稳定性与李雅普诺夫方法

第四章系统稳定性及其李雅普诺夫稳定4－1 稳定性一般概念对于一个实际的控制系统，其工作的稳定性无疑是一个极其重要的问题，因为一个不稳定的系统在实际应用中是很难有效地发挥作用的。

从直观上看，系统的稳定性就是一个处于稳态的系统，在某一干扰信号的作用下，其状态偏离了原有平衡位置，如果该系统是稳定的，那么当干扰取消后有限的时间内，系统会在自身作用下回到平衡状态；反之若系统不稳定，则系统永远不会回到原来的平衡位置。

系统的稳定一般有外部稳定和内部稳定两种。

外部稳定又称作输出稳定，也就是当系统在干扰取消后，在一定时间内，其输出会恢复到原来的稳态输出。

输出稳定有时描述为系统的BIBO稳定，即有限的系统输入只能产生有限的系统输出。

系统内部稳定主要针对系统内部状态，反映的是系统内部状态受干扰信号的影响。

当扰动信号取消后，系统的内部状态会在一定时间内恢复到原来的平衡状态，则称系统状态稳定。

在经典控制论中，研究对象都是用高阶微分方程或传递函数描述的单输入单输出（SISO）系统，反映的仅是输入输出的关系，不会涉及系统内部的状态。

因此经典控制论中只讨论系统的输出稳定问题。

系统的稳定性是系统本身的特性，与系统的外部输入（控制）无关。

在经典控制论中，我们通过研究线性定常系统的特征根的情况来判断系统的输出稳定性：如果系统的特征根都有负的实部（即都在复平面的左部），则系统输出稳定。

对于n阶线性连续系统，其特征方程为：…………………………（4－1）当n≥4时，要求出其所有特征根是非常困难的，从而要想通过解出高阶系统的特征根来判别系统稳定性也是不现实的。

所以1877年劳斯（Routh）和1895年霍尔维茨（Hurwitz）分别提出了有名的劳斯－霍尔维茨稳定判据，它可以通过线性定常系统特征方程的系数的简单代数运算来判别系统输出稳定性，而不必求出各个特征根。

有关Routh-Hurwitz判据的详细内容请参阅有关经典控制论教材。

当系统不是线性定常系统时，或者对于系统内部状态稳定问题，经典控制论中的方法就不好解决了，这就需要下面介绍的李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性的理论。

第六章稳定性与李雅普诺夫（Lyapunov）方法6.1 概述研究平衡状态及其稳定性介绍两类解决稳定性问题的方法，即Lyapunov 第一法和Lyapunov第二法。

第一法通过求解微分方程的解来分析运动稳定性，即通过分析非线性系统线性化方程特征值分布来判别原非线性系统的稳定性；第二法则是一种定性方法，它无需求解的非线性微分方程，通过构造一个Lyapunov函数，研究它的正定性及其对时间的沿系统方程解的全导数的负定或半负定，来得到稳定性的结论。

一般我们所说的Lyapunov方法就是指Lyapunov第二法。

虽然在非线性系统的稳定性分析中，Lyapunov 稳定性理论具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，需要技巧和经验。

6.2 Lyapunov 意义下的稳定性问题一、 平衡状态、给定运动与扰动方程之原点考虑如下非线性系统),(t x f x = (6.1)式中x 为n 维状态向量，),(t x f 是变量1x ,2x ,…,n x 和t 的n 维向量函数。

假设在给定初始条件下，式(6.1）有唯一解),;(00t x t Φ，且当0t t =时，0x x =。

于是0000),;(x t x t =Φ在式(6.1)的系统中，总存在0),(≡t x f e , 对所有t (6.2)则称e x 为系统的平衡状态或平衡点。

如果系统是线性定常的即 Ax t x f =),(当A 为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态0=e x ；当A 为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。

对于非线性系统，则有一个或多个平衡状态，这些状态对应于系统的常值解（对所有t ，总存在e x x =）。

任意一个孤立的平衡状态（即彼此孤立的平衡状态）或给定运动)(t x φ=都可通过坐标变换，统一化为扰动方程),~(~~t x f x = 之坐标原点，即0),0(~=t f 或0~=e x 。

在本章中，除非特别申明，我们将仅讨论扰动方程关于原点处之平衡状态的稳定性问题。

第四章稳定性与李雅普诺夫方法稳定性与李雅普诺夫方法是控制理论中的两个重要概念。

稳定性是控制系统分析中的基本问题之一，它描述了系统在受到干扰后能否回到平衡状态的能力。

李雅普诺夫方法是一种常用的稳定性分析方法，通过构造李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。

稳定性是控制系统设计中最基本的要求之一、一个稳定的系统能够在受到干扰后迅速恢复到平衡状态，而不会发生不可控制的震荡或不稳定的行为。

稳定性可以分为两种类型：渐近稳定性和有界稳定性。

渐近稳定性要求系统的状态能够收敛到一个稳定的平衡点，而有界稳定性要求系统的状态能够保持在一个有限范围内。

李雅普诺夫方法是一种通过构造李雅普诺夫函数来判断系统稳定性的方法。

李雅普诺夫函数是一个标量函数，它满足以下条件：1)对于任意非零的向量，李雅普诺夫函数的导数都是负的或零；2)当且仅当系统达到稳定时，李雅普诺夫函数的导数为零。

通过构造李雅普诺夫函数并分析其导数的符号，可以判断系统的稳定性。

在实际应用中，人们通常使用李雅普诺夫直接法、李雅普诺夫间接法和李雅普诺夫-克拉洛夫稳定性定理等方法来进行稳定性分析。

其中，李雅普诺夫直接法是最常用的方法之一，它通过选择一个合适的李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。

如果可以找到一个李雅普诺夫函数，使得该函数的导数对于所有非零的初始条件都是负的，则系统是渐近稳定的。

李雅普诺夫间接法是通过构造一个李雅普诺夫方程来判断系统的稳定性。

李雅普诺夫方程是一个微分方程，其中包含系统的状态向量和一个非负标量函数，满足一定的条件。

如果可以找到一个满足李雅普诺夫方程的解，并且该解是有界的，则系统是有界稳定的。

李雅普诺夫-克拉洛夫稳定性定理是李雅普诺夫方法的重要理论基础。

该定理表明，如果系统的李雅普诺夫函数存在并且连续可导，并且李雅普诺夫函数的导数满足一定的条件，则系统是渐近稳定的。

这个定理为李雅普诺夫方法的应用提供了重要的理论依据。

总之，稳定性与李雅普诺夫方法是控制理论中基础且重要的概念。