《高等数学》教学课件：第三节函数的连续性

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函数的连续性(6)共40页PPT资料

定理函数 f(x)在x0处连续是函f(数 x)在x0
处既左连续 . 又右连续
例讨：论f(函 x) 数 x x 2 2,,
x0, 在 x0处的.连 x0,
右连续：✔
左连续：✖
连续：✖
定义3：（函数在区间上的连续性）
函数在开区间的：连续性
若函数 f (x)在开区(a间 ,b)的每一点处,都则称f (x)在开区(a间 ,b)内连.续
x0, x0
在点x0处间断
y
2•
1
x
O
x1,
y
g(x)
0,
x1,
x 0,
x0, 在点x0处间断
x 0.
y
x
•
O
在点x0处间断
一、连续函数的定义
定义设 1f： (x)在x0的某邻域内 ,如有果定
lx im x0 f(x)f(x0) 则称函 f 在数点 x0处连. 续
""定义 :
x, 1 x,
x 0, x 0,
(x x0跳跃间断) 点
特点：左右极限都存在
例2：f
(x)
2 1,
x,
0 x 1 x 1
1 x, x 1
(可去间断点)
特点：左右极限都存在
y
o
x
y y1x
2
y2 x
1
o1
x
情形2：左右极限不同时存在的间断点
y
例1：正切函y数tanx在x 处没
函数在闭区间：的连续性
若函f(数 x)在开区 (a,b)间内连,且续在a右点连续 ,在点 b左连,则续称 f(x)在闭区 [a,b]间上连.

《函数的连续》课件

在闭区间上的连续函数一定取得最大值和最小值。
闭区间上连续函数的零点定理
如果闭区间上的连续函数在区间两端取值异号，则函数在该区间内至少有一个零点。
03
函数连续性的应用
利用连续性求极限
总结词
利用连续性求极限是函数连续性应用的重要方面之一。
详细描述
在数学分析中，许多函数的极限可以通过利用函数的连续性来求解。例如，利用函数在某点的连续性，可以推导出该点的极限值。此外，连续函数的极限定理也是利用连续性求极限的重要工具。
二次函数
二次函数在定义域内也是连续的。例如，函数$f(x) = x^2$在全体实数域$mathbf{R}$上是连续的。
分段函数的连续性
• 分段函数：分段函数在各段定义域的交界处可能不连续，但在整个定义域内是连续的。例如，函数$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \ x, & x < 0 \end{cases}$在全体实数域$\mathbf{R}$上是连续的，但在$x=0$处不连续。
函数连续性的性质
Байду номын сангаас
如果内层函数和外层函数都在某点连续，则复合函数在该点
也连续。
02
反函数的连续性
01
复合函数的连续性
反函数存在的前提下，如果原函数在某点连续，则反函数在该点
也连续。
02
函数连续性的判定
函数在某点连续的判定
函数在某点连续的定义
如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，则函数在该点连续。
无穷函数的连续性
• 无穷函数：无穷函数在无穷处的值可能不定义，因此不连续。例如，函数$f(x) = \frac{1}{x}$在$x=0$处不连续。

高等数学-函数的连续性课件.ppt

(1)在x=1处有定义；
(2)函数在x=1处的左右极限相等，即函数在x=1处的极限存在，且等于2，但不等于f (1)
导致函数图象断开的原因：
1、函数在处没有定义
2、函数在时极限不存在
函数值不等
3、函数在处的极限值和
o
x
y
1
2
1
2
o
x
y
2.5
y
x
o
1
2
在
在
二、函数的间断点
但是由于
x
y
O
1
右极限存在，
因为，如果修改定义 f (0) = 1，
在 x = 0 连续.
则函数
x
y
O
1
内容小结
左连续
右连续
第一类间断点
可去间断点:
跳跃间断点: 左右极限不相等
第二类间断点
无穷间断点:
振荡间断点: 函数值在的去心邻域
(左右极限至少有一个不存在)
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
一、函数连续性的定义
1.变量的增量
设变量从它的一个初值变到终值终值与初
值的差就叫做变量u的增量记作
即
注：
不表示某个变量与u的乘积，而是一个
整体不可分割的记号.
设函数y = f (x)在点的某一个邻域内是有定义的
当自变量在这邻域内从变到时函数y相应
思考题
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
1. P49 题 5
2. 确定函数
分析所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间的极限，给出函数的分段函数表达式，然后再研究间断点及其类型。

函数的连续性PPT课件

是第_____类间断点 .
x, x 1
二、研究函数 f ( x)
的连续性，并画出函数
1, x 1
的图形 .
2021/8/2
函数与极限
23
第23页/共27页
三、指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些
间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变
函数的定义使它连续 .
1、
f
(
x)
x 3
1, x,
3.第二类间断点如果 f ( x)在点x0处的左、
右极限至少有一个不存在, 则称点x 为函数 0
f ( x)的第二类间断点.
例6
讨论函数
f
(x)
1 x
,
x 0,在x 0处的连续性.
x, x 0,
y
解 f (0 0) 0, f (0 0) ,
x 1为函数的第二类间断点. 这种情况称为无穷间断点.
x x
1在 1
x
R
上
.
2、 f ( x) x ,在x R 上 . tan x
四、讨论函数f( x Nhomakorabea lim n
1 1
x 2n x 2n
的连续性，若有间断
点，判断其类型 .
五、试确定 a, b 的值,使 f ( x) e x b ， ( x a)( x 1)
（1）有无穷间断点x 0 ；（2）有可去间断点x 1 .
★
f
(
x)
1, 1,
当x是有理数时 , 当x是无理数时 ,
在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续.
判断下列间断点类型:
y
y f x
2021/8/2
x1 o

《函数连续性说》课件

03
函数连续性的应用
在微积分中的应用
极限理论
函数连续性是微积分中的基本概念，极限理论中的许多概念和定理都与连续性密切相关。例如，连续函数的极限性质、闭区间上连续函数的性质等。
导数与微分
连续函数在某一点的导数定义为该点附近函数值的增量与自变量增量的比值。如果函数在某点可导，则该点必连续。同时，连续函数的微分也是其导数的近似值，这在近似计算和误差估计中具有重要应用。
不定积分与定积分
不定积分是求原函数的过程，而原函数的存在性要求被积函数必须是连续的。定积分则是求某个区间上函数的面积，而连续函数在该区间上的定积分存在且唯一。
在实数理论中的应用
实数完备性
实数理论中的许多重要定理都与连续性有关。例如，实数完备性定理指出，实数集具有完备性，即实数集上的任何有界序列都存在极限。这个定理的证明过程中涉及到了连续函数的性质。
《函数连续性说》ppt课件
• 函数连续性的定义 • 函数连续性的判定 • 函数连续性的应用 • 函数连续性的扩展
01
函数连续性的定义
函数连续性的数学定义
函数在某点连续的定义
如果函数在某点的极限值等于函数值，则函数在该点连续。
函数在区间上连续的定义
如果函数在区间的每一点都连续，则函数在该区间上连续。
函数连续性的几何意义
01
连续函数的图像是连绵不断的曲线，没有间断点。
02
在直角坐标系中，连续函数的图像是一条光滑的曲线。
函数连续性的性质
连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍然为连续函数。
连续函数在闭区间上具有最大值和最小值，分别在区间的端点和极值点取得。
02
函数连续性的判定

《函数连续性》课件

02
函数连续性的判定
函数在某点连续的判定
总结词
极限存在准则
详细描述
如果函数在某点的左右极限存在且相等，则函数在该点连续。
总结词
四则运算连续性
详细描述
函数的四则运算保持连续性，即两个连续函数进行加、减、乘、除运算后仍为连续函数。
复合函数连续性
总结词
详细描述
复合函数在某点连续，当且仅当内外函数在该点都连续。
《函数连续性》ppt课件
contents
目录
• 函数连续性的定义 • 函数连续性的判定 • 函数连续性的应用 • 函数连续性的扩展
01
函数连续性的定义
函数连续性的数学定义
总结词
描述函数在某点或某范围内的极限状态
详细描述
函数在某一点或某范围内的极限状态，如果函数在这一点或这个范围内的极限值等于该点的函数值，则函数在该点或该范围内连续。
详细描述
一致连续性是指在函数的整个定义域内，对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当|x'-x''|<δ时，有|f(x')-f(x'')|<ε。也就是说，无论x'和x''在定义域内取何值，只要它
们足够接近，函数值的变化就会足够小。
紧致性定理
总结词
紧致性定理是函数连续性的一种重要性质，它表明在闭区间上的连续函数必定可以取到其最大值和最小值。
函数连续性的几何意义
总结词
表示函数图像在某点或某范围的连续变化
详细描述
函数连续性的几何意义可以理解为函数图像在某一点或某范围内没有间断、断裂或跳跃，图像平滑过渡。
函数连续性的性质

高等数学(第三版)课件：函数的连续性

(x0 )
上述三个条件中只要有一条不满足,则称函数 f (x)
在点x0处间断, x0称为函数 f (x)的间断点．
如果 x0是函数 f (x) 的间断点,可将其分成两类:
第一类间断点 f (x) 在点 x0 处的左右极限存在;
可去间断点其它
第二类间断点
f (x) 在点 x0 处的左右极限至少有一个不存在.
由以上三个定理可知：一切初等函数在其有定义的区间内是连续的．
计算初等函数 f (x) 在其定义区间内某点 x0 处的极限, 只要计算 f (x)在点x0 处的函数值 f (x)即可．
三、闭区间上连续函数的性质
定理4（最值定理）闭区间上的连续函数一定有
最大值和最小值．
如函数 y x 在(a,b) 内既没有最大值，
x
且为可去间断点.
例3
如图,考察函数
f
(x)
1 x 1
在x
1
处的连续性.
解该函数在点 x 1 处没有定义,所以函数在 x 1
处间断;又因为
,极限 lim 1
x1 x 1
不存在，趋于无穷，所以 x 1
是函数
f
(x)
1 x 1
的第二类间断点,

且为无穷间断点.
例4 考察函数
f
(x)
sin
3. f (x)在 x0 处左(右)连续:
lim
x x0
f (x) f (x0 )
( xx0 )
2．函数的间断点及其类型
函数f (x)在点x0 处连续,必须同时满足以下三个条件：
(1) f (x) 在 x0的某邻域内有定义；
(2) lim f (x) 存在； xx

精品课件-高等数学函数的连续性

那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续
函数 f x 在点 x 0 处连续的充分必要条件是：
（ 1 ） fx在点 x0 处有定义；（ 2 ） fx 在点 x 0 处的极限存在；（ 3 ） f x 在点 x 0 处的极限值等于 f x 在点 x 0 处的函数值
则称函数在点x0为不连续， x0称为函数的不连续点或间断点。
例函数y = sinx x
在点 x = 0 处没有定义，因此函数在该点是不连续点，
但 lim x0
sin x
x
= 1，
并且如果定义y=sinxx 1
x0时， x=0
函数在点 x=0 处连续，此时称 x = 0 点是函数的可去间断点。
函数左、右极限存在但不相等，我们称点 x = 0 为跳跃间断点。
例函数 y = t a n x 在 x = 处没有定义，该点为函数的间断点。
2
又 limtanx=，此时我们称 x =是函数 y = t a n x 的无穷间断点。
高等数学函数的连续性
1.3.1、函数连续性 1、变量的增量
设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域U(x0)内有定义
在邻域U(x0)内若自变量x从初值x0变到终值x1 则称Dx=x1-x0为自变量x的增量
称Dy=f(x0+Dx)-f(x0)函数y的增量。
Dy Dx
2、函数的连续性定义设函数 y=f(x) 在点x0及其邻域内有定义如果 D l x 0 D y = i 0 或 x l m x 0 f ( x ) i = f ( x 0 ) m

高等数学课件 1[1].3 函数的连续性

lim
x x0
f ( x)存在,
但 lim x x0
f (x)
f ( x0 ).
2.间断点的分类
(1) 第一类间断点
若x0是f(x)的间断点,且在x0处的左、右极限都存在,则点x0是f(x)的第一类间断点.
(2) 第二类间断点
若x0不是f(x)的第一类间断点,则点x0是 f(x)的第二类间断点.
x0+x ，有
y f (x0 x) f (x0 ) ex0 x ex0 ex0 (ex 1)
从而有极限
lim y
x0
lim (
x0
f
(x0
x)
f
(x0 ))
0
所以函数 f(x)在（-,0 ）内连续。同理，对
于任意的常数A、B，函数 f(x)=Ax+B 在（0,
）内也连续。
现在我们来讨论函数 f(x) 在x=0处的连续
在第一类间断点中，即函数 f(x)在x0的左、右极限存在，再细分可有如下两种间断点：
(1)当函数 f(x)在x0的左、右极限存在且相等时，称x0为函数 f(x) 的可去间断点。 (2)当函数 f(x)在x0的左、右极限存在但不相等时，称x0为函数 f(x) 的跳跃间断点。
例1 讨论函数断点类型。
综上所述，当A任意，
y
B =1时，函数 f(x)
在（-，+）内连
1
续。它的几何意义
如图所示。
o
x
二、函数的间断点
1.定义
满足下面三个条件之一的x0都是f ( x)的间断点 :
(1) f ( x)在点x0没有定义;
(2)
f
(
x
)在x0虽然有定义，但

函数的连续性.ppt

x0
因而函数 f (x) 在x=0处是右连续，而非左连续。
结论：函数在一点处连续的充要条件是既左连续又右连续
lim
x x0
f ( x) lim x x0
f (x)
f (x0 )
lim
xx0
f
(x)
f (x0 )
y
o
x0
x
三、函数在某区间的连续性：
1、开区间内连续：如果f (x) 在某一开
而且 lim f 则称函数f(x)x0 )
处连续。
2、
f(x)在点x0处右连续。
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
f(x)在 x0 处左连续。
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
3、开区间内连续，闭区间上连续
4、结论：函数在一点处连续的充要条件是即左连续又右连续
四、闭区间上连续函数的性质： f (x1)y f (x2 )
oa
x2
x1 b
x
从几何直观上看，闭区间[a，b]上的一条连续曲线，必有一点达到最高，也有一点达到最低。如上图：
对于任意 x [a,b], f (x1) f (x), f (x2) f (x) ，这时
我们说闭区间[a，b]上的连续函数f（x）在点x1 处有最大值f（x1），在点x2处有最小值f（x2）。
y分
80 60 40 20
40 80 120 160 x分
一般地，函数f（x）在点x0处连续必须同时具备三个条件：
1、f (x0 ) 存在，即函数 f (x)
在点x0处有定义。
2、 lim f (x)存在。 x x0
3、
lim

函数的连续性(课件

数学上，如果函数$f(x)$在点$x_0$处的极限值为$f(x_0)$，即 $lim_{x to x_0} f(x) = f(x_0)$，则称$f(x)$在点$x_0$处连续。
函数在区间上的连续性
函数在区间上的连续性是指，对于该区间内的任意一点，函数在该点都连续。如果一个函数在某个闭区间$[a, b]$内的每一点都连续，则称该函数在区间$[a, b]$ 上连续。
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闭区间上的连续函数满足中值定理，即如果一个闭区间上的连续函数在两端取值相等，则该函数在这个区间内至少有一个不动点。
闭区间上的连续函数具有介值性质，即如果一个闭区间上的连续函数在两端取值异号，则该函数在这个区间内至少有一个零点。
连续函数在无穷区间上的性质
连续函数在无穷区间上可以取到无穷大或无穷小的值。
一致连续性
总结词
如果一个函数在其定义域内的任意两点x1 和x2，当x1趋近于x2时，函数值也趋近于相同值，则称该函数一致连续。
VS
详细描述
一致连续性是连续函数的一个重要性质，它表明函数在定义域内的任意两点之间的变化都是均匀的。一致连续的函数在定义域内不会出现剧烈的波动或间断，因此其性质比较稳定。这个性质在解决一些数学问题时也非常有用，例如求解函数的极限等。
连续函数与不等式的关系
连续函数在定义域内的单调性可以用来证明不等式。
3
利用连续函数证明不等式的方法
通过构造函数、利用函数的单调性、求导数等手段，将不等式问题转化为连续函数的性质问题。
利用连续函数解决实际问题
实际问题的数学模型
实际问题通常需要建立数学模型进行描述和求解。
连续函数与实际问题的关系

函数的连续性(课件

定义：左极限等于右极限等于函数值
连续函数的另一个定义是左极限和右极限存在且都等于该点的函数值。这意味着函数在该点处无突变且可以从左右两个方向无限接近结点的函数值。
函数的性质：连续函数与不连续函数
连续函数具有平滑的曲线，其在定义域内连续。相反，不连续函数会在定义域上出现断裂、跳跃或间断。
函数的连续性与导数的关系
连续函数具有导数，而不连续函数则未必。导数可以描述函数变化的速率和斜率。
连续性的局部性质
连续函数具有局部性质，即在定义域上的任何小范围内，函数仍然保持连续。
中值定理
中值定理是连续函数的重要定理之一，它说明在一定条件下，函数在某个区间内的平均变化率等于某一点的瞬时变化率。
函数的连续性 (课件)
函数的连续性是指函数的某个值与其极限值相等的性质。在个课件中，我们将介绍函数连续性的定义、性质以及与导数的关系。
什么是函数的连续性？
函数的连续性指的是函数在定义域上没有突变或断裂，可以被描绘为连续的曲线。连续函数可以无间断地拥有函数值。
定定义：极限存在与函数值相等
连续函数的定义是指函数在某一点的极限存在且等于该点的函数值。换句话说，在函数曲线中那一点没有突变。

函数的连续性PPT教学课件

输导组织，输导有机物
机械组织，增加茎的强度
木质部
外树皮
内树皮（靠里是韧皮部）
一、双子叶植物茎的结构
4、研究形成层
双子叶植物茎的形成层处在
部和木质部之间，它是由几层很
薄韧的皮细胞组成，这里的细胞能
分裂增生，属于
组织。
形成层细胞的细胞壁很薄，在
此处容易把木质部和韧皮部剥
离开来。分生
外树皮保护作用
树皮双
内树皮
运输有机物输导筛管组织
子叶
（靠里是韧皮部）
韧皮纤增加茎的强度机械
植物
维组织
茎的
形成层细胞能分裂增生分生组织
结
构
导管输导水和无机盐输导组织
木质部
木纤维增加茎的强度机械组织
2、单子叶植物茎的结构（了解）
木质部：导管结构
构成维管束，分散在薄壁细胞中
内树皮
（靠里是韧皮部）
内树皮（靠里是韧皮部）
木质部
一、双子叶植物茎的结构
2、研究木质部
木质部就是我们通常所
说的木材，木质部由
和
组导成管。
木纤维
木质部
外树皮
内树皮（靠里是韧皮部）
思考：导管有什么作用？属于什么组织？
实验：把带叶的新鲜植物枝条插入红墨水中，待红墨水上升到茎中后取出，把茎横切一小片，仔细观察。
2.6函数的连续性
高二备课组
函数在点x=x0处连续的图象特征：这个函数的图象在 x=x0没有中断。例1、观察下面的图象，根据图象判断函数在点x=x0 处是否连续。
注：一些简单函数的连续性，可以通过图象直接观察。如初等函数（一次函数，二次函数，反比例函数，指对数函数）在定义域内的每一点上均连续。

高等数学课件：函数的连续性

高等数学课件：函数的连续性高等数学课件：函数的连续性1.7函数的连续性教学目的:理解函数连续性的概念，会判断函数的连续性。

掌握连续函数的四则运算，知道反函数及复合函数的连续性，掌握初等函数的连续性, 知道间断点的概念及分类，会判断其类型。

教学重点:函数连续性的概念, 连续函数的四则运算，知道反函数及复合函数的连续性. 教学内容:1.6.1函数的连续性1 函数在一点的连续性xUx()xx定义1 设函数在点的某个邻域内有定义，自变量在点处有增量yfx,()000，相应地函数值的增量 ,x,,，,,yfxxfx()() 00xx如果，就称函数fx()在点处连续，称为函数fx()的连续点。

lim0,,y00,,x0x函数fx()在点处连续还可以描述如下。

0xUx()设函数yfx,()在点的某个邻域内有定义，如果，就称函数lim()()fxfx,000xx,0xfx()在点处连续。

0左连续及右连续的概念。

xlim()()fxfx,lim()()fxfx,如果，称函数fx()在点处左连续;如果，称函000,，xx,xx,00x数fx()lim()lim()fxfx,在点处右连续。

由于lim()fx存在的充要条件是，因此，根0,，xx,xxxx,,000xx据函数连续的定义有下述结论:若函数yfx,()在点的某个邻域内有定义，则它在点处00x连续的充分必要条件是在点处左连续且右连续。

02 区间上的连续函数如果函数在开区间上每一点都连续，我们称函数在开区间内连续，如果函数开区间内连续，在区间的左端点右连续，右端点左连续，就称函数在闭区间上连续。

yx,sin(,),,，,例1 证明在内连续。

x,,,,，,x(,)证明，当有增量时，对应的函数值的增量,x,,xx,,,,，,,,，yxxxxsin()sin2sincos ,,22,,,,xx,x,,sin,由于， cos1x，,,,222,,,,,xxx,,所以 02sincos2,,,，,,,yxx,,222,,45xx当时，由夹逼准则得，因此在点处连续，由于的任 ,,y0yx,sin,,x0意性，在内连续。

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若
在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间7上
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
在闭区间
上的连续函数的集合记作 C[ a , b ].
例如,
( 有理整函数 )
在
上连续 .
又如, 有理分式函数
在其定义域内连续.
只x要0 Q((x0
,)0),,
都lim有
x x0
Pli(mx)R(
x x0
Px)(
（1）若
x0
是
f
(x)
的一个间断点，但左右极限
lim
x
x
0
f (x)和
lim
xx0
f (x) 都存在，称 x0 为第一类间断点.
其中，若
左右极限
lim
xx
0
f
(
x)
和
x
lim
x
0
f (x) 相等，称 x0 为可去间
断点
；若左右极限
lim
xx
0
f
(
x)
和
lim
x
x
0
f (x) 不相等，称
x0 为跳跃间断点.
u u2 u1 . 当 u2 u1 时， u 为正；当 u2 u1 时， u 为负. 设函数 y f (x) 在点 x0 及其某邻域内有定义，
当自变量 x 在点 x0 处有一个增量 x ，即从 x0 变
到 x x0 x 时，因变量的增量 y 是 x 的函数 y f (x0 x) f (x0 ) f (x) f (x0 ) .
数学与生物信息学教研室 Mathematics & Bioinformatics
二、函数的间断点
9
(discontinuous point)
函数 f (x) 的不连续点称为间断点.
若 x0 是函数 f (x) 的间断点，那么必是下列三种情况之一：
（1） f (x) 在点 x0 无定义
（2）
f
(x)
（2）当
x
lim
x0
f (x) ，xlimx0 f (x) 至少有一个不存在时，称 x0
为第二类间断点.
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例如:
11
y
y tan x
x
2
为其无穷间断点 .
x 0 为其振荡间断点 .
y
o
x
2
y y sin 1 x
0x
x0R) (
x0c)ontinue
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8
例 2. 证明指数函数 y a x (a 0) 是 (,) 上的连续函数.
证明.任取 x0 (,) ，给出自变量的增量 x ，相应的因变量的增量为
y a x0 x a x0 a x0 (a x 1)
lim y lim [ax0 (ax 1)]
x 0
x 0
ax0 lim (ax 1) x 0
ax0 (11)
.
0
所以指数函数 y a x 是 (,) 上的连续函数.
类似地可以证明，常数函数 y c 和基本三角函数 sin x 、cos x 、tan x
及 cotx 在各自的定义域内都是连续函数.
6
有函数的增量
函数
在点连续有下列等价命题:
lim
x x0
f
(x)
f
(x0 )
lim y 0
x0
lim
x0
f
( x0
x)
f
(x0 )
y y f (x)
y
f (x0 ) f (x0 ) f (x0 )
左连续右连续
x
o x0 x x
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在点
x0
有定义，但
lim
x x0
f
(x) 不存在
（3）
f (x)
在点
x0
有定义且
lim
x x0
f (x) 存在，但
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
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10
根据函数在间断点处左右极限的情况，通常将间断点分为两大类：
f (0 ) 1
x 0 为其跳跃间断点 .
12
y
1
1 2
o 1x
y
1
o
x
1
数学与生物信息学教研室 Mathematics & Bi运算
13
连续函数的四则运算法则：定理 1.设函数 f (x) 和 g(x) 在点 x0 处是连续的，则函数 f (x) g(x) 、 f (x) g(x) 、 f (x) g(x)（ g(x0 ) 0 ）在点 x0 处都是连续的.
x 1为可去间断点 .
o1 x
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x, x 1
(4)
y
f
(x)
1 2
,
x 1
显然 lim f (x) 1 f (1)
x1
x 1为其可去间断点 .
(5)
y
f
(x)
x 1 0
, ,
x0 x0
x 1 , x 0
f (0 ) 1,
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3
一、连续函数的概念
例 1．肿瘤的体积是生长时间的函数，体积的生长速度很快，但在短短的一小段时间里，肿瘤的体积的变化是微小的。右图是皮下瘤和原位瘤体积生长曲线.
肿瘤体积 (mm3 )
1800 1600 1400 1200 1000
800 600 400 200
0
皮下瘤原位瘤
7
14 21 28 35 42
时间t
肿瘤体积随时间的变化
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4
定义 1.当变量 u 从 u1变到 u2 时，称差值 u2 u1
为变量 u 的增量 (increment) ，记作 u . 即
单侧连续性：若 f (x) 在点 x0 处的左（右）极限 f (x0 ) （ f (x0 ) ）存在且 f (x0 ) f (x0 ) （ f (x0 ) ），则称 f (x) 在点 x0 处左（右）连续.
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对自变量的增量
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5
定义
2.若当
x
0 时，
y
是无穷小，即
lim y
x0
0
，
则称函数 y f (x) 在点 x0 处是连续的(continuous).
定义
3.
若
lim
xx0
f (x)
f (x0 ) ，则称函数 y
f (x) 在点
x0 处是连续的.
第二章一元函数的极限及其连续性
第一节函数第二节函数的极限第三节函数的连续性
数学与生物信息学教研室 Mathematics & Bioinformatics Group
2020年9月5日星期六
2
第二节函数的连续性
一、连续函数的概念二、函数的间断点三、连续函数的运算四、闭区间上连续函数的性质

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