(完整版)1.1线性方程组的基本概念

考研数学一大纲完整版一、线性代数部分1.1 矩阵与行列式•矩阵的定义和基本运算•线性方程组及其求解•行列式及其性质•特征值与特征向量1.2 向量空间•向量空间的概念和性质•子空间及其判定•基与维数1.3 线性变换•线性变换的定义与性质•线性变换的矩阵表示•线性变换的相似性二、概率统计部分2.1 随机事件与概率•随机试验与样本空间•随机事件及其概率•分类求概率法•条件概率与乘法定理2.2 随机变量与分布律•随机变量与分布函数•离散型随机变量及其概率分布•连续型随机变量及其概率密度函数•边缘分布和条件分布2.3 数理统计•抽样与抽样分布•参数估计与点估计•区间估计与假设检验•正态总体的统计推断三、高等代数部分3.1 线性方程组•线性方程组的解的存在唯一性•线性方程组的参数表示与齐次线性方程组•等价方程组与初等变换•向量方程组与矩阵方程3.2 线性空间•线性空间的概念与性质•子空间与线性子空间•基与维数•对偶空间与线性映射3.3 线性变换•线性变换的定义与性质•标准和矩阵表示•相似矩阵与对角化四、高等数学（第一册、第二册）部分4.1 极限与连续•数列极限•函数极限•连续与间断点•无穷小与无穷大4.2 导数与微分•函数的导数及其计算•高阶导数与导数的应用•微分与微分中值定理•函数的连续性4.3 积分与应用•不定积分和定积分•牛顿—莱布尼茨公式•反常积分•定积分的应用五、数学分析部分5.1 实数与数列函数•数列极限和函数极限•函数的连续性•实数的完备性与相关定理•紧致性与连续函数的性质5.2 导数与微分•函数的导数与微分•导数与函数的几何应用•函数的高阶导数•泰勒公式与函数的局部性质5.3 积分与应用•不定积分和定积分•回顾微积分基本公式•牛顿—莱布尼茨公式•表达式与变量替换法以上为考研数学一大纲的完整内容，包括线性代数、概率统计、高等代数、高等数学和数学分析的各个知识点。

通过学习这些内容，将有助于考生全面掌握数学知识，提高考试的综合能力。

七年级数学第三章知识点整理第三章线性方程组的解法一、线性方程组的概念线性方程组是由多个线性方程组成的方程组。

线性方程是指变量的最高次数为1的方程。

线性方程组的解即使能够使方程组中的每个方程成立的一组数值。

二、线性方程组的解的表示形式1. 有唯一解：线性方程组中的方程个数与未知数个数相等，并且方程组的系数行列式不为0时，方程组有唯一解。

解可以用一个有序数组表示，每个元素对应一个未知数的值。

2. 无解：线性方程组中的方程个数大于未知数个数，并且方程组的系数行列式不为0时，方程组无解。

3. 无穷解：线性方程组中的方程个数小于未知数个数，并且方程组的系数行列式不为0时，方程组有无穷解。

解可以用一个有序数组表示，每个元素对应一个未知数的值，其中有的未知数可以取任意实数值。

三、线性方程组的解的求解方法1. 直接代入法：将一个方程的解直接代入到另一个方程中，求解未知数的值。

2. 消元法：通过方程的等价变形，逐步消去未知数，最终得到解。

- 列主元消元法：选择一个未知数的系数绝对值最大的方程，作为主元方程。

通过主元方程与其他方程的组合，将未知数的系数化为0，逐步消去未知数。

- 斯图姆形式消元法：将线性方程组的系数矩阵化为上三角矩阵，通过回代求解未知数的值。

3. 矩阵法：将线性方程组的系数矩阵与未知数矩阵进行运算，得到方程组的解。

- 逆矩阵法：将线性方程组的系数矩阵A求逆，得到逆矩阵A^-1，方程的解为X = A^-1 * B。

- 初等变换法：通过初等行变换，将线性方程组的系数矩阵化为简化行阶梯形矩阵，再通过回代求解未知数的值。

四、线性方程组的应用线性方程组的解法在实际生活中有广泛的应用，例如：1. 经济学中的生产计划：通过线性方程组的解法，可以确定最优的生产计划，以最大化利润或者最小化成本。

2. 物理学中的力学问题：通过线性方程组的解法，可以求解物体在受力情况下的运动状态。

3. 工程学中的电路分析：通过线性方程组的解法，可以求解电路中的电流、电压等参数。

线性方程组知识点总结一、引言线性方程组是数学中重要的概念，广泛应用于各个领域。

本文将对线性方程组的基本概念、求解方法和应用进行总结和介绍。

二、基本概念1. 线性方程组的定义：线性方程组是由若干个线性方程组成的方程集合，形式一般为a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b。

2. 线性方程组的解：线性方程组的解是使得所有方程都成立的一组变量值，分为唯一解、无解和无穷多解三种情况。

3. 线性方程组的系数矩阵：系数矩阵是由线性方程组中各个方程的系数构成的矩阵，记作A。

4. 线性方程组的增广矩阵：增广矩阵是将线性方程组的系数矩阵和常数项列向量合并成一个矩阵，记作[A | b]。

三、求解方法1. 列主元消元法：利用行初等变换将线性方程组转化为简单形式，其中列主元消元法是一种常用的方法。

具体步骤包括选主元、消元和回代三个过程。

2. 矩阵法：利用矩阵的逆、转置等性质，可以通过求解矩阵方程来求解线性方程组。

3. 克拉默法则：克拉默法则是一种利用行列式的性质来求解线性方程组的方法，通过计算线性方程组的系数行列式和常数行列式的比值，可以得到方程组的解。

四、应用领域1. 工程学：线性方程组广泛应用于工程学中的结构分析、电路分析、力学运动等问题的求解。

2. 经济学：线性方程组在经济学中的需求分析、均衡分析、成本分析等方面有着重要应用。

3. 计算机科学：线性方程组在图像处理、数据分析、模型建立等计算机科学的领域中起着关键作用。

五、总结线性方程组是数学中的基础概念，对于理解和解决实际问题具有重要意义。

本文总结了线性方程组的基本概念、求解方法和应用领域，希望能为读者提供一定的参考和启发。

建议读者在学习线性方程组时，注重理论与实践的结合，加强对各种方法的理解和运用能力，进一步提升问题求解的能力和水平。

初中数学知识点线性方程组的概念与解法初中数学知识点：线性方程组的概念与解法在初中数学中，线性方程组是一个重要的概念。

它由多个线性方程组成，而线性方程可以写作如下形式：```a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2```在上述方程中，`x`和`y`是未知数，而`a1`、`b1`、`c1`、`a2`、`b2`和`c2`则是已知系数。

解决线性方程组的目标是找到满足所有方程的`x`和`y`的值。

解法一：图解法图解法是解决线性方程组最直观的方法之一。

我们可以将每个方程表示为一个在二维平面上的直线。

方程的解是这些直线的交点。

例如，考虑以下线性方程组：```2x + 3y = 64x - y = 10```我们可以通过逐个绘制这两个方程的直线来找到它们的交点。

交点`(2,1)`表示该线性方程组的解。

解法二：代入法代入法是解决线性方程组的常用方法之一。

我们可以通过将一个方程的变量表示为另一个方程的变量来实现消元，然后求解单变量方程。

以以下线性方程组为例：```3x + 2y = 8x - y = 1```可以通过将第二个方程中的`x`替换为`1+y`来消去`x`：```3(1+y) + 2y = 8```化简后得到：```3 + 5y = 8```接下来，我们解这个单变量方程：```5y = 5y = 1```将`y`的值代入第二个方程，可以得到`x`的值：```x - 1 = 1x = 2```因此，线性方程组的解是`(2, 1)`。

解法三：消元法消元法是解决线性方程组的另一种常用方法。

通过将方程组中的一个或多个方程相加或相减，我们可以消去其中的某个变量，从而简化方程组。

考虑以下线性方程组：```2x - 3y = 44x + 2y = 10```我们可以通过将第一个方程乘以2，第二个方程乘以3，然后将它们相加来消除`y`的项：```4(2x - 3y) + 3(4x + 2y) = 4(4) + 3(10)```化简后得到：```8x + 6x = 16 + 3014x = 46x = 46/14```将`x`的值代入任意一个方程，可以得到`y`的值：```2(46/14) - 3y = 4```化简后得到：```92/14 - 3y = 4- 3y = 4 - 92/14- 3y = 56/14 - 92/14- 3y = - 36/14y = - 36/14 * -1/3```因此，线性方程组的解为`(23/7, 6/7)`。

对《线性代数》中线性方程组的认识一、线性方程组的定义线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组，通常由两个或两个以上的且未知量均为一次的方程所组成。

我们所知的线性方程组分为两种，一种是非齐次线性方程组，另一种是齐次线性方程组。

在线性方程组中，当常数列不全为零时，我们称它为非齐次线性方程组，当常数列全为零时，我们称它为齐次线性方程组。

二、线性方程组的定理1.1定理一：线性方程组经过初等变换后，所得到的新的方程组与原方程组同解。

比方说，例1：假设一个线性方程组： x1 + 2x2 = 7 ○13x1 – 4x2 = -9 ○23○1-○2, 得 10x2 = 30, 得出x2 = 3, 再将x2 = 3 代入○1中，可得出x1 = 1, 所以得出该线性方程组的解为 x1= 1, x2= 3将该线性方程组进行初等变换，令○1*2，其他保持不变，得2x1 + 4x2= 14 ○33x1 – 4x2 = -9 ○4○3 + ○4，得5x1 = 5, 得 x1 = 1, 将x1 = 1代入3中，可得出x2 = 3, 则经初等变换后的线性方程组与原线性方程组同解。

1.2定理二：对n元非齐次线性方程组，在经消元法化为阶梯型方程组后，有：当dr = 0时，原方程组无解；当dr = 0且r = n 时，原方程组有唯一解；当dr = 0且r<n 时，原方程组有无穷多解。

（dr 指的是线性方程组中最后一个有效方程的等式的右边的常数项，r指有效方程的个数，n指方程所求未知量的个数）（1）当dr = 0时，原方程组无解，举个例子，例二：解线性方程组x1 +2x2+ =3 ○14x1 +7x2+x3=10 ○2x2 – x3 =3 ○32x1 + 3x2 +x3 =4 ○4令4○1– 2，2○1– 4，得x1 +2x2 = 3 ○5x2 – x3 = 2 ○6x2 – x3 = 3 ○7x2 - x3 = 2 ○8 令○6– ○7，○6 -○8，得x1 +2x2 = 3 ○9x2 -x3 = 2 ○100 = 0 ○110 = -1 ○12 ○11 与 ○12 互换，则得x1 +x2 = 3○13x2 -x3 = 2 ○14 0 = -1 ○15 0 = 0 ○16 此时dr =-1, dr = 0, 因为 0 = -1，矛盾，所以无解，即当dr = 0 时，该线性方程组无解。

线性方程组的基本概念与解法线性方程组是数学中常见且重要的概念，广泛应用于各个领域。

在本文中，我们将介绍线性方程组的基本概念和解法，并探讨其在实际问题中的应用。

通过深入理解线性方程组，我们可以更好地解决复杂的数学和实际问题。

一、线性方程组的定义线性方程组由一系列线性方程组成，其表示形式为：a_11x_1 + a_12x_2 + ... + a_1nx_n = b_1a_21x_1 + a_22x_2 + ... + a_2nx_n = b_2...a_m1x_1 + a_m2x_2 + ... + a_mnx_n = b_m其中，a_11、a_12、...、a_mn为已知系数，x_1、x_2、...、x_n为未知数，b_1、b_2、...、b_m为已知常数。

线性方程组的解即为一组满足所有方程的数值解。

二、线性方程组的解法解线性方程组的常用方法有高斯消元法、矩阵法和矩阵的逆等。

下面我们将分别介绍这些解法。

1. 高斯消元法高斯消元法是一种基于初等行变换的解线性方程组的方法。

其基本思想是通过逐步化简系数矩阵，将线性方程组转化为上三角形式或行阶梯形式，从而得到方程组的解。

具体步骤如下：a) 将线性方程组写成增广矩阵的形式；b) 选取一个基准元素，通常选择第一行第一列的元素；c) 通过初等行变换，将基准元素下方的所有元素消为0；d) 选取下一行新的基准元素，并重复步骤c)直到将增广矩阵转化为上三角矩阵；e) 通过回代法求解出线性方程组的解。

2. 矩阵法矩阵法是通过将线性方程组的系数矩阵和常数项向量进行运算，得到方程组的解。

常用的矩阵法有求逆矩阵法和克拉默法则。

求解线性方程组的步骤如下：a) 将线性方程组的系数矩阵和常数项向量组合成增广矩阵；b) 对增广矩阵进行初等行变换，将增广矩阵转化为简化行阶梯形式；c) 根据简化行阶梯形矩阵得到线性方程组的解。

3. 矩阵的逆对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I （单位矩阵），则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵。

初中知识点整理——线性方程组篇线性方程组是初中数学中的重要内容，是代数学习的基础和扩展。

在这篇文章中，我将为您详细介绍线性方程组的定义、解法和应用。

一、线性方程组的定义线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组。

每个线性方程都可以写为形如a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b的形式，其中a1, a2, ..., an为常数，x1, x2, ..., xn为变量。

而b为方程的常数项。

二、线性方程组的解法1. 图解法当线性方程组只有两个变量时，可以通过图解法来求解。

将每个方程转化为直线的形式，并找出它们的交点，该交点即为线性方程组的解。

若直线重合，则方程组有无数个解；若直线平行，则方程组无解。

2. 代入法代入法是线性方程组常用的解法之一，适用于任意个数的变量。

步骤如下：（1）从方程组中选择一个方程，将其中的一个变量表示为其他变量的函数。

（2）将该函数代入其它方程中去，从而得到一个只含有一个变量的方程。

（3）解这个新的方程，得到一个变量的值。

（4）将该变量的值代入刚才选定的方程中，求出一个变量的值。

（5）按照这种方法继续，直到每个变量的值都求出来。

3. 消元法消元法是线性方程组解法中常用的方法，可以通过消元将线性方程组转化为简化的形式，进而得到解。

步骤如下：（1）将线性方程组排列成增广矩阵的形式，其中每行代表一个方程。

（2）利用初等行变换将增广矩阵化为行最简形。

（3）从化简后的增广矩阵中读出方程组的解。

4. 矩阵法线性方程组可以通过矩阵的形式进行求解，矩阵法更适用于高阶的线性方程组。

将方程组表示为矩阵形式AX = B，其中A为系数矩阵，X为变量矩阵，B为常数项矩阵。

通过矩阵的逆矩阵或高斯消元法求解出X的值。

三、线性方程组的应用线性方程组在实际生活和工作中有广泛的应用，下面介绍一些常见的应用场景。

1. 比例分配假设投资人A和B共同投资了一个项目，A投资的金额为X，B投资的金额为Y。

根据投资人的协议，A和B的总投资金额为100万元。

§1. 线性方程组概念m 个方程n 个未知数n x x ,,1 的线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* （1）未知数又称为元，n 个未知数的线性方程组也称为n 元线性方程组.把m 个方程写成一个矩阵等式，则方程组（1）成为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++n mn m mn n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 22122221211212111=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m b b b 21再把左边写成两个矩阵的乘积，就得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n mn m m n n x x x a a a a a a a a a21212222111211=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m b b b 21 简记为 Ax =b （2） 其中 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a212222111211，x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21，b =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m b b b 21 A 称为系数矩阵,b 是常数列向量,x 为未知数列向量.线性方程组(1)还可以表示成向量形式⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn n n n m m a a a x a a a x a a a x 21222122121111=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m b b b 21 简记为n n x x x ααα+++ 2211=b （3）其中n ααα,,,21 是系数矩阵A 的列向量组，b =Tm b b b ),,,(21 为常数列向量.表示式(1),(2),(3)是同一个线性方程组的不同表示形式，代表的是同一个线性方程组.当b =0时，即1b =2b =…=m b =0时，方程组称为齐次的，当0≠b 时，即m b b b ,,,21 不全为0时，方程组称为非齐次的.非齐次线性方程组Ax =b 对应的齐次线性方程组，指的是Ax =0，它的系数矩阵A 与非齐次方程组Ax =b 的系数矩阵相同.（有些书称Ax =0为Ax =b 的导出组）.线性方程组(1)的一组解11a x =,22a x =,…, n n a x =，今后将写成列向量形成x =T n a a a ),,,(21 ，称为(1)的一个解向量，简称一个解.§2. 齐次线性方程组m 个方程的n 元齐次线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n mn m m nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 简记为Ax =0 （1） 其中A =n m ij a ⨯)(为系数矩阵，x =T n x x x ),,,(21 ，0=T )0,,0( . 方程组(1)的向量形式为n n x x x ααα+++ 2211=0 （2）其中n ααα,,,21 为A 的列向量组，0=T )0,,0( .齐次线性方程组(1)显然有解01=x ,02=x ,…, 0=n x ，这个解称为零解，记作0=x .如果齐次方程组(1)有解==αx T n a a a ),,,(21 ，且0≠α，即n a a a ,,,21 不全为0，这种解称为非零解.齐次线性方程组总有零解，但不一定有非零解.定理1. 设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解n A R <⇔)(. 当n m =时，0=Ax 有非零解0||=⇔A换句话说，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩小于未知数的个数.当方程个数等于未知数个数时，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数行列式等于零.[证] 利用0=Ax 的向量形式(2)，即n n x x x ααα+++ 2211=0方程组(1)有非零解x =0),,,(21≠T n k k k⇔存在不全为零的数n n k x k x k x ===,,,2211 满足（2），即n n k k k ααα+++ 2211=0⇔向量组n ααα,,,21 线性相关. ⇔R n n <),,,(21ααα ⇔n A R <)(当n m =时，A 为n 阶方阵，0||)(=⇔<A n A R .（证毕） 推论：设A 为n m ⨯矩阵，则0=Ax 只有零解⇔n A R =)(.当n m =时，0=Ax 只有零解⇔0||≠A .[证].A 为n m ⨯矩阵，n A R ≤)(，只有n A R =)(及n A R <)(两种可能.因此，由定理1即可知推论成立.（证毕）定理2. 若1ξ=x ,2ξ=x 是齐次方程组0=Ax 的解，k 是任意数，则21ξξ+=x 及1ξk x =也是0=Ax 的解.[证] )(21ξξ+A =21ξξA A +=0+0=0)(1ξk A =)(1ξkA =0⋅k =0 （证毕）由定理2可知，若t x ξξξ,,,21 =是0=Ax 的解，则t t k k k x ξξξ+++= 2211也是0=Ax 解.其中t k k k ,,21是任意常数.0=Ax 的所有解组成的集合记作S ，即S ={}0|=Ax x ,称为方程组0=Ax 的解集.定理2说明S关于向量的加法及数乘运算封闭，故S 为向量空间，称为0=Ax 的解空间，S 的秩)(S R 就是S 的维数，S 的最大无关组就是S 的基.定义 齐次线性方程组0=Ax 的所有解组成的解集S 的最大线性无关组t ξξξ,,,21 称为方程组0=Ax 的基础解系.根据最大无关组的性质，tξξξ,,,21 为0=Ax 的基础解系的充要条件为t ξξξ,,,21 满足以下两个条件：(1)t ξξξ,,,21 是0=Ax 的线性无关解向量.(2)0=Ax 的任何一个解ξ都可由t ξξξ,,,21 线性表示.定理3. 设A 为n m ⨯矩阵，则齐次方程组0=Ax 的基础解系所含的向量个数为)(A R n -.(n 为未知数的个数).[证] 设r A R =)(，若n r =，根据定理1的推论，此时0=Ax 只有零解，没有基础解系，也可以说基础解系所含向量个数为n n -=0.故结论成立.现设n r A R <=)(.则A 的列向量组n αα,,1 的秩R (n αα,,1 )=r .不妨设n αα,,1 的最大无关组为r ααα,,,21 ，于是n r αα,,1 +可由r ααα,,,21 线性表示，设为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=---++rr r n r n r n n r r r r r r d d d d d d d d d αααααααααααα,22,11,2222121212121111移项得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+----=+----=+-------++000,22,11,2222212*********n r r r n r n r n r r r r r r d d d d d d d d d αααααααααααα （3） 现考虑方程组0=Ax 的向量形式(2)：n n x x x ααα+++ 2211=0等式(3)说明方程组0=Ax (即(2))有以下r n -个解：T r d d d x )0,,0,1,,,,(112111 ---==ξ. T r d d d x )0,,1,0,,,,(222212 ---==ξ.………………………………………………T r r n r n r n r n d d d x )1,,0,0,,,,(,2,1, -------==ξ.容易证明r n -ξξξ,,,21 线性无关.设Tn r r c c c c c x ),,,,,(121 +==ξ是0=Ax 的任意一个解，则有n n r r r r c c c c c ααααα++++++++ 112211=0 （4）作r n -ξξξ,,,21 的线性组合r n n r r c c c x -+++++=ξξξ 2211=Tn r r r c c c d d d ),,,,,,,(2121 ++ 根据定理2，这个线性组合也是0=Ax 的解，故有0112211=++++++++n n r r r r c c d d d ααααα （5）(4)与(5)相减，得0)()()(222111=-++-+-r r r d c d c d c ααα因为r ααα,,,21 线性无关，故有11d c -=0,22d c -=0,…,r r d c -=0，即r r c d c d c d ===,,,2211于是ξξξξ==+++=+-++T n r r r n n r r c c c c c c c c x ),,,,,(1212211即0=Ax 的任一个解ξ可由r n -ξξ,,1 线性表示.以上证明了r n -ξξ,,1 是0=Ax 的基础解系，它含有r n -个向量.（证毕）因为0=Ax 的基础解系就是0=Ax 的解集S 的最大无关组，其个数就是解集S 的秩.因此，定理3可改述为)()(A r n S R -=，即n S R A R =+)()(.(n 为未知数个数.)定理4. 若0=Ax 的基础解系为r n -ξξξ,,,21 ，则0=Ax 的所有解（称为通解）为x =r n r n k k k --+++ξξξ 2211其中r n k k k -,,,21 为任意常数,)(A R r =，n 为未知数个数.[证] 根据定理2及基础解系的定义，一方面，x =r r n k k ξξ-++ 11是齐次方程组0=Ax 的解，另一方面，0=Ax 的任一个解ξ=x 都可由r n -ξξ,,1 线性表示，即存在常数r n k k -,,1 使ξ=x =r r n k k ξξ-++ 11.故知定理的结论成立.（证毕）由此可见，解齐次线性方程组0=Ax ，就是要求其基础解系.§3. 非齐次线性方程组m 个方程n 个未知数n x x ,,1 的非齐次线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* 简记为Ax =b （1） 其中A =n m ij a ⨯)(称为系数矩阵，b =0),,,(21≠T m b b b ，即m b b b ,,,21 不全为零.x = T n x x x ),,,(21 为未知数列向量.],[b A 称为增广矩阵. 方程组(1)的向量形式为n n x x x ααα+++ 2211=b （2）其中n ααα,,,21 是系数矩阵A 的列向量组，b =0),,,(21≠T m b b b非齐次线性方程组b Ax =不一定有解.定理1. 非齐次线性方程组b Ax =有解)(]),([A R b A R =⇔. [证]b Ax =有解x =T n k k k ),,,(21⇔存在数n n k x k x k x ===,,,2211 满足方程(2)，即 n n k k k ααα+++ 2211=b⇔向量b 可由向量组n ααα,,,21 线性表示.根据第三章§3定理1，b 可由n ααα,,,21 线性表示.⇔R ),,,,(21b n ααα =),,,(21n R ααα ⇔)(]),([A R b A R =. （证毕）定理2. (1) 若1η=x 及2η=x 是非齐次方程组b Ax =的两个解，则21y y x -=是对应齐次方程组0=Ax 的解.(2)若*=ηx 是非齐次方程组b Ax =的一个解，ξ=x 是对应齐次方程组0=Ax 的解，则ξη+=*x 是非齐次方程组b Ax =的解.[证] (1))(21ηη-A =21ηηA A -=b b -=0，故(1)成立. (2))(ξη+*A =ξηA A +*=0+b =b ，故(2)成立.（证毕）定理3. 若*=ηx 是非齐次方程组b Ax =的一个解，r n -ξξξ,,,21 是对应齐次方程组0=Ax 的基础解系，则非齐次方程组b Ax =的所有解（称为通解）为r n r n k k k x --*++++=ξξξη 2211 （3）其中r n k k k -,,,21 为任意常数.[证] 由§2定理4，r n r n k k k x --+++=ξξξ 2211是对应齐次方程组0=Ax 的通解.由上面定理2(2)可知(3)式是b Ax =的解.另一方面，设η=x 是b Ax =的任一个解，由定理2(1)，*-=ηηx 是对应齐次方程组0=Ax 的解，因而存在常数r n k k k -,,,21 ，使*-ηη= r n r n k k k --+++ξξξ 2211，即b Ax =的任一个解η=x 都可以表示成r n r n k k k x --*++++==ξξξηη 2211所以(3)式是非齐次方程组b Ax =的通解. （证毕）定理4. n 元非齐次线性方程组b Ax =有无穷多个解的充分必要条件为]),([b A R = n A R <)(.[证] 必要性：设b Ax =有无穷多个解.首先，b Ax =有解，由定理1得]),([b A R = )(A R .其次，设有两个不同解为1η=x ，2η=x ，由定理2(1)，021≠-=ηηx 是对应齐次方程组0=Ax 的非零解，由§2定理1，n A R <)(.故有]),([b A R =n A R <)(.必要性得证.充分性：设]),([b A R =)(A R =n r <，由]),([b A R =)(A R ，根据定理1，方程组b Ax =有解，设*=ηx 是它的一个解.再由)(A R =n r <，由§2定理3，对应齐次方程组0=Ax 的基础解系含)0(>-r n 个向量，设为r n -ξξ,,1 ，由上面的定理3，b Ax =的所有解为r n r n k k x --*+++=ξξη 11其中r n k k -,,1 为任意常数.因此，b Ax =有无穷多个解.（证毕）推论：设A 为n m ⨯矩阵，则n 元非齐次线性方程组b Ax =有唯一解的充分必要条件为]),([b A R =)(A R =n .当n m =时，b Ax =有唯一解的充分必要条件为0||≠A .当有唯一解时，其唯一解为b A x 1-=，用x 的分量表示，就是克莱姆法则：j x =DD j ),,2,1(n j =，其中||A D =为系数行列式，j D 是D 中第j 列换作常数列b 的行列式.[证] 第一部分：b Ax =有唯一解⇔]),([b A R =)(A R =n 可由定理4得到。

线性方程组知识点线性方程组是数学中重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。

本文将讨论线性方程组的定义、解的存在唯一性、解的表示形式及相关概念。

同时，还将介绍解线性方程组的常见方法。

一、线性方程组的定义线性方程组是由多个线性方程组成的方程集合。

一般地，一个线性方程组可以表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，x₁, x₂, ..., xₙ为未知数，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为已知系数，b₁, b₂, ..., bₙ为常数项。

二、解的存在唯一性线性方程组的解要求每个方程都被满足。

当线性方程组的未知数个数大于方程个数（即方程组行数小于列数）时，可能存在无穷多组解；当未知数个数小于方程个数（即方程组行数大于列数）时，可能无解。

对于未知数个数等于方程个数的情况，即方程组的系数矩阵的秩等于方程组的行数，解的存在唯一。

此时，方程组的解可以通过高斯消元法或克拉默法则来求解。

三、解的表示形式线性方程组的解可以分为唯一解、无穷解和无解三种情况。

1. 唯一解：在方程组的解是唯一的情况下，解的表示形式可以写为一个向量，其中向量的每个分量对应一个未知数的值。

2. 无穷解：在方程组的解不唯一但存在无穷个解的情况下，解的表示形式可以写为一个参数形式的向量，其中向量的每个分量都包含了一个参数，通过参数的取值可以得到方程组的不同解。

3. 无解：在方程组的解不存在的情况下，方程组被称为矛盾方程组。

四、解线性方程组的常见方法解线性方程组的常见方法包括高斯消元法、克拉默法则和矩阵法。

1. 高斯消元法：将线性方程组表示为增广矩阵，通过初等行变换将增广矩阵化为行简化阶梯形矩阵，进而求解出方程组的解。

2. 克拉默法则：通过计算方程组的系数矩阵的行列式及其部分行列式，从而求解出每个未知数的值。

【最新整理，下载后即可编辑】考研数学线性代数讲义目录第一讲基本概念线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法第二讲行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的情况的判别基础解系和通解第六讲特征向量与特征值相似与对角化特征向量与特征值—概念,计算与应用相似对角化—判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量空间及其子空间附录三两个线性方程组的解集的关系附录四06,07年考题第一讲 基本概念1．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为: a 11x 1+a 12x 2+…+a 1n x n =b 1,a 21x 1+a 22x 2+…+a 2n x n =b 2,… … … …a m1x 1+a m2x 2+…+a mn x n =b m ,其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等.线性方程组的解是一个n 维向量(k 1,k 2, …,k n )(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数x i 都用k i 替代时都成为等式.线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解.b 1=b 2=…=b m =0的线性方程组称为齐次线性方程组.n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量(1)基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.由m ⨯n 个数排列成的一个m 行n 列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个m ⨯n 型矩阵.例如2 -1 0 11 1 1 0 22 5 4 -2 93 3 3 -1 8是一个4⨯5矩阵.对于上面的线性方程组,称矩阵a 11 a 12 … a 1n a 11 a 12 … a 1nb 1A = a 21 a 22 … a 2n 和(A |)= a 21 a 22 … a 2n b 2… … … … … … …a m1 a m2 … a mn a m1 a m2 … a mnb m为其系数矩阵和增广矩阵. 增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i 行第j 列的数称为(i,j)位元素.元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.两个矩阵A 和B 相等(记作A =B ),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.由n 个数构成的有序数组称为一个n 维向量,称这些数为它的分量.书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a 1,a 2,⋯ ,a n 的向量可表示成a 1(a 1,a 2,⋯ ,a n )或 a 2 ,┆a n请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1⨯n 矩阵,右边是n ⨯1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个m ⨯n 的矩阵的每一行是一个n 维向量,称为它的行向量; 每一列是一个m 维向量, 称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A 的列向量组为1,2,⋯ ,n 时(它们都是表示为列的形式!)可记A =(1,2,⋯ ,n ).矩阵的许多概念也可对向量来规定,如元素全为0的向量称为零向量,通常也记作0.两个向量和相等(记作=),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.(2) 线性运算和转置线性运算是矩阵和向量所共有的,下面以矩阵为例来说明.加(减)法:两个m ⨯n 的矩阵A 和B 可以相加(减),得到的和(差)仍是m ⨯n 矩阵,记作A +B (A -B ),法则为对应元素相加(减).数乘: 一个m ⨯n 的矩阵A 与一个数c 可以相乘,乘积仍为m ⨯n 的矩阵,记作c A ,法则为A 的每个元素乘c.这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律:① 加法交换律: A +B =B +A .② 加法结合律: (A +B )+C =A +(B +C ).③ 加乘分配律: c(A +B )=c A +c B .(c+d)A =c A +d A .④ 数乘结合律: c(d)A =(cd)A .⑤ c A =0⇔ c=0 或A =0.转置:把一个m ⨯n 的矩阵A 行和列互换,得到的n ⨯m 的矩阵称为A 的转置,记作A T (或A ').有以下规律:① (A T )T = A .② (A +B )T =A T +B T .③ (c A )T =c A T .转置是矩阵所特有的运算,如把转置的符号用在向量上,就意味着把这个向量看作矩阵了.当是列向量时, T 表示行向量,当是行向量时, T 表示列向量.向量组的线性组合:设1,2,…,s 是一组n 维向量, c 1,c 2,…,c s 是一组数,则称c 11+c 22+…+c s s 为1,2,…,s 的(以c 1,c 2,…,c s 为系数的)线性组合.n 维向量组的线性组合也是n 维向量.(3) n 阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n 的矩阵也常常叫做n 阶矩阵.把n 阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)下面列出几类常用的n 阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n 阶矩阵.单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E (或I ).数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c 的对角矩阵,它就是c E.上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵:满足A T=A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.(反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.)3. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵有以下三种初等行变换:①交换两行的位置.②用一个非0的常数乘某一行的各元素.③把某一行的倍数加到另一行上.(称这类变换为倍加变换)类似地, 矩阵还有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们,这里省略了. 初等行变换与初等列变换统称初等变换.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:①如果它有零行,则都出现在下面.②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增.把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,特点为:③台角位置的元素为1.④并且其正上方的元素都为0.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算,必须十分熟练.请注意: 1.一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.2. 一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.4. 线性方程组的矩阵消元法线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法:用同解变换把方程组化为阶梯形方程组(即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组).线性方程组的同解变换有三种:①交换两个方程的上下位置.②用一个非0的常数乘某个方程.③把某个方程的倍数加到另一个方程上.以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.线性方程组求解的基本方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法. 对非齐次线性方程组步骤如下:(1)写出方程组的增广矩阵(A|),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(B|γ).(2)用(B|γ)判别解的情况:如果最下面的非零行为(0,0, ⋯,0|d),则无解,否则有解.有解时看非零行数r(r不会大于未知数个数n),r=n时唯一解；r<n时无穷多解.(推论:当方程的个数m<n时,不可能唯一解.)(3)有唯一解时求解的初等变换法:去掉(B|γ)的零行,得到一个n×(n+1)矩阵(B0|γ0),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(E|η),则η就是解.对齐次线性方程组:(1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.(2)用B判别解的情况:非零行数r=n时只有零解；r<n时有非零解(求解方法在第五章讲). (推论:当方程的个数m<n时,有非零解.)讨论题1.设A是n阶矩阵,则(A) A是上三角矩阵⇒A是阶梯形矩阵.(B) A是上三角矩阵⇐A是阶梯形矩阵.(C) A是上三角矩阵⇔A是阶梯形矩阵.(D) A是上三角矩阵与A是阶梯形矩阵没有直接的因果关系.2.下列命题中哪几个成立?(1) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一行还是是阶梯形矩阵.(2) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一列还是是阶梯形矩阵.(3) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则A也是阶梯形矩阵.(4) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则B也是阶梯形矩阵.(5) 如果 A 是阶梯形矩阵,则A和B都是阶梯形矩阵.B第二讲行列式一.概念复习1. 形式和意义形式:用n 2个数排列成的一个n 行n 列的表格,两边界以竖线,就成为一个n 阶行列式:a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n… … … .a n1 a n2 … a nn 如果行列式的列向量组为1,2, … ,n ,则此行列式可表示为|1,2, … ,n |.意义:是一个算式,把这n 2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.)每个n 阶矩阵A 对应一个n 阶行列式,记作|A |.行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0.2. 定义(完全展开式)2阶和3阶行列式的计算公式:a 11 a 12a 21 a 22 = a 11a 22-a 12a 21 .a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23 = a 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32-a 13a 22a 31- a 11a 23a 32-a 12a 21a 33.a 31 a 32 a 33一般地,一个n 阶行列式a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n… … …a n1 a n2 … a nn 的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n 个元素的乘积,其一般形式为:n nj j j a a a 2121,这里把相乘的n 个元素按照行标的大小顺序排列,它们的列标j 1j 2…j n 构成1,2, …,n 的一个全排列(称为一个n 元排列),共有n!个n 元排列,每个n 元排列对应一项,因此共有n!个项.所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j 1j 2…j n )为全排列j 1j 2…j n 的逆序数(意义见下面),则项nnj j j a a a 2121所乘的是.)1()(21n j j j τ-全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数. 逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数: 0023********,(436512)=3+2+3+2+0+0=10.至此我们可以写出n 阶行列式的值:a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n =.)1(21212121)(nn n nj j j j j j j j j a a a τ-∑ … … …a n1 a n2 … a nn这里∑nj j j 21表示对所有n 元排列求和.称此式为n 阶行列式的完全展开式.用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.例如对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0.2. 化零降阶法把n 阶行列式的第i 行和第j 列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素a ij 的余子式,记作M ij .称A ij =(-1)i+j M ij 为元素a ij 的代数余子式.定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.命题 第三类初等变换(倍加变换)不改变行列式的值.化零降阶法 用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式.化零降阶法是实际计算行列式的主要方法,因此应该熟练掌握.3.其它性质行列式还有以下性质:① 把行列式转置值不变,即|A T |=|A | .② 某一行(列)的公因子可提出.于是, |c A |=c n |A |.③ 对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量换为或所得到的行列式.例如 |,1+2|=|,1|+|,2|.④ 把两个行(列)向量交换, 行列式的值变号.⑤ 如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0.⑥ 某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0.⑦ 如果A 与B 都是方阵(不必同阶),则A * = A O =|A ||B |.O B * B范德蒙行列式：形如1 1 1 (1)a 1 a 2 a 3 … a na 12 a 22 a 32 … a n 2… … … …a 1n-i a 2n-i a 3n-i … a n n-i的行列式(或其转置).它由a 1,a 2 ,a 3,…,a n 所决定,它的值等于).(i j ji a a -∏< 因此范德蒙行列式不等于0⇔ a 1,a 2 ,a 3,…,a n 两两不同.对于元素有规律的行列式(包括n 阶行列式),常常可利用性质简化计算,例如直接化为三角行列式等.4.克莱姆法则克莱姆法则 应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵为n 阶矩阵)的情形.此时,如果它的系数矩阵的行列式的值不等于0,则方程组有唯一解,这个解为(D 1/D, D 2/D,⋯,D n /D),这里D 是系数行列式的值, D i 是把系数行列式的第i 个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值.说明与改进:按法则给的公式求解计算量太大，没有实用价值.因此法则的主要意义在理论上,用在对解的唯一性的判断,而在这方面法则不够. 法则的改进:系数行列式不等于0是唯一解的充分必要条件.实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵(A |)作初等行变换,使得A 变为单位矩阵:(A |)→(E |η),η就是解.用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵A 是方阵,则它只有零解的充分必要条件是|A |≠0.二. 典型例题1.利用性质计算元素有规律的行列式例1① 2 a a a a ②1+x 1 1 1③1+a 1 1 1a 2 a a a 1 1+x 1 12 2+a 2 2a a 2 a a . 1 1 1+x 1 .3 3 3+a 3 .a a a 2 a 1 1 1 1+x4 4 4 4+aa a a a 2例2 1 2 3 4 52 3 4 5 13 4 5 1 2 .4 5 1 2 35 1 2 3 4例31+x1 1 111 1 .1 1+x211 1 1+x31 1 1 1+x4例4 a 0 b c0 a c b .b c a 0c b 0 a例5 1-a a 0 0 0-1 1-a a 0 00 -1 1-a a 0 . (96四)0 0 -1 1-a a0 0 0 -1 1-a2. 测试概念与性质的题例6 x3-3 1 -3 2x+2多项式f(x)= -7 5 -2x 1 ，求f(x)的次数和最高次项的系数.X+3 -1 3 3x 2-29 x 3 6 -6例7 求 x-3 a -1 4f(x)= 5 x-8 0 –2 的x 4和x 3的系数.0 b x+1 12 2 1 x例8 设4阶矩阵A =(, 1, 2 ,3),B =(, 1, 2 ,3),|A |=2, |B |=3 ,求|A +B | .例9 a b c d已知行列式 x -1 -y z+1 的代数余子式A 11=-9,A 12=3,A 13=-1,A 14=3,求x,y,z.1 -z x+3 yy-2 x+1 0 z+3例10 求行列式 3 0 4 0 的第四行各元素的余子式的和.(01)2 2 2 20 -7 0 05 3 -2 23.几个n 阶行列式两类爪形行列式及其值:例11 a 1 a 2 a 3 … a n-1 a nb 1c 2 0 … 0 0证明 0 b 2 c 3 0 0 =11111(1)n i i i i n i b b a c c --+=-∑.… … … …0 0 0 … b n-1 c n提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出).例12 a 0 a 1 a 2 … a n-1 a nb 1c 1 0 … 0 0证明 b 2 0 c 2 … 0 0 =011111n n i i i i i n i i a c c c a b c c -+==-∑∏.… … … …b n … 0c n提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出).另一个常见的n 阶行列式:例13 证明a+b b 0 … 0 0a a+b b … 0 0… … … … = 110n n n n i i i a b a b a b ++-=-=-∑(当a ≠b 时).0 0 0 … a+b b0 0 0 a a+b提示:把第j 列(行)的(-1)j-1倍加到第1列(行)上(j=2,…,n),再对第1列(行)展开.4.关于克莱姆法则的题例14设有方程组x 1+x 2+x 3=a+b+c,ax 1+bx 2+cx 3=a 2+b 2+c 2,bcx 1+acx 2+abx 3=3abc.(1)证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c 两两不等.(2)在此情况求解.参考答案例1 ①(2+4a)(2-a)4.② x 3(x+4). ③ a 3(a+10).例2 1875.例3 x 1x 2x 3x 4+x 2x 3x 4+x 1x 3x 4+x 1x 2x 4+x 1x 2x 3.例4 (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).例5 1-a+a 2-a 3+a 4-a 5.例6 9,-6例7 1,-10.例8 40.例9 x=0,y=3,z=-1.例10 -28.例14 x 1=a,x 2=b,x 3=c..第三讲 矩阵一．概念复习1. 矩阵乘法的定义和性质定义2.1 当矩阵A 的列数和B 的行数相等时,和A 和B 可以相乘,乘积记作AB . AB 的行数和A 相等,列数和B 相等. AB 的(i,j)位元素等于A 的第i 个行向量和B 的第j 个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.设 a 11 a 12 … a 1n b 11 b 12 … b 1s c 11c 12 … c 1sA = a 21 a 22 … a 2nB = b 21 b 22 … b 2sC =AB =c 21 c 22 … c 2s… … … … … …… … …a m1 a m2 … a mn ,b n1 b n2 … b ns ,c m1c m2 … c ms ,则c ij =a i1b 1j +a i2b 2j +…+a in b nj .矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同:① 矩阵乘法有条件.② 矩阵乘法无交换律.③ 矩阵乘法无消去律,即一般地由AB =0推不出A =0或B =0.由AB =AC 和A ≠0推不出B =C .(无左消去律)由BA =CA 和A ≠0推不出B =C . (无右消去律)请注意不要犯一种常见的错误:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来.矩阵乘法适合以下法则:① 加乘分配律 A (B +C )= AB +AC , (A +B )C =AC +BC .② 数乘性质 (c A )B =c(AB ).③ 结合律 (AB )C = A (BC ).④ (AB )T =B T A T .2. n 阶矩阵的方幂和多项式任何两个n 阶矩阵A 和B 都可以相乘,乘积AB 仍是n 阶矩阵.并且有行列式性质:|AB |=|A ||B |.如果AB =BA ,则说A 和B 可交换.方幂 设k 是正整数, n 阶矩阵A 的k 次方幂A k 即k 个A的连乘积.规定A 0=E .显然A 的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则:① A k A h = A k+h .② (A k )h = A kh .但是一般地(AB )k 和A k B k 不一定相等!n 阶矩阵的多项式设f(x)=a m x m +a m-1x m-1+…+a 1x+a 0,对n 阶矩阵A 规定f(A )=a m A m +a m-1A m-1+…+ a 1A +a 0E .称为A 的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E .乘法公式 一般地,由于交换性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n 阶矩阵的不再成立.但是如果公式中所出现的n 阶矩阵互相都是乘法交换的,则乘法公式成立.例如当A 和B 可交换时,有:(A ±B )2=A 2±2AB +B 2;A 2-B 2=(A +B )(A -B )=(A +B )(A -B ).二项展开式成立: B AC B A -=∑=+1)(等等.前面两式成立还是A 和B 可交换的充分必要条件.同一个n 阶矩阵的两个多项式总是可交换的. 一个n 阶矩阵的多项式可以因式分解.3. 分块法则矩阵乘法的分块法则是简化矩阵乘法的一种方法.对两个可以相乘的矩阵A 和B ,可以先用纵横线把它们切割成小矩阵(一切A的纵向切割和B 的横向切割一致!),再用它们来作乘法.(1)两种常见的矩阵乘法的分块法则A 11 A 12B 11 B 12 = A 11B 11+A 12B 21 A 11B 12+A 12B 22A 21 A 22B 21 B 22 A 21B 11+A 22B 21 A 21B 12+A 22B 22要求A ij 的列数B jk 和的行数相等.准对角矩阵的乘法:形如A 1 0 0A = 0 A 2 0… … …0 0 … A n的矩阵称为准对角矩阵,其中A 1,A 2,…,A k 都是方阵.两个准对角矩阵A 1 0 ... 0 B 1 0 0A = 0 A 2 ... 0 , B = 0 B 2 0… … … … … …0 0 … A k 0 0 … B k如果类型相同,即A i 和B i 阶数相等,则A 1B 1 0 0AB = 0 A 2B 2 … 0 .… … …0 0 … A k B k(2)乘积矩阵的列向量组和行向量组设A 是m ⨯n 矩阵B 是n ⨯s 矩阵. A 的列向量组为1,2,…,n ,B的列向量组为1,2,…,s , AB 的列向量组为1,2,…,s ,则根据矩阵乘法的定义容易看出(也是分块法则的特殊情形):① AB 的每个列向量为:i =A i ,i=1,2,…,s.即A (1,2,…,s )= (A 1,A 2,…,A s ).② =(b 1,b 2,…,b n )T ,则A = b 11+b 22+…+b n n .应用这两个性质可以得到:如果i =(b 1i ,b 2i ,…,b ni )T ,则i =A I =b 1i 1+b 2i 2+…+b ni n .即:乘积矩阵AB 的第i 个列向量i 是A 的列向量组1,2,…,n 的线性组合,组合系数就是B 的第i 个列向量i的各分量.类似地, 乘积矩阵AB 的第i 个行向量是B 的行向量组的线性组合,组合系数就是A 的第i 个行向量的各分量.以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们无论在理论上和计算中都是很有用的.(1) 当两个矩阵中,有一个的数字很简单时,直接利用以上规律写出乘积矩阵的各个列向量或行向量,从而提高了计算的速度.(2) 利用以上规律容易得到下面几个简单推论:用对角矩阵从左侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量; 用对角矩阵从右侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量.数量矩阵k E乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂.(3) 矩阵分解:当一个矩阵C的每个列向量都是另一个A的列向量组的线性组合时,可以构造一个矩阵B,使得C=AB.例如设A=(α,β,γ), C=(α+2β-γ,3α-β+γ,α+2γ),令1 3 1B= 2 -1 0 ,则C=AB.-1 1 2(4) 初等矩阵及其在乘法中的作用对单位矩阵E作一次初等(行或列)变换,所得到的矩阵称为初等矩阵.有三类初等矩阵:E(i,j):交换E的i,j两行(或列)所得到的矩阵.E(i(c)):用非0数c乘E的第i行(或列)所得到的矩阵.也就是把E的对角线上的第i个元素改为c.E(i,j(c))(i≠j):把E的第j行的c倍加到第i行上(或把第i列的c 倍加到第j列上)所得到的矩阵, 也就是把E的(i,j)位的元素改为c.命题对矩阵作一次初等行(列)变换相当于用一个相应的初等矩阵从左(右)乘它.4. 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)(1) 矩阵方程矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程:(I) AX=B.(II) XA=B.这里假定A是行列式不为0的n阶矩阵,在此条件下,这两个方程的解都是存在并且唯一的.(否则解的情况比较复杂.)当B只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.如果B有s列,设B=(1,2,…,s),则X也应该有s 列,记X=(X1,X2,…,X s),则有AX i=i,i=1,2,…,s,这是s个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解,从而AX=B有唯一解.这些方程组系数矩阵都是A,可同时求解,即得(I)的解法:将A和B并列作矩阵(A|B),对它作初等行变换,使得A变为单位矩阵,此时B变为解X.(A|B)→(E|X)(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:A T X T=B T.再用解(I)的方法求出X T,转置得X..(A T|B T)→(E|X T)矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往并不直接写成(I)或(II)的形式,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解.(2) 可逆矩阵的定义与意义定义设A是n阶矩阵,如果存在n阶矩阵B,使得AB=E, BA=E,则称A为可逆矩阵.此时B是唯一的,称为A的逆矩阵,通常记作A-1.如果A可逆,则A在乘法中有消去律:AB=0⇒B=0；AB=AC⇒B=C.(左消去律)；BA=0⇒B=0；BA=CA⇒B=C. (右消去律)如果A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):AB=C⇔B=A-1C. BA=C⇔B=CA-1.由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法:(I) AX=B的解X=A-1B .(II) XA=B的解X= BA-1.这种解法想法自然，好记忆,但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).(3) 矩阵可逆性的判别与性质定理n阶矩阵A可逆⇔|A|≠0.证明“⇒”对AA-1=E两边取行列式,得|A||A-1|=1,从而|A|≠0. (并且|A-1|=|A|-1.)“⇐”因为|A|≠0,矩阵方程AX=E和XA=E都有唯一解.设B,C分别是它们的解,即AB=E,CA=E. 事实上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是从定义得到A可逆.推论如果A和B都是n阶矩阵,则AB=E⇔BA=E.于是只要AB=E(或BA=E)一式成立,则A和B都可逆并且互为逆矩阵.可逆矩阵有以下性质:①如果A可逆,则A-1也可逆,并且(A-1)-1=A.A T也可逆,并且(A T)-1=(A-1)T.当c≠0时, c A也可逆,并且(c A)-1=c-1A-1.对任何正整数k, A k也可逆,并且(A k)-1=(A-1)k.(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(A k)-1=(A-1)k.)② 如果A 和B 都可逆,则AB 也可逆,并且(AB )-1=B -1A -1.(请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.)初等矩阵都是可逆矩阵,并且E (i,j)-1= E (i,j), E (i(c))-1=E (i(c -1)), E (i,j(c))-1= E (i,j(-c)).(4) 逆矩阵的计算和伴随矩阵① 计算逆矩阵的初等变换法当A 可逆时, A -1是矩阵方程AX =E 的解,于是可用初等行变换求A -1:(A |E )→(E |A -1)这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多.② 伴随矩阵若A 是n 阶矩阵,记A ij 是|A |的(i,j)位元素的代数余子式,规定A的伴随矩阵为A 11 A 21 … A n1A *= A 12 A 22 … A n2 =(A ij )T .… … …A 1n A 2n … A mn请注意,规定n 阶矩阵A 的伴随矩阵并没有要求A 可逆,但是在A 可逆时, A *和A -1有密切关系.基本公式: AA *=A *A =|A |E .于是对于可逆矩阵A ,有A -1=A */|A |, 即A *=|A |A -1.因此可通过求A *来计算A -1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等变换法比较, 伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵a b * d -bc d = -c a ,因此当ad-bc ≠0时,a b -1 d -bc d = -c a (ad-bc) .伴随矩阵的其它性质:①如果A是可逆矩阵，则A*也可逆，并且(A*)-1= A/|A|=(A-1)*.② |A*|=|A|n-1.③ (A T)*=(A*)T.④ (c A)*=c n-1A*.⑤ (AB)*=B*A*；(A k)*=(A*)k.⑥当n>2时,(A*)*=|A|n-2A；n=2时,(A*)*=A.二典型例题1.计算题例1=(1,-2,3) T,=(1,-1/2,1/3)T, A= T,求A6.讨论:(1)一般地,如果n阶矩阵A=T,则A k=(T)k-1A=(tr A)k-1A .(2)乘法结合律的应用:遇到形如T的地方可把它当作数处理.① 1 -1 1T= -1 1 -1 ，求T.（2003一）②设=(1,0,-1)T, A=T,求|a E-A n|.③n维向量=(a,0,⋯,0,a)T, a<0, A=E-T, A-1=E+a-1T,求a. (03三,四)④n维向量=(1/2,0,⋯,0,1/2)T,A=E-T,B=E+2T,求AB. (95四)⑤A=E-T,其中,都是n维非零列向量,已知A2=3E-2A,求T.例2(1999三) 1 0 1设A = 0 2 0 ，求A n-2A n-1.(n>1)例3 1 0 0设A = 1 0 1 ，(1)证明当n>1时A n =A n-2+A 2-E . (2) 求A n .例4设A 为3阶矩阵, 1,2,3是线性无关的3维列向量组,满足 A1=1+2+3, A 2=22+3,A 3=22+33.求作矩阵B ,使得A (1,2,3)=(1,2,3)B . (2005年数学四)例5设3阶矩阵A =(1,2,3),|A |=1,B =(1+2+3,1+22+33,1+42+93),求|B |.(05)例6 3维向量1,2,3,1,2,3满足1+3+21-2=0,31-2+1-3=0,2+3-2+3=0,已知1,2,3|=a,求|1,2,3|.例7设A 是3阶矩阵, 是3维列向量,使得P =(,A ,A 2)可逆,并且A 3=3A -2A 2.又3阶矩阵B 满足A =PBP -1.(1)求B .(2)求|A +E |.(01一)2 1 0例8 3阶矩阵A ,B 满足ABA *=2BA *+E ,其中A = 1 2 0 ,求|B |.(04一)0 0 1例9 3 -5 1设3阶矩阵A = 1 -1 0 , A -1XA =XA +2A ,求X .-1 0 2例10 1 1 -1设3阶矩阵A = -1 1 1 , A *X =A -1+2X ,求X .1 -1 1例11 4阶矩阵A ,B 满足ABA -1=BA -1+3E ,已知1 0 0 0A *= 0 1 0 0 ,求B . (00一)1 0 1 00 -3 0 8例12 3 0 0 1 0 0已知A = 2 1 0 , B = 0 0 0 , XA +2B =AB +2X ,求X 11.2 13 0 0 -1例13 设1=(5,1,-5)T ,2=(1,-3,2)T ,3=(1,-2,1)T ,矩阵A满足A 1=(4,3) T , A 2=(7,-8) T , A 3=(5,-5) T ,求A .2.概念和证明题例14 设A 是n 阶非零实矩阵,满足A *=A T .证明:(1)|A |>0.(2)如果n>2,则|A |=1.例15 设矩阵A =(a ij )3 3满足A *=A T ,a 11,a 12,a 13为3个相等的正数,则它们为(A) 3/3.(B) 3. (C)1/3. (D) 3. (2005年数学三)例16 设A和B都是n阶矩阵,C= A0 ,则C*=0 B(A) |A|A* 0 . (B) |B|B * 0 .0 |B|B * 0 |A|A*(C) |A|B* 0 . (D ) |B|A* 0 .0 |B|A* 0 |A|B*例17 设A是3阶矩阵,交换A的1,2列得B,再把B的第2 列加到第3 列上,得C.求Q,使得C=AQ.例18 设A是3阶可逆矩阵,交换A的1,2行得B,则(A) 交换A*的1,2行得到B*.(B) 交换A*的1,2列得到B*.(C) 交换A*的1,2行得到-B*.(D) 交换A*的1,2列得到-B*.(2005年)例19 设A是n阶可逆矩阵, 交换A的i,j行得到B.(1) 证明B可逆.(2) 求AB-1.例20设n阶矩阵A满足A2+3A-2E=0.(1)证明A可逆,并且求A-1.(2)证明对任何整数c,A-c E可逆.讨论: 如果f(A)=0,则(1) 当f(x)的常数项不等于0时,A可逆.(2) f(c)≠0时,A-c E可逆.(3) 上述两条的逆命题不成立.例21设是n维非零列向量,记A=E-T.证明(1) A2=A⇔T =1.(2)T =1⇒ A不可逆. (96一)讨论: (2)的逆命题也成立.例22 设A,B都是n阶矩阵,证明E-AB可逆⇔ E-BA可逆.例23设3阶矩阵A,B满足AB=A+B.(1) 证明A-E可逆.(2) 设 1 -3 0B= 2 1 0 ,求A.0 0 2 (91)例24设A,B是3阶矩阵, A可逆,它们满足2A-1B=B-4E.(1) 证明A-2E可逆.(2) 设 1 -2 0B= 1 2 0 ,求A.0 0 2 (2002)例25设n阶矩阵A,B满足AB=a A+b B.其中ab≠0,证明(1) A-b E和B-a E都可逆.(2) A可逆⇔ B可逆.(3) AB=BA.例26设A,B都是n阶对称矩阵,E+AB可逆,证明(E+AB)-1A 也是对称矩阵.例27 设A,B都是n阶矩阵使得A+B可逆,证明(1) 如果AB=BA,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(2) 如果A.B都可逆,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(3) 等式B(A+B)-1A=A(A+B)-1B总成立.例28设A,B,C都是n阶矩阵,满足B=E+AB,C=A+CA,则B-C 为(A) E.(B) -E. (C) A. (D) -A. (2005年数学四)参考答案1 -1/2 1/3例1 35A=35 -2 1 –2/3 .3 -3/2 1①3.②a2(a-2n). ③-1. ④E. ⑤4.例2 O.例 3 (1)提示:A n=A n-2+A2-E⇔A n-2(A2-E)=A2-E ⇔A(A2-E)=A2-E.(2)n=2k时, 1 0 0A n = k 1 0 .k 0 1n=2k+1时, 1 0 0A n = k+1 0 1 .k 1 0例4 1 0 0B= 1 2 2 .1 1 3例5 2.例6 –4a.例7 0 0 0B= 1 0 3 . |E+A|=-40 1 -2例8 1/9.例9 -6 10 4X= -2 4 2 .-4 10 0例10 1 1 0(1/4) 0 1 1 .1 0 1例11 6 0 0 0B= 0 6 0 0 .6 0 6 00 3 0 -1例12 1 0 02 0 0 .6 -1 -1例13 2 -1 1-4 -2 -5 .例15 (A).例16 (D).例17 0 1 1Q= 1 0 0 .0 0 1例18 (D).例19E(i,j).例22提示:用克莱姆法则.例如证明 ,即在E-AB可逆时证明齐次方程组(E-BA)X=0只有零解.例23 1 1/2 0A= -1/3 1 0 .0 0 2例24 0 2 0A= -1 -1 0 .0 0 -2例25 提示:计算(A-b E)(B-a E).例28 (A).第四讲向量组的线性关系与秩一.概念复习1. 线性表示关系 设1,2,…,s 是一个n 维向量组.如果n 维向量等于1,2,…,s 的一个线性组合，就说可以用1,2,…,s 线性表示.如果n 维向量组1,2,…,t 中的每一个都可以可以用1,2,…,s 线性表示,就说向量 1,2,…,t 可以用1,2,…,s 线性表示.判别“是否可以用1,2,…,s 线性表示? 表示方式是否唯一？”就是问：向量方程x 11+x 22+…+x s s =是否有解？解是否唯一？用分量写出这个向量方程,就是以1,2,…,s为增广矩阵的线性方程组.反之,判别“以A 为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯一？”的问题又可转化为“是否可以用A 的列向量组线性表示? 表示方式是否唯一？”的问题.向量组之间的线性表示问题与矩阵乘法有密切关系: 乘积矩阵AB 的每个列向量都可以表示为A 的列向量组的线性组合,从而AB 的列向量组可以用A 的列向量组线性表示;反之,如果向量组1,2,…,t 可以用1,2,…,s 线性表示,则矩阵(1,2,…,t )等于矩阵(1,2,…,s )和一个s ⨯t 矩阵C 的乘积. C 可以这样构造: 它的第i 个列向量就是i 对1,2,…,s 的分解系数(C 不是唯一的).向量组的线性表示关系有传递性,即如果向量组1,2,…,t 可以用1,2,…,s 线性表示,而1,2,…,s 可以用γ1,γ2,…,γr 线性表示,则1,2,…,t 可以用γ1,γ2,…,γr 线性表示.当向量组1,2,…,s 和1,2,…,t 互相都可以表示时就说它们等价并记作1,2,…,s ≅1,2,…,t. 等价关系也有传递性.。