第七章 压杆稳定一、压杆稳定的基本概念受压直杆在受到干扰后，由直线平衡形式转变为弯曲平衡形式，而且干扰撤除后，压杆仍保持为弯曲平衡形式，则称压杆丧失稳定，简称失稳或屈曲。
压杆失稳的条件是受的压力cr P P ≥。
cr P 称为临界力。
二、学会各种约束情形下的临界力计算压杆的临界力A P cr cr σ=，临界应力cr σ的计算公式与压杆的柔度il μλ=所处的范围有关。
以三号钢的压杆为例：p λλ≥，称为大柔度杆，22λπσE cr= p s λλλ≤≤，称为中柔度杆，λσb a cr -=。
s λλ≤，称为小柔度杆，s cr σσ=。
三、压杆的稳定计算有两种方法1）安全系数法st cr n PPn ≥=，st n 为稳定安全系数。
2）稳定系数法][][σϕσσ=≤=st A P，ϕ为稳定系数。
四、学会利用柔度公式，提出提高压杆承载能力的措施根据ilμλ=，AIi =，λ愈大，则临界力（或临界应力）愈低。
提高压杆承载能力的措施为：1）减小杆长。
2）增强杆端约束。
3）提高截面形心主轴惯性矩I 。
且在各个方向的约束相同时，应使截面的两个形心主轴惯性矩相等。
4）合理选用材料。
§15-1 压杆稳定的概念构件除了强度、刚度失效外，还可能发生稳定失效。
例如，受轴向压力的细长杆，当压力超过一定数值时，压杆会由原来的直线平衡形式突然变弯（图15-1a ），致使结构丧失承载能力；又如，狭长截面梁在横向载荷作用下，将发生平面弯曲，但当载荷超过一定数值时，梁的平衡形式将突然变为弯曲和扭转（图15-1b ）；受均匀压力的薄圆环，当压力超过一定数值时，圆环将不能保持圆对称的平衡形式，而突然变为非圆对称的平衡形式（图15-1c ）。
上述各种关于平衡形式的突然变化，统称为稳定失效，简称为失稳或屈曲。
工程中的柱、桁架中的压杆、薄壳结构及薄壁容器等，在有压力存在时，都可能发生失稳。
由稳定平衡转变为不稳定平衡时所受的轴向压力，称为临界载荷，或简称为临界力，用cr P 表示。
为了保证压杆安全可靠的工作，必须使压杆处于直线平衡形式，因而压杆是以临界力作为其极限承载能力。
§15-2 细长压杆的临界力根据压杆失稳是由直线平衡形式转变为弯曲平衡形式的这一重要概念，可以预料，凡是影响弯曲变形的因素，如截面的抗弯刚度EI ，杆件长度l 和两端的约束情况，都会影响压杆的临界力。
确定临界力的方法有静力法、能量法等。
本节采用静力法，以两端铰支的中心受压直杆为例，说明确定临界力的基本方法。
1．两端铰支压杆的临界力两端铰支中心受压的直杆如图15-4a 所示。
设压杆处于临界状态，并具有微弯的平衡形式，如图15-4b 所示。
建立x v -坐标系，任意截面（x ）处的内力（图15-4c ）为),(压力P N = Pv M =在图示坐标系中，根据小挠度近似微分方程EIMdx v d -=22，得到v EI Pdxv d -=22令EIPk =2，得微分方程 0222=+v k dxvd （a ） 此方程的通解为kx B kx A v cos sin +=利用杆端的约束条件，0,0==v x ，得0=B ，可知压杆的微弯挠曲线为正弦函数：kx A v sin = （b ）利用约束条件，0,==v l x ，得0sin =kl A这有两种可能：一是0=A ，即压杆没有弯曲变形，这与一开始的假设（压杆处于微弯平衡形式）不符；二是n kl =π，=n １、２、３……。
由此得出相应于临界状态的临界力表达式222l EI n P cr π=实际工程中有意义的是最小的临界力值，即1=n 时的 cr P 值：22l EIP cr π=（15-1）此即计算压杆临界力的表达式，又称为欧拉公式。
因此，相应的 cr P 也称为欧拉临界力。
此式表明，cr P 与抗弯刚度（EI ）成正比，与杆长的平方（ 2l ）成反比。
压杆失稳时，总是绕抗弯刚度最小的轴发生弯曲变形。
因此，对于各个方向约束相同的情形（例如球铰约束），式（15-1）中的I 应为截面最小的形心主轴惯性矩。
将lk π=代入式（b ）得压杆的挠度方程为lxA v πsin= （c ）在2l x =处，有最大挠度A v =max 。
在上述分析中，m ax v 的值不能确定，其与 P 的关系曲线如图15-5中的水平线'AA 所示，这是由于采用挠曲线近似微分方程求解造成的；如采用挠曲线的精确微分方程，则得max v P -曲线如图15-5中ＡＣ所示。
这种max v P -曲线称为压杆的平衡路径，它清楚显示了压杆的稳定性及失稳后的特性。
可以看出，当P <cr P 时，压杆只有一条平衡路径ＯＡ，它对应着直线平衡形式。
当cr P P ≥时，其平衡路径出现两个分支（A Ｂ和A Ｃ），其中一个分支（A Ｂ）对应着直线平衡形式，另一个分支（A Ｃ）对应着弯曲平衡形式。
前者是不稳定的，后者是稳定的。
如ＡＢ路径中的Ｄ点一经干扰将达到ＡＣ路径上同一 P 值的 E 点，处于弯曲平衡形式，而且该位置的平衡是稳定的。
平衡路径出现分支处的 P 值即为临界力 cr P ，故这种失稳称为分支点失稳。
分支点失稳发生在理想受压直杆的情况。
对实际使用的压杆而言，轴线的初曲率、压力的偏心、材料的缺陷和不均匀等因素总是存在的，为非理想受压直杆。
对其进行实验或理论分析所得平衡路径如图15-5中的ＯＦＧＨ曲线，无平衡路径分支现象，一经受压（无论压力多小）即处于弯曲平衡形式，但也有稳定与不稳定之分。
当压力P <m ax P ，处于路径ＯＦＧ段上的任一点，如施加使其弯曲变形微增的干扰，然后撤除，仍能恢复原状（当处于弹性变形范围），或虽不能完全恢复原状（如已发生塑性变形）但仍能在原有压力下处于平衡状态，这说明原平衡状态是稳定的。
而下降路径ＧＨ段上任一点的平衡是不稳定的，因一旦施加使其弯曲变形微增的干扰，压杆将不能维持平衡而被压溃。
压力m ax P 称为失稳极值压力，它比理想受压直杆的临界力cr P 小，且随压杆的缺陷（初曲率、压力偏心等）的减小而逐渐接近cr P 。
因cr P 的计算比较简单，它对非理想受压直杆的稳定计算有重要指导意义，故本书的分析是以理想受压直杆为主。
2．其他约束情况压杆的临界力用上述方法，还可求得其他约束条件下压杆的临界力，结果如下：1）一端固定、一端自由的压杆（图15-6a ）22)2(l EIP cr π=2）两端固定的压杆（图15-6b ）22)5.(l o EIP cr π=3）一端固定、一端铰支的压杆（图15-6c ）22)7.0(l EIP cr π≈综合起来，可以得到欧拉公式的一般形式为22)(l EIP cr μπ= （15-2） 式中，l μ 称为相当长度。
μ称为长度系数，它反映了约束情况对临界载荷的影响：两端铰支 1=μ 一端固定、一端自由 2=μ 两端固定 5.0=μ 一端固定、一端铰支 7.0≈μ由此可知，杆端的约束愈强，则 μ值愈小，压杆的临界力愈高；杆端的约束愈弱，则μ值愈大，压杆的临界力愈低。
事实上，压杆的临界力与其挠曲线形状是有联系的，对于后三种约束情况的压杆，如果将它们的挠曲线形状与两端铰支压杆的挠曲线形状加以比较，就可以用几何类比的方法，求出它们的临界力。
从15-6中挠曲线形状可以看出：长为 l 的一端固定、另端自由的压杆，与长为l 2的两端铰支压杆相当；长为 l 的两端固定压杆（其挠曲线上有Ａ、Ｂ两个拐点，该处弯矩为零），与长为0.5l 的两端铰支压杆相当；长为 l 的一端固定、另端铰支的压杆，约与长为l 7.0的两端铰支压杆相当。
需要指出的是，欧拉公式的推导中应用了弹性小挠度微分方程，因此公式只适用于弹性稳定问题。
另外，上述各种 μ值都是对理想约束而言的，实际工程中的约束往往是比较复杂的，例如压杆两端若与其他构件连接在一起，则杆端的约束是弹性的，μ值一般在0.5与1之间，通常将 μ值取接近于1。
对于工程中常用的支座情况，长度系数μ可从有关设计手册或规范中查到。
§15-3压杆的临界应力如上节所述，欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的。
为了判断压杆失稳时是否处于弹性范围，以及超出弹性范围后临界力的计算问题，必须引入临界应力及柔度的概念。
压杆在临界力作用下，其在直线平衡位置时横截面上的应力称为临界应力，用 crσ表示。
压杆在弹性范围内失稳时，则临界应力为：2222222)()(λπμπμπσEl Ei A l EI A P cr cr==== （15-3） 式中λ称为柔度，i 为截面的惯性半径，即ilμλ=， AIi =（15-4） 式中Ｉ为截面的最小形心主轴惯性矩，Ａ为截面面积。
柔度 λ又称为压杆的长细比。
它全面的反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形状对临界力的影响。
柔度 λ在稳定计算中是个非常重要的量，根据λ所处的范围，可以把压杆分为三类：（一）细长杆（p λλ≥）当临界应力小于或等于材料的比例极限 p σ时，即p cr Eσλπσ≤=22压杆发生弹性失稳。
若令pp Eσπλ2=（15-5） 则p λλ≥时，压杆发生弹性失稳。
这类压杆又称为大柔度杆。
对于不同的材料，因弹性模量Ｅ和比例极限 p σ各不相同， p λ的数值亦不相同。
例如A3钢，GPa 210=E ，MPa 200=p σ，用式（15-5）可算得102=p λ。
（二）中长杆（≤≤λλs p λ）这类杆又称中柔度杆。
这类压杆失稳时，横截面上的应力已超过比例极限，故属于弹塑性稳定问题。
对于中长杆，一般采用经验公式计算其临界应力，如直线公式：λσb a cr -= （15-6）式中a 、b 为与材料性能有关的常数。
当s cr σσ=时，其相应的柔度 s λ为中长杆柔度的下限，据式（15-6）不难求得：ba ss σλ-=例如Ａ3钢，MPa s 235=σ，MPa a 304=，MPa b 12.1=，代入上式算得6.61=s λ。
（三）粗短杆（s λλ≤）这类杆又称为小柔度杆。
这类压杆将发生强度失效，而不是失稳。
故s cr σσ=上述三类压杆临界应力与 λ的关系，可画出λσ-cr 曲线如图15-7所示。
该图称为压杆的临界应力图。
需要指出的是，对于中长杆和粗短杆，不同的工程设计中，可能采用不同的经验公式计算临界应力，如抛物线公式211λσb a cr -=（1a 和 1b 也是和材料有关的常数）等，请读者注意查阅相关的设计规范。
§15-4 压杆的稳定计算工程上通常采用下列两种方法进行压杆的稳定计算。
1．安全系数法为了保证压杆不失稳，并具有一定的安全裕度，因此压杆的稳定条件可表示为st crn PP n ≥=（15-7） 式中P 为压杆的工作载荷，cr P 是压杆的临界载荷，st n 是稳定安全系数。
