广东省揭阳三中2017-2018学年高二下学期第一次段考数学试卷(理科) Word版含解析

2017-2018广东省揭阳市高三第一次模拟考试理科数学第I 卷：选择题共60分一 选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）（1）已知集合}2,1,0,1{-=A ，集合={|23,}B y y x x A =-∈，则A B =（A ）{1,0,1}- （B ）{1,1}-（C ）{1,1,2}-（D ）{0,1,2}（2）已知复数1234,z i z t i =+=-,且21z z ⋅是实数,则实数t =（A ）43 （B ）34 （C ）43-（D ）34- （3）若(cos20,sin 20)a =，(cos10,sin190)b = , 则a b ⋅=（A ）12 （B （C ）cos10 （D （4）已知命题:p 存在向量,,a b 使得||||a b a b ⋅=⋅，命题:q 对任意 的向量a 、b 、c ，若a b a c ⋅=⋅ 则b c =.则下列判断正确的是（A ）命题p q ∨是假命题 （B ）命题p q ∧是真命题（C ）命题()p q ∨⌝是假命题 （D ）命题()p q ∧⌝是真命题（5）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法. 如图1所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的 一个实例，若输入n ，x 的值分别为4，2，则输出v 的值为 （A ）66 （B ）33 （C ）16 （D ）8 （6）如果实数x y 、满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-010101y x y y x ， 那么2x y -的最大值为（A ）2 （B ）1 （C ）2- （D ）3-（7）在同一坐标系中，曲线xy )31(=与抛物线2y x =的交点横坐标所在区间为（A ）)31,0(（B ）)21,31( （C ）)32,21( （D ）)1,32( （8）在421)(1)x⋅-的展开式中，x 项的系数为图2（A ）－4 （B ）－2 （C ）2（D ）4（9）某工件的三视图如图2所示，现将该工件通过切割， 加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的 一个面落在原工件的一个面内，则新工件的体积为（A ）18 （B ）1 （C ） 2 （D ）43π（10）已知正数,a b 满足4a b +=，则曲线()ln xf x x b=+在点(,())a f a 处的切线的倾斜角的取值范围为 （A ）,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ （B ）5,412ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ （C ）,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ （D ）,43ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭（11）已知双曲线22142x y -=右焦点为F ，P为双曲线左支上一点，点A ,则△APF周长的最小值为（A）4(1 （B）4 （C） （D（12）已知函数()=|sin |([,])f x x x ππ∈-，()g x x x sin 2-=（],[ππ-∈x ），设方程(())0f f x =，(())0f g x =，(())0g g x =的实根的个数为分别为m 、n 、t ，则m n t ++=（A ）9 (B)13 (C)17 (D) 21第II 卷：非选择题共90分二 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）（13）已知函数3()1f x ax bx =++，若()8f a =，则()f a -=_________.（14）连续掷两次骰子，以先后得到的点数m , n 作为点P 的坐标(,)m n ，那么点P 在圆2217x y +=内部（不包括边界）的概率是 .（15）已知△ABC 的顶点都在球O 的球面上，AB=6，BC=8，AC=10，三棱锥O-ABC的体积为，则该球的表面积等于 .（16）在△ABC 中，6B π∠=,1AC =,点D 在边AB 上，且DA=DC ，BD=1，则DCA ∠= .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过ACBA 1C 1B 1DE图31105x1210频率图4程或演算步骤.）（17）（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244S S =,2123n n a a +=-. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设数列{}n b 满足11222332n n nn a b a b a b ++++=- ，求{}n b 的前n 项和n T ．（18）（本小题满分12分）如图3，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=BC=BB 1，11AB A B E = ，D 为AC 上的点，B 1C ∥平面A 1BD ；(Ⅰ)求证：BD ⊥平面11ACC A ；(Ⅱ)若1AB =，且1AC AD =⋅，求二面角11B D A B -- 的余弦值．（19）（本小题满分12分）某地政府拟在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水 量发电．图4是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成 的日泄流量X （单位：万立方米）的频率分布直方图（不完 整），已知)120,0[∈X ，历年中日泄流量在区间[30，60） 的年平均天数为156，一年按364天计． （Ⅰ）请把频率分布直方图补充完整；（Ⅱ）该水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每30万立方米的日泄流量才够运行一台发电机，如60≤X <90时才够运行两台发电机，若运行一台发电机，每天可获利润为4000元，若不运行，则该台发电机每天亏损500元，以各段的频率作为相应段的概率，以水电站日利润的期望值为决策依据，问：为使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装多少台发电机？（20）（本小题满分12分）如图5，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的上顶点为A ，左、右顶点为B 、C ，右焦点为F ，|AF |=3，且ABC ∆的周长为14. （I ）求椭圆的离心率；（II ）过点M (4, 0)的直线l 与椭圆相交于不同两点P 、Q ，点N 在线段PQ 上．设||||||||QN MQ PN MP ==λ，试判断点N 是否在一条定直线上，并求实数λ的取值范围．（21）（本小题满分12分）已知函数()(2)=-+xf x x e ax .(a R ∈)（I ）试确定函数()f x 的零点个数；（II ）设12，x x 是函数()f x 的两个零点，当122+≤x x 时，求a 的取值范围．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为12cos 12sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l ：αθ=)),,0[(R ∈∈ρπα与曲线C 相交于A 、B 两点，设线段AB 的中点为M ，求||OM 的最大值．（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数)1()(-=x a x f ．（Ⅰ）当1a =时，解不等式|()||()|3f x f x x +-≥； （Ⅱ）设1||≤a ，当1||≤x 时，求证：45|)(|2≤+x x f ．理科数学答案一、选择题：（92，要使加工成的正方体新工件体积最大，则该正方体为圆锥的内接正方体，设棱长为2x 222x-=，解得12x =，故2x =1，故新工件的体积为1.（10）设曲线在点(,())a f a 处的切线的倾斜角为α，则122211)('tan =+≥≥+==b a ab b a a f α，故42ππα≤<． （11）易得点F ,△APF 的周长l =||||||AF AP PF ++||2|'|||AF a PF AP =+++，要△APF 的周长最小，只需|||'|AP PF +最小，如图，当A 、P 、F 三点共线时取到，故l 2||24(1AF a =+=.（12）由条件可在函数()f x 的值域为[0,1]，方程()0f x =的根为0，π-，π，所以方程(())0f f x =的根为方程()0f x =或π-=)(x f 或()f x π=的根，显然方程()0f x =有3个实根，π-=)(x f 与()f x π=均无实根，所以方程(())0f f x =的实根个数为3，即3m =；因x x x g sin 2)(-=是奇函数，先考虑],0[π∈x 的图象，因x x g cos 21)('-=，由0)('>x g 得],3(ππ∈x ，可知)(x g 在],3(ππ上递增，在]3,0(π上递减，又0)0(=g ，ππ=)(g ，由图象关于原点对称得)(x g 的示意图如右，极小值为g 极大值为7.0)3(≈-πg . 方程(())0f g x =的实根为方程()0g x =或π-=)(x g 或π=)(x g 的根，显然方程()0g x =有3个根， 方程π-=)(x g 与π=)(x g 各有１个根，从而方程(())0f g x =DC BA实根的个数为5，即n =5；记方程()0g x =除0外的另外两个实根分别为00,x x -，可知10>x ，方程(())0g g x =的实根为方程()0g x =或0)(x x g =或0)(x x g -=的根，显然方程()0g x =有3个根，方程0)(x x g =与0)(x x g -=各有１个根，从而方程(())0g g x =根的个数为5，即t =5，故m n t ++=13. 二、填空题：（15）依题意知△ABC 为直角三角形，其所在圆面的半径为152AC =，设三棱锥O-ABC 的高为h ，则由116832h ⨯⨯⨯=h =O 的半径为R ，则由2225h R +=得10R =，故该球的表面积为400π.（16）解法1：设A ACD θ∠=∠=，02πθ<<，则2ADC πθ∠=-，又1AC =,由正弦定理得：1.sin 2sin 2cos AC CD CD θθθ=⇒=在△BDC 中由正弦定理得： 112cos 5sin sin sin sin(2)66CD BD B BCD θππθ=⇒=∠∠-55cos sin(2)sin()sin(2)626πππθθθθ⇒=-⇒-=-，由02πθ<< 550,222666πππππθθ⇒<-<-<-<，得5226ππθθ-=-或5226ππθθπ-+-=3πθ⇒=或9π. [注：该题若考生漏掉一解扣2分] 【或5cos sin(2)cos cos(2)63ππθθθθ=-⇒=-23πθθ⇒-=±3πθ⇒=或9π】 解法2：过点C 作CE AB ⊥于E ，A ACD θ∠=∠=,则2CDB θ∠=,在Rt △AEC 中，sin CE θ=，则在Rt △CED 中，θθθ2tan sin 2tan -=-=CE DE ，在Rt △CEBEDB 1C 1A 1BCA中,tan6CE BE θπ==，由BD=1得sin 1tan 2θθθ+=sin cos2sin 2sin 2θθθθθ⇒=cos222cos θθθ⇒=cos cos(2)3πθθ⇒=-23πθθ⇒-=±3πθ⇒=或9π.】三、解答题：（17）解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则有1111464(2)(21)2()3a d a d a n d a nd +=+⎧⎨+-=⋅+-⎩，解得11,2a d ==--------------------------------------------------------------------------------------4分1(1)21n a a n d n ∴=+-=-------------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）由11222332n n nn a b a b a b ++++=-① 当1n =时，1112a b =，所以112b =-----------------------------------------------------------------7分 当2n ≥时，11221112132n n n n a b a b a b ---++++=- ②-----------------------------8分①式减去②式得212n n nn a b -=， 求得12n nb =，易知1n =也成立， 所以数列{}n b 为等比数列，-------------------------------------------------------------------------10分其前n 项和1211[1()]1221()1212n n n n T b b b -=+++==-- ------------------------------------12分（18）解：（Ⅰ）连结ED ，-------------------------------------------1分∵平面AB 1C ∩平面A 1BD=ED ，B 1C ∥平面A 1BD ， ∴B 1C ∥ED ，-------------------------------------------------------2分 ∵E 为AB 1中点，∴D 为AC 中点，∵AB=BC ， ∴BD ⊥AC ①，--------------------------------3分 法一：由A 1A ⊥平面ABC ，⊂BD 平面ABC ，得A 1A ⊥BD ②，1701105频率由①②及A 1A 、AC 是平面11ACC A 内的两条相交直线， 得BD ⊥平面11ACC A .-------------------------------------------5分 【法二:由A 1A ⊥平面ABC ，A 1A ⊂平面11ACC A∴平面11ACC A ⊥平面ABC ，又平面11ACC A 平面ABC=AC ，得BD ⊥平面11ACC A .】 （Ⅱ）由1AB =得BC=BB 1=1，由（Ⅰ）知AC DA 21=，又1=⋅DA AC 得22AC =,----------------------------------------6分∵2222BC AB AC +==，∴BC AB ⊥，-----------------7分 如图以B 为原点，建立空间直角坐标系xyz B -如图示， 则)1,0,1(1A ，)1,0,0(1B ，)0,21,21(D ， 得)0,0,1(11=A B ，111(,,1)22B D =- ，设),,(z y x m = 是平面A 1B 1D 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥D B m A B m 111 ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅==⋅021210111z y x B m x A B m ，令z =1，得)1,2,0(=m ，----------9分设(,,)n a b c = 为平面A 1BD 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥1BA n n ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅00221c a BA n b a BD n ， 令1c =得(1,1,1)n =-， ---------------------------------------------------------------------------10分依题意知二面角11B D A B --为锐二面角，设其大小为θ，则 |||||||,cos |cos m n m n m n⋅⋅=><=θ515353=⋅=， 即二面角11B D A B --的余弦值为515．----------------------------------------------------12分 其它解法请参照给分．（19）解：（Ⅰ）在区间[30，60）的频率为73364156=------------------------------------------------1分 31==73070⨯频率组距，----------------2分设在区间[0，30）上，a =频率组距， 则130)21011051701(=⨯+++a ， 解得2101=a ，-------------------------------------------------3分 补充频率分布直方图如右；-----------------------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）记水电站日利润为Y 元．由（Ⅰ）知：不能运行发电机的概率为71，恰好运行一台发电机的概率为73，恰好运行二台发电机的概率为72，恰好运行三台发电机的概率为71， ①若安装1台发电机，则Y 的值为-500，4000，其分布列为E (Y )＝77400071500=⨯+⨯-；----------------------------------8分 ②若安装2台发电机，则Y 的值为-1000，3500，8000，其分布列为E (Y )＝11000350080007777-⨯+⨯+⨯=；-----------------------------10分 ③若安装3台发电机，则Y 的值为-1500，3000，7500，12000，其分布列为E (Y )＝7712000775007300071500=⨯+⨯+⨯+⨯-； ∵345003350023500777>> ∴要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装3台发电机．--------------12分 （20）解：（I ）由2222||a c b AF =+=，得3=a ，--------------------------1分ABC ∆的周长为14)(2=+a AC ，即722=++a a b ，得72=b ，所以2=c ，椭圆的离心率为32=e ；---------------------------------------------4分 （II ）显然直线l 的斜率存在，设l 的方程为)4(-=x k y ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，N (x 0，y 0)， 由||||||||QN MQ PN MP =，得022101y y y y y y -=-，化简得)(221021y y y y y +=①，-----6分由22(4),1.97=-⎧⎪⎨+=⎪⎩y k x x y 消去x ，得04956)79(222=+++k ky y k ，得7956221+-=+k k y y ，79492221+=k k y y ，----------------------------------------------------8分 代入①式得k y 470-=，由)4(00-=x k y 得490=x ， 49471414||||1010011-+-=--+-=--==x x x x x x x PN MP λ，---------------------------------------10分因为3491≤<x ，得434901≤-<x ，所以34371=+-≥λ， 因此，N 在一条直线49=x 上，实数),34[∞+∈λ．------------------------------------------12分【法二：显然直线l 的斜率存在，设l 的方程为)4(-=x k y ，不妨设0>k ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，N (x 0，y 0)，12y y <， 由||||||||QN MQ PN MP ==λ，得022101y y y y y y -=-=λ，化简得)(221021y y y y y +=①，6分由)(101y y y -=λ，)(022y y y -=λ，得)(1221y y y y -=+λ②，由22(4),1.97=-⎧⎪⎨+=⎪⎩y k x x y 消去x ，得04956)79(222=+++k ky y k ，可知=∆=⋅+-22249)79(4)56(k k k 0)1(364922>-⋅k k ，得7956221+-=+k k y y ，79492221+=k k y y ，)79(25622,1+∆±-=k k y ，----------------------8分代入①式得k y 470-=，由)4(00-=x k y 得490=x ，---------------------------------------9分由②式得79562+-k k 792+∆-⋅=k λ，得341341425622≥-=-=k k k k λ， 因此，N 在一条直线49=x 上，实数),34[∞+∈λ．--------------------------------------12分】【法三：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，N (x 0，y 0)，21x x <，由||||||||QN MQ PN MP ==λ， 得,,MP PN MQ QN λλ==------------------------------------------------------------------------5分 所以01010*********x x y y x x y y λλλλλλλλ+⎧=⎪+⎪⎪=⎪+⎨-⎪=⎪-⎪-⎪=-⎩将()11,A x y ，()22,B x y 代入椭圆方程得------------------7分2200222002222002004()()(4)()111(1)97974(4)()()()(1)1197197x y x y x y x y λλλλλλλλλλλλλλ+⎧⎪⎧++++=+=+⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨----⎪⎪+=-⎪⎪--⎩+=⎪⎩-----------------9分 上面两式相减化简得490=x 0110101744||411||4x x MP PN x x x x x λ--∴===-+=-+---，因为3491≤<x ，得434901≤-<x ，所以34371=+-≥λ，因此，N 在一条直线49=x 上，实数),34[∞+∈λ．----------------------------------12分】 （21）解法1：（I ）函数()f x 的零点即方程()0=f x 的根， 由(2)0-+=x x e ax 得(2)=-x ax x e ，令()(2)=-x g x x e ， 则'()(2)(1)=-+-=-x x x g x e x e x e ，--------------------2分 由'()0g x >得1x <，∴函数()g x 在(,1)-∞单调递增， 由'()0g x <得1x >，∴函数()g x 在(1,)+∞上单调递减，----3分 ∴当1=x 时，函数()g x 有最大值，max ()(1)==g x g e ， 又当1x <时，()g x >0，当→-∞x 时()0→g x ；当2<x 时()g x >0，(2)0=g ，当2>x 时()0<g x ，----------------------------------------4分 ∴当0≥a 时，ax y =与()g x 只有一个公共点，从而函数()f x 有一个零点；---------- 5分当0<a 时，ax y =与()g x 有两个公共点，从而函数()f x 有两个零点．-----------------6分（II ）设12<x x 由（I ）知0<a 且120,2<>x x ，由1111()(2)0=-+=x f x x e ax ，得111(2)-=-x x e a x （10<x ）由2222()(2)0=-+=x f x x e ax ，得222(2)-=-x x e a x （22>x ）-----------------------8分∴2a 111)2(x e x x -=222)2(x e x x -⋅21212121]4)(2[x x e x x x x x x +++-=， -------------------------9分∵221≤+x x ∴0)(2421≥+-x x ，2210e e x x ≤<+，（两者仅当221=+x x 时取等号）∴212121)(24x x x x x x ≥++-，又021<x x ， ∴1]4)(2[212121≤++-x x x x x x ，----------------------------------------------------------------------11分∴22211e e a x x ≤⋅≤+，由0<a 得0<≤-a e ．--------------------------------------------------------------------------------12分 【解法2：（I ）∵02)0(≠-=f ，0=∴x 不是函数的零点；当0≠x 时，由0)2()(=+-=ax e x x f x得xe x a x)2(--=，------------------------------1分设x e x x g x )2()(--=，则0)22()('22<+--=x e x x x g x，----------------------------------2分所以)(x g 在)0,(-∞和),0(∞+上单调递减，-----------------------------------------------------3分 当0>x 且0→x 时，+∞→)(x g ；当+∞→x 时，-∞→)(x g ； 当0<x 且0→x 时，-∞→)(x g ；当-∞→x 时，0)(→x g ； 当0<x 时，由0)(<x g ，有)0,()(-∞∈x g ， 当0>x 时，有0)2(=g ，),()(∞+-∞∈x g ，所以当0≥a 时，曲线a y =与)(x g 只一个公共点，函数)(x f 有一个零点； -----------5分当0<a 时，曲线a y =与()g x 有两个公共点，函数)(x f 有两个零点； -----------------6分（II ）不妨设21x x <，由（I ）得0<a ，且01<x ，22>x ， 由0)(1=x f ，0)(2=x f ，得)(1x g a =，)(2x g a =，∴)()(212x g x g a ⋅=111)2(x e x x -=222)2(x e x x -⋅21212121]4)(2[x x e x x x x x x +++-=，-----8分∵221≤+x x ∴0)(2421≥+-x x ，2210e e x x ≤<+，（两者仅当221=+x x 时取等号） ∴212121)(24x x x x x x ≥++-，又021<x x ，----------------------------------------------------10分 ∴1]4)(2[212121≤++-x x x x x x ，------------------------------------------------------------------------11分∴22211e e a x x ≤⋅≤+，由0<a 得0<≤-a e ．------------------------------------------------12分】 选做题：（22）解：（I ）曲线C 的普通方程为222(1)(1)2x y ++-=，-------------------------------------2分由⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，得22cos 2sin 20ρρθρθ+--=；---------------------------------------5分（II ）解法1：联立αθ=和22cos 2sin 20ρρθρθ+--=，得22(cos sin )20ρραα+--=，-----------------------------------------------------------------6分 设),(1αρA 、),(2αρB ，则)4sin(22)cos (sin 221παααρρ-=-=+，---------8分由|2|||21ρρ+=OM ， 得2|)4sin(|2||≤-=παOM ，--------------------------------9分当34πα=时，|OM |取最大值2．----------------------------------------------------------------10分 【解法2：由（I ）知曲线C 是以点P (1,1)-为圆心，以2为半径的圆，在直角坐标系中，直线l 的方程为x y ⋅=αtan ，则||PM =-----------------------------------------------------6分∵2222||||||2OM OP PM =-=-22tan 11tan αα=-+，---------------------------------8分 当(,)2παπ∈时，tan 0α<，21tan 2|tan |αα+≥，222|tan |||121tan OM αα=+≤+，当且仅当tan 1α=-，即34πα=时取等号，∴||OM 即||OM 的最大值为2．------------------------------------------------------------10分】 （23）解：（I ）当1a =时，不等式|()||()|3f x f x x +-≥即|1||1|3x x x -++≥ 当1x ≤-时，得113x x x ---≥0x ⇒≤，∴1x ≤------------------------------------------1分当11x -<<时，得113x x x -++≥23x ⇒≤，∴213x -<≤------------------------------2分当1x ≥时，得113x x x -++≥0x ⇒≤，与1x ≥矛盾，--------------------------------------3分综上得原不等式的解集为2{|1}{|1}3x x x x ≤--<≤ =2{|}3x x ≤-------------------------5分 （II ）|)1(||)(|22x x a x x f +-=+|||)1(|2x x a +-≤-----------------------------------------------6分∵1||≤a ，1||≤x∴2|()|f x x +||)1(||2x x a +-≤||12x x +-≤--------------------------------------------------7分4545)21|(|1||||22≤+--=++-=x x x ，------------------------------------------------------9分当21||=x 时取“=”，得证． ------------------------------------------------------------------------10分 2017届广东省揭阳市高三第一次模拟考试（一模）。

揭阳市2017-2018学年度高中二年级学业水平考试数学（理科）（测试时间120分钟，满分150分）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效.4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，，则A. {1,2}B. {0,1,2}C.D.【答案】B【解析】.，所以，故选B.2. 已知是虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则的共轭复数=A. B. C. D.【答案】C【解析】复数. 实部与虚部相等，则.，.故选C.3. 已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b没有公共点”是“平面α和平面β平行”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当“直线a和直线b没有公共点”时，两直线有可能在两个相交平面上。

充分性不成立；当“平面α和平面β平行”，则，两直线必无公共点，必要性成立，即“直线a和直线b 没有公共点”是“平面α和平面β平行”的必要不充分条件.故选B.4. 若，且，则的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，又，所以，所以＝，故选A．．5. 已知抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】D【解析】抛物线的焦点为.所以椭圆的一个焦点为.即..椭圆的离心率，故选D.6. 在图1的程序框图中，若输入的x值为2，则输出的y值为 .A. 0B.C.D.【答案】C【解析】根据题意，本程序框图为求y的和循环体为“直到型”循环结构，输入x=2，第一次循环：y=×2−1=0，|0−2|=2>1；x=0，第二次循环：y=×0−1=-，|−0|=1，x=-1；第三次循环：y=×(-1)−1=−，|−+1|⩽1，结束循环，输出y=−.故选：C.7. 已知向量，，则函数的最小正周期为A. B. C. D.【答案】A【解析】向量，.函数的最小正周期为，故选A.8. 在区间上随机选取一个数，若的概率为，则实数的值为A. B. 2 C. 4 D. 5【答案】C【解析】由题意x⩽1的概率为25,则=25，解得m=4；故选C.点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．9. 某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积是A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意知，该几何体是底面为直角梯形的直棱柱，故其表面积为.故选B.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.10. 在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称，而函数的图象与的图象关于轴对称，若，则的值是A. B. 2 C. －2 D.【答案】B【解析】由题知则，.故选B.11. 已知直线：，点，. 若直线上存在点满足，则实数的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】问题转化为求直线与圆有公共点时，的取值范围，数形结合易得.故选C.12. 已知函数=，若存在唯一的零点，且，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】D【解析】当时，函数有两个零点，不符合题意，故，，令得或，由题意知，，且，解得．故选D.点睛：本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题∽第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题∽第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．13. 展开式中常数项是_____________．【答案】60【解析】试题分析：由题意可知常数项为.考点：二项式定理的有关知识14. 已知实数满足不等式组，则的最小值为_____________.【答案】-2【解析】作出可行域：令当直线经过点A(0,2)时，有最小值-2.15. 某次数学竞赛后，小军、小民和小乐分列前三名.老师猜测：“小军第一名，小民不是第一名，小乐不是第三名”.结果老师只猜对一个，由此推断：前三名依次为____________. 【答案】小民、小乐、小军【解析】由老师只才对一个分析知，“小军第一名”肯定不对，不然，“小民不是第一名”也就猜对了；如果“小民不是第一名”猜对了，则必有，小军不是第一，小乐是第三，三人中没有第一了，不正确；如果“小乐不是第三名”猜对了，则，小军不是第一，小民是第一，三人排名依次为：小民，小乐，小军.16. 在△ABC中，角的对边分别为，已知是、的等差中项，且，则△面积的最大值为__________.【答案】【解析】由得，由余弦定得,即，又（当且仅当时等号成立）得，所以，即△面积的最大值为.三、解答题：本大题必做题5小题，选做题2小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知等差数列满足；数列满足，，数列为等比数列．(Ⅰ)求数列和的通项公式；(Ⅱ)求数列的前n项和．【答案】（Ⅰ），；(Ⅱ) .【解析】试题分析：（1）设出数列的公差与公比，利用已知条件列出方程，求解数列的通项公式然后求解的通项公式．（2）利用数列的通项公式，拆项，通过等差数列和等比数列分别求和即可．试题解析：（Ⅰ）由数列是等差数列且∴公差，∴，∵=3，=9，∴∴数列的公比，∴，∴；(Ⅱ)由得.18. 如图，已知四棱锥的底面为矩形，D为的中点，AC⊥平面BCC1B1．（Ⅰ）证明：AB//平面CDB1;（Ⅱ）若AC=BC=1，BB1=,（1）求BD的长；（2）求B1D与平面ABB1所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；(Ⅱ) （1），（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用中位线定理得出DE//AB，即可证得；（Ⅱ）（1）在中，利用勾股定理运算即可；（2）以C为原点，CB所在的直线为x轴、CC1为y轴建立空间直角坐标系，利用向量求解线面角即可.试题解析：（Ⅰ）证明：连结交于E，连结DE，∵D、E分别为和的中点，∴DE//AB,又∵平面,平面,∴AB//平面CDB1;（Ⅱ）（1）∵AC⊥平面BCC1B1，平面，∴,又∵,，∴平面，∵平面,∴,在,∵BC=1，,∴;【注：以上加灰色底纹的条件不写不扣分！】（2）依题意知AC、BC、CC1两两互相垂直，以C为原点，CB所在的直线为x轴、CC1为y轴建立空间直角坐标系如图示，易得，，，，故,,,设平面的一个法向量为，由得令得，设与平面所成的角为，则,即与平面所成的角的正弦值为.【其它解法请参照给分，如先用体积法求出点D到平面ABB1的距离，（10分）再用公式算与平面所成角的正弦值（12分）】19. 某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地区某高级中学一兴趣小组由20名高二级学生和15名高一级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取7人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用.问：（Ⅰ）应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人；（Ⅱ）已知该地区有,两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二级学生都租型车，高一级学生都租型车.（1）如果从组内随机抽取3人，求抽取的3人中至少有2人在市场体验过程中租型车的概率;（2）已知该地区型车每小时的租金为1元，型车每小时的租金为1.2元，设为从体验小组内随机抽取3人得到的每小时租金之和，求的数学期望.【答案】（Ⅰ）高一学生人数为3，高二学生的人数为4；(Ⅱ)（1），（2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用各年级的比例，抽样即可；（Ⅱ）（1）从7个人里抽三个，总数为，计算抽取的3人中至少有2人在市场体验过程中租型车的情况，作比即可；（2）的可能取值为：3,3.2,3.4,3.6，分别计算概率即可.试题解析：（Ⅰ）依题意知，应从该兴趣小组中抽取的高一学生人数为，高二学生的人数为:；（Ⅱ）（1）解法1：所求的概率.解法2：所求概率.（2）从小组内随机抽取3人，得到的的可能取值为：3,3.2,3.4,3.6.（元）因故的数学期望.(元)20. 已知如图，圆、椭圆均经过点M，圆的圆心为，椭圆的两焦点分别为.（Ⅰ）分别求圆和椭圆的标准方程；（Ⅱ）过作直线与圆交于、两点，试探究是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】（Ⅰ），；(Ⅱ)为定值，其值为2.【解析】试题分析：（Ⅰ）通过计算圆心和半径得圆的方程，根据计算a的值，及焦点得c即可得椭圆方程；（Ⅱ）由直线和椭圆联立，利用韦达定理，利用坐标表示，计算即可定值.试题解析：（Ⅰ）依题意知圆C的半径，∴圆C的标准方程为：；∵椭圆过点M，且焦点为、，由椭圆的定义得：，即，∴，，∴椭圆E的方程为：.【其它解法请参照给分】（Ⅱ）显然直线的斜率存在，设为，则的方程为，由消去得：，显然有解，设、，则，．故为定值，其值为2.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21. 已知函数.（Ⅰ）确定函数的单调性；（Ⅱ）证明：函数在上存在最小值.【答案】（Ⅰ）见解析；(Ⅱ)见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）求导得，结合定义域得单调区间；(Ⅱ)由，结合（Ⅰ）的结论，即可证得.试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为，，∴函数在和上单调递增；(Ⅱ)，由（Ⅰ）知在单调递增；∴在上也单调递增；∵，，∴存在，有，当时，<0，得，当时，>0，得，∴在上递减，在上递增，故函数在上存在最小值，.请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程将圆上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得曲线C.（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1 P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.【答案】（Ⅰ）为参数）；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）由坐标变换公式得，代入圆中即得；（Ⅱ）求出点P1 P2的坐标，求出中点和斜率得直线方程，再利用即可得极坐标方程.试题解析：（Ⅰ）由坐标变换公式得代入中得，故曲线C的参数方程为为参数）；（Ⅱ）由题知，，故线段P1 P2中点，∵直线的斜率∴线段P1 P2的中垂线斜率为，故线段P1 P2的中垂线的方程为.即，将代入得其极坐标方程为.23. 选修4-5：不等式选讲设函数.(Ⅰ)若，解不等式；(Ⅱ)如果当时，，求a的取值范围．【答案】（Ⅰ）；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）讨论和即可解不等式即可；（Ⅱ）利用绝对值三角不等式可得，故等价于，求解a即可.试题解析：(Ⅰ)当a＝－2时，f(x)＝|x－2|＋|x＋2|，①当时，原不等式化为：解得，从而；②当时，原不等式化为：，无解；③当时，原不等式化为：解得，从而；综上得不等式的解集为.(Ⅱ)当时，所以当时，等价于-----（）当时，（）等价于解得，从而；当时，（）等价于无解；故所求的取值范围为.。

下学期高二数学3月月考试题03一、填空题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.命题“若p 则q ”的逆命题是 （ ） A.若q 则p B.若p ⌝则q ⌝ C.若q ⌝则p ⌝ D.若p 则q ⌝2.命题“存在R x ∈0，020≤x ”的否定是 ( )A.不存在R x ∈0,02>x B.存在R x ∈0, 020≥xC.对任意的R x ∈, 02≤xD.对任意的R x ∈, 02>x3.设R x ∈，则“21≥x ”是“0122≥-+x x ”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.椭圆63222=+y x 的焦距是 ( ) A. )23(2-B. 2C.52D.)23(2+5.已知直线l 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直, l 与C 交于A 、B 两点且12=AB ,若P 为C 的准线上一点,则ABP ∆的面积为 ( ) A.18 B.24 C.36 D.486.椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心距离的范围是（ )A.[]10,6B.[]8,6C.[]10,8D.[]20,167.若椭圆)0(122>>=+n m n y m x 和双曲线)0,0(122>>=-b a by a x 有相同的焦点 1F 、2F ，点P 是两条曲线的一个交点，则21PF PF ⋅的值为 （ ）A.a m -B.)(21a m - C.22a m - D.a m - 8.已知双曲线22221(0,0)x y ab a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为)1,2(--,则双曲线的焦距为 ( )A.32B.52C.34D.549.已知F 是抛物线x y =2的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点,3=+BF AF ,则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( )A.43B.23C.45D.47 10.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ,点P 在双曲线的右支上且214PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为 （ ）A.34B.35C.2D.37二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上。

2016-2017学年广东省揭阳市高二（下）第一次段考数学试卷（理科）一.选择题（每小题5分，共60分；每小题的答案是唯一的）1．定积分2xdx的值是（）A．1 B．2 C．3 D．42．设f（x）在x=x0可导，且=1，则f′（x0）等于（）A．1 B．0 C．3 D．3．下列求导运算正确的是（）A．B．C．（3x）′=3x log3e D．4．一个物体的运动方程是s=1﹣t+t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在2秒末的瞬时速度是（）A．3米/秒B．4米/秒C．5米/秒D．2米/秒5．用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误 D．是正确的6．函数f（x）=x﹣lnx的单调递减区间是（）A．（0，1）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）7．若曲线y=x2+ax+b在点（0，1）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（）A．a=﹣1，b=﹣1 B．a=﹣1，b=1 C．a=1，b=﹣1 D．a=1，b=18．已知f（x）的导函数f'（x）图象如图所示，那么f（x）的图象最有可能是图中的（）A． B．C．D．9．如图所示的是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x12+x22等于（）A．B．C．D．10．某箱子的容积V与底面边长x的关系为，则当箱子的容积最大时，箱子的底面边长为（）A．30 B．40 C．50 D．其他11．为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统（Private Key Cryptosystem），其加密、解密原理如图：现在加密密钥为y=log a（x+2），如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”．问：若接受方接到密文为“4”，则解密后得明文为（）A．12 B．13 C．14 D．1512．已知函数f（x）满足f（x）=f（π﹣x），且当时，f （x）=e x+sinx，则（）A．f（1）＜f（2）＜f（3）B．f（2）＜f（3）＜f（1）C．f（3）＜f（2）＜f（1）D．f（3）＜f（1）＜f（2）二.填空题（每小题5分，共20分）13．若f（x）=则f（x）dx= ．14．如图，函数y=﹣x2+2x+1与y=1相交形成一个封闭图形（图中的阴影部分），则该封闭图形的面积是．15．若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V= ．16．函数y=x2（x＞0）的图象在点（a k，a k2）处的切线与x轴交点的横坐标为a k+1，其中k∈N+，若a1=16，则a1+a3+a5= ．三.解答题（共70分）17．已知函数f（x）=x3﹣x+2，其导函数为f′（x）．（Ⅰ）求f（x）在x=1处的切线l的方程（Ⅱ）求直线l与f′（x）图象围成的图形的面积．18．设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．（1）求a，b的值；（2）当c=﹣2时，求函数f（x）在区间上的最大值．19．下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第n个图形中有n个正三角形中所有小正三角形边上黑点的总数为f（n）．（1）求出f（2），f（3），f（4），f（5）；（2）找出f（n）与f（n+1）的关系，并求出f（n）的表达式．20．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x﹣0.15x2和L2=2x，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，求该公司能获得的最大利润为多少万元？21．已知数列{a n}满足S n+a n=2n+1．（1）写出a1，a2，a3，并推测a n的表达式；（2）用数学归纳法证明所得的结论．22．已知函数，a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）当a=1，且x≥2时，证明：f（x﹣1）≤2x﹣5．2016-2017学年广东省揭阳三中高二（下）第一次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共60分；每小题的答案是唯一的）1．定积分2xdx的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】67：定积分．【分析】根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解： 2xdx=x2|=4，故选：D．2．设f（x）在x=x0可导，且=1，则f′（x0）等于（）A．1 B．0 C．3 D．【考点】63：导数的运算．【分析】根据得到的定义，=3=3f′（x0），问题得以解决【解答】解：=3=3f′（x0）=1，∴f′（x0）=，故选：D3．下列求导运算正确的是（）A．B．C．（3x）′=3x log3e D．【考点】63：导数的运算．【分析】根据导数的运算法则进行判断即可．【解答】解：A．（）′=﹣，则A错误，B．，则B成立，C．（3x）′=3x ln3，则C错误，D. =，则D错误，故选：B4．一个物体的运动方程是s=1﹣t+t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在2秒末的瞬时速度是（）A．3米/秒B．4米/秒C．5米/秒D．2米/秒【考点】62：导数的几何意义；61：变化的快慢与变化率．【分析】对位移求导即得到物体的瞬时速度，求出导函数在t=2时的值，即为物体在4秒末的瞬时速度．【解答】：∵s=1﹣t+t2，求导函数可得s′=2t﹣1当t=2时，s′=2t﹣1=2×2﹣1=3，故物体在2秒末的瞬时速度是3米/秒，故选：A．5．用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误 D．是正确的【考点】F6：演绎推理的基本方法．【分析】要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论是否都正确，根据三个方面都正确，得到结论．【解答】解：∵任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0，大前提：任何实数的平方大于0是不正确的，0的平方就不大于0．故选A．6．函数f（x）=x﹣lnx的单调递减区间是（）A．（0，1）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数为y′，再解y'＜0得x的范围．结合函数的定义域，即可得到单调递减区间．【解答】解：函数y=x﹣lnx的导数为y=1﹣，令y′=1﹣＜0，得x＜1∴结合函数的定义域，得当x∈（0，1）时，函数为单调减函数．因此，函数y=x﹣lnx的单调递减区间是（0，1）故选：A．7．若曲线y=x2+ax+b在点（0，1）处的切线方程是x﹣y+1=0，则（）A．a=﹣1，b=﹣1 B．a=﹣1，b=1 C．a=1，b=﹣1 D．a=1，b=1【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出y=x2+ax+b的导数，由切点得到切线的斜率，由切线方程得到a，再由切点在曲线上求出b．【解答】解：y=x2+ax+b的导数是y′=2x+a，则在点（0，1）处的切线斜率为a，由切线方程得a=1，再由切点（0，1）在曲线上，则b=1．故选D．8．已知f（x）的导函数f'（x）图象如图所示，那么f（x）的图象最有可能是图中的（）A． B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．【解答】解：x＜﹣2时，f′（x）＜0，则f（x）单减；﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0，则f（x）单增；x＞0时，f′（x）＜0，则f（x）单减．则符合上述条件的只有选项A．故选A．9．如图所示的是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x12+x22等于（）A．B．C．D．【考点】63：导数的运算；36：函数解析式的求解及常用方法；7H：一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】由图象知f（x）=0的根为0，1，2，求出函数解析式，x1，x2为导函数的两根，可结合根与系数求解．【解答】解：由图象知f（x）=0的根为0，1，2，∴d=0．∴f（x）=x3+bx2+cx=x（x2+bx+c）=0．∴x2+bx+c=0的两个根为1和2．∴b=﹣3，c=2．∴f（x）=x3﹣3x2+2x．∴f′（x）=3x2﹣6x+2．∵x1，x2为3x2﹣6x+2=0的两根，∴．∴．10．某箱子的容积V与底面边长x的关系为，则当箱子的容积最大时，箱子的底面边长为（）A．30 B．40 C．50 D．其他【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】，0＜x＜60，令=0，解得x=0（舍去），或x=40，由此能求出当箱子的容积最大时，箱子的底面边长．【解答】解：，0＜x＜60，令=0，解得x=0（舍去），或x=40，并求得 V（40）=16 000．当x∈（0，40）时，v‘（x）＞0，v（x）是增函数；当x∈（40，60）时，v′（x）＜0，v（x）是减函数，因此，16 000是最大值．∴当箱子容积最大，箱子的底面边长为40．故选B．11．为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统（Private Key Cryptosystem），其加密、解密原理如图：现在加密密钥为y=log a（x+2），如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，再发送，接受方通过解密密钥解密得到明文“6”．问：若接受方接到密文为“4”，则解密后得明文为（）A．12 B．13 C．14 D．15【考点】SI：信息的加密与去密；3C：映射；F4：进行简单的合情推理．【分析】根据题意中给出的解密密钥为y=log a（x+2），如上所示，明文“6”通过加密后得到密文“3”，我们不难求出底数a的值，若接受方接到密文为“4”，不妨解密后得明文为b，构造方程，解方程即可解答．【解答】解：∵加密密钥为y=log a（x+2），由其加密、解密原理可知，当x=6时，y=3，从而a=2；不妨设接受方接到密文为“4”的“明文”为b，则有4=log2（b+2），从而有b=24﹣2=14．即解密后得明文为14故答案为：1412．已知函数f（x）满足f（x）=f（π﹣x），且当时，f （x）=e x+sinx，则（）A．f（1）＜f（2）＜f（3）B．f（2）＜f（3）＜f（1）C．f（3）＜f（2）＜f（1）D．f（3）＜f（1）＜f（2）【考点】H6：正弦函数的对称性；3T：函数的值；H5：正弦函数的单调性．【分析】根据函数的对称性和函数的单调性即可比较大小．【解答】解：∵f（x）=f（π﹣x），则f（x）关于x=对称∴f（3）=f（π﹣3），f（2）=f（π﹣2）当时，y=e x+y=sinx，单调递增，∴此时函数f（x）=e x+sinx是增函数．∵0＜π﹣3＜1＜π﹣2，∴f（π﹣3）＜f（1）＜f（π﹣2），即f（3）＜f（1）＜f（2）．故选：D．二.填空题（每小题5分，共20分）13．若f（x）=则f（x）dx= 2 ．【考点】67：定积分．【分析】根据分段函数，求得f（x）dx=cosxdx+sinxdx，根据定积分的运算，即可求得答案．【解答】解： f（x）dx=cosxdx+sinxdx=（sinx）+（﹣cosx）=+=0+=2，∴f（x）dx=2，故答案为：2．14．如图，函数y=﹣x2+2x+1与y=1相交形成一个封闭图形（图中的阴影部分），则该封闭图形的面积是．【考点】67：定积分．【分析】本题考查的知识点是定积分的几何意义，首先我们要联立两个曲线的方程，判断他们的交点，以确定积分公式中x的取值范围，再根据定积分的几何意义，所求图形的面积为S=∫02（﹣x2+2x+1）dx﹣∫021dx，计算后即得答案．【解答】解：函数y=﹣x2+2x+1与y=1的两个交点为（0，1）和（2，1），所以封闭图形的面积等于S=∫02（﹣x2+2x+1）dx﹣∫021dx=∫02（﹣x2+2x+1﹣1）dx=∫02（﹣x2+2x）dx=（﹣+x2）|=﹣+4=．故答案为：15．若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V= R（S1+S2+S3+S4）．【考点】F3：类比推理；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．故答案为： R（S1+S2+S3+S4）．16．函数y=x2（x＞0）的图象在点（a k，a k2）处的切线与x轴交点的横坐标为a k+1，其中k∈N+，若a1=16，则a1+a3+a5= 21 ．【考点】8I：数列与函数的综合．【分析】由y=x2（x＞0），求出y=x2（x＞0）在点（a k，a k2）处的切线方程是2a k x﹣y﹣a k2=0，再由切线与x轴交点的横坐标为a k+1，知a k+1=，所以{a n}是首项为a1=16，公比q=的等比数列，由此能求出a1+a3+a5．【解答】解：∵y=x2（x＞0），∴y′=2x，∴y=x2（x＞0）在点（a k，a k2）处的切线方程是：y﹣a k2=2a k（x﹣a k），整理，得2a k x﹣y﹣a k2=0，∵切线与x轴交点的横坐标为a k+1，∴a k+1=，∴{a n}是首项为a1=16，公比q=的等比数列，∴a1+a3+a5=16+16×+=21．故答案为：21．三.解答题（共70分）17．已知函数f（x）=x3﹣x+2，其导函数为f′（x）．（Ⅰ）求f（x）在x=1处的切线l的方程（Ⅱ）求直线l与f′（x）图象围成的图形的面积．【考点】6G：定积分在求面积中的应用；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求导函数，求出切线的斜率，利用点斜式，可得切线l的方程（Ⅱ）求出直线与l与f′（x）的交点的横坐标，可得积分的上、下限，利用定积分，可求直线l与f′（x）图象围成的图形的面积．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3x2﹣1，∴k=f'（1）=2，又f（1）=2…∴l：y﹣2=2（x﹣1），即：y=2x…（Ⅱ）由…∴…18．设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．（1）求a，b的值；（2）当c=﹣2时，求函数f（x）在区间上的最大值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）由已知得f′（x）=6x2+6ax+3b，，由此能求出a，b的值．（2）由（1）知，f′（x）=6x2﹣18x+12=6（x﹣1）（x﹣2）．由此利用导数性质能求出函数f （x）在区间上的最大值．【解答】（1）解：∵函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c，∴f′（x）=6x2+6ax+3b，∵函数f（x）在x=1及x=2取得极值，∴f′（1）=0，f′（2）=0．即，解得a=﹣3，b=4．…（2）解：由（1）知，f（x）=2x3﹣9x2+12x+8c，f′（x）=6x2﹣18x+12=6（x﹣1）（x﹣2）．当x∈（0，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，2）时，f′（x）＜0；当x∈（2，3）时，f′（x）＞0．∴当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c．则当x∈时，f（x）的最大值为f（3）=9+8c=﹣7．…19．下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第n个图形中有n个正三角形中所有小正三角形边上黑点的总数为f（n）．（1）求出f（2），f（3），f（4），f（5）；（2）找出f（n）与f（n+1）的关系，并求出f（n）的表达式．【考点】F1：归纳推理；82：数列的函数特性．【分析】（1）根据条件分别求出f（2），f（3），f（4），f（5）即可；（2）根据条件找出f（n）与f（n+1）的关系，利用累加法即可求出f（n）的表达式．【解答】解：（1）由题意有f（1）=3，f（2）=f（1）+3+3×2=12，f（3）=f（2）+3+3×4=27，f（4）=f（3）+3+3×6=48，f（5）=f（4）+3+3×8=75．（2）由题意及（1）知，f（n+1）=f（n）+3+3×2n=f（n）+6n+3，即f（n+1）﹣f（n）=6n+3，所以f（2）﹣f（1）=6×1+3，f（3）﹣f（2）=6×2+3，f（4）﹣f（3）=6×3+3，…f（n）﹣f（n﹣1）=6（n﹣1）+3，将上面（n﹣1）个式子相加，得：f（n）﹣f（1）=6+3（n﹣1）==3n2﹣3又f（1）=3，所以f（n）=3n2．故答案为：（1）12，27，48，75．（2）f（n+1）﹣f（n）=6n+3，f（n）=3n2．20．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x﹣0.15x2和L2=2x，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，求该公司能获得的最大利润为多少万元？【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】先根据题意，设甲销售x辆，则乙销售（15﹣x）辆，再列出总利润y的表达式，是一个关于x的二次函数，最后求此二次函数的最大值即可．【解答】解：设甲地销售x辆，则乙地销售15﹣x辆，0≤x≤15，则该公司能获得的最大利润y=5.06x﹣0.15x2+2（15﹣x）=﹣0.15x2+3.06x+30，当x=10.2时，S取最大值又x必须是整数，故x=10，此时S max=45.6（万元）．即甲地销售10辆，则乙地销售5辆时，该公司能获得的最大利润为45.6万元21．已知数列{a n}满足S n+a n=2n+1．（1）写出a1，a2，a3，并推测a n的表达式；（2）用数学归纳法证明所得的结论．【考点】8H：数列递推式；RG：数学归纳法．【分析】（1）取n=1，2，3，分别求出a1，a2，a3，然后仔细观察，总结规律，猜测a n的值．（2）用数学归纳法进行证明，①当n=1时，命题成立；②假设n=k时，命题成立，即a k=2﹣，当n=k+1时，a1+a2+…+a k+a k+1+a k+1=2（k+1）+1，a k+1=2﹣，当n=k+1时，命题成立．故a n=2﹣都成立．【解答】解：（1）当n=1，时S1+a1=2a1=3∴a1=当n=2时，S2+a2=a1+a2+a2=5∴a2=，同样令n=3，则可求出a3=∴a1=，a2=，a3=猜测a n=2﹣（2）①由（1）已得当n=1时，命题成立；②假设n=k时，命题成立，即a k=2﹣，当n=k+1时，a1+a2+…+a k+2a k+1=2（k+1）+1，且a1+a2+…+a k=2k+1﹣a k∴2k+1﹣a k+2a k+1=2（k+1）+1=2k+3，∴2a k+1=2+2﹣，即a k+1=2﹣，即当n=k+1时，命题成立．根据①②得n∈N+，a n=2﹣都成立．22．已知函数，a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）当a=1，且x≥2时，证明：f（x﹣1）≤2x﹣5．【考点】66：简单复合函数的导数；6B：利用导数研究函数的单调性；I9：两条直线垂直的判定．【分析】（Ⅰ）导数在切点处的导数值是切线斜率，垂直的直线斜率互为负倒数．（Ⅱ）导数大于0，对应区间为单调递增区间；导数小于0，对应区间为单调递减区间（Ⅲ）用导数研究函数的单调性，求函数的最值，证明不等式．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，．又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直，所以f'（1）=a+1=2，即a=1．（Ⅱ）由于．当a≥0时，对于x∈（0，+∞），有f'（x）＞0在定义域上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上是增函数．当a＜0时，由f'（x）=0，得．当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．（Ⅲ）当a=1时， x∈[2，+∞）．令．．当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）在（2，+∞）单调递减．又g（2）=0，所以g（x）在（2，+∞）恒为负．所以当x∈[2，+∞）时，g（x）≤0．即．故当a=1，且x≥2时，f（x﹣1）≤2x﹣5成立．。

2017-2018学年广东省揭阳一中高一（下）第一次段考数学试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．sin（﹣120°）的值为（）A．B．C．D．2．平行线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0的距离是（）A．B．2 C．D．3．已知lg2=a，lg3=b，则log36=（）A．B．C．D．4．过点P（1，1）的直线被圆x2+y2=4截得的弦取得最小值，则该直线的方程为（）A．x+y﹣2=0 B．y﹣1=0 C．x﹣y=0 D．x+3y﹣4=05．幂函数f（x）的图象过点，那么f（8）的值为（）A．B．64 C．D．6．若函数f（x）=ax+b有一个零点是2，那么函数g（x）=bx2﹣ax的零点是（）A．0，2 B．0，C．0，﹣D．2，﹣7．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（）A．120°B．150°C．180°D．240°8．不论m取何值，直线mx﹣y+2m+1=0恒过定点（）A．B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．9．已知直线l过定点P（﹣1，2），且与以A（﹣2，﹣3），B（﹣4，5）为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．[﹣1，5]B．（﹣1，5）C．（﹣∞，﹣1]∪[5，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）10．与圆x2+（y﹣2）2=1相切，且在坐标轴上截距相等的直线有（）A．2条B．3条C．4条D．6条二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答卷上）11．点P（1，2，3）关于xoy平面的对称点的坐标是．12．已知角β的终边在直线上，且﹣180°≤β≤180°，则β=．13．已知点O（0，0），A（1，1），直线l：x﹣y+1=0且点P在直线l上，则|PA|+|PO|的最小值为．14．直线：y=x+b与曲线：有二个不同的公共点，则b的取值范围是．三.解答题（本大题共6题，满分80分）15．已知集合A={x|x2﹣x﹣12≤0}，B={x|2m﹣1＜x＜m+1}（1）若m=﹣1，求A∩∁R B；（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围．16．已知0＜x＜，求值：（1）sinx﹣cosx；（2）2sin2x+cos2x﹣3sinxcosx．17．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分别是PA、BC的中点（1）求证：平面PAC⊥平面PBD（2）求证：MN∥平面PCD．18．设a是实数，f（x）=a﹣（Ⅰ）证明：对于任意实数a，f（x）在R上为增函数；（Ⅱ）如果f（x）为奇函数，试确定a的值．（Ⅲ）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．19．圆x2+y2=8内有一点P（﹣1，2），AB为过点P的弦，（1）若|AB|=2，求出直线AB的方程；（2）设过P点的弦的中点为M，求点M的坐标所满足的关系式．20．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=64，圆O1与圆O相交，圆心为O1（9，0），且圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离为21．（1）求圆O1的标准方程；（2）过定点P（a，b）作动直线l与圆O，圆O1都相交，且直线l被圆O，圆O1截得的弦长分别为d，d1．若d与d1的比值总等于同一常数λ，求点P的坐标及λ的值．2017-2018学年广东省揭阳一中高一（下）第一次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．sin（﹣120°）的值为（）A．B．C．D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解答：解：sin（﹣120°）=﹣sin120°=﹣sin（180°﹣60°）=﹣sin60°=﹣，故选：D．点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2．平行线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0的距离是（）A．B．2 C．D．考点：两条平行直线间的距离．专题：直线与圆．分析：利用两直线平行求得m的值，化为同系数后由平行线间的距离公式得答案．解答：解：由直线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0平行，得m=8．∴直线6x+my+2=0化为6x+8y+2=0，即3x+4y+1=0．∴平行线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0的距离是．故选：B．点评：本题考查了两条平行线间的距离公式，利用两平行线间的距离公式求距离时，一定要化为同系数的方程，是基础的计算题．3．已知lg2=a，lg3=b，则log36=（）A．B．C．D．考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的换底公式和运算法则即可得出．解答：解：∵a=lg2，b=lg3，∴log36===，故选：D．点评：本题考查了对数的换底公式和运算法则，属于基础题．4．过点P（1，1）的直线被圆x2+y2=4截得的弦取得最小值，则该直线的方程为（）A．x+y﹣2=0 B．y﹣1=0 C．x﹣y=0 D．x+3y﹣4=0考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：过点P的直线中，被圆截得的弦长最短时，弦心距最大，故当且仅当与OP垂直时，弦长最短，求出直线的斜率，即可得到直线的方程．解答：解：过点P的直线中，被圆截得的弦长最短时，弦心距最大，故当且仅当与OP垂直时，弦长最短，∵OP的斜率为1，∴所求直线的斜率为﹣1，∴所求直线的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0，故选：A．点评：本题考查直线和圆的方程的运用，考查弦长问题，解题的关键是得到过点P的直线中，被圆截得的弦长最短时，弦心距最大．5．幂函数f（x）的图象过点，那么f（8）的值为（）A．B．64 C．D．考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．专题：计算题．分析：先设出幂函数解析式，再通过经过点（4，），解得参数a的值，从而求得其解析式，再代入8求值．解答：解：设幂函数为：y=xα∵幂函数的图象经过点（4，），∴=4α∴α=﹣∴∴f（8）==故选A．点评：本题主要考查幂函数求解析式和求函数值问题．幂函数要求较低，但在构造函数和幂的运算中应用较多．不能忽视．6．若函数f（x）=ax+b有一个零点是2，那么函数g（x）=bx2﹣ax的零点是（）A．0，2 B．0，C．0，﹣D．2，﹣考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）的零点，求出b=﹣2a，然后利用一元二次函数的性质即可得到结论．解答：解：函数f（x）=ax+b有一个零点是2，∴f（2）=2a+b=0，即b=﹣2a，则g（x）=bx2﹣ax=﹣2ax2﹣ax=﹣ax（2x+1），由g（x）=0得x=0或x=﹣，故函数g（x）=bx2﹣ax的零点是0，﹣，故选：C点评：本题主要考查函数零点的求解，根据函数零点的定义是解决本题的关键．7．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（）A．120°B．150°C．180°D．240°考点：扇形面积公式；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：圆锥的全面积是底面积的3倍，那么母线和底面半径的比为2，求出侧面展开图扇形的弧长，可求其圆心角．解答：解：圆锥的全面积是底面积的3倍，那么母线和底面半径的比为2，设圆锥底面半径为1，则圆锥母线长为2，圆锥的侧面展开图扇形的弧长是圆锥底面周长为2π，该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角：π，即180°故选C．点评：本题考查圆锥的侧面展开图，及其面积等知识，考查空间想象能力，是基础题．8．不论m取何值，直线mx﹣y+2m+1=0恒过定点（）A．B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．考点：恒过定点的直线．专题：直线与圆．分析：把直线方程中参数m分离出来，再利用m（ax+by+c）+（a′x+b′y+c′）=0 经过直线ax+by+c=0和直线a′x+b′y+c′=0的交点，可得定点的坐标．解答：解：直线mx﹣y+2m+1=0，即m（x+2）﹣y+1=0，令x+2=0，可得x=﹣2，y=1，故直线mx﹣y+2m+1=0恒过定点（﹣2，1），故选：B．点评：本题主要考查直线过定点问题，利用了m（ax+by+c）+（a′x+b′y+c′）=0 经过直线ax+by+c=0和直线a′x+b′y+c′=0的交点，属于基础题．9．已知直线l过定点P（﹣1，2），且与以A（﹣2，﹣3），B（﹣4，5）为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．[﹣1，5]B．（﹣1，5）C．（﹣∞，﹣1]∪[5，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）考点：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．专题：直线与圆．分析：先利用斜率公式求得直线PA，PB的斜率结合图象可得则直线l的斜率k的取值范围．解答：解：直线PA的斜率为k1==5，直线PB的斜率为k2==﹣1，结合图象可得则直线l的斜率k的取值范围是k2≤k≤k1，即则直线l的斜率k的取值范围是[﹣1，5]，故选A．点评：本题主要考查直线的斜率和倾斜角的关系，直线的斜率公式，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．10．与圆x2+（y﹣2）2=1相切，且在坐标轴上截距相等的直线有（）A．2条B．3条C．4条D．6条考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：当所求直线方程与坐标轴的截距等于0，即直线过原点时，显然满足题意的直线有两条；当所求直线与坐标轴的截距相等，不为0时，由题意设出所求直线的方程为x+y=a，根据所求直线与圆相切，利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离d，让d等于圆的半径r列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，根据求出a值有两个即可得到满足题意的直线有两条，综上，得到满足题意的直线有4条．解答：解：当所求直线的方程的截距为0时，直线过原点，显然有两条直线满足题意；当截距不为0时，设所求直线的方程为：x+y=a（a≠0）由圆的方程得到：圆心坐标为（0，2），圆的半径为r=1，则圆心到直线的距离d==r=1，即（a﹣2）2=2，解得：a=2±，满足题意a的值有2个，所以满足题意的直线有2条．综上，满足题意的直线有4条．故选C点评：此题考查学生掌握直线与圆相切时满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道基础题．二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答卷上）11．点P（1，2，3）关于xoy平面的对称点的坐标是（1，2，﹣3）．考点：空间中的点的坐标．专题：空间位置关系与距离．分析：根据空间点的对称的性质进行求解．解答：解：点P（1，2，3）关于xoy平面的对称，则横坐标，纵坐标不变，竖坐标相反，即（1，2，﹣3），故答案为：（1，2，﹣3）点评：本题主要考查空间坐标对称性的性质，比较基础．12．已知角β的终边在直线上，且﹣180°≤β≤180°，则β=﹣60°或120°．考点：直线的倾斜角．专题：三角函数的求值；直线与圆．分析：根据直线的方程求出它的倾斜角，再根据终边相同的角求出β的值．解答：解：∵直线的斜率为﹣，∴直线的倾斜角为120°；又角β的终边在直线上，∴{β|β=120°+k•180°，k∈Z}，且﹣180°≤β≤180°，∴β=﹣60°或120°．故答案为：﹣60°或120°．点评：本题考查了直线方程的应用问题，也考查了终边相同的角的应用问题，是基础题目．13．已知点O（0，0），A（1，1），直线l：x﹣y+1=0且点P在直线l上，则|PA|+|PO|的最小值为2．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程；两点间的距离公式．专题：直线与圆．分析：求出A关于直线y=x+1的对称点的坐标，利用两点间的距离公式，即可求得最小值．解答：解：设A关于直线y=x+1的对称点的坐标为A′（a，b），则∴a=0，b=2∴|PA|+|PO|最小为OA′=2，故答案为：2．点评：本题考查点关于直线的对称点，考查两点间距离公式的应用，属于基础题．14．直线：y=x+b与曲线：有二个不同的公共点，则b的取值范围是（﹣，﹣1]．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：曲线表示圆心在原点，半径为1的y轴右侧的半圆，画出两函数图象，根据两函数有两个不同的交点即可确定出b的范围．解答：解：如图所示，曲线x=表示圆心在原点，半径为1的y轴右侧的半圆，当直线y=x+b与半圆相切，且切点在第四象限时，圆心到直线的距离d=r，即=1，解得：b=（舍去）或b=﹣，当直线y=x+b过（1，0）时，将x=1，y=0代入解析式得：0=1+b，即b=﹣1，则直线与曲线有两个不同交点时，b的取值范围为（﹣，﹣1]．故答案为：（﹣，﹣1]点评：此题考查了直线与圆相交的性质，利用了数形结合的思想，抓住两个关键点是解本题的关键．三.解答题（本大题共6题，满分80分）15．已知集合A={x|x2﹣x﹣12≤0}，B={x|2m﹣1＜x＜m+1}（1）若m=﹣1，求A∩∁R B；（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：（1）若m=﹣1，化简集合，即可求A∩∁R B；（2）若A∪B=A，B⊆A，利用集合关系即可求实数m的取值范围．解答：解：（1）若m=﹣1，则B={x|﹣3＜x＜0}，所以C R B={x|x≤﹣3或x≥0}，（2分）又A={x|（x﹣4）（x+3）≤0}={x|﹣3≤x≤4}，（4分）所以A∩C R B={x|0≤x≤4或x=﹣3}；（5分）（2）因为A∪B=A所以B⊆A，（6分）当B=Φ时，显然B⊆A，此时2m﹣1≥m+1解得m≥2；（8分）当B≠Φ时，则由B⊆A得﹣3≤2m﹣1＜m+1≤4，解得﹣1≤m＜2；（11分）综合上述，实数m的取值范围为m≥﹣2分）点评：本题主要考查集合的基本运算，根据集合关系建立不等式关系是解决本题的关键．16．已知0＜x＜，求值：（1）sinx﹣cosx；（2）2sin2x+cos2x﹣3sinxcosx．考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：（1）两边平方，先求出2sinxcosx=，再求出（sinx﹣cosx）2=，根据角的范围，即可求出sinx﹣cosx，（2）根据（1）求出sinx，cosx的值，化简代入即可．解答：解：（1）∵sinx+cosx=，∴（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx=，∴2sinxcosx=，∴（sinx﹣cosx）2=1﹣2sinxcosx=，∵0＜x＜∴sinx＜cosx，∴，（2）由得，∴2sin2x+cos2x﹣3sinxcosx=1+sin2x﹣3sinxcosx，=，=．点评：本题考查了三角函数值的化简与计算，属于基础题．17．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分别是PA、BC的中点（1）求证：平面PAC⊥平面PBD（2）求证：MN∥平面PCD．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由已知中底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，结合正方形的性质及线面垂直的性质，可得AC⊥BD，PD⊥AC，由线面垂直的判定定理得AC⊥平面PBD，再由面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面PBD；（2）取AD中点E，连接ME，NE，结合已知条件，由三角形中位线定理可得ME∥PD，NE∥CD，由面面平行的判定定理易判断出平面MNE∥平面PCD，再由面面平行的判定定理得到MN∥平面PCD；解答：证明：（1）∵面ABCD为正方形∴AC⊥BD （1分）∵PD⊥面ABCD AC⊂面ABCD∴PD⊥AC （3分）又PD∩AD=D （4分）∴AC⊥面PBD （5分）又AC⊂面PAC （6分）∴平面PAC⊥平面PBD （7分）（2）取PD的中点E，连接ME、CE （9分）∵E、M、N分别为PD、PA、BC的中点∴ME∥AD CN∥AD∴ME∥CN，∴四边形MECN为平行四边形（11分）∴MN∥CE （12分）有MN⊄面PCD CE⊂面PCD∴MN∥面PCD （14分）点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，其中（1）的关键是证得AC⊥平面PBD，（2）的关键是得到平面MNE∥平面PCD．18．设a是实数，f（x）=a﹣（Ⅰ）证明：对于任意实数a，f（x）在R上为增函数；（Ⅱ）如果f（x）为奇函数，试确定a的值．（Ⅲ）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．考点：函数单调性的判断与证明；奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：（1）定义证明函数的单调性，（2）利用奇函数在0处有定义，则有f（0）=0，（3）根据反比例函数性质和不等式性质求函数的值域．解答：解：（1）设x1，x2是R内任意两实数，且x1＜x2，所以=，因为x1＜x2，所以，所以，，，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在R上为增函数．（2）因为f（x）为R上的奇函数，所以，所以．（3）由（2）知，f（x）=，因为x∈R，所以2x+1＞1，所以，，所以f（x）的值域为．点评：本题考察函数奇偶性和单调性的综合，此题单调性用定义比用导数容易一些，（3）中的值域主要利用反比例函数模型结合不等式的性质求解．19．圆x2+y2=8内有一点P（﹣1，2），AB为过点P的弦，（1）若|AB|=2，求出直线AB的方程；（2）设过P点的弦的中点为M，求点M的坐标所满足的关系式．考点：直线与圆相交的性质．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）分类讨论，利用点线距离公式，即可求出直线AB的方程；（2）设过P点的弦的中点为M，分类讨论，利用k OM•k MP=﹣1，即可求点M的坐标所满足的关系式．解答：解：（1）因为所以圆心到直线的距离为（1分）当直线AB的斜率不存在时，x=﹣1此时d=1符合题意（3分）当直线AB的斜率存在时，可设方程为y﹣2=k（x+1）即kx﹣y+k+2=0所以解得此时直线的方程为即3x+4y﹣5=0（6分）综合上述，直线AB的方程为x=﹣1或3x+4y﹣5=0 （7分）（2）设AB的中点为M（x，y），则OM⊥AB（8分）当OM的斜率和AB斜率都存在时：则k OM•k MP=﹣1即（11分）当OM斜率不存在时点M为（0，2）满足上式，当AB斜率不存在时点M为（﹣1，0）亦满足上式，所以M点的轨迹为x2+y2﹣2y+x=0．（14分）点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=64，圆O1与圆O相交，圆心为O1（9，0），且圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离为21．（1）求圆O1的标准方程；（2）过定点P（a，b）作动直线l与圆O，圆O1都相交，且直线l被圆O，圆O1截得的弦长分别为d，d1．若d与d1的比值总等于同一常数λ，求点P的坐标及λ的值．考点：直线和圆的方程的应用；圆的标准方程．专题：综合题．分析：（1）圆O1的半径为4，圆心为O1（9，0），从而可得圆O1的标准方程；（2）当直线l的斜率存在时，设方程为y﹣b=k（x﹣a），求出O，O1到直线l的距离，从而可得d与d1的值，利用d与d1的比值总等于同一常数λ，建立方程，从而利用等式对任意实数k恒成立，得到三个方程，由此可得结论．解答：解：（1）∵圆O：x2+y2=64，圆O1与圆O相交，圆O1上的点与圆O上的点之间的最大距离为21，∴圆O1的半径为4，∵圆心为O1（9，0），∴圆O1的标准方程为（x﹣9）2+y2=16；（2）当直线l的斜率存在时，设方程为y﹣b=k（x﹣a），即kx﹣y﹣ka+b=0∴O，O1到直线l的距离分别为，∴，∵d与d1的比值总等于同一常数λ，∴64﹣=λ2[16﹣]∴[64﹣a2﹣16λ2+λ2（a﹣9）2]k2+2b[a﹣λ2（a﹣9）]k+64﹣b2﹣λ2（16﹣b2）=0由题意，上式对任意实数k恒成立，所以64﹣a2﹣16λ2+λ2（a﹣9）2=0，2b[a﹣λ2（a﹣9）]=0，64﹣b2﹣λ2（16﹣b2）=0同时成立，①如果b=0，则64﹣16λ2=0，∴λ=2（舍去负值），从而a=6或18；∴λ=2，P（6，0），P（18，0）②如果a﹣λ2（a﹣9）=0，显然a=9不满足，从而，3a2﹣43a+192=0，△=432﹣4×3×192=﹣455＜0，故方程无解，舍去；当点P的坐标为（6，0）时，直线l的斜率不存在，此时d=，，∴也满足综上，满足题意的λ=2，点P有两个，坐标分别为（6，0），（18，0），斜率不存在时P（18，0），直线与圆外离，舍去．点评：本题考查圆的标准方程，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力．。

揭阳第三中学2017-2018学年度第二学期第一次阶段考试高二数学（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知全集，集合则=( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据二次的解法，先将A化简，求出∁U A.【详解】∵A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＜0或x＞2}，全集U=R∴∁U A={x|0≤x≤2}，故选A.【点睛】本题考查了集合的基本的交集运算，属于基础题。

2.已知复数，那么＝A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：考点：复数运算3.曲线在点处的切线方程为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求导函数，可得切线的斜率，从而可得切线方程．【详解】求导函数，可得y′=4x∴x=1时，y′=4即在此点处的斜率为4，又已知点为，∴曲线y=﹣x2+3x在点（1，2）处的切线方程为y﹣2=4(x﹣1)，即y=4x-2故选：A．【点睛】这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.4.函数的定义域为开区间，其导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内极小值点的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】试题分析：在极小值点处满足：,由图可知在右边第二个零点处满足条件，故A.考点：极值点定义.5.是方程表示椭圆的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：若方程表示椭圆，则，解得且，所以是方程表示椭圆的必要不充分条件，故选B．考点：椭圆的标准方程；必要不充分条件的判定．6. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A. 18B. 20C. 21D. 40【答案】B【解析】由程序框图知：算法的功能是求的值，∵．∴输出S=20．故选B．7.函数在一个周期的图象如下，此函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】试题分析：由图象可得，A=2，T=，所以，=2，，将代入上式，得，，取，函数的解析式为，故选A.考点：本题主要考查三角函数的图象和性质。

下学期高二数学3月月考试题08满分150分．时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若函数32121212()1,()[()()]0f x x x mx x x R x x f x f x =+++∈-->对任意满足，则实数m 的取值范围是( )A B C D 【答案】D2．已知定义在R 上的函数2()sin x f x e x x x =+-+，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程是( ) A ．1y x =+ B ．32y x =- C ． 21y x =- D ．23y x =-+【答案】A3( )A ．0B ．1C ．2D ．2-【答案】D4．下列命题为真命题的是( )A ．)(x f 在0x x =处存在极限，则)(x f 在0x x =连续B ．)(x f 在0x x =处无定义，则)(x f 在0x x =无极限C ．)(x f 在0x x =处连续，则)(x f 在0x x =存在极限D ．)(x f 在0x x =处连续，则)(x f 在0x x =可导 【答案】C 5，其在点(,())M t f t 处的切线为l ，l y 与轴和直线1y =分别交于点,P Q ，又点()0,1N ，若PQN 的面积为b 时的点M 恰好有两个，则b 的取值范围为( )A B C D 【答案】A6．给出以下命题: ⑴若()0b af x dx >⎰,则f(x)> 0；⑶f(x)的原函数为F(x),x R ∈,且F(x)是以T 为周期的函数,则()()a a T Tf x dx f x dx +=⎰⎰；其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．0 【答案】B7．设a 为实数，函数f(x)=x 3+ax 2+(a-2)x 的导数是)('x f ，且)('x f 是偶函数，则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为( ) A ．y=-2x B ．y=3x C ．y=-3x D ．y=4x 【答案】A8．．两曲线22y x x =-+，224y x x =-所围成图形的面积S 等于( ) A ．4- B ．0C ．2D ．4【答案】D9．函数y ＝()f x 的图象如左下图所示，则导函数'()y f x =的图象可能是( )【答案】D10．当x ∈R 时，f （x ）＋x '()f x < 0成立（其中'()f x 是f （x ）的导函数），若a ＝ (30.3) ·f(30.3)，b ＝(log 3)(log 3)f ππ，c 31)(log )9f ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ． a ＞b ＞c B ． c ＞a ＞b C ． c ＞b ＞a D ． a ＞c ＞b 【答案】C11．函数f(x)的定义域为开区间(a ，b)，其导函数f ’(x)在(a ，b)内的图像如右图所示，则函数f(x)在开区间(a ，b)内极小值点的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A12．（t 表示时间，单位：秒；s 表示位移，单位：米），则瞬时速度为0米/每秒的时刻是( ) A ．0秒、2秒或4秒 B ．0秒、2秒或16秒 C ．2秒、8秒或16秒 D ．0秒、4秒或8秒 【答案】D第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．定积分dx x ⎰π20sin =____________【答案】014．（3，2）处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =____________。

下学期高二数学3月月考试题01一．选择题 (共12小题，每小题5分,共60分)1. 下列复数在复平面上所对应的点落在单位圆上的是（ ）A ．2i B. 34i + C. 12- D. 1122i + 2. 如果椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点F 1的距离为6，则点P 到另一个焦点F 2的距离为 A ． 10 B ． 6 C ． 12 D ． 143. 设O 是原点，→→OB OA ,对应的复数分别为i i 23,32+--，那么→BA 对应的复数是（ ）A ．i 55+-B ．i 55--C ． i 55+D ．i 55- 4. 在曲线y ＝x 3＋x －2的切线中，与直线4x-y ＝1平行的切线方程是( )A ．4x －y ＝0B ．4x －y －4＝0C ．2x －y －2＝0D ．4x －y ＝0或4x －y －4＝05. 已知),(,25R b a i b ii a ∈+=+，其中i 为虚数单位，则=+b a （ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. 36．设0<<b a ，则下列不等式中不．成立的是（ ） A ．b a 11> B ．ab a 11>- C ．b a ->|| D ．b a ->- 7. 设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ）A. 2eB. eC. ln 22D. ln 2 8. 极坐标方程cos ρθ=和参数方程123x t y t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数）所表示的图形分别是（ ） A.圆、直线 B.直线、圆 C.圆、圆 D.直线、直线9. 直线11x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）的倾斜角的大小为（ ） A ．4-π B.4π C.2π D.34π 10. 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（ ）A ．62n -B ．82n -C ．62n +D ．82n +11. 曲线32y x =+上的任意一点P 处切线的斜率的取值范围是（ ）A ．)+∞ B. )+∞ C. ()+∞ D. [)+∞ 12. 已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且||||A K A F =，则△AFK 的面积为（ ）A.4B.8C.16D.32二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，满分20分）13.在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心的极坐标是14.抛物线24y x =-的焦点坐标为 .15. 类比平面内 “垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行.则正确结论的序号是16. 曲线1y x=和2y x =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 三、解答题：(本大题共6小题，共70分。

O DC BA P 揭阳市2017-2018学年度高中毕业班学业水平考试数学(理科)参考答案及评分说解析（12）由()(4)f x f x =-知函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，且函数2|41|y x x =-+的图象也关于直线2x =对称，则两个函数图象的交点两两关于直线2x =对称，故1nii x==∑2n .解析（16）1=a ，2=b ，设)1,0(B ，1||||-≥PB PQ （当点Q 在BP 上时取“=”），||2||21PF a PF +=，||||1PF PQ +|1|||2++≥PF PB 251231||2=+=+≥BF ，当点Q 、P 在BF 2上时取“=”． 三、解答题（17）解：（Ⅰ）由633a a -=得数列}{n a 的公差6313a a d -==，---------------------------2分 由258,a a +=得1258a d +=，解得132a = ------------------------------------------------4分∴1(1)(2)22n n n n n S na d -+=+=；----------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得1211(2)2n S n n n n ==-++； -------------------------------------------------7分 ∴n n b b b b T ++++= 3211111113(1)()()(122)32422n n n -=-+-++-+++++ -------------------8分11111111321(1)()233412221n n n n n -=++++-++++++⨯++- -------10分3113(21)2122n n n =--+⨯-++ 1113212n n n -=⋅--++.-----------------------------------------12分（18）证明：（Ⅰ）取AD 的中点O ，连OB 、OP ，---------1分∵BA BD =，EA ED =，即PA PD =，∴OB AD ⊥且OP AD ⊥，-----------------------------------3分又OB OP O = ，∴AD ⊥平面BOP ，------------------5分 而PB ⊂平面BOP ，∴PB AD ⊥；-----------------------------------------------------6分（Ⅱ）解法1：在图4（2）中，∵OP=1，OB=2，2225O P O B P B +==，∴PO OB ⊥,-------------------------------------7分 ∴OP 、OB 、OD 两两互相垂直，以O 为坐标原点，OB 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系如图示，则(010),(200)A B -，，，，，(010),(001)D P ，，，，,(0,11),(011)DP AP =-=，，，，(2,0,1)BP =-,设(,,)m a b c =为平面PAB 的一个法向量，则由00200AP m b c a c BP m ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩令1,a =则得2,2c b ==-，∴(1,2,2)m =-，---------------------------10分设PD 与平面PAB 所成角为θ，则cos()23πθ-==，---11分故sin 3θ=，即PD 与平面PAB所成角的正弦值为3.--------------------12分 （19）解：（Ⅰ）乙品种棉花的纤维长度的平均值较甲品种的大；乙品种棉花的纤维长度的方差较甲品种的小． -----------------------------------------2分 （Ⅱ）由所给的茎叶图知，甲、乙两种棉花纤维长度在[30.0,30.9]（即二级）比率分别为：51255=，--------------3分； 30.1225=，---------------------------------------------------4分 故估计甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率分别为15（或0.2）和325（或0.12）.-----5分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，从甲种棉花中任取1根，其纤维长度为二级的概率为15，不是二级的概率为14155-=，依题意知ξ的可能取值为：0，1，2，3，4. 又44256(0)()5625P ξ===（或0.4096），13414256(1)()55625P C ξ==⨯⨯=（或0.4096）， 22241496(2)()()55625P C ξ==⨯⨯=（或0.1536），3341416(3)=55625P C ξ==⨯⨯（）（或0.0256），411(4)=5625P ξ==（）（或0.0016）---------------------------------------10分故ξ的分布列为：14455E ξ=⨯=（或0.）.-------------------------------------------------12分（20）解：（Ⅰ）设00(,)P x y 0(2)x ≠±，(,)M x y ，------------------------------------------1分由AP AQ =得则00,x x y =，---2分∵点P 在圆224x y +=上，即2204x y +=，∴22)4x +=，即12422=+y x ，∴点Q 的轨迹C 方程为12422=+y x （2±≠x ）.--------------------------------------5分（Ⅱ）设),(11y x M ，),(22y x N ，若直线l 与x 轴平行，则MN 的中点在y 轴上，与已知矛盾，所以0≠k ，------------------------------------6分把m kx y +=代入12422=+y x ，得0424)12(222=-+++m kmx x k ，-----7分 则)42)(12(4162222-+-=∆m k m k )48(822m k -+=，由0>∆，得22)12(4m k >+，-------------------------------------------------------8分由11222221=+-=+k kmx x ，得1222+=-k km ，---------------------------------9分 所以222222)12(4)12(16+=>+k m k k k ，解得1142>k ，所以k 的取值范围是),1414()1414,(∞+--∞ ．--------------------------------12分 （21）解：（Ⅰ）∵函数)(x f 的定义域为),0(∞+，e x ax x a xf -++=1ln )('e a x x a -++=1ln ， 设e a x x a x g -++=1ln )(，则21)('xx a x g -=，当0≤a 时，0)('<x g ，得函数)(x g 即)('x f 在),0(∞+上单调递减， 又0)1('=-++-=e a e a ef ，∴当)1,0(ex ∈时，0)('>x f ，当),1(∞+∈ex 时，0)('<x f ， 因此函数)(x f 在)1,0(e 上单调递增，在),1(∞+e 上单调递减，得3)1()(max --==eae f x f ，另由题意知0)(max <x f ，解得e a 3->，∴a 的取值范围是]0,3(e -；（Ⅱ）由01)('2>-=xax x g 得a x 1>， ∴)(x g 即)('x f 在),1(∞+a 上单调递增，在)1,0(a 上单调递减，得e a a a af x f -+-==2ln )1(')('min ，设e x x x x h -+-=2ln )(（e x ≤<0），由01ln )('>+-=x x h ，得e x <<0，∴)(x h 在],0(e 上单调递增，得0)()(=≤e h x h ，因此0)('min ≤x f （仅当e a =时取“=”）， ①当e a =时，0)('min =x f ，得0)('≥x f ，∴)(x f 在),0(∞+上单调递增，又011)(2=--+=e ae e f ，∴函数)(x f 仅有一个零点，为e ；②当e a <<0时，0)1(')('min <=af x f ，又'()0e ea a f e a e -=+>，∴存在a x 12>，使0)('2=x f ，又0)1('=-++-=e a e a e f ，而a e 11<，∴当)1,0(e x ∈),(2∞+x 时，0)('>x f ，当),1(2x ex ∈时，0)('<x f ，因此函数)(x f 在)1,0(e 和),(2∞+x 上单调递增，在),1(2x e上单调递减，又03)1(<--=e a e f ，01)(>-=aee f a e，∴函数)(x f 仅有一个零点，又0)()(<⋅-=e e a e f ，因此这个零点大于e ，综上所述，函数)(x f 仅有一个零点，不小于e ．选做题（22）解：（Ⅰ）由曲线1C 的参数方程知，1C 是以原点O ----2分其极坐标方程为[])0,ρθπ=∈；-----------------------------------------4分（Ⅱ）联立方程[])0,ρθπ=∈，ρ=得sin 2cos 20θθ-=，-----5分于是tan 21θ=，[]20,2θπ∈，--------------------------------------------------------6分解得24πθ=或524πθ=，即8M πθ=以及58N πθ=---------------------------------------8分 故2N M MON πθθ∠=-=．------------------------------------------------------------------10分（23）解：（Ⅰ）3|2||2|)2(>--+=a a f --------------------------------------------------------1分①当2-<a 时，得322>-+--a a ，无解；--------------------------------------------2分 ②当22<≤-a 时，得322>-++a a ，解得23>a ，所以223<<a ；---------3分 ③当2≥a 时，得322>+-+a a ，恒成立；-----------------------------------------------4分 综上知，a 的取值范围为),23(∞+．------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）|||1|||1|1||1|)1(22a a a a a a a a a f --+=--+=，---------------------------------------------6分 当1||<a 时，012>-a ，||2||2||1||1)1(222a a a a a a a a f ==--+=，-------------------7分|2||)(||||||||)(|a a x a x a x a x x f =--+≤--+=，---------------------------------------9分所以|)(|)1(x f af ≥．------------------------------------------------------------------------------10分。

揭阳三中2017―2018学年度高二级第一学期第一次阶段考试物 理（ 理科） 命题人：吴海英（满分110分，交卷时只交答题卷）一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 6 分，在每小题给出的四个选项中，第 1～4题只有一项符合题目要求，第 5～8题有多项符合题目要求。

全部选对的得 6 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分。

1．对物体带电现象的叙述，正确的是（ ）2．关于静电场，下列说法正确的是（ ）A ．在电场中某点电势等于零，则该点电场强度一定为零，B ．由公式可知电场中某点的电势φ与q 成反比C ．根据公式ab U Ed =可知，在匀强电场中a 、b 间的距离越大，电势差就越大D ．正电荷从电势高的点运动到电势低的点，电势能一定减少3．如图，一正离子在电场力作用下从A 点运动到B 点，在A 点的速度大小为v 0，方向与电场方向相同。

该离子从A 点到B 点的v-t 图象是 （ ）4．如图所示，实线表示电场线，虚线表示只受电场力作用的带电粒子的运动轨迹．粒子先经过M 点，再经过N 点．可以判定（ ）5．如图所示，两个等量异号的点电荷在其连线的中垂线上有与连线中点O等距离的两点a、b，在连线上有距中点O等距离的两点c、d，则下列场强大小关系式正确的是（）A．Ea =E b B．Ea= E O=E bC．Ec=E d D．Ec>E O>E d6．如图所示，虚线a、b、c代表电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等，即U ab=U bc，实线为一带正电的质点仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、Q是这条轨迹上的两点．据此可知（）7．导体处于静电平衡时，下列说法正确的是（）A．导体内部没有电场B．导体内部没有电荷，电荷只分布在导体外表面C．导体内部没有电荷的运动D．导体内部场强为零8. 某电容器上标有“1.5 μF 9V”的字样，则该电容器（）A．所带电荷量不能超过1.5×10-6CB．所加电压不能超过9 VC．该电容器击穿电压为9 VD．当给该电容器加4.5 V的电压时，它的电容值仍为1.5μF二、填空题9．（6分）真空中有一电场，在电场中的某点放一电荷量为4.0×10﹣9C的检验电荷，它受到的电场力为 2.0×10﹣5N，则该点的场强大小为；把检验电荷的电荷量减小为2.0×10﹣9C，则该电荷在该点受到的电场力大小为。