3.4生活中的优化问题举例

能力拓展提升一、选择题11．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 39 000＋400x,0≤x ≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300[答案] D[解析] 由题意可得总利润P (x )＝－x 3900＋300x －20 000,0≤x ≤390.由P ′(x )＝0，得x ＝300.当0≤x ≤300时，p ′(x )>0；当300<x ≤390时，P ′(x )<0，所以当x ＝300时，P (x )最大，故选D.12．三棱锥O －ABC 中，OA 、OB 、OC 两两垂直，OC ＝2x ，OA ＝x ，OB ＝y ，且x ＋y ＝3，则三棱锥O －ABC 体积的最大值为( )A ．4B ．8 C.43 D.83[答案] C[解析] V ＝13×2x 22·y ＝x 2y 3＝x 2(3－x )3＝3x 2－x33(0<x <3)，V ′＝6x －3x 23＝2x －x 2＝x (2－x )． 令V ′＝0，得x ＝2或x ＝0(舍去)． ∴x ＝2时，V 最大为43.13．要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则高为( )A.33cm B.1033cm C.1633cm D.2033cm[答案] D[解析] 设圆锥的高为x ，则底面半径为202－x 2， 其体积为V ＝13πx (400－x 2) (0＜x ＜20)， V ′＝13π(400－3x 2)，令V ′＝0，解得x ＝2033. 当0＜x ＜2033时，V ′＞0；当2033＜x ＜20时，V ′＜0 所以当x ＝2033时，V 取最大值．14．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则其圆柱侧面积最大值为( )A ．2πr 2B ．πr 2C ．4πr 2D.12πr 2[答案] A[解析] 设内接圆柱的底面半径为r 1，高为t ，则S ＝2πr 1t ＝2πr 12r 2－r 21＝4πr 1r 2－r 21. ∴S ＝4πr 2r 21－r 41. 令(r 2r 21－r 41)′＝0得r 1＝22r .此时S ＝4π·22r ·r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22r 2＝4π·22r ·22r ＝2πr 2. 二、填空题15．做一个容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省料．[答案] 4[解析] 设底面边长为x ，则高为h ＝256x 2，其表面积为S ＝x 2＋4×256x 2×x ＝x 2＋256×4x ，S ′＝2x －256×4x 2，令S ′＝0，则x ＝8，则当高h ＝25664＝4时S 取得最小值．16．某厂生产某种产品x 件的总成本：C (x )＝1 200＋275x 3，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为________件．[答案] 25[解析] 设产品单价为a 元，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝k ，由题知a ＝500x .总利润y ＝500x －275x 3－1 200(x >0)，y ′＝250x －225x 2，由y ′＝0，得x ＝25，x ∈(0,25)时，y ′>0，x ∈(25，＋∞)时，y ′<0，所以x ＝25时，y 取最大值．三、解答题17．已知某厂生产x 件产品的成本为c ＝25 000＋200x ＋140x 2(元)． (1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？[解析] (1)设平均成本为y 元，则y ＝25 000＋200x ＋140x 2x ＝25 000x ＋200＋x40(x >0)， y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25 000x ＋200＋x 40′＝－25 000x 2＋140. 令y ′＝0，得x 1＝1 000，x 2＝－1 000(舍去)． 当在x ＝1 000附近左侧时，y ′<0； 在x ＝1 000附近右侧时，y ′>0； 故当x ＝1 000时，y 取得极小值．由于函数只有一个极小值点，那么函数在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1 000件产品．(2)利润函数为L ＝500x －(25 000＋200x ＋x 240) ＝300x －25 000－x 240. ∴L ′＝300－x20.令L ′＝0，得x ＝6 000，当x 在6 000附近左侧时，L ′>0；当x 在6 000附近右侧时，L ′<0，故当x ＝6 000时，L 取得极大值．由于函数只有一个使L ′＝0的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值．因此，要使利润最大，应生产6 000件产品．18．已知圆柱的表面积为定值S ，求当圆柱的容积V 最大时圆柱的高h 的值．[分析]将容积V表达为高h或底半径r的函数，运用导数求最值．由于表面积S＝2πr2＋2πrh，此式较易解出h，故将V的表达式中h消去可得V是r的函数．[解析]设圆柱的底面半径为r，高为h，则S圆柱底＝2πr2，S圆柱侧＝2πrh，∴圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh.∴h＝S－2πr2 2πr，又圆柱的体积V＝πr2h＝r2(S－2πr 2)＝rS－2πr32，V′＝S－6πr22，令V′＝0得S＝6πr2，∴h＝2r，又r＝S6π，∴h＝2S6π＝6πS3π.即当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h为6πS 3π.。

基础巩固强化一、选择题1．三次函数当x ＝1时，有极大值4；当x ＝3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是( )A ．y ＝x 3＋6x 2＋9xB ．y ＝x 3－6x 2＋9xC ．y ＝x 3－6x 2－9xD ．y ＝x 3＋6x 2－9x [答案] B[解析] 设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)， ∵函数图象过原点，∴d ＝0.f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0f ′(3)＝0f (1)＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＋c ＝027a ＋6b ＋c ＝0a ＋b ＋c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－6c ＝9，∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x ，故应选B.2．将数8拆分为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为( )A ．2和6B ．4和4C ．3和5D ．以上都不对[答案] B[解析] 设一个数为x ，则另一个数为8－x ，则y ＝x 3＋(8－x)3,0≤x≤8，y′＝3x2－3(8－x)2，令y′＝0，即3x2－3(8－x)2＝0，解得x＝4.当0≤x<4时，y′<0，函数单调递减；当4<x≤8时，y′>0，函数单调递增，所以x＝4时，y最小．3．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x>0)；生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，则应生产()A．6千台B．7千台C．8千台D．9千台[答案] A[解析]设利润为y(万元)，则y＝y1－y2＝17x2－2x3＋x2＝18x2－2x3(x>0)，y′＝36x－6x2，令y′>0，得0<x<6，令y′<0，得x>6，∴当x＝6时，y取最大值，故为使利润最大，则应生产6千台．4．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是()[答案] A[解析]加速过程，路程对时间的导数逐渐变大，图象下凸；减速过程，路程对时间的导数逐渐变小，图象上凸，故选A.5．内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( ) A ．R B ．2R C.43R D.34R[答案] C[解析] 设圆锥高为h ，底面半径为r ， 则R 2＝(R －h )2＋r 2，∴r 2＝2Rh －h 2， ∴V ＝13πr 2h ＝π3h (2Rh －h 2)＝23πRh 2－π3h 3， ∴V ′＝43πRh －πh 2，令V ′＝0得h ＝43R ， 当0<h <43R 时，V ′>0；当43R <h <2R 时，V ′<0. 因此当h ＝43R 时，圆锥体积最大，故应选C.6．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x h 时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8 B.203 C ．－1 D ．－8 [答案] C[解析] 瞬时变化率即为f ′(x )＝x 2－2x 为二次函数，且f ′(x )＝(x －1)2－1，又x ∈[0,5]，故x ＝1时，f ′(x )min ＝－1. 二、填空题7．把长为60cm 的铁丝围成矩形，长为________，宽为________时，矩形的面积最大．[答案] 15cm 15cm[解析] 设长为x cm ，则宽为(30－x )cm ，此时S ＝x ·(30－x )＝30x －x 2，S ′＝30－2x ＝0，所以x ＝15.所以长为15cm ，宽为15cm 时，矩形的面积最大．8．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最小，则圆柱的底面半径为________．[答案] 3[解析] 设圆柱的底面半径为R ，母线长为L ，则V ＝πR 2L ＝27π，∴L ＝27R 2，要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，∴S 表＝πR 2＋2πRL ＝πR 2＋54πR ，∴S ′(R )＝2πR －54πR 2＝0，令S ′＝0得R ＝3， ∴当R ＝3时，S 表最小．9．用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2 1，该长方体的最大体积是________．[答案] 3m 3[解析] 设长方体的宽为x ，则长为2x ，高为92－3x (0<x <32)，故体积为V ＝2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫92－3x ＝－6x 3＋9x 2，V ′＝－18x 2＋18x ，令V ′＝0得，x ＝0或1， ∵0<x <2，∴x ＝1.∴该长方体的长、宽、高各为2m 、1m 、1.5m 时，体积最大，最大体积V max ＝3m 3.三、解答题10．用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱．问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？[解析]设水箱底边长为x cm，则水箱高为h＝60－x2(cm)．水箱容积V＝V(x)＝60x2－x32(0<x<120)(cm3)．V′(x)＝120x－32x 2.令V′(x)＝0得，x＝0(舍)或x＝80.当x在(0,120)内变化时，导数V′(x)的正负如下表：数V(x)的最大值．将x＝80代入V(x)，得最大容积V＝802×60－8032＝128 000(cm3)．答：水箱底边长取80cm时，容积最大，最大容积为128 000cm3.。

§3.4生活中的优化问题举例学习目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．知识点生活中的优化问题1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．3．解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．1．生活中常见到的收益最高、用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题．(√) 2．解决应用问题的关键是建立数学模型．(√)类型一几何中的最值问题例1请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S 最大，则x 应取何值？(2)若广告商要求包装盒容积V 最大，则x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．考点 几何类型的优化问题 题点 几何体体积的最值问题解 (1)由题意知包装盒的底面边长为2x cm ， 高为2(30－x )cm,0<x <30，所以包装盒侧面积为S ＝42x ×2(30－x ) ＝8x (30－x )≤8×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋30－x 22＝8×225，当且仅当x ＝30－x ，即x ＝15时，等号成立， 所以若广告商要求包装盒侧面积S 最大，则x ＝15. (2)包装盒容积V ＝2x 2·2(30－x ) ＝－22x 3＋602x 2(0<x <30)，所以V ′＝－62x 2＋1202x ＝－62x (x －20)． 令V ′>0，得0<x <20； 令V ′<0，得20<x <30.所以当x ＝20时，包装盒容积V 取得最大值，此时包装盒的底面边长为202cm ，高为102cm ，包装盒的高与底面边长的比值为1∶2.反思与感悟 面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．特别注意：在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域． 跟踪训练1 已知圆柱的表面积为定值S ，当圆柱的容积V 最小时，圆柱的高h 的值为________．考点 几何类型的优化问题 题点 几何体体积的最值问题 [答案]6πS 3π[解析] 设圆柱的底面半径为r ，则S 圆柱底＝2πr 2， S 圆柱侧＝2πrh ，∴圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πrh ， ∴h ＝S －2πr 22πr.又圆柱的体积V ＝πr 2h ＝r2(S －2πr 2)＝rS －2πr 32，V ′(r )＝S －6πr 22，令V ′(r )＝0，得S ＝6πr 2，∴h ＝2r ， ∵V ′(r )只有一个极值点， ∴当h ＝2r 时圆柱的容积最小． 又r ＝S6π，∴h ＝2S 6π＝6πS 3π. 即当圆柱的容积V 最小时， 圆柱的高h 为6πS 3π. 类型二 实际生活中的最值问题 命题角度1 利润最大问题例2 某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t (百万元)，可增加销售额－t 2＋5t (百万元)(0≤t ≤3)．(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x 百万元，可增加的销售额为－13x 3＋x 2＋3x (百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(收益＝销售额－投入) 考点 函数类型的优化问题 题点 利用导数求解最大利润问题解 (1)设投入t (百万元)的广告费后增加的收益为f (t )(百万元)，则有f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0≤t ≤3)，∴当t ＝2时，f (t )取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x (百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x )(百万元)，又设由此获得的收益是g (x )(百万元)，则g (x )＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2＋3x ＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)，∴g ′(x )＝－x 2＋4，令g ′(x )＝0，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.又当0<x <2时，g ′(x )>0；当2<x ≤3时，g ′(x )<0，∴当x ＝2时，g (x )取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有： (1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．考点 函数类型的优化问题 题点 利用导数求解最大利润问题解 (1)因为当x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点． 所以当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值为42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 命题角度2 用料(费用)最省问题例3 某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10000平方米，该中心每块球场的建设面积为1000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x 块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f (x )＝800⎝⎛⎭⎫1＋15ln x 来刻画．为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？ 考点 函数类型的优化问题 题点 利用导数解决费用最省问题解 设建成x 个球场，则1≤x ≤10，每平方米的购地费用为128×1041000x ＝1280x (元)，因为每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f (x )＝800⎝⎛⎭⎫1＋15ln x 来表示， 所以每平方米的综合费用为g (x )＝f (x )＋1280x ＝800＋160ln x ＋1280x (x >0)，所以g ′(x )＝160(x －8)x 2(x >0)，令g ′(x )＝0，则x ＝8，当0<x <8时， g ′(x )<0，当x >8时，g ′(x )>0，所以当x ＝8时，函数取得极小值，且为最小值． 故当建成8个球场时，每平方米的综合费用最省．反思与感悟 费用、用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答． 跟踪训练3 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元． (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 考点 函数类型的优化问题 题点 利用导数解决费用最省问题 解 (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ， 即n ＝mx－1，所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x ＝256⎝⎛⎭⎫m x －1＋m x (2＋x )x ＝256mx＋m x ＋2m －256. (2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋1212mx -＝m 2x 232512x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.令f ′(x )＝0，得32x ＝512， 所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数； 当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数， 所以f (x )在x ＝64处取得最小值． 此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小.1．某公司的盈利y (元)和时间x (天)的函数关系是y ＝f (x )，且f ′(100)＝－1，这个数据说明在第100天时( ) A ．公司已经亏损 B ．公司的盈利在增加 C ．公司的盈利在逐渐减少D ．公司有时盈利有时亏损 考点 函数类型的优化问题 题点 利用导数求解最大利润问题 [答案] C[解析] 因为f ′(100)＝－1，所以函数图象在x ＝100处的切线的斜率为负值，说明公司的盈利在逐渐减少．2．已知某厂家生产某种产品的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋36x ＋126，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．11万件B ．9万件C ．7万件D ．6万件考点 函数类型的优化问题 题点 利用导数求解最大利润问题 [答案] D[解析] 由y ′＝－x 2＋36＝0， 解得x ＝6或x ＝－6(舍去)． 当0<x <6时，y ′>0； 当x >6时，y ′<0， ∴在x ＝6时y 取最大值．3．用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积为( ) A ．2m 3 B ．3m 3 C ．4m 3D ．5m 3 考点 几何类型的优化问题 题点 几何体体积的最值问题 [答案] B[解析] 设长方体的宽为x (m)，则长为2x (m)，高为h ＝18－12x 4＝92－3x (m)⎝⎛⎭⎫0<x <32，故长方体的体积为V (x )＝2x 2⎝⎛⎭⎫92－3x＝9x 2－6x 3⎝⎛⎭⎫0<x <32， 从而V ′(x )＝18x －18x 2＝18x (1－x )，令V ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝0(舍去)．当0<x <1时，V ′(x )>0；当1<x <32时，V ′(x )<0， 故在x ＝1处V (x )取得极大值，并且这个极大值就是V (x )的最大值，从而最大体积V ＝V (1)＝9×12－6×13＝3(m 3)．4．容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省材料．考点 函数类型的优化问题题点 利用导数解决费用最省问题[答案] 4[解析] 设水箱高为h ，底面边长为a ，则a 2h ＝256，其表面积为S ＝a 2＋4ah ＝a 2＋4a ·256a 2＝a 2＋210a. 令S ′＝2a －210a 2＝0，得a ＝8. 当0<a <8时，S ′<0；当a >8时，S ′>0，故当a ＝8时，S 最小，此时h ＝2882＝4. 5．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x (单位：元，0≤x ≤21)的平方成正比．已知当商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？考点 函数类型的优化问题题点 利用导数求解最大利润问题解 (1)设商品降价x 元，则每星期多卖的商品数为kx 2.若记商品在一个星期的获利为f (x )，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．由已知条件，得24＝k×22，于是有k＝6.所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21]．(2)由(1)得f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故当x＝12时，f(x)取得极大值．因为f(0)＝9072，f(12)＝11664.所以当定价为30－12＝18(元)时，才能使一个星期的商品销售利润最大．1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)．(2)求函数的导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数[解析]式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.。

生活中的优化问题举例引言生活中，我们经常面临各种各样的问题和挑战。

为了提高效率、提升生活质量，我们需要不断寻找解决问题的方法和策略。

在这篇文章中，我们将探讨生活中的优化问题，并给出一些实际的例子来说明如何应对这些问题。

什么是优化问题？优化问题是指在给定的限制条件下，寻找一个最优解的问题。

通过优化，我们可以最大限度地提高效率、降低成本、提升满意度等。

在生活中，我们可以将优化问题应用于各个领域，如时间管理、健康管理、金融规划等。

生活中的优化问题举例1. 时间管理时间管理是一个常见的生活优化问题。

我们每天都面临着有限的时间资源，如何合理分配时间成为了一个重要的课题。

以下是一些可以帮助我们优化时间管理的方法和技巧：1.制定优先级：将任务按照重要性和紧急性进行排序，优先处理重要且紧急的任务，避免因琐碎的事务耗费过多时间。

2.打破大目标：学会将大目标分解成小目标，逐步推进。

这样可以减少任务的压力，并更好地管理时间。

3.制定时间表：制定一个明确的时间表，为每项任务规定固定的时间段。

这样可以提高效率，并避免时间的浪费。

4.利用时间碎片：充分利用日常生活中的碎片化时间，比如排队等待、交通工具上的时间，可以用来读书、听课等。

2. 健康管理健康是幸福生活的基石，因此健康管理也成为了一个重要的优化问题。

以下是一些可以帮助我们优化健康管理的方法和策略：1.合理饮食：均衡饮食是健康的基础。

合理控制饮食，摄入适量的营养物质，避免过量或偏食，有助于维持身体的健康状态。

2.积极运动：适量的运动可以帮助我们保持身体健康和心理平衡。

根据个人情况选择合适的运动方式和时间，如慢跑、游泳、瑜伽等。

3.规律作息：良好的作息习惯对于身体和心理健康至关重要。

合理安排睡眠时间，确保充足的休息，有助于保持精力充沛和情绪稳定。

4.健康检查：定期进行身体检查，及时发现和处理潜在的健康问题，有助于预防和治疗疾病。

3. 金融规划金融规划是一个经济优化的问题。

生活中的优化问题举例
以下是一些生活中常见的优化问题举例：
1. 路线规划：对于一次旅行或者日常通勤，如何选择最短或最快的路线，以节省时间和资源。

2. 日程安排：如何合理分配时间，使得工作效率最大化，同时留出时间进行休息和娱乐。

3. 购物决策：在购买商品时，如何选择最佳的品牌、型号或价格，以满足需求并节约开支。

4. 饮食计划：如何合理安排饮食，以保证营养均衡，同时避免浪费和过量摄入。

5. 能源使用：如何优化能源的使用，例如合理设置空调温度、减少电器待机时间等，以节约能源成本并保护环境。

6. 个人理财：如何合理规划个人财务，包括投资、储蓄和债务，以实现财务增长并达到目标。

7. 旅游安排：在进行旅游计划时，如何选择最佳的目的地、交通方式、住宿和活动，以满足旅行的需求。

8. 学习方法：如何优化学习方法，例如选择适合个人的学习时间、学习环境和学习资源，以提高学习效率。

9. 生活习惯：如何培养健康的生活习惯，例如规律作息、科学饮食和适度运动，以改善身体健康。

10. 时间管理：如何合理分配时间，设置优先级和避免拖延，以提高工作和生活的效率。

[学习目标]1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.知识点一优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.知识点二利用导数解决生活中优化问题的基本思路优化问题→用函数表示的数学问题优化问题的答案←用导数解决的数学问题知识点三解决优化问题的基本步骤(1)分析实际问题中各变量之间的关系，根据实际问题建立数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；(2)求导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值的大小，最大者为最大值，最小者为最小值；(4)依据实际问题的意义给出答案.题型一用料最省问题例1如图，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？解如题图，由题意知，只有点C 位于线段AD 上某一适当位置时，才能使总费用最省，设点C 距点D 为x km ，则BC ＝BD 2＋CD 2＝x 2＋402，又设总的水管费用为y 元，依题意有y ＝3a (50－x )＋5a x 2＋402(0<x <50). ∴y ′＝－3a ＋5axx 2＋402.令y ′＝0，解得x ＝30.在(0,50)上，y 只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x ＝30km 处取得最小值，此时|AC |＝50－x ＝20 (km).∴供水站C 建在A 、D 之间距甲厂20km 处，可使水管费用最省.反思与感悟用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.跟踪训练1某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x ，y (单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架的总面积为8m 2，问：x ，y 分别是多少时用料最省？(精确到0.001m)解依题意，有xy ＋12·x ·x2＝8，∴y ＝8－x 24x ＝8x －x4(0＜x ＜42)，于是框架用料长度为 l ＝2x ＋2y ＋2⎝⎛⎭⎫2x 2＝⎝⎛⎭⎫32＋2x ＋16x . l ′＝32＋2－16x2＝0，解得x 1＝8－42，x 2＝42－8(舍去).当0＜x ＜8－42时，l ′＜0；当8－42＜x ＜42时，l ′＞0，∴当x ＝8－42时，l 取得最小值.此时，x ＝8－42≈2.343m ，y ≈2.828m.即当x 为2.343m ，y 为2.828m 时，用料最省.题型二面积、容积的最值问题例2如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？解设广告的高和宽分别为x cm ，y cm ，则每栏的高和宽分别为x －20，y －252，其中x >20，y >25.两栏面积之和为2(x －20)·y －252＝18000，由此得y ＝18000x －20＋25.广告的面积S ＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫18000x －20＋25＝18000xx －20＋25x ， ∴S ′＝18000[(x －20)－x ](x －20)2＋25＝－360000(x －20)2＋25. 令S ′>0得x >140，令S ′<0得20<x <140.∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减，∴S (x )的最小值为S (140). 当x ＝140时，y ＝175.即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24500，故当广告的高为140cm ，宽为175cm 时，可使广告的面积最小.反思与感悟(1)解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值. (2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：①找关系：分析实际问题中各量之间的关系；②列模型：列出实际问题的数学模型；③写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )；④求导：求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；⑤比较：比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；⑥结论：根据比较值写出答案.跟踪训练2如图，在二次函数f (x )＝4x －x 2的图象与x 轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD ，求这个矩形的最大面积.解设B (x,0)(0＜x ＜2)，则A (x,4x －x 2). 从而|AB |＝4x －x 2，|BC |＝2(2－x ). 故矩形ABCD 的面积为S (x )＝|AB |·|BC | ＝2x 3－12x 2＋16x (0＜x ＜2). S ′(x )＝6x 2－24x ＋16，令S ′(x )＝0，得x 1＝2＋233，x 2＝2－233.∵x 1∉(0,2)，∴x 1舍去.∴当x ＝2－233时，S max ＝3239.因此，当点B 为⎝⎛⎭⎫2－233，0时，矩形的最大面积是3239.题型三成本最省，利润最大问题例3甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v 千米/时的平方成正比，比例系数为b (b >0)；固定部分为a 元.(1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解(1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为sv ，全程运输成本为 y ＝a ·s v ＋b v 2·s v ＝s (a v ＋b v )，∴所求函数及其定义域为y ＝s (av ＋b v )，v ∈(0，c ] (2)由题意s 、a 、b 、v 均为正数. y ′＝s (b －av 2)＝0得v ＝ab，v ∈(0，c ]. ①若ab≤c ，则当v ＝ab时，全程运输成本y 最小； ②若ab>c ，则v ∈(0，c ]， 此时y ′<0，即y 在(0，c ]上为减函数. 所以当v ＝c 时，y 最小.综上可知，为使全程运输成本y 最小， 当ab≤c 时，行驶速度v ＝a b； 当ab>c 时，行驶速度v ＝c . 反思与感悟正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解题的主要思路.另外需注意： ①合理选择变量，正确给出函数关系式. ②与实际问题相联系.③必要时注意分类讨论思想的应用.跟踪训练3某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0≤x ≤21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 解(1)若商品降低x 元，则一个星期多卖的商品为kx 2件. 由已知条件，得k ·22＝24，解得k ＝6.若记一个星期的商品销售利润为f (x )，则有f (x )＝(30－x －9)(432＋6x 2)＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9072，x ∈[0,21].(2)对(1)中函数求导得f ′(x )的变化情况如下表：↗↘∴x ＝12时，f (x )取得极大值. ∵f (0)＝9072，f (12)＝11664，∴定价为30－12＝18(元)，能使一个星期的商品销售利润最大.分类讨论思想的应用例4某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：m)，其中容器的中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3m 3，且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c ＞3)千元，设该容器的建造费用为y 千元.(1)写出y 出关于r 的函数关系式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r .分析首先根据容积(体积)求出r ，l 的关系，即用r 表示l ，根据l ≥2r ，即可求出r 的取值范围，根据一个圆柱的侧面积和一个球的表面积公式建立建造费用y 关于r 的函数关系式，然后利用导数求解这个函数的极值点，通过讨论极值点与r 的取值范围之间的关系求得容器建造费用最小时r 的值.解(1)设容器的容积为V ，由题意，知V ＝πr 2l ＋43πr 3.又因为V ＝80π3，所以l ＝V －43πr 3πr 2＝803r 2－43r ＝43⎝⎛⎭⎫20r 2－r . 由于l ≥2r ，故0＜r ≤2. 所以建造费用y ＝2πrl ×3＋4πr 2c ＝2πr ×43⎝⎛⎭⎫20r 2－r ×3＋4πr 2c . 所以y 关于r 的函数关系式为y ＝4π(c －2)r 2＋160πr ，该函数的定义域为(0,2]. (2)由(1)，得y ′＝8π(c －2)r －160πr 2＝8π(c －2)r 2⎝⎛⎭⎫r 3－20c －2，0＜r ≤2. 由于c ＞3，所以c －2＞0. 当r 3－20c －2＝0时，r ＝320c －2.令320c －2＝m ，则m ＞0. 所以y ′＝8π(c －2)r 2(r －m )(r 2＋rm ＋m 2). ①当0＜m ＜2，即c ＞92时，当r ＝m 时，y ′＝0；当r ∈(0，m )时，y ′＜0； 当r ∈(m,2]时，y ′＞0.所以r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点. ②当m ≥2，即3＜c ≤92时，当r ∈(0,2]时，y ′≤0，函数单调递减， 所以r ＝2是函数y 的最小值点.综上所述，当3＜c ≤92时，建造费用最小时r ＝2(m)；当c ＞92时，建造费用最小时r ＝320c －2(m).解后反思在求解本题时，要特别注意函数的定义域，即r 的取值范围(0,2].因为由y ′＝0解得的r 值320c －2不一定在定义域(0,2]内，所以需分类讨论.1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A.8B.203C.－1D.－8 答案C解析原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2.设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时底面边长为() A.3V B.32V C.34V D.23V 答案C解析设底面边长为x ， 则表面积S ＝32x 2＋43xV (x >0). ∴S ′＝3x2(x 3－4V ).令S ′＝0，得x ＝34V .3.已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为() A.13万件B.11万件 C.9万件D.7万件 答案C解析因为y ′＝－x 2＋81，所以当x ＞9时，y ′＜0；当x ∈(0,9)时，y ′＞0.所以，函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增.所以x ＝9是函数的极大值点.又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点， 所以函数在x ＝9处取得最大值.4.某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益r 与年产量x 的关系是r ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80000， x ＞400，则总利润最大时，年产量是()A.100B.150C.200D.300 答案D解析设年产量为x 时，总利润为y ，依题意，得 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2－20000－100x ，0≤x ≤400，80000－20000－100x ，x ＞400， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －12x 2－20000，0≤x ≤400，60000－100x ，x ＞400，所以y ′＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x ，0＜x ＜400，－100，x ＞400，由y ′＝0，得x ＝300.经验证，当x ＝300时，总利润最大.5.用总长为14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，若该容器的底面一边比高长出0.5m ，则当高为________m 时，容器的容积最大. 答案1解析设高x m ，则V ＝x (x ＋0.5)⎝⎛⎭⎫14.84－0.5－2x ＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ，x ∈(0,1.6)， 所以V ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6.令V ′＝0，解得x ＝1或x ＝－415(舍去).当0＜x＜1时，V′＞0，当1＜x＜1.6时，V′＜0，所以当x＝1时，容器的容积取得最大值.正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路.另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确给出函数表达式；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.。