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第三章 平面问题的直角坐标解答-ppt02

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平面直角坐标系

平面直角坐标系
Lo=(6N-3°)
式中：N———6°带的带号
图2离中央子午线越远，长度变形越大，在要求较小的投影变形时，可采用3°投影带。3°带是在......
应当注意的是，高斯投影没有角度变形，但有长度变形和面积变形，离中央子午线越远，变形就越大。其主 要特点有以下三点：
（1）投影后中央子午线为直线，长度不变形，其余经线投影对称并且凹向于中央子午线，离中央子午线越远， 变形越大。
第一象限还可以写成Ⅰ，第二象限还可以写成Ⅱ，第三象限还可以写成Ⅲ，第四象限也可以写成Ⅳ。 .第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
1.关于x轴成轴对称的点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。（横同纵反） 2.关于y轴成轴对称的点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。（横反纵同） 3.关于原点成中心对称的点的坐标，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数。（横纵皆反）
发展历程
笛卡尔坐标的思想是法国数学家、哲学家笛卡尔所创立的。
传说：
有一天，笛卡尔（Descartes 1596—1650，法国哲学家、数学家、物理学家）生病卧床，但他头脑一直没 有休息，在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？ 这里，关键是如何把组成几何的图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩。他就拼命琢磨。通过什么样的办法、 才能把“点”和“数”联系起来。突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会儿，蜘蛛又顺着丝 爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”，使笛卡尔思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子 里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地 面交出了三条直线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位 置，不是都可以用这三根数轴上找到的有顺序的三个数来表示吗？反过来，任意给一组三个有顺序的数，例如3、 2、1，也可以用空间中的一个点 P来表示它们。同样，用一组数（a， b）可以表示平面上的一个点，平面上的 一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示。于是在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系。百科x混知：图解 笛卡尔

03平面问题的直角坐标解答

03平面问题的直角坐标解答
7
若取应力函数为 Φ = ax 2，则应力分量为： σ x = 0, σ y = 2a,τ xy = 0 。对应图（a）所示的矩形板； 若取应力函数为 Φ = bxy ，则应力分量为： σ x = 0, σ y = 0,τ xy = −b 。对应图（b）所示的矩形板； 若取应力函数为 Φ = cy 2，则应力分量为： σ x = 2c, σ y = 0,τ xy = 0 。对应图（c）所示的矩形板；
4
一.逆解法 所谓逆解法，就是先设定各种形式的、满足相容 方程 ∂2 ∂ 2 ∂ 2Φ ∂ 2Φ 2 + 2 2 + 2 = 0 ∂x ∂y ∂x ∂y 的应力函数 Φ 。
∂ 2Φ ∂ 2Φ ∂ 2Φ 并根据 σ x = 2 − f x x，σ y = 2 − f y y，τ xy = − ∂y ∂x ∂x∂y
11
如当两端的面力的等效力系组成大小为ah3/2的力 偶时，该解答在离两端较远的地方，误差是可以忽略 不计的。 圣维南原理处理边界条件时，起着十分重要的作 用。处理时要分清主要边界和次要边界。
12
第四节 简支梁受均布荷载
设有矩形截面的简支梁，深度为h，长度为2l，体 力不计，受均布荷载q，由两端的反力ql维持平衡， 如图所示。这个问题用逆解法求解。 q是不随x变化的常量， 因此可假设σy不随x变 化，仅是y的函数：
第二节 矩形梁的纯弯曲
设有矩形截面的长梁，两端作用的力偶矩为M，则 矩形截面长梁发生纯弯曲。应力函数取为三次函数， 即 Φ =ay3 ，显然满足相容方程，相应的应力分量为 σx = 6ay σy =0 τxy = τyx = 0 对应下列形状的的矩形梁，对应的面力如下：
10
对应的面力在两侧必须是线性分布的，上述应力 分量才是完全精确的，如果按照其他静力等效的分布 形式，上述分量的解答不是精确的，但是，当梁的高 度较小时，梁的上下边界为主要边界，两端边界成为 次要边界，这时，根据圣维南原理，该解答在离两端 较远处仍是正确的。

弹性力学与有限元程序设计--第三章

弹性力学与有限元程序设计--第三章

—— 对应于矩形梁的纯弯曲问题。
第三章 平面问题的直角坐标解答
§3-2 矩形梁的纯弯曲
应力函数取三次多项式
ay
3

M
h
M
2 2
对应的应力分量：
x 6ay y 0 xy yx 0

（a）
x
x
图
y
y
l
h
x
1
h
结论：应力函数（a）能解决 矩形梁受纯弯曲的问题。 如图，取单位宽度的梁来考察，并命每单位宽度上力偶的矩为 M 。这 里 M 的因次是[力][长度]/[长度]，即[力]。 边界条件： 上下(主要)边界：
h 2 h 2
h 2 h 2
前一式总能满足，而后一式要求：
a 2M h3
代入式（a），得：
x
12 M y y 0 xy yx 0 3 h
第三章 平面问题的直角坐标解答
§3-3 位移分量的求出
1. 形变分量与位移分量
（1）形变分量 由前节可知，其应力分量为：
x M y
u x l 0, v x l 0
y 0 y 0
v x
x l y 0
0
o
l
x
y
（中点不动）
u0 0
M 2 l l v0 0 2 EI
（轴线在端部不转动）
u0 0
v0 Ml 2 EI
2
代入式（f），有
代回式（f），有
u M (l x) y EI
2 x 2 fx x y
(2-25)
2 y 2 fy y x
(2-24)
（b）边界条件

弹性力学__徐芝纶版第三章

弹性力学__徐芝纶版第三章


4 f
y4
0
4 f 0
一、逆解法和半逆解法 （一）逆解法的基本步骤：
取满足相容方程的 f
求出应力分量 x , y , xy
根据边界条件求出面力
考察能解决什么问题
§3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答
（二）半逆解法的基本步骤：
根据问题的特 点设出部分应 力分量
是 结束
否
求出应力函数 f
x
§3-3 位移分量的求出
0 u0 v0 0
y
z
u P x Eh
P x
v P y
Eh
习题
[1]写出边界条件。 解：
x x0,xb g( y h1)
0 xy x0,xb y y0 gh1, xy y0 0
y


P
hE
xy 0
u P x Eh
v P
y Eh
u v 0 y x
u

P Eh
x

f1y
v


P
Eh
y

f2 x
代入第三式得： df1 y df2 x 0
dy
dx
移项得： df1 y df2 x
u yh2 0
v yh2 0
hx1
g
b
h2
bb
y 22
FN gbh1
b
下边的等效应力边界条件： 0 y yh2 dx gbh1
b
0
xy
dx 0
y h2
b 0
y
y h2

平面直角坐标系复习课课件

平面直角坐标系复习课课件

斜截式
两点式
一般式
通过直线上的一个点和 斜率来表示直线方程。
通过直线的斜率和与y轴 的截距来表示直线方程
。
通过直线上的两个点来 表示直线方程。
包含直线上的所有点， 用x和y的项表示。
直线与圆的位置关系
相离
直线与圆没有交点，相离时圆心到直线的距离大于圆的半径。
相交
直线与圆有两个交点，相交时圆心到直线的距离小于圆的半径。
。
坐标系的基本元素
原点、x轴、y轴、正方向、单位长 度等。
点的坐标表示方法
用有序数对(x,y)表示，其中x是横坐 标，y是纵坐标。
象限与轴对称
象限定义
轴对称的性质
在平面直角坐标系中，将点(x,y)分为 四个象限，分别称为第一象限、第二 象限、第三象限和第四象限。
对称点的连线与对称轴垂直，且两点 到对称轴的距离相等。
内切
两个圆只有一个交点 ，且圆心距等于两个 圆的半径之差。
内含
两个圆无交点，且圆 心距小于两个圆的半 径之差。
05 平面直角坐标系中的变换
平移变换
总结词
通过在坐标系中沿特定方向和距离移动点来达到平移的目的 。
详细描述
平移变换是平面直角坐标系中最基本的变换之一。它是指将 点沿特定方向移动一定距离，距离可以是负数。平移变换不 改变图形的大小、形状和相对位置。
距离最短
在平面直角坐标系中，求解两点之间距离最短的问题通常 转化为求解斜率的问题，斜率等于0时距离最短。
面积最大
在平面直角坐标系中，求解由给定点构成的三角形或平行 四边形的最大面积问题，可以通过调整边长或高来实现。
平面直角坐标系中的轨迹问题
点的轨迹
在平面直角坐标系中，点的轨迹问题 通常涉及求直线、圆、椭圆、抛物线 等曲线的方程，通过已知条件确定曲 线方程。

平面直角坐标系平面直角坐标系

平面直角坐标系平面直角坐标系

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THANKS
性质
平面直角坐标系是一个正交坐标系，它具有唯一性和可数性 。
平面直角坐标系的建系的中心点 。
确定x轴与y轴
根据定义，x轴是一条与y轴垂直的数轴，y轴是 一条与x轴垂直的数轴。
确定单位长度
选择一个单位长度，通常选择一个合适的长度单 位，如毫米或厘米。
坐标系中的点与坐标
方向向量的计算
方向向量的计算可以通过两个点的坐标进行计算，得到一个向量，该向量的模等于两点之间的距离，方向与连 接两点的线段一致。
三维空间中的坐标系
三维空间中的坐标系定义
三维空间中的坐标系使用三个参数，x、y 、z，来定义空间中的任意一点。
VS
三维空间中的坐标系扩展
三维空间中的坐标系可以扩展到更高维度 的空间中，例如四维空间、五维空间等。
计算机图形学中的应用
像素坐标
在计算机图形学中，每个像素点都有其在平面直角坐标系中的位 置，通过坐标可以方便地对像素点进行操作。
渲染算法
通过平面直角坐标系可以设计各种渲染算法，如阴影算法、反射 算法等。
三维建模
在三维建模中，平面直角坐标系是基础，可以通过它来建立三维模 型的空间关系。
05
平面直角坐标系的扩展
平移平面直角坐标系中的点，其坐标值会相应地发生变化。平移过程中，点 的坐标值沿横轴或纵轴方向移动，移动距离等于平移方向上的坐标增量。
点的旋转
旋转平面直角坐标系中的点，其坐标值不会发生变化，但会围绕旋转中心转 动。旋转过程中，点的坐标值相对于旋转中心转动，旋转角度等于旋转角度 的弧度值。
距离与角度的计算
平面直角坐标系
2023-11-04
目 录
• 平面直角坐标系的基本概念 • 平面直角坐标系中的基本运算 • 平面直角坐标系中的图形变换 • 平面直角坐标系的应用 • 平面直角坐标系的扩展

弹性力学第3章(徐芝纶第五版)


最主要量级q( l )2 h
,和次要量级 q l h
, 在材力
中均已反映,且与弹力相同。
最小量级 ~ q, 在材力中没有:
当lh
时,
仅占主项
M I
y
的1/15
( 6 %) ,
当 l 时h , 量级q 的值很小,可以不计。
弹力与材力的解法比较:
应力比较
弹力严格考虑并满足了A内的平衡微分 方程 ,几何方程和微分方程,以及S上的所有 边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南 原理,但只影响小边界附近的局部区域)。
4 楔形体受重力和液体压力 问题
设有楔形体， 左面垂直，顶角为α， 下端无限长，受重 力及齐顶液体压力,
fx 0, f y 1g.
o
α 2g
y
x
n
α
2
1g
用半逆解法求解。
（1）用量纲分析法假设应力: （2）由应力~Φ关系式，Φ应为x,y的三次式，
（3）Φ 满足相容方程 4Φ 0.
（4）由 Φ求应力， （5）考察边界条件——本题只有两个大边 界，均应严格满足应力边界条件:
o
M
y
h/2
h/2
x
M
l
( l >>h)
半逆解法
3.半逆解法 步骤：
⑴ 假设应力的函数形式 （根据受力情况， 边界条件等）；
⑵ 由应力(d)式，推测 的Φ 函数形式；
⑶ 代入 4Φ，解0 出 ； Φ
半逆解法
⑷ 由式（d），求出应力；
⑸ 校核全部应力边界条件（对于多连体， 还须满足位移单值条件）. 如能满足，则为正确解答；否则修改假 设，重新求解。
为b,如图,水的密
度为 2 ，试求

第三章平面问题的直角坐标解答(纯黑)PPT课件

2= b2xy能解决矩形板受纯剪作用的问
题，见图 (b)。
o
b2 x
y b2 图 (b)
14
同样可见，应力函数3= c2 y2，能解决矩形板在y
方向受均布拉力(设c2 >0)或均布压力(设c2 <0)的问题， 见图(c)。
2c2
2c2
o
x
y
图(c)
15
总之，对于矩形板，当受到图(d)所示的面力作用时，
4
逆解法(inverse method) 这种解法有两种含义。
一种含义是先设定各种形式的满足双调和方程的
应力函数 ，然后按式(2-31) 求出应力分量，再根据
应力边界条件，求出边界上对应的表面力，从而得知 所设定的应力函数可以解决什么样的力学问题。
另一种含义是：通过材料力学或某种分析得到某 问题的可能解答，然后检查它是否满足全部方程和边 界条件。
1= a2x2 能解决矩形板在y方向受均匀拉力(设a2>0)或均
布压力(设a2<0)的问题，见图(a)。
2a2
o
x
y 2a2 图(a)
13
对应于2= b2xy，应力分量是
x y 2 20 ,y x 2 20 ,xy x 2 yb 2
对于图示的矩形板和坐标方向，当板内 发生上述应力时，由应力边界条件可知， 在左右两边分别受有向下和向上的均匀 面力b2作用，而在上下两边分别有向右 和向左的均布面力b2，可见，应力函数
x y 2 20 ,y x 2 22 a2,xy x 2 y0
对于图示的矩形板和坐标方向，当板内发 C
D
生上述应力时，由应力边界条件可知
o
AB边 X0,Y2a2 BC边 X0,Y 0 B CD边 X0,Y2a2 DA边 X0,Y 0

弹性力学简明教程第四版第三章课件


由应力推出应力函数 的形式； 3.将 代入相容方程，求出 的具体表达式；
4. 将 代入
∂ ∂y
∂ ∂x
∂ ∂x∂y
求出对应的应力分量。
5. 将应力代入边界条件
在s上
考察它们是否满足全部边界条件(对于多连体，还须 满足位移单值条。如果所有的条件均能满足，上述 解答就是正确的解答。否则，就要修改假设，重新 进行求解。
v 0, 0 l x x y 0
w, u0 , v0
代入式中，得出下列三个方程来决定
2
Ml Ml u0 0, wl v0 0, w0 2 EI EI
求解之后，得
Ml Ml w , u0 0, v0 EI 2 EI
代入式中，得出该悬臂梁的位移分量
逆解法没有针对具体问题进行求解, 而是找出满足相 容方程的应力函数, 来考察它们能解决什么问题。这 种方法可以积累弹性力学的基本解答。
二. 半逆解法 半逆解法是针对实际问题来求解的，半逆解法的具 体步骤如下： 1. 根据弹性受力情况和边界条件等，假设部分或全 部应力分量的函数形式； 2. 根据
∂ ∂y ∂ ∂x ∂ ∂x∂y
。 换为 1
例如，梁的纵向纤维的曲率公式,应该变换为
1

1 M
2
EI
§3.4
简支梁受均布载荷
设有矩形截面梁，深度为h，长度为2l,，体力可以不 计，受均布载荷q，由两端的反力ql 维持平衡。(=1 ) q 此问题用半逆解法，步骤如下：
ql 1. 假设应力分量的函数形式 ql h/2 O h/2 由材料力学知： l l 弯应力x 主要是由弯矩 M 引起的， y 切应力xy 主要是由剪力Fs引起的， 挤压应力y 主要是由直接载荷 q 引起的。 因q不随x变，因而可以假设y不随 x 变，也就是假 设 y 只是 y 的函数：y = f (y)

弹性力学平面问题的直坐标系解答


物理方程描述了应力与应变之 间的关系，它是通过材料的弹 性常数建立的。在直坐标系中 ，物理方程可以表示为
03
直坐标系中的弹性力学平面问题
直坐标系中的平衡方程
80%
平衡方程概述
在直坐标系中，弹性力学平面问 题的平衡方程描述了物体在受力 作用下的静力平衡状态。
100%
平衡方程的推导
通过分析物体的受力情况，结合 牛顿第二定律，可以推导出平衡 方程的具体形式。
弹性力学的基本概念
应力和应变
在弹性力学中，物体在外力作用下会发生形变，这 种形变程度可以用应力和应变来描述。
胡克定律
胡克定律指出，在弹性范围内，物体的应力和应变 之间存在线性关系，即应力与应变成正比。
边界条件和初始条件
在弹性力学问题中，物体边界上的条件和问题开始 前的初始状态对于确定物体的应力和应变是必要的 。
总结词
考虑弹性体在平面内受拉伸的情况， 分析其应力分布和变形。
详细描述
在直坐标系中，设弹性体受到沿x轴方 向的拉伸力作用，根据弹性力学基本 方程，可以求出弹性体内各点的应力 和应变分布，以及位移场。
圆盘受压问题
总结词
研究圆盘在受到垂直向下的均匀 压力作用下的应力分布和变形。
详细描述
在直坐标系中，设圆盘中心位于 原点，半径为R。根据弹性力学基 本方程，可以求出圆盘内各点的 应力和应变分布，以及位移场。
弹性力学平面问题的直坐标系 解答
目
CONTENCT
录
• 引言 • 弹性力学平面问题的基本方程 • 直坐标系中的弹性力学平面问题 • 解法举例 • 结论
01
引言
主题简介
弹性力学平面问题
在弹性力学中，平面问题指的是应变和应力分量在空间中仅随两 个坐标变量变化的情形。
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f ( y ), f1 ( y ), f 2 ( y ) —— 任意的待定函数
f ( y ), f1 ( y ), f 2 ( y ) (3) 由 ∇ 4ϕ = 0 确定：
∂ 4ϕ ∂ 4ϕ x 2 ( 4 ) ( 4) ( 4) ( ) ( ) = f y + xf y + f = 0 1 2 ( y) 4 4 2 ∂y ∂x ∂ 4ϕ 2 2 2 = 2 f ( 2) ( y ) ∂x ∂y
(d)
∂ϕ = xf ( y ) + f1 ( y ) 1 (a) ∂x ql x2 ϕ= f ( y ) + xf1 ( y ) + f 2 ( y ) (b) h/2 2 z h/2
q ql x l y l
f ( y) = Ay3 + By2 + Cy + D
f1 ( y ) = Ey + Fy + Gy
12
h2 y 2 静矩：S = − 剪力： Q = − qx 8 2 q 弯矩： M = (l 2 − x 2 ) 2
将其代入式 ( p ) ，有
M y y2 3 σx = y+q 4 2− I h h 5
q y 2 y σ y = − 1 + 1 − h 2 h
附：应力函数确定的“材料力学方法” 要点： 利用材料力学中应力与梁内力的关系，假设某个
应力分量的函数形式。 直梁、长板条等受连续分布面力、杆端集中 适用性： 力、杆端集中力偶等。 应力函数常可表示为：
ϕ ( x, y ) = f ( x ) g ( y )
设法由边界面力先确定 f ( x )或g ( y ) 其中之一，然后将其 代入 ∇ 4ϕ = 0 确定另外一个函数。 材力中，应力分量与梁内力的关系为： σ x = M ( x ) f1 ( y ) τ xy = Q( x) f 2 ( y ) 式中： M(x) —— 弯矩方程； Q(x) —— 剪力方程。
代入相容方程：
4 4 4 ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ 4 +2 2 2 + 4 ∇ϕ= 4 ∂x ∂x ∂y ∂y
x (4) ( 4) (4) = f ( y ) + xf1 ( y ) + f 2 ( y ) + 2 f ( 2 ) ( y ) = 0 2
2
x2 (4) (4) f ( y) + xf1(4) ( y) + f2 ( y) + 2 f (2) ( y) = 0 2
h 2 h − 2
∫
h 2 h − 2
6ql 2 3q ( 3 y − l )dy = − ql h 2h
ql q H= 3 − h 10h
6ql y 2 3q 2 h 3 3 − 2 2h ly h = −ql y=
2
可见，这一条件自动满足。
6q 2 4q 3 σ x = − 3 x y + 3 y + 6 Hy + 2 K h h (i) 2q 3 3q q (j) σy =− 3 y + y− h 2h 2
q ql x l y l
τ xy = −
x −y h 4
3
截面上的应力分布：
σ x (− )
σy τ
xy
(+ )
三次抛物线
3q 3q 2 2 ( l − x ) − 2 h 10
4. 与材料力学结果比较
材力中几个参数： 1 3 I= h 截面宽：b=1 , 截面惯矩：
σ y = f ( y)
(2) 由应力分量表达式确定应力函数 ϕ ( x, y ) 的形式：
∂ 2ϕ σ y = 2 = f ( y) ∂x
积分得：
∂ϕ = xf ( y ) + f1 ( y ) (a) ∂x x2 ϕ= f ( y ) + xf1 ( y ) + f 2 ( y ) (b) 2
2
τ xy
QS = bI
（3-6）
M y y2 3 σx = y+q 4 2− I h h 5
q y 2 y σ y = − 1 + 1 − 2 h h
2
1 h/2 h/2
q ql z ql x l y l
τ xy
QS = bI
（3-6）
∂ϕ 3 2 σ y = 2 = Ay + By + Cy + D ∂x
2
(f)
(g) (h)
∂ 2ϕ τ xy = − = − x (3 Ay 2 + 2 By + C ) − (3Ey 2 + 2 Fy + G ) ∂x∂y
3. 对称条件与边界条件的应用
1 h/2 h/2
q ql z ql x l y l
3 2
(c)
y
(d)
A 5 B 4 f2 ( y) = − y − y + Hy3 + Ky2 10 6
将(c) (d) 代入 (b) ，有
2
此处略去了f2(y)中的一次项和常数项
x ϕ = ( Ay 3 + By 2 + Cy + D) + x( Ey 3 + Fy 2 + Gy ) 2
A 5 B 4 + (− y − y + Hy 3 + Ky 2 ) 10 6
( 4)
对前两个方程积分：
f ( y ) = Ay 3 + By 2 + Cy + D
f1 ( y ) = Ey + Fy + Gy
3 2
对第三个方程得：
f 2 ( y ) = −2 f ( 2) ( y ) = −12 Ay − 4 B
( 4)
A 5 B 4 y − y + Hy 3 + Ky 2 积分得： f 2 ( y ) = − 10 6
τ xy
6q 2 3q = 3 xy − x h 2h
(k)
1 6q 2 y y2 3 2 σ x = 3 (l − x ) y + q (4 2 − ) ql h h h 5 h/2 2 q y 2 y z h/2 σ y = − 1 + 1 − 2 h h y (p ) 6q h 2 2
取任意截面，其内力如图：
x
y Q ( x ) = τb M ( x) = −τ (l − x)b + τb(l − x) = 0
取
τ
τ xy 作为分析对象，可假设：
τ xy = Q ( x) f ( y ) = τbf ( y )
—— f(y)为待定函数
（a）
对 y 再积分一次，有：
由 τ xy 与应力函数
= 未知
N = ∫ (σ x ) x =l dy = 0
静力等效条件：
M = ∫ (σ x ) x =l ydy = 0
x =l
Q = ∫ (τ xy ) dy = −ql
N = ∫ (σ x ) x =l dy = 0 M = ∫ (σ x ) x =l ydy = 0 Q = ∫ (τ xy ) dy = −ql
(i) (j) (k)
τ xy
6q 2 3q = 3 xy − x h 2h
(b) 左右边界（次要边界）：（由于对称，只考虑右边界即可。）
x = l,
σx
x =l h h − ≤ y≤ 2 2
=0
h 2 h − 2 h 2 h − 2 h 2 −h 2
τ xy
—— 难以满足，需借助于圣维南原理。
x =l h h − ≤ y≤ 2 2
ϕ
ϕ = −τbxf1 ( y ) + f 2 ( y ) + f 3 ( x )
y
（1）对称条件的应用： 由 q 对称、几何对称： σ x , σ y —— x 的偶函数
τ xy
—— x 的奇函数
由此得：
6 Ey + 2 F = 0
3Ey 2 + 2 Fy + G = 0
要使上式对任意的 y 成立，须有：
E =F =G=0
x2 σ x = (6 Ay + 2 B) − 2 Ay 3 − 2 By 2 + 6 Hy + 2 K 2
(e)
式中含有9个待定常数。
x2 ϕ = ( Ay 3 + By 2 + Cy + D) + x( Ey 3 + Fy 2 + Gy ) 2
A 5 B 4 + (− y − y + Hy 3 + Ky 2 ) 10 6
(e)
Байду номын сангаас
2. 应力分量的确定
∂ 2ϕ x 2 σ x = 2 = (6 Ay + 2 B) + x (6 Ey + 2 F ) − 2 Ay 3 − 2 By 2 + 6 Hy + 2 K ∂y 2
当有横向分布力q(x)作用时，纵向纤维间存在挤压应力 σ y ， 同时，横向分布力q(x)的挤压作用时，对轴向应力 σ x 也 产生影响。 应力分量与梁内力的关系可表示为：
σ x = M ( x) f1 ( y ) + q ( x) f 2 ( y )
σ y = q( x) f3 ( y )
考虑挤压应力影响导致
h3 h2 h − A + B − C + D = −q 8 4 2 h3 h2 h A+ B + C + D = 0 8 4 2 h2 3 A + Bh + C = 0 4 h2 3 A − Bh + C = 0 4 q 代入应力公式 B = 0, C = 3q D=− 2h 2