6-3多元函数的连续性

高等数学中的多元函数及解题方法多元函数是高等数学中的重要概念，它可以用来描述现实生活中各种事物的数学模型。

多元函数是指有两个或两个以上自变量的函数，通常用符号f(x,y,z...)表示。

在解题过程中，我们需要掌握多元函数的性质和解题方法，下面将详细介绍。

一、多元函数的性质1. 定义域和值域多元函数的定义域是自变量可以取值的范围，值域是函数的取值范围。

比如，一个函数f(x,y)=x^2+y^2的定义域是全平面，值域为非负实数。

2. 偏导数多元函数的偏导数是指在函数中，除了求解关于本变量的导数外，其余自变量都视为常数而求出的导数。

如f(x,y)=x^2y^3,其中对x求偏导数，得到f_x(x,y)=2xy^3，对y求偏导数，得到f_y(x,y)=3x^2y^2。

3. 连续性与可导性多元函数在一定条件下是可导的，也有时可能不可导。

对于连续函数来说，它们都是可导的，而像分段定义的函数等非连续函数则可能不可导。

4. 极值与最值多元函数在取极值或最值时，需要求偏导数并令其为0来解方程组，从而求出临界点，再进行分类讨论。

其中，当一阶偏导数都为0时，需要继续求解二阶偏导数，看是否为正或负，以确定是极大值点还是极小值点。

二、多元函数的解题方法1. 隐函数求导法隐函数求导法是多元函数求导的重要方法。

对于f(x,y)=0这样的方程组，我们需要对其做一个导数，所以可以通过隐函数求导法来求解。

具体来说，我们需要对方程组两边同时求导，得到（∂y/∂x）=-(∂f/∂x)/(∂f/∂y)，从而得到y关于x的导数式子。

2. 幂级数展开法多元函数幂级数展开法是指在求解某些多元函数的极值时，可以用Taylor级数的展开来进行分析。

首先通过求偏导数得到一阶导数，再求出二阶与三阶导数。

最后利用泰勒公式进行求解，进而得出极值。

3. 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是求多元函数的最值或最优解的一个重要方法。

对于有约束条件的多元函数，我们需要用拉格朗日乘子来进行求解。

多元函数的极限和连续性在高等数学中，多元函数的极限和连续性是比较基础的概念，对于学习后续的微积分、偏微分方程等内容都有重要的意义，因此本文将从多元函数极限和连续性的定义、求解及其应用等方面进行探讨和阐述。

一、多元函数的极限和连续性的定义在一元函数中，极限的概念是比较容易理解和推广的，而在多元函数中，由于独立变量的个数增加，问题变得更加复杂。

因此，我们需要重新定义多元函数的极限。

1. 多元函数的极限定义设$f(\boldsymbol{x})$是定义在某点$\boldsymbol{x_0}=(x_0,y_0, z_0, ...)$的某一邻域内的多元函数，$\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$是任一常数向量，那么当对于任意$\epsilon>0$，都存在$\delta>0$，使得当$0<\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_0}\Vert<\delta$时，都有$\vert f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x_0}+\boldsymbol{\alpha})\vert<\epsilon$成立，则称$\boldsymbol{x_0}$是$f(\boldsymbol{x})$的一个极限点，记作$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x_0}+\boldsym bol{\alpha})$。

可以看出，多元函数的极限与一元函数的极限相似，但是需要考虑的变量更多。

在多元函数中，只有当$\boldsymbol{x}$从任意方向趋近于$\boldsymbol{x_0}$时，$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})$才存在。

浅析多元函数的连续及可微摘要：在学习多元函数以前，我们对于一元函数的认识都是非常熟悉的，对一元函数连续、可微之间的关系也都非常清楚.而多元函数是一元函数的推广，它具有比一元函数更复杂的性质.就一般的二元函数来说，学习数学分析之后，我们知道当二元函数的两个偏导数都连续时，函数可微.首先证明了当二元函数的一个偏导数存在，另一个偏导数连续时，函数可微.然后考虑了一般的多元函数的情形，得到了当多元函数的某个偏导数连续，而其余偏导数存在时，函数可微.由此可见可微性与偏导存在性间的关系是复杂的.本文通过具体实例对多元微分学中的几个重要概念间的进行分析讨论，主要研究二元函数的连续性，偏导存在性，可微性等概念以及它们之间因果关系.在了解本文之后，读者会对多元函数有更深刻的认识！关键词：可微; 偏导数; 连续目录1引言 (1)2多元函数的连续、偏导数及可微........................... ... (1)2.1多元函数的连续性 (1)2.2 多元函数的偏导数 (3)2.3多元函数的可微性 (4)2.4多元函数连续性、偏导数存在性、及可微间的关系 (7)2.4.1二元函数连续性与偏导存在性间的关系 (7)2.4.2二元函数的可微性与偏导存在性间的关系 (8)2.4.3二元函数的连续性与可微性间的关系 (10)3小结.................................... .. (11)参考文献 (12)致谢辞 (13)1 绪论在中学时，我们着重学习了一元函数，对于函数()y f x =在0x 极限存在、连续、可微，这三个概念的关系是很清楚的.比如说：可微一定连续，但连续不一定可微，连续一定有极限，但有极限不一定连续等一些性质.简单表示为：可微⇒连续⇒极限存在(且不可逆).在什么条件下可逆，我们也都曾经学习过.对于多元函数而言，主要是讲二元函数，它既不同于一元函数有可导与可微的等价关系，也没有一元函数的“可导必连续”的关系.但对于二元函数的可微性，是可以证明的.从二元函数的一些性质中，我们可以看到：若二元函数(,)z f x y =在点0p (0x ,0y )可微，则函数(,)f x y 在点0p （0x ，0y ） 连续，偏导存在；若二元函数(,)z f x y =的两个偏导数'x f （x,y ）与'y f (x,y)在点0p （0x ，0y ）连续，则函数(,)f x y 在0p （0x ，0y ）可微.因此对于函数的连续、偏导存在、可微、偏导连续，有下列蕴涵关系：偏导连续⇒可微⇒(连续，偏导存在);它们反方向结论不成立.当然，其可逆也是需要一定条件的.本文主要是就他们之间的关系作简单的分析.大家都知道，多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也有某些差异，而且情况也更复杂一些.在我们研究多元函数的连续、偏导、可微之间的相互关系时，需要注意许多方面的问题.下面我们分别从多元函数的可微性、偏导存在性、连续性，进而到它们之间的关系进行具体的探讨.2多元函数的连续、偏导数及可微性2.1 多元函数的连续性一个一元函数若在某点存在左导数和右导数，则这个一元函数必在这点连续.但对于二元函数(,)f x y 来说，即使它在某点000(,)p x y 既存在关于x 的偏导数00(,)x f x y ，又存在关于y 的偏导数00(,)y f x y ，(,)f x y 也未必在000(,)p x y 连续.甚至，即使在000(,)p x y 的某邻域0()U p 存在偏导数(,)x f x y （或(,)y f x y ），而且(,)x f x y （或(,)y f x y ）在点000(,)p x y 连续，也不能保证(,)f x y 在000(,)p x y 连续.如函数(,)f x y =21sin ,00,0x y y y ⎧⎛⎫+≠⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎪=⎩关于具体验算步骤不难得出.不过，我们却有如下的定理.定理1 设函数(,)f x y 在点000(,)p x y 的某邻域0()U p 内有定义，若0(,)f x y 作为y 的一元函数在点y=0y 连续，(,)x f x y 在0()U p 内有界，则(,)f x y 在点000(,)p x y 连续.证明 任取00(,)x x y y ++ 0()U p ∈，则0000(,)(,)f x x y y f x y ++-00000000(,)(,)(,)(,)f x x y y f x y y f x y y f x y =++-+++- （1） 由于(,)x f x y 在0()U p 存在，故对于取定的0y y + ，0(,)f x y y + 作为x 的一元函数在以0x 和0x x + 为端点的闭区间上可导，从而据一元函数微分学中的Lagrange 中值定理，存在(0,1)θ∈，使0000(,)(,)f x x y y f x y y ++-+ = 00(,)x f x x y y x θ++将它代入（1）式得0000(,)(,)f x x y y f x y ++-000000(,)(,)(,)x f x x y y x f x y y f x y θ=++++- （2） 由于00(,)x x y y θ++ 0()U p ∈，故00(,)x f x x y y θ++ 有界，因而当(,)(0,0)x y → 时，有00(,)0x f x x y y x θ++→又，据定理的条件知，0(,)f x y 在0y y =连续，故当(,)(0,0)x y → 时，又有0000(,)(,)0f x y y f x y +-→所以，由（2）知，有00000lim (,)(,)y x f x x y y f x y →→++- =0这说明(,)f x y 在00(,)x y 连续. 同理可证如下的定理定理2 设函数(,)f x y 在点000(,)p x y 的某邻域0()U p 有定义，(,)y f x y 在0()U p 内 有界，0(,)f x y 作为x 的一元函数在点0x x =连续，则(,)f x y 在点000(,)p x y 连续. 定理1和定理2可推广到更多元的情形中去.定理 3[5] 设函数12(,,,)n f x x x ⋅⋅⋅在点000012(,,,)n p x x x ⋅⋅⋅的某邻域0()U p 内有定义， 12(,,)i x n f x x x ⋅⋅⋅在0()U p 有界{}0111(1,2,),(,,,,)i i i n i n f x x x x x -+∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅作为111,,,i i n x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅的n-1元函数在点0000111(,,,)i i n x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅连续，则 12(,,,)n f x x x ⋅⋅⋅在 点000012(,,,)n p x x x ⋅⋅⋅连续. 证明 任取00001122(,,,,,)i i n n x x x x x x x x ++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+ 0()U p ∈，则 000000111(,,,,)(,,)i i n n i n f x x x x x x f x x x +⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =00011(,,,,)i i nn f x x x x x x +⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+ 00000111111(,,,,,)i i i i i n n f x x x x x x x x x --++-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+000000001111111(,,,,,)(,,,)i i i i i n n i n f x x x x x x x x x f x x x --++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅由于1(,,,i x i n f x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅）在0(U p ）内存在，故对于固定的{}0(1,2,,j j x x j n +∈⋅⋅⋅ \{}),i 0000111111(,,,,,,)i i i i i n n f x x x x x x x x x --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ 作为i x 的一元函数在以01x 和0i i x x +为端点的闭区间上可导，从而据一元微分学中的Lagrange 中值定理，存在(0,1)θ∈，使00000111111(,,,,,)i i i i i i n n f x x x x x x x x x x --+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ -00000111111(,,,,,)i i i i i nn f x x x x x x x x x --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=00000111111(,,,,,)i x i i i i i i nn i f x x x x x x x x x x x θ--+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ 由于00000111111(,,,,,)i i i i i i n n x x x x x x x x x x θ--+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ 0()U p ∈故00000111111(,,,,,)i x i i i i i i n n f x x x x x x x x x x θ--+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ 有界因而，当111(,,,,,,)(0,,0)i i i n x x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅→⋅⋅⋅ 时，00000111111(,,,,,)0i x i i i i i i n n i f x x x x x x x x x x x θ--+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+→ .又，据定理的条件知，0111(,,,,,)i i i n f x x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅作为111,,,,i i n x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅的1n -元函数在点0111(,,,,)oi i nx x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅连续，故当111(,,,,,,)(0,0,0)i i i n x x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅→⋅⋅⋅ 时，有00000111111(,,,,,)i i i i i n n f x x x x x x x x x --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ 00000111(,,,,,)0i i i nf x x x x x -+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅→ 所以，由（3）知，当111(,,,,,,)(0,0,0)i i i n x x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅→⋅⋅⋅ 时，有00000111111(,,,,,)i i i i i i n n f x x x x x x x x x x --+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ 00000111(,,,,,)0i i i n f x x x x x -+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅→ 这说明111(,,,,,,)i i i n f x x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅在点000000111(,,,,,)i i i np x x x x x -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅连续. 证毕.2.2多元函数的偏导数我们知道高等数学及数学分析教材中有：////0000(,)(,)xyyx f x y f x y =此式成立的条件为：偏导数//xy f 和//yx f 在00(,)x y 都连续.下面给出一个更若条件下二元混合偏导数求导次序无关的条件.定理4 若函数(,)f x y 在0p 00(,)x y 的某邻域内偏导数/x f ，/y f 及//yx f 存在，且//yx f 在0p 对y 连续，则偏导数//xy f 在0p 存在，且 ////0000(,)(,)xyyx f x y f x y = 证明 不妨设000(,)p x y 的邻域为 ：{}000()(,)(,),(,)U p x y x U x y y δδ=∈∈ 又设x在0x 有增量x 00(0,(,))x x x U x δ≠+∈ ，y在0y 有增量y 00(0,(,))y y y U y δ≠+∈ ，则要证极限////0000000(,)(,)(,)lim x x xyy f x y y f x y f x y y→+-= （1）存在且值为//00(,)xyf x y . 因为/x f 在0()U p 存在，所以/0000000(,)(,)(,)limx x f x x y y f x y y f x y y x→++-++=及 /0000000(,)(,)(,)limx x f x x y f x y f x y x→+-=都存在，将其代入（1）式右端得//00(,)xy f x y 00lim limy x →→= [][]00000000(,)(,)(,)(,)f x x y y f x y y f x x y f x y y x++-+-+- （2）作辅助函数 (,)(,)(,)x y f x x y f x y ϕ=+-因为/y f 在0()U p 存在，所以///(,)(,)(,)yy y x y f x x y f x y ϕ=+- 在0()U p 存在，故对函数0(,)x y ϕ，在以0y 和0y y + 为端点的区间上应用Lagrange 中值定理，得/000000(,)(,)(,)y x y y x y x y y y ϕϕϕθ+-=+ (01)θ<<而由(,)x y ϕ的构造可知，上式即[]0000(,)(,)f x x y y f x y y ++-+ []0000(,)(,)f x x y f x y -+-//0000(,)(,)y y f x x y y f x y y θθ⎡⎤=++-+⎣⎦ y (01)θ<<将其代入（2）式右端得//0000//0000(,)(,)(,)lim lim y y xy y x f x x y y f x y y y f x y y xθθ→→⎡⎤++-+⎣⎦=//000000(,)(,)lim limy y y x f x x y y f x y y xθθ→→++-+= (0)y ≠又因为//yx f 在0()U p 存在，所以//00000(,)(,)limy y x f x x y y f x y y xθθ→++-+ //00(,)yx f x y y θ=+//////0000000(,)lim (,)(,)xy yx yx y f x y f x y y f x y θ→=+= （//yx f 在0p 对y 连续）定理得证.2.3 多元函数的可微性考察函数的可微性时，如果知道偏导数连续，则函数一定可微.但是偏导数连续性条件常常不满足，或不易判断.熟知函数在点0p 可微的必要条件是各个偏导数在0p 处存在.如果函数(,)z f x y =在0p 处的全增量可表示为：z=A x+B y+()ορ则常数A 与B 一定为A=x f (0p ) B=y f (0P ) 且函数在0P 处可微.于是验证函数可微性的一个方法是检验极限：0limρ→00()()x y Z f p f p yρ-- 是否等于零,然而这先要求偏导数A=0()x f p 和B=0()y f p .有无可能不求偏导数，而设法判断可微性？例1 考虑函数Z=()()22221()sin ,0,00,,0,0x y x y x y x y ⎧+≠⎪+⎪⎨⎪⎪=⎩在（0，0）处的可微性.由 Z =22221()()sin()()x y x y ⎡⎤+⎣⎦+ 知22221limlim ()()sin0()()Zx y x y ρρρ→→=+=+ 能否判定此函数在（0，0）可微？事实上，上式极限等价于()Z o ρ= 或写成00()Z x y o ρ=++ 由全微分定义即知此函数在（0,0）可微，(0,0)(0,0)0x y f f ==且(0,0)dz =0这个例子启示我们有可能通过考察极限0limZρρ→ 判断某些函数的可微性.我们可以证明如下的定理定理5[2] 设n 元函数()z f p =在0p 的某个邻域内有定义，且极限0lim Zρρ→ 存在，记为α(1) 若0α≠，则函数()z f p =在0p 处不可微；(2) 若α=0，则函数在0p 处可微且00dz p =，其中221()()n x x ρ=+⋅⋅⋅+ . 我们以二元函数为例证明.证明（1）反证.设函数(,)z f x y =在000(,)p x y =处可微，则()Z A x B y o ρ=++由0lim0zραρ→=≠ 及上式可得220A B +≠ 考察等式()A xB yZo ρρρρ+=-两边的极限.令cos ,sin ,02x y ρθρθθπ==≤< ，则 左=0limlim(cos sin )A x B yA B ρρθθρ→→+=+ 极限不存在 （220A B +≠）右=0lim0Zραρ→=≠ 矛盾.故函数(,)z f x y =在0p 处不可微.（2）若0lim0Zρρ→= 即()Z o ρ= 则有 00()Z x y o ρ=++故z=f(x,y)在0p 处可微.且00dz p = 这时有0000(,)(,)0x y f x y f x y == 需要说明的是，0limZρρ→ 不存在时，函数()z f p =在0p 点的可微性不确定.我们熟知如果一个多元函数的所有偏导数在某一点都存在并连续，则它一定在该点可微.那么是不是非得满足这一条件才可微呢？以下我们介绍一个较弱条件小关于多元函数可微的定理.定理6[3] 若n+1元函数1(,,)n f x x y ⋅⋅⋅关于y 的偏导数对n+1个变量连续，关于1,n x x ⋅⋅⋅可微（即把1,(,)n f x x y ⋅⋅⋅中的y 看成常数后可微），则n+1元函数1,(,)n f x x y ⋅⋅⋅可微.证明 因为1,(,)n f x x y ⋅⋅⋅关于1,n x x ⋅⋅⋅可微，所以1//111(,,)(,,)n x n x n n f a a b x f a a b x ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 1111(,...,)(,...,)()n n n f a x a x b f a a b ορ++-+ （1） 其中2211()()n x x ρ=+⋅⋅⋅ 有因为1(,,)n f x x y ⋅⋅⋅关于y 有连续的偏导数，有Lagrange 中值定理，在b 与b+y 之间存在ζ满足/11(,,)y n n f a x a x y ζ+⋅⋅⋅+=1111(,,)(,,)n n n n f a x a x b y f a x a x b +⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+由连续性有//1110lim (,)(,,)y n n y n f a x a x f a a b ρζ→+⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅其中2221()()()n x x y ρ=+⋅⋅⋅++ ，所以//111(,,)(,,)()y n y n n f a a b y f a x a x y o ζρ⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++=1111(,,)(,,)()n n n n f a x a x b y f a x a x b o ρ+⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅++ （2）（1）+（2）得1///1111(,,)(,,)(,,)n x n x n n y n f a a b x f a a b x f a a b y ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=1111(,,)(,,)()()n n n f a x a x b y f a a b o o ρρ+⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅++因为10ρρ≤≤，所以1()()o o ρρ=，即1(,,)n f x x y ⋅⋅⋅可微.推论 若n(n ≥2)元函数1(,,)n f x x ⋅⋅⋅的偏导数存在，且至多有一个偏导不连续，则1(,,)n f x x ⋅⋅⋅可微.证明 对n 作数学归纳.当n=2时，不妨设2/x f 连续，而由一元函数可导与可微的关系知12(,)f x x 关于1x 可微，由定理12(,)f x x 可微.设n=k 时结论成立，则当n=k+1时，不妨设11(,,)k k f x x x +⋅⋅⋅关于1k x +有连续偏导数，此时1//,k x x f f ⋅⋅⋅仍最多有一个不连续，由假设11(,,)k k f x x x +⋅⋅⋅关于1,k x x ⋅⋅⋅可微.所以11(,,)k k f x x x +⋅⋅⋅可微.2.4 多元函数连续性、偏导数存在性、及可微间的关系多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也有些差异，这些差异主要是由多元函数的“多元”而产生的.对于多元函数，我们着重讨论二元函数，在掌握了二元函数的有关理论和研究方法之后，在将它推广到一般的多元函数中去.本文将通过具体实例来讨论二元函数连续性、偏导数存在性、及可微间的关系. 2.4.1 二元函数连续性与偏导存在性间的关系(1) 函数(,)f x y 在点000(,)p x y 连续，但偏导不一定存在. 例 2证明函数(,)f x y 22x y =+在点(0,0)连续偏导数不存在. 证明：因为22(,)(0,0)(,)(0,0)lim (,)lim0(0,0)x y x y f x y x y f →→=+==， 故函数22(,)f x y x y =+在点(0,0)连续.由偏导数定义：2001,0(0,0)(0,0)(0,0)limlim 1,x x x x f x f x f x x x →→>⎧+-===⎨-<⎩故(0,0)x f 不存在.同理可证(0,0)y f 也不存在.(2)函数(,)f x y 在点000(,)p x y 偏导存在，但不一定连续.例 3 函数22,0(,)1,0x y xy f x y xy ⎧+=⎪=⎨⎪≠⎩在点(0,0)处(0,0)x f ，(0,0)y f 存在，但不连续证明 由偏导数定义：00(0,0)(0,0)(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x→→+-=== 同理可求得(0,0)0y f =因为22(,)(0,0)(,)(0,0)lim(,)lim ()1(0,0)0x y x y f x y x y f →→=+=≠=故函数22,0(,)1,0x y xy f x y xy ⎧+=⎪=⎨⎪≠⎩在点(0,0)处不连续.综上可见，二元函数的连续性与偏导存在性间不存在必然的联系. 2.4.2 二元函数的可微性与偏导存在性间的关系(1) 可微与偏导存在定理7 （可微的必要条件）若二元函数(,)f x y 在其定义域内一点000(,)p x y 处可微，则f 在该点关于每个自变量的偏导都存在，且000000(,)(,)(,)x y df x y f x y dx f x y dy =+注1 定理1的逆命题不成立，及二元函数(,)f x y 在点000(,)p x y 处的偏导即使存在，也不一定可微.例 4 证明函数222222,0(,)0,0xy x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+⎪=⎨⎪⎪+=⎩在原点两个偏导存在，但不可微.证明 由偏导数定义：00(0,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx →→+--=== 同理可求得(0,0)0y f =下面利用可微的定义来证明其不可微性. 用反证法.若函数f 在原点可微，则[]22(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x y x y f df f x y f f dx f dy x y⎡⎤-=++--+=⎣⎦+应是较22x y ρ=+ 的高阶无穷小量，为此考察极限220limlimf dfx y x y ρρρ→→-=+当动点(,)x y 沿直线y mx =趋于(0,0)时，则(,)(0,0)2222(,)(0,0)limlim 11x y y mxx y xy m mx y m m →=→==+++ 这一结果说明动点沿不同斜率m 的直线趋于原点时，对应的极限值也不同.因此所讨论的极限不存在.故函数f 在原点不可微.(2) 偏导连续与可微定理8 （可微的充分条件）若二元函数(,)z f x y =的偏导在点000(,)p x y 的某邻域内存在，且x f 与y f 在点000(,)p x y 处连续，则函数(,)f x y 在点000(,)p x y 可微.注2 偏导连续是函数可微的充分而非必要条件.例5 证明函数()222222221sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+⎪=⎨⎪⎪+=⎩在点（0，0）处可微，但(,)x f x y ，(,)y f x y 在（0，0）点却间断.证明 22(,),0x y x y ∀+≠，有222222121(,)2sin cos x x f x y x x y x y x y =-+++ 222222121(,)2sincos y y f x y y x y x y x y=-+++ （1）当y=x 时，极限22111lim (,)lim(2sincos )22x x x f x x x x x x→→=-不存在，则(,)x f x y 在（0，0）点间断.同理可证(,)y f x y 在（0，0）点间断.（2）因200(,0)(0,0)1(0,0)limlim sin 0x x x f x f f x x x →→-=== 200(0,)(0,0)1(0,0)limlim sin 0y y y f y f f y y y→→-=== 则(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+=2222222211(,)(0,0)()sinsin ((,):0)f f x y f x y x y x y x y ρρ=-=+=∀+≠+ 从而2221sin1limlimlim sin0f dfρρρρρρρρρ→→→-===即函数(,)f x y 在点（0，0）可微. 2.4.3二元函数的连续性与可微性间的关系类似于一元函数的连续性与可微性间的关系，即二元函数(,)f x y 在000(,)p x y 可微 则必然连续，反之不然.例6 证明函数(,)f x y xy =在点（0，0）连续，但它在点（0，0）不可微.证明 （1）因为00lim (,)lim 0(0,0)x x y y f x y xy f →→→→===故函数(,)f x y xy =在点(0,0)连续.（2）因为(0,0)(0,0)f f x y f x y =++-=(0,0)(0,0)0x y df f dx f dy =+=所以2222limlim lim x x y y x y x y f dfx yx yρρ→→→→→-==++当动点(,)x y 沿着线y x = 趋于(0,0)时，有221lim 02x y x y x y →→=≠+即0lim0f dfρρ→-≠ ，故(,)f x y 在原点(0,0)不可微.综上所述二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系如图所示：3 小结对于多元函数的连续性，偏导存在性，可微性等概念以及它们之间因果关系的研究，是多元微分学中的一个难点.本文在分别给出了一系列关于多元函数可微、可偏导，可连续的定理之后，主要以二元函数为例，通过具体实例对多元微分学中的几个重要概念间的关系进行了一些探讨.和一元微分学相比，尽管多元微分学有许多和一元微分学情形相似，但一元函数到多元函数确有不少质的飞跃，而从二元到三元以上的函数，则只有技巧上的差别，而无本质上的不同.学习多元微分学就要紧紧抓住这两个特点，既看到它们的相同之处，又要注意不同之点.偏导连续可微连续 偏导存在参考文献：[1] 同济大学应用数学系，高等数学.（第五版，下册）[M] 北京：高等教育出版社，2002，6.[2] 刘波,李晓楠.关于多元函数可微性的一个注记[J]高等数学研究，2008.3：36—38.[3] 汪明瑾 . 一个关于多元函数可微的定理[J] 高等数学研究，2001.3：8.[4] 李晓芬 . 关于混合偏导求导次序无关的条件[J] 山西师大学报（自然科学版）1996.6：1—2.[5] 李超. 有关多元函数连续性的几个新结论[J] 韶关学院学报（自然科学版）2002.6:1－4.[6] 华东师范大学数学系.数学分析（三版）[M]北京：高等教育出版社，2004，5.[7] 张鸿,门艳红. 讨论二元函数连续性、偏导存在性、及可微性间关系[J] 哈尔滨师范大学自然科学学报，2006.1：32—34.[8] 周良金,王爱国.偏导数存在、函数连续及可微间的关系[J]高等函授学报（自然科学版），2005，10：34—40.[9] 刘玉琏，傅沛仁．数学分析讲义（三版）[M]北京：高等教育出版社，2001，2.[10] 刘玉琏，等．数学分析讲义学习辅导书（二版）[M]北京：高等教育出版社，2004，7.谢辞经过半年的忙碌和工作，本次毕业论文设计已经接近尾声，作为一个本科生的毕业论文，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有导师的督促指导，以及一起工作的同学们的支持，想要完成这个设计是难以想象的.在这里首先要感谢我的论文指导老师张璐老师.张老师平日里工作繁多，但在我做毕业设计的每个阶段，从选题到查阅资料，论文提纲的确定，中期论文的修改，后期论文格式调整等各个环节中都给予了我悉心的指导.除了敬佩张老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样，并将积极影响我今后的学习和工作，在此谨向张老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意！在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意!最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母，谢谢你们!最后，我要向在百忙之中抽时间对本文进行审阅、评议和参加本人论文答辩的各位师长表示感谢！。

多元函数连续,可导,可微之间的关系函数的概念是数学中最基本的概念之一，它是将某一变量作为自变量，唯一确定另一变量作为因变量的运算关系的数学模型。

比较常见的函数有一元函数和多元函数，一元函数只有一个自变量，多元函数有两个或两个以上的自变量。

其中，多元函数连续、可导、可微之间存在着密切的关系，因此，认识其中的关系是非常重要的，本文将介绍多元函数连续、可导、可微之间的关系，以期更好的理解这些概念的内涵。

首先，我们来讨论多元函数的连续性。

连续性是指曲线上的数据是连续的，也就是说，曲线上的数据若有偏差，它们的偏差是有限的。

总的来说，多元函数的连续性可由以下几点表述：（1）多元函数在其定义域上的值只有有限多个，不存在无限多个；（2）两个连续的多元函数在其定义域上就一定会有一个点，使得它们的值相同；（3）多元函数在可微区域上的偏导数是连续的，也就是说，它在可微区域内的偏导数也只有有限多个，不存在无限多个。

其次，我们来讨论多元函数的可导性，以及多元函数可导与可微之间的关系。

可导性是指多元函数在其定义域内存在可以求得的导数，而且可以根据多元函数的偏导数来判断该函数的凹凸性。

总的来说，可导和可微是密不可分的，也就是说具有可导性的函数必然具有可微性，反之亦然。

此外，如果多元函数的可导性得以证明，则可以说此多元函数的连续性也得以证明。

最后，我们来看多元函数的可微性，它是指函数在可微区域内可以求得它的偏导数，而在可微区域外则不能求得它的偏导数。

多元函数的可微性是一个非常重要的概念，在证明某些函数的连续性或可导性时，可微性是一个非常重要的前提条件。

综上所述，多元函数的连续性、可导性和可微性之间存在着密切的关系，也就是说，只有在多元函数连续且可导的前提下，它才有可能具备可微性，而可微性又是该函数的连续性和可导性的前提条件。

因此，认识这三者之间的关系，对于更好的理解多元函数连续、可导和可微十分必要。

多元函数的连续性0(),.n D R f p D p D ∈设为的非空子集,是定义在上的函数定义16.2.60()(),f p f p ε-<0().f p p 则称函数在点连续00,0,(,),p U p D εδδ∀>∃>∀∈⋂若有00(1),,().p D f p p 由定义可知当是的孤立点时函数必在点连续000,()lim ()p p p D f p p f p →当是的聚点时函数在点连续的充分必要条件是存在注00()lim ()=().p p D f p f p →关于集合且2000(2),(,)D R p x y =当为的非空子集时可用的方形邻域来叙述0().f p p 函数在点连续的定义00(),()f p p p f p 若函数在点不连续则称是函数的间断点.0(),.nD R f p D p D ∈设为的非空子集,是定义在上的函数定理16.2.400(){},k f p p D p p 则函数在点连续的充要条件是:对中任意收敛到的点列均有0lim ()=().k k f p f p →∞证明:必要性0()(),f p f p ε-<0(),f p p 若函数在点连续00,0,(,),p U p D εδδ∀>∃>∀∈⋂则有0{},k D p p 对中任意收敛到的点列0,,(,).k N N k N p U p D δ+∃∈∀>∈⋂有,从而由上式有0()().k f p f p ε-<因此0lim ()=().k k f p f p →∞充分性0(),f p p 假若函数在点不连续00()().f p f p ε'-≥0{},k D p p 由此可得中收敛到的点列000,0,(,),p U p D εδδ'∃>∀>∃∈⋂则有0().f p p 因此函数在点连续1,,,k k N kδ+∈=特别地对每一令00()().k f p f p ε-≥0(,),k k p U p D δ∈⋂∃则由上式知,有{}0(()),.k f p f p 但对应的数列却不收敛于这与条件相矛盾().nD R f p D 设为的非空子集,函数在上有定义()f p D 若在上的每容易证明下面的定理.定理16.2.50()(),f p g p p 若函数与在点连续则函数0()()(),()(),()(),(()0)()f p f pg p f p g p f p g p g p g p +-⋅≠0.p 在点也都连续,()f p D 一点都连续则称函数在上连续.定理16.2.600(,),(,)(,),D u x y v x y x y ϕψ==若定义在上的二元函数在点连续00((,),)(,)U u v r f u v 又若定义在上的二元函数00((,),(,))(,)f x y x y x y ϕψ则复合函数在点也连续.证明:00(,)(,).f u v f u v ε-<000,0,(,){(,):,},2r u v u v u u v v εδδδ∀>∃<<∀∈-<-<则有0000((,),)(,)(,),U u v r f u v u v 由上的二元函数在点连续000000(,),(,).u x y v x y ϕψ==设00(,),u v 在点连续00000000(,),(,)(,),(,),(,),u x y v x y x y u x y v x y ϕψϕϕ====又由在点连续000,0,(,){(,):,},x y x y x x y y δηηη>∃>∀∈-<-<对以上的有000(,)(,)(,),x y x y x y u ϕϕϕδ-=-<000(,)(,)(,).x y x y x y v ψψψδ-=-<,于是有0000((,),(,))((,),(,)).f x y x y f x y x y ϕψϕψε-<00,((,),(,))(,)f x y x y x y ϕψ因此复合函数在点连续.定理16.2.700000(,)(,),(,).D u x y x y u x y ϕϕ==若定义在上的二元函数在点连续000(),((,))(,)f u u f x y x y ϕ又若一元函数在点连续则复合函数在点也连续.下面三个定理的证明比较简单,证明略去.定理16.2.8000()(1,2,,),()(1,2,,).i i i x t i n t x x t i n === 若一元函数在点连续设000000121212((,,),)(,,,)(,,),n n n U x x x r n f x x x x x x 又若定义在上的元函数在点连续120((),(),,())n f x t x t x t t 则复合函数在点也连续.定理16.2.9(保序性)000()()(()),n f p p D f p A f p A ∈><若元函数在点连续且00,(,),()(()).p U p D f p A f p A δδ∃>∀∈⋂><则有注(),(),x y ϕψ一元函数均可看成是特殊的二元函数我们可设(,)(),;F x y x y R ϕ=∈(,)(),.G x y y x R ψ=∈0(),x x ϕ若在点连续0,y R ∀∈00(,)()(,).F x y x x y ϕ=即在点连续则0000000lim (,)lim ()()(,),x x x x y y y y F x y x x F x y ϕϕ→→→→===0000(),,(,)()(,).y y x R G x y y x y ψψ∀∈=同理可证,若在点连续则在点连续。