中考复习数学三角形辅导讲义.docx

教学过程课前检测1、不改变数的大小，把下面各小数改写成两位小数。

0.3 24.2500100.5 752、将下列小数按从小到大的顺序排列。

0.50.5060.605 0.056 0.065 0.56（）3、把3.33的小数点先向左移动1位，再向右移动2位，得到的数是（）。

4、填入适当的小数或整数。

82厘米=（）米 6.14元=6元（）角（）分9吨145千克 =（）吨 5.02千克=（）千克（）克7平方分米=（）平方米5.6平方分米=（）平方分米（）平方厘米5、把下面各数改写成以“万”作单位的数。

72500= 65200000吨=3200000人=6、把下面各数改写以“亿”作单位的数，再精确到个位。

426000000 24090000000知识纵横知识点一：三角形的特性①三角形的高：从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段②三角形的底：这条对边叫做三角形的底三角形的性质：①物理特性：三角形具有稳定性（不易变形）②边的特性：三角形任意两边的和大于第三边知识点二：三角形的分类按照角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。

按照边长短来分：等边三角形、等腰三角形、三条边都不相等的三角形1、三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。

2、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。

（其他两个角必定是锐角）3、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。

（其他两个角比定是锐角）4、每个三角形都至少有两个锐角；每个三角形都至多有1个直角；每个三角形都至多有1个钝角。

知识点三：三角形的内角和180三角形的内角和等于。

1、两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

(等腰三角形的特点：两腰相等，两个底角相等)2、三条边都相等的三角形叫等边三角形(正三角形) (等边△的三边相等，每个角是60度)3、等边三角形是特殊的等腰三角形知识点四：图形的拼组1、用2个相同的直角三角形可以拼成一个长方形、一个平行四边形、一个大等腰三角形。

第22讲　三角形考点聚焦导学1)　三角形的概念和性质1. 三角形：由不在____________上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形，三角形具有______性．2. 三角形中的重要线段：三条角平分线、三条______、三条________．3. 三角形三条边的关系：三角形的两边之和________________，三角形的两边之差____________．4. 三角形的内角和等于______________，外角和等于______________．三角形的一个外角等于________________；三角形的一个外角大于________________．5. 三角形的中位线：经过三角形两边中点的线段平行于第三边并且等于__________．2)　三角形的分类6. 按边分三角形7. 按角分三角形3)　三角形的“心”8. 内心：三角形________圆的圆心叫内心，它是三角形________________的交点，它到三角形________的距离相等．9. 外心：三角形________圆的圆心叫外心，它是三角形________________的交点，它到三角形________的距离相等．10. 重心：三角形________________的交点叫三角形的重心．11. 垂心：三角形________________的交点叫三角形的垂心．重点难点突破1. 熟练掌握三角形三边的关系三角形的第三边满足：大于另外两边之差，小于另外两边之和．2. 理解三角形的“心”重心把三角形的每条中线分为2∶1的两条线段；内心、重心一定在三角形的内部，锐角三角形的外心、垂心在三角形的内部，钝角三角形的外心、垂心在三角形外部；若四心重合，则该三角形为等边三角形．知识归类探究1)　三角形的三边关系例1　已知三角形两边长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是( )A. 5B. 6C. 11D. 16【思路点拨】　根据三角形两边之和大于第三边，两边之和小于第三边计算即可．活学活用1. 现有3 cm，4 cm，7 cm，9 cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个方法技巧：根据三角形的两条边长确定第三边的范围：分别求出已知的两条边的和与差，则第三边的范围就可以确定了．2)　三角形的内角和及外角例2　如图，在△ABC中，∠B＝47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝________°.由三角形内角和180°可得∠BAC与∠BCA的和【思路点拨】　―→由互补得两外角的和由平分线得∠EAC与∠ECA的和由三角形内角和定理计算∠E ―→―→活学活用2. 在△ABC中，∠A＝2∠B＝80°，则∠C等于( )A. 40°B. 60°C. 80°D. 120°方法技巧：在三角形中解决角的问题，一般要将角转化到同一三角形中，利用三角形内角和定理、外角的性质，从整体上考虑问题．3)　三角形的中线、高、角平分线、中位线例3　三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是( )A. 中线B. 角平分线C. 高D. 中位线三角形中线等底同高的两个三角形两三角形面积相等【思路点拨】　―→―→活学活用3. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若△ABC的周长为10 cm，则△DEF的周长是________cm.方法技巧：已知三角形两边中点时常常要考虑应用中位线来解决问题．课堂过关检测1. 下列长度的三条线段，不能组成三角形的是( )A. 4、8、4B. 9、9、6C. 13、20、8D. 2、7、82. 若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三角形是( )A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形3. 将一副常规的三角尺按如图的方式放置，则图中∠AOB的度数为( )A. 75°B. 95°C. 105°D. 120°4. 下列命题正确的命题是( )A. 边长分别为3，4，6的三角形是直角三角形B. 三角形中各个内角的角平分线的交点是三角形的外心C. 三角形中各边的中垂线的交点是三角形的重心D. 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半5. 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAB＝________．6. 三角形的三条中位线围成的三角形的面积是原三角形面积的________．第5题图第7题图7. 如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2＝________度．答案考点聚焦导学1. 同一直线　稳定2. 中线　高线3. 大于第三边　小于第三边4. 180°　360°　与它不相邻的两个内角和　与它不相邻的任何一个内角5. 第三边的一半6. 等边7. 锐角 钝角8. 内切　三条角平分线　三边9. 外接　三条中垂线　三个顶点　10. 三条中线11. 三条高线知识归类探究例1　C 解析：设三角形的第三边长为x ，由三角形的三边关系得6＜x ＜14，故选C .例2　66.5　解析：∵∠B ＝47°，∴∠BAC ＋∠BCA ＝180°－47°＝133°，∴∠DAC ＋∠FCA ＝360°－133°＝227°，又∵AE ，CE 分别平分∠DAC ，∠FCA ，∴∠EAC ＋∠ECA ＝×227°＝113.5°，∴∠AEC ＝180°－113.5°＝66.5°.12例3　A 解析：根据中线的定义，“连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线”，知三角形的中线把三角形分成等底同高的两个三角形，它们的面积相等，故选A .活学活用1. B2. B3. 5课堂过关检测1. A2. B3. C4. D5. 80°6.7. 27014。

第18讲 三角形基础知识：一、关于三角形的一些概念由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫三角形的边；相邻两边的公共端点叫三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫三角形的内角，简称三角形的角。

1、三角形的角平分线。

三角形的角平分线是一条线段（顶点与内角平分线和对边交线间的距离）角平分线的性质：角平分线上任意一点到角两端的距离相等。

角平分线的判定：到角两端距离相等的点在角的平分线上。

2、三角形的中线三角形的中线也是一条线段（顶点到对边中点间的距离）3．三角形的高三角形的高线也是一条线段（顶点到对边的距离）注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内。

4．三角形任意两边中点的连线叫三角形的中位线．中位线的性质：三角形的中位线平行且等于第三边的一半．二、三角形三条边的关系三角形三边都不相等，叫不等边三角形；有两条边相等的叫等腰三角形；三边都相等的则叫等边三角形。

等腰三角形中，相等的两条边叫腰，另一边叫底边，腰和底边的夹角叫底角，两腰的夹角叫顶角。

三角形按边来分类： 三角形按角分类：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰等腰三角形不等边三角形三角形 ⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧钝角三角形锐角三角形斜三角形直角三角形三角形 三边关系：三角形的第三边大于两边之差，小于两边之和。

不符合定理的三条线段，不能组成三角形的三边。

三、三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180°由定理可知，三角形的二个角已知，那么第三角可以由定理求得。

由定理可以知道，三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角。

推论1：直角三角形的两个锐角互余。

三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角。

推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

三角形的外角等于与它不相邻的两个外角之和。

四、等腰三角形的性质定理 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，就是说：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

初三特殊的三角形培优同步讲义1. 等腰三角形1.1 定义等腰三角形是指具有两边长度相等的三角形。

在等腰三角形中，两边对应的两个角也是相等的。

1.2 性质- 等腰三角形的底角（即两个底边夹角）相等。

- 等腰三角形的顶角（即顶边夹角）也是相等的。

2. 直角三角形2.1 定义直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。

直角三角形的斜边是其他两边之间最长的一边。

2.2 特殊三角形- 30度-60度-90度三角形：其中一个角度为90度，另外两个角度为30度和60度。

这种三角形的边长比例为1:√3:2。

30度-60度-90度三角形：其中一个角度为90度，另外两个角度为30度和60度。

这种三角形的边长比例为1:√3:2。

- 45度-45度-90度三角形：其中一个角度为90度，另外两个角度为45度。

这种三角形的两条直角边的边长相等。

45度-45度-90度三角形：其中一个角度为90度，另外两个角度为45度。

这种三角形的两条直角边的边长相等。

3. 等边三角形3.1 定义等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。

在等边三角形中，每个角的度数都是60度。

3.2 性质- 等边三角形的三个内角都是60度。

- 等边三角形的高、中线、角平分线三者重合，且均通过三角形的重心点。

4. 总结初三特殊的三角形主要包括等腰三角形、直角三角形和等边三角形。

通过对这些三角形的认识和特点的理解，能够更好地解决与三角形相关的问题和题目。

---_注意：以上内容仅供参考，具体知识点和定义请以教材为准。

_。

苏科版中考数学专题三角形复习讲义三角形二、主要内容1、三角形中位线2、三角形全等：全等的判定，全等变换3、三角形相似：相似的判定方法，相似三角形的性质。

三、主要知识点、典型例题及解析及变式练习：知识点1三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

（2）要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

知识点一：三角形问题中的结论探索【例题精讲】【例1】如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起，且∠DAB=30°。

有以下四个结论：①AF⊥BC；②△ADG≌△ACF；③O为BC的中点；④AG：DE=3：4，其中正确结论的序号是.【课堂练习】1．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE=DC；②∠BOD=60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是．知识点二：三角形中的平移、旋转等图形变换问题探索【例题精讲】【例1】如图(1)，Rt△ABC中，∠ACB=-90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠C AB，交CD于点E，交CB于点F（1）求证：CE=CF．（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A’D’E’的位置，使点E’落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE'与CF有怎样的数量关系请证明你的结论．【例2】△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的4时，求线段EF的长．【例3】如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．①求证：BD⊥CF；②当AB=4，AD=3时，求线段BG的长．几何动态问题【例题精讲】例1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，点D是BC边的中点．点P从点B出发，以acm/(a＞0)的速度沿BA匀速向点A运动；点Q同时以1cm/的速度从点D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t．(1)若a＝2，△BPQ∽△BDA，求t的值；(2)设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．①若a=2，求PQ的长；②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．【课堂练习】1.已知线段AB=6，C．D是AB上两点，且AC=DB=1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF 的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为．2、如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=a某2+b某+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG 的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．。

1 B 初中数学解直角三角形综合讲义一、理解概念1.产生的背景：直角三角形中三边和三角的数量关系2 明确概念：解直角三角形阐述概念：在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和2个锐角。

由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形定对象：特殊的求解过程定角度：已知元素新事物：求出未知元素举例：在△举例：在△ABC ABC 中，∠中，∠C C 为直角，∠为直角，∠A A ，∠，∠B B ，∠，∠C C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c=287.4c=287.4，，∠B=42B=42°°6′，解这个直角三角形。

解：（1）∠）∠A=90A=90A=90°°- 42- 42°°6′=47=47°°5454′′（2）∵）∵ cosB= cosB=c a, , ∴∴a=c cosB=287.4a=c cosB=287.4××0.74200.7420≈≈213.3 （3）∵）∵ sinB= sinB=cb, , ∴∴b=c sinB=287.4b=c sinB=287.4××0.67040.6704≈≈192.7二、研究概念1.1.条件：条件：直角三角形2.2.构成和本质构成和本质 [ [边边] ] 两条直角边两条直角边 [ [角角] ] 有一个直角有一个直角 [ [角角]] 两锐角互余两锐角互余3.3.特征：特征： [[角角] ] 两锐角互余，∠两锐角互余，∠两锐角互余，∠A+A+A+∠∠B=90B=90°°[边] ] 勾股定理，勾股定理，勾股定理，a a 2+b 2=c2[等式的性质等式的性质] a ] a 2 =c 2—b2b 2=c 2—a2勾股定理逆定理[ [边、角边、角边、角] ] ] 锐角三角函数锐角三角函数 [ [重要线段重要线段重要线段] ] ] 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半[圆] ] 直角三角形三顶点共圆，圆心是斜边的中点直角三角形三顶点共圆，圆心是斜边的中点 [ [特殊角特殊角特殊角] 30] 30] 30°角所对的直角边是斜边的一半°角所对的直角边是斜边的一半 45 45°角所对的直角边是斜边的°角所对的直角边是斜边的22倍4.4.下位下位无5.5.应用：应用：三、例题讲解1、在R t R t△△ABC 中，中，AD AD 是斜边BC 上的高，如果BC= a BC= a，∠，∠，∠B=B=α，那么AD 等于等于 （（ ）） （（A 级）级） A A、、 asin 2α B B、、acos 2α C C、、asin αcos α D D、、asin αtan α 对象：对象：对象：R t R t R t△△ABC 中，中，AD AD AD 角度：角度：角度： 三角函数三角函数三角函数分析：分析：R t R t R t△△ABC cosB=BC AB cos α= aAB AB= a AB= a··cos αR t R t△△ABD sin α=ABADAD= sin α·AB AD= asin αcos α2、 正方形ABCD 中，对角线BD 上一点P ，BP∶PD=1∶2，且P 到边的距离为2，则正方形的边长是，则正方形的边长是 ，BD=对象：正方形ABCD 对角线BD 上的点P P 角度：角度：角度： 直角三角形直角三角形 分析：设P 到边的距离为PE PE。

三角形单元复习课讲义（共2课时）第一课时一、基础知识回顾1、三角形：由 的三条直线 所组成的图形，叫做三角形。

〔1〕图中有 个三角形，用符号表示为 。

2、三角形的分类 ：（1）按角分类： 三角形（2）按边分类: 三角形〔2〕 三角形中最大的角是700，那么这个三角形是 三角形。

3、三角形三角的关系：三角形三个内角的和是 。

4、三角形的三边关系：三角形的两边之和 第三边，两边之差 第三边。

〔3〕一个三角形的两边长分别是3和8，则第三边的范围是 .5、三角形的高、中线、角平分线从三角形的 向它的 作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高注意：三角形的高与垂线不同；三角形的高可能在三角形内部，可能在三角形的边上，可能在三角形的外部。

在三角形中,连接 与它 的线段，叫做三角形的中线.在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交， 与 之间的线段,叫做三角形的角平分线。

注意：三角形的角平分线与角的平分线不同.〔4〕如图，以AE 为高的三角形是 .6、三角形的三条高所在的直线相交于一点。

这点可能在三角形的 ，可能在三角形的 ，可能在三角形的 。

三角形的三条中线相交于一点。

这点在三角形的 . 三角形的三条角平分线相交于一点。

这点在三角形的 。

〔5〕 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是[ ]A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形7、三角形的稳定性： 具有稳定性， 具有不稳定性.〔6〕有些窗户是可以向外推开的，当我们把窗户推开后，就顺手把风钩勾上，为什么这样做呢？我ABCD E⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩ A DCBE们的校门是铁栅栏，为什么既能拉开，又能推拢去呢？二、例题导引例1 两根木棒长分别为3厘米和6厘米，要截取其中一根木棒将它钉成一个三角形，如果要求三边长为整数，那么截取的情况有几种？例2 如图，已知AD 、AE 分别是△ABC 的高和中线，AB=6厘米，AC=8厘米，BC ＝10厘米，∠CAB=900,试求（1）AD 的长；（2） △ABE 的页积；（3） △ACE 与 △ABE 的周长的差。

初一数学三角形辅导讲义年级：初一辅导科目：数学课时数：3课题三角形教学目的教学内容一、【中考要求】了解三角形的有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画任意三角形的角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性，探索并掌握三角形中位线的性质，了解全等三角形的概念，探索并掌握两个三角形全等的条件。

了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质，探索并掌握一个三角形是等腰三角形的条件，了解等边三角形的概念。

探索并掌握直角三角形的性质，探索并掌握一个三角形是直角三角形的条件，体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题，会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。

会算角度的和与差，认识度、分、秒，会进行度、分、秒的简单换算，了解角平分线及其性质，了解补角、余角、对顶角等概念。

二、【三年中考】1．(2009·温州)下列长度的三条线段能组成三角形的是()A．1 cm，2 cm，3. 5 cm B．4 cm，5 cm，9 cmC．5 cm，8 cm，15 cm D．6 cm，8 cm，9 cm2．(2008·嘉兴)如图，△ABC中，已知AB＝8，BC＝6，CA＝4，DE是中位线，则DE＝()A．4 B．3 C．2 D．11．(2008·嘉兴)已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为()A．50°B．80°C．50°或80°D．40°或65°7．(2009·金华)如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝32°，那么∠2的度数是() A．32°B．58°C．68°D．60°9．(2008·温州)以OA为斜边作等腰直角三角形OAB，再以OB为斜边在△OAB外侧作等腰直角三角形OBC，如此继续，得到8个等腰直角三角形(如图)，则图中△OAB与△OHI的面积比值是()A．32 B．64 C．128 D．25610．(2008·金华)把两块含有30°的相同的直角三角尺按如图所示摆放，使点C，B，E在同一条直线上，连结CD，若AC＝6 cm，则△BCD的面积是________ cm2.三、【考点知识梳理】（一）三角形的概念与分类1．由三条线段首尾顺次连接所围成的平面图形，叫做三角形．2．三角形按边可分为：不等边三角形和等腰三角形；按角可分为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形．（二）三角形的性质1．三角形的内角和是180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角．2．三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．3．三角形中的重要线段(1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等．(2)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心．(3)高：三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心．(4)三边垂直平分线：三角形的三边垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点距离相等．(5)中位线：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半．温馨提示：三角形的边、角之间的关系是三角形中重要的性质，在比较角的大小、线段的长短及求角或线段中经常用到。