美国数学邀请赛2007AMC

数学amc竞赛
数学amc竞赛
美国数学竞赛（American Mathematics Competition，简称AMC）是一个由美国数学家协会（MAA）准备的年度北美数学竞赛，它吸引了来自世界各地大多数由7 到 12 年级学生构成的参赛团队。

AMC 竞赛旨在帮助学习数学的学生和老师对数学基础有更多的了解，引发学生对自然科学和数学科学的激情，提高学生的数学兴趣，并推动数学教育发展。

AMC 竞赛分第一至六级，级别越高，答题难度越高，每一关分数要求也越高，学生需要有步步增进的学习计划和高度的技巧，非常有意义的。

参赛学生可以了解越来越多的数学基础知识，可以利用问题解决的思维模式来解决复杂的科学问题，可以培养数学思考能力和好奇心，以及完成数学实验，研究题目和思考答案的兴趣。

最后想说的是，AMC 竞赛对于促进学生的数学学习起到了重要的作用，希望更多的学生能参与到这场有趣的竞赛中，以更深入地了解数学。

Day I12:30PM–5PM EDTApril24,20071.Let n be a positive integer.Define a sequence by setting a1=n and,for each k>1,letting a k be the unique integer in the range0≤a k≤k−1for which a1+a2+···+a k is divisible by k.For instance,when n=9the obtained sequence is9,1,2,0,3,3,3,....Prove that for any n the sequence a1,a2,a3,...eventually becomes constant.2.A square grid on the Euclidean plane consists of all points(m,n),where m and n areintegers.Is it possible to cover all grid points by an infinite family of discs with non-overlapping interiors if each disc in the family has radius at least5?3.Let S be a set containing n2+n−1elements,for some positive integer n.Suppose thatthe n-element subsets of S are partitioned into two classes.Prove that there are at least n pairwise disjoint sets in the same class.Copyright c Committee on the American Mathematics Competitions,Mathematical Association of AmericaDay II12:30PM–5PM EDTApril25,20074.An animal with n cells is a connectedfigure consisting of n equal-sized square cells.1Thefigure below shows an8-cell animal.A dinosaur is an animal with at least2007cells.It is said to be primitive if its cells cannotbe partitioned into two or more dinosaurs.Find with proof the maximum number of cells in a primitive dinosaur.5.Prove that for every nonnegative integer n,the number77n+1is the product of at least2n+3(not necessarily distinct)primes.6.Let ABC be an acute triangle withω,Ω,and R being its incircle,circumcircle,and cir-cumradius,respectively.CircleωA is tangent internally toΩat A and tangent externally toω.CircleΩA is tangent internally toΩat A and tangent internally toω.Let P A and Q A denote the centers ofωA andΩA,respectively.Define points P B,Q B,P C,Q C analogously.Prove that8P A Q A·P B Q B·P C Q C≤R3,with equality if and only if triangle ABC is equilateral.Copyright c Committee on the American Mathematics Competitions,Mathematical Association of America1Animals are also called polyominoes.They can be defined inductively.Two cells are adjacent if they share a complete edge.A single cell is an animal,and given an animal with n-cells,one with n+1cells is obtained by adjoining a new cell by making it adjacent to one or more existing cells.。

AMC10B 2007 勘误一. 上次练习中第21题结论: “of the square ”没印出来.21. Right △ABC has AB =3,BC =4,and AC =5.Square XYZW is inscribed in △ABC with X and Y on AC ,W on AB , and Z on BC ( )(A) 23 (B) 3760 (C) 712 (D) 1323(E) 2二. 第24题印漏了.24. A player chooses one of the numbers 1 through 4. After the choice has been made, two regular four-sided (tetrahedral) dice are rolled, with the sides of the dice numbered 1 through 4. If the number chosen appears on the bottom of exactly one die after it is rolled, then the player wins $1. If the number chosen appears on the bottom of both of the dice, then the player wins $2. If the number chosen does not appear on the bottom of either of the dice, the player loses $1. What is the expected return to the player, in dollars, for one roll of the dice? ( )(A) -81 (B) -161(C) 0(D) 161 (E) 81三. 第25题关键词: “gcd ”错, 应该为: “ged ”.以上问题请同学们重新练习,再参考答案和解答!AMC10B 2007 答案1(E) 2(E) 3(B) 4(D) 5(D) 6(D) 7(E) 8(D) 9(D) 10(A) 11(C) 12(D) 13(D) 14(C) 15(D) 16(C) 17(D) 18(B) 19(C) 20(C) 21(B) 22(B) 23(C) 24(E) 25(A)AMC10B 2007部分题 参 考 解 答18T.[译题]: 一个半径为1的圆被4个半径均为r 的圆环绕, ) (A)2 (B)1＋2 (C)6 (D) 3 (E) 2＋2 (分析): 设半径均为r 四个圆的圆心分别为A 、B 、C 、D .半径为1的圆的圆心为O.则正方形ABCD 中: O 为中心, AC =2r+2, AD =2r∴2r+2=2(2r) ∴ r=2+1 选(B )19T.[译题]: 一个如图所示的轮子旋转两次, 并且指针 随机地指向的数字被记录下来. 被4除的余数和第二个数字被5除的余数 分别作为列数和行数, 对应标示出棋盘的一格.求: 这对数标示黑格的机率. ( )(A)31 (B)94 (C)21 (D)95 (E)32(分析): 1与9、2与6、3与7被4整除余数依次为 的列数1、2 、3的机率相等, 均为31. 而每列白格和黑格的数目一样, 所以从列数上合格与白格被标示机率一样.1与6、2与7、3、9被4整除余数依次为1、2 、3、4, 相应机率依次为:31、31、61、61. 而第一行和第三行均为两个黑格一个白格, 第二行和第四行均为两个白格一个黑格, 黑格相应机率为32、31、32、31.综上, 最终黑格被标示机率为: (61+61)⨯32+(61+61)⨯31+61⨯32+61⨯31=21选(C )20T[译题]: 25个小正方块排成5⨯5的大正方形, 从中选出3个小方块, 且每两块均不同行不同列. 求不同顺序的选法数有多少种? ( ) (A) 100 (B) 125 (C) 600 (D) 2300 (E) 3600(分析) 给每个小方块按行列编号: 第i 行, 第j 列(i , j =1,2,3,4,5).则小方块的行号不同, 方块不同; 小方块的列号不同, 方块也不同.选出3个不同行的方法数如下:(1) 选第一块的行有5种; (2)上一块的行不能再选, 第二块的行有4种选法; (3) 上两块的行不能再选, 第三块的行有3种选法; ∴不同顺序的3个不同行的方法数为: 5⨯4⨯3=60种.而选出3个不同列的方法数与选3个不同行的方法数基本一样: 5⨯4⨯3=60种 但3个小方块不同顺序仅由行或列之一确定, 在选行时已定顺序, 则列无需再有顺序. 不同列的方法数5⨯4⨯3=60中, 每六种实际为为同一种. 例如: 532, 623, 325, 352, 253, 235 实际为为同一种 .∴不同行的方法数为: 60/6=10种 . 综上, 不同顺序的选法数有60⨯10=100种. 选(C )21T[译题]: 直角△ABC 的边AB =3, BC =4, 且AC =5. 正方形XYAW 内接于△ABC , 且点X 、Y 在线段 AC 上, 点W 在线段BC 上. (分析) 设正方形XYZW 边长为a .易知RT ⊿BWZ ∽RT ⊿XA W ∽RT ⊿BAC ∴W Z BW =AC BA =53, W X W A =BC AC =45∴ BW =53a , AW =45a又BW +AW =AB =3 ∴ 3=53a +45a ∴a =376022T[译题]: 一个底面为正方形的锥体被一个与底面平行且距离为2的平面分成两个部分, 其中顶部 被分割出的小锥的表面积为原来的大锥体的表面积的一半. 求原锥体的高为多少?( )(A) 2 (B) 2＋2 (C) 12 (分析) 锥PO 1与锥PO 相似.∴PO PO 1=SS 1=21 ∴PO O O 1=PO PO PO 1-=212- ∴ PO =1221-OO =1222-=22()12+=4+22 选(E )23T[译题]: 定义n 为满足如下条件的最小正整数: 能被4和9整除, 且十进制形式之下至少含一个数字4和9. 求n 的后四位上数字. ( )(A) 4444 (B) 4494 (C) 4944 (D) 9444 (E) 9944(分析) ∵9|n ∴n 的各位数字之和能被9整除, 又其至少含一个4, 则共至少有9个4. (含4的个数为9的倍数). ∵4|n ∴n 的后两位数字对应两位数能被4整除. ∴只能为44. 以上条件之下n 的最小值为4444444944 ∴4944为所求. 选(D ).24T[译题]: 一个玩家从1至4中选定一个数字, 选定后, 摇下两个四面上分别标有1至4个点的正四面体骰子(如下图)两个骰子. 摇完后, 若其中恰有一个骰子底面的数字为选定数,则玩家赢得1元, 若两个骰子的底面数字都为选定数字, 则玩家赢得2元. 若两个骰子的底面数字都不是选定数字, 则玩家输1元. 撒完一次骰子,玩家的赢钱期望值为多少?(A) -81 (B) -161(C) 0(D)161 (E) 81(分析) 玩家赢1元的概率P(ξ=1)=2⨯41⨯43=83玩家赢1元的概率P(ξ=2)=41⨯41=161, 玩家输1元的概率P(ξ=-1)=43⨯43=169. ∴玩家赢钱的期望为: E ξ=1⨯83+2⨯161+(-1)⨯ 169= -161选 (B )25T. [译题]: 正整数对(a ,b )满足如下条件: 它们最大公因数为1, 且b a +ab914为整数. 这样的数对有多少对?( )(A) 4 (B) 6 (C) 9 (D) 12 (E) 无穷多对(分析) 设b a +ab 914= k (k ∈N *), 则易整理得9a 2-9kab +14b 2=0 . 视其为关于a 的二次方程,有正整数解. ∴∆=9b 2(9k 2-56)为完全平方数. 设9k 2-56=m 2 (m ∈N *) , 变形有 (3k -m)(3k +m)=56 ∴(3k -m)(3k +m)=1⨯56=2⨯28=4⨯14=8⨯7 . 由6| (3k -m)+(3k +m)知:3k -m=2且3k +m=28; 或3k -m=4且3k +m=14 .∴(a ,b )=(1,3)或(2,3)、(7,3)、(14,3) 验证这四组解均合题意. 选 ( A )。

2000到2012年A M C10美国数学竞赛P 0 A 0B 0 C0 D 0 全美中学数学分级能力测验(AMC 10)2000年 第01届 美国AMC10 (2000年2月 日 时间75分钟)1. 国际数学奥林匹亚将于2001年在美国举办，假设I 、M 、O 分别表示不同的正整数，且满足I ?M ?O =2001，则试问I ?M ?O 之最大值为 。

(A) 23 (B) 55 (C) 99 (D) 111 (E) 6712. 2000(20002000)为 。

(A) 20002001 (B) 40002000 (C) 20004000 (D) 40000002000 (E) 200040000003. Jenny 每天早上都会吃掉她所剩下的聪明豆的20%，今知在第二天结束时，有32颗剩下，试问一开始聪明豆有 颗。

(A) 40 (B) 50 (C) 55 (D) 60 (E) 754. Candra 每月要付给网络公司固定的月租费及上网的拨接费，已知她12月的账单为12.48元，而她1月的账单为17.54元，若她1月的上网时间是12月的两倍，试问月租费是 元。

(A) 2.53 (B) 5.06 (C) 6.24 (D) 7.42 (E) 8.775. 如图M ，N 分别为PA 与PB 之中点，试问当P 在一条平行AB 的直在线移动时，下列各数值有 项会变动。

(a) MN 长 (b) △PAB 之周长 (c) △PAB 之面积 (d) ABNM 之面积 (A) 0项 (B) 1项 (C) 2项 (D) 3项 (E) 4项6. 费氏数列是以两个1开始，接下来各项均为前两项之和，试问在费氏数列各项的个位数字中， 最后出现的阿拉伯数字为 。

(A) 0 (B) 4 (C) 6 (D) 7 (E) 97. 如图，矩形ABCD 中，AD =1，P 在AB 上，且DP 与DB 三等分 ?ADC ，试问△BDP 之周长为 。

2006年第7届美国AMC10 (2006年2月日时间75分钟) 2006年第7届AMC 10 考试须知1. 未经监考人员宣布打开测验卷之前，不可先行打开试卷作答。

2. 本测验为选择题共有25题，每一题各有A、B、C、D、E五种选项，其中祇有一种选项是正确的答案。

3. 请将正确答案用2B铅笔在「答案欄」上适当的圆圈内涂黑，请检查所圈选的答案是否正确，并将错误及模糊不清部分擦拭干净。

请注意，祇有将答案圈选清楚在答案卡上才得以计分。

4. 计分方式：每一题答对可得6分，不作答得2.5分，答错没有分數。

5. 除了考试所准许使用的尺、圆规、量角器、橡皮擦、计算器、方格纸及计算纸外，请勿携带任何东西进入考场，考卷上所有的题目均不需使用计算器便可作答。

6. 考试之前，监考人员会指示你填写一些基本资料于答案卡上，待监考人员给予指示后开始作答，你有75分钟的时间来回答所有的题目。

7. 当你完成作答后，请在答案卡的签名空格内签名。

8. AMC 10考生考120分以上，或者成绩名列前1%者，将会受邀參加2006年3月26日星期日所举行的第24届American Invitational Mathematics Examination (AIME)考试。

1. 快餐店每个三明治卖美金3元、每杯汽水卖美金2元。

买5个三明治及8杯汽水总共要多少美元？(A) 31 (B) 32 (C) 33 (D) 34 (E) 35 。

2. 若定义x⊗y=x3-y，则h⊗(h⊗h)可化简为下列哪一个选项？(A) -h (B) 0 (C) h (D) 2h (E) h3。

3. 玛莉的岁数与爱丽斯的岁数之比为3：5。

若爱丽斯是30岁，则玛莉是几岁？(A) 15 (B) 18 (C) 20 (D) 24 (E) 50 。

4. 某数字手表会显示上午(AM)与下午(PM)的小时数与分钟数。

手表上所有显示数的每一位数字之总和可能的最大值是多少？(A) 17 (B) 19 (C) 21 (D) 22 (E) 23。

amc数学竞赛成绩划分摘要：一、AMC数学竞赛简介二、AMC数学竞赛成绩划分及意义1.评分标准2.奖项设置3.全球排名三、如何提高AMC数学竞赛成绩1.学习策略2.解题技巧3.模拟练习四、总结正文：AMC数学竞赛是全球范围内最具影响力的数学竞赛之一，每年吸引着众多数学爱好者参加。

在我国，AMC竞赛同样具有很高的认可度和关注度。

本文将为大家介绍AMC数学竞赛的成绩划分及如何提高竞赛成绩。

一、AMC数学竞赛简介AMC数学竞赛分为两个阶段：AMC 8、AMC 10/12、AIME（美国数学邀请赛）。

参赛者需在规定时间内完成一定数量的数学题目。

题目难度逐渐递增，涵盖了从基础数学知识到高级数学技巧的各个方面。

二、AMC数学竞赛成绩划分及意义1.评分标准AMC数学竞赛采用积分制，正确答案得1分，部分正确或错误的答案不得分。

题目数量和分数决定了参赛者的总成绩。

2.奖项设置AMC竞赛设置有不同的奖项，如全球奖项、全国奖项、学校奖项等。

奖项的划分依据参赛者的总成绩在全球范围内的排名。

具体奖项设置如下：- 全球奖项：- 满分奖（Perfect Score）：全球排名前1%- 荣誉奖（Honor Roll）：全球排名前5%- 入围奖（Quick Start Award）：全球排名前10%- 全国奖项：- 一等奖（First Place）：全国排名前10名- 二等奖（Second Place）：全国排名前20名- 三等奖（Third Place）：全国排名前30名3.全球排名参赛者可以根据自己的成绩在全球排名中查找自己的位置。

全球排名有助于了解自己在国际范围内的数学水平，为今后的学术发展提供参考。

三、如何提高AMC数学竞赛成绩1.学习策略- 扎实掌握基础知识：AMC竞赛涉及的知识点较多，参赛者需要扎实掌握基础知识，才能在竞赛中游刃有余。

- 学习高级数学技巧：竞赛题目难度逐渐递增，掌握高级数学技巧对于解决难题至关重要。

- 总结经验：每次竞赛后，参赛者应总结自己的经验教训，找出不足之处，有针对性地进行提高。

2000到20XX年AMC10美国数学竞赛0 0P 0 A 0 B 0 C 0D 0 全美中学数学分级能力测验(AMC 10)2000年 第01届 美国AMC10 (2000年2月 日 时间75分钟)1. 国际数学奥林匹亚将于 在美国举办，假设I 、M 、O 分别表示不同的正整数，且满足I ⨯M ⨯O =2001，则试问I +M +O 之最大值为 。

(A) 23 (B) 55 (C) 99 (D) 111 (E) 6712. 2000(20002000)为 。

(A) 20002001 (B) 40002000 (C) 20004000 (D) 40000002000 (E) 200040000003. Jenny 每天早上都会吃掉她所剩下的聪明豆的20%，今知在第二天结束时，有32颗剩下，试问一开始聪明豆有 颗。

(A) 40 (B) 50 (C) 55 (D) 60 (E) 754. Candra 每月要付给网络公司固定的月租费及上网的拨接费，已知她12月的账单为12.48元，而她1月的账单为17.54元，若她1月的上网时间是12月的两倍，试问月租费是 元。

(A) 2.53 (B) 5.06 (C) 6.24 (D) 7.42 (E) 8.775. 如图M ，N 分别为PA 与PB 之中点，试问当P 在一条平行AB 的直 在线移动时，下列各数值有 项会变动。

(a) MN 长 (b) △P AB 之周长 (c) △P AB 之面积 (d) ABNM 之面积(A) 0项 (B) 1项 (C) 2项 (D) 3项 (E) 4项 6. 费氏数列是以两个1开始，接下来各项均为前两项之和，试问在费氏数列各项的个位数字中， 最后出现的阿拉伯数字为 。

(A) 0 (B) 4 (C) 6 (D) 7 (E) 97. 如图，矩形ABCD 中，AD =1，P 在AB 上，且DP 与DB 三等分∠ADC ，试问△BDP 之周长为 。