2018学年数学人教A版选修2-2优化练习：第二章 2.1 2.1.1 合情推理

第2课时　分析法课时过关·能力提升基础巩固1分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.等价条件答案A2欲证2-成立,只需证( )5<6‒7A.(2-)2<()256‒7B.(2-)2<()265‒7C.(2+)2<()275+6D.(2-)2<(-)25‒67解析由分析法知,欲证2-,只需证2+,即证(2+)2<()2,故选C.5<6‒77<6+576+5答案C3要证明<2,可选择的方法有下面几种,其中最合理的是( )3+75A.综合法 B.分析法C.特殊值法 D.其他方法答案B4分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设a>b>c ,且a+b+c=0,求证:a 索的因b 2-ac <3应是( )A.a-b>0 B.a-c>0C.(a-b )(a-c )>0 D.(a-b )(a-c )<0答案C5将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整:要证≥ab ,只需证a 2+b 2≥2ab ,也就是证 ,即a 2+b 22a 2+b 22证 ,由于 显然成立,因此原不等式成立. 答案a 2+b 2-2ab ≥0　(a-b )2≥0　(a-b )2≥06用A ,B ,C 和a ,b ,c 分别表示△ABC 的三个内角和三条边.求证:当tan A ·tan B>1时,△ABC 为锐角三角形.证明要证三角形为锐角三角形,只需证A ,B ,C 均为锐角,只需证tan A ,tan B ,tan C 均为正.因为tan A tan B>1,且A+B<π,所以tan A>0,且tan B>0.又因为tan C=tan[180°-(A+B )]=-tan(A+B )=>0,tanA +tanBtanAtanB -1所以A ,B ,C 均为锐角,即△ABC 为锐角三角形.7已知a ,b ,m 是正实数,且a<b ,求证:.a b <a +mb +m 证明由a ,b ,m是正实数,故要证,a b <a +mb +m 只需证a (b+m )<b (a+m ),只需证ab+am<ab+bm ,只需证am<bm.而m>0,所以只需证a<b.由条件知a<b 成立,故原不等式成立.8设|a|<1,|b|<1,求证:<1.|a +b1+ab|证明要证<1,|a +b 1+ab |只需证|a+b|<|1+ab|,只需证(a+b )2<(1+ab )2,只需证a 2+2ab+b 2<1+2ab+a 2b 2,只需证a 2-a 2b 2+b 2-1<0,只需证(a 2-1)(b 2-1)>0.当a 2<1,b 2<1,即|a|<1,|b|<1时,上式成立.所以原不等式成立.9设a ,b ∈(0,+∞),且a ≠b ,求证:a 3+b 3>a 2b+ab 2.(提示:a 3+b 3=(a+b )(a 2-ab+b 2))证明方法一(分析法):要证a 3+b 3>a 2b+ab 2成立,即证(a+b )(a 2-ab+b 2)>ab (a+b )成立.又因为a+b>0,所以只需证a 2-ab+b 2>ab 成立,即证a 2-2ab+b 2>0成立,即证(a-b )2>0成立.而依题设a ≠b ,则(a-b )2>0显然成立.由此命题得证.方法二(综合法):a ≠b ⇔a-b ≠0⇔(a-b )2>0⇔a 2-2ab+b 2>0⇔a 2-ab+b 2>ab.注意到a ,b ∈(0,+∞),a+b>0,由上式即得(a+b )(a 2-ab+b 2)>ab (a+b ).所以a 3+b 3>a 2b+ab 2.能力提升1若a ≥0,P=,Q=,则P ,Q 的大小关系是( )a +a +7a +3+a +4 A.P>Q B.P=Q C.P<QD.由a 的取值确定解析要比较P ,Q ,只需比较P 2=2a+7+2与Q 2=2a+7+2,只需比较a 2+7a 与a 2+7a a 2+7a +12a 2+7a+12的大小,显然前者小.答案C2要证a 2+b 2-1-a 2b 2≤0,只需证明( )A.2ab-1-a 2b 2≤0B.a 2+b 2-1-≤0a 4+b 42C.-1-a 2b 2≤0(a +b )22D.(a 2-1)(b 2-1)≥0解析因为a 2+b 2-1-a 2b 2≤0⇔(a 2-1)(b 2-1)≥0,故选D.答案D ★3已知a ,b ,μ∈(0,+∞),且=1,则使得a+b ≥μ恒成立的μ的取值范围是 .1a +9b 解析∵a ,b ∈(0,+∞),且=1,1a +9b ∴a+b=(a+b )=10+≥10+2=16,当且仅当b=3a 时等号成立.(1a +9b)(9a b +b a)9∴a+b 的最小值为16.∴要使a+b ≥μ恒成立,只需16≥μ成立,故0<μ≤16.答案(0,16]4若对任意x>0,≤a 恒成立,则a 的取值范围是 . xx2+3x +1解析当x>0时,(当且仅当x=1时,取等号),要使≤a 恒成立.xx 2+3x +1=1x +1x+3≤12+3=15xx 2+3x +1只需≤a即可.故a ≥.1515答案[15,+∞)5已知a>0,>1.求证:.1b ‒1a 1+a >11-b 证明要证,1+a >11-b 只需证1+a>,11-b 只需证(1+a )(1-b )>1(1-b>0),即1-b+a-ab>1,所以a-b>ab.只需证>1,a -bab 即>1.1b ‒1a 由已知a>0,>1成立,1b ‒1a 所以成立.1+a >11-b 6已知a>0,用分析法求证:≥a+-2.a 2+1a2‒21a 证明要证≥a+-2,a 2+1a2‒21a 只需证+2≥a+,a 2+1a 21a+2又a>0,故只需证,即要证a 2++4+4≥a 2+2++2(a 2+1a2+2)2≥(a +1a+2)21a 2a 2+1a21a 2+2,只需证2,2·(a +1a)a 2+1a2≥2(a +1a)只需证4≥2.(a 2+1a 2)(a 2+2+1a 2)即a 2+≥2.而此不等式显然成立,1a 2故原不等式成立.★7已知2tan A=3tan B.求证:tan(A-B )=.sin2B5-cos2B 分析观察条件与结论,结论中出现二倍角,可把二倍角公式化为单角,再将分式化为整式,同时等式的左边可用差角正切公式,再结合已知等式消去角A ,此时将等式中的常数2化为2(sin 2B+cos 2B ),可以发现等式中两边是关于sin B 与cos B 的二次式,再逆用公式tan B=将弦化为切即可完成证明.sinBcosB 证明因为2tan A=3tan B ,所以tan A=tan B.32要证tan(A-B )=,sin2B5-cos2B 只需证,tanA -tanB 1+tanAtanB =2sinBcosB5-(1-2sin 2B )只需证,12tanB 1+32tan 2B =2sinBcosB 4+2sin 2B即证,tanB2+3tan2B=sinBcosB 2+sin 2B 只需证tan B (2+sin 2B )=(2+3tan 2B )sin B cos B ,只需证tan B (2cos 2B+3sin 2B )=(2+3tan 2B )sin B cos B ,只需证tan B(2+3·sin 2B cos 2B)=(2+3tan 2B )·,sinBcosB cos 2B即证tan B (2+3tan 2B )=(2+3tan 2B )tan B.因为tan B (2+3tan 2B )=(2+3tan 2B )tan B 显然成立,所以tan(A-B )=成立.sin2B5-cos2B。

合情推理与演绎推理
合情推理
课时过关·能力提升
基础巩固
数列,…中的值为()
解析,猜想.
答案
下列类比推理恰当的是()
.把()与()类比,则有()
.把()与()类比,则有()
.把()与()类比,则有()
.把()与·()类比,则有·()··
解析选项没有从本质上类比,是简单类比,从而出现错误.
答案
下列关于归纳推理的说法错误的是()
.归纳推理是由一般到一般的推理过程
.归纳推理是由特殊到一般的推理过程
.由归纳推理得出的结论不一定正确
.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能
解析由归纳推理的定义与特征可知选项错误,选项均正确,故选.
答案
如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角.根据数组中数的构成规律,知所表示的数是()
解析经观察、分析杨辉三角形可以发现:从第行开始,每行除外,每个数都是它肩上的两数之和,如第行的第个数为,它肩上的两数为和,且.由此可推知,故选.
答案
若在数列{}中,……,则.
解析前项共使用了…个奇数由第个到第个共个奇数的和组成,即(×)(×)…(×).
答案
观察下列等式()()(),……根据上述规律,第四个等式为.
答案()
对于平面几何中的命题“夹在两条平行线之间的平行线段相等”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题.
解析利用类比推理可知,平面中的直线应类比空间中的平面.
答案夹在两个平行平面间的平行线段相等。

2.1.2　演绎推理课时过关·能力提升基础巩固1正弦函数是奇函数,f (x )=sin(x 2+1)是正弦函数,因此f (x )=sin(x 2+1)是奇函数.以上推理( )A.结论正确B.大前提不正确C.小前提不正确 D.全不正确解析函数f (x )=sin(x 2+1)不是正弦函数,故小前提不正确.故选C.答案C2下面几种推理过程是演绎推理的是( )A.两条直线平行,同旁内角互补,因为∠A 和∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角,所以∠A+∠B=180°B.我国某地质学家发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似,而中亚细亚有丰富的石油,由此,他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油C.由6=3+3,8=3+5,10=3+7,12=5+7,14=7+7,……,得出结论:一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和D.在数列{a n }中,a 1=1,a n =(n ≥2),由此归纳出{a n }的通项公式12(a n -1+1a n -1)解析选项A 中“两条直线平行,同旁内角互补”这是大前提,是真命题,该推理为演绎推理,选项B 为类比推理,选项C,D 都是归纳推理.答案A3在三边不相等的三角形中,a 为最大边,要想得到∠A 为钝角的结论,三边a ,b ,c 应满足的条件是( )A.a 2<b 2+c 2 B.a 2=b 2+c 2C.a 2>b 2+c 2D.a 2≤b 2+c 2解析由余弦定理的推论cos A=,要使∠A 为钝角,当且仅当cos A<0,而2bc>0.b 2+c 2-a 22bc ∴b 2+c 2-a 2<0.∴a ,b ,c 应满足的条件是a 2>b 2+c 2.故选C.答案C4推理过程“大前提: ,小前提:四边形ABCD 是菱形,结论:四边形ABCD 的对角线互相垂直.”应补充的大前提是　.答案菱形的对角线互相垂直5已知a=,函数f (x )=a x ,若实数m ,n 满足f (m )>f (n ),则m ,n 的大小关系为 .5-12解析因为当0<a<1时,函数f (x )=a x 为减函数,大前提a=∈(0,1),小前提5-12所以函数f (x )=为减函数.结论(5-12)x 故由f (m )>f (n ),得m<n.答案m<n6命题“若空间两条直线a ,b 分别垂直于平面α,则a ∥b.”学生小夏这样证明:设直线a ,b 与平面α分别相交于A ,B 两点,连接AB ,∵a ⊥α,b ⊥α,AB ⊂α,①∴a ⊥AB ,b ⊥AB.②∴a ∥b.③这里的证明有两个推理,即:①⇒②和②⇒③.老师评改认为小夏的证明推理不正确,这两个推理中不正确的是 .答案②⇒③7用三段论证明通项公式为a n =a 1+(n-1)d 的数列{a n }为等差数列.分析首先明确本题的大前提是等差数列的定义,而且要准确利用三段论的形式.证明若数列{a n }满足a n+1-a n =d (常数),则数列{a n }为等差数列,大前提通项公式为a n =a 1+(n-1)d 的数列{a n },满足a n+1-a n =a 1+nd-a 1-(n-1)d=d ,小前提所以通项公式为a n =a 1+(n-1)d 的数列{a n }为等差数列.结论8当a ,b 为正数时,求证:.a +b2≥ab证明一个实数的平方是非负数,大前提是实数的平方,小前提a +b2‒ab(a2-b2)所以是非负数.结论a +b2‒ab即≥0,a +b2‒ab所以.a +b2≥ab能力提升1因为指数函数y=a x (a>1)在R 上单调递增,y=2|x|是指数函数,所以y=2|x|在R 上单调递增.以上推理( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.正确解析此推理形式正确,但是,函数y=2|x|不是指数函数,所以小前提错误,故选B.答案B2“因为对数函数y=log a x (a>0,a ≠1)在(0,+∞)内单调递增(大前提),又因为y=lo x是对数函数(小前提),所以g 13y=lox在(0,+∞)内单调递增(结论).”下列说法正确的是( )g 13A.大前提错误导致结论错误 B.小前提错误导致结论错误C.推理形式错误导致结论错误D.大前提和小前提都错误导致结论错误解析此推理形式正确,但大前提是错误的(因为当0<a<1时,对数函数y=log a x 是减函数),所以所得的结论是错误的,故选A.答案A3f (x )是定义在(0,+∞)内的非负可导函数,且满足xf'(x )+f (x )<0.对任意的正数a ,b ,若a<b ,则必有( )A.bf (a )<af (b )B.af (b )<bf (a )C.af (a )<f (b )D.bf (b )<f (a )解析构造函数F (x )=xf (x ),则F'(x )=xf'(x )+f (x ).由题设条件知F (x )=xf (x )在(0,+∞)上单调递减.若a<b ,则F (a )>F (b ),即af (a )>bf (b ).又f (x )是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,所以bf (a )>af (a )>bf (b )>af (b ).故选B.答案B4设函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且y=f (x )的图象关于直线x=对称,则f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (5)= .12解析f (0)=0,f (1)=f (0)=0,f (2)=f (-1)=0,f (3)=f (-2)=0,f (4)=f (-3)=0,f (5)=f (-4)=0,则f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (5)=0.答案0★5设f (x )=(x-a )(x-b )(x-c )(a ,b ,c 是两两不相等的常数),则的值是 .a f '(a )+b f '(b )+c f '(c )解析∵f'(x )=(x-b )(x-c )+(x-a )(x-c )+(x-a )(x-b ),∴f'(a )=(a-b )(a-c ),f'(b )=(b-a )·(b-c ),f'(c )=(c-a )(c-b ),∴a f '(a )+b f '(b )+c f '(c )=a(a -b )(a -c )+b (b -a )(b -c )+c (c -a )(c -b )==0.a (b -c )-b (a -c )+c (a -b )(a -b )(a -c )(b -c )答案06已知f (x )=x ,求证:f (x )是偶函数.(12x-1+12)证明f (x )=x ·,其定义域为{x|x ≠0},2x +12(2x-1)又f (-x )=(-x )·=-x ·=x ·=f (x ),2-x +12(2-x-1)1+2x 2(1-2x )2x +12(2x-1)故f (x )为偶函数.★7如图,在四棱锥P-ABCD 中,AP ⊥平面PCD ,AD ∥BC ,AB=BC=AD ,E ,F 分别为线段AD ,PC 的中点.求证:12(1)AP ∥平面BEF ;(2)BE ⊥平面PAC.证明(1)如图,设AC ∩BE=O ,连接OF ,EC.由于E 为AD 的中点,AB=BC=AD ,AD ∥BC ,12所以AE ∥BC ,AE=AB=BC ,因此四边形ABCE 为菱形,所以O 为AC 的中点.又F 为PC 的中点,因此在△PAC 中,可得AP ∥OF.又OF ⊂平面BEF ,AP ⊄平面BEF ,所以AP ∥平面BEF.(2)由题意知ED ∥BC ,ED=BC.所以四边形BCDE 为平行四边形,因此BE ∥CD.又AP ⊥平面PCD ,所以AP ⊥CD ,因此AP ⊥BE.因为四边形ABCE 为菱形,所以BE ⊥AC.又AP ∩AC=A ,AP ,AC ⊂平面PAC ,所以BE ⊥平面PAC.★8设函数f (x )=x 3+ax 2-a 2x+1,g (x )=ax 2-2x+1,其中实数a ≠0.(1)若a>0,求函数y=f (x )的单调区间;(2)当函数y=f (x )与y=g (x )的图象只有一个公共点,且g (x )存在最小值时,记g (x )的最小值为h (a ),求h (a )的值域;(3)若f (x )与g (x )在区间(a ,a+2)内均单调递增,求a 的取值范围.分析第(1)问可利用导数来求单调区间;第(2)问可将只有一个公共点转化为方程有唯一根的问题;第(3)问可以利用第(1)问中的结论来推断.解(1)∵f'(x )=3x 2+2ax-a 2=3(x+a ),(x -a3)又a>0,∴当x<-a 或x>时,f'(x )>0;a3当-a<x<时,f'(x )<0,a3∴f (x )的单调递增区间为(-∞,-a )和,单调递减区间为.(a 3,+∞)(-a ,a 3)(2)由题意,知x 3+ax 2-a 2x+1=ax 2-2x+1,即x [x 2-(a 2-2)]=0恰有一个根(含重根).∴a 2-2≤0,即-≤a ≤.22又a ≠0,∴a ∈[-,0)∪(0,].22当a>0时,g (x )才存在最小值,∴a ∈(0,].2∵g (x )=a+1-,(x -1a )21a ∴h (a )=1-,a ∈(0,],1a 2∴h (a )的值域为.(-∞,1-22](3)当a>0时,f (x )在(-∞,-a )和内单调递增,g (x )在内单调递增.(a 3,+∞)(1a ,+∞)由题意,得解得a ≥1;{a >0,a ≥a3,a ≥1a ,当a<0时,f (x )在和(-a ,+∞)内单调递增,g (x )在内单调递增.(-∞,a 3)(-∞,1a )由题意,得{a <0,a +2≤a 3,a +2≤1a ,解得a ≤-3.综上,实数a 的取值范围为(-∞,-3]∪[1,+∞).。

章末检测(二)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．根据偶函数定义可推得“函数f (x )＝x 2在R 上是偶函数”的推理过程是( ) A ．归纳推理 B ．类比推理 C ．演绎推理D ．非以上答案解析：根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C. 答案：C2．下面四个推理不是合情推理的是( ) A ．由圆的性质类比推出球的有关性质B ．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C ．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D ．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的 解析：A 是类比推理，B 、D 是归纳推理，C 不是合情推理． 答案：C3．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以a 2>0”，你认为这个推理( ) A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误D ．是正确的解析：这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a 是实数”，结论是“a 2>0”．显然结论错误，原因是大前提错误．答案：A4．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (6)>52，f (8)>3，f (10)>72，观察上述结果，可推测出一般结论为( )A ．f (2n )＝n ＋22B ．f (2n )>n ＋22C ．f (2n )≥n ＋22D ．f (n )>n2解析：观察所给不等式，不等式左边是f (2n )，右边是n ＋22，故选B.答案：B5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，…，可归纳猜想出S n 的表达式为( )A.2n n ＋1B.3n －1n ＋1C.2n ＋1n ＋2D.2n n ＋2解析：由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2，∴a 2＝13，S 2＝43；又1＋13＋a 3＝32a 3，∴a 3＝16，S 3＝32＝64；又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，S 4＝85；……由S 1＝22＝2×11＋1，S 2＝43＝2×22＋1，S 3＝64＝2×33＋1，S 4＝85＝2×44＋1，…，可以猜想S n ＝2nn ＋1.答案：A6．如果两个数之和为正数，则这两个数( ) A ．一个是正数，一个是负数 B ．两个都是正数 C ．至少有一个是正数 D ．两个都是负数解析：这两个数中至少有一个数是正数，否则，若这两个数都不是正数，则它们的和一定是非正数，这与“两个数之和为正数”相矛盾．答案：C7．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n －1＝2⎝⎛⎭⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立解析：因为假设n ＝k (k ≥2为偶数)，故下一个偶数为k ＋2，故选B. 答案：B8．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n 2(n 2＋1)3时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k －1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D.13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] 解析：当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2…＋22＋12，当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边应添加的式子为(k ＋1)2＋k 2. 答案：B9.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋1解析：如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则F (－c,0)，B (0，b )，A (a,0)．∴FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )． 又∵FB →⊥AB →，∴FB →·AB →＝b 2－ac ＝0. ∴c 2－a 2－ac ＝0.∴e 2－e －1＝0.∴e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故应选A.答案：A10．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式左边的变化情况为( )A ．增加12(k ＋1)B ．增加12k ＋1＋12(k ＋1)C ．增加1(k ＋1)＋(k ＋1)，减少1k ＋1D ．增加12(k ＋1)，减少1k ＋1解析：当n ＝k 时，不等式的左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ，当n ＝k ＋1时，不等式的左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)，所以1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1(k ＋1)＋(k ＋1)－(1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k )＝1(k ＋1)＋(k ＋1)－1k ＋1，所以由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式的左边增加1(k ＋1)＋(k ＋1)，减少1k ＋1.答案：C11．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列{a n }的第2 012项与5的差，即a 2 012－5＝( )A ．2 018×2 012B ．2 018×2 011C ．1 009×2 012D ．1 009×2 011解析：由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n ＝1时，a 1＝2＋3＝12×(2＋3)×2；n ＝2时，a 2＝2＋3＋4＝12×(2＋4)×3……由此我们可以推断：a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝12×[2＋(n ＋2)]×(n ＋1)∴a 2 012－5＝12×[2＋(2 012＋2)]×(2 012＋1)－5＝1 008×2 013－5＝1 009×2 011，故选D.答案：D12．语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好．”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，并且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的．问满足条件的最多有多少学生( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：假设A 、B 两个同学的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩高的同学比另一个同学“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾．因此，没有任意两个同学数学成绩是相同的．同理，没有任意两个同学语文成绩是相同的．因为语文、数学两学科成绩各有3种，因而同学数量最大为3.即 3位同学成绩分别为(优秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，优秀)时满足条件．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y <2，则x ，y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________． 解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x ，y 都大于1”． 答案：x ，y 都大于114．已知f (x )＝xex ，定义f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′，n ∈N.经计算 f 1(x )＝1－x e x ，f 2(x )＝x －2e x ，f 3(x )＝3－xe x，…，照此规律，则f n (x )＝________. 解析：观察各个式子，发现分母都是e x ，分子依次是－(x －1)，(x －2)，－(x －3)，(x －4)，…，括号前是(－1)n ，括号里是x －n ， 故f n (x )＝(－1)n (x －n )e x .答案：(－1)n (x －n )e x15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．解析：由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列．即T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列． 答案：T 8T 4 T 12T 816．在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O -LMN ，如果用S 1、S 2、S 3表示三个侧面面积，S 表示截面面积，那么类比得到的结论是________．解析：类比如下：正方形⇔正方体；截下直角三角形⇔截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方⇔三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和⇔三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S 2＝S 21＋S 22＋S 23.证明如下：如图，作OE ⊥平面LMN ，垂足为E ，连接LE 并延长交MN 于F ，连接NE ，ME ，OF .∵LO ⊥OM ，LO ⊥ON ，∴LO ⊥平面MON ， ∵MN ⊂平面MON ，∴LO ⊥MN ，∵OE ⊥MN ，∴MN ⊥平面OFL ，∴S △OMN ＝12MN ·OF ，S △MNE ＝12MN ·FE ，S △MNL ＝12MN ·LF ，OF 2＝FE ·FL ，∴S 2△OMN ＝(12MN ·OF )2＝ (12MN ·FE )·(12MN ·FL )＝S △MNE ·S △MNL ，同理S 2△OML ＝S △MLE ·S △MNL ，S 2△ONL ＝S △NLE ·S △MNL ，∴S 2△OMN ＋S 2△OML ＋S 2△ONL ＝(S △MNE ＋S △MLE ＋S △NLE )·S △MNL ＝S 2△MNL ，即S 21＋S 22＋S 23＝S 2.答案：S 2＝S 21＋S 22＋S 23三、解答题(本大题共6小题，共74分，必要的解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)设a ，b ∈(0，＋∞)，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 证明：要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立， 即需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立． 又因a ＋b >0，故只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立， 即需证a 2－2ab ＋b 2>0成立， 即需证(a －b )2>0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0显然成立． 由此命题得证．18．(本小题满分12分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b 2；(2)已知m ＞0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m .证明：(1)当a ，b >0时，有a ＋b 2≥ab ，∴lg a ＋b 2≥lg ab ，∴lg a ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b 2.(2) ∵m ＞0，∴1＋m ＞0.所以要证原不等式成立， 只需证(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)， 即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b )2≥0，而(a －b )2≥0显然成立，故原不等式得证． 19. (本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．证明：(1)任取x 1、x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1且ax 1>0， ∴ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0，又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)， 于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． (2)设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1.∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根．20．(本小题满分12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解析：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.21．(本小题满分13分) 设数列a 1，a 2，…，a n ，…中的每一项都不为0.证明{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N *，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1.证明：先证必要性．设数列{a n }的公差为d .若d ＝0，则所述等式显然成立．若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1 ＝1d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝a n ＋1－a 1da 1a n ＋1＝n a 1a n ＋1. 再证充分性． (直接证法)依题意有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＋1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2.② ②－①得1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2－n a 1a n ＋1，在上式两端同乘a 1a n ＋1a n ＋2，得a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2.③ 同理可得a 1＝na n －(n －1)a n ＋1(n ≥2)，④ ③－④得2na n ＋1＝n (a n ＋2＋a n )， 即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，⑤又由①当n ＝2时，得等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3，两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，知a 3－a 2＝a 2－a 1，故⑤对任意n ∈N *均成立．所以{a n }是等差数列．22．(本小题满分13分)(2014·高考北京卷)对于数对序列P ：(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，…，(a n ，b n )，记T 1(P )＝a 1＋b 1，T k (P )＝b k ＋max{T k －1(P )，a 1＋a 2＋…＋a k }(2≤k ≤n )，其中max{T k －1(P )，a 1＋a 2＋…＋a k }表示T k －1(P )和a 1＋a 2＋…＋a k 两个数中最大的数．(1)对于数对序列P ：(2,5)，(4,1)，求T 1(P )，T 2(P )的值；(2)记m 为a ，b ，c ，d 四个数中最小的数，对于由两个数对(a ，b )，(c ，d )组成的数对序列P ：(a ，b )，(c ，d )和P ′：(c ，d )，(a ，b )，试分别对m ＝a 和m ＝d 两种情况比较T 2(P )和T 2 (P ′)的大小；(3)在由五个数对(11,8)，(5,2)，(16,11)，(11,11)，(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使T 5(P )最小，并写出T 5(P )的值．(只需写出结论)．解析：(1)T 1(P )＝2＋5＝7，T 2(P )＝1＋max{T 1(P )，2＋4}＝1＋max{7,6}＝8. (2)T 2(P )＝max{a ＋b ＋d ，a ＋c ＋d }， T 2(P ′)＝max{c ＋d ＋b ，c ＋a ＋b }．当m ＝a 时，T 2(P ′)＝max{c ＋d ＋b ，c ＋a ＋b }＝c ＋d ＋b .因为a ＋b ＋d ≤c ＋b ＋d ，且a ＋c ＋d ≤c ＋b ＋d ，所以T 2(P )≤T 2(P ′)．当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b.因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)．所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立．(3)数对序列P：(4,6)，(11,11)，(16,11)，(11,8)，(5,2)的T5(P)值最小，T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52.赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DAC1F B正方形ABCD中，∠EAF=45°∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠FAE＝45°，求证：EF＝BE+DF45°DBa+b-aa 45°A BE1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°DBa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DEa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .（1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.DC变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DAB CFEDCDC。

[课时作业] [A 组 基础巩固]1．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac ＜3a 索的因应是( )A ．a －b ＞0B ．a －c ＞0C ．(a －b )(a －c )＞0D ．(a －b )(a －c )＜0解析：要证b 2－ac ＜3a ，只需证b 2－ac ＜3a 2， 只需证b 2－a (－b －a )＜3a 2， 只需证2a 2－ab －b 2＞0， 只需证(2a ＋b )(a －b )＞0， 只需证(a －c )(a －b )＞0. 故索的因应为C. 答案：C2．证明命题“f (x )＝e x ＋1e x 在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下：∵f (x )＝e x ＋1e x ，∴f ′(x )＝e x －1e x .∵x >0，∴e x >1,0<1e x <1，∴e x －1ex >0，即f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数，他使用的证明方法是( ) A ．综合法 B ．分析法 C ．反证法D ．以上都不是解析：该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故应选A. 答案：A3．要使a 2＋b 2－a 2b 2－1≤0成立的充要条件是( ) A ．|a |≥1且|b |≥1 B ．|a |≥1且|b |≤1 C ．(|a |－1)(|b |－1)≥0D ．(|a |－1)(|b |－1)≤0解析：a 2＋b 2－a 2b 2－1≤0⇔a 2(1－b 2)＋(b 2－1)≤0⇔(b 2－1)(1－a 2)≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0⇔(|a |－1)(|b |－1)≥0.答案：C4.2＋6与3＋5的大小关系是()A.2＋6≥3＋ 5B.2＋6≤3＋ 5C.2＋6＞3＋ 5D.2＋6＜3＋ 5解析：要想确定2＋6与3＋5的大小，只需确定(2＋6)2与(3＋5)2的大小，只需确定8＋212与8＋215的大小，即确定12与15的大小，显然12＜15.∴2＋6＜3＋ 5.答案：D5．若x，y∈R＋，且x＋y≤a x＋y恒成立，则a的最小值是() A．2 2 B. 2C．2 D．1解析：原不等式可化为a≥x＋yx＋y＝(x＋y)2x＋y＝1＋2xyx＋y要使不等式恒成立，只需a不小于1＋2xyx＋y的最大值即可．∵1＋2xyx＋y≤2，当x＝y时取等号，∴a≥2，∴a的最小值为 2.故选B.答案：B6．设n∈N，则n＋4－n＋3________ n＋2－n＋1(填＞、＜、＝)．解析：要比较n＋4－n＋3与n＋2－n＋1的大小．即判断(n＋4－n＋3)－(n＋2－n＋1)＝(n＋4＋n＋1)－(n＋3＋n＋2)的符号，∵(n＋4＋n＋1)2－(n＋3＋n＋2)2＝2[(n＋4)(n＋1)－(n＋3)(n＋2)]＝2(n2＋5n＋4－n2＋5n＋6)＜0.∴n＋4－n＋3＜n＋2－n＋1.答案：＜7.如图所示，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD ⊥A 1C (写上一个条件即可)．解析：要证BD ⊥A 1C ，只需证BD ⊥平面AA 1C . 因为AA 1⊥BD ，只要再添加条件AC ⊥BD ， 即可证明BD ⊥平面AA 1C ，从而有BD ⊥A 1C . 答案：AC ⊥BD (答案不唯一)8．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成一个首项为12的等比数列，则|m －n |＝________.解析：不妨设12是x 2－mx ＋2＝0的一根，另一根为a ，则m ＝a ＋12，12a ＝2.设x 2－nx ＋2＝0的两根为b ，c, 则n ＝b ＋c ，bc ＝2.由12，b ，c ，a 成等比数列及a ＝4可得b ＝1，c ＝2，从而m ＝92，n ＝3，|m －n |＝32. 答案：329．已知0＜a ≤1,0＜b ≤1,0＜c ≤1，求证：1＋ab ＋bc ＋caa ＋b ＋c ＋abc ≥1.证明：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0， ∴要证1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1，只需证1＋ab ＋bc ＋ca ≥a ＋b ＋c ＋abc ， 即证1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )≥0. ∵1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc ) ＝(1－a )＋b (a －1)＋c (a －1)＋bc (1－a ) ＝(1－a )(1－b －c ＋bc ) ＝(1－a )(1－b )(1－c )， 又a ≤1，b ≤1，c ≤1， ∴(1－a )(1－b )(1－c )≥0.∴1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )≥0成立， 即证明了1＋ab ＋bc ＋caa ＋b ＋c ＋abc≥1.10．求证：当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大．证明：设圆和正方形的周长为l ，依题意，圆的面积为π(l 2π)2，正方形的面积为(l4)2，因此本题只需证明π(l )2＞(l4)2.为了证明上式成立，只需证明πl 24π2＞l 216，两边同乘以正数4l 2，得1π＞14，因此，只需证明4＞π.上式显然成立，故π(l 2π)2＞(l4)2.[B 组 能力提升]1．已知a ，b 为正实数，函数f (x )＝(12)x ，A ＝f (a ＋b 2)，B ＝f (ab )，C ＝f (2aba ＋b )，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A解析：因为函数f (x )＝(12)x 为减函数，所以要比较A ，B ，C 的大小，只需比较a ＋b 2，ab ，2aba ＋b 的大小，因为a ＋b 2≥ab ，两边同乘ab 得：ab ·a ＋b 2≥ab ，即ab ≥2ab a ＋b ，故a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b，∴A ≤B ≤C .答案：A2．设甲：函数f (x )＝|x 2＋mx ＋n |有四个单调区间，乙：函数g (x )＝lg(x 2＋mx ＋n )的值域为R ，那么甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．以上均不对解析：对甲，要使f (x )＝|x 2＋mx ＋n |有四个单调区间，只需要Δ＝m 2－4n >0即可；对乙，要使g (x )＝ lg(x 2＋mx ＋n )的值域为R ，只需要u ＝x 2＋mx ＋n 的值域包含区间(0，＋∞)，只需要Δ＝m 2－4n ≥0， 所以甲是乙的充分不必要条件． 答案：A3．要证3a －3b <3a －b 成立，则a ，b 应满足的条件是________． 解析：要证3a －3b <3a －b ，只需证(3a －3b )3<(3a －b )3， 即a －b －33a 2b ＋33ab 2<a －b ，即33a 2b －33ab 2>0，即3ab (3a －3b )>0.故所需条件为⎩⎨⎧3ab >0，3a －3b >0或⎩⎨⎧3ab ＜0，3a －3b <0，即ab >0且a >b 或ab <0且a <b . 答案：ab >0且a >b 或ab <0且a <b4．如果x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝2，则x ＋y 的最小值为________． 解析：由x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋xy ＝2, 得2－(x ＋y )＝xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22， ∴(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0，∴x ＋y ≥23－2或x ＋y ≤－2－23， ∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y 的最小值为23－2. 答案：23－25．在某两个正数m ，n 之间插入一个数x ，使m ，x ，n 成等差数列，插入两个数y ，z ，使m ，y ，z ，n 成等比数列，求证：(x ＋1)2≥(y ＋1)(z ＋1)．证明：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝m ＋n y 2＝mzz 2＝yn，所以m ＝y 2z ，n ＝z 2y.即m ＋n ＝y 2z ＋z 2y ，从而2x ＝y 2z ＋z 2y .要证(x ＋1)2≥(y ＋1)(z ＋1)， 只需证x ＋1≥(y ＋1)(z ＋1)成立．只需证x ＋1≥(y ＋1)＋(z ＋1)2即可．也就是证2x ≥y ＋z ，而2x ＝y 2z ＋z 2y ，则只需证y 2z ＋z 2y ≥y ＋z 即可．即y 3＋z 3≥yz (y ＋z )，只需证y 2－yz ＋z 2≥yz ，即证(y －z )2≥0成立， 由于(y －z )2≥0显然成立，∴(x ＋1)2≥(y ＋1)(z ＋1)．6．已知a ＞0，函数f (x )＝x 3－a ，x ∈[0，＋∞)，设x 1＞0.记曲线y ＝f (x )在点M (x 1，f (x 1))处的切线为l . (1)求l 的方程；(2)设l 与x 轴的交点为(x 2,0)，求证：x 2≥a 13.解析：(1)f ′(x )＝3x 2.故l 的方程为y －(x 31－a )＝3x 21(x －x 1)，即y ＝3x 21x －2x 31－a .(2)证明：令y ＝3x 21x －2x 31－a ＝0， 得x ＝2x 31＋a 3x 21，∴x 2＝2x 31＋a 3x 21. 欲证x 2≥a 13，只需证2x 31＋a ≥3x 21·a 13， 即证(x 1－a 13)2(2x 1＋a 13)≥0，显然成立， ∴原不等式成立.赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DAC1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DBa +b-aa45°ABE1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°DBa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DEa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .（1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.DC变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DAB CFEDCDC。

[课时作业][组基础巩固]．对任意的锐角α、β，下列不等式关系中正确的是( )．(α＋β)＞α＋β．(α＋β)＞α＋β．(α＋β)＞α＋β．(α＋β)＜α＋β解析：∵α、β为锐角，∴＜α＜α＋β＜π，∴α＞(α＋β)，又β＞，∴α＋β＞(α＋β)．答案：．在不等边三角形中，为最长边，要想得到∠为钝角的结论，三边，，应满足条件( )．＝＋．＜＋．≤＋．＞＋解析：由余弦定理得：＝＜，故＋－＜，∴＞＋.答案：．设＝＋，＝(＜)，则与大小关系为( )．＜．＞．≤．＝解析：＝＋＝，＝，当＜时，＜＜.∴＞.答案：．四面体中，棱、、两两垂直，则点在底面内的射影一定是△的( )．外心．内心．垂心．重心解析：如图，设点是点在底面内的射影，并连接，则⊥面.连接并延长交于点.由已知易得⊥.又∵⊥面，∴⊥.∴⊥面，∴⊥.∴在的高线上，同理在，的高线上．答案：．不相等的三个正数，，成等差数列，并且是，的等比中项，是，的等比中项，则，，三数( )．成等比数列而非等差数列．成等差数列而非等比数列．既成等差数列又成等比数列．既非等差数列又非等比数列解析：由已知条件，可得②＝. ③))由②③得代入①，得＋＝，即＋＝.故，，成等差数列．又由①得＝>＝·所以>·，故，，不成等比数列．答案：．设、是两个不共线的向量，＝＋，＝＋，若、、三点共线，则＝.解析：∵、、三点共线，∴存在λ使＝λ，即＋＝λ(＋)．∴λ＝，＝.答案：．已知α＋β＋γ＝，α＋β＋γ＝.则(α－β)＝.解析：∵α＋β＋γ＝，α＋β＋γ＝，∴α＋β＝－γ α＋β＝－γ))，两式平方相加得：＋( αβ＋αβ)＝，∴(α－β)＝－.答案：－．设>，>，则下面两式的大小关系为(＋)[(＋)＋(＋)]．解析：∵(＋)－(＋)(＋)＝＋＋－－－－＝－(＋)＝－(－)≤，∴(＋)≤(＋)(＋)，∴(＋)≤[(＋)＋(＋)]．答案：≤。

学习目标 1.整合本章知识要点.2.进一步理解合情推理与演绎推理的概念、思维形式、应用等.3.进一步熟练掌握直接证明与间接证明.4.理解数学归纳法，并会用数学归纳法证明问题．知识点一合情推理(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．知识点二演绎推理(1)演绎推理：由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．知识点三直接证明和间接证明(1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：①综合法是从已知条件推出结论的证明方法；②分析法是从结论追溯到条件的证明方法．(2)间接证明的一种方法是反证法，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法．知识点四数学归纳法数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题．证明时，它的两个步骤缺一不可，它的第一步(归纳奠基)是证当n ＝n 0时结论成立；第二步(归纳递推)是假设当n ＝k 时结论成立，推得当n ＝k ＋1时结论也成立．类型一 合情推理的应用例1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…，试观察每组内各数之和f (n )(n ∈N *)与组的编号数n 的关系式为________． 答案 f (n )＝n 3解析 由于1＝13,3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n 组内各数之和f (n )与组的编号数n 的关系式为f (n )＝n 3.(2)在平面几何中，对于Rt △ABC ，AC ⊥BC ，设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，则 ①a 2＋b 2＝c 2； ②cos 2A ＋cos 2B ＝1；③Rt △ABC 的外接圆半径为r ＝a 2＋b 22.把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；试对其中一个猜想进行证明． 解 选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，底面面积为S ，则S 21＋S 22＋S 23＝S 2.②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1. ③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a ，b ，c ，则这个四面体的外接球的半径为R ＝a 2＋b 2＋c 22.下面对①的猜想进行证明．如图在四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，面ABC ，面ABD ，面ACD 为三个两两垂直的侧面．设AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，则在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2＋AC 2＝a 2＋b 2，S Rt △ABC ＝12ab .同理，CD ＝b 2＋c 2，S Rt △ACD ＝12bc .BD ＝a 2＋c 2，S Rt △ABD ＝12ac .∴S △BCD ＝14[BC 2·BD 2－14(BC 2＋BD 2－CD 2)2]. 经检验，S 2Rt △ABC ＋S 2Rt △ACD ＋S 2Rt △ABD ＝S 2△BCD .即所证猜想为真命题．反思与感悟 (1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法．(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性． 跟踪训练1 (1)观察下列图形中小正方形的个数，则第n 个图形中有________个小正方形．(2)若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，则有性质“若S m ＝S n (m ，n ∈N *且m ≠n )，则S m ＋n ＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{b n }为等比数列时，写出一个正确的性质：________________. 答案 (1)n 2＋3n ＋22(2)数列{b n }为等比数列，T m 表示其前m 项的积，若T m ＝T n (m ，n ∈N *，m ≠n )，则T m ＋n ＝1 解析 (1)第1个图有3个正方形记作a 1， 第2个图有3＋3个正方形记作a 2， 第3个图有6＋4个正方形记作a 3， 第4个图有10＋5个正方形记作a 4， …，正方形的个数构成数列{a n }， 则a 2－a 1＝3， (1) a 3－a 2＝4, (2) a 4－a 3＝5, (3) ⋮⋮ a n －a n －1＝n ＋1，(n －1)(1)＋(2)＋…＋(n －1)，得a n －a 1＝3＋4＋5＋…＋(n ＋1)，a n ＝3＋(n －1)(4＋n )2＝n 2＋3n ＋22.类型二 综合法与分析法例2 设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证1a ＋1b ＋1ab ≥8.试用综合法和分析法分别证明．证明 方法一 (综合法) 因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，所以1ab ≥4.又1a ＋1b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ab≥4， 所以1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．方法二 (分析法)因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 要证1a ＋1b ＋1ab ≥8，只需证(1a ＋1b )＋a ＋bab ≥8，只需证(1a ＋1b )＋(1b ＋1a )≥8，即证1a ＋1b≥4.也就是证a ＋b a ＋a ＋bb ≥4.即证b a ＋ab≥2，由基本不等式可知，当a >0，b >0时，b a ＋ab≥2恒成立，所以原不等式成立．反思与感悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．跟踪训练2 已知x >0，y >0，求证：1222()x y +>1333()x y +. 证明 要证明1222()x y +>1333()x y +， 只需证(x 2＋y 2)3>(x 3＋y 3)2.只需证x 6＋3x 4y 2＋3x 2y 4＋y 6>x 6＋2x 3y 3＋y 6， 只需证3x 4y 2＋3x 2y 4>2x 3y 3. 又x >0，y >0，∴x 2y 2>0， ∴只需证3x 2＋3y 2>2xy .∵3x 2＋3y 2>x 2＋y 2≥2xy ， ∴3x 2＋3y 2>2xy 成立， 故1222()x y +>1333()x y +.类型三 反证法例3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋x y <2或1＋yx <2中至少有一个成立．证明 假设1＋x y <2和1＋yx <2都不成立，则有1＋x y ≥2和1＋yx ≥2同时成立．因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y 且1＋y ≥2x ，两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，所以x ＋y ≤2. 这与已知x ＋y >2矛盾．故1＋x y <2与1＋y x<2至少有一个成立．反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法． 跟踪训练3 已知：ac ≥2(b ＋d )．求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0与方程x 2＋cx ＋d ＝0中至少有一个方程有实数根． 证明 假设两方程都没有实数根，则Δ1＝a 2－4b <0与Δ2＝c 2－4d <0，有a 2＋c 2<4(b ＋d )，而a 2＋c 2≥2ac ，从而有4(b ＋d )>2ac ，即ac <2(b ＋d )，与已知矛盾，故原命题成立． 类型四 数学归纳法 例4 观察下列四个等式： 第一个式子 1＝1 第二个式子2＋3＋4＝9 第三个式子3＋4＋5＋6＋7＝25 第四个式子4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 (1)按照此规律，写出第五个等式；(2)请你做出一般性的猜想，并用数学归纳法证明． 解 (1)第5个等式：5＋6＋7＋…＋13＝81. (2)猜想第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.证明：①当n ＝1时，左边＝1， 右边＝(2－1)2＝1，所以等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立， 即有k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＝(2k －1)2. 那么当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＋(3k －1)＋3k ＋(3k ＋1) ＝k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＋(2k －1)＋3k ＋(3k ＋1) ＝(2k －1)2＋(2k －1)＋3k ＋(3k ＋1) ＝4k 2－4k ＋1＋8k ＝(2k ＋1)2 ＝[2(k ＋1)－1]2. 右边＝[2(k ＋1)－1]2，即当n ＝k ＋1时，等式也成立． 根据①②知，等式对任意n ∈N *都成立．反思与感悟 (1)用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n 0是多少．(2)由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除等式两边变化的项外还要利用当n ＝k 时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明． 跟踪训练4 数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1.(1)写出a 2，a 3，a 4； (2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)因为a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1，所以a 2＝12a 1＋1＝12＋1＝32.a 3＝12a 2＋1＝12·32＋1＝74.a 4＝12a 3＋1＝12·74＋1＝158.(2)方法一 猜想a n ＝2n －12n －1.下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，a 1＝21－121－1＝1，满足上式，显然成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，a k ＝2k －12k －1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12a k ＋1＝12·2k－12k －1＋1＝2k －12k ＋1＝2k －1＋2k 2k ＝2k ＋1－12k，满足上式，即当n ＝k ＋1时，猜想也成立，由①②可知，对于n ∈N *，都有a n ＝2n －12n －1.方法二 因为a n ＋1＝12a n ＋1，所以a n ＋1－2＝12a n ＋1－2，即a n ＋1－2＝12(a n －2)．设b n ＝a n －2，则b n ＋1＝12b n ，即{b n }是以b 1＝－1为首项，12为公比的等比数列，所以b n ＝b 1·q n －1＝－12n －1，所以a n ＝b n ＋2＝2n －12n －1.1．观察按下列顺序排序的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n (n ∈N *)个等式应为( ) A ．9(n ＋1)＋n ＝10n ＋9 B ．9(n －1)＋n ＝10n －9 C ．9n ＋(n －1)＝10n －1 D ．9(n －1)＋(n －1)＝10n －10 答案 B解析 由已知中的式子，我们观察后分析： 等式左边分别为9与编号减1的积再加上编号， 等式右边是一个等差数列． 根据已知可以推断：第n (n ∈N *)个等式为9(n －1)＋n ＝10n －9. 故选B.2．在平面直角坐标系中，方程x a ＋yb ＝1表示x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，类比到空间直角坐标系中，在x ，y ，z 轴上截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( ) A.x a ＋y b ＋z c＝1 B.x ab ＋y bc ＋zca＝1C.xyab＋yzbc＋zxca＝1 D．ax＋by＋cz＝1答案 A解析∵在平面直角坐标系中，方程xa＋yb＝1表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x轴，y轴上的截距分别为a，b”．类比到空间坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为xa＋yb＋zc＝1.故选A.3．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实数C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根答案 A解析方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故选A. 4．如图，这是一个正六边形的序列：则第n个图形的边数为________．答案5n＋1解析图(1)共6条边，图(2)共11条边，图(3)共16条边，其边数构成以6为首项，5为公差的等差数列，则图(n)的边数为a n＝6＋(n－1)×5＝5n＋1.5．用数学归纳法证明(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2n－1)(2n)2－2n(2n＋1)2]＝－n(n＋1)(4n＋3)．证明当n＝1时，左边＝－14，右边＝－1·2·7＝－14，等式成立．假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2k－1)·(2k)2－2k(2k＋1)2]＝－k(k＋1)(4k＋3)．那么当n＝k＋1时，(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2k－1)(2k)2－2k(2k＋1)2]＋[(2k＋1)(2k＋2)2－(2k＋2)(2k＋3)2]＝－k(k＋1)(4k＋3)－2(k＋1)[4k2＋12k＋9－4k2－6k－2]＝－(k＋1)[4k2＋3k＋2(6k＋7)]＝－(k＋1)[4k2＋15k＋14]＝－(k ＋1)(k ＋2)(4k ＋7)＝－(k ＋1)[(k ＋1)＋1][4(k ＋1)＋3]． 所以当n ＝k ＋1时等式也成立．根据以上论证可知，等式对任何n ∈N *都成立．1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)当n ＝n 0时，结论成立．第二步(归纳递推)假设当n ＝k 时，结论成立，推得当n ＝k ＋1时，结论也成立．数学归纳法是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．课时作业一、选择题1．古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28，…这些数叫做三角形数，因为这些数(除1外)对应的点可以排成一个正三角形，如图所示，则第n 个三角形数为( )A ．n B.n (n ＋1)2C ．n 2－1 D.n (n －1)2答案 B解析 观察图形可知，这些三角形数的特点是第n 个三角形数是在前一个三角形数的基础上加上n ，于是第n 个三角形数为1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2.2．有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( ) A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．非以上错误答案 C解析 演绎推理的一般模式是三段论，大前提是已知的一般性原理，小前提是研究的特殊情况，结论是得出的判断．本题中并非所有的有理数都是真分数，所以推理形式错误． 3．用反证法证明命题：“a ，b ，c ，d ∈R ，a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1，则a ，b ，c ，d 中至少有一个负数”时的假设为( ) A ．a ，b ，c ，d 中至少有一个正数 B ．a ，b ，c ，d 全为正数 C ．a ，b ，c ，d 全部大于等于0 D ．a ，b ，c ，d 中至多有一个负数 答案 C解析 “a ，b ，c ，d 中至少有一个负数”的否定为“a ，b ，c ，d 全都大于等于0”． 4．如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (c,0)，当AB →⊥FB →时，由b 2＝ac 得其离心率为5－12，此类椭圆称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，在“黄金双曲线”x 2a 21－y 2b 21＝1中，由b 21＝a 1c 1(c 1为黄金双曲线的半焦距)可推出“黄金双曲线”的离心率为( )A.5＋12 B.3＋12 C.5＋13D.7－12答案 A 解析 b 21＝a 1c 1，c 21－a 21＝b 21＝a 1c 1，∴c 21a 21－1＝c 1a 1，∴e 2－e －1＝0，∴e ＝5＋12(∵e ＞1)．故选A.5．设函数f (x )＝2x ＋1x－1(x ＜0)，则f (x )( ) A ．有最大值B ．有最小值C ．为增函数D ．为减函数答案 A解析 ∵x ＜0，∴－x ＞0，则(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x ≥2(－2x )⎝⎛⎭⎫－1x ＝22， ∴－⎣⎡⎦⎤(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x ≤－2 2. ∴f (x )＝－⎣⎡⎦⎤(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x －1≤－22－1. 当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取最大值． 故选A.6．设集合S ＝{A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算?为：A i ?A j ＝A k ，其中k 为i ＋j 被4除的余数，i ，j ＝0,1,2,3，则满足关系式(x ?x )?A 2＝A 0的x (x ∈S )的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 当x ＝A 0时，(x ?x )?A 2＝A 2≠A 0，当x ＝A 1时，(x ?x )?A 2＝A 2?A 2＝A 0，成立；当x ＝A 2时，(x ?x )?A 2＝A 0?A 2＝A 2≠A 0；当x ＝A 3时，(x ?x )?A 2＝A 2?A 2＝A 0，成立．故选B.7．O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心答案 B解析 如图，AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，则AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向为∠BAC 的角平分线AD 的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同．而OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∴点P 在AD 上移动，∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．二、填空题8．已知p ＝a ＋1a －2(a ＞2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a ＞2)，则p ，q 的大小关系为______． 答案 p ＞q解析 p ＝a －2＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4，－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2＜2，∴q ＜22＝4≤p .9．α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及平面β外两条不同的直线，给出下列四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个你认为正确的命题__________．答案 ②③④⇒①(或①③④⇒②)10．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )＞0，则实数p 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－3，32 解析 方法一 (补集法)令⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≤0 即⎩⎪⎨⎪⎧ －2p 2＋p ＋1≤0，－2p 2－3p ＋9≤0即⎩⎨⎧ p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.∴p ≤－3或p ≥32，符合题意的解是－3＜p ＜32. 方法二 (直接法)依题意，有f (－1)＞0或f (1)＞0，即2p 2－p －1＜0或2p 2＋3p －9＜0，∴－12＜p ＜1或－3＜p ＜32，∴－3＜p ＜32. 三、解答题11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＝2－S n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值并写出其通项公式；(2)用三段论证明数列{a n }是等比数列．(1)解 由a n ＝2－S n ，得a 1＝1；a 2＝12；a 3＝14； a 4＝18，猜想a n ＝(12)n －1(n ∈N *)． (2)证明 对于通项公式为a n 的数列{a n }，若a n ＋1a n＝p ，p 是非零常数，则{a n }是等比数列，大前提因为通项公式a n ＝(12)n －1，又a n ＋1a n ＝12，小前提 所以通项公式为a n ＝(12)n －1的数列{a n }是等比数列．结论 12．设a ，b ，c 为任意三角形三边长，I ＝a ＋b ＋c ，S ＝ab ＋bc ＋ca ，试证：3S ≤I 2<4S . 证明 I 2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca＝a 2＋b 2＋c 2＋2S .欲证3S ≤I 2<4S ，即证ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2<2ab ＋2bc ＋2ca .先证明ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2，只需证2a 2＋2b 2＋2c 2≥2ab ＋2bc ＋2ca ，即(a －b )2＋(a －c )2＋(b －c )2≥0，显然成立；再证明a 2＋b 2＋c 2<2ab ＋2bc ＋2ca ，只需证a 2－ab －ac ＋b 2－ab －bc ＋c 2－bc －ca <0，即a (a －b －c )＋b (b －a －c )＋c (c －b －a )<0，只需证a <b ＋c ，且b <c ＋a ，且c <b ＋a ，由于a ，b ，c 为三角形的三边长，上述三式显然成立，故有3S ≤I 2<4S .13．求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y总不成立． 证明 假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y成立． 于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ，即x 2＋y 2＋xy ＝0，即⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2＝0. 由y ≠0，得34y 2＞0.又⎝⎛⎭⎫x ＋y 22≥0， 所以⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2＞0. 与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立．四、探究与拓展14．设函数y ＝f (x )在(0，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )＞K ，若函数f (x )＝ln x ＋1e x ，且恒有f K (x )＝f (x )，则K 的最小值为______________． 答案 1e解析 由于f (x )＝ln x ＋1e x ，所以f ′(x )＝1x －ln x －1e x ，令g (x )＝1x －ln x －1，则g ′(x )＝－1x 2－1x＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (1)＝0，所以当x ∈(0,1)时，g (x )＞0，此时，f ′(x )＞0，当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＜0，此时f ′(x )＜0，所以f (x )在(0,1)上单调递增，f (x )在(1，＋∞)上单调递减，故f (x )max ＝f (1)＝1e ，又函数f (x )＝ln x ＋1e x ，且恒有f K (x )＝f (x )，结合新定义可知，K 的最小值为1e. 15．在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论；(2)求证1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512. (1)解 由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1，a 1＝2，b 1＝4.由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25.猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2.用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2. ∴当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数n 都成立．(2)证明 当n ＝1时，1a 1＋b 1＝16＜512.n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)＞2(n ＋1)n .∴1a n ＋b n ＜12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n＜16＋12⎝⎛⎭⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝16＋12⎝⎛⎭⎫12－1n ＋1＜16＋14＝512. 综上，对n ∈N *，1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512成立．。

[课时作业 ][A 组基础稳固]1．“ π是无穷不循环小数，因此π是无理数”，以上推理的大前提是()A．实数分为有理数和无理数B．无理数是无穷不循环小数C．无穷不循环小数都是无理数D．有理数都是有限循环小数分析：由三段论的知识可知，其大前提是：无穷不循环小数都是无理数．答案： C2．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③因此三角形不是矩形”中的小前提是()A ．①B．②C．③D．①②分析：由①②③的关系知，小前提应为“三角形不是平行四边形”．故应选B.答案： B3．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内全部直线；已知直线 b 在平面α外，直线 a 在平面α内，直线b∥平面α，则直线b∥直线 a”的结论明显是错误的，这是由于()A ．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误分析：直线平行平面α，则该直线与平面内的直线平行或异面，故大前提错误．答案： A4．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，因此参议员先生是鹅”．结论明显是错误的，这是由于()A ．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误分析：推理形式不切合三段论推理的形式．三段论的形式是：M 是 P， S 是 M，则 S 是 P，而上边的推理形式则是：M 是 P，S 是 P，则 S 是 M.应选 C.答案： C5．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不可；事不可，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；因此，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是()A ．类比推理B．概括推理C．演绎推理D．一次三段论分析：这是一个复合三段论，从“ 名不正” 推出“ 民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．答案： C6．已知推理：“由于△ ABC 的三边长挨次为 3、 4、 5，因此△ ABC 是直角三角形”，若将其恢复成完好的三段论，则大前提是 ________．分析：题中推理的依照是勾股定理的逆定理．答案：一条边的平方等于其余两边平方和的三角形是直角三角形．7．以下推理中，错误的序号为________．①∵ ab＝ ac，∴ b＝ c；②∵ a≥ b，b>c，∴ a>c；③∵ 75 不可以被 2 整除，∴ 75 是奇数；④∵ a∥ b，b⊥平面α，∴ a⊥ α.分析：当 a＝ 0 时， ab＝ ac，但 b＝ c 未必建立．答案：①8．求函数 y＝log 2x－ 2的定义域时，第一步推理中大前提是a存心义时， a≥ 0，小前提是log2 x－2有意义，结论是________．分析：由三段论方法知应为log 2x－ 2≥ 0.答案： log2x－ 2≥ 09．判断以下几个推理能否正确？为何？(1)“由于过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提 )，而 A，B， C 为空间三点 (小前提 )，因此过 A， B，C 三点只好确立一个平面(结论 )．”(2)“由于金属铜、铁、铝可以导电 (大前提 )，而金是金属 (小前提 )，因此金能导电 (结论 )．”分析：(1) 不正确．小前提错误．由于若三点共线，则可确立无数平面，只有不共线的三点才能确立一个平面．(2)不正确．推理形式错误．由于演绎推理是从一般到特别的推理，铜、铁、铝仅是金属的代表，是特别案例，从特别到特别的推理不是演绎推理．10.以下图，从 A 地出发到河畔饮完马再到 B 地去，在河畔哪个地方饮马可使路途最短？分析：如图，先作点 A 对于 MN 的对称点A′，连结 BA′，交 MN于点P，P点即为所求．用演绎法证明以下：以下图，在 MN 上任取一点P′ (异于点 P)，连结 AP′、A′ P′、BP′，则 AP′＝ P′ A′，AP ＝PA′，进而 AP′＋P′ B＝ A′P′＋ P′ B＞A′ P＋ PB＝ AP＋ PB .由此可知： A 到 B 经 P 点距离最短．[B 组能力提高]1．命题“有些有理数是无穷循环小数，整数是有理数，因此整数是无穷循环小数”是假命题，推理错误的原由是 ()A．使用了概括推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但大前提使用错误D．使用了“三段论”，但小前提使用错误分析：应用了“ 三段论” 推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误致使结论错误．答案：D2．设⊕是R 内的一个运算， A 是R 的非空子集．若对于随意a， b∈ A，有a⊕ b∈A，则称 A 对运算⊕关闭．以下数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都关闭的是( )A ．自然数集B．整数集C．有理数集D．无理数集分析： A 错，由于自然数集对减法不关闭； B 错，由于整数集对除法不关闭； C 对，由于随意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都关闭； D 错，由于无理数集对加、减、乘、除法都不关闭．答案： C3．甲、乙、丙三位同学被问到能否去过A， B，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市．丙说：我们三个去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．分析：由甲、丙的回答易知甲去过 A 城市和 C 城市，乙去过 A 城市或 B 城市，联合丙的回答可得乙去过 A城市．答案： A4．已知函数f(x)知足： f(1) ＝1， 4f(x)f(y)＝ f(x＋ y)＋ f(x－ y)(x， y∈ R)，则 f(2 010)＝ ________. 4分析：令 y＝1 得 4f(x) ·f(1) ＝ f(x＋ 1)＋ f(x－ 1)，即 f(x)＝ f(x＋ 1)＋ f(x－ 1)①令 x 取 x＋ 1 则 f(x＋ 1)＝ f(x＋ 2)＋ f(x) ②由①②得f(x) ＝f(x＋ 2)＋ f(x)＋ f(x－ 1) ，即 f( x－1)＝－ f(x＋2)，∴f(x)＝－ f(x＋ 3)，∴f( x＋3)＝－ f(x＋ 6)，∴f(x)＝ f( x＋6) ，即 f(x)周期为 6，。

2.1.2演绎推理学习目标 1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．知识点一演绎推理的含义思考分析下面几个推理，找出它们的共同点．(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除．答案问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理．梳理知识点二三段论思考所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？答案分为三段．大前提：所有的金属都能导电．小前提：铜是金属．结论：铜能导电．梳理类型一演绎推理与三段论例1(1)“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是()A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形答案 B(2)将下列演绎推理写成三段论的形式．①平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；②等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B；③通项公式为a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列．解①平行四边形的对角线互相平分，大前提菱形是平行四边形，小前提菱形的对角线互相平分．结论②等腰三角形的两底角相等，大前提∠A，∠B是等腰三角形的两底角，小前提∠A＝∠B. 结论③在数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列，大前提当通项公式为a n＝2n＋3时，若n≥2，则a n－a n－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，小前提通项公式为a n＝2n＋3的数列{a n}为等差数列．结论反思与感悟用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．跟踪训练1(1)推理：“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③所以正方形是平行四边形”中的小前提是________．(2)函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为大前提：________________________________________________________________________.小前提：________________________________________________________________________.结论：________________________________________________________________________. 答案(1)②(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线函数y＝2x＋5是一次函数函数y＝2x＋5的图象是一条直线类型二三段论的应用命题角度1用三段论证明几何问题例2如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．证明因为同位角相等，两直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以FD∥AE. 结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥BA，且FD∥AE，小前提所以四边形AFDE为平行四边形．结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提所以ED＝AF. 结论反思与感悟(1)用“三段论”证明命题的格式(2)用“三段论”证明命题的步骤①理清证明命题的一般思路；②找出每一个结论得出的原因；③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．跟踪训练2已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF∥平面BCD.证明 因为三角形的中位线平行于底边， 大前提 点E 、F 分别是AB 、AD 的中点， 小前提 所以EF ∥BD .结论 若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行， 大前提 EF ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，EF ∥BD ， 小前提 所以EF ∥平面BCD .结论命题角度2 用三段论证明代数问题例3 设函数f (x )＝e xx 2＋ax ＋a ，其中a 为实数，若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围．解 若函数对任意实数恒有意义，则函数定义域为R ，大前提 因为f (x )的定义域为R ， 小前提 所以x 2＋ax ＋a ≠0恒成立．结论所以Δ＝a 2－4a <0， 所以0<a <4.即当0<a <4时，f (x )的定义域为R . 引申探究若例3的条件不变，求f (x )的单调递增区间． 解 ∵f ′(x )＝x (x ＋a －2)e x(x 2＋ax ＋a )2，由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2－a . ∵0<a <4，∴当0<a <2时，2－a >0. ∴在(－∞，0)和(2－a ，＋∞)上，f ′(x )>0. ∴f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(2－a ，＋∞)． 当a ＝2时，f ′(x )≥0恒成立， ∴f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 当2<a <4时，2－a <0，∴在(－∞，2－a )和(0，＋∞)上，f ′(x )>0， ∴f (x )的单调递增区间为(－∞，2－a )，(0，＋∞)．综上所述，当0<a <2时，f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(2－a ，＋∞)； 当a ＝2时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当2<a <4时，f (x )的单调递增区间为(－∞，2－a )，(0，＋∞)．跟踪训练3 已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．证明 方法一 (定义法)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2，f (x 2)－f (x 1)＝2xa ＋x 2－2x 2＋1－1xa －x 1－2x 1＋1＝2x a －1xa ＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝1xa (21x x a -－1)＋(x 1＋1)(x 2－2)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 2＋1)(x 1＋1)＝1x a (21x x a-－1)＋3(x 2－x 1)(x 2＋1)(x 1＋1).因为x 2－x 1>0，且a >1，所以21x x a->1，而－1<x 1<x 2，所以x 1＋1>0，x 2＋1>0， 所以f (x 2)－f (x 1)>0，所以f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． 方法二 (导数法)f (x )＝a x ＋x ＋1－3x ＋1＝a x ＋1－3x ＋1.所以f ′(x )＝a x ln a ＋3(x ＋1)2.因为x >－1，所以(x ＋1)2>0，所以3(x ＋1)2>0.又因为a >1，所以ln a >0，a x >0， 所以a x ln a >0，所以f ′(x )>0.于是得，f (x )＝a x ＋x －2x ＋1在(－1，＋∞)上是增函数．1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式答案 A解析 A 是演绎推理，B 、D 是归纳推理，C 是类比推理．2．“因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，又y ＝13log x 是对数函数(小前提)，所以y ＝log x是增函数(结论)．”下列说法正确的是()13A．大前提错误导致结论错误B．小前提错误导致结论错误C．推理形式错误导致结论错误D．大前提和小前提都错误导致结论错误答案 A解析y＝log a x是增函数错误．故大前提错误．3．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的”，其中的“小前提”是()A．①B．②C．①②D．③答案 D4．把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：____________；小前提：____________；结论：____________.答案二次函数的图象是一条抛物线函数y＝x2＋x＋1是二次函数函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线5．设m为实数，利用三段论证明方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．证明因为如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式Δ＝b2－4ac>0，那么方程有两个相异实根．大前提方程x2－2mx＋m－1＝0的判别式Δ＝(－2m)2－4(m－1)＝4m2－4m＋4＝(2m－1)2＋3>0，小前提所以方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根．结论1．应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．2．合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理．3．合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明．课时作业一、选择题1．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是()A．类比推理B．归纳推理C．演绎推理D．一次三段论答案 C2．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确答案 C解析由于函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数．故小前提不正确．3．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但推理形式错误D．使用了“三段论”，但小前提错误答案 C解析由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误．4．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，且f(x)在(2，＋∞)上为增函数．已知x1＋x2<4且(x1－2)·(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒小于0 B．恒大于0C．可能等于0 D．可正也可负答案 A解析不妨设x1－2<0，x2－2>0，则x1<2，x2>2，∴2<x2<4－x1，∴f(x2)<f(4－x1)，即－f(x2)>－f(4－x1)，从而－f(x2)>－f(4－x1)＝f(x1)，∴f(x1)＋f(x2)<0.5．下面几种推理中是演绎推理的是()A ．因为y ＝2x 是指数函数，所以函数y ＝2x 经过定点(0,1)B ．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N *)C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积为πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积为πabD ．由平面直角坐标系中圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，推测空间直角坐标系中，球的方程为(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝r 2 答案 A6．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 都成立，则( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <2 C ．－12<a <32D ．－32<a <12答案 C解析 由题意知，(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2＋x ＋a 2－a ， ∴－x 2＋x ＋a 2－a <1.即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 都成立， 则Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0， ∴4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32.7．设?是R 的一个运算，A 是R 的非空子集．若对于任意a ，b ∈A ，有a ?b ∈A ，则称A 对运算?封闭．则下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( ) A ．自然数集 B ．整数集 C ．有理数集 D ．无理数集 答案 C解析 A 错，因为自然数集对减法、除法不封闭；B 错，因为整数集对除法不封闭；C 对，因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D 错，因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭． 二、填空题8．在求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是当a 有意义时，a ≥0；小前提是log 2x －2有意义；结论是__________________． 答案 y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞) 解析 由大前提知log 2x －2≥0，解得x ≥4. 9．有一段演绎推理： 大前提：整数是自然数； 小前提：－3是整数；结论：－3是自然数．这个推理显然错误，则错误的原因是________错误．(填“大前提”“小前提”“结论”) 答案 大前提10．若不等式ax 2＋2ax ＋2<0的解集为∅，则实数a 的取值范围为__________． 答案 [0,2]解析 ∵不等式ax 2＋2ax ＋2<0无解， 则不等式ax 2＋2ax ＋2≥0的解集为R . ∴当a ＝0时，2≥0，显然成立，当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－8a ≤0，解得0<a ≤2. ∴a 的取值范围为[0,2]．11．若f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋…＋f (2018)f (2017)＝________.答案 2018 解析 利用三段论．∵f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)， 大前提 令b ＝1，则f (a ＋1)f (a )＝f (1)＝2，小前提∴f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝…＝f (2018)f (2017)＝2，结论∴原式＝ 1 00922⋅⋅⋅+++2个＝2018.三、解答题12．把下列演绎推理写成三段论的形式．(1)一切奇数都不能被2整除，(22015＋1)是奇数，所以(22015＋1)不能被2整除； (2)三角函数都是周期函数，y ＝tan α是三角函数，因此y ＝tan α是周期函数； (3)因为△ABC 三边的长依次为3,4,5，所以△ABC 是直角三角形． 解 (1)一切奇数都不能被2整除， 大前提 22015＋1是奇数，小前提22015＋1不能被2整除． 结论 (2)三角函数都是周期函数， 大前提 y ＝tan α是三角函数， 小前提 y ＝tan α是周期函数．结论(3)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形，大前提 △ABC 三边的长依次为3,4,5，且32＋42＝52，小前提△ABC 是直角三角形． 结论四、探究与拓展13．如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f (x 1＋x 2＋…＋x nn )．若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________． 答案332解析 sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sinA ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332. 14.如图，A ，B ，C ，D 为空间四点，在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝BC ＝ 2.等边三角形ADB 以AB 为轴旋转．(1)当平面ADB ⊥平面ABC 时，求CD ；(2)当△ADB 转动时，是否总有AB ⊥CD ？证明你的结论． 解 (1)取AB 的中点E ，连接CE ，DE . 因为AC ＝BC ＝2，AB ＝2，所以△ABC 为等腰直角三角形，所以CE ⊥AB . 因为△ADB 是等边三角形，所以DE ⊥AB . 又平面ADB ⊥平面ABC ， 且平面ADB ∩平面ABC ＝AB ， 所以DE ⊥平面ABC ，所以DE ⊥CE . 由已知得DE ＝32AB ＝3，CE ＝1. 所以在Rt △CDE 中，CD ＝DE 2＋CE 2＝2.(2)当△ADB 以AB 为轴转动时，总有AB ⊥CD . 证明如下：当D 在平面ABC 内时，因为BC ＝AC ，AD ＝BD ， 所以C ，D 都在AB 的垂直平分线上，所以AB⊥CD.当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE，AB⊥CE，又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE.又CD⊂平面CDE，所以AB⊥CD.综上所述，当△ADB转动时，总有AB⊥CD.。

[ 课时作业][A组 基础稳固]1．剖析法又叫执果索因法，若使用剖析法证明：设a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝ 0，求证：b 2－ac ＜3a索的因应是()A ． a －b ＞ 0B ． a － c ＞0C ． (a － b)(a － c)＞ 0D ． (a － b)(a － c)＜ 0分析： 要证b 2－ ac ＜3a ，只需证 b 2－ ac ＜3a 2，只需证 b 2－ a(－ b － a)＜ 3a 2，只需证 2a 2－ ab － b 2＞ 0， 只需证 (2a ＋ b)(a － b)＞ 0， 只需证 (a － c)(a － b)＞ 0. 故索的因应为 C. 答案： C2．证明命题“x 1f(x)＝ e ＋ x 在(0，＋∞ )上是增函数”，一个同学给出的证法以下：ex1x1∵f(x)＝ e ＋ x ，∴ f ′ (x)＝ e－ x .eex1∵x>0，∴ e >1,0< x <1，e∴e x－1xe >0，即f ′ (x)>0 ，∴f(x)在 (0，＋∞ ) 上是增函数，他使用的证明方法是()A ．综合法B ．剖析法C ．反证法D ．以上都不是分析： 该证明方法切合综合法的定义，应为综合法．故应选 A.答案： A3．要使 a 2＋ b 2 － a 2 b 2－1≤ 0 建立的充要条件是 ( )A ． |a|≥1 且 |b|≥ 1B ． |a|≥ 1 且 |b|≤ 1C ． (|a|－ 1)(|b|－ 1)≥ 0D ． (|a|－ 1)(|b|－ 1)≤ 0分析： a 2＋ b 2－ a 2 b 2－ 1≤ 0? a 2(1－ b 2) ＋ (b 2－ 1)≤ 0? ( b 2－ 1)(1－ a 2)≤ 0? (a 2－ 1)(b 2 － 1)≥0? (|a|－ 1)(|b|－ 1)≥ 0.答案： C4. 2＋ 6与 3＋ 5的大小关系是 ()A. 2＋ 6≥3＋ 5B. 2＋6≤3＋ 5C.2＋6＞3＋5D.2＋6＜3＋5分析：要想确立2＋6与3＋5的大小，只需确立 ( 2＋6)2与 ( 3＋5)2的大小，只需确立8＋ 2 12与 8＋ 2 15的大小，即确立12与15的大小，明显12＜15.∴2＋ 6＜ 3＋ 5.答案： D5．若 x， y∈R＋，且 x＋ y≤ a x＋ y 恒建立，则 a 的最小值是 () A ． 2 2 B. 2C． 2 D． 1分析：原不等式可化为x＋ y x＋ y 21＋2xya≥＝＝x＋ y x＋ y x＋ y要使不等式恒建立，只需 a 不小于1＋2xy的最大值即可．x＋ y∵1＋2 xy≤ 2，当 x＝ y 时取等号，∴ a≥ 2，x ＋y∴a 的最小值为 2.应选 B.答案： B6．设 n∈ N，则 n＋ 4－n＋ 3________ n＋ 2－n＋ 1(填＞、＜、＝ )．分析：要比较n＋ 4－n＋ 3与 n＋ 2－n＋ 1的大小．即判断 ( n＋ 4－ n＋ 3)－ ( n＋ 2－ n＋ 1)＝( n＋ 4＋n＋ 1)－ ( n＋ 3＋ n＋2)的符号，∵( n＋ 4＋ n＋ 1)2－ ( n＋ 3＋ n＋ 2)2＝2[ n＋ 4 n＋ 1 － n＋3 n＋2 ]＝2( n2＋ 5n＋ 4－ n2＋ 5n＋6)＜ 0.∴n＋ 4－ n＋ 3＜ n＋ 2－ n＋ 1.答案：＜7.以下图，四棱柱ABCD -A 1B 1 C 1D 1 的侧棱垂直于底面，知足 ________ 时 ，BD ⊥ A 1C( 写上一个条件即可 )．分析： 要证 BD ⊥A 1C ，只需证 BD ⊥平面 AA 1C.由于 AA 1 ⊥BD ，只需再增添条件 AC ⊥BD ， 即可证明 BD ⊥平面 AA 1C ，进而有 BD ⊥A 1C.答案： AC ⊥ BD (答案不独一 )22－ nx ＋ 2)＝ 0 的四个根构成一个首项为 1 8．已知方程 ( x －mx ＋ 2)(x的等比数列，则 |m － n|＝ ________.2分析： 不如设122＝0 的一根，另一根为 a ，则 m ＝ a ＋ 1 12是 x － mx＋ 2，2a ＝ 2.设 x 2 －nx ＋ 2＝ 0 的两根为 b ， c, 则 n ＝ b ＋ c ， bc ＝ 2.19 3由2， b ， c ，a 成等比数列及 a ＝4 可得 b ＝ 1， c ＝ 2，进而 m ＝ 2， n ＝ 3， |m － n|＝ 2.答案： 321＋ ab ＋ bc ＋ ca9．已知 0＜a ≤ 1,0＜b ≤ 1,0＜c ≤ 1，求证： ≥1.证明： ∵a ＞0， b ＞ 0，c ＞ 0，1＋ ab ＋ bc ＋ ca ∴要证 ≥ 1， a ＋ b ＋c ＋ abc只需证 1＋ab ＋ bc ＋ ca ≥ a ＋ b ＋ c ＋abc ，即证 1＋ ab ＋ bc ＋ ca －( a ＋b ＋ c ＋ abc)≥0.∵1＋ ab ＋ bc ＋ ca － (a ＋ b ＋c ＋ abc)＝ (1 －a)＋ b(a － 1)＋ c(a － 1)＋ bc(1 －a) ＝ (1 －a)(1－ b － c ＋ bc)＝ (1 －a)(1－ b)(1－ c)，又 a ≤ 1， b ≤ 1， c ≤ 1，∴(1 －a)(1 －b)(1 －c)≥0.∴1＋ ab ＋ bc ＋ ca － (a ＋ b ＋c ＋ abc)≥ 0 建立，1＋ ab ＋ bc ＋ca即证了然 ≥ 1.a ＋b ＋c ＋ abc10．求证：当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大．。