辅助角公式的推导讲解学习

推导对于f(x)=asinx+bcosx(a>0)型函数，我们可以如此变形，设点(a,b)为某一角φ(-π/2<φ<π/2)终边上的点，则，因此就是所求辅助角公式。

又因为，且-π/2<φ<π/2，所以，于是上述公式还可以写成该公式也可以用余弦来表示（针对b>0的情况），设点(b,a)为某一角θ(-π/2<θ<π/2)终边上的点，则，因此同理，，上式化成若正弦和余弦的系数都是负数，不妨写成f(x)=-asinx-bcosx，则再根据得记忆很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。

其实有一个很方便的记忆技巧，就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，的位置永远是你用来表示函数名称的系数。

例如用正弦来表示asinx+bcosx，则反正切就是b/a（即正弦的系数a在分母）。

如果用余弦来表示,那反正切就要变成a/b（余弦的系数b在分母）。

疑问为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为(-π/2,π/2)？其实是在分类讨论a>0或b>0的时候，已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了，此时辅助角的范围是(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k是整数)。

而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变，况且在(-π/2,π/2)内辅助角可以利用反正切表示，使得公式更加简洁明了。

提出者，原名李心兰，字竟芳，号秋纫，别号壬叔。

出身于读书世家，其先祖可上溯至南宋末年汴梁（今）人李伯翼。

生于1811年 1月22日，逝世于1882年12月9日，人，是中国近代着名的数学家、天文学家、力学家和，创立了二次的幂级数展开式。

[1]?（就是现在的）他研究各种，和对数函数的幂级数展开式，这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重大的成就。

[1]?在19世纪把西方近代知识翻译为中文的传播工作中﹐李善兰作出了重大贡献。

他的译书也为中国近代物理学的发展起了启蒙作用。

辅助角公式是解答三角函数问题的一种常用工具.运用该公式，可以将不同的三角函数名称和角统一.因此掌握辅助角公式的推导过程和应用技巧，对于解答复杂的三角函数问题是非常有必要的.一、辅助角公式的推导过程对于形如y =a sin x +b cos x (a ≠0、b ≠0)的三角函数，可以变形为：y =a 2+b 2()a a 2+b2∙sin x +b a 2+b2∙cos x .设aa 2+b 2=cos φ，ba 2+b 2=sin φ，则tan φ=b a ，由两角和与差的正弦公式可得：y =a 2+b 2()cos φ∙sin x +sin φ∙cos x ，即y =a 2+b 2sin ()x +φ.若a a 2+b 2=sin θ，b a 2+b 2=cos θ,tan θ=ab ，由两角和与差的余弦公式可得：y =a 2+b 2()sin θ∙sin x +cos θ∙cos x ，即y =a 2+b 2cos ()x -θ.从以上的推导过程可以发现，辅助角公式有两种表达形式，即a sin x +b cos x =a 2+b 2sin ()x +φ=a 2+b 2⋅cos ()x -θ，其中tan φ=b a 、tan θ=ab.二、辅助角公式的应用技巧运用辅助角公式，能将含有sin x 和cos x 的三角函数式转化为只含有正弦或余弦函数的式子.这有助于化简三角函数式，进一步探索函数的性质、最值.例题：已知函数f ()x =2cos ()π3+x ∙cos ()π3-x -3sin2x .（1）求f ()x 的最小正周期；（2）若x ∈()0,π2，求f ()x 的最小值和最大值；（3）判断函数f ()x 在区间éëêùûú-π6,7π12上的单调性.解：(1)f ()x =2()cos π3∙cos x -sin π3∙sin x æèçcos π3∙cos xöø÷+sin π3∙sin x-3sin2x=2()12cos xx ()12cos x x -3sin2x=2éëêêùûúú()12cos x 2-)x 2-3sin2x=cos2x -3sin2x -12=2sin ()2x -π6-12.则T =2π||ω=2π2=π，故该函数的最小正周期为π.(2)从上述式子可知，f ()x =2sin ()2x -π6-12，因为x ∈()0,π2，所以-π6≤2x -π6≤5π6.当2x -π6=π2，即x =π3时，sin ()2x -π6取得最大值1，可得f ()x max =32；当2x -π6=-π6，即x =0时，sin ()2x -π6取得最小值-12，可得f ()x min =-1.故该函数的最大值为32，最小值为-1.(3)由题意可知，-π6≤x ≤7π12，所以-π2≤2x -π6≤π.令t =2x -π6，设y =2sin t ，t ∈éëêùûú-π2,π，则y 在éëêùûú-π2,π2上单调递增，在éëêùûúπ2,π上单调递减.所以f ()x 在区间éëêùûú-π6,π3上单调递增，在区间éëêùûúπ3,7π12上单调递减.该三角函数式较为复杂，需首先将特殊角的三角函数值代入，并运用二倍角公式将函数式化为cos2x -3sin2x -12.该式中含有正弦函数式和余弦函数式，需运用辅助角公式将函数名称统一，将其化为2sin ()2x -π6-12，此时a 2+b 2=2，tan φ=b a =-π6，那么函数式就化为只含有正弦函数的式子.根据正弦函数的周期公式T =2π||ω、单调性、图象，即可快速求得函数的最小正周期、最大值、最小值和单调区间.综上所述，利用辅助角公式解题，需明确辅助角公式的推导过程，知晓其中的a 、b 、tan φ=ba的对应值，才能顺利化简三角函数式，运用三角函数的性质、图象解题.（作者单位：江苏省大丰高级中学）48Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

三角函数的辅助角计算方法三角函数是数学中一个重要且广泛应用的概念。

它们的求值在解决各种几何和物理问题中起着关键作用。

然而，有时候我们遇到的角度不在常用角度范围内，这就需要用到辅助角计算方法。

辅助角计算方法可以帮助我们将任意角度转化为一个介于0到90度之间的角度，从而方便我们使用常见的三角函数公式进行计算。

以下是几种常用的辅助角计算方法。

一、补角法补角法是利用补角的性质，将大于90度的角转化为小于90度的角。

具体操作如下：1. 角A是大于90度的角，记为A=α+β，其中α是与角A的补角，α+β=90度。

2. 利用三角函数的定义：sin(A) = sin(α+β) = sinα * cosβ + cosα * sinβ。

通过补角法，我们可以将大于90度的角转换成小于90度的角，并以此计算出对应的三角函数值。

二、合成角法合成角法是将一个角度分解成两个较小角度的和，以便利用已知的较小角度的三角函数值求得未知角度的三角函数值。

具体操作如下：1. 角A是一个未知角，我们将其分解为两个已知的角α和β，即A = α - β。

2. 根据角度和差公式：sin(A) = sin(α - β) = sinα * cosβ - cosα * sinβ。

通过合成角法，我们可以利用已知的角度的三角函数值来计算未知角度的三角函数值，从而实现对三角函数的辅助计算。

三、角度相等法角度相等法是通过将两个角度相等的三角函数公式进行转换，使求解目标角度变得容易。

具体操作如下：1. 假设角A与角B相等，即A = B。

2. 利用三角函数的定义：sin(A) = sin(B)、cos(A) = cos(B)、tan(A) = tan(B)。

通过角度相等法，我们可以通过已知的角度来计算与之相等的目标角度的三角函数值。

以上是三角函数的几种常用辅助角计算方法。

它们能够帮助我们将任意角度转化为标准的0到90度范围内的角度，从而方便我们进行三角函数的求解。

高中三角函数的辅助角解析三角函数是高中数学中的重要内容，它们在解决几何问题、计算机算法、物理学等多个领域中具有广泛的应用。

在学习三角函数时，我们通常会遇到一些复杂的角度，这时候辅助角解析就成为了一个非常有用的工具。

本文将详细介绍高中三角函数中辅助角解析的方法和应用。

一、正弦函数的辅助角解析我们先来看正弦函数的辅助角解析方法。

对于一个锐角α，可以通过辅助角β(β = 90° - α) 来解析正弦函数。

示例1：考虑一个锐角α = 30°，辅助角β = 90° - α= 90° - 30° = 60°。

根据辅助角解析，sin(α) = sin(β) = sin(60°) = √3/2。

二、余弦函数的辅助角解析接下来我们来讨论余弦函数的辅助角解析。

对于一个锐角α，可以通过辅助角β(β = α)来解析余弦函数。

示例2：考虑一个锐角α = 45°，辅助角β = α=45°。

根据辅助角解析，cos(α) = cos(β) = cos(45°) = √2/2。

三、正切函数的辅助角解析再来介绍正切函数的辅助角解析。

对于一个锐角α，可以通过辅助角β(β = 45° - α)来解析正切函数。

示例3：考虑一个锐角α = 60°，辅助角β = 45° - α = 45° - 60° = -15°。

根据辅助角解析，tan(α) = tan(β) = tan(-15°)。

四、割、余割和正割函数的辅助角解析割函数、余割函数和正割函数都可以通过三角函数之间的关系和辅助角来解析。

示例4：考虑一个锐角α = 45°，辅助角β = α=45°。

根据辅助角解析，sec(α) = sec(β) = sec(45°) = √2。

示例5：考虑一个锐角α = 30°，辅助角β = 90° - α= 90° - 30° = 60°。

辅助角公式Revised on November 25, 2020推导对于f(x)=asinx+bcosx(a>0)型函数，我们可以如此变形，设点(a,b)为某一角φ(-π/2<φ<π/2)终边上的点，则，因此就是所求辅助角公式。

又因为，且-π/2<φ<π/2，所以，于是上述公式还可以写成该公式也可以用余弦来表示（针对b>0的情况），设点(b,a)为某一角θ(-π/2<θ<π/2)终边上的点，则，因此同理，，上式化成若正弦和余弦的系数都是负数，不妨写成f(x)=-asinx-bcosx，则再根据得记忆很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。

其实有一个很方便的记忆技巧，就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，的位置永远是你用来表示函数名称的系数。

例如用正弦来表示asinx+bcosx，则反正切就是b/a（即正弦的系数a在分母）。

如果用余弦来表示,那反正切就要变成a/b（余弦的系数b在分母）。

疑问为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为(-π/2,π/2)其实是在分类讨论a>0或b>0的时候，已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了，此时辅助角的范围是(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k是整数)。

而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变，况且在(-π/2,π/2)内辅助角可以利用反正切表示，使得公式更加简洁明了。

提出者，原名李心兰，字竟芳，号秋纫，别号壬叔。

出身于读书世家，其先祖可上溯至南宋末年汴梁（今）人李伯翼。

生于1811年 1月22日，逝世于1882年12月9日，人，是中国近代着名的数学家、天文学家、力学家和，创立了二次的幂级数展开式。

[1]（就是现在的）他研究各种，和对数函数的幂级数展开式，这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重大的成就。

[1]在19世纪把西方近代知识翻译为中文的传播工作中﹐李善兰作出了重大贡献。

辅助角公式集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）推导对于f(x)=asinx+bcosx(a>0)型函数，我们可以如此变形，设点(a,b)为某一角φ(-π/2<φ<π/2)终边上的点，则，因此就是所求辅助角公式。

又因为，且-π/2<φ<π/2，所以，于是上述公式还可以写成该公式也可以用余弦来表示（针对b>0的情况），设点(b,a)为某一角θ(-π/2<θ<π/2)终边上的点，则，因此同理，，上式化成若正弦和余弦的系数都是负数，不妨写成f(x)=-asinx-bcosx，则再根据得记忆很多人在利用辅助角公式时，经常忘记反正切到底是b/a还是a/b，导致做题出错。

其实有一个很方便的记忆技巧，就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx，的位置永远是你用来表示函数名称的系数。

例如用正弦来表示asinx+bcosx，则反正切就是b/a（即正弦的系数a在分母）。

如果用余弦来表示,那反正切就要变成a/b（余弦的系数b 在分母）。

疑问为什么在推导辅助角公式的时候要令辅助角的取值范围为(-π/2,π/2)？其实是在分类讨论a>0或b>0的时候，已经把辅助角的终边限定在一、四象限内了，此时辅助角的范围是(2kπ-π/2,2kπ+π/2)(k是整数)。

而根据三角函数的周期性可知加上2kπ后函数值不变，况且在(-π/2,π/2)内辅助角可以利用反正切表示，使得公式更加简洁明了。

提出者，原名李心兰，字竟芳，号秋纫，别号壬叔。

出身于读书世家，其先祖可上溯至南宋末年汴梁（今）人李伯翼。

生于1811年 1月22日，逝世于1882年12月9日，人，是中国近代着名的数学家、天文学家、力学家和，创立了二次的幂级数展开式。

[1]（就是现在的）他研究各种，和对数函数的幂级数展开式，这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重大的成就。

辅助角公式讲解辅助角公式是在解决三角函数运算的过程中常用的一种方法，可以帮助我们简化一些复杂的三角函数式子，使其更易于计算。

本文将对辅助角公式进行详细的讲解，包括其定义、性质、应用等方面的内容。

一、辅助角公式的定义辅助角公式是指在三角函数运算过程中，通过引入一个新的角度来简化三角函数式子的方法。

这个角度通常是由原来的角度加上或减去一个固定的值，使得三角函数式子变得更容易计算。

具体来说，辅助角公式有以下几种形式：① sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)② cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)③ tan(a+b) = (tan(a) + tan(b)) / (1 - tan(a)tan(b))④ cot(a+b) = (cot(a)cot(b) - 1) / (cot(a) + cot(b))其中，a和b均为任意角度。

二、辅助角公式的性质1. 余角公式：若a+b=90°，则sin(a+b)=cos(a)，cos(a+b)=sin(a)，tan(a+b)=cot(a)，cot(a+b)=tan(a)。

2. 差角公式：sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)，cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)，tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))，cot(a-b)=(cot(a)cot(b)+1)/(cot(b)-cot(a))。

3. 和差角公式：sin(a+b)+sin(a-b)=2sin(a)cos(b)，cos(a+b)+cos(a-b)=2cos(a)cos(b)，tan(a+b)-(tan(a-b))=2tan(a)tan(b)，cot(a+b)+cot(a-b)=2cot(a)cot(b)。

4. 二倍角公式：sin2a=2sinacos(a)，cos2a=cosa-sina，tan2a=(2tana)/(1-tana)，cot2a=(cota-1)/(2cot(a))。

辅助角公式的推导讲解学习辅助角公式的推导辅助角公式sin cos )a b θθθ?+=+的推导在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式sin cos a b θθ+)θ?+或sin cos a b θθ+cos()θ?-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式. 一.教学中常见的的推导方法教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例例1α+cos α=2sin （α+6π）=2cos （α-3π）.其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论: 可见α+cos α可以化为一个角的三角函数形式.一般地,asin θ+bcos θ是否可以化为一个角的三角函数形式呢2.辅助角公式的推导例2化sin cos a b θθ+为一个角的一个三角函数的形式.解:asin θ+bcos θsin θcos θ),①=cos ?=sin ?,则asin θ+bcos θθcos ?+cos θsin ?)θ+?),(其中tan ?=ba)②=sin ?=cos ?,则asin θ+bcos θθsin ?+cos θcos ?θ-?),(其中tan ?=a b) 其中?的大小可以由sin ?、cos ?的符号确定?的象限,再由tan ?的值求出.或由tan ?=ba和(a,b)所在的象限来确定. 推导之后,是配套的例题和大量的练习.但是这种推导方法有两个问题:一是为什么要令=cos ?=sin ?让学生费解.二是这种“规定”式的推导,学生难记易忘、易错! 二.让辅助角公式sin cos a b θθ+)θ?+来得更自然能否让让辅助角公式来得更自然些这是我多少年来一直思考的问题.2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法.首先要说明，若a=0或b=0时，sin cos a b θθ+已经是一个角的一个三角函数的形式，无需化简.故有ab ≠0. 1.在平面直角坐标系中,以a 为横坐标,b 为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,则总有一个角?,它的终边经过点P.设由三角函数的定义知 sin ?=b rcos ?=a r=.所以asin θ+bcos θsin θcos θ)θ?+.(其中tan ?=ba)2.若在平面直角坐标系中,以b 为横坐标,以a 为纵坐标可以描点P(b,a),如图2所示,则总有一个角?的终边经过点P(b,a),设OP=r,则由三角函数的定义知sin ?=ar,cos ?=b rasin θ+bcos θsin cos cos ?θ?θ+s()θ?-.(其中tan ?=a b)例3cos θθ+为一个角的一个三角函数的形式.解:在坐标系中描点设角?的终边过点P,则=12,cos ?=2.cos θθ+=2cos ?sin θ+2sin ?cos θ=2sin(θ?+).tan ?=3.26k ππ=+,cos θθ+=2sin(6πθ+).经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式asinθ+bcos θsin θcos θ)=)θ?+,(其中tan ?=ba).或者asinθ+bcos θsin θcos θ)=)θ?-,(其中tan ?=ab)我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解asinθ+bcosθsinθcosθ)的道理,以及为什么只有两种形式的结果.例4化sinαα-为一个角的一个三角函数的形式. 解法一:点在第四象限.OP=2.设角?过P点.则sin2=-,1cos2=.满足条件的最小正角为53π,52,.3k k Zππ=+∈1sin2(sin cos)2(sin cos cos sin) 22552sin()2sin(2)2sin().33kααααα?α?α?αππαπ∴-=-=+=+=++=+解法二:点在第二象限,OP=2,设角?过P点.则1sin2=,cos2=-.满足条件的最小正角为56π,52,.6k k Zππ=+∈三.关于辅助角的范围问题由sin cos)a bθθθ?+=+中,点P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限).设满足条件的最小正角为1,则12kπ=+.由诱导公式(一)知1 sin cos))a bθθθ?θ?+=+=+．其中1(0,2)π∈，1tanba=，1的具体位置由1sin?与1cos?决定，1的大小由1tanba=决定．类似地，sin cos )a b θθθ?+=-，?的终边过点Ｐ（ｂ，ａ），设满足条件的最小正角为2?，则22.k ??π=+由诱导公式有2sin cos cos())a b θθθ?θ?+=-=-，其中2(0,2)?π∈，2tan ab=，2?的位置由2sin ?和2cos ?确定，2?的大小由2tan ab=确定．注意：①一般地，12??≠；②以后没有特别说明时，角1?（或2?）是所求的辅助角．四．关于辅助角公式的灵活应用引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式．在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为1sin cos )a b θθθ?+=+的形式或2sin cos )a b θθθ?+=-的形式．可以利用两角和与差的正、余弦公式灵活处理．例５化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式．cos αα-；（２）sin()cos()6363ππαα-+-．解：（１）1cos sin cos )222(sin coscos sin )2sin()666ααααπππααα-=-=-=-（２）sin()cos()63631[sin()cos()]32323[sin()cos cos()sin ]333332sin()33ππααππααππππααπα-+-=-+-=-+-=-在本例第（１）小题中，a =1b =-a 、b 中至少有一个是负值时．我们可以取Ｐ（a ，b ），或者Ｐ（b ，a）．这样确定的角1?（或2?）是锐角，就更加方便．例6已知向量(cos(),1)3a x π=+r ,1(cos(),)32b x π=+-r ,(sin(),0)3c x π=+r ,求函数()h x =2a b b c ?-?+r r r r 的最大值及相应的x 的值.解:21()cos()sin()cos()23233h x x x x πππ=+--+++=21cos(2)1233sin(2)2232x x ππ++-++=1212cos(2)sin(2)22323x x ππ+-++=22cos(2)sin(2)]222323x x ππ+-++=11cos(2)2212x π++ 这时111122,.1224x k x k k Z ππππ+==-∈.此处,若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁,而且易错,请读者一试. 五.与辅助角有关的应用题与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见,而且涉及辅角的范围,在相应范围内求三角函数的最值往往是个难点.例7如图3,记扇OAB 的中心角为45?,半径为1,矩形PQMN 内接于这个扇形,求矩形的对角线l 的最小值.解:连结OM,设∠AOM=θ.则MQ=sin θ,OQ=cos θ,OP=PN=sin θ. PQ=OQ-OP=cos sin θθ-.=22sin (cos sin )θθθ+-=31(sin 2cos 2)22θθ-+=13sin(2)22θ?-+,其中11tan 2?=,1(0,)2π?∈,11arctan 2=. 04πθ<πθ?∴<+<+2min322l∴=-,min 12l -=. 所以当11arctan 422πθ=-时,矩形的对角线l的最小值为12-. NBMAP O图。

《辅助角公式》讲义一、引入在三角函数的学习中，我们常常会遇到形如＼（a\sin x ＋b\cos x\）这样的式子。

为了更方便地对其进行分析和处理，我们引入了一个非常重要的公式——辅助角公式。

二、什么是辅助角公式辅助角公式的一般形式为：＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝＼sqrt{a^2 ＋b^2} ＼sin(x ＋＼varphi)＼），其中\（＼varphi\）满足\（＼tan\varphi＝＼frac{b}｛a}＼）。

这个公式的作用在于将两个不同的三角函数\（＼sin x\）和\（＼cos x\）合并成一个单一的三角函数\（＼sin(x ＋＼varphi)＼），从而简化计算和分析。

三、辅助角公式的推导为了推导辅助角公式，我们可以利用三角函数的和角公式：＼（＼sin(＼alpha ＋＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＋＼cos\alpha\sin\beta\）令＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝ R\sin(x ＋＼varphi)＼）则＼（R\sin(x ＋＼varphi) ＝ R(＼sin x\cos\varphi ＋＼cosx\sin\varphi) ＝ R\cos\varphi\sin x ＋ R\sin\varphi\cos x\）所以＼（R\cos\varphi ＝ a\），＼（R\sin\varphi ＝ b\）两边平方相加可得：＼（R^2(＼cos^2\varphi ＋＼sin^2\varphi) ＝a^2 ＋ b^2\）因为\（＼cos^2\varphi ＋＼sin^2\varphi ＝ 1\），所以＼（R ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼）则\（＼tan\varphi ＝＼frac{＼sin\varphi}｛＼cos\varphi} ＝＼frac{b}｛a}＼）这样就得到了辅助角公式：＼（a\sin x ＋ b\cos x ＝＼sqrt{a^2 ＋b^2} ＼sin(x ＋＼varphi)＼），其中\（＼varphi\）满足\（＼tan\varphi＝＼frac{b}｛a}＼）四、辅助角公式的应用（一）化简三角函数表达式例 1：化简\（＼sqrt{3}＼sin x ＋＼cos x\）首先，＼（R ＝＼sqrt{（＼sqrt{3}）＾2 ＋ 1^2} ＝ 2\）＼（＼tan\varphi ＝＼frac{1}｛＼sqrt{3}｝＝＼frac{＼sqrt{3}｝｛3}＼），所以\（＼varphi ＝＼frac{＼pi}｛6}＼）则\（＼sqrt{3}＼sin x ＋＼cos x ＝ 2\sin(x ＋＼frac{＼pi}｛6}）＼）例 2：化简＼（5\sin x 12\cos x\）＼（R ＝＼sqrt{5^2 ＋（－12)＾2} ＝ 13\）arctan\frac{12}｛5}＼）则＼（5\sin x 12\cos x ＝ 13\sin(x ＼arctan\frac{12}｛5}）＼）（二）求三角函数的最值例 3：求函数＼（y ＝ 2\sin x ＋ 2\sqrt{3}＼cos x\）的最大值和最小值先将其化为辅助角公式的形式：＼（R ＝＼sqrt{2^2 ＋（2\sqrt{3}）＾2} ＝ 4\）＼（＼tan\varphi ＝＼sqrt{3}＼），所以\（＼varphi ＝＼frac{＼pi}｛3}＼）则＼（y ＝ 4\sin(x ＋＼frac{＼pi}｛3}）＼）因为\（＼sin(x ＋＼frac{＼pi}｛3}）＼）的最大值为＼（1\），最小值为\（－1\）所以＼（y\）的最大值为＼（4\），最小值为\（－4\）（三）求解三角函数方程例 4：求解方程＼（3\sin x ＋ 4\cos x ＝ 2\）将左边化为辅助角公式：＼（R ＝＼sqrt{3^2 ＋ 4^2} ＝ 5\）arctan\frac{4}｛3}＼）则＼（3\sin x ＋ 4\cos x ＝ 5\sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＼）原方程变为＼（5\sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＝ 2\）＼（＼sin(x ＋＼arctan\frac{4}｛3}）＝＼frac{2}｛5}＼）则＼（x ＋＼arctan\frac{4}｛3} ＝ k\pi ＋（－1)＾k\arcsin\frac{2}｛5}＼），＼（k\in Z\）＼（x ＝ k\pi ＋（－1)＾k\arcsin\frac{2}｛5} ＼arctan\frac{4}｛3}＼），＼（k\in Z\）五、使用辅助角公式的注意事项（一）正确确定辅助角\（＼varphi\）要根据\（＼tan\varphi ＝＼frac{b}｛a}＼）来确定\（＼varphi\）的值，同时要注意\（＼varphi\）所在的象限。

三角函数辅助角公式推导过程是什么辅助角公式是一种高等三角函数公式，下面小编整理了三角函数辅助角公式公式及推导过程，供大家参考！1 三角函数辅助角公式是什幺辅助角公式是一种高等三角函数公式，使用代数式表达为asinx+bcosx=√(a²+b²)sin[x+\arctan(b/a)]（a>0）。

虽然该公式已经被写入中学课本，但其几何意义却鲜为人知。

设要证明的公式为asinA+bcosA=√(a +b )sin(A+M) (tanM=b/a)以下是证明过程：设asinA+bcosA=xsin(A+M)∴asinA+bcosA=x((a/x)sinA+(b/x)cosA)由题,（a/x) +(b/x) =1,sinM=a/x,cosM=b/x∴x=√(a +b )∴asinA+bcosA=√(a +b )sin(A+M) ,tanM=sinM/cosM=b/a1 三角函数辅助角公式推导过程三角函数辅助角公式推导：asinx+bcosx=√(a²+b²)[asinx/√(a²+b²)+bcosx/√(a²+b²)]令a/√(a²+b²)=cosφ，b/√(a²+b²)=sinφasinx+bcosx=√(a²+b²)(sinxcosφ+cosxsinφ)=√(a²+b²)sin(x+φ)其中，tanφ=sinφ/cosφ=b/a，φ的终边所在象限与点(a,b)所在象限相同. 简单例题：（1）化简5sina-12cosa5sina-12cosa=13(5/13sina-12/13cosa)。

辅助角公式及其推导过程辅助角公式是解决三角函数运算中角度变化的一种方法，它是通过将一个角转换成一个补角或余角，从而简化计算的过程，减轻难度。

本文将介绍辅助角公式的概念、应用以及推导过程。

一、辅助角公式概念辅助角公式是数学中三角函数计算中常使用的一种转换公式。

在三角函数计算中，有时我们需要将一个角度转换成另一个角度，从而使得计算更加简单。

这时就可以用到辅助角公式，将原来的角度转换成一个补角或余角，从而达到计算的目的。

辅助角公式的应用：1、sin(a+b) = sinacosb + cosasinb2、cos(a+b) = cosacosb - sinasinb3、tan(a+b) = (tana + tanb)/(1 - tana tanb)4、sin(a-b) = sinacosb - cosasinb5、cos(a-b) = cosacosb + sinasinb6、tan(a-b) = (tana-tanb)/(1+tana tanb)以上公式都是辅助角公式，我们可以通过它们将一个角度转换成另一个角度来达到简化计算的目的。

二、辅助角公式的推导过程下面我们以sin(a+b)和cos(a+b)的推导过程为例，阐述辅助角公式的推导过程。

1、sin(a+b)的推导过程根据三角函数的定义，可以得到如下关系：sin(a+b) = sin[(a/2)+(b/2)]cos[(a/2)-(b/2)] + cos[(a/2)+(b/2)]sin[(a/2)-(b/2)]将上式中的一个角用其余角或补角代替，即可得到辅助角公式：(1) 如果把b用余角代替，即b=90-a，则sin(a+b) = sin[(a/2)+(90-a)/2)]cos[(a/2)-(90-a)/2)] + cos[(a/2)+(90-a)/2)]sin[(a/2)-(90-a)/2)]= sin(45)cos((a-45)/2) + cos(45)sin((a-45)/2)= (√2/2)cos((a-45)/2) + (√2/2)sin((a-45)/2)= √2/2(sin(a/2) + cos(a/2))即sin(a+b) = sinacosb + cosasinb(2) 如果我们把a用补角代替，即a=90-b，则sin(a+b) = sin[(90-b)/2 + b/2]cos[(90-b)/2 - b/2] + cos[(90-b)/2 + b/2]sin[(90-b)/2 - b/2] = cos(45)cos((45-b)/2) + sin(45)sin((45-b)/2)= √2/2(cos(b/2) - sin(b/2))即sin(a+b) = cosacosb - sinasinb2、cos(a+b)的推导过程根据三角函数的定义，可以得到如下关系：cos(a+b) = cos[(a/2)+(b/2)]cos[(a/2)-(b/2)] - sin[(a/2)+(b/2)]sin[(a/2)-(b/2)]将上式中的一个角用其余角或补角代替，即可得到辅助角公式：(1) 如果我们把b用余角代替，即b=90-a，则cos(a+b) = cos[(a/2)+(90-a)/2]cos[(a/2)-(90-a)/2] - sin[(a/2)+(90-a)/2]sin[(a/2)-(90-a)/2]= cos(45)cos((a-45)/2) - sin(45)sin((a-45)/2)= √2/2(cos(a/2)-sin(a/2))即cos(a+b) = cosacosb - sinasinb(2) 如果我们把a用补角代替，即a=90-b，则cos(a+b) = cos[(90-b)/2 + b/2]cos[(90-b)/2 - b/2] - sin[(90-b)/2 + b/2]sin[(90-b)/2 - b/2] = sin(45)cos((45-b)/2) - cos(45)sin((45-b)/2)= √2/2(sin(b/2)+cos(b/2))即cos(a+b) = sinacosb + cosasinb三、结论辅助角公式是数学中必备的工具之一，通过它们可以简化计算过程，便于我们在实际应用中更快捷地求出正弦、余弦、正切等三角函数的值。

3.1.3三角函数的辅助角公式班级 姓名【使用说明】课前完成学案，牢记基础知识，掌握基本题型；课上小组合作探究，达疑解惑。

【学习目标】理解两角和、差余弦、正弦和正切公式，推导辅助角公式，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，应用解决某些三角问题。

【重点难点】1、重点：辅助角公式的推导过程及运用。

2、难点：辅助角公式的灵活运用。

【学习过程】（1）基本公式：=±)cos(βα=±)sin(βα=±)tan(βα（2）练习：化简=+x x cos 3sin )cos 23sin 21(x x + = ()sin_____cos cos_____sin x x += ()_____sin +x思考：正弦前面的系数是怎么得到的？ 思考：怎样求ααcos sin b a +类型？一、自主探究，引发思考，层层深入，得出结论： ()()()()ϕϕϕ+=+=+=+x x x x x x b x a sin sin cos cos sin )cos sin (cos sin其中由()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==ϕϕsin cos 确定，即辅助角的终边经过点,=ϕtan结论：辅助角公式：=+x b x a cos sin其中辅助角由=ϕtan 来确定二、互相交流、小组活动、公式应用闯关：(1)=+x x cos sin (2)=-x x cos sin(3)=+x x cos 3sin (4)=-x x cos 3sin(5)=+x x cos sin 3 (6)=-x x cos sin 3【经典范例】（自己做做看）例1：求函数x x y cos 2sin 6-=的周期，最大值和最小值。

例2例3：已知A 、B 、C 为△ABC 的三內角，向量)3,1(-=m ，)sin ,(cos A A n = ，且1=•n m ， （1）求角A ；（2）若3sin cos cos sin 2122-=-•+BB B B ，求tanC 的值。