新人教版初中数学9年级下册28章精品：精品讲解

新课讲解
归纳：（1）在直角三角形的六个元素中，除直角 外的五个元素，只要知道两个元素（其中至少有一 条边），就可以求出其余的三个元素． （2）定义：在直角三角形中，由已知元素求未知 元素的过程就是解直角三角形． （3）解直角三角形有四种基本类型：①已知斜边 和一条直角边；②已知两条直角边；③已知斜边和 一个锐角；④已知一条直角边和一个锐角．
2
课堂小结
1．解直角三角形的概念 由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的 过程，叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的类型及方法 （1）解直角三角形有四种基本类型：①已知斜边和 一条直角边；②已知两条直角边；③已知斜边和一 个锐角；④已知一条直角边和一个锐角．
课堂小结
（2）在解直角三角形时，可以用勾股定理确定直角 三角形的三边关系，由锐角三角函数得到边角关系． 在选择关系时，应遵循以下基本原则：有斜（斜边） 用弦（正弦、余弦），无斜（斜边）用切（正切）， 宁乘勿除，尽量采用原始数据．
第28章：锐角三角函数 28.2 解直角三角形及其应用（1）
人教版·九年级下册
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意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜，其塔 顶中心点偏离垂直中心线2.1 m．1972年比萨地区发 生地震，这座高54.5 m的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然 屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线增至5.2 m，而 且还以每年增加1 cm的速度继续倾斜，随时都有倒塌 的危险．为此，意大利当局从1990年起对斜塔进行维 修纠偏，2001年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中心 线的距离比纠偏前减少了43.8 cm．
导入新课
C 垂 直 中 心 线Ө
A
B
如果要求你根据
塔 身
上述信息，用
中 “塔身中心线与

（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角α等于多
少（精确到1°）？这时人能够安全使用这个梯子吗？
素养目标
28.2 解直角三角形及其应用/
3. 能根据直角三角形中除直角以外的两个元 素（至少有一个是边），解直角三角形. 2. 理解直角三角形中的五个元素之间的联系.
1. 了解解直角三角形的意义和条件.
解直角三角形的依据：
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
Ｂ
(3)边角之间的关系:
c a
sin A a cos A b tan A a
c
c
b
Ａ bＣ
探究新知
28.2 解直角三角形及其应用/
归纳总结
解直角三角形的原则： (1)有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜（斜边） 用切（正切）；
A 45° c=4 b
解：∵ ∠A=45° ∴ ∠B=90°—∠A=45°,
C
a
B
∵ sin A a c
∴ a sin A c sin 45 4
242 2
也可以：
∵ ∠A= ∠B=45°
∴ b=a= 2 2
∵ cos A b
2
c
∴ b cos A c cos 45 4 2 4 2 2
人教版 数学 九年级 下册28.2 解直角三角形源自其应用28.2.1解直角三角形
（含小结与练习）
导入新知
28.2 解直角三角形及其应用/
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面
所成的角α一般要满足50°≤ α ≤75°.现有一个长6m的梯子，问：

1 C. 3
15 D. 4
6.若sin（65°-∠A)=
2 2
,则∠A= 20°
7.如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10， 3 sinB= ， BC的长是 8 ．
5
sin B
AC AC 3 AB 10 5
A Ｃ
B
8、如图,P是平面直角坐标系上 的一点，且点P的坐标为（3,4），
1 2 则sin∠A=___.
A
a b
3 3
B
,
3x
2 3x
3x
B
D 2
C
C
2
A
4、在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是BC边
2 上的中线，AC=2，BC=4，则sin∠DAC=___. 2
5.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA的 B （ ）．
A．
15 15
1 B. 4
BC B' C' 即 . AB A' B'
结论
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数 一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与 斜边的比都是一个固定值．
正弦 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的 对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA， B 即
A的对边 a sin A 斜边 c
例题示范
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求 sinA和sinB的值．
B B 3 5 A
试着完成图（2）
13
C
4 C A
(1)
(2)
求sinA就是要 确定∠A的对边与 斜边的比；求sinB 就是要确定∠B的 对边与斜边的比

α A 2.4
C
AC 2.4 cos A = ⇒cos A = = 0.4 ⇒∠A ≈ 66o AB 6
A+ B = 90o ⇒ B = 90o − A = 90o − 66o = 24o
解直角三角形
解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程． 解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程． 在直角三角形中
如图， 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AC = 2 , BC = 6 △ 中 ＝ ° 解这个直角三角形
A 解：
BC 6 Qtan A = = = 3 AC 2
2
C
6
∴∠A = 60
B
o
∠B = 90o − ∠A = 90o − 60o = 30o
AB = 2AC = 2 2
如图， 例2 如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角形 △ 中 ＝ ° ， 精确到0.1） （精确到 ） 解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55° ＝ ° ＝ ° ° ° A c B 35° ° a b 20 C
AC 6 3 = = 解：cos ∠CAD = AD 4 3 2
A
∴∠CAD = 30°
因为AD平分∠BAC 因为 平分∠ 平分
6
4 3
D B
∴∠CAB = 60°, ∠B = 30°
C
∴ AB = 12, BC = 6 3
练习
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形； △ 中 ＝ ° 根据下列条件解直角三角形； （1）a = 30 , b = 20 ; ） 解：根据勾股定理 B c
当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离 点约 当飞船在 点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约 点正上方时 2009.6km

新课标人教版初中数学九年 级下册第二十八章《28.2 解直角三角形(第2课时)》 精品课件-PPT课件
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特

知识梳理
问题2 根据不同的已知条件，归纳相应的解直角三 角形的方法，完成下表填空.
已知条件
解法
一条边 和一个
斜边 c 和 锐角∠A
∠B= b=______
，a=
，
锐角 直角边 a ∠B=______，b=______，
和锐角∠A c=______
两条直角边 c=______，由______
两条边
a和b 直角边 a
实例引入，初步体验
问题2 回想一下，刚才解直角三角形的过程中用 到了哪些知识？你能概括出直角三角形各元素之间的关 系吗？
实例引入，初步体验
（1）三边之间的关系
B
a2+b2=c2（勾股定理） ； （2）两锐角之间的关系
c
a
∠A+∠B=90°； （3）边角之间的关系
A
b
C
sin
A=
a， c
cos
A=
典型例题
例2 如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°， AD 是∠BAC 的角平分线，与 BC 相交于点 D，且 AB=4， 求 AD 的长．
A
CD
B
典型例题
例3 如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°， AC=4，求 AB 和 BC．
A
B 30°
45° C
布置作业
1．已知，如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°， CD⊥AB，垂足为 D，若∠B=30°，CD=6，求 AB 的长．
• 学习目标： 1．熟练掌握解直角三角形的方法； 2．能灵活运用解直角三角形解决与直角三角形有关的 图形计算问题．
• 学习重点： 灵活运用解直角三角形解决与直角三角形有关的图形

据：sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.19）
A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米
F
DE：CE＝1：2.4,
DE=50 米, CE=120米
BE＝DF＝30米，AB＝
tan50°×30+50 ≈85.7米
如图所示,目标方向线 OA,OB,OC 的方
向角分别可以表示为北偏东30°、南
偏东45°、北偏西45°,其中南偏东
45°习惯上又叫做东南方向,北偏西
45°习惯上又叫做西北方向.
例5 如图,一艘海轮位于灯塔 P 的北
偏东 65°方向,距离灯塔 80 n mile
的 A 处,它沿正南方向航行一段时间
后,到达位于灯塔 P 的南偏东 34°方
∴ 无触礁危险.
F
课堂小结
方向角问题
解直
角三
角形
的应
用
坡角
坡度
问题
h
坡度(或坡比)：i tan
l
对接中考
1.（2021•无锡中考）一条上山直道的坡度为1：7，沿
10 2
这条直道上山,每前进100米所上升的高度为 ______米．
设上升的高度为x米,∵上山直道的坡
度为1：7，∴水平距离为7x米，
南偏东34°方向时,它距离灯塔 P
大约130 n mile．

，

如图，海岛 A 的周围 8 海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群
由西向东航行，在点 B 处测得海岛 A 位于北偏东60°，
航行12海里到达点 C 处，又测得海岛 A 位于北偏东
30°，如果渔船不改变
航向继续向东航行，
北
有没有触礁的危险？

一艘渔船正以30海里/小时的速度由西向东追赶鱼 群，在A处看见小岛C在船北偏东60°的方向上； 40min后，渔船行驶到B处，此时小岛C在船北偏东 30°的方向上。已知以小岛C为中心，10海里为半径 的范围内是多暗礁的危险区。这渔船如果继续向东追 赶鱼群，有没有进入危险区的可能？ C 北 600 A 北 300 B D
解：如图 ，在Rt△APC中， PC＝PA· cos（90°－65°） ＝80×cos25° ≈80×0.91 =72.8 在Rt△BPC中，∠B＝34°
z.x. x.k
65° P
A C
34°
PC sin B PB PC 72.8 72.8 PB 130.23 sin B sin 34 0.559
z.x. x.k
仰角和俯角
在视线与水平线所成的角中, 视线 在水平线上方的叫做仰角,在水平 线下方的叫做俯角.
视线 铅 直 线 仰角 俯角 视线 水平线
例:热气球的探测器显 示,从热气球看一栋高 楼顶部的仰角为30°, 看这栋高楼底部的俯 角为60°,热气球与高 楼的水平距离为120m, 这栋高楼有多高?
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算 出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”，把 h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h. 以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲” 的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在 今后的学习中，你会更多地了解这பைடு நூலகம்面的内容．
练习 1. 海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向到航 行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测 得小岛A在北偏到30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有 触礁的危险？ 解：由点A作BD的垂线 交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90° A 由题意图示可知∠DAF=30° 设DF= x , AD=2x 60° 则在Rt△ADF中，根据勾股定理

sin b c
c b 20 20 35.1 sinB sin35 0.57
考一考 1、在下列直角三角形中 不能求解的是（D ） A、已知一直角边一锐角 B、已知一斜边一锐角 C、已知两边 D、已知两角
考一考
在Rt△ABC中,∠C=90度,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的 对边.
(1)已知 B45,c 6解这个直角三角形
(2)已知 A B3,0bc3,0解这个直角三角形
Ｂ
c 45°
6
a
Ｂ
c 30° a
Ａ
bＣ
Ａ
bＣ
动动脑 （4）在Rt△ABC中，∠C为直角，AC=6，
BA 的平C 分线AD=4 3 ，解此直角三角形。
A
30 60
12
6
43
60
30
C
D
B
63
动动脑
如图在△ABC中,∠C=90度,
， sA i n 2 ,D 为 A 上 C 的 B一 D 4 ,D 5 C 点 6 C .求 A 的 B 5
动动脑
在四边形ABCD中，∠ A= 60°，AB⊥BC，AD⊥DC，
AB=20cm，CD=10cm，求AD，BC的长（保留根 号）？
A
60°
20
B
D 10 C
30° E
想一想 船有无触礁的危险吗？
1、 审题，画图。
茫茫大海中有 一个小岛A,该岛四 周16海里内有暗礁. 今有货船由东向西 航行,开始在距A岛 30海里南偏东600 的B处,货船继续向 西航行。
结束寄语
下课了!
• 悟性的高低取决于有无悟“心”,其 实,人与人的差别就在于你是否去思
考,去发现.去总结

练习1
如图，PA 切⊙O 于点 A，PO 交⊙O 于点 B，⊙O 的半 径为 1 cm，PB=1.2 cm，则∠AOB= ，AB = ．
A
P
B
O
练习2
如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山
的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 140°，
BD = 520m，∠D=50°，那么另一边开挖点E离D多远正好
分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中
B
视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下
方的是俯角，因此，在图中，α=30°,β=60°
αD
A
120m
β
在Rt△ABD中，α=30°，AD＝120，可以利用解直 角三角形的知识求出BD；
类似地，在Rt△ACD中， β= 60° ，AD＝120， 可以利用解直角三角形的知识求出CD；
2.选择解直角三角形方法的原则：
（1）有斜用弦，无斜用切； （2）作垂线，构造直角三角形； （3）数形结合，便于分析.
3.解直角三角形一般有两种情形：
（1）已知两条边； （2）已知一条边和一个锐角．
学习例3
2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器 成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面
位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从组合体
中观测地球时的最远点．P⌒Q 的长就是地面 上P、Q两点间的距离，为计算 P⌒Q 的长需
先求出∠POQ（即a）的度数.
F
P Q
α O·
解：在右图中，设∠POQ＝α，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
cos OQ 6400 0.9491
OF 6400 343