全国高中数学 优秀教案 圆锥曲线起始课教学设计 (3)

城东蜊市阳光实验学校指定课题：圆锥曲线与方程〔起始课〕一、教学设计1．教学内容解析圆锥曲线与方程安排在普通高中A版选修2-1中．教材通过章引言介绍了圆锥曲线的名称由来、开展历史、实际用途和坐标方法，主要说明圆锥曲线是什么、为什么要学习圆锥曲线和怎样学习圆锥曲线．尤其是着重说明了类比研究直线与圆的坐标法，研究圆锥曲线的根本套路．同时教材又进一步通过【探究与发现】介绍了Dandelin双球证法，说明了为什么二次函数的图象是抛物线；通过【信息技术应用】介绍了用几何画板探究椭圆的轨迹；通过【阅读与考虑】介绍了圆锥曲线的光学性质及其应用．基于教材对本章内容设置的前后一致逻辑连接的构造顺序，作为本章起始课，拟定以理解圆锥曲线的开展过程和理解圆锥曲线的心理过程为根本线索，力图为学生构建前后一致逻辑连接的学习过程，使学生在领悟圆锥曲线名称由来、广泛应用和研究方法的过程中学会考虑，并侧重于椭圆定义的探究及初步应用．根据以上分析，本节课的教学重点确定为教学重点：椭圆的定义探究及初步应用〔Dandelin双球证法〕．2．学生学情诊断首先，学生在数学2中学习了研究直线与圆的坐标法，初步具备了运用代数方法研究几何问题的意识，初步感受了数形结合的根本思想，对椭圆、抛物线和双曲线的概念也仅仅停留在直观感性认识的层面上．因此，圆锥曲线作为学生再度理解坐标法和进一步感悟数形结合思想的学习内容，是螺旋上升的过程中掌握解析几何思想方法的一个打破口．其次，本节课授课班级是我校实验班，尽管数学根底总体程度较好，但如何将几何问题代数化仍然是多数学生所面临的难题．为此，在起始课中，为降低难点，只让学生初步尝试给定数据的详细椭圆方程的推导方法，而将引发学生推导椭圆标准方程一般式作为后继学习内容．根据以上分析，本节课的教学难点确定为教学难点：详细条件下椭圆方程的推导和化简；坐标法的应用．3．教学目的设置〔1〕通过动态演示平面与圆锥面的截线，学生经历从详细情境中抽象出椭圆、双曲线、抛物线模型的过程，感知圆锥曲线的来由；〔2〕通过丰富多彩的实例，学生体会圆锥曲线应用的广泛性，数与形的辩证统一的关系和圆锥曲线的内在美、和谐美和统一美，感受学习圆锥曲线的理由；〔3〕借助展板动手操作和类比圆的定义，学生探究椭圆的定义，能用文字和符号语言描绘椭圆的定义，会用Dandelin双球证明截口曲线为椭圆的情形，感悟圆锥曲线学法的来由．〔4〕通过详细画出的特殊椭圆，学生类比直线与圆的方程，会初步运用坐标法推导详细给定的椭圆方程，能说出圆锥曲线又作为二次曲线的特征，感触圆锥曲线方程的情由．4．教学策略分析根据章起始课应表达统领全局的地位和作用的特点，采用“引言导入—问题诱导—启发讨论—抽象概括—探究归纳—总结规律〞的探究式教学方法，紧紧围绕为什么学、学什么以及怎样学等问题展开，通过“引、思、探、练、归〞相结合的做法，让学生初识圆锥曲线的相关背景、知识构造、逻辑体系和应用价值，明晰本章的学习内容、学习特点和学习方法．为防止以教师讲解为主的告知式，采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的教学方式，形成师生互动的教学气氛，充分调动学生的积极性，引发学生对圆锥曲线进一步学习的强烈期待，为全章内容的后续学习起到较好的铺垫作用．详细教学策略分成如下五个环节：第一环节：引言启导，追溯缘由．从“嫦娥奔月〞的情景和阅读章引言出发，通过问题设疑，引导学生在不断考虑中获取圆锥曲线的来龙去脉；第二环节：应用开路，初识性质．从圆锥曲线广泛的应用性出发，通过引言解读和兴趣传说，引导学生初识圆锥曲线的几何特征和光学性质；第三环节：定义探究，双球验证．从抽象概括椭圆的定义出发，通过类比圆的定义、动手操作画椭圆和讨论Dandelin双球证法，引导学生归纳和运用椭圆的定义；第四环节：方程推导，方法研究．从特殊椭圆方程的推导出发，通过类比直线与圆的方程的推导方法，引导学生尝试运用坐标法的根本步骤导出详细给定的椭圆方程；第五环节：课堂小结，有效建构．从学生自主归纳小结出发，通过引言提炼的内容概述图和交融三种圆锥曲线的知识构造图，让整章的知识体系和逻辑线索鲜活地展如今学生面前．其教学流程如下：二、课堂实录〔一〕情景引入引言：随着我国航天技术的开展日新月异，“嫦娥奔月〞这一古老而美丽的传说正在逐步变为现实．请同学们观看视频．师：这是嫦娥3号环月运行时变轨的过程．变轨后轨道是什么曲线生：椭圆．师：对！椭圆这一类曲线正是我们在本章将要研究的主要内容．请同学们翻开课本第33页，阅读本章引言．〔板书标题：圆锥曲线与方程〕〔二〕课内建构1．名称由来师：好！请同学们停下来，看大屏幕，同学们看书之后，知道圆锥曲线包括哪几种曲线吗生：圆，椭圆，双曲线，抛物线．师：对！那么为什么称为圆锥曲线呢与圆锥有怎样的关系吗请看动画．我们知道，用平面截一个圆锥，当平面与圆锥的轴垂直时，截口曲线是一个圆．用平面截圆锥面还能得到哪些曲线〔教师以flash动画给学生展示：当平面与轴所成的角 变化〔其中截面不过顶点〕时，截口曲线的变化情况．〕师：早在公元前约200年时，古希腊数学家阿波罗尼奥斯〔Apollonius，约前262年～约前190年〕对圆锥曲线的性质就做了系统的研究〔纯几何方法〕，并几乎网罗殆尽，使后人难以有新的发现．阿波罗尼奥斯和欧几里得、阿基米德合称为古希腊三大数学家．【评析】借助动画演示介绍名称由来，嵌入数学史话，加深认知印象．2．广泛应用圆锥曲线不仅在数学历史开展的过程中熠熠生辉，而且在科学文化的其他领域闪烁光．比方，圆锥曲线为开普勒、牛顿、哈雷等数理天文学家研究行星和彗星轨道提供了数学根底．师：让我们回到本章引言，这一段话的主要内容是什么呢生：圆锥曲线的应用．师：那么有哪些方面的应用呢请看图片，这是太阳系行星的运行轨迹，是什么曲线生：椭圆．师：对！有些彗星的轨迹是椭圆，比方著名的哈雷彗星，这是鹿林彗星，不为我们熟知一些，轨迹是双曲线．它的轨迹是如此的长，图片中显示的只是其中一部分．师：当人造天体被以不同的速度从地球发射出去的时候，它的轨迹分别是圆，椭圆，抛物线，双曲线．这涉及到物理中所讲的三大宇宙速度．师：这是热电厂的通风塔，同学们见过吗我们作它的轴截面，取出两侧的轮廓线，是什么曲线生：双曲线．师：这是橄榄球和探照灯．它们的外表分别是由椭圆和抛物线绕其对称轴旋转一周而来〔显示旋转动画〕．为什么探照灯要做成这种形状呢，只是为了美观吗生：应该是为了实用性．师：实际上由于圆锥曲线具有特殊的光学性质，在消费生活中具有广泛的应用．请同学们也来解决一个问题，请看传说：“杰尼西亚的耳朵〞：据说，很久以前，意大利西西里岛有一个山洞，叙拉古的暴君杰尼西亚把一些囚犯关在这个山洞里．囚犯们屡次密谋逃跑，但每次方案都被杰尼西亚发现．起初囚犯们认为出了内奸，但始终未发现告密者．后来他们觉察到囚禁他们的山洞形状古怪，洞壁把囚犯们的话都反射到狱卒耳朵里去了，于是囚犯们诅咒这个山洞为“杰尼西亚的耳朵〞．师：其中的奥秘，同学们解开了吗生：囚洞的剖面近似于椭圆，犯人聚居的地方恰好在椭圆的一个焦点附近，狱卒在另一个焦点处偷听．师：很好！恭喜你揭开了这个奥秘！这里是声波，不过声波和光波具有一样的传播性质．【评析】用传说创设情境，激发学生兴趣，到达引入课题的目的．师：事实上有很多美丽的建筑也与圆锥曲线有关，比方抛物面形天线，双曲线形建筑．师：喷泉是什么形状生：抛物线．师：中国国家大剧院．美吗生：很美．【评析】理解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，激发起学生学习圆锥曲线的兴趣．3．定义探究师：既然到处都有圆锥曲线美丽的身影，那么我们就有必要理解和研究它们，如何理解呢首先就要知道它的定义．那么圆锥曲线的定义是怎样的呢我们重点看一看椭圆的定义．请大家考虑这样的问题：〔1〕绳子一端固定在平整草地上，另一端拴着一只羊，小羊活动的最大边界是什么曲线生：圆．师：圆的定义是什么生：平面内到两定点的间隔等于定长的点的轨迹．〔2〕绳子两端都固定在草地上〔绳长大于两固定点间的间隔〕，绳上套个小环，环上拴一只羊，小羊活动的最大边界是什么曲线师：我们请每组同学互相配合，来画出小羊活动的最大边界．〔事先发给学生每组一块黑板，两个图钉，一根绳子，绳长240cm a =；每组选一位同学做代表画图，学生画图，教师走动，指导；画完后请三组画的好一些的，2c 的取值不同的三位同学拿着黑板上台展示．〕【评析】学生以小组为单位互相配合，动手操作，体验自主、的探究理念，印象更加深化．师：这三个椭圆，给我们最直观的感受，区别在哪儿生：扁平程度不同．师：你觉得椭圆的扁平程度与什么有关生：两定点间的间隔，绳长．师：很好！我来采访一下，这位同学椭圆画得这么好，有什么窍门吗生：在画的过程中要使得绳子绷直．师：使得绳子绷直，也就是说——生：保证绳长为定值．师：非常好！假设细绳长度等于12||F F ，画出的图形是什么不妨在小黑板上试试．小于呢生：绳长等于12||F F ，画出的图形是线段12F F ；小于12||F F 时，画不出任何图形．师：同学们答复得很好．那么大家能类比圆的定义，能给出椭圆的定义吗〔学生归纳，互相补充，教师再汇总．〕椭圆的定义：平面内与两个定点12,F F 的间隔的和等于常数〔大于12||F F 〕的点的轨迹叫做椭圆，两个定点12,F F 叫做椭圆的焦点，两焦点间的间隔叫做椭圆的焦距． 即12{||||2(22)}.M MF MF a a c +=>师：在前面三种用平面截圆锥的过程中，为什么第一种情况得到的截口曲线是椭圆呢事实上在19世纪，法国数学家Dandelin 就想到一种绝妙的方法证明了这个问题．他是怎么做的呢？让我们一起来分享一下：〔Dandelin 双球证法〕如图，Dandelin 在截面的两侧分别放置一个球，使它们都与截面相切〔切点分别为12,F F 〕，且与圆锥的侧面相切，两球与圆锥侧面的公一一共点分别构成圆1O 和圆2O ．设点M 是截口曲线上任一点，Dandelin 过M 点作圆锥的一条母线〔辅助线〕分别交圆1O 和圆2O 于,P Q 两点．如今我们要证明点M 的轨迹是椭圆，用我们刚刚得到的椭圆的定义，如何来证明呢？根据定义，只需证明M 点到某两个定点的间隔之和为常数即可．应该是哪两个定点呢是12,F F 吗 〔学生讨论，说明12,F F 为何是定点．〕师：好！我们只需证明12||||MF MF +为定值即可．下面请同学们以小组为单位，开始讨论．〔学生分组讨论，教师走动指导〕〔几分钟后，相关小组的代表上台讲解〕学生讲解图中所示线段长度之间的关系：1||||MF MP =，2||||MF MQ =，并说明理由：因为过球外一点所作球的切线段的长相等．故12||||MF MF +_______||||MP MQ +________||PQ ．师：线段PQ 的长度是常数吗生：||PQ 是常数．师：为什么生：||||||PQ VP VQ =-，即为圆台的母线．师：也就是说，截口曲线上任意一点到两个定点12,F F 的间隔的和等于常数〔大于12||F F 〕．这就说明了截口曲线是椭圆．事实上Dandelin 还利用双球证明了截口曲线是双曲线的情形，利用单球证明了截口曲线是抛物线的情形．这位卓越的数学家实在是具有非凡的天才．【评析】介绍历史上数学家的巧妙方法，并引导学生自主考虑，自主讲解，不仅强化了椭圆的定义，更浸透了数学家追求完美的理性精神．4．研究方法师：让我们再一次回到本章引言，如何来研究圆锥曲线呢在古希腊时代是如何研究圆锥曲线的生：几何法．师：后来呢生：代数的方法，也就是坐标法．师：是谁创造了坐标系生：笛卡尔．〔简要介绍笛卡尔的生平〕师：事实上我们以前已经用坐标法研究过直线与圆了，请同学们回忆一下直线方程及方程的形式． 生：点斜式，斜截式，两点式，截距式，一般式．师：利用直线方程，我们可以研究与直线有关的位置关系与相应的性质．比方，我们在初中的时候，要证明两直线平行用的什么方法生：假设同位角相等，或者者内错角相等，那么两直线平行．师：建立了平面直角坐标系，得到直线方程后，又是怎么判断两直线平行的呢生：假设两直线斜率存在且斜率相等，截距不等，那么两直线平行．师：圆的方程有哪些形式呢生：标准方程和一般方程．师：对．假设我们将坐标原点选取在圆心，方程又将如何呢〔演示坐标平挪动画〕生：222x y r +=师：很好！坐标系不同，方程的形式也不同．一般来说，形式越简单，越易于我们研究曲线的性质． 师：我们知道，圆的一般方程是一个特殊的二元二次方程，那么，更一般的形式怎样的？〔屏幕显示〕220.Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=〔※〕〔探究〕〔※〕式方程能否表示我们今天介绍的圆锥曲线的方程在以前我们所学的函数中有没有表示椭圆、双曲线、抛物线的例子请同学们互相讨论一下．学生举出反比例函数和二次函数的例子．学生答完后显示动画，先显示双曲线． 师：这是反比例函数1y x =，我们将坐标系旋转一下．〔旋转动画〕方程还是1y x=吗 生：不是．师：那么方程是怎样的呢〔停顿片刻〕我们后面再研究．师：这是二次函数20y ax bx c a =++>()，如今将坐标系平移，如图，方程变为什么形式 生：2y ax =．师：对，方程的形式变简单了，对吧旋转一下呢方程是——我们后面将要学习．再旋转一下呢 生：2y ax =-．师：当〔※〕式方程中的系数满足一定关系的时候，就可以表示不同的圆锥曲线，所以圆锥曲线也称为二次曲线．【评析】由复习旧知引出新知，符合学生的认知规律．师：同学们在先前画椭圆时，绳长为4分米，其中有同学选取的两图钉间的间隔为2分米，那么这个椭圆的方程如何求呢第一步该做什么生：建立平面直角坐标系．师：如何建立平面直角坐标系呢生1：以两定点12,F F 所在直线为x 轴，线段12F F 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系． 生2：以两定点12,F F 所在直线为x 轴，点1F 为坐标原点，建立平面直角坐标系．师：分两大组分别在两种建系的情形下计算．〔将全班学生分两组，分别计算，再比较〕〔算出后教师在每组各选一个写的好一点的到实物投影展示；然后屏幕显示：建系，设点，列式，化简，方程的形式〕师：大家求出的椭圆方程也满足〔※〕方程；假设将详细数值换成2a ，2c ，椭圆方程的形式将是什么呢留给同学们下去研究．〔三〕课堂小结今天我们学习了圆锥曲线与方程，请同学们回忆一下，本节课我们学习了哪些内容呢〔2-3个学生归纳〕 师：同学们都归纳的很好！本章我们要研究的重点问题是曲线和方程，它们是我们关注的两个焦点．我们要运用的核心方法是坐标法．〔四〕课后作业1．ABC 中，BC 长为6，周长为16，那么顶点A 在怎样的曲线上运动建立适当的平面直角坐标系并推导其方程.2．查找Dandelin 研究截口曲线分别为双曲线、抛物线的相关资料．三、课后反思1．可取之处〔1〕注重学生的认知规律，教学过程突出“学生为主体，教师为主导〞的理念，强调自主、式学习，从而进步了课堂的效率；〔2〕注重问题的设置梯度，力求做到必要性、准确性、层次性、实效性和逻辑性，以问题促活动，以问题促探究，促成知识体系的生成与建构；〔3〕注重数学的人文价值，通过浸透数学史的相关知识，激发学生的学习兴趣和学习动机，加深学生对数学本质的理解．2．改进之处个别地方的语言欠准确，如“两焦点之间的线段〞；有些环节处理可以更开放一些，如推导给定的椭圆方程后，可让学生自我展示；有些设问不免有浅问浅答之嫌，可适度拓展延伸，为后继学习做好铺垫．。

指定课题：圆锥曲线与方程（起始课）一、教学设计1．教学内容解析《圆锥曲线与方程》安排在普通高中人教A版选修2-1中．教材通过章引言介绍了圆锥曲线的名称由来、发展历史、实际用途和坐标方法，主要说明圆锥曲线是什么、为什么要学习圆锥曲线和怎样学习圆锥曲线．尤其是着重说明了类比研究直线与圆的坐标法，研究圆锥曲线的基本套路．同时教材又进一步通过【探究与发现】介绍了Dandelin双球证法，说明了为什么二次函数的图象是抛物线；通过【信息技术应用】介绍了用《几何画板》探究椭圆的轨迹；通过【阅读与思考】介绍了圆锥曲线的光学性质及其应用．基于教材对本章内容设置的前后一致逻辑连贯的结构顺序，作为本章起始课，拟定以了解圆锥曲线的发展过程和理解圆锥曲线的心理过程为基本线索，力图为学生构建前后一致逻辑连贯的学习过程，使学生在领悟圆锥曲线名称由来、广泛应用和研究方法的过程中学会思考，并侧重于椭圆定义的探究及初步应用．根据以上分析，本节课的教学重点确定为教学重点：椭圆的定义探究及初步应用（Dandelin双球证法）．2．学生学情诊断首先，学生在《数学2》中学习了研究直线与圆的坐标法，初步具备了运用代数方法研究几何问题的意识，初步感受了数形结合的基本思想，对椭圆、抛物线和双曲线的概念也仅仅停留在直观感性认识的层面上．因此，圆锥曲线作为学生再度理解坐标法和进一步感悟数形结合思想的学习内容，是螺旋上升的过程中掌握解析几何思想方法的一个突破口．其次，本节课授课班级是我校实验班，尽管数学基础总体水平较好，但如何将几何问题代数化仍然是多数学生所面临的难题．为此，在起始课中，为降低难点，只让学生初步尝试给定数据的具体椭圆方程的推导方法，而将引发学生推导椭圆标准方程一般式作为后继学习内容．根据以上分析，本节课的教学难点确定为教学难点：具体条件下椭圆方程的推导和化简；坐标法的应用．3．教学目标设置（1）通过动态演示平面与圆锥面的截线，学生经历从具体情境中抽象出椭圆、双曲线、抛物线模型的过程，感知圆锥曲线的来由；（2）通过丰富多彩的实例，学生体会圆锥曲线应用的广泛性，数与形的辩证统一的关系和圆锥曲线的内在美、和谐美和统一美，感受学习圆锥曲线的理由；（3）借助展板动手操作和类比圆的定义，学生探究椭圆的定义，能用文字和符号语言描述椭圆的定义，会用Dandelin双球证明截口曲线为椭圆的情形，感悟圆锥曲线学法的因由．（4）通过具体画出的特殊椭圆，学生类比直线与圆的方程，会初步运用坐标法推导具体给定的椭圆方程，能说出圆锥曲线又作为二次曲线的特征，感触圆锥曲线方程的情由．4．教学策略分析根据章起始课应体现统领全局的地位和作用的特点，采用“引言导入—问题诱导—启发讨论—抽象概括—探索归纳—总结规律”的探究式教学方法，紧紧围绕为什么学、学什么以及怎样学等问题展开，通过“引、思、探、练、归”相结合的做法，让学生初识圆锥曲线的相关背景、知识结构、逻辑体系和应用价值，明晰本章的学习内容、学习特点和学习方法．为避免以教师讲解为主的告知式，采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的教学方式，形成师生互动的教学氛围，充分调动学生的积极性，引发学生对圆锥曲线进一步学习的强烈期待，为全章内容的后续学习起到较好的铺垫作用．具体教学策略分成如下五个环节：第一环节：引言启导，追溯缘由．从“嫦娥奔月”的情景和阅读章引言出发，通过问题设疑，引导学生在不断思考中获取圆锥曲线的来龙去脉；第二环节：应用开路，初识性质．从圆锥曲线广泛的应用性出发，通过引言解读和趣味传说，引导学生初识圆锥曲线的几何特征和光学性质；第三环节：定义探究，双球验证．从抽象概括椭圆的定义出发，通过类比圆的定义、动手操作画椭圆和探讨Dandelin双球证法，引导学生归纳和运用椭圆的定义；第四环节：方程推导，方法研究．从特殊椭圆方程的推导出发，通过类比直线与圆的方程的推导方法，引导学生尝试运用坐标法的基本步骤导出具体给定的椭圆方程；第五环节：课堂小结，有效建构．从学生自主归纳小结出发，通过引言提炼的内容概述图和融合三种圆锥曲线的知识结构图，让整章的知识体系和逻辑线索鲜活地展现在学生面前．其教学流程如下：二、课堂实录（一）情景引入引言：随着我国航天技术的发展日新月异，“嫦娥奔月”这一古老而美丽的传说正在逐步变为现实．请同学们观看视频．师：这是嫦娥3号环月运行时变轨的过程．变轨后轨道是什么曲线?生：椭圆．师：对！椭圆这一类曲线正是我们在本章将要研究的主要内容．请同学们翻开课本第33页，阅读本章引言．（板书标题：圆锥曲线与方程）（二）课内建构1．名称由来师：好！请同学们停下来，看大屏幕，同学们看书之后，知道圆锥曲线包括哪几种曲线吗?生：圆，椭圆，双曲线，抛物线．师：对！那么为什么称为圆锥曲线呢?与圆锥有怎样的关系吗?请看动画．我们知道，用平面截一个圆锥，当平面与圆锥的轴垂直时，截口曲线是一个圆．用平面截圆锥面还能得到哪些曲线?（教师以flash动画给学生展示：当平面与轴所成的角 变化（其中截面不过顶点）时，截口曲线的变化情况．）师：早在公元前约200年时，古希腊数学家阿波罗尼奥斯（Apollonius，约前262年～约前190年）对圆锥曲线的性质就做了系统的研究（纯几何方法），并几乎网罗殆尽，使后人难以有新的发现．阿波罗尼奥斯和欧几里得、阿基米德合称为古希腊三大数学家．【评析】借助动画演示介绍名称由来，嵌入数学史话，加深认知印象．2．广泛应用圆锥曲线不仅在数学历史发展的过程中熠熠生辉，而且在科学文化的其他领域闪烁光芒．比如，圆锥曲线为开普勒、牛顿、哈雷等数理天文学家研究行星和彗星轨道提供了数学基础．师：让我们回到本章引言，这一段话的主要内容是什么呢?生：圆锥曲线的应用．师：那么有哪些方面的应用呢? 请看图片，这是太阳系行星的运行轨迹，是什么曲线?生：椭圆．师：对！有些彗星的轨迹是椭圆，比如著名的哈雷彗星，这是鹿林彗星，不为我们熟知一些，轨迹是双曲线．它的轨迹是如此的长，图片中显示的只是其中一部分．师：当人造天体被以不同的速度从地球发射出去的时候，它的轨迹分别是圆，椭圆，抛物线，双曲线．这涉及到物理中所讲的三大宇宙速度．师：这是荆门热电厂的通风塔，同学们见过吗?我们作它的轴截面，取出两侧的轮廓线，是什么曲线?生：双曲线．师：这是橄榄球和探照灯．它们的表面分别是由椭圆和抛物线绕其对称轴旋转一周而来（显示旋转动画）．为什么探照灯要做成这种形状呢，只是为了美观吗?生：应该是为了实用性．师：实际上由于圆锥曲线具有特殊的光学性质，在生产生活中具有广泛的应用．请同学们也来解决一个问题，请看传说：“杰尼西亚的耳朵”：据说，很久以前，意大利西西里岛有一个山洞，叙拉古的暴君杰尼西亚把一些囚犯关在这个山洞里．囚犯们多次密谋逃跑，但每次计划都被杰尼西亚发现．起初囚犯们认为出了内奸，但始终未发现告密者．后来他们察觉到囚禁他们的山洞形状古怪，洞壁把囚犯们的话都反射到狱卒耳朵里去了，于是囚犯们诅咒这个山洞为“杰尼西亚的耳朵”．师：其中的奥秘，同学们解开了吗?生：囚洞的剖面近似于椭圆，犯人聚居的地方恰好在椭圆的一个焦点附近，狱卒在另一个焦点处偷听．师：很好！恭喜你揭开了这个奥秘！这里是声波，不过声波和光波具有相同的传播性质．【评析】用传说创设情境，激发学生兴趣，达到引入课题的目的．师：事实上有很多美丽的建筑也与圆锥曲线有关，比如抛物面形天线，双曲线形建筑．师：喷泉是什么形状?生：抛物线．师：中国国家大剧院．美吗?生：很美．【评析】了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，激发起学生学习圆锥曲线的兴趣．3．定义探究师：既然到处都有圆锥曲线美丽的身影，那么我们就有必要了解和研究它们，如何了解呢?首先就要知道它的定义．那么圆锥曲线的定义是怎样的呢?我们重点看一看椭圆的定义．请大家思考这样的问题：（1）绳子一端固定在平整草地上，另一端拴着一只羊，小羊活动的最大边界是什么曲线? 生：圆．师：圆的定义是什么?生：平面内到两定点的距离等于定长的点的轨迹．（2）绳子两端都固定在草地上（绳长大于两固定点间的距离），绳上套个小环，环上拴一只羊，小羊活动的最大边界是什么曲线?师：我们请每组同学相互配合，来画出小羊活动的最大边界．（事先发给学生每组一块黑板，两个图钉，一根绳子，绳长240cm a =； 每组选一位同学做代表画图，学生画图，老师走动，指导；画完后请三组画的好一些的，2c 的取值不同的三位同学拿着黑板上台展示．）【评析】学生以小组为单位相互配合，动手操作，体验自主、合作的探究理念，印象更加深刻．师：这三个椭圆，给我们最直观的感受，区别在哪儿?生：扁平程度不同．师：你觉得椭圆的扁平程度与什么有关?生：两定点间的距离，绳长．师：很好！我来采访一下，这位同学椭圆画得这么好，有什么诀窍吗?生：在画的过程中要使得绳子绷直．师：使得绳子绷直，也就是说——生：保证绳长为定值．师：非常好！若细绳长度等于12||F F ，画出的图形是什么?不妨在小黑板上试试．小于呢? 生：绳长等于12||F F ，画出的图形是线段12F F ；小于12||F F 时，画不出任何图形．师：同学们回答得很好．那么大家能类比圆的定义，能给出椭圆的定义吗?（学生归纳，互相补充，教师再汇总．）椭圆的定义：平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点12,F F 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 即12{||||2(22)}.M MF MF a a c +=>师：在前面三种用平面截圆锥的过程中，为什么第一种情况得到的截口曲线是椭圆呢?事实上在19世纪，法国数学家Dandelin 就想到一种绝妙的方法证明了这个问题．他是怎么做的呢？让我们一起来分享一下：（Dandelin 双球证法）如图，Dandelin 在截面的两侧分别放置一个球，使它们都与截面相切（切点分别为12,F F ），且与圆锥的侧面相切，两球与圆锥侧面的公共点分别构成圆1O 和圆2O ．设点M 是截口曲线上任一点，Dandelin 过M 点作圆锥的一条母线（辅助线）分别交圆1O 和圆2O 于,P Q 两点．现在我们要证明点M 的轨迹是椭圆，用我们刚刚得到的椭圆的定义，如何来证明呢？根据定义，只需证明M 点到某两个定点的距离之和为常数即可．应该是哪两个定点呢? 是12,F F 吗?（学生探讨，说明12,F F 为何是定点．）师：好！我们只需证明12||||MF MF +为定值即可．下面请同学们以小组为单位，开始讨论．（学生分组讨论，老师走动指导）（几分钟后，相关小组的代表上台讲解）学生讲解图中所示线段长度之间的关系：1||||MF MP =，2||||MF MQ =，并说明理由：因为过球外一点所作球的切线段的长相等．故12||||MF MF +_______||||MP MQ + ________||PQ ．师：线段PQ 的长度是常数吗?生：||PQ 是常数．师：为什么?生：||||||PQ VP VQ =-，即为圆台的母线．师：也就是说，截口曲线上任意一点到两个定点12,F F 的距离的和等于常数（大于12||F F ）．这就说明了截口曲线是椭圆．事实上Dandelin 还利用双球证明了截口曲线是双曲线的情形，利用单球证明了截口曲线是抛物线的情形．这位卓越的数学家实在是具有非凡的天才．【评析】介绍历史上数学家的巧妙方法，并引导学生自主思考，自主讲解，不仅强化了椭圆的定义，更渗透了数学家追求完美的理性精神．4．研究方法师：让我们再一次回到本章引言，如何来研究圆锥曲线呢? 在古希腊时代是如何研究圆锥曲线的?生：几何法．师：后来呢?生：代数的方法，也就是坐标法．师：是谁发明了坐标系?生：笛卡尔．（简要介绍笛卡尔的生平）师：事实上我们以前已经用坐标法研究过直线与圆了，请同学们回顾一下直线方程及方程的形式．生：点斜式，斜截式，两点式，截距式，一般式．师：利用直线方程，我们可以研究与直线有关的位置关系与相应的性质．比如，我们在初中的时候，要证明两直线平行用的什么方法?生：若同位角相等，或内错角相等，则两直线平行．师：建立了平面直角坐标系，得到直线方程后，又是怎么判断两直线平行的呢?生：若两直线斜率存在且斜率相等，截距不等，则两直线平行．师：圆的方程有哪些形式呢?生：标准方程和一般方程．师：对．如果我们将坐标原点选取在圆心，方程又将如何呢?（演示坐标平移动画）生：222x y r +=师：很好！坐标系不同，方程的形式也不同．一般来说，形式越简单，越易于我们研究曲线的性质．师：我们知道，圆的一般方程是一个特殊的二元二次方程，那么，更一般的形式怎样的？（屏幕显示）220.Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++= （※）（探究）（※）式方程能否表示我们今天介绍的圆锥曲线的方程? 在以前我们所学的函数中有没有表示椭圆、双曲线、抛物线的例子? 请同学们相互讨论一下．学生举出反比例函数和二次函数的例子．学生答完后显示动画，先显示双曲线． 师：这是反比例函数1y x =，我们将坐标系旋转一下．（旋转动画）方程还是1y x=吗? 生：不是．师：那么方程是怎样的呢?（停顿片刻）我们后面再研究．师：这是二次函数20y ax bx c a =++>()，现在将坐标系平移，如图，方程变为什么形式? 生：2y ax =．师：对，方程的形式变简单了，对吧? 旋转一下呢?方程是——我们后面将要学习．再旋转一下呢?生：2y ax =-．师：当（※）式方程中的系数满足一定关系的时候，就可以表示不同的圆锥曲线，所以圆锥曲线也称为二次曲线．【评析】由复习旧知引出新知，符合学生的认知规律．师：同学们在先前画椭圆时，绳长为4分米，其中有同学选取的两图钉间的距离为2分米，那么这个椭圆的方程如何求呢? 第一步该做什么?生：建立平面直角坐标系．师：如何建立平面直角坐标系呢?生1：以两定点12,F F 所在直线为x 轴，线段12F F 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．生2：以两定点12,F F 所在直线为x 轴，点1F 为坐标原点，建立平面直角坐标系．师：分两大组分别在两种建系的情形下计算．（将全班学生分两组，分别计算，再比较）（算出后老师在每组各选一个写的好一点的到实物投影展示；然后屏幕显示：建系，设点，列式，化简，方程的形式）师：大家求出的椭圆方程也满足（※）方程；如果将具体数值换成2a ，2c ，椭圆方程的形式将是什么呢? 留给同学们下去研究．（三）课堂小结今天我们学习了圆锥曲线与方程，请同学们回顾一下，本节课我们学习了哪些内容呢?（2-3个学生归纳）师：同学们都归纳的很好！本章我们要研究的重点问题是曲线和方程，它们是我们关注的两个焦点．我们要运用的核心方法是坐标法．（四）课后作业1．已知ABC 中，BC 长为6，周长为16，那么顶点A 在怎样的曲线上运动? 建立适当的平面直角坐标系并推导其方程.2．查找Dandelin 研究截口曲线分别为双曲线、抛物线的相关资料．三、课后反思1．可取之处（1）注重学生的认知规律，教学过程突出“学生为主体，教师为主导”的理念，强调自主、合作式学习，从而提高了课堂的效率；（2）注重问题的设置梯度，力求做到必要性、准确性、层次性、实效性和逻辑性，以问题促活动，以问题促探究，促成知识体系的生成与建构；（3）注重数学的人文价值，通过渗透数学史的相关知识，激发学生的学习兴趣和学习动机，加深学生对数学本质的理解．2．改进之处个别地方的语言欠准确，如“两焦点之间的线段”；有些环节处理可以更开放一些，如推导给定的椭圆方程后，可让学生自我展示；有些设问不免有浅问浅答之嫌，可适度拓展延伸，为后继学习做好铺垫．。

指定课题：圆锥曲线与方程（起始课）计数：刘玉林一、教学设计1．教学内容解析《圆锥曲线与方程》安排在普通高中人教A版选修2-1中．教材通过章引言介绍了圆锥曲线的名称由来、发展历史、实际用途和坐标方法，主要说明圆锥曲线是什么、为什么要学习圆锥曲线和怎样学习圆锥曲线．尤其是着重说明了类比研究直线与圆的坐标法，研究圆锥曲线的基本套路．同时教材又进一步通过【探究与发现】介绍了Dandelin双球证法，说明了为什么二次函数的图象是抛物线；通过【信息技术应用】介绍了用《几何画板》探究椭圆的轨迹；通过【阅读与思考】介绍了圆锥曲线的光学性质及其应用．基于教材对本章内容设置的前后一致逻辑连贯的结构顺序，作为本章起始课，拟定以了解圆锥曲线的发展过程和理解圆锥曲线的心理过程为基本线索，力图为学生构建前后一致逻辑连贯的学习过程，使学生在领悟圆锥曲线名称由来、广泛应用和研究方法的过程中学会思考，并侧重于椭圆定义的探究及初步应用．根据以上分析，本节课的教学重点确定为教学重点：椭圆的定义探究及初步应用（Dandelin双球证法）．2．学生学情诊断首先，学生在《数学2》中学习了研究直线与圆的坐标法，初步具备了运用代数方法研究几何问题的意识，初步感受了数形结合的基本思想，对椭圆、抛物线和双曲线的概念也仅仅停留在直观感性认识的层面上．因此，圆锥曲线作为学生再度理解坐标法和进一步感悟数形结合思想的学习内容，是螺旋上升的过程中掌握解析几何思想方法的一个突破口．其次，本节课授课班级是我校实验班，尽管数学基础总体水平较好，但如何将几何问题代数化仍然是多数学生所面临的难题．为此，在起始课中，为降低难点，只让学生初步尝试给定数据的具体椭圆方程的推导方法，而将引发学生推导椭圆标准方程一般式作为后继学习内容．根据以上分析，本节课的教学难点确定为教学难点：具体条件下椭圆方程的推导和化简；坐标法的应用．3．教学目标设置（1）通过动态演示平面与圆锥面的截线，学生经历从具体情境中抽象出椭圆、双曲线、抛物线模型的过程，感知圆锥曲线的来由；（2）通过丰富多彩的实例，学生体会圆锥曲线应用的广泛性，数与形的辩证统一的关系和圆锥曲线的内在美、和谐美和统一美，感受学习圆锥曲线的理由；（3）借助展板动手操作和类比圆的定义，学生探究椭圆的定义，能用文字和符号语言描述椭圆的定义，会用Dandelin双球证明截口曲线为椭圆的情形，感悟圆锥曲线学法的因由．（4）通过具体画出的特殊椭圆，学生类比直线与圆的方程，会初步运用坐标法推导具体给定的椭圆方程，能说出圆锥曲线又作为二次曲线的特征，感触圆锥曲线方程的情由．4．教学策略分析根据章起始课应体现统领全局的地位和作用的特点，采用“引言导入—问题诱导—启发讨论—抽象概括—探索归纳—总结规律”的探究式教学方法，紧紧围绕为什么学、学什么以及怎样学等问题展开，通过“引、思、探、练、归”相结合的做法，让学生初识圆锥曲线的相关背景、知识结构、逻辑体系和应用价值，明晰本章的学习内容、学习特点和学习方法．为避免以教师讲解为主的告知式，采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的教学方式，形成师生互动的教学氛围，充分调动学生的积极性，引发学生对圆锥曲线进一步学习的强烈期待，为全章内容的后续学习起到较好的铺垫作用．具体教学策略分成如下五个环节：第一环节：引言启导，追溯缘由．从“嫦娥奔月”的情景和阅读章引言出发，通过问题设疑，引导学生在不断思考中获取圆锥曲线的来龙去脉；第二环节：应用开路，初识性质．从圆锥曲线广泛的应用性出发，通过引言解读和趣味传说，引导学生初识圆锥曲线的几何特征和光学性质；第三环节：定义探究，双球验证．从抽象概括椭圆的定义出发，通过类比圆的定义、动手操作画椭圆和探讨Dandelin双球证法，引导学生归纳和运用椭圆的定义；第四环节：方程推导，方法研究．从特殊椭圆方程的推导出发，通过类比直线与圆的方程的推导方法，引导学生尝试运用坐标法的基本步骤导出具体给定的椭圆方程；第五环节：课堂小结，有效建构．从学生自主归纳小结出发，通过引言提炼的内容概述图和融合三种圆锥曲线的知识结构图，让整章的知识体系和逻辑线索鲜活地展现在学生面前．其教学流程如下：二、课堂实录（一）情景引入引言：随着我国航天技术的发展日新月异，“嫦娥奔月”这一古老而美丽的传说正在逐步变为现实．请同学们观看视频．师：这是嫦娥3号环月运行时变轨的过程．变轨后轨道是什么曲线?生：椭圆．师：对！椭圆这一类曲线正是我们在本章将要研究的主要内容．请同学们翻开课本第33页，阅读本章引言．（板书标题：圆锥曲线与方程）（二）课内建构1．名称由来师：好！请同学们停下来，看大屏幕，同学们看书之后，知道圆锥曲线包括哪几种曲线吗?生：圆，椭圆，双曲线，抛物线．师：对！那么为什么称为圆锥曲线呢?与圆锥有怎样的关系吗?请看动画．我们知道，用平面截一个圆锥，当平面与圆锥的轴垂直时，截口曲线是一个圆．用平面截圆锥面还能得到哪些曲线?（教师以flash动画给学生展示：当平面与轴所成的角 变化（其中截面不过顶点）时，截口曲线的变化情况．）师：早在公元前约200年时，古希腊数学家阿波罗尼奥斯（Apollonius，约前262年～约前190年）对圆锥曲线的性质就做了系统的研究（纯几何方法），并几乎网罗殆尽，使后人难以有新的发现．阿波罗尼奥斯和欧几里得、阿基米德合称为古希腊三大数学家．【评析】借助动画演示介绍名称由来，嵌入数学史话，加深认知印象．2．广泛应用圆锥曲线不仅在数学历史发展的过程中熠熠生辉，而且在科学文化的其他领域闪烁光芒．比如，圆锥曲线为开普勒、牛顿、哈雷等数理天文学家研究行星和彗星轨道提供了数学基础．师：让我们回到本章引言，这一段话的主要内容是什么呢?生：圆锥曲线的应用．师：那么有哪些方面的应用呢? 请看图片，这是太阳系行星的运行轨迹，是什么曲线?生：椭圆．师：对！有些彗星的轨迹是椭圆，比如著名的哈雷彗星，这是鹿林彗星，不为我们熟知一些，轨迹是双曲线．它的轨迹是如此的长，图片中显示的只是其中一部分．师：当人造天体被以不同的速度从地球发射出去的时候，它的轨迹分别是圆，椭圆，抛物线，双曲线．这涉及到物理中所讲的三大宇宙速度．师：这是荆门热电厂的通风塔，同学们见过吗?我们作它的轴截面，取出两侧的轮廓线，是什么曲线?生：双曲线．师：这是橄榄球和探照灯．它们的表面分别是由椭圆和抛物线绕其对称轴旋转一周而来（显示旋转动画）．为什么探照灯要做成这种形状呢，只是为了美观吗?生：应该是为了实用性．师：实际上由于圆锥曲线具有特殊的光学性质，在生产生活中具有广泛的应用．请同学们也来解决一个问题，请看传说：“杰尼西亚的耳朵”：据说，很久以前，意大利西西里岛有一个山洞，叙拉古的暴君杰尼西亚把一些囚犯关在这个山洞里．囚犯们多次密谋逃跑，但每次计划都被杰尼西亚发现．起初囚犯们认为出了内奸，但始终未发现告密者．后来他们察觉到囚禁他们的山洞形状古怪，洞壁把囚犯们的话都反射到狱卒耳朵里去了，于是囚犯们诅咒这个山洞为“杰尼西亚的耳朵”．师：其中的奥秘，同学们解开了吗?生：囚洞的剖面近似于椭圆，犯人聚居的地方恰好在椭圆的一个焦点附近，狱卒在另一个焦点处偷听．师：很好！恭喜你揭开了这个奥秘！这里是声波，不过声波和光波具有相同的传播性质．【评析】用传说创设情境，激发学生兴趣，达到引入课题的目的．师：事实上有很多美丽的建筑也与圆锥曲线有关，比如抛物面形天线，双曲线形建筑．师：喷泉是什么形状?生：抛物线．师：中国国家大剧院．美吗?生：很美．【评析】了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，激发起学生学习圆锥曲线的兴趣．3．定义探究师：既然到处都有圆锥曲线美丽的身影，那么我们就有必要了解和研究它们，如何了解呢?首先就要知道它的定义．那么圆锥曲线的定义是怎样的呢?我们重点看一看椭圆的定义．请大家思考这样的问题：（1）绳子一端固定在平整草地上，另一端拴着一只羊，小羊活动的最大边界是什么曲线? 生：圆．师：圆的定义是什么?生：平面内到两定点的距离等于定长的点的轨迹．（2）绳子两端都固定在草地上（绳长大于两固定点间的距离），绳上套个小环，环上拴一只羊，小羊活动的最大边界是什么曲线?师：我们请每组同学相互配合，来画出小羊活动的最大边界．（事先发给学生每组一块黑板，两个图钉，一根绳子，绳长240cm a ； 每组选一位同学做代表画图，学生画图，老师走动，指导；画完后请三组画的好一些的，2c 的取值不同的三位同学拿着黑板上台展示．）【评析】学生以小组为单位相互配合，动手操作，体验自主、合作的探究理念，印象更加深刻．师：这三个椭圆，给我们最直观的感受，区别在哪儿? 生：扁平程度不同．师：你觉得椭圆的扁平程度与什么有关? 生：两定点间的距离，绳长．师：很好！我来采访一下，这位同学椭圆画得这么好，有什么诀窍吗? 生：在画的过程中要使得绳子绷直． 师：使得绳子绷直，也就是说—— 生：保证绳长为定值．师：非常好！若细绳长度等于12||F F ，画出的图形是什么?不妨在小黑板上试试．小于呢? 生：绳长等于12||F F ，画出的图形是线段12F F ；小于12||F F 时，画不出任何图形． 师：同学们回答得很好．那么大家能类比圆的定义，能给出椭圆的定义吗? （学生归纳，互相补充，教师再汇总．）椭圆的定义：平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点12,F F 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．即12{||||2(22)}.M MF MF a a c +=>师：在前面三种用平面截圆锥的过程中，为什么第一种情况得到的截口曲线是椭圆呢? 事实上在19世纪，法国数学家Dandelin 就想到一种绝妙的方法证明了这个问题．他是怎么做的呢？让我们一起来分享一下：（Dandelin 双球证法）如图，Dandelin 在截面的两侧分别放置一个球，使它们都与截面相切（切点分别为12,F F ），且与圆锥的侧面相切，两球与圆锥侧面的公共点分别构成圆1O 和圆2O ．设点M 是截口曲线上任一点，Dandelin 过M 点作圆锥的一条母线（辅助线）分别交圆1O 和圆2O 于,P Q 两点．现在我们要证明点M 的轨迹是椭圆，用我们刚刚得到的椭圆的定义，如何来证明呢？根据定义，只需证明M 点到某两个定点的距离之和为常数即可．应该是哪两个定点呢? 是12,F F 吗?（学生探讨，说明12,F F 为何是定点．）师：好！我们只需证明12||||MF MF +为定值即可．下面请同学们以小组为单位，开始讨论．（学生分组讨论，老师走动指导）（几分钟后，相关小组的代表上台讲解）学生讲解图中所示线段长度之间的关系：1||||MF MP =，2||||MF MQ =，并说明理由：因为过球外一点所作球的切线段的长相等．故12||||MF MF +_______||||MP MQ + ________||PQ ．师：线段PQ 的长度是常数吗? 生：||PQ 是常数． 师：为什么?生：||||||PQ VP VQ =-，即为圆台的母线．师：也就是说，截口曲线上任意一点到两个定点12,F F 的距离的和等于常数（大于12||F F ）．这就说明了截口曲线是椭圆．事实上Dandelin 还利用双球证明了截口曲线是双曲线的情形，利用单球证明了截口曲线是抛物线的情形．这位卓越的数学家实在是具有非凡的天才．【评析】介绍历史上数学家的巧妙方法，并引导学生自主思考，自主讲解，不仅强化了椭圆的定义，更渗透了数学家追求完美的理性精神．4．研究方法师：让我们再一次回到本章引言，如何来研究圆锥曲线呢? 在古希腊时代是如何研究圆锥曲线的?生：几何法． 师：后来呢?生：代数的方法，也就是坐标法． 师：是谁发明了坐标系? 生：笛卡尔．（简要介绍笛卡尔的生平）师：事实上我们以前已经用坐标法研究过直线与圆了，请同学们回顾一下直线方程及方程的形式．生：点斜式，斜截式，两点式，截距式，一般式．师：利用直线方程，我们可以研究与直线有关的位置关系与相应的性质．比如，我们在初中的时候，要证明两直线平行用的什么方法?生：若同位角相等，或内错角相等，则两直线平行．师：建立了平面直角坐标系，得到直线方程后，又是怎么判断两直线平行的呢? 生：若两直线斜率存在且斜率相等，截距不等，则两直线平行． 师：圆的方程有哪些形式呢? 生：标准方程和一般方程．师：对．如果我们将坐标原点选取在圆心，方程又将如何呢? （演示坐标平移动画）生：222x y r +=师：很好！坐标系不同，方程的形式也不同．一般来说，形式越简单，越易于我们研究曲线的性质．师：我们知道，圆的一般方程是一个特殊的二元二次方程，那么，更一般的形式怎样的？（屏幕显示）220.Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++= （※）（探究）（※）式方程能否表示我们今天介绍的圆锥曲线的方程? 在以前我们所学的函数中有没有表示椭圆、双曲线、抛物线的例子? 请同学们相互讨论一下．学生举出反比例函数和二次函数的例子．学生答完后显示动画，先显示双曲线． 师：这是反比例函数1y x =，我们将坐标系旋转一下．（旋转动画）方程还是1y x=吗? 生：不是．师：那么方程是怎样的呢?（停顿片刻）我们后面再研究．师：这是二次函数20y ax bx c a =++>()，现在将坐标系平移，如图，方程变为什么形式? 生：2y ax =．师：对，方程的形式变简单了，对吧? 旋转一下呢?方程是——我们后面将要学习．再旋转一下呢?生：2y ax =-．师：当（※）式方程中的系数满足一定关系的时候，就可以表示不同的圆锥曲线，所以圆锥曲线也称为二次曲线．【评析】由复习旧知引出新知，符合学生的认知规律．师：同学们在先前画椭圆时，绳长为4分米，其中有同学选取的两图钉间的距离为2分米，那么这个椭圆的方程如何求呢? 第一步该做什么?生：建立平面直角坐标系． 师：如何建立平面直角坐标系呢?生1：以两定点12,F F 所在直线为x 轴，线段12F F 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系． 生2：以两定点12,F F 所在直线为x 轴，点1F 为坐标原点，建立平面直角坐标系． 师：分两大组分别在两种建系的情形下计算． （将全班学生分两组，分别计算，再比较）（算出后老师在每组各选一个写的好一点的到实物投影展示；然后屏幕显示：建系，设点，列式，化简，方程的形式）师：大家求出的椭圆方程也满足（※）方程；如果将具体数值换成2a ，2c ，椭圆方程的形式将是什么呢? 留给同学们下去研究．（三）课堂小结今天我们学习了圆锥曲线与方程，请同学们回顾一下，本节课我们学习了哪些内容呢?（2-3个学生归纳）师：同学们都归纳的很好！本章我们要研究的重点问题是曲线和方程，它们是我们关注的两个焦点．我们要运用的核心方法是坐标法．（四）课后作业1．已知ABC 中，BC 长为6，周长为16，那么顶点A 在怎样的曲线上运动? 建立适当的平面直角坐标系并推导其方程.2．查找Dandelin 研究截口曲线分别为双曲线、抛物线的相关资料．三、课后反思1．可取之处（1）注重学生的认知规律，教学过程突出“学生为主体，教师为主导”的理念，强调自主、合作式学习，从而提高了课堂的效率；（2）注重问题的设置梯度，力求做到必要性、准确性、层次性、实效性和逻辑性，以问题促活动，以问题促探究，促成知识体系的生成与建构；（3）注重数学的人文价值，通过渗透数学史的相关知识，激发学生的学习兴趣和学习动机，加深学生对数学本质的理解．2．改进之处个别地方的语言欠准确，如“两焦点之间的线段”；有些环节处理可以更开放一些，如推导给定的椭圆方程后，可让学生自我展示；有些设问不免有浅问浅答之嫌，可适度拓展延伸，为后继学习做好铺垫．。

圆锥曲线教案圆锥曲线教案一、教学目标：1. 理解什么是圆锥曲线，学会在笛卡尔坐标系中表示圆锥曲线。

2. 学会求解圆锥曲线的焦点、直径、离心率等相关性质。

3. 掌握对圆锥曲线进行方程变换、平移、旋转等操作的方法。

二、教学准备：1. 教师准备黑板、彩色粉笔等教学用具。

2. 学生准备笔记本、书籍等学习用具。

三、教学过程：1. 导入新知识：通过展示一张圆锥曲线的图片，询问学生对这个图形有什么了解，引导学生思考圆锥曲线的定义和性质。

2. 理论讲解：(1) 定义圆锥曲线：对圆锥在一个经过顶点的剖面研究所得到的曲线称为圆锥曲线。

(2) 表示方法：在笛卡尔坐标系中，圆锥曲线可由方程表示，例如椭圆的方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。

(3) 常见圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。

3. 实例演示：以椭圆为例，给出一个椭圆的标准方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，引导学生求解椭圆的焦点、直径、离心率等相关性质。

4. 计算练习：给出多个圆锥曲线的方程，让学生进行计算练习，提高其运算能力。

5. 方程变换：介绍如何对圆锥曲线进行方程变换，包括水平方向和垂直方向的方程变换。

6. 平移与旋转：讲解如何对圆锥曲线进行平移和旋转，以及平移和旋转对方程的影响。

7. 总结归纳：对学过的内容进行总结归纳，梳理知识框架。

8. 解答疑问：解答学生对圆锥曲线相关问题的疑惑。

9. 课堂练习：布置一些课堂练习题，让学生巩固所学知识。

四、教学延伸：1. 引导学生进行实际应用：让学生寻找生活中的圆锥曲线，并分析其性质和特点。

2. 继续深入学习：对于学有余力的学生，可以探究更高级的圆锥曲线知识，如圆锥曲线的参数方程、极坐标方程等。

五、教学评价：1. 课堂练习的成绩。

2. 学生对于圆锥曲线相关问题的提问及解答情况。

3. 学生对于课堂知识的掌握和应用情况。

六、课后作业：1. 完成课堂练习题。

《圆锥曲线》教学设计《《圆锥曲线》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！一、学习目标与任务1、学习目标描述知识目标(A)理解和掌握圆锥曲线的第一定义和第二定义,并能应用第一定义和第二定义来解题。

(B)了解圆锥曲线与现实生活中的联系,并能初步利用圆锥曲线的知识进行知识延伸和知识创新。

能力目标(A)通过学生的操作和协作探讨,培养学生的实践能力和分析问题、解决问题的能力。

(B)通过知识的再现培养学生的创新能力和创新意识。

(C)专题网站中提供各层次的例题和习题,解决各层次学生的学习过程中的各种的需要,从而培养学生应用知识的能力。

德育目标让学生体会知识产生的全过程,培养学生运动变化的辩证唯物主义思想。

2、学习内容与学习任务说明本节课的内容是圆锥曲线的第一定义和圆锥曲线的统一定义,以及利用圆锥曲线的定义来解决轨迹问题和最值问题。

学习重点:圆锥曲线的第一定义和统一定义。

学习难点:圆锥曲线第一定义和统一定义的应用。

明确本课的重点和难点,以学习任务驱动为方式,以圆锥曲线定义和定义应用为中心,主动操作实验、大胆分析问题和解决问题。

抓住本节课的重点和难点,采取的基于学科专题网站下的三者结合的教学模式,突出重点、突破难点。

充分利用《圆锥曲线》专题网站内的内容,在着重学习内容的基础上,内延外拓,培养学生的创新精神和克服困难的信心。

二、学习者特征分析(说明学生的学习特点、学习习惯、学习交往特点等)l本课的学习对象为高二下学期学生,他们经过近两年的高中学习,已经有一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力,基本的计算机操作较为熟练。

高二年下学期学生由于高考的压力,他们保持着传统教学的学习习惯,在l课堂上的主体作用的体现不是太充分,但是如果他们还是乐于尝试、勇于探索的。

高二年的学生在学习交往上“个别化学习”和“协作讨论学习”并存,也就是说学生是具有一定的群体性小组交流能力与协同讨论学习能力的,还是能完成上课时教师布置的协作学习任务的。

4. 待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求. 例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲曲线方程.分析：因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方ax2-4b2x+a2b2=0•••抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b 2x+a2b2=0 应有等根.•••△ =1664-4Q4b2=0,即卩a2=2b.(以下由学生完成)由弦长公式得：即a2b2=4b2-a 2.(三)巩固练习用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果•练习题用一小黑板给出.1 .△ ABC-边的两个端点是B(0 , 6)和C(0 , -6)，另两边斜率的2. 点P与一定点F(2 , 0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1 : 2,求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？3. 求抛物线y2=2px(p >0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程. 答案：义法)由中点坐标公式得:(四)小结求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍.五、布置作业1. 两定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.2. 动点P到点F1(1 , 0)的距离比它到F2(3 , 0)的距离少2,求P点的轨迹.3. 已知圆x2+y2=4上有定点A(2 , 0)，过定点A作弦AB,并延长到点P,使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程.作业答案：1. 以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=4 2. v |PF2|-|PF|=2 ，且|F1F2| • P点只能在x轴上且x V 1，轨迹是一条射线六、板书设计教学反思：4斜率之积为4,9程.分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c .引导学生用其他方法来解.另解：设椭圆的标准方程为2 25 31 a b 0，因点一，一在椭圆上,a b2 225 9 则 4a 2 4b 22 2a b 4；10<6例2如图，在圆x 24上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段 PD , D 为垂足•当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么?分析： 点P 在圆x 2 y 2 4上运动，由点 P 移动引起点 M 的运动，则称点 M 是点P 的伴随点，因点M 为线段 PD 的中点，则点 M 的坐标可由点P 来表示，从而能求点 M 的轨迹方程.引申： 设定点2xA 6,2 , P 是椭圆x252y1上动点，求线段 AP 中点M 的轨迹方程.9解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设M x, y , P x 1,y 1 :②（点与伴随点的关系）： M为线段AP 的中点,X i y i2x 6;③（代入已知轨迹求出伴随轨迹）2y 22..X 1 '252y11 , •••点M9x的轨迹方程为一25④伴随轨迹表示的范围.例3如图，设A , B 的坐标分别为 5,0 , 5,0 .直线 AM , BM 相交于点M ，且它们的分析：若设点x, y ,则直线AM,BM 的斜率就可以用含 x, y 的式子表示，由于直线AM ,BM 的斜率之积是4 ，因此，可以求出9x, y 之间的关系式，即得到点M 的轨迹方程.解法剖析：设点M x, y ,则 k AM-^― x 5 , k BMx 5 ；x 5x 5代入点M 的集合有4-，化简即可得点 M 的轨迹方程. 9引申：如图，设△ ABC 的两个顶点 A a,0 , B a,0，顶点C 在移动，且k AC k BC k , 且k 0,试求动点C 的轨迹方程.引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当 色也是从椭圆的长轴T 圆的直径T 椭圆的短轴.练习：第45页1、2、3、4、 作业：第53页2、3、k 值在变化时，线段 AB 的角求点M 的轨迹方程.分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能 力.实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对 椭圆的标准方程的讨论， 研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养.①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先 定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过 题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 1. 2椭圆的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质. 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、 从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )椭圆的简单几何性质2x一2 0，进一步得：a xax 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究椭圆的标准 y 轴为对称轴，原点为对称中心；即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆 锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较 短的叫做短轴；c④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比e 叫做椭圆的离心率(0 e 1 ),a当 e1 时，c a ,,b0.； 椭圆图形越扁(iii )例题讲解与引申、扩展400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出a,b,c •弓I 导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、 焦点和顶点的定义即可求相关量.确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探 究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1)(3) (4)大小和位置.要巳8的思考冋①范围：由椭圆的标准方程可得,y 2 b 2b y b ，即椭圆位于直线x② 对称性：由以 x 代x ，以 方程发生变化没有，从而得到椭圆是以③ 顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，y 代y 和 x 轴和 a ，同理可得:b 所围成的矩当 e 0 时，c 0,b a 椭圆越接近于圆例4求椭圆I6x 225y 2/Tn扩展：已知椭圆血5y2 5m m 0的离心率为e—，求m的值.解法剖析：依题意，m0,m 5，但椭圆的焦点位置没有确定, 应分类讨论: ①当焦点在x轴上，即0 m 5时，有a品 b 丽,c 75 ~m，二_—:得m 3；②当焦点在y轴上，即m例5如图,応b 岳c J m 5 , ••• J：5V m一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对对称的截口5时，有a105253BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上, 由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC F1F2，RB 2.8cm，F1F24.5cm .建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程.解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为1，算出a,b,c的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于a,b,c的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，“神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面200km，远地点B距地面350km，已知地球的半径R 6371km •建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程.例6如图，设M x, y与定点F 4,0的距离和它到直线I : 兰的距离的比是常数4点M的轨迹方程./ 2 2 「亠「■25匚亠2MF(x 4 y ,到直线I:x 的距离d x44分析：若设点M x, y，则则容易得点M的轨迹方程.引申：（用《几何画板》探究）若点M x, y与定点F c,0的距离和它到定直线l :c距离比是常数e aac 0 ,则点M 的轨迹方程是椭圆.其中定点F c,0是焦点,2x —相应于F的准线;c由椭圆的对称性, 另一焦点F c,0 ,相应于F的准线l :练习：第52页1、作业：第53页4、教学反思：2、3、4、5、6、75ac4，求52a的c定直线l :类比椭圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、的几何意义.2 类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程召b (iii )例题讲解、引申与补充例1已知双曲线两个焦点分别为F15,0 , F25,0，双曲线上一点绝对值等于6，求双曲线的标准方程.分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c的关系有明显P到R , F2距离差的2x2a1 a 0,b 0 . a,b, c.补充：求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：① 与O C :2 22 y 2内切，且过点 A 2,0 :②与O C 1 : x 2 y 12 21 和O C2 : x y 4都外切；③与O C i :2 y 9外切，且与O C 2: x 223 y 1内切.解题剖析 半径为r :这表面上看是圆与圆相切的问题， 实际上是双曲线的定义问题•具体解: 设动圆•/ O C 与O M 内切，点A 在O C 外,• MC| r /2 MA,因此有MA 2x 2 •••点 MC 2，•点M 的轨迹是以C 、 A 为焦点的双曲线的左支，即M 的轨迹方程是MC i •••O M 与O c 1、O C 2 均外切，•••|MC 1| r 1, MC 2 r 2,因此有的轨迹是以C 2、C i 为焦点的双曲线的上支，• M 的轨迹方程是4y••• e M MC 2MC 24x 2 3MC i 1 ,与eG 外切，且e M 与e C 2内切，•- MC j4，•点M 的轨迹是以C i 、C 2为焦点的双曲线的右支，• MC 2r 1，因此M 的轨迹方程是例2已知A , B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚2s ，且声速为340m / s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及 A , B 两地听到爆炸声的时间差，即可知A , B 两地与爆炸点的距离差为定值•由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程. 扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听 到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚 4s .已知各观察点到该中心的 距离都是1020m •试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为 340m/s ;相关点均在 同一平面内）• 解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚 4s ，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上. 如图，以接报中心为原点 0，正东、正北方向分别为 x 轴、y 轴方向，建立直角坐标系，设 B 、C 分别是西、东、北观察点，则 A 1020,0 , B 1020,0 , C 0,1020 • 设P x,y 为巨响发生点，•/ A 、C 同时听到巨响，•OP 所在直线为y x ……①，又因B 点比A 点晚4s 听到巨响声，• PB PA 4 340 1360 m •由双曲线定义知，a 680 ,2 2c 1020 ,••• b 340^5 ,••• P点在双曲线方程为X 2y2 1 x 680……②.联立680 5 340①、②求出P点坐标为P 680 ;5,680 ,'5 •即巨响在正西北方向680、、10m处.探究：如图，设A，B的坐标分别为5,0，5,0 •直线AM，BM相交于点M，且它们4的斜率之积为，求点M的轨迹方程，并与§ 2. 1.例3比较，有什么发现？9探究方法：若设点M x,y，则直线AM , BM的斜率就可以用含x, y的式子表示，由于直线AM , BM的斜率之积是4，因此，可以求出x, y之间的关系式，即得到点M的轨迹方程.9练习：第60页1、2、3、作业：第66页1、2、2 . 3. 2双曲线的简单几何性质♦知识与技能目标了解平面解析几何研究的主要问题：(1)根据条件，求出表示曲线的方程；(2 )通过方程，研究曲线的性质.理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养.①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过F56的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 2. 2双曲线的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质.提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置.要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )双曲线的简单几何性质2 2①范围：由双曲线的标准方程得， 1 0，进一步得：x a ，或xa .这说b a明双曲线在不等式 x a ，或x a 所表示的区域；② 对称性：由以 x 代x ，以y 代y 和 x 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③ 顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线 的顶点.因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴， 焦点不在的对称轴叫做虚轴；c⑤ 离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 e —叫做双曲线的离心率(e 1).a④渐近线：直线ybx 2x 叫做双曲线一 aa 2yb 2 1的渐近线;y 轴上的渐近线是扩展：求与双曲线x 2 162y —1共渐近线，2. 3, 3点的双曲线的标准方及离心率.解法剖析 :双曲线2x16291的渐近4x .①焦点在x 轴上时，设所求的双曲2线为X 216k 2 2 y 9k 2A 2；3, 3点在双曲线上，••• k 21，无解;4②焦点在y 轴上时，设所求的双曲线2x 16k 229：2 1，―A2 3, 3点在双曲线上，• k21，因此，所求双曲线42的标准方程为y9 41，离心率e5.这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上, 3可直接设所求的双曲线的方程为2x162y一 mm R,m 0 .9(iii )例题讲解与引申、扩展例3求双曲线9y2 16x2 144的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程.分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出a,b,c.引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在例4双曲线型冷却塔的外形，半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m .试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程(各长度量精确到1m).是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图(1),它的最小解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为2 2七七 1，算出a,b,c的值;a b此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于 精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，在 P 处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路 PA 或PB 送到呈矩形的足球场 ABCD 中去铺垫，已知|Ap 150m ，|Bp 100m，| BC| 60m ， APB 60o •能否在足球场上画一条 “等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由.解题剖析：设M 为“等距离”线上任意一点，则|PA |AM点M 的轨迹方程.♦情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教 学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生 创新.必须让学生认同和掌握：双曲线的简单几何性质，能由双曲线的标准方程能直接得到双曲线 的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系 的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取 近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要 求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并 掌握利用信息技术探究点的轨迹问题， 培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1) 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究 ，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.(2)思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能MF I 1 ^2 2 .16 ,16 J X 5y ,到直线l:x 一的距离dx — 15 5分析：若设点M x, y ，则a,b,c 的近似值，原则上在没有注意PB BM ,即BM | |AM | |Ap |Bp 50 （定值），“等距离”线是以A 、B 为焦点的双曲线的左支上的2部分，容易“等距离”线方程为x y1 35 x 625 375025,0 y 60 .理由略.例5如图，设M x, y 与定点F 5,0的距离和它到直线 15的距离的比是常数5，求4则容易得点M 的轨迹方程. 引申：《几何画板》探究点的轨迹：双曲线x, y 与定点 F c,0 的距离和它到定直线2a——的距离 c比是常数0，则点M 的轨迹方程是双曲线. 其中定点F c,02是焦点，定直线l : x —相c应于F 的准线; 另一焦点 F c,0，相应于F 的准线I : xx2力.(3) 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.(4)创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.练习：第66页1、2、3、4、5 作业：第3、4、6补充：3.课题:双曲线第二定义教学目标：1•知识目标：掌握双曲线第二定义与准线的概念，并会简单的应用。

圆锥曲线高中数学讲解教案
一、教学目标：
1. 了解圆锥曲线的定义和基本性质；
2. 掌握圆锥曲线的标准方程和性质；
3. 能够根据给定的条件求解圆锥曲线的方程；
4. 能够利用圆锥曲线解决实际问题。

二、教学重点：
1. 圆锥曲线的定义；
2. 圆锥曲线的标准方程；
3. 圆锥曲线的性质。

三、教学难点：
1. 圆锥曲线的方程求解；
2. 圆锥曲线的性质证明。

四、教学过程：
1. 圆锥曲线的定义和基本概念（15分钟）
- 圆锥曲线的定义；
- 圆锥曲线的类别；
- 圆锥曲线的几何性质。

2. 圆锥曲线的标准方程和性质（20分钟）
- 圆的标准方程和性质；
- 椭圆的标准方程和性质；
- 双曲线的标准方程和性质；
- 抛物线的标准方程和性质。

3. 圆锥曲线的方程求解（30分钟）
- 根据给定的条件求解圆锥曲线的方程；
- 利用圆锥曲线求解实际问题。

4. 圆锥曲线的性质证明（15分钟）
- 圆锥曲线的对称性证明；
- 圆锥曲线的焦点、准线和直径关系证明。

五、教学总结：
通过本节课的学习，我们对圆锥曲线的定义、标准方程和性质有了更深入的了解，掌握了圆锥曲线的求解方法和应用能力。

希望同学们能够认真复习，做好练习，提高对圆锥曲线的理解和应用能力。

下节课将继续深入学习圆锥曲线的相关内容，敬请期待。

§2.1圆锥曲线教学目标1.通过用平面截圆锥面,经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义，并能用数学符号或自然语言的描述。

2．通过用平面截圆锥面,感受、了解双曲线的定义。

能用数学符号或自然语言描述双曲线的定义。

教学重点、难点重点：椭圆、抛物线、双曲线的定义。

难点：用数学符号或自然语言描述三种曲线的定义教具多媒体课件、实物投影仪内容分析本节课教材利用平面对圆锥面的不同截法，产生三种不同的圆锥曲线，得出椭圆、双曲线和抛物线的概念。

这样既使学生经历概念的形成过程，更有利于从整体上认识三种圆锥曲线的内在关系。

根据问题的难易度及学生的认知水平，要求学生掌握椭圆、抛物线的定义，对双曲线只要求了解其定义。

这是建立在学生的最近发展区上的形式化的过程，有利于培养学生的数学化能力，提高数学素养。

学法指导教学中向学生展示平面截圆锥面得到椭圆的过程，使学生加深对圆锥曲线的理解。

对用Dandelin双球发现椭圆的特性（由此形成椭圆的定义），可直接给出放进双球后的图形，再引导学生发现“到两切点距离之和为定值”的特性，这一内容让学生感知、认同即可，不必对探究、推理过程作过多研究。

教学过程设计1．问题情境我们知道，用一个平面截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线，当平面与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆，试改变平面的位置，观察截得的图形的变化情况。

提出问题：用平面去截圆锥面能得到哪些曲线？2．学生活动学生讨论上述问题，通过观察,可以得到以下三种不同的曲线：对于Dandelin 双球理论只要让学生感知、认同即可。

3．建构数学（1）圆锥曲线的定义椭圆：平面内到两定点1F ，2F 的距离和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点1F ，2F 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

对于第二种情形，平面与圆锥曲线的截线由两支曲线构成。

（类比椭圆的定义） 双曲线：平面内到两定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线，两个定点1F ，2F 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。

高中数学圆锥曲线教案
一、教学目标
1.了解圆锥曲线的定义和基本性质。

2.能够掌握圆锥曲线的标准方程及其图像特点。

3.能够解决与圆锥曲线相关的问题。

二、教学重点和难点
重点：掌握圆锥曲线的标准方程及其图像特点。

难点：理解圆锥曲线的定义及性质。

三、教学内容
1.圆锥曲线的定义和基本性质。

2.圆锥曲线的标准方程及其图像特点。

3.圆锥曲线的相关问题解决方法。

四、教学过程
1.导入新知识：通过引入一个问题或实际应用场景引起学生的兴趣。

2.讲解圆锥曲线的定义和基本性质，包括椭圆、双曲线和抛物线。

3.介绍圆锥曲线的标准方程及其图像特点。

4.通过实例分析，让学生熟悉解决与圆锥曲线相关的问题的方法。

5.组织学生进行练习和讨论，巩固所学知识。

6.总结本节课内容，提出问题进行思考，激发学生的学习兴趣。

五、课堂作业
1.完成练习题。

2.思考如何将圆锥曲线应用到实际生活中。

六、教学反思
本节课主要对圆锥曲线的定义和基本性质进行了讲解，并通过实例让学生掌握了圆锥曲线的标准方程及其图像特点。

同时也引导学生思考如何将所学知识应用到实际生活中。

在教学过程中需要注意引导学生正确理解圆锥曲线的概念，帮助他们建立深刻的认识。

第二章《圆锥曲线》教学案教学目标：1. 椭圆的定义、标准方程、焦点、焦距，椭圆的几何性质，椭圆的画法；双曲线的定义、标准方程、焦点、焦距，双曲线的几何性质，双曲线的画法，等轴双曲线；抛物线的定义、标准方程、焦点、焦距，抛物线的几何性质，抛物线的画法，2. 结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育教学重点：椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程和几何性质；坐标法的应用.教学难点：椭圆、双曲线的标准方程的推导过程；利用定义、方程和几何性质求有关焦点、焦距、准线等.教学过程：一、课前预习二、复习引入：椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间的距离)的动点的轨迹2．椭圆的标准方程：1by a x 2222=+，12222=+b x a y (0>>b a )3．椭圆的性质：由椭圆方程12222=+by a x (0>>b a )(1)范围: a x a ≤≤-，b y b ≤≤-，椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中． (2)对称性:图象关于y 轴对称．图象关于x 轴对称．图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距(3)顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B -加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴．长分别为b a 2,2 b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比a c e =⇒2)(1abe -=10<<e 椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例4．双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数(小于21F F )的动点的轨迹叫双曲线 即a MF MF 221=- 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔(→两条平行线)两定点间距离较短(大于定差)，则所画出的双曲线的开口较狭窄(→两条射线)双曲线的形状与两定点间距离、定差有关5.双曲线的标准方程及特点：（1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点在y 轴上两种：焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：);0b ,0a (1b y a x 2222>>=- 焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：).0b ,0a (1bx a y 2222>>=- 6.a 、b 、c 有关系式222b a c +=成立，且a>0,b>0,c>0.其中a 与b 的大小关系：可以为a =b ，a<b, a>b.7焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2x 、2y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上8．双曲线的几何性质： (1)范围、对称性由标准方程12222=-by a x ，从横的方向来看，直线x =-a ，x =a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心(2)顶点顶点：()0,),0,(21a A a A -，特殊点：()b B b B -,0),,0(21实轴：21A A 长为2a ， a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异 (3)渐近线过双曲线12222=-by a x 的渐近线x a b y ±=(0=±b y a x )(4)离心率双曲线的焦距与实轴长的比aca c e ==22，叫做双曲线的离心率范围：1>e 双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e ac a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔9．等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：(1)渐近线方程为：x y ±=；(2)渐近线互相垂直；(3)离心率2=e10．共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y ±=)0(>±=k x kakb，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222by a x 11．共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三量a ，b ，c 中a ，b 不同(互换)c 相同共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-112.双曲线的焦点弦：定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦 焦点弦公式：当双曲线焦点在x 轴上时，过左焦点与左支交于两点时：|AB|=-2a-e （x1+x2） 过右焦点与右支交于两点时：|AB|=-2a+e （x1+x2） 当双曲线焦点在y 轴上时，过左焦点与左支交于两点时：|AB|=-2a-e （y1+y2） 过右焦点与右支交于两点时：|AB|=-2a+e （y1+y2） 13．双曲线的通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 ab d 22=14 抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线15．抛物线的准线方程： (1))0(22>=p px y ， 焦点:)0,2(p ，准线l ：2p x -= (2))0(22>=p py x ， 焦点:)2,0(p ，准线l ：2py -= (3))0(22>-=p px y ， 焦点:)0,2(p -，准线l ：2p x =(4) )0(22>-=p py x ，焦点:)2,0(p -，准线l ：2p y = 相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242p p = 不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px 2±、左端为2y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为2x (2)开口方向在X 轴(或Y 轴)正向时，焦点在X 轴(或Y 轴)的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴(或Y 轴)负向时，焦点在X 轴(或Y 轴)负半轴时，方程右端取负号16．抛物线的几何性质 (1)范围因为p ＞0，由方程()022>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y )满足不等式x ≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y |也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性以－y 代y ，方程()022>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．(3)顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中，当y =0时，x =0，因此抛物线()022>=p px y 的顶点就是坐标原点．(4)离心率抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e =1．17抛物线的焦半径公式：抛物线)0(22>=p px y ，0022x pp x PF +=+= 抛物线)0(22>-=p px y ，0022x pp x PF -=-= 抛物线)0(22>=p py x ，0022y pp y PF +=+=抛物线)0(22>-=p py x ，0022y pp y PF -=-= 18．直线与抛物线： (1)位置关系：相交(两个公共点或一个公共点)；相离(无公共点)；相切(一个公共点) 将b kx y l +=:代入0:22=++++F Ey Dx Cy Ax C ，消去y ，得到 关于x 的二次方程02=++c bx ax (*) 若0>∆，相交；0=∆，相切；0<∆，相离 综上，得： 联立⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22，得关于x 的方程02=++c bx ax 当0=a (二次项系数为零)，唯一一个公共点(交点) 当0≠a ，则若0>∆，两个公共点(交点)0=∆，一个公共点(切点) 0<∆，无公共点 (相离)(2)相交弦长： 弦长公式：21k ad +∆=， (3)焦点弦公式：抛物线)0(22>=p px y ， )(21x x p AB ++= 抛物线)0(22>-=p px y ， )(21x x p AB +-= 抛物线)0(22>=p py x ， )(21y y p AB ++= 抛物线)0(22>-=p py x ，)(21y y p AB +-=(4)通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：p d 2= (5)若已知过焦点的直线倾斜角θ则⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒221212py y k p y y θsin 24422221p p kp y y =+=-⇒θθ221sin 2sin 1p y y AB =-=⇒(6)常用结论：⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxyp x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y 和04)2(22222=++-p k x p p k x k 221p y y -=⇒和421px x =四、【例题】1.动点A 到定点F 1(0， －2)和F 2(0， 2)的距离的和为4，则动点A 的轨迹为 ( B ) A . 椭圆 B . 线段 C . 无图形D . 两条射线；2.动点P 到定点F 1(1， 0)的距离比它到定点F 2(3， 0)的距离小2，则点P 的轨迹是 ( C )A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．一条射线D ．两条射线3.人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.社地球的半径为R ，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为r1、r2，球卫星轨道的离心率.4．两定点的坐标分别为A （-1,0），B （2,0），动点M 满足,MAB 2MBA ∠=∠求动点M 的轨迹方程.。

高中数学圆锥曲线教学一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计的任务是针对高中数学中的圆锥曲线进行深入讲解。

圆锥曲线是数学中的一块重要内容，不仅涉及到几何学的核心概念，还在实际生活和科技领域中有着广泛的应用。

通过本课程的学习，学生应掌握圆锥曲线的基本概念、性质、图像和应用，能够解决与圆锥曲线相关的各类数学问题。

2、教学对象本教学设计的对象为高中二年级的学生。

这些学生已经具备了一定的数学基础，掌握了基本的几何知识、代数运算和解题技巧。

在这个阶段，他们需要通过圆锥曲线的学习，进一步提升空间想象能力、逻辑思维能力和问题解决能力。

此外，针对不同学生的学习特点和需求，本教学设计将采用多样化的教学策略，使每位学生都能在课堂上得到有效的提升。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解圆锥曲线的定义，掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其性质；（2）学会运用圆锥曲线的标准方程解决实际问题，如求解直线与圆锥曲线的交点、距离、面积等；（3）掌握圆锥曲线的图像特征，能够根据给定的条件绘制相应的图像；（4）培养运用数学软件或图形计算器等工具辅助解决圆锥曲线问题的能力；（5）提高数学推理能力，能够通过逻辑推理证明圆锥曲线的相关性质。

2、过程与方法（1）通过自主探究、小组合作等方式，培养学生的独立思考和团队协作能力；（2）运用问题驱动法，引导学生提出问题、分析问题、解决问题，培养学生的问题解决能力；（3）借助实际案例，将圆锥曲线知识与现实生活相结合，提高学生的数学应用意识；（4）采用变式教学，使学生能够从不同角度、不同层次理解和掌握圆锥曲线知识；（5）通过课堂讲解、课后作业、课外拓展等途径，巩固学生的基础知识，提高解题技巧。

3、情感，态度与价值观（1）激发学生对圆锥曲线的兴趣，使其产生对数学学科的热情；（2）培养学生勇于探索、严谨求实的科学态度，提高学生面对困难的勇气和毅力；（3）通过圆锥曲线的学习，让学生体会到数学的优美与和谐，感悟数学的魅力；（4）培养学生运用数学知识为社会服务的责任感，使其认识到数学在国家和个人发展中的重要作用；（5）尊重学生的个体差异，鼓励学生积极参与课堂活动，树立自信心，培养良好的学习习惯。

教案圆锥曲线教案标题：教案-圆锥曲线教学目标：1. 理解圆锥曲线的定义和基本概念。

2. 掌握圆锥曲线的分类及其特点。

3. 能够绘制和分析圆锥曲线的图像。

4. 运用圆锥曲线解决实际问题。

教学重点：1. 圆锥曲线的定义和基本概念。

2. 各种圆锥曲线的特点和图像。

3. 圆锥曲线的方程和参数方程。

4. 运用圆锥曲线解决实际问题。

教学准备：1. 教学投影仪或黑板。

2. 教学PPT或教学板书。

3. 圆锥曲线的图像和实例。

教学过程：引入：1. 引导学生回顾椭圆、抛物线和双曲线的定义和特点。

2. 引入圆锥曲线的概念，解释圆锥曲线与椭圆、抛物线和双曲线的关系。

探究：1. 分类与特点：a. 介绍圆锥曲线的分类：椭圆、抛物线和双曲线。

b. 详细解释每种曲线的特点和性质。

c. 引导学生观察和比较不同曲线的图像。

2. 方程与参数方程：a. 介绍圆锥曲线的方程和参数方程。

b. 解释如何从方程中得到曲线的特征信息。

c. 引导学生通过给定方程绘制和分析曲线的图像。

应用：1. 实际问题解决：a. 提供一些实际问题，要求学生运用圆锥曲线的知识解决。

b. 引导学生将问题转化为数学模型，然后求解。

总结：1. 总结圆锥曲线的定义、分类和特点。

2. 强调圆锥曲线在数学和实际问题中的重要性。

3. 激发学生对圆锥曲线的兴趣和进一步学习的动力。

扩展：1. 鼓励学生进一步探究其他曲线的特点和应用。

2. 提供更多的练习和挑战问题，以巩固和拓展所学知识。

评估：1. 在课堂上进行小组或个人练习，检查学生对圆锥曲线的理解和应用能力。

2. 布置作业，要求学生练习和解答相关题目。

教学反思：1. 教学过程中是否能够引发学生的兴趣和思考？2. 学生对圆锥曲线的理解和应用是否得到提高？3. 是否有需要进一步加强的教学内容或方法？注：以上教案仅供参考，具体教学过程和内容可根据教学实际情况进行调整和修改。

数学圆锥曲线高中教案教学内容：圆锥曲线的基本概念和性质教学目标：掌握圆锥曲线的定义、方程和性质，能够画出圆锥曲线的图形，并解决相关问题。

教学重点与难点：圆锥曲线的定义和方程、椭圆、双曲线和抛物线的性质。

教学准备：教材、黑板、彩色粉笔、几何工具箱、PPT演示等。

教学过程：一、引入与复习（5分钟）1. 复习前几节课的知识，回顾直线及其方程的相关内容。

2. 引入圆锥曲线的定义，让学生对圆锥曲线有初步了解。

二、椭圆的定义和性质（15分钟）1. 讲解椭圆的定义和方程。

2. 讲解椭圆的性质，如焦点、长轴、短轴等。

3. 给出练习题，让学生练习画出椭圆的图形。

三、双曲线的定义和性质（15分钟）1. 讲解双曲线的定义和方程。

2. 讲解双曲线的性质，如渐近线、焦点等。

3. 给出练习题，让学生练习画出双曲线的图形。

四、抛物线的定义和性质（15分钟）1. 讲解抛物线的定义和方程。

2. 讲解抛物线的性质，如焦点、准线等。

3. 给出练习题，让学生练习画出抛物线的图形。

五、综合练习与拓展（10分钟）1. 随堂小测验，检验学生对圆锥曲线的掌握程度。

2. 给出拓展性练习题，让学生巩固和加深对圆锥曲线的理解。

六、总结与反思（5分钟）1. 总结本节课的重点知识，强调圆锥曲线的重要性。

2. 让学生思考如何运用所学知识解决实际问题。

教学反馈：对学生的表现给予及时的反馈，并根据学生的实际情况进行必要的个性化指导。

教学延伸：鼓励学生积极参与课堂讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。

教学方式：结合理论讲解和实例演练，引导学生主动思考和发现问题解决方法。

教学环节设计合理，有助于学生有效地掌握圆锥曲线的相关知识，并提高学生的学习兴趣和主动性。

最新人教高中数学圆锥曲线教案作为一名数学老师，你会写数学教案吗？数学教案对你的教学工作有积极的帮助。

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#xxxx人教高中数学圆锥曲线教案1一、教材分析1.教材所处的地位和作用在学习了随机事件、频率、概率的意义和性质及用概率解决实际问题和古典概型的概念后，进一步体会用频率估计概率思想。

它是对古典概型问题的一种模拟，也是对古典概型知识的深化，同时它也是为了更广泛、高效地解决一些实际问题、体现信息技术的优越性而新增的内容。

2.教学的重点和难点重点：正确理解随机数的概念，并能应用计算器或计算机产生随机数。

难点：建立概率模型，应用计算器或计算机来模拟试验的方法近似计算概率，解决一些较简单的现实问题。

二、教学目标分析1、知识与技能：(1)了解随机数的概念;(2)利用计算机产生随机数，并能直接统计出频数与频率。

2、过程与方法：(1)通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力;(2)通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯3、情感态度与价值观：通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.三、教学方法与手段分析1、教学方法：本节课我主要采用启发探究式的教学模式。

2、教学手段：利用多媒体技术优化课堂教学四、教学过程分析㈠创设情境、引入新课情境1：假设你作为一名食品卫生工作人员,要对某超市内的80袋小包装饼干中抽取10袋进行卫生达标检验,你打算如何操作?预设学生回答：⑴采用简单随机抽样方法(抽签法)⑵采用简单随机抽样方法(随机数表法)教师总结得出：随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内每一数的机会一样。

(引入课题) 「设计意图」(1)回忆统计知识中利用随机抽样方法如抽签法、随机数表法等进行抽样的步骤和特征;(2)从具体试验中了解随机数的含义。

高中数学圆锥曲线满分教案
主题：圆锥曲线
目标：学生能够掌握圆锥曲线的基本概念和性质，并能够运用所学知识解决实际问题。

教学步骤：
第一步：引入（5分钟）
教师引入圆锥曲线的概念，告诉学生圆锥曲线是由平面与圆锥相交而产生的曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。

第二步：椭圆（15分钟）
1. 讲解椭圆的定义和性质，包括离心率、焦点、直径等概念。

2. 讲解椭圆的标准方程和图像。

3. 给学生几道椭圆的练习题，让他们熟练掌握椭圆的性质和解题方法。

第三步：双曲线（15分钟）
1. 讲解双曲线的定义和性质，包括离心率、焦点、渐近线等概念。

2. 讲解双曲线的标准方程和图像。

3. 给学生几道双曲线的练习题，让他们熟练掌握双曲线的性质和解题方法。

第四步：抛物线（15分钟）
1. 讲解抛物线的定义和性质，包括焦点、准线、焦距等概念。

2. 讲解抛物线的标准方程和图像。

3. 给学生几道抛物线的练习题，让他们熟练掌握抛物线的性质和解题方法。

第五步：综合练习（15分钟）
给学生几道综合性的圆锥曲线练习题，让他们巩固所学知识，并运用所学知识解决实际问题。

第六步：总结与展望（5分钟）
教师对本节课所学内容进行总结，并展望下节课的内容，鼓励学生继续努力学习。

扩展活动：可以组织学生进行小组讨论，让他们自己设计一个圆锥曲线的应用问题，并进
行解答和讨论。

备注：教案内容仅供参考，具体教学过程可以根据学生的实陵情况进行灵活调整。

圆锥曲线起始课”教学设计江西省南昌市第二中学高鹏【教学内容解析】1 •圆锥曲线是平面解析几何的重要组成部分，也可以说是核心内容•它是继学习了以直线和圆为代表的简单图形之后，用平面几何的方法无法研究的较为复杂的图形. 圆锥曲线能充分体现解析几何研究方法.2 .圆锥曲线是体现数形结合思想的重要载体•圆锥曲线的研究不是采用逻辑推理的形式，而是运用代数的方法. 即以代数为工具解决几何问题，用代数的语言来描述几何图形，把几何问题转化为代数问题，实施代数运算，求解代数问题，再将代数解转化为几何结论，这一过程体现了从形到数的数形结合的思想.3 •圆锥曲线是二次曲线非常重要的数学模型，同时它的几何性质在日常生活，社会生产以及其他科学中都有着重要而广泛的应用，宇宙天地的运动，光学仪器，建筑学等等•因此圆锥曲线的学习对学生进一步理解数学模型的意义，树立观念都非常有价值.本节课的内容是选自北师大出版社《高中数学选修2-1»第三章知识的引言部分，属于策略性和介绍性为主的起始课.二.【教学目标设置】1•知识与技能目标本节课的主线为圆锥曲线的发展史，从中参插各种情景•通过用平面对圆锥面的不同的截法，产生三种不同的圆锥曲线，经历概念的形成过程，从整体上认识三种圆锥曲线的内在关系，通过具体情境，从中抽象出椭圆、双曲线、抛物线模型的过程，理解它们的定义（主要是椭圆）.2 •过程与方法目标初步了圆锥曲线研究的内容；通过动手试验、互相讨论等环节，使学生形成自主学习以及相互协作的团队精神; 通过对具体情形的分析，归纳得出一般规律，让学生具备初步归纳能力；借助实物模型，通过整体观察、直观感知，使学生形成积极主动、勇于探索的学习方式，完善思维结构，体会解析几何的研究方法.3 .情感、态度与价值观目标通过以圆锥曲线的发展史为主线，设立多种情景引入方式，让学生激发学习圆锥曲线的兴趣，能够自主学习、自我探索，形成注重实践、热爱科学、勇于创新的情感、态度与价值观.4・重难点重点：圆锥曲线的发展史及定义，椭圆的定义.难点：用DandeI in双球发现椭圆的定义，通过椭圆的定义类比双曲线定义.三•【学生学情分析】1・这节课的授课对象是高中二年级的学生，他们有较好的学习习惯，有一定的口头和书面表达的能力•在知识层面上，高一阶段已学习了立体几何空间旋转体中的圆锥，学生具有一定的空间想象能力，学生还学习了解析几何中的直线和圆，具有一定的用解析方法处理问题的能力. 在方法的层面，学生在高一、高二年级的学习中基本掌握了数形结合的思想与类比与转化思想.2 .学生在学习过程中，也可能会遇到诸多困难：从空间的圆锥截出平面图形的转化问题，特别是通过DandeI in双球发现椭圆的定义；还有理解椭圆，双曲线定义时点的轨迹及动态问题.四•【教学策略分析】仁整个课堂的主线是圆锥曲线的发展史，使学生产生兴趣，并以润物细无声的方法安排各种情景，让学生很自然进入学习圆锥曲线的学习，为后面采用解析的方法学习埋下了伏笔.2 •由于是起始课，因此多采取直观的演示幻灯片、动画、实验和使用实物模型，直观感知、操 作确认，避免过 度抽象.思辩论证、度量计算等手段在后续课程中再采用.3 •在处理椭圆定义的环节，创造条件让学生亲自动手画出椭圆，并安排了一系列情节引导学生在操作过程中注 意细节，鼓励学生通过动手实验、独立思考、相互讨论等手段得出结论，鼓励学生表达自己的见解.4 •从多种具体情形出发，引导学生归纳出一般规律，培养学生的归纳总结能力•采用模型和软件，使学生的想法 能够即时得到实现，所想即所见，快速形成正确认知，提高教学实效性.五・【教学过程】意图，理念与备注 从实际生活出发，II 观感知各种関锥曲线的 存在，使丫牛在头脑中产 牛各种曲线的初步印象， 为下-步的数学抽象做 准备.2.特别是“愤怒的小鸟” 这个抛物线段片让学生 马上产生兴趣，积极参与 发现与探索，加深H 观卬 象.1・由第一个环节“最初环节 i -H教学过程和师生活动 通过生活屮的一系列图片让学生衣认知的1川线.2.复习和 准备3.新课传1.复习圆锥的形成2•由圆锥的形成过程引入圆锥面注：这电还要提出圆锥的轴截鹵是等腰三角形，并引入顶角的一半a ,为后面轴截面和旋转轴所成的角的大小截出不同的曲线留I 、’ 知识.师生活动：教师引导学生回忆知识，尽量让学生口述其过程。