高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介课前导引素材新人教A版选修4-4

四柱坐标系与球坐标系简介1．柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z ∈R.(2)空间任意一点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z.2．球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(r ，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r ，φ，θ)叫做点P 的球坐标，记作P (r ，φ，θ)，其中r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ.[例1] (1)设点A 的直角坐标为(1，3，5)，求它的柱坐标． (2)已知点P 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，8，求它的直角坐标． [思路点拨] 直接利用变换公式求解．[解] (1)由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρ2＝x 2＋y 2，z ＝z ，即ρ2＝12＋(3)2＝4，∴ρ＝2. tan θ＝yx ＝3，又x ＞0，y ＞0.∴θ＝π3，∴点A 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，5. (2)由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z得x ＝4cos π3＝2，y ＝4sin π3＝23，z ＝8.∴点P 的直角坐标为(2,23，8)．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可设点的柱坐标为(ρ，θ，z )，代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z求ρ，也可利用ρ2＝x 2＋y 2，求ρ.利用tan θ＝yx 求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的值；同理，可由柱坐标转化为直角坐标.1．已知点M 的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标． 解：ρ＝x 2＋y 2＝02＋12＝1.∵x ＝0，y ＞0，∴θ＝π2，∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，2. 2．将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标． (1)⎝⎛⎭⎫2，π6，1；(2)⎝⎛⎭⎫6，5π3，－2；(3)()1，π，0. 解：设点的直角坐标为(x ，y ，z )． (1)∵(ρ，θ，z )＝⎝⎛⎭⎫2，π6，1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，z ＝1，∴(3，1,1)为所求．(2)∵(ρ，θ，z )＝⎝⎛⎭⎫6，5π3，－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝6cos 5π3＝3，y ＝ρsin θ＝6sin 5π3＝－33，z ＝－2，∴(3，－33，－2)为所求．(3)∵(ρ，θ，z )＝(1，π，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝cos π＝－1，y ＝ρsin θ＝sin π＝0，z ＝0，∴(－1,0,0)为所求.[例2] (1)已知点P 的球坐标为⎝⎛⎭⎫4，3π4， π4，求它的直角坐标； (2)已知点M 的直角坐标为(－2，－2，－22)，求它的球坐标． [思路点拨] 直接套用坐标变换公式求解． [解] (1)由坐标变换公式得， x ＝r sin φcos θ＝4sin3π4cos π4＝2， y ＝r sin φsin θ＝4sin 3π4sin π4＝2，z ＝r cos φ＝4cos 3π4＝－22，故其直角坐标为(2,2，－22)． (2)由坐标变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝(－2)2＋(－2)2＋(－22)2＝4. 由r cos φ＝z ＝－22，得cos φ＝－22r ＝－22，φ＝3π4. 又tan θ＝y x ＝1，则θ＝5π4(M 在第三象限)，从而知M 点的球坐标为⎝⎛⎭⎫4，3π4，5π4.由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r ，φ，θ)，利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ求出r ，φ，θ即可；也可以利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝y x ，cos φ＝zr来求．要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚φ和θ所在的位置．3．将下列各点的球坐标分别化为直角坐标． (1)⎝⎛⎭⎫2，π6，π3；(2)⎝⎛⎭⎫6，π3，2π3. 解：设点的直角坐标为(x ，y ，z )． (1)∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎫2，π6，π3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝2sin π6cos π3＝12，y ＝r sin φsin θ＝2sin π6sin π3＝32，z ＝r cos φ＝2cos π6＝3，∴⎝⎛⎭⎫12，32，3为所求．(2)∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎫6，π3，2π3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝6sin π3cos 2π3＝－332，y ＝r sin φsin θ＝6sin π3sin 2π3＝92，z ＝r cos φ＝6cos π3＝3，∴⎝⎛⎭⎫－332，92，3为所求．4．求下列各点的球坐标．(1)M (1，3，2)；(2)N (－1,1，－2)． 解：(1)由变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋(3)2＋22＝2 2. 由z ＝r cos φ，得cos φ＝z r ＝222＝22，∴φ＝π4，又tan θ＝y x ＝31＝3，x ＞0，y ＞0，∴θ＝π3，∴它的球坐标为⎝⎛⎭⎫22，π4，π3. (2)由变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝(－1)2＋12＋(－2)2＝2. 由z ＝r cos φ，得cos φ＝z r ＝－22，∴φ＝3π4.又tan θ＝y x ＝1－1＝－1，x ＜0，y ＞0，∴θ＝3π4，∴它的球坐标为⎝⎛⎭⎫2，3π4，3π4.一、选择题1．在球坐标系中，方程r ＝2表示空间的( ) A ．球 B ．球面 C ．圆D ．直线解析：选B r ＝2，表示空间的点到原点的距离为2，即表示球心在原点，半径为2的球面．2．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，π3，3 B.⎝⎛⎭⎫2，2π3，3 C.⎝⎛⎭⎫2，4π3，3 D.⎝⎛⎭⎫2，5π3，3 解析：选C ρ＝(－1)2＋(－3)2＝2，∵tan θ＝y x ＝3，x <0，y <0，∴θ＝4π3，又z＝3，∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，4π3，3. 3．若点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎫8，π3，5π6，则它的直角坐标为( ) A ．(－6,23，4) B ．(6,23，4) C ．(－6，－23，4)D ．(－6,23，－4)解析：选A 由x ＝8sin π3cos 5π6＝－6，y ＝8sin π3sin 5π6＝23，z ＝8cos π3＝4，得点M 的直角坐标为(－6,23，4)．4．若点M 的直角坐标为(3，1，－2)，则它的球坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫22，3π4，π6 B.⎝⎛⎭⎫22，π4，π6C.⎝⎛⎭⎫22，π4，π3D.⎝⎛⎭⎫22，3π4，π3 解析：选A 设M 的球坐标为(r ，φ，θ)，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π，则r ＝(3)2＋12＋(－2)2＝22， 由22cos φ＝－2得φ＝3π4， 又tan θ＝13＝33，x >0，y ＞0，得θ＝π6，∴点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎫22，3π4，π6.故选A. 二、填空题5．点P 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫4，π6，3，则点P 到原点的距离为________． 解析：x ＝ρcos θ＝4cos π6＝23，y ＝ρsin θ＝4sin π6＝2.即点P 的直角坐标为(23，2,3)，其到原点的距离为(23－0)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝25＝5.答案：56．点M (－3，－3,3)的柱坐标为________． 解析：ρ＝x 2＋y 2＝(－3)2＋(－3)2＝32，∵tan θ＝－3－3＝1，x <0，y <0，∴θ＝5π4，∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫32，5π4，3. 答案：⎝⎛⎭⎫32，5π4，3 7．已知点M 的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r ，φ，θ)，则tan φ＝________，tan θ＝________.解析：如图所示，tan φ＝x 2＋y 2z ＝53，tan θ＝y x ＝2.答案：532 三、解答题8．设点M 的直角坐标为(1,1，2)，求点M 的柱坐标与球坐标． 解：由坐标变换公式，可得ρ＝x 2＋y 2＝2， ∵tan θ＝y x ＝1，x >0，y >0，∴θ＝π4.r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋(2)2＝2. 由r cos φ＝z ＝2(0≤φ≤π)，得cos φ＝2r ＝22，φ＝π4. 所以点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，2，球坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，π4. 9．已知点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，3，点N 的球坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，π2，求线段MN 的长度． 解：设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，由变换公式得，x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1，z ＝3，∴点M 的直角坐标为(1,1,3)，设点N 的直角坐标为(a ，b ，c )， 则a ＝ρsin φ·cos θ＝2×22×0＝0，b ＝ρsin φ·sin θ＝2×22×1＝2，c ＝ρcos φ＝2×22＝2，∴点N 的直角坐标为(0，2，2)．∴|MN |＝12＋(1－2)2＋(3－2)2＝15－8 2.10.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图所示建立空间直角坐标系A -xyz ，以Ax 为极轴．求点C 1的直角坐标，柱坐标以及球坐标．解：点C 1的直角坐标为(1,1,1)，设点C 1的柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，其中ρ≥0，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π，由坐标变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，得⎩⎪⎨⎪⎧ ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)，且⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r ，得⎩⎨⎧ρ＝2，tan θ＝1，且⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，cos φ＝33.结合图形，得θ＝π4，由cos φ＝33得tan φ＝ 2.所以点C 1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，1，球坐标为⎝⎛⎭⎫3，φ，π4，其中tan φ＝2，0≤φ≤π.。