＝OB2﹣OA2＝16，∴EF＝4（负根以及舍弃），故答案为．4．（3）如图4中，连接OA，取OA的中点E，连接DE．由（2）的②可知：DE═OB2﹣OA2＝，在△ADE中，AE＝，DE＝，∵AD≤AE+DE，∴AD长的最大值为+＝10．【知识点】圆的综合题11.[问题提出]如图①，在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．[问题解决]解决此问题可以用如下方法，延长AD到点E使DE＝AD，再连结BE（或将△ACD绕着点D逆时针装转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断，由此得出中线AD的取值范围是[应用]如图②，如图，在△ABC中，D为边BC的中点，已知AB＝5，AC＝3，AD＝2．求BC的长[拓展]如图③，在△ABC中，∠A＝90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上，过点D作DF⊥DE交边AC于点F，连结EF，已知BE＝4，CF＝5，则EF的长为【解答】解：（1）在△DAC和△DEB中，，∴△DAC≌△DEB（SAS），∴AC＝EB＝4，∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，AB＝6，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5，故答案为：1＜AD＜5；（2）延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如图②，在△DAC和△DEB中，，∴△DAC≌△DEB（SAS），∴AC＝EB＝3，∵AE＝2AD＝4，AB＝5，∴BE2+AE2＝AB2，∴∠AEB＝90°，∴BD＝，∴BC＝2BD＝2；（3）延长FD到G，使得DG＝FD，连接BG，EG，如图③，在△BDG和△CDF中，，∴△BDG≌△CDF（SAS），∴BG＝CF＝5，DG＝DF，∠DBG＝∠DCF，∵DE⊥DF，∴EG＝EF，∵∠A＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠DBG＝90°，∴EG＝，∴EF＝，故答案为：．【知识点】全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、垂线段最短、三角形三边关系、解直角三角形12.我们定义：如图1，在△ABC看，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知：（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝BC；②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为．猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．【解答】解：（1）①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝BC；理由：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝AB′＝AC′，∵DB′＝DC′，∴AD⊥B′C′，∵∠BAC＝60°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴∠B′AC′＝120°，∴∠B′＝∠C′＝30°，∴AD＝AB′＝BC，故答案为．②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为4．理由：∵∠BAC＝90°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°，∵AB＝AB′，AC＝AC′，∴△BAC≌△B′AC′，∴BC＝B′C′，∵B′D＝DC′，∴AD＝B′C′＝BC＝4，故答案为4．（2）猜想．证明：如图，延长AD至点Q，则△DQB'≌△DAC'，∴QB'＝AC'，QB'∥AC'，∴∠QB'A+∠B'AC'＝180°，∵∠BAC+∠B'AC'＝180°，∴∠QB'A＝∠BAC，又由题意得到QB'＝AC'＝AC，AB'＝AB，∴△AQB'≌△BCA，∴AQ＝BC＝2AD，即．【知识点】几何变换综合题13.如图1，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM（点D与点A重合除外）上时，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连接BE．（1）判断AD与BE是否相等，请说明理由；（2）如图2，若AB＝8，点P、Q两点在直线BE上且CP＝CQ＝5，试求PQ的长；（3）在第（2）小题的条件下，当点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时．判断PQ的长是否为定值，若是请直接写出PQ的长；若不是请简单说明理由．【解答】解：（1）AD＝BE．理由如下：∵△ABC，△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∵∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝60°，∠BCE+∠BCD＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，∵，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；（2）如图，过点C作CN⊥BQ于点N，∵CP＝CQ，∴PQ＝2PN，∵△ABC是等边三角形，AM是中线，∴CM⊥AD，CM＝BC＝×8＝4，∴CN＝CM＝4（全等三角形对应边上的高相等），∵CP＝CQ＝5，∴PN＝＝＝3，∴PQ＝2PN＝2×3＝6；（3）PQ的长为定值6．∵点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时，△ACD和△BCE全等，∴对应边AD、BE上的高线对应相等，∴CN＝CM＝4是定值，∴PQ的长是定值．【知识点】全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质14.我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）并缩短一半得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β并缩短一半得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，我们称△AB'C'是△ABC的“旋半三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋半中线”，点A 叫做“旋半中心”．特例感知：（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋半三角形”，AD是△ABC的“旋半中线”．①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝BC；②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝4时，则AD长为．猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．拓展应用：（3）如图4，在平面直角坐标系中，△ABC的坐标分别是A（4，3），B（1，0），C（5，0），△AB′C′是△ABC的“旋半三角形”，AD是△ABC的“旋半中线”，连结OD，求OD的最大值是多少？并请直接写出当OD最大时点D的坐标．【解答】解：（1）①如图2中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝2AB′＝2AC′，∵DB′＝DC′，∴AD⊥B′C′，∵∠BAC＝60°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴∠B′AC′＝120°，∴∠B′＝∠C′＝30°，∴AD＝AB′＝BC，故答案为：．②如图3中，∵∠BAC＝90°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°，∵AB＝AB′，AC＝AC′，∴△BAC∽△B′AC′，∴BC＝2B′C′，∵B′D＝DC′，∴AD＝B′C′＝BC＝＝1，故答案为：1；（2）结论：AD＝BC．理由：如图1中，延长AD到M，使得AD＝DM，连接B′M，C′M∵B′D＝DC′，AD＝DM，∴四边形AC′MB′是平行四边形，∴AC′＝B′M＝AC，∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，∠B′AC′+∠AB′M＝180°，∴∠BAC＝∠MB′A，∵AB＝AB′，∴△BAC∽△AB′M，∴BC＝2AM，∴AD＝BC．（3）如图4，∵AD＝BC，BC＝4，∴AD＝1，∴D在以A为圆心，以1为半径的圆上，∴当D运动到直线OA与半圆相交时OD最大，∵A（4，3），∴OA＝5，∵AD＝1，∴OD的最大值是6．过A作AE⊥x轴于E，过D作DF⊥x轴于F，∴AE∥DF，∴△AOE∽△DOF，∴＝＝，∵OE＝4，AE＝3，∴OF＝，DF＝，∴D（，）．【知识点】几何变换综合题。

专题1.13 特殊平行四边形动点问题（专项练习）一、单选题类型一、菱形动点问题1．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB 于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE＋PF的值为()A．4B．245C．6D．4852．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，点F是CD边上一点，且DF＝1，点E是BC边上的一个动点，M、N分别是线段AE、AF的中点，连接EF和MN，当点E在BC边上从点B向点C移动时，线段MN的最小值是（）A．1B．1.5C．2D．33．如图，在▱ABCD中，对角线BD⊥AD，AB＝16，⊥A＝60°，O为BD的中点，E为边AB上一动点，以2cm/s的速度从A点向B点运动，运动时间为ts，连接EO并延长交CD于点F，连接DE、BF，下列结论不成立的是（）A．四边形DEBF为平行四边形B．若t＝4，则四边形DEBF为菱形C．若t＝2，则四边形DEBF为矩形D．若t＝6，则四边形DEBF为正方形4．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，动点P从点A出发沿AB向点B移动，移动到点B停止，延长PO交CD于点Q，则四边形APCQ形状的变化依次为（）A．平行四边形—矩形—平行四边形—矩形B．平行四边形—菱形—平行四边形—矩形C．平行四边形—矩形—菱形—矩形D．平行四边形—菱形—平行四边形类型二、矩形动点问题5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E为CB上一动点（不与点C重合），将⊥CDE沿DE所在直线折叠，点C的对应点C'恰好落在AE上，则CE的长是（）A．2B．1C．2D．36．如图，矩形ABCD中，P为AB边上一动点（含端点），E为CD中点，F为CP中点，当点P由B向A运动时，下面对EF变化情况描述正确的是（）A．由小变大B．由大变小C．先变大后边小D．先变小后变大7．如图，四边形ABCO是矩形，点D是BC边上的动点（点D与点B、点C不重合），则BAD DOCADO∠+∠∠的值为（）A．1B．12C．2D．无法确定8．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝BN，AD＝3AM，E为BC边上一动点，连接DE，将⊥DCE沿DE所在直线折叠得到⊥DC′E，当C′点恰好落在线段MN上时，CE的长为（）A．52或2B．52C．32或2D．32类型三、正方形动点问题9．如图，正方形ABCD的面积为225cm，点E为BC边上一动点，点F为CD边上一动点，连接AE、AF，点E和点F在运动的过程中始终保持45EAF∠=︒，则CEF∆的周长（）A．10cm B．8cm C．6cm D．4cm10．如图，已知正方形ABCD边长是6，点P是线段BC上一动点，过点D作DE⊥AP 于点E．连接EC，若CE CD=，则⊥CDE的面积是（）A．18B．413C．63D．14.411．如图，在边长为6的正方形ABCD中，P是边AD的中点，E是边AB上的一个动点（不与A重合），以线段AE为边在正方形内作等边⊥AEF，M是边EF的中点，连接PM，则在点E运动过程中，PM的最小值是（）A．332B．532C．7D．312．如图，在正方形有ABCD中，E是AB上的动点，（不与A、B重合），连结DE，点A关于DE的对称点为F，连结EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG 的延长线于点H ，连接BH ，那么BHAE 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2二、填空题类型一、菱形动点问题13．如图（1）是一张菱形纸片，其中135A ∠=︒，1AB =，点E 为BC 边上一动点．如图（2），将纸片沿AE 翻折，点B 的对应点为B '；如图（3），将纸片再沿AB '折叠，点E 的对应点为E '．当AE '与菱形的边垂直时，BE 的长为______．14．如图，在菱形ABCD 中，⊥ABC ＝120°，对角线AC 、BD 交于点O ，BD ＝4，点E 为OD 的中点，点F 为AB 上一点，且AF ＝3BF ，点P 为AC 上一动点，连接PE 、PF ，则PF ﹣PE 的最大值为 ___．15．如图，已知等边三角形ABC 绕点B 顺时针旋转60︒得到CBD ，E ，F 分别为线段AC 和线段CD 上的动点，且AE CF =，有以下结论：⊥四边形ABDC 为菱形；⊥≅ABE CBF ；⊥BEF 为等边三角形；⊥CFB CGE ∠=∠．其中正确结论有__________．（填序号）16．如图，点E 是菱形ABCD 边AB 的中点，点F 为边AD上一动点，连接EF ，将⊥AEF 沿直线EF 折叠得到⊥A 'EF ，连接A 'D ，A 'C ．已知 BC ＝4，⊥B ＝120°，当⊥A 'CD 为直角三角形时，线段AF 的长为______．类型二、矩形动点问题17．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5．点E 是BC 边上一动点，连接AE ．将⊥ABE沿AE 翻折得到⊥AEF ，连接DF ．当⊥ADF 的面积为52时，线段BE 的长为______．18．已知矩形ABCD 中，AB ＝6．点E 为AD 上一个动点，连接CE ，将CDE △沿CE 折叠，点D 落在点F 处，当点F 为线段AB 的三等分点时，AE 的长为______．19．如图，矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，动点E 、F 分别从点A 、C 同时出发，以相同的速度分别沿AD 、CB 向终点D 、B 移动，当点E 到达点D 时，运动停止，过点B 作直线EF 的垂线BP ，垂足为点P ，连接CP ，则CP 长的最小值为________．20．如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点E 是CB 上的一个动点，把△DCE 沿DE 折叠，若点C 的对应点C ′刚好落在线段AB 的垂直平分线上，则CE 的长度为_____．类型三、正方形动点问题21．如图，在正方形ABCD 中，点P ，Q 分别是AB ，AD 的中点，点E 是CD 边上一个动点，连接PE ，将四边形PBCE 沿PE 折叠，得到四边形PEFH ．（1）若P ，H ，Q 三点在同一条直线上，则BPE ∠的大小为______°；（2）若2AB =，则F ，Q 两点的连线段的最小值为______．22．如图，正方形ABCD 的边长为3，点G 在边AD 上，GD ＝1，GH ⊥BC 于点H ，点E 是边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），EF ⊥CD 于点F ，交GH 于点Q ，点O 、P 分别是EH 和GQ 的中点，连接OP ，则线段OP 的长度为__________．23．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、DC 上的动点，且EF ＝4，Q 为EF 中点，P 是边AD 上的一个动点，则PQ +PB 的最小值是_____．24．如图，正方形ABCD 中，点E 为BC 边的中点，点P 为边AB上一个动点，连接PE ，以PE 为对称轴折叠PBE △得到PFE △，点B 的对应点为点F ，若2AB =，当射线EF 经过正方形ABCD 边的中点（不包括点E ）时，BP 的长为_____________．三、解答题25．如图，将正方形AOBC 放在平面直角坐标系中，点O 是坐标系原点，A 点坐标为（-1，3）．(1)求出点B 、C 的坐标：(2)在x 轴上有一动点Q ，过点Q 作PQ ⊥x 轴，交BC 于点P ，连接AP ，将四边形AOBP 沿AP 翻折，当点O 刚好落在y 轴上点E 处时，求点P 、D 的坐标．26．如图，在矩形ABCD 中，6cm AB =，4cm BC =，动点P从点A 出发，以2cm/s 的速度沿AB 向点B 移动，同时，点Q 从点C 出发，以lcm/s 的速度沿CD 向点D 移动（点P 到达点B 停止时，点Q 也随之停止运动），设点P 运动时间为t 秒．（1）试求当t 为何值时四边形APQD 为矩形；（2）P 、Q 两点出发多长时间，线段PQ 的长度为5cm ．27．已知矩形ABCD 中，E 是AD边上的一个动点，点F ，G ，H 分别是BC ，BE ，CE 的中点．（1）求证：BGF FHC ≌；（2）当E 是AD 的中点时，四边形EHFG 是什么样的特殊四边形？请证明你的结论．28．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，⊥DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN．(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)填空：⊥当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；⊥当AM的值为时，四边形AMDN是菱形．参考答案1．B【分析】连接BP，通过菱形ABCD的周长为20，求出边长，菱形面积为24，求出SABC的面积，然后利用面积法，SABP+SCBP=SABC，即可求出PE PF的值．解：连接BP，如图，⊥菱形ABCD的周长为20，⊥AB=BC=20÷4=5，又⊥菱形ABCD的面积为24，⊥SABC=24÷2=12，又SABC= SABP+SCBP⊥SABP+SCBP=12，⊥111222AB PF BC PE += ， ⊥AB =BC ，⊥()1122AB PE PF += ⊥AB =5，⊥PE +PF =12×25=245． 故选：B ．【点拨】本题主要考查菱形的性质，解题关键在于添加辅助线，通过面积法得出等量关系，求出PF +PE 的值．2．B【分析】利用三角形中位线性质求解即可.解：⊥M 、N 分别是线段AE 、AF 的中点，⊥12MN EF =， ⊥点E 在BC 边上从点B 向点C 移动，⊥当点E 运动到点C 的位置时，EF 最小，此时，EF =4-1=3，⊥线段MN 的最小值为1.5.故选：B【点拨】此题考查三角形的中位线的性质，知道当点E 运动到点C 的位置时EF 最小是解答此题的关键.3．D【分析】由▱ABCD ，得EB ∥FD ，再证⊥BOE ⊥△DOF （AAS ），得BE =DF ，即可得出四边形BEDF 是平行四边形，可以判定A ；当t =4时，则AE =2t =8，证⊥ADE 是等边三角形，DE =AE =8，再因四边形DEBF 是平行四边形，所以四边形DEBF 是菱形，可判定B ；当t =2时，则AE =2t =4，同理可得四边形DEBF 是菱形，可判定C ；当t ＝6时，则AE =2t =12，在AE 上截取AG =AD =8，连接DG ，证⊥BED >120°≠90°，所以四边形DEBF 不可能是正方形，可判定D ．解：A 、⊥▱ABCD ，⊥AB ∥CD ，即EB ∥FD ，⊥⊥BEO =⊥DFO ，⊥EBO =⊥FDO ，⊥OB=OD，⊥⊥BOE⊥△DOF（AAS），⊥BE=DF，⊥四边形BEDF是平行四边形，故此选项正确，不符合题意；B、当t=4时，则AE=2t=8，⊥AD⊥BD，⊥⊥ADB=90°，在Rt△ABD中，⊥ADB=90°，⊥A=60°，⊥⊥ABC=30°，⊥AD=12AB=8，⊥AD=AE，⊥⊥ADE是等边三角形，⊥DE=AE=8，⊥四边形DEBF是平行四边形，⊥四边形DEBF是菱形；故此选项正确，不符合题意；C、当t=2时，则AE=2t=4，⊥4182AEAD==，81162ADAB==，AE ADAD AB=，⊥⊥A=⊥A，⊥⊥ADE⊥⊥ABD，⊥⊥AED=⊥ADB=90°，⊥⊥BED=90°，⊥四边形DEBF是平行四边形，⊥四边形DEBF是矩形；故此选项正确，不符合题意；D、当t＝6时，则AE=2t=12，在AE上截取AG=AD=8，连接DG，如图，⊥⊥A=60°，⊥⊥ADG是等边三角形，⊥⊥AGD=60°，⊥⊥AED<60°，⊥⊥BED>120°≠90°，⊥四边形DEBF不可能是正方形；故此选错误，符合题意；故选：D．【点拨】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定是解题的关键．4．B【分析】根据对称中心的定义，矩形的性质，可得四边形APCQ的形状变化情况，这个四边形首先是平行四边形，当对角线互相垂直时，是菱形，然后又是平行四边形，最后点A、B重合时是矩形．解：观察图形可知，四边形APCQ形状的变化一次为：平行四边形—菱形—平行四边形—矩形故选：B．【点拨】本题考查中心对称、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定等知识，在重要考点，掌握相关知识是解题关键．5．B【分析】由矩形的性质得出⊥B=⊥C=90°，AD=BC=5，CD=AB=3，由折叠的性质得C'D=CD=3，C'E=CE，由勾股定理得出AC'，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．解：⊥四边形ABCD是矩形，⊥⊥B=⊥C=90°，AD=BC=5，CD=AB=3，由折叠的性质得：C'D=CD=3，C'E=CE，⊥DC'E=⊥C=90°，⊥⊥AC'D=90°，⊥AC，设CE=C'E=x，在Rt△ABE中，BE=5-x，AE=x+4，由勾股定理得：（5-x）2+32=（x+4）2，解得：x=1，故选：B．【点拨】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．6．B【分析】连接DP，则EF为⊥CDP的中位线，当点P由B向A运动时，DP由大变小，利用中位线的性质即可得到结论．解：连接DP，⊥E为CD中点，F为CP中点，⊥EF为⊥CDP的中位线，DP，⊥EF＝12在Rt⊥DAP中，由勾股定理得，DP当点P由B向A运动时，AP的长度逐渐减小，⊥DP减小，⊥EF由大变小，故选：B．【点拨】本题考查了矩形的性质和中位线的性质，解题的关键是连接DP，构造三角形中位线．7．A【分析】过点D 作//DE AB 交AO 于点E ，由平行的性质可知,BAD ADE DOC ODE ∠=∠∠=∠，等量代换可得BAD DOC ADO∠+∠∠的值. 解：如图，过点D 作//DE AB 交AO 于点E ，四边形ABCO 是矩形//AB OC∴//DE AB //,//AB DE DE OC ∴,BAD ADE DOC ODE ∴∠=∠∠=∠1BAD DOC BAD DOC BAD DOC ADO ADE ODE BAD DOC∠+∠∠+∠∠+∠∴===∠∠+∠∠+∠故选：A. 【点拨】本题主要考查了平行线的性质，灵活的添加辅助线是解题的关键.8．B【分析】由矩形的性质得到CD ＝AB ＝5，AD ＝BC ＝6，⊥A =90°，根据已知条件推出四边形MNCD的矩形，得到⊥DMN ＝⊥MNC ＝90°，MN ＝CD ＝5，根据折叠的性质得到C ′D ＝CD ＝5，C′E=CE ，根据勾股定理得到MC ′3，再由勾股定理即可得到结论．解：设CE ＝x ，则C ′E ＝x ，⊥矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝6，⊥CD ＝AB ＝5，AD ＝BC ＝6，AD ⊥BC ，⊥点M ，N 分别在AD ，BC 上，且3AM ＝AD ，BN ＝AM ，⊥DM ＝CN ＝4，⊥四边形CDMN 为平行四边形，⊥⊥NCD ＝90°，⊥四边形MNCD 是矩形，⊥⊥DMN ＝⊥MNC ＝90°，MN ＝CD ＝5由折叠知，C ′D ＝CD ＝5，⊥MC ′3，⊥C ′N ＝5﹣3＝2，⊥EN ＝CN ﹣CE ＝4﹣x ，⊥C ′E 2﹣NE 2＝C ′N 2，⊥x 2﹣（4﹣x ）2＝22，解得，x ＝52，即CE ＝52． 故选：B ．【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．9．A【分析】先根据正方形的性质得AB =AD =5cm ，⊥BAD =⊥B =90°，把⊥ADF 绕点A 顺时针旋转90°可得到⊥ABG ，接着利用“SAS ”证明 EAG EAF ≌，得到EG =EF =BE +DF ，然后利用三角形周长的定义得到△CEF 的周长=CE +CF +BE +DF =CB +CD ，由此即可解决问题．解：⊥四边形ABCD 为正方形，⊥AB =AD ，⊥BAD =⊥B =90°，又正方形ABCD 的面积为225cm ，⊥5cm AB BC CD DA ====⊥把△ADF 绕点A 顺时针旋转90°可得到△ABG ，如图，⊥AG =AF ，BG =DF ，⊥GAF =90°，⊥ABG =⊥B =90°，⊥点G 在CB 的延长线上，⊥⊥EAF =45°，⊥⊥EAG =⊥GAF -⊥EAF =45°，⊥⊥EAG =⊥EAF ，在△EAG 和△EAF 中，AE AE EAG EAF AG AF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，⊥ EAG EAF ≌（SAS ），⊥EG =EF ，而EG =BE +BG =BE +DF ，⊥EF =BE +DF ，⊥CEF △的周长=CE +CF +BE +DF =CB +CD =5+5=10cm ．故选：A ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，解题的关键是利用旋转添加辅助线构造全等三角形解决问题．10．D【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定可以得到△ADE 和△DCF 全等，然后即可得到CF 和DE 的关系，根据等腰三角形的性质可以得到DF 和DE 的关系，再根据勾股定理可以得到DF 2的值，然后即可计算出△CDE 的面积．解：作CF ⊥ED 于点F ，如图所示，⊥四边形ABCD 是正方形，⊥AD ＝DC ，⊥CDA ＝90°，⊥⊥ADE +⊥FDC ＝90°，⊥CF ⊥DE ，CD ＝CE ，⊥EF ＝DF ＝12DE ，⊥CFD ＝90°，⊥⊥FDC +⊥DCF ＝90°，⊥⊥ADE ＝⊥DCF ，在△ADE 和△DCF 中，AED DFC ADE DCF AD DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ，⊥⊥ADE⊥⊥DCF（AAS），⊥DE＝CF，⊥DF＝12CF，⊥⊥CFD＝90°，CD＝6，⊥DF2+CF2＝CD2，即DF2+（2DF）2＝62，解得DF2＝7.2，⊥S△CDE＝2222DE CF DF DF⋅⋅=＝2DF2＝2×7.2＝14.4，故选：D．【点拨】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是求出DF2的值．11．A【分析】连接PF，由已知，M在⊥F AE的平分线上，当PM⊥AM时，PM最小，于是得到当P，F，M三点共线时，PM的值最小，连接AM，根据等边三角形的性质得到AM⊥EF，⊥EAM=30°，求得⊥P AM=60°，根据三角函数的定义即可得到结论．解：如图，连接AM，⊥P是边AD的中点，AD=6，⊥AP=3，连接PF，由已知，M在⊥F AE的平分线上，当PM⊥AM时，PM最小⊥此时P，F，M三点共线时连接AM，⊥⊥AEF是等边三角形，M是边EF的中点，⊥AM⊥EF，⊥EAM=30°，⊥⊥P AM=60°，⊥PM AP = 故选 A ． 【点拨】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键．12．B【分析】作辅助线，构建全等三角形，证明⊥DAE ⊥⊥ENH ，得AE =HN ，AD =EN ，再说明⊥BNH 是等腰直角三角形，可得结论．解：如图，在线段AD 上截取AM ，使AM =AE ，，⊥AD =AB ，⊥DM =BE ，⊥点A 关于直线DE 的对称点为F ，⊥⊥ADE ⊥⊥FDE ，⊥DA =DF =DC ，⊥DFE =⊥A =90°，⊥1=⊥2，⊥⊥DFG =90°，在Rt ⊥DFG 和Rt ⊥DCG 中，⊥DF DC DG DG=⎧⎨=⎩， ⊥Rt ⊥DFG ⊥Rt ⊥DCG （HL ），⊥⊥3=⊥4，⊥⊥ADC =90°，⊥⊥1+⊥2+⊥3+⊥4=90°，⊥2⊥2+2⊥3=90°，⊥⊥2+⊥3=45°，即⊥EDG =45°，⊥EH ⊥DE ，⊥⊥DEH =90°，⊥DEH 是等腰直角三角形，⊥⊥AED +⊥BEH =⊥AED +⊥1=90°，DE =EH ，⊥⊥1=⊥BEH ，在⊥DME 和⊥EBH 中，⊥1DM BE BEHDE EH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥DME ⊥⊥EBH （SAS ），⊥EM =BH ，Rt ⊥AEM 中，⊥A =90°，AM =AE ，⊥EM =，⊥BH ，即BHAE． 故选：B ．【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，等知识，解决本题的关键是作出辅助线，利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等．13【分析】分AE BC '⊥和AE AB '⊥两种情况求解即可．解：⊥当AE BC '⊥时，如图1，⊥四边形ABCD 是菱形，⊥135C BAD ∠=∠=︒，180C B ∠+∠=︒，BC //AD ，⊥45B ∠=︒，90DAF ∠=︒，⊥1359045BAF ∠=︒-︒=︒，⊥45B BAF ∠=∠=︒，⊥AF =BF ，在Rt BAF ∆中，222,1AB AF BF AB =+=，⊥1)AF BF AB ==== 由折叠得，⊥114515,33BAE EAB B AE BAE ''''︒︒=∠=∠=∠=⨯= ⊥⊥151530EAE EAB B AE ︒︒︒''+'=∠+∠==， 又tan ,EF EAF AF∠=⊥tan EF AF EAF =⋅∠=，⊥BE BF EF =-== ⊥当AE AB '⊥时，如图2，即⊥90BAE '︒=，⊥⊥''30B AE B AE BAE ︒∠'=∠=='，过点E 作EG AB ⊥于点G ，则,EG BG AG ==，又⊥AB BG AG =+，1EG =，⊥1EG =， ⊥BE ==综上，BE【点拨】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，用正切值求边长，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．14．1【分析】取OB 中点E '，连接PE '，作射线FE '交AC 于点P '．则PE ＝PE '，当P 与P '重合，P '、E '、F 三点在同一直线上时，PF ﹣PE '有最大值，即为FE '的长．解：如图，取OB 中点E '，连接PE '，作射线FE '交AC 于点P '．则PE ＝PE '，⊥PF﹣PE＝PF﹣PE'≤FE'，当P与P'重合，P'、E'、F三点在同一直线上时，PF﹣PE'有最大值，即为FE'的长，⊥在菱形ABCD中，⊥ABC＝120°，⊥⊥ABD＝60°，⊥DAB＝60°，⊥⊥ABD为等边三角形．⊥AB＝BD＝AD＝4．⊥OD＝OB＝2．⊥点E'为OB的中点，E'B＝1，AF＝3BF，⊥BF1AB＝1，4⊥⊥ABD＝60°，⊥⊥BE'F为等边三角形，⊥E'F＝FB＝1．故PF﹣PE的最大值为1．故答案为：1．【点拨】本题考查了轴对称﹣最大值问题、菱形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练运用轴对称的性质和三角形三边关系是解题的关键．15．⊥⊥⊥⊥【分析】⊥由等边三角形旋转的性质可知AB=AC=BD=CD即可判断；⊥利用SAS即可判定△ABE⊥⊥CBF；⊥由全等三角形的性质可知BE=BF，⊥ABE=⊥CBF，再结合⊥ABC=⊥ABE+EBC=60°，即可求出⊥EBF=60°，即证明△BEF为等边三角形；⊥由⊥CFB=⊥CFG+⊥BFG，⊥CGE=⊥CFG+FCG即可判断．解：由等边三角形旋转的性质可知AB=AC=BD=CD，即四边形ABCD为菱形故⊥正确．⊥在△ABE和△CBF中，AB CB BAE BCF AE CF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，⊥⊥ABE ⊥⊥CBF （SAS ），故⊥正确；⊥⊥ABE ⊥⊥CBF ，⊥BE =BF ，⊥ABE =⊥CBF ，⊥⊥ABC =⊥ABE +⊥EBC =60°，⊥⊥CBF +⊥EBC =60°，即⊥EBF =60°，⊥⊥BEF 为等边三角形，故⊥正确；⊥⊥CFB =⊥CFG +⊥BFG ，⊥CGE =⊥CFG +FCG ，⊥FCG =⊥BFG =60°，⊥⊥CFB =⊥CGE ，故⊥正确；综上，⊥⊥⊥⊥都正确，故答案为：⊥⊥⊥⊥．【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质，图形旋转的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，熟练掌握这些知识并利用数形结合的思想解题的关键．16．2或2【分析】分当=90CA D '︒∠时和当=90A DC '︒∠时两种情况讨论求解即可．解：如图1所示，当=90CA D '︒∠时，取CD 中点H ，连接A H '， ⊥1=2A H CD DH '=， ⊥四边形ABCD 是菱形，E 为AB 中点， ⊥1122AE AB CD A H '===，⊥A =180°-⊥B =60°，AB CD ， 由折叠的性质可知AE A E '=，AF A F '=，AEF A EF '∠=∠⊥A E A H AB AD ''+==，连接EH ，⊥=AE DH A H '=，AE DH ∥⊥四边形AEHD 是平行四边形，⊥=120AEH B =︒∠∠，AD EH =，⊥由三角形三边的关系可知，当点A '不在线段EH 上时，必有A E A H EH AD ''+>=，这与A H A E CD AD ''+==矛盾，⊥E 、A '、H 三点共线，⊥=60AEF A EF '=︒∠∠，⊥⊥AEF 为等边三角形， ⊥11222AF AE AB BC ====； 如图2所示，当=90A DC '︒∠时，连接BD ，ED ，过点F 作FG ⊥AB 于G ，⊥⊥ABC =120°，四边形ABCD 是菱形，⊥AB =AD ，⊥A =60°，⊥⊥ABD 是等边三角形，⊥E 是AB 中点，⊥DE ⊥AB ，⊥⊥ADE =30°，⊥⊥EDC =90°，⊥此时D A E '、、三点共线，由翻折的性质可得==45AEF A EF '︒∠∠，⊥FG ⊥AE ，⊥A =60°，⊥AEF =45°，⊥⊥AFG =30°，⊥GFE =45°，⊥AF =2AG ，EG =FG ，⊥FG AF ==， ⊥11222AE AG GE AB BC =+===，⊥122AF AF +=，⊥2AF =，故答案为：2或2．【点拨】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，三角形三边的关系，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．17．2【分析】过点F作AD的垂线，交AD于M，交BC于N，求出AM长，再根据勾股定理列出方程求解即可．解：过点F作AD的垂线，交AD于M，交BC于N，由翻折可知，AB=AF=3，BE=EF，⊥⊥ADF的面积为52，⊥15 22 AD FM=，⊥AD＝5，⊥1FM=，⊥AM==⊥⊥ABN=⊥BAN=⊥AMN=90°，⊥四边形AMNB是矩形，⊥AM BN==⊥BNM=90°，AB=MN=3，⊥FN=MN-FM=2，⊥222)2BE BE=+，解得，BE=【点拨】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，解题关键是根据面积求出线段长，利用勾股定理列方程．18【分析】 根据题意可求出123BF AB ==，243AF AB ==．再根据折叠的性质和矩形的性质可得出6CF CD AB ===，DE EF =，从而可利用勾股定理求出AD BC ==AE x =，则DE EF x ==．在Rt AEF 中，再次利用勾股定理即可列出关于x 的等式，解出x 即得出答案．解：⊥AB ＝6，点F 为线段AB 的三等分点， ⊥123BF AB ==，243AF AB ==， 根据折叠和矩形的性质可得出6CF CD AB ===，DE EF =，⊥AD BC ===设AE x =，则DE EF x ==．⊥在Rt AEF 中，222AE AF EF +=，⊥2224)x x +=， 解得：x = ⊥AE =【点拨】本题考查矩形与折叠，勾股定理等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 19．4【分析】因为EF 不论如何运动，EF 的中点始终在矩形的对角线的交点上，所以当EF ⊥BC 时，即，E 、F 分别是AD 、BC 的中点时，CP 取得最小值，此时P 与F 重合，即可求解．解：⊥动点E 、F 分别从点A 、C 同时出发，以相同的速度分别沿AD 、CB 向终点D 、B 移动，⊥AE =CF⊥EF 不论如何运动，EF 的中点始终在矩形的对角线的交点上，⊥当EF ⊥BC 时，即，E 、F 分别是AD 、BC 的中点时，CP 取得最小值，此时P 与F 重合，⊥CP =142BC = 故答案为：4【点拨】本题考查了矩形的性质，弄清题意找到P 的位置是解题的关键．20．【分析】利用垂直平分线的性质得出CC '=DC '= DC ，则⊥D C 'C 是等边三角形，进而利用勾股定理得出答案．解：如下图，连接 ，⊥点C '在AB 的垂直平分线上，⊥点C '在DC 的垂直平分线上，⊥CC '=DC '= DC ，则⊥D C 'C 是等边三角形，设CE = x ，易得DE = 2x ，由勾股定理得： (2x )2 -x 2= 62，解得： x =（负值舍去）故答案为：【点拨】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理，等边三角形的性质，解题的关键是证明⊥DC C '是等边三角形．21． 67.5-【分析】（1）易得45APQ ∠=︒，利用翻折的性质得到67.5BPE HPE ∠∠==︒；（2）连接PQ ，PE ，PC ，易证PBC PHF △△≌，得到PF PC ==PQ =P ，Q ，F 在同一条直线上时，FQ 最小，计算可得．解：（1）如图1，易得45APQ ∠=︒，⊥67.5BPE HPE ∠∠==︒，故答案为：67.5；（2）如图2，连接PQ ，PE ，PC ，易证PBC PHF △△≌，⊥PF PC ==PQ =当P ，Q ，F 在同一条直线上时，FQ 最小，--【点拨】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正确掌握翻折的性质是解题的关键．22【分析】取QH 的中点M ，连接OM ，由正方形及矩形的性质得出AG ＝EQ ，GH ＝CD ＝3，⊥EQH ＝90°，求出QE ＝2，由三角形中位线定理得出OM ＝12QE ＝1，OM∥EQ ，求出PM 的长，根据勾股定理可得出答案．解：取QH 的中点M ，连接OM ， ⊥四边形ABCD 是正方形，⊥⊥A ＝⊥B ＝⊥C ＝⊥D ＝90°，⊥EF ⊥CD ，GH ⊥BC ，⊥四边形AEQG ，四边形GHCD 为矩形，⊥AG ＝EQ ，GH ＝CD ＝3，⊥EQH ＝90°，⊥DG＝1，⊥AG＝EQ＝2，⊥O，M分别为EH，QH的中点，⊥OM＝12QE＝1，OM∥EQ，⊥⊥OMP＝90°，⊥P为GQ的中点，M为QH的中点，⊥PQ＝12GQ，QM＝12QH，⊥PM＝PQ+QM＝1113 2222 QG QH GH+==，⊥OP．【点拨】本题主要考查了正方形和矩形的性质，勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题得关键．23．2【分析】延长BA到B′，使B′A＝AB，PB+PQ＝PB′+PQ，当B′，P，Q三点共线时，PB′+PQ的值最小，根据题意，点Q的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆弧上，圆外一点B′到圆上一点Q距离的最小值B′Q＝B′C﹣2，根据勾股定理即可得到结论．解：如图所示：要，延长BA到B′，使B′A＝AB，PB+PQ＝PB′+PQ，当B′，P，Q三点共线时，PB′+PQ的值最小，根据题意，点Q的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆弧上，圆外一点B′到圆上一点Q距离的最小值B′Q＝CB′﹣2，⊥BC＝AB＝4，⊥BB′＝8，⊥B ′C B ′Q ＝B ′C ﹣2＝2，⊥PB ′+PQ 的值最小是2，即PQ +PB 的最小值是2，故答案为：2．【点拨】本题考查了正方形的性质、轴对称-最短路线问题，勾股定理，正确的找到P 点的位置是解题的关键．24．11【分析】分EF 经过正方形ABCD 另三边三种情况求解即可解：⊥EF 经过CD 边中点O 时，⊥四边形ABCD 是正方形，⊥AB=BC=CD=DA ，90C B ∠=∠=︒，⊥点O 是CD 边中点，点E 是BC 边中点， ⊥11,22OC CD EC BC ==． ⊥CE=CO =1，⊥45CEO ∠=︒， 由折叠得11(180)((18045)67.522FEP BEP CEO ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒， ⊥22.5FPE BPE ∠=∠=︒．⊥45FPB FPE BPE ∠=∠+∠=︒，作FG ⊥AB 于G ，作EH ⊥FG 于H ，如图，设FH=x ，则BG=EH=FH=x ，⊥45BPF ∠=︒，⊥PG ＝FG=x +1，⊥BP =2x +1，由勾股定理得1)PF x =+，由折叠得PB=PF ，⊥211)x x +=+，解得x =．⊥12BP =>，⊥点P 在AB 外，不符合题意；⊥EF 经过AD 边中点O '，如图， 此时，190452FEP BEP ∠=∠=⨯︒=︒， ⊥BP=BE =1；⊥EF 经过AB 中点O ''，如图，⊥O ''B=BE ，⊥45EO B ''∠=︒．由折叠得90PFE B ∠=∠=︒，设PF=x ，则,O P PB x ''==，1x +=，⊥1，即1，综上，BP 的长为11，故答案为：11．【点拨】此题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，灵活运用分类讨论思想是解答本题的关键．25．(1)B （3，1）、C （2，4） (2)D （3，5）、P （73，3） 【分析】（1）分别过点A、B做x轴的垂线，垂足为G、H∥证明⊥AGO⊥⊥OHB，根据三角形全等的性质可得出结论；（2）根据对称性和全等的性质可得D（3，5），再求出BC的解析式y=-3x+10，从而可求出点P坐标．解：(1)分别过点A、B做x轴的垂线，垂足为G、H；⊥四边形AOBC是正方形⊥AO= BO，⊥AOB =90°⊥⊥AGO⊥⊥OHB⊥ AG= OH，OG= BH⊥A点坐标为（-1，3）⊥ AG =3，OG=1⊥ OH =3，BH=]⊥B（3，1）同理可得C（2，4）(2)⊥点O与点E关于AP成轴对称⊥AO=AE，AP⊥OE且平分OE⊥E（0，6）根据上面全等可以得到D（3，5）⊥点P的纵坐标是3⊥点P在直线BC上⊥设直线BC为y = kx + b，由条件可得20 30k bk b+=⎧⎨+=⎩，解之得-310k b =⎧⎨=⎩ ⊥y =-3x +10当y =3时，73x =⊥P （73，3） 【点拨】本题主要考查了坐标与图形，一次函数图象上点的坐标特征，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．26．（1）2；（2）当出发1s 或3s 时，线段PQ 的长度为5cm ．【分析】（1）由矩形的性质，得AP DQ =，继而列出关于t 的一元一次方程即可解题； （2）过点P 作PE CD ⊥于点E ，先证明四边形APED 是矩形，再根据矩形的性质解得EQ 的长，最后在Rt PQE △中，根据勾股定理解题即可．解：（1）四边形APQD 为矩形．AP DQ ∴=，26t t ∴=-，36t =，2t ∴=,∴当2t =时四边形APQD 为矩形;（2）过点P 作PE CD ⊥于点E ，90A D DEP ∠∠∠===︒，∴四边形APED 是矩形．2AP DE t ∴==，63EQ CD DE CQ t ∴=--=-，在Rt PQE △中，222PE EQ PQ +=，2(63)9t -=，1t =，3t =，答：当出发1s或3s时，线段PQ的长度为5cm．【点拨】本题考查矩形的判断与性质、勾股定理，涉及解一元一次方程、解一元二次方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．27．（1）详见分析；（2）当E是AD的中点时，四边形EHFG是菱形，证明详见分析【分析】(1)根据三角形中位线定理和全等三角形的判定解答即可；(2)根据菱形的判定解答即可．解：(1)⊥点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，⊥FH⊥BE，12FH BE=，BF＝FC，⊥⊥CFH＝⊥FBG，FH＝BG，⊥⊥BGF⊥⊥FHC；(2)当E是AD的中点时，四边形EHFG是菱形．当E是AD的中点时，AE＝ED，⊥四边形ABCD是矩形，⊥AB＝CD，⊥A＝⊥D=90︒，⊥⊥ABE⊥⊥DCE，⊥BE＝CE，⊥BE＝2FH，CE＝2FG，⊥FH＝FG =1122BE CE EG EH=＝＝，⊥EH＝HF＝FG＝GE，⊥四边形EGFH是菱形．【点拨】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，关键是根据全等三角形的判定和菱形的判定解答．28．(1)见分析(2)⊥3；⊥6【分析】（1）利用AAS证△NDE⊥⊥MAE，得出NE＝ME，进而得出结论；（2）⊥当四边形AMDN是矩形时⊥AMD=90°，由菱形的性质得AD=6，进而求出AM的值；⊥当四边形AMDN是菱形时，AM=DM，由⊥DAB＝60°，得出△AMD为等边三角形，进而求出AM的值．解：(1)证明：⊥四边形ABCD是菱形⊥AB⊥CD⊥⊥DNE＝⊥AME，⊥NDE＝⊥MAE⊥点E是AD边的中点⊥AE＝DE⊥△NDE⊥⊥MAE（AAS）⊥NE＝ME⊥四边形AMDN是平行四边形(2)解：⊥当四边形AMDN是矩形时⊥AMD=90°在菱形ABCD中AD＝AB＝6⊥⊥DAB＝60°⊥⊥ADM=30°⊥AM=12AD=3故答案为：3．⊥当四边形AMDN是菱形时，AM=DM⊥⊥DAB＝60°⊥⊥AMD为等边三角形⊥AM=AD在菱形ABCD中AD＝AB＝6⊥AM=6故答案为：6．【点拨】本题考查平行四边形的判定，矩形和菱形的性质，等边三角形的性质，30°的直角三角形的性质，熟练地掌握平行四边的判定方法和矩形菱形的性质是解决问题的关键．。

（专题精选）初中数学三角形难题汇编含答案一、选择题1．如图所示，将含有30°角的三角板(∠A=30°)的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=38°，则∠2的度数（）A．28°B．22°C．32°D．38°【答案】B【解析】【分析】延长AB交CF于E，求出∠ABC，根据三角形外角性质求出∠AEC，根据平行线性质得出∠2=∠AEC，代入求出即可．【详解】解：如图，延长AB交CF于E，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∠ABC=60°，∵∠1=38°，∴∠AEC=∠ABC-∠1=22°，∵GH∥EF，∴∠2=∠AEC=22°，故选B．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，平行线性质的应用，主要考查学生的推理能力．2．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，若BC＝10cm，则△DEC的周长为（）A ．8cmB ．10cmC ．12cmD ．14cm【答案】B【解析】【分析】 根据“AAS”证明 ΔABD ≌ΔEBD .得到AD ＝DE ，AB ＝BE ，根据等腰直角三角形的边的关系，求其周长.【详解】∵ BD 是∠ABC 的平分线，∴ ∠ABD ＝∠EBD .又∵ ∠A ＝∠DEB ＝90°，BD 是公共边，∴ △ABD ≌△EBD (AAS)，∴ AD ＝ED ，AB ＝BE ，∴ △DEC 的周长是DE ＋EC ＋DC＝AD ＋DC ＋EC＝AC ＋EC ＝AB ＋EC＝BE ＋EC ＝BC＝10 cm.故选B.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质. 掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．3．如图，ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AD BD ⊥，30ABD ∠=︒，若23AD =．则OC 的长为（ ）A ．3B ．3C 21D ．6【答案】C【解析】【分析】 先根据勾股定理解Rt ABD △求得6BD =，再根据平行四边形的性质求得3OD =，然后根据勾股定理解Rt AOD △、平行四边形的性质即可求得OC OA ==【详解】解：∵AD BD ⊥∴90ADB ∠=︒∵在Rt ABD △中，30ABD ∠=︒，AD =∴2AB AD ==∴6BD ==∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴132OB OD BD ===，12OA OC AC ==∴在Rt AOD △中，AD =3OD =∴OA =∴OC OA ==故选：C【点睛】本题考查了含30角的直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．4．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）A ．2, 2,5B ．C ．3,4,8D ．4,5,6【答案】D【解析】【分析】三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形，其实只要最小两边的和大于最大边就可判断前面的三边关系成立．【详解】根据三角形三边关系可知，三角形两边之和大于第三边．A 、2+2=4＜5，此选项错误；B 、＜3，此选项错误；C 、3+4＜8，此选项错误；D 、4+5=9＞6，能组成三角形，此选项正确．故选：D ．【点睛】此题考查三角形三边关系，解题关键在于掌握三角形两边之和大于第三边．即：两条较短的边的和小于最长的边，只要满足这一条就是满足三边关系．5．如图，已知AB ∥CD ，直线AB ，CD 被BC 所截，E 点在BC 上，若∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝（ ）A ．65°B ．70°C ．75°D ．80°【答案】D【解析】【分析】 由平行线的性质可求得∠C ，在△CDE 中利用三角形外的性质可求得∠3．【详解】解：∵AB ∥CD ，∴∠C ＝∠1＝45°，∵∠3是△CDE 的一个外角，∴∠3＝∠C+∠2＝45°+35°＝80°，故选：D ．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a ∥b ，b ∥c ⇒a ∥c ．6．将一个边长为4的正方形ABCD 分割成如图所示的9部分，其中ABE △，BCF ，CDG ，DAH 全等，AEH △，BEF ，CFG △，DGH 也全等，中间小正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等，且ABE △是以AB 为底的等腰三角形，则AEH △的面积为（ ）A ．2B ．169C ．32D 2【答案】C【解析】【分析】【详解】 解：如图，连结EG 并向两端延长分别交AB 、CD 于点M 、N ，连结HF ，∵四边形EFGH 为正方形，∴EG FH =，∵ABE △是以AB 为底的等腰三角形，∴AE BE =，则点E 在AB 的垂直平分线上，∵ABE △≌CDG ，∴CDG 为等腰三角形，∴CG DG =，则点G 在CD 的垂直平分线上，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB 的垂直平分线与CD 的垂直平分线重合，∴MN 即为AB 或CD 的垂直平分线，则,EM AB GN CD ，EM GN ，∵正方形ABCD 的边长为4，即4AB CDAD BC ， ∴4MN =， 设EM GN x ，则42EG FH x ， ∵正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等， 即2114(42)22x x ，解得：121,4x x ==，∵4x =不符合题意，故舍去，∴1x =，则S 正方形EFGH 14122==⨯⨯=ABE S ， ∵ABE △，BCF ，CDG ，DAH 全等， ∴2====ABE BCF CDG DAHS S S S ， ∵正方形ABCD 的面积4416=⨯=，AEH △，BEF ，CFG △，DGH 也全等， ∴1(4=AEH S S 正方形ABCD − S 正方形EFGH 134)(16242)42-=⨯--⨯=ABE S ， 故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是求得ABE △的面积．7．图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能【答案】D【解析】 从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个直角，故选D ．8．如图，直线a b ∥，点A 、B 分别在直线a 、b 上，145∠︒＝，若点C 在直线b 上，105BAC ∠︒＝，且直线a 和b 的距离为3，则线段AC 的长度为（ ）A ．32B ．33C ．3D ．6【答案】D【解析】【分析】 过C 作CD ⊥直线a ，根据30°角所对直角边等于斜边的一半即可得到结论．【详解】过C 作CD ⊥直线a ，∴∠ADC =90°．∵∠1=45°，∠BAC =105°，∴∠DAC =30°．∵CD =3，∴AC =2CD =6．故选D ．【点睛】本题考查了平行线间的距离，含30°角的直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．9．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ＝8，BD ＝6，点E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE＋PF的最小值，则这个最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】【分析】先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF 的最小值，再根据菱形的性质求出E′F的长度即可．【详解】解：如图∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=6，BD=8，∴22，34作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值，∵AC是∠DAB的平分线，E是AB的中点，∴E′在AD上，且E′是AD的中点，∵AD=AB，∴AE=AE′，∵F是BC的中点，∴E′F=AB=5．故选C．10．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；②∠ADC＝∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB＝12∠CGE．其中正确的结论是( )A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．【详解】①∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB，又∵CD是△ABC的角平分线，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；②∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠ADC+∠BCD=90°．∵EG∥BC，且CG⊥EG，∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，∴∠ADC=∠GCD，故正确；③条件不足，无法证明CA平分∠BCG，故错误；④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴∠AEB+∠ADC=90°+12（∠ABC+∠ACB）=135°，∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，∴∠DFB=45°=12∠CGE，，正确．故选B．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理及多边形内角和，三角形外角的性质，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．11．如图，△ABC ≌△A E D ，∠C =40°，∠E AC =30°，∠B =30°，则∠E AD =（ ）；A ．30°B ．70°C ．40°D ．110°【答案】D【解析】【分析】【详解】∵△ABC ≌△AED ， ∴∠D=∠C=40°，∠C=∠B=30°，∴∠E AD=180°－∠D －∠E ＝110°，故选D.12．如图，在菱形ABCD 中，60BCD ∠=︒，BC 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接BF 、DF ，则DFC ∠的度数是（ ）A ．130︒B ．120︒C ．110︒D ．100︒【答案】A【解析】【分析】 首先求出∠CFB=130°，再根据对称性可知∠CFD=∠CFB 即可解决问题；【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ACD ＝∠ACB ＝12∠BCD=25°， ∵EF 垂直平分线段BC ，∴FB=FC ，∴∠FBC=∠FCB=25°，∴∠CFB=180°-25°-25°=130°，根据对称性可知：∠CFD=∠CFB=130°，故选：A ．【点睛】此题考查菱形的性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （﹣2，0），B （0，3），以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交x 轴的正半轴于点C ，则点C 的横坐标介于（ ）A ．0和1之间B ．1和2之间C ．2和3之间D ．3和4之间【答案】B【解析】【分析】 先根据点A ，B 的坐标求出OA ，OB 的长度，再根据勾股定理求出AB 的长，即可得出OC 的长，再比较无理数的大小确定点C 的横坐标介于哪个区间．【详解】∵点A ，B 的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），∴OA ＝2，OB ＝3，在Rt △AOB 中，由勾股定理得：AB 222+313=∴AC ＝AB 13，∴OC 132，∴点C 132，0）， ∵3134<< ， ∴11322<< ，即点C 的横坐标介于1和2之间，故选：B ．【点睛】本题考查了弧与x 轴的交点问题，掌握勾股定理、无理数大小比较的方法是解题的关键．14．满足下列条件的是直角三角形的是（ ）A ．4BC =，5AC =，6AB =B ．13BC =，14AC =，15AB = C ．::3:4:5BC AC AB =D ．::3:4:5A B C ∠∠∠= 【答案】C【解析】【分析】要判断一个角是不是直角，先要知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．【详解】A．若BC=4，AC=5，AB=6，则BC2+AC2≠AB2，故△ABC不是直角三角形；B.若13BC=，14AC=，15AB=，则AC2+AB2≠CB2，故△ABC不是直角三角形；C．若BC：AC：AB=3：4：5，则BC2+AC2=AB2，故△ABC是直角三角形；D．若∠A：∠B：∠C=3：4：5，则∠C＜90°，故△ABC不是直角三角形；故答案为：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．15．等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20度，则等腰三角形顶角的度数是（）A．140B．20或80C．44或80D．140或44或80【答案】D【解析】【分析】设另一个角是x，表示出一个角是2x-20°，然后分①x是顶角，2x-20°是底角，②x是底角，2x-20°是顶角，③x与2x-20°都是底角根据三角形的内角和等于180°与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可．【详解】设另一个角是x，表示出一个角是2x-20°，①x是顶角，2x-20°是底角时，x+2（2x-20°）=180°，解得x=44°，∴顶角是44°；②x是底角，2x-20°是顶角时，2x+（2x-20°）=180°，解得x=50°，∴顶角是2×50°-20°=80°；③x与2x-20°都是底角时，x=2x-20°，解得x=20°，∴顶角是180°-20°×2=140°；综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°．故答案为：D．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．16．如图，90ACB ∠=︒，AC CD =，过D 作AB 的垂线，交AB 的延长线于E ，若2AB DE =，则BAC ∠的度数为（ ）A ．45°B ．30°C ．22.5°D ．15°【答案】C【解析】【分析】 连接AD ，延长AC 、DE 交于M ，求出∠CAB=∠CDM ，根据全等三角形的判定得出△ACB ≌△DCM ，求出AB=DM ，求出AD=AM ，根据等腰三角形的性质得出即可．【详解】解：连接AD ，延长AC 、DE 交于M ，∵∠ACB=90°，AC=CD ，∴∠DAC=∠ADC=45°，∵∠ACB=90°，DE ⊥AB ，∴∠DEB=90°=∠ACB=∠DCM ，∵∠ABC=∠DBE ，∴∠CAB=∠CDM ，在△ACB 和△DCM 中CAB CDM AC CDACB DCM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACB ≌△DCM （ASA ），∴AB=DM ，∵AB=2DE ，∴DM=2DE ，∴DE=EM ，∵DE ⊥AB ，∴AD=AM ，114522.522BAC DAE DAC ︒︒∴∠=∠=∠=⨯= 故选：C ．【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，能根据全等求出AB=DM 是解此题的关键．17．如图为一个66⨯的网格，在ABC ∆，A B C '''∆和A B C ''''''∆中，直角三角形有（ ）个A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】 根据题中的网格，先运用勾股定理计算出各个三角形的边长，再根据勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形即可．【详解】设网格的小正方形的边长是1，由勾股定理（两直角边的平方等于斜边的平方）可知，ABC ∆的三边分别是：10，5，5； 由于2225510+=， 根据勾股定理的逆定理得：ABC ∆是直角三角形； '''A B C ∆的三边分别是：''A B 10， ''B C 5 ，''AC 13 由于22210513，根据勾股定理的逆定理得：'''A B C ∆不是直角三角形；A B C ''''''∆的三边分别是：A B ''''18B C ''''8 ，A C ''''26；由于22218826， 根据勾股定理的逆定理得：A B C ''''''∆是直角三角形；因此有两个直角等三角形；故选C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能灵活运用所学知识是解题的关键．18．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，3)，点C的坐标为(12，0)，点P为斜边OB上的一个动点，则PA＋PC的最小值为( )A．132B．312C．3+192D．2 7【答案】B【解析】如图，作点A关于OB的对称点点D，连接CD交OB于点P，此时PA＋PC最小，作DN⊥x 轴交于点N，∵B（33OA=3，AB3OB3BOA=30°，∵在Rt△AMO中，∠MOA=30°，AO=3，∴AM=1.5，∠OAM=60°，∴∠ADN=30°，∵在Rt△AND中，∠ADN=30°，AD=2AM=3，∴AN=1.5，DN 33 2∴CN=3－12－1.5=1，∴CD2=CN2+DN2=12+3322=314，∴CD=312.故选B.点睛：本题关键在于先借助轴对称的性质确定出P点的位置，然后结合特殊角30°以及勾股定理计算.19．如图，Rt△ABC中，∠C =90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若AD =5cm，CD=3cm，则点D到AB的距离DE是（）A ．5cmB ．4cmC ．3cmD ．2cm【答案】C【解析】 ∵点D 到AB 的距离是DE ，∴DE ⊥AB ，∵BD 平分∠ABC ，∠C =90°，∴把Rt △BDC 沿BD 翻折后，点C 在线段AB 上的点E 处，∴DE=CD ，∵CD =3cm ，∴DE=3cm.故选：C.20．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，60CAB ∠=︒，按以下步骤作图：①分别以A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别相交于点P 和Q ． ②作直线PQ 交AB 于点D ，交BC 于点E ，连接AE ．若4CE =，则AE 的值为（ ） A ．6B ．2C ．43D ．8 【答案】D【解析】【分析】根据垂直平分线的作法得出PQ 是AB 的垂直平分线，进而得出∠EAB ＝∠CAE ＝30°，即可得出AE 的长．【详解】由题意可得出：PQ 是AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE ，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝60°，∴∠CBA＝30°，∴∠EAB＝∠CAE＝30°，∴CE＝12AE＝4，∴AE＝8．故选D．【点睛】此题主要考查了垂直平分线的性质以及直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半，根据已知得出∠EAB＝∠CAE＝30°是解题关键．。

2023年安徽中考物理总复习专题：最值问题类型一单动点求两线段和的最小值将军饮马问题：两点在一直线同侧时，作一个点的对称点与另一个点连接，所得线段的长即为所求。

典例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，点P是边BC上一动点，点D在边AB上，且BD=14AB，则PA+PD的最小值为（ ）A．8B．43C．213D．833【思路】作D关于BC的对称点E，连接AE交BC于P，则PA+PD的值最小，过E作EF⊥AC交AC的延长线于F，过D作DH⊥AC于H，则DH＝EF，DH∥BC，根据勾股定理即可得到结论．解：作D关于BC的对称点E，连接AE交BC于P，则PA+PD的值最小，过E作EF⊥AC 交AC的延长线于F，过D作DH⊥AC于H，则DH＝EF，DH∥BC，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，∴AC=12AB＝4，∠ADH＝∠B＝30°，∵BD=14AB＝2，∴AD＝6，CF=12DE=12BD＝1，∴AF＝5，∴DH=AD2―AH2=33，∴EF＝33，∴AE=AF2+EF2=213，∴PA+PD的最小值为213．【总结】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．针对训练1如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，AD＝5，BE＝6，P是AD上的一个动点，连接PE，PC，则PC+PE的最小值是（ ）A．5B．6C．7D．8类型二求一条线段的最小值垂线段最短典例2如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点E是射线OB上的一个动点，若PD＝3，则PE的最小值是　．【思路】过P作PE⊥OB于E，根据垂线段最短得出此时PE的长最小，根据角平分线的性质得出PE＝PD，再求出答案即可．解：过P作PE⊥OB于E，此时PE的长最小，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE＝PD，∵PD＝3，∴PE＝3，即PE的最小值是3．【总结】本题考查了垂线段最短和角平分线的性质，能找出当PE最小时点E的位置是解此题的关键．针对训练2如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD为△ABC的角平分线，过点D作直线l∥AB，点P为直线l上的一个动点，若△BCD的面积为16，BC＝8，则AP最小值为 ．类型三双动点求两线段和的最小值将军饮马问题与垂线段最短的综合典例2如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC 于点D，E，F分别是线段AD和AB上的动点，则BE+EF的最小值是 ．【思路】根据对称性，过点F作FG⊥AC交AD于点Q，连接BG交AD于点E，此时BG＝BE+EF，当BG垂直于AC30°直角三角形的边的性质即可求解．解：方法一：如图1所示：在AC边上截取AB′＝AB，作B′F⊥AB于点F，交AD于点E，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠B′AE，AE＝AE，∴△ABE≌△AB′E（SAS）．∴BE＝B′E，∴B′F＝B′E+EF＝BE+EF，∵垂线段最短，∴此时BE+EF最短．∵AB＝AB′＝6，∠BAC＝30°，∴B′F=12AB′＝3．方法二：如图2所示：在AC边上截取AG＝AF，连接BG交AD于点E，作BH⊥AC于点H，同方法一：得△AEG≌△AFG（SAS）∴EG＝EF，∴BG＝BE+EG＝BE+EF，当BG垂直于AC时最短，即BH的长最短，∵AB＝6，∠BAC＝30°，∴BH＝3．【总结】本题考查了最短路线问题、角分线的性质、含30度角的直角三角形，解决本题的关键是作对称点．针对训练3 已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是（ ）A．5B．3C．245D．72针对训练4 在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∠BCD＝45°，BC＝23+2，BD平分∠ABC，若P，Q分别是BD，BC上的动点，则CP+PQ的最小值是（ ）A．23+2B．3+3C．22+2D．2+4类型四一点两线求周长最小值根据轴对称的性质，结合三角形三边关系定理典例4 如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝15，若在OA、OB上分别有动点M、N，则△PMN周长的最小值是（ ）A．5B．15C．20D．30【思路】根据题意画出符合条件的图形，求出OD＝OE＝OP，∠DOE＝60°，得出等边三角形DOE，求出DE＝15，求出△PMN的周长＝DE，即可求出答案．解：作P关于OA的对称点D，作P关于OB的对称点E，连接DE交OA于M，交OB 于N，连接PM，PN，则此时△PMN的周长最小，连接OD，OE，∵P、D关于OA对称，∴OD＝OP，PM＝DM，同理OE＝OP，PN＝EN，∴OD＝OE＝OP＝15，∵P、D关于OA对称，∴OA⊥PD，∵OD＝OP，∴∠DOA＝∠POA，同理∠POB＝∠EOB，∴∠DOE＝2∠AOB＝2×30°＝60°，∵OD＝OE＝15，∴△DOE是等边三角形，∴DE＝15，即△PMN的周长是PM+MN+PN＝DM+MN+EN＝DE＝15．【总结】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．针对训练5 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝140°，点E，F分别为BC和CD上的动点，连接AE，AF．当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）A．60°B．90°C．100°D．120°类型五求两条线段差的最大值两点在一直线两侧时，作一个点的对称点，再将对称点与另一点连接所得线段的长。

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题06 平行四边形中的最值问题【例题讲解】如图，在平行四边形ABCD 中，30BCD ∠=︒，6BC =，33CD =，（1）平行四边形ABCD 的面积为________．（2）若M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一个动点，将AMN 沿MN 所在直线翻折得到A MN '△，连接A C '，则A C '长度的最小值是________．解：（1）过点C 作CF ⊥AB ，交AB 延长线于F ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，BC =6，AB =CD =33，∵∠BCD =30°=∠CBF ，∴CF =12BC =3， ∴四边形ABCD 的面积=AB CF ⨯=333⨯=93；（2）连接MC ，过点M 作ME ⊥CD 于E ，交CD 的延长线于点E ；∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC =6，∵点M 为AD 的中点，∠BCD =30°，∴DM =MA =3，∠MDE =∠BCD =30°，∴ME =12DM =32，DE =332，∴CE =CD +DE =33332+=932，由勾股定理得：CM 2=ME 2+CE 2， ∴CM=2239322⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=37，由翻折变换的性质得：MA ′=MA =3，∵MA ′+A ′C ≥MC ， ∴A ′C ≥MC- MA ′= MC -3，显然，当折线MA ′C 与线段MC 重合时，线段A ′C 的长度最短，此时A ′C =373-，故答案为：（1）93；（2）373-．【综合演练】1．如图 ，在平行四边形ABCD 中 ，120C ∠=︒ ，AB =4 ，AD =8 ， 点H 、G 分别是边CD 、BC 上的动点．连接AH 、HG ，点E 为AH 的中点 ，点F 为GH 的中点 ，连接EF ．则EF 的最大值与最小值的差为（ ）A ．2B ．232-C ．3D ．43-2．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝60°，∠CAB ＝45°，BC ＝4，点D 为AB 边上一个动点，连接CD ，以DA 、DC 为一组邻边作平行四边形ADCE ，则对角线DE 的最小值是（ ）A ．2+6B ．1+3C ．4D ．2+23第II 卷（非选择题）二、填空题(共0分)3．如图，在Rt ABC 中，90,3,4B AB BC ∠=︒==，点D 为BC 上一动点（不与点C 重合），以AD ，CD 为一组邻边作平行四边形ADCE ，当DE 的值最小时，平行四边形ADCE 的周长．．为_____． 4．如图，在ABCD 中，=60B ∠︒，10AB =，8BC =，点E 为边AB 上的一个动点，连接ED ，EC ， 以ED 、CE 为邻边构造EDGC ，连接EG ，则EG 的最小值为__________．5．如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，∠ADC ＝60°，将平行四边形ABCD 沿过点A 的直线l 折叠，使点D 落到AB 边上的点D 处，折痕交CD 边于点E ．若点P 是直线l 上的一个动点，则PD '+PB 的最小值_______．6．如图，平行四边形ABCD中，8∠=︒，E是边AD上且2AAB=，6AD=，60=，F是边AB上AE DE+的最小值__________．的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60︒，得到EG，连接BG、CG，则BG CG7．如图，CD是直线x＝1上长度固定为1的一条动线段．已知A（﹣1，0），B（0，4），则四边形ABCD 周长的最小值为_________________．8．如图四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，P为AB边上的一动点，以PD，PC 为边作平行四边形PCQD，则对角线PQ的长的最小值是_____．9．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝50°，在BC、CD边上分别找到点M、N，当△AMN 周长最小时，∠AMN＋∠ANM的度数为______．10．如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别是边AD 、AB 上的点，连结OE 、OF 、EF ．若7AB =，52BC =，45DAB ∠=︒，则OEF 周长的最小值是_______．11．如图，点(1,3),(6,1),(,0),(2,0)A B P a N a --+为四边形的四个顶点，当四边形PABN 的周长最小时，=a ________．12．如图，在四边形ABCD 中，90,5,4,A D AB AD ∠=∠=︒==3,CD =点P 是边AD 上的动点，则PBC 周长的最小值为（ ）A ．8B ．45C ．12D ．65三、解答题(共0分)13．如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到点E ，使DE AD =，且BE DC ⊥．(1)求证：四边形DBCE 为菱形；(2)若DBC △是边长为2的等边三角形，点P 、M 、N 分别在线段BE 、BC 、CE 上运动，求PM PN +的最小值．14．如图，在平行四边形ABCD 中，2,1,60AB AD B ==∠=︒，将平行四边形ABCD 沿过点A 的直线l 折叠，使点D 落到AB 边上的点'D 处，折痕交CD 边于点E ．（1）求证：四边形'BCED 是菱形；（2）若点P 是直线l 上的一个动点，请作出使'PD PB +为最小值的点P ，并计算'PD PB +．15．如图，在平行四边形ABCD 中，30BCD ∠=︒，6BC =，33CD =，（1）平行四边形ABCD 的面积为________．（2）若M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一个动点，将AMN 沿MN 所在直线翻折得到A MN '△，连接A C '，则A C '长度的最小值是________．答案与解析【例题讲解】如图，在平行四边形ABCD 中，30BCD ∠=︒，6BC =，33CD =，（1）平行四边形ABCD 的面积为________．（2）若M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一个动点，将AMN 沿MN 所在直线翻折得到A MN '△，连接A C '，则A C '长度的最小值是________．解：（1）过点C 作CF ⊥AB ，交AB 延长线于F ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，BC =6，AB =CD =33，∵∠BCD =30°=∠CBF ，∴CF =12BC =3， ∴四边形ABCD 的面积=AB CF ⨯=333⨯=93；（2）连接MC ，过点M 作ME ⊥CD 于E ，交CD 的延长线于点E ；∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC =6，∵点M 为AD 的中点，∠BCD =30°，∴DM =MA =3，∠MDE =∠BCD =30°，∴ME =12DM =32，DE =332，∴CE =CD +DE =33332+=932，由勾股定理得：CM 2=ME 2+CE 2， ∴CM=2239322⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=37，由翻折变换的性质得：MA ′=MA =3，∵MA ′+A ′C ≥MC ， ∴A ′C ≥MC- MA ′= MC -3，显然，当折线MA ′C 与线段MC 重合时，线段A ′C 的长度最短，此时A ′C =373-，故答案为：（1）93；（2）373-．【综合演练】1．如图 ，在平行四边形ABCD 中 ，120C ∠=︒ ，AB =4 ，AD =8 ， 点H 、G 分别是边CD 、BC 上的动点．连接AH 、HG ，点E 为AH 的中点 ，点F 为GH 的中点 ，连接EF ．则EF 的最大值与最小值的差为（ ） A ．2 B ．232- C ．3 D ．43- 【答案】C【分析】如图，取AD 的中点M ，连接CM 、AG 、AC ，作AN ⊥BC 于N ．首先证明∠ACD ＝90°，求出AC ，AN ，利用三角形中位线定理，可知EF ＝12AG ，求出AG 的最大值以及最小值即可解决问题． 【解答】解：如图，取AD 的中点M ，连接CM 、AG 、AC ，作AN ⊥BC 于N ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD ＝120°，28AD AB ==∴∠D ＝180°−∠BCD ＝60°，AB ＝CD ＝4，∵AM ＝DM ＝DC ＝4，∴△CDM 是等边三角形，∴∠DMC ＝∠MCD ＝60°，AM ＝MC ，∴∠MAC ＝∠MCA ＝30°，∴∠ACD ＝90°，∴AC ＝43在Rt △ACN 中，∵AC ＝43，∠ACN ＝∠DAC ＝30°，∴AN ＝12AC ＝23∵AE ＝EH ，GF ＝FH ，∴EF ＝12AG ，∵点G 在BC 上，∴AG 的最大值为AC 的长，最小值为AN 的长，∴AG 的最大值为43，最小值为23，∴EF 的最大值为23，最小值为3，∴EF的最大值与最小值的差为：3故选C．【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明∠ACD＝90°，属于中考选择题中的压轴题．2．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠CAB＝45°，BC＝4，点D为AB边上一个动点，连接CD，以DA、DC为一组邻边作平行四边形ADCE，则对角线DE的最小值是（）A．2+6B．1+3C．4 D．2+23【答案】ABC＝2，AF＝BF＝3CF 【分析】设DE交AC于O，作BF⊥AC于F，由直角三角形的性质得出CF＝12AC＝1+3，DO＝EO，当OD⊥AB ＝23，求出AC＝CF+AF＝2+23，由平行四边形性质得出AO＝CO＝12时，DO的值最小，即DE的值最小，则△AOD是等腰直角三角形，即可得出结果．【解答】解：设DE交AC于O，作BF⊥AC于F，如图所示：则∠BFC＝∠BF A＝90°，∵∠ACB＝60°，∠CAB＝45°，∴∠CBF＝30°，∠ABF＝45°＝∠CAB，BC＝2，AF＝BF＝3CF＝23，∴CF＝12∴AC＝CF+AF＝2+23，∵四边形ADCE是平行四边形，AC＝1+3，DO＝EO，∴AO＝CO＝12∴当OD ⊥AB 时，DO 的值最小，即DE 的值最小，则△AOD 是等腰直角三角形，∴OD ＝22AO ＝622+， ∴DE ＝2OD ＝26+．故选：A ．【点评】本题主要考查解直角三角形，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质和特殊角的三角函数值是解题的关键．3．如图，在Rt ABC 中，90,3,4B AB BC ∠=︒==，点D 为BC 上一动点（不与点C 重合），以AD ，CD 为一组邻边作平行四边形ADCE ，当DE 的值最小时，平行四边形ADCE 的周长．．为_____． 【答案】4+213【分析】根据题意，可知当DE ⊥AE 时，DE 取得最小值，然后根据题目中的数据，即可得到A D 、CD 的长，从而可以得到当DE 的值最小时，平行四边形ADCE 周长．【解答】解：当DE ⊥AE 时，DE 取得最小值，设此时CD =x ，∵四边形ADCE 是平行四边形，∴CD =AE ，AD =CE ，BC ∥AE ，∵∠B =90°，DE ⊥AE ，∴四边形BAED 是矩形，∴BD =AE ，∴BD =CD =x ，∵BC =BD +CD ，BC =4，∴BD =CD =2，∵AB =3，∠B =90°，∴AD =22222313BD AB +=+=，∴当DE 的值最小时，平行四边形ADCE 周长为：2+13+2+13=4+213，故答案为：4+213.【点评】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、垂线段最短，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 4．如图，在ABCD 中，=60B ∠︒，10AB =，8BC =，点E 为边AB 上的一个动点，连接ED ，EC ， 以ED 、CE 为邻边构造EDGC ，连接EG ，则EG 的最小值为__________．【答案】83【分析】根据平行四边形的性质得到EG ，FG ，根据垂线段最短得到EG ⊥CD 时取最小值，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，求出CH 的长度，从而得到结果．【解答】解：∵四边形EDGC 是平行四边形，∴EF =FG ，∴当EF ⊥CD 时，EF 最小，此时EG 最小，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则CH =EF ，∵∠B =60°，∴∠BCH =30°，∵BC =8，∴BH =4，∴CH =2284-=43，∴EF 的最小值为43，∴EG 的最小值为83，故答案为：83．【点评】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，找到EG最短时满足的条件．5．如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将平行四边形ABCD沿过点A的直线l 折叠，使点D落到AB边上的点D处，折痕交CD边于点E．若点P是直线l上的一个动点，则PD +PB 的最小值_______．【答案】7【分析】不管P点在l上哪个位置，PD始终等于PD'，故求PD'+PB可以转化成求PD+PB，显然当D、P、D'共线时PD+ PB最短．【解答】过点D作DM⊥AB交BA的延长线于点M，∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝1，AB＝2，∠ADC＝60°，∴∠DAM＝60°，由翻折变换可得，AD＝AD′＝1，DE＝D′E，∠ADC＝∠AD′E＝60°，∴∠DAM＝∠AD′E＝60°，∴AD∥D′E，又∵DE∥AB，∴四边形ADED′是菱形，∴点D与点D′关于直线l对称，连接BD交直线l于点P，此时PD′+PB最小，PD′+PB＝BD，在Rt△DAM中，AD＝1，∠DAM＝60°，∴AM=12AD=12，DM=32AD=32，在Rt△DBM中，DM=32，MB＝AB+AM=52，∴BD=DM2+MB2=322+522=7，即PD′+PB最小值为7，故答案为：7．【点评】本题考查平行四边形性质和菱形性质，掌握这些是本题解题关键．6．如图，平行四边形ABCD中，8∠=︒，E是边AD上且2AAD=，60AB=，6=，F是边AB上AE DE+的最小值__________．的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60︒，得到EG，连接BG、CG，则BG CG【答案】221【分析】如图，取AB的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延长线于H．利用全等三角形的性质证明∠GNB=60°，点G的运动轨迹是射线NG，由“SAS”可证△EGN≌△BGN，可得GB=GE，推出GB+GC=GE+GC≥EC，求出EC即可解决问题．【解答】解：如图，取AB的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延长线于H，∵AE=2DE，∴AE=4，DE=2，∵点N是AB的中点，∴AN=NB=4，∴AE=AN，∵∠A=60°，∴△AEN是等边三角形，∴∠AEN=∠FEG=60°，∴∠AEF=∠NEG，∵EA=EN，EF=EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG=∠A=60°，∵∠ANE=60°，∴∠GNB=180°-60°-60°=60°，∴点G的运动轨迹是射线NG，∵BN=EN，∠BNG=∠ENG=60°，NG=NG∴△EGN≌△BGN（SAS），∴GB=GE，∴GB+GC=GE+GC≥EC，在Rt△DEH中，∵∠H=90°，DE=2，∠EDH=60°，DE=1，EH=3，∴DH=12在Rt△ECH中，EC=22221+=，EH CH∴GB+GC≥221，∴GB+GC的最小值为221，故答案为：221．【点评】本题考查旋转变换，轨迹，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．7．如图，CD是直线x＝1上长度固定为1的一条动线段．已知A（﹣1，0），B（0，4），则四边形ABCD 周长的最小值为_________________．【答案】17132++【分析】在y轴上取点E，使BE＝CD＝1，则四边形BCDE为平行四边形，根据勾股定理得到AB，作点A关于直线x＝1的对称点A'，得到A'、E、D三点共线时，AD+DE最小值为A'E的长，根据勾股定理求出A'E，即可得解；【解答】解：如图，在y轴上取点E，使BE＝CD＝1，则四边形BCDE为平行四边形，∵B（0，4），A（﹣1，0），∴OB＝4，OA＝1，∴OE＝3，AB＝22+=，1417作点A关于直线x＝1的对称点A'，∴A'（3，0），AD＝A'D，∴AD+DE＝A'D+DE，即A'、E、D三点共线时，AD+DE最小值为A'E的长，在Rt△A'OE中，由勾股定理得A'E＝22+=，3332∴C四边形ABCD最小值＝AB+CD+BC+AD＝AB+CD+A'E＝17+1+32．故答案为：17132++．【点评】本题主要考查了轴对称最短路线问题、勾股定理、位置与坐标，准确分析作图计算是解题的关键．8．如图四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，P为AB边上的一动点，以PD，PC 为边作平行四边形PCQD，则对角线PQ的长的最小值是_____．【答案】4【分析】根据题意在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点O，可得O是DC的中点，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，易证得Rt△ADP≌Rt△HCQ，即可求得BH=4，则可得当PQ⊥AB 时，PQ的长最小，即为4．【解答】解：在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点O，则O是DC的中点，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，∵AD ∥BC ，∴∠ADC=∠DCH ，即∠ADP+∠PDC=∠DCQ+∠QCH ，∵PD ∥CQ ，∴∠PDC=∠DCQ ，∴∠ADP=∠QCH ，又∵PD=CQ ，在Rt △ADP 与Rt △HCQ 中，ADP QCH A QHCPD CQ ⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∠∠＝＝＝ ∴Rt △ADP ≌Rt △HCQ （AAS ），∴AD=HC ，∵AD=1，BC=3，∴BH=4，∴当PQ ⊥AB 时，PQ 的长最小，即为4．故答案为：4．【点评】本题考查梯形的中位线的性质，注意掌握梯形的中位线等于两底和的一半且平行于两底．9．如图，四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝50°，在BC 、CD 边上分别找到点M 、N ，当△AMN 周长最小时，∠AMN ＋∠ANM 的度数为______．【答案】100°【分析】根据要使△AMN 的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A 关于BC和CD 的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=180°-∠DAB =∠C=50°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．【解答】解：作A 关于BC 和CD 的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC 于M ，交CD 于N ，则A′A″即为△AMN 的周长最小值．∵∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝50°，∵∠DAB=130°，∴∠AA′M+∠A″=180°-130°=50°，由对称性可知：∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN ，∠NAD+∠A″=∠ANM ，∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×50°=100°，故答案为：100°．【点评】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的内角和定理及外角的性质和轴对称的性质等知识，根据已知得出M ，N 的位置是解题关键．10．如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别是边AD 、AB 上的点，连结OE 、OF 、EF ．若7AB =，52BC =，45DAB ∠=︒，则OEF 周长的最小值是_______．【答案】1322【分析】作点O 关于AB 的对称点M ，点O 关于AD 的对称点N ，连接MN 交AB 于F ，交AD 于E ，此时△OEF 的周长最小，周长的最小值＝MN ，由作图得AN ＝AO ＝AM ，∠NAD ＝∠DAO ，∠MAB ＝∠BAO ，于是得到∠MAN ＝90°，过D 作DP ⊥AB 于P ，则△ADP 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到AP ＝DP ＝22AD ，求得AP ＝DP ＝5，根据三角形的中位线的性质得到OQ ＝12DP ＝52，BQ ＝12BP＝12（AB−AP ）＝1，根据勾股定理求出AO ＝132，然后根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：作点O 关于AB 的对称点M ，点O 关于AD 的对称点N ，连接MN 交AB 于F ，交AD 于E ，此时△OEF 的周长最小，周长的最小值＝MN ，∴AN ＝AO ＝AM ，∠NAD ＝∠DAO ，∠MAB ＝∠BAO ，∵∠DAB ＝45°，∴∠MAN ＝90°，过D 作DP ⊥AB 于P ，则△ADP 是等腰直角三角形，∴AP ＝DP ＝22AD ， ∵AD ＝BC ＝52，∴AP ＝DP ＝5，设OM ⊥AB 于Q ，则OQ ∥DP ，∵OD ＝OB ，∴OQ ＝12DP ＝52，BQ ＝12BP ＝12（AB−AP ）＝1， ∴AQ ＝6，∴AO ＝2222513622AQ OQ ， ∴AM ＝AN ＝AO ＝132， ∴MN ＝2AM ＝1322， ∴△OEF 周长的最小值是1322． 故答案为：1322． 【点评】此题主要考查轴对称−−最短路线问题，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线定理等，正确的作出辅助线是解题的关键．11．如图，点(1,3),(6,1),(,0),(2,0)A B P a N a --+为四边形的四个顶点，当四边形PABN 的周长最小时，=a ________．【答案】13 4【分析】作点A关于x轴的对称点A′，则A′（1，3），将A′向右平移2个单位，即A″（3，3），连接A″B，与x轴交于点N，可判断出AP+BN=A″N+BN≥A″B，即此时四边形ABNP的周长最小，求出A″B的表达式，得到与x轴的交点，即为点N，从而可得a值．【解答】解：如图，作点A关于x轴的对称点A′，则A′（1，3），将A′向右平移2个单位，即A″（3，3），连接A″B，与x轴交于点N，则此时AP=A′P=A″N，则AP+BN=A″N+BN≥A″B，在四边形ABNP中，PN和AB均为定值，∴此时四边形ABNP的周长最小，设A″B的表达式为y=kx+b，则3361k bk b+=⎧⎨+=-⎩，解得：437kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线A″B的表达式为473y x=-+，令y=0，则214x=，即此时N（214，0），2124a+=，解得：a=134，故答案为：134． 【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题：通过对称，把两条线段的和转化为一条线段，利用两点之间线段最短解决问题．12．如图，在四边形ABCD 中，90,5,4,A D AB AD ∠=∠=︒==3,CD =点P 是边AD 上的动点，则PBC 周长的最小值为（ ）A ．8B ．45C ．12D ．65【答案】D【分析】根据勾股定理可求BC 的长，所以要使△PBC 的周长最小，即BP+PC 最短，利用对称性，作点C 关于AD 的对称点E ，即可得出最短路线，从而求解可．【解答】解：过点C 作CG ⊥AB ，由题意可知四边形DAGC 是矩形∴CG=AD=4，BG=AB-AG=AB-CD=2∴在Rt △BCG 中，222425BC =+=作点C 关于AD 的对称点E ，连接BE ，交AD 于点P'，连接'CP此时'P BC 的周长为最小值，即''''BP CP BC BP EP BC BE BC ++=++=+过点E 作EF ⊥BA ，交BA 的延长线于点F由题意可知四边形EFAD 为矩形∴EF=AD=4，DE=CD=AF=3∴在Rt △EBF 中，224(35)45BE =++=∴此时'P BC 的周长为：65BE BC +=故选：D ．【点评】本题考查勾股定理解直角三角形及应用对称的性质求最短路线，掌握相关性质定理正确添加辅助线进行推理计算是解题关键．13．如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到点E ，使DE AD =，且BE DC ⊥．(1)求证：四边形DBCE 为菱形；(2)若DBC △是边长为2的等边三角形，点P 、M 、N 分别在线段BE 、BC 、CE 上运动，求PM PN +的最小值． 【答案】(1)证明见解析(2)3【分析】（1）先根据四边形ABCD 为平行四边形的性质和DE AD =证明四边形DBCE 为平行四边形，再根据BE DC ⊥，即可得证；（2）先根据菱形对称性得，得到'PM PN PM PN +=+，进一步说明PM PN +的最小值即为菱形的高，再利用三角函数即可求解．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，AD BC =，∵DE AD =，∴DE BC =，又∵点E 在AD 的延长线上，∴DE BC ∥，∴四边形DBCE 为平行四边形，又∵BE DC ⊥，∴四边形DBCE 为菱形．（2）解：如图，由菱形对称性得，点N 关于BE 的对称点'N 在DE 上，∴'PM PN PM PN +=+，当P 、M 、'N 共线时，''PM PN PM PN MN +=+=，过点D 作DH BC ⊥，垂足为H ，∵DE BC ∥，∴'MN 的最小值即为平行线间的距离DH 的长，∵DBC △是边长为2的等边三角形，∴在Rt DBH 中，60DBC ∠=︒，2DB =，sin DH DBC DB ∠=， ∴3sin 232DH DB DBC =∠=⨯=， ∴PM PN +的最小值为3．【点评】本题考查了最值问题，考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角函数等知识，运用了转化的思想方法．将最值问题转化为求菱形的高是解答本题的关键．14．如图，在平行四边形ABCD 中，2,1,60AB AD B ==∠=︒，将平行四边形ABCD 沿过点A 的直线l 折叠，使点D 落到AB 边上的点'D 处，折痕交CD 边于点E ．（1）求证：四边形'BCED 是菱形；（2）若点P 是直线l 上的一个动点，请作出使'PD PB +为最小值的点P ，并计算'PD PB +．【答案】（1）见解析；（2）作图见解析，7得到DAD E'是菱形，作DG BA⊥）将ABCD沿过点A的直线∠=EA，D//DE AD∴∠=DEA∴∠=，DAE EA∴∠'DAD∴四边形=AD ADAB=，2∴=AD AD∴'是菱形；BCED（2）四边形∴与D'D连接BD交CD AB//∴∠=DAGAD=，112AG ∴=，32DG =， 52BG ∴=， 227BD DG BG ∴=+=，PD PB ∴'+的最小值为7．【点评】本题考查了平行四边形的性质，最短距离问题，勾股定理，菱形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．。

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案 )总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接那么成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一〞法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一〞的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法〞或“补短：法〞遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为 30 、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一〞的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折〞法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转〞法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，〔1〕可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折〞，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．〔2〕可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。