高中数学必修三《算法与程序框图》名师讲义(含答案)

算法与程序框图主讲教师：熊丹北京五中数学教师开篇语算法对我们来说并不陌生，早在初中我们就知道一元二次方程的解法，会求三角形的面积，在高中也学习了求方程近似根的二分法，利用公式计算的几何问题进行分步求解等等，这都是算法．在本章中，要在初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的作用；通过模仿、操作、探索，经历设计程序框图表达解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理地思考表达能力，提高逻辑思维能力．本讲的重点是算法的程序框图的三种逻辑结构：顺序结构、条件结构和循环结构．循环结构是重点和难点，针对循环结构，老师会隆重推出追踪变量的方法来解决难点．重难点易错点解析题一：下面的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的()．A．c>x?B．x>c? C．c>b?D．b>c?题二：如图，若f(x)＝x2，g(x)＝log2x，输入x的值为0.25，则输出结果为()．A．0.24 B．－2 C．2 D．－0.25题三：阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为( )．A ．－1B ．0C ．1D ．3金题精讲题一：如图所示的程序框图运行后输出结果为12，则输入的x 值为( )． A ．－1 B ．22 C ．12 D ．－1或22题二：如果执行下面的程序框图，那么输出的S为______．题三：程序框图(即算法流程图)如图所示，其输出结果是________．题四：下面的程序框图运行后，输出的S ＝( )．A ．26B ．35C ．40D ．57题五：如图是求12＋12＋12＋12＋12＋12的值的算法的程序框图，则图中判断框中应填入条件________．算法与程序框图讲义参考答案重难点易错点解析题一：A 题二：B 题三：B金题精讲题一：D 题二：30 题三：127题四：C 题五：i≤5。

第一章 算法初步1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念A 级 基础巩固一、选择题1．下列四种自然语言叙述中，能称作算法的是( )A ．在家里一般是妈妈做饭B ．做米饭需要刷锅、淘米、添水、加热这些步骤C ．在野外做饭叫野炊D ．做饭必须要有米解析：算法是做一件事情或解决一类问题的程序或步骤，故选B.答案：B2．以下对算法的描述正确的有( )①对一类问题都有效；②算法可执行的步骤必须是有限的；③算法可以一步一步地进行，每一步都有确切的含义；④是一种通法，只要按部就班地做，总能得到结果．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：D3．给出下面一个算法：第一步，给出三个数x ，y ，z .第二步，计算M ＝x ＋y ＋z .第三步，计算N ＝13M .第四步，得出每次计算结果．则上述算法是( )A ．求和B ．求余数C ．求平均数D ．先求和再求平均数解析：由算法过程知，M 为三数之和，N 为这三数的平均数．答案：D4．一个算法步骤如下：S 1，S 取值0，i 取值1；S2，如果i≤10，则执行S3；否则，执行S6；S3，计算S＋i并将结果代替S；S4，用i＋2的值代替i；S5，转去执行S2；S6，输出S.运行以上步骤后输出的结果S＝( )A．16 B．25C．36 D．以上均不对解析：由以上计算可知：S＝1＋3＋5＋7＋9＝25.答案：B5．对于算法：第一步，输入n.第二步，判断n是否等于2，若n＝2，则n满足条件；若n＞2，则执行第三步．第三步，依次从2到(n－1)检验能不能整除n，若不能整除n，则执行第四步；若能整除n，则执行第一步．第四步，输出n.满足条件的n是( )A．质数B．奇数C．偶数D．约数解析：此题首先要理解质数，只能被1和自身整除的大于1的整数叫质数.2是最小的质数，这个算法通过对2到(n－1)一一验证，看是否有其他约数，来判断其是否为质数．答案：A二、填空题6．给出下列算法：第一步，输入x的值．第二步，当x>4时，计算y＝x＋2；否则执行下一步．第三步，计算y＝4－x.第四步，输出y.当输入x＝0时，输出y＝________．解析：因为0<4，执行第三步，所以y＝4－0＝2.答案：27．已知直角三角形两直角边长为a，b，求斜边长c的一个算法分下列三步：(1)计算c＝a2＋b2.(2)输入直角三角形两直角边长a，b的值．(3)输出斜边长c 的值．其中正确的顺序是________________．解析：算法的步骤是有先后顺序的，第一步是输入，最后一步是输出，中间的步骤是赋值、计算．答案：(2)(1)(3)8．如下算法：第一步，输入x 的值；第二步，若x ≥0，则y ＝x ；第三步，否则，y ＝x 2；第四步，输出y 的值．若输出的y 值为9，则x ＝________．解析：根据题意可知，此为求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，x 2，x <0的函数值的算法，当x ≥0时，x＝9；当x <0时，x 2＝9，所以x ＝－3.答案：9或－3三、解答题9．写出求1×2×3×4×5×6的算法．解：第一步，计算1×2得到2.第二步，将第一步的运算结果2乘3，得到6.第三步，将第二步的运算结果6乘4，得到24.第四步，将第三步的运算结果24乘5，得到120.第五步，将第四步的运算结果120乘6，得到720.10．某商场举办优惠促销活动．若购物金额在800 元以上(不含800 元)，打7折；若购物金额在400 元以上(不含400 元)，800 元以下(含800 元)，打8折；否则，不打折．请为商场收银员设计一个算法，要求输入购物金额x ，输出实际交款额y .解：算法步骤如下：第一步，输入购物金额x (x ＞0)．第二步，判断“x ＞800”是否成立，若是，则y ＝0.7x ，转第四步；否则，执行第三步． 第三步，判断“x ＞400”是否成立，若是，则y ＝0.8x ；否则，y ＝x .第四步，输出y ，结束算法．B 级 能力提升1．结合下面的算法：第一步，输入x .第二步，判断x 是否小于0，若是，则输出x ＋2；否则，执行第三步．第三步，输出x －1.当输入的x 的值为－1，0，1时，输出的结果分别为( )A ．－1，0，1B ．－1，1，0C ．1，－1，0D ．0，－1，1解析：根据x 值与0的关系选择执行不同的步骤．答案：C2．求过P (a 1，b 1)，Q (a 2，b 2)两点的直线斜率有如下的算法，请将算法补充完整： S 1 取x 1＝a 1，y 1＝b 1，x 2＝a 2，y 2＝b 2.S 2 若x 1＝x 2，则输出斜率不存在；否则，________．S 3 输出计算结果k 或者无法求解信息．解析：根据直线斜率公式可得此步骤．答案：k ＝y 2－y 1x 2－x 13．鸡兔同笼问题：鸡和兔各若干只，数腿共100条，数头共30只，试设计一个算法，求鸡和兔各有多少只．解：第一步，设有x 只鸡，y 只兔，列方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝30，①2x ＋4y ＝100.② 第二步，②÷2－①，得y ＝20.第三步，把y ＝20代入①，得x ＝10.第四步，得到方程组的解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝20. 第五步，输出结果，鸡10只，兔20只．。

1.1.3算法的三种基本逻辑结构和框图表示1．下列关于条件分支结构的说法中正确的是()A．条件分支结构的程序框图有一个入口和两个出口B．无论条件分支结构中的条件是否满足，都只能执行两条路径之一C．条件分支结构中的两条路径可以同时执行D．对于一个算法来说，判断框中的条件是唯一的2．算法共有三种逻辑结构：顺序结构、条件分支结构与循环结构，下列说法正确的是()A．一个算法只能包含一种逻辑结构B．一个算法只能包含两种逻辑结构C．一个算法可以包含上述三种逻辑结构的任意组合D．一个算法必须含有上述三种逻辑结构3．下图所示的算法功能是__________．4．如图所示程序框图的算法功能，写出算法功能的表达式为N＝__________.答案：1．A2．C3．求a、b中的最大数并输出4．N＝1×2×3×4×51．如图所示的程序框图是算法结构中的哪种结构()A．条件分支结构B．顺序结构C．循环结构D．无法确定2．(2009天津高考，理5)阅读下面的程序框图，则输出的S等于()A．26 B．35 C．40 D．573．依不同条件写出程序框图的运行结果．(1)图(1)中，箭头指向①时，输出S＝______，指向②时，输出S＝______；(1)(2)图(2)中，箭头指向①时，输出S＝__________，指向②时，输出S＝__________.(2)4.如图是某一函数的求值程序框图，则满足程序框图的函数解析式为__________．5．求过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率，设计该问题的算法并画出程序框图．6．设计一个计算1＋2＋3＋…＋100的值的算法，并画出程序框图．答案：1．A2．C由框图可知S＝2＋5＋8＋11＋14＝40.3．(1)515(2)620(1)图(1)中当箭头指向①时，最后输出S＝0＋5＝5，箭头指向②时表示S＝1＋2＋3＋4＋5＝15.(2)图(2)中箭头指向①时，同(1)中情况每次循环后S变为0，最后输出S时，S＝0＋6＝6，箭头指向②时，S＝0＋2＋3＋4＋5＋6＝20.4．f(x)＝|x－3|＋1程序框图判断框中对“x>3”的判断表示f(x)为分段函数．当x>3时，f(x)＝x －2＝x －3＋1；当x ≤3时，f(x)＝－x ＋4＝－x ＋3＋1； ∴f(x)＝|x －3|＋1. 5．解：算法如下：S1 输入x 1，y 1，x 2，y 2；S2 若x 1＝x 2，输出“斜率不存在”，否则k ＝y 2－y 1x 2－x 1，输出k.程序框图如图所示：点评：已知两点求直线斜率，若已知x 1≠x 2，则只需用顺序结构，若无限制条件，则必须分类讨论，应用条件分支结构解决问题．6．解：算法如下： S1 i ＝1； S2 S ＝0；S3 若i ≤100，则执行S4、S5，否则执行S6； S4 S ＝S ＋i ；S5 i ＝i ＋1，重复执行S3； S6 输出S.程序框图如图所示：1．下列程序框图的运行结果是 ( )A ．－5B ．5C ．－1D ．－2答案：A 根据判断框可知：若x<0，则y ＝3x －2，又x ＝－1<0，∴y ＝3×(－1)－2＝－5.2．给出以下一个算法的程序框图如图所示，该程序框图的功能是 ( )A ．求出a ，b ，c 三数中的最小数B ．求出a ，b ，c 三数中的最大数C ．将a ，b ，c 从小到大排列D ．将a ，b ，c 从大到小排列答案：A 由判断的条件及其根据判断结果进行的操作可知程序框图所示的算法为取a ，b ，c 中的最小数．3．以下给出的是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 ( )A ．i ＞10B ．i ＜10C ．i ＞20D ．i ＜20 答案：A 由题意可知，当i>10时，停止循环．4．如图所示的程序框图中输出结果为S ＝132，则判断框中应填 ( )A ．i ≥10B ．i ≥11C ．i ≤11D ．i ≥12 答案：B 由题意可先排除C ，当选A 时，S ＝1 320，选D 时，S ＝12. 5．阅读下图的程序框图．若输入m ＝4，n ＝6，则输出a ＝__________，i ＝__________.(注：框图中的赋值符号“＝”也可以写成“←”或“：＝”)答案：12 3 输入m ＝4，n ＝6，则i ＝1时，a ＝m ×i ＝4，n 不能整除4，∴i ＝2，a ＝m ×i ＝8，n 不能整除8，∴i ＝3，a ＝m ×i ＝12,6能整除12. ∴a ＝12，i ＝3.6．执行下边的程序框图，若p ＝0.8，则输出n ＝__________.答案：4 由程序框图可知，p ＝0.8，n ＝1，S ＝0满足S<p ，则S ＝0＋121＝12，n ＝1＋1＝2；循环判断，此时S ＝0.5<p ＝0.8，则S ＝12＋122＝34，n ＝2＋1＝3；循环判断，此时S ＝0.75<p ＝0.8，则S ＝0.75＋123＝0.875，n ＝3＋1＝4，循环判断，此时S ＝0.875>p ＝0.8，则输出n ＝4结束．7．(2009山东高考，理15)执行下边的程序框图，输出的T ＝__________.答案：30 初值S ＝0，n ＝0，T ＝0， 执行第一次后：S ＝5，n ＝2，T ＝2， 执行第二次后：S ＝10，n ＝4，T ＝6， 执行第三次后：S ＝15，n ＝6，T ＝12， 执行第四次后：S ＝20，n ＝8，T ＝20， 执行第五次后：S ＝25，n ＝10，T ＝30， ∵T>S ，∴输出T ＝30.8．已知有一列数12，23，34，…，nn ＋1，设计框图实现求该列数前20项的和．答案：解：程序框图如图1或图2：图1 图29.电脑游戏中，“主角”的生存机会往往被预先设定，如某枪战游戏中，“主角”被设定生存机会5次，每次生存承受射击8枪(被击中8枪则失去一次生命机会)．假设射击过程均为单子弹发射，试为“主角”耗用生存机会的过程设计一个算法，并画出程序框图．答案：解：方法一：“主角”的所有生存机会共能承受8×5＝40枪(第40枪被击中则生命结束)．设“主角”被击中枪数为i(i＝1,2,3，…，39)，程序框图如图(甲)所示．方法二：电脑中预存共承受枪数为40，“主角”的生存机会以“减数”计数，程序框图如图(乙)所示．10．在国内投寄平信，每封信重量x(g)不超过80 g的邮费(单位：分)标准为写出计算邮费的算法并画出邮费的程序框图．答案：解：(1)计算邮费的算法S1秤重；S2若x≤20，则y＝80；否则，下一步；S3若x≤40，则y＝160；否则，下一步；S4若x≤60，则y＝240；否则，下一步；S5若x≤80，则y＝320，输出结果．(2)程序框图如图：。

1.1.2程序框图1．下列图形符号属于判断框的是()2．下列关于程序框图的说法正确的有()①用程序框图表示算法直观、形象，容易理解；②程序框图能清楚地展现算法的逻辑结构，也就是通常所说的一图胜万言；③在程序框图中，起止框是任何流程不可少的；④输入和输出框可用在算法中任何需要输入、输出的位置．A．1个B．2个C．3个D．4个3．在程序框图中，一个算法步骤到另一个算法步骤用__________连接．4．在画程序框图时，如果一个框图需要分开来画，则要在断开处画上______，并标上连接的符号．答案：1．C判断框用菱形表示，且有多个输出．2．D3．流程线4．连接点1．程序框图中表示处理框的是()A．矩形框B．菱形框C．图形框D．椭圆形框2．画程序框图时，需要遵循的规则中，下列说法错误的是()A．使用标准的框图语言B．在程序框图中，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是具有超过一个退出点的其中的一个符号C．一种判断框是“是”与“不是”两分支的判断，而且有且仅有两个结果，另一种是多分支判断，有几种不同的结果D．在图形符号内描述的语言要非常简练、清楚3．写出下列程序框图的运算结果．S＝__________.a＝__________.4．半径为r的圆的面积公式为S＝πr2，当r＝10时，写出计算圆面积的算法，画出程序框图．5．画出解下列方程组的程序框图：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0.6．设计一个算法，求解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的实数根，并画出程序框图．答案：1．A2．B B 项中的“其中”应为“唯一”．3.52 4 S ＝a b ＋b a ＝24＋42＝52. ∵R ＝8，∴b ＝4＝2，a ＝2b ＝4.4．解：算法如下：S1 取r ＝10；S2 计算S ＝πr 2；S3 输出S.程序框图如图所示：5．解：如图所示：6．解：算法步骤：第一步，输入a ，b ，c.第二步，计算判别式Δ＝b 2－4ac.第三步，判断Δ的符号．若Δ 0，则计算x 1、2＝－b±Δ2a，并输出x 1、2； 若Δ<0，则结束．程序框图：1．程序框图中▱的功能是 ( )A ．算法的起始和结束B ．算法输入和输出信息C ．计算、赋值D ．判断条件是否成立答案：B 由程序框图的图形符号及表示的意义易得．2．如图，是一个算法程序框图，回答下面的问题：当输入的值为3时，输出的结果是__________．答案：8∵3<5，∴y＝32－1＝8.3.写出下列程序框图的功能：(1)图①中程序框图的功能是(a>0，b>0)__________．(2)图②中程序框图的功能是__________．①②答案：(1)求以a，b为直角边的直角三角形斜边c的长(2)求两个实数的和4．已知f(x)＝|x－3|，如图所示的是给定x值，求其相应函数值的算法．请将该程序框图补充完整，其中①处应填__________；②处应填__________．答案：x<3y＝x－3由f(x)＝|x－3|知，需对x－3的正负进行判断，因为“是”时为y＝3－x，故判断框内应为x<3，“否”时应为y＝x－3.5．如图所示的程序框图是将一系列指令和问题用框图的形式排列而成的，箭头将告诉你下一步到哪一个程序框图．阅读下边的程序框图，并回答下面的问题．(1)程序框图表示了怎样的算法？__________. (2)若a>b>c ，则输出的数是__________；若a ＝(12)13，b ＝23，c ＝log 32，则输出的数是__________．答案：(1)此框图表示的是“找出a ，b ，c 三个实数中的最大值”．(2)a a (1)略；(2)∵a ＝31)21(>21)21(＝22>23＝b ，∴a>b. 又323＝39>38＝2＝3log32，∴b>c.∴a>b>c.6．利用梯形的面积公式计算上底为2，下底为4，高为5的梯形的面积，设计出该问题的算法及程序框图．答案：解：S1 a ＝2，b ＝4，h ＝5；S2 S ＝12(a ＋b)h ； S3 输出S.程序框图如下图所示：7．任意给定3个正实数，设计一个算法，判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在，画出这个算法的程序框图．答案：解：判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在，只需验证这3个数当中任意两数的和是否大于第3个数．程序框图如图所示：。

第1讲算法与程序框图【地位作用】算法是高中数学课程中的新内容，通过本章中分析具体的事例，通过模仿、操作、探索的过程，体会算法的基本思想，发展学生思维、表达的条理性，提高逻辑思维能力。

【重点难点】理解算法的概念及重要性、框图的概念及画框图的规则是重点，难点是写出简单数学问题的算法及正确画出框图。

【教学内容】1．算法的概念算法的定义：广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法等等。

在数学中，现代意义的算法是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序和步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成。

2．算法的特点①确定性：算法的每一步都应当做到准确无误、“不重不漏”。

“不重”是指不是可有可无的、甚至无用的步骤，“不漏”是指缺少哪一步都无法完成任务。

②逻辑性：算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣。

分工明确，“前一步”是“后一步”的前提，“后一步”是“前一步”的继续。

③有穷性：算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制的持续进行。

3．算法的描述：自然语言、程序框图、（程序语言）。

4．程序框图（1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形；（2）构成程序框的图形符号及其作用：例题讲解例1．算法的有穷性是指（）A．算法必须包含输出B．算法中每个操作步骤都是可执行的C．算法的步骤必须有限D．以上说法均不正确例2．算法共有三种逻辑结构，即顺序结构，条件结构和循环结构，下列说法正确的是（）A．一个算法只能含有一种逻辑结构B．一个算法最多可以包含两种逻辑结构C．一个算法必须含有上述三种逻辑结构D．一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合第4题第5题例3.（2010浙江理数）某程序框图如右图所示， 若输出的S =57，则判断框内为（ ）A ．k ＞4?B ．k ＞5?C ．k ＞6?D ．k ＞7?例4．下图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）A ．i>10B ．i<10C ．i>20D ．i<20例5．右边的程序框图（如上图所示），能判断任意输入的数x 的奇偶性：其中判断框内的条件是（ ）A ．m=0B ．x=0C ．x=1D ．m=1例6．（2010西城一模）阅读右面的程序框图， 运行相应的程序，输出的结果为（ ）A ．1321B ．2113C ．813D ．138例7．（2010海淀一模）已知某程序框图如右图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）A ．1−B ．1C ．2D ．12例8．写出一个将任意三个不同实数按由小到大列出的算法.例9．对任意给定的正整数n ，写出一个求3333123n ++++L 的算法的程序框图.例10．画出一个能够判断任意三个正数能否构成三角形的程序框图，如果能构成三角形并输出三角形的形状（锐角、直角或钝角三角形）.例11．画出一个解一元二次型方程20ax bx c ++=的程序框图.例12．给出30个数：1，2，4，7，……，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，依此类推.要计算这30个数的和，现已给出了该问题算法的程序框图（如图所示），请在图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能.例13．某电信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间不超过3分钟，则收取通话费0.2元，如果通话时间超过3分钟，则超过部分以每分钟0.1元收取通话费（通话不足1分钟时按1分钟计），试设计一个计算通话费用的算法. 要求写出算法，画出程序框图.。

算法与程序框图教学目标：明确算法的含义，熟悉算法的三种基本结构。

教学重点：算法的基本知识与算法对应的程序框图的设计.教学难点：与算法对应的程序框图的设计及算法程序的编写.教学过程：1.算法的定义：广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，现代意义的算法是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序和步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成 .2.流程图的概念：流程图是用一些规定的图形、指向线及简单的文字说明来表示算法几程序结构的一种图形程序．它直观、清晰，便于检查和修改. 其中，图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，带箭头的流程线（指向线）表示操作的先后次序．构成流程图的图形符号及其作用程序框名称功能表示一个算法的起始和结束，是任何算法起止框程序框图不可缺少的。

表示一个算法输入和输出的信息，可用在输入、输出框算法中任何需要输入、输出的位置。

赋值、计算。

算法中处理数据需要的算式、处理框公式等，它们分别写在不同的用以处理数据的处理框内。

判断某一条件是否成立，成立时在出口处判断框标明“是”或“ Y”；不成立时在出口处标明则标明“否”或“ N”。

流程线算法进行的前进方向以及先后顺序循环框用来表达算法中重复操作以及运算连结点连接另一页或另一部分的框图注释框帮助编者或阅读者理解框图3．规范流程图的表示：①使用标准的框图符号；②框图一般按从上到下、从左到右的方向画，流程线要规范；③除判断框外，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点.④在图形符号内描述的语言要非常简练、清楚.4、算法的三种基本逻辑结构：课本中例题的讲解得出三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构（1）顺序结构：顺序结构描述的是是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的。

例 1：已知一个三角形的三边分别为2、3、4，利用海伦公式设计一个算法，求出它的面积，并画出算法的程序框图。

必修三专题第一节算法与程序框图[最新考纲展示]1．了解算法的含义，了解算法的思想．2．理解算法框图的三种基本结构：顺序结构、条件结构、循环结构．3.了解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．考点一算法的定义算法是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．考点二程序框图1．程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．2．程序框图通常由程序框和流程线组成．3．基本的程序框有终端框（起止框）、输入、输出框、处理框（执行框）、判断框．考点三三种基本逻辑结构算法的三种基本逻辑结构算法的三种基本逻辑结构为顺序结构、条件结构和循环结构，尽管算法千差万别，但都是由这三种基本逻辑结构构成的．顺序结构顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构，用程序框图表示为：条件结构的概念在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，处理这种过程的结构就是条件结构． 条件结构程序框图的两种形式及特征循环结构(1)概念：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的步骤为循环体．可以用如图①②所示的程序框图表示．名称 形式一 形式二结构 形式特征 两个步骤A ，B 根据条件选择一个执行根据条件是否成立选择是否执行步骤A(2)直到型循环结构：如图①所示，其特征是：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环．(3)当型循环结构：如图②所示，其特征是：在每次执行循环体前，对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环．考点四基本算法语句输入语句格式INPUT“提示内容”；变量功能可以一次为一个或多个变量赋值，实现了算法中的输入功能说明“提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息，程序框图中的输入框转化为算法语句就是输入语句输出语句格式PRINT“提示内容”；表达式功能先计算表达式的值，然后输出结果，实现了算法中的输出功能．显然在计算机屏幕上，也就是输出信息，可以是常量、变量的值和系统信息说明程序框图中的输出框转化为算法语句就是输出语句赋值语句格式变量＝表达式功能先计算表达式的值，然后把结果赋值给“＝”左边的变量，此步完成后，“＝”左边变量的值就改变了说明 赋值语句中的“＝”叫做赋值号，它和数学中的等号不一样.条件语句的格式及框图格式一格式二条件 语句 IF 条件 THEN 语句体 END IF语句 功能首先对IF 后的条件进行判断，如果(IF)条件符合，那么(THEN)执行语句体，否则执行END_IF 之后的语句首先对IF 后的条件进行判断，如果(IF)条件符合，那么(THEN)执行语句体1，否则(ELSE)执行语句体2对应 条件 结构 框图循环语句 UNTIL 语句(1)UNTIL 语句的格式：(2)UNTIL 语句的执行过程：当计算机执行上述语句时，先执行一次DO和UNTIL之间的循环体，再对UNTIL后的条件进行判断，如果条件不符合，继续执行循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍不符合，再次执行循环体，直到条件符合时为止．这时，计算机将不执行循环体，直接跳到UNTIL 语句后，接着执行UNTIL语句之后的语句．(3)UNTIL语句对应的程序框图：WHILE语句(1)WHILE语句的格式：(2)WHILE语句的执行过程：当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE和WEND之间的循环体，然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止，这时计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句．(3)WHILE语句对应的程序框图：解决程序框图问题时应注意(1)不要混淆处理框和输入框．(2)注意区分条件结构和循环结构．(3)注意区分当型循环和直到型循环．(4)循环结构中要正确控制循环次数．(5)要注意各个框的顺序．考向一算法的基本结构【例1】(2013年高考江西卷)阅读如下程序框图，如果输出i＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是( )A．S<8 B．S<9C．S<10 D．S<11[解析] 由框图及输出i＝4可知循环应为：i＝2，S＝5；i＝3，S ＝8；i＝4，S＝9，输出i＝4，所以应填入的条件是S<9，故选B. [答案] B反思总结1．解决程序框图问题要注意几个常用变量(1)计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i＝i＋1；(2)累加变量：用来计算数据之和，如S＝S＋i；(3)累乘变量：用来计算数据之积，如p＝p×i.2．处理循环结构的框图问题，关键是理解并认清终止循环结构的条件及循环次数．变式训练1．若如下框图所给的程序运行结果为S＝20，那么判断框中应填入的关于k的条件是( )A．k＝9? B．k≤8?C．k<8? D．k>8?解析：据程序框图可得当k＝9时，S＝11；k＝8时，S＝11＋9＝20.∴应填入“k>8？”答案：D考向二程序框图的应用【例2】(2014年广州模拟)阅读如图所示的程序框图，则输出的S ＝________.[解析] 由框图知，程序执行的功能为：S＝(3×1－1)＋(3×2－1)＋(3×3－1)＋(3×4－1)＋(3×5－1)＝3×(1＋2＋3＋4＋5)－5＝40.[答案] 40反思总结1．识别、运行程序框图和完善程序框图的思路(1)要明确程序框图的顺序结构、条件分支结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．2．解决程序框图问题时的注意点(1)不要混淆处理框和输入框． (2)注意区分条件分支结构和循环结构． (3)注意区分当型循环和直到型循环． (4)循环结构中要正确控制循环次数． (5)要注意各个框的顺序考向三 基本算法语句【例3】 (2013年高考陕西卷)根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为( )A ．25B ．30C ．31D ．61[解析] 该语句为分段函数y ＝⎩⎨⎧0.5x ， x ≤50，25＋0.6(x －50)，x >50，当x ＝60时， y ＝25＋0.6×(60－50)＝31，故选C.[答案] C 变式训练2．下面程序运行的结果为( )A．4 B．5 C．6 D．7解析：第一次执行后，S＝100－10＝90，n＝10－1＝9；第二次执行后，S＝90－9＝81，n＝9－1＝8；第三次执行后，S＝81－8＝73，n＝8－1＝7；第四次执行后，S＝73－7＝66，n＝7－1＝6.此时S＝66≤70，结束循环，输出n＝6.答案：C第二节随机抽样[最新考纲展示]1．理解随机抽样的必要性和重要性． 2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层抽样和系统抽样方法．考点一简单随机抽样定义一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样分类抽签法(抓阄法)和随机数法特点①简单随机抽样要求总体中的个体数N是有限的．②简单随机抽样抽取样本的容量n小于或等于总体的个体数N③简单随机抽样中的每个个体被抽到的可能性均为nN④逐个抽取即每次仅抽取一个个体⑤简单随机抽样是不放回的抽样，即抽取的个体不再放回总体适用范围当总体中的个体无差异且个体数目较少时，采用简单随机抽样抽取样本考点二系统抽样的步骤一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：[通关方略]1．辨析抽签法和随机数法相同点：(1)都是简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个体数有限；(2)都是从总体中逐个地进行抽取，都是不放回抽样．不同点：(1)在总体容量较小的情况下，抽签法比随机数法简单；(2)抽签法适用于总体中的个体数相对较少的情况，而随机数法更适用于总体中的个体数较多的情况，这样可以节约大量的人力和制作号签的成本．2．系统抽样的公平性在系统抽样中，(1)若N能被n整除，则将比值Nn作为分段间隔k.由于起始编号的抽取采用简单随机抽样的方法，因此每个个体被抽取的可能性是一样的．(2)若N不能被n整除，则用简单随机抽样的方法从总体中剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被n整除，再确定样本．因此每个个体被抽取的可能性还是一样的．所以系统抽样是公平的．考点三分层抽样1．定义在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．2．分层抽样的应用范围当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．三种抽样方法的异同点考向一简单随机抽样【例1】第二届夏季青年奥林匹克运动会将于2014年在南京举行，南京某大学为了支持运动会，从报名的60名大学生中选10人组成志愿小组，请用抽签法设计抽样方案．[解析] 第一步：将60名志愿者编号，编号为1,2,3， (60)第二步：将60个号码分别写在60张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签；第三步：将60个号签放入一个不透明的盒子里，充分搅匀；第四步：从盒子中逐个抽取10个号签，并记录上面的编号；第五步：所得号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员．反思总结简单随机抽样须满足的条件与特点(1)抽取的个体数有限；(2)逐个抽取；(3)是不放回抽取；(4)是等可能抽取；(5)抽签法适于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况．变式训练1．(2013年高考江西卷)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481A.08 B．07C．02 D．01解析：由题意知前5个个体的编号为08、02、14、07、01，故选D.答案：D考向二系统抽样【例2】(2014年宿州模拟)一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽取的号码是________．[解析] 由题中的抽取规则可知依次抽取的号码为：6、18、29、30、41、52、63、74、85、96.故第7组中抽取的号码为63.[答案] 63反思总结1．当总体容量较大，样本容量也较大时，可用系统抽样法．2．在利用系统抽样时，经常遇到总体容量不能被样本容量整除的情况，这时可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除．变式训练2．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为( )A．7 B．9 C．10 D．15解析：由系统抽样的特点知：抽取号码间隔为96032＝30，抽取的号码依次为9,39,69，...，939.落入区间[451,750]的有459,489， (729)这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n项，显然有729＝459＋(n－1)×30，解得n＝10.答案：C考向三分层抽样【例3】(2013年高考湖南卷)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝( )A．9 B．10 C．12 D．13[解析]利用分层抽样抽取甲、乙、丙三个车间的产品数量比为120∶80∶60＝6∶4∶3，从丙车间的产品中抽取了3件，则n×313＝3，得n＝13，则选D.[答案] D反思总结进行分层抽样时应注意以下几点(1)分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠；(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同；(3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样(4)抽样比＝样本容量个体数量＝各层样本容量各层个体数量.第三节 用样本估计总体[最新考纲展示]1．了解分布的意义与作用，会列频率分布表、会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．2．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差． 3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释． 4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想． 5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．考点一 作频率分布直方图的步骤1．求极差(即一组数据中最大值 与 最小值 的差)．2．决定 组距 与 组数 ．3．将数据分组 ．4．列 频率分布表．5．画频率分布直方图[通关方略]探究组距和组数的确定(1)组距的选择应力求“取整”，如果极差不利于分组(如不能被组数整除)，可适当增大极差，如在左、右两端各增加适当范围(尽量使两端增加的量相同)．(2)数据分组的组数与样本容量有关，一般样本容量越大，所分组数应越多．当样本容量不超过100时，按照数据的多少，常分成5至12组．考点二频率分布折线图和总体密度曲线1．频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得频率分布折线图．2．总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线．考点三茎叶图用茎叶图表示数据有两个突出的优点：一是茎叶图上没有原始数据的损失，所有的数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图可以在比赛时随时记录，方便记录与表示．考点四样本的数据特征(1)众数：在一组数据中，出现次数最多的数叫做众数．如果有两个或两个以上数据出现的最多且出现的次数相等，那么这些数据都是这组数据的众数；如果一组数据中，所有数据出现的次数都相等，那么认为这组数据没有众数．(2)中位数：将一组数据按从小到大的顺序依次排列，当数据有奇数个时，处在最中间的那个数是这组数据的中位数；当数据有偶数个时，处在最中间的两个数的平均数是这组数据的中位数．(3)平均数：一组数据的总和除以这组数据的个数取得的商叫做这组数据的平均数，一般记为x ＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )． (4)标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示．假设样本数据是x 1，x 2，…，x n ，x 表示这组数据的平均数，则s ＝1n [x 1－x 2x 2－x 2x n －x 2].(5)方差：标准差的平方s 2即为方差．则s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]． [通关方略]1．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．2．标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，标准差、方差越小，数据的离散程度越小，因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．考向一频率分布直方图的应用【例1】某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.[解析](1)由频率分布直方图可知(2a＋0.04＋0.03＋0.02)×10＝1，解得a＝0.005.(2)由频率分布直方图估计这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．(3)由频率分布直方图及表中数据得：分数段x y[50,60) 5 5[60,70) 40 20[70,80) 30 40[80,90) 20 25∴数学成绩在[50,90)之外的人数为100－5－20－40－25＝10.反思总结解决频率分布直方图问题时要抓住(1)直方图中各小长方形的面积之和为1.(2)直方图中纵轴表示频率组距，故每组样本的频率为组距×频率组距，即矩形的面积．(3)直方图中每组样本的频数为频率×总体数．考向二茎叶图的应用【例2】(2013年高考安徽卷)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如下：(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x 1、x 2，估计x 1－x 2的值．[解析] (1)设甲校高三年级学生总人数为n .由题意知，30n＝0.05，即n ＝600.样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为1－530＝56.(2)设甲、乙两校样本平均数分别为x1′、x2′，根据样本茎叶图可知，30(x1′－x2′)＝30x1′－30x2′＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92＝2＋49－53－77＋2＋92＝15.因此x1′－x2′＝0.5.故x1－x2的估计值为0.5分．反思总结由于茎叶图完全反映了所有的原始数据，解决由茎叶图给出的统计图表试题时，就要充分使用这个图表提供的数据进行相关的计算或者是对某些问题作出判断，这类试题往往伴随着对数据组的平均值或者是方差的计算等．变式训练1.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是________．解析：甲比赛得分的中位数为28，乙比赛得分的中位数为36，所以甲、乙两人比赛得分的中位数之和为28＋36＝64.答案：64考向三用样本的数字特征估计总体的数字特征【例3】甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.(1)分别计算两组数据的平均数；(2)分别计算两组数据的方差；(3)根据计算结果，估计一下两名战士的射击水平谁更好一些．[解析] (1)x 甲＝110(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7， x 乙＝110(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7. (2)由方差公式s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]可求得s 2甲＝3.0，s 2乙＝1.2.(3)由x 甲＝x 乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当；又∵s 2甲>s 2乙，说明甲战士射击情况波动大，因此乙战士比甲战士射击情况稳定．反思总结平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．变式训练2．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析：由条形统计图知：甲射靶5次的成绩分别为：4,5,6,7,8；乙射靶5次的成绩分别为：5,5,5,6,9，所以x甲＝4＋5＋6＋7＋85＝6；x乙＝5＋5＋5＋6＋95＝6.所以x甲＝x乙．故A不正确．甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故B 不正确． s 2甲＝15[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝15×10＝2，s 2乙＝15[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝15×12＝125，因为2<125，所以s 2甲<s 2乙.故C 正确．甲的成绩的极差为：8－4＝4，乙的成绩的极差为：9－5＝4，故D 不正确．故选C.答案：C第四节变量间的相关关系、统计案例[最新考纲展示]1．会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系． 2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程． 3.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用． 4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．考点一变量间的相关关系1．常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关变量；与函数关系不同，相关变量是一种非确定性关系．2．从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．[通关方略]相关关系与函数关系有何异同点？共同点：二者都是指两个变量间的关系．不同点：函数关系是一种确定性关系，体现的是因果关系；而相关关系是一种非确定性关系，体现的不一定是因果关系，可能是伴随关系．考点二两个变量的线相关1．从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线。

1.1算法与程序框图建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共10分）1.下面的结论正确的是（）A．一个程序的算法步骤是可逆的B.一个算法可以无止境地运算下去C.完成一件事情的算法有且只有一种D.设计算法要本着简单方便的原则2.早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个步骤，从下列选项中选最好的一种算法( )A.S1 洗脸刷牙，S2刷水壶，S3 烧水，S4泡面，S5吃饭，S6听广播B.S1刷水壶，S2烧水同时洗脸刷牙，S3泡面，S4吃饭，S5 听广播C.S1刷水壶，S2烧水同时洗脸刷牙，S3泡面，S4吃饭同时听广播D.S1吃饭同时听广播，S2泡面，S3烧水同时洗脸刷牙，S4刷水壶二、填空题（每小题5分，共15分）3.写出求1+2+3+4+5+6+…+100 的一个算法，可运用公式1+2+3+…+ n=2)1(nn直接计算.第一步①；第二步②；第三步输出计算结果.4.已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99.求他的总分和平均成绩的一个算法为：第一步取A=89 ， B =96 C=99 ；第二步①；第三步②；第四步输出计算结果.5.请从下面具体的例子中说明几个基本的程序框和它们各自表示的功能，并把它填在相应的括号内．三、解答题（共75分）6. （10分）下面程序框图输出的S表示什么？虚线框表示什么结构？7．（10分）下面循环结构的程序框图中，哪一个是当型循环的程序框图？哪一个是直到型循环的程序框图？（1）（2）8．（10分）某快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下列方法计算：f =其中f（单位：元）为托运费，ω为托运物品的质量（单位：千克），试写出一个计算费用f的算法，并画出相应的程序框图．9．(15分)如果学生的成绩大于或等于60分，则输出“及格”，否则输出“不及格”．用程序框图表示这一算法过程．S=πr210．（15分）火车站对乘客退票收取一定的费用，具体办法是：按票价每10元（不足10元按10元计算）核收2元；2元及以下的票不退．试写出票价为x元的车票退掉后，返还的金额y元的算法的程序框图．11．（15分）画出解不等式ax+b＞0（b≠0）的程序框图．1.1算法与程序框图答题纸得分：一、选择题题号 1 2答案二、填空题3． 4． 5.三、解答题6.7.8.9.10.11.1.1算法与程序框图答案一、选择题1.D 解析：解答这类问题主要考虑算法的概念及特点：有限性，确定性，有序性，可输出性，通用性.2.C 解析：欲要从选项中选最好的一种算法，就是要考虑适当安排工序，既不影响结果又要时间最少即可.二、填空题3.①取n=100 ②计算2)1(nn解析：本题是一个累加求和问题，运用公式可使算法简便.4.①计算总分D=A+B+C ②计算平均成绩E=3D5.解析：在程序框图中，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤，带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序，包括三个基本逻辑结构．三、计算题6.解：由框图知，当r=5时，输出的S=πr2，所以程序框图输出的S表示：求半径为5的圆的面积的算法的程序框图，虚线框是一个顺序结构．7.解：（1）观察图（1），它是先判断后循环，故是当型循环的程序框图；（2）观察图（2），它是先循环后判断，故是直到型循环的程序框图.8. 解：算法：第一步：输入物品质量ω；第二步：如果ω≤50，那么f=0.53ω，否则，f=50×0.53+（ω﹣50）×0.85；第三步：输出物品质量ω和托运费f．相应的程序框图．ωωωω9. 解：10. 解：11. 解：。

第一章1.1算法与程序边框图1.算法的概念(1)算法概念的理解①算法是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成．②算法与一般意义上具体问题的解法既有联系，又有区别，它们之间是一般和特殊的关系，也是抽象与具体的关系．算法的获得要借助一般意义上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可以利用这类问题的一般算法来解决．③算法一方面具有具体化、程序化、机械化的特点，同时又有高度的抽象性、概括性、精确性，所以算法在解决问题中更具有条理性、逻辑性的特点．(2)算法的四个特征：概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性①概括性：写出的算法必须能解决某一类问题，并且能够重复使用．②逻辑性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，而且每一步都是正确无误的，从而组成了一个有着很强逻辑性的步骤序列．③有穷性：算法有一个清晰的起始步，终止步是表示问题得到解答或指出问题没有解答，所有序列必须在有限个步骤之内完成，不能无停止地执行下去．④不唯一性：求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个，可以有不同的算法，当然这些算法有简繁之分、优劣之别．(3)常见的算法类型①数值性计算问题．如：解方程(或方程组)、解不等式(或不等式组)、利用公式求值、累加或累乘等问题，可通过相应的数学模型借助一般的数学计算方法，分解成清晰的步骤，使之条理化．②非数值性计算问题．如：判断、排序、变量变换等需先建立过程模型，再通过模型进行算法设计与描述．注意：(ⅰ)注意算法与解法的区别：算法是解决一类问题所需要的程序或步骤的统称；而解法是解决某一个具体问题的过程或步骤，是具体的解题过程．(ⅱ)设计算法时要尽量选取简捷、快速、高效的解决问题的算法．对一个具体的问题，我们要对解决问题的途径进行透彻的研究，找出最优算法，做到“先思考后处理”．2．程序框图(1)程序框图又称为流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形．(2)用程序框图表示算法，具有直观、形象的特点，能更清楚地展现算法的逻辑结构．(3)程序框图主要由程序框和流程线组成．基本的程序框有终端框、输入框、输出框、处理框、判断框，其中终端框是任何流程图不可缺少的，而输入、输出可以用在算法中任何需要输入、输出的位置．(4)画程序框图的规则①使用标准的框图符号；②框图一般按从上到下、从左到右的方向画；③终端框(起止框)是任何程序框图必不可缺少的，表示程序的开始和结束；④除判断框外，大多数程序框图符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是具有超过一个退出点的唯一符号；⑤程序框图符号框内的文字要简洁精炼．注意：(ⅰ)每一种程序框图的图形符号都有特定的含义，在画程序框图时不能混用，并且所用图形符号一定要标准规范，起始框只有一条流出线(没有流入线)，终止框只有一条流入线(没有流出线)，输入、输出框只有一条流入线和一条流出线，判断框有一条流入线和两条流出线．(ⅱ)如果一个程序框图由于纸面等原因需要分开画，要在断开处画上连接点，并标出连接的号码．(ⅲ)判断框是“是”与“否”两分支的判断，有且仅有两个结果．(ⅳ)一般地，画程序框图时，先用自然语言编写算法，然后再画程序框图．3．算法的三种基本结构(1)顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的基本结构，其基本结构形式如图所示，其中A、B两框所指定的操作是依次执行的．顺序结构中所表达的逻辑关系是自然串行、上下连贯、线性排列的．(2)条件结构：先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构就称为条件结构．条件结构用于进行逻辑判断，并根据判断的结果进行不同的处理．条件结构必含判断框．条件结构的结构形式如图2所示，此结构中包含一个判断框，算法执行到此判断框给定的条件P时，根据条件P是否成立选择不同的执行框(A框或B框)．注意：无论P是否成立，下一步只能执行A框或B框之一，不能A框和B框同时执行，也不能A、B两框都不执行，但A框和B框中可以有一个是空的，如图3.(3)循环结构：根据条件是否成立，以决定是否重复执行某些操作，在算法中要求重复执行同一操作的结构称为循环结构，重复执行的处理步骤称为循环体．根据执行情况及循环结束条件的不同可以分为当型循环(WHILE型)和直到型循环(UNTIL型)．当型循环的特点是“先判断，后执行”，即先判断条件，当条件满足时，反复执行循环体，当条件不满足时退出循环(也就是说直到条件不满足时退出循环)．如图4.直到型循环的特点是先执行一次循环体，再判断条件，当条件不满足时执行循环体，当条件满足时退出循环(即直到条件满足时退出循环)，即“先执行，后判断”．如图5.当型循环可能一次也不执行循环体，而直到型循环至少要执行一次循环体．当型循环与直到型循环可以相互转化，条件互补．循环结构中常用的变量有计数变量、累加变量及累乘变量．计数变量用来记录某个事件发生的次数(即执行循环体的次数)，累加变量用来计算数据之和，累乘变量用来计算数据之积．对于这些变量，开始一般要先赋初值，一般地，计数变量初值可设为0或1，累加变量初值设为0，累乘变量初值设为1.注意：(ⅰ)正确理解顺序结构的特点及适用条件是作出顺序结构图的关键．(ⅱ)画条件结构的程序框图要用到判断框，判断框有两个出口，根据不同的条件输出不同的信息，这些不同的信息必须全部写出．(ⅲ)只有有规律的，能重复进行的算法过程才能用循环结构．题型一算法设计写出能找出a 、b 、c 三个数中最小值的一个算法．解 第一步：输入a 、b 、c .并且假定min ＝a ；第二步：若b <min 成立，则用b 的值替换min ；否则直接执行下一步；第三步：若c <min 成立，则用c 的值替换min ，否则直接执行下一步；第四步：输出min 的值，结束．点评 本题的思路是：将min 定义为最小值，并把a 的值赋给min ，然后依次与b 、c 比较大小，遇到小的就替换min 的值，最后输出min 的值，这种方法可以推广到从多个不同的数中找出最大或最小的一个．题型二 条件结构的程序框图已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1 (x >0)，0 (x ＝0)，1 (x <0).写出求该函数值的算法及程序框图．解 算法如下：第一步：输入x ；第二步：如果x >0，那么使y ＝－1，如果x ＝0，那么使y ＝0，如果x <0，那么使y ＝1； 第三步：输出函数值y .程序框图如图所示．点评 该函数是分段函数，当x 取不同范围内的值时，函数的表达式不同，因此当给出一个自变量x 的值时，也必须先判断x 的范围，然后确定利用哪一段的表达式求函数值，因为函数分了三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断．求分段函数的函数值的程序框图，如果是分两段的函数只需引入一个判断框，如果是分三段的函数，至少需要引入两个判断框，分四段的函数要引入三个判断框，以此类推，至于判断框内的内容是没有顺序的，比如：本题中的两个判断框内的内容可以交换，但对应的下一图框中的内容或操作也必须相应地进行变化，比如本题的程序框图也可以画成如图1所示或如图2所示．图1图2题型三循环结构的程序框图看下面的问题：1＋2＋3＋…＋()>10 000，这个问题的答案不唯一，我们只要确定出满足条件的最小正整数n0，括号内填写的数只要大于或等于n0即可．试写出满足条件的最小正整数n0的算法并画出相应的程序框图．解算法如下：第一步：p＝0；第二步：i＝0；第三步：i＝i＋1；第四步：p＝p＋i；第五步：如果p>10 000，则输出i，算法结束．否则，执行第六步；第六步：回到第三步，重新执行第三步、第四步和第五步.该算法的程序框图如图所示．点评本题属于累加问题，代表了一类相邻两数的差为常数的求和问题的解法，需引入计数变量和累加变量，应用循环结构解决问题．在设计算法时前后两个加数相差1，则i＝i ＋1，若相差2，则i＝i＋2，要灵活改变算法中的相应部分．另外需注意判断框内的条件的正确写出，直到型和当型循环条件不同，本题解法用的是直到型循环，用当型循环结构时判断框内条件应为p≤10 000.如图所示.题型四程序框图在生活中的应用72,91,58,63,84,88,90,55,61,73,64,77,82,94,60.要求将80分以上的同学的平均分求出来．画出程序框图．解用条件分支结构来判断成绩是否高于80分，用循环结构控制输入的次数，同时引进两个累加变量，分别计算高于80分的成绩的总和和人数．程序框图如图所示．构和循环结构相结合的算法．【例1】如图所示是某一算法的程序框图，根据该框图指出这一算法的功能．错解 求S ＝12＋14＋16＋…＋110的值． 错解辨析 本题忽略了计数变量与循环次数，没有明确循环体在循环结构中的作用，以及循环终止条件决定是否继续执行循环体．正解 在该程序框图中，S 与n 为两个累加变量，k 为计数变量，所以该算法的功能是求12＋14＋16＋…＋120的值． 【例2】 试设计一个求1×2×3×4×…×n 的值的程序框图．错解 程序框图如图所示．错解辨析 本题程序框图看似当型循环结构，我们应当注意的是，当型循环结构是当条件满足时执行循环体，而本题显然是误解了当型循环结构条件．正解 程序框图如图所示．乘变量t和计数变量i，这里t与i每一次循环，它们的值都在改变．1.(海南、宁夏高考)如果执行下面的程序框图，那么输出的S为()A．2 450 B．2 500 C．2 550 D．2 652答案 C解析当k＝1，S＝0＋2×1；当k＝2，S＝0＋2×1＋2×2；当k＝3，S＝0＋2×1＋2×2＋2×3；…当k＝50，S＝0＋2×1＋2×2＋2×3＋…＋2×50＝2 550.2．(济宁模拟)在如图的程序框图中，输出结果是()A．5 B．6C．13 D．10答案 D解析a＝5时，S＝1＋5＝6；a＝4时，S＝6＋4＝10；a＝3时，终止循环，输出S＝10.3．(广东高考)阅读下图的程序框图．若输入m＝4，n＝6，则输出a＝________，i＝________.答案12 3解析输入m＝4，n＝6，则i＝1时，a＝m×i＝4，n不能整除4；i＝2时，a＝m×i＝8，n不能整除8；i＝3时，a＝m×i＝12,6能整除12.∴a＝12，i＝3.一、选择题1．一个完整的程序框图至少包含()A．终端框和输入、输出框B．终端框和处理框C．终端框和判断框D．终端框、处理框和输入、输出框答案 A解析一个完整的程序框图至少需包括终端框和输入、输出框．2．下列关于条件结构的说法中正确的是()A．条件结构的程序框图有一个入口和两个出口B．无论条件结构中的条件是否满足，都只能执行两条路径之一C ．条件结构中的两条路径可以同时执行D ．对于一个算法来说，判断框中的条件是惟一的答案 B解析 由条件结构可知：根据所给条件是否成立，只能执行两条途径之一．3．下列问题的算法适宜用条件结构表示的是( )A ．求点P (－1,3)到直线l ：3x －2y ＋1＝0的距离B ．由直角三角形的两条直角边求斜边C ．解不等式ax ＋b >0 (a ≠0)D ．计算100个数的平均数答案 C解析 条件结构是处理逻辑判断并根据判断进行不同处理的结构．只有C 中含有判断a 的符号，其余选项都不含逻辑判断．4．下列程序框图表示的算法是( )A ．输出c ，b ，aB ．输出最大值C ．输出最小值D ．比较a ，b ，c 的大小答案 B解析 根据流程图可知，此图应表示求三个数中的最大数．5．用二分法求方程的近似根，精确度为δ，用直到型循环结构的终止条件是( )A ．|x 1－x 2|>δB ．|x 1－x 2|<δC ．x 1<δ<x 2D ．x 1＝x 2＝δ答案 B解析 直到型循环结构是先执行、再判断、再循环，是当条件满足时循环停止，因此用二分法求方程近似根时，用直到型循环结构的终止条件为|x 1－x 2|<δ.二、填空题6．下边的程序框图(如下图所示)，能判断任意输入的整数x 是奇数或是偶数．其中判断框内的条件是________．答案 m ＝0?解析 根据程序框图中的处理框和输出的结果，寻找判断框内的条件．由于当判断框是正确时输出的是“x 是偶数”，而判断框前面的处理框是x 除以2的余数，因此判断框应填“m ＝0？”．7．下图是计算1＋13＋15＋…＋199的程序框图，判断框应填的内容是________，处理框应填的内容是________．答案 i ≤99？ i ＝i ＋2解析 由题意知，该算法从i ＝1开始到99结束，循环变量依次加2.8．完成下面求1＋2＋3＋…＋10的值的算法：第一步，S ＝1.第二步，i ＝2.第三步，S ＝S ＋i .第四步，i ＝i ＋1.第五步，________________________________________________________________________. 第六步，输出S .答案 如果i ＝11，执行第六步；否则执行第三步解析 本题是用自然语言来描述的算法，实际上第五步是一个判断条件，根据题意，是循环是否终止的条件，因此应该为如果i ＝11，执行第六步；否则执行第三步．三、解答题9．画出求11×2＋12×3＋13×4＋…＋199×100的值的程序框图． 解 这是一个累加求和问题，共99项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算法．程序框图如下图所示：10．写出解方程ax ＋b ＝0 (a 、b 为常数)的算法，并画出程序框图．解 算法如下：第一步，判断a 是否等于零，若a ≠0，执行第二步，若a ＝0，执行第三步；第二步，计算－b a ，输出“方程的解为－b a”； 第三步，判断b 是否等于零，若b ＝0，输出“有无数个解”的信息，若b ≠0，输出“方程无解”的信息．程序框图如图所示：探 究 驿 站11．画出求12＋12＋…＋12(共6个2)的值的程序框图． 分析 本题看上去非常烦琐，尤其是对于2的位置处理，容易让人产生错觉．本题只要把含有2的式子分离开来，用A 代替12，即令A ＝12，则不难分析出分母可化为12＋A的形式，且此结构重复出现．解 方法一 当型循环结构程序框图如图所示．方法二 直到型循环结构程序框图如图所示．12．给出以下10个数：5,9,80,43,95,73,28,17,60,36，要求把大于40的数找出来并输出．试画出该问题的程序框图．解程序框图如下图：趣味一题13．相传，古印度的舍罕王打算重赏国际象棋的发明者——宰相西萨·班·达依尔．于是，这位宰相跪在国王面前说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子；在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，照这样下去，每一小格都比前一小格加一倍．陛下啊，把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人罢！”国王慷慨地答应了宰相的要求，他下令将一袋麦子拿到宝座前．计数麦粒的工作开始了．第一格内放一粒，第二格两粒，第三格四粒……还没到第二十格，袋子已经空了．一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来，但是，麦粒数一格接一格地增长得那么迅速，很快就可以看出，即使拿来全印度的小麦，国王也无法兑现他对宰相许下的诺言！请你画出一个程序框图来求需要的麦粒数．分析由题意，我们可以看出第一格内放一粒，第二格两粒，第三格四粒，就是往后每一格是前一格的2倍，这样一共需要的麦粒数就是1＋2＋22＋…＋262＋263.从而可以得出这是一个累加求和问题，可以利用循环结构来设计算法，计数变量i从1到64循环64次，每个求和的数可用一个累乘变量表示．解程序框图：。