江苏省南京师大苏州实验学校2019_2020学年高二数学9月月考试题201911040235

高二下第一次月考数学试题（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1.已知f(x)x a，若f (1)4，则a的值等于（）A.4B.－4C.5D.－52.曲线y e x在点(0,1)处的切线方程为（）A.y x 1B.y x 1C.y x 1D.y x 13.由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形.根据“三段论”推理得出一个结论，则这个结论是（）A.平行四边形的对角线相等B.正方形的对角线相等C.正方形是平行四边形D.以上都不是4.欧拉公式e i cos i s in (e为自然对数的底数，i为虚数单位)是瑞士著名数学家欧拉发明的，e i 10被英国科学期刊《物理世界》评选为十大最伟大的公式之一，根据欧拉公式可知，复数e - i6的虚部为（）A.111i B.i C.222D.125.某个自然数有关的命题，如果当n k 1(n N )时，该命题不成立，那么可推得n k 时，该命题不成立.现已知当n 2016时，该命题成立，那么，可推得（）A. C.n 2015n 2015时，该命题成立时，该命题不成立B.D.n 2017n 2017时，该命题成立时，该命题不成立122226.一个几何体的三视图如题(6)图所示，则该几何体的侧面积为（）2正视图2侧视图A.23B.43C.4D.8题(6)图俯视图7.若函数f(x)x33x a有一个零点，则实数a的取值范围是（）A.a 2B.(2,2)C.(,2)(2,)D.[2,2]8. 曲线y sin x（0x )与直线y=12围成的封闭图形的面积为（）A．3 B.2-3 C.2-3D.3-39.函数（f x）=sin x1n(x 2)的图象可能是（）A B C D 10．某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数.（1）sin213cos217sin13cos17（2）sin218cos212sin18cos12（3）sin2(18 )cos248sin(18)cos48（4）sin2(25 )cos255sin(25)cos55则这个常数为（）A.4 3B. 1C.3 4D. 011.已知椭圆x2y2195的右焦点为F,P是椭圆上一点，点A0,23，当APF的周长最大时，APF的面积等于（）A.113213B.44C.11 21D.4 412.已知函数f(x)ax2bx ln x(a 0,b R),若对任意x 0，f(x)f(1)，则（）A.ln a 2b B .ln a 2b C.ln a 2b D.ln a 2b第II卷（非选择题，共90分）2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.若复数z满足zi 1i，则z14.用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积为_________m3.15.已知等差数列{a}n ，若a ab 12nan，则数列{b}n也是等差数列，类比上述结论，可得：已知等比数列{c}n，若dn nc c12c(c 0)n n，则数列{d}n也是等比数列；已知等差数列{a}，若bn n a 2a na1212n n，则数列{b}n也是等差数列，类比上述结论，可得：已知等比数列{c}n，若dn ，则数列{d}n也是等比数列.16．已知偶函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f (x)，当x 0时有2f(x)xf (x)x2，则不等式(x 2016)2f(x 2016)4f (2) 0的解集为.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）函数f(x)ax ln x b在1,f(1)处的切线方程为y x 1（1）求f(x)（2）求f(x)的解析式；的极值．18．（本小题满分12分）在数列{a}中，a=1，an 12an(n N*) 2ana,a,a（1）求的值；234（2）猜想这个数列的通项公式并用数学归纳法证明.D C1A1B 119.（本小题满分12分）如题(19)图，直四棱柱ABCD A BC D1111中，D CDC DD 2A D 2A B,AD DC,1AB∥DC．A B题(19)图nn 113（1）求证：平面BCD 平面D BD；11（2）求二面角B AC D的大小．1120.（本小题满分12分）设函数f(x)(a x2ax 1)e x，其中a R．（1）若f(x)在其定义域内是单调函数，求a的取值范围；（2）若f(x)在(0,1)内存在极值点，求a的取值范围.21.(本小题满分12分)从抛物线C：x22py(p 0)外一点P作该抛物线的两条切线PA、PB（切点分别为A、B），分别与x轴相交于C、D，若AB与y轴相交于点Q，点M x,4在抛物线C上，且MF 6（F为抛物线的焦点）.（1）求抛物线C的方程；（2）求证：四边形PCQD是平行四边形.22.（本小题满分12分）已知函数f(x)=ln(1+x)axx a．（1）若a 1，讨论f(x)在(0,)上的单调性；（2）设n N*，比较12n与n ln(1n)23n 1的大小，并加以证明．4月考题参考答案1.A2.A3.B4.C5.B6.D7.C8.D9.A 10.C 11.B12.A13.1i14. 3 15.dn12nc (c ) 122(c )33(c )nn16.{x | 2018 x 2014}17．（1）因为 f(x ) a (1 ln x )易知f (1) 2 b 2f (1)1 a 1f ( x ) x ln x 2…………………………5 分（2） f (x ) (1ln x )，令f (x ) 0 (1ln x )=0 x1 e……6 分列表xf '( x )1(0, )e负1 e1 ( , )e正f ( x )单调递减极小值单调递增………………………………………………………………………………9 分所以 f ( x )的极小值为 1 1 f ( ) 2 e e，无极大值.………………………10 分18.（1） a22 1 2 , a , a32 5………………………………4 分 2（2）猜想： a ……………………………………………………6 分n 1证明如下：当 n =1 时，a =1， 2 2 1 n 1 2，猜想成立.………………7 分假设 n =k (k N *, k 1) 时， a k2 k 1成立，……………………8 分那么，当 n =k +1 时， a k 12ak 2 a k2 4 2= 2 2k 4 k 2 (k 1) 1 k 1 k 1……11 分∴当 n =k +1 时，猜想成立.综上，由数学归纳法可知，an 2 n 1对一切正整数成立.………………12 分19． （1）以点 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示： 设 AD AB1 ,则 D1A (0,0,1),B (1,1,0),C (0,2,0)A1A (1,0,2),B (1,1,2),C (0,2,2),D (0,0,2) ………2 分1111zB1C1y34 n1 2 2 k 1 k 12+D C 5A BBC (1,1,0),BD (1,1,2)DD (0,0,2)（1）11BC BD (1,1,0)(1,1,2)0,B C BD11BC DD (1,1,0)(0,0,2)0,B C DD ,B C11平面BCD 平面D BD;………………5分11平面D DB1（2）A B (0,12),AC (1,2,2),AD (1,0,0),1111设平面BAC1与平面ACD11的法向量分别为：m (x,y,z),n (a,b,c)则m A C1m A B1x2y 2z 0x 2zy 2z 0y 2z，令z 1,则m (2,2,1),…………7分n A C1n A D11x2y 2z 0x 0y z，令z 1,则n (0,1,1),……………9分c os m,nm n3 2|m||n|322，………………………………………………11分二面角B AC D11的大小为34.…………………………………………………12分20．（1）f (x)(a x23ax a 1)e x……………………1分当a 0时，f (x)e x 0，符合题意；…………2分当a 0时，若f(x)在R上单调递增，则f (x )(a2x3a xa1x)e恒0成立ax23ax a 10恒成立9a24a(a 1)0a 00a45即0a45；………………5分若f(x)在R上单调递减，则f (x )(a2x3a xa1x)e恒0成立ax23ax a 10恒成立9a24a(a 1)0a 0a无解……6分0a4x 05……………………………………7分6（2）要使 f ( x )在 (0,1)内存在极值，由（ 1）知首先有a 0或a4 5，另外还需要方程g ( x ) ax 2 3ax a 1 0 的根在 (0,1)内，由于对称轴 3 x 02只需g (1)g (0)0 （5a 1)(a 1) 01a1 5…………10 分所以 15a1．……………………12 分21. 解：（1）因为MF4p 26所以 p 4，即抛物线 C 的方程是 x 28 y……4 分（2）由 x28 y得yx 2x ， y '84 ………………5 分设x 2 x 2，则直线 PA的方程为x 2xx 11 x x 8 4， ①…………………………………………6 分则直线 PB的方程为yx 2x22 x x 84，②…………………………………………7 分由①和②解得：x x x xx 1 2 , y 1 2 2 8xx x x ，所以 P12 , 1 2 2 8……………………8 分设点Q0,t，则直线 AB 的方程为 y kx tx 2 8 y由 得 x y kx t 28k x 8t 0则x x 8k , x x8t 121 2…………………9 分所以 P4k ,t，所以线段 PQ的中点为（2k ,0)在①中，令 y 0解得 xx 1 2x x ，所以 C 1 ,0 ，同理得 D2 ,02 2，所以线段CD的中点坐标为xx 12,04，即 2k ,0……………………………………………………10 分即线段 C D 与线段 PQ 互相平分…………………………………………………………11 分因此，四边形 PCQD是平行四边形…………………………………………………12 分A x , 1 ,B x , 2 8 8 1 21222.解：（1）由题设，x0,,f x xx a 22ax 1xa2．…………2分7当a22a 0，即1a 2时，则f x0,fx的增区间为0,；……4分当a22a 0，即a>2时，有x 0,a22a 时，f x0,f x 的减区间为0,a22a ；有x a 22a,时，f x0,fx的增区间为a 22a,；．……6分综上可知，当1a 2时， f x 在0,上是增函数；当a>2时， fx在0,a22a 上是减函数，在a22a,上是增函数．（2）1 2nn ln(n 1)2 3n 1，………………………………7分证明如下：111x方法一：上述不等式等价于＋＋…＋<ln(n＋1)，先证明ln(1＋x)>，x>0.23n＋11＋x令g(x)ln(1x)x11x ,g(0)0,g (x)0 1x1x (1x)2(1x)2g(x)在(0,+)单调递增，g(x)g(0)=0ln(1x)x x0ln(1x)1x1x1n＋11…9分令x＝，n∈N ，则ln >即：n ＋n n＋1ln(n 1)ln n11n111故有ln2－ln1>，ln 3－ln2>，……，ln(n＋1)－ln n>，23n＋1111上述各式相加可得ln(n＋1)> ＋＋…＋，结论得证．………………12分23n＋111n＋1方法二：令x＝，n∈N，同方法一有<ln.下面用数学归纳法证明．n ＋n＋1n1当n＝1时，<ln 2，结论成立．2111假设当n＝k时结论成立，即＋＋…＋<ln(k＋1)．23k＋111111k＋2那么，当n＝k＋1时，＋＋…＋＋<ln(k＋1)＋<ln(k＋1)＋ln ＝ln(k23k＋1k＋2k＋2k＋1＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对n∈N 成立．＋x x12方法三：n d x是由曲线y＝，x＝n及x轴所围成的曲边梯形的面积，而＋＋ (x)＋1x＋123＋n是图中所示各矩形的面积和，n＋112n x1∴＋＋…＋>n d x＝n1－d x＝n－ln(n＋1)，结论得证．23n＋1x＋1x＋10 08。

高二数学阶段调研一、单选题（共8题，共40分）1.若i 是虚数单位，复数21ii-=+( ) A.1322i + B. 1322i -C.3322i + D.3322i - 【答案】B 【解析】 【分析】 将2i1i-+的分子分母都乘以分母的共轭复数1i -，即可化简出． 【详解】()()()()2i 1i 2i 13i 13i1i 1i 1i 222----===-++-Q ， 故选B ．【点睛】本题考查复数的除法运算，关键是将其分子分母都乘以分母的共轭复数．2.设复数z ＝﹣1+2i ，（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数z 在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】 【分析】写出共轭复数以及其对应点的坐标即可判断.【详解】因为复数z ＝﹣1+2i ，故其共轭复数为12i --， 则其对应的点为()1,2--,该点在第三象限. 故选：C .【点睛】本题考查共轭复数的求解，以及复数在复平面内对应点的求解.3.一个物体的运动方程为21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A. 5米/秒 B. 6米/秒C. 7米/秒D. 8米/秒【答案】A 【解析】【分析】由物体的运动方程为21s t t =-+，得()12s t t '=-+，代入3t =，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，物体的运动方程为21s t t =-+，则()12s t t '=-+， 所以物体在3秒末的瞬时速度是(3)1235s '=-+⨯=米/秒，故选A ．【点睛】本题主要考查了导数的计算，以及瞬时速度的计算，其中解答中熟悉导数的计算公式和瞬时速度的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．4.函数e xy x=在()0,2上的最小值是（ ）A.2e B.2eC.23e D. e【答案】D 【解析】 【分析】利用导数分析函数e xy x =在区间()0,2上的单调性，进而可求得该函数在区间()0,2上的最小值.【详解】xe y x =Q ，()21x e x y x-'∴=，令0y '=，可得1x =. 当01x <<时，0y '<；当12x <<时，0y '>.所以，函数e xy x=在1x =处取得极小值，亦即最小值，即min y e =.故选：D.【点睛】本题考查利用导数求函数在区间上的最值，考查计算能力，属于基础题.5.复数z 满足)i 1z =,则z =A. 1B.C. 2D. 【答案】A 【解析】由题知)(()()1-3i3-i1-3i z===-i 3+i 3+i3-i ，则()22011z =+-=．故本题答案选A ．6.如图，函数()y f x =的图象在点()()5,5P f 处的切线方程是()()855y x f f =-++'=，则A.12B. 1C. 2D. 0【答案】C 【解析】【详解】()()553(1)2f f '+=+-=，选C7.欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（ ） A .2i -+B. 2i --C. 2i +D. 2i -【答案】A 【解析】 【分析】根据欧拉公式求出2cossin22iz e i i πππ==+=，再计算(12)z i +的值.【详解】∵2cossin22iz e i i πππ==+=，∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+. 故选：A.【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z .8.已知函数()f x lnx x k =-++，在区间1[,]e e上任取三个实数a ，b ，c 均存在以(),(),()f a f b f c 为边长的三角形，则实数k 的取值范围是( ) A. (,1)-∞- B. (,3)e -∞-C. (1,)-+∞D. (3,)e -+∞【答案】D 【解析】 【分析】由条件可得2()()min max f x f x >且()0min f x >，再利用导数求得函数的最值，从而得出结论． 【详解】任取三个实数a ，b ，c 均存在以(),(),()f a f b f c 为边长的三角形， 等价于()()()+>f a f b f c 恒成立，可转化为2()()min max f x f x >，且()0min f x >． 令11()10x f x x x-'=-+==得1x =． 当11x e<<时，()0f x '<；当1x e <<时，()0f x '>； 所以当1x =时，min ()(1)1f x f k ==+，11(){(),()}1,11max f x max f f e max k e k e k e e ⎧⎫==++-+=-+⎨⎬⎩⎭，从而可得2(1)110k e kk +>-+⎧⎨+>⎩，解得3k e >-.故选：D ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值、不等式恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．二、多选题（共4题，共20分）9.如果函数()y f x =的导函数的图象如图所示，则下述判断正确的是（ ）A. 函数()y f x =在区间13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭内单调递增B. 函数()y f x =在区间1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递减 C. 函数()y f x =在区间()4,5内单调递增 D. 当2x =时，函数()y f x =有极大值 【答案】CD 【解析】 【分析】根据导函数符号与函数单调性的关系可判断各选项的正误.【详解】对于A 选项，当32x -<<-时，()0f x '<，则函数()y f x =在区间()3,2--上单调递减，A 选项错误； 对于B 选项，当122x -<<时，()0f x '>，则函数()y f x =在区间1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，B 选项错误；对于C 选项，当45x <<时，()0f x '>，则函数()y f x =在区间()4,5上单调递增，C 选项正确； 对于D 选项，当22x -<<时，()0f x '>，当24x <<时，()0f x '<，所以，函数()y f x =在2x =处取得极大值，D 选项正确. 故选：CD.【点睛】本题考查利用导函数的图象判断函数的单调性与极值，考查推理能力，属于中等题.10.已知函数()32f x x ax bx c =+++，[]2,2x ∈-表示的曲线过原点，且在1x =±处的切线斜率均为1-，以下命题正确的是（ ）A. ()f x 的解析式为()34f x x x =-，[]2,2x ∈-B. ()f x 的极值点有且仅有一个C. ()f xD. ()f x 的最大值与最小值之和等于零 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意得出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 、c 的值，可判断A 选项的正误，利用导数可判断B 、C 、D 的正误，综合可得出结论.【详解】()32f x x ax bx c =+++Q ，()232f x x ax b '∴=++，由题意可得()()()0013211321f c f a b f a b ''⎧==⎪=++=-⎨⎪-=-+=-⎩，解得040a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，则()34f x x x =-，[]2,2x ∈-，()234f x x '=-，令()0f x '=，得[]2,2x =-.当2x -≤<2x <≤时，()0f x '>；当x <<时，()0f x '<. 所以，函数()y f x =有两个极值点，且函数()y f x =的极大值为39f ⎛-= ⎝⎭，极小值为39f ⎛=- ⎝⎭. ()()()()3224202f f -=--⨯-==Q ，所以，()max f x =()min9f x =-. 所以，函数()y f x =的最大值和最小值之和为零. 综上所述，A 、C 、D 选项正确，B 选项错误. 故选：ACD.【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值点、极值和最值，考查计算能力，属于中等题. 11.已知复数z 对应复平面内点A ，则下列关于复数z 、1z 、2z 结论正确的是（ ） A. 2z i +表示点A 到点()0,2的距离B. 若123z z i -++=，则点A 的轨迹是椭圆C. 121212z z z z z z -≤+≤+D. 1212||z z z z =⋅ 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用复数的几何意义可判断A 选项的正误；利用椭圆的定义可判断B 选项的正误；利用复数模的三角不等式可判断C 选项的正误；利用复数的乘法运算和模长公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，设点(),A x y ，则z x yi =+，()22z i x y i +=++=则2z i +表示点A 到点()0,2-的距离，A 选项错误；对于B 选项，由复数的几何意义可知，123z z i -++=表示点A 到点()1,0M 和点()0,2N -的距离之和为3，且3MN =<，所以，点A 的轨迹是椭圆，B 选项正确；对于C 选项，由复数模的三角不等式可得121212z z z z z z -≤+≤+，C 选项正确； 对于D 选项，设1z a bi =+，2z x yi =+，则()()()()12z z a bi x yi ax by ay bx i =++=-++，1212z z z z ∴====，D 选项正确. 故选：BCD.【点睛】本题考查复数模的几何意义相关命题真假的判断，涉及椭圆定义、三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.12.以下命题正确的是（ ）A. 0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B. 满足210x +=的x 有且仅有iC. “在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D. 已知()f x =()1878f x x '=【答案】AC 【解析】 【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程210x +=可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，若复数z a bi =+为纯虚数，则0a =且0b ≠，所以，0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件，A 选项正确； 对于B 选项，解方程210x +=得x i =±，B 选项错误；对于C 选项，当(),x a b ∈时，若()0f x '>，则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增， 即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.反之，取()3f x x =，()23f x x '=，当()1,1x ∈-时，()0f x '≥，此时，函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.所以，“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件. C 选项正确；对于D 选项，()11172488f x xx ++===，()1878f x x -'∴=，D 选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、填空题（共4题；共20分）13.复数()1i i +（i 是虚数单位）的虚部为______． 【答案】1 【解析】 【分析】先将复数化简，再求虚部即可【详解】()11i i i +=-+，所以复数的虚部为：1 故答案为1【点睛】本题考查复数的基本概念，在复数z a bi =+中，实部为a ，虚部为b ，属于基础题14.已知在复平面上的ABCD Y 中，AC u u u r 对应的复数为68i +，BD u u u r对应的复数为46i -+，则向量DA u u u r 对应的复数为_________. 【答案】17i -- 【解析】【分析】DA uuu r 表示为1()2CA DB +u uu r u u u r ，代入相对应的复数即可得解.【详解】设ABCD Y 的对角线AC 与BD 相交于点P ，由向量加减法的几何意义可得111()222C DA PA PD CA B A DB D =-=-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以DA uuu r 对应的复数为1(6846)172i i i --+-=--.故答案为：17i --【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题.15.如图，酒杯的形状为倒立的圆锥.杯深8cm ，上口宽6cm ，水以320/cm s 的流量倒入杯中，则当水深为4cm 时，时刻t =________s ，水升高的瞬时变化率v =_________/cm s .【答案】 (1). 320π (2). 809π【解析】 【分析】计算出当水深为4cm 时，水的体积，然后除以流速可得出时刻t 的值，设水的深度为hcm ，求出h 关于t 的函数表达式，利用导数可求得当水深为4cm 时，水升高的瞬时变化率.【详解】当水深为4cm 时，酒杯中水面的半径为32cm ，此时水的体积为2134332V ππ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭，由题意可得203t π=，可得320t s π=； 设水的深度为hcm ，水面半径为rcm ，则83h r =，则38r h =， 由题意可得22311332033864t r h h h h πππ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，1312803t h π⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 12331128033h tπ-⎛⎫'=⨯ ⎪⎝⎭，当320t π=时，()123311280380/33209h cm s πππ-⎛⎫⎛⎫'=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：320π；809π. 【点睛】本题考查变化的快慢与变化率，正确解答本题关键是得出高度关于时间的函数关系，然后利用导数求出高度为4时刻的导数值，即得出此时的变化率，本题是一个应用题求解此类题，正确理解题意很关键．由于所得的解析式复杂，解题时运算量较大，要认真解题避免因为运算出错导致解题失败． 16.若12sin a x x a x ≤≤对任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都成立，则21a a -的最小值为________. 【答案】21π-【解析】 【分析】作出函数sin y x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象，利用图象可知，当直线2y a x =与曲线sin y x =图象相切于原点时，2a 取最小值，当直线1y a x =过点,12π⎛⎫⎪⎝⎭时，1a 取最大值，进而可求得21a a -的最小值. 【详解】如下图所示：对于函数sin y x =求导得cos y x '=，当0x =时，1y '=.由于12sin a x x a x ≤≤对任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都成立， 当直线2y a x =与曲线sin y x =图象相切于原点时，2a 取最小值1；当直线1y a x =过点,12π⎛⎫⎪⎝⎭时，1a 取最大值10202ππ-=-. 因此，21a a -的最小值为21π-.故答案为：21π-.【点睛】本题考查利用函数不等式求参数，解答的关键就是找出直线与曲线的临界位置，考查数形结合思想的应用，属于中等题.四、解答题（共6题；共70分）17.计算：（1）()()5433i i ++--； （2）()101i +.【答案】（1）2i +；（2）32i . 【解析】 【分析】（1）利用复数的加法法则可求得结果；（2）计算出()21i +的值，进而利用复数的乘方法则可得出结果. 【详解】（1）原式()()53432i i =-+-=+；（2）()212i i +=Q ，因此，()()()5102551123232i i i i i ⎡⎤+=+===⎣⎦.【点睛】本题考查复数的计算，考查复数的四则运算法则的应用，考查计算能力，属于基础题. 18.已知函数()ln f x x x =.（1）求函数的图象在点x e =处的切线方程； （2）求函数的极值.【答案】（1）2y x e =-；（2）极小值为1e-. 【解析】 【分析】（1）求出()f e 和()f e '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）利用导数求出函数()y f x =的极值点，列表分析函数()y f x =的单调性，进而可求得函数()y f x =的极值.【详解】（1）()ln f x x x =Q ，()ln 1f x x '∴=+，则()f e e =，()2f e '=， 因此，函数()y f x =的图象在点x e =处的切线方程为()2y e x e -=-，即2y x e =-； （2）函数()ln f x x x =的定义域为()0,∞+，且()0f x '=，得1x =，列表如下：所以，函数()y f x =的单调递减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 则函数()y f x =在1x e=处取得极小值，且极小值为11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用导数求函数图象的切线方程，同时也考查了利用导数求函数的极值，考查计算能力，属于基础题.19.已知O 为坐标原点，向量1OZ u u u u r 、2OZ u u u u r 分别对应复数1z 、2z ，且()213105z a i a =+-+，()()22251z a i a R a=+-∈-.若12z z +是实数. （1）求实数a 的值； （2）求以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形的面积. 【答案】（1）3a =；（2）118. 【解析】 【分析】（1）求出1z 和2z ，由复数12z z +是实数，可求得实数a 的值；（2）求出1OZ u u u u r 和2OZ u u u u r，利用平面向量的数量积求出12cos Z OZ ∠，进一步求出12sin Z OZ ∠，结合三角形的面积公式可求得所求四边形的面积.【详解】（1）由题意可得()213105z a i a =--+， ()22251z a i a =+--Q ，则()2123221551z z a a i a a+=+++-+-，由于复数12z z +是实数，则221505010a a a a ⎧+-=⎪+≠⎨⎪-≠⎩，解得3a =；（2）由（1）可得138z i =+，21z i =-+，则点13,18Z ⎛⎫⎪⎝⎭，()21,1Z -，因此，以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形的面积为121118S Z Z =⨯=. 【点睛】本题考查利用复数类型求参数，同时也考查了四边形面积的计算，涉及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题. 20.已知函数()323f x x ax x =--.（1）若4a =时，求()f x 在[]1,4x ∈上的最大值和最小值； （2）若()f x 在[)2,x ∈+∞上是增函数，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）最大值为6-，最小值为18-；（2）9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数()y f x =在区间[]1,4上的极值，并与()1f 和()4f 的值，由此可得出函数()y f x =在区间[]1,4上的最大值和最小值；（2）由题意可得出()0f x '≥对任意的[)2,x ∈+∞恒成立，利用参变量分离法得出323a x x≤-，求出函数33y x x=-在区间[)2,+∞上的最小值，由此可求得实数a 的取值范围. 【详解】（1）当4a =时，()3243f x x x x =--，()()()2383313f x x x x x '∴=--=+-， 令()0f x '=，由于[]1,4x ∈，则3x =，列表如下：所以，函数()y f x =在区间[)1,3上单调递减，在区间(]3,4上单调递增， 当[]1,4x ∈时，()()min 318f x f ==-， 又()16f =-Q ，()412f =-，则()()max16f x f ==-；（2）()323f x x ax x =--Q ，()2323f x x ax '∴=--，由题意可知，()0f x '≥对任意的[)2,x ∈+∞恒成立，则323a x x≤-， 函数33y x x =-在区间[)2,+∞上为增函数，则min 39622y =-=，所以，922a ≤，即94a ≤.因此，实数a 的取值范围是9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查运算求解能力，属于中等题.21.如图，OA 是南北方向的一条公路，OB 是北偏东45︒方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C ．为方便游客光，拟过曲线C 上的某点分别修建与公路OA ，OB 垂直的两条道路PM ，PN ，且PM ，PN 的造价分别为5万元/百米，40万元/百米，建立如图所示的直角坐标系xOy ，则曲线符合函数42(19)y x x =+剟模型，设PM x =，修建两条道路PM ，PN 的总造价为()f x 万元，题中所涉及的长度单位均为百米． （1）求()f x 解析式；（2）当x 为多少时，总造价()f x 最低？并求出最低造价．【答案】（1）232()5()(19)f x x x x =+剟；（2）当4x =时，总造价最低，最低造价为30万元． 【解析】 【分析】（1）求出P 的坐标，直线OB 的方程，点P 到直线0x y -=的距离，即可求()f x 解析式； （2）利用导数的方法最低造价．【详解】解：（1）在如图所示的直角坐标系中，因为曲线C 的方程为2429)y x x x =+剟， 所以点P 坐标为42(,x x ， 直线OB 的方程为0x y -=， 则点P 到直线0x y -=24242|()|422x x x x x -=，又PM 的造价为5万元/百米，PN 的造价为40万元/百米． 则两条道路总造价为22432()5405()(19)f x x x x x x =+=+g 剟． （2）因为22432()5405()(19)f x x x x x x=+=+g 剟， 所以333645(64)()5(1)x f x x x -'=-=，令()0f x '=，得4x =，列表如下：所以当4x =时，函数()f x 有最小值，最小值为232(4)5(4)304f =+=． 答：（1）两条道路PM ，PN 总造价()f x 为232()5()(19)f x x x x=+剟； （2）当4x =时，总造价最低，最低造价为30万元．【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，确定函数的解析式是关键． 22.已知函数1()ln f x x a x x=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】分析：(1)首先确定函数定义域，之后对函数求导，之后对a 进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；(2)根据()f x 存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定2a >，令'()0f x =，得到两个极值点12,x x 是方程210x ax -+=的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.详解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()222111a x ax f x x x x-+=--+-'=. （i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在()0,+∞单调递减.（ii ）若2a >，令()0f x '=得，x =或x =.当x ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<；当x ⎝⎭时，()0f x '>.所以()fx ,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，在⎝⎭单调递增. （2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >.由于()()12121221212121222ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a ax x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以()()12122f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<.设函数()12ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在()0,+∞单调递减，又()10g =，从而当()1,x ∈+∞时，()0g x <.所以22212ln 0x x x -+<，即()()12122f x f x a x x -<--. 点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.。

复习试卷22020.04一、单选题（共8题，共40分）1.复数i 1i 2+-=（ ） A. i 2321+ B. i 2321- C. i 2323+ D. i 2323- 2.复数i 21+-=z （i 为虚数单位）的共轭复数在复平面上的对应点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3.一个物体的运动方程为s =1－t +t 2其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A. 7米/秒B. 6米/秒C. 5米/秒D. 8米/秒4.函数xe y x = 在（0，2）上的最小值是（ ） A. 2e B. e e 2 C. 32e D. e 5.复数z 满足i 31)i 3(-=+z ，则|z |=（ ）A. 1B. 3C. 2D.326.如图，函数y =f （x ）的图象在点P 处的切线方程是y =－x +8，则f （5）+f ’（5）=（ ）A. 2B. 1C.21 D. 0 7.欧拉公式x x e x sin i cos i +=（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，它建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，若将 i 2πe 表示的复数记为z ，则)i 21(+⋅z 的值为（ ）A. －2＋iB. －2－iC. 2＋iD.2－i8.已知函数k x x x f +-=ln )(，在区间],1[e e上任取三个数 a ，b ，c 均存在 f （a ），f （b ），f （c ）为边长的三角形，则k 的取值范围是（ ）A. ），（∞+- 1B. ），（1 -∞-C. ），（3-∞-eD. ），（∞+- 3e二、多选题（共4题，共20分）9.如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，则下述判断正确的是（ ）A.函数y ＝f (x )在区间）（21,3--内单调递增 B.函数y ＝f (x )在区间 ）（3,21- 内单调递减 C.函数y ＝f (x )在区间（4，5）内单调递增D.当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极大值10.已知函数]2,2[,)(23-∈+++=x c bx ax x x f 表示的曲线过原点，且在x =±1处的切线斜率均为－1，以下命题正确的是（ ）A. f (x )的解析式为]2,2[,4)(3-∈-=x x x x f ;B. f (x )的极值点有且仅有一个C. f (x )的极大值为9316 ;D. f (x )的最大值与最小值之和等于零 11.已知复数z 对应复平面内点A ，则下列关于复数z ，z 1，z 2结论正确的是（ ）A. |z +2i|表示点A 到点（0，2）的距离;B. 若|z －1|+|z +2i|=3，则点A 的轨迹是椭圆C. ||||||||||||212121z z z z z z +≤+≤-;D. ||||||2121z z z z =12.以下命题正确的是（ ）A. a =0是z =a +b i 为纯虚数的必要不充分条件;B. 满足x 2+1=0的x 有且仅有iC . “在区间（a ,b ）内f ’(x )>0”是“f (x )在区间（a ,b ）内单调递增”的充分不必要条件D. 已知x x x x f =)(，则81'87)(x x f = 三、填空题（共4题；共20分）13.复数i （1+i ）（i 是虚数单位）的虚部是________.14.在复平面上的平行四边形ABCD 中， AC uuu r 对应的复数是6+8i ， BD u u u r 对应的复数是－4+6i ，则DA uuu r 对应的复数是_________.15.如图，酒杯的形状为倒立的圆锥.杯深8cm ，上口宽6cm ，水以20cm 3/s 的流量倒入杯中，则当水深为4cm 时，时刻t =________s ，水升高的瞬时变化率v =_________cm/s.16.若12sin a x x a x 剟对任意的]2,0[π∈x 都成立，则a 2－a 1的最小值为________ . 四、解答题（共6题；共70分）17. 计算：（1）)33()45(i i --++（2）10)1(i +18.已知函数f （x ）=xlnx.（1）求函数的图象在点x =e 处的切线方程；（2）求函数的极值.19.已知O 为坐标原点，向量12,OZ OZ u u u u r u u u u r 分别对应复数z 1，z 2，且i )10(5321a a z -++=， i )52(122-+-=a az (a ∈R )．若21z z +是实数． (1) 求实数a 的值；(2) 求以OZ 1，OZ 2为邻边的平行四边形的面积．20.已知函数32()3f x x ax x =--（1）若a =4时，求f （x ）在x ∈[1，4]上的最大值和最小值；（2）若f （x ）在x ∈[)2,+∞上是增函数，求实数a 的取值范围．21.如图，OA 是南北方向的一条公路，OB 是北偏东45°方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C ，为方便游客观光，拟定曲线C 上某点P 分别修建与公路OA 、OB 垂直的两条道路PM 、PN ，且PM 、PN 的造价为5万元/百米，40万元/百米，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，则曲线C 符合函数242(19)y x x x =+≤≤模型，设PM x =，修建两条道路PM 、PN 的总造价为()f x 万元，题中所涉及长度单位均为百米. （1）()f x 的解析式；（2）当x 为多少时，总造价()f x 最低？并求出最低造价.22.已知函数1()ln f x x a x x=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．（第21题）。

2019-2020学年高二上（实验班）9月月考数学试题含解析高二数学试题选择题1. 将两个数a＝8，b＝17交换，使a＝17，b＝8，下面语句正确一组是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】略2. 用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法的次数是( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C............考点：算法的应用.3. 计算机执行下面的程序段后，输出的结果是( )A. 1,3B. 4,1C. 0,0D. 6,0【答案】B【解析】因为a=1+3=4,b=4-3=1.所以输出的a,b值分别为4,1.4. 设计一个计算1×2×3×…×10的值的算法时，下面说法正确的是( )A. 只需一个累乘变量和一个计数变量B. 累乘变量初始值设为0C. 计数变量的值不能为1D. 画程序框图只需循环结构即可【答案】A【解析】因为，，，所以两个圆的位置关系是外切，应选答案A。

5. 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为( )A. 1B. 0C. 1D. 3【答案】B【解析】试题分析：当时，第一次进入循环,，第二次进入循环，,，第三次进入循环，,，第四次进入循环，,退出循环，输出,故选B.考点：循环结构6. 当x＝5，y＝－20时，下面程序运行后输出的结果为( )A. 22，－22B. 22,22C. 12，－12D. －12,12【答案】A【解析】因为，，，所以两个圆的位置关系是外切，应选答案A。

7. 某程序框图如右图所示，若输出的S＝57，则判断框内为 ( )．A. k＞4?B. k＞5?C. k＞6?D. k＞7?【答案】A【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行，第二次运行，第三次运行，第四次运行，输出，所以判断框内为，故选C.考点：程序框图.8. 用秦九韶算法求f(x)＝2x3＋x－3当x＝3时的值v2＝( ) .A. 18B. 19C. 6D. 54【答案】B【解析】因为，，，所以两个圆的位置关系是外切，应选答案A。

2019-2020年高二9月月考数学（理）试题 含答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若A ⊆B ，则A ＝B ”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A ．0B ．2C ．3D ．42．已知向量a ，b ，则“a ∥b ”是“a ＋b ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．若p 是真命题，q 是假命题，则( ) A ．p ∧q 是真命题 B ．p ∨q 是假命题 C ．¬p 是真命题D ．¬q 是真命题4．命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )A ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1B ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1C ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1D ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －15．设m ∈R ，命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( ) A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0 6．“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．给出下列命题，其中真命题为( ) A ．对任意x ∈R ，x 是无理数B ．对任意x ，y ∈R ，若xy ≠0，则x ，y 至少有一个不为0C ．存在实数既能被3整除又能被19整除D ．x ＞1是1x＜1的充要条件8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c 则“a ≤b ”是 “sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件 9．已知p ：1x ＋1＞0；q ：lg(x ＋1＋1－x 2)有意义，则¬p 是¬q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ：命题q ：若x >y ，则x 2>y 2，在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(¬q )；④(¬p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④11．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则¬p 为 ( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x ≤1D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x ≤112．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D .有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2D ．p 1，p 3二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是____________．14．设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1>0，则¬p 是____________．15．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________． 16．已知命题p ：|x 2－x |≠6，q ：x ∈N ，且“p ∧q ”与“¬q ”都是假命题，则x 的值为________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(1)写出命题：“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．(2)已知集合P ＝{x |－1<x <3}，S ＝{x |x 2＋(a ＋1)x ＋a <0}，且x ∈P 的充要条件是x ∈S ，求实数a 的值．18．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假． (1)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除． (2) ∀x ∈{x |x >0}，x ＋1x ≥2.(3)∃ x 0∈{x |x ∈Z }，log 2x 0>2.19．设p：关于x的不等式a x＞1(a＞0且a≠1)的解集为{x|x＜0}，q：函数y＝lg(ax2－x ＋a)的定义域为R.如果p和q有且仅有一个正确，求a的取值范围．20．已知命题p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－m2>0(m>0)，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．21．已知命题p：方程x2－2mx＋m＝0没有实数根；命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1≥0.(1)写出命题q的否定“¬q”．(2)如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．22．已知函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋lg|a＋2|(a∈R，且a≠－2)．(1)若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和，求g(x)与h(x)的解析式．(2)命题p：函数f(x)在区间[(a＋1)2，＋∞)上是增函数；命题q：函数g(x)是减函数．如果命题p，q有且只有一个是真命题，求a的取值范围．参考答案： 一、选择题1．B2.B3.D4．C5．D6.B7．C8．A9．A10．C11．B12．C 二、填空题13．圆的切线到圆心的距离等于半径 14．∃x 0∈R ，x 20＋1≤0 15．(－2,2] 16．3 三、解答题17．逆命题：若x ＝1或x ＝2，则x 2－3x ＋2＝0，是真命题； 否命题：若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠1且x ≠2，是真命题； 逆否命题：若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0，是真命题．(2)因为S ＝{x |x 2＋(a ＋1)x ＋a <0}＝{x |(x ＋1)(x ＋a )<0}，P ＝{x |－1<x <3}＝{x |(x ＋1)(x －3)<0}，因为x ∈P 的充要条件是x ∈S ，所以a ＝－3.18．(1)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题． (2)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，真命题． (3)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，真命题． 19．a ∈⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞)． 20．m 的取值范围是(0,3]． 21．(1)¬q ：∃x 0∈R ，x 20＋mx 0＋1<0. (2)－2≤m ≤0或1≤m ≤2.22．p ，q 有且只有一个是真命题时，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－32，＋∞.。

2019-2020学年江苏省南京师范大学苏州实验学校高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．命题“2(0,1),0x x x ∀∈-<”的否定是（ ） A ．2000(0,1),0x x x ∃∉-≥ B ．2000(0,1),0x x x ∃∈-≥C ．2000(0,1),0x x x ∀∈-< D ．2000(0,1),0x x x ∀∈-≥【答案】B【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可得结果. 【详解】∵“全称命题”的否定一定是“特称命题”， ∴命题“2(0,1),0x x x ∀∈-<”的否定是2000(0,1),0x x x ∃∈-≥，故选：B. 【点睛】本题考查全称命题的否定，“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述，“全称命题”的否定一定是“特称命题”，写出结果即可2．已知等差数列{}n a 中，28416,1a a a +==，则6a 的值为（ ） A ．15 B ．17C ．36D ．64【答案】A【解析】由等差数列的性质可得5a ，进而可得数列的公差，而65a a d =+，代入化简可得. 【详解】由等差数列的性质可得528216a a a =+=， 解得58a =∴等差数列{}n a 的公差54817d a a =-=-=， ∴658715a a d =+=+= 故选：A.. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，涉及等差数列的性质的应用，属基础题. 3．在ABC ∆中，::1:1:4A B C =，则::a b c 等于（ ）A ．1:1:B ．2:2:C ．1:1:2D ．1:1:4【答案】A【解析】ABC ∆中，∵::1:1:4A B C =，故三个内角分别为30,30,120︒︒︒ ，则3030120a b c sin sin sin =︒︒︒=：：：： 故选A ．4．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9 D ．b ＝－3，ac ＝－9【答案】B【解析】因为22(1)(9),0,3,9b b b ac b =--<∴=-∴==Q5．平面内有定点,A B 及动点P ，则“PA PB +为定值”是“P 点的轨迹为椭圆”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】根据椭圆的定义，以及充分、必要条件的概念，可得结果 【详解】 根据椭圆的定义：PA PB +为定值，且PA PB AB +>所以“PA PB +为定值”不能 推出“P 点的轨迹为椭圆” 但“P 点的轨迹为椭圆”能 推出“PA PB +为定值” 故“PA PB +为定值”是“P 点的轨迹为椭圆”的必要不充分条件 故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的定义，还考查充分、必要条件的概念，属基础题. 6．若0,0,x y >>且2x y +=2，则11x y+的最小值是（ ）A ．2B ．32 CD ．32+ 【答案】D【解析】试题分析：11x y +=12（2x y +）（11x y +）=12（3+2y x x y +）1(32≥+=32D ．【考点】本题主要考查均值定理的应用．点评：简单题，此类题目，屡见不鲜，注意整体代换，创作应用即增大零点条件“一正、二定、三相等”．7．下列不等式中恒成立的是（ ）A ．422xx--≤-B ．1sin 2sin x x +≥ C 22≥ D 2≥【答案】D【解析】由基本不等式求最值的规律，逐个选项验证可得. 【详解】选项A ，若x 为负值，则4226x x --≥+=， 显然422x x--≤-错误； 选项B ，只有当sin 1x =时才正确， 故不是恒成立，错误； 选项C ，222==+≥，=时x 无解，故错误；选项D 2=≥.故选：D 【点睛】本题考查基本不等式，涉及基本不等式成立的条件，属基础题.8．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ）A ．32- B ．34- C ．12D ．14【答案】C【解析】由四边形ABCD 的内切圆恰好过椭圆的焦点，可得半径为c ，利用等面积法，，然后计算可得结果.【详解】设四边形ABCD 的内切圆的半径为r ， 又该圆经过焦点所以r c =，且在直角三角形AOB 中，AB r AO BO =g g 所以r =故c =，化简可得()22222cab a b +=由222b a c =- 所以()()2222222cac a a c -=-则42310c c a a ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由01e <<所以12c e a -==故选：C 【点睛】本题主要考查椭圆的离心率，难点在于找到c =，属中档题.9．不等式（m +1）x 2-mx +m -1＜0的解集为∅，则m 的取值范围是（ ）A ．()1-∞-，B ．⎫+∞⎪⎪⎣⎭C ．3⎛-∞- ⎝⎦，D ．][33⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭U ，【答案】B【解析】关于x 的不等式2(1)10m x mx m +-+-<的解集为∅，可转化成不等式2(1)10m x mx m +-+-≥恒成立，然后讨论二次项系数和判别式可得结论.【详解】解：∵关于x 的不等式2(1)10m x mx m +-+-<的解集为∅，∴不等式2(1)10m x mx m +-+-≥恒成立，①当10m +=，即1m =-时，不等式化为20x -≥，解得2x ≥，不是对任意x ∈R 恒成立；②当10m +≠时，即1m ≠-时，x R ∀∈，使2(1)10m x mx m +-+-≥， 即10m +>且2()4(1)(1)0m m m ∆=--+-≤，化简得：234m ≥，解得3m ≥或3m ≤-，∴应取3m ≥；综上，实数m 的取值范围是m ≥. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了二次不等式恒成立问题，即根据二次函数图象开口方向和判别式的符号，列出等价条件求出对应的参数的范围，是基础题.10．中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问从第几天开始，走的路程少于30里（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】由题意知，本题考查等比数列问题，此人每天的步数构成公比为12的等比数列，由求和公式可得首项，进而求得答案． 【详解】设第一天的步数为1a ，依题意知此人每天的步数构成公比为12的等比数列， 所以61112378112a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-，解得1192a =，11119238422n nn a -⎛⎫⎛⎫∴=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 由1384302nn a ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，212.8n ∴>，解得4n ≥,故选B ． 【点睛】本题主要考查学生的数学抽象和数学建模能力． 11．已知正数,,x y z 满足2221x y z ++=，则12zS xyz+=的最小值为( ) A ．3 B．)312C ．4D．)21【答案】C【解析】由题意可得，0<z <1，0<1−z <1∴()211124z z z z +-⎛⎫-= ⎪⎝⎭„(当且仅当z =1−z 即12z =时取等号) ∵x 2+y 2+z 2=1∴1−z 2=x 2+y 2⩾2xy (当且仅当x =y 时取等号)∴2112z xy -…即()()1112z z xy-+… ∵1−z >0 ∴1121z xy z+-… ∴()11421z xyz z z +-厖(当且仅当142x y z ===时取等号)则12zS xyz+=的最小值4 12．已知椭圆22:12x C y +=，设过点(2,0)P 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且AOB ∠为钝角（其中O 为坐标原点），则直线l 斜率的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝⎭ B．⎛⎫⎛⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ C．⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭⎝⎭D．⎛⎫⎛⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】首先直线与椭圆联立，利用韦达定理得到两根之积，再根据夹角为钝角，利用向量的数量积小于0，求出k 的取值范围，可得结果. 【详解】设直线方程为(2)y k x =-，则22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩， 联立得()2222128820k xk x k +-+-=，由题意()()()22228412820kk k ∆=--⨯+⨯->，解得22k -<<且0k ≠， 设()()1122,,,A x y B x y ，则22121222882,1212k k x x x x k k -+==++， ()()221212222212k y y k x x k=--=+， 因为AOB ∠为钝角，所以2212122282201212k k x x y y k k-+=+<++，解得55k -<<且0k ≠，综上所述直线l 斜率的取值范围为⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭U . 故选：B 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，以及利用向量的数量积解决夹角问题，属一般题.二、填空题13．方程22121x y m m -=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是______.【答案】103m <<【解析】焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为22221y xa b+=，其中0a b >>，由此可得120m m ->>，解之即得实数m 的取值范围.【详解】∵方程22121x y m m -=-表示焦点在y 轴上的椭圆，∴该椭圆的标准方程为22112y x m m+=-，满足120m m ->>，解之得103m << 故答案为：103m << 【点睛】本题已知椭圆是焦点在y 轴的椭圆，求参数m 的取值范围，着重考查了椭圆的标准方程和简单性质，属于基础题.14．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，1260F PF ∠=︒，椭圆的短半轴长为b =12PF F △的面积为______.【解析】根据椭圆的定义以及余弦公式，可得12212tan 2PF F F PF b ∠=△S ，可得结果. 【详解】由122PF PF a +=，则222112224PF PF PF PF a ++⋅=① 又2221112222cos 4PF PF PF PF F PF c ++⋅∠=②①-②：()2211221cos 4PF PF F PF b ⋅-∠=所以2211222121cos sin 2b b PF PF F PF F PF ⋅==-∠∠所以121211sin 2PF F PF PF F PF =⋅∠△S 则122211212sin 1tan 2sin 22PF F b F PFF PF b F PF ∠∠==∠△S所以12260tan 2PF F ==o△S【点睛】本题主要考查焦点三角形的应用，属基础题.15．设数列{}n a 满足11a =，且*1()1n na a n n N +-=+∈，则数列1n a 禳镲睚镲铪前100项的和为_______. 【答案】200101【解析】根据递推公式，可得22n n n a +=，然后得到11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，利用裂项相消求和，可得结果. 【详解】由11n n a a n +-=+，所以212a a -= 323a a -=⋅⋅⋅1n n a a n --=所以()()1212n n n a a +--=故()222n n na n +=≥，当1n =时，11a =符合上式，故22n n na += 所以2121121n a n n n n 骣琪==-琪++桫所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前100项的和为1001111121223100101S 骣琪=-+-+鬃?-琪桫则100200101S = 故答案为：200101【点睛】本题考查递推公式以及裂项相消求和，属基础题. 16．已知正项数列{}n a 满足112334121111n n n a ...a a a a a a a a ++=++++++++，其中*n N ∈，42a =，则2019a =____.【解析】根据递推公式，可得2211n n a a +-=，得到{}2na 等差数列，然后使用通项公式，可得结果. 【详解】 由112334121111n n n a ...a a a a a a a a ++=++++++++则12334121111n n na ...a a a a a a a a -=++++++++两式相减可得2211n n a a +-=，可知数列{}2na 等差数列，则()2244naa n =+-即2n a n =所以n a【点睛】本题主要考查数列的递推公式，属中档题.三、解答题17．设:p 实数x 满足22430x ax a -+<；:q 实数x 满足302x x -≤-. （1）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. （2）若q 是p 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）12a <≤；（2）0a =【解析】（1）可令 (){}(){},A x p x B x q x ==，利用等价转换的思想，得到B A ，同时结合分类讨论的方法，可得结果.（2）根据（1）的条件，可得A B ，同时结合分类讨论的方法，可得结果. 【详解】令 (){}(){},A x p x B x q x ==， 且B A ，则(]2,3B = 当0a >时，(),3A a a =，所以21233a a a ≤⎧⇒<≤⎨>⎩当0a <时，()3,A a a =，不符合 当0a =时，A =∅，不符合 故12a <≤（2）由（1）可知：A B 当0a =时，A =∅，符合 当0a <时，()3,A a a =，不符合 当0a >时，(),3A a a =，所以233a a a ≥⎧⇒∈∅⎨≤⎩故0a = 【点睛】本题考查根据充分、必要条件求解参数，这种题型，可以使用等价转换的思想，利用集合的基本关系来解决，属基础题.18．在ABC V 中，角,,A B C 对应边分别为,,a b c sin cos C a C c b +=+. （1）求角A ；（2）若a =b c +的取值范围.【答案】（1）60A ︒=（2b c <+≤【解析】（1）利用正弦定理，把边化角，结合和差的正弦公式，化简可得结论； （2）利用余弦定理，结合基本不等式，可求b c +的取值范围. 【详解】解：（1）∵cos sin a C C b c +=+， ∴由正弦定理可得sin cos sin sin sin A C A C B C =+，∴sin cos sin sin()sin A C A C A C C +=++，cos 1A A -=， ∴()1sin 302A ︒-=， ∵3030150A ︒︒︒-<-<， ∴3030A ︒︒-=，∴60A ︒=； （2）由题意：0,0,b c b c a >>+>=，∴由余弦定理2232cos60b c bc ︒=+- 则3221()3()4b c bc b c =+-+…（当且仅当b c ==， 即2()12b c +≤，∴b c +≤∵b c +>b c <+≤【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题. 19．已知点)F 是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的一个焦点,点12M ⎫⎪⎭ 在椭圆 C 上.（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）若直线l 与椭圆 C 交于不同的,A B 两点,且12OA OB k k +=- ( O 为坐标原点),求直线l 斜率的取值范围.【答案】（1）2214x y +=（2）()1,01,4k ⎡⎫∈-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）由题可知，椭圆的另一个焦点为()，利用椭圆的定义，求得2a =，再理由椭圆中222c a b =-，求得b 的值，即可得到椭圆的方程；（2）设l 直线的方程为y kx m =+，联立方程组，利用根与系数的关系，求得1212,x x x x +，在由12OA OB k k +=-，进而可求解斜率的取值范围，得到答案。

2019-2020学年高二数学9月月考试题（含解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题)一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知集合，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合,所以错误错误,,所以正确，错误故答案选2.已知向量，，，，如果，那么实数（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】，,故答案选3.执行如图所示的程序框图，若输入的a，b的值分别为1，1，则输出的是（）A. 29B. 17C. 12D. 5【答案】B【解析】【分析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】结束，输出故答案选B【点睛】本题考查了程序框图的计算，属于常考题型.4.某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间的人数为（）A. 12B. 11C. 14D. 13【答案】A【解析】分析】由抽取的样本人数，确定每组样本的容量，计算出编号落入区间与各自的人数再相减.【详解】由于抽取的样本为42人，所以840人要分成42组，每组的样本容量为20人，所以在区间共抽24人，在共抽36人，所以编号落入区间的人数为人.【点睛】本题考查系统抽样抽取样本的基础知识，考查基本数据处理能力.5.如图画出的是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由三视图还原原几何体，可知原几何体为球的组合体，是半径为2的球的与半径为的球的，再由球的体积公式计算即可．【详解】由三视图还原原几何体，如图所示，可知原几何体为组合体，是半径为2的球的与半径为的球的，其球的组合体的体积 .故选：A．【点睛】本题考查了三视图还原原几何体的图形，求球的组合体的体积，属于中档题．6.已知，，，则的大小关系为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用利用等中间值区分各个数值的大小。

2019-2020学年江苏省苏州市实验中学高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．观察下列各数：1,2,2,4,8,32⋯,则该数列的第8项可能等于( ) A ．256 B ．1024C ．4128D ．8192【答案】D【解析】观察知，其规律为：从第三项起，每一项都等于其前相邻两项的积，即可得出． 【详解】观察知，各式的值构成数列1，2，2，4，8，…，其规律为：从第三项起，每一项都等于其前相邻两项的积，继续写出此数列为1，2，2，4，8，32，256，8192，…，第八项为8192． 故选：D ． 【点睛】本题考查了通过观察分析猜想归纳数列的通项公式，属于基础题． 2．已知是公差为1的等差数列，为的前项和，则，则A. B.12C.D.10【答案】C【解析】利用等差数列的前n 项和公式求得a 1，再代入通项公式即可得出． 【详解】∵{a n }是公差为1的等差数列，S 8＝4S 4， ∴8a 11＝4×（4a 1），解得a 1． 则a 109×1． 故选：C ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ） A ．2 B ．1C ．12D ．18【答案】C【解析】试题分析：由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒=,故2112a a q ==,选C. 【考点】本题主要考查等比数列性质及基本运算.4．已知数列{a n }满足112,0,2121, 1.2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若a 1=35,则a 2019 = ( )A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】B【解析】根据数列的递推公式，得到数列的取值具备周期性，即可得到结论． 【详解】∵112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，又∵a 135=，∴a 2＝2a 1﹣1＝235⨯-115=，a 3＝2a 225=， a 4＝2a 3＝22455⨯=，a 5＝2a 4﹣1＝245⨯-135=，故数列的取值具备周期性，周期数是4， 则2019a ＝50443a ⨯+＝325a =， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查数列项的计算，根据数列的递推关系是解决本题的关键．根据递推关系求出数列的取值具备周期性是解决本题的突破口．5．设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形【答案】B【解析】先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，得出2,33B AC ππ=+=,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以23sin sin sin 4B AC =⋅=，整理计算即可得出答案. 【详解】因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列， 所以2,33B AC ππ=+=, 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， 所以23sin sin sin 4B AC =⋅= 所以222sin sin sin sin cos sin cos333A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111132sin 2cos 2sin 22442344A A A A A π⎛⎫=+=-+=-+= ⎪⎝⎭ 即sin 213A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又因为203A π<< 所以3A π=故选B 【点睛】本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得2,33B AC ππ=+=，再利用三角公式转化，属于中档题.6．若不等式20ax bx c ++≥的解集为1{|2}3x x -≤≤，则不等式20cx bx a ++<的解集为（ ）A ．1{|2}3x x -<<B ．1{|3x x >或2}x <-C ．1{|3}2x x -<< D ．{|3x x <-或1}2x > 【答案】C【解析】试题分析：由三个二次关系可知方程20ax bx c ++=的解为121,23x x =-=且0a <，设1a =-，所以11522,2,3333b c b c -+=-⨯=-∴==，所以不等式为2251033x x +-<，解集为1{|3}2x x -<<【考点】三个二次关系与一元二次不等式解法 7．已知数列{}n a 中，37715,614a a ==，且11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，则5a =（ ） A ．109B ．109C ．1110D ．1211【答案】B【解析】试题分析：设数列1{}1n a -的公差为d ，则7311411d a a =+--，所以11471511614d =+--，2d =， 531121011d a a =+=--，51110a =，故选B ． 【考点】等差数列的通项公式．【名师点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决等差数列的问题有两种基本方法，一是基本量法，即用首项和公差表示出已知条件，求出首项和公差，从而可求通项和前n项和，另一种是应用等差数列的性质：时，m n p q a a a a +=+，利用性质解题可以减少计算量．本题另一种解法：因为数列1{}1n a -是等差数列，所以537211111a a a =+--- 112071511614=+=--，解得51110a =． 8．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，若()11nn n a a n ++-=，则40S =( )． A ．420 B ．780 C ．390 D ．80【答案】A【解析】由已知数列递推式可得a 2k ﹣1+a 2k +a 2k +1+a 2k +2＝4k +2．取k ＝1，3，5，…，19，作和得答案． 【详解】由a n +1+（﹣1）na n ＝n ，∴当n ＝2k 时，有a 2k +1+a 2k ＝2k ，① 当n ＝2k ﹣1时，有a 2k ﹣a 2k ﹣1＝2k ﹣1，② 当n ＝2k +1时，有a 2k +2﹣a 2k +1＝2k +1，③ ①﹣②得：a 2k +1+a 2k ﹣1＝1， ①+③得：a 2k +2+a 2k ＝4k +1， ∴a 2k ﹣1+a 2k +a 2k +1+a 2k +2＝4k +2． ∴S 40＝4（1+3+…+19）+20()1191042+⨯=⨯+20＝420．故选：A ． 【点睛】本题考查数列递推式，考查了数列前n 项和的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．9．已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a R ∈，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．47[,2]16-B ．4739[,]1616-C．[- D．39[]16- 【答案】A【解析】不等式()2x f x a ≥+为()()2xf x a f x -≤+≤()， 当1x ≤时，()式即为22332xx x a x x -+-≤+≤-+，2233322x x a x x -+-≤≤-+， 又22147473()241616x x x -+-=---≤-（14x =时取等号）， 223339393()241616x x x -+=-+≥（34x =时取等号），所以47391616a -≤≤， 当1x >时，()式为222x x a x x x --≤+≤+，32222x x a x x--≤≤+，又3232()22x x x x --=-+≤-3x =时取等号），222x x +≥=（当2x =时取等号），所以2a -≤， 综上47216a -≤≤．故选A ． 【考点】不等式、恒成立问题 【名师点睛】首先满足()2x f x a ≥+转化为()()22x xf x a f x --≤≤-去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对x 的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据x 的范围，利用极端原理，求出对应的a 的范围.10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n ，则数列{a n }的通项公式a n 等于( ) A.(n ＋1)3 B.(2n ＋1)2 C.8n 2 D.(2n ＋1)2－1【答案】A【解析】当n ＝1时，4(1＋1)(a 1＋1)＝(1＋2)2a 1，解得a 1＝8，当n ≥2时，由4(S n ＋1)＝()221nn a n ++，得4(S n －1＋1)＝()211n n a n-+，两式相减，得4a n ＝()221nn a n ++－()211n n a n-+，即()3311nn n a a n -+=，所以a n ＝123212321n n n n n n a a a a a a a a a a -----·a 1＝()()33333313821n n n n +⨯⨯⨯⨯-＝(n ＋1)3， 经验证n ＝1时也符合，所以a n ＝(n ＋1)3点睛：本题主要考查数列通项与前n 项和之间的关系以及累乘法求通项，属于中档题.已知n S 求n a 的一般步骤：（1）当1n =时，由11a S =求1a 的值；（2）当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，求得n a 的表达式；（3）检验1a 的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示n a ；（4）写出n a 的完整表达式.11．如图所示,点列{}n A 满足：11OA =,121i i OA OA +=+，i A 均在坐标轴上()*i N ∈，则向量122014OA OA OA ++⋯+=( )A ．2014-（21,0）B ．20162015--（21,21）C ．20142014--55213（21）（,）D ．20162015--552123（,）【答案】D【解析】由于点列{A n }满足：|1OA |＝1，|1i OA +|＝2|i OA |+1，设n n a OA =，则a 1＝1，a n +1＝2a n +1，变形为a n +1+1＝2（a n +1），可知；数列{a n +1}是等比数列，利用通项公式可得21nn a =-．由于A i 均在坐标轴上（i ∈N ），且A 4n ﹣3，A 4n ﹣2，A 4n ﹣1，A 4n ，（n ∈N ）分别在y 轴的正半轴，x 轴的正半轴，y 轴的负半轴，x 轴的负半轴． 可得向量122014OA OA OA +++的横坐标＝a 2﹣a 4+a 6﹣a 8+…+a 2010﹣a 2012+a 2014，向量122014OA OA OA +++的纵坐标＝a 1﹣a 3+a 5﹣a 7+…+﹣a 2011+a 2013，再利用等比数列的前n 项和公式即可得出． 【详解】∵点列{A n }满足：|1OA |＝1，|1i OA +|＝2|i OA |+1，设n n a OA =，则a 1＝1，a n +1＝2a n +1，化为a n +1+1＝2（a n +1）， ∴数列{a n +1}是等比数列， ∴()11112n n a a -+=+⋅=2n ．∴21nn a =-．由于A i 均在坐标轴上（i ∈N ），且A 4n ﹣3，A 4n ﹣2，A 4n ﹣1，A 4n ，分别在y 轴的正半轴，x 轴的正半轴，y 轴的负半轴，x 轴的负半轴． ∴向量122014OA OA OA +++的横坐标＝a 2﹣a 4+a 6﹣a 8+…+a 2010﹣a 2012+a 2014＝（22﹣1）﹣（24﹣1）+（26﹣1）﹣（28﹣1）+…+（22010﹣1）﹣（22012﹣1）+（22014﹣1）＝22﹣24+26﹣28+…+22010﹣22012+22014﹣1(10074[4)141⎤--⎦=--- 12016215-=． 同理可得向量122014OA OA OA +++的纵坐标＝a 1﹣a 3+a 5﹣a 7+…+﹣a 2011+a 20132015235-=．∴向量20162015122014212355OA OA OA ⎛⎫--+++= ⎪⎝⎭，．故选：D ． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、前n 项和公式、向量的运算等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论和数形结合的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．二、填空题12．已知函数()()()()⎩⎨⎧>≤--=-77336x ax x a x f x ，若数列{}n a 满足()n a f n =（n N *∈），且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是 ___________．【答案】()2,3【解析】试题分析：因为，函数()()2911232(2)(2)x x a x x f x x a-+-+⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，（0a >，且1a ≠），且数列{}n a 满足()(),n a f n nN *=∈，且{}na 是递增数列，所以，n a =()()2911232(2)(2)n n a n n f n n a-+-+⎧≤⎪=⎨>⎪⎩在()1+∞，，()n N *∈是增函数．由复合函数的单调性，22911u x x =-+在94⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，是增函数，所以，1a >，且()223931132230a a a ⨯-⨯+⎧-⨯+<⎪⎨->⎪⎩，解得，23a <<．【考点】1．分段函数的概念，2．指数函数的单调性；3．数列的性质．【思路点睛】本题考查的知识点是分段函数，其中根据分段函数中自变量*n N ∈时，对应数列为递增数列，得到函数在两个段上均为增函数，且()()78f f <，从而构造出关于变量a 的不等式是解答本题的关键．由函数()()()()⎩⎨⎧>≤--=-77336x ax x a x f x ，数列{}n a 满足()()*n a f n n N =∈，且{}n a 是递增数列，我们易得函数()()()()⎩⎨⎧>≤--=-77336x ax x a x f x 为增函数，根据分段函数的性质，我们可得函数在各段上均为增函数，根据一次函数和指数函数单调性，我们易得1a >，且30a ->，且()()78f f <，由此构造一个关于参数a 的不等式组，解不等式组即可得到结论．13．已知等差数列的前n 项和为，若，则______.【答案】 【解析】由得，则.14．不等式－x 2＋|x |＋2＜0的解集是_______________________． 【答案】{x |x ＜－2或x ＞2}【解析】分类去绝对值，分别求解不等式取交集，最后取并集． 【详解】∵－x 2＋|x |＋2＜0，等价于2020x x x <⎧⎨-⎩－＋＜或2020x x x ≥⎧⎨+⎩－＋＜ 2020x x x <⎧⎨+->⎩或2020x x x ≥⎧⎨-->⎩ ∴x ＜﹣2或x ＞2∴原不等式的解集为{x |x ＜－2或x ＞2}． 故答案为：{x |x ＜－2或x ＞2}． 【点睛】熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键． 15．已知正项等比数列{}n a 的公比1q >，且满足26a =，1324352900a a a a a a ++=，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式1n n a S λ≤+对一切*n N ∈恒成立，则实数λ的最大值为_________．【答案】43【解析】由等比数列的性质可得2222442900a a a a ++=，即2430a a +=，再结合26a =可得424a =，则公比2q ==，所以()213216232,32321n n n nn n a S ---=⋅=⋅==⋅--，故原不等式可化为132322n n λ-⋅≤⋅-，即12232n λ-≤-⋅，又因为()1224223233n F n -=-≥-=⋅，所以43λ≤，应填答案43。