第九章 一元非线性回归分析

第9章 非线性回归9.1 在非线性回归线性化时，对因变量作变换应注意什么问题？答：在对非线性回归模型线性化时，对因变量作变换时不仅要注意回归函数的形式， 还要注意误差项的形式。

如：(1) 乘性误差项，模型形式为e y AK L αβε=， (2) 加性误差项，模型形式为y AK L αβε=+。

对乘法误差项模型（1）可通过两边取对数转化成线性模型，（2）不能线性化。

一般总是假定非线性模型误差项的形式就是能够使回归模型线性化的形式，为了方便通常省去误差项，仅考虑回归函数的形式。

9.2为了研究生产率与废料率之间的关系，记录了如表9.14所示的数据，请画出散点图，根据散点图的趋势拟合适当的回归模型。

表9.14生产率x （单位/周） 1000 2000 3000 3500 4000 4500 5000 废品率y （%）5.26.56.88.110.2 10.3 13.0解：先画出散点图如下图：5000.004000.003000.002000.001000.00x12.0010.008.006.00y从散点图大致可以判断出x 和y 之间呈抛物线或指数曲线，由此采用二次方程式和指数函数进行曲线回归。

（1）二次曲线 SPSS 输出结果如下：Mode l Sum mary.981.962.942.651R R SquareAdjusted R SquareStd. E rror of the E stim ateThe independent variable is x.ANOVA42.571221.28650.160.0011.6974.42444.2696Regression Residual TotalSum of Squares dfMean SquareF Sig.The independent variable is x.Coe fficients-.001.001-.449-.891.4234.47E -007.0001.4172.812.0485.843 1.3244.414.012x x ** 2(Constant)B Std. E rror Unstandardized Coefficients BetaStandardizedCoefficientstSig.从上表可以得到回归方程为：72ˆ 5.8430.087 4.4710yx x -=-+⨯ 由x 的系数检验P 值大于0.05，得到x 的系数未通过显著性检验。

回归分析非线性回归回归分析是用于探究自变量和因变量之间关系的一种统计方法，在实际应用中，所研究的问题往往并不是简单地呈线性关系。

为了更准确地描述变量之间的复杂关系，我们需要使用非线性回归模型。

非线性回归指的是自变量与因变量之间的关系不是简单的线性关系，而是可以用其他非线性函数更好地拟合的情况。

这样的非线性函数可以是多项式函数、指数函数、对数函数等等。

非线性回归可以更好地反映实际问题的实际情况，并且通常能够提供更准确的预测结果。

在非线性回归分析中，我们需要确定非线性函数的形式以及确定函数中的参数。

对于确定非线性函数的形式，一般来说，可以通过观察数据的散点图、经验和理论分析来选择。

根据选择的非线性函数形式，我们可以使用最小二乘法等方法来确定函数中的参数。

以一个简单的例子来说明非线性回归的具体步骤。

假设我们想要研究一个人的年龄和体重之间的关系，我们可以选择一个二次多项式模型来描述这个关系。

我们的非线性回归模型可以写作：体重=β₀+β₁×年龄+β₂×年龄²+ε其中，体重是因变量，年龄是自变量，ε是误差项。

我们的目标是确定模型中的参数β₀、β₁和β₂的值，使得模型最好地拟合观察到的数据。

为了实现这个目标，我们可以使用最小二乘法来估计参数的值。

最小二乘法是一种常用的参数估计方法，它通过最小化观测值与模型预测值之间的离差平方和来确定参数的值。

通过最小二乘法估计出的参数值，可以用于建立非线性回归模型，从而对未来的数据进行预测。

除了使用最小二乘法估计参数值之外，我们还可以使用其他的优化算法如牛顿法或梯度下降法来估计参数的值。

这些方法的选择通常取决于模型形式的复杂程度、参数数量以及数据量等因素。

需要注意的是，非线性回归模型的参数估计和预测结果都受到初始值的选择和模型形式的选择的影响。

因此，在进行非线性回归分析时，我们需要注意选择合适的初始值和合适的模型形式，以获得更准确的结果。

在实际应用中，非线性回归可以用于多个领域，比如医学、经济学、工程学等。

回归分析非线性回归回归分析是一种用于研究自变量与因变量之间关系的统计分析方法。

在回归分析中，我们使用自变量来解释因变量的变化，并建立一个数学模型来描述这种关系。

通常情况下，我们假设自变量与因变量之间是线性关系。

因此，在大多数回归分析应用中，我们使用线性回归模型。

然而，有时候我们可能会发现实际数据不符合线性关系的假设。

这时，我们就需要使用非线性回归模型来更好地解释数据。

非线性回归分析是一种通过建立非线性模型来描述自变量和因变量之间关系的方法。

在这种情况下，模型可以是各种形式的非线性函数，如指数函数、对数函数、多项式函数等。

非线性回归模型的形式取决于实际数据。

非线性回归模型的建立通常包括以下几个步骤：1.数据收集：首先需要收集与自变量和因变量相关的数据。

这些数据应该能够反映出二者之间的关系。

2.模型选择：根据实际情况选择合适的非线性模型。

常见的非线性模型有指数模型、对数模型、幂函数等。

3.参数估计：使用最小二乘法或其他拟合方法来估计模型中的参数。

这些参数描述了自变量和因变量之间的关系。

4.模型检验：对估计得到的模型进行检验，评估模型的拟合程度。

常见的检验方法有残差分析、F检验、t检验等。

5.模型解释与预测：解释模型的参数和拟合程度，根据模型进行预测和分析。

非线性回归分析的主要优点是可以更准确地描述自变量和因变量之间的关系。

与线性回归不同，非线性回归可以拟合一些复杂的实际情况，并提供更准确的预测。

此外，非线性回归还可以帮助发现自变量和因变量之间的非线性效应。

然而，非线性回归模型的建立和分析相对复杂。

首先，选择适当的非线性模型需要一定的经验和专业知识。

其次，参数估计和模型检验也可能更加困难。

因此，在进行非线性回归分析时，需要谨慎选择合适的模型和方法。

最后，非线性回归分析还需要考虑共线性、异方差性、多重共线性等统计问题。

这些问题可能影响到模型的稳定性和可靠性，需要在分析过程中加以注意。

总之，非线性回归分析是一种用于解释自变量和因变量之间非线性关系的方法。

⼀元⾮线性回归⼀元⾮线性回归有时，回归函数并⾮是⾃变量的线性函数，但通过变换可以将之化为线性函数，从⽽利⽤⼀元线性回归对其分析，这样的问题是⾮线性回归问题。

为了检验X射线得到杀菌作⽤。

⽤200kv的X射线照射杀菌，每次照射6分钟，照射次数为x,照射后所剩的细菌数为y,下表是⼀组试验结果x y x y x y1 783 815415282 621 912916203 433 1010317164 431 117218125 287 12501996 251 13432077 175 1431根据经验知道y关于x的曲线回归⽅程如bxyae试给出具体的回归⽅程，并对其对应的决定系数R^2和剩余标准差s。

⼀、⾸先描出数据的散点图，如下图散点图呈现出⼀个明显的向下且下凸的趋势，可能选择的函数关系很多，⽐如我们可以给出如下三个曲线函数：1.1bay x=+（1）2.baxy=（2）3.bxy ae=（3）⼆、参数估计1.为了能采⽤⼀元线性回归分析⽅法，我们做如下变换yv ln=u=x则（1）式的曲线图就化为如下的散点图u i∑= 3655 i v ∑=87.22497u =182.75 v =4.3612482ui∑=1611149 u i i v ∑=21281.692nu =667951.3 nuv =15940.36uu l = 943197.8 uv l =5341.3291B =uuuvl l =130.9375 0B=v - B1=-388.301得出⽅程v=-388.301+130.9375x四、结束语对于可化为线性模型的回归问题，⼀般先将其化为线性模型，然后再⽤最⼩⼆乘法求出参数的估计值，最后再经过适当的变换，得到所求回归曲线。

在熟练掌握最⼩⼆乘法的情况下，解决上述问题的关键是确定曲线类型和怎样将其转化为线性模型。

确定曲线类型⼀般从两个⽅⾯考虑:⼀是根据专业知识，从理论上推导或凭经验推测、⼆是在专业知识⽆能为⼒的情况下，通过绘制和观测散点图确定曲线⼤体类型。

.学号姓名学院专业化学工程与技术成绩一元非线性回归分析的应用——以流化床中不同床层高度处的气泡直径为例摘要：一元非线性回归预测法是分析一个因变量与一个自变量之间的非线性关系的预测方法。

在实际现实问题中，变量之间的关系往往都是比较复杂的非线性相关关系。

本文运用一元非线性回归的分析方法，构建了简单的分析模型，求出模型参数，并对分析结果的显著性进行了假设检验，从而了解到流化床中床层高度与气泡直径之间的关系呈非线性相关(双曲线关系)。

正文：一、问题提出鼓泡流化床由于气体和固体之间有较高的传热、传质速率，已广泛应用于工业领域。

气泡是气固鼓泡流化床中一种重要的现象，气泡结构以及流动过程的变化对反应有较大的影响，气泡的出现、聚并、破裂对床层内颗粒的混合和床层浓度、温度的均匀分布有至关重要的作用，因而研究鼓泡流化床内的气泡行为对提高反应器的效率具有十分重要的意义。

二、数据描述流化床中气泡直径与床层高度之间有一定关系，运用这一关系可以根据流化床中床层高度求出气泡直径，下表是实测14对气泡直径与床层高度的数据记录，用一元非线性回归法分析他们之间的关系。

表1 气泡直径u 与床层高度v 的试验数据三、模型建立（1）构建模型由上表中的数据，做出气泡直径u 与相应的床层高度v 数据的散点图，如下图所示.图一 实验数据散点图该图形显示气泡直径u 与相应的床层高度v 之间存在非线性相关关系。

根据图中散点图的特点，选用双曲线1/u=a + b/v作为回归函数来表示气泡直径u 与床层高度v 之间的关系。

y=1/u x=1/v ①则得线性函数 y=a + b*x （2）模型求解由v、u的试验数据去倒数得x, y的数据，见表2。

表2 u, v的试验数据利用上面的数据，按线性回归公式算得x= 0.080311/14=0.005736, y=0.261725/14=0.018695,Lxx=∑xi2-14x2 =0.000106Lyy=∑yi2-14y2 =0.000548Lxy=∑xiyi-14x y=0.00024ß^= Lxy/ Lxx=0.00024/0.000106=2.263298â =y-ß^x =0.018695-2.263298*0.005736=0.005711 得到样本回归直线方程y^=2.263298x+0.005711 ②下图为用excel拟合的直线图图二实验数据拟合图四、检验用相关系数检验法检验上式，对α=0.01，查相关系数临界值，得r0.01 (12) =0.661,由于│r│=│Lxy│/( Lxx Lyy)^1/2 =0.995938>0.661所以线性回归方程②式的作用高度显著。

非线性回归分析简介在统计学和机器学习领域，回归分析是一种重要的数据分析方法，用于研究自变量和因变量之间的关系。

在实际问题中，很多情况下自变量和因变量之间的关系并不是简单的线性关系，而是呈现出一种复杂的非线性关系。

因此，非线性回归分析应运而生，用于描述和预测这种非线性关系。

本文将介绍非线性回归分析的基本概念、方法和应用。

一、非线性回归分析概述1.1 非线性回归模型在回归分析中，最简单的模型是线性回归模型，即因变量和自变量之间的关系可以用一个线性方程来描述。

但是在实际问题中，很多情况下因变量和自变量之间的关系并不是线性的，而是呈现出曲线、指数、对数等非线性形式。

这时就需要使用非线性回归模型来拟合数据，通常非线性回归模型可以表示为：$$y = f(x, \beta) + \varepsilon$$其中，$y$为因变量，$x$为自变量，$f(x, \beta)$为非线性函数，$\beta$为参数向量，$\varepsilon$为误差项。

1.2 非线性回归分析的优势与线性回归相比，非线性回归分析具有更强的灵活性和适用性。

通过使用适当的非线性函数，可以更好地拟合实际数据，提高模型的预测能力。

非线性回归分析还可以揭示数据中潜在的复杂关系，帮助研究人员更好地理解数据背后的规律。

1.3 非线性回归分析的挑战然而，非线性回归分析也面临一些挑战。

首先，选择合适的非线性函数是一个关键问题，需要根据实际问题和数据特点进行合理选择。

其次，非线性回归模型的参数估计通常比线性回归模型更复杂，需要使用更为复杂的优化算法进行求解。

因此，在进行非线性回归分析时，需要谨慎选择模型和方法，以确保结果的准确性和可靠性。

二、非线性回归分析方法2.1 常见的非线性回归模型在实际应用中，有许多常见的非线性回归模型，常用的包括多项式回归模型、指数回归模型、对数回归模型、幂函数回归模型等。

这些模型可以根据实际问题的特点进行选择，用于描述和预测自变量和因变量之间的非线性关系。

非线性回归分析简介非线性回归分析是一种用于建立非线性关系模型的统计方法。

与线性回归不同，非线性回归可以更好地拟合非线性数据，提供更准确的预测结果。

在许多实际问题中，数据往往呈现出非线性的趋势，因此非线性回归分析在实际应用中具有广泛的应用价值。

一、非线性回归模型的基本形式非线性回归模型的基本形式可以表示为：y = f(x, β) + ε其中，y是因变量，x是自变量，β是模型参数，f(x, β)是非线性函数，ε是误差项。

非线性函数可以是任意形式的函数，如指数函数、对数函数、幂函数等。

二、非线性回归模型的参数估计与线性回归不同，非线性回归模型的参数估计不能直接使用最小二乘法。

常见的非线性回归参数估计方法有以下几种：1. 非线性最小二乘法（NLS）非线性最小二乘法是一种常用的参数估计方法，它通过最小化残差平方和来估计模型参数。

具体而言，通过迭代的方式不断调整参数，使得残差平方和最小化。

2. 非线性广义最小二乘法（GNLS）非线性广义最小二乘法是对非线性最小二乘法的改进，它在最小化残差平方和的同时，还考虑了误差项的方差结构。

通过引入权重矩阵，可以更好地处理异方差性的数据。

3. 非线性加权最小二乘法（WNLS）非线性加权最小二乘法是对非线性广义最小二乘法的进一步改进，它通过引入加权矩阵，对不同数据点赋予不同的权重。

可以根据数据的特点，调整权重矩阵，提高模型的拟合效果。

三、非线性回归模型的评估指标在进行非线性回归分析时，需要对模型进行评估，以确定模型的拟合效果。

常见的评估指标有以下几种：1. 残差分析残差分析是一种常用的评估方法，通过分析残差的分布情况，判断模型是否符合数据的分布特征。

如果残差呈现随机分布，说明模型拟合效果较好；如果残差呈现一定的规律性，说明模型存在一定的问题。

2. 决定系数（R-squared）决定系数是衡量模型拟合优度的指标，其取值范围为0到1。

决定系数越接近1，说明模型对数据的解释能力越强；决定系数越接近0，说明模型对数据的解释能力越弱。

非线性回归分析
非线性回归分析是一种分析异种资料之间的、结果变量不能用简单线性回归方法分析
的关系的统计技术。

它弥补了线性回归分析不能有效应用于某些呈非线性关系的数据组合。

非线性回归分析用来描述两个或多个变量之间的相关关系，当这种关系不是以线性方式表
示出来而且也不容易转化成一个简单的线性模型时，就需要使用非线性回归分析来评估这
种关系。

非线性回归主要解决的是自变量和因变量之间的相互关系，它可以用来进行数据
分析，建立非线性模型，对模型的准确性进行验证，并且可以对系统带有非线性特征的数
据系统进行有效控制。

非线性回归分析非常有效，特别是在虚拟验证中，表现比线性回归分析要好。

它可以
解决多种形式，灵活性和可靠性都较高，适用于非线性数据分析，同时能够用于解决复杂
系统间的互动关系。

使用此方法，可以解释出复杂系统的新特征，可以提供基于数学的标
准化算法，以及定义具有可靠性的度量标准。

非线性回归分析比线性回归分析更灵活和实用，也更复杂。

但非线性回归分析也有一
些缺点，其中最大的缺陷是模型的复杂度对计算机压力要求较高，它数据精度、特征复杂
度要求较高，如果数据不够准确，它都会给出不准确的结果。

而且它也需要更多的参数来
计算，这也增加了计算量。

因此，要想使用这项技术来正确估算和预测复杂的非线性数据，应当选择性能更好的计算机，拥有更多内存，准确的数据特征和足够的参数分析等来支持
分析。

非线性回归分析非线性回归分析是一种在统计学中用于拟合数据的技术，它可以帮助我们辨别数据之间的关系，并预测出未来可能发生的趋势。

非线性回归分析基于一般归纳推理，它是一种统计技术，能够从观测数据中取出一条不存在明显公式的非线性模型。

纳推理使用具有不同特征的实际案例（即观测数据）来推断或判断某种趋势或不确定事件的可能结果，从而避免不必要的误差，也无需耗费过多时间去建模或拟合数据。

纳推理基于观测到的现象，因此可以提供比传统统计学研究中更详细的描述。

非线性回归分析可以用来识别特定变量之间可能存在的隐含关系，并使用这些隐含关系来预测某种特定变量的行为趋势。

此，非线性回归分析被广泛应用于工业，经济，医疗，环境和许多其他领域，从而帮助人们对未来的趋势进行准确的分析和预测。

在运行非线性回归分析之前，首先要弄清楚变量之间的关系，并确定拟合的数据模式。

设我们正在研究人口增长与某地区的GDP之间的关系，我们可以建立一个非线性模型，来推测出GDP随着人口增长而发生变化的趋势。

当需要拟合非线性数据模式时，我们需要使用不同的算法。

常，可以使用最小二乘法或最小平方法来拟合数据，这种方法能够有效解决拟合问题。

有其他一些算法可以用来拟合非线性数据，例如支持向量机、神经网络以及粒子群优化算法。

此外，可以使用数据挖掘技术来检测非线性回归分析中可能存在的模式和趋势，也可以使用因子分析和多元统计分析来检验研究假设。

总而言之，非线性回归分析是一种重要的数据分析方法，它可以帮助我们识别出特定变量之间的隐含关系，并运用这些关系来准确预测未来的发展趋势，可以极大提高从复杂数据中寻找潜在规律的成功率。

外，不同的拟合算法和数据挖掘技术可以被用来构建和完善非线性模型，从而更好地提取数据上的规律和趋势。

但是，在运行非线性回归分析之前，也需要先进行相应的模型检验，以确保数据模型的准确性。

案例 目标函数可线性化的曲线回归建模与分析1 曲线回归常用的非线性目标函数及其线性化的方法在一些实际问题中，变量间的关系并不都是线性的，那时就应该用曲线去进行拟合. 用曲线去拟合数据首先要解决的问题是回归方程中的参数如何估计? 解决这一问题的基本思路是：对于曲线回归建模的非线性目标函数)(x f y =，通过某种数学变换⎩⎨⎧==)()(x u u y v v 使之“线性化”化为一元线性函数bu a v +=的形式，继而利用线性最小二乘估计的方法估计出参数a 和b ，用一元线性回归方程u b a vˆˆˆ+=来描述v 与u 间的统计规律性，然后再用逆变换⎩⎨⎧==--)()(11u u x v v y 还原为目标函数形式的非线性回归方程. 下面给出常用的非线性函数及其线性化的方法.⑴ 倒幂函数x b a y 1+=令xu y v 1,== ，则bu a v +=.⑵ 双曲线函数 1ba y x=+b<0 b>0线性化方法令xu y v 1,1== ，则bu a v +=.⑶ 幂函数by ax =b<0 0<b<1 b>1 线性化方法令ln v y =，ln u x =，则bu a v +=.⑷ 指数函数bxy ae =函数图象b>0 b<0线性化方法令ln v y =，u x =，则bu a v +=. ⑸ 倒指数函数bxy ae =b>0 b<0线性化方法 令ln v y =，1u x=，则bu a v +=. ⑹ 对数函数ln y a b x =+ 函数图象b>0 b<0线性化方法令v y =，ln u x =，则bu a v +=.⑺ S 型曲线 1x y a be-=+ 函数图象令1v y=，xu e -=，则bu a v +=. 2 曲线回归方程的评价方法对于可选用回归方程形式，需要加以比较以选出较好的方程，常用的准则有： ⑴ 决定系数2R 定义SSTSSER -=12， 称为决定系数. 显然21R ≤.2R 大表示观测值i y 与拟合值ˆi y比较靠近，也就意味着从整体上看，n 个点的散布离曲线较近.因此选2R 大的方程为好. ⑵ 剩余标准差s 定义)2/(-=n SSE s称为剩余标准差.s 类似于一元线性回归方程中对σ的估计. 可以将s 看成是平均残差平方和的算术根，自然其值小的方程为好.其实上面两个准则所选方程总是一致的，因为s 小必有残差平方和小，从而2R 必定大.不过，这两个量从两个角度给出我们定量的概念.2R 的大小给出了总体上拟合程度的好坏，s 给出了观测点与回归曲线偏离的一个量值.所以，通常在实际问题中两者都求出，供使用者从不同角度去认识所拟合的曲线回归. ⑶ F 检验（类似与一元线性回归中的F 检验）)2/(1/-=n SSE SSR F , 其中∑=-=ni i y y SST 12)(，∑=-=ni i i yy SSE 12)ˆ(，SSE SST SSR -=. 3 范例与MATLAB 实现【例6.2】 为了解百货商店销售额x 与流通率（这是反映商业活动的一个质量指标，指每元商品流转额所分摊的流通费用）y 之间的关系，收集了九个商店的有关数据（见下表）.表 销售额与流通费率数据绘制散点图x=[1.5, 4.5, 7.5,10.5,13.5,16.5,19.5,22.5,25.5];y=[7.0,4.8,3.6,3.1,2.7,2.5,2.4,2.3,2.2];sdt(x,y)nlin1(x,y)拟合曲线方程是y=2.2254+7.6213/x剩余标准误差Sy=0.42851可决系数R=0.96733'方差来源' '偏差平方和' '自由度' '方差' ' F值' 'F临界值' '显著性' '回归' [18.7146] [ 1] [18.7146] [101.9186] [ 5.5914] '* *''剩余' [ 1.2854] [ 7] [ 0.1836] [] [12.2464] [] '总和' [ 20] [ 8] [] [] [] []拟合幂函数曲线nlin3(x,y)拟合曲线方程是y=8.5173x^-0.42589剩余标准误差Sy=0.146可决系数R=0.99626'方差来源' '偏差平方和' '自由度' '方差' ' F值' ' F临界值' '显著性' '回归' [19.8508] [ 1] [19.8508] [931.2285] [ 5.5914] '* *''剩余' [ 0.1492] [ 7] [ 0.0213] [] [12.2464] []拟合指数函数曲线nlin5(x,y)拟合曲线方程是y=2.3957exp(1.7808/x)剩余标准误差Sy=0.6497可决系数R=0.92318'方差来源' '偏差平方和' '自由度' '方差' 'F值' ' F临界值' '显著性' '回归' [17.0452] [ 1] [17.0452] [40.3812] [ 5.5914] '* *' ' [ 2.9548] [ 7] [ 0.4221] [] [12.2464] []'剩余拟合对数函数曲线nlin6(x,y)拟合曲线方程是y=1632.5-1.713log(x)剩余标准误差Sy=0.2762可决系数R=0.98656'方差来源' '偏差平方和' '自由度' '方差' ' F值' ' F临界值' '显著性''回归' [19.4660] [ 1] [19.4660] [255.1773] [ 5.5914] '* *'剩余' [ 0.5340] [ 7] [ 0.0763] [] [12.2464] []'总和' [ 20] [ 8] [] [] [] []【说明】函数nlin1，nlin2，nlin3，nlin4，nlin5，nlin6，nlin7分别用来拟合第一（倒幂函数）、二（双曲线）、三（幂函数）、四（指数函数）、五（倒指数函数）、六（对数函数）、七（S型曲线）种类型曲线求非线性回归的回归方程函数，并在同一个图形中绘制散点图和回归线图.这几个函数的调用方式相同，以第一个函数为例[S,Sy,r2,table]=nlin1(x,y)输入参数x,y是长度相等的两个向量.输出参数个数可选如果没有输出参数，则在命令窗口中显示回归线方程,剩余标准误差、可决系数、方差分析表，并绘制散点图和拟合曲线图.如果有输出参数，第一个输出参数是拟合曲线方程.如果有两个输出参数，第二个输出参数是剩余标准误差Sy.如果有三个输出参数，第三个输出参数是可决系数.如果有四个输出参数，第四个输出参数是方差分析表.。