初中数学竞赛：特殊化与一般化

第二轮复习第60讲特殊化与一般化知识建构：“特殊与一般”是初中数学的一种重要的数学思想和方法，在解决问题时，以特殊问题为起点，抓住数学问题的特点，逐步分析、比较、讨论，层层深入，揭示规律，并由此推广到一般，从解决特殊问题的规律中，寻求解决一般问题的方法和规律，又用以指导特殊问题的解决，从而进一步加深对特殊问题与一般问题相互联系的认识和理解.考点突破例1、.已知四边形ABCD两条对角线长分别为a和b，（1）当四边形ABCD为正方形时，S= ；（2）当四边形ABCD为菱形时，S=；（3）当四边形ABCD为对角线互相垂直的梯形时，S= ；（4）猜想：当四边形时，面积= ；（5）证明你的结论.分析：利用三角形的面积公式不难解答本题。

点评：本题从特殊情况（正方形）出发，探究出在一般情形（对角线互相垂直的四边形）下的面积公式，进而运用数学推理的方法加以证明。

它揭示的是探索未知规律的步骤和方法。

解答：例2、阅读：Rt△ABC和Rt△DBE，AB=BC，DB=EB，D在AB上，连接AE，AC，(1)、如图1，求证：AE=CD，AE⊥CD．（2）、类比：将（1）中的Rt△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，如图2所示，问（1）中线段AE，CD间的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，请给与证明；若不成立，请说明理由．；（3）、拓展：在图2中，将“AB=BC，DB=EB”改成“BC=kAB，DB=kEB，k＞1”其它条件均不变，如图3所示，问（1）中线段AE，CD间的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，请给与证明；若不成立，请说明理由．分析：（2）根据∠DBE=∠ABC=90°，得出∠ABE=∠DBC，再证出△AEB≌△CDB，AE=CD，∠EAB=∠DCB，再根据∠DCB+∠COB=90°，∠AOK=∠COB，得出∠KOA+∠AOK=90°，∠AKC=90°，即可证出AE⊥CD；（3）根据BC=kAB，DB=kEB，得出=，根据∠DBE=∠ABC=90°，∠ABE=∠DBC，得出△AEB∽△CDB，==，∠EAB=∠DCB，AE=CD，再根据k＞1，得出AE≠CD，最后根据∠DCB+∠COB=90°，∠AOK=∠COB，得出∠KAO+∠AOK=90°，∠AKC=90°，即可证出AE⊥CD．点评：本题经历了从特殊到一般的过程。

数学中的一般化与特殊化例谈何华兴(无锡高等师范学校，江苏 无锡 214001)摘要:本文通过一组实例探讨“一般化”和“特殊化”这两种解题的基本策略，分析它们的适用条件，并介绍相关的思维过程、步骤和应用技巧。

关键词:一般化 特殊化一般化与特殊化是人类认识事物的两个重要侧面，也是解题的两种基本策略，它们相辅相成，是辩证的统一。

在多数场合，特殊问题简单、直观，容易认识，容易把握。

但是，也有一些场合，特殊问题的个别特性可能会掩盖事物的本质属性，给解题带来困难，而直接求解相应的一般性问题，反而来得简便、明快、奇巧。

一、平起平坐 互为因果通常情况下，特殊不能代替一般；但有时，特殊命题确实能与一般命题等价。

利用特殊与一般等价解决问题，有两种基本形式：其一是特殊借助于一般使问题获得解决；其二是一般借助于特殊使问题获得解决。

例1下列两个命题是否等价?为什么?命题1 设a i ＞0(i=1,2,…,n)，则12n a a a n +++当且仅当a 1=a 2=…=a n时，等号成立。

命题2设a i ＞0(i=1,2,…,n)，且a 1a 2…a n =1，则a 1+a 2+…+a n ≥n ，当且仅当a 1=a 2=…=a n 时，等号成立。

分析：(1) 命题2是命题1的特殊情况, 由命题1当然能推出命题2。

(2)考察下列n，由于它们的积为1，故+…≥n ，即 12n a a a n +++∴由命题2能推出命题1。

由(1)，(2)可知，命题1与命题2等价。

这样，我们就发现了一件非常有趣的事情：有时特殊命题与一般命题等价。

这项发现并非只有理论上的价值。

事实上，既然有时“特殊命题与一般命题等价”，我们想要证明一般命题1，只要证明特殊命题2就可以了。

显然，证明命题2要比证明命题1来得容易(命题2可用数学归纳法证明)。

例2设a，b，c，d，e都是正整数，且满足a+b+c+d+e=abcde，求e的最大值。

分析：由条件等式的对称性，可知e的最大值也是a，b，c，d的最大值，对a、b、c、d、e进行排序，得到一个相应的特殊问题，从而便于放缩，使问题得解。

２０２３年１２月下半月㊀学生培养㊀㊀㊀㊀特殊与一般思想在初中数学解题中的应用◉哈尔滨师范大学教师教育学院㊀徐㊀岩㊀㊀摘要:从特殊到一般,再从一般到特殊,是认识事物的一般规律,这一规律在数学的认识活动中有着重要的应用．特殊与一般思想是初中数学重要的思想方法之一,本文中旨在通过举例探讨 特殊与一般 思想在解题中的应用策略．关键词:特殊与一般;初中数学;解题㊀㊀特殊与一般思想具体到一个数学问题就是如果直接解决有困难,可以考虑用特殊情况来获得结果,然后把解决特殊情况的方法或结论应用或者推广到一般问题上,从而获得一般性问题的解答．特殊化是以一种称为 倒退 的方法,从 一般 到 特殊 ,而反过来称为 前进 的方法[１]．做题时把问题转化为较容易解决的特殊情况,会有事半功倍的效果,尤其是做填空题㊁选择题时,采用特殊与一般思想,可以避免 小题大做 ,节约时间．１用字母表示数用字母表示数是初中数学从有形的数字到抽象符号的质的飞跃,是发展符号意识的基础,从 代表数字的信息 转变为用字母代表未知元素㊁待定系数㊁根和系数之间关系等,体现了使用字母表达任意数的想法．当使用字母表示一定数量的实际问题时,应确定一组字母的值．在同一个问题上,不同的字母会表示不同的数字[２]．例１㊀先化简,再求值:(２－４x ＋２)ːx２x ２－４,其中x 所取的值是在－２＜x ɤ３内的一个整数．解析:原式＝２x ＋４－４x ＋２ (x ＋２)(x －２)x ２＝２x －４x ．由－２＜x ɤ３,x ʂ０,x ２－４ʂ０及x ɪZ 得,x 的取值为－１,１,３．将x ＝－１,１,３代入原式,其值依次为６,－２,２３．２特殊值的应用特殊 可以在一定程度内反映或表示 一般 ,在解决数学问题时,通常先分析特殊情况,然后总结一般情况,即根据具体的条件,选择符合条件的特殊值,然后使用条件或特殊图形进行计算和推断．这类问题通常有一个共同点:题目包含一般条件,可以利用这些条件得出具体的结论或值．而特殊情况的答案通常与一般情况的答案相同．特殊值的选取必须符合特定条件．特殊值的选择应尽可能简单,以便计算和比较．当其中有不止一个未知量时,每个未知量之间应尽可能具有特殊数量关系,以帮助解决问题．例２㊀已知二次函数y ＝a x ２＋b x ＋c (a ʂ０)图象的对称轴x ＝－１２,开口向上,图象与x 轴有两个交点,与x 轴非负半轴的交点横坐标大于１,下列结论中,正确的是(㊀㊀)．A．a b c ＞０㊀㊀㊀㊀㊀㊀B ．a ＋b ＝０C ．２b ＋c ＞０D．４a ＋c ＜２b解析:应用由特殊到一般的思路,先取符合题意的特殊二次函数y ＝x ２＋x －３,则a ＝b ＝１,c ＝－３,可得出D 选项正确．但对于学生来说,特殊值的选取要求较高,学生可能因为取值不合适而得不出正确答案．那么,此类问题的常规解法是什么呢?由开口向上,可知a ＞０．由对称轴为x ＝－b ２a ＝－１２,可得a ＝b ＞０．由题意可知,函数与y 轴交点纵坐标小于零,即c ＜０．由此可知,选项A ,B 错误．由题意可知当x ＝１时,y ＜０,即a ＋b ＋c ＜０,也就是２b ＋c ＜０,所以选项C 也错误．故正确答案为选项D ．３特殊图形的应用在解决平面图形问题的过程中,在一般的位置关系下,通常很难找到元素之间的关系,这可能会阻碍思路的探索．此时使用特殊情况下的图形结构会简化计算,但应注意所选择的特殊图形须符合题目条件,且答案必须明确,否则就是不可取的．例３㊀在әA B C 中,A B ＝A C ＝m ,P 为B C 上任意一点,则P A ２＋P B P C 的值等于(㊀㊀)．A．m ２㊀㊀B ．m ２＋１㊀㊀C ．２m ２㊀㊀D．(m ＋１)２１５学生培养２０２３年１２月下半月㊀㊀㊀图１㊀㊀㊀图２解析:选择题可用特殊图形解决．若点P 与点B重合,如图１所示,原式为m ２,则A 选项正确;当点P 位于B C 中点时,如图２所示,可得P A ʅP B ,P B ＝P C ,则原式＝P A ２＋P B ２＝A B ２＝m ２;当点P 与点C 重合时,也能得出相同的结论．但此方法只适用于选择题,严谨证明还应让点P 保持任意性．图３如图３,根据相交弦定理,得㊀P B P C ＝P D P E＝(A D －P A )(A E ＋P A )＝(m －P A )(m ＋P A )＝m ２－P A ２．故P A ２＋P B P C ＝m ２．４用特殊化方法探求定值一些数学问题由于高度抽象,很难直接找到或证明某些一般特征．在这种情况下,可以探索特殊特征和某些条件,找到规律和解决方案．在某些几何图形中,某些点或线段的位置会不断变化,但总有一些关系始终保持不变,这属于定值问题．例４㊀已知同心圆中,A B 是大圆的直径,点P 在小圆上,求证:P A ２＋P B ２为定值．证明:设大圆㊁小圆半径分别为R ,r ．若P ,A ,B 三点共线,如图４所示,则有P A ２＋P B ２＝(R －r )２＋(R ＋r )２＝２R ２＋２r ２．图４㊀㊀㊀图５若P 为直径A B 中垂线上一点,如图５,则P A ２＝P B ２＝R ２＋r ２,所以P A ２＋P B ２＝２R ２＋２r ２．图６而要想严格证明还需保持点P的任意性,如图６,作P F ʅA B 于点F ,则有P A ２＝P F ２＋A F ２＝(r ２－O F ２)＋(R －O F )２,P B ２＝P F ２＋B F ２＝(r ２－O F ２)＋(R ＋O F )２,所以P A ２＋P B ２＝２r ２－２O F ２＋２R ２＋２O F ２＝２r ２＋２R ２．由此可知,在任意情况下P A ２＋P B ２均为定值,结论得证．５用特殊化方法寻找结论当问题解决方案不明确时,可以先分析一些特殊情况并总结,通常可以找到结果或解决问题的方法,然后分析特殊情况与一般情况之间的关系,以便在一般情况下解决问题．通常有如下两种方法:(１)在一些具有一定数量结构的代数问题中,通常可赋予字母特殊值或利用字母表示的量之间的关系．(２)在平面图形中,通常可选取一个特殊的点(例如,一条线段的中点)㊁特殊的关系位置(例如,两条平行线或垂直的直线)或者是几何形状(例如,直角三角形㊁等边三角形等)来帮助解决问题[３]．例５㊀当１ɤx ɤ２时,化简x ＋２x －１＋x －２x －１．解析:由１ɤx ɤ２,得０ɤx －１ɤ１,所以㊀x ＋２x －１＋x －２x －１＝x －１＋２x －１＋１＋x －１－２x －１＋１＝x －１＋１()２＋x －１－１()２＝|x －１＋１|＋|x －１－１|＝x －１＋１－x －１－１()＝２．６结语特殊与一般思想是初中数学的重要解题思想．掌握了这种思想,学生在面对比较复杂的数学问题时能将其转换成特殊或一般情况,以此简化计算或证明过程．这对培养学生的数学核心素养和数学思维都有帮助．参考文献:[１]崔志锋．特殊与一般[J ]．中小学数学(初中版),２０１９(４):３３Ｇ３５．[２]李文彬．巧用特殊与一般思想进行初三数学客观题解法教学[J ]．数学学习与研究,２０２２(１３):１５５Ｇ１５７．[３]李硕,何意玲,王海涛．例谈 特殊与一般 思想在初中数学教学和解题中的应用[J ]．理科爱好者,２０２２(４):８７Ｇ８９．Z ２５。

解决数学问题的化归策略在解决某些数学问题时，我们常采用转化手段，将待解决的问题归结为相对容易解决或已有固定解决程式的另一问题，通过对这一问题的解决，得到原问题的解答。

这种处理问题的方法就是化归。

它是转化和归结的简称，是解决数学问题的一般思想方法。

选择恰当的转化手段进行正确有效的化归是解决问题的关键。

这里介绍几种常用的化归策略。

一、寻找恰当的映射（对应关系）实现化归数学知识的内在联系有许多是映射。

利用映射，可将待解决的问题转化为另一问题。

1、平面上的点与有序实数对集合的映射笛卡尔通过建立坐标系，确定了平面上的点与有序实数对的一一对应关系，把几何问题转化为代数问题，创立了解释几何。

由此我们可以把判断点P（6，3）是否在抛物线上，变成判断是否是方程的解；求直线与双曲线交点问题，变成求方程组解的问题。

例1、已知：关于x的一元二次方程的一个根为，且二次函数的对称轴是直线，则抛物线的顶点坐标为分析根据方程与函数的对应关系可知：方程的一个根为，那么，函数当自变量时，函数值即点（2，3）在抛物线上；又因为抛物线的对称轴是直线，则（2，3）为抛物线的顶点。

2、代换。

变量替换、换元、增量替换、等代换都是特殊的映射。

例2、若a、b为互不相等的实数，且，，则的值为分析：用变量x替换a、b。

即根据条件的特殊结构，由方程解的定义可知：a、b是方程的两个不等实根。

由韦达定理得，。

利用已知条件，把所求代数式变形，再整体代换例3、已知x、y、z为实数，且，，求的值分析：方法1 增量代换。

取x与y的和8的平均值4为标准量，进行增量代换（也称为均值换元法），设，，则，即故；∴∴方法2 变量代换。

把已知条件变形，可知：x、y是关于t的一元二次方程……①的两个根。

△t=∵方程①有实根∴△t≥0 则，∴（以下略）利用代换法解题，关键在于根据问题的结构特征，适当选取能够以简驭繁、化难为易的变换，实现问题的转化。

因此，要注意分析问题的结构特征，对已知条件适当变形，同时要善于发现题目中的特殊结构，挖掘题目中隐含的特殊关系，利用这些特殊条件进行代换。

苏州大学本科生毕业设计（论文）目录摘要-------------------------------------------------------------------------------------（1）Abstract---------------------------------------------------------------------------------（1）前言-------------------------------------------------------------------------------------（2）第1章中学数学中的特殊化-----------------------------------（3）第1.1节何为特殊化---------------------------------------------------------（3）第1.2节特殊化的应用------------------------------------------------------（3）第1.3节如何培养中学生的特殊化思维---------------------------------（5）第2章中学数学中的一般化-----------------------------------（5）第1.1节何为一般化---------------------------------------------------------（5）第1.2节一般化的应用------------------------------------------------------（5）第1.3节如何培养中学生的一般化思维---------------------------------（7）第3章特殊化与一般化的辩证关系-----------------------------（8）结论-------------------------------------------------------------------------------------（9）参考文献-------------------------------------------------------------------------------（9）苏州大学本科生毕业设计（论文）摘要在中学学习过程中，数学思想方法是学习数学、运用数学的灵魂。

数学中的一般化与特殊化例谈何华兴(无锡高等师范学校，江苏 无锡 214001)摘要:本文通过一组实例探讨“一般化”和“特殊化”这两种解题的基本策略，分析它们的适用条件，并介绍相关的思维过程、步骤和应用技巧。

关键词:一般化 特殊化一般化与特殊化是人类认识事物的两个重要侧面，也是解题的两种基本策略，它们相辅相成，是辩证的统一。

在多数场合，特殊问题简单、直观，容易认识，容易把握。

但是，也有一些场合，特殊问题的个别特性可能会掩盖事物的本质属性，给解题带来困难，而直接求解相应的一般性问题，反而来得简便、明快、奇巧。

一、平起平坐 互为因果通常情况下，特殊不能代替一般；但有时，特殊命题确实能与一般命题等价。

利用特殊与一般等价解决问题，有两种基本形式：其一是特殊借助于一般使问题获得解决；其二是一般借助于特殊使问题获得解决。

例1下列两个命题是否等价?为什么?命题1 设a i ＞0(i=1,2,…,n)，则12n a a a n +++当且仅当a 1=a 2=…=a n时，等号成立。

命题2设a i ＞0(i=1,2,…,n)，且a 1a 2…a n =1，则a 1+a 2+…+a n ≥n ，当且仅当a 1=a 2=…=a n 时，等号成立。

分析：(1) 命题2是命题1的特殊情况, 由命题1当然能推出命题2。

(2)考察下列n，由于它们的积为1，故+…≥n ，即 12n a a a n +++∴由命题2能推出命题1。

由(1)，(2)可知，命题1与命题2等价。

这样，我们就发现了一件非常有趣的事情：有时特殊命题与一般命题等价。

这项发现并非只有理论上的价值。

事实上，既然有时“特殊命题与一般命题等价”，我们想要证明一般命题1，只要证明特殊命题2就可以了。

显然，证明命题2要比证明命题1来得容易(命题2可用数学归纳法证明)。

例2设a，b，c，d，e都是正整数，且满足a+b+c+d+e=abcde，求e的最大值。

分析：由条件等式的对称性，可知e的最大值也是a，b，c，d的最大值，对a、b、c、d、e进行排序，得到一个相应的特殊问题，从而便于放缩，使问题得解。

初一数学特殊化思想总结初一数学特殊化思想总结数学是一门抽象而又具有逻辑严密性的学科，它是我们认识世界和解决问题的重要工具。

在初中数学教育中，特殊化思想是培养学生数学思维和解决实际问题的重要方法之一。

特殊化思想强调的是把问题具体化，从而更好地理解和解决抽象的数学问题。

接下来我将从几个方面总结初一数学特殊化思想的应用。

首先，特殊化思想在数学建模中的应用是非常重要的。

数学建模是将实际问题转化为数学问题，利用数学方法进行求解的过程。

在初一数学教学中，通过特殊化思想，学生可以将实际问题“特殊化”，即把问题中的具体数据变成具体的数值，从而更好地理解问题和解决问题。

例如，在解决简单利润问题时，学生可以先假设商品的进价和售价都是具体的数值，然后再进行计算。

这样一来，学生可以更直观地理解利润的概念，并且更容易解决问题。

其次，特殊化思想在解决复杂问题时起到了很大的作用。

初一数学中，有一些问题可能会比较复杂，需要运用多种方法进行求解。

这时，特殊化思想可以帮助学生将复杂问题分解为几个简单问题。

例如，在解决比例问题时，学生可以首先将问题进行特殊化，假设两个比例相等的两个数是具体数值，然后再根据这些具体数值进行计算。

这样一来，学生可以更好地理解比例的概念，并且更容易解决复杂的比例问题。

此外，特殊化思想还可以帮助学生发现问题中的规律，并运用规律解决问题。

初一数学中，有一些问题可能涉及到一些特殊情况，而这些特殊情况往往会有一定的规律性。

通过特殊化思想，学生可以找到问题中的特殊情况，并通过归纳整理发现规律，从而解决问题。

例如，在解决关于数字规律的问题时，学生可以通过特殊化思想找出一些特殊的数字规律，然后再用这些规律解决一般情况下的问题。

这样一来，学生可以更好地理解数字规律，并且更好地运用它们解决问题。

总之，初一数学特殊化思想的应用是非常广泛的。

通过特殊化思想，学生可以更直观地理解和解决数学问题，提高数学思维能力和解决问题的能力。

初中数学常见的思想方法特殊与一般的数学思想：对于在一般情况下难以求解的问题，可运用特殊化思想，通过取特殊值、特殊图形等，找到解题的规律和方法，进而推广到一般，从而使问题顺利求解。

常见情形为：用字母表示数；特殊值的应用；特殊图形的应用；用特殊化方法探求结论；用一般规律解题等。

整体的数学思想：所谓整体思想，就是当我们遇到问题时，不着眼于问题的各个部分，而是有意识地放大考虑问题的视角，将所需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体与局部的内在联系来解决问题的思想。

用整体思想解题时，是把一些彼此独立，但实质上又相互紧密联系的量作为整体来处理，一定要善于把握求值或求解的问题的内在结构、数与形之间的内在结构，要敏锐地洞察问题的本质，有时也不要放弃直觉的作用，把注意力和着眼点放在问题的整体上。

常见的情形为：整体代入；整式约简；整体求和与求积；整体换元与设元；整体变形与补形；整体改造与合并；整体构造与操作等。

分类讨论的数学思想：也称分情况讨论，当一个数学问题在一定的题设下，其结论并不唯一时，我们就需要对这一问题进行必要的分类。

将一个数学问题根据题设分为有限的假设干种情况，在每一种情况中分别求解，最后再将各种情况下得到的【答案】进行归纳综合。

分类讨论是根据问题的不同情况分类求解，它表达了化整为零和积零为整的思想与归类整理的方法。

运用分类讨论思想解题的关键是如何正确的进行分类，即确定分类的标准。

分类讨论的原那么是：〔1〕完全性原那么，就是说分类后各子类别涵盖的范围之和，应当是原被分对象所涵盖的范围，即分类不能遗漏；〔2〕互斥性原那么，就是说分类后各子类别涵盖的范围之间，彼此互相独立，不应重叠或部分重叠，即分类不能重复；〔3〕统一性原那么，就是说在同一次分类中，只能按所确定的一个标准进行分类，即分类标准统一。

分类的方法是：明确讨论的对象，确定对象的全体，确立分类标准，正确进行分类，逐步进行讨论，获取阶段性结果，归纳小结，综合得出结论。