高三艺术班数学复习资料—— 二次函数与幂函数

二次函数与幂函数指数函数的比较与性质二次函数与幂函数、指数函数是高中数学中常见的函数类型。

本文将比较二次函数与幂函数、指数函数的特点与性质，从多个角度分析它们之间的差异和联系。

一、函数表达式与图像形态比较二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

它的图像是一条抛物线，圆顶方向和开口方向取决于a的正负。

幂函数的一般形式为f(x) = ax^m，其中a为实数，m为常数且m ≠ 0。

它的图像形态根据m的值而定，当m > 1时为上升函数，m < 1时为下降函数。

指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a > 0且a ≠ 1。

它的图像是一条递增或递减的曲线，斜率随x的增大而不断增大或减小。

通过比较函数表达式和图像形态，可以看出二次函数的图像是一条抛物线，幂函数的图像可以是直线、上升或下降的曲线，指数函数的图像是递增或递减的曲线。

二、增长速度与渐近性质比较二次函数的增长速度由a的值决定，当a > 0时随着x的增大，函数值快速增大；当a < 0时，随着x的增大，函数值快速减小。

二次函数没有水平渐近线，但存在一条对称轴。

幂函数的增长速度由m的值决定，当m > 1时，随着x的增大，函数值快速增大；当0 < m < 1时，随着x的增大，函数值快速减小。

幂函数没有水平渐近线。

指数函数的增长速度由底数a的值决定，当a > 1时，随着x的增大，函数值快速增大；当0 < a < 1时，随着x的增大，函数值快速减小。

指数函数存在一条水平渐近线，即x轴。

综合比较三种函数的增长速度和渐近性质，可以得出二次函数的增长速度相对较慢，幂函数的增长速度介于二次函数和指数函数之间，而指数函数的增长速度最快。

三、最值与极值比较对于二次函数，如果a > 0，则函数的最小值为c - b^2 / (4a)，无最大值；如果a < 0，则函数的最大值为c - b^2 / (4a)，无最小值。

二次函数与幂函数的关系二次函数和幂函数是数学中常见的两种函数，它们之间存在一定关系。

这篇文章将介绍二次函数和幂函数的定义、图像、特点以及它们之间的关系。

首先，我们来回顾一下二次函数和幂函数的定义。

二次函数是指函数的最高次项为二次的多项式函数。

它的一般形式可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c是实数且a不等于0。

在这个函数中，x是自变量，f(x)是因变量。

幂函数是指函数的自变量和因变量之间的关系式为 y = x^a，其中a 是实数。

幂函数的图像通常是一个曲线，并且根据a的不同取值，可以得到不同的曲线形状。

接下来，我们来分析二次函数和幂函数的图像。

对于二次函数，它的图像通常是一个抛物线。

根据二次函数的系数a 的正负和大小，可以得到不同类型的抛物线。

当 a 大于0时，抛物线开口向上；当 a 小于0时，抛物线开口向下。

我们可以根据开口方向和顶点的位置来确定抛物线的图像。

例如，当 a 大于0且顶点位于y轴上方时，抛物线开口向上且顶点为最低点；当 a 小于0且顶点位于y轴下方时，抛物线开口向下且顶点为最高点。

而幂函数的图像则由指数 a 的大小来决定。

当 a 大于1时，函数的图像呈现出上升的斜线；当 a 等于1时，函数的图像是一条直线；当 0 小于 a 小于 1 时，函数的图像呈现出下降的斜线。

与二次函数不同的是，幂函数的图像没有顶点或拐点。

然而，二次函数和幂函数并不是完全独立的。

实际上，我们可以将二次函数视为一种特殊的幂函数。

具体来说，二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c 可以写成 f(x) = a(x - h)^2 + k 的形式，其中 h 和 k 是实数，代表了二次函数图像的平移。

这种表达方式可以让我们更好地理解二次函数和幂函数之间的关系。

当平移的值 h 和 k 分别等于0时，即 h = 0 且 k = 0 时，二次函数变为f(x) = ax^2，这就是一个幂函数。

第四节二次函数与幂函数考纲下载1．了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图象，了解它们的变化情况．2．理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1．幂函数的定义形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．2．五种幂函数的图象3．五种幂函数的性质4.二次函数的图象和性质1．函数y ＝(x ＋1)3，y ＝x 3＋1，y ＝x 都是幂函数吗？ 提示：y ＝(x ＋1)3与y ＝x 3＋1不是幂函数；y ＝x 是幂函数． 2．幂函数的图象能出现在第四象限吗？提示：不能．因为当x ＞0时，根据幂运算，幂函数y ＝x α＞0恒成立，所以幂函数在第四象限没有图象．3．ax 2＋bx ＋c>0(a ≠0)与ax 2＋bx ＋c<0(a ≠0)恒成立的条件分别是什么？ 提示：(1)ax 2＋bx ＋c>0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎨⎧a>0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c<0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎨⎧a<0，Δ<0.1．已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，3在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为( )A ．f(x)＝x 2B ．f(x)＝x －2C ．f(x)＝x 12D ．f(x)＝x解析：选B 设f(x)＝x α，则3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33α，∴α＝－2.即f(x)＝x －2.2．(教材习题改编) 如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12解析：选B 由幂函数图象及其单调性之间的关系可知，曲线C 1，C 2，C 3，C 4所对应的n 依次为2，12，－12，－2.3．函数f(x)＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f(x)在区间(－5，－3)上( )A ．先减后增B ．先增后减C ．单调递减D ．单调递增解析：选D 因为f(x)＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，所 以2m ＝0，即m ＝0.所以f(x)＝－x 2＋3.由二次函数的单调性可知，f(x)＝－x 2＋3在(－5，－3)上为增函数．4．已知f(x)＝4x 2－mx ＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数f(x)＝4x 2－mx ＋5的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫m 8，＋∞，所以m 8≤2，即m ≤16.答案：(－∞，16]5．设函数f(x)＝mx 2－mx －1，若f(x)＜0的解集为R ，则实数m 的取值范围是________．解析：当m ＝0时，显然成立；当m ≠0时，⎩⎨⎧m ＜0，m2＋4m ＜0，解得－4＜m ＜0.综上可知，实数m 的取值范围是(－4,0]．答案：(－4,0][例1] (1)幂函数y ＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f(x)的图象是( )A B C D(2)当0＜x ＜1时，f(x)＝x 1.1，g(x)＝x 0.9，h(x)＝x －2的大小关系是________． [自主解答] (1)设幂函数的解析式为y ＝x α， ∵幂函数y ＝f(x)的图象过点(4,2)， ∴2＝4α，解得α＝12.∴y ＝x ，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0＜x ＜1时，其图象在直线y ＝x 的上方，对照选项，故选C.(2)如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0,1)上的图象，由此可知h(x)＞g(x)＞f(x)．[答案] (1)C (2)h(x)＞g(x)＞f(x) 方法规律幂函数的图象特征(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．3B ．0C ．1D ．2解析：选C 从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m 2－2m －3<0，即－1<m<3；又从图象看，函数是偶函数，故m 2－2m －3为负偶数，将m ＝0,1,2分别代入，可知当m ＝1时，m 2－2m －3＝－4，满足要求．[例2] 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间．[自主解答]由题意知⎩⎨⎧f 1a －b ＋1＝0，－b2a ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，∴f(x)＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2.故二次函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1]，单调递增区间为[－1，＋∞)．互动探究在本例条件下，若f(x)＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围．解：f(x)＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x2＋x＋1＞k在[－3，－1]上恒成立．设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，则g(x)在[－3，－1]上递减．∴g(x)min＝g(－1)＝1.∴k＜1，即k的取值范围为(－∞，1)．方法规律、二次函数解析式的求法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：(1)已知三个点坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；(3)已知图象与x轴两交点坐标，宜选用两根式．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8.求此二次函数的解析式．解：依题意，知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，a≠0. 即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值ymax ＝8，即－9a＋44＝8，解得a＝－4.故函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.1．高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低，且多以选择题形式出现，难度偏大，属中高档题．2．高考对二次函数图象与性质的考查主要有以下几个命题角度：(1)二次函数图象的识别问题；(2)二次函数的最值问题；(3)二次函数图象与其他图象有公共点问题．[例3] (1)(A.金华模拟)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )A BC D(2)(B.辽宁高考)已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝( )A．a2－2a－16 B．a2＋2a－16C．－16 D．16(3)(A.舟山模拟)设函数f(x)＝1x，g(x)＝－x2＋bx，若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是( )A．x1＋x2>0，y1＋y2>0B．x1＋x2>0，y1＋y2<0C．x1＋x2<0，y1＋y2>0D．x1＋x2<0，y1＋y2<0[自主解答] (1)A项，∵a＜0，－b2a＜0，∴b＜0.又∵abc ＞0，∴c ＞0，由图知f(0)＝c ＜0，故A 错； B 项，∵a ＜0，－b2a＞0，∴b ＞0，又∵abc ＞0，∴c ＜0，而f(0)＝c ＞0，故B 错；C 项，∵a ＞0，－b2a＜0，∴b ＞0，又∵abc ＞0，∴c ＞0，而f(0)＝c ＜0，故C 错；D 项，∵a ＞0，－b2a＞0，∴b ＜0，又∵abc ＞0，∴c ＜0，由图知f(0)＝c ＜0，故选D.(2)f(x)＝g(x)，即x 2－2(a ＋2)x ＋a 2＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8，即x 2－2ax ＋a 2－4＝0，解得x ＝a ＋2或x ＝a －2.f(x)与g(x)的图象如图．由图及H 1(x)的定义知H 1(x)的最小值是f(a ＋2)，H 2(x)的最大值为g(a －2)，A －B ＝f(a ＋2)－g(a －2)＝(a ＋2)2－2(a ＋2)2＋a 2＋(a －2)2－2(a －2)(a －2)＋a 2－8＝－16.(3)由题意知满足条件的两函数图象如图所示，作B 关于原点的对称点B ′(x ′2，y ′2)，所以x 2＋x ′2＝0，y 2＋y ′2＝0，由图可知，x 1＞x ′2，y 1<y ′2，所以x 1＋x 2＞0，y 1＋y 2＜0，故B 正确．[答案] (1)D (2)C (3)B二次函数图象与性质问题的常见类型及解题策略(1)图象识别问题．辨析二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标的交点等方面着手讨论或逐项排除．(2)最值问题．画出函数图象，利用数形结合求解．(3)与其他图象的公共点问题．解决此类问题的关键是正确作出二次函数及题目所涉及的相应函数的图象，要注意其相对位置关系．1．函数y＝ax2＋a与y＝ax(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是( )A B C D解析：选D 当a＞0时，二次函数y＝ax2＋a的图象开口向上，且对称轴为x＝0，顶点坐标为(0，a)，故排除A，C；当a＜0时，二次函数y＝ax2＋a的图象开口向下，且对称轴为x＝0，顶点坐标为(0，a)，函数y＝ax的图象在第二、四象限，故排除B，选D.2. (A.台州模拟)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是( )A．②④ B．①④C．②③ D．①③解析：选B 因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a ＜0，所以5a ＜2a ，即5a ＜b ，④正确．[课堂归纳——通法领悟]1个注意点——二次函数的二次项系数在研究二次函数时，要注意二次项系数对函数性质的影响，往往需要对二次项系数分大于零与小于零两种情况讨论．2个条件——一元二次不等式恒成立的条件(1)ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎨⎧ a ＞0，b 2－4ac ＜0.(2)ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎨⎧a ＜0，b 2－4ac ＜0.2种方法——二次函数图象对称轴的判断方法(1)对于二次函数y ＝f(x)对定义域内所有x ，都有f(x 1)＝f(x 2)，那么函数y ＝f(x)的图象关于x ＝x 1＋x 22对称． (2)对于二次函数y ＝f(x)对定义域内所有x ，都有f(a ＋x)＝f(a －x)成立的充要条件是函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．3种形式——二次函数表达式的三种形式 (1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)．(2)顶点式：y ＝a(x ＋h)2＋k(其中a ≠0，顶点坐标为(－h ，k))． (3)两根式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(其中a ≠0，x 1、x 2是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标).数学思想(二)分类讨论在求二次函数最值中的应用二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的最值情况进行分类讨论．[典例] (A.丽水模拟)已知x ∈[－1,1]时，f(x)＝x 2－ax ＋a2＞0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A．(0,2) B．(2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(0,4)[解题指导] f(x)＞0恒成立⇔f(x)min ＞0.求函数f(x)＝x2－ax＋a2的最小值应抓住问题中的区间两端点与对称轴的位置关系进行分类讨论，结合图象和函数的单调性及恒成立条件建立关于a的不等式求解．[解析] 二次函数图象开口向上，对称轴为x＝a2，又x∈[－1,1]时，f(x)＝x2－ax＋a2＞0恒成立，即f(x)min＞0.①当a2≤－1，即a≤－2时，f(－1)＝1＋a＋a2＞0，解得a＞－23，与a≤－2矛盾；②当a2≥1，即a≥2时，f(1)＝1－a＋a2＞0，解得a＜2，与a≥2矛盾；③当－1＜a2＜1，即－2＜a＜2时，Δ＝(－a)2－4·a2＜0，解得0＜a＜2.综上得实数a的取值范围是(0,2)．[答案] A[题后悟道] 二次函数求最值问题，一般先用配方法化为y＝a(x－m)2＋n 的形式，得顶点(m，n)和对称轴方程x＝m，结合二次函数的图象求解．常见有三种类型：(1)顶点固定，区间也固定；(2)顶点含参数(即顶点为动点)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外；(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调性，从而确定函数的最值．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，则实数a的值为________．解析：f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.(1)当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a＞0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝38；(3)当a＜0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.综上可知，a的值为38或－3.答案：38或－31．二次函数y＝－x2＋4x＋t图象的顶点在x轴上，则t的值是( ) A．－4 B．4 C．－2 D．2 解析：选A 二次函数图象的顶点在x轴上，所以Δ＝42－4×(－1)×t＝0，解得t＝－4.2．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是( )A．①y＝x 13，②y＝x2，③y＝x12，④y＝x－1B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x 12，④y＝x－1C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x 12，④y＝x－1D．①y＝x 13，②y＝x12，③y＝x2，④y＝x－1解析：选B 函数y＝x2的定义域、值域分别为R和[0，＋∞)，且其图象关于y 轴对称，故该函数应与图象②对应；函数y ＝x 12＝x 的定义域、值域都是[0，＋∞)，故该函数应与图象③对应；函数y ＝x －1＝1x，该函数应与图象④对应，故排除选项C ，D.对于函数y ＝x 13，随着x 的增大，函数图象向x 轴弯曲；而对于函数y ＝x 3，随着x 的增大，函数图象向y 轴弯曲，故图象①应与函数y ＝x 3对应．3．设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c ∈R )，若a ＝c ，则函数f(x)的图象不可能是( )A B C D解析：选D 由A ，B ，C ，D 的四个选项知，图象与x 轴均有交点，记两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，若只有一个交点，则x 1＝x 2，由于a ＝c ，所以x 1x 2＝ca＝1，比较四个选项，可知选项D 的x 1＜－1，x 2＜－1，所以D 不满足． 4．已知函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 且f(1＋x)＝f(－x)，则下列不等式中成立的是( )A ．f(－2)<f(0)<f(2)B ．f(0)<f(－2)<f(2)C ．f(0)<f(2)<f(－2)D ．f(2)<f(0)<f(－2)解析：选C ∵f(1＋x)＝f(－x)， ∴(x ＋1)2＋b(x ＋1)＋c ＝x 2－bx ＋c. ∴x 2＋(2＋b)x ＋1＋b ＋c ＝x 2－bx ＋c. ∴2＋b ＝－b ，即b ＝－1.∴f(x)＝x 2－x ＋c ，其图象的对称轴为x ＝12.∴f(0)<f(2)<f(－2)．5．方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ B ．(1，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－235解析：选C 令f(x)＝x 2＋ax －2，由题意，知f(x)图象与x 轴在[1,5]上有交点， 则⎩⎨⎧f10，f50.解得－235≤a ≤1.6．(A.衢州模拟)已知函数f(x)＝x 2＋x ＋c ，若f(0)＞0，f(p)＜0，则必有( )A ．f(p ＋1)＞0B ．f(p ＋1)＜0C ．f(p ＋1)＝0D ．f(p ＋1)的符号不能确定解析：选A 函数f(x)＝x 2＋x ＋c 的对称轴为x ＝－12，又因为f(0)＞0，f(p)＜0，故－1＜p ＜0，p ＋1＞0，所以f(p ＋1)＞0.7．若y ＝xa 2－4a －9是偶函数，且在(0，＋∞)内是减函数，则整数a 的值是________．解析：∵函数在(0，＋∞)内是减函数， ∴a 2－4a －9＜0， ∴2－13＜a ＜2＋13， 又函数是偶函数， ∴a 2－4a －9是偶数，∴整数a 的值可以是－1,1,3或5. 答案：－1,1,3或58．若函数f(x)＝(x ＋a)(bx ＋2a)(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.解析：由f(x)的定义域为R ，值域为(－∞，4]，可知b ≠0，∴f(x)为二次函数，f(x)＝(x ＋a)(bx ＋2a)＝bx 2＋(2a ＋ab)x ＋2a 2.∵f(x)为偶函数，∴其对称轴为x ＝0，∴－(2a ＋ab)＝0，解得a ＝0或b ＝－2.若a ＝0，则f(x)＝bx 2，与值域是(－∞，4]矛盾，∴a ≠0，b ＝－2，又f(x)的最大值为4，∴2a 2＝4，∴f(x)＝－2x 2＋4.答案：－2x 2＋49．(A.金华模拟)二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意x 恒有f(2＋x)＝f(2－x)，若f(1－2x 2)＜f(1＋2x －x 2)，则x 的取值范围是________．解析：由f(2＋x)＝f(2－x)，知x ＝2为对称轴，由于二次项系数为正的二次函数中距对称轴较近的点的纵坐标较小，∴|1－2x 2－2|＜|1＋2x －x 2－2|，即|2x 2＋1|＜|x 2－2x ＋1|，∴2x 2＋1＜x 2－2x ＋1，∴－2＜x ＜0.答案：(－2,0)10．设f(x)是定义在R 上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x ＜1时，y ＝f(x)的表达式是幂函数，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18.求函数在[2k －1,2k ＋1)(k ∈Z )上的表达式．解：设在[－1,1)上，f(x)＝x n，由点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18在函数图象上，求得n ＝3.令x ∈[2k －1,2k ＋1)，则x －2k ∈[－1,1)， ∴f(x －2k)＝(x －2k)3.又f(x)周期为2， ∴f(x)＝f(x －2k)＝(x －2k)3. 即f(x)＝(x －2k)3(k ∈Z )．11．已知函数f(x)＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域； (2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． 解：(1)当a ＝2时，f(x)＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，对称轴x ＝－32∈[－2,3]，∴f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f(x)max ＝f(3)＝15，∴函数f(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.(2)函数f(x)的对称轴为x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f(x)max ＝f(3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；②当－2a －12＞1，即a ＜－12时，f(x)max ＝f(－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意． 综上可知a ＝－13或－1.12．(A.湖州模拟)已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋5(a ＞1)． (1)若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a 的值；(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f(x 1)－f(x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f(x)＝(x －a)2＋5－a 2(a ＞1)， ∴f(x)在[1，a]上是减函数． 又定义域和值域均为[1，a]． ∴⎩⎨⎧f 1a ，fa1，即⎩⎨⎧1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2.(2)∵f(x)在区间(－∞，2]上是减函数， ∴a ≥2.又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1， ∴f(x)max ＝f(1)＝6－2a ，f(x)min ＝f(a)＝5－a 2.∵对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f(x 1)－f(x 2)|≤4， ∴f(x)max －f(x)min ≤4，得－1≤a ≤3. 又a ≥2，∴2≤a ≤3.故实数a 的取值范围是[2,3]． [冲击名校]1．对于任意a ∈[－1,1]，函数f(x)＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，那么x 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,2)D ．(3，＋∞)解析：选B f(x)＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4， 令g(a)＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4， 由题意知⎩⎨⎧g10，g10，即⎩⎨⎧x 2－3x ＋2＞0，x 2－5x ＋6＞0.解得x ＞3或x ＜1，故选B.2．已知函数f(x)＝ax 2－(3－a)x ＋1，g(x)＝x ，若对于任意实数x ，f(x)与g(x)至少有一个为正数，则实数a 的取值范围是( )A ．[0,3)B ．[3,9)C ．[1,9)D ．[0,9)解析：选D 据题意只需转化为当x ≤0时，ax 2－(3－a)·x ＋1>0恒成立即可．结合f(x)＝ax 2－(3－a)x ＋1的图象，当a ＝0时验证知符合条件；当a ≠0时必有a>0，当x ＝3－a2a ≥0时，函数在(－∞，0)上单调递减，故要使原不等式恒成立，只需f(0)>0即可，解得0＜a ≤3；当x ＝3－a 2a <0时，只需f ⎝⎛⎭⎪⎫3－a 2a >0即可，解得3<a<9.综上所述可得a 的取值范围是0≤a ＜9.[高频滚动]1．若定义在R 上的函数f(x)满足：对任意x 1，x 2∈R 有f(x 1＋x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)＋1，则下列说法一定正确的是 ( )A ．f(x)为奇函数B ．f(x)为偶函数C ．f(x)＋1为奇函数D ．f(x)＋1为偶函数解析：选C 法一：根据题意，令x 1＝x 2＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)＋1，所以f(0)＝－1.令x 1＝x ，x 2＝－x ，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＋1，所以f(x)＋1＋f(－x)＋1＝0，即f(x)＋1＝－[f(－x)＋1]，故f(x)＋1为奇函数．法二：(特殊函数法)由条件f(x 1＋x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)＋1可取f(x)＝x －1，而f(x)＋1＝x是奇函数．2．设y＝f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于函数y＝f(x)的三个命题：①y＝f(x)是周期函数；②y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称；③y＝f(x)在[0,1]上是增函数．其中正确命题的序号是________．解析：因偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，令x＝x－1，则f(x)＝－f(x －1)，故f(x＋1)＝f(x－1)，所以f(x)是周期为2的周期函数，①正确；又f(1－x)＝f(x－1)＝f(1＋x)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，②正确；又函数f(x)在[－1,0]上是增函数，则f(x)在[0,1]是减函数，③错误．答案：①②。

（十一）二次函数一．二次函数解析式（1）一般式：).0()(2≠++=a c bx ax x f（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为),,(k h 则其解析式).0()()(2≠+-=a k h x a x f（3）交点式：若二次函数的图象与x 轴的交点为),0,(),0,(21x x 则),)(()(21x x x x a x f --= .0≠a二．二次函数的对称轴（1）对于二次函数)(x f y =的定义域内有21,x x 满足),()(21x f x f =则二次函数的对称轴为.221x x x += （2）对于一般函数)(x f y =对定义域内所有,x 都有)()(x a f x a f -=+成立，那么函数 )(x f y =图像的对称轴方程为：a x =.三．二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 在],[n m 上的最值（1）0>a ① 最小值讨论三种情况 1.)(2min m f y m a b =≤-，；2.)2(2min a b f y n a b m -=<-<，；3.)(2min n f y n ab =≥-，. ② 最大值讨论两种情况 1.)(,22max n f y n m a b =+≤-；2.)(22max m f y n m a b =+>-，. （2）0<a ① 最大值讨论三种情况 1.)(2max m f y m a b =≤-，；2.)2(2max a b f y n a b m -=<-<，；3.)(,2max n f y n ab =≥-. ② 最小值讨论两种情况 1.)(,22min n f y n m a b =+≤-；2.)(22min m f y n m a b =+>-，. 四．三个二次的关系一元二次方程的根=一元二次函数的零点=一元二次不等式解集的端点.五．一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的实根分布（1）数的角度：① 两实根异号等价于0<a c ；② 有两个正根等价于.0,0,0>>-≥∆a c a b ；③ 有两个负根等价于.0,0,0><-≥∆ac a b （2）形的角度：画出满足要求的图像，用“内有无，内无有”（开口内有端点则不需要考虑对称轴和，∆开口内无端点则需要考虑对称轴和.∆）。

第五讲 幂函数和二次函数班级 姓名==========技能必备==========一：一次函数的定义、图像、性质一般地，形如y=kx+b (k,b 是常数，且k ≠0)的函数叫做一次函数。

当b=0时，y=kx+b 就变成了y=kx 是正比例函数。

（1）一次函数的图象：一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象是一条直线。

由于两点确定一条直线，因此画一次函数的图象，只要描出图象上的两个点【求出与x 轴的交点是)0,(kb-，与y 轴的交点是),0(b 】，过这两点作一条直线就行了．（2）一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)与x 轴的交点是)0,(kb -，与y 轴的交点是),0(b 。

（3）性质：若k ＞0，则y=kx+b 在R 上是增函数；若k ＜0，则y=kx+b 在R 上是减函数。

二：二次函数的一般形式：c bx ax y ++=2其中a 、b 、c 是常数，切记：a ≠0，右边是一个关于x 的二次多项式（不能是分式或根式）二次函数的特殊形式：当b ＝0，c ＝0时， y ＝ax 2 当b ＝0时， y ＝ax 2＋c练习：下列函数中，哪些是二次函数？（画对号√）x x y x x y x x y x y x y +=+-=+==-=-22232)5( 122)4( 23)3( 3)2( 13)1(二次函数的图像是一个抛物线，从二次函数的抛物线中可以体现函数的下列性质：开口方向; 对称轴; 顶点坐标;增减性（单调性）; 最值二次函数开 口 方 向对 称 轴顶 点 坐 标y = ax 2a ＞ 0a ＜ 0巩固练习1：抛物线2x y =，开口向 , 对称轴是 , 顶点坐标是 。

巩固练习2：抛物线32+=x y ，开口向 , 对称轴是 , 顶点坐标是 。

一般的二次函数的图象及性质【见骄子之路】巩固练习3：(1)抛物线12212++=x x y 的顶点坐标是 , 对称轴是 . (2)抛物线2412-+-=x x y 的顶点坐标是 , 对称轴是 .(3)若函数5)(2++=x mx x f 在),2[+∞-上是增函数，则m 的取值范围是 。

§2.6二次函数与幂函数考试要求 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象(抛物线)定义域R值域 ⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a对称轴 x ＝－b2a顶点坐标 ⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝1212x 是幂函数．( × )(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x 轴下方，则a <0且Δ<0.( √ ) (3)二次函数y ＝a (x －1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞)．( × ) (4)若幂函数y ＝x α是偶函数，则α为偶数．( × ) 教材改编题1．已知幂函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫5，15，则f (8)的值等于( ) A.14 B ．4 C ．8 D.18 答案 D解析 设幂函数f (x )＝x α，因为幂函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫5，15，所以f (5)＝5α＝15， 解得α＝－1，所以f (x )＝x －1，则f (8)＝8－1＝18.2．已知函数f (x )＝－x 2－4x ＋5，则函数y ＝f (x )的单调递增区间为( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，2] C ．[－2，＋∞) D ．[2，＋∞)答案 A解析 f (x )＝－x 2－4x ＋5＝－(x ＋2)2＋9，故函数f (x )的对称轴为x ＝－2， 又函数f (x )的图象开口向下，故函数的单调递增区间为(－∞，－2]． 3．函数f (x )＝－2x 2＋4x ，x ∈[－1,2]的值域为( )A ．[－6,2]B ．[－6,1]C ．[0,2]D ．[0,1]答案 A解析 函数f (x )＝－2x 2＋4x 的对称轴为x ＝1， 则f (x )在[－1,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减， ∴f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )min ＝f (－1)＝－2－4＝－6， 即f (x )的值域为[－6,2].题型一 幂函数的图象与性质例1 (1)若幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示，则( )A ．－1<n <0<m <1B ．n <－1，0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1答案 B解析 由图象知，y ＝x m 在(0，＋∞)上单调递增， 所以m >0，又y ＝x m 的图象增长得越来越慢， 所以m <1，y ＝x n 在(0，＋∞)上单调递减， 所以n <0，又当x >1时，y ＝x n 的图象在y ＝x －1的下方， 所以n <－1.综上，n <－1，0<m <1.(2)(2023·德州模拟)幂函数f (x )＝(m 2＋m －5)225m m x ＋－在区间(0，＋∞)上单调递增，则f (3)等于( )A ．27B ．9 C.19 D.127答案 A解析 由题意，得m 2＋m －5＝1， 即m 2＋m －6＝0，解得m ＝2或m ＝－3， 当m ＝2时，可得函数f (x )＝x 3，此时函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，符合题意； 当m ＝－3时，可得f (x )＝x －2，此时函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意， 即幂函数f (x )＝x 3，则f (3)＝27.思维升华 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 跟踪训练1 (1)已知幂函数3py x ＝(p ∈Z )的图象关于y 轴对称，如图所示，则( )A ．p 为奇数，且p >0B ．p 为奇数，且p <0C ．p 为偶数，且p >0D ．p 为偶数，且p <0 答案 D解析 因为函数3p y x ＝的图象关于y 轴对称， 所以函数3p y x ＝为偶函数，即p 为偶数， 又函数3p y x ＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 且在(0，＋∞)上单调递减，所以p3<0，即p <0.(2)(多选)(2023·哈尔滨模拟)已知函数y ＝254m m x －＋(m ∈Z )为偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减，则实数m 的值可以为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 BC解析 因为函数在区间(0，＋∞)上单调递减， 所以m 2－5m ＋4<0，解得1<m <4， 因为m ∈Z ， 所以m ＝2或3，当m ＝2时，函数y ＝x －2为偶函数，符合题意； 当m ＝3时，函数y ＝x －2为偶函数，符合题意， 综上，m ＝2或m ＝3. 题型二 二次函数的解析式例2 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．解 方法一 (利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎨⎧ 4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为 f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.方法二 (利用“顶点式”解题) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． 因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12，所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8， 所以n ＝8，所以f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. 因为f (2)＝－1，所以a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1， 解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 方法三 (利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a (－2a －1)－(－a )24a ＝8.解得a ＝－4.故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 思维升华 求二次函数解析式的三个策略： (1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式； (3)已知图象与x 轴的两交点的坐标，宜选用零点式．跟踪训练2 已知二次函数的图象过点(－3,0)，(1,0)，且顶点到x 轴的距离等于2，则二次函数的解析式为________．答案 y ＝12x 2＋x －32或y ＝－12x 2－x ＋32解析 因为二次函数的图象过点(－3,0)，(1,0)， 所以可设二次函数为y ＝a (x ＋3)(x －1)(a ≠0)，展开得，y ＝ax 2＋2ax －3a ， 顶点的纵坐标为－12a 2－4a 24a ＝－4a ，由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离为2， 所以|－4a |＝2，即a ＝±12，所以二次函数的解析式为y ＝12x 2＋x －32或y ＝－12x 2－x ＋32.题型三 二次函数的图象与性质 命题点1 二次函数的图象例3 设abc >0，则二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )答案 D解析 因为abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，那么可知， 在A 中，a <0，b <0，c <0，不符合题意； B 中，a <0，b >0，c >0，不符合题意； C 中，a >0，b >0，c <0，不符合题意； D 中，a >0，b <0，c <0，符合题意． 命题点2 二次函数的单调性与最值例4 (2023·福州模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋2a －1. (1)若f (x )在区间[1,2]上单调递减，求a 的取值范围；(2)若a >0，设函数f (x )在区间[1,2]上的最小值为g (a )，求g (a )的表达式． 解 (1)当a >0时，f (x )＝ax 2－x ＋2a －1的图象开口向上，对称轴方程为x ＝12a，所以f (x )在区间[1,2]上单调递减需满足12a ≥2，a >0，解得0<a ≤14.当a <0时，f (x )＝ax 2－x ＋2a －1的图象开口向下，对称轴方程为x ＝12a <0，所以f (x )在区间[1,2]上单调递减需满足a <0， 综上，a 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎦⎤0，14. (2)①当0<12a <1，即a >12时，f (x )在区间[1,2]上单调递增， 此时g (a )＝f (1)＝3a －2. ②当1≤12a ≤2，即14≤a ≤12时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤1，12a 上单调递减，在区间⎣⎡⎦⎤12a ，2上单调递增， 此时g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫12a ＝2a －14a －1. ③当12a >2，即0<a <14时，f (x )在区间[1,2]上单调递减， 此时g (a )＝f (2)＝6a －3，综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧6a －3，a ∈⎝⎛⎭⎫0，14，2a －14a －1，a ∈⎣⎡⎦⎤14，12，3a －2，a ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞.思维升华 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．跟踪训练3 (1)(多选)(2022·茂名模拟)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列说法正确的是( )A．2a＋b＝0B．4a＋2b＋c<0C．9a＋3b＋c<0D．abc<0答案ACD解析由二次函数图象开口向下知，a<0，对称轴为x＝－b＝1，即2a＋b＝0，故b>0.2a又因为f(0)＝c>0，所以abc<0.f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c>0，f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c<0.(2)(2022·镇江模拟)函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2,2]，则b－a的取值范围是____．答案[2,4]解析解方程f(x)＝x2－4x＋2＝2，解得x＝0或x＝4，解方程f(x)＝x2－4x＋2＝－2，解得x＝2，由于函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[－2,2]．若函数f(x)在区间[a，b]上单调，则[a，b]＝[0,2]或[a，b]＝[2,4]，此时b－a取得最小值2；若函数f(x)在区间[a，b]上不单调，且当b－a取最大值时，[a，b]＝[0,4]，所以b－a的最大值为4.所以b－a的取值范围是[2,4]．课时精练1．已知p：f(x)是幂函数，q：f(x)的图象过点(0,0)，则p是q的() A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 D解析f(x)＝x－2是幂函数，但其图象不过点(0,0)，故充分性不成立；f(x)＝2x－1的图象过点(0,0)，但其不是幂函数，故必要性不成立．所以p是q的既不充分也不必要条件．2．(2023·保定检测)已知a＝432，b＝233，c＝1225，则()A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 答案 A解析由题意得b＝224333342=＝a，a＝432＝234<4<5＝1225＝c，所以b<a<c.3．(2023·厦门模拟)函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系内的图象可以是()答案 C解析若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A，D；对于选项B ，由直线可知a >0，b >0，从而－b 2a<0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B.4．已知函数f (x )＝x 2－2(a －1)x ＋a ，若对于区间[－1,2]上的任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有f (x 1)≠f (x 2)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[0,3]C ．(－∞，0]∪[3，＋∞)D ．[3，＋∞)答案 C解析 二次函数f (x )＝x 2－2(a －1)x ＋a 图象的对称轴为直线x ＝a －1，∵对于任意x 1，x 2∈[－1,2]且x 1≠x 2，都有f (x 1)≠f (x 2)，即f (x )在区间[－1,2]上是单调函数，∴a －1≤－1或a －1≥2，∴a ≤0或a ≥3，即实数a 的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞)．5．(多选)幂函数f (x )＝()22657m m m x －－＋在(0，＋∞)上单调递增，则以下说法正确的是()A ．m ＝3B ．函数f (x )在(－∞，0)上单调递增C ．函数f (x )是偶函数D ．函数f (x )的图象关于原点对称答案 ABD解析 因为幂函数f (x )＝()22657m m m x －－＋在(0，＋∞)上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－5m ＋7＝1，m 2－6>0，解得m ＝3， 所以f (x )＝x 3，所以f (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－f (x )，故f (x )＝x 3为奇函数，函数图象关于原点对称，所以f (x )在(－∞，0)上单调递增．6．(多选)若二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－2,3]上的最大值为6，则a 等于( )A ．－13 B.13 C ．－5 D ．5答案 BC解析 显然a ≠0，有f (x )＝a (x ＋1)2－a ＋1，当a >0时，f (x )在[－2,3]上的最大值为f (3)＝15a ＋1，由15a ＋1＝6，解得a ＝13，符合题意； 当a <0时，f (x )在[－2,3]上的最大值为f (－1)＝1－a ，由1－a ＝6，解得a ＝－5，符合题意，所以a 的值为13或－5. 7．已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，且图象被x 轴截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝x 2－4x ＋3解析 ∵f (2＋x )＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立，∴f (x )图象的对称轴为直线x ＝2，又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3，设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)，∵f (x )的图象过点(4,3)，∴3a ＝3，∴a ＝1，∴所求函数的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.8．(2022·人大附中质检)已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[1，＋∞)，则1a ＋4c的最小值为________．答案 3解析 因为二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[1，＋∞)，则a >0，所以f (x )min ＝4ac －44a ＝ac －1a＝1，即ac －1＝a ，可得a ＝1c －1>0，则c >1， 所以1a ＋4c ＝c ＋4c －1≥2c ·4c－1＝3， 当且仅当c ＝2时，等号成立，因此1a ＋4c的最小值为3. 9．已知幂函数f (x )＝(2m 2－m －2)242m x －(m ∈R )为偶函数．(1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (x )－2(a －1)x ＋1在区间[0,4]上的最大值为9，求实数a 的值．解 (1)由幂函数可知2m 2－m －2＝1，解得m ＝－1或m ＝32， 当m ＝－1时，f (x )＝x 2，函数为偶函数，符合题意； 当m ＝32时，f (x )＝x 7，函数为奇函数，不符合题意， 故f (x )的解析式为f (x )＝x 2.(2)由(1)得，g (x )＝f (x )－2(a －1)x ＋1＝x 2－2(a －1)x ＋1.函数的对称轴为x ＝a －1，开口向上，f (0)＝1，f (4)＝17－8(a －1)，由题意得，在区间[0,4]上，f (x )max ＝f (4)＝17－8(a －1)＝9，解得a ＝2，经检验a ＝2符合题意， 所以实数a 的值为2.10．设二次函数f (x )满足：①当x ∈R 时，总有f (－1＋x )＝f (－1－x )；②函数f (x )的图象与x轴的两个交点为A ，B ，且|AB |＝4；③f (0)＝－34. (1)求f (x )的解析式；(2)若存在t ∈R ，只要x ∈[1，m ](m >1)，就有f (x ＋t )≤x －1成立，求满足条件的实数m 的最大值．解 (1)由题意知，函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，且方程f (x )＝0的两根为－3和1， 设f (x )＝a (x ＋3)(x －1)，又f (0)＝－34，则f (0)＝－3a ＝－34，解得a ＝14. 故f (x )＝14x 2＋12x －34. (2)只要x ∈[1，m ](m >1)，就有f (x ＋t )≤x －1，即x 2＋2(t －1)x ＋(t ＋1)2≤0，取x ＝1，t 2＋4t ≤0，－4≤t ≤0；取x ＝m ，[m ＋(t －1)]2≤－4t ，即1－t －2－t ≤m ≤1－t ＋2－t ， 由－4≤t ≤0得0≤－t ≤4,1－t ＋2－t ≤1＋4＋2×4＝9，故当t ＝－4时，m ≤9；当m ＝9时，存在t ＝－4，只要x ∈[1,9]，就有f (x －4)－(x －1)＝14(x －1)(x －9)≤0成立，满足题意． 故满足条件的实数m 的最大值为9.11.已知幂函数y ＝x a 与y ＝x b 的部分图象如图所示，直线x ＝m 2，x ＝m (0<m <1)与y ＝x a ，y ＝x b 的图象分别交于A ，B ，C ，D 四点，且|AB |＝|CD |，则m a ＋m b 等于( )A.12B ．1 C. 2D ．2答案 B解析 由题意，|AB |＝|(m 2)a －(m 2)b |，|CD |＝|m a －m b |，根据图象可知b >1>a >0，当0<m <1时，(m 2)a >(m 2)b ，m a >m b ，因为|AB |＝|CD |，所以m 2a －m 2b ＝(m a ＋m b )(m a －m b )＝m a －m b ，因为m a －m b >0，所以m a ＋m b ＝1.12．设关于x 的方程x 2－2mx ＋2－m ＝0(m ∈R )的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________．答案 7 解析 由题意有⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝2m ，αβ＝2－m ，且Δ＝4m 2－4(2－m )≥0，解得m ≤－2或m ≥1，α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m 2＋2m ＋1，令f (m )＝4m 2＋2m ＋1，而f (m )图象的对称轴为m ＝－14， 且m ≤－2或m ≥1，所以f (m )min ＝f (1)＝7.13．已知函数f (x )＝2ax 2－2 022x －2 023，对任意t ∈R ，在区间[t －1，t ＋1]上存在两个实数x 1，x 2，使|f (x 1)－f (x 2)|≥1成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－1,1]C ．(－∞，－1]∪{0}∪[1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪{0}∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 答案 D解析 存在两个实数x 1，x 2，使|f (x 1)－f (x 2)|≥1⇔f (x )max －f (x )min ≥1，当a ＝0时，f (x )＝－2 022x －2 023，f (t －1)－f (t ＋1)＝2×2 022>1，显然符合；当a ≠0时，f (x )＝2ax 2－2 022x －2 023与y ＝2ax 2的图象完全“全等”，即可以通过平移完全重合．因为t －1≤x ≤t ＋1且t ∈R ，即用一个区间宽度为2的任意区间去截取函数图象， 使得图象的最高点与最低点间的纵坐标之差大于等于1，因此取纵坐标之差最小的状态为f (x )＝2ax 2(－1≤x ≤1)，当a >0时，此时f (x )max －f (x )min ＝2a －0≥1，故a ≥12； 当a <0时，此时f (x )max －f (x )min ＝0－2a ≥1，故a ≤－12， 综上，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪{0}∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞.14．已知函数f(x)＝x2－4x＋1，设1≤x1<x2<x3<…<x n≤4，若|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(x n－1)－f(x n)|≤M，则M的最小值为()A．3 B．4 C．5 D．6答案 C解析函数f(x)＝x2－4x＋1在[1,2]上单调递减，在(2,4]上单调递增．由绝对值的几何意义，∴|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(x n－1)－f(x n)|表示将函数f(x)在(x1，x n)上分成n－1段，取每段两端点函数值差的绝对值总和．又根据f(x)的单调性知原式最大值为|f(1)－f(2)|＋|f(2)－f(4)|＝f(1)－f(2)＋f(4)－f(2)＝5，∴M≥5，则M的最小值为5.。

二次函数和幂函数知识点二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是常数且a≠0。

它的图像是一个抛物线，称为二次曲线。

而幂函数是形如y=axⁿ的函数，其中a是常数，n是实数且n≠0。

它的图像可以是一条直线、开口向上或向下的抛物线、以及其他形状，取决于指数n的值。

首先，我们来看二次函数。

二次函数的图像可以分为三种情况：开口向上的抛物线、开口向下的抛物线和一条直线。

当a>0时，二次函数的图像是开口向上的抛物线，对称轴是x=-b/2a，最低点坐标为：(-b/2a, -△/(4a))，其中△=b²-4ac是二次函数的判别式。

图像在对称轴上方递增，在对称轴下方递减。

当a<0时，二次函数的图像是开口向下的抛物线，对称轴、最高点坐标和递增递减性质与开口向上的情况相反。

当a=0时，二次函数变为一条直线y=bx+c。

这个直线与x轴平行，斜率为b。

接下来，我们来看幂函数。

幂函数的图像可以根据指数n的值分为几种情况。

当n>0时，幂函数的图像在原点右侧递增且没有上下界，图像随着x的增大而增大。

当n<0时，幂函数的图像在原点左侧递增且也没有上下界，图像随着x的增大而减小。

当n=1时，幂函数就变成了y=ax，它的图像是一条过原点的直线。

斜率a的正负决定了直线的倾斜方向。

当n=0时，幂函数就变成了y=a，它的图像是一条水平直线，与x轴平行。

根据常数a的值，直线的位置可以在y轴的任意位置。

当n是偶数且n≠0时，幂函数的图像在最高点或最低点有一个上下界，其余部分无上下界。

当n为偶数时，函数的值随着x的增大和减小而逐渐增大，形状类似于开口向上的抛物线。

当n为负偶数时，函数的值随着x的增大和减小而逐渐减小，形状类似于开口向下的抛物线。

当n是奇数时，幂函数图像没有上下界，且随着x的增大和减小而在原点两侧单调。

根据实数n的正负，函数的图像可能在原点两侧分别开口向上或向下。

总结起来，二次函数和幂函数都是常见的数学函数类型。

二次函数与幂函数[考纲传真] 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x 的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．【知识通关】1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，顶点坐标为(h ，k )； 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图象与性质 函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)图象定义域 R值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上减， 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上增 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上增， 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上减 对称性 函数的图象关于直线x ＝－b2a对称 (1)定义：形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)五种常见幂函数的图象与性质函数 特征 性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1图象定义域 R RR {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶奇 单调性 增(－∞，0)减， (0，＋∞)增增增(－∞，0)和 (0，＋∞)减公共点 (1,1)1．幂函数y ＝x α在第一象限的两个重要结论 (1)恒过点(1,1)；(2)当x ∈(0,1)时，α越大，函数值越小；当x ∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大．2．研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在区间[m ，n ](m ＜n )上的单调性与值域时，分类讨论－b2a与m 或n 的大小． 3．二次函数图象对称轴的判断方法(1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 22对称．(2)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．【基础自测】1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( ) (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( ) (3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．( )(4)当α＞0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( )A .12B ．1C.32 D ．2C3.如图是①y ＝x a ；②y ＝x b ；③y ＝x c 在第一象限的图象，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a D ．a ＜c ＜bD 4．已知函数y ＝x 2＋ax ＋6在⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞内是增函数，则a 的取值范围为( ) A ．a ≤－5 B ．a ≤5 C ．a ≥－5 D ．a ≥5 C5．函数g (x )＝x 2－2x (x ∈[0,3])的值域是________． [－1,3]【题型突破】幂函数的图象及性质1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 D2.幂函数y ＝x m 2－4m (m ∈Z)的图象如图所示，则m 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3C3．若(a ＋1) 12＜(3－2a ) 12，则实数a 的取值范围是________． ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23[方法总结] (1)求解与幂函数图象有关的问题，应根据幂函数在第一象限内的函数图象特征，结合其奇偶性、单调性等性质研究.(2)利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.求二次函数的解析式【例1】 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________．(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(a ，b ∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________. (1)f (x )＝x 2－2x ＋3 (2)－2x 2＋4 [方法总结] 求二次函数解析式的方法试确定该二次函数的解析式． [解] 法一(利用一般式)： 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.法二(利用顶点式)： 设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)，∴函数图象的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12. ∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8.∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三(利用零点式)：由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数的最大值是8，即4a (－2a －1)－(－a )24a ＝8，解得a ＝－4，∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.二次函数的图象与性质►考法1 二次函数的单调性【例2】 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－3] C ．[－2,0] D ．[－3,0]D[母题探究] 若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________. －3►考法2 二次函数的最值【例3】 求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值． [解] f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2，∴f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－a . (1)当－a ＜12，即a ＞－12时，f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5； (2)当－a ≥12，即a ≤－12时，f (x )max ＝f (－1)＝2－2a .综上，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋5，a ＞－12，2－2a ，a ≤－12.►考法3 二次函数中的恒成立问题 【例4】 (1)已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，若对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f (x )＞0都成立，则实数a 的取值范围为( ) A .⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ B .⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．[－4，＋∞)D ．(－4，＋∞)(2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________． (1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0[方法总结] 1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围． [解] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a＝－1，f (－1)＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．(2)由题意知，x2＋2x＋1＞x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k＜x2＋x＋1在区间[－3，－1]上恒成立，令g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]．g(x)在区间[－3，－1]上是减函数，则g(x)min＝g(－1)＝1，所以k＜1，故k的取值范围是(－∞，1)．。

高中数学幂函数与二次函数【知识点、命题法及典型例题】考点一 二次函数1 二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．(2)顶点式：y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，其中(h ，k )为抛物线顶点坐标．(3)两点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标． 2 二次函数的图象与性质函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象 (抛物线)续表函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)定义域 R值域 ⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a对称轴 x ＝－b2a顶点 坐标 ⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数 单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上是减函数； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上是增函数 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上是增函数； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上是减函数函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0) y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)最值当x＝－b2a时，y min＝4ac－b24a当x＝－b2a时，y max＝4ac－b24a二次函数、一元二次方程和一元二次不等式统称为三个“二次”．它们常结合在一起，而二次函数又是其核心．因此，利用二次函数的图象数形结合是探求这类问题的基本策略.命题法二次函数的图象及性质的应用典例(1)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的是()A．②④B．①④C．②③D．①③(2)已知对任意的a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围是()A．1<x<3 B．x<1或x>3C．1<x<2 D．x<2或x>3【解题法】二次函数问题的求解策略(1)二次函数的最值问题一般先配方，通过对称轴，开口方向等特征求得，有时需要讨论，如动轴定区间问题和定轴动区间问题．(2)与二次函数图象有关的问题采用数形结合的方法，需尽量规范作图，尤其是图象的开口方向、顶点、对称轴及与两坐标轴的交点要标清楚．考点二幂函数1幂函数的定义一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数．2五种幂函数图象的比较3幂函数的性质比较注意点α的大小对幂函数图象的影响幂函数在第一象限的图象中，以直线x＝1为分界，当0<x<1时，α越大，图象越低(即图象越靠近x轴，可记为“指大图低”)；当x>1时，α越大，图象越高(即图象离x轴越远，不包含y＝x0).命题法幂函数的图象及性质的应用典例(1)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝x a(x>0)，g(x)＝log a x的图象可能是()(2)若a ＝⎝⎛⎭⎫12 23 ，b ＝⎝⎛⎭⎫15 23 ，c ＝⎝⎛⎭⎫1213 ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <c <aD ．b <a <c【解题法】 幂函数的图象与性质问题的解题策略(1)关于图象辨识问题，关键是熟悉各类幂函数的图象特征，如过特殊点、凹凸性等．(2)关于比较幂值大小问题，结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较或应用．【补救练习】1.已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x n 2－3n(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或22．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图象是( )3．幂函数f (x )＝x α的图象过点(2,4)，那么函数f (x )的单调递增区间是( ) A ．(－2，＋∞) B ．[－1，＋∞) C ．[0，＋∞)D ．(－∞，－2)【巩固练习】4．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，则f(x)的表达式为()A．f(x)＝－x2－x－1 B．f(x)＝－x2＋x－1C．f(x)＝x2－x－1 D．f(x)＝x2－x＋15．已知二次函数图象的对称轴为x＝－2，截x轴所得的弦长为4，且过点(0，－1)，求函数的解析式．【拔高练习】6．当0<x<1时，函数f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2的大小关系是________．7．是否存在实数a，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．。

二次函数与幂函数思维导图知识梳理1．幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1.(2)五种幂函数的图象(3)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞)(－∞，＋∞) 值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减； 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增 在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减 对称性函数的图象关于x ＝－b2a对称 核心素养分析本讲主要考查幂函数的图象与性质、二次函数的图象与性质，重点提升逻辑推理、直观想象素养.题型归纳题型1 幂函数的图象与性质【例1-1】（2020春•本溪月考）已知幂函数2242()(1)()mm f x m x m R -+=-∈，在(0,)+∞上单调递增．设5log 4a =，15log 3b =，0.20.5c -=，则f （a ），f （b ），f （c ）的大小关系是( )A ．f （b ）f <（a ）<（c ）B ．f （c ）f <（b ）f <（a ）C ．f （c ）f <（a ）f <（b ）D ．f （a ）f <（b ）f <（c ）【解答】解：幂函数2242()(1)()m m f x m x m R -+=-∈，在(0,)+∞上单调递增，∴22(1)1420m m m ⎧-=⎨-+=⎩，解得0m =，2()f x x ∴=，故选：A ．【例1-2】（2020春•沈河区校级月考）设113244342(),(),()433a b c ===，则a ，b ，c 的大小顺序是( )A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<【解答】解：112439()()1416a ==<，144()13b =>，314428()()1327c ==<；且89012716<<<，函数14y x =在(0,)+∞上是单调增函数，所以114489()()2716<，所以c a <； 综上知，c a b <<． 故选：A ．【跟踪训练1-1】（2019秋•杨浦区校级期末）幂函数223()(1)(,)m m f x a x a m N --=-∈为偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，则a m += ． 【解答】解：幂函数223()(1)(,)mm f x a x a m N --=-∈，在(0,)+∞上是减函数，11a ∴-=，且2230m m --<， 2a ∴=，13m -<<，又m N ∈，0m ∴=，1，2， 又幂函数()f x 为偶函数，1m ∴=，3a m ∴+=，故答案为：3．【跟踪训练1-2】已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x n 2－3n(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2【解析】∵幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x n 2－3n在(0，＋∞)上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋2n －2＝1，n 2－3n <0，∴n ＝1，又n ＝1时，f (x )＝x －2的图象关于y 轴对称，故n ＝1.故选B. 【名师指导】幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)判断幂函数y ＝x α(α∈R )的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． (3)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0. 题型2 二次函数的解析式【例2-1】（2019秋•道里区校级月考）已知二次函数2()3(0)f x ax bx a =++≠图象过点(3,0)A -，对称轴为1x =．（1）求()y f x =的解析式；（2）若函数()y g x =满足(21)()g x f x +=，求函数()y g x =的解析式．【解答】解：（1）根据题意得，933012a b b a -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1525a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴212()355f x x x =-++；（2）由题意得，212(21)355g x x x +=-++，设21x t +=，则12t x -=，∴22111311()(1)(1)320520104g t t t t t =--+-+=-++， 21311()20104g x x x ∴=-++． 【例2-2】(一题多解)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【解】 法一：(利用一般式)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：(利用顶点式)设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． 因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12.所以m ＝12.又根据题意函数有最大值8，所以n ＝8，所以f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.因为f (2)＝－1，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三：(利用零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a （－2a －1）－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，所以所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【跟踪训练2-1】（2019秋•贺州期中）已知一个二次函数()f x ，(0)4f =，f （2）0=，f （4）0=．求这个函数的解析式．【解答】解：设2()f x ax bx c =++， ∴44201640c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：1234a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩，∴21()342f x x x =-+．【名师指导】求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：题型3 二次函数的图象与性质【例3-1】已知abc >0，则二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )【解析】 A 项，因为a <0，－b2a <0，所以b <0.又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故A 错．B 项，因为a <0，－b2a>0，所以b >0.又因为abc >0，所以c <0，而f (0)＝c >0，故B 错．C 项，因为a >0，－b2a <0，所以b >0.又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故C 错．D 项，因为a >0，－b2a>0，所以b <0，因为abc >0，所以c <0，而f (0)＝c <0，故选D.【例3-2】（2020•海南模拟）已知函数2()5f x x mx =-+在(2,)+∞上单调递增，则m 的取值范围为( ) A ．[4，)+∞B ．[2，)+∞C ．(-∞，4]D ．(-∞，2]【解答】解：函数2()5f x x mx =-+的对称轴为2mx =， 函数()f x 在区间(2,)+∞上单调递增，∴22m，解得4m ， 故选：C ．【例3-3】（2019秋•庐江县期末）函数223y x x =-+在闭区间[0，]m 上有最大值3，最小值为2，m 的取值范围是( ) A ．(-∞，2]B ．[0，2]C ．[1，2]D ．[1，)+∞【解答】解：作出函数()f x 的图象，如图所示， 当1x =时，y 最小，最小值是2，当2x =时，3y =，函数2()23f x x x =-+在闭区间[0，]m 上上有最大值3，最小值2， 则实数m 的取值范围是[1，2]． 故选：C ．【例3-4】（2020•江苏一模）已知函数2()(2)(8)()f x m x m x m R =-+-∈是奇函数，若对于任意的x R ∈，关于x 的不等式2(1)f x f +<（a ）恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 【解答】解：由奇函数的性质可得，()()f x f x -=-恒成立， 即22(2)(8)(2)(8)m x m x m x m x ---=----，故20m -=即2m =，此时()6f x x =-单调递减的奇函数， 由不等式2(1)f x f +<（a ）恒成立，可得21x a +>恒成立， 结合二次函数的性质可知，211x +， 所以1a <． 故答案为：(,1)-∞【跟踪训练3-1】（2019秋•吉安期末）函数2()2(21)3f x x a x =--++在区间[2，3]上是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．13(,]2-∞-B ．13(,]2-∞ C ．13[,)2-+∞ D ．13[,)2+∞【解答】解：函数2()2(21)3f x x a x =--++在区间[2，3]上是增函数， 函数2()2(21)3f x x a x =--++的对称轴214a x +=-， 2134a +∴-， 解得132a -． a ∴的取值范围是(-∞，13]2-． 故选：A ． 【名师指导】1.识别二次函数图象应学会“三看”2.二次函数的单调性问题（1）对于二次函数的单调性，关键是看图象的开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．（2）利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的图象的对称性转化到同一单调区间上比较． 3.二次函数的最值问题（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论． （2）二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解． 4.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .配套练习1．（2021·全国高一）函数()26512x x f x -+⎛⎫=⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．(]0,16B ．[)16,+∞C ．10,16⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．（2021·全国高一）函数243()2x x f x -+-=的单调递增区间为（ ） A ．(,2)-∞B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(2,)+∞3．（2021·全国高一）若一次函数y ax b =+的图象经过二、三、四象限，则二次函数2y ax bx =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2021·浙江高一期末）已知函数2()f x x bx c =++，且(2)()f x f x +=-，则下列不等式中成立的是（ ） A ．(4)(0)(4)f f f -<< B ．(0)(4)(4)f f f <-< C ．(0)(4)(4)f f f <<-D ．(4)(0)(4)f f f <<-5．（2021·贵州毕节市·高一期末）若4512a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1245b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，124log 45c =-，则下列结论正确的是（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．a b c <<6．（2021·贵州毕节市·高一期末）已知幂函数()()2221mm f x m m x+-=--在()0,∞+上是减函数，则()f m 的值为（ ） A ．3B ．3-C ．1D ．1-7．（2021·湖北黄冈市·高一期末）已知a ，b ，c 为正实数，满足21log 2aa ⎛⎫ ⎪=⎝⎭，212bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，122c c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<8．（2021·云南省云天化中学高一期末）已知132a =，133b =，12c -=，21log 2d =，则下列不等式正确的是（ ） A ．c d b a >>> B ．c b d a >>> C ．b a c d >>>D ．d a c b >>>9．（2021·江苏）函数2()21f x ax x =++与()a g x x =在同一坐标系中的图像可能为（ ）A ．B ．C ．D ．10．（2021·江苏高一）已知函数()25,1,1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值可以是（ ）A ．0B ．2-C ．1-D ．3-11．（2021·浙江台州市·高一期末）（多选）若函数244y x x =--的定义域为[0]m ，，值域为[8,4]--，则m 的值可能是（）A ．2B ．3C ．4D ．512．（2021·长宁区·上海市延安中学高一期末）函数225y x x =+-在区间[]3,0-上的值域为____________.(用区间表示)13．（2021·黑龙江鹤岗市·鹤岗一中高一期末）幂函数221()(1)m f x m m x --=--在(0,)+∞上单调递增，则实数m =___________．14．（2021·湖北黄冈市·高一期末）幂函数()24()m f x xm Z -=∈在定义域内为奇函数且在区间()0,∞+上单调递减，则m =________．15．（2021·北京101中学高一期末）已知幂函数()()22321m m f x m x-+=-在()0,∞+上单调递增，则实数m的值为______16．（2021·云南省云天化中学高一期末）已知函数()2()2m f x m m x =+为幂函数，且在()0,x ∈+∞为增函数，则m =_________．17．（2021·邵阳市第十一中学高一期末）已知幂函数()f x经过点，则函数解析式为()f x =________________18．（2021·浙江高一期末）已知幂函数()2()1mf x m m x =+-的图像如图所示，那么实数m 的值是________.19．（2021·浙江高一期末）已知幂函数()2m f x x +=过点()2,8，且2(1)(24)0f k f k ++-<，则实数k 的取值范围是_____．二次函数与幂函数解析配套练习1．（2021·全国高一）函数()26512x x f x -+⎛⎫=⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．(]0,16B ．[)16,+∞ C ．10,16⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】设265u x x =-+，则2265(3)44u x x x =-+=--≥-，()12ug u ⎛⎫= ⎪⎝⎭，4u ≥-，因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，所以()()0416g u g <≤-=，即值域为(]0,16， 故选：A.2．（2021·全国高一）函数243()2x x f x -+-=的单调递增区间为（ ）A ．(,2)-∞B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(2,)+∞【答案】B 【解析】由复合函数单调性判断可知： 指数部分底数大于1，所以为增函数，所以要求()g x =令()243h x x x =-+-，由二次函数单调性及二次根式有意义的条件可知12x ≤≤ ，即()f x =的单调增区间为[1,2]，也可写做(1,2).故选：B3．（2021·全国高一）若一次函数y ax b =+的图象经过二、三、四象限，则二次函数2y ax bx =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】因为一次函数y ax b =+的图象经过二、三、四象限， 所以0,0a b <<，所以二次函数2y ax bx =+的图象开口向下，对称轴02bx a=-<，且过原点， 所以,,A B D 不正确. 故选： C4．（2021·浙江高一期末）已知函数2()f x x bx c =++，且(2)()f x f x +=-，则下列不等式中成立的是（ ） A ．(4)(0)(4)f f f -<<B ．(0)(4)(4)f f f <-<C ．(0)(4)(4)f f f <<-D ．(4)(0)(4)f f f <<-【答案】C 【解析】由(2)()f x f x +=-得()f x 图象的对称轴为1x =，所以()f x 在(,1]-∞上单调递减，在[1,)+∞上单调递增，且(4)(2)f f =-， 所以(0)(2)(4)(4)f f f f <-=<-， 故选：C.5．（2021·贵州毕节市·高一期末）若4512a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1245b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，124log 45c =-，则下列结论正确的是（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．a b c <<【答案】D 【解析】45y x=在()0,∞+单调递增，1425<， 44551425a ⎛⎫⎛⎫∴=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，45xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，1425<， 14254455b ⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎭∴⎝，且10244155b ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，01a b ∴<<<，()12448log 421555c =-=-⨯-=>，a b c ∴<<.故选：D.6．（2021·贵州毕节市·高一期末）已知幂函数()()2221mm f x m m x+-=--在()0,∞+上是减函数，则()f m 的值为（ ） A ．3 B ．3- C ．1 D ．1-【答案】C 【解析】因为()()2221m m f x m m x+-=--是幂函数，所以211m m --=，解得2m =或1m =-，当2m =时，()4f x x =在()0,∞+上是增函数，不合题意；当1m =-时，()2f x x -=在()0,∞+上是减函数，合题意，所以()()()2111f m f -=-=-=，故选：C.7．（2021·湖北黄冈市·高一期末）已知a ，b ，c 为正实数，满足21log 2a a ⎛⎫ ⎪=⎝⎭，212bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，122c c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．b c a << C ．c a b << D ．c b a <<【答案】D 【解析】设()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()2log g x x =，()2h x x =，()12s x x =在同一坐标系中作出函数()()()(),,,f x g x h x s x 的图象，如图a 为函数()(),f x g x 的交点的横坐标b 为函数()(),f x h x 的交点的横坐标c 为函数()(),f x s x 的交点的横坐标根据图像可得：01c b a <<<<故选：D8．（2021·云南省云天化中学高一期末）已知132a =，133b =，12c -=，21log 2d =，则下列不等式正确的是（ ） A ．c d b a >>> B ．c b d a >>> C ．b a c d >>> D ．d a c b >>>【答案】C 【解析】因为幂函数13y x =在(0,)+∞上单调递增， 所以1b a >>，由指数函数性质100221c -<=<=， 由对数函数性质21log 102d ==-<， 故b a c d >>>， 故选：C9．（2021·江苏）函数2()21f x ax x =++与()a g x x =在同一坐标系中的图像可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ACD 【解析】当0a <时，()ag x x =为奇函数，定义域为{}|0x x ≠，且在()0,∞+上递减，而2()21f x ax x =++开口向下，对称轴为10x a=->，(0)1f =，故A 符合； 当()2a n n N +=∈时，()ag x x =为偶函数，且在()0,∞+上递增，2()21f x ax x =++开口向上，且对称轴为10x a=-<，440a ∆=-<，其图象和x 轴没有交点，故D 符合； 当()12a n N n+=∈时，函数()a g x x =的定义域为[)0,+∞，且在[)0,+∞上递增，2()21f x ax x =++开口向上，且对称轴为10x a=-<，440∆=->a ，图象和x 轴有两个交点，故C 符合．故选：ACD ．10．（2021·江苏高一）已知函数()25,1,1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值可以是（ ）A ．0B ．2-C ．1-D ．3-【答案】BD 【解析】由题意，函数25y x ax =---的图象开口朝下，对称轴为2a x =-， 因为函数()25,1,1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，所以12015a a a a⎧-≥⎪⎪⎨<⎪⎪---≤⎩，解得32a --≤≤.所以实数a 的取值可以是2-，3-. 故选：BD.11．（2021·浙江台州市·高一期末）（多选）若函数244y x x =--的定义域为[0]m ，，值域为[8,4]--，则m 的值可能是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】ABC 【解析】函数244y x x =--的部分图像如图，(0)(4)4f f ==-，(2)8f =-.因为函数244y x x =--的定义域为[0]m ，，值域为[84]--，， 所以m 的取值范围是[2]4，， 故选ABC .12．（2021·长宁区·上海市延安中学高一期末）函数225y x x =+-在区间[]3,0-上的值域为____________.(用区间表示) 【答案】[]6,2-- 【解析】函数225y x x =+-的对称轴为1x =-，所以可知函数225y x x =+-在[]3,1--上是减函数，在[]1,0-上是增函数，所以函数最小值为()21256y ---=-=，又因为3x =-时，2y =-；0x =时，5y =-，所以函数最大值为2y =-，所以值域为[]6,2--. 故答案为：[]6,2--.13．（2021·黑龙江鹤岗市·鹤岗一中高一期末）幂函数221()(1)m f x m m x --=--在(0,)+∞上单调递增，则实数m =___________． 【答案】1- 【解析】由题意，幂函数221()(1)m f x m m x --=--，可得211m m --=， 即220m m --=，解得2m =或1m =-，当2m =时，函数5()f x x -=，可得函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，不符合题意； 当1m =-时，函数()f x x =，可得函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，符合题意. 故答案为：1-14．（2021·湖北黄冈市·高一期末）幂函数()24()m f x xm Z -=∈在定义域内为奇函数且在区间()0,∞+上单调递减，则m =________． 【答案】±1 【解析】()f x 在()0,∞+上单调递减，240m ∴-<，解得：22m -<<，m Z ∈，1,0,1m ∴=-，当1m =-时，()3f x x -=在定义域内为奇函数，正确，当0m =时，()4f x x -=在定义域内是偶函数，舍去，当1m =时，()3f x x -=在定义域内为奇函数，正确.故答案为：±115．（2021·北京101中学高一期末）已知幂函数()()22321m m f x m x-+=-在()0,∞+上单调递增，则实数m的值为______ 【答案】0 【解析】由题可得()2211320m m m ⎧-=⎪⎨-+>⎪⎩，解得0m =.故答案为：0.16．（2021·云南省云天化中学高一期末）已知函数()2()2mf x m m x =+为幂函数，且在()0,x ∈+∞为增函数，则m =_________． 【答案】12【解析】解：由函数()2()2mf x m m x =+为幂函数，且在()0,x ∈+∞为增函数，所以2210m m m ⎧+=⎨>⎩，解得12m =．故答案为：12. 17．（2021·邵阳市第十一中学高一期末）已知幂函数()f x经过点，则函数解析式为()f x =________________ 【答案】4x 【解析】 设幂函数为()a f x x ，因为幂函数经过点，所以4a=，解得4a =，所以函数解析式为4()f x x =， 故答案为：4x18．（2021·浙江高一期末）已知幂函数()2()1m f x m m x =+-的图像如图所示，那么实数m 的值是________.【答案】2-【解析】因为函数()2()1m f x m m x =+-为幂函数， 所以211m m +-=，解得2m =-或1m =，又由函数的图象可得该函数为偶函数，所以2m =-.故答案为：2-.19．（2021·浙江高一期末）已知幂函数()2m f x x+=过点()2,8，且2(1)(24)0f k f k ++-<，则实数k 的取值范围是_____．【答案】()3,1-【解析】由题设可得23282m +==，故1m =，所以()3f x x =， 所以()f x 为R 上的奇函数且为增函数，而2(1)(24)0f k f k ++-<等价于()2(1)(24)42f k f k f k +<--=-， 所以2230k k +-<，故31k -<<.故答案为：()3,1-.。