浙江省丽水市2019-2020学年高二下学期期末教学质量监控试题 数学 含答案

2019-2020学年浙江省丽水市高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．cos＝（）A．B．C．D．2．直线y＝x+1的倾斜角是（）A．B．C．D．3．双曲线的焦点坐标是（）A．（0，±l）B．（±1，0）C．（0，±）D．（±，0）4．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm35．已知实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值是（）A．1B．2C．3D．46．函数的图象不可能是（）A．B．C．D．7．“”是“x2+y2﹣2mx﹣m2﹣5m+3＝0为圆方程”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件8．已知F是椭圆的一个焦点，若直线y＝kx与椭圆相交于A，B 两点，且∠AFB＝60°，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．9．在梯形ABCD中，，，P为线段DE上的动点（包括端点），且（λ，μ∈R），则λ2+μ的最小值为（）A．B．C．D．10．已知数列{a n}满足a1＝a（a∈R），a n+1＝a n2+2a n﹣2（n∈N*），则下列说法中错误的是（）A．若a＞1，则数列{a n}为递增数列B．若数列{a n}为递增数列，则a＞1C．存在实数a，使数列{a n}为常数数列D．存在实数a，使|a n+1|≤2恒成立二、填空题（共7小题）.11．已知集合A＝{x|x2﹣4＜0}，B＝{x|x＞1}，则A∩B＝，A∪B＝．12．已知函数，则＝；若，则x的取值范围是．13．已知直线l1：2x+ay+3a＝0，l2：（a﹣1）x+3y+7﹣a＝0，若l1∥l2，则a＝；若l1⊥l2，则a＝．14．定义二元函数f（x，y）＝|2x﹣y|，则不等式f（1，y）≤1的解集是；若不等式f（x，1）+f（x，﹣2）≥m对任意实数x恒成立，则实数m的最大值是．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a cos C，b cos B，c cos A成等差数列，且a+c＝8，则AC边上中线长的最小值是．16．在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，则在翻折过程中，异面直线AD与BE所成角的取值范围是．17．若对任意b∈[0，2]，当（a＞1）时，不等式|ax2+bx﹣1|≤4x恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若角α∈（0，π），，求的值．19．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC＝2AD＝4，．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若，求BC与平面PBD所成角的正弦值．20．已知数列{a n}的前n项和，正项等比数列{b n}满足b1＝1，且9b3是a2b2与a3+b1的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n b n}的前n项和T n．21．如图，直线l与抛物线y2＝2x相交于A，B两点，与x轴交于点Q，且OA⊥OB，OD ⊥l于点D（m，n）．（Ⅰ）当n＝1时，求m的值；（Ⅱ）当时，求△ODQ与△OAB的面积之积S△ODQ•S△OAB的取值范围．22．已知函数，g（x）＝﹣2x2+ax，a∈R．（Ⅰ）若函数y＝g（f（x））存在零点，求a的取值范围；（Ⅱ）已知函数，若m（x）在区间（1，4）上既有最大值又有最小值，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．cos＝（）A．B．C．D．【分析】直接利用诱导公式得出所求的式子等于﹣cos，然后根据特殊角的三角函数值得出结果．解：cos＝cos（π﹣）＝﹣cos＝﹣故选：C．2．直线y＝x+1的倾斜角是（）A．B．C．D．【分析】由题意，k＝＝tanα，即可求出直线的倾斜角．解：由题意，k＝＝tanα，∵0°≤α＜180°，∴α＝60°，故选：C．3．双曲线的焦点坐标是（）A．（0，±l）B．（±1，0）C．（0，±）D．（±，0）【分析】由双曲线的方程可得a，b，c，可得所求焦点坐标．解：双曲线的a＝，b＝2，c＝＝，可得双曲线的焦点坐标为（±，0），故选：D．4．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm3【分析】由三视图知几何体为直三削去一个三棱锥，画出其直观图，根据棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，计算三棱柱与三棱锥的体积，再求差可得答案．解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V＝×3×4×5﹣××3×4×5＝20（cm3）．故选：B．5．已知实数x，y满足不等式组，则2x+y的最大值是（）A．1B．2C．3D．4【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（1，0），代入目标函数z＝2x+y得z＝2×1+0＝2．即目标函数z＝2x+y的最大值为2．故选：B．6．函数的图象不可能是（）A．B．C．D．【分析】当a＝0时，，是反比例函数，符合选项B；当a≠0时，可知函数f（x）有唯一零点x＝0，显然选项D错误．解：当a＝0时，是反比例函数，对应着选项B的函数图象；当a≠0时，令f（x）＝0，则x＝0，即函数f（x）有唯一零点x＝0，而选项D的函数图象有三个零点，不符合．故选：D．7．“”是“x2+y2﹣2mx﹣m2﹣5m+3＝0为圆方程”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】利用配方法将圆的方程进行配方，结合充分条件和必要条件的关系进行判断即可．解：将方程进行配方得（x﹣m）2+y2＝2m2+5m﹣3，若方程表示圆，则2m2+5m﹣3＞0得x＞或x＜﹣3，则“”是“x2+y2﹣2mx﹣m2﹣5m+3＝0为圆方程”的充分不必要条件，故选：A．8．已知F是椭圆的一个焦点，若直线y＝kx与椭圆相交于A，B 两点，且∠AFB＝60°，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由椭圆的性质可得四边形AFBF'为平行四边形，可得∠FAF'＝120°，在三角形中有余弦定理及均值不等式可得离心率的取值范围．解：连接A，B与左右焦点F，F'的连线，由∠AFB＝60°，由椭圆及直线的对称性可得四边形AFBF'为平行四边形，∠FAF'＝120°，在三角形AFF'中，FF'2＝AF2+AF'2﹣2AF•AF'cos∠FAF'＝（AF+AF'）2﹣AF•AF'，所以（AF+AF'）2﹣FF'2＝AF•AF'2，即（AF+AF'）2≤FF'2，即•4a2≤4c2，可得e＝≥，所以椭圆的离心率e∈[，1），故选：A．9．在梯形ABCD中，，，P为线段DE上的动点（包括端点），且（λ，μ∈R），则λ2+μ的最小值为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，设＝t+（1﹣t），以和分别表示和，即可得＝．又因为（λ，μ∈R），将λ2+μ转化为关于t的二次函数，即可求得最小值．解：由题，梯形ABCD中，，，P为线段DE上的动点（包括端点），设＝t+（1﹣t）＝t＝t（0≤t≤1），∵＝＝，∴+（1﹣t）＝．又∵（λ，μ∈R），∴，∴λ2+μ＝＝，∴当t＝时，λ2+μ的最小值为．故选：A．10．已知数列{a n}满足a1＝a（a∈R），a n+1＝a n2+2a n﹣2（n∈N*），则下列说法中错误的是（）A．若a＞1，则数列{a n}为递增数列B．若数列{a n}为递增数列，则a＞1C．存在实数a，使数列{a n}为常数数列D．存在实数a，使|a n+1|≤2恒成立【分析】设函数f（x）＝x2+2x﹣2，令f（x）＝x，得不动点为x＝﹣2或x＝1，作出函数的图象，数形结合能求出结果．解：∵数列{a n}满足a1＝a（a∈R），a n+1＝a n2+2a n﹣2（n∈N*），∴设函数f（x）＝x2+2x﹣2，令f（x）＝x，得不动点为x＝﹣2或x＝1，如图，对于A，当a＞1时，作蛛网图如红色部分，由此可知数列{a n}是递增数列，故A正确；对于B，如图中蓝色部分，不妨取a＜﹣3（与a＞1对称），则由蛛网图得：从a2开始，a2＞1，此后{a n}（n≥2）单调递增，且a1＜﹣3＜a2，∴{a n}（n∈N*）是递增函数，即当a＜﹣3时，也满足递增数列的要求，故B错误；对于C，不动点x＝﹣2或x＝1，当a＝﹣2或a＝1时，a n＝a1＝﹣2或a n＝a1＝1为常数列，故C正确；对于D，﹣3≤a n≤1恒成立，当a＝﹣2或a＝1时，存在实数a，使|a n+1|≤2恒成立，故D正确．故选：B．二、填空题：本题共7小题，其中11-14题每小题6分，15-17题每小题6分，共36分．11．已知集合A＝{x|x2﹣4＜0}，B＝{x|x＞1}，则A∩B＝{x|1＜x＜2}，A∪B＝{x|x ＞﹣2}．【分析】可以求出集合A，然后进行交集和并集的运算即可．解：∵A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，∴A∩B＝{x|1＜x＜2}，A∪B＝{x|x＞﹣2}．故答案为：{x|1＜x＜2}，{x|x＞﹣2}．12．已知函数，则＝﹣1；若，则x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，）．【分析】推导出＝＝﹣1；若，则当x≤0时，f（x）＝2x，当x＞0时，f（x）＝log2x＜，由此能求出x的取值范围．解：∵函数，∴＝＝﹣1；若，则当x≤0时，f（x）＝2x，解得x＜﹣1，当x＞0时，f（x）＝log2x＜，解得0＜x＜∴x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，）．故答案为：﹣1，（﹣∞，﹣1）∪（0，）．13．已知直线l1：2x+ay+3a＝0，l2：（a﹣1）x+3y+7﹣a＝0，若l1∥l2，则a＝3；若l1⊥l2，则a＝．【分析】由两直线平行、垂直与系数的关系分别列式求解a值．解：直线l1：2x+ay+3a＝0，l2：（a﹣1）x+3y+7﹣a＝0，若l1∥l2，则，解得a＝3；若l1⊥l2，则2（a﹣1）+3a＝0，即a＝．故答案为：3；．14．定义二元函数f（x，y）＝|2x﹣y|，则不等式f（1，y）≤1的解集是{y|1≤y≤3}；若不等式f（x，1）+f（x，﹣2）≥m对任意实数x恒成立，则实数m的最大值是3．【分析】由二元函数的定义可得f（1，y）≤1，即为|2﹣y|≤1，由绝对值不等式的解法可得所求解集；若不等式f（x，1）+f（x，﹣2）≥m对任意实数x恒成立，即为|2x﹣1|+|2x+2|≥m恒成立，运用绝对值不等式的性质可得此不等式左边的最小值，进而得到m的最大值．解：二元函数f（x，y）＝|2x﹣y|，则不等式f（1，y）≤1，即为|2﹣y|≤1，即﹣1≤y﹣2≤1，解得1≤y≤3；若不等式f（x，1）+f（x，﹣2）≥m对任意实数x恒成立，即为|2x﹣1|+|2x+2|≥m恒成立，由|2x﹣1|+|2x+2|≥|2x﹣1﹣2x﹣2|＝3，当﹣1≤x≤时取得等号，则m≤3，即m的最大值为3．故答案为：|y|1≤y≤3}，3．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a cos C，b cos B，c cos A成等差数列，且a+c＝8，则AC边上中线长的最小值是．【分析】运用等差数列的中项性质和三角形的正弦定理、三角函数的恒等变换，化简可得cos B＝，设AC边上的中线长BD＝x，运用余弦定理和诱导公式，求得x的关系式，结合基本不等式可得所求最小值．解：由a cos C，b cos B，c cos A成等差数列，可得a cos C+c cos A＝2b cos B，由正弦定理可得sin A cos C+sin C cos A＝2sin B cos B，而sin A cos C+sin C cos A＝sin（A+C）＝sin B，可得cos B＝，由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac，设AC边上的中线长BD＝x，由a2＝x2+﹣2x•cos∠BDC，c2＝x2+﹣2x•cos∠BDA，而∠BDA+∠BDC＝π，可得cos∠BDA+cos∠BDC＝0，可得a2+c2＝2x2+b2＝2x2+（a2+c2﹣ac），化为x2＝（a2+c2+ac）＝[（a+c）2﹣ac]＝（64﹣ac）≥[64﹣]＝×（64﹣16）＝12，可得x≥2，当且仅当a＝c＝4时，取得等号．则AC边上中线长的最小值是2．故答案为：2．16．在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，则在翻折过程中，异面直线AD与BE所成角的取值范围是．【分析】当BE与AD共面时，AD与BE所成角即为BC与BE所成角，此时角度最小为．当AD⊥BE时，异面直线AD与BE所成角最大为，由此能求出异面直线AD 与BE所成角的范围．解：由题知形成的图形为AD绕AE旋转的锥体，当BE与AD共面时，由于AD与BC平行，即AD与BE所成角即为BC与BE所成角，此时角度最小为．∴在翻折过程中，异面直线AD与BE所成角大于，在翻折过程中，当AD⊥BE时，异面直线AD与BE所成角最大为，∴异面直线AD与BE所成角的范围为（，]．故答案为：（，]．17．若对任意b∈[0，2]，当（a＞1）时，不等式|ax2+bx﹣1|≤4x恒成立，则实数a的取值范围是（1，3]．【分析】由绝对值不等式的解法可得﹣4x+1﹣bx≤ax2≤4x+1﹣bx，结合一次函数的单调性可得﹣4x+1≤ax2≤1+2x，再由参数分离和二次函数的单调性，求最值，可得a的范围．解：|ax2+bx﹣1|≤4x，即为﹣4x≤ax2+bx﹣1≤4x，由于≤x≤1，可得﹣4x+1﹣bx≤ax2≤4x+1﹣bx，由任意b∈[0，2]，f（b）＝﹣4x+1﹣bx和f（b）＝4x+1﹣bx递减，可得﹣4x+1≤ax2≤1+2x，即﹣≤a≤+对≤x≤1恒成立，由1≤≤a，可得y＝﹣＝（﹣2）2﹣4，当x＝1或时，取得最大值，即y max＝﹣3或a2﹣4a，则a≥﹣3且a≥a2﹣4a，即a≤5，可得﹣3≤a≤5，又a＞1，可得1＜a≤5，y＝+＝（+1）2﹣1的最小值为3，可得a≤3，综上可得1＜a≤3，故答案为：（1，3]．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）若角α∈（0，π），，求的值．【分析】（Ⅰ）利用三角函数的倍角公式，结合辅助角公式进行化简，利用周期公式以及单调性进行求解即可．（Ⅱ）根据条件求出，利用两角和差的三角公式进行转化求解即可．解：（Ⅰ）＝sin x cos x+cos2x，即＝，∴周期T＝＝π令解得所以函数f（x）的单调递增区间为（Ⅱ）因为，所以故，∵α∈（0，π），又，∴∴＝＝﹣＝，即．19．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC＝2AD＝4，．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若，求BC与平面PBD所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）作DE⊥BC，证明BD⊥AC，通过PA⊥平面ABCD，说明PA⊥BD，即可证明BD⊥平面PAC（Ⅱ）利用V C﹣PBD＝V P﹣BCD，求出点C到平面PBD的距离，然后求解BC与平面PBD 所成角α的正弦．【解答】（Ⅰ）证明：作DE⊥BC，AD＝2，BC＝4，∴CE＝1，DE＝BE＝3，∴∠DBC＝∠ACB＝45°，∴BD⊥AC又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．（Ⅱ）Rt△PAB中，，∴PB＝4，Rt△PAD中，，∴，∴△PBD≌△CBD又V C﹣PBD＝V P﹣BCD，∴点C到平面PBD的距离，∴BC与平面PBD所成角α的正弦为．20．已知数列{a n}的前n项和，正项等比数列{b n}满足b1＝1，且9b3是a2b2与a3+b1的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）先利用a n＝S n﹣S n﹣1求得a n，然后设数列{b n}的公比为q，由题设条件列出q的方程，求得q，即可求得b n；（Ⅱ）先由（Ⅰ）求得a n b n，再利用错位相减法求其前n项和．解：（Ⅰ）当n≥2时，，当n＝1时，a1＝S1＝1也适合，∴a n＝2n﹣1．设数列{b n}的公比为q，∵a2＝3，a3＝5，由题意可得：18q2＝3q+6，解得，或（舍去），∴，所以a n＝2n﹣1，；（Ⅱ）由（Ⅰ）有，所以T n＝a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n＝，又，两式相减有：＝＝，所以．21．如图，直线l与抛物线y2＝2x相交于A，B两点，与x轴交于点Q，且OA⊥OB，OD ⊥l于点D（m，n）．（Ⅰ）当n＝1时，求m的值；（Ⅱ）当时，求△ODQ与△OAB的面积之积S△ODQ•S△OAB的取值范围．【分析】（Ⅰ）设直线AB的方程，与抛物线的方程联立求出两根之积，由OA⊥OB，可得＝0，可得参数的值，再由OD⊥l于点D（m，n），可得m的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得两根之和及两根之积，求出三角形ODQ，三角形OAB的面积的表达式，由m的范围可得面积之积的取值范围．解：（Ⅰ）设直线AB方程为x＝ty+b，其中b≠0．由得y2﹣2ty﹣2b＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有y1y2＝﹣2b，，∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2＝0，即b2﹣2b＝0，∴b＝2，直线l为：x＝ty+2，点Q（2，0），∵OD⊥DQ，∴，即n2＝m（2﹣m），而n＝1，解得m＝1（Ⅱ）由（Ⅰ）得y1+y2＝2t，y1y2＝﹣4，∴|y1﹣y2|＝＝，∵OD⊥l，n2＝m（2﹣m），∴，∴，∵，，∴，∵，∴S△ODQ•S△OAB的取值范围为．22．已知函数，g（x）＝﹣2x2+ax，a∈R．（Ⅰ）若函数y＝g（f（x））存在零点，求a的取值范围；（Ⅱ）已知函数，若m（x）在区间（1，4）上既有最大值又有最小值，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）令g（x）＝0有x1＝0，，结合函数f（x）的值域，判断函数的零点存在的条件，推出结果．（Ⅱ）m（x）有最大值，推出6≤a＜16，m（x）要存在最小值必须有g（4）＜f（4），求出a的范围，令，推出，然后利用m（x）的单调性，g（x）的单调性，转化为判断m（x）在区间（1，4）有最大值，最小值m （x0），然后求出a的取值范围．解：（Ⅰ）令g（x）＝0有x1＝0，，而，所以要使函数y＝g（f（x））存在零点，只需或，即或．（Ⅱ）要使m（x）有最大值，则必有，即，解得6≤a＜16，当6≤a＜16时，g（1）＝a﹣2≥4＞3＝f（1），所以m（x）要存在最小值必须有g（4）＜f（4），即，解得，当时，，，令，有，此时，又由g（4）＜f（4）得，，∴在上存在x0，使g（x0）＝f（x0），∴m（x）在上递增，上递减，（x0，4）上递增，∴g（x）在上单调递减，，∴m（x）在区间（1，4）有最大值，最小值m（x0），即当时，m（x）在区间（1，4）上既有最大值又有最小值．。

2019-2020年高二下学期期末考试数学理含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合，则A. B. C. D.2．已知是虚数单位，则等于A．B．C．D．3．公差不为零的等差数列第项构成等比数列，则这三项的公比为A．1 B．2 C．3 D．44．从中任取个不同的数，设表示事件“表示事件“取到的个数均为偶数”，则A．B．C．D．5.在中,已知,且,则A.B.C. D.6．执行如右图所示的程序框图，输出的值为A．B．C．D．7. 如图，一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长为锐角的菱形，俯视图为正方形，则此几何体的内切球表面积为A．B．C．D．8．函数的图象是A．B．C．D．9. 已知函数，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则的最小值为A．B．C．D．10．已知球的直径，是球球面上的三点，是正三角形，且，则三棱锥的体积为（A）（B）（C）（D）俯视图11. 过双曲线的左焦点，作圆：的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为A. B. C. D.12．已知函数的两个极值点分别为且，记分别以为横、纵坐标的点表示的平面区域为，若函数的图象上存在区域D内的点，则实数的取值范围为A．B．C．D．试卷Ⅱ（共90 分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分, 共20分．13．某市有A、B、C三所学校共有高二理科学生1500人，且A、B、C三所学校的高二理科学生人数成等差数列，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高二理科学生中抽取容量为120的样本进行成绩分析，则应从B校学生中抽取_____人.14．过抛物线的焦点的直线与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，，则抛物线的方程为.15. 设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，令，则的值为．16．观察下列算式：，若某数按上述规律展开后，发现等式右边含有“”这个数，则．三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.17. （本题满分12分）已知中，角所对的边分别是，且（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求面积的最大值．18.（本小题满分12分）在某大学自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A ,B ,C ,D ,E 五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为的考生有人.（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数； （Ⅱ）若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分. （i ）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.19. (本小题满分12分）在三棱柱中，侧面为矩形，为 中点，与交于点，丄面．(Ⅰ )证明：(Ⅱ)若求二面角的余弦值.20．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率且经过点，抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合．（Ⅰ）过的直线与抛物线交于两点，过分别作抛物线的切线，求直线的交点的轨迹方程； （Ⅱ）从圆上任意一点作椭圆的两条切线，切点分别为，试问的大小是否为定值，若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由。

浙江省丽水市2019-2020学年数学高二下期末达标检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知()21cos 2f x x x =-,()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】先求得函数()f x 的导函数()'f x ，再对导函数求导，然后利用特殊点对选项进行排除，由此得出正确选项. 【详解】 依题意()'sin fx x x =+，令()sin h x x x =+，则()'1cos h x x =+.由于()'00f =，故排除C 选项.由于()'01120h =+=>，故()'f x 在0x =处导数大于零，故排除B,D 选项.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查导数的运算，考查函数图像的识别，属于基础题. 2．定义在（0，+∞）上的函数f （x ）的导数'()f x 满足x 2'()f x ＜1，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．f （14）+1＜f （13）＜f （12）﹣1 B ．f （12）+1＜f （13）＜f （14）﹣1 C ．f （14）﹣1＜f （13）＜f （12）+1D ．f （12）﹣1＜f （13）＜f （14）+1【答案】D 【解析】 【分析】构造函数g （x ）＝f （x ）1x+，利用导数可知函数在（0，+∞）上是减函数，则答案可求． 【详解】由x 2f ′（x ）＜1，得f ′（x ）21x ＜，即得f ′（x ）21x -＜0， 令g （x ）＝f （x ）1x +，则g ′（x ）＝f ′（x ）21x-＜0，∴g （x ）＝f （x ）1x+在（0，+∞）上为单调减函数， ∴f （12）+2＜f （13）+3＜f （14）+4，则f （12）＜f （13）+1，即f （12）﹣1＜f （13）；f （13）＜f （14）+1．综上，f （12）﹣1＜f （13）＜f （14）+1．故选：D ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，正确构造函数是解题的关键，是中档题．3．PQ 是异面直线,a b 的公垂线，,, , a b A a B b C ⊥∈∈在线段PQ 上(异于,P Q )，则ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．三角形不定【答案】C 【解析】 【分析】用,,,PA PC CQ QB 表示出,,AC BC AB ，结合余弦定理可得ACB ∠为钝角． 【详解】如图，由,a b PQ b ⊥⊥可得b ⊥平面APQ ，从而b AQ ⊥，线段长如图所示，由题意22x m p =+22y n t =+，222()z p m n t =+++显然222x y z +<，∴222cos 02x y zACB xy+-∠=<，ACB ∠为钝角，即ABC ∆为钝角三角形． 故选C ． 【点睛】本题考查异面直线垂直的性质，考查三角形形状的判断．解题关键是用,,,PA PC CQ QB 表示出,,AC BC AB ．4．已知函数f(x)＝a x ，其中a>0，且a ≠1，如果以P(x 1，f(x 1))，Q(x 2，f(x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f(x 1)·f(x 2)等于( ) A ．1 B ．aC ．2D ．a 2【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得120x x +=，再根据指数运算性质得解. 【详解】因为以P(x 1，f(x 1))，Q(x 2，f(x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，所以120x x +=. 因为f(x)＝a x ，所以f(x 1)·f(x 2)=121201x x x x a a a a +⋅===. 故答案为：A 【点睛】本题主要考查指数函数的图像性质和指数运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.5．体育课上,小红、小方、小强、小军四位同学都在进行足球、篮球、羽毛球、乒乓球等四项体自运动中的某一种，四人的运动项目各不相同，下面是关于他们各自的运动项目的一些判断: ①小红没有踢足球，也没有打篮球； ②小方没有打篮球,也没有打羽毛球；③如果小红没有打羽毛球,那么小军也没有踢足球； ④小强没有踢足球,也没有打篮球.已知这些判断都是正确的,依据以上判断，请问小方同学的运动情况是( ) A ．踢足球 B ．打篮球 C ．打羽毛球 D ．打乒乓球 【答案】A【解析】分析：由题意结合所给的逻辑关系进行推理论证即可.详解：由题意可知：小红、小方、小强都没有打篮球，故小军打篮球； 则小军没有踢足球，且已知小红、小强都没有踢足球，故小方踢足球. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查学生的推理能力，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．已知圆:M (2236x y ++=，定点)N，点P 为圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在线段MP 上，且满足2Q NP =N ，GQ 0⋅NP =，则点G 的轨迹方程是（ ）A ．22194x y +=B ．2213631x y +=C ．22194x y -=D ．2213631x y -=【答案】A 【解析】试题分析：由2Q NP =N ，GQ 0⋅NP =可知，直线GQ 为线段NP 的中垂线，所以有GN GP =，所以有6GM GN GM GP MP +=+==，所以点G 的轨迹是以点,M N 为焦点的椭圆，且26,5a c ==，即2223,4a b a c ==-=，所以椭圆方程为22194x y +=,故选A ．考点：1．向量运算的几何意义；2．椭圆的定义与标准方程．【名师点睛】本题主要考查向量运算的几何意义、椭圆的定义与椭圆方程的求法，属中档题．求椭圆标准方程常用方法有：1．定义法，即根据题意得到所求点的轨迹是椭圆，并求出,a b 的值；2．选定系数法：根据题意先判断焦点在哪个坐标轴上，设出其标准方程，根据已知条件建立,,a b c 关系的方程组，解之即可．7．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为 A ．312-B ．23-C ．312D 31【答案】D 【解析】分析：设2PF m =，则根据平面几何知识可求121,F F PF ，再结合椭圆定义可求离心率. 详解：在12F PF ∆中，122190,60F PF PF F ∠=∠=︒设2PF m =，则12122,3c F F m PF m ===，又由椭圆定义可知1221)a PF PF m =+=则离心率212c c e a a ====， 故选D.点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.8．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以是0~9中的任意一个.某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，任意按最后一位数字，则不超过3次就按对的概率为（ ） A ．0.4 B ．0.3C ．0.2D ．0.1【答案】B 【解析】 【分析】利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式直接求解，即可求得答案. 【详解】设第i 次按对密码为事件()1,2,3i A i = 第一次按对()1110P A =第一次按错，第二次按对()1291110910P A A =⨯= 第一次按错，第二次按错，第三次按对()1239811109810P A A A =⨯⨯= 事件1A ，事件12A A ，事件123A A A 是互斥， 任意按最后一位数字，则不超过3次就按对的概率()P A 由概率的加法公式得：()()()()11212330.310P A P A P A A P A A A =++== 故选：C ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，每天的正点率X 服从正态分布2(0.98)N σ,，且(0.97)0.005P X <=，则(0.970.99)P X <<=（ ）A ．0.96B ．0.97C ．0.98D ．0.99【答案】D【解析】 【分析】根据正态分布的对称性，求得指定区间的概率. 【详解】由于0.98μ=，故(0.970.99)12(0.97)0.99P X P X <<=-⨯<=，故选D. 【点睛】本小题主要考查正态分布的对称性，考查正态分布指定区间的概率的求法，属于基础题.10．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球，2个白球和2个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以1A ，2A ，3A 表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中不正确．．．的是（ ） A ．事件B 与事件1A 不相互独立 B ．1A 、2A 、3A 是两两互斥的事件 C ．17(|)11P B A = D ．3()5P B =【答案】D 【解析】分析：由题意1A ，2A ，3A 是两两互斥事件，条件概率公式求出1(|)P B A ，()()()()123P B P A B P A B P A B =++，对照选项即可求出答案.详解：由题意1A ，2A ，3A 是两两互斥事件，()()()12351213,,10210510P A P A P A =====, ()()()111177211|1112P BA P B A P A ⨯===,()23|11P B A =,()33|11P B A =,而()()()()123P B P A B P A B P A B =++()()()()()()112233|||P A P B A P A P B A P A P B A =++1713332115111011=⨯+⨯+⨯ 511=. 所以D 不正确. 故选：D.点睛：本题考查相互独立事件，解题的关键是理解题设中的各个事件，且熟练掌握相互独立事件的概率简洁公式，条件概率的求法，本题较复杂，正确理解事件的内蕴是解题的关键.11．动点A 在圆221x y +=上移动时，它与定点()3,0B 连线的中点的轨迹方程是 （ ） A ．22320x y x +++= B ．22320x y x +-+= C ．22320x y y +++= D ．22320x y y +-+=【答案】B 【解析】 【分析】设连线的中点为(,)P x y ,再表示出动点A 的坐标,代入圆221x y +=化简即可. 【详解】设连线的中点为(,)P x y ,则因为动点(,)A A A x y 与定点()3,0B 连线的中点为(,)P x y ,故3232202A A A A x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=⎪⎩ ,又A 在圆221x y +=上,故22(23)(2)1x y -+=, 即2222412941,412840x x y x x y -++=-++=即22320x y x +-+= 故选：B 【点睛】本题主要考查了轨迹方程的一般方法,属于基础题型.12．如图，在ABC ∆中， ,,BC a AC b AB c ===． O 是ABC ∆的外心， ODBC 于D ， OE AC⊥于E ， OF AB ⊥于F ，则::OD OE OF 等于 （ ）A ．::a b cB ．111::a b cC ．sin :sin :sin A B CD ．cos :cos :cos A B C【答案】D 【解析】 由正弦定理有2sin aR A= ,R 为三角形外接圆半径,所以2sin a R A =,在RtBOD ∆中,22221cos 4OD OB BD R a R A =-=-= ,同理cos ,cos OE R B OF R C ==,所以::cos :cos :cos OD OE OF A B C = ,选D.二、填空题：本题共4小题13．已知32()3f x x x a =++（a 为常数），在[33]-，上有最小值3，那么在[33]-，上()f x 的最大值是 【答案】57 【解析】试题分析：()()322()33632f x x x a f x x x x x =++∴=+=+'单调增区间为[][]3,2,0,3--减区间为[]2,0-，最大值为()32727357f =++=考点：函数导数与最值14．已知,x y 满足约束条件240,1,50,x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≥⎩则2z x y =+的最小值为______________.【答案】8 【解析】 【分析】由题意画出可行域，利用图像求出最优解，再将最优解的坐标代入目标函数即可求出z 的最小值. 【详解】由题意画出约束条件240150x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≥⎩的可行域如图所示，由图像知，当2z x y =+过点A 时，z 取得最小值，联立24050x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得()2,3A ，代入目标函数，min 2238z =+⨯=. 故答案为：8 【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，考查学生数形结合的思想，属于基础题. 15．命题“x ∃∈R ，212x x +<”的否定是_______.【答案】x ∀∈R ，212x x +≥ 【解析】 【分析】原命题为特称命题，其否定为全称命题. 【详解】“x ∃∈R ，212x x +<”的否定是x ∀∈R ，212x x +≥ 故答案为：x ∀∈R ，212x x +≥ 【点睛】本题考查对特称命题进行否定. 对全(特)称命题进行否定的方法:(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； (2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可． 16．若x ，y 满足x+1≤y≤2x ，则2y−x 的最小值是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】 【详解】分析：作可行域，根据目标函数与可行域关系，确定最小值取法. 详解：作可行域，如图， 平移直线2z y x =-，由图可知直线2z y x =-过点A(1,2)时，z 取最小值3.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

同步测试一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数223y x x =-+在闭区间[0,]m 上有最大值3，最小值为2， m 的取值范围是A ．(,2]-∞B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[1,)+∞2．已知10件产品有2件是次品．为保证使2件次品全部检验出的概率超过0.6，至少应抽取作检验的产品件数为()A ．6B ．7C ．8D ．93．已知各棱长均相等的正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥的侧面与底面所成角的大小分别为αβγ，，，则（ ）A ．αβγ==B ．αβγ<<C ．αβγ>>D ．前三个答案都不对4．5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中23x y 的系数是 A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．20 5．参数方程22x cos sin y cos sin θθθθ=-⎧⎨=+⎩（θ∈R ）表示的曲线是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线6．设直线l 的一个方向向量()6,2,3d =，平面α的一个法向量()1,3,0n =-，则直线l 与平面α的位置关系是（ ）.A ．垂直B ．平行C ．直线l 在平面α内D ．直线l 在平面α内或平行7．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为A ．14B ．15C ．16D ．17 8．已知tan 3a =，则21cos sin 22a a +=（） A ．25- B ．3 C ．3- D ．259．已知曲线()y f x =在点()5(5),f 处的切线方程是80x y +-=，且()f x 的导函数为()f x '，那么()5f '等于A ．3B ．1C ．8-D ．1-10．某个几何体的三视图如图所示（其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆），则该几何体的体积为（ ）A ．8010π+B ．8020π+C ．9214π+D ．12010π+ 11．正ABC ∆边长为2，点P 是ABC ∆所在平面内一点，且满足3BP =，若AP AB AC λμ=+，则λμ+的最小值是（ ）A ．12B ．5C ．2D ．23312．演绎推理“因为0'()0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数3()f x x =，'(0)0f =，所以0是函数3()f x x =的极值点.”所得结论错误的原因是（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．全不正确 二、填空题：本题共4小题13．设随机变量ξ的概率分布列为，，则 .14．已知函数()ax be f x x+=（,a b ∈R ），若对(0,)x ∀∈+∞，都有()1f x ≥恒成立，记ab 的最小值为(,)g a b ，则(,)g a b 的最大值为______.15．设3a 0.2=，0.2b 3=，0.3c log 2=，则a ，b ，c 的大小关系用“<”连接为______．16．为计算11111123499100S =-+-+⋅⋅⋅+-，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

浙江省丽水市2019-2020学年数学高二下期末达标检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知函数1()2ln (R)f x x a x a x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭在定义域上有两个极值点12,x x ，则()12f x x ⋅的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(,0)-∞C ．(0,)+∞D ．(1,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据等价转化的思想，可得'()0f x =在定义域中有两个不同的实数根，然后利用根的分布情况，可得1a >，最后利用导数判断()12f x x ⋅单调性，可得结果.【详解】222122'()1x ax af x a xx x -+⎛⎫=--+= ⎪⎝⎭ 令2()2g x x ax a =-+，依题意得方程()0g x =有两个不等正根1x ，2x ，则21212(2)402010a a x x a a x x a ⎧∆=-->⎪+=>⇒>⎨⎪=>⎩， ()121()2ln 2ln 1f x x f a a a a a a a a ⎛⎫∴⋅==-+=-- ⎪⎝⎭，令()2ln 1(1)T a a a a a =-->，'()12ln 0T a a ∴=--< ()T a ∴在(1,)+∞上单调递减， ()(1)0T a T ∴<=，故()12f x x ⋅的取值范围是(,0)-∞， 故选：B 【点睛】本题考查根据函数极值点求参数，还考查二次函数根的分布问题，难点在于使用等价转化的思想，化繁为简，属中档题.2．已知函数()()2ln 2f x a x x a x =+-+恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,0-B ．()1,-+∞C ．()2,0-D ．()2,1--【答案】A 【解析】 【分析】先将函数有零点，转化为对应方程有实根，构造函数()22x xg x x lnx-=-，对函数求导，利用导数方法判断函数()g x 单调性，再结合图像，即可求出结果. 【详解】由()220alnx x a x +-+=得22x xa x lnx-=-，令()22x xg x x lnx-=-，则()()()()2122x x lnx g x x lnx -+--'=， 设()22h x x lnx =+-， 则()21h x x'=-， 由()0h x '>得2x >；由()0h x '<得02x <<，所以()h x 在()02，上单调递减，在()2，∞+上单调递增； 因此()()24220min h x h ln ==->，所以220x lnx +->在()0∞+，上恒成立； 所以，由()0g x '>得1x >；由()0g x '<得01x <<；因此，()g x 在()01，上单调递减，在()1∞+，上单调递增； 所以()()11min g x g ==-；又当()01x ∈，时，220x x -<，()220x x g x x lnx-=<-，作出函数()g x 图像如下：因为函数()()2ln 2f x a x x a x =+-+恰有两个零点，所以y a =与()22x xg x x lnx-=-有两不同交点，由图像可得：实数a 的取值范围是10a -<<. 故选A 【点睛】本题主要考查函数零点以及导数应用，通常需要将函数零点转化为两函数交点来处理，通过对函数求导，利用导数的方法研究函数单调性、最值等，根据数形结合的思想求解，属于常考题型.3．已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C --的平面角为3θ，则（ ） A ．123θθθ≤≤ B ．321θθθ≤≤C ．132θθθ≤≤D ．231θθθ≤≤【答案】D 【解析】 【分析】分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系. 【详解】设O 为正方形ABCD 的中心，M 为AB 中点，过E 作BC 的平行线EF ，交CD 于F ，过O 作ON 垂直EF 于N ，连接SO 、SN 、OM ，则SO 垂直于底面ABCD ，OM 垂直于AB ，因此123,,,SEN SEO SMO θθθ∠=∠=∠= 从而123tan ,tan ,tan ,SN SN SO SOEN OM EO OMθθθ==== 因为SN SO EO OM ≥≥，，所以132tan tan tan ,θθθ≥≥即132θθθ≥≥，选D.【点睛】线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面. 4．将函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()cos2g x x =的图象，则ϕ的最小值为（ ）A ．3π B ．6π C ．12πD ．24π【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到变换后的函数解析式，利用诱导公式求得结果 【详解】由题，向左平移(0)ϕϕ>不改变周期，故2ω=，∴平移得到()sin 2sin 22cos 233x x x ππϕϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫++=++= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ 2+=+232k ππϕπ∴，12k πϕπ∴=+0ϕ>Q ，∴当0k =时，min 12πϕ=，故选C【点睛】本题考查函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，利用诱导公式完成正、余弦型函数的转化5．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位，得到的图象关于y 轴对称，则（ ） A ．函数()f x 的周期为2πB ．函数()f x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．函数()f x 图象关于直线12x π=对称D ．函数()f x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调【分析】根据对称轴之间的距离，求得周期，再根据周期公式求得ω；再平移后，根据关于y 轴对称可求得ϕ的值，进而求得解析式。

浙江省丽水市2019-2020学年数学高二第二学期期末达标检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论错误的是A ．平面11D A P ⊥平面1A APB ．1APD ∠的取值范围是（0，2π] C ．11B D PC -三棱锥的体积为定值 D ．11DC D P ⊥ 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面位置关系进行判断． 【详解】∵11D A ⊥平面1AA P ，∴平面11D A P ⊥平面1A AP ，A 正确；若P 是1A B 上靠近1A 的一个四等分点，可证此时1D PA ∠为钝角，B 错；由于1//BP CD ，则//BP 平面11B D C ，因此11P B D C -的底面是确定的，高也是定值，其体积为定值，C 正确；1D P 在平面11CC D D 上的射影是直线1D C ，而11⊥D C DC ，因此11DC D P ⊥，D 正确．故选B ． 【点睛】本题考查空间线面间的位置关系，考查面面垂直、线面平行的判定，考查三垂线定理等，所用知识较多，属于中档题．2．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣一位专家，其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区，则不同的派遣方案种数为 A ．18 B ．24C ．28D ．36【答案】D分析：按甲乙两人所派地区的人数分类，再对其他人派遣。

详解：类型1：设甲、乙两位专家需要派遣的地区有甲乙两人则有13A ，另外3人派往2个地区23A ，共有18种。

类型2：设甲、乙两位专家需要派遣的地区有甲乙丙三人则有133A ，另外2人派往2个地区22A ，共有18种。

综上一共有36种，故选D点睛：有限制条件的分派问题，从有限制条件的入手，一般采用分步计数原理和分类计数原理，先分类后分步。

2019-2020学年浙江省丽水市数学高二第二学期期末达标检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数21iz i+=+，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 因为2(2)(1)31222i i i i z i ++-===-+，所以复数z 在复平面内对应的点为31(,)22-，在第四象限，选D.2．已知函数()()1,0(1)1,0ln x m x f x m ax b x ⎧++≥=<-⎨-+<⎩，对于任意s R ∈，且0s ≠，均存在唯一实数t ，使得()()f s f t =，且s t ≠，若关于x 的方程()2m f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭有4个不相等的实数根，则a 的取值范围是（）A ．()4,2--B ．()1,0-C ．()2,1--D ．()()4,11,0--⋃-【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意可知f （x ）在[0，+∞）上单调递增， 值域为[m ，+∞），∵对于任意s ∈R ，且s ≠0，均存在唯一实数t ， 使得f （s ）＝f （t ），且s ≠t ，∴f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，值域为（m ，+∞）， ∴a ＜0，且﹣b+1＝m ，即b ＝1﹣m ． ∵|f （x ）|＝f （2m）有4个不相等的实数根， ∴0＜f （2m）＜﹣m ，又m ＜﹣1， ∴02am -＜＜m ，即0＜（2a+1）m ＜﹣m ， ∴﹣4＜a ＜﹣2，∴则a 的取值范围是（﹣4，﹣2）， 故选A ．点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题， （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 3．函数sin ()ln xf x x=的图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用特征值的符号是否一致进行排除即可． 【详解】 解：f （﹣x ）()sin x sinxln xln x-==-=--f （x ），则函数f （x ）是奇函数，图象关于原点对称， 排除B ，D ，函数的定义域为{x|x ≠0且x ≠±1}，由f （x ）＝0得 sinx ＝0，得距离原点最近的零点为π，则f （6π）162sinln ln ＜πππ==0，排除C ，【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用对称性以及特殊值进行排除是解决本题的关键． 4．的展开式中各项的二项式系数之和为（ ）A ．B ．512C ．D ．1【答案】B 【解析】 【分析】展开式中所有项的二项系数和为【详解】展开式中所有项的二项系数和为.的展开式中各项的二项式系数之和为故答案选B 【点睛】本题考查了二项系数和，属于基础题型.5．已知函数21()()xf x a e x=+在(2,)+∞有极大值点，则a 的取值范围为（ ） A ．1(,)2-+∞ B ．13(,)28--C ．3(,0)8-D ．1(,0)4-【答案】C 【解析】 分析：令'0fx，得22210ax x +-=，()2,x ∈+∞，整理得2112a x x=-，问题转化为求函数2112a x x =-在()2,+∞山过的值域问题，令1t x =，则10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可. 详解：令'0f x，得22210ax x +-=，()2,x ∈+∞，整理得2112a x x=-， 令1t x =，则10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则22a t t =- 令()212g t t t =-，则()g t 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， ∴()3,08g t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴3,08a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，经检验，满足题意．与最值、把问题等价转化等是解题的关键．综合性较强，难度较大．6．全国高中联赛设有数学、物理、化学、生物、信息5个学科，3名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择一个学科参加竞赛，则不同的报名种数是（ ） A ．35C B ．35AC ．35D ．53【答案】C 【解析】分析：利用分布计数乘法原理解答即可.详解：全国高中联赛设有数学、物理、化学、生物、信息5个学科，3名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择一个学科参加竞赛，则每位同学都可以从5科中任选一科，由乘法原理，可得不同的报名种数是3555 5.⨯⨯= 故选C.点睛：本题考查分布计数乘法原理，属基础题. 7．已知两个正态分布密度函数()()()222,1,22i i x iix e x R i μσϕπσ--=∈=的图象如图所示，则（ ）A ．1212,μμσσ<<B ．1212,μμσσ>>C ．1212,μμσσ<>D ．1212,μμσσ>>【答案】A 【解析】 【分析】正态曲线关于x μ= 对称，且μ 越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二个图象的均值小，又有σ 越小图象越瘦高，得到正确的结果．【详解】正态曲线是关于x μ=对称，且在x μ=2πσ12μμ<，故()1x ϕ的图象更“瘦高”，()2x ϕ的图象更“矮胖”，则12σσ<.故选A. 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位8．用5种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有 种不同的涂色方案．A ．420B ．180C ．64D ．25【答案】B 【解析】分析：由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，C 有3种，D 有3种涂法，根据乘法原理可得结论． 详解：由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，C 有3种，D 有3种涂法 ∴共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案． 故答案为：B.点睛：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．9．22(1cos )x dx ππ-+⎰等于( )A ．πB ．2C ．π-2D ．π+2【答案】D 【解析】∵2sin |(sin )[sin()]222222x x x x πππππ=+=+--+-=+-原式.故选D10．若函数()()22,11,1x a x f x ax x ⎧-⋅≥=⎨+<⎩在R 上是增函数，则a 的取值范围为（ ）A ．(,1]-∞B ．()0,2C ．[1,2)D ．(0,1]【分析】()f x 在R 上为增函数，可以得到1x <是为增函数，1x ≥时是增函数，并且1x =时，()122a a +≤-⨯，利用关于a 的三个不等式求解出a 的取值范围. 【详解】由题意，()f x 在R 上为增函数，则()200122a a a a ⎧->⎪>⎨⎪+≤-⨯⎩，解得01a <≤， 所以a 的取值范围为(]0,1. 故选：D 【点睛】本题主要考查分段函数的单调性以及指数函数和一次函数的单调性，考查学生的理解分析能力，属于基础题. 11．若，，，则的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数对数函数的单调性，利用指数对数函数的运算比较得解. 【详解】 因为，所以.故选：D 【点睛】本题主要考查指数函数对数函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 12．若关于x 的不等式2k x x >-恰好有4个整数解，则实数k 的范围为（ ） A ．20,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．23,55⎛⎤⎥⎝⎦C ．32,53⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2,13⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C依题意可得，0＜k ＜1，结合函数 y ＝k|x|与 y ＝﹣|x ﹣2|的图象可得4个整数解是2，3，4，5，由2y kx y x =⎧⎨=-⎩⇒x (]2561k =∈-，，即可得35＜k 23≤. 【详解】解：依题意可得，0＜k ＜1，函数 y ＝k|x|与 y ＝﹣|x ﹣2|的图象如下，由0＜k ＜1，可得x A ＞1，∴关于x 的不等式k|x|﹣|x ﹣2|＞0恰好有4个整数解，他们是2，3，4，5，由2y kx y x =⎧⎨=-⎩⇒x B (]2561k =∈-，，故35＜k 23≤；故选：C 【点睛】本题主要考查根据含参绝对值不等式的整数解的个数，求参数范围问题，着重考查了数形结合思想，属于中档题．二、填空题：本题共4小题 13．已知,0a b >，则4b a a a b++的最小值为________. 【答案】1 【解析】 【分析】44111b a b b a a b a a+=++-++，利用基本不等式求解即可． 【详解】解：444,0,11211311b a b b a b b b a a b a a a a ⎛⎫>∴+=++-≥+⋅= ⎪+⎝⎭++， 当且仅当411b b a+=+，即1a b ==时取等号。

2019—2020学年高二第二学期3月段考数学试卷一、选择题1.在空间直角坐标系中，点(1,2,3)与点(1,2,3)-（ （A. 关于xOy 平面对称B. 关于xOz 平面对称C. 关于yOz 平面对称D. 关于x 轴对称 【答案】C【解析】【分析】利用“关于哪个对称，哪个坐标就相同”，得出正确选项.【详解】两个点()1,2,3和()1,2,3-，,y z 两个坐标相同，x 坐标相反，故关于yOz 平面对称，故选C.【点睛】本小题主要考查空间点对称关系，考查理解和记忆能力，属于基础题.2.复数31i i --等于（ ） A. B. 12i - C. 2i + D. 2i -【答案】C【解析】 因为3(3)(1)4221(1)(1)2i i i i i i i i --++===+--+,故选C.3.圆222x y +=与圆22220x y x y ++-=的位置关系是（ （ A. 相交B. 内切C. 外切D. 相离【答案】A【解析】【分析】 计算两个圆的圆心距以及1212,r r r r +-，比较大小后得出正确选项.【详解】两个圆的圆心分别为()()120,0,1,1O O -，圆心距12d OO ===，，故1212r r d r r -<<+，所以两个圆相交.故选A.【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系，考查圆的圆心和半径以及圆心距的计算，属于基础题. 4.“x a >”（“x a >”（（ （A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确选项.【详解】当“x a >”时，如1,1x a ==-，x a =，故不能推出“x a >” .当“x a >”时，必然有“x a >”.故“x a >”是“x a >”的必要不充分条件.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查含有绝对值的不等式，属于基础题.5.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）A. 若m α⊥，n β⊥，αβ∥，则m n PB. 若m αP ，m βP ，则αβ∥C. 若m α⊥，m βP ，则αβ∥D. 若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则αβ∥【答案】A【解析】【分析】在A 中，由线面垂直的性质定理得m ∥n ；在B 中，α与β相交或平行；在C 中，α⊥β；在D 中，α与β相交或平行．【详解】解：由m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A 中，若m ⊥α，n ⊥β，α∥β，则由线面垂直的性质定理得m ∥n ，故A 正确；在B 中，若m ∥α，m ∥β，则α与β相交或平行，故B 错误；在C 中，若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β，故C 错误；在D 中，若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β相交或平行，故D 错误． 故选A ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．6.设()cos f x x x =，则'()2f π=（ ） A. 2π B. 2π- C. 1 D. 1-【答案】B【解析】【分析】对函数求导得到函数的导函数，代入求值即可.【详解】因为()cos sin f x x x x -'=，所以22f ππ⎛⎫'=-⎪⎝⎭. 故答案为:B.【点睛】考查了常见函数的导函数的求法，较为基础.7.如图，在空间四边形ABCD 中，2ABD CBD π∠=∠=，4ABC π∠=，1BC BD ==，AB =异面直线AB 与CD 所成角的大小是（ ） A. 2π B. 3π C. 4π D. 6π 【答案】B【解析】【分析】（（（（（AB CD ⋅u u u v u u u v （（（（（（（（（（（（（（（（AB （CD （（（（（（（（（（（（（（（（（（.【详解】（（（（（CD ,()AB CD AB BD BC AB BD AB BC ⋅=⋅-=⋅-⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v0BA BC =+⋅u u u v u u u v cos451BA BC =⋅⋅=o u u u v u u u v .（（（AB （CD （（（（α（（1cos 2AB CD AB CDα⋅===⋅u u u v u u u v u u u v u u u v （（60o α=.（（（（（（B. 【点睛】（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（.（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（.8.经过坐标原点O 的直线l 与曲线|sin |y x =相切于点00(,)P x y .若0(,2)x ππ∈，则A. 00cos 0x x +=B. 00cos 0x x -=C. 00tan 0x x +=D. 00tan 0x x -= 【答案】D【解析】【分析】 （（（（（sin y x =（()π,2π（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（.【详解】（()π,2πx ∈（sin 0x <（（sin y x =-（cos y x '=-.（（（（（()00,sin P x x -（（（（（（（0cos x -（（（（（（()()000sin cos y x x x x --=--（（（（（（（（（000sin cos x x x =（（0000tan ,tan 0x x x x =-=（（（D.【点睛】（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（.（（（（（（（（（（（（（（（（()π,2π（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（. 9.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点是F （O 为坐标原点，若椭圆上存在一点P ，使∆POF 是等腰直角三角形，则椭圆的离心率不可能．．．为（ （A. 2B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】（（（（,,P O F ∠∠∠（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（.【详解】（π2P ∠=（（,22c c P ⎛⎫ ⎪⎝⎭（（（（（（（（（（22241e e e +=-（（（e =.（π2O ∠=（（b c =（a =（（2c e a ==.（π2F ∠=（（2b c a =（（2b ac =（22a ac c =+（210e e +-=（（（12e =.（（（（（C（（（（（（（（C. 【点睛】（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（.10.在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为线段11A D 、BC 上的动点，设直线EF 与平面AC 、平面1BC 所成角分别是,θϕ，则（ ）A. ()min,tan 2θϕθ>= B. 0max ,45θϕθ== C. 0max ,45θϕθ<= D. 0min ,45θϕθ==【答案】B【解析】【分析】在图中分别作出直线EF 与平面AC 、平面1BC 所成的角，根据边长判断出θϕ=，求出cos θ的表达式，并根据表达式求得cos θ的最小值，也即是θ的最大值.【详解】设正方体边长为1.过E 作EG AD ⊥，而EG AB ⊥，故EG ⊥平面AC ，故EFG θ=∠.同理过E 作11EH B C ⊥，得到EFH ϕ=∠.由于11HC ED GD ==，故GF FH =，所以cos cos FH EF θϕ==，即θϕ=.而FH EF ==FH 取得最小值1时，cos θ=取得最小值为2，即θϕ=取得最大值为45o .故选B.【点睛】本小题主要考查直线和平面所成的角，考查三角函数最值的判断与求解，属于中档题.二、填空题（前四题每题6分，后三题每题4分满分36分）11.已知直线l （250m x my +-=，若l 的倾斜角为045，则实数m =_______；若直线l 与直线210x y --=垂直，则实数m =_______（【答案】 (1). 1- (2). 2【解析】【分析】（（（（（（（（（（（（（（（（（m （（.（（（（（（（（（（（（（（（（（（m （（.【详解】（l （（（（45o （（（（（1（（1,1m m -==-.（（（（l （（（210x y --=（（（（（()2120m m ⋅+⋅-=（（（2m =（0m =（（（（（（（（（（（.【点睛】（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（（.12.已知函数3()3f x x x =-，则()f x 在0x =处的切线方程为_________；单调递减区间是_______．【答案】 (1). 3y x =- (2). ()1,1-【解析】【分析】先求得()f x 的导数，由此求得切线的斜率，并求得切线方程，根据导数求得函数的单调区间.【详解】依题意()()()'233311f x x x x =-=+-.()()03,00f f =-'=，故切线方程为3y x =-.由()()3110x x +-<，解得11x -<<，即函数的单调递减区间为()1,1-.【点睛】本小题主要考查利用导数求曲线的切线方程，考查利用导数求函数的单调区间，属于中档题. 13.某空间几何体的三视图如图所示，已知俯视图是一个边长为2的正方形，侧视图是等腰直角三角形，则该几何体的最长的棱的长度为_______；该几何体的体积为______（【答案】 (1).(2). 3【解析】【分析】 画出三视图对应的原图的直观图，根据直观图判断出最长的棱，利用椎体体积公式求得几何体的体积.【详解】由三视图可知，原图为四棱锥，画出图像如下图所示.由图可知，EA 为最长的棱长.由三视图可知12AC EC BD ===，故EA =，且四棱锥的体积为2112333ABCD S EC ⋅⋅=⨯=.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，考查几何体边长的计算，考查几何体体积的计算，考查空间想象能力，属于中档题.解题的关键在于根据俯视图为正方形，计算出侧视图的宽，并求得几何体的高.根据的要点是：长对正、高平齐，宽相等.也即俯视图的宽和侧视图的宽是相等的.14.如图，已知抛物线C （28y x =，则其准线方程为_______；过抛物线C 焦点F 的直线与抛物线相交于,A B 两点，若||3AF =，则||BF =_______.【答案】 (1). 2x =- (2). 6【解析】【分析】根据抛物线的方程求得2p 的值，由此求得准线方程.利用抛物线的定义求得A 点坐标，进而求得直线AB 的方程，联立直线的方程和抛物线的方程求得B 点的坐标，进而求得BF .【详解】依题意抛物线的方程为28y x =，故22p =，所以准线方程为2x =-.由于3AF =，根据抛物线的定义，32A p AF x =+=，1A x =，代入抛物线方程，求得A y =.所以直线AB 的斜率为012=--)2y x =--=-+代入抛物线方程并化简得2540x x -+=，解得4B x =，根据抛物线的定义可知4262B p BF x =+=+=. 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查抛物线的几何性质，考查过抛物线焦点的直线所得弦长问题，属于中档题.抛物线的焦点坐标和准线方程，与2p 的值有关，过抛物线焦点的直线，常用的是利用抛物线的定义来解题.直线和抛物线联立，解方程组可求得交点的坐标.15.函数()321f x x ax x =+++存在极值点，则a 的取值范围是_________.【答案】(),-∞+∞U【解析】分析】 求导，根据题意知方程()0f x '=有两个不等的实根，可得出>0∆，进而可求得实数a 的取值范围.【详解】求导函数，可得()2321x ax f x =++'， Q 函数()321f x x ax x =+++存在极值点， ()0f x '∴=有两不等实根，其判别式24120a ∆=->，a ∴<a > a ∴的取值范围是(),-∞+∞U . 故答案为：(),-∞+∞U . 【点睛】本题考查利用函数极值点的存在性求参数的取值范围，一般转化为导函数的零点，考查计算能力，属于基础题.16.过双曲线1C （22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点1F 作圆222x y a +=的切线，设切点为M ，延长1F M 交抛物线2C （22(0)y px p =>于点N ，其中12,C C 有一个共同的焦点，若1MF MN =，则双曲线1C 的离心率为_______.【【答案】12【解析】【分析】 根据圆心到切线的距离等于半径求得1MF MN b ==，根据中位线求得22NF a =且π2N ∠=，利用等面积法求得N 点的纵坐标，代入切线方程求得横坐标.求出抛物线的方程，将点N 的坐标代入抛物线方程，化简后求得22b a的值，进而求得双曲线的离心率. 【详解】由于直线1F M 和圆相切，故圆心到直线距离等于半径，而1OF c =，故1F M MN b ==.所以直线1F M 的斜率为b a ，故直线1F M 的方程为()a y x c b=+.由于O 是12F F 的中点，故OM 是三角形12NF F 的中位线，故22NF a =且π2N ∠=，由等面积法得1122222N c y a b ⨯⨯=⨯⨯，解得2N ab y c=，代入直线1F M 的方程，求得22N b a x c -=，故222,b a ab N c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭.由于抛物线和双曲线焦点相同，故,22p c p c ==，所以抛物线方程为24y cx =，将N 点坐标代入抛物线方程并化简得42240b a b a --=，即424210b b a a --=，解得22b a =12e +===. 【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线和抛物线的位置关系，考查双曲线的离心率，属于中档题.17.已知矩形ABCD，AB =1AD =，现将ACD ∆沿对角线AC 向上翻折，若翻折过程中BD 的长度在,22⎣⎦范围内变化，则点D 的运动轨迹的长度是______．【答案】6【解析】【分析】 过点D ，作DF AC ⊥交AC 于点F ，交AB 于点G ，过点B 作BE DF ⊥交DF 于点E ，得到点D 的运动轨迹是以F 为圆心，以DF 为半径的圆弧，DFE ∠为二面角D -AC -B 的平面角.然后计算出DFE ∠运动所对应的圆心角，再用弧长公式求解.详解】如图所示： 的矩形ABCD 中，过点D 作DF AC ⊥交AC 于点F ，交AB 于点G ， 过点B 作BE DF ⊥交DF 于点E ，所以点D 的运动轨迹是以F 为圆心，以DF 为半径的圆弧，DFE ∠为二面角D -AC -B 的平面角.因为AB =1AD =，所以3,32AD DC DF ACB CF AC π⨯==∠==，sin 2EF ACB BC =∠⨯=，cos 1BE CF ACB BC =-∠⨯= 翻折后BE DF ⊥，BE EF ⊥DF EF F =I ，所以BE ⊥平面DFE ， 所以BE DE ⊥.当BD =DE ==DEF ∆时等边三角形，所以3DFE π∠=当BD =32DE ==，2221cos 22DF EF DE DFE DF EF +-∠==-⨯所以23DFE π∠=， 所以点D 的运动圆弧所对应的圆心角为2333πππ-=.所以点D 的运动轨迹的长度是3r πα==.【点睛】本题主要考查立体几何中的翻折问题，还考查了数形结合的思想和空间想象、运算求解的能力，属于中档题.三、解答题（本答题共5小题，共74分）18.（1）求直线y ＝x 被圆x 2＋(y －2)2＝4截得的弦长；（2）已知圆C ：22430x y x +-+=，求过点(3,2)M 的圆的切线方程．【答案】（1） ；（2）x=3或3x-4y-1=0 【解析】 【分析】（1（确定圆的圆心坐标与半径，求得圆心到直线y=x 的距离，利用垂径定理构造直角三角形，即可求得弦长．（2（化圆C 的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径．当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3符合题意．当切线的斜率存在时，设切线斜率为k ，则切线方程为 y -2=k（x -3），由圆心到切线的距离等于半径列式求得k ，则切线方程可求；【详解】（1（圆x 2+（y -2（2=4的圆心坐标为（0（2），半径为2（圆心到直线y=x （∴直线y=x被圆x 2+（y -2（2=4截得的弦长为(2) 圆C（x 2+y 2-4x+3=0，即 （x -2（2+y 2=1，表示以（2（0）为圆心，半径等于1的圆． 当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3符合题意．当切线的斜率存在时，设切线斜率为k ，则切线方程为 y -2=k（x -3（（ 即kx -y -3k+2=01=，解得k=34此时，切线为3x -4y -1=0（综上可得，圆的切线方程为x=3或3x -4y -1=0（【点睛】本题考查直线与圆相交，考查圆的弦长，圆的切线方程，注意切线斜率不存在的情况的考虑. 19.已知函数()321f x x ax bx =+++在1x =-与2x =处有极值.（1）求函数()f x 的解析式； （2）求()f x 在[]2,3-上的最值. 【答案】（1）()323612f x x x x =--+；（2）最大值92，最小值9-. 【解析】 【分析】（1）求得()232f x x ax b =++'，由题意可得()()1020f f ⎧-=⎪⎨=''⎪⎩，可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数()y f x =的解析式；（2）求出函数()y f x =在区间[]2,3-上的极大值和极小值，并与()2f -和()3f 比较大小后可得出结论. 【详解】（1）()321f x x ax bx =+++Q ，则()232f x x ax b =++'，Q 函数()321f x x ax bx =+++在1x =-与2x =处有极值，1∴-、2是()0f x '=的两个实数根，3201240a b a b -+=⎧∴⎨++=⎩，解得326a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩. ()323612f x x x x ∴=--+； （2）由（1）可得()()()2336321f x x x x x =--=-+'.令()0f x '=，解得1x =-或2，列表如下：由表格可知：当1x =-时，函数()y f x =取得极大值()912f -=； 当2x =时，函数()y f x =取得极小值()29f =-. 又()21f -=-，()732f =-， 可得：当1x =-时，函数()y f x =取得最大值92；当2x =时，函数()y f x =取得最小值9-. 【点睛】本题考查利用极值点求参数，同时也考查了利用导数求函数的最值，考查计算能力，属于基础题. 20.在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11BB BC ==，E 为11D C 的中点，连接ED 、EC 、EB 和DB .（1）求证：平面EDB ⊥平面EBC ； （2）求二面角E DB C --的正切值； （3）求C 到面EDB 的距离.【答案】（1）见解析；（2（3. 【解析】 【分析】（1）推导出DE ⊥平面EBC ，利用面面垂直的判定定理可证得结论；（2）过E 在平面11D DCC 中作EO DC ⊥于O ，过O 在平面DBC 中作OF DB ⊥于F ，连接EF ，证明出BD ⊥平面EOF ，可得出EFO ∠为二面角E DB C --的平面角，然后通过解EOF ∆可求得tan EFO ∠，即为所求；（3）设点C 到面EDB 的距离为d ，由E DBC C DBE V V --=可关于d 的等式，即可解得d 的值. 【详解】（1）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11BB BC ==，E 为11D C 的中点，1DD E ∴∆为等腰直角三角形，145D ED ∠=o ，同理145C EC ∠=o ，90DEC ∴∠=o ，即DE EC ⊥.在长方体1111ABCD A B C D -中，BC ⊥平面11D DCC ，又DE ⊂平面11D DCC ，BC DE ∴⊥. 又EC BC C =I ，DE ∴⊥平面EBC ，DE ⊂Q 平面EDB ，Q 平面EDB ⊥平面EBC ；（2）如图，过E 在平面11D DCC 中作EO DC ⊥于O ，过O 在平面DBC 中作OF DB ⊥于F ，连接EF . 在长方体1111ABCD A B C D -中，Q 平面ABCD ⊥平面11D DCC ，平面ABCD I 11D DCC CD =，EO DC ⊥，EO ⊂平面11D DCC ，EO ∴⊥平面ABCD . BD ⊂Q 平面ABCD ，BD EO ∴⊥，BD OF ⊥Q ，EO OF O =I ，BD ∴⊥平面EOF . EFO ∴∠为二面角E DB C --的平面角，sin BCBDC BD∠===，sinOF OD BDC ∴=∠=，又1OE =，tan OEEFO OF∴∠==.所以二面角E DB C --； （3）设点C 到面EDB 的距离为d ，E DBC C DBE V V --=Q ，11111213232BC CD EO BD EF d d ∴⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⇒⨯⨯=，3d ∴=.故C 到面EDB .【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了二面角和点到平面距离的计算，涉及等体积法的应用，考查计算能力，属于中等题.21.已知函数f （x ）＝lnx +a （x 2﹣1）． （1）讨论函数f （x ）的单调性； （2）当a 12e -=，x ∈[1，+∞）时，证明：f （x ）≤（x ﹣1）e x ．【答案】（1）函数f （x ）在区间0⎛ ⎝上单调递增，在区间⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减（2）见解析 【解析】 【分析】（1）对f (x )求导，分a ≥0, a ＜0讨论，分析导函数正负，得到函数f （x ）单调性；（2）构造函数()()()()211112xe g x x e lnx x x -=----≥，对g (x )求导，得到()()()1'11x g x xe e x x x=---≥，通过二次求导分析()'g x 正负，进而得到g (x )的单调性，及g (x )的最小值，故得解.【详解】（1）函数的定义域为（0，+∞），()()2121'20ax f x ax x x x+=+=＞，当a ≥0时，f ′（x ）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，当a ＜0时，由f ′（x ）＞0解得0x ＜f ′（x ）＜0解得x（函数f （x ）在区间0⎛⎝上单调递增，在区间⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减； （2）证明：令()()()()211112xe g x x e lnx x x -=----≥，则()()()1'11x g x xe e x x x=---≥，g ′（1）＝e ﹣（e ﹣1）﹣1＝0， 再令()()()111xm x xe e x x x =---≥，则()()()21'11xm x x e e x=+--+， 当x ≥1时，()21120xx e e x+≥，＞， （()()()2111210xx e e e e x +--+--＞＞，即m ′（x ）＞0， （y ＝m （x ）在[1，+∞）上单调递增， （m （1）＝g ′（1）＝0， （m （x ）≥m （1）＝0，（y ＝g （x ）在[1，+∞）上单调递增， （g （x ）≥g （1）＝0，综上可知，f （x ）≤（x ﹣1）e x ．【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于较难题.22.如图，点00(,)P x y 在抛物线2:C y x =外，过点P 作抛物线C 的两切线，设两切点分别为211(,)A x x ，222(,)B x x ，记线段AB 的中点为M .（Ⅰ）求切线PA ，PB 的方程；（Ⅱ）证明：线段PM 的中点N 在抛物线C 上；（Ⅲ）设点P 为圆22:(2)1D x y ++=上的点，当||||AB PM 取最大值时，求点P 的纵坐标.【答案】（Ⅰ）切线PA 的方程为2112y x x x =-,切线PB 的方程为2222y x x x =-.（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）14【解析】 【分析】（Ⅰ）结合导数的几何意义可得切线PA ，PB 的方程；（Ⅱ）由（1）可得201012y x x x =-，202022y x x x =-，故1202x x x +=，012y x x =.再结合M 点的坐标即可明确N 在抛物线C 上；（Ⅲ）由题意可得AB PM =设[]04111,3t y =+∈--，则02004116295318y y y t t+=++++.结合均值不等式即可得到结果.【详解】（Ⅰ）切线PA 的方程为()21112y x x x x -=-，即2112y x x x =-，同理可得，切线PB 的方程为2222y x x x =-.（另解：设切线PA 的方程为：()211y x k x x -=-由()2211y x y x k x x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩消去y 后可得：22110x kx x kx --+= 2211440k x kx ∆=+-=∴12k x =∴切线PA 的方程为()21112y x x x x -=-，即2112y x x x =-，同理可得，切线PB 的方程为2222y x x x =-.（Ⅱ）因为点P 既在切线PA 上，也在切线PB 上，由（1）可得201012y x x x =-，202022y x x x =-，故1202x x x +=，012y x x =. 又点M 的坐标为221212,22x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 所以点N 的纵坐标为2221212121222N x x x x y x x ⎛⎫++⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即点N 的坐标为21212,22x x x x ⎛⎫++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故N 在抛物线C 上. （Ⅲ）由（Ⅰ）知：AB ==()2122x x PM-=，所以AB PM===设[]04111,3t y =+∈--，则022004116162953182918y t y y t t t t+==++++++.当[]11,3t =--时，即当014y -=时，AB PM 取最大值.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．。