编号22 山西大学附中高三年级导数的概念及运算1

高三数学导数知识点归纳总结导数作为高中数学的一个重要概念，是微积分的基础知识之一。

在高三数学学习的过程中，导数的应用几乎贯穿了整个学期的内容。

为了帮助同学们更好地掌握导数的知识，以下是对高三数学导数知识点的归纳总结。

一、导数的概念和定义导数是刻画函数局部变化率的工具，用来描述函数的瞬时变化速度。

对于函数y=f(x)，在某一点x处的导数可以用极限表示：f'(x) = lim┬(Δx→0)⁡(f(x+Δx)-f(x))/Δx。

二、导数的计算法则1. 基本初等函数的导数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数都有相应的计算公式。

2. 基本运算法则：和差法则、积法则、商法则等，使我们能够对两个或多个函数进行加、减、乘、除的运算，并得到相应的导数。

3. 复合函数的导数：复合函数的导数可以通过链式法则求得，即若y=f(g(x))，则y' = f'(g(x)) * g'(x)。

三、导数的几何意义导数表征了函数图像在某一点处的切线斜率。

具体来说，导数大的正值表示函数在该点处增长快，导数小的正值表示函数在该点处增长慢，而导数为0表示函数在该点处取极值（极大值或极小值），导数为负表示函数在该点处减小。

四、导数的应用1. 极值问题：导数可以帮助我们判断函数在某个区间上的极大值和极小值，常用的方法是求出临界点，并通过一阶导数的符号进行分类讨论。

2. 函数的单调性：通过一阶导数的正负来判断函数在某个区间上的增减性，从而求出函数的单调区间。

3. 函数的图像：利用导数的几何意义，我们可以绘制函数图像的大致形态，包括切线、拐点以及凹凸性等。

4. 最值问题：通过导数判断函数在某个闭区间上的最大值和最小值，在一阶导数和二阶导数的变号处可以找到极值点。

5. 泰勒展开：利用导数的概念和定义，我们可以将一个函数在某个点附近展开成无穷项的幂级数，从而近似计算函数的值。

总结起来，高三数学导数知识点的归纳总结涉及导数的概念和定义、计算法则、几何意义以及应用。

高三数学知识点导数总结导数是高中数学中的重要概念之一，是微积分的基础知识之一。

通过研究导数，可以得到函数的变化规律、极值点以及曲线的特性等，并可应用于解决实际问题。

下面将总结高三数学中导数的相关知识点。

一、导数的定义及求法1. 导数的定义：导数表示函数在某一点上的瞬时变化率。

设函数y=f(x)，在点x处的导数记作f'(x)，则导数的定义公式为：f'(x) = lim (f(x+Δx)-f(x))/ΔxΔx→02. 导数的求法：常见的导数求法有以下几种：a. 初等函数导数：通过导数的定义及相关公式求得初等函数的导数。

b. 常数乘法法则：k乘以函数的导数，即 kf'(x)。

c. 和差法则：两个函数的和（差）的导数等于函数的导数的和（差）。

d. 乘法法则：两个函数相乘的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 (uv)' =u'v + uv'。

e. 商法则：两个函数相除的导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数再除以分母的平方，即 (u/v)' = (u'v -uv')/v^2。

f. 复合函数导数：通过链式法则求得复合函数的导数。

二、导数的基本性质1. 可导性：如果在某一点上函数存在导数，则称该点上函数可导。

2. 连续性：可导函数必然是连续函数，但连续函数不一定可导。

3. 导数存在的条件：函数在某一点上可导的充分条件是在该点连续且左、右导数存在且相等。

4. 导数的奇偶性：奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。

三、导数的应用1. 切线与法线：函数在一点上的导数可以确定该点处的切线斜率，切线的斜率等于导数值。

2. 函数的极值点：函数在极值点处的导数为0或不存在。

3. 函数图像的凹凸性：函数在某一区间上凹（凸）的充分条件是该区间上的导函数递增（递减）。

4. 函数的最值问题：对于一元函数，极值点是函数最值点的必要条件，可以通过导数求解最值问题。

高三导数第一节知识点总结导数是高中数学的重要内容，是微积分的基础知识之一。

在高三阶段，导数的学习更是不可忽视。

本文将对高三导数第一节的知识点进行总结，帮助同学们更好地掌握这一部分内容。

一、导数的定义导数是一种用于描述函数变化率的数学工具，常用符号表示为f'(x)，可以理解为函数在某一点的切线斜率。

导数定义为：若函数f(x)在点x处有极限f'(x)=lim【△x→0】{(f(x+△x)-f(x))/△x}导数可以解释为自变量增加一单位时，函数值的增量与自变量增量之商的极限。

二、导数与函数图像函数的导数可以揭示函数图像的一些基本特征。

通过导数的正负性，可以判断函数在某一点附近的增减性；通过导数的零点，可以找到函数的极值点。

1. 导数的正负性若f'(x)>0，则函数f(x)在该点附近单调递增；若f'(x)<0，则函数f(x)在该点附近单调递减；若f'(x)=0，则函数f(x)在该点附近存在极值点。

2. 极值点与拐点若f'(x)>0从正变负，则函数f(x)在该点附近有极大值点；若f'(x)<0从负变正，则函数f(x)在该点附近有极小值点；若f''(x)=0，则函数f(x)在该点附近存在拐点。

三、常见函数的导数求法1. 常数函数若f(x)=c（c为常数），则f'(x)=0。

2. 幂函数若f(x)=x^n（n为常数），则f'(x)=n*x^(n-1)。

3. 指数函数若f(x)=a^x（a为常数，a>0且不等于1），则f'(x)=ln(a)*a^x。

4. 对数函数若f(x)=log_a(x)（a为常数，a>0且不等于1），则f'(x)=1/(x*ln(a))。

5. 三角函数若f(x)=sin(x)，则f'(x)=cos(x)；若f(x)=cos(x)，则f'(x)=-sin(x)；若f(x)=tan(x)，则f'(x)=1+tan^2(x)。

高三导数的概念知识点导数作为微积分的一个重要概念，在高中数学中占据着重要的地位。

它不仅是理解微分学的基础，还在实际问题的求解中起到了关键的作用。

本文将重点阐述高三导数的概念和相关的知识点，帮助读者更好地理解和应用导数。

一、导数的定义及求导法则导数是函数变化率的极限，给出了函数在某一点的瞬时变化速率。

对于函数y=f(x)，在点x处的导数可以通过以下公式计算：$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$其中，Δx表示自变量的增量，Δx→0表示自变量的变化趋于无穷小。

根据导数的定义，可以得到一些常用的求导法则，如导数的和、差、常数倍、乘积和商的求导法则，这些法则是求导过程中的基础操作。

二、导数的几何意义导数与函数的图像有着密切的关系，它可以帮助我们判断函数图像的变化趋势和特征。

具体来说，导数的几何意义包括以下几个方面：1. 函数图像的切线斜率：函数图像在某一点的切线斜率等于该点处的导数值。

导数的绝对值越大，表示函数图像在该点附近变化越剧烈。

2. 函数图像的增减性：函数在某一区间内增减的情况可以通过导数的正负来判断。

当导数大于零时，函数递增；当导数小于零时，函数递减。

3. 函数极值点的判断：函数的极大值和极小值点，对应着导数为0的点。

通过求解导数为0的方程可以得到函数的极值点。

三、高阶导数与导数的应用对于函数的导数，我们还可以进一步求导，得到高阶导数。

高阶导数描述了函数变化率变化的规律，它在物理学、经济学等领域的应用非常广泛。

1. 二阶导数和凹凸性：函数的二阶导数可以帮助我们判断函数图像的凹凸性。

当二阶导数大于零时，函数图像在该点附近凹向上方；当二阶导数小于零时，函数图像在该点附近凸向上方。

2. 导数在最优化问题中的应用：导数在最优化问题中起到了重要的作用，如求解极大值、极小值等问题。

通过求解导数为零的方程，可以找到函数的关键点，从而解决实际问题。

高三数学知识点总结导数高三数学知识点总结—导数导数是高等数学中的重要概念，是微积分的基础之一。

它的相关知识点在高三数学学习中占据重要地位，对学生的数学能力有着深远的影响。

本文将对高三数学中的导数知识进行总结与介绍，以帮助学生更好地理解和掌握这一概念。

一、导数的概念与定义导数可以理解为函数曲线在某一点处的切线斜率。

若函数y=f(x) 在点 x0 处可导，则其导数记为 f'(x0)，也可表示为dy/dx|x=x0。

导数的定义为：f'(x0) = lim┬(Δx→0)⁡〖(f(x0+Δx)-f(x0))/Δx 〗二、导数的计算法则1. 基本初等函数的导数计算法则：(1) y=c (常数) 的导数为 0；(2) y=x^n (n为实数) 的导数为 nx^(n-1)；(3) y=e^x 的导数为 e^x；(4) y=lnx 的导数为 1/x；(5) y=sin(x) 的导数为 cos(x)，y=cos(x) 的导数为 -sin(x)；(6) y=tan(x) 的导数为 sec^2(x)，y=cot(x) 的导数为 -csc^2(x)；(7) y=arcsin(x) 的导数为1/√(1-x^2)，y=arccos(x) 的导数为 -1/√(1-x^2)；(8) y=arctan(x) 的导数为 1/(1+x^2)，y=arccot(x) 的导数为 -1/(1+x^2)。

2. 导数的四则运算法则：(1) 设函数 f(x) 和 g(x) 都在 x 点可导，则有以下导数运算法则：(a) (f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)；(b) (f-g)'(x) = f'(x) - g'(x)；(c) (cf)'(x) = cf'(x) (c为常数)；(d) (fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)；(e) (f/g)'(x) = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^2，其中g(x) ≠ 0。

高三导数知识点总结一、导数的概念和计算方法导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。

在高三阶段，导数是数学学习的重点之一。

在学习导数之前，我们首先需要了解导数的概念和计算方法。

导数的定义可以通过极限的概念得到：对于函数y=f(x)，在点x 处的导数可以表示为f'(x)=lim△x→0[f(x+△x)-f(x)]/△x。

这个定义表示了当△x趋向于0时，函数f(x)在x处的变化率。

导数也可以理解为函数的瞬时变化率。

计算导数的常用方法有：基本函数求导法、常数因子法、和差法、乘积法、商法、函数的复合法等。

在运用这些求导法则时，我们需要熟练掌握各种函数的导函数。

二、基本函数的导函数在高三阶段，我们主要接触到的基本函数有常数函数、幂函数、指数函数和对数函数。

下面我们将介绍这些函数的导函数。

1. 常数函数的导函数：常数函数f(x)=c（其中c为常数）的导函数为0，即f'(x)=0。

2. 幂函数的导函数：幂函数f(x)=x^n（其中n为常数）的导函数为f'(x)=nx^(n-1)。

3. 指数函数的导函数：指数函数f(x)=a^x（其中a>0且a≠1）的导函数为f'(x)=a^xlna。

4. 对数函数的导函数：对数函数f(x)=log_a(x)（其中a>0且a≠1）的导函数为f'(x)=1/(xlna)。

通过掌握基本函数的导函数，我们可以在求解导数时使用这些导函数的性质，简化计算过程。

三、导数的应用导数是高三阶段数学学习中重要的工具，它广泛应用于各个领域。

在这一部分，我们将介绍导数在函数的极值、函数的图像、函数的变化趋势等方面的应用。

1. 导数与函数的极值通过导数，我们可以研究函数在不同点上的极值问题。

函数的极大值和极小值处的导数都等于0或不存在。

因此，我们可以通过求导数，找到函数的极值点，并通过求导数的二阶导数判断函数在极值点处的性质。

2. 导数与函数的图像函数的导数可以揭示函数图像的许多特征。

导数知识点归纳总结高三一、导数的定义和基本概念导数的定义：设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果极限①若存在，称函数f(x)在点x0处可导，该极限值称为函数f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)。

②若极限不存在，称函数f(x)在点x0不可导。

基本性质：①导数存在的必要条件是函数在该点连续；② f(x)在x0（闭区间内）可导，则f(x)在x0（闭区间内）连续；二、常见函数的导数1. 幂函数幂函数f(x) = xn，其中n为常数，x为自变量。

导数有如下规律：① f'(x) = nx^(n-1)；2. 指数函数和对数函数指数函数f(x) = a^x (a>0，a≠1)，对数函数f(x)=loga(x) (a>0，a≠1，x>0)。

导数有如下规律：① (a^x)' = a^x * ln(a)；② (loga(x))' = 1 / (x * ln(a))；3. 三角函数和反三角函数三角函数包括sin(x)，cos(x)，tan(x)，cot(x)，sec(x)，csc(x)，反三角函数包括arcsin(x)，arccos(x)，arctan(x)，arccot(x)，arcsec(x)，arccsc(x)。

导数有如下规律：三角函数的导数：① (sin(x))' = cos(x)；② (cos(x))' = -sin(x)；③ (tan(x))' = sec^2(x)；④ (cot(x))' = -csc^2(x)；⑤ (sec(x))' = sec(x) * tan(x)；⑥ (csc(x))' = -csc(x) * cot(x)；反三角函数的导数：⑦ (arcsin(x))' = 1 / sqrt(1-x^2)；⑧ (arccos(x))' = -1 / sqrt(1-x^2)；⑨ (arctan(x))' = 1 / (1+x^2)；⑩ (arccot(x))' = -1 / (1+x^2)；⑪ (arcsec(x))' = 1 / (x * sqrt(x^2-1))；⑫ (arccsc(x))' = -1 / (x * sqrt(x^2-1))；4. 反函数的导数若y = f(x)是函数f(x)在区间I上的可逆函数，导数可表示为：①若f'(x0)≠0，则(g(f(x)))' = g'(y0) * f'(x0)；②若f'(x0)=0且g'(y0)≠0，则(g(f(x)))'在x=x0时取不到导数；③若f'(x0)=0且g'(y0)=0，要结合极限来研究(g(f(x)))'的存在性。

高三导数知识点总结在高三数学的学习中，导数是一个非常重要的知识点，它不仅在函数的研究中有着广泛的应用，也是高考中的重点和难点。

为了帮助同学们更好地掌握导数的相关知识，下面对高三导数的知识点进行一个全面的总结。

一、导数的定义导数的定义是函数在某一点处的瞬时变化率。

设函数＼（y ＝ f(x)＼）在点＼（x_0\）处的某个邻域内有定义，当自变量＼（x\）在＼（x_0\）处取得增量＼（＼Delta x\）（点＼（x_0 ＋＼Delta x\）仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量＼（＼Delta y ＝ f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)＼）；如果＼（＼Delta y\）与＼（＼Delta x\）之比当＼（＼Delta x ＼to 0\）时的极限存在，则称函数＼（y ＝ f(x)＼）在点＼（x_0\）处可导，并称这个极限为函数＼（y ＝ f(x)＼）在点＼（x_0\）处的导数，记为＼（f'（x_0)＼），即：＼f'（x_0) ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{＼Delta y}｛＼Delta x} ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)｝｛＼Delta x}＼二、导数的几何意义导数的几何意义是函数在某一点处切线的斜率。

函数＼（y ＝ f(x)＼）在点＼（x_0\）处的导数＼（f'（x_0)＼），就是曲线＼（y ＝f(x)＼）在点＼（P(x_0, y_0)＼）处的切线的斜率＼（k\），即＼（k ＝ f'（x_0)＼）。

相应地，切线方程为＼（y y_0 ＝ f'（x_0)（xx_0)＼）。

三、基本初等函数的导数公式1、＼（C' ＝ 0\）（＼（C\）为常数）2、＼（（x^n)＇＝ nx^｛n 1}＼）（＼（n ＼in Q\））3、＼（（＼sin x)＇＝＼cos x\）4、＼（（＼cos x)＇＝＼sin x\）5、＼（（e^x)＇＝ e^x\）6、＼（（a^x)＇＝ a^x ＼ln a\）（＼（a ＞ 0, a ＼neq 1\））7、＼（（＼ln x)＇＝＼frac{1}｛x}＼）8、＼（（＼log_a x)＇＝＼frac{1}｛x ＼ln a}＼）（＼（a ＞ 0, a＼neq 1\））四、导数的四则运算1、＼（（u ＼pm v)＇＝ u' ＼pm v'＼）2、＼（（uv)＇＝ u'v ＋ uv'＼）3、＼（＼left(＼frac{u}｛v}＼right)＇＝＼frac{u'v uv'｝｛v^2}＼）（＼（v ＼neq 0\））五、复合函数的导数复合函数＼（y ＝ f(g(x)）＼）的导数和函数＼（y ＝ f(u)＼），＼（u ＝ g(x)＼）的导数间的关系为＼（y'＿x ＝ y'＿u ＼cdot u'＿x\）。

第三章导数及其应用第一节导数的概念及运算1.导数的概念及其几何意义(1)了解导数概念的实际背景.(2)理解导数的几何意义.2.导数的运算(1)能根据导数定义求函数y=C(C为常数),y=x,y=x2,y=1x,y=√x的导数.(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数.1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为①f(x2)-f(x1)x2-x1,若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为②ΔyΔx.2.函数y=f(x)在x=x0处的导数(1)定义:称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y'|x=x0,即f'(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx.(2)几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点③(x0,f(x0))处的④切线的斜率.相应地,切线方程为⑤y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).▶提醒 (1)曲线y=f(x)在点P(x 0,y 0)处的切线是指P 为切点,斜率为k=f '(x 0)的切线,是唯一的一条切线.(2)曲线y=f(x)过点P(x 0,y 0)的切线,是指切线经过P,点P 可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.(3)函数y=f(x)在某点处的导数、曲线y=f(x)在某点处切线的斜率和倾斜角,这三者是可以相互转化的.3.函数f(x)的导函数 称函数f '(x)=limΔx →0f(x+Δx)-f(x)Δx为f(x)的导函数,导函数有时也记作y'.4.基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f(x)=C(C 为常数) f '(x)=⑥ 0 f(x)=x α(α∈N *) f '(x)=⑦ αx α-1 f(x)=sin x f '(x)=⑧ cos x f(x)=cos x f '(x)=⑨ -sin x f(x)=a x (a>0,且a ≠1)f '(x)=⑩ a x ln a f(x)=e x f '(x)= e x f(x)=log a x (a>0,且a ≠1) f '(x)= 1xlna f(x)=ln xf '(x)= 1x5.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]'= f '(x)±g'(x) ; (2)[f(x)·g(x)]'= f '(x)g(x)+f(x)g'(x) ; (3)[f(x)g(x)]'=f '(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g(x)≠0).1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.2.[af(x)+bg(x)]'=af '(x)+bg'(x).3.函数y=f(x)的导数f '(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化方向,其大小|f '(x)|反映了变化快慢,|f '(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”). (1)f '(x 0)与[f(x 0)]'表示的意义相同.( )(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( ) (4)若f(x)=f '(a)x 2+ln x(a>0),则f '(x)=2xf '(a)+1x .( )(5)f '(x 0)表示曲线y=f(x)在点A(x 0, f(x 0))处切线的斜率,也可表示函数y=f(x)在点A(x 0, f(x 0))处的瞬时变化率.( )答案 (1)✕ (2)✕ (3)√ (4)√ (5)√ 2.下列求导运算正确的是( ) A.(x +1x )'=1+1x 2 B.(log 2x)'=1xln2 C.(3x )'=3x log 3e D.(x 2cos x)'=-2sin x 答案 B3.有一机器人的运动方程为s(t)=t 2+3t (t 是时间,s 是位移),则该机器人在时刻t=2时的瞬时速度为( ) A.194B.174 C .154 D .134答案 D4.曲线y=cos x-x2在点(0,1)处的切线方程为 .答案 x+2y-2=05.求过点(0,0)与曲线y=e x 相切的直线方程. 解析 设切点坐标为(a,e a ), 又切线过(0,0),则切线的斜率k=e aa , f '(x)=e x ,把x=a 代入得斜率k=f '(a)=e a ,则e a =ea a ,由于e a >0,故a=1, 即切点坐标为(1,e), 所以切线方程为y=ex.导数的计算典例1 求下列函数的导数. (1)y=x 2sin x; (2)y=ln x+1x +log 2x; (3)y=cosx e x;(4)y=3x e x -2x +e; (5)y=tan x; (6)y=√x .解析 (1)y'=(x 2)'sin x+x 2(sin x)'=2xsin x+x 2cos x. (2)y'=(lnx +1x)'+(log 2x)'=(ln x)'+(1x)'+1xln2=1x -1x2+1xln2.(3)y'=(cosx e x)'=(cosx)'e x -cosx(e x )'(e x )2=-sinx+cosxe x.(4)y'=(3x e x )'-(2x )'+e'=(3x )'e x +3x (e x )'-(2x )'=3x ln 3·e x +3x e x -2x ln 2=(ln 3+1)·(3e)x -2x ln 2. (5)y'=(sinx cosx )'=(sinx)'cosx -sinx(cosx)'cos 2x=cosxcosx -sinx(-sinx)cos 2x=1cos 2x .(6)y'=(x 12)'=12x -12=2√x .方法技巧1.求导数的总原则:先化简函数的解析式,再求导.2.具体方法:(1)遇到连乘的形式,先展开化为多项式形式,再求导;(2)遇到根式形式,先化为分数指数幂,再求导;(3)遇到复杂的分式,先将分式化简,再求导;(4)遇到三角函数形式,先利用三角恒等变换对函数变形,再求导;(5)遇到复合函数,先确定复合关系,再由外向内逐层求导,必要时可换元.▶提醒对解析式中含有导数值的函数,即解析式类似于f(x)=f'(x0)g(x)+h(x)(x0为常数)的函数,解决这类问题的关键是明确f'(x0)是常数,其导数值为0.因此先求导数f'(x),再令x=x0,即可得到f'(x0)的值,进而得到函数的解析式,求得所求导数值.1-1f(x)=x(2018+ln x),若f'(x0)=2019,则x0等于()A.e2B.1C.ln2D.e答案B1-2已知函数f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a为实数,f'(x)为f(x)的导函数,若f'(1)=3,则a=.答案31-3已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=2xf'(1)+ln x,则f'(1)=.答案-1解析∵f(x)=2xf'(1)+ln x,∴f'(x)=2f'(1)+1,x∴f'(1)=2f'(1)+1,即f'(1)=-1.导数的几何意义命题方向一求曲线的切线方程典例2曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为.答案3x-y=0解析y'=3(2x+1)e x+3(x2+x)e x=3(x2+3x+1)e x,所以切线的斜率k=y'|x=0=3,则曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为y=3x,即3x-y=0.命题方向二求参数的值(取值范围)典例3已知曲线y=ae x+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则()A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e -1,b=1D.a=e -1,b=-1 答案 D解析 ∵y'=ae x +ln x+1,∴切线的斜率k=y'|x=1=ae+1=2,∴a=e -1,将(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,b=-1.故选D.典例4 直线 y=kx+b 是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,求b 的值.解析 设直线y=kx+b 与曲线y=ln x+2的切点的横坐标为x 1,与曲线y=ln(x+1)的切点的横坐标为x 2,所以曲线y=ln x+2在相应切点处的切线为y=1x 1·x+ln x 1+1,曲线y=ln(x+1)在相应切点处的切线为y=1x2+1·x+ln(x 2+1)-x 2x 2+1,所以{k =1x 1=1x 2+1,b =ln x 1+1=ln(x 2+1)-x 2x 2+1,解得{x 1=12,x 2=-12,于是b=ln x 1+1=1-ln 2.规律总结导数的几何意义的应用及求解思路(1)求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线y=f(x)在点P(x 0, f(x 0))处的切线方程是y-f(x 0)=f '(x 0)(x-x 0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.(2)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,然后让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.(3)已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程. (4)函数图象在某一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降得快慢.(5)求两条曲线的公切线的方法:①利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线相切,列出关系式求解. ②利用公切线得出关系式.设公切线l 在曲线y=f(x)上的切点P 1(x 1,y 1),在曲线y=g(x)上的切点P 2(x 2,y 2),则f '(x 1)=g'(x 2)=f(x 1)-g(x 2)x 1-x 2.2-1 已知直线y=-x+1是函数f(x)=-1a ·e x 图象的切线,则实数a= .答案 e 2解析 设切点为(x 0,y 0), 则f '(x 0)=-1a ·e x 0=-1,∴e x 0=a,又-1a ·e x 0=-x 0+1, ∴x 0=2,∴a=e 2.2-2 已知曲线f(x)=x 3+ax+14在x=0处的切线与曲线g(x)=-ln x 相切,求a 的值. 解析 由f(x)=x 3+ax+14得,f(0)=14, f '(x)=3x 2+a,则f '(0)=a,∴曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y-14=ax.设直线y-14=ax 与曲线g(x)=-ln x 相切于点(x 0,-ln x 0),又g'(x)=-1x , ∴{-ln x 0-14=ax 0,①a =-1x 0,②将②代入①得ln x 0=34, ∴x 0=e 34, ∴a=-1e 34=-e -34.A 组 基础题组1.已知函数f(x)=log a x(a>0且a ≠1),若f '(1)=-1,则a=( ) A.e B.1e C.1e 2 D .12 答案 B2.已知曲线y=x 24-3ln x 的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为( ) A.3 B.2 C.1 D.12答案 A3.已知曲线y=ln x 的某条切线过原点,则此切线的斜率为( ) A.e B.-e C.1e D.-1e答案 C y=ln x 的定义域为(0,+∞),设切点为(x 0,y 0),则k=y'|x=x 0=1x 0,所以切线方程为y-y 0=1x 0(x-x 0),又切线过点(0,0),代入切线方程得y 0=1,则x 0=e,所以k=y'|x=x 0=1x 0=1e .4.已知函数f(x)=e x ln x, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(1)的值为 . 答案 e解析 由函数的解析式可得f '(x)=e x ×ln x+e x ×1x =e x (lnx +1x),则f '(1)=e 1×(ln1+11)=e,即f '(1)的值为e.5.(2019湖北宜昌联考)已知f '(x)是函数f(x)的导数, f(x)=f '(1)·2x +x 2,则f '(2)= . 答案41-2ln2解析 易知f '(x)=f '(1)·2x ln 2+2x,所以f '(1)=f '(1)·2ln 2+2,解得f '(1)=21-2ln2,所以f '(x)=21-2ln2·2x ln 2+2x,所以f '(2)=21-2ln2×22×ln 2+2×2=41-2ln2. 6.曲线y=2ln x 在点(1,0)处的切线方程为 .答案y=2x-27.已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为.答案1解析由题意可得f(1)=a,则切点为(1,a),因为f'(x)=a-1x,所以切线l的斜率k=f'(1)=a-1,则切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1),令x=0,可得y=1,故l在y轴上的截距为1.8.(2018课标全国Ⅲ,14,5分)曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=. 答案-3解析设f(x)=(ax+1)e x,则f'(x)=(ax+a+1)e x,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k=f'(0)=a+1=-2,解得a=-3.9.若曲线f(x)=xsin x+1在x=π2处的切线与直线ax+2y+1=0垂直,则实数a=.答案2解析因为f'(x)=sin x+xcos x,所以f'(π2)=sinπ2+π2·cosπ2=1.又直线ax+2y+1=0的斜率为-a2,所以1×(-a2)=-1,解得a=2.10.已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.答案8解析令f(x)=x+ln x,于是有f'(x)=1+1x,由于f'(1)=2,所以曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线的斜率k=2,则曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,由于切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,故将y=ax2+(a+2)x+1与y=2x-1联立,得ax2+ax+2=0,因为a≠0,两线相切于一点,所以Δ=a2-8a=0,解得a=8.11.在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+4x(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.答案4解析由y=x+4x (x>0),得y'=1-4x2(x>0),设斜率为-1的直线与曲线y=x+4x(x>0)相切于点(x0,x0+4x0),由1-4x02=-1得x0=√2(x0=-√2舍去),∴曲线y=x+4x(x>0)上的点P(√2,3√2)到直线x+y=0的距离最小,最小值为√2+3√2|√12+12=4.12.函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x的图象在点(0,f(0))处的切线方程是y=4x+4,求a,b.解析f'(x)=e x(ax+a+b)-2x-4,由已知得f(0)=4,f'(0)=4,故b=4,a+b=8,∴a=4.综上,a=4,b=4.13.(2019湖南长沙模拟)已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程;(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-14x+3垂直,求切点坐标与切线方程.解析(1)易知点(2,-6)在曲线y=f(x)上,所以点(2,-6)为切点.因为f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1,所以f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为f'(2),f'(2)=13,所以切线的方程为y+6=13(x-2),即y=13x-32.(2)设切点坐标为(x0,y0),则直线l的斜率为f'(x0),f'(x0)=3x02+1,所以直线l的方程为y=(3x02+1)(x-x0)+x03+x0-16,因为直线l过原点,所以0=(3x02+1)(0-x0)+x03+x0-16,整理得,x03=-8,所以x0=-2,所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,f'(x0)=3×(-2)2+1=13.所以直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).(3)因为切线与直线y=-14x+3垂直,所以切线的斜率k=4.设切点的坐标为(x0,y0),则f'(x0)=3x02+1=4,所以x0=±1.所以{x 0=1,y 0=-14或{x 0=-1,y 0=-18,即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18,即y=4x-18或y=4x-14.B 组 提升题组1.已知f(x)=acos x,g(x)=x 2+bx+1,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在交点(0,m)处有公切线,则a+b=( )A.-1B.0C.1D.2答案 C 依题意得, f '(x)=-asin x,g'(x)=2x+b, f '(0)=g'(0),∴-asin 0=2×0+b,故b=0, ∵m=f(0)=g(0),∴m=a=1,因此a+b=1,故选C.2.若曲线f(x)=ax 2(a>0)与g(x)=ln x 有两条公切线,则a 的取值范围是( )A.(0,1e )B.(0,12e )C.(1e ,+∞)D.(12e ,+∞)答案 D 假设两曲线相切,设其切点为P(m,n),∴f '(m)=2am=g'(m)=1m ,∴2am 2=1,∵点P 在曲线上,∴n=am 2=ln m,∴12=ln m,∴m=e 12,∴a=12e ,当a>12e 时,两曲线相离,∴必然存在两条公切线,∴a ∈(12e ,+∞).3.已知函数f(x)={-x 2+2x,x ≤0,ln(x +1),x >0,若|f(x)|≥ax,则实数a 的取值范围是 . 答案 [-2,0]解析 作出函数y=|f(x)|的图象与直线y=ax,如图所示,当直线在第四象限的部分介于直线l 与x 轴之间时符合题意,直线l 为曲线f(x)的切线,且此时函数y=|f(x)|在第二象限的解析式为y=x 2-2x,则y'=2x-2,因为x ≤0,故y'≤-2,故直线l 的斜率为-2,故只需直线y=ax 的斜率a 介于-2与0之间即可,即a ∈[-2,0].4.已知点M 是曲线y=13x 3-2x 2+3x+1上任意一点,曲线在M 处的切线为l,求:(1)斜率最小的切线方程;(2)切线l 的倾斜角α的取值范围.解析 (1)∵y'=x 2-4x+3=(x-2)2-1,∴当x=2时,y'min =-1,此时y=53,∴斜率最小时的切点为(2,53),斜率k=-1,∴切线方程为3x+3y-11=0.(2)由(1)得切线的斜率k ≥-1,∴tan α≥-1,∵α∈[0,π),∴α∈[0,π2)∪[3π4,π).故α的取值范围是[0,π2)∪[3π4,π).。