二次曲线的一般理论

第五章 二次曲线一般的理论§5.1二次曲线与直线的相关位置1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1(,)F x y ，2(,)F x y 及3(,)F x y .（1）22221x y a b +=；（2）22221x y a b-=；（3）22y px =；（4）223520;x y x -++=（5）2226740x xy y x y -+-+-=.解：（1）22100100001a A b ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；121(,)F x y x a =；221(,)F x y y b =；3(,)1F x y =-； （2）22100100001a A b ⎛⎫ ⎪⎪⎪=-⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；121(,)F x y x a =221(,)F x y y b =-；3(,)1F x y =-. （3）0001000p A p -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；1(,)F x y p =-；2(,)F x y y =；3(,)F x y px =-；（4）51020305022A ⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭；15(,)2F x y x =+；2(,)3F x y y =-；35(,)22F x y x =+；（5）1232171227342A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪=-⎪⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭；11(,)232F x y x y =--；217(,)22F x y x y =-++；37(,)342F x y x y =-+-.2. 求二次曲线22234630x xy y x y ----+=与下列直线的交点. （1）550x y --=； （2）220x y ++=； （3）410x y +-=； （4）30x y -=； （5）2690x y --=.解：提示：把直线方程代入曲线方程解即可，详解略 （1）15(,),(1,0)22-；（2）47,55⎛⎫--+⎪ ⎪⎝⎭，47,55⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭； （3）二重点(1,0)；（4）11,26⎛⎫⎪⎝⎭； （5）无交点.3. 求直线10x y --=与二次曲线222210x xy y x y -----=的交点. 解：由直线方程得1x y =+代入曲线方程并解方程得直线上的所有点都为交点. 4 .试确定k 的值，使得（1）直线50x y -+=与二次曲线230x x y k -+-=交于两不同的实点；（2）直线1,{x kt y k t=+=+与二次曲线22430x xy y y -+-=交于一点；（3）10x ky --=与二次曲线22(1)10xy y k y -+---=交于两个相互重合的点； （4）1,{1x t y t=+=+与二次曲线222420x xy ky x y ++--=交于两个共轭虚交点.解：详解略.（1）4k <-；（2）1k =或3k =（3）1k =或5k =；（4）4924k >.§5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线1. 求下列二次曲线的渐进方向并指出曲线属于何种类型的.（1）22230x xy y x y ++++=； （2）22342250x xy y x y ++--+=； （3）24230xy x y --+=.解：（1）由22(,)20X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:1:1X Y =-或1:1-且属于抛物型的；（2）由22(,)3420X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:(2:3X Y =-且属于椭圆型的；（3）由(,)20X Y XY φ==得渐进方向为:1:0X Y =或0:1且属于双曲型的. 2. 判断下列曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线. （1）22224630x xy y x y -+--+=； （2）22442210x xy y x y -++--=； （3）2281230y x y ++-=； （4）2296620x xy y x y -+-+=. 解：（1）因为2111012I -==≠-，所以它为中心曲线；（2）因为212024I -==-且121241-=≠--，所以它为无心曲线； （3）因为200002I ==且004026=≠，所以它为无心曲线； （4）因为293031I -==-且933312--==-，所以它为线心曲线； 3. 求下列二次曲线的中心.（1）225232360x xy y x y -+-+-=； （2）222526350x xy y x y ++--+=； （3）22930258150x xy y x y -++-=.解：（1）由510,3302x y x y --=⎧⎪⎨-++=⎪⎩得中心坐标为313(,)2828-； （2）由5230,2532022x y x y ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩得中心坐标为(1,2)-；（3）由91540,15152502x y x y -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩知无解，所以曲线为无心曲线. 4. 当,a b 满足什么条件时，二次曲线226340x xy ay x by ++++-=（1）有唯一中心；（2）没有中心；（3）有一条中心直线.解：（1）由330,2302x y b x ay ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩知，当9a ≠时方程有唯一的解，此时曲线有唯一中心；（2）当9,9a b =≠时方程无解，此时曲线没有中心；（3）当9a b ==时方程有无数个解，此时曲线是线心曲线.5. 试证如果二次曲线22111222132333(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++=有渐进线，那么它的两个渐进线方程是Φ00(,)x x y y --=221101200220()2()()()0a x x a x x y y a y y -+--+-=式中00(,)x y 为二次曲线的中心.证明：设(,)x y 为渐进线上任意一点，则曲线的的渐进方向为00:():()X Y x x y y =--，所以Φ00(,)x x y y --=221101200220()2()()()0a x x a x x y y a y y -+--+-=.6. 求下列二次曲线的渐进线.（1）226310x xy y x y --++-=； （2）2232340x xy y x y -++-+=； （3）2222240x xy y x y ++++-=.解：（1）由1360,2211022x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩得中心坐标13(,)55-.而由2260X XY Y --=得渐进方向为:1:2X Y =或:1:3X Y =-，所以渐进线方程分别为210x y -+=与30x y +=（2）由310,22332022x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩得中心坐标13(,)55-.而由22320X XY Y -+=得渐进方向为:1:1X Y =或:2:1X Y =，所以渐进线方程分别为20x y -+=与210x y --=（3）由10,10x y x y ++=⎧⎨++=⎩知曲线为线心曲线，.所以渐进线为线心线，其方程为10x y ++=.7. 试证二次曲线是线心曲线的充要条件是230I I ==，成为无心曲线的充要条件是230,0I I =≠.证明：因为曲线是线心曲线的充要条件是131112122223a a a a a a ==也即230I I ==； 为无心曲线的充要条件是131112122223a a a a a a =≠也即230,0I I =≠. 8. 证明以直线1110A x By C ++=为渐进线的二次曲线方程总能写成111()()0A x By C Ax By C D +++++=.证明：设以1110A x By C ++=为渐进线的二次曲线为22111222132333(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++=，则它的渐进线为Φ00(,)x x y y --=221101200220()2()()()0a x x a x x y y a y y -+--+-=，其中00(,)x y 为曲线的中心，从而有Φ00(,)x x y y --=111()()0A x By C Ax By C ++++=而Φ00(,)x x y y --=22110120022022111222110120221202201101200220()2()()()22()2()2,a x x a x x y y a y y a x a xy a y a x a y xa x a y y a x a x y a y -+--+-=++-+-++++因为00(,)x y 为曲线的中心，所以有11012013a x a y a +=-，12022023a x a y a +=- 因此Φ000033(,)(,)(,)x x y y F x y x y a φ--=+-，令0033(,)x y a D φ-=-，代入上式得00(,)(,)F x y x x y y D φ=--+即111(,)()()F x y A x By C Ax By C D =+++++，所以以1110A x By C ++=为渐进线的二次曲线可写为111()()0A x By C Ax By C D +++++=.9.求下列二次曲线的方程.（1）以点（0，1）为中心，且通过（2，3），（4，2）与（-1，-3）； （2）通过点（1，1），（2，1），（-1，-2）且以直线10x y +-=为渐进线. 解：利用习题8的结论即可得：（1）40xy x --=；（2）2223570x xy y x ---+=.§5.3二次曲线的切线1. 求以下二次曲线在所给点或经过所给点的切线方程. （1）曲线223457830x xy y x y ++---=在点（2，1）； （2）曲线曲线223457830x xy y x y ++---=在点在原点； （3）曲线22430x xy y x y +++++=经过点（-2，-1）；（4）曲线225658x xy y ++=经过点；（5）曲线222210x xy y x y -----=经过点（0，2）. 解：（1）910280x y +-=； （2）20x y -=；（3）10,30y x y +=++=；（4）1150,0x y x y +-=-+=； （5）0x =.2. 求下列二次曲线的切线方程并求出切点的坐标.（1）曲线2243530x xy y x y ++--+=的切线平行于直线40x y +=； （2）曲线223x xy y ++=的切线平行于两坐标轴. 解：（1）450x y +-=，(1,1)和480x y +-=，(4,3)-； （2）20y ±=，(1,2),(1,2)--和20x ±=，(2,1),(2,1)--. 3. 求下列二次曲线的奇异点. （1）22326410x y x y -+++=； （2）22210xy y x +--=； （3）2222210x xy y x y -+-++=.解：（1）解方程组330,220x y +=⎧⎨-+=⎩得奇异点为(1,1)-；（2）解方程组10,0y x y -=⎧⎨+=⎩得奇异点为(1,1)-.4.试求经过原点且切直线4320x y ++=于点（1，-2）及切直线10x y --=于点（0，-1）的二次曲线方程.解：利用（5.3-5）可得226320x xy y x y +-+-=.5.设有共焦点的曲线族2222221x y a h b h+=++，这里h 是一个变动的参数，作平行于已知直线y mx =的曲线的切线，求这些切线切点的轨迹方程. 解：设切点坐标为00(,)x y ，则由（5.3-4）得曲线的切线为0022221x x y ya hb h+=++，因为它平行与y mx =，所以有2220000x b my a h x my +=-+，代入220022221x y a h b h +=++整理得 222220000(1)()0mx m x y my m a b +----=，所以切点的轨迹为22222(1)()0mx m xy my m a b +----=.§5.4二次曲线的直径1. 已知二次曲线223754510x xy y x y +++++=.求它的（1）与x 轴平行的弦的中点轨迹； （2）与y 轴平行的弦的中点轨迹；（3）与直线10x y ++=平行的弦的中点轨迹.解：（1）因为x 轴的方向为:1:0X Y =代入（5.4-3）得中点轨迹方程6740x y ++=； （2）因为y 轴的方向为:0:1X Y =代入（5.4-3）得中点轨迹方程71050x y ++=； （3）因为直线10x y ++=的方向为:1:1X Y =-代入（5.4-3）得中点轨迹方程310x y ++=.2.求曲线224260x xy x y +---=通过点（8，0）的直径方程，并求其共轭直径. 解：（1）把点（8，0）代入(2)(21)0X x Y y -+-=得:1:6X Y =，再代入上式整理得直径方程为1280x y +-=，其共轭直径为122230x y --=.3.已知曲线22310xy y x y --+-=的直径与y 轴平行，求它的方程，并求出这直径的共轭直径.解：直径方程为10x -=，其共轭直径方程为230x y -+=. 4.已知抛物线28y x =-，通过点（-1，1）引一弦使它在这点被平分. 解：430x y ++=.5. 求双曲线22164x y -=一对共轭直径的方程，已知两共轭直径间的角是45度. 解：设直径和共轭直径的斜率分别为',k k ，则'23kk =.又因为它们交角45度，所以''11k k kk -=+，从而13k =-或2，'2k =-或13，故直径和共轭直径的方程为30x y +=和20x y -=或20x y +=和30x y -=.6.求证：通过中心曲线的直线一定为曲线的直径；平行于无心曲线渐进方向的直线一定为其直径. 证明：因为中心曲线直径为中心线束，因此过中心的直线一定为直径；当曲线为无心曲线时，它们的直径属于平行直线束，其方向为渐进方向，所以平行于无心曲线渐进方向的直线一定为其直径.7．求下列两条曲线的公共直径.（1）223234440x xy y x y -+++-=与2223320x xy y x y --++=； （2）220x xy y x y ----=与2220x xy y x y ++-+=. 解：（1）210x y -+=；（2）5520x y ++=. 8.已知二次曲线通过原点并且以下列两对直线320,5540x y x y --=⎧⎨--=⎩与530,210y x y +=⎧⎨--=⎩ 为它的两对共轭直径，求该二次曲线的方程.解：设曲线的方程为22111222132333(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++=，则由（5.4-3）和（5.4-5）可得1112221323331111,,1,,,0222a a a a a a ==-=-=-=-=，所以曲线的方程为220x xy y x y ----=.§5.5二次曲线的主直径与主方向1.分别求椭圆22221x y a b +=，双曲线22221x y a b-=，抛物线22y px =的主方向与主直径.解：椭圆的主方向分别为1：0和0：1，主直径分别为0,0x y ==；双曲线的主方向分别为1：0和0：1，主直径分别为0,0x y ==；抛物线的主方向分别为0：1和1：0，主直径分别为0y =.2. 求下列二次曲线的主方向与主直径. （1）22585181890x xy y x y ++--+=； （2）22210xy x y -+-=；（3）229241618101190x xy y x y -+--+=.解：（1）曲线的主方向分别为1：（-1）和1：1，主直径分别为0,20x y x y -=+-=； （2）其主方向分别为1：1和1：（-1），主直径分别为0,20x y x y +=-+=； （3）其主方向分别为3：（-4）和4：3，主直径分别为3470x y -+=； （4）任何方向都是其主方向，过中心的任何直线都是其主直径.3.直线10x y ++=是二次曲线的主直径，点（0，0），（1，-1），（2，1）在曲线上，求该曲线的方程.解：设二次曲线方程为22111222132333(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++=，把点坐标（0，0），（1，-1），（2，1）分别代入上面方程同时利用直线10x y ++=为其主直径可得111222132333774,,4,,4,022a a a a a a ==-==-==，所以所求曲线方程为22474780x xy y x y -+-+=. 4.试证二次曲线两不同特征根确定的主方向相互垂直.证明：设12,λλ分别曲线的两不同特征根，由它们确定的主方向分别为11:X Y 与22:X Y 则1111211112122111,,a X a Y X a X a Y Y λλ+=⎧⎨+=⎩与1121222212222222,a X a Y X a X a Y Y λλ+=⎧⎨+=⎩， 所以 11211211112121212212()()X X YY a X a Y X a X a Y Y λλ+=+++11212211222221221221()(),a X a Y X a X a Y X X X Y Y λλ=+++=+从而有121212()()0X X YY λλ-+=，因为12λλ≠，所以12120X X YY +=，由此两主方向11:X Y 与22:X Y 相互垂直.§5.6二次曲线方程的化简与分类1. 利用移轴与转轴，化简下列二次曲线的方程并写出它们的图形. （1）225422412180x xy y x y ++--+=； （2）222410x xy y x y ++-+-=； （3）25122212190x xy x y +---=； （4）222220x xy y x y ++++=.解（1）因为二次曲线含xy 项，我们先通过转轴消去xy ，设旋转角为α，则324ctg α=，即21324tg tg αα-=，所以12tg α=或-2.取2tg α=-，那么sin α=cos α=，所以转轴公式为''''2),2).x x y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入原方程化简再配方整理得新方程为''2''26120x y +-=；类似的化简可得（2）''2''250y +=；（3）''2''294360x y --=；（4）''2210x -=.2.以二次曲线的主直径为新坐标轴，化简下列方程，并写出的坐标变换公式与作出它们的图形.（1）22845816160x xy y x y +++--=； （2）22421040x xy y x y --++=； （3）22446830x xy y x y -++-+=； （4）2244420x xy y x y -++-=. 解：（1）已知二次曲线的距阵是8242584816⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭， 18513I =+=，2823625I ==，所以曲线的特征方程为213360λλ-+=，其特征根为14λ=，29λ=，两个主方向为11:1:2X Y =-，22:2:1X Y =；其对应的主直径分别为8200x y -+=，7740x y +-=. 取这两条直线为新坐标轴得坐标变换公式'''')1,2) 2.x x y y x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为'2'294360x y +-=.（2）已知二次曲线的距阵是225222520-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭坐标变换公式''''2)1,) 2.x x y y x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为'2'23210x y -+-=.（3）已知二次曲线的距阵是423214343-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭， 坐标变换公式''''92),101).5x x y y x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为'2'50y x =. （4）坐标变换公式''''22),51).5x x y y x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为'2510y -=.3.试证在任意转轴下，二次曲线的新旧方程的一次项系数满足关系式'2'22213231313a a a a +=+.证明：设旋转角为α，则''131323cos sin a a a αα=-，''231323sin cos a a a αα=+，两式平方相加得'2'22213231313a a a a +=+.3. 试证二次曲线222ax hxy ay d ++=的两条主直径为220x y -=，曲线的两半轴的长分别为. 证明：求出曲线的两主直径并化简即可得.§5.7应用不变量化简二次曲线的方程1. 利用不变量与半不变量，判断下列二次曲线为何种曲线，并求出它的化简方程与标准方程.（1）2266210x xy y x y ++++-=； （2）223234440x xy y x y -+++-=； （3）2243220x xy y x y -++-=； （4）22442210x xy y x y -++--=； （5）222246290x xy y x y -+--+=； （6=（7）2222240x xy y x y ++++-=； （8）224412690x xy y x y -++-+=.解：（1）因为12I =，213831I ==-，13331116311=-，322II =-，而特征方程2280λλ--=的两根为124,2λλ==-，所以曲线的简化方程（略去撇号）为224220x y --=，曲线的标准方程为2221012x y --=，曲线为双曲线； 类似地得下面：（2）曲线的简化方程（略去撇号）为222480x y +-=，曲线的标准方程为22142x y +=， 曲线为椭圆；（3）曲线的简化方程（略去撇号）为22(2(20x y ++=，曲线的标准方程为22011x y -=， 曲线为两相交直线；（4）曲线的简化方程（略去撇号）为250y =， 曲线的标准方程为2y =， 曲线为抛物线；（5）曲线的简化方程（略去撇号）为220x y +=， 曲线的标准方程为22011x y +=， 曲线为一实点或相交与一实点的两虚直线； （6）曲线的简化方程（略去撇号）为220,0,0)y x a y a -=≤≤≤≤（，曲线的标准方程为2y =，0,0)x a y a ≤≤≤≤（曲线为抛物线的一部分；（7）曲线的简化方程（略去撇号）为2250y -=，曲线的标准方程为252y =， 曲线为两平行直线；（8）曲线的简化方程（略去撇号）为250y =，曲线的标准方程为20y =，曲线为两重合直线.2. 当λ取何值时，方程2244230x xy y x y λ++---=表示两条直线. 解：方程2244230x xy y x y λ++---=表示两条直线当且仅当3222110213I λ-=-=---，即4λ=.3. 按实数λ的值讨论方程2222250x xy y x y λλ-+-++=表示什么曲线.解：因为12I λ=，2(1)(1)I λλ=-+，3(53)(1)I λλ=+-，12(51)K λ=-， 所以当λ的值变化时，1231,,,I I I K 也随着变化，它们的变化关系如下表：所以有对应于下面的结果：4. 设221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++=表示两条平行直线，证明这两条直线之间的距离是d =证明：曲线的方程可简化为y =， 这里当曲线表示两条平行的实直线时，10K <. 所以这两条直线之间的距离是d =5. 试证方程221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++=确定一个实圆必须且只须212124,0I I I I =<.证明：当曲线221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++=表示一个实圆的充要条件是其特征方程2120I I λλ-+=有相等实根且120I I <，即21240I I ∆=-=且120I I <，从而方程确定一个实圆必须且只须212124,0I I I I =<.6. 试证如果二次曲线的10I =，那么20I <. 证明：因为111220I a a =+=即1122a a =-，所以1112222211221*********()a a I a a a a a a a ==-=-+，而111222,,a a a 不全0，所以有20I <.7. 试证如果二次曲线的230,0I I =≠，那么10I ≠，而且120I I <.证明：当230,0I I =≠时，由5.2节习题7知，曲线为无心曲线，从而有10I ≠，而且120I I <.。

第五章 二次曲线的一般理论 主要问题：（1）几何性质 （2）化简 （3）分类5.1 二次曲线与直线的相关位置（x y y x y xy x 240256102222==+--+-与） 一、预备知识1、在平面上由)1(0222),(33231322212211=+++++=a y a x a y a xy a x a y x F 所表示的曲线，叫做二次曲线（系数都为常数）2、关于虚点⎩⎨⎧+==b kx y y x F 0),( ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-+=+)222,222(2)222,222(122i i y x i i y x平面上建立笛卡尔坐标系后，一对有序常数),(y x 表示平面上一个点，如果y x ,中至少有一个是虚数，我们仍认为),(y x 表示平面上一个点。

（一对共轭虚点的中点是实点）3、记号33231322212211222),(a y a x a y a xy a x a y x F +++++='131211121),(x F a y a x a y x F =++= '232212221),(y F a y a x a y x F =++=3323133),(a y a x a y x F ++= 222122112),(y a xy a x a y x ++=φ容易验证：),(),(),(),(321y x F y x yF y x xF y x F ++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=332313232212131211a a a a a a a a a A 二次曲线)(I 的矩阵 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=*22121211a aa a A ),(y x φ的矩阵 A I a a a a I a a I ==+=322121211222111,,33232322331313111a a a a a a a a k +=例：写出下列二次曲线的矩阵321,,F F F A 及04762)3(2)2(1)1(2222222=-+-+-==+y x y xy x x y by a x二、相关位置二次曲线0),(=y x F 与过点 且具有方向Y X :的直线⎩⎨⎧+=+=Yt y y Xt x x 00联立，0),(]),(),([2),(000020012=+++⇒y x F t Y y x F X y x F t Y X φ1、),(),(]),(),([,0),(002002001y x F Y X Y y x F X y x F Y X φφ-+=∆≠ 010>∆ 方程有两个不等实根⇒21,t t 有两个不同的实交点 020=∆ 方程有两个相等实根⇒21,t t 有两个相互重合的实交点 030<∆ 方程有两个共轭虚根⇒交于两个共轭的虚点2、0),(=Y X φ0),(),(10020010≠+Y y x F X y x F ，有唯一实根⇒有唯一实交点 ⇒≠=+0),(0),(),(2000020010y x F Y y x F X y x F 而没有交点⇒==+0),(0),(),(3000020010y x F Y y x F X y x F 且直线全部在二次曲线上 eg1、试确定的值k 使直线05=+-y x 与二次曲线032=++-k y x x 交于两个不同实点，043122=--+⎩⎨⎧+=+=y xy y x t k y ktx 与二次曲线交于一点注：平面直线方程：Yy y X x x 00-=- b kx y +=⎩⎨⎧+=+=Yt y y Xtx x 005.2、二次曲线的渐近方向、中心、渐近线一、渐近方向1、定义：满足Y X Y X :0),(的方向=φ叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向)1(02),(22212211=++=Y a XY a X a Y X φ 渐近方向Y X :总有确定的点 2、按渐近方向分类 若112122212211110)(2)()1(,0a I a Y X a Y X a Y X a a -±-=⇒=++≠改写成 若22212220a I a X Y a -±-=⇒≠ 若,02211==a a 则一定有10:1012或=⇒≠Y X a 此时00021212122<-==a a a I故02>I 二次曲线的渐近方向是一对共轭的虚方向 02=I 二次曲线有一个渐近的实方向 02<I 二次曲线有两个渐近的实方向显然：二次曲线的渐近方向最多有两个，而非渐近方向有无穷个按渐近方向可分为三种类型（1） 02>I 椭圆形曲线 122=+y x （2） 02=I 抛物线曲线 2x y = （3） 02<I 双曲型曲线 122=-y x二、二次曲线的中心与渐近线 定义：如果点c 是二次曲线通过它的所有弦的中点，称点c 是二次曲线的中心),(00y x c 是二次曲线的中心⎩⎨⎧==⇒0),(0),(002001y x F y x F推论：)0,0(是二次曲线的中心⇒曲线方程不含y x 与的一次项 证：将直线方程代入，得：0),(]),(),([2),(000020012=+++y x F t Y y x F X y x F t Y X φ由于),(000y x M 是两交点的中心021=+⇒t t 0),(),(002001=+⇒Y y x F X y x F由于Y X :为任意非渐近方向⎩⎨⎧==⇒0),(0),(002001y x F y x F⎩⎨⎧=++=++003302201213012011a y a x a a y a x a（1） 若有唯一中心方程有唯一解⇒⇒≠=0221212112a a a a I（2） 若⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++⇒==⇒≠===—中心直线—中心上所有点都是二次曲线直线有无穷解）（无中心无解）（即0210131211231322121211231322121211221212112a y a x a a a a a a a a a a a a a a a a a I二次曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≠==≠2313221212112313221212112200a a a a a a a a a a a a I I 线心曲线无心曲线非中心曲线中心曲线： 定义：通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线。

第五章二次曲线的一般理论§ 5.1 二次曲线与直线的相关位置1. 求直线x-y-1=0与二次曲线2x2 xy y2 x 2y 1 0的交点.解：将y=x-1代入曲线方程,得2 22x x x 1 x 1 x 2 x 1 1 0,即0 0故直线在二次曲线上•2. 试决定k的值,使得(1) 直线x y 5 0与二次曲线x23x y k 0交于两不同实点；⑵直线x 1 kt与二次曲线x23y24xy y 0交于一点；y k t⑶直线x ky 1 0与二次曲线y22xy (k 1)y 1 0交于两个相互重合的实点x 1 t⑷已知直线与二次曲线2x2 4xy ky2 x 2y 0有两个共轭虚点，求ky 1 t的值解：(1). 将y=x+5代入二次曲线方程,得2x 2x k 5 02Q 2 4 k 5 04k 16 0k 4时，直线与二次曲线有两个不同的实交点•1 2 0(2).二次曲线的矩阵为 2 3 1/20 1/2 0且v X，丫k,1 •, X o, y o 1,kk 1,3时,原直线与二次曲线交于一个实点k 49时，直线与二次曲线有两个共轭虚交点。

24§ 5.2 二次曲线的渐进方向、中心、渐进线1. 求下列二次曲线的渐进方向，并指出曲线是属于何种类型的.1 x2 2xy y 2 3x y 0; 222 3x 4xy 2y 6x 2y 5 0;3 2xy 4x 2y 30.11 解:(1) Q X,Y X2 2XY Y 2 0时，X : Y1:1，同时 I ?0,11曲线有一个实渐进方向，是抛物型的k,1 k 2 4k 3 0,则 k 1 1,k 2 3,1)当 k . 1 时,F , X o y o X F 2 X o ，y o Y 0, 2).当 k 23时，F1X 0, y 0 X F 2X 0, y 0 Y1513 0,2(3). 二次曲线的矩阵为(1 11 (1 k)/20 k)/2 1解之, v X,Yk,1 , X o ,y o1 0,即―4k 1 1,k 25,2k0,即 k 2 6k 50,1)当 1时, X,Y k,1 2k 0, 2)当5时, 1,5 时, X,Y直线与二次曲线有二重合实交点.k,12k 0,(4).二次曲线的系数矩阵为22 1/21/ 2 1 01:( 1)取(X 0,y0)(“)，令V0,即[2(1k)(1)]2 (k 2)(3 k) 0 解得k24，且此时(1,1) 24( 1) k28282 Q X,Y 3X 2 4XY 2Y 2 0时,X :Y且i 23 2 2 o, 22曲线有两个共轭的虚渐进方向，是椭圆型的.•••曲线有两个渐进方向，是双曲型的•2. 判断下列二次曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线1 1解：(1) QI 21 0 ,故为中心曲线；1 21 2 1 2 Q A24 1711 1有I 21 2 0,且 9113]2a 1324a 12a 22a 23曲线为无心曲线；an a 12 a 13 1 ,且有 一一 一 3,-312a 22 a 23•••曲线为线心曲线. 3. 求下列二次曲线的中心 2 21 5x 2xy 3y 2x 3y 6 0;2 22 2x 5xy 2y 6x 3y 5 0;3 9x 2 30xy 25y 2 8x 15y 0;2 24 4x 4xy y 4x 2y 0.X;Y 0:1 或 1:0,且 *〈0,5x y 1解1由解得x13 2 2 1 x 2xy 2y 22 2 x 4xy 4y223 9x 6xy y4x 6y 3 0; 2x 2y 1 0;6x 2y 0.••中心为3 (, 13 )28 282x5 y 3 0 2 由 2解得x 1, y 2 5 2y 3 x2 2--中心为1,2 J3an ai 2 3 a134 Q ———a i2 a225 ^23 15 '2曲线没有中心.曲线为线心曲线，中心直线方程为2x-y+仁0.y y 。

第九章二次型综述1．二次型理论起源于解析几何中二次曲线、二次曲面的简化问题.一般的n 元二次型化为标准型问题在很多工程问题中有广泛的应用,而n 维欧氏空间中二次型正交化为标准型问题,在相近学科如分析、统计学中有直接的应用,但内容本身作为高等代数（线性代数）的一部分,不太需要完整的论述而又必要作一讨论.2．n元二次型理论（一般数域F上）从体系结构上来讲,可作为一独立的内容,但其可建立与F上n 阶对称矩阵的一一对应,所以可安排在矩阵一节之后（北大教材即如此）,而其又可与F上的向量空间v 上的对称内积（亦可为对称双线性函数（型））的集合一一对应,因而可放在欧氏空间后.（先推广欧氏空间即定义一般数域上的（对称）内积（或更一般的酉内积）,具体见下补）.特别是对欧氏空间中实二次型的讨论（主轴问题、正定等）因而可放在欧氏空间后（因有些结论是对称变换的推论）.3．就本章内容而言,主要是二次型的概念及标准形问题,实二次型分类及实二次型的正定及主轴问题.如刚才所讲,实际上：一般数域F上的n元二次型的集合,F上n维向量空间的对称双线型（函数）的集合（亦是对称内积的集合）,F上n 阶对称矩阵的集合是一一对应的,即是同一事物的三种表现形式,可通过一方研究（表示）另一方,且大多是通过对称矩阵来研究二次型的（如标准形（化简）、复、实二次型的规范型、实二次型的正定及主轴问题皆是如此）,这是方法问题,而理论上为认识二次型是先介绍了双线性型（对称双线性函数）,所以在具体内容上直接给出二次型定义,用上述方法讨论前述问题.4．本节重点难点是二次型的标准形,复、实二次型的规范形及正定二次型的判定,所以二次型的初等变换法化简、惯性定理是难点.5．简要介绍一下欧氏空间的推广——内积空间与西空间.（略）6．本教材是先定义双线性型（函数）,对称双线性型（函数）,引入与对称双线性型（函数）的关联函数得出二次型定义,好在理论上可进一步了解二次型,但不利于实质上（用对称矩阵）讨论二次型本章要解决的问题,以及9.2以后的内容；重要的是引导学生建立F上n元二次型与F上n阶对称矩阵的一一对应,通过对称矩阵研究本章所有问题.9.1 二次型一教学思考1．二次型的理论起源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题,但其理论在网络问题中、分析、热力学等中有广泛应用.仅从数学内容上言,其与F上n维向量空间v上所有对称双线性型（对称内积）,F 上所有n 阶对称方阵是同一事物的三种表现形式,即存在一一对应.这样不管从理论上还是从方法上提供了讨论问题的方法.本节重要的是给出二次型的定义及二次型的表示,特别是其矩阵表示,从而建立n 元二次型与n 阶对称矩阵的对应,用对称矩阵来讨论二次型的标准形问题,为下面具体讨论C上R上的二次型的规范形（分类）（正定、主轴问题）打下基础.2．本节不从书中介绍,直接给出二次型的定义、表示、标准形等概念,及标准形的化法.二内容要求1．内容：二次型、二次型的矩阵、可逆性替换,矩阵的合同、二次型的等价、二次型的标准型2．要求：掌握上述概念及二次型的标准形的化法.三教学过程1．二次型及表示（1）定义数域F上n个文字x1,x2, (x)n的一个二次齐次多项式叫做F上n个文字的二次型或n元二次型（简称二次型）.一个n 元二次型总可以写成：q(x 1,x 2,…x n )=a 11x 21+a 22x 22+…+a nn x 2n+2a 12x 1x 2+…+2a 1n x 1x n+2a 23x 2x 3+…+2a 2n x 2x n (Ⅰ) +……+2a 1n n -x 1n -x n (Ⅰ)式称为二次型的一般形式.q(x 1,x 2,…x n )ij jia a ==11nnij iji j a x x==∑∑ (Ⅱ)（2）二次型的矩阵定义 令A=()ij a 是由（Ⅱ）的系数所构成的矩阵.称为二次型（Ⅱ）的矩阵. 二次型（Ⅰ）（Ⅱ）又可表示为（矩阵）形式：q(x 1,x 2,…x n )= (x 1,x 2,…x n )A 12.n x x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=x TAX. (Ⅲ)定义：一个二次型的矩阵叫做二次型的秩.(3)可逆（非退化、满秩）线形替换有矩阵的合同.定义 x 1,x 2,…x n 和12,,...,n y y y 是两组文字,系数在数域F 中的一组关系式111112211122.........n n nn n nn n x c y c y c y x c y c y c y=+++⎧⎪⎨⎪=+++⎩ （＊）称为由x 1,x 2,…x n 到12,,...,n y y y 的一个线性替换.定理1 n 元二次型q(x 1,x 2,…x n )= x TAX 经（可逆）线性替换（＊）X=CY 变为二次型Y TBY.其中B=C TAC.定义 设A,B ∈M n (F),若存在一可逆矩阵P ∈M n (F),使得B=TP AP ,则称A 与B 合同. 合同关系的性质：① 自反性：∀ A ∈M n (F),A 与A 合同.(∵A=TI AI ). ② 对称性：若A 与B 合同,则B 与A 亦合同.事实上: ∵A 与B 合同,即存在可逆矩阵P 使B=TP AP ∴A=1111()()T T P BPP BP ----=∵1P -可逆.故也.③ 传递性：若A 与B 合同,B 与C 合同,则A 与C 合同.事实上：存在可逆矩阵P ﹑Q 使B=TP AP ,T C Q BQ =∴()()T T T C Q P APQ PQ A PQ == 而PQ 可逆.故也.合同矩阵的简单性质：①若A 与B 合同,A 为对称矩阵,则B 亦是.事实上：∵存在可逆矩阵P 使B=TP AP ,∴()T T T T T TT T B P AP P A P P AP B ====,故也. ②合同矩阵有相同的秩.由195 5.2.8.P Th 显（反之不真）. (4)二次型的等价：定义 设q(x 1,x 2,…x n )与'q (x 1,x 2,…x n )是数域F 上两个n 元二次型,若可以通过可逆现线性替换将前者化为后者（此时可互化）则 称这两个二次型等价.定理2：数域F 两个n 元二次型等价⇔它们的矩阵合同. 2．二次型的标准形 引言对二次型,当形式简单时便于讨论,比如解析几何中有？二次曲线,当仅有平方项时,其几何图形便一目了然；对于二次型成为二次型形式最简单那的一种是只含有平方项的二次型称之为：定义 只含有平方项的二次型称为二次型的标准形.问题：任给F 上一个二次型能否象解析几何中讨论有心（中心与原点重合、或否）二次曲线那样,通过（坐标旋转（加平移））可逆线形替代：若能,怎样做（即怎样找可逆线形替换）补例 化二次型222123112132233(,,)22285f x x x x x x x x x x x x =+++++为标准形. 22222123112323232123222123223322222123223333222123233(,,)2()()()285()64()2(3)(3)(3)4()(3)5f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x =++++-++++=+++++=+++++-+=++++-作线性替换,即令：1123223333y x x x y x x y x =++⎧⎪=+⎨⎪=⎩⇒11232233323x y y y x y y x y=-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 则原二次型化为：2221235y y y +-.注：上述方法称为“配方法”,告知任一二次型可化为标准形（当定理3 设)(ij a A =是数域F 上一个n 阶对称矩阵,则总存在F 上一个n 阶可逆矩阵P 使证⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯='n c c c AP P (02)1,即A 与对角阵合同.例：将00030360061243040A ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭化为对角型（注：此提法不同于ch8对称矩阵正交化为对角型）. 解：（略）P=21013310223001420103⎛⎫- ⎪⎪⎪-⎪⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭30000600800030000TP AP ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎪ ⎪⎝⎭. 将Th3应用于二次型得：定理4 设q(x 1,x 2,…x n )=11n nij i j i j a x x ==∑∑= x TAX 是数域F 上一个n 元二次型,则总可以通过变量替换12n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=12n y y P y ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭. 把它化为2211...n n c y c y ++,其中P 为可逆矩阵. 9.2 复数域、实数域上的二次型一 教学思考本节是将一般数域上的二次型的标准形问题具体到复数域、实数域上作深入的讨论,最终得到此二数域上二次型的典型（规范）型,进而得这两类二次型的分类,结果是：C 上二次型典范型由秩唯一决定,所以C 上n 元二次型可按秩分类为n+1类；R 上二次型典范性由秩与符号差决定,所以R 上二次型分类由此二者分为1(1)(2)2n n ++类.本节讨论问题的方法在上节（基础上）——行列同型初变（含同变换）化对称矩阵为对角形的基础上,仍利用讨论矩阵的思想,按上述方法很易讨论而得.但对实二次型典范形式的唯一 性（惯性定理）的证明较繁,本教材用双线性函数反证之,有直接用二次型证之（反证法）.习题中反应求实二次型的秩、符号差（惯性指标等）,用本节方法来讲化为典范型（实为标准型）便知,当然一般方法为初等变换法,特殊形式的可用特殊方法（9.4还有用求特征根法）；求实（复）对称矩阵合同问题亦用初变化为标准[spI I O ⎛⎫⎪-⎪ ⎪⎝⎭、r I O ⎛⎫⎪⎝⎭]型. 二 内容及要求1．内容：复数域、实数域上二次型的典范形式与分类.2．要求：掌握C 、R 上二次型的典范形式及求法,及内容体现的通过对称矩阵讨论问题的思想,实二次型的秩、惯性指标、符号差的求法（本节为化为典范形、实际标准形即可）；下节还将介绍用特征根法.复、实二次型的等价分类. 三 教学过程引言上节我们知道：数域F 上任一n 元二次型1(,,)n q x x =AX X ',都可以通过可逆线性替换X=PY 化为标准形：2211r r y c y c +⋯⋯+.其中r 为二次型的秩.用矩阵语言叙述（等价为）：对()F M A n ∈∀,A A =',则A 合同于一个对角形矩阵D . 1 C 上的二次型：复二次型——复数域上的二次型称为复二次型. 先介绍一个重要定理,由此反映下述结论.定理9.2.1复数域上两个n 阶对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩.()(),,,,A B Mn C A A B B AB A B ''∈==⇔=则秩秩2．R 上的二次型：实二次型——实数域上的二次型.（1） 实二次型等价的充要条件（⇔实对称矩阵合同的充要条件）.为此：定理9.2.2 设()r A A A R Mn A =='∈秩,,则A 合同于pr pI I O -⎛⎫⎪-⎪ ⎪⎝⎭. 平行地定理9.2.3 秩为r 的n 元实二次型都与如下形式的一个二次型等价：(Ⅰ)r p p x x x x 21221-⋯⋯--⋯⋯++定理9.2.4 （惯性定理）,设R 上一个n 元二次型等价于两个典范形式： ①r p p x x x x 21221-⋯⋯--⋯⋯++（r 为二次型的秩） ②222211P P r y y y y ''++⋯⋯+--⋯⋯-（r 为二次型的秩） 则P P '=.（反证略）定义 一个实二次型的典范形式中,正平方项的个数P 叫做这个二次型的（正）惯性指标（数）,正项的个数P 与负项个数（负惯性指标）p r -的差：()2sp r p p r --=-,叫做这个二次型的符号差.定理9.2.5 两个n 元实二次型等价的充分条件是它们有相同的秩和符号差. 平行地：设B B A A R Mn B A ='='∈,),(，. 则A 与B 合同⇔它们有相同的秩与符号差. （2）n 元实二次型的分类：n 元实二次型按等价分类：由于n 元实二次型的典范形式由秩与惯性指标唯一确定,所以：推论9.2.6：n 元实二次型按等价分类,可分成：()()211++n n 类. 9.3 正定二次型一 教学思考本节研究一类特殊的实二次型——正定二次型.从定义上来讲,正定二次型是将n 元实二次型视为n 元实函数（即nR 上的实函数）,由其函数值分类中的一种；因而由定义判定一个实二次型是否正定相当不易,那么本节在于寻求正定二次型的判定,得到两个判定定理；一个是由秩与符号差（或惯性指标）判定,一个用二次型自身的信息——矩阵的顺序主子式判定,结论方法明确具体,下节还给出一个用特征根判定.所以本节内容易讨论、接受,注意其中反映的一些结论,如可逆线性替换不改变二次型的正定性等. 二 内容和要求1．内容：正定二次型及其判定. 2．要求：掌握有关概念和判定方法. 三 教学过程1．定义 （由于二次型是n 个文字的二次齐次多项式,所以n 元实二次型可象一元多项式那样定义其在某一点的值,即将n 元实二次型看成定义在nR 上的n 元实函数,那么可按它的值的符号分类）. 设()n x x x q ，⋯⋯,,21是一个n 元实二次型,若对任意一组不全为0的实数n c c ⋯⋯1；（1） 如果()01>⋯⋯n c c q ,则称()n x x x q ，⋯⋯,,21为正定二次型； （2） 如果()01<⋯⋯n c c q ,则称()n x x x q ，⋯⋯,,21为负定二次型； （3） 如果()10n q c c ⋯⋯≥,则称()n x x x q ，⋯⋯,,21为半正定二次型； （4） 如果()10n q c c ⋯⋯≤,则称()n x x x q ，⋯⋯,,21为半负定二次型； （5）若()n c c q ⋯⋯1有正、有负,则称()n x x x q ，⋯⋯,,21为不定二次型. 2．正定二次型的判定定理9.3.1 实数域上n 元二次型()n x x x q ，⋯⋯,,21是正定的⇔它的秩与符号差都等于n （惯性指标为n ）.有时须从二次型的矩阵直接判定,不希望通过典范形式,为此下讨之. 定义 设()()R Mn a A ij ∈=,位于A 的前k 行、前k 列的子式1111kr kka a a a 叫做A 的k 阶顺序主子式.二次型()AX X x x x q n '=⋯⋯，,,21的矩阵的k 阶主子式叫做二次型()n x x x q ，⋯⋯,,21的k 阶主子式.定理9.3.2 n 元实二次型()AX X x x x q n '=⋯⋯，,,21是正定的⇔它的一切主子式全大于0.9.4主轴问题一 教学思考本节内容是在欧氏空间中将有心二次曲线、二次曲面,用正交变换化为标准形问题的推广——将实二次型用正交变换化为标准形.思想方法仍是将实二次型问题转化为实对称矩阵处理.由第八章第4节的结论,则此问题解决的具体完满.须注意的是：①此将实二次型化为标准形是用正交变换因而方法过程与前不同,从而结论中标准形的平方项系数为二次型的矩阵的全部特征根.②顺便得到了判定实二次型是否正定的又一方法（用特征根）. 二 内容、要求1．内容：主轴问题；实二次型用正交变换化标准形 2．要求：掌握上述概念与方法. 三 教学过程：1．主轴问题：实数域上一个n 元二次型通过坐标的正交变换（正交线性替换）化为标准形的问题. 2．问题的提出及含义的由来我们知道（9.1）任何一个二次型都可经过线性替换化为标准形.用一般的线性替换把二次型化为标准形,可能会改变向量的度量性质（见霍元极379P ）,在许多问题中都要求简化实二次型时,所作的线性替换不改变向量的度量性质,如在解析几何中一样,用坐标变换（旋转、平移）化二次曲面（线）为标准形,其特点是用正交变换；因而,一般地讨论把一个n 元实二次型通过正交线性替换化为标准形的问题,正是解析几何中的问题的推广,叫做主轴问题（因由此可知有关曲面、线的性态）.3．问题的变通因为二次型通过可逆线性替换化为标准形问题等价于对称矩阵与对角形矩阵合同问题,所以主轴问题：n 元实二次型1(,,)n q x x X AX '=N 能否通过正交线性替换化为标准形的问题(),n A M R A A '⇔∈=是否存在正交矩阵U ,使得U AU '为对角形.4．问题的解决（由定理8.4.6） 定理9.4.1设1(,,)n q x x X AX '=是一个n 元实二次型,则可通过正交线性替换X UY =化为2211n n y y λλ++.其中U 为正交矩阵,1,,n λλ为A 的全部特征根.推论：设1(,,)n q x x X AX '=是一个n 元实二次型,则1）二次型的秩等于其矩阵A 的不为0的特征根的个数；而符号差为A 的正特征根的个数与负特征根的个数的差.2）1(,,)n q x x X AX '=是正定的充要条件是A 的所有正特征根为正实数.。

解析几何中的二次曲线分类解析几何是数学中的一个重要分支，它旨在研究图形形状、大小、位置等性质，以及这些性质之间的相互联系。

在解析几何中，二次曲线是一类特殊的几何图形，由于其广泛的应用，在解析几何的研究中占有重要的地位。

本文将介绍二次曲线的分类及其特点。

一、二次曲线的基本概念首先，我们需要澄清二次曲线的定义。

在平面直角坐标系中，我们可以表示一个点的坐标为$(x,y)$。

如果一个点$(x,y)$在坐标系中满足一个由$x$和$y$的二次多项式方程表示的条件，那么这个点就在这个方程所描述的二次曲线上。

二次多项式方程一般的形式为：$$Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0$$其中，$A,B,C,D,E,F$为实数，$A$和$B$不能同时为零。

二次曲线的几何形状取决于二次项和常数项的系数。

二、椭圆如果$AC-B^2>0$，那么二次曲线就是椭圆。

这里，$A>0$和$B>0$。

椭圆的特点是，它的任何一条直径都可以被看作是它的两个焦点之间的连线。

此外，椭圆还有一个重要的性质，即它所有点的到两个焦点距离之和是一个定值，叫做椭圆的长轴长度。

三、双曲线如果$AC-B^2<0$，那么二次曲线就是双曲线。

在这种情况下，我们可以定义一个新的变量$y'=\frac{y}{x}$，这样就可以将原方程化为标准式：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$其中，$a$和$b$都是正实数。

双曲线取决于$a$和$b$的大小关系。

如果$a>b$，我们称之为正双曲线；如果$b>a$，我们称之为负双曲线。

无论哪一种情况，双曲线都有一个重要的性质，即它所有点的到两个焦点距离之差是一个定值，叫做双曲线的焦距。

四、抛物线如果$AC-B^2=0$，且$A$和$B$不同时为零，那么二次曲线就是抛物线。

在这种情况下，我们可以将原方程变形为标准式：$$y=ax^2+bx+c$$其中，$a$和$b$都是实数。

（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下：Ⅰ、数学分析部分一、集合与函数1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广.3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质.二、极限与连续1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用.3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）.三、一元函数微分学1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.2.微分学基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor公式(Peano余项与Lagrange余项).3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（L'Hospital）法则、近似计算.四、多元函数微分学1. 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式.2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换.3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）.4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法.五、一元函数积分学1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：型，型.2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：）、可积函数类.3. 定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理.4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.5. 微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用.六、多元函数积分学1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件.7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke公式，两类线积分、两类面积分之间的关系.七、无穷级数1. 数项级数级数及其敛散性，级数的和，Cauchy准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的Leibniz判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判别法.2. 函数项级数函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收敛性判别法（M-判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法）、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.3.幂级数幂级数概念、Abel定理、收敛半径与区间，幂级数的一致收敛性，幂级数的逐项可积性、可微性及其应用，幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor级数、Maclaurin级数.4.Fourier级数三角级数、三角函数系的正交性、2及2周期函数的Fourier级数展开、 Beseel 不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理.Ⅱ、高等代数部分一、多项式1. 数域与一元多项式的概念2. 多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法3. 互素、不可约多项式、重因式与重根.4. 多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.5. 代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.6. 本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根.7. 多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理.二、行列式1. n级行列式的定义.2. n级行列式的性质.3. 行列式的计算.4. 行列式按一行（列）展开.5. 拉普拉斯(Laplace)展开定理.6. 克拉默(Cramer)法则.三、线性方程组1. 高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.2. n维向量的运算与向量组.3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.4. 向量组的极大无关组、向量组的秩.5. 矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.7. 齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数四、矩阵1. 矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律.2. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系.3. 矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.4. 分块矩阵及其运算与性质.5. 初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.6. 分块初等矩阵、分块初等变换.五、双线性函数与二次型1. 双线性函数、对偶空间2. 二次型及其矩阵表示.3. 二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法.4. 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.5. 正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵六、线性空间1. 线性空间的定义与简单性质.2. 维数，基与坐标.3. 基变换与坐标变换.4. 线性子空间.5. 子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.七、线性变换1. 线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.2. 特征值与特征向量、可对角化的线性变换.3. 相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理.4. 线性变换的值域与核、不变子空间.八、若当标准形1.矩阵.2. 行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.3. 若当标准形.九、欧氏空间1. 内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵.2. 标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt)正交化方法.3. 欧氏空间的同构.4. 正交变换、子空间的正交补.5. 对称变换、实对称矩阵的标准形.6. 主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.7. 酉空间.Ⅲ、解析几何部分一、向量与坐标1. 向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.4. 向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.5. 应用向量求解一些几何、三角问题.二、轨迹与方程1.曲面方程的定义：普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系.2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.三、平面与空间直线1.平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.2.从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程.3.根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.4. 根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.四、二次曲面1.柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程.2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程.3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题.五、二次曲线的一般理论1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.4.二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根.5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.。

二次曲线的基本概念与性质二次曲线作为数学中的重要概念之一，具有广泛的应用和深入的理论研究。

它在几何学、物理学、经济学等学科中发挥着重要作用。

本文将介绍二次曲线的基本概念和性质，以帮助读者更好地理解和应用二次曲线。

一、二次曲线的定义二次曲线是由二次方程所表示的曲线，其一般形式可以写成：Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E和F是实数，且至少有一个系数不为零。

二、二次曲线的分类根据二次曲线的方程，我们可以将其分类为三种常见形式：椭圆、双曲线和抛物线。

1. 椭圆：椭圆是由平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹所形成的曲线。

椭圆的方程可以写成标准形式：(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h, k)是椭圆的中心坐标，a和b 分别是椭圆的长半轴和短半轴。

2. 双曲线：双曲线是由平面上到两个定点的距离之差等于常数的点的轨迹所形成的曲线。

双曲线的方程可以写成标准形式：(x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h, k)是双曲线的中心坐标，a和b 分别是双曲线的长半轴和短半轴。

3. 抛物线：抛物线是由平面上到定点的距离等于定直线的距离所形成的曲线。

抛物线的方程可以写成标准形式：y = a(x-h)^2 + k，其中(h, k)是抛物线的顶点坐标，a是抛物线的参数。

三、二次曲线的性质1. 对称性：椭圆、双曲线和抛物线都具有对称性。

椭圆具有关于x轴和y轴的对称性，双曲线具有关于坐标轴和原点的对称性，抛物线具有关于y轴的对称性。

2. 焦点和准线：椭圆和双曲线都有焦点和准线。

焦点是离心率所确定的两个定点之一，准线是离心率的长度倍的直线。

焦点和准线在二次曲线的性质中起着重要作用。

3. 弦和切线：二次曲线可以通过弦和切线来研究。

弦是连接曲线上两点的线段，切线是曲线上某点的斜率与曲线相切的直线。

4. 集中度和离心率：二次曲线的集中度和离心率是描述曲线形状的重要参数。