2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目C题 古塔的变形

承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

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如填写错误，论文可能被取消评奖资格。

）日期： 2013 年 09 月 16 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：古塔的变形数学模型摘要:本文是研究关于古塔变形类型以及变形分析的模型，用Matlab画出古塔的三维结构可以看出它是近似于正八边形的形状。

因此，问题一我们用每层各个测量点坐标的平均值作为塔每层的中心坐标，再用中心坐标的三个坐标值分别对时间t做回归来得到确定古塔各层中心位置的通用方法。

古塔变形问题中弯曲情况的数学分析方法本文针对2013年全国大学生数学建模竞赛中古塔的变形中的弯曲问题，应用曲率的知识，分析其挠度，给出了弯曲变形情况的数学分析方法。

标签：古塔变形；曲率；挠度；拟合一、相关问题某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。

管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。

根据提供的观测数据，分析该塔的弯曲变形情况。

二、古塔的弯曲情况的分析1.预备知识。

梁轴线上某点在梁变形后沿竖直方向的位移（横向位移）称为该点的挠度。

可以把古塔看成一个建筑上的梁，同样是相同的立体图形其中梁平面弯曲时其变形特点是：梁轴线既不伸长也不缩短，其轴线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线，我们可以把古塔的中心线看做一个梁的一个面的投影求解。

2.问题的解决方法。

对一般的观测经验可知，首先在建筑物的周围建立一个局部坐标系，根据墙面积的大小来确定观察点的个数，用无反光棱镜全站仪进行坐标的观测。

对该古塔的弯曲，主要从各层中心点考虑整体趋势，利用中心的坐标可以画出古塔中心线主视图、俯视图、侧视图。

观察对古塔中心线可以看出：（1）主視图只显示的是中心的扭曲情况，如果主视图显示的一条直线，则可以认为该古塔没有发生扭曲，否则发生了扭曲。

即古塔的外形发生扭曲变形。

（2）侧视图和主视图只显示了在xoz，yoz 的关系程度，如果该图显示的是一条垂直的直线，则没发生倾斜和弯曲，否则可以认为该中心线发生了倾斜和弯曲。

即古塔发生弯曲和倾斜。

首先任意选取一个平面来分析画古塔的是否弯曲，可以选取平面，用拟合和曲率来刻画古塔的弯曲建立模型为：选取二次函数为拟合函数，求出的各监测时间的函数为：由模型可以求出各年各点曲率变化函数：根据各年的各古塔曲率函数和各古塔的中心点，就可以得到各中心点的曲率值，进而算出弯曲程度。

参考文献[1]王有良.高层建筑倾斜变形数据处理.测绘学，33-2：3，2008[2]《建筑物沉降观测方法》DGJ32/J18-2006[3]《建筑变形测量规范》JGJ8-2007。

全国大学生数学建模竞
赛历年赛题
Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT
全国大学生数学建模竞赛历年赛题
2009：AB
CD
2010：A储油罐的变位识别与罐容表标定
B2010年上海世博会影响力的定量评估
C输油管的布置
D对学生宿舍设计方案的评价
2011:A城市表层土壤重金属污染分析
B交巡警服务平台的设置与调度
C企业退休职工养老金制度的改革
D天然肠衣搭配问题
2012:A葡萄酒的评价
B太阳能小屋的设计
C脑卒中发病环境因素分析及干预
D机器人避障问题
2013:A车道被占用对城市道路通行能力的影响
B碎纸片的拼接复原
C古塔的变形
D公共自行车服务系统
2014:A嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略B创意平板折叠桌
C生猪养殖场的经营管理
D储药柜的设计
2015:A太阳影子定位
B“互联网+”时代的出租车资源配置
C月上柳梢头
D众筹筑屋规划方案设计。

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

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我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员 (打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：古塔的变形摘要：本文研究的古塔的变形问题，通过对问题背景及附件资料进行深入地分析，采用数据拟合、求平均值等方法整理出具有科学性的分析数据。

通过对建筑物位移监测数据处理方法的研究, 采用自回归模型对位移监测数据进行处理, 根据建立的模型对具体建筑物的监测点的位移变化量进行预报。

经过计算分析, 根据位移量之间变化的关系而建立的自回归预测模型具备较高的拟合及预测精度,运用三维坐标系和数学软件将古塔的模型以空间模型的形式表现出来，直观且科学，对于研究古塔的变形具有较高的科学性和说服性。

再通过三维坐标之间的回归和三维坐标与时间的回归而分析出古塔的倾斜，弯曲，扭曲等变形状况，通过数学软件的计算及列表列图的方法将结果直观体现，通过大量的计算与分析，运用几何和代数方法将古塔的变形量以数学的方式说明。

承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外地任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关地问题.我们知道，抄袭别人地成果是违反竞赛章程和参赛规则地，如果引用别人地成果或其他公开地资料（包括网上查到地资料），必须按照规定地参考文献地表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出.我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛地公正、公平性.如有违反竞赛章程和参赛规则地行为，我们将受到严肃处理.我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们地论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）.我们参赛选择地题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C我们地参赛报名号为（如果赛区设置报名号地话）： Y4904 所属学校（请填写完整地全名）：杨凌职业技术学院参赛队员 (打印并签名) ：1. 李策2. 路开3. 李延枫指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：张涛（论文纸质版与电子版中地以上信息必须一致，只是电子版中无需签名.以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改.如填写错误，论文可能被取消评奖资格.）日期： 2013 年 9 月 16 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：基于古塔变形问题地数学模型摘要本文主要通过建立数学模型来探讨古塔地变形情况以及未来地变形趋势.首先通过建立解读几何模型确定古塔各层地中心坐标，然后利用Matlab软件进行多项式拟合得到各层中心坐标地曲线方程，最后借助此曲线方程计算得倾斜、弯曲、扭曲等各个变形量，并绘制出各层地位移沉降折线图，通过这些图形地变化趋势并结合各个变形量之间地关系，我们预测出古塔未来地变形趋势.针对问题一：我们根据题中给出地数据和条件，结合对古塔实际观测点，通过Matlab绘图软件确定古塔形状为八角形，从而建立起解读几何模型，并用Excel电子表格计算每层八点坐标地平均值，进而确定各次测量地古塔各层中心坐标.针对问题二：首先由问题一中所计算出地各层中心坐标，对于各个测量年份而言，将三维曲线转换为二维曲线，利用matlab软件对各层中心点坐标进行多项式（曲线）拟合，根据拟合出地曲线，取得该曲线地xyz三个旋转角度，即倾斜（z轴与xy平面地夹角），弯曲（曲线地曲率），扭曲（绕z轴地旋转角度）等，记为α、K、β.针对问题三：利用题中所给数据，绘制各测量年份地各层位移沉降折线图，观察其倾斜趋势，并进行预测；结合问题二中曲线曲率和扭曲角度，联系测量年份，分别利用多项式拟合得到各自与测量年份地关系式，进而更好地预测出弯曲、扭曲地变形趋势.最后，综合分析各个变形量地趋势，并对模型进行评价推广.关键词：中心坐标 matlab软件多项式拟合一．问题重述古塔是一种在亚洲常见地，有着特定地形式和风格地东方传统建筑，是中国五千年文明史地载体之一，为祖国城市山林增光添彩，矗立在大江南北地古塔，被誉为中国古代杰出地高层建筑.[1]古塔由于长时间经过各种自然环境地影响，必然会产生变形.文物部门为了更好地保护古塔，必须对其进行适时地观测，确定各种变形量，根据变形量，预测古塔地变形趋势，最后制定必要地保护措施.因此，根据上述信息，我们讨论以下问题：1、建立数学模型，研究古塔各层中心位置地通用方法，并列表确定各次测量地古塔各层中心坐标.2、分析古塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况.3、综合各种变形情况，分析古塔未来地变形趋势.二．问题分析本文研究地是古塔地变形问题.题中古塔地变形主要包括倾斜、弯曲、扭曲.首先，根据题中给出地数据和条件，确定各次测量地古塔各层中心坐标；然后对各个测量年份依次分析，将三维曲线转换为二维曲线，利用matlab软件对各层中心点坐标进行多项式（曲线）拟合，根据拟合出地曲线，计算倾斜、弯曲、扭曲三个变形量地大小关系；最后绘制各测量年份地各层位移沉降折线图，并分别利用多项式拟合得到各自与测量年份地关系式，从而更好地预测古塔未来地变形趋势.三．模型建设1．假设每层各个点都在同一平面内；2．假设古塔在各种自然环境作用下，不发生破坏；3. 假设倾斜只受地基地沉降影响，忽略其他因素.四．符号说明五．模型建立与求解5.1关于问题一地模型建立与求解：根据题中给出地数据和条件，我们利用Matlab 绘图软件可以得出题中地古塔为八角形古塔:假设每层各个点都在同一个平面内，根据简单地解读几何地方法确定各次测量地古塔各层中心坐标.可得中心坐标（x,y,z ）地通用公式：x=887654321x x x x x x x x +++++++y=887654321y y y y y y y y +++++++z=887654321z z z z z z z z +++++++根据上式，用Excel 电子表格计算每层八点坐标地平均值,确定各次测量地古塔各层中心坐标.如表1如下：5.2关于问题二地模型建立与求解：根据问题一，我们得出各次测量地古塔各层中心坐标),,(z y x ，如图1所示：图1由图1，可以看出图中后两点偏差较大，所以拟合时将其忽略.由于中心坐标为三维坐标，所以不能将各层中心坐标进行三维多项式拟合.[2]首先，我们要将三维转换成二维进行计算，令A=22y x +,进而让三维坐标),,(z y x 转换成二维坐标),(z A ；分别作Aoz 面地投影，然后将各层二维坐标进行多项式拟合.拟合程序见附录，拟合图像如图2所示：通过拟合得到：z= 21794.387 A 3-50411386.903A 2+38867927591.030A-9989249763219.082倾斜(z 轴与xy 平面地夹角)：对z 求一阶导z '=65383.161A 2-100822773.806A+38867927591.030=tan(α)α=arctan(65383.161A 2-100822773.806A+38867927591.030)弯曲（曲线地曲率）：对z 求二阶导z ''=130766.322A-100822773.806=1k 2/32,,,)1(y y + [3]=2/322])1.0303886792759+806A 100822773.- 65383.161A (1[806100822773.-A 130766.322+扭曲（绕z 轴地旋转角度）:我们先做出古塔俯视图（即xoy 面地曲线），如图3所示：图3据观察可得出，前10个点基本在同一条直线上，受扭曲地影响较小，所以我们用这10个点可以拟合出一条直线函数作为不受扭曲地参照直线，再连接第一层塔心和塔尖地塔心得到另一条直线，两条直线所成地夹角即为扭曲角度.1986年前十组中心坐标拟合图如图4图4前10点拟合图方程：y= -0.6425x+886.7750同时，我们可以求出连接第一层塔心和塔尖地塔心所得到地另一条直线地方程： >> x=[566.6648,567.2473]。

题目： C参赛队员：队员1王建明队员2程建良队员3杨李指导教师：教练组单位：江西机电职业技术学院承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

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我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：江西机电职业技术学院参赛队员(打印并签名) ：1. 王建明2. 程建良3. 杨李指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：王广明日期： 2013 年 9 月 15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：古塔变形问题摘要本文主要分析了古塔因为受自重、气温、风力、地震、飓风的影响产生倾斜、弯曲、扭曲等变形的问题。

问题一通过将每层的点近似在一个平面上，Z 坐标取各层高度的平均值，采用中心点到各点的距离总和最小分别求得各年各层中心点的坐标。

各年各层中心点坐标见附录1.问题二塔的倾斜度通过三维拟合各层的中心点坐标，通过画出散点图，发现1986年与1996年第13层数据异常，我们去除那两点考虑，通过空间三维拟合得到一条直线，然后将直线投影到平面上，直线与在平面上的投影的夹角就是古塔的倾斜角。

（高教社杯全国大学生数学建模竞赛古塔变形的数学模型承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

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本文研究了关于古塔变形的问题，古塔的变形与塔身的中心紧密相关，具体分析了古塔倾斜、弯曲、扭曲的变形情况及趋势。

对于问题1，建立中心位置模型，采用多边形组合形心的算法，求的结果是表6，7，8，9中的数据；在问题2-1中，研究塔身的倾斜建立了古塔自身倾斜角的模型和古塔相对倾斜角模型两个数学模型，模型2-1.1利用三角函数相关知识确定倾斜角，结果是1986年的塔身倾斜了1.5308°，1996年的塔身倾斜了1.5558°，2009年的塔身倾斜了1.5564°，2011年的塔身倾斜了1.5339°；模型2-1.2对各年份各层的中心点数据进行空间直线拟合，采用空间向量法计算两直线的夹角，结果是古塔1996年相对于1986年倾斜了0.049°，2009年相对于1996年未发生倾斜，2011年相对于2009年倾斜了0.0245°。

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）日期： 2013 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：对古塔变形问题的数学建模摘要中国古语有云，“救人一命胜造七级浮屠”，所谓浮屠也就是大众口中的“塔”。

在中国辽阔的大地上，古塔的踪影随处可见。

它们造型精美、结构巧妙，成为可多得的独特景观。

早起的古塔，主要是阁楼式的建筑，从唐朝经过两宋至辽、金，是我国古塔发展的高峰时期，特别是唐和两宋，古塔的建造达到了空前繁荣度，总量较以前大增，材料也更为丰富，除了木材和砖、石以外，还使用了铜、铁、琉璃等、材料上有木塔为主转为以石塔为主，平面则由四方形逐渐演变为六角和八角形。

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）日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：古塔的变形保护模型摘要中国古塔是我国古代建筑的杰出，它融合了外来文化与中华建筑的精华，现存的古塔已成为城市的一道风景，是城市历史文化的重要组成部分。

但是，古塔长时间的承受自重、气温、风力等作用，偶然还会遭受自然灾害、地震、飓风等影响，还存在古塔的材料结构整体性差及其他因素使古塔产生了各种形变，倾斜、弯曲、扭曲等。

本文根据以上提出的问题，完成了以下工作首先，分析了附录提供的四年观测数据，画出了每层的观测数据三维图，确定了以观测数据凸多边形的重心模型为塔层中心的方法，确定古塔各层的中心位置及中心坐标，并列出表格。