甘肃省白银市会宁县第一中学2020学年高二数学上学期期中试题 理(含解析)

甘肃省白银市会宁一中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“()”的几何解释．A. 如果a>b，b>c，那么a>cB. 如果a>b>0，那么a2>b2C. 对任意实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立D. 如果a>b，c>0那么ac>bc2.在△ABC中，b=2，A=π3，B=π4，则a的值为()A. √3B. √6C. 2√3D. √623.在△ABC中，已知b=c=√22a，则A等于()A. π4B. π3C. π2D. 2π34.ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=√2，c=4.且acosB=3bcosA，则ΔABC的面积为()A. 3√2B. 4C. 3D. 25.《九章算术》是我国古代数学名著，在其中有道“竹九问题”：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀(即每节容量成等差数列).问每节容量各为多少？在这个问题中，中间一节的容量为()A. 74B. 3733C. 6766D. 10116.在Rt△ABC中，角C=90°，且角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a+b=cx，则实数x的取值范围是()A. (0,1]B. (0,2]C. (1,√2]D. (1,2)7.已知数列{a n}是等差数列，若a5+a6+a7=6，则S11=()A. 18B. 20C. 22D. 248.已知等差数列{a n}，S n是其前n项的和，若S3=2a3，则S2015a2015的值为()A. 2015B. 2016C. 1024D. 10089.在等差数列{a n}中，S n为{a n}的前n项和，若S11=11，则a6=()A. 1B. 3C. 6D. 910.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n+n，前n项和为S n，则S6等于()A. 282B. 147C. 45D. 7011.已知2x+y=2，则9x+3y的最小值为()A. 2√2B. 4C. 12D. 612.设x>0，则x+4x的最小值为()A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设x，y满足约束条件{x+y−7≤0,x−3y+1≤0,3x−y−5≥0,则z=2x−y的最大值为________．14.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=3S n−3S n−1+S n−2+2(n≥3)，且a1=3，a2=8，a3=15，则a n=________．15.已知数列{a n}满足a n+1·a n=a n−1，a1=2，则a2019=________．16.已知x>2，函数y=4x−2+x的最小值是_______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.解关于x的不等式x2+(2−a)x−2a<0(a∈R)．18.在△ABC中，a，b，c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且cosBcosC =−b2a+c．(1)求∠B的大小；(2)若a=2，S=√3，求b，c的值．19.已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2−5x+6=0的根．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)若b n=2n⋅a n，求数列{b n}的前n项和T n．20.已知函数f(x)=ax2−(a2+1)x+a．(1)若当a>0时f(x)<0在x∈(1,2)上恒成立，求a范围;(2)解不等式f(x)>0．21.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a17=33，S7=49．(1)证明：a1，a5，a41成等比数列；(2)求数列{a n⋅3n}的前n项和T n．=2√2，22.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2+c2−√2bc=a2，cb(1)求角A；(2)求tan B的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：可将直角三角形的两直角边长度取作a，b，斜边为c(c2=a2+b2)，则外围的正方形的面积为c2，也就是a2+b2，四个阴影面积之和刚好为2ab，对任意正实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立．故选：C．可将直角三角形的两直角边长度取作a，b，斜边为c(c2=a2+b2)，可得外围的正方形的面积为c2，也就是a2+b2，四个阴影面积之和刚好为2ab，可得对任意正实数a和b，有a2+b2≥2ab，即可得出．本题考查了基本不等式的性质、正方形的面积计算公式，考查了推理能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：∵b=2，A=π3，B=π4，∴由正弦定理可得：a=bsinAsinB =2×√32√22=√6．故选：B．由已知利用正弦定理即可解得a的值．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．3.答案：C解析：【分析】本题考查余弦定理的运用，属于基础题．利用三边的关系，直接代入余弦定理中即可求解．【解答】解：由于b=c=√22a，所以，由于A∈(0,π)，所以，故选C．解析： 【分析】由已知利用余弦定理可求a ，利用余弦定理求得cos C 的值，根据同角三角函数基本关系式求得sin C 的值，利用三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 【解答】解：△ABC 中，∵acosB =3bcosA ， ∴可得：a ·a 2+c 2−b 22ac=3b ·b 2+c 2−a 22bc，整理可得：2a 2=2b 2+c 2，∵b =√2，c =4，∴解得：a =√10，可得：cosC =a 2+b 2−c 22ab=2×√10×√2=−√55， ∴sinC =√1−cos 2C =2√55， ∴S △ABC =12absinC =12×√10×√2×2√55=2．故选：D ．5.答案：C解析： 【分析】本题考查了等差数列通项公式及等差数列求和公式与等差数列的应用，属于基础题目．根据题意题意设九节竹自下而上各节的容量分别为a 1，a 2，…，a 9，公差为d ，利用等差数列的前n 项和公式和通项公式列出方程组，解可得首项和公差，计算可得a 5的值． 【解答】解：根据题意，九节竹的每一节容量变化均匀，即其每一节的容量成等差数列， 设自下而上各节的容量分别为a 1，a 2，…，a 9，公差为d ， 分析可得{a 1+a 2+a 3=4a 6+a 7+a 8+a 9=3， 解得a 1=9566,d =−766，所以该竹子中间一节的容量为a 5=a 1+4d =9566−7×466=6766．6.答案：C解析：【分析】本题考查正弦定理，三角函数求值域，是中档题．由正弦定理表示a，b，再用三角函数化简求值域．【解答】解：因为C=90°，所以sin C=1，所以由正弦定理得asin A =bsin B=csin C=c，所以a=csin A，b=csin B，所以a+b=csin A+csin B=cx，即sin A+sin B=x．又A+B=90°，即B=90°−A，所以sin B=sin(90°−A)=cos A，则x=sin A+sin B=sin A+cos A=√2(√22sin A+√22cos A)=√2sin(A+π4)．因为π4<A+π4<3π4，所以sin (A+π4)∈(√22,1],所以√2sin(A+π4)∈(1,√2]，则x∈(1,√2].故选C．7.答案：C解析：【分析】本题主要考查了等差数列的概念和性质与等差数列的求和应用，属于基础题；根据{a n}为等差数列，a5+a6+a7=6，得到a6=2，即可得到S11的值．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，∴a5+a6+a7=3a6=6，∴a6=2，S11=11a6=11×2=22．故选C．解析：【分析】本题考查等差数列的求和公式，属基础题．由题意可得公差等于首项，代入求和公式和通项公式化简可得．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S3=2a3，∴3a1+3×22d=2(a1+2d)，解得d=a1，∴S2015a2015=2015a1+2015×20142a1a1+2014a1=1008．故选D．9.答案：A解析：解：由等差数列的性质可得：S11=11=11(a1+a11)2=11a6，解得a6=1．故选：A．利用等差数列的通项公式与前n项和公式及其性质即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.答案：B解析：【分析】本题主要考查分组转化求和法.根据数列的通项公式，得S n=(21+22+...+2n)+(1+2+3+...+n)，再用等比数列和等差数列的求和公式，即可求出结果．【解答】解：∵a n=2n+n，∴S n=21+1+22+2+23+3+...+2n+n=(21+22+...+2n)+(1+2+3+...+n)=2(1−2n)1−2+n(1+n)2=2n+1−2+n2+n2，∴S6=27−2+62+62=147．故选B．11.答案：D解析：解：∵2x+y=2，∴9x+3y≥2√9x⋅3y=2√32x+y=2×3=6.当且仅当y=2x=1时取等号．故选D．利用基本不等式的性质、指数运算性质即可得出．本题考查了基本不等式的性质、指数运算性质，属于基础题．12.答案：B解析：解：∵x>0，∴x+4x ≥2√x⋅4x=4当且仅当x=4x即x=2时取等号，故选：B由基本不等式求最值可得．本题考查基本不等式求最值，属基础题．13.答案：8解析：【分析】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分ABC)，由z =2x −y 得y =2x −z ， 平移直线y =2x −z ，由图象可知当直线y =2x −z 经过点A 时，直线y =2x −z 的截距最小， 此时z 最大，由{x +y −7=0x −3y +1=0，解得{x =5y =2，即A(5,2)， 将A 的坐标代入目标函数z =2x −y ，得z =2×5−2=8.即z =2x −y 的最大值为8． 故答案为8．14.答案：n 2+2n解析： 【分析】本题考查数列的递推关系，数列的通项公式，等差数列的通项公式，属于中档题．由S n+1=3S n −3S n−1+S n−2+2(n ≥3)得(a n+1−a n )−(a n −a n −1)=2，故{a n+1−a n }是等差数列，得a n+1−a n =2n +3，由累加法可求a n ． 【解答】解：因为S n+1=3S n −3S n−1+S n−2+2(n ≥3)， 所以S n+1−S n−2=3S n −3S n−1+2(n ≥3)， 即a n−1+a n +a n+1=3a n +2(n ≥3)， 即(a n+1−a n )−(a n −a n −1)=2(n ≥3)，① 又a 1=3，a 2=8，a 3=15， 所以(a 3−a 2)−(a 2−a 1)=2， 即n =2时，也符合①式；所以{a n+1−a n }是首项为5，公差为2的等差数列， 所以a n+1−a n =2n +3，由累加法得a n =a 1+(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+⋯+(a n −a n−1)=3+5(n −1)+(n −1)(n −2)2×2=n 2+2n ． 所以a n =n 2+2n ， 故答案为n 2+2n ．15.答案：−1解析：【分析】本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．利用数列的递推关系式，求出数列的前几项，得到数列的周期，然后求解即可．【解答】解：数列{a n}满足a1=2，a n+1=a n−1a n =1−1a n，可得a2=12，a3=1−112=−1，a4=1−1−1=2，…所以数列的周期为3．则a2019=a672×3+3=a3=−1．故答案为−1．16.答案：6解析：【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题目．拼凑基本不等式的形式，利用基本不等式求出最小值即可．【解答】解：因为x>2，所以x−2>0，则y=4x−2+x=4x−2+(x−2)+2≥2√4x−2×(x−2)+2=6，当且仅当4x−2=x−2，即x=4时等号成立．故答案为6．17.答案：解：设函数f(x)=x2+(2−a)x−2a，则函数f(x)的图象开口向上，它所对应方程f(x)=0的解为x=a，或x=−2；由此可得：当a>−2时，原不等式的解为{x|−2<x<a}；当a=2时，原不等式的解为空集；当a<−2时，原不等式的解为{x|a<x<−2}；解析：求出函数f(x)对应方程f(x)=0的解，由此讨论a 的取值所对应的原不等式的解集．本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法问题，解题时需要对字母系数进行讨论，是易错题．18.答案：解：(1)由正弦定理及cosB cosC =−b 2a+c 得：cosB cosC =−sinB 2sinA+sinC ，∴cosB(2sinA +sinC)=−sinBcosC ，∴2sinAcosB +cosBsinC =−sinBcosC ，∴−2sinAcosB =sin(B +C)=sinA ，∵sinA ≠0，∴cosB =−12， ∵0<B <π，∴B =2π3，(2)由a =2,B =2π3,S =12acsinB =√3，解得：c =2， 由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB ，①将，a =2，c =2，B =2π3代入①，得b =√22+22+2×2×2×12=2√3．解析：本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．(1)由正弦定理及三角函数恒等变换的应用化简已知可得：−2sinAcosB =sinA ，结合sinA ≠0，可求cos B ，结合B 的范围可求B 的值．(2)由利用三角形面积公式、及余弦定理即可求解b 、c 的值．19.答案：解：(Ⅰ)因为{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2−5x +6=0的根，所以a 2=2，a 4=3，所以公差为12，所以a n =12n +1；(Ⅱ)由(Ⅰ)得到b n =2n ⋅a n =2n ⋅(12n +1)=2n−1(n +2)，所以数列{b n }的前n 项和T n =1×3+21×4+22×5+⋯+2n−2(n +1)+2n−1(n +2)，① 2T n =2×3+22×4+23×5+⋯+2n−1(n +1)+2n (n +2)，②①−②得，−T n =3+2+22+23+⋯+2n−1−2n (n +2)=3+2(1−2n−1)1−2−2n (n +2)=1−(n +1)2n ．所以T n =(n +1)2n −1．解析：本题考查了等差数列的通项公式的求法以及错位相减法求数列的和，属于中档题． (Ⅰ)利用{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2−5x +6=0的根，得到a 2，a 4，再求首项和公差，进一步求通项公式．(Ⅱ)利用错位相减法求和．20.答案：解：(1)当a >0时，函数f(x)=ax 2−(a 2+1)x +a 的图象开口方向朝上，若f(x)<0在x ∈(1,2)上恒成立，只需{f(1)≤0f(2)≤0， 即{a −(a 2+1)+a ≤04a −2(a 2+1)+a ≤0， 解得a ∈(0,12]∪[2,+∞)(2)f(x)=ax 2−(a 2+1)x +a >0⇔(ax −1)(x −a)>0，当a =0时，得到x <0，当a >0时，化为(x −1a )(x −a)>0，当a >1时，得到x <1a 或x >a ，当a =1时，得到x ≠1，当0<a <1时，得到x <a 或x >1a ，当a <0时，化为(x −1a )(x −a)<0，当−1<a <0时，得到1a <x <a当a =−1时，得到x ∈ϕ，当a <−1时，得到a <x <1a ，综上所述，a <−1时，原不等式的解集为：(a,1a )a =−1时，原不等式的解集为：⌀，−1<a <0时，原不等式的解集为：(1a ,a)，a =0时，原不等式的解集为：(−∞,0)0<a <1时，原不等式的解集为：(−∞,a)∪(1a ,+∞)，a >1原不等式的解集为：(−∞,1a )∪(a,+∞)．解析：(1)当a >0时，函数f(x)=ax 2−(a 2+1)x +a 的图象开口方向朝上，若f(x)<0在x ∈(1,2)上恒成立，只需{f(1)≤0f(2)≤0，解得a 的范围； (2)f(x)=ax 2−(a 2+1)x +a >0⇔(ax −1)(x −a)>0，对a 值进行分类讨论，可得不同情况下，不等式的解集．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键． 21.答案：(1)证明：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由于a 17=33，S 7=49，则：{a 1+16d =337a 1+21d =49，解得：a 1=1，d =2，所以：a n =2n −1． 则：a 1=1，a 5=9，a 41=81，即：a 52=a 1⋅a 41．所以：a 1，a 5，a 41成等比数列．(2)解：由(1)得：a n ⋅3n =(2n −1)⋅3n ，则：T n =1⋅31+3⋅32+⋯+(2n −1)⋅3n ①，则：3T n =1⋅32+3⋅33+⋯+(2n −1)⋅3n+1②①−②得：−2T n =3+2(32−3n+11−3)−(2n −1)⋅3n+1，整理得：T n =(n −1)⋅3n+1+3．故数列的前n 项和为：T n =(n −1)⋅3n+1+3解析：(1)首先根据通项公式建立方程组，进一步求出数列a 1，a 5，a 41成等比数列．(2)利用(1)的结论，进一步求出a n ⋅3n =(2n −1)⋅3n ，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和． 本题考查的知识要点：等差数列通项公式的应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用． 22.答案：解：(1)∵b 2+c 2−√2bc =a 2，即b 2+c 2−a 2=√2bc ，∴cosA =b 2+c 2−a 22bc =√22， ∵A 为三角形内角，∴A =π4；(2)将c b =2√2，利用正弦定理化简得：sinC sinB=2√2，即sinC =2√2sinB ， ∴sin(3π4−B)=2√2sinB ，即√22cosB +√22sinB =2√2sinB ， 整理得：3√22sinB =√22cosB ， 则tanB =13．解析：本题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．(1)由余弦定理表示出cos A ，将已知等式变形后代入求出cos A 的值，即可确定出A 的度数；(2)已知等式利用正弦定理化简，得到关系式，由A 的度数及内角和定理表示出C ，代入关系式中利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后即可确定出tan B 的值．。

绝密★启用前甘肃省会宁县第一中学2020学年高二上学期期中考试数学试题评卷人得分一、单选题1．已知，下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】【分析】根据不等式性质得D成立，举例说明A,B,C错误.【详解】因为2>1,-1>-2,2(-1)=1(-2),所以A错；因为2>1 ,2✖02=1✖02,所以B错；因为-2<-1,->-1 ,所以C错；由不等式性质得若，则，所以D对，选D.【点睛】本题考查不等式性质，考查分析判断能力.2．已知集合，，则=（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】先求集合A,B，再根据交集定义求结果.【详解】因为，，所以= ，选B.【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在中，，则（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】【分析】由正弦定理可求得sinB==，结合范围，即可解得B的值．【详解】∵∴由正弦定理可得：sinB===，,∴解得：B=或π．故选：C．【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，属于基本知识的考查．4．在各项都为正数的数列中，首项，且点在直线上，则数列的前项和为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】代入点，化简可得数列{a n}为首项为2，公比为3的等比数列，由等比数列的求和公式，化简计算即可得到所求和．【详解】在正数数列{a n}中，a1=2，且点在直线x﹣9y=0上，可得a n2=9a n﹣12，即为a n=3a n﹣1，可得数列{a n}为首项为2，公比为3的等比数列，则{a n}的前n项和S n等于==3n﹣1．故选：B．【点睛】本题考查数列与解析几何的综合运用，是一道好题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等比数列的前n项和公式和通项公式的灵活运用．5．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部尺，重斤，尾部尺，重斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”A．6斤B．7斤C．斤D．斤【答案】D【解析】【分析】将原问题转化为等差数列的问题，然后利用等差数列的性质求解即可. 【详解】原问题等价于等差数列中，已知，求的值.由等差数列的性质可知：，则，即中间三尺共重斤.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查等差数列的实际应用，等差数列的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．等差数列中，，且，为其前项和，则（）A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】【分析】由题意可得：由等差数列的性质可得．即可得到答案.【详解】由题意可得：因为a10＜0，a11＞0，且a11＞|a10|，所以由等差数列的性质可得：．故选B．【点睛】本题主要考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，掌握等差数列的前n 项和公式．7．不等式对于一切恒成立，那么的取值范围（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】当时不等式即为，对一切恒成立，当时，利用二次函数的性质列出满足的条件，结合两种情况，即可得到答案．【详解】当时不等式即为，对一切恒成立，当时，则须，解得，所以，综上所述，实数的取值范围是，故选B．【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题的求解，其中解答中熟练应用一元二次函数的图象与性质，注意对二次项系数的分类讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．8．已知数列的前项和，则数列的前项和为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】先根据和项与通项关系求，根据等比数列定义判断为等比数列，最后根据等比数列求和公式得结果.【详解】当时;当时;所以，，因此数列为等比数列，前项和为，选C.【点睛】给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.9．设的内角所对的边分别为,若，则的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形【答案】B【解析】【分析】先利用三角恒等变换化简2sin A cos B＝sin C得A=B.【详解】由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0，因为－π<A－B<π，所以A＝B.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)三角恒等变换时，要“三看”（看角看名看式）“三变”（变角变名变式）.10．.已知数列的通项公式为，设其前项和为，则使成立的正整数有A．最小值B．最大值C．最小值D．最大值【答案】A【解析】【分析】先有{a n}的通项公式和对数的运算性质，求出S n，再把S n＜-5转化为关于n 的不等式即可．【详解】∵，，又因为，故使S n＜-5成立的正整数n有最小值：63故选：A．【点睛】本题考查了数列的求和以及对数的运算性质，是一道基础题．11．已知，则函数的最小值是（）A．2 B．C．D．【答案】C【解析】【分析】利用二倍角公式求出，再利用基本不等式，即可求出答案【详解】，则故选【点睛】本题主要考查了函数的最小值的求法，考查了二倍角公式，注意运用基本不等式，考查了运算能力，属于基础题12．在中，角所对的边分别为，若，，则周长的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得，结合的范围可求，再由余弦定理求得，再由基本不等式，求得的范围，即可得到的范围，进而可求周长的范围．【详解】∵，，可得：，，解得，∵，∴由余弦定理可得∵由，，得，∴，即．∴周长．故选：A．【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理及运用，同时考查基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题13．已知，满足，则的最大值为______.【答案】2【解析】【分析】先作可行域，再根据目标函数所表示的直线结合图象确定最大值取法,最后计算得结果.【详解】可行域如图，则直线过点A(1,0)时取最大值2.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14．各项均为正数的等比数列的前项和为，已知，,则______.【答案】10【解析】【分析】根据等比数列和项性质列方程解得结果.【详解】由题意得，成等比数列，则，所以,或90，因为各项均为正数，所以>，因此. 【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.15．函数的最小值是______.【答案】5【解析】【分析】利用导数确定函数单调性，再见单调性确定函数最小值.【详解】因为当时，所以当时最小值为5.【点睛】本题考查利用函数单调性求最值，考查利用导数求函数单调性，考查基本求解能力.16．已知数列为正项的递增等比数列，，记数列的前项和为，则使不等式成立的最大正整数的值为______. 【答案】6【解析】【分析】先根据条件求出首项与公比，再根据等比数列求和公式求，化简不等式解得，最后确定满足条件的最大正整数的值.【详解】由数列为正项的递增等比数列，得公比>0由得,,,所以因此满足条件的最大正整数的值为6.【点睛】本题考查等比数列通项公式、求和公式以及解指数不等式，考查基本求解能力.评卷人得分三、解答题17．（1）已知，且，求的最小值；（2）已知,，，求证：.【答案】（1）9 ；（2）8 .【解析】【分析】（1）利用1的代换化简，再根据基本不等式求最值，（2）利用1的代换化简，再根据基本不等式证不等式.【详解】（1）由基本不等式可得，当且仅当，等号成立，因此的最小值为9，（2）因为，所以，因此当且仅当等号成立，当且仅当等号成立，，当且仅当等号成立，所以，当且仅当等号成立，因为，所以，所以.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 18．如图，在ABC ∆中， 36,4AB B π=∠=， D 是BC 边上一点，且3ADB π∠=.（1）求AD 的长；（2）若10CD =，求AC 的长及ACD ∆的面积. 【答案】(1) 6AD = (2) 153S =【解析】试题分析：（1）在ABC ∆中由正弦定理可求得AD 的长；（2）在ACD ∆中，由余弦定理可得14AC =，利用12sin23S AD DC π=⋅⋅可得所求面积。

甘肃省会宁县第一中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题 文一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.无字证明是指只用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与条理，由右图可证明 ( ) A ．b a b a +≥+22 B ．224b a ab +≥ C ．ab b a 2≥+D ．ab b a 222≥+2.在ABC ∆中，2=a ，3=b ，4π=A ，则=B ()( )A ．3π B ．32π C ．3π或32π D ．6π 3.在ABC ∆中，7:5:3::=c b a ，那么ABC ∆是 ( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形D ．非钝角三角形4.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若ABC ∆的面积为4222cb a -+，则角C＝ ( )( )A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 5.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部尺，重斤，尾部尺，重斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．” ( )A ． 6斤B ． 7斤C ． 斤D ． 斤 6.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足A c sin C a cos 3=，则B A sin sin + 的最大值是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．37.设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若9535=a a ，则=59S S( ) A ．1 B ．1- C ．2 D ．218.已知数列}{n a 为等差数列，若11011-<a a ，且其前n 项和n S 有最大值，则使得0>n S 的最大值n 为 ( )A ．11B ．19C ．20D ．219.已知等差数列}{n a 其前n 项和为n S ，且110=S ，530=S ，那么=40S ( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．1010.若数列}{n a 的通项公式为122-+=n a nn ，则数列}{n a 的前n 项和为( )A ．122-+n nB ．1221-++n nC ．2221-++n nD ．222-+n n 11.若223=+y x ，则y x 48+的最小值为 ( )A ．4B ．24C ．2D ．22 12.当4≥x 时，14-+x x 的最小值为 ( ) A ．5 B ．4 C ．211 D ．316 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥++02042032x y x y x ，则y x z 31+=的最大值是______.14.已知数列}{n a 的前n 项和1232+-=n n S n ，则其通项公式为______.15.已知数列}{n a 满足21-=a ，且631+=+n n a a ，则=n a ______.16.函数)1(122>-+=x x x y 的最小值为______.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）解关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0(a ∈R )18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足0cos 3sin =-A b B a (1)求A ； (2)若7=a ，2=b ，求ABC ∆的面积．19.（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若11010=S ，且1a ，2a ，4a 成等比数列．(1)求数列}{n a 的通项公式； (2)设数列}{n b 满足)1)(1(1+-=n n n a a b ，求数列}{n b 前n 项和n T .20.（本小题满分12分）已知关于x 的函数)(12)(2R a ax x x f ∈+-=.(1)当3=a 时，求不等式0)(≥x f 的解集；(2)若0)(≥x f 对任意的),0(+∞∈x 恒成立，求实数a 的最大值.21.（本小题满分12分） 设数列{}n a 满足12a =，12n n a a +=，数列{}n b 的前n 项和()212n S n n =+． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .22.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足22)21cos (b a b B a c -=-. (1)求角A ；(2)若a ＝3，求b ＋c 的取值范围．会宁一中2019-2020学年度第一学期期中考试高二年级数学（文科）试卷参考答案一、选择题二、填空题13. 3 14. ⎩⎨⎧≥=-=21,56,2n n n a n15. 331--n 16. 232+ 三、解答题17.由x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0，得(x －a )(x －1)＝0，∴x 1＝a ，x 2＝1，①当a >1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |1<x <a }， ②当a ＝1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为∅， ③当a <1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |a <x <1}．18.(1)因为a sin B －3b cos A ＝0，所以由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝ 3.由于0<A <π所以A ＝π3．(2)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 而a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0，因为c >0， 所以c ＝3，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝332．19.(1)由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧a 22＝a 1a 4S 10＝110⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d 2＝a 1a 1＋3d10a 1＋45d ＝110解a 1＝d ＝2，故数列a n ＝2n ；(2)由(1)可知b n ＝12n －12n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)，则T n ＝12[(11－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12(1－12n ＋1) 20.（1）由题意，当3a =时，函数()2231f x x x =-+，由()0f x ≥，即2231(1)(21)0x x x x -+=--≥，解得1x ≥或12x ≤， 所以不等式()0f x ≥的解集为1|12x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或. （2）因为()2210f x x ax =-+≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，即12a x x≤+， 又由1122222x x x x +≥⋅=，当且仅当12x x =时，即22x =时，取得最小值， 所以22a ≤，即实数a 的最大值为22.21.（1）数列{}n a 满足12a =，12n n a a +=，则12n na a +=（常数） 所以数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式为：1222n nn a -=⋅=，又由数列{}n b 的前n 项和()212n S n n =+， 1n =当时，解得11b =，当2n ≥时，()221111(1)(1)222n n n b S S n n n n n -=-=+----=．由于首项11b =符合通项n b n =，所以数列{}n b 的通项公式为n b n =．（2）由（1）得：2nn n n c a b n ==⋅， 所以1212222nn T n =⋅+⋅++⋅L ①，231212222n n T n +=⋅+⋅++⋅L ②，①-②得：()1212222nn n T n +-=+++-⋅L ，解得：1(1)22n n T n +=-⋅+．22.(1)∵c (a cos B －12b )＝a 2－b 2∴a 2＋c 2－b 2－bc ＝2a 2－2b 2，a 2＝b 2＋c 2－bc ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴cos A ＝12.又0<A <π，∴A ＝π3.(2)∵a ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc sin A ， 3＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，∵bc ≤(b ＋c2)2, 3≥(b ＋c )2－3(b ＋c2)2， (b ＋c )2≤12，即b ＋c ≤23， ∵b ＋c >a ＝3，b ＋c ∈(3，23]．。

会宁一中2019-2020学年度第一学期期中考试高二级数学（理科）试卷命题教师： 审题教师：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.无字证明是指只用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与条理，由右图可证明 ( ) A ．b a b a +≥+22 B ．224b a ab +≥ C ．ab b a 2≥+D ．ab b a 222≥+2.在ABC ∆中，2=a ，3=b ，4π=A ，则=B ( )( )A ．3π B ．32π C ．3π或32π D ．6π3.在ABC ∆中，7:5:3::=c b a ，那么ABC ∆是 ( ) A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．非钝角三角形4.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若ABC ∆的面积为4222cb a -+，则角C ＝ ( )( )A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π5.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足A c sin C a cos 3=，则B A sin sin + 的最大值是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．36.设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若9535=a a ，则=59S S( ) A ．1 B ．1- C ．2 D ．217.已知数列}{n a 为等差数列，若11011-<a a ，且其前n 项和n S 有最大值，则使得0>n S 的最大值n 为 ( )A ．11B ．19C ．20D ．218.已知各项都是正数的等比数列}{n a ，n S 为其前n 项和，且103=S ，709=S ，那么=12S ( )A ．150B ．200C ．150或200-D ．200或150-9.若数列}{n a 的通项公式为122-+=n a nn ，则数列}{n a 的前n 项和为( )A ．122-+n nB ．1221-++n nC ．2221-++n nD ．222-+n n 10.若223=+y x ，则y x 48+的最小值为 ( )A ．4B ．24C ．2D ．22 11.当4≥x 时，14-+x x 的最小值为 ( ) A ．5 B ．4 C ．211 D ．316 12.如果方程02)1(22=-+-+m x m x 的两个实根一个小于1-，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是 ( )A ．(0，1)B ．(－2，1)C ．(－2，0)D ．(2-，2)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥++02042032x y x y x ，则y x z 31+=的最大值是______.14.已知数列}{n a 的前n 项和1232+-=n n S n ，则其通项公式为______.15.已知数列}{n a 满足21-=a ，且631+=+n n a a ，则=n a ______.16.函数)1(122>-+=x x x y 的最小值为______.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足0cos 3sin =-A b B a (1)求A ；(2)若7=a ，2=b ，求ABC ∆的面积．18.（本小题满分12分）已知关于x 的函数)(12)(2R a ax x x f ∈+-=. (1)当3=a 时，求不等式0)(≥x f 的解集；(2)若0)(≥x f 对任意的),0(+∞∈x 恒成立，求实数a 的最大值.19.（本小题满分12分）解关于x 的不等式：01)1(2<++-x a ax )(R a ∈20.（本小题满分12分）设n S 是等比数列}{n a 的前n 项和.已知1a ，2a ，2S 成等差数列，423=S . (1)求数列}{n a 的通项公式n a ； (2)设n nn na b 2=.若21+=n n n b b c ，求数列}{n c 的前n 项和n T . 21.（本小题满分12分）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且132-=n n a S . (1)求数列}{n a 的通项公式；(2)设nn a nb =，求数列}{n b 的前n 项和n T .22.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足22)21cos (b a b B a c -=-.(1)求角A ；(2)若a ＝3，求b ＋c 的取值范围．会宁一中2019-2020学年度第一学期期中考试高二级数学试卷参考答案一、选择题二、填空题13. 3 14.15. 16.三、解答题17.(1)因为a sin B －b cos A ＝0，所以由正弦定理，得sin A sin B －sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝.由于0<A <π所以A ＝3π．(2)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 而a ＝，b ＝2，A ＝3π，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0，因为c >0， 所以c ＝3，∴S △ABC ＝21bc sin A ＝23．18.（1）由题意，当时，函数，由，即，解得或，所以不等式的解集为.（2）因为对任意的恒成立，即，又由，当且仅当时，即时，取得最小值，所以，即实数的最大值为.19.若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1＜0，解得x ＞1.若a ＜0，则原不等式等价于(x －a 1)(x －1)＞0，解得x ＜a 1或x ＞1. 若a ＞0，原不等式等价于(x －a 1)(x －1)＜0. ①当a ＝1时，a 1＝1，(x －a 1)(x －1)＜0无解； ②当a ＞1时，a 1＜1，解(x －a 1)(x －1)＜0得a 1＜x ＜1；③当0＜a ＜1时，a 1＞1，解(x －a 1)(x －1)＜0得1＜x ＜a 1. 综上所述：当a ＜0时，解集为{x |x ＜a 1或x ＞1}；当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当0＜a ＜1时，解集为{x |1＜x ＜a 1}； 当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为{x |a 1＜x ＜1}．20.(1)设等比数列的公比为，由题意知即，，解得又由，解得所以（2）由（1），所以所以数列的前项和21.(1)由2S n ＝3a n －1①2S n －1＝3a n －1－1(n ≥2)②①－②得2a n ＝3a n －3a n －1，∴an －1an＝3(n ≥2)， 又当n ＝1时，2S 1＝3a 1－1，即a 1＝1， ∴{a n }是首项为1，公比为3的等比数列， ∴a n ＝3n －1. (2)由①得：b n ＝3n －1n∴T n ＝301＋312＋323＋…＋3n －1n，③ 31T n ＝311＋322＋…＋3n －1n －1＋3n n，④③－④得：32T n ＝301＋311＋321＋…＋3n －11－3n n＝31－3n n ＝23－2×3n 2n ＋3，∴T n ＝49－4×3n 6n ＋9.22.(1)∵c (a cos B －21b )＝a 2－b 2∴a 2＋c 2－b 2－bc ＝2a 2－2b 2，a 2＝b 2＋c 2－bc ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴cos A ＝21.又0<A <π，∴A ＝3π.(2)∵a ＝，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc sin A ， 3＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ， ∵bc ≤(2b ＋c )2, 3≥(b ＋c )2－3(2b ＋c)2， (b ＋c )2≤12，即b ＋c ≤2， ∵b ＋c >a ＝，b ＋c ∈(，2]．。

会宁一中2019-2020学年度第一学期期中考试高二级数学（理科）试卷一、选择题1.无字证明是指禁用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与条理，请写出该图验证的不等式（ ）A. 22a b a b +≥+B. 224ab a b ≥+C. 2a b ab +≥D. 222a b ab +≥【答案】D【解析】从图形可以看出正方形的面积比8个直角三角形的面积和要大，当中心小正方形缩为一个点时，两个面积相等；因此21()842a b ab ab +≥⨯=，所以222a b ab +≥，选D. 2.在ABC ∆中，2a =3b =4A π=，则B =（ ） A. 3π B. 23π C. 3π或23π D. 6π 【答案】C【解析】【分析】 根据正弦定理可知：sin sin a b A B=，由此可计算出sin B 的值，根据“大边对大角，小边对小角”取舍B 的值. 【详解】因为sin sin a b A B =23sin 2B =，所以3sin 2B =，又因为b a >，所以B A >，所以3B π=或23π. 故选：C. 【点睛】本题考查根据正弦定理求角，难度较易.利用正弦定理求解角时，若出现多解，可通过“大边对大角，小边对小角”的结论进行角度取舍.3.在ABC ∆中，::3:5:7a b c =，那么ABC ∆是（ ）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 非钝角三角形【答案】B【解析】因为::3:5:7a b c =，所以可设3,5,7a t b t c t === ，由余弦定理可得222925491cos 2352t t t C t t +-==-⨯⨯ ，所以120C =o ，ABC ∆是钝角三角形，故选B. 【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理的应用以及判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.4.ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C = A. π2 B. π3 C. π4 D. π6【答案】C【解析】分析：利用面积公式12ABC S absinC =V 和余弦定理2222a b c abcosC +-=进行计算可得。

甘肃省会宁第一中学2020-2021学年上学期高二年级期中考试数学试卷（理科）（考试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题：每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在等比数列{}n a 中，若0n a >且3764a a =，5a 的值为A 、2B 、4C 、6D 、8 2．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知,13A a b π===，则c =（ ）A 、1B 、2 C1 D3．已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （ ）A 、 100B 、99C 、98D 、97 4．在ABC ∆中，13:11:5::=c b a ，那么ABC ∆是A 、直角三角形B 、钝角三角形C 、锐角三角形D 、非钝角三角形 5．在ABC ∆中，cos25C =，1BC =，5AC =，则AB =（ ） A、 BCD、6等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231n n a nb n =+，则2121S T 的值为 A 、1315 B 、2335 C 、1117 D 、497．在等比数列{}n a 中，若4a 、8a 是方程2430x x -+=的两根，则6a 的值是A、 BC、 D 、3± 8．已知0,0,2a b a b >>+=，则14y a b=+的最小值是（ ） A 、72 B 、4 C 、92D 、5 9．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,,a b c 成等比数列，且2c a =，则cos B =A 、41 B 、43 C 、42 D 、3210．等差数列{}n a 中，已知611||||a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为A 、6B 、7C 、8D 、911在各项都为正数的等比数列{}n a ，若965=⋅a a ，则103332313log log log log a a a a +++等于A 、8B 、10C 、12D 、5log 23+12．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知()()3a b c a b c ab +-⋅++=，且4c =，则ABC ∆面积的最大值为A 、3B 、32C 、34D 、38 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．等比数列,33,66,x x x ++的第四项等于14．若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，，则z x y =+的最大值为15．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = 16．若对任意0x >，231xa x x ≤++恒成立，则a 的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 的前n 项和记为n S 已知102030,50.a a == （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若242n S =，求n18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，13tan ,tan 45A B == （1）求角C 的大小；（2）若ABC ∆19．（本小题满分12分）（1）求不等式26510x x -+>的解集；（2）求不等式22(21)30x m x m m -+-->的解集20．（本小题满分12分）某观测站C 在城A 的南偏西020的方向，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东040，在C 处测得公路上B 处有一个人，距C 为31千米，正沿公路向A 城走去，走了20千米后到达D 处，此时CD 间的距离为21千米，则这人达到A 城还要走多少千米21．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos cos cos cos C A B A B +⋅=⋅1求cos B 的值；2若1a c +=，求b 的取值范围22．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，413n n S -=n N +∈ 1求数列{}n a 的通项公式； 2设2log n b ={}nnb a 的前n 项和n T甘肃省会宁第一中学2020-2021学年上学期高二年级期中考试数学试卷（理科）参考答案1．D 【解析】237564a a a ==，又0n a >，所以5a 的值为8，故选D2．B 【解析】由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，代入数据得220c c --=，得2c =或1c =-（舍） 3．C 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由95279S a ==，得53a =又108a =，则10555d a a =-=，1d =100109089098a a d =+=+=4．B5．A 【解析】在ABC ∆中，23cos 215C =⨯-=-，AB =6 C 【解析】错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!7．B 【解析】解方程0342=+-x x 可得1=x 或3=x ，故14=a 、38=a 或34=a 、18=a ，故38426=⋅=a a a ，故36±=a ，又4a 、6a 、8a 同号，04>a ，故36=a ，故选B 。

第一学期期中考试 高二级数学（理科）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.无字证明是指只用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与条理，由右图可证明 ( ) A ．b a b a +≥+22 B ．224b a ab +≥ C ．ab b a 2≥+D ．ab b a 222≥+2.在ABC ∆中，2=a ，3=b ，4π=A ，则=B ( )( )A ．3π B ．32π C ．3π或32π D ．6π3.在ABC ∆中，7:5:3::=c b a ，那么ABC ∆是 ( ) A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．非钝角三角形4.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若ABC ∆的面积为4222cb a -+，则角C ＝ ( )( )A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π5.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足A c sin C a cos 3=，则B A sin sin + 的最大值是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．36.设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若9535=a a ，则=59S S( ) A ．1 B ．1- C ．2 D ．217.已知数列}{n a 为等差数列，若11011-<a a ，且其前n 项和n S 有最大值，则使得0>n S 的最大值n 为 ( )A ．11B ．19C ．20D ．218.已知各项都是正数的等比数列}{n a ，n S 为其前n 项和，且103=S ，709=S ，那么=12S ( )A ．150B ．200C ．150或200-D ．200或150-9.若数列}{n a 的通项公式为122-+=n a nn ，则数列}{n a 的前n 项和为( )A ．122-+n nB ．1221-++n nC ．2221-++n nD ．222-+n n 10.若223=+y x ，则y x 48+的最小值为 ( )A ．4B ．24C ．2D ．22 11.当4≥x 时，14-+x x 的最小值为 ( ) A ．5 B ．4 C ．211 D ．316 12.如果方程02)1(22=-+-+m x m x 的两个实根一个小于1-，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是 ( )A ．(0，1)B ．(－2，1)C ．(－2，0)D ．(2-，2)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥++02042032x y x y x ，则y x z 31+=的最大值是______.14.已知数列}{n a 的前n 项和1232+-=n n S n ，则其通项公式为______.15.已知数列}{n a 满足21-=a ，且631+=+n n a a ，则=n a ______.16.函数)1(122>-+=x x x y 的最小值为______.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足0cos 3sin =-A b B a (1)求A ；(2)若7=a ，2=b ，求ABC ∆的面积．18.（本小题满分12分）已知关于x 的函数)(12)(2R a ax x x f ∈+-=. (1)当3=a 时，求不等式0)(≥x f 的解集；(2)若0)(≥x f 对任意的),0(+∞∈x 恒成立，求实数a 的最大值.19.（本小题满分12分）解关于x 的不等式：01)1(2<++-x a ax )(R a ∈20.（本小题满分12分）设n S 是等比数列}{n a 的前n 项和.已知1a ，2a ，2S 成等差数列，423=S . (1)求数列}{n a 的通项公式n a ； (2)设nnn na b 2=.若21+=n n n b b c ，求数列}{n c 的前n 项和n T . 21.（本小题满分12分）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且132-=n n a S . (1)求数列}{n a 的通项公式；(2)设nn a nb =，求数列}{n b 的前n 项和n T .22.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足22)21c o s (b a b B a c -=-.(1)求角A ；(2)若a ＝3，求b ＋c 的取值范围．高二级数学试卷参考答案一、选择题二、填空题13. 3 14. 15. 16.三、解答题17.(1)因为a sin B －b cos A ＝0，所以由正弦定理，得sin A sin B －sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝.由于0<A <π所以A ＝3π．(2)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，而a ＝，b ＝2，A ＝3π，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0，因为c >0， 所以c ＝3，∴S △ABC ＝21bc sin A ＝23．18.（1）由题意，当时，函数， 由，即，解得或，所以不等式的解集为.（2）因为对任意的恒成立，即，又由，当且仅当时，即时，取得最小值，所以，即实数的最大值为.19.若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1＜0，解得x ＞1.若a ＜0，则原不等式等价于(x －a 1)(x －1)＞0，解得x ＜a 1或x ＞1. 若a ＞0，原不等式等价于(x －a 1)(x －1)＜0. ①当a ＝1时，a 1＝1，(x －a 1)(x －1)＜0无解； ②当a ＞1时，a 1＜1，解(x －a 1)(x －1)＜0得a 1＜x ＜1； ③当0＜a ＜1时，a 1＞1，解(x －a 1)(x －1)＜0得1＜x ＜a 1. 综上所述：当a ＜0时，解集为{x |x ＜a 1或x ＞1}；当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当0＜a ＜1时，解集为{x |1＜x ＜a 1}； 当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为{x |a 1＜x ＜1}．20.(1)设等比数列的公比为，由题意知即，，解得又由，解得所以（2）由（1），所以所以数列的前项和21.(1)由2S n ＝3a n －1①2S n －1＝3a n －1－1(n ≥2)②①－②得2a n ＝3a n －3a n －1，∴an －1an＝3(n ≥2)， 又当n ＝1时，2S 1＝3a 1－1，即a 1＝1， ∴{a n }是首项为1，公比为3的等比数列， ∴a n ＝3n －1. (2)由①得：b n ＝3n －1n∴T n ＝301＋312＋323＋…＋3n －1n，③31T n ＝311＋322＋…＋3n －1n －1＋3n n，④③－④得：32T n ＝301＋311＋321＋…＋3n －11－3n n＝31－3n n ＝23－2×3n 2n ＋3，∴T n ＝49－4×3n 6n ＋9.22.(1)∵c (a cos B －21b )＝a 2－b 2∴a 2＋c 2－b 2－bc ＝2a 2－2b 2，a 2＝b 2＋c 2－bc ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴cos A ＝21.又0<A <π，∴A ＝3π.(2)∵a ＝，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc sin A ， 3＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ， ∵bc ≤(2b ＋c )2, 3≥(b ＋c )2－3(2b ＋c )2， (b ＋c )2≤12，即b ＋c ≤2， ∵b ＋c >a ＝，b ＋c ∈(，2]．。