初中数学竞赛：方程组的解法

第八章 二次方程与方程组第一节 一元二次方程【赛题精选】§1、一元一次方程的解法主要有：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法。

例1、利用直接开平方法解下列关于x 的方程。

（1）0)1(9)2(22=+--x x （2）)0(0)22()(22>=+-+a a x a x（3）)21(2142222nx n x n x x ++=++例2、利用因式分解法解下列关于x 的方程。

（1）(5x+2)(x-1)=(2x+11)(x-1) （2）0452=+-x x(3)02_23()12(2=++-+x x (4)0)()(22222=-++-q p pq x q p x（5）x m x m x x m )1()1()1(2222-=--+-例3、用配方法解下列关于x 的方程。

（1）)0(02≠=++a c bx ax （2）03)12()1(2=-+-+-m x m x m（3）01333223=-+++x x x§2、根的判别式、根与系数的关系韦达定理：若)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为1x 、2x ，那么1x 、2x 与a 、b 、c的关系为：两根之和a b x x -=+21；两根之积ac x x =21。

例4、若首项系数不相等的两个二次方程02)2()1(222=+++--a a x a x a （1）、02)2()1(222=+++--b b b x b （2）（其中a 、b 均为正整数）有一个公共根。

求ab ab b a b a --++的值。

例5、已知方程02=++c bx x 与02=++b cx x 各有两个根1x 、2x 及'1x 、'2x ，且1x 2x ＞0，'1x '2x ＞0。

求证：（1）1x ＜0，2x ＜0，'1x ＜0，'2x ＜0；（2）b-1≤c ≤b+1；（3）求b 、c 所有可能的值。

初中一年级方程组的解法方程组是数学中常见的问题类型，它由多个方程组成，通常要求找到使这些方程同时成立的未知数的值。

在初中一年级，我们开始接触简单的一元一次方程，而对于方程组的解法也有一些简单的方法。

一、图解法图解法是初中学习方程组的入门方法之一，适用于两个方程的情况。

我们可以通过将方程转化成两条直线，在坐标平面上找到它们的交点来解决方程组。

例如，我们有以下方程组：2x + y = 5x - y = 1我们可以将第一个方程画成直线y = 5 - 2x，第二个方程画成直线y = x - 1。

然后，我们通过观察图像找到两条直线的交点，即为方程组的解。

在这个例子中，我们可以发现两条直线交于点(2, 1)，因此方程组的解为x = 2，y = 1。

图解法的优势在于直观，帮助学生更好地理解方程组的概念。

但对于复杂的方程组，图解法会变得困难且不准确。

二、代入法代入法适用于一元一次方程组，它的思路是通过将一个方程的解代入到另一个方程中，从而得到一个只含有一个未知数的方程。

这样我们就可以求解这个未知数的值，并进而求得其他未知数的值。

例如，我们有以下方程组：2x + y = 5x - y = 1我们可以从第二个方程解出x的值：x = y + 1。

将这个值代入第一个方程中，得到2(y + 1) + y = 5。

将方程化简后可以得到y的值，再将y的值代入第二个方程就可以求得x的值。

代入法的优势在于适用于一元一次方程组，并且计算过程相对简单。

但当方程组较复杂时，代入法的计算过程可能会变得繁琐。

三、消元法消元法是一种常用于初中数学中解决方程组的方法，它通过将方程进行变形，使得方程组中的一个未知数消失，从而简化方程组的求解过程。

例如，我们有以下方程组：2x + y = 5x - y = 1我们可以通过将第一个方程的两倍减去第二个方程，消去y这个未知数。

计算过程如下：(2x + y) - 2(x - y) = 5 - 22x + y - 2x + 2y = 5 - 23y = 3y = 1然后，我们将求得的y的值代入其中一个方程，解出x的值。

初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略（一）方程是一种重要的数学模型，也是重要的数学思想之一。

有关方程的解的讨论问题一直是初中数学竞赛试题的热点与难点。

解决有关方程的解的讨论问题往往涉及到分类讨论、数形结合等数学思想。

一、知识要点1.形如方程的解的讨论：⑴若=0，①当=0时，方程有无数个解；②当≠0时，方程无解；⑵若≠0，方程的解为=。

2.关于一元二次方程(≠0)根的讨论，一般需应用到根的判别式、根与系数的关系等相关知识。

⑴若，则它有一个实数根＝1；若，则它有一个实数根＝－1。

⑵运用数形结合思想将方程(≠0)根的讨论与二次函数(≠0)的图象结合起来考虑是常用方法。

3.涉及分式方程根的讨论，一般考虑使公分母为零的整式方程的根(即原分式方程的增根)。

4.关于含绝对值的方程解的讨论，一般使用分类讨论的方法去掉绝对值符号，有时也应用到数形结合思想与绝对值的几何意义。

5.解决有关方程整数根的问题时，一般要应用到整数的知识，要理解整除、质数等相关概念。

二、例题选讲1.方程整数根的讨论例 1.已知，且方程的两个实数根都是整数，则其最大的根是。

解：设方程的两个实数根为、，则，所以。

因为、都是整数，且97是质数，若设＜，则，，或，，因此最大的根是98。

评注：此题解答应用了一元二次方程根与系数的关系，分解质因数的知识等方法与技能。

这种方法在有关一元二次方程整数根的讨论问题中经常用到，如：类题.(2004年四川)已知，为整数，关于的方程有两个相同的实数根，则－等于( )A.1；B.2；C.±1；D.±2.分析：依题意得⊿=，所以，由，为整数得，或，或，或，所以－=±1。

例2.(2000年全国竞赛)已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有______个。

解：上述方程没有说明是一次方程还是二次方程，因此需要分类讨论。

①当时，，符合题意；②当时，原方程是一元二次方程，易知是方程的一个整数根。

初中数学知识归纳线性方程组的解法线性方程组是初中数学学习中的重要内容之一，解线性方程组是数学中的基本运算之一。

本文将对初中数学中线性方程组的解法进行归纳总结。

1. 定义与基本概念首先，我们来了解一些相关的定义与基本概念。

线性方程组是由多个线性方程组成的方程组，其中每个方程都是关于未知数的一次方程。

解线性方程组就是要找到满足所有方程的未知数的取值。

2. 代入消元法代入消元法是解线性方程组的基本方法之一。

对于一个包含两个方程的线性方程组，我们可以先从其中一个方程中求出一个未知数，然后将其代入另一个方程中，从而得到只含有一个未知数的方程，最终求解未知数。

3. 比例法比例法是解线性方程组的另一种方法。

当两个方程中的未知数的系数相等或成比例关系时，我们可以通过比例关系来求解未知数。

这种方法适用于较为简单的线性方程组。

4. 加减消元法对于含有两个方程的线性方程组，如果可以将两个方程相加或相减，从而使得一个未知数的系数相消，我们可以通过加减消元法来求解未知数。

5. 数字法数字法是一种简便的解线性方程组的方法。

我们可以通过列方程的形式，将方程组中的数字直接进行运算和计算，从而求解未知数。

6. 矩阵与行列式法对于包含多个方程的线性方程组，我们可以使用矩阵和行列式来进行求解。

将系数矩阵与变量矩阵相乘，得到等号右边的结果矩阵，然后利用行列式的性质来计算未知数的取值。

7. 初等变换法初等变换法是解线性方程组的一种常见方法。

通过对方程组进行初等变换，如换位、交换、伸缩等操作，可以将方程组变为简单的形式，从而求解未知数。

8. 高斯消元法高斯消元法是解线性方程组的一种广泛应用的方法。

通过将方程组进行化简，将其变为阶梯形式，从而求解未知数。

9. 矩阵的逆法如果线性方程组的系数矩阵可逆，我们可以通过求解系数矩阵的逆矩阵来求解未知数。

这种方法适用于系数矩阵非常规则的线性方程组。

10. 向量法对于向量方程组，我们可以使用向量法来求解未知数。

初中数学比赛考点归纳数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描写的一种通用手段，可以运用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。

数学属于情势科学，而不是自然科学。

今天作者在这给大家整理了一些初中数学比赛考点归纳，我们一起来看看吧!初中数学比赛考点归纳二元一次方程组1、定义：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的整式方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程组的解法(1)代入法由一个二次方程和一个一次方程所组成的方程组通常用代入法来解，这是基本的消元降次方法。

(2)因式分解法在二元二次方程组中，至少有一个方程可以分解时，可采取因式分解法通过消元降次来解。

(3)配方法将一个式子，或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和。

(4)韦达定理法通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。

(5)消常数项法当方程组的两个方程都缺一次项时，可用消去常数项的方法解。

解一元二次方程解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

1、直接开平方法：用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±m.直接开平方法就是平方的逆运算.通常用根号表示其运算结果.2、配方法通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。

这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的根据是完全平方公式。

(1)转化：将此一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的情势(即一元二次方程的一样情势)(2)系数化1：将二次项系数化为1(3)移项：将常数项移到等号右侧(4)配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方(5)变形：将等号左边的代数式写成完全平方情势(6)开方：左右同时开平方(7)求解：整理即可得到原方程的根3、公式法公式法：把一元二次方程化成一样情势，然后运算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

初中数学竞赛：列方程解应用题在小学数学中介绍了应用题的算术解法及常见的典型应用题。

然而算术解法往往局限于从已知条件出发推出结论，不允许未知数参加计算，这样，对于较复杂的应用题，使用算术方法常常比较困难。

而用列方程的方法，未知数与已知数同样都是运算的对象，通过找出“未知”与“已知”之间的相等关系，即列出方程（或方程组），使问题得以解决。

所以对于应用题，列方程的方法往往比算术解法易于思考，易于求解。

列方程解应用题的一般步骤是：审题，设未知数，找出相等关系，列方程，解方程，检验作答。

其中列方程是关键的一步，其实质是将同一个量或等量用两种方式表达出来，而要建立这种相等关系必须对题目作细致分析，有些相等关系比较隐蔽，必要时要应用图表或图形进行直观分析。

一、列简易方程解应用题分析：欲求这个六位数，只要求出五位数x abcde =就可以了。

按题意，这个六位数的3倍等于1abcde 。

解：设五位数x abcde =，则六位数abcde 1x +=510，六位数1101+=x abcde ， 从而有3（105+x ）=10x+1，x ＝42857。

答：这个六位数为142857。

说明：这一解法的关键有两点： ⑴抓住相等关系：六位数abcde 1的3倍等于六位数1abcde ；⑵设未知数x ：将六位数abcde 1与六位数1abcde 用含x 的数学式子表示出来，这里根据题目的特点，采用“整体”设元的方法很有特色。

（1）是善于分析问题中的已知数与未知数之间的数量关系；（2）是一般语言与数学的形式语言之间的相互关系转化。

因此，要提高列方程解应用题的能力，就应在这两方面下功夫。

例2有一队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了10分50秒。

问：队伍有多长？分析：这是一道“追及又相遇”的问题，通讯员从末尾到排头是追及问题，他与排头所行路程差为队伍长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题，他与排尾所行路程和为队伍长。

初中数学教案：线性方程组的解法和应用一、线性方程组的解法线性方程组是初中数学中的重要内容，它描述了多个变量之间的关系。

解线性方程组可以帮助我们解决实际问题，掌握解法和应用方法对于学生的数学素养是必不可少的。

1.1 消元法消元法是解线性方程组最常用的方法之一。

通过逐步消去未知量，将线性方程组化简为较简单的形式，从而得到方程组的解。

下面以一个简单的例子来说明消元法的步骤：例题：解下面的线性方程组2x + 3y = 84x - 2y = 2解法：首先，我们通过变换等式使得第一个方程的系数为1，即将第一个方程乘以2/4，得到新的方程组：2x + 3y = 82x - y = 1然后，将第二个方程的系数与第一个方程相减，消去x的变量：2x + 3y = 8- (2x - y = 1)---------------4y = 7最后，求出y的值：y = 7/4将y的值代入原方程组的第一个方程，求出x的值：2x + 3(7/4) = 82x + 21/4 = 82x = 8 - 21/4x = 23/8所以，原方程组的解为：x = 23/8，y = 7/4。

1.2 代入法代入法是解线性方程组的另一种常用方法。

通过将一个方程的解代入另一个方程中，逐步求解出未知量。

以下是一个例题的解法步骤：例题：解下面的线性方程组3x + 2y = 72x - y = 1解法：首先解出第一个方程的x：3x + 2y = 73x = 7 - 2yx = (7 - 2y)/3然后将x的表达式代入第二个方程中：2[(7 - 2y)/3] - y = 1解出y的值：(14 - 4y)/3 - y = 114 - 4y - 3y = 3-7y = -11y = 11/7最后将y的值代入第一个方程中，求出x的值：3x + 2(11/7) = 73x + 22/7 = 73x = 49/7 - 22/7x = 27/7所以，原方程组的解为：x = 27/7，y = 11/7。

初中数学复习线性方程组的解法技巧线性方程组是初中数学的重要内容之一，它是由一组线性方程组成的方程组。

解线性方程组的方法有多种，下面将介绍几种常见的解法技巧。

一、直接代入法直接代入法是解线性方程组最直观的方法之一。

首先将其中一个方程中的一个变量表示成另一个变量的函数形式，然后将该函数代入到另一个方程中，从而得到仅含一个变量的方程。

最后求解得到变量的值，再将其代入到另一个方程中求得另一个变量的值。

例如，假设有如下线性方程组：```2x + y = 5 (1)3x - 2y = 8 (2)```我们可以通过将方程(1)中的x表示成y的函数，得到$x=\frac{5-y}{2}$，然后将其代入到方程(2)中：```3(\frac{5-y}{2}) - 2y = 8```化简得到：```15 - 3y - 4y = 16```整理得到：```7y = -1```解方程得到 $y = -\frac{1}{7}$，将其代入$x=\frac{5-y}{2}$中得到$x=\frac{36}{14}$。

二、消元法消元法是另一种常见的解线性方程组的方法，它通过将方程组中的某两个方程相加或相减，从而消去一个变量，从而将其转化为一个仅含一个变量的方程。

例如，考虑如下线性方程组：```3x + 2y = 7 (3)2x - y = 1 (4)```我们可以通过将方程(4)的两边乘以2，得到方程(4')：$4x - 2y = 2$。

然后将方程(3)和方程(4')相加：```(3) + (4'): 3x + 2y + 4x - 2y = 7 + 2```化简得到：```7x = 9```解方程得到 $x = \frac{9}{7}$，将其代入方程(3)得到 $y =\frac{7}{7}$。

三、矩阵法矩阵法是解线性方程组的另一种常见方法，它将线性方程组表示成系数矩阵与未知数向量的乘积形式，通过矩阵的运算来求解。

全国初中数学竞赛辅导（初1）第17讲二元一次不定方程的解法第十七讲二元一次不定方程的解法我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程x-2y=3，方程组等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．不定方程(组)是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富．我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理．近年来，不定方程的研究又有新的进展．学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能．我们先看一个例子．例小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？解设小张买了x块橡皮，y支铅笔，于是根据题意得方程3x+11y=50．这是一个二元一次不定方程．从方程来看，任给一个x值，就可以得到一个y值，所以它的解有无数多组．但是这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数，而橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零，所以从这个问题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解．因为铅笔每支1角1分，所以5角钱最多只能买到4支铅笔，因此，小张买铅笔的支数只能是0，1，2，3，4支，即y的取值只能是0，1，2，3，4这五个．若y=3，则x=17/3，不是整数，不合题意；若y=4，则x=2，符合题意．所以，这个方程有两组正整数解，即也就是说，5角钱刚好能买2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔．像这个例子，我们把二元一次不定方程的解限制在非负整数时，那么它的解就确定了．但是否只要把解限制在非负整数时，二元一次不定方程的解就一定能确定了呢？不能！现举例说明．例求不定方程x-y=2的正整数解．解我们知道：3-1=2，4-2=2，5-3=2，…，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是其中n可以取一切自然数．因此，所要解的不定方程有无数组正整数解，它的解是不确定的．上面关于橡皮与铅笔的例子，我们是用逐个检验的方法来求它们的非负整数解的，但是这种方法在给出的数比较大的问题或者方程有无数组解的时候就会遇到麻烦．那么能不能找到一个有效而又方便的方法来求解呢？我们现在就来研究这个问题，先给出一个定理．定理如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程ax+by=c ①有一组整数解x0，y0则此方程的一切整数解可以表示为其中t=0，±1，±2，±3，…．证因为x0，y0是方程①的整数解，当然满足ax0+by0=c，②因此a(x0-bt)+b(y0+at)=ax0+by0=c．这表明x=x0-bt，y=y0+at也是方程①的解．设x＇，y＇是方程①的任一整数解，则有ax＇+bx＇=c. ③③-②得a(x＇-x0)=b＇(y＇-y0)．④由于(a，b)=1，所以a｜y＇-y0，即y＇=y0+at，其中t是整数．将y＇=y0+at代入④，即得x＇=x0-bt．因此x＇， y＇可以表示成x=x0-bt，y=y0+at的形式，所以x=x0-bt，y=y0+at表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解．例1求11x+15y=7的整数解．解法1将方程变形得因为x是整数，所以7-15y应是11的倍数．由观察得x0=2，y0=-1是这个方程的一组整数解，所以方程的解为解法2先考察11x+15y=1，通过观察易得11×(-4)+15×(3)=1，所以11×(-4×7)+15×(3×7)=7，可取x0=-28，y0=21．从而可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t做适当代换，就可化为同一形式．例2求方程6x+22y=90的非负整数解．解因为(6，22)=2，所以方程两边同除以2得3x+11y=45．①由观察知，x1=4，y1=-1是方程3x+11y=1 ②的一组整数解，从而方程①的一组整数解为由定理，可得方程①的一切整数解为因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有由于t是整数，由③，④得15≤t≤16，所以只有t=15，t=16两种可能．当t=15时，x=15，y=0；当t=16时，x=4，y=3．所以原方程的非负整数解是例3求方程7x+19y=213的所有正整数解．分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解．解用方程7x+19y=213 ①的最小系数7除方程①的各项，并移项得因为x，y是整数，故3-5y/7=u也是整数，于是5y+7u=3．Ｔ儆*5除此式的两边得2u+5v=3．④由观察知u=-1，v=1是方程④的一组解．将u=-1，v=1代入③得y=2．y=2代入②得x=25．于是方程①有一组解x0=25，y0=2，所以它的一切解为由于要求方程的正整数解，所以解不等式，得t只能取0，1．因此得原方程的正整数解为当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．例4求方程37x+107y=25的整数解．解 107=2×37+33，37=1×33+4，33=8×4+1．为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4=37-9×(37-33)=9×33-8×37＝9×(107-2×37)8×37＝9×107-26×37=37×(-26)+107×9．由此可知x1=-26，y1=9是方程37x+107y=1的一组整数解．于是x0=25×(-26)=-650，y0=25×9=225是方程37x+107y=25的一组整数解．所以原方程的一切整数解为例5某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？解设需x枚7分，y枚5分恰好支付142分，于是7x+5y=142. ①所以由于7x≤142，所以x≤20，并且由上式知5｜2(x-1)．因为(5，2)=1，所以5｜x-1，从而x=1，6，11，16，①的非负整数解为所以，共有4种不同的支付方式．说明当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程．例6求方程9x+24y-5z=1000的整数解．解设9x+24y=3t，即3x+8y=t，于是3t-5z=1000．于是原方程可化为用前面的方法可以求得①的解为②的解为消去t，得大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．例7今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？解设公鸡、母鸡、小鸡各买x，y，z只，由题意列方程组①化简得 15x+9y+z=300．③③-②得 14x+8y=200，即 7x+4y=100．解7x+4y=1得于是7x+4y=100的一个特解为由定理知7x+4y=100的所有整数解为由题意知，0＜x，y，z＜100，所以由于t是整数，故t只能取26，27，28，而且x，y，z还应满足x+y+z=100．t x y z26 4 18 7827 8 11 8128 12 4 84即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．练习十七1．求下列不定方程的整数解：(1) 72x+157y=1；(2)9x+21y=144；(3)103x-91y＝5．2．求下列不定方程的正整数解：(1)3x-5y=19； (2)12x+5y=125．3．求下列不定方程的整数解：(1)5x+8y+19z=50； (2)39x-24y+9z=78．4．求不定方程2x+5y+7z+3t=10的整数解．5．求不定方程组的正整数解.初中英语新课程标准测试题一、单选（ 30分）1、学生学习外语需要大量的（）A. 测试B.翻译C.天赋D.实践2、在我国，英语被列为义务教育阶段的（）A. 必考课程B.网络课程C.必修课程D.选修课程3 、英语教学要始终使学生发挥（） A主体作用 B.主导作用 C.主观作用 D.客观作用4、在基础英语课程体系中，除了教科书外，还有更加广泛的（）A. 联系资料B.教辅资料C.课程资源D.网络资源5、国家英语课程要求开设英语课程的起点是（）A. 小学１年级B.小学３年级C.初中１年级D.高中１年级6、国家课程三级管理机制是（）A. 教育部、省和地区B.国家、地方和学校C.省／自治区、市和县D.地区、学校和教师7、说是运用口语表达思想和（）A. 输入信息的能力B.输出信息的能力C.辨认语言的技巧D.理解话语的技能8、检验学生语言理解、分析和加工能力的客观标准是（）。

利用方程组解代数式求值问题给出几个未知数满足的等量条件，求与之相关的代数式的值，是初中数学竞赛试题的热点之一．例１ 已知方程组⎩⎨⎧=++=+ay x a y x 232253，且7=+y x ，求代数式542+-a a 的值． 分析与解答：问题的关键在于求出a 的值．将a 当作常数，解关于y x ,的二元一次方程组，用a 表示y x ,，再代入7=+y x ，求出a 的值．解方程组⎩⎨⎧=++=+ay x a y x 232253 得： ⎩⎨⎧-=-=a y a x 4467代入7=+y x 得：374467=⇒=-+-a a a于是542+-a a ＝253432=+⨯-注意:根据已知条件提供的信息，构造二元一次方程组来辅助求解，是一种重要的解题策略． 例２ 如果z y x ,,都是正数，且满足条件005=+-=-+z y x z y x 和，求2222x z y x --的值．（第14届希望杯全国数学邀请赛初一培训题）分析与解：视z 为常数，将已知条件看作关于y x ,的二元一次方程组，将三元转换成一元，代入待求式化简即可．⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧-=-=+zy z x z y x z y x 325 ()()()35352322222222222=--=--=--z z z z z z x z y x . 评注：此例将y x ,看作主元，由已知条件构造关于y x ,的二元一次方程组，顺利地求解．例３ b a 与互为相反数，且54=-b a ，那么12+++-ab a b ab a ＝ . （第14届希望杯全国数学邀请赛初一年级第二试题）分析与解：欲求12+++-ab a b ab a 的值，须知b a ,的值。

于是根据已知条件构造二元一次方程组求解．依题意有： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧±=-=+52525252540b a b a b a b a 或 于是： ()()254112=-=++-+=+++-ab b a a ab b a ab a b ab a . 评注：将已知条件转化为关于b a ,的二元一次方程组，是解题的关键．例４ 已知z y x ,,都是正整数，且z y x 527-+是11的倍数，那么z y x 1243++除以11，得的余数是多少？（第14届希望杯全国数学邀请赛初二年级第二试题）解：依题意有：k z y x 11527=-+，()为整数k于是：k z y x 11527+=+设 p k z y x =+=+11527 ()为整数p ，有如下不定方程组： ⎩⎨⎧=+=+p k z p y x 11527 ()()21 对于不定二元一次方程（1）求得其通解是：⎩⎨⎧-=+-=tp y t p x 742 ()为整数t 对于不定二元一次方程（2）求得其通解是：⎩⎨⎧-=+-=s p y s p z 5112 ()为整数s 于是：z y x 1243++=()()()s p t p t p 1121274423+-+-++-=()s t p 12211+--，于是z y x 1243++除以11得的余数是 0 ．评注：由已知条件构造两个二元一次不定方程，写出“通解”，进而使问题获解．。