21.1二次根式(3)学案

华师大版数学九年级上册《21.1 二次根式》教学设计2一. 教材分析华东师范大学版数学九年级上册《21.1 二次根式》是学生在初中阶段学习二次根式的起点，也是为高中阶段进一步学习函数、不等式等知识做铺垫。

本节课主要让学生理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法，并能够解决一些实际问题。

教材通过引入二次根式，让学生感受数学与现实生活的联系，提高学生学习数学的兴趣。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和运算能力。

但学生对二次根式这一概念较为陌生，对其性质和运算方法的认识需要通过实例和练习逐步建立。

此外，学生对于将实际问题转化为二次根式问题的能力有待提高。

三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法。

2.能够将实际问题转化为二次根式问题，并运用二次根式解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和运算能力，提高学生学习数学的兴趣。

四. 教学重难点1.二次根式的概念及其性质。

2.二次根式的运算方法。

3.将实际问题转化为二次根式问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次根式的概念、性质和运算方法。

2.利用实例和练习，让学生在实际操作中掌握二次根式的应用。

3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

4.运用多媒体辅助教学，提高课堂趣味性和教学效果。

六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材。

2.设计具有代表性的练习题和实际问题。

3.准备黑板、粉笔等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，如测量物体高度、计算物体体积等，引导学生思考如何利用数学知识解决这些问题。

然后引入二次根式的概念，让学生初步了解二次根式在实际问题中的应用。

2.呈现（15分钟）讲解二次根式的定义，引导学生通过实例理解二次根式的概念。

同时，介绍二次根式的性质，如：二次根式具有非负性、单调性等。

让学生通过实际问题，运用二次根式的性质解决问题。

二次根式教案三篇二次根式教案三篇二次根式教案篇1 一、内容解析本节教材是在学生学习二次根式概念的根底上，结合二次根式的概念和算术平方根的概念，通过观察、归纳和考虑得到二次根式的两个根本性质．对于二次根式的性质，教材没有直接从算术平方根的意义得到，而是考虑学生的年龄特征，先通过“探究”栏目中给出四个详细问题，让学生学生根据算术平方根的意义，就详细数字进展分析^p 得出结果，再分析^p 这些结果的共同特征，由特殊到一般地归纳出结论．基于以上分析^p ，确定本节课的教学重点为：理解二次根式的性质．二、目的和目的解析1．教学目的〔1〕经历探究二次根式的性质的过程，并理解其意义；〔2〕会运用二次根式的性质进展二次根式的化简；〔3〕理解代数式的概念．2．目的解析〔1〕学生能根据详细数字分析^p 和算术平方根的意义，由特殊到一般地归纳出二次根式的性质，会用符号表述这一性质；〔2〕学生能灵敏运用二次根式的性质进展二次根式的化简；〔3〕学生能从已学过的各种式子中，体会其共同特点，得出代数式的概念．三、教学问题诊断分析^p二次根式的性质是二次根式化简和运算的重要根底．学生根据二次根式的概念和算术平方根的意义，由特殊到一般地得出二次根式的性质后，重在能灵敏运用二次根式的性质进展二次根式的化简和解决一些综合性较强的问题．由于学生初次学习二次根式的性质，对二次根式性质的.灵敏运用存在一定的困难，打破这一难点需要老师精心设计好每一道习题，让学生在练习中进一步掌握二次根式的性质，培养其灵敏运用的才能.本节课的教学难点为：二次根式性质的灵敏运用.四、教学过程设计1．探究性质1问题1 你能解释以下式子的含义吗？师生活动：老师引导学生说出每一个式子的含义．【设计意图】让学生初步感知，这些式子都表示一个非负数的算术平方根的平方.问题2 根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的根据.师生活动学生独立完成填空后，让学生展示其思维过程，说出得到结论的根据．【设计意图】学生通过计算或根据算术平方根的意义得出结论，为归纳二次根式的性质1作铺垫．问题3 从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？师生活动：引导学生归纳得出二次根式的性质：〔≥0〕.【设计意图】让学生经历从特殊到一般的过程，概括出二次根式的性质1，培养学生抽象概括的才能.例2 计算〔1〕〔2〕师生活动：学生独立完成，集体订正.【设计意图】稳固二次根式的性质1，学会灵敏运用.2．探究性质2问题4 你能解释以下式子的含义吗？师生活动：老师引导学生说出每一个式子的含义．【设计意图】让学生初步感知，这些式子都表示一个数的平方的算术平方根.问题5 根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的根据.师生活动学生独立完成填空后，让学生展示其思维过程，说出得到结论的根据．【设计意图】学生通过计算或根据算术平方根的意义得出结论，为归纳二次根式的性质2作铺垫．问题6 从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？师生活动：引导学生归纳得出二次根式的性质：〔≥0〕【设计意图】让学生经历从特殊到一般的过程，概括出二次根式的性质2，培养学生抽象概括的才能.例3 计算〔1〕〔2〕师生活动：学生独立完成，集体订正.【设计意图】稳固二次根式的性质2，学会灵敏运用.3．归纳代数式的概念问题7 回忆我们学过的式子，如 ___________〔≥0〕，这些式子有哪些共同特征？师生活动：学生概括式子的共同特征，得得出代数式的概念.【设计意图】学生通过观察式子的共同特征，形成代数式的概念，培养学生的概括才能.4．综合运用〔1〕算一算：【设计意图】设计有一定综合性的题目，考察学生的灵敏运用的才能，第〔2〕、〔3〕、〔4〕小题要特别注意结果的符号.〔2〕想一想：中，的取值范围是什么？当≥0时，等于多少？当时，又等于多少？【设计意图】通过此问题的设计，加深学生对的理解，开阔学生的视野，训练学生的思维.〔3〕谈一谈你对与的认识.【设计意图】加深学生对二次根式性质的理解.5．总结反思〔1〕你知道了二次根式的哪些性质？〔2〕运用二次根式性质进展化简需要注意什么？〔3〕请谈谈发现二次根式性质的考虑过程？〔4〕想一想，到如今为止，你学习了哪几类字母表示数得到的式子？说说你对代数式的认识．6．布置作业：教科书习题16.1第2，4题.二次根式教案篇2 活动1、提出问题一个运动场要修两块长方形草坪，第一块草坪的长是10米，宽是米，第二块草坪的长是20米，宽也是米。

第二■—章二次根式教材内容1.本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式.2.本单元在教材中的地位和作用：二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础.教学目标1.知识与技能(1)理解二次根式的概念.(2)理解石(aNO)是一个非负数，(石)2=a(aNO),=a(aNO).(3)掌握石•\[b=-fab(aNO,bNO),\[ab=y/a,4b；Ja[a,*、[a Ja,、、——(aNO,b>0),.—=—；=(aNO,b>0).4b\b\b(4)了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减.2.过程与方法(1)先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念.•再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简.(2)用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定，•并运用规定进行计算.(3)利用逆向思维，•得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化简.(4)通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，•给出最简二次根式的概念.利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的.3.情感、态度与价值观通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力.教学重点1.二次根式石(aNO)的内涵.4a(aNO)是一个非负数；(4a)2=a(a^0)；J/=a (aNO)•及其运用.2.二次根式乘除法的规定及其运用.3.最简二次根式的概念.4.二次根式的加减运算.教学难点1.对西(aNO)是一个非负数的理解；对等式(E)2=a (aNO)及妒=a(aNO)的理解及应用.2.二次根式的乘法、除法的条件限制.3.利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式.教学关键1.潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点.2.培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，•培养学生一丝不苟的科学精神.单元课时划分本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：21.1二次根式3课时21.2二次根式的乘法3课时21.3二次根式的加减3课时教学活动、习题课、小结2课时21.1二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用教学目标理解二次根式的概念，并利用石（a>0）的意义解答具体题目.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.教学重难点关键1.重点：形如、似（aNO）的式子叫做二次根式的概念；2.难点与关键：利用“石（aNO）”解决具体问题.教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：3问题1：已知反比例函数y=一,那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是•问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3,BC=1,ZC=90°,那么AB边的长是问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8,那么甲这次射击的方差是S2,那么S=.老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y,所以x-3.因为点在第一象限，所以x=如,所以所求点的坐标（右，也）.问题2：由勾股定理得AB=JI^问题3：由方差的概念得$=二、探索新知很明显后、面、R,都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式.因此，一般地，我们把形如石（aNO）•的式子叫做二次根式，“丁”称为二次根号.（学生活动）议一议：1.-1有算术平方根吗？2.0的算术平方根是多少？3.当a<0,有意义吗？老师点评：（略）例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：后裁、G（x>0）、a/04/2>-皿、—-—、Jx+y（xNO,y・NO）.x+y'分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“、厂”；第二，被开方数是正数或0.解：二次根式有：、/^、Vx（x>0）、而、-、万、Jx+y（xNO,yNO）；不是二次根式的有：也、->扼、」一.x x+y例2.当x是多少时，J3x-1在实数范围内有意义?分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0,所以3x-lN0,•J3x-1才能有意义.解：由3x-l》0,得：xN—3当x^-时，J3x-1在实数范围内有意义.3三、巩固练习教材P练习1、2、3.四、应用拓展例3.当x是多少时，V2x+3+—在实数范围内有意义？X+1分析：要使a/2x+3+—在实数范围内有意义，必须同时满足j2x+3中的NO和x+11〜心----中的x+1/O.X+12x+3>0解：依题意，得工+1/03由①得：X^--2由②得：xN-13_____]当xN-—且x尹-1时，j2x+3+----在实数范围内有意义.2x+1例4（1）已知y=j2-x+Jx-2+5,求三的值.（答案:2）y⑵若后I+序日=0,求/。

课题：21.1二次根式一、教学目标1.复习平方根的概念.2.经历从实际问题列二次根式的过程，知道什么是二次根式，会求二次根式有意义的条件.二、教学重点和难点1.重点：二次根式的概念.2..三、教学过程（一）复习旧知，导入新课师：从本节课开始，我们要学习新的一章——第二十一章二次根式（板书：第二十一章二次根式）.师：什么是二次根式？这得从平方根说起.师：初二的时候我们学过平方根，那么什么是平方根？（稍停）师：（板书：x2=5，并指准）x2=5，5是x的什么？（稍停）5是x的平方；反过来，x是5的什么？（稍停）x是5的平方根.师：（指准x2=5）x2=5，5是x的平方，x是5的平方根.大家按照老师的说法，自己说几遍.（生自己说）师：哪位同学来说一说？生：……（让一两名同学说）师：（指准x2=5）x2=5，x是5的平方根，那么5的平方根x等于什么呢？（板书：5的平方根x=）生：……（让一两名学生回答）师：x=师：（指准5，另一个是5的算术平方根.师：（指准板书）5的平方根是12的平方根是什么？生：（齐答）12的什么？12的算术平方根.师：上面我们复习的是正数的平方根，下面我们来看0的平方根.师：（板书：x2=0，并指准）x2=0，x等于什么？生：（齐答）x=0.（师板书：x=0）师：（指准板书）从x2=0得出x=0，这说明什么？（稍停）这说明0的平方根为0（板书：0的平方根为0）.师：我们还规定0的算术平方根为0.师：下面我们再来看负数有没有平方根.师：（板书：x2=-5，并指准）一个数的平方等于-5，这样的数有没有？（稍停）任何一个数的平方，或者大于0，或者等于0，不可能小于0，所以这样的数没有（板书：不存在）.这说明什么？（稍停）这说明-5没有平方根（板书：-5没有平方根）.师：（指板书）从上面的讨论，我们可以得出一个结论，什么结论？（稍停）正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.（二）试探练习，回授调节1.填空：(1)9的平方根是，9的算术平方根是；(2)6的平方根是，6的算术平方根是；(3)0的平方根是，0的算术平方根是 .2.用带根号的式子填空：(1)一个直角三角形的两条直角边的长分别是2和3，则斜边的长为；(2)面积为S的正方形的边长为；(3)跳水运动员从跳台跳下，他在空中的时间t（单位：秒）与跳台高度h（单位：米）满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t，则t= .（三）尝试指导，讲授新课（生报第2师：式子有什么共同的特点？生：……（问题的答案不是唯一的，鼓励学生发表自己的看法）师：（指准式子）是13S的算术平方根，h5的算术平方根.另一方面，从式子的式子）.师：a等于13a等于S a等于什么？生：（齐答）等于hS.的式子叫做二次根式（板书：叫做二次根式）.师：大家把二次根式的概念读两遍.（生读）师：下面我们来看一道例题.（师出示例题）例当x师：大家看一看这个题目，想一想怎么做这个题目.（生读题思考）师：x-2必须大于等于0.为什么被开方数x-2必须大于等于0？x-2的算术平方根，而负数没有平方根，所以被开方数x-2必须大于等于0.（以下师边讲解边板书，解题过程如下）解：由x-2≥0，得x≥2.当x≥2.（四）试探练习，回授调节3.填空：(1)当a 时，有意义；(2)当x 时，.24.选做题：当x 时，有意义；当x 时，有意义.（五）归纳小结，布置作业师：本节课我们首先复习了平方根的概念，然后学习了什么是二次根式.（指准板的式子叫做二次根式，这里的a必须大于等于0（板书：其中a≥0）.（作业：P5习题1，P3练习2）四、板书设计课题：21.1二次根式（第2课时）一、教学目标1.经历探究过程，知道并会简单运用二次根式的基本性质.2.培养探究能力和归纳表达能力.二、教学重点和难点1.重点：二次根式的基本性质.2.难点：二次根式基本性质的探究.三、教学过程（一）创设情境，导入新课师：上节课我们学习了二次根式的概念，什么样的式子是二次根式？（师出示下面的板书）（a≥0）的式子叫做二次根式.师：的式子叫做二次根式，这里的被开方数a必须大于等于0.譬如，是二次根式，.师：明确了二次根式的概念，本节课我们要学习什么？本节课我们要学习二次根式的性质（板书：二次根式的性质）.（二）尝试指导，讲授新课师：二次根式有什么性质？二次根式有三个性质，我们先来看第一个性质.（师出示下面的板书）性质1（a≥0）是一个非负数.师：（指准板书）性质1.＞0，所数；.表示a的算术平方根，而a的算术平方根总是大于等于0是一个非负数.师：下面我们来看二次根式的第二个性质.师：，2等于什么？生：等于3.（直到有学生猜出这个答案，师板书：=3）师：（指式子）2=3，为什么？（稍停）（师出示下图）面积＝3师：（指准图）这是一个正方形，这个正方形的面积为3，那么它的边长等于什么？.（多让几名同学回答，然后师在图上板书：边长）师： 3.的平方等于什么？生：……（多让几名同学回答）师：3，可见，2=3.师：（板书：2=）利用同样的办法，我们可以得到2等于什么？生：（齐答）等于8.（生答师板书：8）师：（板书：2=）利用同样的办法，我们可以得到2等于什么？生：（齐答）等于a.（生答师板书：a ）师：（指式子）2=a ，这就是二次根式的第二个性质（板书：性质2）.师：（指准式子）这里的a 是被开方数，所以a 必须大于等于0（板书：(a ≥0)）. 师：下面我们利用性质2来做几个题目. （师出示例1） 例1 计算：(1)2； (2)(2.（师边讲边解板书，解题过程如课本第4页所示） （三）试探练习，回授调节 1.计算：(1)2= (2)2=(3)2= (4)(2=(5)(2=（四）尝试指导，讲授新课师：前面我们学习了二次根式的性质1和性质2，下面我们学习性质3.师：）生：等于2.1.（直到有学生猜出这个答案，师板书：2.1）师：=2.1，为什么？（稍停）（师出示下图）面积＝2.12师：（指准图）这是一个正方形，这个正方形的面积为2.12，那么它的边长等于什么？生：边长等于2.1.（多让几名同学回答，然后师在图上板书：边长=2.1）师：（指准图）我们知道，正方形面积的算术平方根等于边长，师：生：（齐答）等于6.（生答师板书：6）师：生：（齐答）等于a.（生答师板书：a ）师：，这就是二次根式的第三个性质（板书：性质3）师：（指准右边的a ）这里的a 是a 2的算术平方根，所以a ≥0（边讲边板书：（a ≥0））.师：学习了二次根式的性质2和性质3，有的同学觉得性质2和性质3好像是一样的.性质2和性质3是一样的吗？（稍停）师：（指准板书）性质2和性质3这两个等式的右边是一样的，而且a 都必须大于等于0，但性质2和性质3的左边是不一样的，大家仔细看一看，性质2的左边是什么，性质3的左边又是什么.（让生观察一会儿）师：（指准式子）谁来说说这两个等式的左边有什么不同？ 生：……（多让几名同学说，要鼓励学生用自己的语言来表述）师：（指准2）这个式子表示什么？表示a 的算术平方根的平方，这个式子表示什么？表示a 2的算术平方根.a 的算术平方根的平方和a 2的算术平方根的意思是不一样的.师：下面我们利用性质来做几个题目. （师出示例2） 例2 化简：； （师边讲解边板书，解题过程如课本第5页所示） （五）试探练习，回授调节 2.化简：=3.直接写出结果：(1)2=(2=（六）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了什么？（稍停）我们学习了二次根式的三个性质.大家把这三个性质再看一遍.（生默读）（作业：P 5习题2.4.） 四、板书设计. ).课题：21.1二次根式（第3课时）一、教学目标1.通过基本训练，复习巩固二次根式的概念和性质.2.了解代数式的概念，会用代数式表示实际问题中的某一个量.二、教学重点和难点1.重点：用代数式表示实际问题中的某一个量.2.难点：用代数式表示实际问题中的某一个量.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空：(1)形如 (a≥0)的式子叫做二次根式.(2)二次根式的三个性质是：性质1（a≥0）是一个数；性质2：2= (a≥0)；性质3= (a≥0).2.直接写出结果：2=(3)(23.判断正误：对的画“√”，错的画“×”.(1)2=7；（）；（）(3)2=-7；（）(4)(2=7；（）(5)2-=7；（）；（）；（）. （ ）（二）尝试指导，讲授新课师：到现在我们已经学习了好几种式子，我们学习了整式（板书：整式）、分式（板书：分式）、二次根式（板书：二次根式）.师：什么样的式子是整式？（边讲边板书：3，2a ，3+2a ）3是一个整式，2a 是一个整式，3+2a 也是一个整式.师：什么样的式子是分式？（边讲边板书：32a ，2a 3+2a ）32a 是一个分式，2a3+2a也是一个分式.师：什么样的式子是二次根式？（边讲边板书：是一个二次根也是一个二次根式. 师：整式、分式、二次根式都可以叫做代数式（连线并板书：代数式，如板书设计所示）.师：除了整式、分式、二次根式是代数式，由整式、分式、二次根式混合组成的式子也是代数式（连线并板书：混合式，如板书设计所示）.师：（板书：，并指准）譬如，2a式，把这两个式子加起来，得到2a+，.师：（板书：32a32a32a是一个二次根式，把这两个式子乘起来，得到32a32a.师：（指准板书）到现在为止，我们学过的代数式包括整式、分式、二次根式，以及由这三种式子混合组成的式子.师：下面我们来看一个列代数式的例子. （师出示例题）例 一个矩形的面积为S ，长宽之比为3:2，用代数式表示这个矩形的长和宽. （先让生读题，然后师边讲解边板书，解题过程如下）解：设这个矩形的长为3x，宽为2x.根据题意列方程得 3x·2x=S，整理得 x2=S6，∴∴这个矩形的长为（三）试探练习，回授调节4.用代数式表示：面积为S的圆的半径为 .5.一个矩形的面积为60，长宽之比为5:2，求这个矩形的长和宽.（四）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了代数式的概念.（指准板书）到目前为止，我们学过的代数式包括整式、分式、二次根式，以及由这三种式子混合组成的式子.（作业：P6习题5.6.）四、板书设计。

第21章二次根式21.1 二次根式※教学目标※【知识与技能】1.了解二次根式的定义.￿2.会求二次根式被开方数中字母的取值范围.￿3.会利用二次根式的非负性解题.￿4.理解二次根式的基本性质：,并能利用它们进行化简或计算.【过程与方法】1.经历观察、比较，总结二次根式的定义，培养学生的归纳能力.￿2.通过对二次根式性质的探究，提高数学探究能力和归纳能力.￿【情感态度】经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用意识.￿【教学重点】二次根式的概念，二次根式性质的应用.￿【教学难点】1.利用二次根式的非负性解决具体问题.￿2.二次根式性质的应用.￿￿※教学过程※一、复习引入1.什么是平方根、算术平方根？￿2.你能举出几个这样的代数式，并说明其意义吗？￿【教学说明】教师鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评，引出新课.￿二、探索新知1.二次根式的概念￿（1）引导学生概括二次根式的定义：像这样表示的算术平方根，且根号内含字母的代数式大于等于0，这样的式子叫做二次根式.为了方便，我们把一个数的算术平方根也叫做二次根式.因此我们把形如的式子叫做二次根式.￿￿(2)思考：根据你已有知识，说说你对二次根式的认识.（学生分组讨论、回答，最后教师总结）￿①表示a的算术平方根；②a可以是数，也可以是代数式；③从形式上含有二次根号；≥0；⑤表示开平方运算，也可表示运算结果.￿￿【例1】下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？￿分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号；第二，被开方数是正数或0.￿解：二次根式有：;不是二次根式的有：.￿￿交流归纳：从形式上看，一个代数式是二次根式必须具备以下两个条件：（1）必须有二次根号；（2）被开方数不能小于0.￿【例2】x是怎样的实数时，二次根式有意义？￿￿分析：要使二次根式有意义，被开方数必须是非负数.￿解：被开方数x-1≥0,即x≥1.所以，当x≥1时，二次根式有意义.￿￿交流归纳：由于二次根式的被开方数只能取非负值，因此二次根式要有意义就必须满足被开方数大于等于0，因此求二次根式被开方数中字母取值范围可列不等式求解.￿2.二次根式的性质：的探究￿￿（1）做一做：根据算术平方根的意义填空:￿（2）思考：根据上面的计算，你得出了什么结论？￿学生讨论，得出结论：.￿【例3】计算：￿分析：我们可以直接利用的结论解题.￿解：￿3.二次根式的性质的探究￿（1）做一做：根据算术平方根的意义填空：￿(2)根据上面的计算你得出了什么结论？￿学生讨论得出：一般地，(3)思考：当a<0时，还成立吗？￿￿学生小组讨论，教师举反例说明结论不成立，最后得出结论：(4)通过上面的学习，你认为等于多少？￿得出：￿【例4】化简：分析：因为所以都可运用￿去化简.￿￿解：三、巩固练习1.计算：￿2.计算：3.4.￿x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？￿5.当x是多少时，在实数范围内有意义？￿￿6.已知的值.￿￿答案：￿四、应用拓展【例5】已知2￿<x<3,化简：￿分析：先由,再判断(x-2)与(x-3)的正负，进而去掉绝对值符号，并合并同类项.￿￿解：∵￿2<x<3,∴x-2>0,x-3<0,∴原式=￿.五、归纳小结1.式子叫做二次根式，实质是一个非负实数的算术平方根的表达式.￿2.式子中，被开方数（式）必须大于等于零.￿￿3.求二次根式中字母取值范围的方法：￿（1）观察配方法;￿（2）列不等式或不等式组求解.4.区分※课后作业※教材习题21.1第1、2题.￿。

21.1二次根式（1）学案学习目标：1.了解二次根式的意义；2.掌握二次根式的基本性质，并会用二次根式的性质进行简单的二次根式的化简；3.会判断二次根式，能求简单的二次根式中字母的取值范围。

学习重点：二次根式的概念及意义。

学习难点：二次根式的判断与字母取值范围的确定。

学习过程：一、温故互查1.什么叫平方根？2.什么叫算数平方根？3.（算数）平方根的性质4.16平方根式是二、设问导学阅读课本2-3页，完成下列问题在课本P2思考框的问题中，结果分别是，结果都分别是表示65，S，2，5h 的.我们知道：一个正数有两个平方根，它们；0的平方根是；在实数范围内，数没有平方根。

因此，开平方时，被开方数只能是.【归纳】一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做，“”称为．【注意】二次根式应满足两个条件：1.形式．．上必须是a的形式；2.被开方数必须是. 三、自我检测例1. 当x是怎样的实数时，2-x在实数范围内有意义？2.当a<0时，a有意义吗？【归纳】a的双重非负性：1. a≥0 ; 2.a≥0四、巩固训练1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x（x>0）、0、42、-2、1 x y+、x y+（x≥0，y•≥0）．2.当x是多少时，x35-在实数范围内有意义？【课本练习】Р3 #1 #2五、拓展提升1.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1）48-+xx（2）2x（3）3x2.（1）已知y=2x-+2x-+5，求xy的值．（2）若1a++1b-=0，求a2012+b2012的值．六、小结评价1.请你说说对二次根式的认识？（口述给组长）2. 小组对你这节课表现进行评价：（较好；好；一般；差；较差）组长：21.1二次根式（2） 学案学习目标：1.理解二次根式的性质，能运用二次根式的性质进行二次根式的运算和化简；2.经历探索（a ）2=a （a ≥0）的过程，培养分类的数学思想。

二次根式教案关于二次根式教案六篇作为一名老师，很有必要精心设计一份教案，教案是保证教学取得成功、提高教学质量的基本条件。

那么你有了解过教案吗？下面是小编帮大家整理的二次根式教案6篇，仅供参考，欢迎大家阅读。

二次根式教案篇1一、教学目标1。

使学生知道什么是最简二次根式，遇到实际式子能够判断是不是最简二次根式。

2。

使学生掌握化简一个二次根式成最简二次根式的方法。

3。

使学生了解把二次根式化简成最简二次根式在实际问题中的应用。

二、教学重点和难点1。

重点：能够把所给的二次根式，化成最简二次根式。

2。

难点：正确运用化一个二次根式成为最简二次根式的方法。

三、教学方法通过实际运算的例子，引出最简二次根式的概念，再通过解题实践，总结归纳化简二次根式的方法。

四、教学手段利用投影仪。

五、教学过程（一）引入新课提出问题：如果一个正方形的面积是0。

5m2，那么它的边长是多少？能不能求出它的近似值？了。

这样会给解决实际问题带来方便。

（二）新课由以上例子可以看出，遇到一个二次根式将它化简，为解决问题创这两个二次根式化简前后有什么不同，这里要引导学生从两个方面考虑，一方面是被开方数的因数化简后是否是整数了，另一方面被开方数中还有没有开得尽方的因数。

总结满足什么样的条件是最简二次根式。

即：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：1。

被开方数的因数是整数，因式是整式。

2。

被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

例1 指出下列根式中的最简二次根式，并说明为什么。

分析：说明：这里可以向学生说明，前面两小节化简二次根式，就是要求化成最简二次根式。

前面二次根式的运算结果也都是最简二次根式。

例2 把下列各式化成最简二次根式：说明：引导学生观察例2题中二次根式的特点，即被开方数是整式或整数，再启发学生总结这类题化简的方法，先将被开方数或被开方式分解因数或分解因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来，从而将式子化简。

例3 把下列各式化简成最简二次根式：说明：1。

二次根式教案【必备7篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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21.1 二次根式(3)教学内容＝a（a≥0）教学目标理解=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．通过具体数据的解答，探究=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键1．重点：＝a（a≥0）．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a≥0时，＝a才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式；2．（a≥0）是一个非负数；3．()2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0时，=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：=_______；；=________． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：=2=0.01110=23；=0=37．例1 化简（1） （2（3） （4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，所以都可运用=a （a ≥0）•去化简．解：（1）==3 （2（3）==5 （4 三、巩固练习教材P 7练习2．四、应用拓展例2 填空：当a ≥0时，=_____；当a<0时，=_______，•并根据这一性质回答下列问题．（1）若=a ，则a 可以是什么数？（2）若=-a ，则a 可以是什么数？（3）>a ，则a 可以是什么数？分析：∵=a （a ≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0时，-a≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知=│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1）因为=a，所以a≥0；（2）因为=-a，所以a≤0；（3）因为当a≥0时=a，要使>a，即使a>a所以a不存在；当a<0时，=-a，要使>a，即使-a>a，a<0综上，a<0例3当x>2分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：=a（a≥0）及其运用，同时理解当a<0时，＝－a的应用拓展．六、布置作业1．教材P5习题16．1 3、4、6、8．2．选作课时作业设计．。

华东师范大学出版社九年级上册第21章第一节
21.1.1二次根式（第1课时）教学设计
一、教材分析
1、地位作用：本章主要内容是初中代数运算的基础内容，在整个中学代数中起承上启下的重要作用，内容有两部分，它们是二次根式的有关概念、性质和二次根式的四则运算。

本章的第一部分是二次根式的有关概念、性质。

它是把前面学习的实数写成式子进行运算，体现了由特殊到一般的数学思想，同时二次根式的概念和性质又是今后学习根式运算、函数的知识储备.
2．对象分析
（1）学生是乡镇普通初中九年级的学生，班级学生学习方面存在一定的差异；但学生对数学抱有浓厚的兴趣。

（2）学生在前面已学习了平方根，基本上掌握了平方根。

3．环境分析
（1）教师自制多媒体课件。

（2）上课环境为多媒体教室。

二、教学目标：
知识技能：积极参与构建二次根式的概念、探究二次根式的特征与性质的活动，在活动中体验成功的喜悦．
过程与方法：(1)了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。

(2) 掌握二次根式有意义的条件。

(3) 掌握二次根式的基本性质：)0
a
≥a
(0≥
情感、态度、价值观：通过计算、观察、类比、归纳、猜想，探索二次根式的概念、
性质的发生过程；发展学生合情推理能力和演绎推理能力.
三、教学重点、难点
教学重点：掌握二次根式的有关概念、性质；能熟练地运用二次根式的有关概念、
性质进行计算，并能利用它解决简单的实际问题.
教学难点：能熟练地运用二次根式的有关概念、性质进行计算，并能利用它解决简单的实际问题.
教学重点、难点突破方法：通过类比平方根和算术平方根的有关概念、性质突破难点
四、教学过程。

21． 1二次根式第一课时教课内容二次根式的观点及其运用 教课目的理解二次根式的观点，并利用a （ a ≥ 0）的意义解答详细题目．提出问题，依据问题给出观点，应用观点解决实质问题． 教课重难点要点 1．要点：形如a （ a ≥0）的式子叫做二次根式的观点；2．难点与要点：利用“ a （ a ≥ 0）”解决详细问题．教课过程 一、复习引入（学生活动）请同学们独立达成以下三个问题：1 ： 已知 反 比 例 函 数 y= 3， 那 么 它 的图 象 在 第 一 象 限 横 、 ? 纵 坐 标 相 等的 点 的坐 标 是 x___________ ．b5E2RGbCAP问题 2：如图，在直角三角形 ABC 中，AC=3 ，BC=1 ，∠ C=90°，那么 AB 边的长是 __________ ．p1EanqFDPwAB C问题 3：甲射击 6 次，各次击中的环数以下：8、 7、 9、 9、 7、 8，那么甲此次射击的方差是 S 2，那么S=_________ ． DXDiTa9E3d老师评论：问题 1：横、纵坐标相等， 即 x=y ，所以 x 2 =3．由于点在第一象限， 所以 x=3 ，所以所求点的坐标 （ 3 ，3 ）．问题 2：由勾股定理得AB= 10问题 3：由方差的观点得4S=.6二、研究新知很显然 3、 10、4，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就6把它称二次根式．所以，一般地，我们把形如 a （ a ≥ 0 ） ?的式子叫做二次根式， “”称为二次根号． RTCrpUDGiT（学生活动）议一议：1． -1 有算术平方根吗？ 2． 0 的算术平方根是多少？ 3．当 a<0， a 存心义吗？老师评论 :（略）例 1．以下式子， 哪些是二次根式， 哪些不是二次根式：2 、 33 、 1、 x （ x>0）、 0、4 2、-2 、x1 、 x y （ x ≥ 0，y?≥ 0）．x y剖析 ：二次根式应知足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或 0．解：二次根式有： 2 、 x （ x>0 ）、 0 、- 2 、 x y （ x ≥ 0，y ≥ 0）；不是二次根式的有： 3 3 、1、42、1 ．xx y例 2．当 x 是多少时，3x 1 在实数范围内存心义？剖析 ：由二次根式的定义可知，被开方数必定要大于或等于0，所以 3x-1 ≥0， ? 3x1 才能存心义．1解：由 3x-1 ≥ 0，得： x ≥1时，3当 x ≥3x 1 在实数范围内存心义．3三、稳固练习教材 P 练习 1、2、3． 四、应用拓展例 3．当 x 是多少时，2x 3 +1 在实数范围内存心义？x 1剖析 ：要使2x 3 +1在实数范围内存心义， 一定同时知足2x3中的≥0和 1中的 x+1≠0．x1 x12x 3 0解：依题意，得1x3由①得： x ≥ -2由②得： x ≠ -1当 x ≥- 3 且 x ≠ -1 时，2x 3 +1 在实数范围内存心义．2x 1例 4(1)已知 y=2 x + x 2 +5 ，求 x的值． ( 答案 :2)y(2) 若a 1 + b20042004的值． (答案 :2 1 =0 ，求 a +b)5五、概括小结 （学生活动，老师评论） 本节课要掌握：1．形如a （ a ≥ 0）的式子叫做二次根式， “”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内存心义，一定知足被开方数是非负数． 六、部署作业1．教材 P 8 复习稳固 1、综合应用 5． 2．采用课时作业设计． 3.课后作业 :《同步训练》第一课时作业设计 一、选择题1．以下式子中，是二次根式的是（）A ．- 7B ．37C ． xD ． x2．以下式子中，不是二次根式的是（ ）A ． 4B ． 16C ． 81 D ． x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）A ．5B ． 5C ．1D ．以上皆不对5二、填空题1．形如 ________的式子叫做二次根式．2．面积为 a 的正方形的边长为 ________． 3．负数 ________平方根． 三、综合提升题1．某工厂要制作一批体积为1m 3 的产品包装盒，其高为，按设计需要， ?底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？5PCzVD7HxA2．当 x 是多少时， 2x 3 +x 2在实数范围内存心义？x3．若 3 x + x 3 存心义，则x 2 =_______．4.使式子 ( x 5) 2 存心义的未知数 x 有（ ）个．A ． 0B ．1C ． 2D ．无数5.已知 a、 b 为实数，且 a 5 +2102a =b+4，求a、b的值．第一课时作业设计答案:一、1．A 2．D 3．B二、 1． a （a≥0）2． a 3．没有三、 1．设底面边长为x，则2，解答： x= 5 ．=12x 3 0 ，x 32．依题意得： 2x 0x 0∴当 x>- 3且 x≠0 时，2x 3＋x2在实数范围内没存心义．2x13.34． B5． a=5， b=-4二次根式(2)第二课时教课内容1．a（ a≥ 0）是一个非负数；2．（a）2=a（ a≥0）．教课目的理解 a （a≥0）是一个非负数和（ a ）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．经过复习二次根式的观点，用逻辑推理的方法推出 a （a≥0）是一个非负数，用详细数据联合算术平方根的意义导出（ a ）2=a（a≥0）；最后运用结论谨慎解题．jLBHrnAILg教课重难点要点1．要点： a （a≥0）是一个非负数；（ a ）2=a（a≥0）及其运用．2．难点、要点：用分类思想的方法导出 a （a≥0）是一个非负数；?用研究的方法导出（ a ）2=a （ a≥ 0）．教课过程一、复习引入（学生活动）口答1．什么叫二次根式？2．当 a≥ 0 时， a 叫什么？当a<0 时， a 存心义吗？老师评论（略）．二、研究新知议一议：（学生疏组议论，发问解答）a（ a≥ 0）是一个什么数呢？老师评论：依据学生议论和上边的练习，我们能够得出a（ a≥ 0）是一个非负数．做一做：依据算术平方根的意义填空：（ 4 ）2=_______ ；（ 2 ）2=_______；（9 ）2=______；（3 ）2=_______；（1 2 7 2 23 ） =______；（ 2 ） =_______ ；（0 ）=_______．老师评论： 4 是4的算术平方根，依据算术平方根的意义， 4 是一个平方等于 4 的非负数，所以有（ 4 ）2=4．同理可得：（ 2 2，（9 ）232 1）2 1，（7 2 7，（02，所以）=2 =9，（） =3，（3 = 3 2 ） = 2 ） =0（ a ）2=a（a≥0）例 1 计算1．（3） 2 2．（3 5）2 3．（5） 2 4．（7） 2 2 6 2剖析：我们能够直接利用（ a ）2=a（a≥0）的结论解题．解：（3）2=3，（3 5 ）2 =3 2·（ 5 ）2=32· 5=45，2 2（5 2=5，（7 2=( 7) 2 7．）6 2）22 4 6三、稳固练习计算以下各式的值：（ 18）2 （2） 2 （9 ）2 （ 0）2 （47） 2 3 4 8(3 5) 2 (5 3) 2四、应用拓展例 2 计算1．（x 1 ）2（x≥0）2．（a2）2 3．（a2 2a 1 ）24．（4x2 12 x9 ）2剖析：（ 1）由于 x≥ 0，所以 x+1>0 ；（ 2） a2≥ 0；（ 3） a2+2a+1= （ a+1）≥ 0；（4）4x 2-12x+9= （ 2x）2-2· 2x· 3+32=（ 2x-3 ）2≥ 0．2所以上边的 4 题都能够运用（ a ）=a（a≥0）的重要结论解题．解：（1）由于 x≥ 0，所以 x+1>0（x1）2=x+1（ 2）∵ a2≥ 0，∴（a2）2=a22 2（3）∵ a +2a+1= （ a+1）又∵（ a+1）2≥ 0，∴ a2+2a+1≥0 ，∴a22a 1 =a2+2a+1（4）∵ 4x2-12x+9= （2x）2-2· 2x·3+3 2=（ 2x-3 ）2又∵（ 2x-3 ）2≥ 0∴ 4x2-12x+9 ≥ 0，∴（4x2 12x 9 ）2=4x2-12x+9例 3 在实数范围内分解以下因式:（ 1）x2-3 （2） x4-4 (3) 2x 2-3剖析：(略)五、概括小结本节课应掌握：1． a （a≥0）是一个非负数；2．（ a ）2=a（a≥0）;反之:a=（a ）2（a≥0）．六、部署作业1．教材 P8复习稳固2．（ 1）、（ 2）P97．2．采用课时作业设计．3.课后作业 :《同步训练》第二课时作业设计一、选择题1．以下各式中15、3a 、 b2 1 、a2 b2、 m2 20 、144 ，二次根式的个数是（）．A ． 4B ．3 C． 2 D ．12．数 a 没有算术平方根，则 a 的取值范围是（）．A ． a>0B ．a≥ 0 C． a<0 D． a=0二、填空题1．（ -3 ） 2=________ ．2．已知x 1 存心义，那么是一个_______数．三、综合提升题 1．计算（ 1）（ 9 ）2（2）-（ 3 ）2（3）（16 ）2（ 4）（- 32） 223(5)(23 32)(23 32)2．把以下非负数写成一个数的平方的形式 :（ 1）5（2）1（ 4） x （x ≥ 0）（ 3）63．已知x y 1 +x 3 =0，求 x y 的值． 4．在实数范围内分解以下因式 :（ 1）x 2- 2（2） x 4-9 3x2-5第二课时作业设计答案 :一、1．B 2． C二、1．32．非负数三、 1．（ 1）（ 9 ） 2（2）-（ 21 621 3 =93） =-3（ 3）（） =4×6=22（4）（- 32）2=9× 2 =6 (5)-6332．（ 1） 5=（ 5 ）2 （ 2） 3.4=（ 3.4 ）2（3） 1=（1 ）2 （ 4） x=（ x ） 2（ x ≥ 0）66x y 1 0 x 3 x y =34=813．3 0y4 x4.（ 1） x 2- 2=（ x+2 ）（ x- 2 ）（ 2） x 4- 9=（ x 2+3 ）（x 2- 3） =（ x 2+3 ）（x+ 3 ）（ x- 3 ）(3)略二次根式 (3)第三课时教课内容a 2 ＝ a （ a ≥ 0）教课目的理解a 2 =a （ a ≥ 0）并利用它进行计算和化简．经过详细数据的解答，研究a 2 =a （ a ≥0），并利用这个结论解决详细问题．教课重难点要点1．要点：a 2 ＝ a （a ≥ 0）．2．难点：研究结论．3．要点：讲清 a ≥ 0 时， a 2 ＝ a 才建立．教课过程 一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1．形如a （ a ≥ 0）的式子叫做二次根式；2． a （ a ≥ 0）是一个非负数；3． ( a )2 ＝a （ a ≥ 0）．那么，我们猜想当a ≥0 时，a 2 =a 能否也建立呢？下边我们就来研究这个问题．二、研究新知 （学生活动）填空：22=_______ ； 2 =_______ ；( 1 )2 =______；10( 2 )2 =________ ； 02 =________ ； ( 3) 2 =_______ ． 3 7（老师评论）：依据算术平方根的意义，我们能够获得：22 =2；2； ( 1) 2= 1 ； (2)2= 2 ； 02=0； ( 3)2= 3 ．10 10 3 3 7 7所以，一般地：a2 =a （ a≥ 0）例 1 化简（）9 （） (4)2 （）25（） (3)21 2 3 4剖析：由于（ 1） 9=-3 2，（ 2）（ -4）2=42，（ 3） 25=52，（ 4）（ -3）2=32，所以都可运用a2 =a（ a≥ 0） ?去化简．解：（ 1）9 = 32=3（2）( 4)2 = 42=4（3）25 = 52 =5 （4）( 3)2= 32 =3三、稳固练习教材 P7练习 2．四、应用拓展例 2填空：当a≥ 0 时，a2=_____；当a<0时，a2=_______，?并依据这一性质回答以下问题．（1）若a2 =a，则 a 能够是什么数？（2）若a2 =-a ，则 a 能够是什么数？（3）a2 >a，则 a 能够是什么数？剖析：∵ a2 =a（a≥ 0），∴要填第一个空格能够依据这个结论，第二空格就不可以，应变形，使“（）2 ”中的数是正数，由于，当a≤0 时，22xHAQX74J0X ( a) ，那么≥ ．a = -a 0（ 1）依据结论求条件；（ 2）依据第二个填空的剖析，逆向思想；（ 3）依据（ 1）、（ 2）可知a2 =│ a │，而│ a│要大于 a，只有什么时候才能保证呢？a<0．LDAYtRyKfE解：（1）由于a2=a，所以a≥0；（ 2）由于a2 =-a ，所以 a≤ 0；（ 3）由于当 a≥ 0 时a2 =a，要使a2 >a，即便 a>a 所以 a 不存在；当 a<0 时，a2 =-a ，要使a2 >a，即便 -a>a ，a<0 综上， a<0Zzz6ZB2Ltk例 3 当 x>2，化简(x 2) 2 - (1 2x)2 ．剖析：( 略)五、概括小结本节课应掌握：a2 =a（ a≥ 0）及其运用，同时理解当a<0 时，a2 ＝－ a 的应用拓展．六、部署作业1．教材 P8习题 21． 13、 4、 6、 8．2．选作课时作业设计．3.课后作业 :《同步训练》第三课时作业设计一、选择题1．(2 1)2 ( 2 1)2 的值是（）．3 3A ． 02C． 42D ．以上都不对B．332 ． a≥0 时，a2 、( a)2 、 - a2 ，比较它们的结果，下边四个选项中正确的选项是（）．A ． a2 = ( a)2 ≥ - a2B ．a2 > ( a)2 >- a2C ．a2 < ( a)2 <- a2D ．- a2 > a2 = ( a)2二、填空题1 ． - 0.0004 =________．2．若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是 ________．三、综合提升题1．先化简再求值：当a=9 时，求 a+ 1 2a a2的值，甲乙两人的解答以下：甲的解答为：原式 =a+ (1 a) 2 =a+（ 1-a ） =1；乙的解答为：原式 =a+ (1 a) 2 =a+（ a-1 ） =2a-1=1 7．两种解答中， _______的解答是错误的，错误的原由是__________．2．若│ 1995-a │ + a 2000 =a，求a- 19952的值．（提示：先由a-200 0≥ 0，判断1995-a? 的值是正数仍是负数，去掉绝对值）3. 若-3 ≤ x≤ 2 时，试化简│ x-2 │+ (x 3)2 + x2 10x 25 。

华师大版2020-2021年九年级数学上册导学案第21章二次根式21.1 二次根式学习目标：1.理解二次根式的概念（重点）；2.掌握二次根式有意义的条件（重点）；3.掌握二次根式的两个性质：()()220,a a a a a=≥=（重点）；4.会利用二次根式的非负性解决相关问题（难点）.自主学习一、知识链接1.什么叫做平方根？2.什么叫做算术平方根？什么数有算术平方根？二、新知预习1. 用带根号的式子填空:(1)如图①是一张郑州“二七纪念塔”的照片，形状为正方形.若其面积为2dm2,则它的边长为dm；若其面积为S dm2，则它的边长为__ __ dm．(2)如图②的海报为长方形，若宽是长的2倍，面积为6m2，则它的长为__ __m．(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h =5t2，如果用含有h 的式子表示t ，那么t=__ __．图①图②合作探究一、探究过程探究点1：二次根式的意义及有意义的条件 问题1：2,,3,5hS问题2： 这些式子有什么共同特征？【要点归纳】把形如 (a ≥0)的式子叫做二次根式. ”称为_______.【典例精析】例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？))23(1)32;(2)6;(3)12;-0(5),;(6)1;(7) 5.m m xy x y a -+≤；异号【方法总结】判断式子是否为二次根式时，抓住二次根式的两个必备特征：”；②内在特征：被开方数a ≥0.例2 (教材P2例题变式题)当x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？311x x +-（）；【方法总结】要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母或二次根式为的被开方数为分式时，应同时考虑分母不为零.【针对训练】1.下列各式)2233;5;;112721a x x x x --++≥；;一定是二次根式的个数为( )A.3B.4C.5D.6 2.(1)12x -x 的取值范围是___ ____;(2)若式子12x x -x 的取值范围是_____ _____.探究点2：()()20a a ≥的性质【典例精析】例3 计算：2237(1);(2).54⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【要点归纳】()2a (0)a a =≥.【针对训练】计算：22(1)(5)(2)(22). ；探究点3：2a 的性质议一议:下面根据算术平方根的意义填空，你有什么发现？ 1.计算：=24 ;=22.0 ;=2)54( ; =220 .观察其结果与根号内幂的底数的关系，归纳得到：当=>2,0a a 时 .2.计算：=-2)4( ;=-2)2.0( ;=-2)54( 54;=-2)20( .观察其结果与根号内幂的底数的关系，归纳得到：当=<2,0a a 时 . 3.计算：=20 ;当==2,0a a 时 .【要点归纳】将上面得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：，即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.探究点4：二次根式的双重非负性问题1：当x 2x 3x问题2a a 的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？【要点归纳】二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.a （1）a 为被开方数，为保证其有意义，可知a ______0； （2a a __ __0.【典例精析】例4 若223(4)0a b c ---=，求a -b +c 的值.【方法总结】多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.例5 已知y 338x x --+,求3x +2y 的算术平方根.【方法总结】若y a a b =-，则根据被开方数大于等于0，可得a =0.【针对训练】已知|3x-y-1|和 24x y +-x+4y 的平方根．二、课堂小结二次根式的概念 一般地，我们把形如()0a a ≥的式子叫作___________. “”称为二次根号，根指数为_____,可省略. 二次根式有意义的条件被开方数（式）为_________,即a 有意义 a ≥0.二次根式的性质1 一个非负数的算术平方根的平方等于它________，即()()20.a a a =≥二次根式的性质2一个数的平方的算术平方根等于它的_____,即()()200.a a a a a a ≥⎧⎪==⎨-⎪⎩，＜二次根式的非负性双重非负性：0,0.a a ≥≥当堂检测1.下列式子中，不属于二次根式的是（ ） C D a 21A.5B..-7.22.式子36x -有意义的条件是 （ ） A.x ＞2 B.x ≥2 C.x ＜2 D.x ≤2 3. 化简：B.（1）9＝_______ ; （2）2(4)-＝_______;C.（3）()27______-=_____; （4）()281______=_______.4.当x =____时，二次根式1x +取最小值，其最小值为____．5.实数a 在数轴上的位置如图所示，化简22(1)a a -+-的结果是________.6.利用a ＝2()a （a ≥0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：(1) 9；(2)5；(3)2.5；(4)0.25；(5)12；(6)0 . 拓展提升 7. 若二次根式222m m m ---有意义，求m 的取值范围．参考答案自主学习 一、知识链接1. 解：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根.2. 解：若一个非负数的平方等于a ，即x ²=a (a≥0)，则这个数x 叫做a 的算术平方根.非负数才有算术平方根. 二、新知预习1. (1) 2 S （2）3（3）5h 合作探究 一、探究过程 探究点1：问题1： 解：分别表示2，S ,3,5h的算数平方根. 问题2： 解：①根指数都为2,；②被开方数为非负数. 【要点归纳】a 二次根式 【典例精析】例1 解：（1）（4）（6）是二次根式，（2）（3）（5）（7）不是二次根式. 例2 解：（1）x ＞1. （2）x ≥-3且x ≠1.【针对训练】1. B2.(1) x ≥1 (2) _x ≥0且x ≠2 探究点2：()()20a a ≥的性质 【典例精析】 例3 解：（1）原式=35. （2）原式=47. 【针对训练】解：（1）原式=5 . （2）原式=8. 探究点3：2a 的性质 议一议: 1. 4 0.2 5420 a 2. 4 0.2 5420 -a 3. 0 a【要点归纳】a -a探究点4：二次根式的双重非负性 问题1：解：x 均可取任意实数 .问题2：解：a ≥0，被开方的数大于等于0 【要点归纳】≥ ≥ 【典例精析】例4 解：由题意得a -2=0,b -3=0,c -4=0，∴a =2，b =3，c =4.则a -b +c =3.例5 解： ∵x -3≥0，3-x ≥0，∴x =3，y =8.∴3x +2y =25,∴3x +2y 的算术平方根为5. 【针对训练】解：∵|3x -y -124x y +-0，∴⎩⎨⎧=+=0,4-y 2x 0,1-y -3x 解得x 1,y 2.=⎧⎨=⎩∴x +4y=9，∴x +4y 的平方根为±3．二、课堂小结二次根式 2 非负数 本身 绝对值 当堂检测1. C2. A3. （1）3 （2）4 （3）7 （4）814. 05. 16.解：(1) 9=（9）2；(2)5=（5）2；(3)2.5=（5.2）2； (4)0.25=（25.0）2；(5)21=（21）2；(6)0=（0）2 .7.解 :由题意，得⎩⎨⎧≠≥0,-m -m 0,2-m 22即⎩⎨⎧≠+≥0,-m m 2,m ））（（21解得m 2,m 1m 2,≥⎧⎨≠-⎩（且≠∴m ＞2.。

21.1 二次根式(3)（导学案）第三课时教学内容a（a≥0）教学目标（a≥0）并利用它进行计算和化简．（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键1a（a≥0）．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a≥0a才成立．教学过程一、复习引入1a≥0）的式子叫做二次根式；2（a≥0）是一个非负数；3．)2＝a（a≥0）．二、探究新知活动1、猜想当a≥0是否也成立呢？=______；=________．结论：活动2、例1 化简（1（2（3（4活动3、例2 填空：当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？例3当x>2-三、归纳小结第三课时作业设计一、选择题1的值是（）．A．0 B．23C．423D．以上都不对2．a≥0比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）．AC．二、填空题1．．2是一个正整数，则正整数m的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│。

4cm九年级（上）第二十一章 二次根式学案21.1.1二次根式学习目标：1a ≥0）的意义解答具体题目2．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．重点、难点（a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；a ≥0）”解决具体问题．课前预习 1：知识准备 平方根的性质： 正数有 个平方根，它们 ；0的平方根是 ； 负数 平方根。

思考：用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点： (1)如图，要做一个两条直角边的长分别是7cm 和4cm 的三角尺，斜边的长应为 cm;(2)面积为S 的正方形的边长为 ；(3)要修建一个面积为6.28m 2的圆形喷水池，它的半径为 m ；(4)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t （单位：s ）与开始落下时的高度h(单位：m)满足关系h=5t 2 如果用含有h 的式子表示t,则t= 。

2：探究在上面的问题中，结果分别是 ，它们都表示一些正数的算术平方根。

一般地，我们把形如 （）的式子叫做二次根式，注：开平方时，被开方数a 的取值范围 （为什么？）3：应用（1）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、1x（x>0、、1xy +x ≥0，y•≥0） 是二次根式的有：不是二次根式的有：（2）当a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？典型例题例1．当x是多少时，2-x 在实数范围内有意义？例2、当x11x +在实数范围内有意义？例3 (1)已知，求x y 的值．(2)=0，求a 2004+b 2004的值．随堂训练1、 要画一个面积为18的矩形，使它的长宽之比为2:3，它的长宽应取多长？2、 如图，在平面直角坐标系中，A （2,3），B(5,3),C(2,5)是三角形的三个顶点，求BC 的长。

3、 用代数式表示：（1）面积为s 的圆的半径（2）面积为s 且两条邻边的比为2:3的矩形的边长4、 已知直角三角形的两条直角边为a 和b,斜边为c（1）如果a=12,b=5,求c （2）如果a=3,b=4,求b （3）如果a=10,b=9,求a课后巩固一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（ ）A ．B C D ．x2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）A B ．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）A ．5B ．15D ．以上皆不对 4．x 为实数，下列式子一定有意义的是( ) (A)21x (B)x x +2 (C)112-x (D)12+x5．有一个长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条(木条的粗细、形变忽略不计)，要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是( ) (A)cm 41 (B)cm 34 (C)cm 25 (D)cm 356．如图，点E 、F 、G 、H 、I 、J 、K 、N 分别是正方形各边的三等分点，要使中间阴影部分的面积是5，那么大正方形的边长应是( )(A)525 (B)53 (C)25 (D)547.x 有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．无数二、填空题1．形如________ 的式子叫做二次根式．2．面积为a 的正方形的边长为________ ．3．负数________ 平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x 2在实数范围内有意义？3．4.已知a 、b =b+4，求a 、b 的值．5．要使下列式子有意义，字母x 的取值必须满足什么条件? (1)1||21--x x (2)x +--21 (3)232+x (4)x x 2)1(- (5)222++x x6、已知实数x 、y 满足324422+--+-=x x x y ，求9x ＋8y 的值．教学目标1a≥0）是一个非负数2）2=a（a≥0（a≥0）。

21.1.1 二次根式⑴一、复习引入： 班 号 姓名： 1、填空：⑴两直角边长分别为2和3的直角三角形的斜边长为 ；⑵已知反比例函数xy 3=，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是___________． ⑶面积为S 的正方形的边长是 。

2、问题：你能通过上面的数据归纳出二次根式的概念吗？ 二、探究新知：3、阅读课本第2页[回顾]与[概括]部分的内容，并填空：⑴（0≥a ）；⑵二次根式概念：形如 （0≥a ）的式子叫做二次根式，”称为 。

4、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2，33，x1，x ()0>x ，0，2-，3- 答： 是二次根式； 不是二次根式。

5、二次根式应满足两个条件：⑴有 ；⑵被开方数是 。

6、例：x 是怎样的实数时，下列的二次根式有意义；⑴1-x ； ⑵x 21-；⑶x 1； ⑷12+x 7、课时练习：课本第3页练习第2题。

8、问题：()2a 等于什么？⑴填空：()=24 ；()=29 ；()=225 。

⑵归纳：()=2a （a 0）⑶练一练：()=216 ；()=22 ；()=23 。

9、课时练习：课本第3页练习第1题。

三、课时小结：10、二次根式概念：形如 的式子叫做二次根式，其中a 0。

11、()=2a （a 0）。

四、练习与作业： 班 号 姓名： 1、下列根式中，不一定是二次根式的是（ ） A ．5 B ．3-π C ．2m D ．m2、在二次根式2-a 中，a 的取值范围是（ ）A ．2>aB ．2≥aC ．2<aD ．2≤a 3、使式子()21+-x 有意义的未知数x 的个数有（ ）A ．0B ．1C ．2D ．无数个 4、当x 时，12+x 是二次根式。

5、三角形的三边长分别为a 、b 、c 若()05432=-+-+-c b a ，则该三角形是 三角形。

6、能使二次根式x 25-有意义的正整数是： 。

7、计算：⑴()=25 ；⑵()=-23；⑶()=232 ；⑷()=-223 ； ⑸=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛232 ；⑹=⎪⎪⎭⎫⎝⎛2212 。