中考专项(二次函数,找规律,阴影面积,应用题)

函数综合应用题题目分析及题目对学生的要求1.求解析式：要求学生能够根据题意建立相应坐标系，将实际问题转化成数学问题。

需要注意的是：(1) 不能忘记写自变量的取值范围(2) 在考虑自变量的取值范围时要结合它所代表的实际意义。

2. 求最值：实际生活中的最值能够指导人们进行决策，这一问要求学生能够熟练地对二次三项式进行配方，利用解析式探讨实际问题中的最值问题。

最值的求法：(1) 一次函数和反比例函数中求最值是根据函数在自变量取值范围内的增减性来确定的。

(2) 二次函数求最值是将解析式配方后，结合自变量取值范围来确定的。

3. 求范围，要求学生利用解析式求实际问题中的范围问题，主要是将函数与不等式结合起来。

推荐思路：画出不等式左右两边的图象，结合函数图象求出x的取值范围。

备选思路一：先将不等号看做等号，求出x的取值，再结合图象考虑将等号还原为不等号后x的取值范围；备选思路二：通过分类讨论或者其它方法，直接解出这个不等式。

这一问里需要注意的是在注意：最后下结论时一定要结合它的实际意义和前面所求得的自变量取值范围进行判断。

1/ 182 / 18一、求利润的最值（2010·武汉）23. (本题满分10分) 某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满。

当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。

宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。

根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元。

设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍)。

(1) 设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；(2) 设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式；(3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？解：(1) y=50-101x (0≤x ≤160，且x 是10的整数倍)。

(2) W=(50-101x)(180+x -20)= -101x 2+34x +8000； (3) W= -101x 2+34x +8000= -101(x -170)2+10890，当x<170时，W 随x 增大而增大，但0≤x ≤160，∴当x=160时，W 最大=10880，当x=160时，y=50-101x=34。

中考数学总复习《二次函数与面积问题综合》专题训练(附带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，二次函数2=+43y x x --的图像与x 轴交于A B 两点（点A 在点B 左侧） 与y 轴交于C 点．(1)直接写出A B 两点的坐标：A B ；(2)当03x <<时 y 的取值范围是 ；(3)点P 在二次函数2=+43y x x --的图像上 ABP 的面积是ABC 面积的两倍 求点P 的坐标．2．如图，二次函数23y ax bx =++的图象与x 轴交于点A B （点B 在点A 右侧）A 点坐标为()3,0- 对称轴为直线=1x - 顶点为C 连接AC BC ，．(1)求点B C 的坐标；(2)求ABC 的面积．3．已知抛物线2y ax bx c =++（a b c 为常数 0a ≠） 与x 轴交于点()3,0A - 点B 两点 与y 轴交于点()0,3C 对称轴为=1x -．(1)求抛物线的表达式；(2)M 是抛物线上的点且在第二象限 连接AM MC AC 求MAC △面积的最大值．4．如图，抛物线2y ax bx c =++的图像与x 轴交于点A 点C 与y 轴交于点B 且2,4OA OC OB ===．(1)求这个二次函数的解析式 并求出顶点D 的坐标；(2)若点M 为第一象限内抛物线上一点 求M 点坐标为多少时 BCM 的面积最大 并求出这个最大面积．5．如图，在Rt ABC △ 90ABC ∠=︒ 该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数2y ax bx c =++过(1,0)A - (0,2)B (4,0)C ．(1)求二次函数的解析式；(2)点P 为该二次函数第一象限上一点 当BCP 的面积最大时 求P 点的坐标．6．二次函数23y ax bx =++的图象与x 轴交于(2,0)A (6,0)B 两点 与y 轴交于点C 顶点为E ．(1)求点E 的坐标；(2)如图① D 是该二次函数图象的对称轴上一个动点 当BD 的垂直平分线恰好经过点C 时 求点D 的坐标；(3)如图① P 是该二次函数图象上的一个动点 连接OP 取OP 中点Q 连接QC QE CE 当CEQ 的面积为12时 求点P 的坐标．7．如图，二次函数 ²y ax bx c =++的图像与x 轴的交于点(10)A -， (30)B ， 与y 轴的交于点C 且顶点P 在直线22y x =+上．(1)求该二次函数的表达式；(2)求APC △的面积．8．将拋物线()212y x =-+平移到图中2l 的位置 且与直线1l 交于()0,1A - ()2,1B 两点．(1)抛物线2l 是由抛物线()212y x =-+向左平移______个单位 再向下平移______个单位得到的；(2)求抛物线2l 的顶点坐标；(3)动点P 在直线1l 下方的抛物线2l 上 求以点O A P B ，，，为顶点的四边形的最大面积．9．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交 A B 两点 对称轴是y 轴 顶点C 在y 轴ABM与MDE的面积的和是否为定值11．如图① 四边形ABCD 中，AD BC ∥ DC BC ⊥ 6cm AD = 8cm DC = 12cm BC =．动点M 在CB 上运动 从C 点出发到B 点 速度为每秒2cm ；动点N 在BA 上运动 从B 点出发到A 点 速度为每秒1cm ．两个动点同时出发 当其中一个点到达终点时 另一个点也随即停止 设两个点的运动时间为t （秒）．(1)当t 为何值时 BMN 是直角三角形？(2)设DMN 的面积为S 求S 与t 之间的函数关系式；(3)如图① 连接BD 是否存在某一时刻t 使MN 与BD 互相垂直？若存在 求出这时的t 值；若不存在 请说明理由．12．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax x c =-+与y 轴交于点()0,4A - 与x 轴交于点()4,0B 连接AB .把PAB的面积分成请说明理由．22:EM y k x b =+交抛物线于点G E 且121k k =- 点P 和点Q 分别为线段GE 和线段DF 的中点 求证：直线PQ 过定点 并求出这个定点的坐标．14．综合与探究如图1 抛物线212y x bx c =-++经过点(4,0)B 和(0,2)C 与x 轴的另一个交点为A 连接AC BC ．(1)求该抛物线的解析式及点A 的坐标；(2)如图1 点D 是线段AC 的中点 连接BD ．点E 是抛物线上一点 若ABE BCD S S =△△ 设点E 的横坐标为x 请求出x 的值；(3)试探究在抛物线上是否存在一点P 使得45PBO OBC ∠+∠=︒？若存在 请直接写出点P 的坐标；若不存在 请说明理由．ACO从点的三角形记为DEFPB．BCP的面积是当BCP面积最大时参考答案： 1．(1)(1,0)；(3,0)(2)31y -<≤(3)点P 坐标为(27,6)+-或(27,6)--2．(1)()10B , ()1,4C -； (2)83．(1)223y x x =--+(2)2784．(1)()219122y x =--+ 顶点D 的坐标为91,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)点M 的坐标为()2,4 BCM 面积的最大值为45．(1)抛物线的解析式为213222y x x =-++； (2)当BCP 的面积最大时 ()23P ，．6．(1)(4,)1-(2)(4,329)+ 或(4,329)-(3)(10,8)或()6,24-7．(1)223y x x =-++(2)18．(1)12 134(2)顶点坐标为15,24⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)四边形OAPB 的最大面积是215．(1)215466y x x =-++ (2)221633y x x =-+ (3)72。

中考数学总复习《二次函数中的面积问题》专题训练-附答案 学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，已知顶点为325,28M ⎛⎫ ⎪⎝⎭的抛物线过点()3,2D ，交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C 、点P 是抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在直线AD 上方时，求PAD 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．2．在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，抛物线2(0)y ax bx a =+≠过点(6,0)E ，y 的最大值为9，点A 在x 轴正半轴上，点A 向右平移2个单位得到点B ，过点A ，B 作x 轴的垂线分别交抛物线于点D ，C ，设A 的坐标为(,0)t ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若OAD △与BCE 的面积分别记作1S 和2S ，当04t <<时，求12S S +的值；(3)若以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的面积记作S ．①当04t <<时，求S 的最大值；①当3t ≥时，直接写出14S =时t 的值．4．如图，直线210y x =-分别与x 轴，y 轴交于点A 和B ，点C 为OB 的中点，抛物线2y x bx c =-++经过A ，C 两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D 是直线AB 上方的抛物线上的一点，且ABD 的面积为452． ①求点D 的坐标；①点P 为抛物线上一点，若APD 是以PD 为直角边的直角三角形，求点P 到抛物线的对称轴的距离．5．如图，在Rt ABC △，90ABC ∠=︒该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数2y ax bx c =++过(1,0)A -，(0,2)B 和(4,0)C ．(1)求二次函数的解析式；(2)点P 为该二次函数第一象限上一点，当BCP 的面积最大时，求P 点的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A -，(4,0)B 和(0,4)C 三点．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标：(2)在抛物线的对称轴上探求一点M 的坐标，使得点M 到点A 、点C 的距离之和最小；(3)在直线BC 上方的抛物线上探求一点P ，使得PBC 的面积最大，并求出PBC 的面积的最大值．7．在如图所示平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A -和()3,0B ，与y 轴交于点()0,3C -．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P 是直线BC 下方抛物线上一动点，求PBC 面积的最大值及此时点P 的坐标；(3)将该抛物线向上平移433个单位得到新的抛物线，点E 是新抛物线上一点，点F 是已知抛物线对称轴上一点，若以点B 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形，写出点E 的坐标，并把求其中一个点E 的过程写出来．8．抛物线2y ax x c =-+与x 轴交于点()4,0A -和()2,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)若点D 为第二象限内抛物线上一动点，点D 的横坐标为m ，四边形AOCD 的面积为S ．求S 关于m 的函数解析式，并求出S 的最大值．9．已知：如图，抛物线2y ax bx c =++经过原点()0,0和()()1,3,1,5A B --三点．(1)求抛物线的解析式．(2)设抛物线与x 轴的另一个交点为C ．以OC 为直径作M ，如果过抛物线上一点P 作M 的切线PD ，切点为D ，且与y 轴的正半轴交于点E ，连接MD ．已知点E 的坐标为()0,m ，求四边形EOMD 的面积．（用含m 的代数式表示）(3)延长DM 交M 于点N ，连接,ON OD ，当点P 在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得DON EOMD S S =△四边形？请求出此时点P 的坐标．10．如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点()1,0A -和点()0,5B -．(1)求该二次函数的解析式；(2)已知该函数图象的对称轴上存在一点P ，使得ABP 的周长最小，请求出点P 的坐标；(3)在抛物线上是否存在点M ，使ACM ABC SS =若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．为抛物线上一点，且ABP的面积为13．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过()4,0A -，()0,4B -和()2,0C 三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，AMB 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式(3)求出S 的最大值；14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线22(2)3y x k =--+（k 为常数）的顶点为C ，与x 轴交于点(1,0)A -和点B ；点D 在抛物线上，且位于抛物线上点A ，C 之间（不与点A ，C 重合），回答下列问题：(1)求点B 的坐标；(2)求ACB △的面积；(3)若ACD 的周长为14，则四边形ABCD 的周长为________．15．抛物线22y x x m =-++与x 轴交于点A 和点()3,0B ，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ．(1)求m 的值；(2)求BCD △的面积；(3)若点P 是抛物线上的一点，当点P 在直线BC 的上方的抛物线上运动时，PBC 的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并写出此时P 点的坐标；若不存在，请说明理由．第 11 页 共 13 页参考答案： 1．(1)213222y x x =-++ (2)PAD S ∆有最大值4，此时点P 的坐标为()13，．2．(1)抛物线的函数表达式为26y x x =-+(2)当04t <<时1216S S +=(3)①当2t =时，S 有最大值16；①3t =或 5.5t =3．（1）24y x x =-+；（2）()2520299y x =--+；（3）()44D ,或()4,7D 或()4,1D -或()1,1D -- 4．(1)265y x x =-+-(2)①()2,3D ；①0或152+或512- 5．(1)抛物线的解析式为213222y x x =-++； (2)当BCP 的面积最大时()23P ，．6．(1)234y x x =-++ 325,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)当点P 坐标为()2,6时，PBC S 最大，最大值为8．(2)PBC的面积取值最大值为点E的坐标为．(1)1y=-2第12页共13页第 13 页 共 13 页 14．(1)(5,0)(2)18(3)20 15．(1)3m =(2)3(3)PBC S 有最大值，最大值为278 315,24P ⎛⎫⎪⎝⎭。

中考数学二次函数专题复习超强整理初三——二次函数归类复一、二次函数与面积面积的求法：1.公式法：S=1/2*底*高2.分割法/拼凑法1.如何表示各图中阴影部分的面积？插入图一至图六）2.抛物线y=-x^2-2x+3与x轴交于A、B（点A在B右侧），与y轴交于点C，D为抛物线的顶点，连接BD，CD。

1）求四边形BOCD的面积。

2）求△BCD的面积。

（提示：本题中的三角形没有横向或纵向的边，可以通过添加辅助线进行转化，把你想到的思路在图中画出来，并选择其中的一种写出详细的解答过程）3.已知抛物线y=(1/2)x^2-x-4与x轴交于A、C两点，与y 轴交于点B。

1）求抛物线的顶点M的坐标和对称轴；2）求四边形ABMC的面积.4.已二次函数y=x^2-2x-3与x轴交于A、B两点（A在B 的左边），与y轴交于点C，顶点为P。

1）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法；2）求A、B、C、P的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积；3）在抛物线上（除点C外），是否存在点N，使得△NAB的面积=S△ABC，若存在，请写出点N的坐标；若不存在，请说明理由。

变式一：在抛物线的对称轴上是否存在点N，使得△NAB的面积=S△ABC，若存在直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由。

变式二：在双曲线y=3/x上是否存在点N，使得△NAB 的面积=S△ABC，若存在直接写出N的坐标；若不存在，请说明理由。

5.抛物线y=-x^2-2x+3与x轴交于A、B（点A在B右侧），与y轴交于点C，若点E为第二象限抛物线上一动点，点E运动到什么位置时，△XXX的面积最大，并求出此时点E的坐标和△XXX的最大面积．模拟题训练】1.（2015•三亚三模）如图，直线y=-x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点A（-1，1）．1）求B、C两点坐标；2）求该二次函数的关系式；二、二次函数与相似相似知识梳理】在平面直角坐标系中，二次函数常用待定系数法求解析式，解析式中的系数与函数的图像有关。

2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（面积问题）1．如图，二次函数25y ax bx =++的图象经过点(1,8)，且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点(1,0)A -，M 为抛物线的顶点．(1)求二次函数的解析式； (2)求MCB △的面积；(3)在坐标轴上是否存在点N ，使得BCN △为直角三角形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线212y x bx c =-++（b 、c 为常数）经过()4,0A 和()0,4B 两点，其顶点为C ．(1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标；(2)若点M 是拋物线上第一象限的一个动点．设ABM 的面积为S ，试求S 的最大值； (3)若抛物线222y mx mx m =-++与线段AB 有两个交点，直接写出m 的取值范围． 3．如图，抛物线22(0)y ax ax c a =-+>与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧．点A 的坐标为(1,0),3OC OA -=．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线BC 下方的抛物线上是否存在一点P ，使得PBC 的面积等于ABC 面积的三分之二？若存在，求出此时OP 的长；若不存在，请说明理由．(3)将直线AC 绕着点C 旋转45︒得到直线l ，直线l 与抛物线的交点为M （异于点C ），求M 点坐标．4．如图1，抛物线24y ax bx a =+-经过()10A -，，()04C ，两点，与x 轴交于另一点B ．(1)求抛物线和直线BC 的解析式；(2)如图2，点P 为第一象限抛物线上一点，是否存在使四边形PBOC 面积最大的点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图3，若抛物线的对称轴EF （E 为抛物线顶点）与直线BC 相交于点F ，M 为直线BC 上的任意一点，过点M 作MN EF ∥交抛物线于点N ，以E ，F ，M ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出点N 的坐标；若不能，请说明理由． 5．如图，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()2,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；(2)动点P ，Q 以相同的速度从点O 同时出发，分别在线段,OB OC 上向点B ，C 方向运动，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点E ． ①当四边形OQEP 为矩形时，求点E 的坐标；①过点E 作EM BC ⊥于点M ，连接,PM QM ，设BPM △的面积为1S ，CQM 的面积为2S ，当PE 将BCE 的面积分成1:3两部分时，请直接写出12S S 的值． 6．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴相交于A ，B 两点，抛物线的对称轴为直线=1x -，其中点A 的坐标为(3,0)-．(1)求点B 的坐标；(2)已知1a =，C 为抛物线与y 轴的交点，求抛物线的解析式； (3)若点P 在抛物线上，且4POCBOCSS=，求点P 的坐标；(4)设点Q 是线段AC 上的动点，过点Q 作QD y 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．(1)求二次函数的解析式；(2)点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，当ACP △的面积最大时，求点P 的坐标；(3)Q 是x 轴上一动点，M 是第二象限内抛物线上一点，若以A ，C ，M ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点Q 的坐标．8．如图，直线132y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线214y x bx c =-++经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标及抛物线的解析式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求四边形ABCM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90°得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围．9．如图，已知抛物线与x 轴交于()1,0A - 、()4,0B 两点，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求抛物线的解析式； (2)求直线BC 的函数解析式；(3)在抛物线上，是否存在一点P ，使PAB 的面积等于ABC 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()6,0B ，()2,0C -，与y 轴交于点A ，点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 运动到什么位置时，PAB 的面积最大？(3)过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 作PE x ∥轴交抛物线于点E ，连接DE ．是否存在点P ，使PDE △为等腰直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，直线l ：112y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点B ，C ，经过B ，C 两点的抛物线2y x bx c =++与x 轴的另一个交点为A ．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P 在直线l 下方的抛物线上，过点P 作PD ①x 轴交l 于点D ，PE ①y 轴交l 于点E ，求PD PE +的最大值；(3)若点P 在直线l 下方的抛物线上，F 为直线l 上的点，以A ，B ，P ，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，直接写出点F 的坐标；若不能，请说明理由． 12．已知顶点为()1,5A 的抛物线2y ax bx c =++经过点()5,1B ，(1)求抛物线的解析式；(2)设C ，D 分别是x 轴、y 轴上的两个动点．①当四边形ABCD 的周长最小时，在图1中作直线CD ，保留作图痕迹并直接写出直线CD 的解析式；①点()(),>0P m n m 是直线y x =上的一个动点，Q 是OP 的中点，以PQ 为斜边按图2所示构造等腰Rt PQR △．在①的条件下，记PQR 与COD △的公共部分的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求S 的最大值．13．抛物线24y x x =-与直线y x =交于原点O 和点B ， 与x 轴交于另一点A ， 顶点为D ．(1)填空： 点B 的坐标为___________， 点D 的坐标为___________．(2)如图1 ， 连结OD P ，为x 轴上的动点， 当以O D P ，，为顶点的三角形是等腰三角形时， 请直接写出点P 的坐标；(3)如图2， M 是点B 关于拋物线对称轴的对称点， Q 是拋物线上的动点， 它的横坐标为 (05)m m <<， 连结MQ BQ MQ ，，与直线OB 交于点E ． 设BEQ 和BEM △的面积分别为1S 和2S ， 设12S t s =， 试求t 关于m 的函数解析式并求出t 的最值． 14．如图，二次函数的图象经过点()10A -，，()30B ，，()03C -，，直线22y x =-与x 轴、y 轴交于点D ，E ．(1)求该二次函数的解析式(2)点M 为该二次函数图象上一动点．①若点M 在图象上的B ，C 两点之间，求DME 的面积的最大值． ①若MED EDB ∠∠=，求点M 的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -，B 两点，其对称轴直线2x =与x 轴交于点D ．(1)求该抛物线的函数表达式为______；(2)如图1，点P 为抛物线上第四象限内的一动点，连接CD ，PB ，PC ，求四边形BDCP 面积最大值和点P 此时的坐标；(3)如图2，将该抛物线向左平移得到抛物线y '，当抛物线y '经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E ，点F 为抛物线y '对称轴上的一点，点M 是平面内一点，若以点A ，E ，F ，M 为顶点的四边形是以AE 为边的菱形，请直接写出满足条件的点M 的坐标______．16．如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()21,0A m -和点()2,0B m +，与y 轴交于点C ，对称轴轴为直线=1x -．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AC 上一动点，过点P 作PQ y ∥轴，交抛物线于点Q ，以P 为圆心，PQ 为半径作P ，当P 与坐标轴相切时，求P 的半径；(3)直线()340y kx k k =++≠与抛物线交于M ，N 两点，求AMN 面积的最小值．17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于两点()1,0A -和()3,0B ，与y 轴交于点C ，抛物线上有一动点P ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连接EC ，作直线BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P 为直线BC 上方抛物线上一动点时，连接,PB PC ，当23EBC PBC S S =△△时，求点P 坐标；(3)如果抛物线的对称轴上有一动点Q ，x 轴上有一动点N ，是否存在四边形PQCN 是矩形？若存在，在横线上直接写出点N 的坐标，若不存在，请说明理由． 18．如图，直线122y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线214y x bx c=-++经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标及抛物线的解析式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求三角形ACM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90︒得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围（直接写出结果即可）．参考答案：1．(1)245y x x =-++； (2)15(3)存在，点N 的坐标为(5,0)-或(0,5)-或(0,0)．2．(1)2142y x x =-++，91,2⎛⎫⎪⎝⎭(2)S 的最大值为4 (3)2m ≥或1249m -<≤-3．(1)抛物线的解析式为2=23y x x -- (2)不存在这样的点P ， (3)M 点坐标是(45)，或315()24-，4．(1)抛物线的解析式：234y x x =-++；直线BC 的解析式为4y x =-+；(2)当()26P ，时，四边形PBOC 面积最大； (3)能，点N 的坐标为52124⎛⎫ ⎪⎝⎭，或724⎛- ⎝或724⎛- ⎝．5．(1)2142y x x =--，91,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭．(2)①(-；①1215S S =或1279S S =6．(1)(1,0) (2)223y x x =+- (3)(4,21)或()4,5- (4)947．(1)224233y x x =--+(2)3(2P -，5)2(3)(5,0)-或(1,0)-8．(1)03A （，），20B -（，），60C （，），抛物线解析式为：2134y x x =-++； (2)3a =时，四边形ABCM 面积最大，其最大值为754，此时M 的坐标为153,4⎛⎫⎪⎝⎭；(3)当3m -≤≤-33m ≤≤时，线段O A ''与抛物线只有一个公共点．9．(1)239344y x x =-++(2)334y x =-+(3)存在，点P 的坐标为：()13,3P ，23P ⎫-⎪⎪⎝⎭，33P ⎫-⎪⎪⎝⎭10．(1)21262y x x =-++(2)153,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)点P 坐标为()46，或()55．11．(1)2512y x x =-+ (2)3(3)13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或1(1,)212．(1)21119424y x x =-++(2)①4y x =-+；①当02m <≤时，218PQRSm =；当823m <≤时，27448S m m =-+-；当843m ≤≤时，21244S m m =-+；S 的最大值为：47答案第3页，共3页 13．(1)()5,5；()2,4-；(2)点P的坐标为()或()-或()4,0或()5,0； (3)()2150566t m m m =-+<<，当52m =时，t 的最大值为2524．14．(1)该二次函数的解析式是()()21323y x x x x =+-=--；(2)①DME 的面积的最大值为52；①点M的坐标为⎝⎭或()12--．15．(1)214433y x x =-- (2)PBDC S 四边形的最大值为17，此时点P 的坐标为()3,5-(3)⎛ ⎝⎭或⎛ ⎝⎭或⎛- ⎝⎭或8,⎛- ⎝⎭16．(1)223y x x =+-(2)2或4(3)817．(1)2=23y x x --(2)⎝⎭或⎝⎭ (3)存在，⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭18．(1)()0,2A ，()2,0B -，()4,0C ，211242y x x =-++ (2)2，()2,2(3)34m -≤≤-或32m -+≤。

完整版)初三数学二次函数专题训练(含标准答案)-二次函数专题训练（含答案）一、填空题1.把抛物线y=-1/2x向左平移2个单位得抛物线，接着再向下平移3个单位，得抛物线.2.函数y=-2x+x^2图象的对称轴是x=1，最大值是1.3.正方形边长为3，如果边长增加x面积就增加y=x^2+6x+9.4.二次函数y=-2x+8x-6，通过配方化为y=a(x-2)^2-2的形为.5.二次函数y=ax+c（c不为零），当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则x1与x2的关系是x1+x2=-2a/c.6.抛物线y=ax^2+bx+c当b=0时，对称轴是x=0，当a，b同号时，对称轴在y轴侧，当a，b异号时，对称轴在x=-b/2a 处.7.抛物线y=-2(x+1)^2-3开口向下，对称轴是x=-1，顶点坐标是(-1,-3).如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是x<-1.8.若a5/2a时，函数值随x的增大而减小.9.二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）当a>0时，图象的开口向上；当a<0时，图象的开口向下，顶点坐标是(-b/2a,c-b^2/4a).10.抛物线y=-2(x-2)^2+2，开口向下，顶点坐标是(2,2)，对称轴是x=2.11.二次函数y=-3(x-1)^2+2的图象的顶点坐标是（1，2）.12.已知y=(x+1)^2-2，当x≥1时，函数值随x的增大而减小.13.已知直线y=2x-1与抛物线y=5x+k交点的横坐标为2，则k=9，交点坐标为(2,13).14.用配方法将二次函数y=x^2+x-2化成y=a(x-(-1/2))^2-9/4的形式是y=(x+1/2)^2-9/4.15.如果二次函数y=x^2-6x+m的最小值是1，那么m的值是10.二、选择题：16.在抛物线y=2x^2-3x+1上的点是（D）（3，4）17.直线y=5x/2-2与抛物线y=x^2-x的交点个数是（C）2个18.关于抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0），下面几点结论中，正确的有（A、B、C）①当a>0时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大，当a<0时，情况相反。

中考数学《二次函数》专项练习（附答案解析）一、综合题1．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是（）（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是（），求出你所选方案中的抛物线的表达式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．2．如图，抛物线 y =-x2+3x +4 与x轴负半轴相交于A点，正半轴相交于B点，与 y 轴相交于C 点．（1）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线 BC 对称的点的坐标；（2）在（1）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．3．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．4．已知抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）的顶点为M，经过原点O且与x轴另一交点为A．（1）求点A的坐标；（2）若△AMO为等腰直角三角形，求抛物线C1的解析式；（3）现将抛物线C1绕着点P（m，0）旋转180°后得到抛物线C2，若抛物线C2的顶点为N，当b=1，且顶点N在抛物线C1上时，求m的值．5．如图，抛物线G：y=−x2+2mx−m2+m+3的顶点为P(x P，y P)，抛物线G与直线l：x=3交于点Q．（1）x P=，y P=（分别用含m的式子表示）；y P与x P的函数关系式为；（2）求点Q的纵坐标y Q（用含m的式子表示），并求y Q的最大值；（3）随m的变化，抛物线G会在直角坐标系中移动，求顶点P在y轴与l之间移动（含y轴与l）的路径的长．6．如图，抛物线的顶点D的坐标为（﹣1，4），抛物线与x轴相交于A.B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3）.（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，已知点E（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得△CEF的周长最小，如果存在，求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，连接AD，若点P是线段OC上的一动点，过点P作线段AD的垂线，在第二象限分别与抛物线、线段AD相交于点M、N，当MN最大时，求△POM的面积.7．已知：如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A(4,0)，点B(0,4)，ΔABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．（1）求圆心M的坐标；（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；（3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF=4√5时，求点P的坐标．9．如图1所示，已知抛物线y=−x2+4x+5的顶点为D，与x轴交于A、B两点(A左B右)，与y轴交于C点，E为抛物线上一点，且C、E关于抛物线的对称轴对称，作直线AE.（1）求直线AE的解析式；（2）在图2中，若将直线AE沿x轴翻折后交抛物线于点F，则点F的坐标为（直接填空）；（3）点P为抛物线上一动点，过点P作直线PG与y轴平行，交直线AE于点G，设点P的横坐标为m，当S△PGE∶S△BGE=2∶3时，直接写出所有符合条件的m值，不必说明理由.10．综合与探究如图，直线y=−23x+4与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=ax2+43x+c经过B，C两点，与x轴的另一个交点为A（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为点D．抛物线的对称轴与x轴交于点E．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点M是线段BC上一动点，连接DM并延长交x轴交于点F，当FM：FD=1：4时，求点M的坐标；（3）点P是该抛物线上的一动点，设点P的横坐标为m，试判断是否存在这样的点P，使∠PAB+∠BCO=90°，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．11．如图，点A，B在函数y=14x2的图像上．已知A，B的横坐标分别为－2、4，直线AB与y轴交于点C，连接OA，OB．（1）求直线AB的函数表达式；（2）求ΔAOB的面积；（3）若函数y=14x2的图像上存在点P，使得ΔPAB的面积等于ΔAOB的面积的一半，则这样的点P共有个．12．如图，已知二次函数y=ax2﹣2ax+c（a＜0）的图象与x轴负半轴交于点A（﹣1，0），与y 轴正半轴交于点B，顶点为P，且OB=3OA，一次函数y=kx+b的图象经过A、B．（1）求一次函数解析式；（2）求顶点P的坐标；，求点M （3）平移直线AB使其过点P，如果点M在平移后的直线上，且tan∠OAM=32坐标；（4）设抛物线的对称轴交x轴于点E，连接AP交y轴于点D，若点Q、N分别为两线段PE、PD上的动点，连接QD、QN，请直接写出QD+QN的最小值．13．如图，抛物线y=ax2+bx+4经过点A(−1,0)，B(2,0)两点，与y轴交于点C，点D是拋物线在x轴上方，对称轴右侧上的一个动点，设点D的横坐标为m．连接AC，BC，DB，DC．（1）求抛物线的解析式；（2）当△BCD的面积与△AOC的面积和为7时，求m的值；2（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(x+m)(x−3m)图象的顶点为M，图象交x轴于A、14．如图，y关于x的二次函数y=−√33mB两点，交y轴正半轴于D点.以AB为直径作圆，圆心为C.定点E的坐标为(−3，0)，连接ED.(m>0)（1）写出A、B、D三点的坐标；（2）当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系；（3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图.15．在图1中，抛物线y＝ax2+2ax﹣8（a≠0）与x轴交于点A、B（点A在B左侧），与y轴负半轴交于点C，OC＝4OB，连接AC，抛物线的对称轴交x轴于点E，交AC于点F．（1）AB的长为，a的值为；（2）图2中，直线ON分别交EF、抛物线于点M、N，OM＝√17，连接NC．①求直线ON的解析式；②证明：NC∥AB；③第四象限存在点P使△BFP与△AOC相似，且BF为△BFP的直角边，请直接写出点P坐标．16．如图，直线AB的解析式为y=−43x+4，抛物线y=−13x2+bx+c与y轴交于点A，与x轴交于点C(6，0)，点P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），当点P在第一象限内的抛物线上时，求△ABP面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）过点A作直线l//x轴，过点P作PH⊥l于点H，将△APH绕点A顺时针旋转，使点H的对应点恰好落在直线AB上，同时恰好落在坐标轴上，请直接写出点P的坐标.参考答案与解析1．【答案】（1）解：方案一：点B的坐标为（5，0），设抛物线的解析式为：y=a(x+5)(x−5)．由题意可以得到抛物线的顶点为（0，5），代入解析式可得：a=−15，∴抛物线的解析式为：y=−15(x+5)(x−5)方案2：点B的坐标为（10，0）．设抛物线的解析式为：y=ax(x−10)．由题意可以得到抛物线的顶点为（5，5），代入解析式可得：a=−15，∴抛物线的解析式为：y=−15x(x−10)；方案3：点B的坐标为（5，−5），由题意可以得到抛物线的顶点为（0，0）．设抛物线的解析式为：y=ax2，把点B的坐标（5，−5），代入解析式可得：a=−15，∴抛物线的解析式为：y=−15x2；（2）解：方案一：由题意：把x=3代入y=−15(x+5)(x−5)，解得：y=165=3.2，∴水面上涨的高度为3.2m方案二：由题意：把x=2代入y=−15x(x−10)解得：y=165=3.2，∴水面上涨的高度为3.2m．方案三：由题意：把x=3代入y=−15x2解得：y=−95= −1.8，∴水面上涨的高度为5−1.8= 3.2m．2．【答案】（1）解: 将点D( m，m+1 )代入y=−x2+3x+4中，得：m+1=−m2+3m+4，解得：m=−1或3，∵点D在第一象限，∴m=3，∴点D的坐标为(3，4)；令y=0，则−x2+3x+4=0，解得：x1=−1，x2=4，令x=0，则y=4，由题意得A(-1，0)，B(4，0)，C(0，4)，∴OC=OB=4，BC= 4√2，CD=3，∵点C、点D的纵坐标相等，∴CD∥AB，∠OCB=∠OBC=∠DCB=45°，∴点D关于直线BC的对称点E在y轴上．根据对称的性质知：CD=CE=3 ，∴OE=OC−CE=4−3=1，∴点D关于直线BC对称的点E的坐标为(0，1)；（2）解: 作PF⊥AB于F，DG⊥BC于G，由(1)知OB=OC=4，∠OBC=45°．∵∠DBP=45°，∴∠CBD=∠PBF．∵CD=3，∠DCB=45°，∴CG=DG= 3√22，∵BC= 4√2，∴BG= 4√2−3√22=5√22∴tan∠PBF=tan∠CBD=DGBG =35．设PF=3t，则BF=5t，OF=5t−4．∴P(−5t+4，3t)，∵P点在抛物线上，∴3t=−(−5t+4)2+3(−5t+4)+4解得：t=2225或t=0(舍去)．∴点P的坐标为( −25，6625)．3．【答案】（1）解：在Rt△AOB中，OA=1，tan∠BAO= OBOA=3，∴OB=3OA=3．∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC≌△AOB，∴OC=OB=3，OD=OA=1，∴A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（﹣3，0）．代入解析式为{a+b+c=09a−3b+c=0c=3，解得： {a =−1b =−2c =3．∴抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3（2）解：①∵抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3，∴对称轴l=﹣ b2a =﹣1，∴E 点的坐标为（﹣1，0）．如图， 当∠CEF=90°时，△CEF ∽△COD ．此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点，P （﹣1，4）；当∠CFE=90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，则△EFC ∽△EMP ． ∴EMMP =EFFC =DO OC=13 ，∴MP=3EM ．∵P 的横坐标为t ，∴P （t ，﹣t 2﹣2t+3）．∵P 在第二象限，∴PM=﹣t 2﹣2t+3，EM=﹣1﹣t ，∴﹣t 2﹣2t+3=﹣（t ﹣1）（t+3），解得：t 1=﹣2，t 2=﹣3（因为P 与C 重合，所以舍去），∴t=﹣2时，y=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=3．∴P （﹣2，3）．∴当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为：（﹣1，4）或（﹣2，3）； ②设直线CD 的解析式为y=kx+b ，由题意，得{−3k +b =0b =1 ，解得： {k =13b =1，∴直线CD 的解析式为：y= 13 x+1．设PM 与CD 的交点为N ，则点N 的坐标为（t ， 13 t+1），∴NM= 13 t+1．∴PN=PM ﹣NM=﹣t 2﹣2t+3﹣（ 13 t+1）=﹣t 2﹣ 73t +2． ∵S △PCD =S △PCN +S △PDN ，∴S △PCD = 12 PN •CM+ 12 PN •OM= 12 PN （CM+OM ）= 12 PN •OC= 12 ×3（﹣t 2﹣ 73t +2）=﹣ 32 （t+76）2+ 12124 ，∴当t=﹣ 76 时，S △PCD 的最大值为 12124 ． 4．【答案】（1）解：∵抛物线C 1：y=ax 2+4ax+4a+b （a ≠0，b ＞0）经过原点O ， ∴0=4a+b ，∴当ax 2+4ax+4a+b=0时，则ax 2+4ax=0， 解得：x=0或﹣4，∴抛物线与x 轴另一交点A 坐标是（﹣4，0）（2）解：∵抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b（a≠0，b＞0），（如图1）∴顶点M坐标为（﹣2，b），∵△AMO为等腰直角三角形，∴b=2，∵抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b过原点，∴a（0+2）2+2=0，解得：a=﹣12，∴抛物线C1：y=﹣12x2﹣2x（3）解：∵b=1，抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b过原点，（如图2）∴a=﹣14，∴y=﹣14（x+2）2+1=﹣14x2﹣x，设N（n，﹣1），又因为点P（m，0），∴n﹣m=m+2，∴n=2m+2即点N的坐标是（2m+2，﹣1），∵顶点N在抛物线C1上，∴﹣1=﹣14（2m+2+2）2+1，解得：m=﹣2+ √2或﹣2﹣√2 5．【答案】（1）m；m+3；y P=x P+3（2）解：∵抛物线 G ：y =−x 2+2mx −m 2+m +3 与直线 l ：x =3 交于点 Q ， ∴把 x =3 代入 y =−x 2+2mx −m 2+m +3 ， 得 y Q =−m 2+7m −6 ．∵y Q =−m 2+7m −6=−(m −72)2+254，∴当 m =72 时， y Q 的最大值为 254 ．（3）解：∵点 P 在 y 轴与 l 之间沿直线 l 1：y =x +3 运动， 如图，设直线 l 1：y =x +3 与 y 轴和直线 l 分别交于点 B 和点 P 1 ，线段 BP 1 的长即为点 P 路径长．把 x B =0 ， x P 1=3 代入 y =x +3 得点 B(0，3) ，点 P 1(3，6) ， 过点 P 1 作 P 1M ⊥y 轴，垂足为M ， 则 P 1M =3，BM =3 ， 在 Rt △BMP 1 中， BP 1=√BM 2+MP 12=√32+32=3√2 ，∴点 P 路径长为 3√2 ．6．【答案】（1）解：设抛物线的表达式为：y ＝a （x+1）2+4， 把x ＝0，y ＝3代入得：3＝a （0+1）2+4，解得：a ＝﹣1 ∴抛物线的表达式为y ＝﹣（x+1）2+4＝﹣x 2﹣2x+3（2）解：存在.如图1，作C 关于对称轴的对称点C ′，连接EC ′交对称轴于F ，此时CF+EF的值最小，则△CEF的周长最小.∵C（0，3），∴C′（﹣2，3），易得C′E的解析式为：y＝﹣3x﹣3，当x＝﹣1时，y＝﹣3×（﹣1）﹣3＝0，∴F（﹣1，0）（3）解：如图2，∵A（﹣3，0），D（﹣1，4），易得AD的解析式为：y＝2x+6，过点D作DH⊥x轴于H，过点M作MG⊥x轴交AD于G，AH＝﹣1﹣（﹣3）＝2，DH＝4，∴AD＝√AH2+DH2=√22+42=2√5，设M（m，﹣m2﹣2m+3），则G（m，2m+6），（﹣3≤m≤﹣1），∴MG＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（2m+6）＝﹣m2﹣4m﹣3，由题易知△MNG∽△AHD，∴MGMN =ADAH即MN=AH×MGAD =22√5=−√55(m+2)2+√55∵√55<0∴当m ＝﹣2时，MN 有最大值；此时M （﹣2，3），又∵C （0，3），连接MC ∴MC ⊥y 轴∵∠CPM ＝∠HAD ，∠MCP ＝∠DHA ＝90°， ∴△MCP ∽△DHA ， ∴PCAH =MCDH 即 PC2=24 ∴PC ＝1∴OP ＝OC ﹣PG ＝3﹣1＝2， ∴S △POM ＝ 12×2×2 ＝2，7．【答案】（1）解：由题意，得 {0=16a −8a +c 4=c解得 {a =−12c =4∴所求抛物线的解析式为：y=﹣ 12 x 2+x+4（2）解：设点Q 的坐标为（m ，0），过点E 作EG ⊥x 轴于点G ．由﹣ 12 x 2+x+4=0， 得x 1=﹣2，x 2=4∴点B 的坐标为（﹣2，0） ∴AB=6，BQ=m+2 ∵QE ∥AC ∴△BQE ∽△BAC∴EG CO =BQBA 即 EG4=m+26 ∴EG =2m+43∴S △CQE =S △CBQ ﹣S △EBQ = 12 BQ •CO ﹣ 12 BQ •EG = 12 （m+2）（4﹣2m+43）= −13m 2+23m +83 =﹣ 13 （m ﹣1）2+3 又∵﹣2≤m ≤4∴当m=1时，S △CQE 有最大值3，此时Q （1，0） （3）解：存在．在△ODF 中． （ⅰ）若DO=DF ∵A （4，0），D （2，0） ∴AD=OD=DF=2又在Rt △AOC 中，OA=OC=4 ∴∠OAC=45度 ∴∠DFA=∠OAC=45度∴∠ADF=90度．此时，点F 的坐标为（2，2） 由﹣ 12 x 2+x+4=2， 得x 1=1+ √5 ，x 2=1﹣ √5此时，点P 的坐标为：P （1+ √5 ，2）或P （1﹣ √5 ，2）． （ⅱ）若FO=FD ，过点F 作FM ⊥x 轴于点M由等腰三角形的性质得：OM= 12OD=1∴AM=3∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3∴F（1，3）由﹣12x2+x+4=3，得x1=1+ √3，x2=1﹣√3此时，点P的坐标为：P（1+ √3，3）或P（1﹣√3，3）．（ⅲ）若OD=OF∵OA=OC=4，且∠AOC=90°∴AC= 4√2∴点O到AC的距离为2√2，而OF=OD=2 <2√2，与OF≥2 √2矛盾，所以AC上不存在点使得OF=OD=2，此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形所求点P的坐标为：P（1+ √5，2）或P（1﹣√5，2）或P（1+ √3，3）或P（1﹣√3，3）8．【答案】（1）解：∵C为OB的中点，点B(0,4)，∴点C(0,2)，又∵M为AC中点，点A(4,0)，0+4 2=2,2+02=1，∴点M(2,1)（2）解：∵⊙P与直线AD，则∠CAD=90°，设：∠CAO=α，则∠CAO=∠ODA=∠PEH=α，tan∠CAO=OCOA =12=tanα，则sinα=√5，cosα=√5，AC=√10，则CD=ACsin∠CDA =√10sinα=10，则点D(0,−8)，设直线AD的解析式为：y=mx+n，将点A、D的坐标分别代入得：{0=4m+n−8=n，解得：{m=2n=−8，所以直线AD的表达式为：y=2x−8（3）解：设抛物线的表达式为：y=a(x−2)2+1，将点B坐标代入得：4=a(0-2)2+1，解得：a=34，故抛物线的表达式为：y=34x2−3x+4，过点P作PH⊥EF，则EH=12EF=2√5，cos∠PEH=EHPE =2√5PE=cosα=√5，解得：PE=5，设点P(x,34x2−3x+4)，则点E(x,2x−8)，则PE=34x2−3x+4−2x+8=5，解得x=143或2(舍去2)，则点P(143,193) .9．【答案】（1）解：∵抛物线的解析式为y=−x2+4x+5，∴该抛物线的对称轴为：x=−42×(−1)=2，令y=−x2+4x+5中x=0，则y=5，∴点C的坐标为(0，5)，∵C、E关于抛物线的对称轴对称，∴点E的坐标为(2×2−0，5)，即(4，5)，令y =−x 2+4x +5中y =0，则−x 2+4x +5=0， 解得：x 1=−1，x 2=5，∴点A 的坐标为(−1，0)、点B 的坐标为(5，0)， 设直线AE 的解析式为y =kx +b ，将点A(−1，0)、E(4，5)代入y =kx +b 中， 得：{0=−k +b 5=4k +b ，解得：{k =1b =1，∴直线AE 的解析式为y =x +1； （2）（6，-7）（3）解：符合条件的m 值为0、3、3−√412和3+√412.10．【答案】（1）解：当x =0时，得y =4， ∴点C 的坐标为（0，4），当y =0时，得−23x +4=0，解得：x =6， ∴点B 的坐标为（6，0）， 将B ，C 两点坐标代入，得{36a +43×6+c =0，c =4. 解，得{a =−13，c =4.∴抛物线线的表达式为y =−13x 2+43x +4.∵y =−13x 2+43x +4=−13(x 2−4x +4−4)+4=−13(x −2)2+163.∴顶点D 坐标为(2，163)． （2）解：作MG ⊥x 轴于点G ，∵∠MFG =∠DFE ，∠MGF =∠DEF =90°， ∴ΔMGF ∽ΔDEF ．∴FM FD =MG DE．∴14=MG163．∴MG =43当y =43时，43=−23x +4 ∴x =4．∴点M 的坐标为(4，43)．（3）解：∵∠PAB +∠BCO =90°，∠CBO +∠BCO =90°， ∴∠PAB =∠CBO ，∵点B 的坐标为（6，0），点C 的坐标为（0，4）， ∴tan ∠CBO =46=23， ∴tan ∠PAB =23， 过点P 作PQ ⊥AB ， 当点P 在x 轴上方时，−13m 2+4m +12m +2=23解得m=4符合题意， 当点P 在x 轴下方时，13m 2−4m −12m +2=23解得m=8符合题意， ∴存在，m 的值为4或8．11．【答案】（1）解：∵A ，B 是抛物线 y =14x 2 上的两点，∴当 x =−2 时， y =14×(−2)2=1 ；当 x =4 时， y =14×42=4 ∴点A 的坐标为（-2，1），点B 的坐标为（4，4） 设直线AB 的解析式为 y =kx +b ， 把A ，B 点坐标代入得 {−2k +b =14k +b =4解得， {k =12b =2所以，直线AB 的解析式为： y =12x +2 ； （2）解：对于直线AB ： y =12x +2 当 x =0 时， y =2 ∴OC =2∴S ΔAOB =S ΔAOC +S ΔBOC = 12×2×2+12×2×4 =6 （3）412．【答案】（1）解：∵A （﹣1，0）， ∴OA=1 ∵OB=3OA ， ∴B （0，3）∴图象过A 、B 两点的一次函数的解析式为：y=3x+3（2）解：∵二次函数y=ax 2﹣2ax+c （a ＜0）的图象与x 轴负半轴交于点A （﹣1，0），与y 轴正半轴交于点B （0，3）， ∴c=3，a=﹣1，∴二次函数的解析式为：y=﹣x 2+2x+3 ∴抛物线y=﹣x 2+2x+3的顶点P （1，4） （3）解：设平移后的直线的解析式为：y=3x+m ∵直线y=3x+m 过P （1，4）， ∴m=1，∴平移后的直线为y=3x+1 ∵M 在直线y=3x+1，且 设M （x ，3x+1）①当点M 在x 轴上方时，有 3x+1x+1=32 ，∴x =13 ， ∴M 1(13,2)②当点M 在x 轴下方时，有 −3x+1x+1=32 ，∴x =−59 ， ∴M 2(−59 ， −23)（4）解：作点D 关于直线x=1的对称点D ′，过点D ′作D ′N ⊥PD 于点N ， 当﹣x 2+2x+3=0时，解得，x=﹣1或x=3， ∴A （﹣1，0）， P 点坐标为（1，4），则可得PD 解析式为：y=2x+2， 根据ND ′⊥PD ，设ND ′解析式为y=kx+b ， 则k=﹣ 12 ，将D ′（2，2）代入即可求出b 的值， 可得函数解析式为y=﹣ 12 x+3，将两函数解析式组成方程组得： {y =−12x +3y =2x +2 ，解得 {x =25y =145 ，故N （ 25 ， 145 ），由两点间的距离公式：d= √(2−25)2+(2−145)2 = 4√55， ∴所求最小值为4√5513．【答案】（1）解：把A （-1,0），B （2,0）代入抛物线解析式得： {a −b +4=04a +2b +4=0，解得： {a =−2b =2∴抛物线的解析式为： y =−2x 2+2x +4 （2）解：如图，连接OD ，由 y =−2x 2+2x +4 可得： 对称轴为 x =−22×(−2)=12 ，C （0,4）∵D(m,−2m 2+2m +4)(12<m <2) ，A （-1,0），B （2,0） ∴∴S △BCD =S △OCD +S △BCD −S △OBC=12×4m +12×2·(−2m 2+4m +2)−12×2×4=−2m 2+4m S △AOC =12×1×4=2又∵S △BCD +S △AOC =72 ∴−2m 2+4m +2=72 ，∴4m 2−8m +3=0解得： m 1=12 ， m 2=32 ，当 m 1=12 时，点在对称轴上，不合题意，舍去，所以取 m 2=32 ， 综上， m =32（3）解： M 1(0,0) ， M 2(4,0) ， M 3(√142,0) ， M 4(−√142,0)14．【答案】（1）解：令y =0，则−√33m (x +m)(x −3m)=0，解得x 1=−m ，x 2=3m ；令x =0，则y =−√33m (0+m)(0−3m)=√3m .故A(−m ，0)，B(3m ，0)，D(0，√3m).（2）解：设直线ED 的解析式为y =kx +b ，将E(−3，0)，D(0，√3m)代入得：{−3k +b =0b =√3m解得，k =√33m ，b =√3m .∴直线ED 的解析式为y =√33mx +√3m .将y =−√33m (x +m)(x −3m)化为顶点式：y =−√33m (x −m)2+4√33m . ∴顶点M 的坐标为(m ，4√33m).代入y =√33mx +√3m 得：m 2=m∵m >0，∴m =1.所以，当m =1时，M 点在直线DE 上. 连接CD ，C 为AB 中点，C 点坐标为C(m ，0). ∵OD =√3，OC =1， ∴CD =2，D 点在圆上又∵OE =3，DE 2=OD 2+OE 2=12， EC 2=16，CD 2=4， ∴CD 2+DE 2=EC 2.∴∠EDC =90°∴直线ED 与⊙C 相切.（3）解：当0<m <3时，S △AED =12AE ⋅OD =√32m(3−m)S =−√32m 2+3√32m . 当m >3时，S ΔAED =12AE ⋅OD =√32m(m −3).即S =√32m 2_3√32m . S 关于m 的函数图象的示意图如右：15．【答案】（1）6；1（2）解：①由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为x＝﹣1，故设点M的坐标为（﹣1，m），则OM＝12+m2＝（√17）2，解得m＝4（舍去）或﹣4，故点M的坐标为（﹣1，﹣4），由点O、M的坐标得，直线OM（即ON）的表达式为y＝4x②，故答案为y＝4x；②联立①②并解得{x=−2y=−8，故点N（﹣2，﹣8），∵点C、N的纵坐标相同，故NC∥x轴，即NC∥AB；③当∠BFP为直角时，由A（﹣4，0），C（0，-8）可求AC解析式为y＝-2x﹣8，把x=-1，代入y＝-2x﹣8得，y＝-6，点F的坐标为：（-1，-6），由点F、B的坐标得，直线BF的表达式为y＝2x﹣4，当x＝﹣2时，y＝2x﹣4＝﹣8，故点N在直线BF上，连接FN，过点F作FP⊥BF交NC的延长线于点K，由直线BF 的表达式知，tan ∠BNK ＝2，则tan ∠FKN ＝ 12 ， 故设直线PF 的表达式为y ＝﹣ 12 x+t ， 将点F 的坐标代入上式并解得t ＝﹣ 132 ，则直线PF 的表达式为y ＝﹣ 12 x ﹣ 132 ，故设点P 的坐标为（m ，﹣ 12 m ﹣ 132 ）， 在Rt △AOC 中，tan ∠ACO ＝ AOCO ＝ 12 ，则tan ∠OCA ＝2， ∵△BFP 与△AOC 相似， 故∠FBP ＝∠ACO 或∠OAC ，则tan ∠FBP ＝tan ∠ACO 或tan ∠OAC ，即tan ∠FBP ＝ 12 或2， 由点B 、F 的坐标得：BF ＝ √32+62=3√5 ， 则PF ＝BFtan ∠FBP ＝3√52或6 √5 ，由点P 、F 的坐标得：PF 2＝（m+1）2+（﹣ 12 m ﹣ 132 +6）2＝（ 3√52）2或（6 √5 ）2， 解得m ＝2或﹣4（舍去）或11或﹣13（舍去）， 故点P 的坐标为（11，﹣12）或（2，﹣ 152 ）； 当∠PBF 为直角时，过点B 作BP ⊥BF ，同理可求直线PF 的表达式为y ＝﹣ 12 x+1，故设点P 的坐标为（m ，﹣ 12 m ﹣1），同理可得，PB ＝BFtan ∠FBP ＝3√52或6 √5 ，由点P 、B 的坐标得：PB 2＝（m-2）2+（﹣ 12 m+1）2＝（3√52）2或（6 √5 ）2，解得m＝-1（舍去）或5或14或﹣10（舍去），点P的坐标为（5，﹣32）或（14，-6）；综上，点P的坐标为（11，﹣12）或（2，﹣152）或（5，﹣32）或（14，-6）；16．【答案】（1）解：当x=0时，y=−43x+4=4，则A(0，4)，把A(0，4)，C(6，0)代入y=−13x2+bx+c得{−12+6b+c=0c=4，解得{b=43c=4，∴抛物线解析式为y=−13x2+43x+4；（2）连接OP，设P(m，−13m2+43m+4)，当y=0时，−43x+4=0，解得x=3，则B(3，0)，S△ABP=S△AOP+S△POB−S△AOB=12⋅4⋅m+12⋅3⋅(−13m2+43m+4)−12⋅3⋅4=−12m2+4m，=−12(m−4)2+8，当m=4时，△ABP面积有最大值，最大值为8，此时P点坐标为(4，4)；（3）在Rt△OAB中，AB=√32+42=5，当点P′落在x轴上，如图2，∵△APH绕点A顺时针旋转，使点H的对应点恰好落在直线AB上，同时恰好落在x 轴上∴P′H′=PH=4−(−13m2+43m+4)=13m2−43m，AH′=AH=m，∠P′H′A=∠PHA=90∘，∵∠P′BH′=∠ABO，∴△BP ′H ′ ∽ △BAO ，∴P ′H ′ ： OA =BH ′ ：OB ，即 (13m 2−43m) ： 4=BH ′ ：3， ∴BH ′=14m 2−m ， ∵AH ′+BH ′=AB ，∴m +14m 2−m =5 ，解得 m 1=2√5 ， m 2=−2√5( 舍去 ) ，此时P 点坐标为 (2√5，−8+8√53) ； 当点 P ′ 落在y 轴上，如图3，同理可得 P ′H ′=PH =13m 2−43m ， AH ′=AH =m ， ∠P ′H ′A =∠PHA =90∘ ， ∵∠P ′AH ′=∠BAO ， ∴△AH ′P ′′ ∽ △AOB ，∴P ′H ′ ： OB =AH ′ ：AO ，即 (13m 2−43m) ： 3=m ：4， 整理得 4m 2−25m =0 ，解得 m 1=254， m 2=0( 舍去 ) ，此时P 点坐标为 (254，−4348) ； 综上所述，P 点坐标为 (2√5，−8+8√53) 或 (254，−4348) ；。

中考数学专题复习：二次函数综合题（面积问题）1．如图，一次函数y ＝kx +b 的图象与二次函数y ＝ax 2的图象交于点A （1，m ）和B （﹣2，4），与y 轴交于点C ．(1)求k ，b ，a 的值； (2)求△AOB 的面积．2． 如图，已知二次函数212y x bx c =-++的图象经过点A (2，0)，B (0，-6)两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA 、BC ，求△ABC 的面积．3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx +b 的图象经过点A （0，﹣4）、B （2，0），交反比例函数y 6x=（x ＞0）的图象于点C ，点P 在反比例函数的图象上，横坐标为n （0＜n ＜3），PQ y ∥轴交直线AB 于点Q ，D 是y 轴上任意一点，连接PD 、QD ．(1)求一次函数的表达式和C点坐标；(2)求△DPQ面积的最大值．4．如图，抛物线2y x bx c=-++交x轴于A，B两点，交y轴于点C直线122y x=-+经过点B，C．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线BC上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．△求△PBC面积最大值和此时m的值；△Q是直线BC上一动点，是否存在点P，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标．5．图1，抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求点A ，B ，C 的坐标．(2)P 为直线BC 上方抛物线上的一个动点，当PBC 的面积最大时，求点P 的坐标； (3)设M 为该抛物线的顶点，D 为抛物线的对称轴与x 轴的交点，如图2所示，在直线MD 上是否存在点N ，使点N 到直线MC 的距离等于点N 到点A 的距离？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图像交x 轴于点()1,0A -，()5,0B ，交y 轴于点C ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图1，点M 从点B 出发，BC 向点C 运动，点N 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB 向点B 运动，点M ，N 同时出发．设运动时间为t 秒（05t <<）．当t 为何值时，BMN △的面积最大？最大面积是多少？ (3)已知P 是抛物线上一点，在直线BC 上是否存在点Q ，使以A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线2342y ax x =++的对称轴是直线x =3，且与x 轴相交于A 、B 两点（B 点在A 点的右侧），与y 轴交于C 点．(1)A 点的坐标是_____________；B 点坐标是________________； (2)求直线BC 的解析式；(3)点P 是直线BC 上方的抛物线上的一动点（不与B 、C 重合），是否存在点P ，使△PBC 的面积最大．若存在，请求出△PBC 的最大面积，若不存在，试说明理由；(4)若点M 在x 轴上，点N 在抛物线上，以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M 点坐标．8．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 和点B ，其中点A 的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x ＝1与抛物线交于点D ，与直线BC 交于点E ．(1)求抛物线的解析式；(2)若点F 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F 使四边形ABFC 的面积最大，若存在，求出点F 的坐标和最大值；若不存在，请说明理由；(3)平行于DE 的一条动直线l 与直线BC 相交于点P ，与抛物线相交于点Q ，若以D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求P 点的坐标．(4)探究对称轴上是否存在一点P ，使得以点P ，C ，A 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P 点的坐标，若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，直线334y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线214y x bx c =-++经过点A 、C ．(1)求抛物线解析式及顶点M 坐标；(2)P 为抛物线第一象限内一点，使得PAC △面积最大，求PAC △面积的最大值及此时点P 的坐标；(3)当1m x m +≤≤时，（1）中二次函数有最大值为2-，求m 的值．10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax x c =-+的图像与x 轴交于点A (2-，0)、B (4，0)，与y 轴交于点C ．(1)求a 和c 的值；(2)若点D （不与点C 重合）在该二次函数的图像上，且ABD ABC S S =△△，求点D 的坐标；(3)若点P 是该二次函数图像上位于x 轴上方的一点，且BPABPCS S=，直接写出点P 的坐标．11．如图，抛物线()214y x =--的图像与x 轴交于的A 、B 两点，与y 轴交于点D ，抛物线的顶点为C ．(1)求点A 、B 、C 坐标； (2)求ABC 的面积；(3)点P 是抛物线上一动点，当ABP △的面积为6时，求所有符合条件的点P 的坐标；12．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠经过点A (2，0)，B (-2，4)，(-4，0)，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ．(1)求抛物线的表达式；(2)点M 在直线AB 上方的抛物线上运动，当ΔABM 的面积最大时，求点M 的坐标； (3)若点F 为平面内的一点，且以点,,,B E C F 为顶点的四边形是平行四边形，请写出符合条件的点F 的坐标．13．如图，直线y=-x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=23x2+bx+c经过B、C两点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点E是抛物线上的一动点（不与B，C两点重合），当S△BEC=14S△BOC时，求点E的坐标；(3)若点F是抛物线上的一动点，当S△BFC取值在什么范围时，对应的点F有且只有两个？14．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx－8的图像与x轴交于A（2，0），B（﹣8，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣8）．(1)求抛物线的解析式；(2)点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，求出点F的坐标；(3)在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q 的坐标；如果没有，请说明理由．15．如图，已知抛物线2y ax bx c ++＝交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C （0，6），且顶点坐标为（4，﹣2）．直线x ＝m 分别交直线BC 和抛物线于点E 、P ．(1)求该抛物线的解析式及A 、B 两点坐标； (2)当0＜m ＜6时，求△BCP 面积的最大值； (3)当△BPE 是等腰三角形时，直接写出m 的值．16．已知二次函数242y ax x =++的图象经过点()3,4A -．(1)求a 的值；(2)直接写出函数y 随自变量的增大而减小的x 的取值范围．(3)设242y ax x =++的顶点为M ，与y 轴相交于C ，连结MC 、MA 、AC ，求AMC S △．17．如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于点()3,0A ，与y 轴交于点B ，点C 在直线AB 上，过点C 作CD x ⊥轴于点()1,0D ，将ACD △沿CD 所在直线翻折，使点A 恰好落在抛物线上的点E 处．(1)求抛物线解析式；(2)连接BE ，求BCE 的面积；(3)拋物线上是否存在一点P ，使PEA BAE ∠=∠？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．18．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y =ax 2+bx +3交x 轴负半轴于点A ，交x 轴正半轴于点B ，交y 轴于点C ，且OA =OC =3OB ．(1)求这个抛物线的解析式；(2)如图1，点P 为第三象限抛物线上的点，设点P 的横坐标为t ，△P AC 面积S ，求S 与t 的函数解析式（直接写出自变量t 的取值范围）；(3)如图2，在（2）的条件下，Q 为CA 延长线上的一点，若P 到x 轴的距离为d ，△PQB 的面积为2d ，且△P AQ =△AQB ，求点P 的坐标．19．如图，已知抛物线2y x bx c =++经过点()30A -,和点()0,3C -．解答下列问题．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴的交点为E ，求线段BD 的长；(3)点F 在抛物线上运动，是否存在点F 使FAB 的面积等于6？如果存在，求出点F 的坐标；如果不存在，说明理由．20．如图，抛物线23y ax bx =++经过点A （2，3），与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且3OC OB =．(1)求该抛物线的解析式；(2)点D 在y 轴上，且BDO BAC ∠=∠，求点D 的坐标；(3)点P 在直线AB 上方的抛物线上，当△P AB 的面积最大时，直接写出点P 的坐标．参考答案：1．(1)k =−1，a =1，b =2(2)S △AOB =32．(1)21462y x x =-+- (2)63．(1)一次函数的表达式：y =2x -4，点C （3，2）；(2)DPQ 面积的最大值是4．4．(1)2722y x x =-++(2)△最大值为8，m ＝2；△存在，⎝⎭或⎝⎭5．(1)A (﹣1，0)，B (3，0)，C (0，3) (2)31524P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(3)存在，(14N -+，或(14--，6．(1)245y x x =-++(2)当52t =时，BMN △的面积最大，最大面积是258(3)存在，Q 的坐标为()7,12-或()7,2-或()1,4或()2,37．(1)()-2,0，()8,0(2)直线BC 的解析式为142y x =-+ (3)存在点P ，使PBC ∆的面积最大，最大面积是16，理由见详解(4)满足条件的点M 的坐标为(8,0)-，(4,0)，(50)，(5，0)8．(1)y ＝﹣12x 2+x +4(2)存在，四边形ABFC 的面积最大为16，F （2，4）(3)P 点坐标为（3，1）或（，2）或（2(4)存在，P 点坐标为（1或（1，或（1，1）或（1，或（1，49．(1)211344y x x =-++，顶点M 的坐标为149,216⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)最大值为2，此时P 点坐标为52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)5-或510．(1)142a c ==-，4)或(14)或(2，-4)(3)(-6，20)11．(1)()1,0A -，()3,0B ，()1,4C -(2)8(3)()0,3-或()2,3-或()1或()112．(1)2142y x x =--+(2)（0，4）(3)（-5，1）或（1，7）或（-3，-1）13．(1)y ＝23-x 2+53x +4(2)E 1)，E 2)，E 34222，，E 44222， (3)当S △BFC ＞163时，对应的点F 有且只有两个．14．(1)抛物线解析式为y ＝122x +3x ﹣8；(2)点F 的坐标是F （﹣4，﹣12）；(3)存在，点Q 有坐标为（0，0，﹣0，﹣4）或（0，0）．15．(1)21462y x x =-+，点A （2，0），点B （6，0） (2)S △BCP 的最大值为272(3)当△BPE 是等腰三角形时，m 的值为2或416．(1)2242y x x =-++(2)1x >(3)617．(1)2y x 2x 3=-++(2)2(3)存在，()2,3或()4,5-18．(1)y =－x 2－2x +3(2)S =23922t t +(t <－3) (3)P 的坐标为（－4，－5）19．(1)223y x x =+-(2)(3)存在，点F 的坐标为：()1-或()1-或()0,3-或()2,3-- 20．(1)2y x 2x 3=-++(2)点D 的坐标为（0，1）或（0，－1）(3)P （12，154）。

2023年九年级中考数学专题： 二次函数综合题（面积问题） 1．如图，过1,0A 、()3,0B 作x 轴的垂线，分别交直线y ＝4－x 于C 、D 两点．抛物线2y ax bx c =++经过O 、C 、D 三点．(1)求抛物线的表达式；(2)点M 为直线OD 上的一个动点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，问是否存在这样的点M ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由；(3)若△AOC 沿CD 方向平移（点C 在线段CD 上，且不与点D 重合），在平移的过程中△AOC 与△OBD 重叠部分的面积记为S ，试求S 的最大值．2．综合与探究如图，已知抛物线()220y ax x c a =++≠与x 轴负半轴交于点()1,0A -，与y 轴交于点()0,3C ，抛物线的顶点为D ，直线y ＝x ＋b 与抛物线交于A ，F 两点，过点D 作DE △y 轴交直线AF 于点E ．(1)求抛物线和直线AF 的解析式；(2)在直线AF 上方的抛物线上有一点P ，使3PAE PDE S S =△△，求点P 的坐标；(3)若点M 为抛物线上一动点，试探究在直线AF 上是否存在一点N ，使得以D ，E ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴相交于点(1,0),(3,0)A B -，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)在第四象限的抛物线上是否存在一点M ，使27MBC S =若存在，求出点M 坐标；若不存在，请说明理由．(3)连接AC ，在抛物线上是否存在一点P ，使得ACP OCB ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，已知抛物线的顶点坐标为A （1，4），抛物线与y 轴交于点B （0，3），与x 轴交于C ，D 两点．点P 是抛物线上的一个动点．(1)求此抛物线的表达式．(2)求C ，D 两点坐标及△BCD 的面积．(3)若点P 在x 轴下方的抛物线上．满足13PCD BCD SS =，求点P 的坐标．5．如图，抛物线234y x bx c =-++与x 轴交于点(4,0)A ，与y 轴交于点(0,3)B ，点(,0)M m 为线段OA 上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．(1)求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴；(2)如果以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，求m的值；(3)若BPN△与OPM面积相等，直接写出点M的坐标．6．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1，0)和点B(−3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的函数解析式．(2)点N为第二象限内抛物线上的动点，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．(3)若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形?若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知：如图，在Rt ABC∠=︒，8AC=cm，CD为AB边上的高，点Q从点AAB=cm，4∆中，90ACB出发，沿AC方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2t s t<<．cm/s．设运动时间为()(04)解答下列问题：∥；(1)当t为何值时，PQ BC(2)当PQ中点在CD上时，求t的值；(3)设四边形QPBC的面积为2)(S cm，求S与t的函数关系式，并求S最小值；=，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．(4)是否存在某一时刻t，使得PQ PC8．如图，抛物线23=++与x轴交于A，B两点，其中A（－2，0），点D（4，3）为该抛物线上一y ax bx点．(1)B点坐标为______；(2)直线x=n交直线AD于点K，交抛物线于点P，且点P在点K上方，连接P A、PD．△请直接写出线段PK长（用含n的代数式表示）△求△P AD面积的最大值；(3)将直线AD绕点A逆时针旋转90°得到直线l，若点Q是直线l上的点，且△ADQ=45°，请直接写出点Q 坐标______．B，与y轴交于点C，连接AC，有一动点9．已知抛物线23y ax bx=++的图象与x轴相交于点A和点(1,0)D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，AB＝4，设点D的横坐标为m．(1)求抛物线的解析式；(2)连接AE 、CE ，当ACE 的面积最大时，点D 的坐标是 ；(3)当2m =-时，在平面内是否存在点Q ，使以B ，C ，E ，Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．10．在平面直角坐标系中，二次函数22y ax bx =++的图像与x 轴交于()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．(1)求a ，b 的值；(2)点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使ACP △的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；(3)点Q 是直线AC 上方抛物线上一动点，过点Q 作QE x ⊥轴于点E ，是否存在点Q ．使以点B 、Q 、E 为顶点的三角形与AOC △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．11．在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ．(1)如图△，若动点Q 从点C 出发，在对角线CA 上以每秒3cm 的速度向A 点匀速移动，同时动点P 从点B 出发，在BC 上以每秒2cm 的速度向点C 匀速移动，运动时间为t 秒()03t ≤<，t 取何值时，四边形ABPQ 的面积最小？(2)如图△，若点Q 在对角线CA 上，CQ ＝4cm ，动点P 从点B 出发，以每秒1cm 的速度沿BC 运动至点C 停止．设点P 运动了t 秒，当t 为何值时，以Q 、P 、C 为顶点的三角形是等腰三角形？12．如图，等腰直角三角形OAB的直角顶点O在坐标原点，直角边OA，OB分别在y轴和x轴上，点C的3,4，且AC平行于x轴．坐标为()(1)求直线AB的解析式；(2)求过B，C两点的抛物线2=-++的解析式；y x bx c(3)抛物线2=-++与x轴的另一个交点为D，试判定OC与BD的大小关系；y x bx c(4)若点M是抛物线上的动点，当ABM的面积与ABC的面积相等时，求点M的坐标．13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标（3，0），抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），点D为抛物线顶点，对称轴x＝1与x轴交于点E，连接BC、EC．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是BC下方异于点D的抛物线上一动点，若S△PBC＝S△EBC，求此时点P的坐标；(3)点Q是抛物线上一动点，点M是平面上一点，若以点B、C、Q、M为顶点的四边形为矩形，直接写出满足条件的点Q的横坐标．14．如图，已知二次函数23=+-的图象与x轴交于点A（－1，0），B（3，0），直线AC与y轴交y ax bx于点C，与抛物线交于点D，且△ABD的面积为10．(1)求抛物线和直线AC 的函数表达式；(2)若抛物线上的动点E 在直线AC 的下方，求△ACE 面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；(3)设P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q 在抛物线的对称轴上，当△BPQ 为等边三角形时，求直线AP 的函数表达式．15．图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点(1,0)B ，与y 轴交于点(0,3)C ，其对称轴为1x =-．(1)求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；(2)若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴上．△当P A △NA ，且P A ＝NA 时，求此时点P 的坐标；△求四边形P ABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．16．图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于A ，B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，M 是抛物线的顶点且横坐标为1，点C 的坐标为（0，3），P 为线段MB 上一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点P 作PD x ⊥轴于点D ．若PD m =，PCD ∆的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；(3)是否存在点P 满足DC PC =，若存在，请求出点P 坐标，若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线经过点(10)A -，，(03)C ，两点，对称轴为52x =．(1)求抛物线的表达式；(2)若过点C 的直线l 的表达式为3y kx =+，当直线l 与抛物线有两个不同交点时，求k 的取值范围；(3)在（2）条件下，当直线l 与BC 垂直时，与对称轴交于点E ．此时抛物线上是否存在点P ，使得ABP ABE S S =△△，若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，抛物线2y x bx c =-++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，直线BC 的表达式为3y x =-+．(1)求抛物线的表达式；(2)动点D 在直线BC 上方的二次函数图象上，连接,DC DB ，设BCD △的面积为S ，求S 的最大值；(3)当点E 为抛物线的顶点时，在x 轴上是否存在一点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形与BCE 相似？若存在，请求出点Q 的坐标．19．如图，抛物线2y x bx c =-++经过()4,0A ，()1,0C -两点，与y 轴交于点B ，P 为抛物线上的动点，连接AB ，BC ，P A ，PC ，PC 与AB 相交于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)若P 为第一象限抛物线上的动点，设APQ 的面积为1S ，BCQ △的面积为2S ，当215S S -=时，求点P 的坐标；(3)是否存在点P ，使45PAB CBO ∠+∠=︒，若存在，直接写出点P 的坐标：若不存在，说明理由．20．如图，抛物线24y ax bx =+-经过点()1,0C -，点()4,0B ，交y 轴于点A ，点H 是该抛物线上第四象限内的一个动点，HE △x 轴于点E ，交线段AB 于点D ，HQ △y 轴，交y 轴于点Q ．(1)求抛物线的函数解析式．(2)若四边形HQOE 是正方形，求该正方形的面积．(3)连接OD 、AC ，抛物线上是否存在点H ，使得以点O 、A 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请直接写出点H 的坐标，若不存在，请说明理由．答案1．(1)y =-43x 2+133x(2)存在满足条件的点M ，点M 的横坐标为：32 (3)132．(1)2y x 2x 3=-++，1y x =+(2)(2P(3)()10,1N ，()22,3N ，3N ⎝⎭，4N ⎝⎭3．(1)2y x 2x 3=-++(2)存在，(6,21)M -(3)存在，(4,5)P -4．(1)2(1)4y x =--+(2)C (-1，0)；D (3，0)；6(3)()11-或()11-5．(1)239344y x x =-++；对称轴为直线32x =； (2)当2m =时，以点P 、N 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形；(3)M （1，0）6．(1)抛物线的函数解析式为y =-x 2-2x +3；(2)△BCN 的面积最大值为278，N (−32，154)； (3)存在，P 的坐标是（-5，-12）或（3，-12）或（-1，4）．7．(1)2t =； (2)83t =s ；(3)22)S t -+S 取得最小值为 (4)存在某一时刻43t =s ，使得PQ PC =8．(1)（6，0）(2)△211242n n -++；△274(3)（1，－6）或（－5，6）9．(1)223y x x =--+； (2)3322⎛⎫- ⎪⎝⎭，； (3)当Q 点为(3,0)或(1,0)-或(3,6)-时，以B ，C ，E ，Q 为顶点的四边形为平行四边形．10．(1)2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(2)存在，点35,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)存在，点(2,2)Q -或321(,)48-11．(1)284cm 5 (2)当t 为4或1.6或5.5时，以Q ，P ，C 为顶点的三角形是等腰三角形12．(1)4y x =-+(2)234y x x =-++(3)BD OC =(4)(21-)或(21)或(1，6)13．(1)y =x 2-2x -3(2)(2，-3)(3)1或-214．(1)223y x x =--；y ＝x ＋1； (2)258，315,24E ⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)y x =或y =15．(1)223y x x =--+， (1,4)-(2)△()1,2P ；△758， 315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭16．(1)2y x 2x 3=-++ (2)213(04)42S m m m =-+<≤(3)不存在17．(1)215322y x x =-++ (2)52k ≠(3)存在，点P 的坐标为8⎫-⎪⎪⎝⎭或8⎫-⎪⎪⎝⎭18．(1)2y x 2x 3=-++ (2)278(3)存在；Q 的坐标为(0,0)或(9,0)19．(1)234y x x =-++ (2)16P （，）或26P（，） (3)()3,4P20．(1)234y x x =--(2)6+(3)存在，点H 的坐标为1684,525⎛⎫- ⎪⎝⎭或521,24⎛⎫- ⎪⎝⎭。

二次函数及其运用复习考点攻略考点一 二次函数相关概念1. 二次函数：一般地.形如y =ax 2+bx +c （a .b .c 是常数.a ≠0）的函数.叫做二次函数．2. 二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a .b .c 为常数.a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a .h .k 为常数.a ≠0）.顶点坐标是（h .k ）．（3）交点式：y =a （x –x 1）（x –x 2）.其中x 1.x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标.a ≠0 【例1】若y =（a –1）x 2–ax +6是关于x 的二次函数.那么a 的取值范围是（ ） A ．a ≠0B ．a ≠1C ．a ≠1且a ≠0D ．无法确定【答案】【答案】B【解析】根据二次函数的定义.a –1≠0.即a ≠1．故选B ．考点二 二次函数的图像和性质1．二次函数的图象与性质解析式二次函数y=ax 2+bx +c （a .b .c 是常数.a ≠0）对称轴x =–2b a顶点 （–2b a .244ac b a-） a 的符号a >0a <0图象开口方向 开口向上 开口向下 最值当x =–2ba 时. y 最小值=244ac b a -当x =–2b a时. y 最大值=244ac b a-最点抛物线有最低点 抛物线有最高点增减性当x <–2ba时.y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时.y 随x 的增大而增大 当x <–2ba时.y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时.y 随x 的增大而减小 字母的符号图象的特征 aa >0 开口向上 a <0 开口向下b b =0对称轴为y 轴ab >0（a 与b 同号） 对称轴在y 轴左侧 ab <0（a 与b 异号）对称轴在y 轴右侧c c =0经过原点 c >0 与y 轴正半轴相交 c <0与y 轴负半轴相交【例2】已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示.则反比例函数y x=与一次函数y cx b =-+在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】解：根据二次函数图象与y 轴的交点可得c ＞0.根据抛物线开口向下可得a ＜0.由对称轴在y 轴右边可得a 、b 异号.故b ＞0.则反比例函数ay x=的图象在第二、四象限. 一次函数y cx b =-+经过第一、二、四象限.故选：C ．【例3】如图.二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的对称轴为直线x ＝﹣1.下列结论：①abc ＜0；②3a ＜﹣c ；③若m 为任意实数.则有a ﹣bm ≤am 2+b ； ④若图象经过点（﹣3.﹣2）.方程ax 2+bx +c +2＝0的两根为x 1.x 2（|x 1|＜|x 2|）.则2x 1﹣x 2＝5．其中正确的结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】C【解析】解：由图象可知：a ＜0.c ＞0.12ba-=- .∴b ＝2a ＜0.∴abc ＞0.故①abc ＜0错误； 当x ＝1时.y ＝a +b +c ＝a +2a +c ＝3a +c ＜0.∴3a ＜﹣c .故②3a ＜﹣c 正确； ∵x ＝﹣1时.y 有最大值.∴a ﹣b +c ≥am 2+bm +c （m 为任意实数）. 即a ﹣b ≥am 2+bm .即a ﹣bm ≥am 2+b .故③错误；∵二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象经过点（﹣3.﹣2）.方程ax 2+bx +c +2＝0的两根为x 1.x 2（|x 1|＜|x 2|）.∴二次函数y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝﹣2的一个交点为（﹣3.﹣2）.∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1.∴二次函数y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝﹣2的另一个交点为（1.﹣2）.即x 1＝1.x 2＝﹣3.∴2x 1﹣x 2＝2﹣（﹣3）＝5.故④正确．所以正确的是②④；故选：C ．【例4】若二次函数2y a x bx c =++的图象经过A （m .n ）、B （0.y 1）、C （3–m .n ）、D 2.y 2）、E （2.y 3）.则y 1、y 2、y 3的大小关系是 A ．231y y y ＜＜ B ．132y y y ＜＜ C ．321y y y ＜＜ D ．123y y y ＜＜【答案】A【解析】∵经过A （m .n ）、C （3–m .n ）.∴二次函数的对称轴x =32. ∵B （0.y 1）、D 2.y 2）、E （2.y 3）与对称轴的距离B 最远.D 最近. ∵|a |>0.∴y 1>y 3>y 2；故选A ．考点三 二次函数图像的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y =a （x –h ） 2+k .顶点坐标为（h .k ）． 2．保持y =ax 2的形状不变.将其顶点平移到（h .k ）处.具体平移方法如下：【注意】二次函数平移遵循“上加下减.左加右减”的原则.据此.可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移.可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．【例5】如果将抛物线y=–x2–2向右平移3个单位长度.那么所得到的新抛物线的表达式是A．y=–x2–5 B．y=–x2+1C．y=–（x–3）2–2 D．y=–（x+3）2–2【答案】C【解析】y=–x2–2的顶点坐标为（0.–2）.∵向右平移3个单位长度.∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3.–2）.∴所得到的新抛物线的表达式是y=–（x–3）2–2．故选C．考点四二次函数与一元二次方程、一元二次不等式1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）.当y=0时.就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根.抛物线与x轴有两个交点；（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根.抛物线与x轴有且只有一个交点；（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根.抛物线与x轴没有交点．【例6】抛物线y=2x2–4x+m的部分图象如图所示.则关于x的一元二次方程2x2–4x+m=0的解是__________．【例7】如图是二次函数y=a（x+1）2+2图象的一部分.则关于x的不等式a（x+1）2+2>0的解集是A．x<2 B．x>–3C．–3<x<1 D．x<–3或x>1【答案】C【解析】二次函数y=a（x+1）2+2的对称轴为x=–1.∵二次函数y=a（x+1）2+2与x轴的一个交点是（–3.0）.∴二次函数y=a（x+1）2+2与x轴的另一个交点是（1.0）.∴由图象可知关于x的不等式a（x+1）2+2>0的解集是–3<x<1．故选C．考点五二次函数的综合运用1、函数存在性问题解决二次函数存在点问题.一般先假设该点存在.根据该点所在的直线或抛物线的表达式.设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式.求出该点的坐标.然后判别该点坐标是否符合题意.若符合题意.则该点存在.否则该点不存在．2、函数动点问题（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．（2）解答动点函数图象问题.要把问题拆分.分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式.进而确定函数图象；解答二次函数综合题.要把大题拆分.做到大题小做.逐步分析求解.最后汇总成最终答案．（3）解决二次函数动点问题.首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动.运动速度是多少.结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度.最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．【例8】如图.抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝1.与y 轴交于点B （0.﹣2）.点A （﹣1.m ）在抛物线上.则下列结论中错误的是（ ）A ．ab ＜0B ．一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的正实数根在2和3之间C ．a ＝23m + D ．点P 1（t .y 1）.P 2（t +1.y 2）在抛物线上.当实数t ＞13时.y 1＜y 2 【答案】D【解析】解：∵抛物线开口向上.∴a ＞0.∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2ba＝1. ∴b ＝﹣2a ＜0.∴ab ＜0.所以A 选项的结论正确；∵抛物线的对称轴为直线x ＝1.抛物线与x 轴的一个交点坐标在（0.0）与（﹣1.0）之间. ∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标在（2.0）与（3.0）之间.∴一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的正实数根在2和3之间.所以B 选项的结论正确； 把B （0.﹣2）.A （﹣1.m ）代入抛物线得c ＝﹣2.a ﹣b +c ＝m .而b ＝﹣2a . ∴a +2a ﹣2＝m .∴a ＝23m +.所以C 选项的结论正确； ∵点P 1（t .y 1）.P 2（t +1.y 2）在抛物线上.∴当点P 1、P 2都在直线x ＝1的右侧时.y 1＜y 2.此时t ≥1；当P 1在直线x ＝1的左侧.点P 2在直线x ＝1的右侧时.y 1＜y 2.此时0＜t ＜1且t +1﹣1＞1﹣t .即12＜t ＜1. ∴当12＜t ＜1或t ≥1时.y 1＜y 2.所以D 选项的结论错误；故选：D ． 【例9】如图.抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()21，-.并且与y 轴交于点()03，C .与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的表达式．（2）如图1.设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D .点E 为直线BC 上一动点.过点E 作y 轴的平行线EF .与抛物线交于点F .问是否存在点E .使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似．若存在.求出点E 的坐标；若不存在.请说明理由．【答案】（1）22(2)143y x x x =--=-+；（2）（222）或（22）或（1.2）或（4.-1）．【解析】（1）该抛物线的顶点坐标为(21)-，.所以该抛物线的解析式为2(2)1y a x =--.又该抛物线过点(03)C ，.代入2(2)1y a x =--得：学=科网 413a -=.解得1a =.故该抛物线的解析式为22(2)143y x x x =--=-+．（2）假设存在点E .使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似． 由（1）知.该抛物线的解析式是y =x 2-4x +3.即y =（x -1）（x -3）. ∴该抛物线与x 轴的交点坐标分别是A （1.0）.B （3.0）． ∵C （0.3）.∴易求直线BC 的解析式为：y =-x +3． ∴∠OBC =∠OCB =45°．又∵点D 是对称轴上的一点.∴D （2.1）． 如图.连接DF ．∵EF ∥y 轴.∴只有∠EFD =∠COB =90°．∵以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似. ∴∠DEF =∠FDE =45°. ∴只有△EFD ∽△COB ．设E （x .-x +3）.则F （x .1）. ∴1=x 2-4x +3. 解得x =2±2.当x 2时.y =-x +3=12 当x =22.y =-x 2∴E 1（222）、E 2（2.12）．∠EDF =90°；易知.直线AD ：y =x -1.联立抛物线的解析式有： x 2-4x +3=x -1.解得 x 1=1.x 2=4； 当x =1时.y =-x +3=2； 当x =4时.y =-x +3=-1； ∴E 3（1.2）.E 4（4.-1）．∴综上.点E 的坐标为（222）或（2.12）或（1.2）或（4.-1）．第一部分 选择题一、选择题（本题有10小题.每题4分.共40分）1. 函数y =21(1)m m x ++是二次函数.则m 的值是（ ） A ．±1 B ．1C ．–1D ．以上都不对【答案】B【解析】∵函数y =21(1)m m x++是二次函数.∴m 2+1=2且m +1≠0.解得m =1．故选B ．2.一次函数y ax b =+与二次函数2y ax bx c =++在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】解：A 、∵二次函数图象开口向上.对称轴在y 轴右侧.∴a>0.b ＜0.∴一次函数图象应该过第一、三、四象限.A 错误；B 、∵二次函数图象开口向上.对称轴在y 轴左侧.∴a>0.b>0.∴一次函数图象应该过第一、二、三象限.B 正确；C 、∵二次函数图象开口向下.对称轴在y 轴右侧.∴a<0.b>0.∴一次函数图象应该过第一、二、四象限.C 错误；D 、∵二次函数图象开口向下.对称轴在y 轴左侧.∴a ＜0.b ＜0.∴一次函数图象应该过第二、三、四象限.D 错误．故选：B ．3.在函数2(1)3y x =-+中.当y 随x 的增大而减小时.则x 的取值范围是（ ）A ．1x ≥B ．0x >C ．3x <D ．1x ≤【答案】D【解析】二次函数2(1)3y x =-+的对称轴为直线1x =. ∵0a >.∴1x ≤时.y 随x 的增大而减小.故选D.4.把抛物线y =12x 2–1先向右平移1个单位长度.再向下平移2个单位长度.得到的抛物线的解析式为（ ）A ．y =12（x +1）2–3B ．y =12（x –1）2–3C ．y =12（x +1）2+1D ．y =12（x –1）2+1【答案】B【解析】∵把抛物线y =12x 2–1先向右平移1个单位.再向下平移2个单位.∴得到的抛物线的解析式为y =12（x –1）2–3.故选B ．5.如图.一次函数 (a>0)的图象与x 轴交于A.B 两点.与y 轴正半轴交于点C.它的对称轴为直线x=-1.则下列选项中正确的是（ ）A.B.C.D. 当(n 为实数)时.【答案】 D 【解析】解：A 、∵图象开口向上.∵a>0.∵对称轴在y 轴左侧. ∵x=-<0, ∵b>0；∵图象与y 轴的交点在y 轴上方. ∵c>0. ∵abc>0, 不符合题意；B、∵抛物线与x轴有两个交点.∵ .即,不符合题意；C、设图象的顶点为（1.k）,∵k<0.则y=a(x+1)2+k=ax2+2ax+a+k,∵c=a+k,∵c-a=k<0,不符合题意；D、∵当x≥0, y≥c, 又∵n2≥0,.∵x=-n2-2,由对称的性质可知这时的y≥c. 故答案为：D.6.飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间以（单位：）的函数解析式是y=6t﹣3 2t2．在飞机着陆滑行中.滑行最后的150m所用的时间是（）s．A．10 B．20 C．30 D．10或30 【答案】A【解析】当y取得最大值时.飞机停下来.则y=60t﹣1.5t2=﹣1.5（t﹣20）2+600.此时t=20.飞机着陆后滑行600米才能停下来．因此t的取值范围是0≤t≤20；即当y=600﹣150=450时.即60t﹣32t2=450.解得：t=10.t=30（不合题意舍去）.∴滑行最后的150m所用的时间是20﹣10=10.故选A．7.三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形.两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时.大孔水面宽度为10米.孔顶离水面1.5米；当水位下降.大孔水面宽度为14米时.单个小孔的水面宽度为4米.若大孔水面宽度为20米.则单个小孔的水面宽度为（）A．3B．2米C．13D．7米【答案】B【解析】解：如图.建立如图所示的平面直角坐标系.由题意可得MN=4.EF=14.BC=10.DO=32.设大孔所在抛物线解析式为y =ax 2+32.∵BC =10.∴点B （﹣5.0）.∴0=a ×（﹣5）2+32.∴a =-350. ∴大孔所在抛物线解析式为y =-350x 2+32.设点A （b .0）.则设顶点为A 的小孔所在抛物线的解析式为y =m （x ﹣b ）2.∵EF =14.∴点E 的横坐标为-7.∴点E 坐标为（-7.-3625）. ∴-3625=m （x ﹣b ）2.∴x 1615m +b.x 2615m -+b.∴MN =4.∴615m -b -（615m-b ）|=4 ∴m =-925.∴顶点为A 的小孔所在抛物线的解析式为y =-925（x ﹣b ）2. ∵大孔水面宽度为20米.∴当x =-10时.y =-92.∴-92=-925（x ﹣b ）2.∴x 1522b .x 2=-522+b . ∴单个小孔的水面宽度=|522b ）-（522b ）|=2（米）.故选：B ．8.已知二次函数()()2221y a x a x =--++.当x 取互为相反数的任意两个实数值时.对应的函数值y 总相等.则关于x 的一元二次方程()()22210a x a x --++=的两根之积为（ ） A ．0 B ．1-C ．12-D ．14-【答案】D【解析】解：∵二次函数2(2)(2)1y a x a x =--++.当x 取互为相反数的任意两个实数值时.对应的函数值y 总相等.可知二次函数图像的对称轴为直线x=0.即y 轴.则()202(2)a a -+-=-.解得：a=-2.则关于x 的一元二次方程2(2)(2)10a x a x --++=为2410x -+=.则两根之积为14-.故选D.9.如图.正方形四个顶点的坐标依次为（1.1）.（3.1）.（3.3）.（1.3）.若抛物线y=ax 2的图象与正方形有公共顶点.则实数a 的取值范围是（ ）A ．139a ≤≤ B ．119a ≤≤ C ．133a ≤≤ D ．113a ≤≤ 【答案】A【解析】解：当抛物线经过（1.3）时.a=3. 当抛物线经过（3.1）时.a=19.观察图象可知19≤a≤3.故选：A ． 10.二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示.下列结论：①b 2﹣4ac ＞0；②abc ＜0；③4a +b ＝0；④4a ﹣2b +c ＞0．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】解：由图象知.抛物线与x 轴有两个交点.∴方程ax 2+bx +c ＝0有两个不相等的实数根.∴b 2﹣4ac ＞0.故①正确.由图象知.抛物线的对称轴直线为x ＝2.∴﹣2ba＝2.∴4a +b ＝0.故③正确.由图象知.抛物线开口方向向下.∴a ＜0.∵4a +b ＝0.∴b ＞0.而抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上.∴c ＞0.∴abc ＜0.故②正确.由图象知.当x ＝﹣2时.y ＜0.∴4a ﹣2b +c ＜0.故④错误. 即正确的结论有3个.故选：B ．第二部分 填空题二、填空题（本题有6小题.每题4分.共24分）11.已知抛物线22232(0)y ax ax a a =--+≠．设点()1,P m y .()23,Q y 在抛物线上.若12y y <.则m 的取值范围 ．【答案】当a ＞0时.13m -<<；当a ＜0时.1m <-或3m >．【解析】∵抛物线的对称轴为1x =.∴()23,Q y 关于1x =的对称点为2(1,)y -. 当a ＞0时.若12y y <.则-1＜m ＜3； 当a ＜0时.若12y y <.则m ＜-1或m ＞3.12.将抛物线21:23C y x x =-+向左平移1个单位长度.得到抛物线2C .抛物线2C 与抛物线3C 关于x 轴对称.则抛物线3C 的解析式为 【答案】22y x =--【解析】解：抛物线21:23C y x x =-+向左平移1个单位长度.得到抛物线2C ：()()2+12+13=-+y x x .即抛物线2C ：22y x =+;由于抛物线2C 与抛物线3C 关于x 轴对称.则抛物线3C 的解析式为：22y x =--.13.如图是抛物线形拱桥.当拱顶高离水面2 m 时.水面宽4 m.水面下降2.5 m.水面宽度增加【答案】2 m【解析】如图.建立平面直角坐标系.设横轴x 通过AB .纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点.则通过画图可得知O 为原点.抛物线以y 轴为对称轴.且经过A .B 两点.可求出OA 和OB 均为AB 的一半.即OA =OB =2 m.抛物线顶点C 坐标为（0.2）.设顶点式y =ax 2+2.把A 点坐标（–2.0）代入得a =–0.5.∴抛物线解析式为y =–0.5x 2+2.当水面下降2.5 m.通过观察图上的抛物线可得当y =–2.5时.对应的抛物线上两点之间的距离.也就是直线y =–1与抛物线相交时两点之间的距离.把y =–2.5代入抛物线解析式得出：–2.5=–0.5x 2+2.解得：x =±3.2×3–4=2.所以水面下降2.5 m.水面宽度增加2 m ．14. 若A （–3.5.y 1）、B （–1.y 2）、C （1.y 3）为二次函数y =–x 2–4x +5的图象上三点.则y 1.y 2.y 3的大小关系是__________． 【答案】y 2>y 1>y 3【解析】对称轴为直线x =–2b a =–42(1)-⨯-=–2.∵a =–1<0.∴当x <–2时.y 随x 的增大而增大.当x >–2时.y 随x 的增大而减小.∵–2–（–3.5）=–2+3.5=1.5.–1–（–2）=–1+2=1.1–（–2）=1+2=3.∴y 2>y 1>y 3．故答案为：y 2>y 1>y 3．15. 如图.抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于A （-1.P ）.B （3.q ）两点.则不等式2ax mx c n ++>的解集是__________．【答案】3x <-或1x >【解析】∵抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于()1,A p -.()3,B q 两点.∴m n p -+=.3m n q +=.∴抛物线2y ax c =+与直线y mx n =-+交于()1,P p .()3,Q q -两点.观察函数图象可知：当3x <-或1x >时.直线y mx n =-+在抛物线2y ax bx c=++的下方.∴不等式2ax mx c n ++>的解集为3x <-或1x >．故答案为：3x <-或1x >．16.如图.抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点A 、B .顶点为C .对称轴为直线1x =.给出下列结论：①0abc <；②若点C 的坐标为1,2.则ABC 的面积可以等于2；③()()1122,,,M x y N x y 是抛物线上两点()12x x <.若122x x +>.则12y y <；④若抛物线经过点(3,1)-.则方程210ax bx c +++=的两根为1-.3其中正确结论的序号为_______．【答案】①④ 【解析】解：①开口向下.∴ a<0.对称轴x=1,a<0,∴ b>0.抛物线与y 轴的交点在y 的正半轴上.∴ c>0. abc<0.正确． ②从图像可知.AB>4,12ABC y S AB C ∆=⨯⨯>1422⨯⨯.2ABC S ∆∴> .故错误． ③122x x +>.∴从图像可知 1x 到1的距离小于2x 到1的距离.从图像可知.越靠近对称轴.函数值越大；12y y ∴> .故错误．④把点（3.-1）代入抛物线得931a b c ++=- .即21ax bx c ++=- .∴210ax bx c +++=.即x=3.是方程210ax bx c +++=的解.根据抛物线的对称性.所以另一解为-1.故正确．第三部分 解答题三、解答题（本题有6小题.共56分）17.如图.一名男生推铅球.铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++．求：（1）铅球在行进中的最大高度；（2）该男生将铅球推出的距离是多少m ？【答案】（1）铅球在行进中的最大高度为3m ；（2）该男生把铅球推出的水平距离是10m ． 【解析】（1）221251(4)3123312y x x x =-++=--+. ∵1012-<. ∴y 的最大值为3.∴铅球在行进中的最大高度为3m ． （2）令0y =得：212501233x x -++= 解方程得.110x =.22x =-（负值舍去）． ∴该男生把铅球推出的水平距离是10m ．18. 已知：二次函数223y x x =++与一次函数35y x =+． （1）两个函数图象相交吗？若相交.有几个交点？（2）将直线35y x =+向下平移k 个单位.使直线与抛物线只有一个交点.求k 的值． 【答案】（1）见解析；（2）94k = 【解析】（1）22335y x x y x ⎧=++⎨=+⎩. 解得.12x y =-⎧⎨=⎩或211x y =⎧⎨=⎩. 即两个函数图象相交.有两个交点；（2）将直线35y x =+向下平移k 个单位.得直线35y x k =+-. 令22335x x x k ++=+-. 得220x x k --+=.∵直线与抛物线只有一个交点.∴△22414(2)1840b ac k k =-=-⨯-+=+-=.解得.94k =． 19. 如图.在平面直角坐标系中.二次函数 图象的顶点是A.与x 轴交于B.C两点.与y 轴交于点D.点B 的坐标是(1.0).（1）求A.C两点的坐标.并根据图象直接写出当y>0时x的取值范围.（2）平移该二次函数的图象.使点D恰好落在点A的位置上.求平移后图象所对应的二次函数的表达式.【答案】（1）1<x<3；（2）y=-(x-4)2+5【解析】（1）解：把B(1.0)代入y=ax²+4x-3.得0=a+4-3. 解得a=-1.∴y=-x²+4x-3=-(x-2)2+1.∴点A坐标为(2.1).∵抛物线的对称轴为直线x-2.且点C与点B关于对称轴对称.∴点C(3.0).∴当y>0时.x的取值范围是1<x<3（2）解：D(0.-3).∴点D移到点A时.抛物线向右平移2个单位.向上平移4个单位.所以抛物线的解析式为y=-(x-4)2+520.如图.直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点.抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点.并且点M在第一象限内.连接AM、BM.设点M 的横坐标为m.△ABM的面积为S.求S与m的函数表达式.并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下.当S取得最大值时.动点M相应的位置记为点M′．写出点M′的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）（3）（.）【解析】解：（1）直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点.则点A、B的坐标分别为：（1.0）、（0.3）.抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B（0.3）.则a+4＝3.解得：a＝﹣1.故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）过点M作MH⊥x轴于点H.设点M（m.﹣m2+2m+3）.﹣S⊥OAB﹣S⊥AMH＝（﹣m2+2m+3+3）×m﹣[3×1+（m﹣1）（﹣则S＝S梯形BOHMm2+2m+3）]＝﹣m2+m.∵0.故S有最大值.当m＝时.S的最大值为：；（3）当S取得最大值时.此时.m＝.则y＝﹣m2+2m+3＝.故点M′的坐标为：（.）．21.如图.在平面直角坐标系中.已知二次函数图象的顶点为A.与y轴交于点B.异于顶点A的点C(1.n)在该函数图象上.（1）当m=5时.求n的值.（2）当n=2时.若点A在第一象限内.结合图象.求当y 时.自变量x的取值范围.（3）作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方.且在线段OD上时.求m的取值范围. 【答案】（1）（2）1≤x≤5 .（3）0≤m＜1或1＜m＜2 .【解析】（1）解：当m＝5时.y＝.当x＝1时. n＝.（2）解：当n＝2时.将C(1.2)代入函数表达式y＝.得2＝.解得m1＝3. m2＝－1(舍去).∵此时抛物线的对称轴为直线x=3.根据抛物线的轴对称性.当y＝2时.有x1＝1 .x2＝5.∵x的取值范围为1≤x≤5.（3）解：∵点A与点C不重合. ∵m≠1.∵抛物线的顶点A的坐标是(m.4) .∵抛物线的顶点在直线y＝4上.当x＝0时.y＝.∵点B的坐标为(0. ).抛物线从试题图位置向左平移到图2的位置前.m减小.点B沿y轴上向上移动.当点B 与点O 重合时.＝0. 解得 m 1＝ .m 2＝ .当点B 与点D 重合时.如图2.顶点A 也与点B.D 重合.点B 到达最高点.∵点B 的点坐标为（0.4）.∵＝4.解得 m ＝0.当抛物线从图2位置继续向左平移时.如图3点B 不在线段OD 上.∵ B 点在线段OD 上时.m 的取值范围是0≤m ＜1或1＜m ＜2.22.如图.二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于点()30A -,.()10B ,.交y 轴于点C ．点(),0P m 是x 轴上的一动点.PM x ⊥轴.交直线AC 于点M .交抛物线于点N ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P 仅在线段AO 上运动.如图1．求线段MN 的最大值；②若点P 在x 轴上运动.则在y 轴上是否存在点Q .使以M .N .C .Q 为顶点的四边形为菱形．若存在.请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在.请说明理由．【答案】（1）223y x x =+-；（2）①94.②存在.123(0,321),(0,1),(0,321)Q Q Q --- 【解析】解：（1）把(3,0),(1,0)A B -代入2y x bx c =++中.得093,01.b c x c =-+⎧⎨=++⎩ 解得2,3.b c =⎧⎨=-⎩∴223y x x =+-． （2）设直线AC 的表达式为y kx b =+.把(3,0),(0,3)A C --代入y kx b =+．得.03,3.k b b =-+⎧⎨-=⎩解这个方程组.得1,3.k b =-⎧⎨=-⎩∴3y x =--． ∵点(),0P m 是x 轴上的一动点.且PM x ⊥轴．∴()2(,3),,23M m m N m m m --+-． ∴()2(3)23MN m m m =---+-23m m =--23924m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭． ∵10a =-<.∴此函数有最大值．又∵点P 在线段OA 上运动.且3302-<-< ∴当32m =-时.MN 有最大值94． ②∵点(),0P m 是x 轴上的一动点.且PM x ⊥轴．∴()2(,3),,23M m m N m m m --+-． ∴()2(3)23MN m m m =---+-23m m =--（i ）当以M .N .C .Q 为顶点的四边形为菱形.则有MN=MC .如图.∵C （0.-3）∴222(0)(33)2m m m -+--+= ∴223=2m m m --整理得.432670m m m ++=∵20m ≠.∴2670m m ++=.解得.132m =-.232m =-∴当32m =-.CQ=MN=322.∴OQ=-3-(322)=321-∴Q(0.321-)； 当m=32-时.CQ=MN=-322.∴OQ=-3-(-322)=321∴Q(0.321-)； (ii)若2MC MN =.如图.则有223=22m m m --.432650m m m ++= ∵20m ≠.∴2650m m ++=.解得.11m =-.25m =-当m=-1时.MN=CQ=2.∴Q （0.-1）.当m=-5时.MN=-10＜0（不符合实际.舍去）综上所述.点Q 的坐标为123(0,321),(0,1),(0,321)Q Q Q --.。