第8节 曲线的凹凸性及渐近线

2
2
那么称在Ⅰ上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；
如果恒有
f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2)
2
2
那么称在Ⅰ上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。
定义：设函数 y f x在a,b内可导，则
1.如果曲线y f x在a,b内任意点的切线总位于 曲线的下方，则称曲线y f x在a,b上是凹的.
1.确定函数的定义域并求f x; 2.求出f x 0和f x不存在的点x0; 3.对于2中的每一个x0,检查f x在x0左、右两侧
邻近的符号.
例3.求曲线y 2x3 3x2 12 x 14的凹凸区间和拐点 .
解 函数的定义域为 (, ).
y y
6x2 0
6x 12, ,得x1
y 1 2
第八节 曲线的凹凸性及渐近线
一、曲线的凹凸性及拐点的判定定理 二、曲线的渐近线
一、曲线的凹凸性及其判别法
y y f (x)
y y f (x)
o
x x x1 x2 12
x
2
o x1 x1 x2 x2 x
2
定义 设在区间Ⅰ上连续，如果对Ⅰ上任意两点 x1, x2，
恒有 f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2)
拐点是曲线凹与凸的分界点.由定理知，在拐点左右两侧
f x的符号必然异号，因而在拐点处有f x 0或者f x 不存在；反过来，f x 0的点和f x不存在的点可能是 曲线的拐点，究竟是否拐点，还要看该点处f x的符号是
否异号.
例1.判定曲线 y x3的凹凸性.
解 函数的定义域为 (, ).
y' 3x2 , y'' 6x. x 0 y'' 0.
2.如果曲线y f x在a,b内任意点的切线总位于 曲线的上方，则称曲线y f x在a,b上是凸的.
定理 设函数f(x)在(a,b)内有二阶导数.
1.如果在a,b内，f x 0,则曲线y f x在a,b内是凹的； 2.如果在a,b内，f x 0,则曲线y f x在a,b内是凸的；
定义：连续曲线凹与凸的分界点称为拐点.
12
x
6
12(
x
1 2
)
x
(, 1) 0
( 1 , )
2
2
f (x)
-
0
+
拐点
y f (x)
(0,1)
例4.求曲线y 3x4 4x 1的凹凸区间和拐点 .
解 函数的定义域为 (, ).
y 12 x3 12 x2 ,
y
36 x2
24
x
36
x(
x
2 3
)
y
0 ,得x1
0, x2
2 3
x
f (x)
0
(0, )
不存在
＋
拐点(0,0)
例6.判断曲线 y 2x 14 1是否有拐点？
解 函数的定义域为 (, ).
y 8(2x 1)3 , y 48(2x 1)2
令 y'' 0,
1
得
1 x 2.
x 2 时，恒有 y'' 0,
即在点 x 1的左右近旁, y的符号相同, 2
因此点 1 , 1 不是曲线得拐点，所以曲线没有拐点.
所以曲线在 (, 0) 内是凸的, 在 (0,
) 内是凹的.
例2.求曲线y ln x的凹凸区间.
解 函数的定义域为 (0, ).
y
1 x
, y
1 x2
y 0,所以y ln x在( 0, ) 内是凸的
定理：拐点的判定若f x在x0的左右两侧邻近异号，
则点x0, f x0 是拐点.
求曲线y f x的拐点的步骤为：
(, 0) 0
(0, 2 ) 3
2 3
( 2 , ) 3Βιβλιοθήκη +0-
0
＋
y f (x)
拐点(0,1)
(2 , 11) 3 27
5
例5.求曲线y x3的凹凸区间和拐点 .
解 函数的定义域为 (, ).
y'
5 3
2
x3
,
5 y'' 3
2 3
1
x3
10 9
1 3x
.
x
f (x)
(, 0)
-
y f (x)
2
三、曲线的渐近线
1、斜渐近线
若y f x满足：
(1) lim f (x) k x x
(2) lim [f (x) kx] b
x
则曲线y f x有斜渐近线 y kx b如图
2. 曲线的水平渐近线和铅直渐进线
一般地 如果x (或x ,或x )时,lim f (x) A, x
则直线y=A叫作曲线y=f(x)的水平渐进线.
x1 (x 1)(x 1)
x1 (x 1)(x 1)
x 1和x 1是曲线的垂直渐近线. lim x 0 y 0是曲线的水平渐近线 .
x (x 1)(x 1)
如果x
x0 (或x
x0
0,或x
x0
0)时,lim xx0
f
(x)
,
则直线x=x0叫作曲线y=f(x)的铅直渐进线.
例1.求曲线y 2x 的渐近线. 1 x
解：lim 2x 2, y 2是曲线的水平渐近线. x 1 x x 1为曲线的垂直渐近线.
例2.求曲线 y
x
x
1x
1的渐近线.
解
lim x , lim x