2016年秋季新版人教版八年级数学上册 第十一章 三角形 第11.3节 多边形及其内角和 同步练习一 含答案

第十一章三角形1.理解三角形及三角形的有关线段(边、高、中线、角平分线)的概念,证明三角形两边的和大于第三边,了解三角形的重心的概念,了解三角形的稳定性.2.理解三角形的内角、外角的概念,探索并证明三角形内角和定理,探索并掌握直角三角形的两个锐角互余,掌握有两个角互余的三角形是直角三角形,掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.3.了解多边形的相关概念(边、内角、外角、对角线、正多边形),探索并掌握多边形的内角和与外角和公式.1.在学习三角形的有关线段时,要掌握好三角形的高、中线、角平分线的定义,最主要的是它们的性质以及利用它们解决实际问题.2.三角形的内角和是学生学过的知识,可以借助复习旧知识,达到学生学习新知识的目的,不仅起到复习的作用,也可以灵活地掌握好新知识.3.掌握多边形内角和的公式,并能利用它解决有关多边形的问题.4.指导学生掌握好多边形内角和与外角和之间的联系,并能利用它们解决一些数学问题.1.三角形的这部分知识在小学阶段已经学习,通过复习,可提高学生的学习兴趣,也可增加学生学习的自信心.2.在教学中,通过同学之间的互相提问,小组的交流、研讨,提高同学们的合作精神.3.在学习多边形的内外角和中,通过一些实物的图片,感知到数学来源于实际,也应用于实际.三角形是一种基本的几何图形,是构建多边形知识体系的基础,也是学习各种特殊三角形,如等腰三角形、直角三角形与平行四边形等图形知识的基础,在解决实际问题中有着广泛的应用.本章在线段与角、相交线与平行线的基础上介绍三角形的概念与性质,进而研究多边形的概念与性质.在本章中,学生将进一步学习通过推理得出数学结论的方法,提高推理能力.本章首先介绍三角形的有关概念和性质,分为三节:11.1节研究与三角形有关的线段.首先结合引言中的实际例子给出三角形的概念,进而研究三角形的分类.对于三角形的边,证明了三角形两边的和大于第三边,然后给出三角形的高、中线与角平分线的概念,同时结合三角形的中线介绍了三角形的重心概念,最后结合实际例子介绍三角形的稳定性.11.2节研究与三角形有关的角.对于三角形的内角,证明了三角形内角和定理;然后由这个定理推出直角三角形的性质“直角三角形的两个锐角互余”;最后给出三角形的外角的概念,并由三角形内角和定理推出“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”.11.3节接着介绍多边形的有关概念与多边形的内角和、外角和公式.三角形是多边形的一种,本章借助三角形介绍多边形的有关概念,如多边形的边、内角、外角、内角和都由三角形的有关概念推广而来.【重点】1.掌握好三角形的高、中线、角平分线的定义,并能画出这三种线段.2.知道三角形具有稳定性,并能利用这种性质解释生活中的一些现象.3.知道三角形及多边形的内角和计算方法与外角和度数,并能利用它们求解出有关三角形度数的问题.【难点】1.对于钝角三角形的三条高线,能准确画出.2.能利用多边形的内角和公式或外角和,求解出有关多边形的问题,如求边数、角度等问题.3.能解决有关三角形及多边形的综合性问题.在认识三角形的过程中,要注意让学生理解三角形的基本元素和各类三角形的特征,要鼓励学生自主探索,大胆猜想,让学生通过剪一剪、拼一拼、做一做等活动探索发现有关结论.与三角形有关的一些概念在本章中只要求达到理解的程度,进一步要求可通过后续学习达到.如对于三角形的角平分线,在本章中只要知道它的定义,能够从定义得出角相等就可以了.学生画角平分线时发现三条角平分线交于一点,可直接肯定这个结论,同样,三角形的三条中线交于一点的结论也可直接点明.要让学生在操作的过程中探索三角形的内角和与外角和.对于三角形的稳定性,要让学生通过实践去感受;待以后学过“三边分别相等的两个三角形全等”,可进一步明白其中的道理.对于多边形的内角和与外角和,要让学生在观察和类比中总结结论,培养学生的数学推理能力,做到合情推理和演绎推理的有机结合.镶嵌作为数学活动的内容安排在本章的最后,学习这个内容要用到多边形的内角和公式,通过这个数学活动,学生可以经历从实际问题抽象出数学问题,建立数学模型,综合应用已有知识解决问题的过程,从而加深对相关知识的理解,提高思维能力.11.1 与三角形有关的线段11.1.1三角形的边(1课时)3课时11.1.2三角形的高、中线与角平分线(1课时)11.1.3三角形的稳定性(1课时)11.2与三角形有关的角11.2.1三角形的内角(2课时)3课时11.2.2三角形的外角(1课时)11.3多边形及其内角和2课时11.3.1多边形(1课时)11.3.2多边形的内角和(1课时)单元复习1课时11.1与三角形有关的线段1.能正确地利用三角形的三边关系,判断所给的三条线段能否组成三角形.2.掌握好三角形的高、中线、角平分线的定义,能画出这三条线段,并能灵活准确地应用这三条线段的性质解决问题.3.掌握好三角形的稳定性在实际生活中的运用.1.经历摆三角形,画三角形、测量三角形的三边长度的过程,培养学生自主、合作、探索的学习方式,并锻炼其发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.2.在学习三角形的稳定性时,可结合实际情况,让学生感受到数学与生活实际的联系.3.三角形的重心在教学中可结合实际物体,让学生通过观察与实践找到物体重心.联系学生的生活环境,创设情景,使学生通过观察、操作、交流、归纳,获得必需的数学知识,让学生体会用数学思想方法解决生活中的实际问题的意义,激发学生的学习兴趣.【重点】1.三角形三边关系和高、中线、角平分线的运用.2.三角形稳定性的应用.【难点】1.在具体的图形中不重复且不遗漏地识别所有三角形.2.用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形.3.钝角三角形高的画法.11.1.1三角形的边1.掌握三角形的定义,并能正确地表示出三角形,以及三角形的边、角、顶点等表示方法.2.能正确地进行三角形的分类.3.掌握三角形的三边关系,并能利用此关系判定已知三条线段能否构成三角形.1.通过复习以前的知识,让学生更加容易接受新知识,并能提高学习的积极性,增加学习数学的信心.2.在讲解三角形的分类时,可结合图形,让同学们更直观地接受新知识.3.在利用三角形的三边关系解答问题时,要注意让学生有分类讨论的思想,这也是数学思想中的一个很重要的思想.1.通过三角形三边关系的教学,培养学生的探索精神及分类讨论的思想.2.通过本课的教学,能够让学生们知道数学知识体系的连贯性及继承性.3.在教学的过程中,培养学生勇于探索,敢于质疑的精神.【重点】掌握三角形的分类及三角形的三边关系.【难点】利用三角形的三边关系解答综合性问题.【教师准备】三根有刻度的小棒.【学生准备】有刻度的直尺.导入一:同学们,你们看这个图案美丽吗?这个图案主要是由什么图形构成的?(学生议论后)我们本节课要继续学习三角形的相关知识.导入二:(老师拿出三根不能拼成三角形的小棒)同学们请看,老师手中的三根小棒能首尾相搭组成一个三角形吗?[设计意图]学生此时对三角形三边关系的认识还是粗浅的,容易误认为任意长度的三根小棒都能按照要求拼出三角形.同时老师强调首尾相搭,也暗示了对三角形定义的启发,这就为学生认识和探索三角形三边关系做了铺垫.[过渡语]在小学的时候,我们仅仅是从形状和角的方面去认识了三角形.如果有人问,什么是三角形?三角形又怎么表示呢?你能做出回答吗?希望大家在接下来的学习中能够解决这些问题.一、三角形的相关概念1.三角形的概念.【学生活动一】(1)在一张纸上任意画三条线段;(2)在同一条直线上任意画三条线段.【问题思考】任意画的三条线段都能组成三角形吗?怎样才能组成一个三角形?[设计意图]帮助学生初步领会构成三角形的基本条件之一,即不在同一条直线上的三条线段才能组成三角形.【学生活动二】判断下列由三条线段组成的图形是不是三角形.[设计意图]三角形概念的获得,要让学生经历其描述的过程,借此培养学生的语言表述能力,加深学生对三角形概念的理解.三角形定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.[知识拓展]三角形的特征:三条线段;不在同一条直线上;首尾顺次相接.这三点表明三角形是一个封闭的图形.2.三角形的表示方法.“三角形”可用符号“Δ”表示,如图所示,顶点(相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点)是A,B,C的三角形,记作ΔABC,读作“三角形ABC”.∠A,∠B,∠C是ΔABC的三个角(相邻两边组成的、位于三角形内部的角叫做三角形的内角,简称三角形的角);ΔABC的三边(组成三角形的线段叫做三角形的边)分别是AB,BC,CA,有时也可用小写字母来表示,顶点A,B,C 所对的边分别可用a,b, c来表示,即AB可用c表示,BC可用a表示,CA可用b表示.二、三角形的分类[过渡语]三角形的形状多种多样,对多种多样的三角形,怎样进行分类呢?【生】锐角三角形,钝角三角形,直角三角形.【师】刚才大家的分类是按照三角形角的特点划分的,大家还有什么别的分类方法吗?【生】可以按照三角形的边长进行分类.【师】是根据不同的三角形边的长度进行分类,还是同一个三角形的边长特点进行分类?【生】在同一个三角形之内.【师】按照边长进行分类,你想的分类标准是什么呢?【生】根据是否有相等的边.【师】按照这种分类方法,可以把三角形分为哪两大类?【生】三边都不相等的三角形和等腰三角形.【师】在等腰三角形中,什么样的边是腰呢?等腰三角形的边和角有什么特殊的称呼吗?【生】在等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.【师】按照有没有相等的边对三角形进行分类,等边三角形应该划到哪一类当中?【生】等腰三角形.【师】根据刚才的讨论,大家整理下三角形的分类吧![设计意图]三角形的分类,在小学阶段已经学习过,只不过是比较浅显的内容,所以这里在复习以前知识的基础上进一步深入,特别要强调的是等边三角形是特殊的等腰三角形.思路二[过渡语]我们知道,按照三个内角的大小,可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形,如果要按照边的大小关系对三角形进行分类,又应该如何分呢?小组之间进行交流,并说说你们的想法.【师生活动】通过讨论,学生类比按角的分类方法按边对三角形进行分类,接着引出等腰三角形及等边三角形的概念,引导学生了解等腰三角形与等边三角形的联系,强化学生对三角形按边分类的理解.在等腰三角形中,相等的两边都叫腰,另一边叫底,两腰的夹角叫顶角,腰与底边的夹角叫底角.三角形按边分类:三[设计意图]通过这一活动的设计,提高学生分类讨论和归纳概括的能力,加深学生对三角形按边分类的理解.三、三角形三边之间的关系[过渡语]我们在前面把三角形按照边进行分类,其实也是在研究三角形的三边关系.现在我们换个角度,研究三角形两条边的和与第三条边的关系.【情境引入】如右图三角形中,假设你要从点B出发沿着三角形的边到点C,有几条路线可选择?各条路线的长一样吗?【师生活动】引导学生讨论分析,得到两条路线:(1)B直接到C,即BC.(2)先由B到A再到C,即BA+AC.显然,路线(1)中的BC要短一些,即BC<BA+AC.(为什么?一定要学生给出依据:两点之间线段最短)最后,师生共同得到:BC<AB+AC ,AC<AB+BC ,AB<BC+AC,即“三角形的两边之和大于第三边”.[设计意图]分成三种情况验证三角形任意两条边和与第三边之间都存在着这种关系,加深学生对三边关系具有普遍性的认识.探究二:三角形两边的差和第三边之间的关系.[过渡语]三角形的两边的差和第三边又是什么关系呢?【质疑1】用测量的方法验证三角形两边之差和第三边的长度关系可以吗?这个办法有说服力吗?【简评】可以,但不能做到一一验证,还有不足以让人信服的地方.【质疑2】是不是三角形任意两边的差都小于第三边?【简评】在ΔABC中,BC<AB+AC,AC<AB+BC, AB<BC+AC,通过不等式的性质,可以得出:BC>AB-AC, BC>AC-AB,这就是说,三角形两边的差小于第三边.[设计意图]引导学生用推导的方法验证相关的结论,事实上探究二是对探究一的进一步深化,培养学生严密思维的习惯.[过渡语]学习了三角形三边之间的关系问题,我们就可以利用它解决一些生活实际问题.(教材例题)用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.(1)如果腰长是底边长的2倍,那么各边的长是多少?(2)能围成有一边的长为4 cm的等腰三角形吗?为什么?〔解析〕(1)设底边长为x cm,则腰长为2x cm,根据周长列出一元一次方程,解方程即可求得各边的长;(2)题中没有指明4 cm是底边长还是腰长,故应该分情况进行分析,同时注意利用三角形三边关系进行检验.解:(1)设底边长为x cm,则腰长为2x cm.2x+2x+x=18,解得x=3.6.所以三边长分别为3.6 cm ,7.2 cm,7.2 cm.(2)①当4 cm为底边长时,腰长为7 cm,任意两边之和都大于第三边,故可以构成三角形.②当4 cm为腰长时,底边长为18-4-4=10(cm),∵4+4<10,∴不能构成三角形,故舍去.∴能构成底边长为4 cm的等腰三角形,不能构成腰长为4 cm的等腰三角形.[知识拓展]三角形两边之和是指任意两边之和.理论依据:两点之间线段最短.推论:由a+b>c,根据不等式的基本性质,得c-b<a,即三角形两边之差小于第三边.三角形三边关系的作用:(1)已知三角形两边,求第三边的取值范围.(2) 判断三条线段能否组成三角形.(3)利用三角形三边关系解决含绝对值符号的化简问题.已知三角形一边长为5,另一边长为3,求第三边长c的取值范围.解:因为5-3<c<5+3,即2<c<8,所以第三边长c的取值范围是2<c<8.[易错提示]两条线段的和不大于第三条线段,就不能组成三角形.例如,三条线段a=2 cm,b=3 cm,c=4 cm能组成三角形,因为2+3>4,而三条线段d=2 cm,e=3 cm,f=5 cm就不能组成三角形,因为2+3=5.[解题策略]一般地,判断三条线段能否组成一个三角形时,只需判断两条短的线段之和是否大于最长的线段即可,无需再从任意两边之和大于第三边的角度进行判断.1.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三角形的分类:三边都不相等的三角形和等腰三角形.3.在一个三角形中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.注意:三角形任意两边和与第三边的关系不包括等于这种关系.等边三角形也是等腰三角形,等腰三角形的范围要大于等边三角形,且包含等边三角形.1.下列各组数可能是一个三角形的边长的是()A.1,2,4B.4,5,9C.4,6,8D.5,5,11解析:以最长边为第三边,看其他两边之和是否大于最长边,若大于则能构成三角形;若小于或等于则不能构成三角形.∵1+2<4,∴1,2,4不可能是一个三角形的三边长;∵4+5=9,∴4,5,9不可能是一个三角形的三边长;∵4+6>8,∴4,6,8能构成一个三角形的三边长;∵5+5<11,∴5,5,11不可能构成一个三角形的三边长.故选C.2.如果一个三角形的两边长分别是2和4,则第三边长可能是()A.2B.4C.6D.8解析:本题考查了三角形的三边关系.选项A中2+2=4,不能构成三角形;选项C中2+4=6,不能构成三角形;选项D中2+4<8,不能构成三角形;只有选项B能构成三角形.本题也可以根据三角形的三边关系先确定第三边长x的取值范围是2<x<6,然后直接选择B.故选B.3.有长为3 cm,6 cm,8 cm,9 cm的四条线段,任选其中的三条线段组成一个三角形,则最多能组成三角形的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:组成的三角形的情况是:①3,6,8;②3,8,9;③6,8,9三种情况.注意只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度,即可判定这三条线段能构成一个三角形.三角形的三边关系一般和不等式(组)联系,甚至涉及分类讨论的思想方法.故选C.11.1.1三角形的边一、三角形的相关概念二、三角形的分类三、三角形三边之间的关系探究一:三角形两边之和与第三边之间的关系探究二:三角形两边的差和第三边之间的关系一、教材作业【必做题】教材第4页练习第1,2题.【选做题】教材第8页习题11.1第1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.下列每组数分别表示三根木棒的长度,将它们首尾连接后,能摆成三角形的一组是()A.1,2,6B.2,2,4C.1,2,3D.2,3,42.一个三角形的三条边长分别为1,2,x,则x的取值范围是()A.1≤x≤3B.1<x≤3C.1≤x<3D.1<x<33.以下列各组线段的长为边长,能组成三角形的是 ()A.2 cm,3 cm,4 cmB.2 cm,3 cm,5 cmC.2 cm,5 cm,10 cmD.8 cm,4 cm,4 cm4.如果三角形的两边长分别为3和5,第三边长是偶数,则第三边长可以是()A.2B.3C.4D.85.一个等腰三角形的两边长分别为2.5和5,求这个三角形的周长.【能力提升】6.已知一个三角形的两边长分别是4 cm,7 cm,则这个三角形的周长的取值范围是什么?7.在三角形ABC中,如果AB=3x,AC=4x,BC=21,那么x的取值范围是多少?【拓展探究】8.已知a,b,c分别为三角形ABC的三边长,化简:|a+b-c|-|b-c-a|-|c-a+b|.【答案与解析】1.D(解析:A选项,1+2<6,故不能构成三角形;B选项,2+2=4,故也不能组成三角形;C选项,1+2=3,故也不能组成三角形; D选项,2+3>4,能构成三角形.故选D.)2.D(解析:∵已知三角形两边的长分别是1和2,∴第三边长x的范围是1<x<3.故选D.)3.A(解析:∵2+3>4,∴2cm,3 cm,4 cm长的线段能组成三角形,选项A正确;∵2+3=5,∴2cm,3 cm,5 cm长的线段不能构成三角形,选项B错误;∵2+5<10,∴2 cm,5 cm,10 cm长的线段不能构成三角形,选项C错误;∵4+4=8,∴8cm,4 cm,4 cm长的线段不能构成三角形,选项D错误.故选A.)4.C(解析:因为三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,所以第三边长的取值范围在2与8之间,注意不能等于2和8,根据选项在此之间的偶数只能是4,所以选择C.)5.解:①若2.5为腰长,则2.5+2.5=5,两边之和等于第三边,所以不能构成三角形.②若5为腰长,则2.5+5=7.5>5,两边之和大于第三边,所以能构成三角形.所以三角形的周长为2.5+5+5=12.5.6.解:根据构成三角形的条件得:第三边长的范围为 3 cm<第三边长<11 cm,则此三角形的周长范围是14 cm<周长<22 cm.7.解:由三角形三边的大小关系可得3x+4x>21,且4x-3x<21,可解得3<x<21.8.解:因为a,b,c分别为三角形ABC的三边长,所以根据三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,可得:a+b>c,则a+b-c>0;b<a+c,则b-a-c<0;c+b>a,则c-a+b>0.根据正数的绝对值等于它的本身,负数的绝对值等于它的相反数,得原式=a+b-c-[-(b-a-c)]-(c-a+b)=a+b-c+b-a-c-c+a-b=a+b-3c.本课是由日常生活情景引入的,这样有利于增强学生的学习兴趣,也能让学生知道数学来源于实际,又反作用于实际.本节的重点与难点均是三角形的三边关系,要求学生能利用此定理判定所给的三条线段能否组成三角形,如果老师直接给出定理,学生的理解会不深.教案的设计思路是让学生通过自己的思考得出结论,不是直接去接受结论,而是让学生亲自实践,这样既增强了学生的动手能力,也能让他们更加深刻地理解三角形三边关系定理:三角形两边的和大于第三边,两边的差小于第三边,还能让他们在解答问题时,更加游刃有余.在刚开始阶段引入三角形的定义时,学生在画三条线段的环节中,应该对所画的线段提出不同的要求,这样更有利于学生给三角形做出严密的定义.还有此处应该添加一些简单的练习,让学生即时练习,能让他们更加深刻地接受三角形的有关定义,并能熟练地运用它们,为后续的学习打下良好的基础.在引入三角形的定义时,要更加严谨,如“由不在同一条直线上”这句话,老师要让学生思考这样说的原因,另外在定义教学后,即时给出一些练习,让学生巩固所学的知识,在讲解三角形的分类时,也要这样,给出些练习,让学生巩固,并加深对它们的理解.在讲解三角形的三边关系时,可让学生自己也准备一些这样的带刻度的小棒,让每一位学生都参与进来,这次参与的学生少,只起到演示的作用了,还是多多给学生参与的机会为好.练习(教材第4页)1.解:图中有5个三角形,分别是ΔABC,ΔBCD,ΔBCE,ΔABE,ΔCDE.2.解:(1)不能组成三角形,因为3+4<8,即两条线段的和小于第三条线段,所以不能组成三角形. (2)不能组成三角形,因为5+6=11,即两条线段的和等于第三条线段,所以不能组成三角形. (3)能组成三角形,因为任意两条线段的和都大于第三条线段.中学数学学习的是数学学科的基础知识,而数学作为研究数量关系和空间形式的科学,是人们实践中出现的种种数学现实的反映,也是人们不断研究、创造的知识体系,是人们在各类科研和生产实践中的有力工具,具有广泛的应用性.数学教学必须重视揭示数学与客观现实的密切联系,揭示数学结论的真理性和真实性,揭示数学理论是怎么从现实世界中得到并不断发展的,必须重视数学知识体系的条理性、逻辑性,也应该重视数学在实践中的巨大作用.长为9,6,5,4的四根木条,选其中三根组成三角形,选法有()A.1种B.2种C.3种D.4种〔解析〕四根木条中的三根的所有组合:9,6,5;9,6,4;9,5,4;6,5,4.根据三角形的三边关系,得能组成三角形的有9,6,5;9,6,4和6,5,4.故选C.〔方法指导〕要把四根木条中的三根的所有组合列出来,再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的组数.11.1.2三角形的高、中线与角平分线1.让学生了解三角形的高、中线、角平分线等有关概念.2.掌握任意三角形的高、中线、角平分线的画法.3.能利用三角形的高、中线、角平分线的性质解决问题.1.经历画、折等实践操作活动过程,发展学生的空间观念、推理能力及创新精神.2.学会用数学知识解决实际问题,发展应用和自主探究意识,并培养学生的动手实践能力.1.鼓励学生主动参与,感受成功的乐趣,体验几何知识在现实生活中的真实性,激发学生热爱生活、勇于探索的思想感情.2.通过对问题的解决,使学生有成就感,培养学生的合作精神,树立学好数学的信心.【重点】1.了解三角形的高、中线与角平分线的概念,会用工具准确地画出三角形的高、中线与角平分线.2.了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线所在直线分别交于一点.【难点】1.三角形的角平分线与角平分线的区别,三角形的高与垂线的区别.2.钝角三角形高的画法.3.不同的三角形三条高的位置关系.。

人教版八年级数学上册全册课件第十一章　三角形第十一章　三角形知 识 管 理11.1 与三角形有关的线段11．1.1　三角形的边学 习 指 南学 习 指 南本节学习主要解决以下问题：1．三角形的概念及三角形的分类此内容为本节的重点．为此设计了【归类探究】中的例1；【当堂测评】中的第3题；【分层作业】中的第5、10题．2．三角形的三边关系此内容为本节的重点，也是难点．为此设计了【归类探究】中的例2；【当堂测评】中的第1、2、4题；【分层作业】中的第1、2、3、4、6、7、8、9题．知 识 管 理1．三角形的概念定 义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．边、顶点、内角：如图11-1-1所示．图11-1-1记读法：顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC，读作“三角形ABC”．2．三角形的三边关系关系1：三角形两边的和第三边．关系2：三角形两边的差第三边．注 意：通过三角形三边关系可判断三条线段能否构成三角形．3．等腰三角形定 义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形；三边相等的三角形叫做等边三角形．腰、底：在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底．顶 角：两腰的夹角叫做顶角．底 角：腰和底边的夹角叫做底角．大于小于4．三角形按边的相等关系分类图11-1-2类型之一　三角形的概念写出图11-1-3中所有的三角形及其边和角．图11-1-3【解析】先确定一条线段，再找出以这条线段为边的所有三角形，最后擦去这条线段，在剩下的图形中依次找出所有三角形．解：△ADE，边为AD，DE，EA，角为∠ADE，∠DEA，∠EAD；△ADB，边为AD，DB，BA，角为∠ADB，∠DBA，∠BAD；△ADF，边为AD，DF，F A，角为∠ADF，∠DF A，∠F AD；△ADC，边为AD，DC，CA，角为∠ADC，∠DCA，∠CAD；△DEB，边为DE，EB，BD，角为∠DEB，∠EBD，∠BDE；△DFC，边为DF，FC，CD，角为∠DFC，∠FCD，∠CDF；△ABC，边为AB，BC，CA，角为∠ABC，∠BCA，∠CAB.【点悟】找三角形时应按一定的规律，以边为线索找三角形或以角为线索找三角形，这体现了分类讨论的思想．类型之二　三角形的三边关系若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边的长可能是( )A．6 B．3 C．2 D．11【解析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．设第三边为x，则4＜x＜10，所以符合条件的边长为6，故选A.A1．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( )A ．2 cm ，3 cm ，5 cm B ．7 cm ，4 cm ，2 cmC ．3 cm ，4 cm ，8 cmD ．3 cm ，3 cm ，4 cm2．已知a ，b ，c 是三角形三边的长，则下列不等式中不成立的式子是( )A ．a ＋b ＞c B ．a －b ＞cC ．b －c ＜aD ．b ＋c ＞aDB3．如图11-1-4，图中三角形的个数为( )C Array图11-1-4 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解析】图中三角形有△ABD，△ADC，△ABC.4．若一个三角形的三边长分别为2，3，x，则x的值可以为2(答案不唯一)(只需填一个数)．D【解析】∵1＋2＝3，∴A错误；∵1＋<3，∴B错误；∵3＋4＜8，∴C错误；∵4＋5＞6且6－4＜5，∴D正确．2．如图11-1-5，为估计池塘两岸A，B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一D点P，测得P A＝16 m，PB＝12 m，那么A，B间的距离不可能是( )图11-1-5A．5 m B．15 m C．20 m D．28 m【解析】三角形的三边要满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，因此可以得出三角形的第三边大于其他两边之差，且小于其他两边之和，故第三边长在4 m和28 m 之间．3．一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为____．【解析】 设第三边长为x ，∵两边长分别是2和3，∴3－2＜x ＜3＋2，即1＜x ＜5，∵第三边长为奇数，∴x ＝3，∴这个三角形的周长为2＋3＋3＝8.84．等腰三角形两边长为4 cm，6 cm，求等腰三角形的周长．解：当腰长是4 cm，底边长是6 cm时，能构成三角形，则周长是4＋4＋6＝14 cm；当腰长是6 cm，底边长是4 cm时，能构成三角形，则周长是4＋6＋6＝16 cm；所以等腰三角形的周长是14 cm或16 cm.5．指出图11-1-6中有几个三角形，并用字母分别表示出来．图11-1-6解：共8个，分别为△ABD，△ADC，△FBD，△BCE，△ABE，△ABF，△AEF，△ABC.6．用一条长为20 cm的细绳围成一个等腰三角形．(1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？(2)能围成有一边长为5 cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的另外两边．解：(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm，则2x＋2x＋x＝20，解得x＝4，∴2x＝8，∴各边长为8 cm，8 cm，4 cm；(2)当5 cm为底边长时，腰长为7.5 cm；当5 cm为腰长时，底边长为10 cm，因为5＋5＝10，所以不能围成三角形，故舍去；故能围成有一边长为5 cm的等腰三角形，另外两边长为7.5 cm，7.5 cm.7．从长为9，6，5，4的四根木条中选其中三根组成三角形，则选法共有(　C　)A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【解析】四根木条的所有组合：9，6，5和9，6，4和9，5，4和6，5，4；根据三角形的三边关系，知能组成三角形的有9，6，5和9，6，4和6，5，4.8．已知三角形三条边的长分别为a＋4，a＋5，a＋6，求a的取值范围．9．已知a，b，c为三角形的三边长．化简：|b＋c－a|＋|b－c－a|－|c－a－b|－|a－b＋c|.解：∵a，b，c为三角形的三边长，∴a＋b＞c，a＋c＞b，b＋c＞a，∴原式＝|(b＋c)－a|＋|b－(c＋a)|－|c－(a＋b)|－|(a＋c)－b|＝b＋c－a＋a＋c－b－a－b＋c＋b－a－c＝2c－2a.图11-1-7(1)图中有几个三角形？(2)求证：AB＋AC>PB＋PC.(1)解：图中三角形有△ABC，△ABD，△BPC，△PDC，△BDC，共5个．(2)证明：∵AB＋AD>BD，PD＋CD>PC，∴AB＋AD＋PD＋CD>BD＋PC，∴AB＋AD＋PD＋CD>PB＋PD＋PC，∴AB＋AC>PB＋PC.知 识 管 理11．1.2　三角形的高、中线与角平分线学 习 指 南学 习 指 南本节学习主要解决以下问题：1．三角形的高、中线与角平分线的概念此内容为本节的重点．为此设计了【归类探究】中的例1；【当堂测评】中的第1、2、4题；【分层作业】中的第1、3、5题．2．三角形的高、中线与角平分线的应用此内容为本节的重点，也是难点．为此设计了【归类探究】中的例2；【当堂测评】中的第3题；【分层作业】中的第2、4、6、7、8题．知 识 管 理1．三角形的高、中线与角平分线的概念高　：从三角形的一个顶点向它所对的边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．中 线：在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线．角平分线：在三角形中，一个内角的平分线和它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注 意：三角形的高、中线与角平分线均指 ，而垂线是 ，角平分线是 ．线段直线射线类型之一　三角形的高、中线与角平分线的概念如图11-1-8所示，在△ABC 中，∠1＝∠2，G 是AD 的中点，延长BG 交AC 于E ，F 为AB 上一点，且CF ⊥AD 于H ，给出下列结论：①AD 是△ABE 的角平分线；②BE 是△ABD 的边AD 上的中线；③CH 是△ACD 的边AD 上的高．其中正确结论的个数是( )图11-1-8A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个B【解析】由∠1＝∠2得AD平分∠BAE，但AD不是△ABE内的线段，所以①不正确；同样BE虽然经过边AD的中点G，但BE也不是△ABD内的线段，所以②也不正确；由于CH⊥AD于H，所以CH是△ACD的边AD上的高，所以③是正确的．故选B.【点悟】三角形的角平分线、中线、高是三角形中的三种重要的线段，掌握它们的概念是关键．类型之二　三角形的面积如图11-1-9所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6 cm，AC ＝8 cm，BC＝10 cm，∠CAB＝90°.试求：图11-1-9(1)AD的长；(2)△ABE的面积；(3)△AEC和△ABE的周长的差．的中线把三角形的面积两等分．1．[2015·长沙]过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是( ) A B C DA2．如图11-1-10，已知∠1＝∠2，则AH 必为△ABC 的( )图11-1-10A ．角平分线B ．中线C ．一角的平分线D ．角平分线所在的射线A　3．如图11-1-11，图中共有 个三角形，若BC ＝CD ＝DE ，则AC ，AD 分别是 ， 的中线．图11-1-11【解析】 图中共有6个三角形，它们分别是△ABC ，△ACD ，△ADE ，△ABD ，△ACE ，△ABE .因为BC ＝CD ，所以AC 是△ABD 的中线；因为CD ＝DE ，所以AD 是△ACE 的中线．6△ABD △ACE4．如图11-1-12，AD，AM，AH分别是△ABC的角平分线、中线和高．图11-1-12BAD CAD BAC BM CM BCAHB AHCC 1．下列说法不正确的是( ) A．三角形的中线在三角形的内部B．三角形的角平分线在三角形的内部C．三角形的高在三角形的内部D．三角形必有一高线在三角形的内部2．三角形的下列线段中，能将三角形的面积分成相等的两部分的是( ) AA．中线 B．角平分线C．高 D．以上答案均正确【解析】因为三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，所以三角形的中线将三角形的面积分成相等的两部分．3．如图11-1-13，在△ABC 中，BD 为角平分线，BE 为中线．如果AC ＝12cm ，则AE ＝ ；如果∠ABC ＝80°，则∠ABD ＝ ．图11-1-136 cm 40°4．[2016·丹阳期中]如图11-1-14，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高的三角6形有个．图11-1-14【解析】∵AD⊥BC于D，而图中有一边在直线BC上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有6个．5．如图11-1-15，已知△ABC，过点A画△ABC的角平分线AD，中线AE和高线AF.图11-1-15解：如答图所示．图11-1-16解：∵CF，BE分别是AB，AC边上的中线，AE＝2，AF＝3，∴AB＝2AF＝2×3＝6，AC＝2AE＝2×2＝4，∵△ABC的周长为15，∴BC＝15－6－4＝5.7．如图11-1-17所示，已知AD是△ABC的边BC上的中线．(1)作出△ABD的边BD上的高；(2)若△ABC的面积为10，求△ADC的面积；(3)若△ABD的面积为6，且BD边上的高为3，求BC的长．图11-1-17解： (1)如答图所示，AE即为所求作的高；。

第十一章“全等三角形”简介课程教材研究所薛彬宋莉莉“全等三角形”一章首先让学生认识形状、大小相同的图形，给出全等三角形的概念，然后让学生探索两个三角形全等的判定方法，并利用三角形全等进行证明，最后学习角的平分线的性质及相关证明。

本章教学时间约需11课时，具体分配如下（仅供参考）：11．1 全等三角形1课时11．2 三角形全等的判定6课时11．3 角的平分线的性质2课时数学活动小结2课时一、教科书内容和课程学习目标本章知识结构框图：本章的主要内容是全等三角形，主要学习全等三角形的性质及各种三角形全等的判定方法，同时学会如何利用全等三角形进行证明。

本章分三节，第一节介绍全等形，包括三角形全等的概念，全等三角形的性质。

第二节介绍一般三角形全等的判定方法，及直角三角形全等的一个特殊的判定方法。

在第三节，利用三角形全等的判定方法证明了角平分线的性质，并利用角的平分线的性质进行证明。

学生已学过线段、角、相交线、平行线以及三角形的有关知识，七年级两册教科书中安排了一些说理的内容，这些为学习全等三角形的有关内容作好了准备。

通过本章的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识（如两个三角形满足一定的条件就完全一样了，角的平分线上的一点到角的两边的距离相等），同时为学习其他图形知识打好基础。

全等三角形是研究图形的重要工具，学生只有掌握好全等三角形的内容，并且能灵活地运用它们，才能学好四边形、圆等内容。

从本章开始，要使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式。

这既是本章的重点，也是教学的难点。

教科书把研究三角形全等条件的重点放在第一个条件（“边边边”条件）上，使学生以“边边边”条件为例，理解什么是三角形的判定，怎样判定。

在掌握了“边边边”条件的基础上，使学生学会怎样运用“边边边”条件进行推理论证，怎样正确地表达证明过程。

“边边边”条件掌握好了，再学习其他条件就不困难了。

在“三角形全等的判定”一节中，得出如下结论：三边对应相等的两个三角形全等；两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

《多边形及其内角和》说课稿各位领导、各位老师大家下午好，很高兴有机会参加这次教学研究活动。

我的教学设计是人教版八年级数学上册第十一章第三节“多边形及其内角和”。

根据新的课程标准，我从以下几个方面说一下本节课的教学设想：一、教材的地位和作用1、本节课起着承上启下的作用。

在内容上，从三角形内角和到多边形内角和，再将多边形内角和公式应用于平面镶嵌，内容衔接紧密，环环相扣，这样编排很适合学生的认知特点，也易于激发学生的学习兴趣。

2、本节内容的学习蕴含了化归、类比和推广方法的使用，以及把复杂问题化为简单问题、化未知为已知的思想方法。

通过这节课的学习，可以让学生在这些数学思想、方法上有一些体会。

3、本节课对学生非智力因素的影响程度是很大的。

通过师生的共同活动，促使学生在学习活动中培养良好的情感，主动参与、合作交流的意识，在独立思考的同时能够认同他人。

二、学生情况学生已经学过三角形内角和定理，并且经历了猜想与验证的过程和几何证明的过程。

这为证明多边形内角和定理提供了认知基础。

另外学生们对新事物有强烈的好奇心和求知欲，为进一步学习、探究多边形内角和定理提供了情感保障。

三、教学目标根据上述对教材结构与内容分析，和学生已有的认知结构心理特征，我制定如下教学目标：【基础知识目标】掌握多边形内角和公式，在此基础上能运用公式解决实际问题。

【能力训练目标】培养学生观察、归纳、类比、联想等发现规律的一般方法。

鼓励学生寻求多种途径探索公式，进一步培养学生的发散思维能力。

【情感态度目标】让学生在民主、和谐的环境中进行猜想、推理等数学活动，培养良好的情感，感受数学活动充满探索和创造，从而提高学生的学习热情。

四、教学的重点与难点这节课必须掌握的是多边形内角和公式，它是研究多边形外角和的基础，是平面镶嵌的灵魂，因此是这节课教学的重点。

在探究多边形内角和公式时，要求学生会把四边形、五边形、六边形、七边形转化为三角形，再通过对这些多边形的内角和的观察、类比、归纳n边形内角和，寻找出内角和与边数n之间的关系，对学生的能力要求比较高，因此这个过程是教学的难点。

人教版八年级数学上册第十一章三角形全章教案汇总11.1与三角形有关的线段第1课时教学目标1.认识三角形,了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形.2.经历度量三角形边长的实践活动中,理解三角形三边不等的关系.3.懂得判断三条线段可否构成一个三角形的方法,并能运用它解决有关的问题.4.帮助学生树立几何知识源于客观实际,用客观实际的观念,激发学生学习的兴趣.重点、难点重点:1.对三角形有关概念的了解,能用符号语言表示三条形.2.能从图中识别三角形.3.通过度量三角形的边长的实践活动,从中理解三角形三边间的不等关系.难点:1.在具体的图形中不重复,且不遗漏地识别所有三角形.2.用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形.教学过程一、看一看1.投影:图形见章前P1图.教师叙述: 三角形是一种最常见的几何图形之一.(看条件许可, 可以把古埃及的金字塔、飞机、飞船、分子结构……的投影,给同学放映)从古埃及的金字塔到现代的飞机、上天的飞船,从宏大的建筑如P68-69的图,到微小的分子结构, 处处都有三角形的身影.结合以上的实际使学生了解到:我们所研究的“三角形”这个课题来源于实际生活之中.学生活动:(1)交流在日常生活中所看到的三角形.(2)选派代表说明三角形的存在于我们的生活之中.2.板书:在黑板上老师画出以下几个图形.(1)教师引导学生观察上图:区别三条线段是否存在首尾顺序相接所组成的.图(1)三条线段AC、CB、AB是否首尾顺序相接.(是)(2)观察发现,以上的图,哪些是三角形?(3)描述三角形的特点:板书:“不在一直线上三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形”.教师提问:上述对三角形的描述中你认为有几个部分要引起重视.学生回答:a.不在一直线上的三条线段.b.首尾顺次相接.二、读一读指导学生阅读课本P2,第一部分至思考,一段课文,并回答以下问题:(1)什么叫三角形?(2)三角形有几条边?有几个内角?有几个顶点?(3)三角形ABC用符号表示________.(4)三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字母分别表示为________.三角形有三条边,三个内角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点, 三角形ABC用符号表示为△ABC,三角形ABC的三边,AB可用边AB的所对的角C的小写字母c 表示,AC可用b表示,BC可用a表示.三、做一做画出一个△ABC,假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择各条路线的长一样吗?同学们在画图计算的过程中,展开议论,并指定回答以上问题:(1)小虫从B出发沿三角形的边爬到C有如下几条路线.a.从B→Cb.从B→A→C(2)从B沿边BC到C的路线长为BC的长.从B沿边BA到A,从A沿边C到C的路线长为BA+AC.经过测量可以说BA+AC>BC,可以说这两条路线的长是不一样的.四、议一议1.在同一个三角形中,任意两边之和与第三边有什么关系?2.在同一个三角形中,任意两边之差与第三边有什么关系?3.三角形三边有怎样的不等关系?通过动手实验同学们可以得到哪些结论?三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.五、想一想三角形按边分可以,分成几类?六、练一练有三根木棒长分别为3cm、6cm和2cm,用这些木棒能否围成一个三角形?分析:(1)三条线段能否构成一个三角形, 关键在捡判定它们是否符合三角形三边的不等关系,符合即可的构成一个三角形,看不符合就不可能构成一个三角形.(2)要让学生明确两条木棒长为3cm和6cm,要想用三根木棒合起来构成一个三角形,这第三根木棒的长度应介于3cm和9cm之间,由于它的第三根木棒长只有2cm,所以不可能用这三条木棒构成一个三角形.错导:∵3cm+6cm>2cm∴用3cm、6cm、2cm的木棒可以构成一个三角形.错因:三角形的三边之间的关系为任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,这里3+6>2,没错,可6-3不小于2,所以回答这类问题应先确定最大边,然后看小于最大量的两量之和是否大于最大值,大时就可构成,小时就无法构成.七、忆一忆今天我们学了哪些内容:1.三角形的有关概念(边、角、顶点)2.会用符号表示一个三角形.3.通过实践了解三角形的三边不等关系.八、作业课本P8习题11.2第1、2、6、7题.11.1与三角形有关的线段第2课时教学目标1.经历析纸,画图等实践过程，认识三角形的高、中线与角平分线.2.会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线, 通过画图了解三角形的三条高(及所在直线)交于一点,三角形的三条中线,三条角平分线等都交于一点.重点、难点重点:1.了解三角形的高、中线与角平分线的概念, 会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线.2.了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点.难点:1.三角形平分线与角平分线的区别,三角形的高与垂线的区别.2.钝角三角形高的画法.3.不同的三角形三条高的位置关系.教学过程一、看一看把下面图表投影出来:1.AD是△ABC的BC上的中线.2.BD=DC=BC.1.AD是△ABC的∠BAC的平分线.2.∠1=∠2=∠BAC.1.指导学生阅读课本P71-72的课文.2.仔细观察投影表中的内容,并回答下面问题.(1)什么叫三角形的高?三角形的高与垂线有何区别和联系? 三角形的高是从三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段,而从三角形一个顶点向它对边所在的直线作垂线这条垂线是直线.(2)什么叫三角形的中线?连结两点的线段与过两点的直线有何区别和联系?三角形的中线是连结一个顶点和它对边的中点的线段, 而过两点的直线有着本质的不同,一个代表的是线段,另一个却是直线.(3)什么叫三角形的角平分线?三角形的角平分线与角平分线有何区别和联系?三角形的角平分线是三角形的一个内角平分线与它的对边相交, 这个角顶点与交点之间的线段,而角平分线指的是一条射线.3.三角形的高、中线和角平分线是代表线段还是代表射线或直线?三角形的高、中线和角平分线都代表线段, 这些线段的一个端点是三角形的一个顶点,另一个端点在这个顶点的对边上.二、做一做1.让学生在练习本上画出三角形,并在这个三角形中画出它的三条高.( 如果他们所画的是锐角三角形,接着提出在直角三角形的三条高在哪里?钝角三角形的三条高在那里?)观察这三条高所在的直线的位置有何关系?三角形的三条高交于一点,锐角三角形三条高交点在直角三角形内,直角三角形三条高线交点在直角三角形顶点,而钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部.2.让学生在练习本上画三角形,并在这个三角形中画出它的三条中线.( 如果他们所画的是锐角三角形,接着让他们画出直角三角形和钝角三角形,看看这些三角形的中线在哪里)?观察这三条中线的位置有何关系三角形的三条中线都在三角形内部,它们交于一点,这个交点在三角形内.3.让学生在练习本上画一个三角形,并在这三角形中画出它的三条角平分线,观察这三条角平分线的位置有何关系?无论是锐角三角形还是直角三角形或钝角三角形, 它们的三条角平分线都在三角形内,并且交于一点.三、议一议通过以上观察和操作你发现了哪些规律,并加以总结且与同伴交流.四、练习1.课本P5,练习1.2.2.画钝角三角形的三条高.五、作业1.P8-P9 习题11.1第3.4.811.1与三角形有关的线段第3课时教学目标：通过观察和实地操作得到三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用重点：了解三角形稳定性在生产、生活的实际应用难点：准确使用三角形稳定性于生产生活之中课前准备：小木条8个，小钉若干教学过程：一、看一看，想一想课本P6投影出来二、做一做1、用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？2、用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？3、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？三、议一议从上面实验过程你能得出什么结论？与同伴交流。