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高中数学教案：排列与组合一、教学目标：1. 让学生理解排列与组合的概念，掌握排列与组合的计算方法。
2. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
3. 引导学生运用排列与组合的知识解决生活中的问题，提高学生的数学应用意识。
二、教学内容：1. 排列的概念及计算方法2. 组合的概念及计算方法3. 排列与组合的应用三、教学重点与难点：1. 重点：排列与组合的计算方法，以及它们在实际问题中的应用。
2. 难点：排列与组合的原理理解，以及如何解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解排列与组合的概念。
2. 采用案例分析法，让学生通过实际例子掌握排列与组合的计算方法。
3. 采用问题驱动法，激发学生的思考，提高学生解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过生活中的实际问题，引入排列与组合的概念。
2. 讲解排列与组合的概念，让学生理解它们的含义。
3. 讲解排列与组合的计算方法，让学生掌握计算技巧。
4. 案例分析：通过实际例子，让学生运用排列与组合的知识解决问题。
5. 练习与讨论：让学生进行练习，巩固所学知识，并引导学生进行讨论，分享解题心得。
6. 总结与拓展：对本节课的内容进行总结，并引导学生思考排列与组合在生活中的应用。
7. 布置作业：让学生课后巩固所学知识，提高解决实际问题的能力。
六、教学评价：1. 通过课堂讲解、练习和讨论，评价学生对排列与组合概念的理解程度。
2. 通过课后作业和实际问题解决，评价学生对排列与组合计算方法的掌握情况。
3. 结合学生的课堂表现和作业完成情况，评价学生的逻辑思维能力和数学应用意识。
七、教学准备：1. 准备相关的生活案例和实际问题，用于引导学生理解和应用排列与组合知识。
2. 准备排列与组合的计算方法讲解PPT，以便进行清晰的教学演示。
3. 准备练习题和讨论题目，用于巩固学生所学知识和促进学生思考。
八、教学反思：1. 反思教学过程中的有效性和学生的参与程度，考虑如何改进教学方法以提高教学效果。
数学高中排列和组合教案教学目标：1. 理解排列与组合的概念和原理；2. 能够运用排列与组合的知识解决实际问题；3. 提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 排列和组合的定义与区别；2. 排列的计算方法；3. 组合的计算方法；4. 实际问题解决。
教学步骤：1. 引入：通过一个实际问题引入排列与组合的概念，激发学生的兴趣；2. 讲解：介绍排列和组合的概念，讲解排列和组合的计算方法；3. 练习：让学生进行一些简单的排列与组合计算练习；4. 拓展：给学生一些更复杂的排列与组合问题，提高他们的解决问题能力；5. 总结：总结排列与组合的知识要点，强化学生的学习效果。
教学过程：1. 引入：假设有5个人要坐在一排，问有多少种不同的坐法？这就是一个排列问题。
2. 讲解：排列是指从一组不同元素中按照一定的顺序选取若干元素进行排列。
排列的计算公式是P(n,r)=n!/(n-r)!，其中n表示元素的个数，r表示选取的个数。
3. 练习：让学生计算几个简单的排列问题，如三个人站成一排的排列方式有多少种。
4. 拓展：给学生一些组合问题，让他们思考如何计算。
组合是指从一组不同元素中选取若干元素组成一个集合，不考虑元素之间的顺序。
组合的计算公式是C(n,r)=n!/(r!(n-r)!)。
5. 总结：总结排列与组合的知识点，让学生明确两者的区别和应用场景。
教学评估：1. 通过课堂练习和作业检查学生对排列与组合的掌握程度；2. 考察学生解决实际问题的能力；3. 进行小测验，检测学生的掌握情况。
教学反思：1. 学生对排列与组合的概念理解不够深入，可以适时进行针对性的讲解；2. 需要多举一些实际问题，让学生更好地理解排列与组合的意义；3. 注意引导学生拓展思维，提高他们解决问题的能力。
排列、组合、二项式定理2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．4．掌握二排列与组合高考重点考察学生理解问题、综合运用分类计数原理和分步计数原理分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想．它是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识．由于这部分内容概念性强，抽象性强，思维方法新颖，同时解题过程中极易犯“重复”或“遗漏”的错误，而且结果数目较大，无法一一检验，因此学生要学好本节有一定的难度．解决该问题的关键是学习时要注意加深对概念的理解，掌握知识的内在联系和区别，严谨而周密地去思考分析问题．二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，高考重点考查展开式及通项，难度与课本内容相当．另外利用二项式定理及二项式系数的性质解决一些较简单而有趣的小题，在高考中也时有出现．第1课时两1．分类计数原理（也称加法原理）：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝种不同的方法．2．分步计数原理（也称乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝种不同的方法．3．解题方法：枚举法、插空法、隔板法．(2)、(3)班分别有学生48,50,52人(1) 从中选1人当学生代表的方法有多少种？(2) 从每班选1人组成演讲队的方法有多少种？(3) 从这150名学生中选4人参加学代会有多少种方法？(4) 从这150名学生中选4人参加数理化四个课外活动小组，共有多少种方法？解：（1）48＋50＋52＝150种 （2）48×50×52＝124800种 （3）4150C （4）4150A 变式训练1：在直角坐标x －o －y 平面上，平行直线x=n ，（n=0，1，2，3，4，5），y=n ，（n=0，1，2，3，4，5），组成的图形中，矩形共有（ ）A 、25个B 、36个C 、100个D 、225个解：在垂直于x 轴的6条直线中任意取2条，在垂直于y 轴的6条直线中任意取2条，这样的4条直线相交便得到一个矩形，所以根据分步记数原理知道：得到的矩形共有22515152626=⨯=⋅C C 个， 故选D 。
排列与组合一、学习目标理解排列、组合的概念,能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.二、知识梳理1.排列与组合的概念（1）排列：从n 个不同元素中取出m (m ≤n ) 个元素，按照 排成一列.（2）组合：从n 个不同元素中取出m (m ≤n ) 个元素作为一组.2.排列数、组合数的定义、公式、性质（1）排列数(i ) 从n 个不同元素中取出m (m ≤n ) 个元素的所有 的个数.(ii)A n m =n (n −1)(n −2)…(n −m +1)= .(iii)A n n =n ！ ，0！=1 .（2）组合数(i ) 从n 个不同元素中取出m (m ≤n ) 个元素的所有 的个数.(ii)C n m =A nm A m m =n (n−1)(n−2)…(n−m+1)m ！= .(iii)C n m =C n n−m ，C n m +C n m−1=C n+1m ，C n n =1 ，C n 0=1 .三、典例探究例1 已知7位同学站成一排.（1）甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？（2）甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？（3）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（4）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？变式：3男3女共6位同学站成一排，则3位女生中有且只有2位女生相邻的不同排法种数是( )A. 576B. 432C. 388D. 216例2小明在学校里学习了二十四节气歌后，打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗，他准备在冬季的6个节气：立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒与春季的6个节气：立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨中一共选出4个节气，搜集与之相关的古诗，如果冬季节气和春季节气各至少被选出1个，那么小明选取节气的不同情况的种数是( ) A. 345 B. 465 C. 1 620 D. 1 860变式：共有10级台阶，某人一步可跨一级台阶，也可跨两级台阶或三级台阶，则他恰好6步上完全部台阶的方法种数是( )A. 30B. 90C. 75D. 60方法感悟1.解排列、组合问题要遵循的两个原则（1）按元素（位置）的性质进行分类.（2）按事情发生的过程进行分步.2.两类含有附加条件的组合问题的解题方法（1）“含”或“不含”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取.（2）“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：“至少”与“至多”问题用直接法或间接法都可以求解，用直接法分类复杂时，可用间接法求解.四、课堂练习1．从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是()A．12B．24C．64D．812．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A．36B．120C．720D．2403.现有3名学生报名参加校园文化活动的3个项目，每人须报1项且只报1项，则恰有2名学生报同一项目的报名方法有( )A. 36种B. 18种C. 9种D. 6种4．某市从6名优秀教师中选派3名同时去3个灾区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，则不同的选派方案的种数为()A．48B．60C．96D．1685. 从4本不同的课外读物中，选3本送给3位同学，每人1本，则不同的送法种数是( )A. 12B. 24C. 64D. 816. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )A. 120种B. 90种C. 60种D. 30种。
高中数学排列和组合教案教学目标：1. 理解排列和组合的基本概念和性质；2. 掌握排列和组合的计算方法；3. 能够应用排列和组合解决实际问题。
教学重点：1. 排列的定义和计算方法；2. 组合的定义和计算方法；3. 排列和组合的应用。
教学难点：1. 理解排列和组合的区别和联系；2. 掌握排列和组合的计算方法；3. 能够独立应用排列和组合解决问题。
教学内容：一、排列的概念和性质1. 排列的定义和表示方法；2. 排列的计算公式；3. 排列的性质和应用。
二、组合的概念和性质1. 组合的定义和表示方法；2. 组合的计算公式；3. 组合的性质和应用。
三、排列组合的应用1. 排列组合在实际问题中的应用；2. 利用排列组合解决概率问题；3. 拓展应用：排列组合在计算机科学和密码学中的应用。
教学方法：1. 讲解结合示例，引导学生理解排列和组合的概念；2. 培养学生进行思维的激活和训练，提高学生学习数学的兴趣；3. 组织学生进行小组讨论，促进学生之间的互动与合作；4. 设计案例分析，引导学生进行综合运用排列和组合解决问题。
教学过程：1. 导入：通过一个生活中的例子引出排列和组合的概念；2. 讲解：介绍排列和组合的定义、性质和计算方法；3. 练习：让学生进行排列和组合的计算练习；4. 拓展：引导学生应用排列和组合解决不同类型的实际问题；5. 总结：总结本节课的重点和难点，强调排列和组合的应用价值。
教学资源：1. 教科书及课件资料；2. 练习题和案例分析资料；3. 实物或图片示例。
教学评价：1. 常规考核：作业、小测、考试等形式；2. 实践评价：学生综合运用排列和组合解决问题的能力；3. 学生反馈：收集学生对本节课的评价和建议，及时调整教学方法。
教学反思：1. 总结本节课的教学效果和问题；2. 思考下节课的教学目标和重难点。
以上为《高中数学排列和组合》教案范本，希朶对您有所帮助。
模块： 十二、排列组合、二项式定理、概率统计课题： 2、排列与组合的基本方法教学目标： 理解排列与组合的意义，掌握排列数与组合数的计算公式，掌握组合数的性质． 通过应用排列数与组合数的计算公式以及两个计数原理，解决简单的计数问题，掌握化归、枚举、分类讨论等数学思想和方法，提高逻辑思维能力以及分析问题、解决问题的能力．重难点： 在解决综性问题分类时，保证不重复、不遗漏的原则．一、 知识要点1、排列的定义：从n 个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.2、排列数：从n 个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，用符号m n P 表示3、组合的定义：从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.4、组合数：从n 个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，用符号m n C 表示.5、公式与性质：（1）排列数组合数(1)(2)(1)m n p n n n n m =---+ (1)(2)(1)!m mn n m m p n n n n m C p m ---+==或)!(!!m n m n C m n -=（,,m n N m n *∈≤） （2）全排列数：(1)(2)21!n n p n n n n =--⋅=（叫做n 的阶乘）规定0!1=．（3）排列数的另一个计算公式：m n p =!()!n n m - （4）组合数的性质1：m n n m n C C -=（5）组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m n C二、 例题精讲例1、有编号为1、2、…10的10盏路灯，为节约用电将其中3盏灯熄灭，但不能熄灭相邻的2盏灯，而两端却不能熄灭，问有几种不同的熄灭方法?例2、平面上有7个点，其中有且仅有三点共线，则一共可以连成________条不同的线．例3、8个人排成一排，若甲、乙两人之间必须有3个人，则不同的排法有_________种．例4、若用1，2，3，4，5这五个数字，组成比20000大，并且百位数不是3的没有重复的五位数，那么这样的五位数个数为_____________个．例5、从1，2，3，4，6，8，9中取两个不同数作为对数的真数与底数，共得_________个不同的对数值．例6、分别求出符合下列要求的不同排法的种数（1）6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；（2）6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；（3）从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒；（4）6人排成一排，甲、乙必须相邻；（5）6人排成一排，甲、乙不相邻；（6）6人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边（甲、乙、丙可以不相邻）．例7、假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各多少种？（1）没有次品；（2）恰有两件是次品；（3）至少有两件是次品．例8、求证：①111m m m n n n P mP P ---+= ；②12112++-+=++m n m n m n m n C C C C例9、四面体的顶点和各棱的中点共10个点（1）设一个顶点为A ，从其他9点中取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不同的取法有多少种？ （2）在这10点中取4个不共面的点，不同的取法有多少种？三、 课堂练习1、从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中火车有3班，汽车有2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有__5____种方法2、 有三名学生分配到四个车间去参加劳动，共有_______64________种不同的分法．3、以长方体的顶点为顶点的三棱锥的个数有_____58_________个．4、5样不同的玩具分给4个小孩，每人都有，共有_____240______种不同的分法．5、4名教师、6名学生站于一排照相，教师互不相邻，则有___604800___种不同的站法．6、从1，2，3，5，7这五个数字中任取两个分别作为对数的底和真数，则共能组成不同的对数____13___________个．四、 课后作业一、填空题1、由0，3，5，7，9这五个数组成无重复数字的三位数，其中是5的倍数的共有多少个_______．2、学校召开学生代表大会，高二年级的3个班共选6名代表，每班至少1名，代表的名额分配方案种数是______________．3、从3名男工和7名女工中选派2男3女去做5项不同的工作，若每人各做一项，不同的选派方法有____________________种．4、从全班52名学生中选10名学生参加某项活动，如果正、副班长至少有一个在内，那么有__________种选法．5、4人坐在一排10个座位上，若使每人的两边都有空位，则有_______________种不同的坐法．6、象棋比赛中，2人，他们各赛了3场后，因故退出了比赛，这样，这次比赛共进行了83场，比赛开始时参赛者有__________________人二、选择题7、四支足球队争夺冠、亚军，不同的结果有（ ）A ．8种B ．10种C ．12种D ．16种8、五种不同商品在货架上排成一排，其中,A B 两种必须连排，而,C D 两种不能连排，则不同的排法共有（ ）A ．12种B ．20种C ．24种D ．48种9、从9,5,0,1,2,3,7--七个数中，每次选不重复的三个数作为直线方程0ax by c ++=的系数，则倾斜角为钝角的直线共有（ ）条.A ． 14B ．30C ． 70D ．60三、解答题11、三年级4个班举行班级之间男、女排球单循环赛，问：① 男女各需比赛多少场？②组织这次比赛共需安排多少场比赛？11、（1）分队有10名歌舞演员，其中7人能唱歌，5人善跳舞，今从10人中选4人参加演出，2人唱歌，2人跳舞的选法有多少种?（2）商店的橱窗中陈列着七件不同样品，现要将其中的三件样品调换位置，另外四件位置不动，共有不同的调换方法多少种？12、（1）10只不同的试验产品，其中有4只次品，6只正品，现每次取一只测试，直到4只次品全测出为止，求最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？（2）九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？。
高中数学排列与组合教案教学目标：1. 理解排列与组合的概念。
2. 能够应用排列与组合的知识解决实际问题。
3. 提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 排列的概念及其性质。
2. 组合的概念及其性质。
3. 排列与组合的应用。
教学过程：第一课时：1. 引入排列与组合的概念，通过实际例子引发学生对排列与组合的认识。
2. 讲解排列的定义和性质，例如排列中元素不重复出现的特点。
3. 给学生布置一些排列练习题，让他们熟悉排列的运算方法和规律。
第二课时：1. 复习排列的概念和性质。
2. 讲解组合的定义和性质，例如组合中元素可重复出现的特点。
3. 给学生布置一些组合练习题，让他们熟悉组合的运算方法和规律。
第三课时：1. 复习排列与组合的概念和性质。
2. 讲解排列与组合的应用，例如在排队、选做题目等实际问题中的运用。
3. 给学生布置一些综合排列与组合的练习题，让他们能够灵活运用排列与组合的知识解决问题。
教学反馈：1. 对学生在排列与组合方面的理解进行总结和反馈。
2. 引导学生思考排列与组合在日常生活中的应用，并展开讨论。
教学评价：通过作业、课堂表现和练习题的表现评价学生对排列与组合的掌握程度和应用能力。
教学延伸：鼓励学生深入学习排列与组合知识，并拓展到更高级的数学领域，如概率论等。
教学资源：教科书、课件、练习题。
教学提醒：教师应注意引导学生通过实例来理解排列与组合的概念，激发学生的学习兴趣和思考能力。
同时，要关注学生的学习状态，及时调整教学方法，确保学生的学习效果。
排列与组合1．排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”。
取出元素后交换顺序，如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合。
2．排列、组合问题的求解方法与技巧①特殊元素优先安排；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题要先选后排；④相邻问题捆绑处理；⑤不相邻问题插空处理；⑥定序问题倍缩法处理；⑦分排问题直排处理；⑧“小集团”排列问题先整体后局部；⑨构造模型；⑩正难则反，等价转化。
一、走进教材1．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为()2．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是()A．18 B．24二、走近高考3．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种4．从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数。
(用数字作答)三、走出误区微提醒：①分类不清导致出错；②相邻元素看成一个整体，不相邻问题采用插空法是解决相邻与不相邻问题的基本方法。
5．从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装计算机和组装计算机各2台，则不同的取法有________种。
6．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种。
考点一简单的排列问题【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数。
(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻。
【变式训练】(1)某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有()A．A1818种B．A2020种C．A23A318A1010种D．A22A1818种(2)甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有()A．10种B．16种C．20种D．24种考点二组合问题【例2】(1)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种。
排列与组合教案排列与组合教案一、引言排列与组合是高中数学中的一个重要概念，也是数学中的一种常见问题解决方法。
通过排列与组合的学习，可以培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
本教案将介绍排列与组合的基本概念和应用，以及一些教学方法和案例分析，帮助学生更好地理解和运用排列与组合。
二、基本概念1. 排列排列是指从给定的元素中选取若干个元素按一定的顺序排列的方式。
排列的数目可以通过阶乘来计算，例如n个元素的全排列数目为n!。
2. 组合组合是指从给定的元素中选取若干个元素不考虑顺序的方式。
组合的数目可以通过排列数目的除法来计算，例如从n个元素中选取m个元素的组合数目为C(n,m)。
三、教学方法1. 理论讲解结合实例分析在教学过程中，可以通过理论的讲解来介绍排列与组合的基本概念和计算方法，然后通过实例分析来帮助学生更好地理解和运用。
2. 互动讨论通过提出问题和让学生进行互动讨论，可以激发学生的思维和兴趣，培养他们的解决问题的能力。
3. 案例分析通过分析一些实际问题的解决方法，可以帮助学生将排列与组合的概念与实际问题相结合，提高他们的应用能力。
四、应用案例1. 生日问题假设一个班级有30个学生，问至少有两个学生生日相同的概率是多少？通过排列与组合的计算，可以得出答案为1-365P30/365^30。
2. 选课问题某校有5个选修课程，每个学生可以选择其中的3门课程，问选课的可能性有多少种？通过组合的计算，可以得出答案为C(5,3)。
3. 制作团队某公司有10个员工，需要从中选取一个由5人组成的团队，问有多少种不同的选择方式？通过排列的计算，可以得出答案为A(10,5)。
五、总结通过本教案的学习，学生可以掌握排列与组合的基本概念和计算方法，并能够运用到实际问题中。
通过互动讨论和案例分析，可以提高学生的解决问题的能力和应用能力。
希望学生能够通过本教案的学习，对排列与组合有更深入的理解，并能够在实际生活中灵活运用。
高考数学一轮复习学案：10.2 排列与组合（含答案）10.2排列与组合排列与组合最新考纲考情考向分析1.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题2.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.以理解和应用排列.组合的概念为主，常常以实际问题为载体，考查分类讨论思想，考查分析.解决问题的能力，题型以选择.填空为主，难度为中档.1排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出mmn个元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2.排列数与组合数1排列数的定义从n个不同元素中取出mmn 个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用Amn表示2组合数的定义从n个不同元素中取出mmn个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的组合数，用Cmn表示3排列数.组合数的公式及性质公式1Amnnn1n2nm1nnm2CmnAmnAmmnn1n2nm1mnmnm性质301；Annn4CmnCnmn；Cmn1CmnCm1n__题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1所有元素完全相同的两个排列为相同排列2一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序3两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同4n1nnn.5若组合式CxnCmn，则xm成立6kCknnCk1n1.题组二教材改编2P27A组T76把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为A144B120C72D24答案D解析“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A3443224.3P19例4用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为A8B24C48D120答案C解析末位数字排法有A12种，其他位置排法有A34种，共有A12A3448种排法，所以偶数的个数为48.题组三易错自纠4六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有A192种B216种C240种D288种答案B解析第一类甲在左端，有A5554321120种排法；第二类乙在最左端，甲不在最右端，有4A444432196种排法所以共有12096216种排法5为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国.马来西亚.缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为A180B240C540D630答案C解析依题意，选派方案分为三类一个国家派4名，另两个国家各派1名，有C46C12C11A22A3390种；一个国家派3名，一个国家派2名，一个国家派1名，有C36C23C11A33360种；每个国家各派2名，有C26C24C22A33A3390种，故不同的选派方案种数为9036090540.6寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位一排共五个座位，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有______种用数字作答答案45解析设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有BADC，BDAC，BCDA，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有9545种.题型一题型一排列问题排列问题1某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言用数字作答答案1560解析由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A24040391560条留言2用1,2,3,4,5,6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1,3,5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为A18B108C216D432答案D解析根据题意，分三步进行第一步，先将1,3,5分成两组，共C23A22种排法；第二步，将2,4,6排成一排，共A33种排法；第三步，将两组奇数插入三个偶数形成的四个空位，共A24种排法综上，共有C23A22A33A2432612432种排法，故选D.3将7个人其中包括甲.乙.丙.丁4人排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙.丁两人必须相邻，则不同的排法共有A1108种B1008种C960种D504种答案B解析将丙.丁两人进行捆绑，看成一人将6人全排列有A22A66种排法；将甲排在排头，有A22A55种排法；乙排在排尾，有A22A55种排法；甲排在排头，乙排在排尾，有A22A44种排法则甲不能在排头，乙不能在排尾，丙.丁两人必须相邻的不同排法共有A22A66A22A55A22A55A22A441008种思维升华排列应用问题的分类与解法1对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法.元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法2对相邻问题采用捆绑法.不相邻问题采用插空法.定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.题型二题型二组合问题组合问题典例某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货现从35种商品中选取3种1其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种2其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种3恰有2种假货在内，不同的取法有多少种4至少有2种假货在内，不同的取法有多少种5至多有2种假货在内，不同的取法有多少种解1从余下的34种商品中，选取2种有C234561种取法，某一种假货必须在内的不同取法有561种2从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335C234C3345984种取法某一种假货不能在内的不同取法有5984种3从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有C120C2152100种取法恰有2种假货在内的不同的取法有2100种4选取2种假货有C120C215种，选取3种假货有C315种，共有选取方式C120C215C31521004552555种至少有2种假货在内的不同的取法有2555种5方法一间接法选取3种的总数为C335，因此共有选取方式C335C31565454556090种至多有2种假货在内的不同的取法有6090种方法二直接法共有选取方式C320C220C115C120C2156090种至多有2种假货在内的不同的取法有6090种思维升华组合问题常有以下两类题型变化1“含有”或“不含有”某些元素的组合题型“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取2“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型解这类题必须分重视“至少”与“至多”这两个【关键词】的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理跟踪训练1在某校xx年举办的第32届秋季运动会上，甲.乙两位同学从四个不同的运动项目中各选两个项目报名，则甲.乙两位同学所选的项目中至少有1个不相同的选法种数为A30B36C60D72答案A解析因为甲.乙两位同学从四个不同的项目中各选两个项目的选法有C24C24种其中甲.乙所选的项目完全相同的选法有C24种，所以甲.乙所选的项目中至少有1个不相同的选法共有C24C24C2430种故选A.2xx武汉二模若从1,2,3，，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A60种B63种C65种D66种答案D解析共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故不同的取法有C45C44C25C2466种题型三题型三排列与组合问题的综合应用排列与组合问题的综合应用命题点1相邻.相间及特殊元素位置问题典例1xx青岛模拟在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________答案60解析2位男生不能连续出场的排法共有N1A33A2472种，女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N2A22A2312种，所以出场顺序的排法种数为NN1N260.2xx上饶一模大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲.乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名乘同一辆车的4个孩子不考虑位置，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有A18种B24种C36种D48种答案B解析根据题意，分两种情况讨论A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C23C12C1212种乘坐方式；A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C13C12C1212种乘坐方式，故共有121224种乘坐方式，故选B.命题点2分组与分配问题典例1国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法答案90解析先把6个毕业生平均分成3组，有C26C24C22A3315种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A336种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C26C24C22A33A3390种分派方法2xx 广州调研有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲.乙.丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有________种答案36解析先把4名学生分为2,1,1共3组，有C24C12C11A226种分法，再将3组对应3个学校，有A336种情况，则共有6636种不同的保送方案思维升华1解排列.组合问题要遵循的两个原则按元素位置的性质进行分类；按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列.组合问题常以元素位置为主体，即先满足特殊元素位置，再考虑其他元素位置2分组.分配问题的求解策略对不同元素的分配问题a对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Annn为均分的组数，避免重复计数b对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数c对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”跟踪训练1xx全国安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A12种B18种C24种D36种答案D 解析由题意可知，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C13C24A2236种，或列式为C13C24C123432236种故选D.2xx浙江从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法用数字作答答案660解析方法一只有1名女生时，先选1名女生，有C12种方法；再选3名男生，有C36种方法；然后排队长.副队长位置，有A24种方法由分步乘法计数原理知，共有C12C36A24480种选法有2名女生时，再选2名男生，有C26种方法；然后排队长.副队长位置，有A24种方法由分步乘法计数原理知，共有C26A24180种选法所以依据分类加法计数原理知，共有480180660种不同的选法方法二不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种，故至少有1名女生的选法有A28C26A26C24840180660种3把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有______种答案36解析将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有A22A44种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有A22A33种方法于是符合题意的摆法共有A22A44A22A3336种。
1．排列与组合的概念2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示．3．排列数、组合数的公式及性质【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(×)(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．(×)(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(√)(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.(√).(√)(5)A m n＝n A m－1n－1(6)k C k n＝n C k－1.(√)n－11．(2016·四川)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A．24 B．48C．60 D．72答案D解析由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1,3,5；分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有C13种情况，再将剩下的4个数字排列得到A44种情况，则满足条件的五位数有C13·A44＝72(个)．故选D.2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144 B．120 C．72 D．24答案D解析“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.3．(教材改编)用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位数，其中偶数的个数为()A．8 B．24 C．48 D．120答案C解析末位数字排法有A12种，其他位置排法有A34种，共有A12A34＝48(种)．4．某高三毕业班有40人，同学这间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)答案 1 560解析依题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A240＝40×39＝1 560(条)留言．5．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有________种．答案14解析分两类：①有1名女生：C12C34＝8.②有2名女生：C22C24＝6.∴不同的选派方案有8＋6＝14(种).题型一排列问题例1(1)3名男生，4名女生，选其中5人排成一排，则有________种不同的排法．(2)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种．答案(1)2 520(2)216解析(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A57＝2 520(种)排法．(2)当最左端排甲时，不同的排法共有A55种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有C14A44种．故不同的排法共有A55＋C14A44＝120＋96＝216(种)．引申探究1．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“排成前后两排，前排3人，后排4人”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？解前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A77＝5 040(种)排法．2．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，男、女各站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？解相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A33种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A22种排法．根据分步乘法计数原理，共有A33·A44·A22＝288(种)排法.3．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，男生不能站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？解不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A44种排法，男生在4个女生隔成的5个空中安排共有A35种排法，故共有A44·A35＝1 440(种)排法．4．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，甲不站排头也不站排尾”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？解先安排甲，从除去排头和排尾的5个位置中安排甲，有A15＝5(种)排法；再安排其他人，有A66＝720(种)排法．所以共有A15·A66＝3 600(种)排法．思维升华排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的自然数．求：(1)有多少个含2,3，但它们不相邻的五位数？(2)有多少个含数字1,2,3，且必须按由大到小顺序排列的六位数？解(1)先不考虑0是否在首位，0,1,4,5先排三个位置，则有A34个，2,3去排四个空档，有A24个，即有A34A24个；而0在首位时，有A23A23个，即有A34A24－A23A23＝252(个)含有2,3，但它们不相邻的五位数．(2)在六个位置先排0,4,5，先不考虑0是否在首位，则有A36个，去掉0在首位，即有A36－A25个，0,4,5三个元素排在六个位置上留下了三个空位，1,2,3必须由大到小进入相应位置，并不能自由排列，所以有A36－A25＝100(个)六位数．题型二组合问题例2(1)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是() A．60 B．63C．65 D．66(2)要从12人中选出5人去参加一项活动，A，B，C三人必须入选，则有________种不同选法．答案(1)D(2)36解析(1)因为1,2,3，…，9中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数或全为偶数或2个奇数和2个偶数，故有C45＋C44＋C25C24＝66(种)不同的取法．(2)只需从A，B，C之外的9人中选择2人，即有C29＝36(种)不同的选法．引申探究1．本例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人都不能入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？解由A，B，C三人都不能入选只需从余下9人中选择5人，即有C59＝C49＝126(种)不同的选法．2．本例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人只有一人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？解可分两步，先从A，B，C三人中选出1人，有C13种选法，再从余下的9人中选4人，有C49种选法，所以共有C13×C49＝378(种)不同的选法．3．本例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人至少一人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？解可考虑间接法，从12人中选5人共有C512种，再减去A，B，C三人都不入选的情况C59种，共有C512－C59＝666(种)不同的选法．思维升华组合问题常有以下两类题型变化(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561(种)，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种．(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5 984(种)．∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C120C215＝2 100(种)．∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．(4)选取2件假货有C120C215种，选取3件假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555(种)．∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种． (5)选取3件的总数为C 335，因此共有选取方式C 335－C 315＝6 545－455＝6 090(种)．∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种． 题型三 排列与组合问题的综合应用 命题点1 相邻问题例3 (2017·济南调研)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A ．3×3! B ．3×(3！)3 C ．(3！)4 D ．9!答案 C解析 把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种坐法． 命题点2 相间问题例4 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是________． 答案 120解析 先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空．安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有A 22C 13A 23＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有A 22A 34＝48(种)安排方法．由分类加法计数原理知共有36＋36＋48＝120(种)安排方法． 命题点3 特殊元素(位置)问题例5 (2016·郑州检测)从1,2,3,4,5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有________个． 答案 51解析 分三类：第一类，没有2,3，由其他三个数字组成三位数，有A 33＝6(个)；第二类，只有2或3其中的一个，需从1,4,5中选两个数字组成三位数，有2C 23A 33＝36(个)；第三类，2,3均有，再从1,4,5中选一个，因为2需排在3的前面，所以可组成12C 13A 33＝9(个)．由分类加法计数原理，知这样的三位数共有51个． 思维升华 排列与组合综合问题的常见类型及解题策略(1)相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列．(2)相间问题插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用．(3)特殊元素(位置)优先安排法．优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置． (4)多元问题分类法．将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类加法计数原理求出排列总数．(1)(2016·山西四校联考三)有5名优秀毕业生到母校的3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为( ) A ．150 B ．180 C ．200D ．280(2)将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有( ) A ．150种 B ．114种 C ．100种 D ．72种答案 (1)A (2)C解析 (1)分两类：一类，3个班分派的毕业生人数分别为2,2,1，则有C 25C 23A 22·A 33＝90(种)分派方法；另一类，3个班分派的毕业生人数分别为1,1,3，则有C 35·A 33＝60(种)分派方法，所以不同分派方法种数为90＋60＝150，故选A.(2)先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有2,2,1或者3,1,1，所以共有C 25C 23C 112＋C 35C 12C 112＝25(种)分组方法．因为甲不能被保送到北大，所以有甲的那组只有上海交大和浙大两个选择，剩下的两组无限制，一共有4种方法，所以不同的保送方案共有25×4＝100(种)．14．排列、组合问题典例 有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有________种． 错解展示解析先从一等品中取1个，有C116种取法；再从余下的19个零件中任取2个，有C219种不同取法，共有C116×C219＝2 736(种)不同取法．答案 2 736现场纠错解析方法一将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类加法计数原理，知有C116C24＋C216C14＋C316＝1 136(种)．方法二考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法：C320－C34＝1 136(种)．答案 1 136纠错心得(1)解排列、组合问题的基本原则：特殊优先，先分组再分解，先取后排；较复杂问题可采用间接法，转化为求它的对立事件．(2)解题时要细心、周全，做到不重不漏.1．两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为()A．48 B．36 C．24 D．12答案C解析(捆绑法)爸爸排法有A22种，两个小孩排在一起故看成一体，有A22种排法，妈妈和孩子共有A33种排法，∴排法种数共有A22A22A33＝24(种)．故选C.2．(2016·黄山月考)某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为()A．16 B．18 C．24 D．32答案C解析将四个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在三个车位上任意排列，有A33＝6(种)排法，再将捆绑在一起的四个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有4×6＝24(种)方法．3．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有()A．34种B．48种C．96种D．144种答案 C解析 程序A 有A 12＝2(种)结果，将程序B 和C 看作一个元素与除A 外的3个元素排列有A 22A 44＝48(种)，由分步乘法计数原理，知实验编排共有2×48＝96(种)方法．4．将A ，B ，C ，D ，E 排成一列，要求A ，B ，C 在排列中顺序为“A ，B ，C ”或“C ，B ，A ”(可以不相邻)，这样的排列数有( ) A ．12种 B ．20种 C ．40种 D ．60种答案 C解析 (消序法)五个元素没有限制全排列为A 55， 由于要求A ，B ，C 的次序一定(按A ，B ，C 或C ，B ，A )， 故除以这三个元素的全排列A 33， 可得A 55A 33×2＝40(种)．5．(2016·长沙模拟)某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为( )A ．A 26C 24 B.12A 26C 24 C ．A 26A 24D ．2A 26答案 B解析 方法一 将4人平均分成两组有12C 24种方法，将此两组分配到6个班级中的2个班有A 26种． 所以不同的安排方法有12C 24A 26(种)． 方法二 先从6个班级中选2个班级有26C 种不同方法，然后安排学生有C 24C 22种，故有222642C C C ＝12A 26C 24(种)． 6．(2017·汉中质检)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( ) A ．24对 B ．30对 C ．48对 D ．60对答案 C解析 正方体中共有12条面对角线，任取两条作为一对共有C 212＝66(对)，12条对角线中的两条所构成的关系有平行、垂直、成60°角．相对两面上的4条对角线组成的C 24＝6(对)组合中，平行有2对，垂直有4对，所以所有的平行和垂直共有3C 24＝18(对)．所以成60°角的有C 212－3C 24＝66－18＝48(对)．7．(2016·北京西城区期末)现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有________种．(用数字作答)答案54解析第一类，把甲、乙看作一个复合元素，另外3人分成两组，再分配到3个小组中，有C23A33＝18(种)；第二类，先把另外的3人分配到3个小组，再把甲、乙分配到其中2个小组，有A33A23＝36(种)．根据分类加法计数原理可得，共有36＋18＝54(种)．8．(2017·福州质检)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)答案60解析分两类：第一类：3张中奖奖券分给3个人，共A34种分法；第二类：3张中奖奖券分给2个人相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人，共有C23A24种分法．总获奖情况共有A34＋C23A24＝60(种)．9．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．答案36解析先考虑产品A与B相邻，把A，B作为一个元素有A44种方法，而A，B可交换位置，所以有2A44＝48(种)摆法，又当A，B相邻且又满足A，C相邻，有2A33＝12(种)摆法，故满足条件的摆法有48－12＝36(种)．10．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种．答案11解析把g、o、o、d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A24种排法；第二步：排两个o.共一种排法，所以总的排法种数为A24＝12.其中正确的有一种，所以错误的共有A24－1＝12－1＝11(种)．11．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种．(用数字作答)答案480解析从左往右看，若C排在第1位，共有A55＝120(种)排法；若C排在第2位，A和B有C右边的4个位置可以选，共有A24·A33＝72(种)排法；若C排在第3位，则A，B可排C的左侧或右侧，共有A22·A33＋A23·A33＝48(种)排法；若C排在第4,5,6位时，其排法数与排在第3,2,1位相同，故共有2×(120＋72＋48)＝480(种)排法．12．(2017·青岛月考)2016年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10 000个号码中选择．公司规定：凡卡号的后四位恰带有两个数字“6”或恰带有两个数字“8”的一律作为“金猴卡”，享受一定优惠政策．如后四位数为“2663”，“8685”为“金猴卡”，求这组号码中“金猴卡”的张数．解①当后四位数恰有2个6时，“金猴卡”共有C24×9×9＝486(张)；②当后四位数恰有2个8时，“金猴卡”也共有C24×9×9＝486(张)．但这两种情况都包含了后四位数是由2个6和2个8组成的这种情况，所以要减掉C24＝6，即“金猴卡”共有486×2－6＝966(张)．13．有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋．现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？解设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合A,3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合B,4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合C，则选派2名参赛同学的方法可以分为以下4类：第一类：A中选1人参加象棋比赛，B中选1人参加围棋比赛，方法数为C12·C13＝6(种)；第二类：C中选1人参加象棋比赛，B中选1人参加围棋比赛，方法数为C14·C13＝12(种)；第三类：C中选1人参加围棋比赛，A中选1人参加象棋比赛，方法数为C14·C12＝8(种)；第四类：C中选2人分别参加两项比赛，方法数为A24＝12(种)．由分类加法计数原理，知不同的选派方法共有6＋12＋8＋12＝38(种)．*14.(2017·洛阳预测)设三位数n＝abc，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有多少个？解a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0，即a，b，c∈{1,2,3，…，9}．①若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为n1，由于三位数中三个数字都相同，所以n1＝C19＝9；②若构成等腰(非等边)三角形，设这样的三位数的个数为n2，由于三位数中只有2个不同数字，设为a，b，注意到三角形腰与底可以互换，所以可取的数组(a，b)共有2C29组，但当大数为底时，设a>b，必须满足b<a<2b，此时，不能构成三角形的数字是共20种情况．同时，每个数组(a，b)中的两个数字填上三个数位，有C23种情况，故n2＝C23(2C29－20)＝156.综上，n＝n1＋n2＝165.第2讲排列与组合一、选择题1．2013年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有( )A．1 440种 B．1 360种C．1 282种 D．1 128种解析采取对丙和甲进行捆绑的方法：如果不考虑“乙不在正月初一值班”，则安排方案有：A66·A22＝1 440种，如果“乙在正月初一值班”，则安排方案有：C11·A14·A22·A44＝192种，若“甲在除夕值班”，则“丙在初一值班”，则安排方案有：A55＝120种．则不同的安排方案共有1 440－192－120＝1 128(种)．答案 D2．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有()．A.24种B.60种C.90种D.120种解析可先排C、D、E三人，共A35种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步计数原理满足条件的排法共A35＝60(种)．答案B3．如果n是正偶数，则C0n＋C2n＋…＋C n－2n＋C n n＝()．A．2n B．2n－1C．2n－2D．(n－1)2n－1解析(特例法)当n＝2时，代入得C02＋C22＝2，排除答案A、C；当n＝4时，代入得C04＋C24＋C44＝8，排除答案D.故选B.答案B4．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为()．A.42B.30C.20D.12解析可分为两类：两个节目相邻或两个节目不相邻，若两个节目相邻，则有A22A16＝12种排法；若两个节目不相邻，则有A 26＝30种排法．由分类计数原理共有12＋30＝42种排法(或A 27＝42)．答案 A5．某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )．A ．30种B ．35种C ．42种D ．48种解析 法一 可分两种互斥情况：A 类选1门，B 类选2门或A 类选2门，B 类选1门，共有C 13C 24＋C 23C 14＝18＋12＝30(种)选法．法二 总共有C 37＝35(种)选法，减去只选A 类的C 33＝1(种)，再减去只选B 类的C 34＝4(种)，共有30种选法． 答案 A6．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( )． A ．232B ．252C ．472D ．484解析 若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有C 14×C 14×C 14＝64种，若2张同色，则有C 23×C 12×C 24×C 14＝144种；若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C 14×C 23×C 14×C 14＝192种，乘余2张同色，则有C 14×C 13×C 24＝72种，所以共有64＋144＋192＋72＝472种不同的取法．故选C. 答案 C 二、填空题7．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求男、女医生都有，则不同的组队方案共有________种．解析 分1名男医生2名女医生、2名男医生1名女医生两种情况，或者用间接法．直接法：C 15C 24＋C 25C 14＝70. 间接法：C 39－C 35－C 34＝70.答案 708．有五名男同志去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有________种(用数字作答)．解析 甲、乙住在同一个房间，此时只能把另外三人分为两组，这时的方法总数是C 13A 33＝18，而总的分配方法数是把五人分为三组再进行分配，方法数是C15C24C22A22A33＝90，故不同的住宿安排共有90－18＝72种．答案729．某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2,3张为不同花色的A，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人不同的出牌方法共有________种．解析出牌的方法可分为以下几类：(1)5张牌全部分开出，有A55种方法；(2)2张2一起出，3张A一起出，有A25种方法；(3)2张2一起出，3张A分3次出，有A45种方法；(4)2张2一起出，3张A分两次出，有C23A35种方法；(5)2张2分开出，3张A一起出，有A35种方法；(6)2张2分开出，3张A分两次出，有C23A45种方法．因此，共有不同的出牌方法A55＋A25＋A45＋C23A35＋A35＋C23A45＝860(种)．答案86010．小王在练习电脑编程，其中有一道程序题的要求如下：它由A，B，C，D，E，F六个子程序构成，且程序B必须在程序A之后，程序C必须在程序B之后，执行程序C后须立即执行程序D，按此要求，小王的编程方法有__________种．解析对于位置有特殊要求的元素可采用插空法排列，把CD看成整体，A，B，C，D产生四个空，所以E有4种不同编程方法，然后四个程序又产生5个空，所以F有5种不同编程方法，所以小王有20种不同编程方法．答案20三、解答题11．7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种．(1)A，B必须当选；(2)A，B必不当选；(3)A，B不全当选；(4)至少有2名女生当选；(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．解(1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，故有C310＝120种选法．(2)从除去的A，B两人的10人中选5人即可，故有C510＝252种选法．(3)全部选法有C512种，A，B全当选有C310种，故A，B不全当选有C512－C310＝672种选法．(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行．所以有C 512－C 15·C 47－C 57＝596种选法．(5)分三步进行；第1步，选1男1女分别担任两个职务有C 17·C 15种选法． 第2步，选2男1女补足5人有C 26·C 14种选法．第3步，为这3人安排工作有A 33方法．由分步乘法计数原理，共有C 17C 15·C 26C 14·A 33＝12 600种选法．12．要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？(1)至少有1名女生入选；(2)至多有2名女生入选；(3)男生甲和女生乙入选；(4)男生甲和女生乙不能同时入选；(5)男生甲、女生乙至少有一个人入选．解 (1)C 512－C 57＝771； (2)C 57＋C 15C 47＋C 25C 37＝546； (3)C 22C 310＝120； (4)C 512－C 22C 310＝672； (5)C 512－C 510＝540.13．某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中： (1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？ (2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？ 解 (1)只需从其他18人中选3人即可，共有C 318＝816(种)； (2)只需从其他18人中选5人即可，共有C 518＝8 568(种)； (3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有C 12C 418＋C 318＝6 936(种)；(4)方法一 (直接法)：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类： 一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有C 112C 48＋C 212C 38＋C 312C 28＋C 412C 18＝14 656(种)．方法二 (间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C 520－(C 512＋C 58)＝14。
