巧用二次函数探索隐蔽规律.doc

二次函数专项知识分析知识能力目标：1、经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系。

2、能用表格、表达式、图象表示变量之间的二次函数关系，提高有条理的思考和语言表达能力，能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系。

3、会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性质的经验。

4、能根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。

5、理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。

考点一二次函数的图象和性质2+bx+c(a≠0，其中a、b1、二次函数的定义和知识点：形如y=ax、c是常数)的函数为二次函数。

（1）、a决定抛物线的开口方向和形状大小，当a＞0时，开口向上，当a＜0时开口向下；︱a ︱的值越大，开口就越小；当b=0时，抛物线的轴对称是Y轴；当c=0时，抛物线经过原点；当b和c同时为0时，其顶点就是原点。

2??b?b4ac2，???对称轴方程是直（a≠0）的顶点坐标是，y=ax（2）、抛物线+bx+c??aa42??b?，注意：对称轴是由a和b决定的，与c 无关，线x=a和b同号时，对称轴在Y2a轴的左边，a和b异号时，对称轴在Y轴的右边，简称“同左异右”。

2+bx+c（a≠0）与Y轴的交点坐标为（y=ax0，c）；求与X轴的两个交点3（）、抛物线2+bx+c=0的方程，得出的x的解就是与xax坐标的方法是令y=0，然后解关于轴的交点的横坐标。

这两个交点关于抛物线的对称轴对称。

2、二次函数的图象和性质。

2+bx+c（a≠0y=ax二次函数）的图象是一条抛物线，a决定抛物线的开口方向。

b?时，y随＞＞0时，抛物线的开口向上，图象有最低点；函数有最小值；且x x当a2ab?时， y随x的增大而减小；当a＜0时，当的增大而增大；x＜抛物线的开口向下，2abb??时，x＜＞x时，y随的增大而减小；当图象有最高点，函数有最大值，且x2a2a y随x的增大而增大。

初中数学教案二次函数的性质与变化规律一、二次函数的定义和基本性质二次函数是指形如 y = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是实数且a ≠ 0。

这里我们将探讨二次函数的一些基本性质和变化规律。

1. 函数图像二次函数的图像一般为抛物线，开口的方向取决于 a 的正负。

当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。

2. 零点二次函数的零点对应于方程 y = ax^2 + bx + c 的根。

利用求根公式可以求得零点的坐标。

若 b^2 - 4ac > 0，则函数有两个不相等的实根；若 b^2 - 4ac = 0，则函数有一个实根；若 b^2 - 4ac < 0，则函数无实根。

3. 对称轴对称轴是指二次函数抛物线的中心线，可以通过求抛物线的对称轴方程来得到。

对称轴的方程为 x = -b / (2a)，它垂直于 x 轴，将抛物线分成两个对称的部分。

二、二次函数的变化规律1. 参数 a 的变化当a > 0 时，二次函数的图像开口向上，当a 的绝对值越大时，抛物线越窄；当 a < 0 时，二次函数的图像开口向下，当 a 的绝对值越大时，抛物线越宽。

不论 a 是正数还是负数，当 a 的值接近于 0 时，函数的图像会变得平缓。

2. 参数 b 的变化参数 b 决定了抛物线的位置。

当 b > 0 时，抛物线的顶点在 y轴右侧；当 b < 0 时，抛物线的顶点在 y 轴左侧。

当 b 的绝对值越大时，抛物线的顶点越远离 y 轴。

3. 参数 c 的变化参数 c 决定了抛物线与 y 轴的交点和函数图像与 x 轴的交点。

当 c > 0 时，抛物线与 y 轴的交点在原点的上方；当 c < 0 时，抛物线与 y 轴的交点在原点的下方。

当 c 的绝对值越大时，抛物线与 y 轴的交点越远离原点，同时函数图像与 x 轴的交点也会相应改变。

{{§2.6 利用二次函数找规律班级：____________ 姓名：______________一、【学习指南】1、完成新知探究，了解用二次函数找规律的思想与方法2、完成尝试练习，会运用二次函数法找规律，并确定表达式 二、【复习回顾】已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象经过点（1，1），（2，3），（3，7），则该二次函数的表达式为_____________________三、【新知探究】如图，你知道下面每个图形中各有多少个圆圈吗？第6个图形中应该有_______个小圆圈完成下表：解析：因为：圆圈总数与图形编号存在一定关系，则可假设它们之间是二次函数关系所以：设第n 个图形中的圆圈数为c bn an y ++=2 即：当n=1时，y=______当n=2时，y=______ 当n=3时，y=______故：该二次函数图象上有三个点：(____，_____) 、(____，_____) 、(____，_____) 将以上三个点的坐标代入c bn an y ++=2中，得： __________________ a =_____ __________________ 解得： b =_____ __________________ c =______四、【尝试练习】1、如图：按照下列规律排下去，第n 个图形中有__________个小正方形n=1n=2n=3……五、【当堂检测】1、有一组数1，5，9，13……，第5个数是______，第10个数是_______，第n 个数是__________2、用同样大小的正方形按下列规律摆放，将重叠部分涂上颜色，下面的图案中，第n 个图案中正方形的个数是_______.如图：完成下表：3、把正方体摆放成如图的形状，若从上至下依次为第1层，第2层，第3层，……，则第n 层有＿＿＿个正方体.。

利用二次函数探求规律作者：李萍刘华伟来源：《新课程学习·下》2013年第08期近日，听了北师版九年级下册二次函数的一节复习课，内容是教科书84页至85页的19～21题。

19题：（1）如下图，第n个图形中有多少个小正方形？你是如何计算的？（2）求1+3，1+3+5，1+3+5+7，1+3+5+7+9，…，1+3+5+7+9+…+（2n-1）20题：（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？以此类推第6个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？（2）完成下表：边上的小圆圈数12345每个图中小圆圈的总数（3）如果用n表示等边三角形边上的小圆圈数，m表示这个三角形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？21题：（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？以此类推第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？（2）完成下表：边上的小圆圈数12345每个图中小圆圈的总数。

（3）如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n 的关系是什么？这是几道根据图形摆放特点探求规律的题。

授课教师的基本功较扎实，语言简练，表达清晰。

通过观察图形摆放规律，19题和20题解决得比较轻松，但解答21题时，再通过观察图形摆放规律得出变量m和n的关系，不但让中等生望而生畏，就连一些平时数学学得不错的优秀生也眉头紧皱，大伤脑筋，反应较慢的学生更不知从何下手。

授课教师见此情景，引导学生这样观察，那样思考，也只有少数学生明白了其中的“奥妙”，而大多数学生仍是一头雾水。

课后，我和授课老师交流了一下，在解答21题时，我们能不能换一种思路，利用二次函数探求这样的规律题。

为了降低难度，在学生完成（2）填表后，再设置一个问题（3），根据上表的数据，把n作为横坐标，把m作为纵坐标，在平面坐标系中描出相应的各点（n，m），其中1≤n≤5，猜一猜上述各点会在某一函数的图象上吗？分析：根据表格提供的数据，猜想m是n 的二次函数，设m=an2+bn+c，则它的图象经过（1，1）（2，7）（3，19），所以1=a+b+c 7=4a+2b+c19=9a+3b+ca=3 b=-3c=1m=3n -3n+1，检验，当n=4时，m=37，n=5时，m=61，符合题意.19题和20题也可以用此法。

高中数学函数教案：探索二次函数的图像和性质探索二次函数的图像和性质一、引言二次函数是高中数学中非常重要的一个概念。

掌握二次函数的图像和性质，对于理解函数的变化规律以及应用到实际问题中都具有重要意义。

本教案将通过探索的方式引导学生深入了解二次函数的图像和性质。

二、二次函数的定义与特点1. 二次函数的定义：二次函数是形如y=ax²+bx+c(a ≠ 0)的函数，其中a、b和c 为实数，且a不等于零。

2. 二次函数图像关键特点：a) 抛物线方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

b) 顶点坐标：抛物线的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。

c) 对称轴方程：对称轴方程为x=-b/2a。

d) 判别式D=b²-4ac用来判断方程ax²+bx+c=0的根（零点）情况：- 当D>0时，方程有两个不相等实根；- 当D=0时，方程有两个相等实根；- 当D<0时，方程无实根。

三、通过观察图像探索二次函数的性质1. 开口方向与a的关系我们可以通过观察图像来探索二次函数开口的方向与参数a的关系。

逐步变化a的值，观察抛物线的开口情况。

a) 当a>0时，抛物线开口向上；b) 当a<0时，抛物线开口向下。

2. 顶点坐标与对称轴方程之间的关系我们知道，顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，而对称轴方程为x=-b/2a。

通过比较可以发现：a) 对称轴上的横坐标就是顶点横坐标；b) 对称轴上任意一点的纵坐标与顶点纵坐标相等。

3. 判别式D与根（零点）之间的关系探究判别式D与方程ax²+bx+c=0的根（零点）之间的关系，可以有效区分无实根、有一个实根和有两个不相等实根这三种情况。

a) 当D>0时，方程有两个不相等实根；b) 当D=0时，方程有两个相等实根；c) 当D<0时，方程无实根。

四、示例分析与练习1. 实例分析：以二次函数y=x²-2x+1为例，探究其图像和性质。

高中数学教案：探究二次函数的图像变化规律一、引言二次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握二次函数的图像变化规律对于学生理解数学概念和解决实际问题具有重要意义。

本教案的目标是帮助学生通过探究二次函数的图像变化规律，加深对二次函数的认识并培养学生的数学思维能力。

二、二次函数的定义和基本性质1. 二次函数的定义：二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c 都是实数而且a≠0。

2. 二次函数的图像：二次函数的图像是一条平滑的曲线，称为抛物线。

当a > 0时，抛物线开口朝上；当a < 0时，抛物线开口朝下。

3. 二次函数的顶点：二次函数的图像上取得最小值或最大值的点，称为顶点。

顶点的横坐标为-x₀ = -b/2a，纵坐标为y₀ = f(-b/2a)。

4. 二次函数的对称轴：二次函数的图像关于直线x = -b/2a对称。

三、二次函数的图像变化规律1. 根据a的正负判断开口方向：当a > 0时，抛物线开口朝上；当a < 0时，抛物线开口朝下。

2. 根据a的绝对值大小判断抛物线的狭长程度：当|a| > 1时，抛物线狭长；当|a| < 1时，抛物线宽短。

3. 根据a的正负和顶点的纵坐标判断抛物线的最值：当a > 0时，抛物线的最小值为y₀；当a < 0时，抛物线的最大值为y₀。

4. 根据a对抛物线的平移效果：当a不等于1时，抛物线在y方向上伸缩；当a的绝对值大于1时，抛物线在x方向上压缩。

5. 根据对称轴的位置判断抛物线的平移：横坐标平移-x₀的单位，纵坐标平移y₀的单位。

四、教学步骤1. 导入：通过展示一幅抛物线图像引起学生的兴趣，向学生提出如下问题：你认为什么因素影响了抛物线的图像呢？2. 基础知识巩固：复习二次函数的定义和基本性质，确保学生对基础知识掌握程度。

3. 探究活动：将学生分成小组，每个小组探究一个因素对二次函数图像的影响。

探究二次函数的最小值性质，总结二次函数的规则。

探究二次函数的最小值性质，总结二次函数的规则二次函数是数学中重要的一类函数，它的图像呈现出抛物线的形状。

通过研究二次函数的最小值性质，我们可以更好地理解并应用这一函数。

一、最小值性质1. 在一般形式的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c 中，a、b、c 分别代表二次函数的系数。

其中，a 是二次项的系数，b 是一次项的系数，c 是常数项。

2. 当二次系数 a > 0 时，二次函数的图像开口向上，呈现出 U 形。

此时，函数图像在顶点处达到最小值。

3. 最小值的横坐标可以由公式 x = -b / (2a) 求得，即通过计算顶点的横坐标。

最小值的纵坐标可以通过将横坐标代入二次函数的表达式来求得。

4. 最小值的性质：当 a > 0 时，二次函数的最小值是一个真实存在的值；当 a = 0 时，二次函数的最小值不存在。

二、总结二次函数的规则1. 最高次为二次的代数函数称为二次函数。

2. 二次函数的一般形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 为常数，且a ≠ 0。

3. 二次函数的图像为抛物线，且开口方向由 a 的正负决定。

当a > 0 时，图像开口向上；当 a < 0 时，图像开口向下。

4. 二次函数的顶点坐标为 (-b / (2a), f(-b / (2a)))，其中 b 和 a 分别为二次和一次项的系数。

5. 二次函数的对称轴为经过顶点的直线，并且它将抛物线分为两个对称的部分。

6. 二次函数的零点为方程 ax^2 + bx + c = 0 的解，即函数图像与 x 轴的交点。

以上是关于二次函数最小值性质的探究和二次函数规则的总结。

通过研究最小值的概念和二次函数的性质，我们可以更好地理解和应用这一函数。

12月22日二次函数规律总结二次函数方面的题主要考查的知识点可以归纳为：“两种方法、三大规律、一种对称”。

一、“两种方法”即：待定系数法和配方法。

很多二次函数方面的题，都用到了这两种方法，或单独一种、或两种交叉使用、或一种多次使用，1、待定系数法：主要用来求函数的解析式，所以，凡是需要求函数解析式的题，首先考虑用“待定系数法”。

①kx y =和xk y =中只有一个字母K 需要待定，所以一个点的坐标即可； ②b kx y +=中有两个字母K 和b 需要待定，所以必须两个点的坐标；③一般式c bx ax y ++=2中有三个字母a 、b 、c 需要待定，所以必须三个点的坐标，有时会给你一个或两个已知系数，那就不需要三个了，也就说：有几个字母需要待定，就需要几个点的坐标！做题的时候要看清！④顶点式()2y a x h k =-+中，当题意告诉我们顶点坐标或对称轴或最大（小）值的时候，往往解设成顶点式，所以其中的h 、k 就是已知的了，只有一个字母a 需要待定，所以一个点的坐标即可；⑤两根式))((21x x x x a y --=中，当题意告诉我们抛物线与X 轴的有两个交点时，往往解设成两根式，所以其中的1x 和2x 就是已知的了，只有一个字母a 需要待定，所以一个点的坐标即可；2、配方法:主要用来解方程、求顶点坐标、对称轴、最值等等。

①当二次项系数是+1的时候，比较简单，两三步就可！②当二次项系数不是+1的时候，一般需要五步变形，每一步都要小心、仔细！二、“三大规律”：一）“一般式规律”1、一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，2、三个系数a 、b 、c 分别决定什么：①a 决定开口方向和开口大小：a >0时，抛物线开口向上；a <0时，抛物线开口向下a 的大小决定开口的大小，a 越大开口越小；②a 和b 共同决定对称轴的位置：可以归纳为四个字“左同右异”。

二次函数的像与变化规律二次函数是高中数学中的重要概念之一。

它在各个领域都有广泛的应用，如物理学、经济学和工程学等。

本文将围绕二次函数的像与变化规律展开探讨。

1. 二次函数的基本形式二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。

其中，a决定了二次函数的开口方向，b决定了二次函数的对称轴位置，c决定了二次函数的纵坐标平移。

2. 二次函数的图像二次函数的图像通常是一个抛物线。

当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。

对称轴是一个与y轴平行的直线，可通过计算-b/2a得到。

纵坐标平移通过c的值实现，当c>0时，抛物线上移；当c<0时，抛物线下移。

3. 二次函数的顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，也是抛物线的对称轴与x轴的交点。

顶点坐标可通过计算(-b/2a, f(-b/2a))得到，其中f(-b/2a)是对应的y值。

4. 二次函数的对称性二次函数具有轴对称性。

即，抛物线关于对称轴对称。

这意味着对于抛物线上任意一点(x, y)，它与对称轴上的另一点(-x, y)关于对称轴对称。

5. 二次函数的平移变化二次函数的平移变化可以通过改变其参数值来实现。

纵向平移可通过调整c的值实现，横向平移可通过调整b的值实现。

具体来说，当c增加时，抛物线上移；当c减小时，抛物线下移。

当b增加时，抛物线向左移动；当b减小时，抛物线向右移动。

6. 二次函数的缩放变化二次函数的缩放变化可以通过改变a的值来实现。

当a的绝对值增大时，抛物线变得更加陡峭；当a的绝对值减小时，抛物线变得更加扁平。

7. 二次函数的零点二次函数的零点是指使函数值等于零的x值，也就是函数与x轴的交点。

求二次函数的零点可以通过解一元二次方程ax^2 + bx + c = 0来实现。

8. 二次函数的单调性二次函数的单调性取决于a的正负。

当a>0时，二次函数单调递增；当a<0时，二次函数单调递减。