广东省佛山市顺德区八年级数学上册 1.1 探索勾股定理2学案北师大版 精

1.1探索勾股定理学科数学年级八年级授课班级主备教师参与教师课型新授课课题§ 1.1 探索勾股定理备课组长审核签名教研组长审核签名1、学习目标：掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题2 •教学重点：用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题3 •教学难点：验证勾股定理.、自主预习(感知)(1) 勾股定理的内容是_______________________(2) 直角三角形两边长为3和4，求第三边长(3) 、求出x的值二、合作探究(理解) 验证勾股定理点你现囁卜出图曲r“ 崗农门阻条讪］辿炳比孙孙为丸fic=4.( 祢研究这个首萌涵堆的潇型川？的丘的*:方是左％J-4-+72?拼图验证.准备的四个全等的直角三角形拼出正方形思考1：你能由图1表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？能由此得到勾股定理吗？2:你能由图2表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗? 能由此得到勾股定理吗？3、请利用图3验证勾股定理a4、利用四个全等的直角三角形拼图验证勾股定理你还有哪些方法?5L I J 如腔近岬吐白印 一 7「1卅fl ：l+T 磺込叩- 血山：鮎腔址內济」-lf （P 吃的川远心刊」.卫;平仅川"刿庄Jfl »« 9输门他—J4\ H 沐曲I I I-J n 州冶广i 和一一角JU 中I 耶一 r 汨为弄昭” i Y 「屮屮If 11J H- V?TN 呵、* ill I flIPj 勺：」；- 佑览T 皴出鹉ft frij S 俎.11! ) V 1 f » I Jfl ?1> All Ji ei . b. LP I I c. It ■码 d b -e< Ar 起Xi ：-于吕 c! !'] ./' C ^j - 't!： i- \ i 口H ；- c'ri -h .吧ij 工v >；t 任J ico > :片丹”丫件”‘小-厂的 午护型「祢知托iht 放.*tV tcn !j ijIHAi'kdl bl J , t - 5； 5. 12, LMm S .. 15 . 17( 7 . 24, 2OL 20, 21 . 291 9. (0.LU …G#」抑|投i ：^\ L Ifj f>绘f,',仍除；丄対以竝VII三、轻松尝试（运用）1飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米? 2、 利用全等的办法证明勾股定理？3、 轮船从海中岛 A 出发，先向北航行 9km,又往西航行9km,由于遇到冰山，只好又向南航行4km,再向 西航行6km,再折向北航行 2km,最后又向西航行 9km,到达目的地 B ，求AB 两地间的距离. 4、一棵9m 高的树被风折断，树顶落在离树根3m 之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高?四、 拓展延伸（提高） 折叠长方形ABCD 勺一边AD 使点D 落在BC 边的F 点处，若 AB=8cm BC=10cm 求 EC 的长.五、 收获盘点（升华）六、 当堂检测（达标） 1. 若△ ABC 中，/ C=90°, （1 ）若 a =5, b =12,则 c =右 a : b =3 : 4, c =10，贝 V a = , b = 2.直角三角形两直角边长分别为 5cm, 12cm,则斜边上的高为 3.等腰三角形的腰长为 13cm ,底边长为10cm,则面积为（ ）.4000米处，过了 20秒，飞机距离这个男;(2)若 a =6, c =10，则 b =E2 2 2 2A. 30 cmB. 130 cmC. 120 cmD. 60 cm学习反思:。

第1节探索勾股定理【学习目标】1、会用勾股定理进行简单的计算。

2、树立数形结合的思想、分类讨论思想。

3、培养思维意识，发展数学理念，理会勾股定理的应用价值。

【学习方法】引导——探究——应用.【学习重难点】重点：勾股定理的简单计算。

难点：勾股定理的灵活运用。

【学习过程】模块一预习反馈一、知识回顾1、勾股定理：直角三角形两直角边的等于斜边的．即：2、勾股定理有以下应用：（1）已知直角三角形的两边，求；（2）已知直角三角形的一边，求另两边的。

3、应用勾股定理时该注意些什么? 。

二、自主学习1、观察下面图形：（1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？S解：正方形的面积的第一种表示方法：=1S正方形的面积的第二种表示方法：=2（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？解：（3）你还能利用图2验证勾股定理吗？解：正方形的面积的第一种表示方法：=1S正方形的面积的第二种表示方法：=2S实践练习：利用右图验证勾股定理：解：正方形的面积的第一种表示方法：=1S正方形的面积的第二种表示方法：=2S 因为：1S 2S2、 一个25m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时的AO 距离为24m ，如果梯子的顶端A 沿墙下滑4m ，那么梯子底端B 也外移4m 吗？解：模块二 合作探究1、如图，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km 的B 处有一可疑船只正在向东方向8km 的C 处行驶.我边防海警即刻派船前往C 处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h ，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C 处将可疑船只截住？模块三小结评价一、本课知识：1、勾股定理的验证方法：利用图形面积相等（用不同方法表示同一图形面积）。

2、将实际问题转化为直角三角形问题，利用勾股定理解决．模块四形成提升1、锐角△ABC中，A B＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为。

2、如图，一棵大树在离地面9米处断裂，树顶部落在离树底12米处，则树断裂之前的高度为( )A．9米B．15米C．24米D．无法确定3、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度.【拓展延伸】一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8千米，接着它又掉头向正东方向航行15千米．（1）此时轮船离出点多少千米？（2）若轮船每航行1千米需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升？组长评价：你认为该成员这一节课的表现：（A）很棒 ( B)一般 (C) 没发挥出来 (D)还需努力.家长签名：。

§1.1 探索勾股定理（2）
姓名___________ 学号_____
学习目标：
1、会利用拼图的方法证明勾股定理，并体会解决问题策略的多样性．
2、掌握勾股定理，并用来解决问题．
一、学案导航
(一) 证明勾股定理
1、拼图：剪4个全等的直角三角形，设两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，用这4个直角三角形拼一拼，摆一摆，能否得到一个正方形？将得到的图形粘在下面空白处．
2、从下面的拼图中任选两个证明勾股定理．
总结勾股定理的证明方法：_________________________________．
3、 如图，△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，若根据勾股定理，则222c b a =+，
22
2
北师大版八年级（上）第一章
a b b b a b a c c c a a c （1） c （2） b b c c （3）
（二）应用勾股定理解决问题（2）：（课本上的题做到学案反面）
1、（1）完成课本15页随堂练习1． （2）求图中的x ．
（3）如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，
已知cm AB 8=，cm BC 10=，求EC 的长．
2、在Rt ⊿ABC 中，斜边AB 上的高为CD ，若4,3==BC AC ，求CD 的长．
3、如图，∠A =90°，D E 为BC 的垂直平分线．探索BE 、AC 、AE 的关系．
4、实际问题：完成课本15页问题解决1．
拓展：直角三角形的周长是56cm ，斜边的长是25cm ，求其面积．
二、预习小结：
总结勾股定理的类型题：
E x +8
x 12 B A C
D E。

1.1 探索勾股定理（2）教学目标知识与技能1．经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。

2．掌握勾股定理并能简单应用。

过程与方法让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的过程，进一步体会数形结合的思想．情感与态度在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐.重点难点重点：经历勾股定理的验证过程，能利用勾股定理解决实际问题.难点：用拼图法验证勾股定理.教学过程【新课导入】创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题我们是通过测量、数格子的方法发现了勾股定理，那么我们怎样用科学的方法去证明勾股定理的正确性呢？请跟我一起去探索吧！【新知构建】一、勾股定理的验证展示教材P4图1 - 4，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流.生：割补法进行验证.师：出示教材P5图1 - 5和图1 - 6，想一想：小明是怎样对大正方形进行割补的？生：讨论交流.师总结：图1 - 5是在大正方形的四周补上四个边长为a，b，c的直角三角形；图1 - 6是把大正方形分割成四个边长为a，b，c的直角三角形和一个小正方形.图1 - 5采用的是“补”的方法，而图1 -6采用的是“割”的方法，请同学们将所有三角形和正方形的面积用a，b，c的关系式表示出来.(1)动笔操作，独立完成.师：图1 - 5中正方形ABCD的面积是多少？你们有哪些方法求？与同伴进行交流.(2)分组讨论面积的不同表示方法.1ab+c2两种方法.生1：得出(a+b)2，4×2生2：根据刚才讨论的情况列出等式进行化简.师：化简之后能得到勾股定理吗？生：得到a2+b2=c2，即两直角边的平方和等于斜边的平方，验证了勾股定理.师：你能用图1 - 6也证明一下勾股定理吗？学生独立完成.师：(强调)割补法是几何证明中常用的方法，要注意这种方法的运用.二、勾股定理的简单应用1.展示教材P5例题我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400 m,10 s后,汽车与他相距500 m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?分析：根据题意,可以画出右图,其中点A表示小王所在位置,点C,点B表示两个时刻敌方汽车的位置.由于小王距离公路400 m，因此∠C是直角,这样就可以由勾股定理来解决这个问题了.解:由勾股定理,可以得到AB2=BC2+AC2,也就是5002=BC2+4002,所以BC=300.敌方汽车10 s行驶了300 m,那么它1 h行驶的距离为300×6×60=108000(m),即它行驶的速度为108 km/h.知识拓展：利用面积相等来验证勾股定理,关键是利用不同的方法表示图形的面积,一要注意部分面积和等于整体面积的思想,二要注意拼接时要做到不重不漏.曾任美国总统的伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理证明,如图所示,这就是他拼出的图形.它的面积有两种表示方法,既可以表示为(a+b)(a+b),又可以表示为(2ab+c2),所以可得(a+b)(a+b)=(2ab+c2),化简可得a2+b2=c2.2.展示教材P8图1 - 8.观察图，判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.(学生以组为单位合作完成,分别计算出每个正方形的面积.独立完成,有困难的可以合作完成) 【课堂小结】1.勾股定理的验证方法2.在实际问题中,首先要找到直角三角形,然后再应用勾股定理解题.【课后作业】必做题：教材第6页随堂练习，教材第7页习题1.2第1，3题.选做题：教材第7页习题1.2第2题.。

1 探索勾股定理工欲善其事，必先利其器。

《论语·卫灵公》翰皓学校陈阵语第1课时勾股定理一、基本目标1．经历勾股定理的发现过程，了解并掌握勾股定理的内容．2．通过对勾股定理的探索，在探索实践中理解并掌握勾股定理．二、重难点目标【教学重点】勾股定理．【教学难点】勾股定理的探究．环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P2～P3的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a，b 和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.2．下列说法中正确的是( C )A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2＋b2＝c2B．在直角三角形中，两边和的平方等于第三边的平方C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则a2＋b2＝c2D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，则a2＋b2＝c23．若Rt△ABC中，∠C＝90°，且AB＝10，BC＝8，则AC长是( B ) A．5 B．6C．7 D．8环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生对学)【例1】如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，CD ⊥AB于点D，求CD的长．【互动探索】(引发学生思考)要求CD的长，CD是△ABC的高，AB的长已知，如果能求出三角形ABC的面积就好办了．【解答】∵△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，∴由勾股定理，得AC2＝AB2－BC2＝52－32＝16＝42，∴AC＝4 cm.又∵S△ABC＝12AB·CD＝12AC·BC，∴CD＝AC·BCAB＝4×35＝125(cm)．【互动总结】(学生总结，老师点评)由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上的高的积，这个规律常与勾股定理联合使用．【例2】如图，已知AD是△ABC的中线．求证：AB2＋AC2＝(AD2＋CD2)．【互动探索】(引发学生思考)结论中涉及线段的平方，因此可以考虑作AE⊥BC于点E，在△ABC中构造直角三角形，利用勾股定理进行证明．【证明】如图，过点A作AE⊥BC于点E.在Rt△ACE、Rt△ABE和Rt△ADE中，AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋CE2，AE2＝AD2－ED2，∴AB2＋AC2＝(AE2＋BE2)＋(AE2＋CE2)＝2(AD2－ED2)＋(DB－DE)2＋(DC＋DE)2＝2AD2－ED2＋DB2－2DB·DE＋DE2＋DC2＋2DC·DE＋DE2＝2AD2＋DB2＋DC2＋2DE(DC－DB)．又∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∴AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋CD2)．【互动总结】(学生总结，老师点评)构造直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来．一般地，涉及线段之间的平方关系问题时，通常沿着这个思路去分析问题．活动2 巩固练习学生独学)1．在△ABC中，∠C＝90°.若a＝5，b＝12，则c＝13；若c＝41，a＝9，则b＝40.2．腰△ABC的腰长AB＝10 cm，底BC为16 cm，则底边上的高为6，面积为48.3．已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c.(1)若a＝5，b＝12，求c；(2)若a＝15，c＝17，求b.解：(1)根据勾股定理，得c2＝a2＋2＝52＋122＝19.∵c>0，∴c＝13.(2)根据勾股定理，得b2＝c2－a2＝172－152＝64.∵b>0，∴b＝8.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长．【互动探索】应考虑高AD在△ABC内和△ABC外的两种情形．【解答】当高AD在△ABC内部时，如图1.在Rt△AD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16；在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝92，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60.当高AD在△ABC外部时，如图2.同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42.综上所述，△ABC的周长为42或60.图1 图2 【互动总结】(学生总结，老师点评)题中未给出图形时，作高构造直角三角形易漏掉钝角三角形的情况．如在本例中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形，导致漏解．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.请完成本课时对应练习！第2课时勾股定理的证明一、基本目标勾股定理的面积证法；会用勾股定理进行简单的计算．二、重难点目标【教学重点】勾股定理的面积证法．【教学难点】勾股定理的应用．环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P4～P6的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．在△ABC中，∠C＝90°.若a＝6，c＝10，则b＝8.2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为2.5m.3．根据下图，利用面积法证明勾股定理．证明：∵S梯形ABCD＝S△ABE＋S△BCE＋S△EDA，又∵S梯形ABCD＝12(a＋b)2，S△BCE＝S△EDA＝12ab，S△ABE＝12c2，∴12(a＋b)2＝2×12ab＋12c2，∴a2＋b2＝c2，即勾股定理得证．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生对学)【例1】作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，将它们像下图所示拼成两个正方形．证明：a2＋b2＝c2.【互动探索】(引发学生思考)从整体上看，这两个大正方形的边长都是a＋b，因此它们的面积相等．我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理．【证明】由图易知，这两个正方形的边长都是a＋b，∴它们的面积相等．左边大正方形面积可表示为a2＋b2＋12ab×4，右边大正方形面积可表示为c2＋12ab×4.∵a2＋b2＋12ab×4＝c2＋12ab×4，∴a2＋b2＝c2.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据拼图，通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理．活动2 巩固练习(学生独学)1．等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则它的面积为( D ) A．30 cm2 B．130 cm2C．120 cm2 D．60 cm22．直角三角形两直角边长分别为5 cm,12 cm，则斜边上的高为6013 cm.3．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达地点B 200 m，结果他在水中实际游了520 m，该河流的宽度为多少？解：根据图中数据，运用勾股定理，得AB＝AC2－BC2＝5202－2002＝480(m)．该河流的宽度为480 m.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1＝2 km，BB1＝4 km，A1B1＝8 km.现要在高速公路上A1，B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，求这个最短距离之和．【互动探索】如何找到这个点P？找到以后如何算出最短距离呢？【解答】作点B关于MN的对称点B′，连接AB′交A1B1于点P，连接BP.则AP＋BP＝AP＋PB′＝AB′，易知点P即为到点A，B距离之和最短的点．过点A作AE⊥BB′于点E，则AE＝A1B1＝8 km，B′E＝AA1＋BB1＝2＋4＝6( km)．由勾股定理，得B′A2＝AE2＋B′E2＝82＋62，∴AB′＝10 km.即AP ＋BP＝AB′＝10 km.故出口P到A，B两村庄的最短距离之和是10 km.【互动总结】(学生总结，老师点评)解这类题的关键在于运用几何知识正确找到符合条件的点P的位置，会构造Rt△AB′E.环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)勾股定理⎩⎪⎨⎪⎧ 验证⎩⎨⎧ 拼图法面积法简单应用请完成本课时对应练习！【素材积累】指豁出性命，进行激烈的搏斗。

北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理》教学设计一. 教材分析《探索勾股定理》是北师大版八年级数学上册第一章《几何初步》的第一节内容。

本节内容通过探究直角三角形三边的关系，引入勾股定理，是学生学习几何的重要基础。

教材以我国古代数学家赵爽的弦图作为探究勾股定理的载体，让学生经历探究过程，感悟数学的证明过程，体会数形结合的数学思想。

二. 学情分析学生在七年级已经学习了相似三角形的性质，能够识别直角三角形，并了解其性质。

但对于证明勾股定理，他们可能还没有直观的感受。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际操作，逐步理解并证明勾股定理。

三. 教学目标1.了解勾股定理的发现过程，感受数学家探索勾股定理的艰辛。

2.掌握勾股定理的内容，并能运用勾股定理解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、操作能力、推理能力，提升学生解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：勾股定理的证明过程。

2.难点：理解并证明勾股定理。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法、数形结合法等教学方法，引导学生通过观察、操作、推理等过程，探索并证明勾股定理。

六. 教学准备1.准备相关的教学课件、视频等教学资源。

2.准备直角三角形模型、拼图等教具。

3.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾平面几何的基本知识，为新课的学习做好铺垫。

例如：什么是直角三角形？直角三角形有哪些性质？2.呈现（10分钟）展示勾股定理的背景知识，介绍赵爽的弦图，让学生了解勾股定理的来源。

同时，提出探究问题：如何证明勾股定理？3.操练（15分钟）让学生分组进行讨论，每组尝试用拼图或者模型来证明勾股定理。

教师巡回指导，引导学生发现证明勾股定理的关键。

4.巩固（10分钟）学生汇报各自的证明过程，教师点评并总结。

同时，让学生回答一些与勾股定理相关的问题，加深对勾股定理的理解。

5.拓展（10分钟）让学生运用勾股定理解决实际问题，例如：计算一个直角三角形的两条直角边长。

北师大版数学八年级上册1《探索勾股定理》教学设计2一. 教材分析《探索勾股定理》是北师大版数学八年级上册第一单元的教学内容。

本节课的主要目的是让学生通过探索活动，理解并掌握勾股定理的证明过程，培养学生的逻辑思维能力和探索精神。

教材以古希腊数学家毕达哥拉斯的故事为背景，引导学生通过实际问题情境，发现并证明勾股定理。

教材内容由浅入深，逐步引导学生探究，为学生提供了丰富的探究素材和实践机会。

二. 学情分析学生在七年级时已经学习了直角三角形的性质，对直角三角形有一定的了解。

但他们对勾股定理的证明过程可能还比较陌生，需要通过实际操作和思考，才能理解和掌握。

此外，学生可能对古希腊数学家的故事比较感兴趣，可以借此机会激发他们的学习兴趣。

三. 教学目标1.了解勾股定理的由来，通过实际问题情境，感受数学与生活的联系。

2.经历探索勾股定理的过程，掌握勾股定理的证明方法。

3.培养学生的逻辑思维能力和探索精神，提高学生解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：让学生通过探索活动，理解并掌握勾股定理的证明过程。

2.难点：让学生理解并证明勾股定理的证明方法。

五. 教学方法1.引导探究法：通过实际问题情境，引导学生自主探究，发现并证明勾股定理。

2.小组合作法：学生进行小组合作，共同探讨勾股定理的证明方法。

3.讲解法：教师在学生探究的基础上，进行讲解，解释勾股定理的证明过程。

六. 教学准备1.教学课件：制作教学课件，展示勾股定理的证明过程。

2.教学素材：准备一些关于勾股定理的实际问题，用于引导学生探究。

3.板书设计：设计板书，突出勾股定理的证明过程。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示勾股定理的由来，引导学生关注数学与生活的联系。

2.呈现（10分钟）呈现一些关于勾股定理的实际问题，让学生感受到勾股定理的实际应用。

3.操练（10分钟）学生进行小组合作，共同探讨勾股定理的证明方法。

教师巡回指导，引导学生思考。

4.巩固（5分钟）让学生回答一些关于勾股定理的问题，巩固所学知识。

探索勾股定理一、学习目标：能用拼图验证勾股定理,能利用勾股定理解决实际问题。

二、学习探究： 知识回顾：1、勾股定理：2、求下列直角三角形的未知边的长3、在一个直角三角形中，两条直角边分别为a ，b ，斜边为c：（1）如果8a =，15b =，则c = ，面积为 ；（2）如果5a =，13c =，则三角形的周长为 ，面积为 ； 活动探究：利用拼图验证勾股定理（课前准备8个全等的直角三角形）： 活动一： 用四个全等的直角三角形拼出图1，并思考： 1．拼成的图1中有_______个正方形，___个直角三角形。

2．图中大正方形的边长为_______，小正方形的边长为_______。

3．你能请用两种不同方法表示图1中大正方形的面积，列出一个等式，验证勾股定理吗？活动二：你能利用类似的方法由图2得到勾股定理吗？活动三:请利用图3验证勾股定理.125BAC图3b思考：用四个全等的直角三角形，通过拼图验证勾股定理，你还有那些方法？ 三、师生互动：例1 、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方4000米处，过了25秒，飞机距离女孩头顶5000米处，则飞机的飞行速度是多少？四、训练达标： 基础巩固：1、如图，AD = 3，AB = 4，BC = 12，则CD=________；2、如图，阴影部分的面积为 ；3、一个直角三角形的三边分别为3，4，x ，则2x4、若等腰三角形的腰为10cm ，底边长为16cm ，则它的面积为 ；5.如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条长10米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有 米。

6.一直角三角形的斜边比直角边大2，另一直角边长为6，则斜边长为 ；7.直角三角形一直角边为5厘米、斜边为13厘米，那么斜边上的高是 ；8.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 ； 能力提升：9.小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/h 的速度向正北方向的学校走去，哥哥以8km/h 的速度向正南方向走去，半小时后，他们相距10、如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M,O,Q 三城市的沿江高速的建设成本是100万元∕千米，该沿江高速的造价是多少？120千米50千米40千米30千米QP ONM11.如图，AC 是电线杆，从距离地面12M 高的A 处，向离电杆5M 的B 处埋线，并埋入地下1.5M 深，求拉线长多少米?12、．如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10，BC=6，E 为BC 上一点将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点F 处，求BE 的。

第一章 勾股定理 1.1探索勾股定理一、问题引入：（1）观察下面下图，若每个小正方形的面积为1，则第①个图中，A S = ，B S = ，C S = . 第②个图中，A S = ，B S = ，C S = .三个正方形A 、B 、C 的面积之间有什么关系？以上结论与三角形三边有什么关系？ 通过这种关系你发现了什么？勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么 即直角三角形 的平方和等于 的平方. 二、基础训练：1、如图（1），图中的数字代表正方形的面积，则正方形A 的面积为 .（1） （2）2、如图（2），三角形中未知边x 与y 的长度分别是x = ，y = .3、在Rt△ABC 中，∠C＝90°，若AC ＝6，BC ＝8，则AB 的长为（ ）A.6B.8C.10D.12ABCCBA257三、例题展示：例1:在△ABC 中，∠C=90°，（1）若a =3，b=4，则c=_____________； （2）若a =9，c=15，则b=______________；例2:如图,一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处,旗杆折断前有多高？（提示：用数学符号去表示线段的长）四、课堂检测：1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝13，BC ＝5，则AC 的长为（ ）A.5B.12C.13D.182、已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若14=+b a cm ，10=c cm ，则Rt △ABC 的面积为（ ）A.24cm 2B.36cm 2C.48cm 2D.60cm 23、若△ABC 中，∠C=90°，（1）若a =5，b =12，则c = ；（2）若a =6，c =10，则b = ；（3）若a ∶b =3∶4， c =10，则a= ，b = .4、如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为 . （π不取近似值）第4题图5、一个直角三角形的斜边为20cm ,且两直角边长度比为3:4，求两直角边的长.6、（选做题）一个长为10m为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m，梯子的顶端下滑2m后，底端向外滑动了多少米？第一章勾股定理1.2 一定是直角三角形吗一、问题引入：1、分别以下列每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗?(1)3, 4, 5 (2)6, 8, 102、以上每组数的三边平方存在什么关系？结合上题你能得到什么结论？3、如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形.4、满足a2+b2=c2的三个，称为勾股数.二、基础训练：1、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）A. 5，6，7B. 1，4，9C. 5，12，13D. 5，11，122、下列几组数中，为勾股数的是（）A. 4，5，6B. 12，16，20C. 10，24，26D. 2.4，4.5，5.13、若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x2则此三角形是直角三角形的x2的值是（）A.42B.52C.7D.52或74、将直角三角形的三边扩大同样的倍数，得到的三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形 D .都有可能三、例题展示：例1：一个零件的形状如下左图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都是直角，工人师傅量得某个零件各边尺寸如下右图所示，这个零件符合要求吗？例2：如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形？请说出你的判断理由.四、课堂检测：1、三角形的三边分别等于下列各组数，所代表的三角形是直角三角形的是（）A. 7，8，10B. 7，24，25C. 12，35，37D. 13，11，102、若△ABC的三边a、b、c满足（a－b）（2a＋2b－2c）＝0，则△ABC是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形3、满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A. b2 =c2－a2B. a∶b∶c=3∶4∶5C.∠C =∠A+∠BD.∠A∶∠B∶∠C =2∶3∶44、若三角形的三边之比为3﹕4﹕5，则此三角形为三角形.5、已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，则这个三角形的面积为 .6、如图所示，在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12，∠B与∠C相等吗？为什么？7、（选做题）若△ABC的三边长为a，b，c满足a2+b2+c2+200=12a+16b+20c根据条件判断△ABC的形状.第一章勾股定理1.3 勾股定理的应用一、问题引入：1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于 .如果用a ，b 和c 表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 .2、勾股定理逆定理：如果三角形三边长a ，b ，c 满足 ，那么这个三角形是直角三角形. 二、基础训练：1、在△ABC 中，已知AB=12cm ，AC=9cm ，BC=15cm ，则△ABC 的面积等于（ ）A.108cm 2B.90cm 2C.180cm 2D.54cm 22、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)三、例题展示：例1：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？π的值取3)。

探索勾股定理一、学习指南：【课程名称】1.1探索勾股定理（1） 授课时间：第1周 星期五【达成目标】经历探索、验证勾股定理的过程，了解勾股定理的各种探究方法及其内在联系，掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题。

【方法建议】自主探究、小组汇报。

二、学习任务： 【潜伏训练】1、观察地板砖示意图，阴影面积与空白面积有什么关系？2、如图中的三个正方形面积分别有何关系？你能得到的结论是 。

【自主探究】12、填表：3、你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流． 【精讲释疑】CB A7cm DACB1、你能用直角三角形的边长a 、b 、c 来表示上图中正方形的面积吗？2、你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？3、分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量 斜边的长度．你发现的规律对这个三角形仍然成立吗？ 勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么__________________， 即直角三角形____________________________________________． 【总结提升】1．方法：① 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用；② 面积法；③ “割、补、拼、接” 2．思想：① 特殊—一般—特殊；② 数形结合思想．【分层操练】 1、 P3随堂练习1,2 2、 P4 知识技能1，2 【点拨发散】等腰三角形的一腰长是10，底边上的高是6，则三角形的面积是 。

【自我检测】1、已知，在Rt △AB C 中，∠C ＝90°，a=8，b=6，则c 的长是（ ） A 5 B 10 C 12 D 142、如图，在Rt △ABC 中，下列结论中正确的是（ ）A 222AB BC ACB 222AC BC AB +=C 222AC AB BC += D 以上结论都不正确3、小张为测量校园内池塘A ，B 两点的距离，他在池塘边选定一点C ，使∠ABC ＝90°，并测得AC 长5m ，BC 长4m ，则A ，B 两点间的距离为 m ．第3题第4题 4、如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面积为49cm 2，则正方形A 、B 、C 、D 的面积的和是 cm 2． 三、困惑与建议：CB弦股勾。

北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理》教学设计一. 教材分析《探索勾股定理》是北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》的第一节内容。

本节课的主要内容是通过实际问题引导学生探究直角三角形三边之间的关系，从而引入勾股定理。

教材通过丰富的情境和探究活动，让学生经历探究过程，感受数学的发现过程，培养学生的探究能力和创新精神。

二. 学情分析学生在七年级已经学习了相似三角形的性质，能够理解直角三角形的概念，但对于勾股定理的证明和应用可能还不够熟练。

因此，在教学过程中，需要关注学生的知识基础，通过适当的引导和启发，帮助学生理解和掌握勾股定理。

三. 教学目标1.理解勾股定理的定义和证明过程。

2.能够运用勾股定理解决实际问题。

3.培养学生的探究能力和创新精神。

四. 教学重难点1.重难点：勾股定理的理解和应用。

2.难点：勾股定理的证明过程。

五. 教学方法1.引导发现法：通过实际问题和探究活动，引导学生发现勾股定理。

2.小组合作学习：学生在小组内进行讨论和交流，共同完成探究任务。

3.情境教学法：通过丰富的情境，激发学生的学习兴趣和探究欲望。

六. 教学准备1.教学课件：制作教学课件，包括图片、动画和视频等，帮助学生形象地理解勾股定理。

2.教学素材：准备一些实际问题，用于引导学生探究勾股定理。

3.学生活动材料：为学生提供一些卡片，上面写有直角三角形的三边长度，用于学生进行小组探究。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的直角三角形，如篮球架、自行车的三角形车把等，引导学生观察并思考直角三角形的特点。

然后提出问题：“直角三角形的三边之间有什么特殊的关系呢？”2.呈现（10分钟）呈现教材中的探究活动，让学生分组进行探究。

每组有一张卡片，上面写有直角三角形的三边长度。

学生通过测量、计算和讨论，发现直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

3.操练（10分钟）学生分组进行探究，验证勾股定理。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

第一章勾股定理1．探索勾股定理（2）一、学情与教材分析1.学情分析学生的知识技能基础：学生在七年级已经学习了整式的加、减、乘、除运算和等式的基本性质，并能进行简单的恒等变形；上节课又已经通过测量和数格子的方法，对具体的直角三角形探索并发现了勾股定理，但没有对一般的直角三角形进行验证.学生活动经验基础：学生在以前数学学习中已经经历了很多独立探究和合作学习的过程，具有了一定的自主探究经验和合作学习的经验，具备了一定的探究能力和合作与交流的能力；学生在七年级《七巧板》及《图案设计》的学习中已经具备了一定的拼图活动经验.2.教材分析本节课是八（上）勾股定理第1节第2课时，是在上节课已探索得到勾股定理之后的内容，具体学习任务：通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；应用勾股定理解决一些实际问题，体会勾股定理的应用价值并逐步培养学生应用数学解决实际问题意识和能力，为后面的学习打下基础.二、教学目标1.掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.2.在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.3.在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识.三、教学重难点教学重点：用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题.教学难点：验证勾股定理.四、教法建议1.教学方法：引导——探究——应用.2.课前准备：教具：教材，课件，电脑.学具：教材，铅笔，直尺，练习本.五、教学设计（一）课前设计1.预习任务结合课本上P5页1-5和1-6，应用等面积法证明勾股定理，（提示：图中的正方形的面积可以表示为边长的平方，也可以表示成小正方形加上四个直角三角形的面积）2.预习自测一、选择题1. 利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．观察图形，可以验证（）公式．A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 B．（a+b）2=a2﹣2ab+b2C．c2=a2+b2 D．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2答案：C解析：∵大正方形的面积表示为：c2又可以表示为：ab×4+（b﹣a）2，∴c2=ab×4+（b﹣a）2，c2=2ab+b2﹣2ab+a2，∴c2=a2+b2．故选C．点拨：利用两种方法表示出大正方形的面积，根据面积相等可以整理出c2=a2+b2．二、填空题2. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是_________．答案：勾股定理解析：我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是勾股定理．点拨：观察我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，发现它验证了勾股定理．3. 如图，由四个直角三角形拼成2个正方形，则4个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积，即_________+_________=_________化简得：a2+b2=c2．答案：4×ab、（b﹣a）2、c2．解析：如图所示，4个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积，即 4×ab+（b﹣a）2=c2，故答案是：4×ab、（b﹣a）2、c2．点拨：根据直角三角形的面积公式和正方形的面积公式进行填空．（二）课堂设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：知识回顾；第二环节：探究发现；第三环节：数学小史；第四环节：知识运用；第五环节：随堂检测；第六环节：课堂小结．第一环节：知识回顾内容：教师提出问题：（1）勾股定理的内容是什么？（请一名学生回答）（2）上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理.意图：（1）复习勾股定理内容；（2）回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度；（3）介绍世界上有数百种验证方法，激发学生兴趣.效果：通过这一环节，学生明确了：仅仅探索得到勾股定理还不够，还需进行验证.当学生听到有数百种验证方法时，马上就有了去寻求属于自己的方法的渴望.第二环节：探究发现活动1： 教师导入，小组拼图.教师：今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.（请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论.）活动2：层层设问，完成验证一.学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：图2在此基础上教师提问：（1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（学生先独立思考，再4人小组交流）；（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？（在学生回答的基础上板书(a+b)2=4×21ab+c 2.并得到222c b a =+）从而利用图1验证了勾股定理.活动3 ： 自主探究，完成验证二.教师小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系图1整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？（学生先独立探究，再小组交流，最后请一个小组同学上台讲解验证方法二）意图：设计活动1的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验证作铺垫，同时也培养学生的动手、创新能力.在活动2中，学生在教师的层层设问引导下完成对勾股定理的验证，完成本节课的一个重点内容.设计活动3，让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理的目的是让学生再次体会数形结合的思想并体会成功的快乐.效果：学生通过先拼图从形上感知，再分析面积验证，比较容易地掌握了本节课的重点内容之一，并突破了本节课的难点.第三环节：数学小史活动内容：由学生利用所搜集的与勾股定理相关的资料进行介绍.国内调查组报告：用图2验证勾股定理的方法，据载最早是三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，我国历史上将图2弦上的正方形称为弦图.2002年的数学家大会（ICM-2002）在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的弦图，这既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！国际调查组报告：勾股定理与第一次数学危机.约公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长度是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比，这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何两个线段都可以公度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数学危机由此爆发.据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海.不能表示成两个整数之比的数，15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，无理数的英文“irrational”原义就是“不可比”.第一次数学危机一直持续到19世纪实数的基础建立以后才圆满解决.我们将在下一章学习有关实数的知识 .趣闻调查组报告：勾股定理的总统证法.在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景……他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使他循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形……于是这位中年人不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题.他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法. 1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法.1881年，这位中年人—伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法.说明：这个环节完全由学生来组织开展，教师可在两天前布置任务，让部分同学收集勾股定理的资料，并在上课前拷贝到教师用的课件中便于展示，内容可灵活安排.意图：（1（2）学生加强了对数学史的了解，培养学习数学的兴趣；（3）通过让部分学生搜集材料，展示材料，既让学生得到充分的锻炼，同时也活跃了课堂气氛.效果：学生热情高涨，对勾股定理的历史充满了浓厚的兴趣，同时也为中国古代数学的成就感到自豪.也有同学提出：当代中国数学成就不够强，还应发奋努力.有同学能意识这一点，这让我喜出望外.第四环节：知识运用a b内容：例题：我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s 后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算出敌方汽车的速度吗？意图：（1）初步运用勾股定理解决实际问题，培养学生应用数学的意识和能力；（2）体会勾股定理的应用价值.效果：学生对这样的实际问题很感兴趣，基本能把实际问题转化为数学问题并顺利解决.一组生活中勾股定理的应用练习，共3道题.（1）教材P6练习题1.（2）一个25m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24m，如果梯子的顶端A沿墙下滑4m，那么梯子底端B也外移4m吗？（3）受台风麦莎影响，一棵高18m的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵树折断后有多高？说明：这一环节设计了3道题，设计时注意了题目的梯度，由浅入深，第一题为书上练习题，学生容易解决，第二道题虽然计算难度不大，但考查学生的实际应用能力，第三道题是应用勾股定理建立方程求解，有一定难度.意图：在例题的基础上进行拓展，训练学生将实际问题转化为数学问题，再运用勾股定理解决问题.效果：小部分学生在完成第二题时，由于欠缺生活常识时，不能准确地理解题意，约有一半同学对第3道题束手无策，主要是缺乏利用勾股定理建立方程求解的这种思路，经同学点拨，教师引导，绝大部分同学最后都能解决这个问题，通过3个小题的训练，总体感觉学生对勾股定理的应用更加熟练，并对勾股定理的应用价值体会更深.第五环节：随堂检测一、选择题1. 下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（）A．B．C．D．答案：D解析：A，B，C都可以利用图形面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理；故A，B，C选项不符合题意；D、不能利用图形面积证明勾股定理，故此选项正确．故选D．点拨：根据图形的面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理，分别分析得出即可．2．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则中间小正方形与大正方形的面积差是（）A．﹣9 B．﹣36 C．﹣27 D．﹣34答案：B解析：根据题意得：小正方形的面积=（6﹣3）2=9，大正方形的面积=32+62=45，9﹣45=36．故选B．点拨：由正方形的性质和勾股定理求出小正方形和大正方形的面积，即可得出小正方形与大正方形的面积差．二、填空题3. 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽弦图它是由四全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，下列说法：①a2+b2=13；②b2=1；③a2﹣b2=12；④ab=6．其中正确结论序号是_________．答案：①④解析：直角三角形的斜边长是c，则c2=a2+b2，大正方形的面积是13，即c2=a2+b2=13，①正确；∵小正方形的面积是1，∴b﹣a=1，则（b﹣a）2=1，即a2+b2﹣2ab=1，∴ab=6，故④正确；根据图形可以得到a2+b2=13，b﹣a=1，而b=1不一定成立，故②错误，进而得到③错误．故答案是：①④点拨：根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2ab即四个直角三角形的面积和，从而判断．4. 利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为_________，该定理的结论其数学表达式是_________．答案：勾股定理、a2+b2=c2．解析：用图（2）较简单，如图正方形的面积=（a+b）2，用三角形的面积与边长为c的正方形的面积表示为4×ab+c2，即（a+b）2=4×ab+c2化简得a2+b2=c2．这个定理称为勾股定理．故答案为：勾股定理、a2+b2=c2．点拨：通过图中三角形面积、正方形面积之间的关系，证明勾股定理．三、解答题5. 勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．（1）请你根据图1填空；勾股定理成立的条件是_________三角形，结论是_________（三边关系）（2）以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；答案：（1）直角；a2+b2=c2；（2）见解析解析：（1）勾股定理指的是在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方．故答案是：直角；a2+b2=c2；（2）∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB=∠EDC，又∵∠EDC+∠DEC=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠AED=90°．∵S梯形ABCD =SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED，∴．整理，得a2+b2=c2．点拨：（1）根据图示直接填空；（2）利用S梯形ABCD =SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED进行解答．第六环节：课堂小结教师提问：通过这节课的学习，你有什么样的收获？师生共同畅谈收获.目的：（1）归纳出本节课的知识要点，数形结合的思想方法；（2）教师了解学生对本节课的感受并进行总结；（3）培养学生的归纳概括能力.效果：由于这节课自始至终都注意了调动学生学习的积极性，所以学生谈的收获很多，包括利用拼图验证勾股定理中蕴含的数形结合思想，学生对勾股定理的历史的感悟及对勾股定理应用的认识等等.布置作业：1．习题1.2 T2，32．上网或查阅有关书籍，搜集至少1种勾股定理的其它证法，至少1个勾股定理的应用问题，一周后进行展评.意图：（1）巩固本节课的内容.（2）充分发挥勾股定理的育人价值.分层作业基础型：一、选择题1. 历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中两个全等的直角三角形边AE、EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是（）A．S△EDA =S△CEBB．S△EDA+S△CEB=S△CDBC．S四边形CDAE =S四边形CDEBD．S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD答案：D解析：∵由S△EDA +S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD．可知ab+c2+ab=（a+b）2，∴c2+2ab=a2+2ab+b2，整理得a2+b2=c2，∴证明中用到的面积相等关系是：S△EDA +S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD．故选D．点拨：用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．2. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．6答案：C解析：如图所示：∵（a+b）2=21，∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面积为13，2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面积为13﹣8=5．故选：C．点拨：观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2=21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．二、填空题3. 如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为6cm，以AC 为边的正方形的面积为25，则正方形M的面积为________．答案：11=AB2，25=AC2，AC2+AB2=BC2=6×6，解析：根据题意知，SM=36﹣25=11（cm2）．∴SM故答案是：11cm2．点拨：根据正方形的面积公式以及勾股定理解答即可．4. 如图，已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8．则△ABC的周长为_________．答案：48解析：在直角三角形ABD中，AB=17，AD=8，根据勾股定理，得BD=15；在直角三角形ACD中，AC=10，AD=8，根据勾股定理，得CD=6；∴BC=15+6=21，∴△ABC的周长为17+10+21=48，故答案为：48．点拨：分别在两个直角三角形中求得线段BD和线段CD的长，然后求得BC的长，从而求得周长．三、解答题5. 我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，试求：（a+b）2的值．答案：B解析：根据勾股定理可得a2+b2=13，四个直角三角形的面积是：ab×4=13﹣1=12，即：2ab=12则（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25．点拨：根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2=a2+2ab+b2即可求解．能力型：一、选择题1. 如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．52 B．42 C．76 D．72答案：C解析：依题意得，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2=122+52=169，解得x=13．故“数学风车”的周长是：（13+6）×4=76．故选：C．点拨：由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．二、填空题2. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为3cm，则图中所有正方形的面积之和为_______cm2．答案：27解析：∵最大的正方形的边长为3cm，∴正方形G的面积为9cm2，由勾股定理得，正方形E的面积+正方形F的面积=9cm2，正方形A的面积+正方形B的面积+正方形C的面积+正方形D的面积=9cm2，∴图中所有正方形的面积之和为27cm2，故答案为：27．点拨：根据正方形的面积公式求出正方形G的面积，根据勾股定理计算即可．3. 魏晋时期，伟大数学家刘徽利用如图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理，若图中BF=2，CF=4，则AE的长为_______．答案：6解析：∵BF=2，CF=4，∴BC=BF+CF=2+4=6，∵AB∥EC，∴=，即=，解得：CE=12，在Rt△ADE中，AD=6，DE=DC+CE=6+12=18，根据勾股定理得：AE==6，故答案为：6．点拨：由BF+CF求出BC的长，即为正方形ABCD的边长，由AB与CE平行，得比例求出CE的长，由DC+CE求出DE的长，在直角三角形ADE中，利用勾股定理求出AE的长即可．三、解答题4. （1）如图1是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；（2）如图2，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B=∠D=90°，且B，C，D三点共线．试证明∠ACE=90°；（3）请利用（1）中的公式和图2证明勾股定理．答案：见解析解析：（1）这个公式为（a+b）2=a2+2ab+b2；证明：由图可知大正方形被分成了一个小正方形和两个长方形，大正方形的面积=（a+b）2，两个长方形的面积=（a+b）b+ab，小正方形的面积=a2，那么大正方形的面积=（a+b）b+ab+a2=（a+b）2=a2+2ab+b2．（2）∵Rt△ABC≌Rt△CDE，∴∠BAC=∠DCE，∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°；由于B，C，D共线，所以∠ACE=180°﹣（∠ACB+∠DCE）=180°﹣90°=90°．（3）梯形ABDE的面积为（AB+ED）•BD=（a+b）（a+b）=（a+b）2；另一方面，梯形ABDE可分成三个直角三角形，其面积又可以表示成ab+ab+c2．所以，（a+b）2=ab+ab+c2．即a2+b2=c2．点拨：（1）用面积分割法证明：大正方形的面积等于小正方形和两个长方形的面积之和，从而推出平方和公式．（2）利用全等三角形对应角相等，直角三角形的两个锐角互余，推出直角；（3）用面积分割法法证明勾股定理：梯形ABDE的面积=三角形ABC的面积+三角形CDE的面积+三角形ACE的面积．探究型：一、解答题1. 教材第九章中探索乘法公式时，设置由图形面积的不同表示方法验证了乘法公式．我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图①），这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2+b2=c2，称为勾股定理．（1）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图②），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．（2）小明又把这四个全等的直角三角形拼成了一个梯形（如图③），利用上面探究所得结论，求当a=3，b=4时梯形ABCD的周长．（3）如图④，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．请在图中画出△ABC的高BD，利用上面的结论，求高BD的长．答案：见解析解析：（1）证明：由图得，×ab×4+c2=（a+b）×（a+b），整理得，2ab+c2=a2+b2+2ab，即a2+b2=c2；（2）解：∵a=3，b=4，∴c==5，梯形ABCD的周长为：a+c+3a+c═4a+2c=4×3+2×5=22；（3）解：如图4，BD是△ABC的高．∵S=AC•△ABCBD=AB×3，AC==5，∴BD===．点拨：（1）根据四个全等的直角三角形的面积+阴影部分小正方形的面积=大正方形的面积，代入数值，即可证明；（2）由（1）中结论先求出c的值，再根据周长公式即可得出梯形ABCD的周长；（3）先根据高的定义画出BD，由（1）中结论求出AC的长，再根据△ABC的面积不变列式，即可求出高BD的长．2. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2．证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a．∵S四边形ADCB =S△ACD+S△ABC=b2+ab．又∵S四边形ADCB =S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）∴b2+ab=c2+ a（b﹣a）∴a2+b2=c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2．证明：连结_______，过点B作______________，则_________．∵S五边形ACBED =S△ACB+S△ABE+S△ADE=______________．又∵S五边形ACBED=______________=ab+c2+a（b﹣a），∴______________=ab+c2+a（b﹣a），∴a2+b2=c2．答案：BD，BF⊥DE于F，BF=b﹣a，ab+ b2+ab，S△ACB +S△ABE+S△ADE，ab+b2+ ab．解析：证明：连结BD，过点B作BF⊥DE于F，则BF=b﹣a，∵S五边形ACBED =S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，又∵S五边形ACBED =S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a），∴。

北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理》教案2一. 教材分析《探索勾股定理》这一节内容是北师大版八年级数学上册的第一节内容。

本节课的主要内容是让学生通过探究、实验、证明等方式，了解并掌握勾股定理。

教材通过引入古希腊数学家毕达哥拉斯的故事，激发学生的兴趣，然后引导学生通过实验、观察、推理等方法，探索并证明勾股定理。

教材还提供了丰富的练习题，帮助学生巩固所学知识。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了初中数学的基本知识，对几何图形有一定的了解。

但是，对于勾股定理的证明和应用，大部分学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，通过引导、启发、激励等方式，激发学生的学习兴趣，提高学生的探究能力。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生了解勾股定理的来历，掌握勾股定理的内容，并能够运用勾股定理解决一些实际问题。

2.过程与方法：通过观察、实验、推理等方法，让学生学会探究数学问题的基本方法，培养学生的逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：让学生体验到探究数学问题的乐趣，培养学生对数学的热爱，提高学生的自信心。

四. 教学重难点1.教学重点：勾股定理的内容及其应用。

2.教学难点：勾股定理的证明。

五. 教学方法本节课采用探究式教学法、情境教学法和启发式教学法。

通过故事导入、实验演示、问题引导等方式，激发学生的兴趣，引导学生主动参与课堂，提高学生的学习积极性。

六. 教学准备1.教师准备：熟悉教材内容，了解学生的学情，设计好教学过程和问题。

2.学生准备：预习教材，了解勾股定理的基本概念。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过讲述古希腊数学家毕达哥拉斯的故事，引导学生进入课题，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师展示勾股定理的定义和表述，让学生初步了解勾股定理。

3.操练（10分钟）教师学生进行小组讨论，让学生通过实际操作，探究并证明勾股定理。

教师巡回指导，解答学生的问题。

4.巩固（10分钟）教师通过出示一些练习题，让学生运用勾股定理解决问题，巩固所学知识。

§1.1 探索勾股定理（二）教学目标：1． 经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。

2． 掌握勾股定理和他的简单应用重点难点：重点： 能熟练运用拼图的方法证明勾股定理难点：用面积证勾股定理教学过程一、 创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需加以论证，下面就是今天所要研究的内容，下边请大家画四个全等的直角三角形，并把它剪下来，用这四个直角三角形，拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边c 为边长的正方形，并与同学交流。

在同学操作的过程中，教师展示投影1（书中p7 图1—7）接着提问：大正方形的面积可表示为什么？（同学们回答有这几种可能：（1）)(22b a + （2）2421c ab +⋅ ） 在同学交流形成共识之后，教师把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来。

22b a +=2421c ab +⋅ 请同学们对上面的式子进行化简，得到： 22222c ab b ab a +=++ 即 22b a +=2c这就可以从理论上说明勾股定理存在。

请同学们去用别的拼图方法说明勾股定理。

二、 讲例1. 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞机飞到一个男孩头顶正上方4000多米处，过20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？分析：根据题意：可以先画出符合题意的图形。

如右图，图中△ABC 的4000,90=︒=∠AC c 米，AB=5000米，欲求飞机每小时飞行多少千米，就要知道飞机在20秒的时间里的飞行路程，即图中的CB 的长，由于直角△ABC 的斜边AB=5000米，AC=4000米，这样的CB 就可以通过勾股定理得出。

这里一定要注意单位的换算。

解：由勾股定理得千米）(94522222=-=-=AC AB BC即BC=3千米 飞机20秒飞行3千米，那么它1小时飞行的距离为： 小时）千米/(5403203600=⨯ 答：飞机每个小时飞行540千米。